ตัวอย่างที่ 4ขณะกดหมายเลขโทรศัพท์ผู้สมัครสมาชิกลืมหนึ่งหลักและกดหมายเลขโดยการสุ่ม ค้นหาความน่าจะเป็นที่โทรออกหมายเลขที่ถูกต้อง

สารละลาย.ให้เราแสดงโดย กเหตุการณ์ – โทรออกหมายเลขที่ต้องการแล้ว ผู้ใช้บริการสามารถกดหมายเลขใดก็ได้จาก 10 หลัก ดังนั้นจำนวนที่เป็นไปได้ทั้งหมด ผลลัพธ์เบื้องต้น 10. ผลลัพธ์เหล่านี้มีความเป็นไปได้เท่ากัน (ตัวเลขจะถูกพิมพ์โดยการสุ่ม) และเป็นกลุ่มที่สมบูรณ์ (อย่างน้อยหนึ่งตัวเลขจะถูกพิมพ์อย่างแน่นอน) กล่าวคือ ต้องมีหมายเลขเดียวเท่านั้น ดังนั้นสำหรับการจัดงาน ก ก .

ตัวอย่างที่ 5ขณะกดหมายเลขโทรศัพท์ผู้สมัครสมาชิกลืมตัวเลขสองหลักสุดท้ายและจำได้เพียงว่าต่างกันจึงโทรออกแบบสุ่ม ค้นหาความน่าจะเป็นที่มีการโทรออกหมายเลขที่ต้องการ

สารละลาย.ให้เราแสดงโดย ในเหตุการณ์ – ถูกกดหมายเลขที่ต้องการสองหมายเลข มีเพียงหลายคู่เท่านั้นที่คุณสามารถรวบรวมได้ ตัวเลขที่แตกต่างกันจำนวนตำแหน่งที่สามารถสร้างได้ 10 หลักคูณ 2 นั่นก็คือ - ดังนั้น จำนวนผลลัพธ์เบื้องต้นที่เป็นไปได้เท่ากันคือ จำเป็นต้องมีตัวเลขสองตัวรวมกันเพียงชุดเดียวเท่านั้น ดังนั้นสำหรับการจัดงาน กมีเพียงผลลัพธ์เดียวเท่านั้นที่ดี ความน่าจะเป็นที่ต้องการเท่ากับอัตราส่วนของจำนวนผลลัพธ์ เหตุการณ์ที่ดี กจำนวนผลลัพธ์เบื้องต้นทั้งหมด: .

ตัวอย่างที่ 6ในชุดมี 10 ส่วน มี 7 ส่วนมาตรฐาน ค้นหาความน่าจะเป็นที่จากหกส่วนที่สุ่มมา มี 4 ส่วนที่เป็นมาตรฐานพอดี

สารละลาย.ให้จัดงาน ก– จาก 6 ส่วนที่ถ่าย มี 4 ส่วนที่เป็นมาตรฐาน จำนวนทั้งหมดผลการทดสอบเบื้องต้นที่เป็นไปได้จะเท่ากับจำนวนวิธีที่สามารถแยก 6 ส่วนออกจาก 10 นั่นคือจำนวนชุดค่าผสมของ 10 องค์ประกอบของ 6 () มานับจำนวนผลลัพธ์ที่เอื้ออำนวยต่องานกัน ก: ชิ้นส่วนมาตรฐาน 4 ชิ้นสามารถนำมาจากชิ้นส่วนมาตรฐาน 7 ชิ้นในรูปแบบที่แตกต่างกัน ในกรณีนี้ 6-4=2 ส่วนที่เหลือจะต้องไม่ได้มาตรฐาน สามารถนำมาจาก 10-7=3 ชิ้นส่วนที่ไม่ได้มาตรฐานในรูปแบบต่างๆ ดังนั้นจำนวนผลลัพธ์ที่ดีคือ ความน่าจะเป็นที่ต้องการจะเท่ากับอัตราส่วนของจำนวนผลลัพธ์ที่เป็นประโยชน์ต่อเหตุการณ์นั้น กเท่ากับจำนวนผลลัพธ์เบื้องต้นทั้งหมด

ในโกศมีลูกบอลขนาดต่างกันห้าลูก ความน่าจะเป็นที่จะจั่วลูกบอลทั้งหมดตามลำดับจากน้อยไปหามากเป็นเท่าใด หากรู้ว่าไม่มีลูกบอลที่เหมือนกัน?

สารละลาย. จำนวนผลลัพธ์เบื้องต้นที่เป็นไปได้ทั้งหมดของการทดลองเท่ากับจำนวนการเรียงสับเปลี่ยนขององค์ประกอบทั้งห้า และจำนวนผลลัพธ์ที่เป็นประโยชน์ต่อเหตุการณ์นั้นเท่ากับหนึ่ง

ความน่าจะเป็นที่ต้องการ:

.

ปัญหาที่ 17.

ขณะกดหมายเลขโทรศัพท์ผู้สมัครสมาชิกลืมตัวเลขสองหลักสุดท้ายและจำได้ว่าตัวเลขต่างกันจึงโทรออกเพื่อโชคลาภ ความน่าจะเป็นที่เขากดหมายเลขถูกคือเท่าไร?

สารละลาย. จำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของการทดสอบเท่ากับจำนวนตำแหน่งตั้งแต่ 10 ถึง 2 เช่น - จำนวนผลลัพธ์ที่เอื้อต่อกิจกรรมนี้มีค่าเท่ากับหนึ่ง

ความน่าจะเป็นที่ต้องการ:

.

ปัญหาที่ 18.

มีสมุดบันทึก 15 เล่มในลิ้นชักโต๊ะ โดย 8 เล่มเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส เราสุ่มหยิบสมุดบันทึกสามเล่ม ค้นหาความน่าจะเป็นที่โน้ตบุ๊กทั้งสามเครื่องที่ถ่ายมาจะมีคุณภาพสูงสุด

สารละลาย. เนื่องจากลำดับไม่มีบทบาทที่นี่ จำนวนรวมของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดจะเท่ากับจำนวนชุดค่าผสม 15 คูณ 3 กล่าวคือ และจำนวนเหตุการณ์ที่น่าพอใจก็จะเท่ากับจำนวนชุดค่าผสม 8 คูณด้วย 3.

ความน่าจะเป็นที่ต้องการ:

.

ปัญหาที่ 19.

มีนักเรียนในกลุ่มจำนวน 15 คน โดย 8 คนเป็นนักเรียนดีเด่น สุ่มเรียกนักเรียนจำนวน 6 คน (ตามรายชื่อ) จงหาความน่าจะเป็นที่นักเรียน 4 คนที่ถูกเรียกจะเป็นนักเรียนดีเด่น

สารละลาย. จำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ของการทดสอบที่นี่เท่ากับจำนวนชุดค่าผสม 15 คูณ 6

เราถือว่าการผสมผสานจะเหมาะสมหากมีนักเรียนที่ดีเยี่ยม 4 คน แต่อีก 2 คนไม่ได้ นักเรียนดีเด่น 4 คนสามารถเลือกได้จากนักเรียนดีเด่น 8 คนด้วยวิธีที่แตกต่างกัน ในขณะที่นักเรียนที่เหลือ 6-4 = 2 คน (ไม่ใช่นักเรียนดีเด่น) จะถูกเลือกจากนักเรียน 15-8 = 7 คนด้วยวิธีที่แตกต่างกัน

หากนักเรียนที่มีผลงานดีเด่นสี่คน เราจะเพิ่มคู่หนึ่งคู่

นักเรียนที่ไม่เก่งเราจะรับกลุ่ม “คนดี” จำนวน 6 คน จำนวนของพวกเขาเท่ากับ m =

ความน่าจะเป็นที่ต้องการ:

ปัญหาที่ 20.

ความยากลำบากประการแรกที่ปาสคาลเอาชนะในการติดต่อกับอัศวินแห่งมาเรส์ก็คือการนับคดีที่แม่นยำ เป็นเรื่องเกี่ยวกับเกมที่มีการโยนลูกเต๋าสามลูก และผู้เล่นคนหนึ่งเดิมพันว่าผลรวมของฝ่ายที่โยนจะมากกว่า 10 และอีกคนหนึ่งจะเท่ากับหรือน้อยกว่า 10 มันง่ายที่จะ เห็นว่าโอกาสของผู้เล่นทั้งสองเท่ากัน แต่ความยากคือสิ่งนี้ การบัญชีคนไข้เป็นอย่างมาก จำนวนมากเกมแสดงให้เห็น Chevalier de Marais ว่าผู้ที่เดิมพันมากกว่า 10 มักจะชนะด้วย 11 มากกว่าด้วย 12 แต้ม อย่างไรก็ตาม เมียร์แย้งว่า 11 แต้มสามารถรับได้ 6 วิธี (6-4-1; 6-3-2; 5-5-1; 5-4-2; 5-3-3; 4-4-3 ) และสามารถรับ 12 แต้มได้ด้วยหกวิธี (6-5-1; 6-4-2; 6-3-3; 5-5-2; 5-4-3; 4-4-4) คำตอบของ Pascal นั้นง่ายมาก: การผสม 6-4-1 ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ แต่เป็นหกเท่า เนื่องจากหากลูกเต๋ามีหมายเลข หรือหากลูกเต๋าทั้งสามลูกมีสีต่างกันเพื่อให้สามารถแยกแยะได้ ก็จะได้ค่า 6 ในแต่ละลูกเต๋าสามลูก และค่า 4 อยู่ที่แต่ละลูกเต๋าที่เหลืออีกสองลูก ซึ่งได้รวมกันแล้วหกลูก ในทางตรงกันข้าม การผสมเช่น 5-5-1 สามารถทำได้ด้วยสามวิธีที่แตกต่างกันเท่านั้น และการรวมกันเช่น 4-4-4 สามารถทำได้ด้วยวิธีเดียวเท่านั้น

ดังนั้นหากท่านต้องการทราบ จำนวนจริง ในรูปแบบต่างๆรับ 11 หรือได้ 12 คะแนนจากนั้นในแต่ละกรณีคุณจะต้องบวกผลรวมของตัวเลขหกตัวที่ตรงกับชุดค่าผสม

ส่วนกรณี 12 แต้มเรามี

จากนี้เราสรุปได้ว่าโดยเฉลี่ยแล้วเราได้ 11 คะแนน 27 ครั้ง ในขณะที่เราได้ 12 คะแนน 25 ครั้ง และผลลัพธ์นี้สอดคล้องกับข้อสังเกตของ Chevalier de Mere อย่างสมบูรณ์แบบ

ตัวอย่างการคำนวณความน่าจะเป็นโดยตรง

ตัวอย่างที่ 1.34- ขณะกดหมายเลขโทรศัพท์ผู้สมัครสมาชิกลืมหนึ่งหลักและกดหมายเลขโดยการสุ่ม ค้นหาความน่าจะเป็นที่โทรออกหมายเลขที่ถูกต้อง

สารละลาย- ให้เราแสดงโดย กเหตุการณ์ - โทรออกหมายเลขที่ต้องการ สมาชิกสามารถกดหมายเลขใดก็ได้ใน 10 หลัก ดังนั้นจำนวนผลลัพธ์เบื้องต้นที่เป็นไปได้ทั้งหมดจึงเท่ากับ ผลลัพธ์เหล่านี้เข้ากันไม่ได้ เป็นไปได้เท่ากัน และรวมเป็นกลุ่มที่สมบูรณ์ โปรดปรานการจัดงาน กมีเพียงผลลัพธ์เดียว (มีเพียงหมายเลขที่ต้องการเท่านั้น) ความน่าจะเป็นที่ต้องการคืออัตราส่วนของจำนวนผลลัพธ์ที่เป็นประโยชน์ต่อเหตุการณ์ต่อจำนวนผลลัพธ์เบื้องต้นทั้งหมด:

พี(เอ)= 1/10.

ตัวอย่าง 1.35.ขณะกดหมายเลขโทรศัพท์ผู้สมัครสมาชิกลืมตัวเลขสองตัวสุดท้ายและจำได้เพียงว่าตัวเลขเหล่านี้ต่างกันจึงโทรออกแบบสุ่ม ค้นหาความน่าจะเป็นที่ตัวเลขที่ต้องการถูกโทรออก

สารละลาย- ให้เราแสดงโดย ในเหตุการณ์ - มีการโทรออกสองหมายเลขที่ต้องการแล้ว โดยรวมแล้ว คุณสามารถหมุนหมายเลขต่างๆ ได้มากเท่าๆ กัน โดยสามารถวางเลขสิบทีละสองได้ เช่น ดังนั้น จำนวนผลลัพธ์เบื้องต้นที่เป็นไปได้ทั้งหมดคือ 90 ผลลัพธ์เหล่านี้เข้ากันไม่ได้ เป็นไปได้เท่ากัน และรวมเป็นกลุ่มที่สมบูรณ์ โปรดปรานการจัดงาน ในผลลัพธ์เดียวเท่านั้น ความน่าจะเป็นที่ต้องการคืออัตราส่วนของจำนวนผลลัพธ์ที่เป็นประโยชน์ต่อเหตุการณ์ต่อจำนวนผลลัพธ์เบื้องต้นทั้งหมด: พี (วี)= 1/90.

ตัวอย่างที่ 1.36มีการโยนลูกเต๋าสองลูก จงหาความน่าจะเป็นที่ผลรวมของคะแนนที่ได้จะเป็น 4 (เหตุการณ์ ก)

สารละลาย- จำนวนรวมของผลการทดสอบที่เป็นไปได้เท่ากันคือ 6∙6 = 36 (แต่ละจำนวนคะแนนที่ทอยบนลูกเต๋าหนึ่งตัวสามารถนำมารวมกับจำนวนคะแนนทั้งหมดบนลูกเต๋าอีกอันหนึ่งได้) ท่ามกลางผลลัพธ์เหล่านี้ เหตุการณ์ดังกล่าวเป็นไปด้วยดี กมีเพียง 3 ผลลัพธ์เท่านั้น: (I; 3), (3; I), (2; 2) (จำนวนคะแนนที่ระบุอยู่ในวงเล็บ) ดังนั้นความน่าจะเป็นที่ต้องการ

พี(เอ)= 3/36 =1/12.

ตัวอย่างที่ 1.37ในชุดมี 10 ส่วน 7 ชิ้นเป็นมาตรฐาน ค้นหาความน่าจะเป็นที่จากหกส่วนที่สุ่มมา มี 4 ส่วนที่เป็นค่ามาตรฐาน

สารละลาย- จำนวนผลการทดสอบเบื้องต้นที่เป็นไปได้ทั้งหมดจะเท่ากับจำนวนวิธีที่สามารถแยก 6 ส่วนจาก 10 ส่วนได้ กล่าวคือ จำนวนชุดค่าผสมขององค์ประกอบ 10 รายการ โดยมีองค์ประกอบ 6 รายการในแต่ละรายการ ()

ให้เรากำหนดจำนวนผลลัพธ์ที่เป็นประโยชน์ต่อเหตุการณ์ที่เราสนใจ ก(ในบรรดาชิ้นส่วนที่นำมาหกชิ้นนั้นมีชิ้นส่วนมาตรฐาน 4 ชิ้น) ชิ้นส่วนมาตรฐานสี่ชิ้นสามารถนำมาจากชิ้นส่วนมาตรฐานเจ็ดชิ้นได้ด้วยวิธีที่แตกต่างกัน ในกรณีนี้ส่วนที่เหลือ 6 - 4 = 2 ส่วนจะต้องไม่ได้มาตรฐาน มีวิธีถอดชิ้นส่วนที่ไม่ได้มาตรฐาน 2 ชิ้นจาก 10 - 7 = 3 ชิ้นที่ไม่ได้มาตรฐาน ดังนั้นจำนวนผลดีจึงเท่ากับ

คุณต้องการเรียนรู้วิธีการแก้ปัญหา งานทั่วไปในหัวข้อนี้? ใช้บทความ-คำแนะนำ-เครื่องคิดเลข:

• ปัญหาเกี่ยวกับลูกบอล (มีลูกบอล $k$ สีขาวและ $n$ สีดำอยู่ในโกศ ลูกบอล $m$ ถูกนำออกไป...)
• ปัญหาเกี่ยวกับชิ้นส่วน (กล่องประกอบด้วยชิ้นส่วนมาตรฐาน $k$ และชิ้นส่วนที่ชำรุด $n$ ชิ้นส่วน $m$ ถูกนำออก...)
• ปัญหาเกี่ยวกับตั๋วลอตเตอรี (มีตั๋ว $k$ ที่ถูกรางวัลและ $n$ ที่ไม่ชนะในลอตเตอรี มีการซื้อตั๋ว $m$...)


• การคำนวณความน่าจะเป็น: การทอยลูกเต๋า

หน้ามีประโยชน์? บันทึกหรือบอกเพื่อนของคุณ

แก้ไขปัญหาแล้ว

ภารกิจที่ 1สมาชิกลืมหมายเลขโทรศัพท์หลักสุดท้ายจึงสุ่มโทรออก กำหนดความน่าจะเป็นที่เขาจะต้องเรียกไม่เกิน 3 แห่ง

ภารกิจที่ 2สมาชิกลืมเลขท้าย 2 ตัว หมายเลขโทรศัพท์แต่จำได้ว่ามันแตกต่างและมีรูปร่าง ตัวเลขสองหลักน้อยกว่า 30 เมื่อคำนึงถึงสิ่งนี้ เขาสุ่มเลข 2 หลัก ค้นหาความน่าจะเป็นที่จะเป็นตัวเลขที่ต้องการ

ภารกิจที่ 3หกลูกจะถูกสุ่มวางลงในกล่องสามกล่อง ค้นหาความน่าจะเป็นที่มีทุกกล่อง หมายเลขที่แตกต่างกันลูกบอล โดยมีเงื่อนไขว่ากล่องทั้งหมดจะต้องไม่ว่างเปล่า

ภารกิจที่ 4เรือกลสองลำถูกวางแบบสุ่มบนกระดานหมากรุก ความน่าจะเป็นที่พวกเขาจะไม่เอาชนะกันคืออะไร?

ภารกิจที่ 5ต้นฉบับหกฉบับจะถูกสุ่มวางลงในห้าโฟลเดอร์ ความน่าจะเป็นที่โฟลเดอร์เดียวจะยังว่างเปล่าคือเท่าใด

ภารกิจที่ 6ตัวเลข 1, 2, 3, ..., 9 เขียนไว้บน บัตรแต่ละใบใส่ลงในกล่องและผสมให้เข้ากัน สุ่มหยิบไพ่หนึ่งใบ ค้นหาความน่าจะเป็นที่ตัวเลขที่เขียนบนการ์ดใบนี้คือ: ก) คู่; b) สองหลัก

ภารกิจที่ 7มีหนังสือ 40 เล่มจัดเรียงแบบสุ่มบนชั้นวาง หนึ่งในนั้นคือพุชกินฉบับสามเล่ม ค้นหาความน่าจะเป็นที่ปริมาตรเหล่านี้เรียงลำดับจากซ้ายไปขวา แต่ไม่จำเป็นต้องอยู่ติดกัน

ภารกิจที่ 8ไพ่ที่เหมือนกันทั้งห้าใบจะมีตัวอักษรตัวใดตัวหนึ่งต่อไปนี้พิมพ์อยู่: "a", "m", "p", "t", "u" ไพ่ผสมกันอย่างทั่วถึง ค้นหาความน่าจะเป็นที่คำว่า "กระโจม" สามารถอ่านได้จากไพ่สี่ใบที่หยิบออกมา

ภารกิจที่ 9เด็กมีลูกบาศก์ 5 อันพร้อมตัวอักษรอยู่ในมือ: A, K, K, L, U ความน่าจะเป็นที่เด็กจะรวบรวมคำว่า "ตุ๊กตา" จากลูกบาศก์เป็นเท่าใด

ปัญหาที่ 10.แพ็คประกอบด้วยไพ่เจาะ 20 ใบ มีหมายเลข 101, 102, ..., 120 และจัดเรียงแบบสุ่ม ผู้เจาะจะสุ่มจั่วไพ่สองใบ ค้นหาความน่าจะเป็นที่ไพ่ที่มีหมายเลข 101 และ 120 ถูกลบออก

ปัญหาที่ 11.ผลงานที่รวบรวมไว้ห้าเล่มจะวางอยู่บนชั้นวางแบบสุ่ม ความน่าจะเป็นที่หนังสือจะเรียงจากซ้ายไปขวาตามลำดับปริมาณ (1 ถึง 5) เป็นเท่าใด

ภารกิจที่ 1

ขณะกดหมายเลขโทรศัพท์ผู้สมัครสมาชิกลืมตัวเลขสองหลักสุดท้ายและจำได้เพียงว่าตัวเลขเหล่านี้ต่างกันจึงสุ่มโทรออก ค้นหาความน่าจะเป็นที่มีการโทรออกหมายเลขที่ต้องการ

ภารกิจที่ 2

เมื่อพิจารณาฟังก์ชันอนุพันธ์ของความต่อเนื่อง ตัวแปรสุ่มเอ็กซ์:

ค้นหาฟังก์ชันอินทิกรัล F(x)

ภารกิจที่ 3

ในโกศมีลูกบอลสีขาว 3 ลูกและสีดำ 3 ลูก จะนำลูกบอลออกจากโกศครั้งละหนึ่งลูกโดยไม่ต้องเปลี่ยนใหม่ ค้นหาความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้น ลูกบอลสีขาวในการทดลองครั้งที่สอง (เหตุการณ์ B) ถ้าจับลูกบอลสีดำในการทดลองครั้งแรก (เหตุการณ์ A)

ภารกิจที่ 4

มี 3 กล่อง บรรจุ 10 ชิ้น กล่องแรกประกอบด้วย 8 ส่วน 7 ส่วนที่สองและส่วนที่สาม 9 ส่วน ส่วนหนึ่งจะถูกสุ่มหยิบออกมาจากแต่ละกล่อง ค้นหาความน่าจะเป็นที่ชิ้นส่วนที่ถอดออกทั้งสามชิ้นนี้จะกลายเป็นมาตรฐาน

ภารกิจที่ 5
ความน่าจะเป็นที่จะโดนเป้าหมายเมื่อทำการยิงจากปืนสามกระบอกมีดังนี้: = 0,8; = 0,7; = 0.9. ค้นหาความน่าจะเป็นของการโจมตีอย่างน้อยหนึ่งครั้ง (เหตุการณ์ A) ด้วยการระดมยิงหนึ่งครั้งจากปืนทั้งหมด

ภารกิจที่ 6

มีชิ้นส่วนสองชุด ความน่าจะเป็นที่ส่วนของชุดแรกเป็นมาตรฐานคือ 0.8 และชุดที่สองคือ 0.9 ค้นหาความน่าจะเป็นที่ชิ้นส่วนที่สุ่ม (จากเซตที่สุ่ม) เป็นค่ามาตรฐาน

ภารกิจที่ 7

เพื่อเข้าร่วมการคัดเลือกนักเรียน การแข่งขันกีฬานักเรียน 4 คนได้รับการจัดสรรจากกลุ่มแรกของหลักสูตร 6 คนจากกลุ่มที่สอง และ 5 คนจากกลุ่มที่สาม ความน่าจะเป็นที่นักศึกษากลุ่มที่ 1, 2 และ 3 จะรวมอยู่ในทีมของสถาบันจะเท่ากับ 0.9 ตามลำดับ 0.7 และ 0.8 นักเรียนที่ได้รับการสุ่มเลือกได้เข้าทีมชาติอันเป็นผลมาจากการแข่งขัน นักเรียนคนนี้น่าจะอยู่ในกลุ่มใดมากที่สุด

ภารกิจที่ 8

ความน่าจะเป็นที่การใช้ไฟฟ้าในหนึ่งวันจะไม่เกินค่ามาตรฐานที่กำหนดคือ 0.75 จงหาความน่าจะเป็นที่ในอีก 6 วันข้างหน้า ปริมาณการใช้ไฟฟ้า 4 วันจะไม่เกินค่าปกติ

ภารกิจที่ 9

ค้นหาความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ A จะเกิดขึ้น 80 ครั้งพอดีในการทดลอง 400 ครั้ง ถ้าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นี้เกิดขึ้นในการทดลองแต่ละครั้งคือ 0.2

ภารกิจที่ 10

ความน่าจะเป็นที่ผู้ยิงจะโดนเป้าหมายด้วยนัดเดียวคือ 0.75 ค้นหาความน่าจะเป็นที่เป้าหมายจะถูกโจมตีด้วยการยิง 100 นัด: ก) ไม่น้อยกว่า 70 ครั้งและไม่เกิน 80 ครั้ง; b) ไม่เกิน 70 ครั้ง

ภารกิจที่ 11

ผู้ขายสินค้าตรวจสอบตัวอย่างสินค้า 24 ตัวอย่าง ความน่าจะเป็นที่แต่ละตัวอย่างจะถือว่าเหมาะสมสำหรับการขายคือ 0.6 ค้นหาจำนวนตัวอย่างที่เป็นไปได้มากที่สุดที่ผู้ขายสินค้ารับรู้ว่าเหมาะสมสำหรับการขาย

ภารกิจที่ 12

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในแต่ละ 400 การทดสอบอิสระเท่ากับ 0.8 หาอันหนึ่ง จำนวนบวก E ดังนั้น ด้วยความน่าจะเป็น 0.9876 ค่าสัมบูรณ์ค่าเบี่ยงเบนของความถี่สัมพัทธ์ของการเกิดเหตุการณ์จากความน่าจะเป็น 0.8 ไม่เกิน E

ภารกิจที่ 13

โยนเหรียญ 5 ครั้ง ค้นหาความน่าจะเป็นที่ "ตราแผ่นดิน" จะปรากฏขึ้น:

ก) น้อยกว่าสองครั้ง;

b) อย่างน้อยสองครั้ง

ภารกิจที่ 14

โกศแรกมี 10 ลูก โดย 8 ลูกเป็นสีขาว โกศที่สองมีลูกบอล 20 ลูก โดย 4 ลูกเป็นสีขาว สุ่มหยิบลูกบอลหนึ่งลูกจากแต่ละโกศ จากนั้นสุ่มหยิบลูกบอลหนึ่งลูกจากลูกบอลทั้งสองนี้ จงหาความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอลสีขาวออกมา

ภารกิจที่ 15

ต้องทำการทดลองอิสระกี่ครั้งโดยมีความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์ในการทดลองแต่ละครั้งเท่ากับ 0.4 เพื่อให้จำนวนการเกิดเหตุการณ์ที่เป็นไปได้มากที่สุดในการทดลองเหล่านี้เท่ากับ 25

ภารกิจที่ 16

ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง X ถูกระบุโดยกฎการกระจาย

ค้นหา: ความแปรปรวน D(X), ค่าเฉลี่ย ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน(X) และสร้างรูปหลายเหลี่ยมการแจกแจง

ภารกิจที่ 17

หนังสือเรียนนี้ตีพิมพ์ด้วยยอดจำหน่าย 100,000 เล่ม ความน่าจะเป็นที่หนังสือเรียนผูกไม่ถูกต้องคือ 0.0001 จงหาความน่าจะเป็นที่การจำหน่ายมีหนังสือชำรุด 5 เล่มพอดี

ภารกิจที่ 18

รายการค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง X จะได้รับ: และยังเป็นที่รู้จักอีกด้วย ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ปริมาณนี้และกำลังสอง:

M(X)=2.3 และ M(X )=5,9.

ค้นหาความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกับค่าที่เป็นไปได้ของ X

ภารกิจที่ 19

ตัวแปรสุ่ม X ถูกระบุโดยฟังก์ชันอินทิกรัล

ค้นหาความน่าจะเป็นที่จากผลการทดสอบ ค่า X จะได้รับค่าที่มีอยู่ในช่วงเวลา (-1;1)

ภารกิจที่ 20
ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องถูกระบุโดยกฎการกระจาย

ค้นหาฟังก์ชันอินทิกรัลแล้วเขียนกราฟ

ภารกิจที่ 21

ให้ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง X ฟังก์ชันดิฟเฟอเรนเชียล
ในช่วงเวลา (0; π/3); นอกช่วงเวลานี้ f(x)=0 ค้นหาความน่าจะเป็นที่ X จะได้รับค่าที่เป็นของช่วงเวลา (
)

ภารกิจที่ 22

ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง X ถูกระบุโดยกฎการกระจาย:

เอ็กซ์	1	2	4
ร	0,1	0,3	0,6

หา จุดศูนย์กลางลำดับที่หนึ่ง สอง สาม และสี่

ภารกิจที่ 23

เขียน กฎหมายทวินามการแจกแจงตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง X - จำนวนครั้งของแต้มจำนวนคู่บนลูกเต๋าสองลูก

ภารกิจที่ 24

ค้นหาความแปรปรวนและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง X ที่ระบุโดยกฎการกระจาย:

เอ็กซ์	-5	2	3	4
ร	0,4	0,3	0,1	0,2

ภารกิจที่ 25

ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ a จะเกิดขึ้นในการทดลองแต่ละครั้งคือ 1/2 ใช้ความไม่เท่าเทียมกันของเชบีเชฟ เพื่อประมาณความน่าจะเป็นที่จำนวน X ของเหตุการณ์ A จะอยู่ในช่วงตั้งแต่ 40 ถึง 60 หากทำการทดลองอิสระ 100 ครั้ง

ภารกิจที่ 26

ซี	1	8	10	12
พรรณี	5	3	8	4

หาฟังก์ชันการแจกแจงเชิงประจักษ์แล้วพลอตมัน

ภารกิจที่ 27

สร้างฮิสโตแกรมของความถี่สัมพัทธ์สำหรับการแจกแจงตัวอย่างที่กำหนด

เลขที่	จำนวนพนักงาน มนุษย์	จำนวนบริษัท
	7-12	4
	12-17	6
	17-22	4
	22-27	3
	เกิน 27	3

ภารกิจที่ 28

ตัวอย่างถูกระบุเป็นการแจกแจงความถี่

ซี	1	3	6	26
พรรณี	8	40	10	2

คำนวณการประมาณจุด

ภารกิจที่ 29

สำหรับการสร้าง ซีรีย์ช่วงเวลาคำนวณ ช่วงความมั่นใจที่ γ=0.99 และ t=2.861

เลขที่	จำนวนพนักงาน มนุษย์	จำนวนบริษัท
	218-347	2
	347-476	5
	476-605	6
	605-734	4
	734-863	1
	863-992	2

ภารกิจที่ 30

ตัวอย่างถูกระบุเป็นการแจกแจงความถี่

ซี	2	4	8	15
พรรณี	15	23	18	24

สร้างรูปหลายเหลี่ยมของความถี่สัมพัทธ์