ทำไมคุณสมบัติที่สำคัญที่สุดของการดำเนินการเกี่ยวกับวิชาตรีโกณมิติจึงเป็นจริง ตรีโกณมิติเป็นเรื่องง่ายและชัดเจน

ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ - เมื่อออกเสียงคำเหล่านี้ต่อหน้านักเรียนมัธยม คุณจะมั่นใจได้ว่าสองในสามจะเลิกสนใจการสนทนาต่อไป เหตุผลอยู่ในความจริงที่ว่าพื้นฐานของตรีโกณมิติที่โรงเรียนสอนโดยแยกจากความเป็นจริงโดยสิ้นเชิง ดังนั้นนักเรียนจึงไม่เห็นประเด็นในการศึกษาสูตรและทฤษฎีบท

อันที่จริง ความรู้ด้านนี้เมื่อตรวจสอบอย่างใกล้ชิดแล้วกลายเป็นเรื่องที่น่าสนใจมาก เช่นเดียวกับการใช้ - ตรีโกณมิติที่ใช้ในดาราศาสตร์ การก่อสร้าง ฟิสิกส์ ดนตรี และด้านอื่น ๆ อีกมากมาย

มาทำความคุ้นเคยกับแนวคิดพื้นฐานและตั้งชื่อเหตุผลหลายประการในการศึกษาสาขาวิชาคณิตศาสตร์นี้

เรื่องราว

ไม่มีใครรู้ว่าเมื่อใดที่มนุษยชาติเริ่มสร้างตรีโกณมิติในอนาคตตั้งแต่เริ่มต้น อย่างไรก็ตาม มีการบันทึกว่าในสหัสวรรษที่สองก่อนคริสต์ศักราช ชาวอียิปต์คุ้นเคยกับพื้นฐานของวิทยาศาสตร์นี้ นักโบราณคดีพบต้นกกที่มีงานที่ต้องค้นหามุมเอียงของปิรามิดทั้งสองด้านที่รู้จัก

นักวิทยาศาสตร์ของบาบิโลนโบราณประสบความสำเร็จอย่างจริงจังมากขึ้น มีส่วนร่วมในดาราศาสตร์มานานหลายศตวรรษพวกเขาเข้าใจทฤษฎีบทจำนวนหนึ่งแนะนำวิธีการพิเศษในการวัดมุมซึ่งเราใช้อยู่ในปัจจุบัน: องศานาทีและวินาทีถูกยืมโดยวิทยาศาสตร์ยุโรปในวัฒนธรรมกรีก - โรมันซึ่งสิ่งเหล่านี้ หน่วยมาจากชาวบาบิโลน

สันนิษฐานว่าทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่มีชื่อเสียงซึ่งเกี่ยวข้องกับพื้นฐานของตรีโกณมิติเป็นที่รู้จักของชาวบาบิโลนเมื่อเกือบสี่พันปีก่อน

ชื่อ

แท้จริงแล้ว คำว่า "ตรีโกณมิติ" สามารถแปลได้ว่า "การวัดสามเหลี่ยม" วัตถุหลักในการศึกษาวิทยาศาสตร์หมวดนี้มานานหลายศตวรรษคือรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหรือความสัมพันธ์ระหว่างขนาดของมุมกับความยาวของด้าน (วันนี้การศึกษาตรีโกณมิติเริ่มจากส่วนนี้ตั้งแต่ เกา). ในชีวิต สถานการณ์ไม่ใช่เรื่องแปลกเมื่อเป็นไปไม่ได้ที่จะวัดพารามิเตอร์ที่จำเป็นทั้งหมดของวัตถุ (หรือระยะทางไปยังวัตถุ) ในทางปฏิบัติ และจากนั้นจึงจำเป็นต้องได้รับข้อมูลที่ขาดหายไปจากการคำนวณ

ตัวอย่างเช่น ในอดีต บุคคลไม่สามารถวัดระยะทางไปยังวัตถุในอวกาศได้ แต่ความพยายามที่จะคำนวณระยะทางเหล่านี้เกิดขึ้นก่อนยุคของเรานาน ตรีโกณมิติยังมีบทบาทสำคัญในการนำทาง ด้วยความรู้บางอย่าง กัปตันสามารถนำทางดวงดาวในเวลากลางคืนและแก้ไขเส้นทางได้เสมอ

แนวคิดพื้นฐาน

หากต้องการเชี่ยวชาญตรีโกณมิติตั้งแต่เริ่มต้น คุณต้องเข้าใจและจำคำศัพท์พื้นฐานสองสามคำ

ไซน์ของมุมคืออัตราส่วนของขาตรงข้ามกับด้านตรงข้ามมุมฉาก ให้เราชี้แจงว่าขาตรงข้ามเป็นด้านที่อยู่ตรงข้ามกับมุมที่เรากำลังพิจารณา ดังนั้น หากมุมเป็น 30 องศา ไซน์ของมุมนี้จะเท่ากับ ½ สำหรับสามเหลี่ยมขนาดใดๆ เสมอ โคไซน์ของมุมคืออัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก

แทนเจนต์คืออัตราส่วนของขาตรงข้ามกับขาที่อยู่ติดกัน (หรือเทียบเท่าอัตราส่วนของไซน์ต่อโคไซน์) โคแทนเจนต์คือหน่วยหารด้วยแทนเจนต์

เป็นมูลค่าการกล่าวขวัญหมายเลขที่มีชื่อเสียง Pi (3.14 ...) ซึ่งมีความยาวครึ่งหนึ่งของวงกลมที่มีรัศมีหนึ่งหน่วย

ข้อผิดพลาดยอดนิยม

ผู้ที่เรียนตรีโกณมิติตั้งแต่เริ่มต้นทำผิดพลาดหลายอย่าง ส่วนใหญ่เกิดจากการไม่ใส่ใจ

ประการแรก เมื่อแก้ปัญหาในเรขาคณิต ต้องจำไว้ว่าการใช้ไซน์และโคไซน์เป็นไปได้เฉพาะในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเท่านั้น มันเกิดขึ้นที่นักเรียน "บนเครื่อง" ใช้ด้านที่ยาวที่สุดของสามเหลี่ยมเป็นด้านตรงข้ามมุมฉากและได้รับผลการคำนวณที่ไม่ถูกต้อง

ประการที่สอง ในตอนแรก มันง่ายที่จะสร้างความสับสนให้กับค่าของไซน์และโคไซน์สำหรับมุมที่เลือก: จำไว้ว่าไซน์ของ 30 องศามีค่าเท่ากับโคไซน์ของ 60 และในทางกลับกัน หากคุณเปลี่ยนตัวเลขผิด การคำนวณเพิ่มเติมทั้งหมดจะไม่ถูกต้อง

ประการที่สาม จนกว่าปัญหาจะได้รับการแก้ไขอย่างสมบูรณ์ มันไม่คุ้มที่จะปัดเศษค่าใด ๆ แยกราก เขียนเศษส่วนธรรมดาเป็นทศนิยม บ่อยครั้งที่นักเรียนพยายามหาตัวเลขที่ "สวยงาม" ในปัญหาตรีโกณมิติและแยกรากของสามออกทันที แม้ว่าหลังจากการกระทำเพียงครั้งเดียว รากนี้ก็จะลดลง

นิรุกติศาสตร์ของคำว่า "ไซน์"

