สมการเลขชี้กำลังและอสมการ การแก้สมการเลขชี้กำลังและอสมการ

ในบทนี้ เราจะพิจารณาความไม่เท่าเทียมกันแบบเลขชี้กำลังต่างๆ และเรียนรู้วิธีแก้ไขตามวิธีการแก้ความไม่เท่าเทียมกันแบบเลขชี้กำลังที่ง่ายที่สุด

1. ความหมายและคุณสมบัติของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

เรียกคืนคำจำกัดความและคุณสมบัติหลักของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง มันขึ้นอยู่กับคุณสมบัติที่การแก้สมการเลขชี้กำลังและอสมการทั้งหมดเป็นพื้นฐาน

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังเป็นฟังก์ชันของรูปแบบ โดยที่ฐานคือดีกรี และที่นี่ x เป็นตัวแปรอิสระ อาร์กิวเมนต์ y - ตัวแปรตามฟังก์ชัน

ข้าว. 1. กราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

กราฟแสดงเลขชี้กำลังที่เพิ่มขึ้นและลดลง ซึ่งแสดงให้เห็นฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่ฐานที่มากกว่าหนึ่งและน้อยกว่าหนึ่ง แต่มากกว่าศูนย์ตามลำดับ

เส้นโค้งทั้งสองผ่านจุด (0;1)

คุณสมบัติของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง:

โดเมน: ;

ช่วงของค่า: ;

ฟังก์ชันเป็นแบบโมโนโทนิก เพิ่มขึ้นเป็น ลดลงเป็น

ฟังก์ชันโมโนโทนิกรับค่าแต่ละค่าด้วยค่าอาร์กิวเมนต์เดียว

เมื่อ เมื่ออาร์กิวเมนต์เพิ่มขึ้นจากลบเป็นบวกอินฟินิตี้ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นจากศูนย์ไม่รวมเป็นบวกอินฟินิตี้เช่นสำหรับค่าที่กำหนดของอาร์กิวเมนต์เรามีฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นแบบโมโนโทน () ในทางตรงกันข้าม เมื่ออาร์กิวเมนต์เพิ่มขึ้นจากลบเป็นบวกอินฟินิตี้ ฟังก์ชันจะลดลงจากอินฟินิตี้เป็นศูนย์ ซึ่งรวมอยู่ด้วย นั่นคือ สำหรับค่าที่กำหนดของอาร์กิวเมนต์ เรามีฟังก์ชันการลดลงแบบซ้ำซากจำเจ ()

2. อสมการเลขชี้กำลังที่ง่ายที่สุด เทคนิคการแก้ปัญหา ตัวอย่าง

จากที่กล่าวมา เรานำเสนอวิธีการแก้อสมการเลขชี้กำลังที่ง่ายที่สุด:

วิธีการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน:

ปรับฐานขององศาให้เท่ากัน

เปรียบเทียบตัวบ่งชี้ รักษาหรือเปลี่ยนเป็นเครื่องหมายตรงข้ามของความไม่เท่าเทียมกัน

คำตอบของความไม่เท่าเทียมกันเชิงซ้อนที่ซับซ้อนนั้น ตามกฎแล้ว ในการลดความเหลื่อมล้ำแบบเลขชี้กำลังที่ง่ายที่สุด

ฐานของดีกรีมีค่ามากกว่าหนึ่ง ซึ่งหมายความว่าเครื่องหมายอสมการจะคงอยู่:

ลองแปลงด้านขวาตามคุณสมบัติของดีกรี:

ฐานของดีกรีน้อยกว่าหนึ่ง เครื่องหมายอสมการต้องกลับด้าน:

ในการแก้สมการกำลังสอง เราแก้สมการกำลังสองที่สอดคล้องกัน:

ตามทฤษฎีบทของ Vieta เราพบราก:

กิ่งก้านของพาราโบลาจะพุ่งขึ้นไปข้างบน

ดังนั้นเราจึงมีวิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน:

มันง่ายที่จะเดาว่าด้านขวาสามารถแสดงเป็นกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นศูนย์:

ฐานของดีกรีมากกว่าหนึ่ง เครื่องหมายอสมการไม่เปลี่ยนแปลง เราได้รับ:

ระลึกถึงขั้นตอนการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันดังกล่าว

พิจารณาฟังก์ชันตรรกยะเศษส่วน:

ค้นหาโดเมนของคำจำกัดความ:

เราพบรากของฟังก์ชัน:

ฟังก์ชั่นมีรูทเดียว

เราแยกช่วงของค่าคงที่ของสัญญาณออกและกำหนดสัญญาณของฟังก์ชันในแต่ละช่วงเวลา:

ข้าว. 2. ช่วงเวลาของความคงตัวของสัญญาณ

เราก็เลยได้คำตอบ

ตอบ:

3. การแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันทั่วไป

พิจารณาความไม่เท่าเทียมกันที่มีเลขชี้กำลังเท่ากันแต่ฐานต่างกัน

หนึ่งในคุณสมบัติของฟังก์ชันเลขชี้กำลังคือใช้ค่าบวกอย่างเคร่งครัดสำหรับค่าใด ๆ ของอาร์กิวเมนต์ ซึ่งหมายความว่าสามารถแบ่งออกเป็นฟังก์ชันเลขชี้กำลังได้ มาหารอสมการที่กำหนดด้วยด้านขวากัน:

ฐานของดีกรีมีค่ามากกว่าหนึ่ง เครื่องหมายอสมการจะคงอยู่

มาดูวิธีแก้ปัญหากัน:

รูปที่ 6.3 แสดงกราฟของฟังก์ชันและ . เห็นได้ชัดว่าเมื่ออาร์กิวเมนต์มากกว่าศูนย์ กราฟของฟังก์ชันจะสูงขึ้น ฟังก์ชันนี้จะใหญ่กว่า เมื่อค่าของอาร์กิวเมนต์เป็นลบ ฟังก์ชันจะผ่านด้านล่าง ค่าของอาร์กิวเมนต์จะน้อยกว่า หากค่าของอาร์กิวเมนต์เท่ากัน จุดที่กำหนดก็เป็นวิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันที่กำหนดด้วย

ข้าว. 3. ภาพประกอบ เช่น 4

เราแปลงความไม่เท่าเทียมกันที่กำหนดตามคุณสมบัติของดีกรี:

นี่คือสมาชิกที่คล้ายกัน:

ลองแบ่งทั้งสองส่วนออกเป็น:

ตอนนี้เรายังคงแก้ในทำนองเดียวกันกับตัวอย่างที่ 4 เราหารทั้งสองส่วนด้วย:

ฐานของดีกรีมีค่ามากกว่าหนึ่ง เครื่องหมายอสมการจะคงอยู่:

4. การแก้ปัญหาแบบกราฟิกของอสมการเลขชี้กำลัง

ตัวอย่างที่ 6 - แก้ความไม่เท่าเทียมกันแบบกราฟิก:

พิจารณาฟังก์ชันทางด้านซ้ายและด้านขวาและพล็อตแต่ละฟังก์ชัน

ฟังก์ชันเป็นเลขชี้กำลังซึ่งเพิ่มขึ้นเหนือขอบเขตคำจำกัดความทั้งหมดนั่นคือสำหรับค่าจริงทั้งหมดของอาร์กิวเมนต์

ฟังก์ชันเป็นแบบเส้นตรง ลดลงทั่วทั้งโดเมนของคำจำกัดความ นั่นคือ สำหรับค่าจริงทั้งหมดของอาร์กิวเมนต์

หากฟังก์ชันเหล่านี้ตัดกัน นั่นคือ ระบบมีคำตอบ โซลูชันดังกล่าวก็มีเอกลักษณ์เฉพาะตัวและสามารถเดาได้ง่าย เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้วนซ้ำจำนวนเต็ม ()

ง่ายที่จะเห็นว่ารากของระบบนี้คือ:

ดังนั้น กราฟฟังก์ชันจะตัดกันที่จุดที่มีอาร์กิวเมนต์เท่ากับหนึ่ง

ตอนนี้เราต้องได้คำตอบ ความหมายของอสมการที่กำหนดคือเลขชี้กำลังต้องมากกว่าหรือเท่ากับฟังก์ชันเชิงเส้น นั่นคือ ต้องมากกว่าหรือเท่ากับค่านั้น คำตอบนั้นชัดเจน: (รูปที่ 6.4)

ข้าว. 4. ภาพประกอบ เช่น 6

ดังนั้นเราจึงได้พิจารณาวิธีแก้ปัญหาของอสมการเลขชี้กำลังทั่วไปต่างๆ ต่อไป เราจะพิจารณาความไม่เท่าเทียมกันของเลขชี้กำลังที่ซับซ้อนมากขึ้น

บรรณานุกรม

Mordkovich A. G. พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ - ม.: มนีโมไซน์. Muravin G. K. , Muravin O. V. พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ - ม.: ไอ้บ้า. Kolmogorov A. N. , Abramov A. M. , Dudnitsyn Yu. P. et al. พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์. - ม.: การตรัสรู้.

คณิตศาสตร์. นพ. คณิตศาสตร์-ซ้ำ. คอม ดิฟเฟอร์ เคมซู รุ

การบ้าน

1. พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ เกรด 10-11 (A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn) 1990, หมายเลข 472, 473;

2. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

3. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน

และ x = b เป็นสมการเลขชี้กำลังที่ง่ายที่สุด ในตัวเขา เอมากกว่าศูนย์และ เอไม่เท่ากับหนึ่ง

แก้สมการเลขชี้กำลัง

จากคุณสมบัติของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง เรารู้ว่าช่วงของค่าจำกัดอยู่ที่จำนวนจริงบวก ถ้า b = 0 สมการไม่มีคำตอบ สถานการณ์เดียวกันเกิดขึ้นในสมการที่ b

ทีนี้ สมมุติว่า b>0 ถ้าอยู่ในฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ฐาน เอมากกว่าหนึ่ง จากนั้นฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นทั่วทั้งโดเมนของคำจำกัดความ ถ้าอยู่ในฟังก์ชันเลขชี้กำลังของฐาน เอเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้ 0

จากสิ่งนี้และประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทรูต เราจะได้ว่าสมการ a x = b มีรากเดียว สำหรับ b>0 และบวก เอไม่เท่ากับหนึ่ง ในการค้นหาคุณต้องแสดง b ในรูปแบบ b = a c
แล้วจะเห็นได้ชัดว่า กับจะเป็นคำตอบของสมการ a x = a c

ลองพิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้: แก้สมการ 5 (x 2 - 2*x - 1) = 25

ลองแทน 25 เป็น 5 2 เราได้รับ:

5 (x 2 - 2*x - 1) = 5 2 .

หรือเทียบเท่าอะไร:

x 2 - 2*x - 1 = 2

เราแก้สมการกำลังสองที่ได้มาด้วยวิธีการใดๆ ที่ทราบ เราได้รากที่สอง x = 3 และ x = -1

คำตอบ: 3;-1.

ลองแก้สมการ 4 x - 5*2 x + 4 = 0 มาแทนกัน: t=2 x และรับสมการกำลังสองต่อไปนี้:

เสื้อ 2 - 5*t + 4 = 0
เราแก้สมการนี้ด้วยวิธีการใดๆ ที่ทราบ เราได้ราก t1 = 1 t2 = 4

ตอนนี้เราแก้สมการ 2 x = 1 และ 2 x = 4

คำตอบ: 0;2.

การแก้อสมการเลขชี้กำลัง

คำตอบของอสมการเอกซ์โพเนนเชียลที่ง่ายที่สุดยังขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของฟังก์ชันการเพิ่มขึ้นและการลดลงด้วย ถ้าในฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ฐาน a มากกว่า 1 ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นตลอดโดเมนของคำจำกัดความ ถ้าอยู่ในฟังก์ชันเลขชี้กำลังของฐาน เอเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้ 0ฟังก์ชันนี้จะลดลงในเซตของจำนวนจริงทั้งหมด

ลองพิจารณาตัวอย่าง: แก้อสมการ (0.5) (7 - 3*x)< 4.

โปรดทราบว่า 4 = (0.5) 2 . จากนั้นความไม่เท่าเทียมกันจะอยู่ในรูปแบบ (0.5)(7 - 3*x)< (0.5) (-2) . Основание показательной функции 0.5 меньше единицы, следовательно, она убывает. В этом случае надо поменять знак неравенства и не записывать только показатели.

เราได้: 7 - 3*x>-2.

จากที่นี่: x<3.

คำตอบ: x<3.

หากในความไม่เท่าเทียมกัน ฐานมีมากกว่าหนึ่ง เมื่อกำจัดฐาน เครื่องหมายอสมการก็ไม่จำเป็นต้องเปลี่ยน

สมการเอ็กซ์โปเนนเชียลและอสมการคือสมการและอสมการที่ไม่ทราบมีอยู่ในเลขชี้กำลัง

การแก้สมการเลขชี้กำลังมักจะลงมาที่การแก้สมการ a x \u003d a b โดยที่ a > 0, a ≠ 1, x ไม่เป็นที่รู้จัก สมการนี้มีรากเดียว x \u003d b เนื่องจากทฤษฎีบทต่อไปนี้เป็นจริง:

ทฤษฎีบท. ถ้า a > 0 a ≠ 1 และ a x 1 = a x 2 แล้ว x 1 = x 2

ให้เราปรับคำยืนยันที่พิจารณาแล้ว

สมมติว่าความเท่าเทียมกัน x 1 = x 2 ไม่เป็นที่พอใจ กล่าวคือ x 1< х 2 или х 1 = х 2 . Пусть, например, х 1 < х 2 . Тогда если а >1 จากนั้นฟังก์ชันเลขชี้กำลัง y \u003d a x เพิ่มขึ้น ดังนั้นอสมการ a x 1< а х 2 ; если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство а х 1 >ก x 2 ในทั้งสองกรณี เราได้รับข้อขัดแย้งกับเงื่อนไข a x 1 = a x 2 .

ลองพิจารณางานหลายอย่าง

แก้สมการ 4 ∙ 2 x = 1

วิธีการแก้.

เราเขียนสมการในรูปแบบ 2 2 ∙ 2 x = 2 0 - 2 x + 2 = 2 0 x = -2

ตอบ. x = -2

แก้สมการ 2 3x ∙ 3 x = 576

วิธีการแก้.

ตั้งแต่ 2 3x \u003d (2 3) x \u003d 8 x, 576 \u003d 24 2 สมการสามารถเขียนได้ในรูปแบบ 8 x ∙ 3 x \u003d 24 2 หรือในรูปแบบ 24 x \u003d 24 2

จากตรงนี้เราจะได้ x = 2

ตอบ. x = 2

แก้สมการ 3 x + 1 - 2∙3 x - 2 = 25

วิธีการแก้.

คร่อมปัจจัยร่วม 3 x - 2 ทางด้านซ้าย เราได้ 3 x - 2 ∙ (3 3 - 2) \u003d 25 - 3 x - 2 ∙ 25 \u003d 25

โดยที่ 3 x - 2 = 1 นั่นคือ x - 2 = 0, x = 2

ตอบ. x = 2

แก้สมการ 3 x = 7 x

วิธีการแก้.

ตั้งแต่ 7 x ≠ 0 สมการสามารถเขียนได้เป็น 3 x / 7 x = 1 ดังนั้น (3/7) x = 1, x = 0

ตอบ. x = 0

แก้สมการ 9 x - 4 ∙ 3 x - 45 = 0

วิธีการแก้.

โดยการแทนที่ 3 x \u003d a สมการนี้จะลดลงเป็นสมการกำลังสอง a 2 - 4a - 45 \u003d 0

การแก้สมการนี้ เราพบรากของมัน: a 1 \u003d 9 และ 2 \u003d -5 จากที่ 3 x \u003d 9, 3 x \u003d -5

สมการ 3 x \u003d 9 มีราก 2 และสมการ 3 x \u003d -5 ไม่มีราก เนื่องจากฟังก์ชันเลขชี้กำลังรับค่าลบไม่ได้

ตอบ. x = 2

การแก้สมการเอกซ์โปเนนเชียลมักจะลงเอยด้วยการแก้อสมการ a x > a b หรือ a x< а b . Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции.

ลองพิจารณางานบางอย่าง

แก้อสมการ 3 x< 81.

วิธีการแก้.

เราเขียนความไม่เท่าเทียมกันในรูปแบบ 3 x< 3 4 . Так как 3 >1 จากนั้นฟังก์ชัน y \u003d 3 x จะเพิ่มขึ้น

ดังนั้น สำหรับ x< 4 выполняется неравенство 3 х < 3 4 , а при х ≥ 4 выполняется неравенство 3 х ≥ 3 4 .

ดังนั้น สำหรับ x< 4 неравенство 3 х < 3 4 является верным, а при х ≥ 4 – неверным, т.е. неравенство
3 x< 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.

ตอบ. X< 4.

แก้ความไม่เท่าเทียมกัน 16 x +4 x - 2 > 0

วิธีการแก้.

แสดงว่า 4 x = t, แล้วเราจะได้อสมการกำลังสอง t2 + t - 2 > 0

ความไม่เท่าเทียมกันนี้มีไว้สำหรับ t< -2 и при t > 1.

เนื่องจาก t = 4 x เราจึงได้สองอสมการ 4 x< -2, 4 х > 1.

อสมการแรกไม่มีคำตอบ เนื่องจาก 4 x > 0 สำหรับ x ∈ R ทั้งหมด

เราเขียนอสมการที่สองในรูปแบบ 4 x > 4 0 ดังนั้น x > 0

ตอบ. x > 0

แก้สมการแบบกราฟิก (1/3) x = x - 2/3

วิธีการแก้.

1) ลองพล็อตกราฟของฟังก์ชัน y \u003d (1/3) x และ y \u003d x - 2/3

2) จากรูปของเรา เราสามารถสรุปได้ว่ากราฟของฟังก์ชันที่พิจารณาตัดกันที่จุดที่มี abscissa x ≈ 1 การตรวจสอบพิสูจน์ให้เห็นว่า

x \u003d 1 - รากของสมการนี้:

(1/3) 1 = 1/3 และ 1 - 2/3 = 1/3

เราพบรากหนึ่งของสมการแล้ว

3) ค้นหารากอื่นหรือพิสูจน์ว่าไม่มี ฟังก์ชัน (1/3) x ลดลง และฟังก์ชัน y \u003d x - 2/3 เพิ่มขึ้น ดังนั้นสำหรับ x > 1 ค่าของฟังก์ชันแรกจะน้อยกว่า 1/3 และค่าที่สองมากกว่า 1/3 ที่ x< 1, наоборот, значения первой функции больше 1/3, а второй – меньше 1/3. Геометрически это означает, что графики этих функций при х >1 และ x< 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х ≠ 1.

ตอบ. x = 1

สังเกตว่าจากการแก้ปัญหานี้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกัน (1/3) x > x – 2/3 สำหรับ x< 1, а неравенство (1/3) х < х – 2/3 – при х > 1.

เว็บไซต์ที่มีการคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา