การหารากของสมการที่ไม่ใช่เชิงเส้นโดยใช้วิธีการแทนเจนต์ใน Excel การแก้ระบบสมการไม่เชิงเส้นด้วยวิธีวนซ้ำ

น ตัวอย่าง 2.3ค้นหารากของสมการ

x-ทีจี (x)= 0. (2.18)

ขั้นตอนแรกของการแก้ปัญหา (ขั้นตอน การแยกราก) ถูกนำไปใช้ในหัวข้อ 2.1 (ตัวอย่าง 2.2) รากที่ต้องการของสมการอยู่ในส่วน x O ซึ่งสามารถดูได้บนกราฟ (รูปที่ 2.9)

รูปที่ 2.9 ขั้นตอนการแยกราก

ขั้นตอนการปรับแต่งรากดำเนินการ โดยใช้เอ็กเซล. ลองสาธิตสิ่งนี้ด้วยตัวอย่าง กระบวนการ หารครึ่ง . รูปแบบการคำนวณสำหรับ วิธีการสัมผัสและ คอร์ดแตกต่างจากไดอะแกรมด้านล่างเล็กน้อย

ลำดับ:

1. เตรียมตารางตามรูปที่ 2.10 แล้วใส่ค่าต่างๆ ก, ข, ε ลงในเซลล์ В3, В4, В5 ตามลำดับ

2. กรอกบรรทัดแรกของตาราง:

D4=0 หมายเลขการวนซ้ำ;

E4=B3, F4=B4 เพื่อคำนวณ ฉ(ก): G4=E4-TAN(E4),

ในเซลล์ H4, I4, J4 เราจะแนะนำสูตรการคำนวณตามลำดับ ฉ(ข), x n=(เอ+บี)/2 และ ฉ(x n);

ในเซลล์ K4 ให้คำนวณความยาวของส่วน [ ก, ข]: K4=ABS(E4-F4)

3. D5=D4+1 เพื่อสร้างหมายเลขการวนซ้ำ

4. ในเซลล์ E5, F5 เราแนะนำสูตรสำหรับสร้างส่วนท้ายของส่วนที่ซ้อนกันตามอัลกอริทึมที่อธิบายไว้ในส่วน 2.2.1:

E5=IF(J4*H4<0;I4;E4);

F5=IF(J4*H4>0;I4;F4)

5. เลือกเซลล์ G4:K4 และคัดลอกลงไปที่ หนึ่งบรรทัด.

6. เลือกเซลล์ D5:K5 และคัดลอกลงไปที่ท้ายตาราง

รูปที่ 2.10 รูปแบบการแก้ปัญหา สมการไม่เชิงเส้นวิธีการแบ่งส่วน

เราแบ่งส่วนต่อไปเรื่อยๆ จนกว่าความยาวของส่วนหลังจะน้อยกว่าค่า ε ที่กำหนด นั่นคือ จนกว่าจะเข้าเงื่อนไข

เพื่อให้เห็นภาพการสิ้นสุดของกระบวนการวนซ้ำ เราใช้ การจัดรูปแบบตามเงื่อนไข

การจัดรูปแบบตามเงื่อนไข -นี่คือการจัดรูปแบบของเซลล์ที่เลือกตามเกณฑ์บางอย่าง อันเป็นผลให้เซลล์มีสี เนื้อหาที่ตรงตามเงื่อนไขที่ระบุ (ในกรณีของเรา )

โดยทำตามขั้นตอนต่อไปนี้:

เลือกเซลล์ของคอลัมน์สุดท้าย (K) ของรูปแบบการคำนวณ (รูปที่ 2.10) ซึ่งจะมีการตั้งค่าเกณฑ์สำหรับการสิ้นสุดของกระบวนการวนซ้ำ

ดำเนินการคำสั่ง

หน้าแรก \ สไตล์ \ การจัดรูปแบบตามเงื่อนไข;

รูปที่ 2.11 หน้าต่างที่ การจัดรูปแบบคำ

ในหน้าต่างที่ปรากฏขึ้น (รูปที่ 2.11) เลือกบรรทัด:

กฎการเลือกเซลล์ \ น้อยกว่า;

ที่ด้านซ้ายของกล่องโต้ตอบที่ปรากฏขึ้น น้อย (รูปที่ 2.12) ตั้งค่าที่จะใช้เป็นเกณฑ์ (ในตัวอย่างของเรานี่คือที่อยู่ของเซลล์ B5 ซึ่งเป็นที่ตั้งของค่า ε ).

รูปที่ 2.12 หน้าต่างโต้ตอบ น้อย

ทางด้านขวาของหน้าต่าง น้อย เลือกสีที่จะใช้เพื่อระบายสีเซลล์ที่ตรงตามเงื่อนไขที่กำหนด และกดปุ่ม ตกลง.

จากการจัดรูปแบบนี้ เซลล์ของคอลัมน์ K , ซึ่งมีค่า น้อยกว่า 0.1ย้อมสี รูปที่ 2.10

ดังนั้น สำหรับค่าโดยประมาณของรากของสมการ x-ทีจี (x)= 0 ที่มีความแม่นยำ e=0.1 ยอมรับการวนซ้ำครั้งที่ 3 เช่น x*" 4.46875. สำหรับ e=0.01 - x * » 4.49609(ซ้ำครั้งที่ 6)

การแก้สมการไม่เชิงเส้นโดยใช้ส่วนเสริมการเลือกพารามิเตอร์

การแก้สมการไม่เชิงเส้นสามารถนำไปใช้ในแอปพลิเคชัน MS เก่งโดยใช้ ส่วนเสริม การเลือกพารามิเตอร์ ที่ซึ่งกระบวนการวนซ้ำบางอย่างถูกนำมาใช้

ให้เราหารากของสมการข้างต้น (2.18)

สำหรับการประมาณค่าศูนย์ของคำตอบของสมการดังที่เห็นได้จากรูปที่ 2.13 เราสามารถใช้ เอ็กซ์ 0 = 4 หรือ เอ็กซ์ 0 =4,5.

ลำดับ

1. เตรียมตาราง ดังรูปที่ 2.13 ไปที่เซลล์ A2 ป้อนค่าบางอย่าง x 0 (ตัวอย่างเช่น เอ็กซ์ 0 =4) จากฟังก์ชัน ODZ y=ฉ(x). นี่จะเป็นการประมาณเริ่มต้นสำหรับกระบวนการวนซ้ำที่ดำเนินการโดยแอปพลิเคชัน การเลือกพารามิเตอร์

2. เซลล์ ใน 2 เป็น เซลล์ที่ไม่แน่นอน ขณะที่ส่วนเสริมกำลังทำงาน ลองใส่ค่านี้ลงไป x 0 และในเซลล์ C3 คำนวณค่าของฟังก์ชัน ฉ(xn) สำหรับประมาณนี้

3. เลือกคำสั่ง:

ข้อมูล \ การทำงานกับข้อมูล \ การวิเคราะห์ "What-if" \ การเลือกพารามิเตอร์

4. ในหน้าต่าง "การเลือกพารามิเตอร์" ให้ทำการตั้งค่าดังรูปที่ 2.13 แล้วกดปุ่ม OK

รูปที่ 2.13 การแก้สมการไม่เชิงเส้นโดยใช้ Add-In การค้นหาพารามิเตอร์

หากทำทุกอย่างถูกต้องแล้วในเซลล์ B2 (รูปที่ 2.13) จะได้รับค่าโดยประมาณของรากของสมการของเรา

ดำเนินการทั้งหมดเหล่านี้อีกครั้งด้วยค่าประมาณเริ่มต้นที่ต่างกัน เป็นต้น x 0 \u003d 4.5

คำถามทดสอบ

1. สมการใดที่เรียกว่าไม่เป็นเชิงเส้น คำตอบของสมการไม่เชิงเส้นคืออะไร

2. การตีความทางเรขาคณิตของคำตอบของสมการไม่เชิงเส้น

3. วิธีการแก้สมการไม่เชิงเส้น (ตรงและวนซ้ำ) ต่างกันอย่างไร

4. สองขั้นตอน วิธีแก้ปัญหาเชิงตัวเลขสมการไม่เชิงเส้น งานในระยะที่หนึ่งและสองคืออะไร

5. ขั้นตอนแรกของการแก้สมการไม่เชิงเส้น วิธีการเลือกค่าประมาณศูนย์ (การวนซ้ำเป็นศูนย์)

6. การสร้างลำดับวนซ้ำ แนวคิดของการบรรจบกันของลำดับวนซ้ำ การหาค่าโดยประมาณของรากของสมการไม่เชิงเส้นที่มีความแม่นยำ ε

7. การตีความทางเรขาคณิตของวิธีการเชิงตัวเลขสำหรับการแก้สมการไม่เชิงเส้น: การหารครึ่ง, นิวตัน (แทนเจนต์), คอร์ด

บทที่ 3

ที่โรงเรียนถูกทรมานเนื่องจากการแก้สมการในบทเรียนคณิตศาสตร์ นักเรียนหลายคนมักแน่ใจว่าพวกเขากำลังเสียเวลาไปโดยเปล่าประโยชน์ แต่ทักษะดังกล่าวจะมีประโยชน์ในชีวิตไม่เฉพาะกับผู้ที่ตัดสินใจเดินตามรอยเท้าของเดส์การตส์ ออยเลอร์ หรือโลบาชอฟสกีเท่านั้น

ในทางปฏิบัติ เช่น ในทางการแพทย์หรือเศรษฐศาสตร์ มักจะมีสถานการณ์ที่ผู้เชี่ยวชาญต้องการทราบเมื่อมีความเข้มข้น สารออกฤทธิ์ของยาบางชนิดจะถึงระดับที่ต้องการในเลือดของผู้ป่วย หรือคุณต้องคำนวณเวลาที่จำเป็นสำหรับธุรกิจหนึ่งๆ ในการทำกำไร

ส่วนใหญ่มักจะ เรากำลังพูดถึงเกี่ยวกับการแก้สมการไม่เชิงเส้น หลากหลายชนิด. หากต้องการทำสิ่งนี้ให้เร็วที่สุด โดยเฉพาะอย่างยิ่งกับการใช้คอมพิวเตอร์ วิธีเชิงตัวเลขจะอนุญาต พวกเขาได้รับการศึกษาเป็นอย่างดีและได้พิสูจน์ประสิทธิภาพมานานแล้ว หนึ่งในนั้นคือวิธีสัมผัสของนิวตันซึ่งเป็นหัวข้อของบทความนี้

การกำหนดปัญหา

ที่ กรณีนี้มีฟังก์ชัน g ที่กำหนดไว้ในส่วน (a, b) และรับมัน ค่าบางอย่างกล่าวคือ แต่ละ x ที่เป็นของ (a, b) สามารถเชื่อมโยงกันได้ จำนวนเฉพาะก(x).

จำเป็นต้องสร้างรากของสมการทั้งหมดจากช่วงระหว่างจุด a และ b (รวมถึงจุดสิ้นสุด) ซึ่งฟังก์ชันถูกตั้งค่าเป็นศูนย์ แน่นอน สิ่งเหล่านี้จะเป็นจุดตัดของ y = g(x) กับ OX

ในบางกรณี การแทนที่ g(x)=0 ด้วยอันที่คล้ายกันจะสะดวกกว่า g 1 (x) = g 2 (x) ในกรณีนี้ abscissas (ค่า x) ของจุดตัดของกราฟ g 1 (x) และ g 2 (x) ทำหน้าที่เป็นราก

คำตอบของสมการไม่เชิงเส้นก็มีความสำคัญเช่นกันสำหรับปัญหาการปรับให้เหมาะสมซึ่งมีเงื่อนไข สุดขีดในท้องถิ่น- การแปลงเป็น 0 ของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน กล่าวอีกนัยหนึ่ง ปัญหาดังกล่าวสามารถลดลงเป็นการหารากของสมการ p(x) = 0 โดยที่ p(x) เหมือนกับ g"(x)

วิธีการแก้ปัญหา

สำหรับสมการไม่เชิงเส้นบางประเภท เช่น สมการกำลังสองหรือสมการตรีโกณมิติอย่างง่าย สามารถหารากได้ด้วยวิธีที่ค่อนข้างง่าย โดยเฉพาะอย่างยิ่งนักเรียนทุกคนรู้สูตรซึ่งคุณสามารถค้นหาค่าของอาร์กิวเมนต์ของจุดที่ตรีโกณมิติกำลังสองเป็นศูนย์ได้อย่างง่ายดาย

วิธีการแยกรากของสมการไม่เชิงเส้นมักจะแบ่งออกเป็นเชิงวิเคราะห์ (โดยตรง) และแบบวนซ้ำ ในกรณีแรก วิธีแก้ปัญหาที่ต้องการมีรูปแบบของสูตร ซึ่งคุณสามารถหาค่าของรากที่ต้องการได้สำหรับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์จำนวนหนึ่ง วิธีการที่คล้ายกันนี้ได้รับการพัฒนาสำหรับเอกซ์โปเนนเชียล ตรีโกณมิติ ลอการิทึม และอย่างง่าย สมการพีชคณิต. ส่วนที่เหลือต้องใช้วิธีตัวเลขพิเศษ ง่ายต่อการติดตั้งด้วยความช่วยเหลือของคอมพิวเตอร์ซึ่งช่วยให้คุณค้นหารากด้วยความแม่นยำที่จำเป็น

ในหมู่พวกเขาเรียกว่าวิธีการเชิงตัวเลขของ tangents หลังถูกเสนอโดยผู้ยิ่งใหญ่ นักวิทยาศาสตร์ไอแซกนิวตันใน ปลาย XVIIศตวรรษ. ในศตวรรษต่อมา วิธีการนี้ได้รับการปรับปรุงซ้ำแล้วซ้ำเล่า

การแปลเป็นภาษาท้องถิ่น

โซลูชั่นตัวเลข สมการที่ซับซ้อนซึ่งไม่มีโซลูชันการวิเคราะห์ เป็นเรื่องปกติที่จะดำเนินการใน 2 ขั้นตอน ก่อนอื่นคุณต้องแปลเป็นภาษาท้องถิ่น การดำเนินการนี้ประกอบด้วยการค้นหาส่วนดังกล่าวบน OX ซึ่งมีหนึ่งรากของสมการที่กำลังแก้ไข

ลองพิจารณาส่วน ถ้า g(x) ไม่มีความไม่ต่อเนื่องและรับค่าของเครื่องหมายต่างๆ ที่จุดสิ้นสุด ดังนั้นระหว่าง a และ b หรือในตัวมันเองมีอย่างน้อย 1 รูทของสมการ g(x) = 0 เพื่อให้ ไม่ซ้ำใคร จำเป็นต้องให้ g(x) เป็นโมโนโทนิก อย่างที่ทราบกันดีว่า มันจะมีคุณสมบัติดังกล่าวภายใต้เงื่อนไขว่า g’(x) เป็นเครื่องหมายคงที่

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ถ้า g(x) ไม่มีความไม่ต่อเนื่องและเพิ่มหรือลดแบบโมโนโทนิก และค่าของมันที่จุดสิ้นสุดไม่มี สัญญาณเหมือนกันแล้วมี 1 และมีเพียง 1 รูท g(x)

ในกรณีนี้ คุณควรทราบว่าเกณฑ์นี้ใช้ไม่ได้กับรากของสมการที่มีหลายค่า

การแก้สมการโดยการหารครึ่ง

ก่อนที่จะพิจารณาแทนเจนต์ตัวเลขที่ซับซ้อนมากขึ้นและความหลากหลายของมัน) ควรทำความคุ้นเคยกับมากที่สุด ด้วยวิธีง่ายๆระบุราก มันถูกเรียกว่า dichotomy และหมายถึงการค้นหารากโดยสัญชาตญาณตามทฤษฎีบทที่ว่า ถ้าสำหรับ g (x), ต่อเนื่อง, เงื่อนไขของสัญญาณต่าง ๆ เป็นที่น่าพอใจ, จากนั้นในส่วนที่พิจารณาจะมีอย่างน้อย 1 ราก g ( x) = 0.

ในการค้นหา คุณต้องแบ่งครึ่งส่วนและกำหนดจุดกึ่งกลางเป็น x 2 จากนั้นเป็นไปได้สองตัวเลือก: g (x 0) * g (x 2) หรือ g (x 2) * g (x 1) เท่ากับหรือน้อยกว่า 0 เราเลือกตัวเลือกที่หนึ่งในอสมการเหล่านี้เป็นจริง เราทำซ้ำขั้นตอนที่อธิบายไว้ข้างต้นจนกว่าความยาวจะน้อยกว่าค่าที่เลือกไว้ล่วงหน้าซึ่งกำหนดความแม่นยำในการพิจารณารากของสมการบน

ข้อดีของวิธีนี้รวมถึงความน่าเชื่อถือและความเรียบง่าย และข้อเสียคือความจำเป็นในการระบุจุดที่ g(x) ใช้ในตอนแรก สัญญาณที่แตกต่างกันดังนั้นจึงไม่สามารถใช้กับรากที่มีหลายหลากได้ นอกจากนี้ยังไม่ได้สรุปในกรณีของระบบสมการหรือเมื่อพูดถึงรากที่ซับซ้อน

ตัวอย่างที่ 1

เราต้องการแก้สมการ g(x) = 2x 5 + x - 1 = 0 เพื่อไม่ให้มองหาส่วนที่เหมาะสมเป็นเวลานาน เราสร้างกราฟโดยใช้โปรแกรม Excel ที่รู้จักกันดี . เราเห็นว่าเป็นการดีกว่าที่จะรับค่าจากช่วงเวลาเป็นส่วนสำหรับการแปลรูท เรามั่นใจได้ว่ามีอย่างน้อยหนึ่งรูทของสมการที่ต้องการ

g "(x) \u003d 10x 4 + 1, เช่น นี่คือฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นแบบโมโนโทนิก ดังนั้นจึงมีเพียง 1 รูทในส่วนที่เลือก

แทนจุดสิ้นสุดในสมการ เรามี 0 และ 1 ตามลำดับ ในขั้นตอนแรกเราใช้จุด 0.5 เป็นวิธีแก้ปัญหา จากนั้น g(0.5) = -0.4375 ดังนั้นส่วนถัดไปสำหรับการหารครึ่งจะเป็น จุดกึ่งกลางของมันคือ 0.75 ในนั้น ค่าของฟังก์ชันคือ 0.226 เราคำนึงถึงส่วนและจุดกึ่งกลางซึ่งอยู่ที่จุด 0.625 คำนวณค่าของ g(x) เป็น 0.625 มันเท่ากับ -0.11 เช่น ลบ จากผลลัพธ์นี้ เราเลือกกลุ่ม เราได้ x = 0.6875 จากนั้น g(x) = -0.00532 หากความแม่นยำของการแก้ปัญหาคือ 0.01 เราสามารถสรุปได้ว่าผลลัพธ์ที่ต้องการคือ 0.6875

ฐานทฤษฎี

วิธีการหารากโดยวิธีสัมผัสของนิวตันนี้เป็นที่นิยมเนื่องจากการบรรจบกันเร็วมาก

มันขึ้นอยู่กับข้อเท็จจริงที่พิสูจน์แล้วว่า ถ้า x n เป็นค่าประมาณของรูท f(x)=0 โดยที่ f" C 1 ดังนั้นค่าประมาณถัดไปจะอยู่ที่จุดที่สมการแทนเจนต์ของ f(x) หายไป , เช่น.

แทน x = x n+1 และตั้งค่า y เป็นศูนย์

จากนั้นแทนเจนต์จะมีลักษณะดังนี้:

ตัวอย่างที่ 2

ลองใช้วิธีการแทนเจนต์แบบดั้งเดิมของนิวตันและหาคำตอบของสมการที่ไม่ใช่เชิงเส้นที่ยากหรือเป็นไปไม่ได้ในการวิเคราะห์

ให้จำเป็นต้องเปิดเผยรากของ x 3 + 4x - 3 = 0 ด้วยความแม่นยำบางอย่าง เช่น 0.001 อย่างที่คุณทราบ กราฟของฟังก์ชันใดๆ ในรูปของพหุนามดีกรีคี่จะต้องตัดแกน OX อย่างน้อยหนึ่งครั้ง กล่าวคือ ไม่มีเหตุผลที่จะสงสัยการมีอยู่ของราก

ก่อนที่จะแก้ตัวอย่างด้วยวิธีแทนเจนต์ เราวางแผน f (x) \u003d x 3 + 4x - 3 จุดต่อจุด ซึ่งทำได้ง่ายมาก เช่น การใช้สเปรดชีต Excel จากกราฟผลลัพธ์ จะเห็นว่ามันตัดกับแกน OX และฟังก์ชัน y \u003d x 3 + 4x - 3 เพิ่มขึ้นแบบโมโนโทนิก เราแน่ใจได้ว่าสมการ x 3 + 4x - 3 = 0 มีคำตอบและมันไม่ซ้ำกัน

อัลกอริทึม

การแก้สมการด้วยวิธีแทนเจนต์เริ่มต้นด้วยการคำนวณ f "(x) เรามี:

แล้วอนุพันธ์อันดับสองจะเป็น x * 6

เมื่อใช้นิพจน์เหล่านี้ เราสามารถเขียนสูตรเพื่อระบุรากของสมการโดยใช้วิธีการแทนเจนต์ในรูปแบบ:

ถัดไป จำเป็นต้องเลือกค่าประมาณเริ่มต้น เช่น เพื่อกำหนดว่าจุดใดที่ควรพิจารณาเป็นจุดเริ่มต้น (rev. x 0) สำหรับกระบวนการวนซ้ำ เราพิจารณาจุดสิ้นสุดของส่วน เงื่อนไขของฟังก์ชันและอนุพันธ์อันดับที่ 2 ที่ x 0 เป็นจริงจึงเหมาะสำหรับเรา อย่างที่คุณเห็น เมื่อแทน x 0 = 0 จะถูกละเมิด แต่ x 0 = 1 ค่อนข้างเหมาะสม

หากเราสนใจวิธีแก้ปัญหาด้วยวิธีการแทนเจนต์ที่มีความแม่นยำ e ดังนั้นค่าของ x n จะถือว่าเป็นไปตามข้อกำหนดของปัญหา โดยมีเงื่อนไขว่าอสมการ |f(x n) / f’(x n)|< e.

ในขั้นตอนแรกของการสัมผัสกัน เรามี:

• x 1 \u003d x 0 - (x 0 3 + 4x 0 - 3) / (3x 0 2 + 4) \u003d 1- 0.2857 \u003d 0.71429;
• เนื่องจากไม่ตรงตามเงื่อนไขเราจึงไปต่อ
• เราได้ค่าใหม่สำหรับ x 2 ซึ่งเท่ากับ 0.674
• เราสังเกตเห็นว่าอัตราส่วนของค่าของฟังก์ชันต่ออนุพันธ์ใน x 2 น้อยกว่า 0.0063 เราหยุดกระบวนการ

วิธีการแทนเจนต์ใน Excel

การแก้ตัวอย่างก่อนหน้านี้อาจง่ายกว่าและเร็วกว่ามากหากคุณไม่ได้ทำการคำนวณด้วยตนเอง (บนเครื่องคิดเลข) แต่ใช้ความเป็นไปได้ โปรเซสเซอร์สเปรดชีตจากไมโครซอฟต์

ในการทำเช่นนี้ใน Excel คุณต้องสร้าง หน้าใหม่และเติมเซลล์ด้วยสูตรต่อไปนี้:

• ใน C7 เราเขียน "= POWER (B7; 3) + 4 * B7 - 3";
• ใน D7 เราป้อน "= 4 + 3 * DEGREE (B7; 2)";
• ใน E7 เราเขียน "= (POWER (B7; 3) - 3 + 4 * B7) / (3 * POWER (B7; 2) + 4)";
• ใน D7 เราป้อนนิพจน์ "= B7 - E7";
• ใน B8 เราป้อนเงื่อนไขสูตร “= IF (E7< 0,001;"Завершение итераций"; D7)».

ในงานเฉพาะซึ่งอยู่ในเซลล์ B10 คำจารึก "เสร็จสิ้นการวนซ้ำ" จะปรากฏขึ้นและสำหรับการแก้ปัญหาคุณจะต้องใช้ตัวเลขที่เขียนในเซลล์ที่อยู่หนึ่งบรรทัดด้านบน คุณยังสามารถเลือกคอลัมน์ "ยืดได้" แยกต่างหากโดยป้อนสูตรเงื่อนไขที่นั่น ซึ่งผลลัพธ์จะถูกเขียนไว้ที่นั่นหากเนื้อหาในเซลล์หนึ่งหรือเซลล์อื่นของคอลัมน์ B อยู่ในรูปแบบ "เสร็จสิ้นการวนซ้ำ"

การใช้งานในภาษาปาสคาล

ลองหาคำตอบของสมการไม่เชิงเส้น y = x 4 - 4 - 2 * x โดยใช้วิธีแทนเจนต์ในภาษาปาสคาล

เราใช้ฟังก์ชันเสริมที่จะช่วยในการคำนวณโดยประมาณ f "(x) \u003d (f (x + delta) - f (x)) / delta ตามเงื่อนไขสำหรับการทำกระบวนการวนซ้ำให้เสร็จสิ้น เราจะเลือก การเติมเต็มความไม่เท่าเทียมกัน | x 0 -x 1 |< некого малого числа. В Паскале его запишем, как abs(x0 - x1)<= epsilon.

โปรแกรมมีความโดดเด่นตรงที่ไม่ต้องคำนวณอนุพันธ์ด้วยตนเอง

วิธีคอร์ด

พิจารณาวิธีอื่นในการระบุรากของสมการไม่เชิงเส้น กระบวนการวนซ้ำประกอบด้วยความจริงที่ว่าการประมาณต่อเนื่องไปยังรูทที่ต้องการสำหรับ f(x)=0 ค่าของจุดตัดของคอร์ดที่มี abscissas ของจุดสิ้นสุด a และ b กับ OX จะถูกนำมาใช้ , แสดงเป็น x 1 , ..., xn . เรามี:

สำหรับจุดที่คอร์ดตัดกับแกน OX จะเขียนนิพจน์ได้ดังนี้

ให้อนุพันธ์อันดับสองเป็นบวกสำหรับ x £ (กรณีตรงข้ามจะลดลงเป็นกรณีที่กำลังพิจารณา ถ้าเราเขียน f(x) = 0) ในกรณีนี้ กราฟ y \u003d f (x) เป็นเส้นโค้งนูนที่ด้านล่างและอยู่ใต้คอร์ด เอบี. มีได้ 2 กรณี คือ เมื่อฟังก์ชันเป็นบวกที่จุด a หรือเป็นลบที่จุด b

ในกรณีแรก เราเลือกจุดสิ้นสุด a เป็นค่าคงที่ และใช้จุด b เป็น x 0 จากนั้นการประมาณแบบต่อเนื่องตามสูตรที่แสดงไว้ด้านบนจะสร้างลำดับที่ลดลงอย่างซ้ำซากจำเจ

ในกรณีที่สอง จุดสิ้นสุด b คงที่ที่ x 0 = a ค่า x ที่ได้รับในแต่ละขั้นตอนการวนซ้ำจะสร้างลำดับที่เพิ่มขึ้นแบบจำเจ

ดังนั้นเราจึงสามารถระบุได้ว่า:

• การแก้ไขในวิธีการคอร์ดคือจุดสิ้นสุดของส่วนที่สัญญาณของฟังก์ชันและอนุพันธ์อันดับสองไม่ตรงกัน
• ค่าประมาณสำหรับรูท x - x m - อยู่ด้านข้างโดยที่ f (x) มีเครื่องหมายที่ไม่ตรงกับเครื่องหมายของ f "" (x)

การวนซ้ำสามารถดำเนินต่อไปได้จนกว่าเงื่อนไขสำหรับความใกล้เคียงของรูทจะพอใจในขั้นตอนนี้และขั้นตอนการวนซ้ำก่อนหน้า modulo abs(x m - x m - 1)< e.

วิธีการแก้ไข

วิธีการรวมคอร์ดและแทนเจนต์ช่วยให้คุณสร้างรากของสมการได้โดยเข้าใกล้พวกมันจากด้านต่างๆ ค่าดังกล่าวซึ่งกราฟ f(x) ตัดกับ OX ทำให้คุณสามารถปรับแต่งโซลูชันได้เร็วกว่าการใช้แต่ละวิธีแยกกัน

สมมติว่าเราต้องหาราก f(x)=0 ถ้ามีอยู่บน คุณสามารถใช้วิธีใดก็ได้ที่อธิบายไว้ข้างต้น อย่างไรก็ตามจะเป็นการดีกว่าถ้าลองใช้ร่วมกันซึ่งจะช่วยเพิ่มความแม่นยำของรูตได้อย่างมาก

เราพิจารณากรณีที่มีการประมาณเริ่มต้นที่สอดคล้องกับเงื่อนไขที่ว่าอนุพันธ์ที่หนึ่งและที่สองมีเครื่องหมายต่างกัน ณ จุดใดจุดหนึ่ง x

ภายใต้เงื่อนไขดังกล่าว การแก้สมการไม่เชิงเส้นโดยวิธีแทนเจนต์ช่วยให้คุณหารูทที่เกินได้ ถ้า x 0 =b และวิธีการใช้คอร์ดที่จุดสิ้นสุดคงที่ b นำไปสู่การหารูทโดยประมาณที่มีข้อเสีย

สูตรที่ใช้:

ตอนนี้ต้องค้นหารูท x ที่ต้องการในช่วงเวลา ในขั้นตอนถัดไป คุณต้องใช้วิธีการที่รวมกันแล้วกับกลุ่มนี้ ดำเนินการดังนี้ เราได้รับสูตรของแบบฟอร์ม:

หากมีความแตกต่างในเครื่องหมายระหว่างอนุพันธ์ที่หนึ่งและอนุพันธ์อันดับสอง ดังนั้น การโต้เถียงในทำนองเดียวกัน เพื่อปรับแต่งราก เราได้รับสูตรเรียกซ้ำต่อไปนี้:

ตามเงื่อนไข ความไม่เท่าเทียมกันโดยประมาณ | ข น +1 - น +1 |< e. Иными словами, на практике приходится находить решение при помощи двух методов, но на каждом шаге требуется выяснять, насколько полученные результаты близки друг другу.

หากอสมการข้างต้นเป็นจริง จุดจะถือเป็นรากของสมการไม่เชิงเส้นในช่วงเวลาที่กำหนด ซึ่งอยู่ตรงกลางระหว่างคำตอบที่พบในขั้นตอนการวนซ้ำ

วิธีการแบบผสมผสานนี้นำไปใช้งานในสภาพแวดล้อม TURBO PASCAL ได้อย่างง่ายดาย ด้วยความปรารถนาดีคุณสามารถลองทำการคำนวณทั้งหมดโดยใช้วิธีการแบบตารางในโปรแกรม Excel

ในกรณีหลังนี้ มีการเลือกคอลัมน์หลายคอลัมน์เพื่อแก้ปัญหาโดยใช้คอร์ด และแยกจากกันสำหรับวิธีที่ไอแซก นิวตันเสนอ

ในกรณีนี้ แต่ละบรรทัดจะใช้เพื่อบันทึกการคำนวณในขั้นตอนวนซ้ำเฉพาะสำหรับสองวิธี จากนั้นในส่วนด้านซ้ายของพื้นที่โซลูชันในหน้าการทำงานที่ใช้งานอยู่จะมีการเน้นคอลัมน์ซึ่งจะมีการป้อนผลลัพธ์ของการคำนวณโมดูลของความแตกต่างในค่าของขั้นตอนการวนซ้ำถัดไปสำหรับแต่ละวิธี อีกอันหนึ่งสามารถใช้เพื่อป้อนผลลัพธ์ของการคำนวณตามสูตรการคำนวณของโครงสร้างเชิงตรรกะ "IF" ซึ่งใช้เพื่อค้นหาว่าตรงตามเงื่อนไขหรือไม่

ตอนนี้คุณรู้วิธีแก้สมการที่ซับซ้อนแล้ว วิธีการแทนเจนต์อย่างที่คุณได้เห็นนั้นถูกนำไปใช้ค่อนข้างง่ายทั้งใน Pascal และใน Excel ดังนั้น คุณสามารถสร้างรากของสมการที่แก้ยากหรือเป็นไปไม่ได้โดยใช้สูตรได้เสมอ

"ไม่เหมือนกับวิธีการของคอร์ด ในวิธีการแทนเจนต์ แทนที่จะเป็นคอร์ด แทนเจนต์ของเส้นโค้งจะถูกวาดในแต่ละขั้นตอน y=ฉ(x)ที่ x=x นและค้นหาจุดตัดของเส้นสัมผัสกับแกน abscissa:

สูตรสำหรับการประมาณ (n+1) คือ:

ถ้า ก F(ก)*F"(ก)>0, x 0 =ก, มิฉะนั้น x 0 = ข.

กระบวนการวนซ้ำจะดำเนินต่อไปจนกว่าจะพบว่า:

ตัวอย่าง:

ให้งานต่อไปนี้ได้รับ:ปรับแต่งรากของสมการ cos(2x)+x-5=0วิธีสัมผัสที่มีความแม่นยำ 0.00001

เริ่มแรก คุณต้องตัดสินใจว่า x0 เท่ากับอะไร: a หรือ b ในการทำเช่นนี้ คุณต้องทำตามขั้นตอนต่อไปนี้:

หาอนุพันธ์อันดับหนึ่งของฟังก์ชัน f(x)=cos(2x)+x-5 ซึ่งจะมีลักษณะดังนี้ f1(x)=-2sin(2x)+1

หาอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชัน f(x)=cos(2x)+x-5 ซึ่งจะมีลักษณะดังนี้ f2(x)=-4cos(2x)

ผลลัพธ์เป็นดังนี้:

เนื่องจาก x0=b คุณต้องทำสิ่งต่อไปนี้:

กรอกข้อมูลในเซลล์ดังต่อไปนี้ (ให้ความสนใจกับชื่อและหมายเลขของคอลัมน์เมื่อกรอก - จะต้องเหมือนกับในรูป):

ในเซลล์ A6 ให้ป้อนสูตร =D5

เลือกช่วงของเซลล์ B5:E5 และเติมช่วงของเซลล์ B6:E6 โดยการลาก

เลือกช่วงของเซลล์ A6:E5 และเติมช่วงของเซลล์ที่อยู่ด้านล่างโดยการลากจนได้ผลลัพธ์ในเซลล์ใดเซลล์หนึ่งของคอลัมน์ E (ช่วงของเซลล์ A6:E9)

เป็นผลให้เราได้รับสิ่งต่อไปนี้:

4. วิธีการรวมคอร์ดและสัมผัสกัน

เพื่อให้ได้ข้อผิดพลาดที่แม่นยำที่สุดจำเป็นต้องใช้วิธีการของคอร์ดและแทนเจนต์พร้อมกัน "ตามสูตรคอร์ดที่หามา x n+1และตามสูตรสัมผัส - ซี n+1. กระบวนการค้นหารูทโดยประมาณจะหยุดทันทีที่:

ในฐานะที่เป็นรากโดยประมาณ รับค่าเท่ากับ (11) :"[2 ]

ให้มันจำเป็นต้องปรับแต่งรากของสมการ cos(2x)+x-5=0 โดยวิธีรวมที่มีความแม่นยำ 0.00001

ในการแก้ปัญหาดังกล่าวโดยใช้ Excel คุณต้องทำตามขั้นตอนต่อไปนี้:

เนื่องจากในวิธีการรวมกันจำเป็นต้องใช้หนึ่งในสูตรของคอร์ดและสูตรของแทนเจนต์เพื่อความเรียบง่ายจึงควรแนะนำสัญกรณ์ต่อไปนี้:

สำหรับสูตรคอร์ด แสดงว่า:

ตัวแปร c จะมีบทบาทเป็น a หรือ b ขึ้นอยู่กับสถานการณ์

สัญกรณ์ที่เหลือจะคล้ายกับที่ให้ไว้ในสูตรของคอร์ด โดยคำนึงถึงตัวแปรที่แนะนำไว้ข้างต้นเท่านั้น

สำหรับสูตรแทนเจนต์ แสดงว่า:

การกำหนดที่เหลือจะคล้ายกับที่กำหนดในสูตรแทนเจนต์ โดยคำนึงถึงตัวแปรที่แนะนำไว้ด้านบนเท่านั้น

หาอนุพันธ์อันดับหนึ่งของฟังก์ชัน f(x)=cos(2x)+x-5 ซึ่งจะมีลักษณะดังนี้ f1(x)=-2sin(2x)+1

หาอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชัน f(x)=cos(2x)+x-5 ซึ่งจะมีลักษณะดังนี้ f2(x)=-4cos(2x)

กรอกข้อมูลในเซลล์ดังต่อไปนี้ (ให้ความสนใจกับชื่อและหมายเลขของคอลัมน์เมื่อกรอก - จะต้องเหมือนกับในรูป):

ผลลัพธ์เป็นดังนี้:

ในเซลล์ G1 ให้ป้อน e และใน G2 ให้ป้อนหมายเลข 0.00001

ในเซลล์ H1 ให้ป้อน c และใน H2 ให้ป้อนเลข 6 เนื่องจาก c=b (ดูเซลล์ F2)

ในเซลล์ I1 ให้ป้อน f(c) และใน I2 ให้ป้อนสูตร =COS(2*H2)+H2-5

กรอกข้อมูลในเซลล์ตามลำดับดังนี้ (ให้ความสนใจกับชื่อและหมายเลขของคอลัมน์เมื่อกรอก - จะต้องเหมือนกับในรูป):

ในเซลล์ A6 ให้ป้อนสูตร =E5

ในเซลล์ F6 ให้ป้อนสูตร =I5

เลือกช่วงของเซลล์ B5:E5 และใช้เครื่องหมายป้อนอัตโนมัติเพื่อเติมช่วงของเซลล์ B6:E6

เลือกช่วงของเซลล์ G5:K5 และเติมช่วงของเซลล์ G6:K6 ด้วยเครื่องหมายป้อนอัตโนมัติ

เลือกช่วงของเซลล์ A6:K6 และเติมเซลล์ด้านล่างทั้งหมดโดยลากจนกว่าจะได้รับคำตอบในเซลล์ใดเซลล์หนึ่งของคอลัมน์ K (ช่วงของเซลล์ A6:K9)

เป็นผลให้เราได้รับสิ่งต่อไปนี้:

คำตอบ: รากของสมการ cos(2x)+x-5=0 คือ 5.32976

กำหนดสมการ F(x)=0 มัน - แบบฟอร์มทั่วไปสมการไม่เชิงเส้นกับสมการที่ไม่รู้จัก ตามกฎแล้วอัลกอริทึมสำหรับค้นหารูทประกอบด้วยสองขั้นตอน:

1. การหาค่าโดยประมาณของรากหรือส่วนบนแกน x ที่มีมัน

2. การปรับแต่งค่าโดยประมาณของรูทให้มีความแม่นยำ

ในขั้นตอนแรกจะใช้วิธีการแยกรูตในขั้นตอนที่สอง - หนึ่งในวิธีการปรับแต่ง (วิธีการแบ่งครึ่ง, วิธีของนิวตัน, วิธีคอร์ดหรือวิธีการวนซ้ำอย่างง่าย)

วิธีการขั้นตอน

ตัวอย่างเช่น พิจารณาสมการ x 2 - 11x + 30 = 0 ช่วงเวลาการค้นหา , ขั้นตอน h = 0.3 ลองแก้ปัญหาโดยใช้ ความสามารถพิเศษแพ็คเกจเอ็กเซล ลำดับของการกระทำ (ดูรูปที่ 1):

1. จัดรูปแบบส่วนหัวในบรรทัดที่ 1 " วิธีการเชิงตัวเลขคำตอบของสมการไม่เชิงเส้น”

2. ออกแบบหัวข้อในบรรทัดที่ 3 "วิธีขั้นตอน"

3. ในเซลล์ A6 และ C6 และ B6 เขียนข้อมูลในงาน

4. ในเซลล์ B9 และ C9 ให้เขียนชื่อแถวตามลำดับ x และ F(x)

5. ในเซลล์ B10 และ B11 ให้ป้อนค่าสองค่าแรกของอาร์กิวเมนต์ - 3 และ 3.3

6. เลือกเซลล์ B5-B6 แล้วลากชุดข้อมูลไปยังค่าสุดท้าย (3.3) ตรวจสอบให้แน่ใจว่าลำดับขั้นทางคณิตศาสตร์อยู่ในแนวที่ถูกต้อง

7. ใส่สูตรในเซลล์ C10"=B10*B10-11*B10+30"

8. คัดลอกสูตรไปยังแถวที่เหลือโดยใช้การลากและวาง ในช่วง C10:C18 จะได้ผลลัพธ์จำนวนหนึ่งจากการคำนวณฟังก์ชัน F(x) จะเห็นได้ว่าฟังก์ชันเปลี่ยนเครื่องหมายหนึ่งครั้ง รากของสมการจะอยู่ในช่วงเวลา

9. เพื่อสร้างกราฟการพึ่งพา F(x) ใช้ส่วนแทรก - ไดอะแกรม (ประเภท "เฉพาะจุด" เครื่องหมายเชื่อมกันด้วยเส้นโค้งเรียบ)

วิธีการแบ่งส่วน

ตัวอย่างเช่น พิจารณาสมการ x 2 - 11x + 30 = 0 ช่วงเวลาการค้นหา ด้วยความแม่นยำ ε=0.01 มาแก้ปัญหาโดยใช้คุณสมบัติพิเศษของแพ็คเกจ Excel

1. ป้อนในเซลล์ B21 หัวข้อ "วิธีการแบ่งครึ่งส่วน"

2. ป้อนข้อมูลงานในเซลล์ A23, C23, E23

3. ในพื้นที่ B25:H25 วาดส่วนหัวของตาราง (แถว B - ขอบด้านซ้ายของส่วน "a", แถว C - ตรงกลางของส่วน "x", แถว D - ขอบด้านขวาของส่วน "b ", แถว E - ค่าของฟังก์ชันที่ขอบด้านซ้ายของกลุ่ม "F(a)", ซีรีส์ F - ค่าของฟังก์ชันที่อยู่ตรงกลางของกลุ่ม "F(x)", ซีรีส์ G - ผลิตภัณฑ์ "F(a) * F(x)", ซีรีส์ H - ตรวจสอบความถูกต้องของความถูกต้อง "ê F(x)ê<е».

4. ป้อนค่าเริ่มต้นของส่วนท้ายของส่วน: ในเซลล์ B26 "4.8" ในเซลล์ D26 "5.1"

5. ป้อนสูตร "=(B26+D26)/2" ในเซลล์ C26

6. ใส่สูตรในเซลล์ E26"=B26*B26-11*B26+30".

7. ใส่สูตรในเซลล์ F26"=C26*C26-11*C26+30"

8. ป้อนสูตร "=E26*F26" ในเซลล์ G26

9. ป้อนสูตรในเซลล์ H26 "=IF(ABS(F26)<0.01; ² ราก² )".

1 0. เลือกพื้นที่ B21:H21 แล้วลากในแนวตั้งจนกระทั่งข้อความ “root” ปรากฏในแถว H (เซลล์ H29, H30)

วิธีแทนเจนต์ (นิวตัน)

1. ป้อนในเซลล์ J23 หัวข้อ "Tangent Method (Newton)"

2. ป้อนข้อความ “e=” ในเซลล์ L23 และค่าความแม่นยำ “0.00001” ในเซลล์ M23

3. ในพื้นที่ K25:N25 ให้วาดส่วนหัวของตาราง (แถว K - ค่าของอาร์กิวเมนต์ "x", แถว L - ค่าของฟังก์ชัน "F (x)", แถว M - อนุพันธ์ของฟังก์ชัน " ฉ¢ (x)", ซีรีส์ N - การตรวจสอบความถูกต้องของความถูกต้อง "ê F(x)ê<е».

4. ป้อนค่าเริ่มต้นของอาร์กิวเมนต์ในเซลล์ K26"-2"

5. ป้อนสูตร "=K26*K26*K26+2*K26*K26+3*K26+5" ลงในเซลล์ L26

6. ป้อนสูตร "=3*K26*K26+4*K26+3" ลงในเซลล์ M26

7. ป้อนสูตรในเซลล์ N26 "=IF(ABS(L26)<$M$23;"корень")».

8. ใส่สูตรในเซลล์ K27"=K26-L26/M26".

9. เลือกพื้นที่ L27:N27 แล้วลากในแนวตั้งจนกระทั่งข้อความ “root” ปรากฏในแถว N (เซลล์ N30)

วิธีคอร์ด

ตัวอย่างเช่น พิจารณาสมการ x 3 +2x 2 +3x+5= 0 ความแม่นยำ ε=0.01 มาแก้ปัญหาโดยใช้คุณสมบัติพิเศษของแพ็คเกจ Excel

1. ป้อนหัวข้อ “วิธีคอร์ด” ในเซลล์ B32

2. ป้อนข้อความ "e=" ในเซลล์ C34 และค่า "0.00001" ในเซลล์ E34

3. ในพื้นที่ B36:D36 วาดส่วนหัวของตาราง (แถว B - ค่าของอาร์กิวเมนต์ "x", แถว C - ค่าของฟังก์ชัน "F (x)", แถว D - ตรวจสอบความถูกต้องของความถูกต้อง "ê F(x)ê<е».

4. ในเซลล์ B37 และ B38 ให้ป้อนค่าเริ่มต้นของอาร์กิวเมนต์"-2" และ "-หนึ่ง"

5. ป้อนสูตร "=B37*B37*B37+2*B37*B37+3*B37+5" ในเซลล์ C37

6. ใส่สูตรในเซลล์ D37"=IF(ABS(B38-B37)<$D$34;"корень")».

7. ใส่สูตรในเซลล์ B39"=B38-C38*(B38-B37)/(C38-C37)".

8. เลือกพื้นที่ C39:D39 แล้วลากในแนวตั้งจนกระทั่งข้อความ “root” ปรากฏในแถว D (เซลล์ D43)

วิธีการวนซ้ำอย่างง่าย

ตัวอย่างเช่น พิจารณาสมการ x 2 - 11x + 30 = 0 ช่วงเวลาการค้นหาคือ โดยมีความแม่นยำ e = 0.05

1. ป้อนในเซลล์ K32 หัวข้อ "วิธีการวนซ้ำอย่างง่าย"

2. ป้อนข้อความ “e =" ในเซลล์ N34 และค่าความแม่นยำ "0.05" ในเซลล์ O34

3. เลือกฟังก์ชัน j (x) ที่ตรงตามเงื่อนไขคอนเวอร์เจนซ์ ในกรณีของเรา ฟังก์ชันดังกล่าวคือฟังก์ชัน S(x)=(x*x+30)/11

4. ในพื้นที่ K38:N38 ให้วาดส่วนหัวของตาราง (แถว K - ค่าของอาร์กิวเมนต์ "x", แถว L - ค่าของฟังก์ชัน "F (x)", แถว M - ค่าของฟังก์ชันเสริม " S (x)", แถว N - ตรวจสอบความถูกต้องของความถูกต้อง "ê F(x)ê<е».

5. ในเซลล์ K39 ให้ป้อนค่าเริ่มต้นของอาร์กิวเมนต์ "4.8"

6. ใส่สูตรในเซลล์ L39"=K39*K39-11*K39+30"

7. ป้อนสูตร "=(K39*K39+30)/11" ลงในเซลล์ M39

8. ป้อนสูตรในเซลล์ N39 "=IF(ABS(L39)<$O$34;"корень")».

9. ใส่สูตร "=M39" ในเซลล์ K40

1 0. คัดลอกเซลล์ L39:N39 ไปยังเซลล์ L40:N40

สิบเอ็ด เลือกพื้นที่ L40:N40 แล้วลากในแนวตั้งจนกระทั่งข้อความ “root” ปรากฏในแถว N (เซลล์ N53)

รูปที่ 1 การแก้สมการที่ไม่ใช่เชิงเส้นใน Excel