ประวัติของคำว่า "ไซน์" นั้นไม่ธรรมดาจริงๆ ความจริงก็คือการแปลตามตัวอักษรของคำนี้จากภาษาละตินแปลว่า "กลวง" นี่เป็นเพราะความเข้าใจที่ถูกต้องของคำนั้นหายไปเมื่อแปลจากภาษาหนึ่งเป็นอีกภาษาหนึ่ง

ชื่อของฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐานมาจากอินเดียซึ่งแนวคิดของไซน์แสดงโดยคำว่า "สตริง" ในภาษาสันสกฤต - ความจริงก็คือส่วนพร้อมกับส่วนโค้งของวงกลมที่วางอยู่ดูเหมือนคันธนู . ในช่วงความมั่งคั่งของอารยธรรมอาหรับความสำเร็จของอินเดียในด้านตรีโกณมิติถูกยืมมาและคำนี้ถูกส่งผ่านไปยังภาษาอาหรับในรูปแบบของการถอดความ มันเกิดขึ้นที่ภาษานี้มีคำที่คล้ายกันสำหรับภาวะซึมเศร้าแล้วและหากชาวอาหรับเข้าใจความแตกต่างทางสัทศาสตร์ระหว่างคำพื้นเมืองและคำที่ยืมแล้วชาวยุโรปแปลบทความทางวิทยาศาสตร์เป็นภาษาละตินโดยไม่ได้ตั้งใจแปลคำภาษาอาหรับซึ่ง ไม่มีอะไรเกี่ยวข้องกับแนวคิดของไซน์ เราใช้พวกเขามาจนถึงทุกวันนี้

ตารางค่า

มีตารางที่มีค่าตัวเลขสำหรับไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ของมุมที่เป็นไปได้ทั้งหมด ด้านล่างเรานำเสนอข้อมูลสำหรับมุม 0, 30, 45, 60 และ 90 องศา ซึ่งต้องเรียนรู้เป็นส่วนบังคับของตรีโกณมิติสำหรับ "หุ่น" เนื่องจากจำได้ง่าย

ถ้ามันเกิดขึ้นที่ค่าตัวเลขของไซน์หรือโคไซน์ของมุม "บินออกจากหัวของฉัน" มีวิธีหามันด้วยตัวเอง

การแสดงทางเรขาคณิต

ลองวาดวงกลม วาด abscissa และจัดเรียงแกนผ่านจุดศูนย์กลาง แกน abscissa เป็นแนวนอน แกนกำหนดเป็นแนวตั้ง พวกเขามักจะลงนามเป็น "X" และ "Y" ตามลำดับ ตอนนี้เราวาดเส้นตรงจากจุดศูนย์กลางของวงกลมเพื่อให้ได้มุมที่ต้องการระหว่างมันกับแกน X สุดท้าย จากจุดที่เส้นตรงตัดกับวงกลม เราลดแนวตั้งฉากกับแกน X ลง ความยาวของส่วนที่เป็นผลลัพธ์จะเท่ากับค่าตัวเลขของไซน์ของมุมของเรา

วิธีนี้มีความเกี่ยวข้องมากหากคุณลืมค่าที่ต้องการ เช่น ในการสอบ และไม่มีตำราตรีโกณมิติอยู่ในมือ คุณจะไม่ได้ตัวเลขที่แน่นอนด้วยวิธีนี้ แต่คุณจะเห็นความแตกต่างระหว่าง ½ ถึง 1.73 / 2 อย่างแน่นอน (ไซน์และโคไซน์ของมุม 30 องศา)

แอปพลิเคชัน

หนึ่งในผู้เชี่ยวชาญกลุ่มแรกที่ใช้ตรีโกณมิติคือกะลาสีที่ไม่มีจุดอ้างอิงในทะเลหลวงอื่นใดนอกจากท้องฟ้าเหนือหัวของพวกเขา ทุกวันนี้ แม่ทัพเรือ (เครื่องบินและโหมดการขนส่งอื่นๆ) ไม่ได้มองหาเส้นทางที่สั้นที่สุดผ่านดวงดาว แต่ใช้ระบบนำทางด้วย GPS อย่างแข็งขัน ซึ่งคงเป็นไปไม่ได้หากไม่มีการใช้ตรีโกณมิติ

ในเกือบทุกส่วนของฟิสิกส์ คุณจะพบการคำนวณโดยใช้ไซน์และโคไซน์ ไม่ว่าจะเป็นการใช้แรงในกลศาสตร์ การคำนวณเส้นทางของวัตถุในจลนศาสตร์ การสั่นสะเทือน การแพร่กระจายคลื่น การหักเหของแสง - คุณไม่สามารถทำได้หากไม่มีตรีโกณมิติพื้นฐาน ในสูตร

อีกอาชีพหนึ่งที่คิดไม่ถึงหากไม่มีตรีโกณมิติก็คือนักสำรวจ โดยใช้กล้องสำรวจและระดับ หรืออุปกรณ์ที่ซับซ้อนกว่านั้น - เครื่องวัดวามเร็ว คนเหล่านี้วัดความแตกต่างของความสูงระหว่างจุดต่างๆ บนพื้นผิวโลก

ความสามารถในการทำซ้ำ

ตรีโกณมิติไม่เพียงเกี่ยวข้องกับมุมและด้านข้างของสามเหลี่ยมเท่านั้น ถึงแม้ว่านี่คือจุดเริ่มต้นของการดำรงอยู่ของมัน ในทุกพื้นที่ที่มีวัฏจักร (ชีววิทยา การแพทย์ ฟิสิกส์ ดนตรี ฯลฯ) คุณจะพบกับกราฟที่มีชื่อที่คุณน่าจะคุ้นเคย - นี่คือไซนัส

กราฟดังกล่าวเป็นวงกลมที่กางออกตามแกนเวลาและดูเหมือนคลื่น ถ้าคุณเคยทำงานกับออสซิลโลสโคปในวิชาฟิสิกส์มาก่อน คุณคงรู้ว่าฉันกำลังพูดถึงอะไร ทั้งตัวปรับแต่งเสียงดนตรีและตัววัดอัตราการเต้นของหัวใจใช้สูตรตรีโกณมิติในการทำงาน

ในที่สุด

เมื่อคิดถึงวิธีเรียนตรีโกณมิติ นักเรียนมัธยมต้นและมัธยมปลายส่วนใหญ่เริ่มคิดว่าเป็นวิทยาศาสตร์ที่ยากและทำไม่ได้ เพราะพวกเขาคุ้นเคยกับข้อมูลในตำราเรียนที่น่าเบื่อเท่านั้น

สำหรับความทำไม่ได้ เราได้เห็นแล้วว่า ความสามารถในการจัดการกับไซน์และแทนเจนต์เป็นสิ่งจำเป็นในเกือบทุกด้านของกิจกรรม ความซับซ้อน... ลองคิดดู: ถ้าคนใช้ความรู้นี้เมื่อสองพันกว่าปีที่แล้ว เมื่อผู้ใหญ่มีความรู้น้อยกว่านักเรียนมัธยมปลายในปัจจุบัน เป็นไปได้จริงไหมที่คุณจะเรียนวิทยาศาสตร์สาขานี้ในระดับพื้นฐาน ? ฝึกฝนอย่างรอบคอบสองสามชั่วโมงพร้อมการแก้ปัญหา - และคุณจะบรรลุเป้าหมายด้วยการเรียนหลักสูตรพื้นฐาน ที่เรียกว่าตรีโกณมิติสำหรับ "หุ่นจำลอง"

เมื่อทำการแปลงตรีโกณมิติ ให้ทำตามคำแนะนำเหล่านี้:

1. อย่าพยายามคิดแบบแผนเพื่อแก้ตัวอย่างตั้งแต่ต้นจนจบในทันที
2. อย่าพยายามแปลงตัวอย่างทั้งหมดพร้อมกัน ก้าวไปข้างหน้าในก้าวเล็ก ๆ
3. โปรดจำไว้ว่า นอกจากสูตรตรีโกณมิติในตรีโกณมิติแล้ว คุณยังสามารถใช้การแปลงพีชคณิตที่ยุติธรรมทั้งหมดได้ (การถ่ายคร่อม เศษส่วนลด สูตรคูณแบบย่อ และอื่นๆ)
4. เชื่อว่าทุกอย่างจะดีเอง

สูตรตรีโกณมิติพื้นฐาน

สูตรส่วนใหญ่ในตรีโกณมิติมักใช้ทั้งจากขวาไปซ้ายและจากซ้ายไปขวา ดังนั้นคุณต้องเรียนรู้สูตรเหล่านี้ให้ดีเพื่อที่คุณจะได้นำสูตรไปใช้ทั้งสองทิศทางได้อย่างง่ายดาย ในการเริ่มต้น เราเขียนคำจำกัดความของฟังก์ชันตรีโกณมิติ ให้มีสามเหลี่ยมมุมฉาก:

ดังนั้น นิยามของไซน์คือ:

คำจำกัดความของโคไซน์:

ความหมายของแทนเจนต์:

คำจำกัดความของโคแทนเจนต์:

เอกลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน:

ผลสืบเนื่องที่ง่ายที่สุดจากเอกลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน:

สูตรมุมคู่ไซน์ของมุมคู่:

โคไซน์ของมุมคู่:

แทนเจนต์มุมคู่:

โคแทนเจนต์สองมุม:

สูตรตรีโกณมิติเพิ่มเติม

สูตรบวกตรีโกณมิติไซน์ของผลรวม:

ไซน์ของความแตกต่าง:

โคไซน์ของผลรวม:

โคไซน์ของความแตกต่าง:

แทนเจนต์ของผลรวม:

ความแตกต่างแทนเจนต์:

โคแทนเจนต์ของผลรวม:

โคแทนเจนต์ส่วนต่าง:

สูตรตรีโกณมิติสำหรับการแปลงผลรวมเป็นผลิตภัณฑ์ผลรวมของไซน์:

ความแตกต่างของไซน์:

ผลรวมของโคไซน์:

ความแตกต่างของโคไซน์:

ผลรวมของแทนเจนต์:

ความแตกต่างแทนเจนต์:

ผลรวมของโคแทนเจนต์:

ความแตกต่างของโคแทนเจนต์:

สูตรตรีโกณมิติสำหรับการแปลงผลิตภัณฑ์เป็นผลรวมผลิตภัณฑ์ของไซน์:

ผลคูณของไซน์และโคไซน์:

ผลิตภัณฑ์ของโคไซน์:

สูตรลดองศา

สูตรครึ่งมุม

สูตรลดตรีโกณมิติ

ฟังก์ชันโคไซน์เรียกว่า cofunctionฟังก์ชันไซน์และในทางกลับกัน ในทำนองเดียวกัน ฟังก์ชันแทนเจนต์และโคแทนเจนต์เป็นฟังก์ชันร่วม สูตรการลดสามารถกำหนดได้ตามกฎต่อไปนี้:

• หากในสูตรการลดมุม (บวก) ถูกลบออกจาก 90 องศาหรือ 270 องศา ฟังก์ชันที่ลดได้จะเปลี่ยนเป็นฟังก์ชันร่วม
• หากในสูตรการลดมุม (บวก) ถูกลบออกจาก 180 องศาหรือ 360 องศา ชื่อของฟังก์ชันที่ลดลงจะยังคงอยู่
• ในกรณีนี้ ฟังก์ชันลดขนาดนำหน้าด้วยเครื่องหมายที่ฟังก์ชันลด (เช่น เดิม) มีในไตรมาสที่สอดคล้องกัน หากเราพิจารณาว่ามุมที่หัก (เพิ่ม) เป็นแบบเฉียบพลัน

สูตรหล่อจะได้รับในรูปแบบของตาราง:

โดย วงกลมตรีโกณมิติง่ายต่อการกำหนดค่าตารางของฟังก์ชันตรีโกณมิติ:

สมการตรีโกณมิติ

ในการแก้สมการตรีโกณมิติ จะต้องลดสมการตรีโกณมิติให้เหลือสมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุดตัวใดตัวหนึ่ง ซึ่งจะกล่าวถึงด้านล่าง สำหรับสิ่งนี้:

• คุณสามารถใช้สูตรตรีโกณมิติด้านบนได้ ในกรณีนี้ คุณไม่จำเป็นต้องพยายามแปลงตัวอย่างทั้งหมดในคราวเดียว แต่คุณต้องก้าวไปข้างหน้าเป็นขั้นตอนเล็กๆ
• เราต้องไม่ลืมเกี่ยวกับความเป็นไปได้ของการเปลี่ยนนิพจน์โดยใช้วิธีพีชคณิต เช่น ตัวอย่างเช่น นำบางสิ่งออกจากวงเล็บหรือในทางกลับกัน วงเล็บเปิด ลดเศษส่วน ใช้สูตรคูณแบบย่อ นำเศษส่วนมาเป็นตัวส่วนร่วม เป็นต้น
• เมื่อแก้สมการตรีโกณมิติ คุณสามารถใช้ วิธีการจัดกลุ่ม. ต้องจำไว้ว่าเพื่อให้ผลคูณของตัวประกอบหลายตัวเท่ากับศูนย์ก็เพียงพอแล้วที่ตัวใดตัวหนึ่งจะเท่ากับศูนย์และ ส่วนที่เหลือมีอยู่.
• การสมัคร วิธีการเปลี่ยนตัวแปรตามปกติแล้ว สมการหลังจากการแทนที่ควรจะง่ายขึ้นและไม่มีตัวแปรเดิม คุณต้องจำไว้ว่าให้ทำการทดแทนแบบย้อนกลับ
• จำไว้ว่าสมการเอกพันธ์มักเกิดขึ้นในตรีโกณมิติเช่นกัน
• เมื่อเปิดโมดูลหรือแก้สมการอตรรกยะด้วยฟังก์ชันตรีโกณมิติ เราต้องจำและคำนึงถึงรายละเอียดปลีกย่อยทั้งหมดของการแก้สมการที่สอดคล้องกันด้วยฟังก์ชันธรรมดาด้วย
• จำเกี่ยวกับ ODZ (ในสมการตรีโกณมิติ ข้อ จำกัด ใน ODZ โดยทั่วไปจะสรุปว่าคุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้ แต่อย่าลืมข้อ จำกัด อื่น ๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเกี่ยวกับแง่บวกของนิพจน์ในพลังตรรกยะและภายใต้รากขององศาคู่ ). โปรดจำไว้ว่าค่าไซน์และโคไซน์สามารถอยู่ระหว่างลบหนึ่งและบวกหนึ่งเท่านั้น

สิ่งสำคัญคือ ถ้าคุณไม่รู้ว่าต้องทำอะไร อย่างน้อยก็ทำบางอย่าง ในขณะที่สิ่งสำคัญคือการใช้สูตรตรีโกณมิติอย่างถูกต้อง หากสิ่งที่คุณได้รับคือดีขึ้นเรื่อยๆ ให้ดำเนินการแก้ไข และหากอาการแย่ลง ให้กลับไปที่จุดเริ่มต้นและลองใช้สูตรอื่นๆ ดังนั้นให้ทำจนกว่าคุณจะพบวิธีแก้ปัญหาที่ถูกต้อง

สูตรสำหรับการแก้สมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุดสำหรับไซน์ มีสองรูปแบบที่เทียบเท่ากันในการเขียนคำตอบ:

สำหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่นๆ สัญกรณ์จะไม่ซ้ำกัน สำหรับโคไซน์:

สำหรับแทนเจนต์:

สำหรับโคแทนเจนต์:

คำตอบของสมการตรีโกณมิติในกรณีพิเศษบางกรณี:

เรียนรู้สูตรและกฎหมายทั้งหมดในฟิสิกส์และสูตรและวิธีการในวิชาคณิตศาสตร์ อันที่จริง การทำเช่นนี้ทำได้ง่ายมาก มีสูตรฟิสิกส์ที่จำเป็นเพียง 200 สูตรเท่านั้น และแม้แต่ในวิชาคณิตศาสตร์ก็น้อยกว่าเล็กน้อย ในแต่ละวิชาเหล่านี้มีวิธีมาตรฐานประมาณ 12 วิธีในการแก้ปัญหาที่ระดับความซับซ้อนขั้นพื้นฐาน ซึ่งสามารถเรียนรู้ได้เช่นกัน ดังนั้นจึงแก้ปัญหาการเปลี่ยนแปลงทางดิจิทัลส่วนใหญ่ได้โดยอัตโนมัติและโดยไม่มีปัญหาในเวลาที่เหมาะสม หลังจากนั้นคุณจะต้องคิดถึงงานที่ยากที่สุดเท่านั้น

เข้าร่วมการทดสอบทั้ง 3 ขั้นตอนในวิชาฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ แต่ละ RT สามารถเข้าชมได้สองครั้งเพื่อแก้ปัญหาทั้งสองตัวเลือก อีกครั้งที่ CT นอกจากความสามารถในการแก้ปัญหาได้อย่างรวดเร็วและมีประสิทธิภาพและความรู้เกี่ยวกับสูตรและวิธีการแล้วยังต้องสามารถวางแผนเวลาได้อย่างเหมาะสม กระจายแรง และที่สำคัญกรอกแบบฟอร์มคำตอบให้ถูกต้อง โดยไม่สับสนกับจำนวนคำตอบและงาน หรือชื่อของคุณเอง นอกจากนี้ ในระหว่างการ RT สิ่งสำคัญคือต้องทำความคุ้นเคยกับรูปแบบการตั้งคำถามในงาน ซึ่งอาจดูผิดปกติมากสำหรับผู้ที่ไม่ได้เตรียมตัวใน DT

การนำสามประเด็นนี้ไปใช้อย่างประสบความสำเร็จ ขยันขันแข็ง และมีความรับผิดชอบ จะช่วยให้คุณแสดงผลลัพธ์ที่ยอดเยี่ยมใน CT ได้ ซึ่งเป็นจำนวนสูงสุดของสิ่งที่คุณทำได้

พบข้อผิดพลาด?

หากคุณพบว่ามีข้อผิดพลาดในเอกสารการฝึกอบรมโปรดเขียนทางไปรษณีย์ คุณสามารถเขียนเกี่ยวกับข้อผิดพลาดบนโซเชียลเน็ตเวิร์ก () ในจดหมาย ให้ระบุหัวข้อ (ฟิสิกส์หรือคณิตศาสตร์) ชื่อหรือหมายเลขหัวข้อหรือแบบทดสอบ จำนวนงาน หรือตำแหน่งในข้อความ (หน้า) ซึ่งในความเห็นของคุณมีข้อผิดพลาด อธิบายด้วยว่าข้อผิดพลาดที่ถูกกล่าวหาคืออะไร จดหมายของคุณจะไม่มีใครสังเกตเห็น ข้อผิดพลาดจะได้รับการแก้ไข หรือคุณจะได้รับคำอธิบายว่าเหตุใดจึงไม่ใช่ข้อผิดพลาด

เร็วที่สุดเท่าที่ 1905 ผู้อ่านชาวรัสเซียสามารถอ่านเรื่องจิตวิทยาของวิลเลียม เจมส์ ได้ เหตุผลของเขาเกี่ยวกับ "ทำไมการยัดเยียดวิธีการเรียนรู้ที่ไม่ดีเช่นนี้"

“ความรู้ที่ได้รับจากการยัดเยียดก็แทบจะลืมไปโดยสิ้นเชิงอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้ ในทางตรงข้าม วัตถุทางใจที่สะสมโดยความทรงจำค่อย ๆ วันแล้ววันเล่า สัมพันธ์กับบริบทต่าง ๆ สัมพันธ์สัมพันธ์กับเหตุการณ์ภายนอกอื่น ๆ และถูกอภิปรายซ้ำ ๆ ก่อตัวเป็นระบบดังกล่าว เข้าสู่การเชื่อมต่อกับแง่มุมอื่น ๆ ของสติปัญญาของเรา ได้รับการต่ออายุใหม่อย่างง่ายดายในหน่วยความจำด้วยสาเหตุภายนอกจำนวนมากที่ยังคงเป็นการได้มาซึ่งความมั่นคงในระยะยาว

กว่า 100 ปีผ่านไปตั้งแต่นั้นมา และคำเหล่านี้ยังคงเป็นหัวข้อที่น่าอัศจรรย์ใจ คุณเห็นสิ่งนี้ทุกวันเมื่อคุณทำงานกับเด็กนักเรียน ช่องว่างในความรู้มีมากมายจนสามารถโต้แย้งได้ว่าหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียนในด้านการสอนและจิตวิทยาไม่ใช่ระบบ แต่เป็นอุปกรณ์ประเภทหนึ่งที่ส่งเสริมความจำระยะสั้นและไม่สนใจหน่วยความจำระยะยาวเลย .

การรู้หลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียนหมายถึงการเรียนรู้เนื้อหาของแต่ละสาขาวิชาคณิตศาสตร์ เพื่อให้สามารถอัปเดตได้ทุกเมื่อ เพื่อให้บรรลุสิ่งนี้ คุณต้องพูดถึงแต่ละข้ออย่างเป็นระบบ ซึ่งบางครั้งไม่สามารถทำได้เนื่องจากภาระงานหนักในบทเรียน

มีอีกวิธีหนึ่งในการท่องจำข้อเท็จจริงและสูตรในระยะยาว ซึ่งเป็นสัญญาณอ้างอิง

ตรีโกณมิติเป็นหนึ่งในส่วนใหญ่ของคณิตศาสตร์ของโรงเรียนที่ศึกษาในวิชาเรขาคณิตในเกรด 8, 9 และในหลักสูตรพีชคณิตในเกรด 9 พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ในเกรด 10

จำนวนวัสดุที่ศึกษามากที่สุดในวิชาตรีโกณมิติอยู่ที่เกรด 10 เนื้อหาเกี่ยวกับตรีโกณมิตินี้สามารถเรียนรู้และจดจำได้มากมาย วงกลมตรีโกณมิติ(วงกลมของรัศมีหน่วยที่มีศูนย์กลางที่จุดกำเนิดของระบบพิกัดสี่เหลี่ยม) แอปพลิเคชัน1.ppt

นี่คือแนวคิดของตรีโกณมิติดังต่อไปนี้:

• คำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของมุม
• การวัดมุมเรเดียน
• โดเมนของความหมายและพิสัยของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
• ค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติสำหรับค่าบางค่าของการโต้แย้งเชิงตัวเลขและเชิงมุม
• ความเป็นคาบของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
• ฟังก์ชันตรีโกณมิติคู่และคี่
• การเพิ่มและลดฟังก์ชันตรีโกณมิติ
• สูตรลด;
• ค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
• คำตอบของสมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด
• การแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันที่ง่ายที่สุด
• สูตรพื้นฐานของตรีโกณมิติ

พิจารณาการศึกษาแนวคิดเหล่านี้ในวงกลมตรีโกณมิติ

1) คำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์

หลังจากแนะนำแนวคิดของวงกลมตรีโกณมิติ (วงกลมของรัศมีหน่วยที่มีศูนย์กลางที่จุดกำเนิด) รัศมีเริ่มต้น (รัศมีของวงกลมในทิศทางของแกน Ox) มุมของการหมุน นักเรียนจะได้รับคำจำกัดความของไซน์ โคไซน์โดยอิสระ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์บนวงกลมตรีโกณมิติ โดยใช้คำจำกัดความจากเรขาคณิตของหลักสูตร นั่นคือ การพิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับ 1

โคไซน์ของมุมคือ abscissa ของจุดบนวงกลมเมื่อรัศมีเริ่มต้นหมุนด้วยมุมที่กำหนด

ไซน์ของมุมคือพิกัดของจุดบนวงกลมเมื่อรัศมีเริ่มต้นหมุนตามมุมที่กำหนด

2) การวัดมุมเรเดียนบนวงกลมตรีโกณมิติ

หลังจากแนะนำการวัดมุมเรเดียน (1 เรเดียนคือมุมศูนย์กลาง ซึ่งสอดคล้องกับความยาวส่วนโค้งเท่ากับรัศมีของวงกลม) นักเรียนสรุปว่าการวัดมุมเรเดียนเป็นค่าตัวเลขของมุมการหมุนบนวงกลม เท่ากับความยาวของส่วนโค้งที่สอดคล้องกันเมื่อรัศมีเริ่มต้นหมุนตามมุมที่กำหนด .

วงกลมตรีโกณมิติแบ่งออกเป็น 12 ส่วนเท่า ๆ กันโดยเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม เมื่อรู้ว่ามุมเป็นเรเดียน เราสามารถกำหนดการวัดเรเดียนสำหรับมุมที่เป็นทวีคูณของ

และการวัดมุมเรเดียนที่เป็นทวีคูณจะได้มาในทำนองเดียวกัน:

3) โดเมนของคำจำกัดความและโดเมนของค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ความสอดคล้องของมุมการหมุนและค่าพิกัดของจุดบนวงกลมจะเป็นฟังก์ชันหรือไม่?

แต่ละมุมของการหมุนจะสัมพันธ์กับจุดเดียวบนวงกลม ดังนั้นการโต้ตอบนี้จึงเป็นฟังก์ชัน

รับฟังก์ชั่น

สามารถเห็นได้ในวงกลมตรีโกณมิติว่าโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันคือเซตของจำนวนจริงทั้งหมด และโดเมนของค่าคือ .

ให้เราแนะนำแนวคิดของเส้นแทนเจนต์และโคแทนเจนต์บนวงกลมตรีโกณมิติ

1) ให้ เราแนะนำเส้นตรงเสริมขนานกับแกน Oy ซึ่งกำหนดแทนเจนต์สำหรับอาร์กิวเมนต์ตัวเลขใดๆ

2) ในทำนองเดียวกัน เราได้รับสายโคแทนเจนต์ ให้ y=1 แล้ว ซึ่งหมายความว่าค่าของโคแทนเจนต์ถูกกำหนดบนเส้นตรงขนานกับแกน Ox

บนวงกลมตรีโกณมิติ เราสามารถกำหนดโดเมนของคำจำกัดความและช่วงของค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติได้อย่างง่ายดาย:

สำหรับแทนเจนต์ -

สำหรับโคแทนเจนต์ -

4) ค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติบนวงกลมตรีโกณมิติ

ขาตรงข้ามมุมครึ่งด้านตรงข้ามมุมฉาก นั่นคือ ขาอีกข้างหนึ่งตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ดังนั้นตามคำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ โคแทนเจนต์ คุณสามารถกำหนดค่าสำหรับมุมที่เป็นทวีคูณหรือเรเดียนได้ ค่าไซน์ถูกกำหนดตามแกน Oy ค่าโคไซน์ตามแกน Ox และสามารถกำหนดค่าแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ได้จากแกนเพิ่มเติมที่ขนานกับแกน Oy และ Ox ตามลำดับ

ค่าตารางของไซน์และโคไซน์จะอยู่บนแกนตามลำดับดังนี้:

ค่าตารางของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ -

5) ระยะเวลาของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

บนวงกลมตรีโกณมิติ จะเห็นได้ว่าค่าของไซน์ โคไซน์จะซ้ำกันทุกเรเดียน และแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ทุกเรเดียน

6) ฟังก์ชันตรีโกณมิติคู่และคี่

คุณสมบัตินี้สามารถหาได้โดยการเปรียบเทียบค่าของมุมการหมุนบวกและด้านตรงข้ามของฟังก์ชันตรีโกณมิติ เราได้รับสิ่งนั้น

ดังนั้น โคไซน์จึงเป็นฟังก์ชันคู่ ฟังก์ชันอื่นๆ ทั้งหมดเป็นเลขคี่

7) การเพิ่มและลดฟังก์ชันตรีโกณมิติ

วงกลมตรีโกณมิติแสดงว่าฟังก์ชันไซน์เพิ่มขึ้น และลดลง

การโต้เถียงในทำนองเดียวกัน เราได้ช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้นและลดลงของฟังก์ชันโคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์

8) สูตรลด.

สำหรับมุมนั้น เราจะหาค่ามุมที่น้อยกว่าบนวงกลมตรีโกณมิติ สูตรทั้งหมดได้มาจากการเปรียบเทียบค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่ขาของสามเหลี่ยมมุมฉากที่เลือก

อัลกอริทึมสำหรับการใช้สูตรลด:

1) กำหนดเครื่องหมายของฟังก์ชันเมื่อหมุนผ่านมุมที่กำหนด

เมื่อเลี้ยวโค้ง ฟังก์ชั่นจะถูกรักษาไว้เมื่อหมุนด้วยมุม - จำนวนเต็ม, เลขคี่, ได้ cofunction (

9) ค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน

เราแนะนำฟังก์ชันผกผันสำหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติโดยใช้คำจำกัดความของฟังก์ชัน

แต่ละค่าของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์บนวงกลมตรีโกณมิติสอดคล้องกับค่าเดียวของมุมการหมุน ดังนั้นสำหรับฟังก์ชัน โดเมนของคำจำกัดความคือ โดเมนของค่าคือ - สำหรับฟังก์ชัน โดเมนของคำจำกัดความคือ โดเมนของค่าคือ . ในทำนองเดียวกัน เราได้รับโดเมนของคำจำกัดความและช่วงของฟังก์ชันผกผันสำหรับโคไซน์และโคแทนเจนต์

อัลกอริทึมสำหรับการค้นหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน:

1) ค้นหาค่าอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันบนแกนที่สอดคล้องกัน

2) การหามุมการหมุนของรัศมีเริ่มต้นโดยคำนึงถึงช่วงของค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน

ตัวอย่างเช่น:

10) คำตอบของสมการที่ง่ายที่สุดบนวงกลมตรีโกณมิติ

ในการแก้สมการของแบบฟอร์ม เราจะหาจุดบนวงกลมที่มีพิกัดเท่ากันและจดมุมที่สอดคล้องกันโดยคำนึงถึงระยะเวลาของฟังก์ชัน

สำหรับสมการ เราจะหาจุดบนวงกลมที่มี abscissas เท่ากัน และเขียนมุมที่สอดคล้องกัน โดยคำนึงถึงคาบของฟังก์ชันด้วย

ในทำนองเดียวกันสำหรับสมการของรูปแบบ ค่าถูกกำหนดบนเส้นของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์และบันทึกมุมการหมุนที่สอดคล้องกัน

นักเรียนได้รับแนวคิดและสูตรตรีโกณมิติทั้งหมดภายใต้การแนะนำที่ชัดเจนของครูโดยใช้วงกลมตรีโกณมิติ ในอนาคต "วงกลม" นี้จะทำหน้าที่เป็นสัญญาณอ้างอิงสำหรับพวกเขาหรือปัจจัยภายนอกสำหรับการสร้างแนวคิดและสูตรของตรีโกณมิติในหน่วยความจำ

การศึกษาตรีโกณมิติในวงกลมตรีโกณมิติมีส่วนทำให้:

• การเลือกรูปแบบการสื่อสารที่เหมาะสมที่สุดสำหรับบทเรียนนี้ การจัดความร่วมมือทางการศึกษา
• เป้าหมายของบทเรียนมีความสำคัญเป็นการส่วนตัวสำหรับนักเรียนแต่ละคน
• เนื้อหาใหม่ขึ้นอยู่กับประสบการณ์ส่วนตัวของการกระทำ การคิด ความรู้สึกของนักเรียน
• บทเรียนรวมถึงรูปแบบการทำงานต่างๆ และวิธีการได้มาซึ่งความรู้และหลอมรวมเข้าด้วยกัน มีองค์ประกอบของการเรียนรู้ร่วมกันและด้วยตนเอง การควบคุมตนเองและซึ่งกันและกัน
• มีการตอบสนองต่อความเข้าใจผิดและข้อผิดพลาดอย่างรวดเร็ว (การอภิปรายร่วมกัน คำแนะนำการสนับสนุน การปรึกษาหารือร่วมกัน)

ในบทเรียนนี้ เราจะพูดถึงความจำเป็นที่เกิดขึ้นในการแนะนำฟังก์ชันตรีโกณมิติและเหตุผลที่ศึกษา สิ่งที่คุณต้องเข้าใจในหัวข้อนี้ และตำแหน่งที่คุณต้องใช้ (ซึ่งเป็นเทคนิค) โปรดทราบว่าเทคนิคและความเข้าใจเป็นสองสิ่งที่แตกต่างกัน เห็นด้วย มีความแตกต่าง: การเรียนรู้ที่จะขี่จักรยาน นั่นคือ ทำความเข้าใจวิธีการทำ หรือการเป็นนักปั่นจักรยานมืออาชีพ เราจะพูดถึงความเข้าใจว่าทำไมเราถึงต้องการฟังก์ชันตรีโกณมิติ

มีสี่ฟังก์ชันตรีโกณมิติ แต่ทั้งหมดสามารถแสดงในรูปของฟังก์ชันโดยใช้เอกลักษณ์ (ความเท่าเทียมกันที่เชื่อมต่อกัน)

คำจำกัดความอย่างเป็นทางการของฟังก์ชันตรีโกณมิติสำหรับมุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก (รูปที่ 1)

ไซนัสมุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉากเรียกว่าอัตราส่วนของขาตรงข้ามกับด้านตรงข้ามมุมฉาก

โคไซน์มุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉากเรียกว่าอัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก

แทนเจนต์มุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉากเรียกว่าอัตราส่วนของขาตรงข้ามกับขาที่อยู่ติดกัน

โคแทนเจนต์มุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉากเรียกว่าอัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันกับขาตรงข้าม

ข้าว. 1. นิยามของฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉาก

คำจำกัดความเหล่านี้เป็นทางการ ถูกต้องกว่าที่จะบอกว่ามีเพียงฟังก์ชันเดียว เช่น ไซน์ หากไม่จำเป็นต้องใช้ (ไม่ได้ใช้บ่อยนัก) ในเทคโนโลยี ฟังก์ชันตรีโกณมิติต่างๆ จะไม่ถูกนำมาใช้

ตัวอย่างเช่น โคไซน์ของมุมหนึ่งเท่ากับไซน์ของมุมเดียวกันโดยเติม () นอกจากนี้ โคไซน์ของมุมสามารถแสดงในรูปของไซน์ของมุมเดียวกันได้เสมอ จนถึงเครื่องหมาย โดยใช้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน () แทนเจนต์ของมุมคืออัตราส่วนของไซน์ต่อโคไซน์หรือโคแทนเจนต์แบบกลับหัว (รูปที่ 2) บางตัวไม่ใช้โคแทนเจนต์เลย แทนที่ด้วย . ดังนั้นจึงเป็นสิ่งสำคัญที่จะต้องเข้าใจและสามารถทำงานกับฟังก์ชันตรีโกณมิติเดียวได้

ข้าว. 2. การเชื่อมต่อของฟังก์ชันตรีโกณมิติต่างๆ

แต่ทำไมคุณถึงต้องการฟังก์ชั่นดังกล่าวเลย? ใช้สำหรับปัญหาในทางปฏิบัติอะไร? มาดูตัวอย่างกัน

สองคน ( แต่และ ที่) ดันรถออกจากแอ่งน้ำ (รูปที่ 3). มนุษย์ ที่สามารถผลักรถไปด้านข้างได้ในขณะที่ไม่น่าจะช่วย แต่. ในทางกลับกัน ทิศทางของความพยายามของเขาอาจค่อยๆ เปลี่ยนไป (รูปที่ 4)

ข้าว. 3. ที่ดันรถไปด้านข้าง

ข้าว. สี่. ที่เริ่มเปลี่ยนทิศทาง

เห็นได้ชัดว่าความพยายามของพวกเขาจะได้ผลมากที่สุดเมื่อพวกเขาผลักรถไปในทิศทางเดียว (รูปที่ 5)

ข้าว. 5. ทิศทางของความพยายามร่วมกันที่มีประสิทธิภาพมากที่สุด

เท่าไร ที่ช่วยดันเครื่องเท่าที่ทิศทางแรงของมันอยู่ใกล้ทิศทางแรงที่มันกระทำ แต่เป็นฟังก์ชันของมุมและแสดงในรูปของโคไซน์ (รูปที่ 6)

ข้าว. 6. โคไซน์เป็นลักษณะของประสิทธิผลของความพยายาม ที่

ถ้าเราคูณขนาดของแรงที่ ที่บนโคไซน์ของมุม เราได้เส้นโครงของแรงของมันตามทิศทางของแรงที่มันกระทำ แต่. ยิ่งมุมระหว่างทิศทางของแรงเข้าใกล้ มากเท่าไร ผลของการกระทำร่วมกันก็จะยิ่งได้ผลมากขึ้น แต่และ ที่(รูปที่ 7) หากพวกเขาผลักรถด้วยแรงเท่ากันในทิศทางตรงกันข้าม รถก็จะอยู่กับที่ (รูปที่ 8)

ข้าว. 7. ประสิทธิผลของความพยายามร่วมกัน แต่และ ที่

ข้าว. 8. ทิศทางตรงข้ามของกองกำลัง แต่และ ที่

สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่าเหตุใดเราจึงสามารถแทนที่มุม (สนับสนุนผลลัพธ์สุดท้าย) ด้วยโคไซน์ (หรือฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่นๆ ของมุม) อันที่จริงสิ่งนี้ตามมาจากคุณสมบัติของสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน เนื่องจากที่จริงแล้ว เรากำลังพูดสิ่งต่อไปนี้: มุมสามารถแทนที่ด้วยอัตราส่วนของตัวเลขสองตัว (ขา-ด้านตรงข้ามมุมฉากหรือขา-ขา) สิ่งนี้จะเป็นไปไม่ได้ ตัวอย่างเช่น สำหรับมุมเดียวกันของสามเหลี่ยมมุมฉากที่ต่างกัน อัตราส่วนเหล่านี้จะต่างกัน (รูปที่ 9)

ข้าว. 9. อัตราส่วนของด้านเท่ากันในสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน

ตัวอย่างเช่น หากอัตราส่วนและอัตราส่วนต่างกัน เราก็จะไม่สามารถแนะนำฟังก์ชันแทนเจนต์ได้ เนื่องจากสำหรับมุมเดียวกันในสามเหลี่ยมมุมฉากที่ต่างกัน แทนเจนต์จะต่างกัน แต่เนื่องจากอัตราส่วนของความยาวของขาของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่คล้ายกันมีค่าเท่ากัน ค่าของฟังก์ชันจะไม่ขึ้นอยู่กับรูปสามเหลี่ยม ซึ่งหมายความว่ามุมแหลมและค่าของตรีโกณมิติ ฟังก์ชั่นเป็นแบบหนึ่งต่อหนึ่ง

สมมติว่าเรารู้ความสูงของต้นไม้ต้นหนึ่ง (รูปที่ 10) วิธีการวัดความสูงของอาคารใกล้เคียง?

ข้าว. 10. ภาพประกอบของเงื่อนไขของตัวอย่าง 2

เราพบจุดหนึ่งที่เส้นลากผ่านจุดนี้และส่วนบนของบ้านจะลอดผ่านยอดไม้ (รูปที่ 11)

ข้าว. 11. ภาพประกอบของการแก้ปัญหาของตัวอย่าง2

เราสามารถวัดระยะทางจากจุดนี้ไปยังต้นไม้ ระยะห่างจากจุดนั้นถึงบ้าน และเราทราบความสูงของต้นไม้ จากสัดส่วนคุณจะพบความสูงของบ้าน:.

สัดส่วนคืออัตราส่วนของตัวเลขสองตัว ในกรณีนี้ความเท่าเทียมกันของอัตราส่วนความยาวของขาของสามเหลี่ยมมุมฉากที่คล้ายกัน นอกจากนี้ อัตราส่วนเหล่านี้ยังเท่ากับการวัดมุม ซึ่งแสดงในรูปของฟังก์ชันตรีโกณมิติ (ตามคำจำกัดความ นี่คือแทนเจนต์) เราเข้าใจแล้วว่าค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติแต่ละมุมมีค่าไม่ซ้ำกัน นั่นคือ ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ โคแทนเจนต์ เป็นฟังก์ชันจริงๆ เนื่องจากมุมแหลมแต่ละมุมสอดคล้องกับค่าหนึ่งค่าของแต่ละค่า ดังนั้นจึงสามารถสำรวจเพิ่มเติมและสามารถใช้คุณสมบัติของมันได้ ค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติสำหรับทุกมุมได้รับการคำนวณแล้ว สามารถใช้งานได้ (หาได้จากตาราง Bradis หรือใช้เครื่องคำนวณทางวิศวกรรมใดๆ) แต่เพื่อแก้ปัญหาผกผัน (ตัวอย่างเช่นโดยค่าของไซน์เพื่อคืนค่าการวัดมุมที่สอดคล้องกับมัน) เราไม่สามารถทำได้เสมอไป

ให้ไซน์ของบางมุมเท่ากับหรือประมาณ (รูปที่ 12) มุมใดจะสอดคล้องกับค่าของไซน์นี้? แน่นอน เราสามารถใช้ตาราง Bradis อีกครั้งและค้นหาค่าบางอย่างได้ แต่กลับกลายเป็นว่าไม่ใช่ตารางเดียว (รูปที่ 13)

ข้าว. 12. การหามุมด้วยค่าไซน์ของมัน

ข้าว. 13. พหุวาเลนซ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน

ดังนั้น เมื่อคืนค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม จะมีพหุนามของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน อาจดูซับซ้อน แต่ที่จริงแล้ว เราต้องเผชิญกับสถานการณ์ที่คล้ายคลึงกันทุกวัน

ถ้าปิดหน้าต่างแล้วไม่รู้ว่าข้างนอกสว่างหรือมืด หรือพบว่าตัวเองอยู่ในถ้ำ เมื่อตื่นนอน ยากที่จะบอกว่าตอนนี้เป็นเวลากลางวัน กลางคืน หรือ วันรุ่งขึ้น (รูปที่ 14) ที่จริงแล้วถ้าคุณถามเราว่า "กี่โมงแล้ว" เราควรตอบตรงๆ ว่า "ชั่วโมงบวกคูณด้วยที่ไหน"

ข้าว. 14. ภาพประกอบของ polysemy ในตัวอย่างของนาฬิกา

เราสามารถสรุปได้ว่า - นี่คือช่วงเวลา (ช่วงเวลาที่นาฬิกาจะแสดงเวลาเดียวกับตอนนี้) ฟังก์ชันตรีโกณมิติยังมีจุด เช่น ไซน์ โคไซน์ เป็นต้น นั่นคือค่าของพวกเขาจะถูกทำซ้ำหลังจากการเปลี่ยนแปลงในการโต้แย้ง

หากโลกไม่มีการเปลี่ยนแปลงของกลางวันและกลางคืน หรือฤดูกาลที่เปลี่ยนไป เราก็ไม่สามารถใช้เวลาเป็นระยะๆ ได้ ท้ายที่สุด เรานับปีโดยเรียงลำดับจากน้อยไปมากเท่านั้น และมีชั่วโมงในแต่ละวัน และทุกวันใหม่นับเริ่มใหม่ทุกวัน สถานการณ์จะเหมือนกันกับเดือน ถ้าตอนนี้คือเดือนมกราคม ในเดือน มกราคม ก็จะกลับมาอีกครั้ง เป็นต้น จุดอ้างอิงภายนอกช่วยให้เราใช้การนับเวลาเป็นช่วงๆ (ชั่วโมง เดือน) เช่น การหมุนของโลกรอบแกนของโลก และการเปลี่ยนแปลงตำแหน่งของดวงอาทิตย์และดวงจันทร์บนท้องฟ้า ถ้าดวงอาทิตย์ห้อยอยู่ในตำแหน่งเดียวกันเสมอ ดังนั้นในการคำนวณเวลา เราจะนับจำนวนวินาที (นาที) ตั้งแต่เกิดการคำนวณนี้ขึ้นมา วันที่และเวลาสามารถฟังได้ดังนี้: พันล้านวินาที

สรุป: ไม่มีปัญหาในแง่ของความกำกวมของฟังก์ชันผกผัน อันที่จริงอาจมีตัวเลือกเมื่อไซน์เดียวกันมีค่ามุมต่างกัน (รูปที่ 15)

ข้าว. 15. การคืนค่ามุมด้วยค่าของไซน์

โดยปกติ เมื่อแก้ปัญหาในทางปฏิบัติ เรามักจะทำงานในช่วงมาตรฐานตั้งแต่ ถึง . ในช่วงนี้ สำหรับแต่ละค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ มีเพียงสองค่าที่สอดคล้องกันของการวัดมุม

พิจารณาสายพานเคลื่อนที่และลูกตุ้มในรูปแบบของถังที่มีรูที่ทรายตกลงมา ลูกตุ้มแกว่งเทปเคลื่อนที่ (รูปที่ 16) เป็นผลให้ทรายจะทิ้งร่องรอยไว้ในรูปแบบของกราฟของฟังก์ชันไซน์ (หรือโคไซน์) ซึ่งเรียกว่าคลื่นไซน์

อันที่จริง กราฟของไซน์และโคไซน์แตกต่างกันเฉพาะในจุดอ้างอิงเท่านั้น (หากคุณวาดหนึ่งในนั้นแล้วลบแกนพิกัด คุณจะไม่สามารถระบุได้ว่ากราฟใดถูกวาด) ดังนั้นจึงไม่มีเหตุผลที่จะเรียกกราฟโคไซน์ (เหตุใดจึงต้องมีชื่อแยกสำหรับกราฟเดียวกัน)

ข้าว. 16. ภาพประกอบของคำชี้แจงปัญหาในตัวอย่าง 4

จากกราฟของฟังก์ชัน คุณยังสามารถเข้าใจได้ว่าทำไมฟังก์ชันผกผันจะมีค่ามากมาย หากค่าของไซน์คงที่ กล่าวคือ ลากเส้นตรงขนานกับแกน x จากนั้นที่ทางแยกเราจะได้จุดทั้งหมดที่ไซน์ของมุมเท่ากับจุดที่กำหนด เป็นที่ชัดเจนว่าจะมีจุดดังกล่าวมากมายนับไม่ถ้วน ในตัวอย่างที่มีนาฬิกา โดยที่ค่าเวลาแตกต่างกัน เฉพาะค่ามุมเท่านั้นที่จะแตกต่างกันตามจำนวน (รูปที่ 17)

ข้าว. 17. ภาพประกอบของ polysemy สำหรับไซน์

หากเราพิจารณาตัวอย่างนาฬิกา จุด (จุดสิ้นสุดของเข็มชั่วโมง) จะเคลื่อนที่ไปรอบวงกลม ในทำนองเดียวกัน ฟังก์ชันตรีโกณมิติสามารถกำหนดได้ - อย่าพิจารณามุมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก แต่เป็นมุมระหว่างรัศมีของวงกลมกับทิศทางบวกของแกน จำนวนวงกลมที่จุดจะผ่าน (เราตกลงที่จะนับการเคลื่อนไหวตามเข็มนาฬิกาด้วยเครื่องหมายลบ และทวนเข็มนาฬิกาด้วยเครื่องหมายบวก) นี่คือระยะเวลา (รูปที่ 18)

ข้าว. 18. ค่าของไซน์บนวงกลม

ดังนั้น ฟังก์ชันผกผันจะถูกกำหนดอย่างเฉพาะเจาะจงในช่วงเวลาหนึ่ง สำหรับช่วงเวลานี้ เราสามารถคำนวณค่าของมัน และรับค่าที่เหลือทั้งหมดจากค่าที่พบโดยการบวกและลบระยะเวลาของฟังก์ชัน

พิจารณาอีกตัวอย่างหนึ่งของช่วงเวลา รถกำลังเคลื่อนที่ไปตามถนน ลองนึกภาพว่าล้อของเธอขับเข้าไปในสีหรือลงไปในแอ่งน้ำ คุณสามารถเห็นรอยสีหรือแอ่งน้ำบนถนนเป็นครั้งคราว (รูปที่ 19)

ข้าว. 19. ภาพประกอบช่วงเวลา

มีสูตรตรีโกณมิติมากมายในหลักสูตรของโรงเรียน แต่โดยรวมแล้ว จำสูตรเดียวได้ก็พอ (รูปที่ 20)

ข้าว. 20. สูตรตรีโกณมิติ

สูตรมุมคู่นั้นง่ายที่จะได้มาจากไซน์ของผลรวมโดยการแทนที่ (คล้ายกับโคไซน์) คุณยังสามารถหาสูตรผลิตภัณฑ์ได้อีกด้วย

อันที่จริงคุณต้องจำน้อยมากเพราะด้วยการแก้ปัญหาสูตรเหล่านี้จะถูกจดจำด้วยตัวเอง แน่นอนว่าบางคนอาจขี้เกียจตัดสินใจมาก แต่หลังจากนั้นเขาจะไม่ต้องการเทคนิคนี้และด้วยเหตุนี้เองจึงกำหนดสูตรเอง

และเนื่องจากไม่จำเป็นต้องใช้สูตรจึงไม่จำเป็นต้องท่องจำ คุณเพียงแค่ต้องเข้าใจแนวคิดที่ว่าฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นฟังก์ชันที่ใช้คำนวณสะพาน ตัวอย่างเช่น แทบไม่มีกลไกใดที่สามารถทำได้โดยปราศจากการใช้และการคำนวณ

1. คำถามมักเกิดขึ้นว่าสายไฟสามารถขนานกับกราวด์ได้หรือไม่ คำตอบ: ไม่ ทำไม่ได้ เนื่องจากแรงหนึ่งลดระดับลง ในขณะที่อีกแรงกระทำควบคู่กัน - พวกมันจะไม่มีวันสมดุล (รูปที่ 21)

2. หงส์ กั้ง และหอก ดึงเกวียนในระนาบเดียวกัน หงส์บินไปในทิศทางเดียว กั้งดึงไปอีกทางหนึ่ง และหอกไปทางที่สาม (รูปที่ 22) พลังของพวกเขาสามารถสร้างสมดุลได้ คุณสามารถคำนวณความสมดุลนี้ได้โดยใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

3. สะพานพักสาย (รูปที่ 23) ฟังก์ชันตรีโกณมิติช่วยในการคำนวณจำนวนของผ้าห่อศพ วิธีที่ควรจะกำหนดทิศทางและปรับความตึง

ข้าว. 23. สะพานแขวนเคเบิ้ล

ข้าว. 24. “สะพานเชือก”

ข้าว. 25. สะพานใหญ่ Obukhovsky

ลิงค์ไปยังเว็บไซต์ ma-te-ri-a-lyอินเทอร์เน็ตUrok

คณิตศาสตร์ชั้นประถมศึกษาปีที่ 6:

เรขาคณิตเกรด 8: