ตารางตรีโกณมิติที่สมบูรณ์ ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ - ทุกสิ่งที่คุณจำเป็นต้องรู้ที่ OGE และ USE

ตรีโกณมิติเป็นวิทยาศาสตร์ที่มีต้นกำเนิดในตะวันออกโบราณ อัตราส่วนตรีโกณมิติแรกได้รับการพัฒนาโดยนักดาราศาสตร์เพื่อสร้างปฏิทินที่แม่นยำและกำหนดทิศทางของดวงดาว การคำนวณเหล่านี้เกี่ยวข้องกับตรีโกณมิติทรงกลมในขณะที่อยู่ในหลักสูตรของโรงเรียน พวกเขาศึกษาอัตราส่วนของด้านและมุมของสามเหลี่ยมแบน

ตรีโกณมิติเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับคุณสมบัติของฟังก์ชันตรีโกณมิติและความสัมพันธ์ระหว่างด้านและมุมของรูปสามเหลี่ยม

ในช่วงรุ่งเรืองของวัฒนธรรมและวิทยาศาสตร์ในสหัสวรรษที่ 1 ความรู้ได้แพร่กระจายจากตะวันออกโบราณไปยังกรีก แต่การค้นพบที่สำคัญของวิชาตรีโกณมิติคือข้อดีของผู้ชายแห่งหัวหน้าศาสนาอิสลามชาวอาหรับ โดยเฉพาะอย่างยิ่งนักวิทยาศาสตร์ชาวเติร์กเมนิสถาน al-Marazvi ได้แนะนำฟังก์ชั่นเช่นแทนเจนต์และโคแทนเจนต์โดยรวบรวมตารางค่าแรกสำหรับไซน์แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ แนวคิดของไซน์และโคไซน์ได้รับการแนะนำโดยนักวิทยาศาสตร์ชาวอินเดีย ความสนใจอย่างมากทุ่มเทให้กับตรีโกณมิติในผลงานของบุคคลสำคัญในยุคโบราณเช่น Euclid, Archimedes และ Eratosthenes

ปริมาณพื้นฐานของตรีโกณมิติ

ฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐานของอาร์กิวเมนต์ที่เป็นตัวเลข ได้แก่ ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ แต่ละคนมีกราฟของตัวเอง: ไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์และโคแทนเจนต์

สูตรสำหรับการคำนวณค่าของปริมาณเหล่านี้ขึ้นอยู่กับทฤษฎีบทพีทาโกรัส เป็นที่ทราบกันดีสำหรับเด็กนักเรียนในสูตร: "กางเกงปีทาโกรัส เท่ากันทุกทิศทาง" เนื่องจากการพิสูจน์ได้รับจากตัวอย่างสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่ว

ไซน์ โคไซน์ และการพึ่งพาอื่นๆ สร้างความสัมพันธ์ระหว่างมุมแหลมและด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ เราให้สูตรสำหรับการคำนวณปริมาณเหล่านี้สำหรับมุม A และติดตามความสัมพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ:

อย่างที่คุณเห็น tg และ ctg เป็นฟังก์ชันผกผัน ถ้าเราแทนเจนต์ a เป็นผลคูณของ sin A และด้านตรงข้ามมุมฉาก c และขา b เป็น cos A * c เราจะได้สูตรแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ต่อไปนี้:

วงกลมตรีโกณมิติ

ในเชิงกราฟิก อัตราส่วนของปริมาณที่กล่าวถึงสามารถแสดงได้ดังนี้:

ในกรณีนี้ วงกลมแสดงถึงค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของมุม α - ตั้งแต่ 0° ถึง 360° ดังที่เห็นได้จากรูป แต่ละฟังก์ชันจะใช้ค่าลบหรือบวกขึ้นอยู่กับมุม ตัวอย่างเช่น sin α จะมีเครื่องหมาย "+" ถ้า α อยู่ในไตรมาสที่ I และ II ของวงกลม นั่นคืออยู่ในช่วงตั้งแต่ 0 ° ถึง 180 ° ด้วย α ตั้งแต่ 180° ถึง 360° (ไตรมาส III และ IV) sin α จะเป็นค่าลบได้เท่านั้น

มาลองสร้างตารางตรีโกณมิติสำหรับมุมเฉพาะและค้นหาความหมายของปริมาณ

ค่าของ α เท่ากับ 30°, 45°, 60°, 90°, 180° และอื่นๆ เรียกว่ากรณีพิเศษ ค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติจะถูกคำนวณและนำเสนอในรูปแบบของตารางพิเศษ

มุมเหล่านี้ไม่ได้ถูกเลือกโดยบังเอิญ การกำหนด π ในตารางเป็นเรเดียน Rad คือมุมที่ความยาวของส่วนโค้งวงกลมสอดคล้องกับรัศมีของมัน ค่านี้ถูกนำมาใช้เพื่อสร้างความสัมพันธ์สากล เมื่อคำนวณเป็นเรเดียน ความยาวจริงของรัศมีเป็นซม. ไม่สำคัญ

มุมในตารางสำหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติสอดคล้องกับค่าเรเดียน:

ดังนั้นจึงเดาได้ไม่ยากว่า 2π เป็นวงกลมเต็มวงหรือ 360°

คุณสมบัติของฟังก์ชันตรีโกณมิติ: ไซน์และโคไซน์

ในการพิจารณาและเปรียบเทียบคุณสมบัติพื้นฐานของไซน์และโคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ จำเป็นต้องวาดฟังก์ชันของพวกมัน ซึ่งสามารถทำได้ในรูปแบบของเส้นโค้งที่อยู่ในระบบพิกัดสองมิติ

พิจารณาตารางเปรียบเทียบคุณสมบัติของคลื่นไซน์และคลื่นโคไซน์:

ไซนัส	คลื่นโคไซน์
y = บาป x	y = cos x
ODZ [-1; หนึ่ง]	ODZ [-1; หนึ่ง]
บาป x = 0 สำหรับ x = πk โดยที่ k ϵ Z	cos x = 0 สำหรับ x = π/2 + πk โดยที่ k ϵ Z
บาป x = 1 สำหรับ x = π/2 + 2πk โดยที่ k ϵ Z	cos x = 1 สำหรับ x = 2πk โดยที่ k ϵ Z
บาป x = - 1 ที่ x = 3π/2 + 2πk โดยที่ k ϵ Z	cos x = - 1 สำหรับ x = π + 2πk โดยที่ k ϵ Z
บาป (-x) = - บาป x เช่น ฟังก์ชันคี่	cos (-x) = cos x เช่น ฟังก์ชันเป็นเลขคู่
	ฟังก์ชันเป็นคาบ คาบที่เล็กที่สุดคือ 2π
sin x › 0 โดย x เป็นของไตรมาส I และ II หรือตั้งแต่ 0° ถึง 180° (2πk, π + 2πk)	cos x › 0 โดย x เป็นของไตรมาส I และ IV หรือตั้งแต่ 270° ถึง 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
sin x ‹ 0 โดย x อยู่ในควอเตอร์ III และ IV หรือตั้งแต่ 180° ถึง 360° (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹ 0 โดย x เป็นของไตรมาส II และ III หรือตั้งแต่ 90° ถึง 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
เพิ่มขึ้นในช่วงเวลา [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk]	เพิ่มขึ้นในช่วงเวลา [-π + 2πk, 2πk]
ลดลงตามช่วงเวลา [ π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk]	ลดลงเป็นระยะ
อนุพันธ์ (sin x)' = cos x	อนุพันธ์ (cos x)’ = - บาป x

การพิจารณาว่าฟังก์ชันเป็นเลขคู่หรือไม่นั้นง่ายมาก ก็เพียงพอแล้วที่จะจินตนาการถึงวงกลมตรีโกณมิติที่มีสัญญาณของปริมาณตรีโกณมิติและ "พับ" กราฟทางจิตใจเมื่อเทียบกับแกน OX ถ้าเครื่องหมายเหมือนกัน ฟังก์ชันจะเป็นเลขคู่ มิฉะนั้นจะเป็นเลขคี่

การแนะนำเรเดียนและการแจกแจงคุณสมบัติหลักของคลื่นไซน์และโคไซน์ทำให้เราสามารถนำรูปแบบต่อไปนี้:

การตรวจสอบความถูกต้องของสูตรทำได้ง่ายมาก ตัวอย่างเช่น สำหรับ x = π/2 ไซน์เท่ากับ 1 เช่นเดียวกับโคไซน์ของ x = 0 การตรวจสอบสามารถทำได้โดยดูที่ตารางหรือโดยการติดตามเส้นโค้งของฟังก์ชันสำหรับค่าที่กำหนด

คุณสมบัติของแทนเจนนอยด์และโคแทนเจนทอยด์

กราฟของฟังก์ชันแทนเจนต์และโคแทนเจนต์แตกต่างอย่างมากจากคลื่นไซน์และโคไซน์ ค่า tg และ ctg จะตรงกันข้ามกัน

1. Y = tgx.
2. เส้นสัมผัสมีค่าเท่ากับ y ที่ x = π/2 + πk แต่ไม่ถึงค่าเหล่านั้น
3. คาบบวกที่เล็กที่สุดของแทนเจนต์อยด์คือ π
4. Tg (- x) \u003d - tg x, เช่น ฟังก์ชันเป็นเลขคี่
5. Tg x = 0 สำหรับ x = πk
6. ฟังก์ชั่นเพิ่มขึ้น
7. Tg x › 0 สำหรับ x ϵ (πk, π/2 + πk)
8. Tg x ‹ 0 สำหรับ x ϵ (— π/2 + πk, πk)
9. อนุพันธ์ (tg x)' = 1/cos 2 ⁡x

พิจารณาการแสดงกราฟิกของ cotangentoid ด้านล่างในข้อความ

คุณสมบัติหลักของ cotangentoid:

1. Y = ctgx.
2. ซึ่งแตกต่างจากฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ในแทนเจนต์อยด์ Y สามารถรับค่าของชุดของจำนวนจริงทั้งหมดได้
3. cotangentoid มีแนวโน้มที่จะมีค่า y ที่ x = πk แต่ไม่ถึงค่านั้น
4. คาบบวกที่เล็กที่สุดของโคแทนเจนนอยด์คือ π
5. Ctg (- x) \u003d - ctg x, เช่น ฟังก์ชันเป็นเลขคี่
6. Ctg x = 0 สำหรับ x = π/2 + πk
7. ฟังก์ชันจะลดลง
8. Ctg x › 0 สำหรับ x ϵ (πk, π/2 + πk)
9. Ctg x ‹ 0 สำหรับ x ϵ (π/2 + πk, πk)
10. อนุพันธ์ (ctg x)' = - 1/บาป 2 ⁡x แก้ไข

เราเริ่มศึกษาตรีโกณมิติด้วยรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เรามานิยามกันว่าไซน์และโคไซน์คืออะไร รวมทั้งแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมแหลม นี่คือพื้นฐานของตรีโกณมิติ

จำได้ว่า มุมฉากเป็นมุมเท่ากับ 90 องศา กล่าวอีกนัยหนึ่งคือครึ่งหนึ่งของมุมที่กางออก

มุมแหลม- น้อยกว่า 90 องศา

มุมป้าน- มากกว่า 90 องศา เกี่ยวกับมุมดังกล่าว "ทื่อ" ไม่ใช่การดูถูก แต่เป็นศัพท์ทางคณิตศาสตร์ :-)

ลองวาดรูปสามเหลี่ยมมุมฉากกัน มุมฉากมักจะแสดงแทน โปรดทราบว่าด้านตรงข้ามมุมจะแสดงด้วยตัวอักษรเดียวกัน ตัวเล็กเท่านั้น ดังนั้นด้านที่อยู่ตรงข้ามกับมุม A จึงแสดงแทน

มุมจะแสดงด้วยตัวอักษรกรีกที่เกี่ยวข้อง

ด้านตรงข้ามมุมฉากสามเหลี่ยมมุมฉากคือด้านตรงข้ามมุมฉาก

ขา- ด้านตรงข้ามมุมแหลม

ขาตรงข้ามมุม ก็เรียก ตรงข้าม(เทียบกับมุม). ขาอีกข้างหนึ่งซึ่งพาดอยู่ที่มุมด้านใดด้านหนึ่ง ก็เรียก ที่อยู่ติดกัน.

ไซนัสมุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วนของขาตรงข้ามกับด้านตรงข้ามมุมฉาก:

โคไซน์มุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก - อัตราส่วนของขาข้างเคียงต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก:

แทนเจนต์มุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก - อัตราส่วนของขาตรงข้ามกับด้านที่อยู่ติดกัน:

คำจำกัดความอื่น (เทียบเท่า): แทนเจนต์ของมุมแหลมคืออัตราส่วนของไซน์ของมุมต่อโคไซน์:

โคแทนเจนต์มุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก - อัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันกับฝั่งตรงข้าม (หรืออัตราส่วนของโคไซน์ต่อไซน์เท่ากัน):

ให้ความสนใจกับอัตราส่วนพื้นฐานสำหรับไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ ซึ่งแสดงไว้ด้านล่าง พวกเขาจะเป็นประโยชน์กับเราในการแก้ปัญหา

มาพิสูจน์กันหน่อย

โอเค เราได้ให้คำจำกัดความและสูตรที่เป็นลายลักษณ์อักษรแล้ว แต่ทำไมเราถึงต้องการไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์

เรารู้ว่า ผลบวกของมุมของสามเหลี่ยมใดๆ เท่ากับ.

เราทราบความสัมพันธ์ระหว่าง ปาร์ตี้สามเหลี่ยมมุมฉาก. นี่คือทฤษฎีบทพีทาโกรัส: .

ปรากฎว่าเมื่อรู้สองมุมในรูปสามเหลี่ยมแล้ว คุณก็จะหามุมที่สามได้ เมื่อรู้ด้านสองด้านในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากแล้ว คุณจะหาด้านที่สามได้ ดังนั้นสำหรับมุม - อัตราส่วนสำหรับด้านข้าง - ของมันเอง แต่จะทำอย่างไรถ้าในสามเหลี่ยมมุมฉากมีมุมหนึ่ง (ยกเว้นมุมขวา) และด้านหนึ่งเป็นที่รู้จัก แต่คุณต้องหาด้านอื่น

นี่คือสิ่งที่ผู้คนในสมัยก่อนทำแผนที่ของพื้นที่และท้องฟ้าที่เต็มไปด้วยดวงดาว ท้ายที่สุดแล้ว การวัดทุกด้านของรูปสามเหลี่ยมโดยตรงนั้นเป็นไปไม่ได้เสมอไป

ไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ - เรียกอีกอย่างว่า ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม- ให้อัตราส่วนระหว่าง ปาร์ตี้และ มุมสามเหลี่ยม. เมื่อทราบมุมแล้ว คุณสามารถค้นหาฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้งหมดโดยใช้ตารางพิเศษ และเมื่อรู้ค่าไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ของมุมของสามเหลี่ยมและด้านใดด้านหนึ่งแล้ว คุณจะหาส่วนที่เหลือได้

เราจะวาดตารางค่าไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์สำหรับมุม "ดี" จาก ถึง

สังเกตขีดสีแดงสองขีดในตาราง สำหรับค่ามุมที่สอดคล้องกันจะไม่มีแทนเจนต์และโคแทนเจนต์

มาวิเคราะห์ปัญหาต่างๆ ในตรีโกณมิติจากงาน Bank of FIPI กัน

1. ในรูปสามเหลี่ยม มุมคือ , . หา .

ปัญหาได้รับการแก้ไขในสี่วินาที

เพราะว่า , .

2. ในรูปสามเหลี่ยม มุมคือ , , . หา .

มาหาทฤษฎีบทพีทาโกรัสกัน

แก้ไขปัญหา.

บ่อยครั้งในปัญหาจะมีรูปสามเหลี่ยมที่มีมุม และ หรือ มีมุม และ . จำอัตราส่วนพื้นฐานสำหรับพวกเขาให้ขึ้นใจ!

สำหรับรูปสามเหลี่ยมที่มีมุมและขาตรงข้ามมุมที่ เท่ากับ ครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉาก.

สามเหลี่ยมที่มีมุมและเป็นหน้าจั่ว ด้านตรงข้ามมุมฉากนั้นใหญ่กว่าขาหลายเท่า

เราพิจารณาปัญหาในการแก้สามเหลี่ยมมุมฉาก นั่นคือ การหาด้านหรือมุมที่ไม่รู้จัก แต่นั่นไม่ใช่ทั้งหมด! ในรูปแบบต่างๆ ของข้อสอบในวิชาคณิตศาสตร์ มีหลายงานที่ค่าไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์หรือโคแทนเจนต์ของมุมภายนอกของสามเหลี่ยมปรากฏขึ้น เพิ่มเติมเกี่ยวกับเรื่องนี้ในบทความถัดไป

แนวคิดของไซน์ (), โคไซน์ (), แทนเจนต์ (), โคแทนเจนต์ () มีความเชื่อมโยงอย่างแยกไม่ออกกับแนวคิดของมุม เพื่อทำความเข้าใจแนวคิดที่ซับซ้อนเหล่านี้ในแวบแรก (ซึ่งทำให้เกิดสภาพสยองขวัญในเด็กนักเรียนหลายคน) และเพื่อให้แน่ใจว่า "ปีศาจไม่น่ากลัวเท่าที่เขาวาด" เริ่มจากจุดเริ่มต้น และเข้าใจแนวคิดของมุม

แนวคิดของมุม: เรเดียน, องศา

ลองดูที่ภาพ เวกเตอร์ "หัน" สัมพันธ์กับจุดด้วยจำนวนที่แน่นอน ดังนั้นการวัดการหมุนนี้เทียบกับตำแหน่งเริ่มต้นจะเป็น มุม.

คุณต้องรู้อะไรอีกบ้างเกี่ยวกับแนวคิดเรื่องมุม แน่นอนว่าหน่วยของมุม!

มุม ทั้งในรูปทรงเรขาคณิตและตรีโกณมิติ สามารถวัดเป็นองศาและเรเดียนได้

มุมที่ (หนึ่งองศา) คือมุมศูนย์กลางในวงกลม โดยอ้างอิงจากส่วนโค้งวงกลมที่เท่ากับส่วนของวงกลม ดังนั้น วงกลมทั้งหมดจึงประกอบด้วย "ชิ้นส่วน" ของส่วนโค้งวงกลม หรือมุมที่วงกลมอธิบายไว้มีค่าเท่ากัน

นั่นคือ รูปด้านบนแสดงมุมที่เท่ากัน นั่นคือ มุมนี้ขึ้นอยู่กับส่วนโค้งวงกลมที่มีขนาดของเส้นรอบวง

มุมในเรเดียนเรียกว่ามุมศูนย์กลางในวงกลม โดยขึ้นอยู่กับส่วนโค้งของวงกลม ซึ่งความยาวเท่ากับรัศมีของวงกลม เข้าใจแล้วใช่ไหม? ถ้าไม่อย่างนั้นเรามาดูรูปกัน

ดังนั้น รูปแสดงมุมเท่ากับเรเดียน นั่นคือมุมนี้ขึ้นอยู่กับส่วนโค้งวงกลม ซึ่งความยาวเท่ากับรัศมีของวงกลม (ความยาวเท่ากับความยาวหรือรัศมีเท่ากับ ความยาวของส่วนโค้ง) ดังนั้นความยาวของส่วนโค้งจึงคำนวณโดยสูตร:

มุมศูนย์กลางในหน่วยเรเดียนอยู่ที่ไหน

เมื่อรู้อย่างนี้แล้ว คุณจะตอบได้ไหมว่าวงกลมมีมุมกี่เรเดียน ใช่ สำหรับสิ่งนี้คุณต้องจำสูตรสำหรับเส้นรอบวงของวงกลม เธออยู่ที่นั่น:

ตอนนี้เรามาเชื่อมโยงสูตรทั้งสองนี้เข้าด้วยกันและรับว่ามุมที่วงกลมอธิบายไว้นั้นเท่ากัน นั่นคือเราได้รับความสัมพันธ์ระหว่างค่าในองศาและเรเดียน ตามลำดับ. อย่างที่คุณเห็น คำว่า "เรเดียน" นั้นไม่เหมือนกับ "องศา" เนื่องจากหน่วยวัดมักจะชัดเจนจากบริบท

เท่ากับกี่เรเดียน? ถูกตัอง!

เข้าใจแล้ว? จากนั้นกรอไปข้างหน้า:

ความยากลำบากใด ๆ ? จากนั้นดู คำตอบ:

สามเหลี่ยมมุมฉาก: ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ โคแทนเจนต์ของมุม

ด้วยแนวคิดของมุมที่คิดออก แต่ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ โคแทนเจนต์ของมุมคืออะไร ลองคิดดูสิ สำหรับสิ่งนี้ สามเหลี่ยมมุมฉากจะช่วยเราได้

ด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากเรียกว่าอะไร? ถูกต้อง ด้านตรงข้ามมุมฉากและขา ด้านตรงข้ามมุมฉากคือด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมฉาก (ในตัวอย่างของเรา นี่คือด้าน); ขาเป็นอีกสองด้านที่เหลือและ (ด้านที่อยู่ติดกับมุมฉาก) ยิ่งกว่านั้น หากเราพิจารณาขาด้วยความเคารพมุม ขาก็คือขาที่อยู่ติดกัน และขาก็คือขาที่อยู่ตรงข้ามกัน ตอนนี้เรามาตอบคำถาม: ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของมุมคืออะไร

ไซน์ของมุมคืออัตราส่วนของขาตรงข้าม (ไกล) ต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก

ในสามเหลี่ยมของเรา

โคไซน์ของมุม- นี่คืออัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกัน (ปิด) กับด้านตรงข้ามมุมฉาก

ในสามเหลี่ยมของเรา

สัมผัสมุม- นี่คืออัตราส่วนของขาตรงข้าม (ไกล) ต่อขาข้างเคียง (ปิด)

ในสามเหลี่ยมของเรา

โคแทนเจนต์ของมุม- นี่คืออัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกัน (ใกล้) กับฝั่งตรงข้าม (ไกล)

ในสามเหลี่ยมของเรา

คำจำกัดความเหล่านี้มีความจำเป็น จดจำ! เพื่อให้ง่ายต่อการจดจำว่าขาใดหารด้วยอะไร คุณต้องเข้าใจสิ่งนั้นอย่างชัดเจน สัมผัสกันและ โคแทนเจนต์นั่งเฉพาะขาและด้านตรงข้ามมุมฉากปรากฏขึ้นเท่านั้น ไซนัสและ โคไซน์. จากนั้นคุณสามารถสร้างห่วงโซ่ของสมาคมได้ ตัวอย่างเช่นอันนี้:

โคไซน์→สัมผัส→สัมผัส→อยู่ติดกัน;

โคแทนเจนต์→สัมผัส→สัมผัส→ที่อยู่ติดกัน

ก่อนอื่น จำเป็นต้องจำไว้ว่าไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์เป็นอัตราส่วนของด้านต่างๆ ของรูปสามเหลี่ยมไม่ได้ขึ้นอยู่กับความยาวของด้านเหล่านี้ (ที่มุมหนึ่ง) ไม่ไว้วางใจ? จากนั้นตรวจสอบให้แน่ใจโดยดูที่รูปภาพ:

ตัวอย่างเช่น พิจารณาโคไซน์ของมุม ตามคำนิยาม จากรูปสามเหลี่ยม แต่เราสามารถคำนวณโคไซน์ของมุมจากรูปสามเหลี่ยมได้: . คุณจะเห็นว่าความยาวของด้านต่างกัน แต่ค่าโคไซน์ของมุมหนึ่งเท่ากัน ดังนั้นค่าของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์จึงขึ้นอยู่กับขนาดของมุมเท่านั้น

หากคุณเข้าใจคำจำกัดความแล้ว ดำเนินการแก้ไขได้เลย!

สำหรับรูปสามเหลี่ยมที่แสดงในรูปด้านล่าง เราจะพบ

คุณได้รับมันหรือไม่ จากนั้นลองด้วยตัวเอง: คำนวณมุมเดียวกัน

วงกลมหน่วย (ตรีโกณมิติ)

เมื่อเข้าใจแนวคิดขององศาและเรเดียนแล้ว เราพิจารณาวงกลมที่มีรัศมีเท่ากับ วงกลมดังกล่าวเรียกว่า เดี่ยว. มีประโยชน์มากในการศึกษาวิชาตรีโกณมิติ ดังนั้นเราจึงอาศัยรายละเอียดเพิ่มเติมเล็กน้อย

อย่างที่คุณเห็น วงกลมนี้สร้างขึ้นในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน รัศมีของวงกลมเท่ากับหนึ่ง ในขณะที่จุดศูนย์กลางของวงกลมอยู่ที่จุดกำเนิด ตำแหน่งเริ่มต้นของเวกเตอร์รัศมีจะคงที่ตามทิศทางบวกของแกน (ในตัวอย่างของเรา นี่คือรัศมี)

แต่ละจุดของวงกลมสอดคล้องกับตัวเลขสองตัว: พิกัดตามแนวแกนและพิกัดตามแนวแกน หมายเลขพิกัดเหล่านี้คืออะไร? และโดยทั่วไปแล้วพวกเขาจะทำอย่างไรกับหัวข้อที่อยู่ในมือ? ในการทำเช่นนี้จำเกี่ยวกับสามเหลี่ยมมุมฉากที่พิจารณา ในรูปด้านบน คุณจะเห็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากทั้งหมดสองรูป พิจารณารูปสามเหลี่ยม เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเพราะตั้งฉากกับแกน

เท่ากับอะไรจากรูปสามเหลี่ยม? ถูกตัอง. นอกจากนี้ เรารู้ว่านั่นคือรัศมีของวงกลมหนึ่งหน่วย ดังนั้น แทนค่านี้ลงในสูตรโคไซน์ของเรา นี่คือสิ่งที่เกิดขึ้น:

และเท่ากับอะไรจากสามเหลี่ยม? แน่นอน ! แทนค่ารัศมีลงในสูตรนี้แล้วจะได้:

คุณบอกฉันได้ไหมว่าพิกัดของจุดที่อยู่ในวงกลมคืออะไร ไม่มีทาง? และถ้าคุณรู้ว่าเป็นเพียงตัวเลข? ตรงกับพิกัดใด แน่นอนพิกัด! ตรงกับพิกัดใด ถูกต้องแล้ว ประสานงาน! ดังนั้นประเด็น

แล้วอะไรจะเท่ากัน และ? ถูกต้อง ลองใช้คำจำกัดความที่เหมาะสมของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์แล้วรับสิ่งนั้น

เกิดอะไรขึ้นถ้ามุมมีขนาดใหญ่ขึ้น? ตัวอย่างเช่นในภาพนี้:

มีอะไรเปลี่ยนแปลงในตัวอย่างนี้บ้าง? ลองคิดดูสิ ในการทำเช่นนี้เราหมุนเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากอีกครั้ง พิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉาก: มุม (ซึ่งอยู่ติดกับมุม) ค่าไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของมุมมีค่าเท่าใด ถูกต้อง เราปฏิบัติตามคำจำกัดความที่เกี่ยวข้องของฟังก์ชันตรีโกณมิติ:

อย่างที่คุณเห็น ค่าของไซน์ของมุมยังคงสอดคล้องกับพิกัด ค่าของโคไซน์ของมุม - พิกัด และค่าของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์กับอัตราส่วนที่สอดคล้องกัน ดังนั้น ความสัมพันธ์เหล่านี้ใช้ได้กับการหมุนของเวกเตอร์รัศมี

ได้มีการกล่าวไว้แล้วว่าตำแหน่งเริ่มต้นของเวกเตอร์รัศมีนั้นอยู่ในทิศทางบวกของแกน จนถึงตอนนี้เราได้หมุนเวกเตอร์นี้ทวนเข็มนาฬิกา แต่จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเราหมุนตามเข็มนาฬิกา ไม่มีอะไรพิเศษ คุณจะได้มุมที่มีขนาดที่แน่นอน แต่มันจะเป็นลบเท่านั้น ดังนั้นเมื่อหมุนเวกเตอร์รัศมีทวนเข็มนาฬิกา เราจะได้ มุมบวกและเมื่อหมุนตามเข็มนาฬิกา - เชิงลบ.

เรารู้ว่าการปฏิวัติทั้งหมดของเวกเตอร์รัศมีรอบวงกลมคือ or เป็นไปได้ไหมที่จะหมุนเวกเตอร์รัศมีทีละหรือรอบ แน่นอนคุณทำได้! ดังนั้น ในกรณีแรก เวกเตอร์รัศมีจะทำการปฏิวัติหนึ่งรอบจนเสร็จสิ้นและหยุดที่ตำแหน่ง หรือ

ในกรณีที่สอง นั่นคือ เวกเตอร์รัศมีจะทำการหมุนครบสามครั้งและหยุดที่ตำแหน่ง หรือ

ดังนั้น จากตัวอย่างข้างต้น เราสามารถสรุปได้ว่ามุมที่ต่างกันโดยหรือ (โดยที่จำนวนเต็มใดๆ) ตรงกับตำแหน่งเดียวกันของเวกเตอร์รัศมี

รูปด้านล่างแสดงมุม ภาพเดียวกันสอดคล้องกับมุมและอื่น ๆ รายการนี้สามารถดำเนินการต่อไปเรื่อย ๆ มุมทั้งหมดนี้สามารถเขียนได้ด้วยสูตรทั่วไปหรือ (โดยที่จำนวนเต็มใดๆ)

ตอนนี้เมื่อรู้คำจำกัดความของฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐานและการใช้วงกลมหน่วยแล้ว ให้ลองตอบคำถามว่าค่าใดเท่ากับ:

นี่คือวงกลมหนึ่งหน่วยที่จะช่วยคุณ:

ความยากลำบากใด ๆ ? ถ้าอย่างนั้นลองคิดดู ดังนั้นเราจึงรู้ว่า:

จากที่นี่ เราจะกำหนดพิกัดของจุดที่สอดคล้องกับการวัดมุมบางอย่าง มาเริ่มกันเลย: มุมที่สอดคล้องกับจุดที่มีพิกัดดังนั้น:

ไม่ได้อยู่;

นอกจากนี้ การปฏิบัติตามตรรกะเดียวกัน เราพบว่ามุมที่สอดคล้องกับจุดที่มีพิกัดตามลำดับ เมื่อรู้สิ่งนี้แล้ว มันเป็นเรื่องง่ายที่จะกำหนดค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ ณ จุดที่สอดคล้องกัน ลองทำด้วยตัวเองก่อน แล้วค่อยตรวจคำตอบ

คำตอบ:

ไม่ได้อยู่

ไม่ได้อยู่

ไม่ได้อยู่

ไม่ได้อยู่

ดังนั้นเราจึงสามารถสร้างตารางต่อไปนี้:

ไม่จำเป็นต้องจำค่าเหล่านี้ทั้งหมด ก็เพียงพอแล้วที่จะจำความสอดคล้องระหว่างพิกัดของจุดบนวงกลมหนึ่งหน่วยกับค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ:

แต่ค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมในและที่กำหนดในตารางด้านล่าง ต้องจดจำ:

อย่ากลัวตอนนี้เราจะแสดงตัวอย่างหนึ่ง การท่องจำค่าที่เกี่ยวข้องค่อนข้างง่าย:

ในการใช้วิธีนี้ สิ่งสำคัญคือต้องจำค่าของไซน์สำหรับการวัดทั้งสามของมุม () รวมถึงค่าของแทนเจนต์ของมุมด้วย เมื่อรู้ค่าเหล่านี้แล้ว การคืนค่าตารางทั้งหมดจึงค่อนข้างง่าย - ค่าโคไซน์จะถูกถ่ายโอนตามลูกศร นั่นคือ:

เมื่อรู้สิ่งนี้ คุณสามารถคืนค่าสำหรับ ตัวเศษ " " จะตรงกันและตัวส่วน " " จะตรงกัน ค่าโคแทนเจนต์จะถูกถ่ายโอนตามลูกศรที่แสดงในรูป หากคุณเข้าใจสิ่งนี้และจำไดอะแกรมที่มีลูกศรได้ ก็เพียงพอที่จะจำค่าทั้งหมดจากตารางได้

พิกัดของจุดบนวงกลม

เป็นไปได้ไหมที่จะหาจุด (พิกัด) บนวงกลม รู้พิกัดของจุดศูนย์กลางของวงกลม รัศมี และมุมของการหมุน?

แน่นอนคุณทำได้! ออกมากันเถอะ สูตรทั่วไปสำหรับการหาพิกัดของจุด.

ตัวอย่างเช่น เรามีวงกลมดังกล่าว:

เรากำหนดว่าจุดนั้นเป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม รัศมีของวงกลมเท่ากัน จำเป็นต้องค้นหาพิกัดของจุดที่ได้จากการหมุนจุดเป็นองศา

ดังที่เห็นได้จากรูป พิกัดของจุดสอดคล้องกับความยาวของส่วน ความยาวของส่วนสอดคล้องกับพิกัดของศูนย์กลางของวงกลมนั่นคือเท่ากับ ความยาวของส่วนสามารถแสดงได้โดยใช้คำจำกัดความของโคไซน์:

จากนั้นเราก็มีจุดพิกัด

ด้วยตรรกะเดียวกัน เราจะหาค่าของพิกัด y สำหรับจุดนั้น ทางนี้,

โดยทั่วไปแล้ว พิกัดของจุดจะถูกกำหนดโดยสูตร:

พิกัดศูนย์กลางวงกลม

รัศมีวงกลม,

มุมของการหมุนของเวกเตอร์รัศมี

อย่างที่คุณเห็น สำหรับวงกลมหน่วยที่เรากำลังพิจารณา สูตรเหล่านี้จะลดลงอย่างมาก เนื่องจากพิกัดของจุดศูนย์กลางเป็นศูนย์ และรัศมีเท่ากับหนึ่ง:

มาลองชิมสูตรเหล่านี้ฝึกหาจุดบนวงกลมกันดีไหม?

1. ค้นหาพิกัดของจุดบนวงกลมหนึ่งหน่วยที่ได้จากการหมุนจุด

2. ค้นหาพิกัดของจุดบนวงกลมหนึ่งหน่วยที่ได้จากการหมุนจุด

3. ค้นหาพิกัดของจุดบนวงกลมหนึ่งหน่วยที่ได้จากการเปลี่ยนจุด

4. จุด - ศูนย์กลางของวงกลม รัศมีของวงกลมเท่ากัน จำเป็นต้องค้นหาพิกัดของจุดที่ได้จากการหมุนเวกเตอร์รัศมีเริ่มต้นโดย

5. จุด - ศูนย์กลางของวงกลม รัศมีของวงกลมเท่ากัน จำเป็นต้องค้นหาพิกัดของจุดที่ได้จากการหมุนเวกเตอร์รัศมีเริ่มต้นโดย

มีปัญหาในการหาพิกัดของจุดบนวงกลมใช่หรือไม่?

แก้ห้าตัวอย่างนี้ (หรือเข้าใจวิธีแก้ปัญหาให้ดี) แล้วคุณจะได้เรียนรู้วิธีการหามัน!

1.

จะเห็นได้ว่า และเรารู้ว่าอะไรสอดคล้องกับจุดเริ่มต้นทั้งหมด ดังนั้นจุดที่ต้องการจะอยู่ในตำแหน่งเดียวกับเมื่อเลี้ยวไป เมื่อรู้สิ่งนี้เราจะค้นหาพิกัดที่ต้องการของจุด:

2. วงกลมเป็นหน่วยที่มีจุดศูนย์กลาง ซึ่งหมายความว่าเราสามารถใช้สูตรอย่างง่ายได้:

จะเห็นได้ว่า เรารู้ว่าอะไรสอดคล้องกับการหมุนสองรอบของจุดเริ่มต้น ดังนั้นจุดที่ต้องการจะอยู่ในตำแหน่งเดียวกับเมื่อเลี้ยวไป เมื่อรู้สิ่งนี้เราจะค้นหาพิกัดที่ต้องการของจุด:

ไซน์และโคไซน์เป็นค่าตาราง เราจำค่าของพวกเขาและรับ:

ดังนั้นจุดที่ต้องการจึงมีพิกัด

3. วงกลมเป็นหน่วยที่มีจุดศูนย์กลาง ซึ่งหมายความว่าเราสามารถใช้สูตรอย่างง่ายได้:

จะเห็นได้ว่า มาอธิบายตัวอย่างที่พิจารณาในรูป:

รัศมีทำมุมกับแกนเท่ากับ และ เมื่อรู้ว่าค่าตารางของโคไซน์และไซน์เท่ากัน และเมื่อพิจารณาแล้วว่าโคไซน์มีค่าเป็นลบและไซน์เป็นค่าบวก เรามี:

ตัวอย่างที่คล้ายกันได้รับการวิเคราะห์โดยละเอียดมากขึ้นเมื่อศึกษาสูตรสำหรับลดฟังก์ชันตรีโกณมิติในหัวข้อนี้

ดังนั้นจุดที่ต้องการจึงมีพิกัด

4.

มุมของการหมุนของเวกเตอร์รัศมี (ตามเงื่อนไข)

ในการกำหนดสัญญาณที่สอดคล้องกันของไซน์และโคไซน์ เราสร้างวงกลมหนึ่งหน่วยและมุม:

อย่างที่คุณเห็นค่าที่เป็นบวกและค่าที่เป็นลบ เมื่อทราบค่าตารางของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่สอดคล้องกัน เราได้รับสิ่งนั้น:

แทนค่าที่ได้รับลงในสูตรของเราแล้วค้นหาพิกัด:

ดังนั้นจุดที่ต้องการจึงมีพิกัด

5. เพื่อแก้ปัญหานี้ เราใช้สูตรในรูปแบบทั่วไป โดยที่

พิกัดของจุดศูนย์กลางของวงกลม (ในตัวอย่างของเรา

รัศมีวงกลม (ตามเงื่อนไข)

มุมของการหมุนของเวกเตอร์รัศมี (ตามเงื่อนไข)

แทนค่าทั้งหมดลงในสูตรและรับ:

และ - ค่าตาราง เราจำและแทนที่ลงในสูตร:

ดังนั้นจุดที่ต้องการจึงมีพิกัด

สรุปและสูตรพื้นฐาน

ไซน์ของมุมคืออัตราส่วนของขาตรงข้าม (ไกล) ต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก

โคไซน์ของมุมคืออัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกัน (ปิด) ต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก

เส้นสัมผัสของมุมคืออัตราส่วนของขาตรงข้าม (ไกล) ต่อขาข้างเคียง (ปิด)

โคแทนเจนต์ของมุมคืออัตราส่วนของขาข้างเคียง (ใกล้) กับขาข้างตรงข้าม (ไกล)

เลือกรูบริก หนังสือ คณิตศาสตร์ ฟิสิกส์ การควบคุมและการจัดการการเข้าถึง ความปลอดภัยจากอัคคีภัย ซัพพลายเออร์อุปกรณ์ที่มีประโยชน์ เครื่องมือวัด (KIP) การวัดความชื้น - ซัพพลายเออร์ในสหพันธรัฐรัสเซีย การวัดความดัน การวัดต้นทุน เครื่องวัดการไหล การวัดอุณหภูมิ การวัดระดับ มาตรวัดระดับ เทคโนโลยี Trenchless ระบบท่อน้ำทิ้ง ซัพพลายเออร์ปั๊มในสหพันธรัฐรัสเซีย ซ่อมปั้ม. อุปกรณ์เสริมท่อ. บัตเตอร์ฟลายวาล์ว (ดิสก์วาล์ว) ตรวจสอบวาล์ว กระดองควบคุม. ตัวกรองแบบตาข่าย ตัวสะสมโคลน ตัวกรองแบบกลไกแมกนิโต บอลวาล์ว. ท่อและองค์ประกอบของท่อ ซีลสำหรับเกลียว หน้าแปลน ฯลฯ มอเตอร์ไฟฟ้า ไดรฟ์ไฟฟ้า… คู่มือตัวอักษร นิกาย หน่วย รหัส… ตัวอักษร รวมถึง กรีกและละติน. สัญลักษณ์ รหัส Alpha, beta, gamma, delta, epsilon… ประเภทของเครือข่ายไฟฟ้า การแปลงหน่วย เดซิเบล ฝัน. พื้นหลัง. หน่วยของอะไร? หน่วยวัดความดันและสุญญากาศ การแปลงหน่วยความดันและสุญญากาศ หน่วยความยาว. การแปลหน่วยความยาว (ขนาดเชิงเส้น ระยะทาง) หน่วยปริมาตร. การแปลงหน่วยปริมาตร หน่วยความหนาแน่น การแปลงหน่วยความหนาแน่น หน่วยพื้นที่. การแปลงหน่วยพื้นที่. หน่วยวัดความแข็ง การแปลงหน่วยความแข็ง หน่วยอุณหภูมิ การแปลงหน่วยอุณหภูมิในมาตราส่วนเคลวิน / เซลเซียส / ฟาเรนไฮต์ / แรงคิน / เดไลล์ / นิวตัน / รีมัวร์ หน่วยวัดมุม ("มิติเชิงมุม") แปลงหน่วยของความเร็วเชิงมุมและความเร่งเชิงมุม ข้อผิดพลาดการวัดมาตรฐาน ก๊าซจะแตกต่างกันตามสื่อการทำงาน ไนโตรเจน N2 (สารทำความเย็น R728) แอมโมเนีย (สารทำความเย็น R717) สารป้องกันการแข็งตัว ไฮโดรเจน H^2 (สารทำความเย็น R702) ไอน้ำ อากาศ (บรรยากาศ) ก๊าซธรรมชาติ - ก๊าซธรรมชาติ. ก๊าซชีวภาพเป็นก๊าซในท่อน้ำทิ้ง ก๊าซเหลว เอ็นจีแอล. แอลเอ็นจี. โพรเพน-บิวเทน. ออกซิเจน O2 (สารทำความเย็น R732) น้ำมันและสารหล่อลื่น มีเทน CH4 (สารทำความเย็น R50) คุณสมบัติของน้ำ คาร์บอนมอนอกไซด์ CO. คาร์บอนมอนอกไซด์. คาร์บอนไดออกไซด์ CO2. (สารทำความเย็น R744) คลอรีน Cl2 ไฮโดรเจนคลอไรด์ HCl หรือกรดไฮโดรคลอริก สารทำความเย็น (สารทำความเย็น) สารทำความเย็น (สารทำความเย็น) R11 - ฟลูออโรไตรคลอโรมีเทน (CFCI3) สารทำความเย็น (สารทำความเย็น) R12 - ไดฟลูออโรไดคลอโรมีเทน (CF2CCl2) สารทำความเย็น (สารทำความเย็น) R125 - เพนตะฟลูออโรอีเทน (CF2HCF3) สารทำความเย็น (สารทำความเย็น) R134a - 1,1,1,2-Tetrafluoroethane (CF3CFH2) สารทำความเย็น (สารทำความเย็น) R22 - ไดฟลูออโรคลอโรมีเทน (CF2ClH) สารทำความเย็น (สารทำความเย็น) R32 - ไดฟลูออโรมีเทน (CH2F2) สารทำความเย็น (สารทำความเย็น) R407C - R-32 (23%) / R-125 (25%) / R-134a (52%) / เปอร์เซ็นต์โดยมวล วัสดุอื่น ๆ - คุณสมบัติทางความร้อน สารกัดกร่อน - กรวด, ความละเอียด, อุปกรณ์บด ดิน ดิน ทราย และหินอื่นๆ ตัวบ่งชี้การคลายตัว การหดตัว และความหนาแน่นของดินและหิน การหดตัวและการคลายตัว โหลด มุมลาด. ความสูงของหิ้งทิ้ง ไม้. ไม้. ไม้. บันทึก ฟืน…เซรามิกส์. กาวและข้อต่อกาว น้ำแข็งและหิมะ (น้ำแข็งในน้ำ) โลหะ อลูมิเนียมและโลหะผสมอลูมิเนียม ทองแดง บรอนซ์ และทองเหลือง บรอนซ์ ทองเหลือง ทองแดง (และการจำแนกประเภทของโลหะผสมทองแดง) นิกเกิลและโลหะผสม การปฏิบัติตามมาตรฐานเกรดของโลหะผสม เหล็กและโลหะผสม ตารางอ้างอิงน้ำหนักของผลิตภัณฑ์โลหะรีดและ ท่อ. +/-5% น้ำหนักท่อ น้ำหนักโลหะ คุณสมบัติทางกลของเหล็ก แร่เหล็กหล่อ. แร่ใยหินชนิดหนึ่ง. ผลิตภัณฑ์อาหารและวัตถุดิบอาหาร. คุณสมบัติ ฯลฯ เชื่อมโยงไปยังส่วนอื่นของโครงการ ยาง พลาสติก อีลาสโตเมอร์ โพลิเมอร์ คำอธิบายโดยละเอียดของอีลาสโตเมอร์ PU, TPU, X-PU, H-PU, XH-PU, S-PU, XS-PU, T-PU, G-PU (CPU), NBR, H-NBR, FPM, EPDM, MVQ , TFE/P, POM, PA-6, TPFE-1, TPFE-2, TPFE-3, TPFE-4, TPFE-5 (ดัดแปลง PTFE), ความแข็งแรงของวัสดุ โซพรหมัต. วัสดุก่อสร้าง. คุณสมบัติทางกายภาพ ทางกล และทางความร้อน คอนกรีต. โซลูชันคอนกรีต วิธีการแก้. อุปกรณ์ก่อสร้าง. เหล็กและอื่นๆ. ตารางการบังคับใช้วัสดุ ทนต่อสารเคมี. การบังคับใช้อุณหภูมิ ความต้านทานการกัดกร่อน วัสดุยาแนว - ยาแนวรอยต่อ. PTFE (ฟลูออโรพลาสต์-4) และวัสดุอนุพันธ์ เทป FUM กาวไร้อากาศ กาวยาแนวที่ไม่ทำให้แห้ง (ไม่แข็งตัว) กาวซิลิโคน (organosilicon) กราไฟต์ แร่ใยหิน พาโรไนต์ และวัสดุที่ได้มาจากพาโรไนต์ กราไฟต์ที่ขยายความร้อน (TRG, TMG) ​​องค์ประกอบ คุณสมบัติ. แอปพลิเคชัน. การผลิต. สุขภัณฑ์ลินิน ซีลยางอีลาสโตเมอร์ ฉนวนและวัสดุฉนวนความร้อน (เชื่อมโยงไปยังส่วนโครงการ) เทคนิคและแนวคิดทางวิศวกรรมการป้องกันการระเบิด. การคุ้มครองสิ่งแวดล้อม. การกัดกร่อน การปรับเปลี่ยนภูมิอากาศ (ตารางความเข้ากันได้ของวัสดุ) คลาสของความดัน อุณหภูมิ ความแน่น การลดลง (การสูญเสีย) ของความดัน — แนวคิดทางวิศวกรรม ป้องกันไฟ. ไฟไหม้ ทฤษฎีการควบคุมอัตโนมัติ (regulation) คู่มือคณิตศาสตร์ TAU เลขคณิต ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต และผลบวกของอนุกรมตัวเลข รูปทรงเรขาคณิต คุณสมบัติ สูตร: เส้นรอบวง พื้นที่ ปริมาตร ความยาว สามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม ฯลฯ องศาเป็นเรเดียน ตัวเลขแบน คุณสมบัติ ด้าน มุม เครื่องหมาย เส้นรอบรูป ความเท่ากัน ความเหมือน คอร์ด ภาค พื้นที่ ฯลฯ พื้นที่ของรูปร่างที่ไม่สม่ำเสมอ ปริมาตรของร่างกายที่ไม่สม่ำเสมอ ค่าเฉลี่ยของสัญญาณ สูตรและวิธีการคำนวณพื้นที่. กราฟ การสร้างกราฟ การอ่านแผนภูมิ แคลคูลัสอินทิกรัลและดิฟเฟอเรนเชียล อนุพันธ์แบบตารางและปริพันธ์ ตารางอนุพันธ์. ตารางปริพันธ์. ตารางของดั้งเดิม ค้นหาอนุพันธ์ ค้นหาอินทิกรัล ดิฟฟิวรี่. จำนวนเชิงซ้อน. หน่วยจินตภาพ พีชคณิตเชิงเส้น. (เวกเตอร์ เมทริกซ์) คณิตศาสตร์สำหรับเด็ก ชั้นอนุบาล - ชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 ตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์. คำตอบของสมการ สมการกำลังสองและสมการกำลังสอง สูตร วิธีการ การแก้สมการเชิงอนุพันธ์ ตัวอย่างการแก้สมการเชิงอนุพันธ์สามัญลำดับที่สูงกว่าอันแรก ตัวอย่างการแก้ปัญหาของสมการเชิงอนุพันธ์สามัญอันดับ 1 ที่ง่ายที่สุดที่แก้ไขได้เชิงวิเคราะห์ ระบบพิกัด สี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียน เชิงขั้ว ทรงกระบอก และทรงกลม สองมิติและสามมิติ ระบบตัวเลข. ตัวเลขและตัวเลข (จริง, เชิงซ้อน, ....) ตารางของระบบตัวเลข อนุกรมกำลังของ Taylor, Maclaurin (=McLaren) และอนุกรมฟูเรียร์เป็นระยะ การสลายฟังก์ชันเป็นอนุกรม ตารางลอการิทึมและสูตรพื้นฐาน ตารางค่าตัวเลข ตาราง Bradys ทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติ ฟังก์ชันตรีโกณมิติ สูตร และกราฟ sin, cos, tg, ctg….ค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ สูตรลดฟังก์ชันตรีโกณมิติ เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ วิธีการเชิงตัวเลข อุปกรณ์ - มาตรฐาน, ขนาด เครื่องใช้ในครัวเรือน, อุปกรณ์ภายในบ้าน ระบบระบายน้ำและระบายน้ำ. ความจุถังเก็บน้ำถัง. เครื่องมือวัดและการควบคุม เครื่องมือวัดและระบบอัตโนมัติ การวัดอุณหภูมิ สายพานลำเลียง. ตู้คอนเทนเนอร์ (ลิงค์) อุปกรณ์ห้องปฏิบัติการ ปั๊มและสถานีสูบน้ำ ปั๊มสำหรับของเหลวและเยื่อกระดาษ ศัพท์แสงทางวิศวกรรม พจนานุกรม. การตรวจคัดกรอง การกรอง การแยกอนุภาคด้วยตะแกรงและตะแกรง ความแข็งแรงโดยประมาณของเชือก สายไฟ สายไฟ เชือกที่ทำจากพลาสติกชนิดต่างๆ ผลิตภัณฑ์ยาง. ข้อต่อและสิ่งที่แนบมา เส้นผ่านศูนย์กลางแบบมีเงื่อนไข ขนาดเกลียว Du, DN, NPS และ NB เส้นผ่านศูนย์กลางเมตริกและนิ้ว SDR. กุญแจและรูกุญแจ มาตรฐานการสื่อสาร สัญญาณในระบบอัตโนมัติ (I&C) สัญญาณอินพุตและเอาต์พุตแบบอะนาล็อกของเครื่องมือ เซ็นเซอร์ เครื่องวัดอัตราการไหล และอุปกรณ์อัตโนมัติ อินเทอร์เฟซการเชื่อมต่อ โปรโตคอลการสื่อสาร (การสื่อสาร) โทรศัพท์ อุปกรณ์เสริมท่อ. เครนวาล์ว เกทวาล์ว…. ความยาวอาคาร หน้าแปลนและเกลียว มาตรฐาน มิติการเชื่อมต่อ หัวข้อ การกำหนด ขนาด การใช้ ประเภท ... (ลิงค์อ้างอิง) ท่อเชื่อมต่อ ("ถูกสุขอนามัย", "ปลอดเชื้อ") ในอุตสาหกรรมอาหาร นม และยา ท่อ, ท่อส่ง. เส้นผ่านศูนย์กลางท่อและลักษณะอื่นๆ ทางเลือกของเส้นผ่านศูนย์กลางท่อ อัตราการไหล. ค่าใช้จ่าย. ความแข็งแกร่ง. ตารางการเลือก แรงดันตก ท่อทองแดง. เส้นผ่านศูนย์กลางท่อและลักษณะอื่นๆ ท่อโพลีไวนิลคลอไรด์ (PVC). เส้นผ่านศูนย์กลางท่อและลักษณะอื่นๆ ท่อเป็นโพลีเอทิลีน เส้นผ่านศูนย์กลางท่อและลักษณะอื่นๆ ท่อโพลิเอทิลีน ภงด. เส้นผ่านศูนย์กลางท่อและลักษณะอื่นๆ ท่อเหล็ก (รวมถึงสแตนเลส) เส้นผ่านศูนย์กลางท่อและลักษณะอื่นๆ ท่อเป็นเหล็ก ท่อเป็นสแตนเลส ท่อสแตนเลส. เส้นผ่านศูนย์กลางท่อและลักษณะอื่นๆ ท่อเป็นสแตนเลส ท่อเหล็กคาร์บอน เส้นผ่านศูนย์กลางท่อและลักษณะอื่นๆ ท่อเป็นเหล็ก ฟิตติ้ง. หน้าแปลนตามมาตรฐาน GOST, DIN (EN 1092-1) และ ANSI (ASME) การเชื่อมต่อหน้าแปลน การเชื่อมต่อหน้าแปลน การเชื่อมต่อหน้าแปลน องค์ประกอบของท่อ โคมไฟฟ้า ขั้วไฟฟ้าและสายไฟ (สายเคเบิ้ล) มอเตอร์ไฟฟ้า มอเตอร์ไฟฟ้า. อุปกรณ์สวิตชิ่งไฟฟ้า. (ลิงก์ไปยังส่วน) มาตรฐานสำหรับชีวิตส่วนตัวของวิศวกร ภูมิศาสตร์สำหรับวิศวกร ระยะทาง เส้นทาง แผนที่….. วิศวกรในชีวิตประจำวัน ครอบครัว เด็ก สันทนาการ เสื้อผ้า และที่อยู่อาศัย ลูกวิศวกร. วิศวกรในสำนักงาน วิศวกรและบุคคลอื่นๆ การขัดเกลาทางสังคมของวิศวกร อยากรู้อยากเห็น วิศวกรพักผ่อน สิ่งนี้ทำให้เราตกใจ วิศวกรและอาหาร สูตรอาหารยูทิลิตี้ เคล็ดลับสำหรับร้านอาหาร การค้าระหว่างประเทศสำหรับวิศวกร เราเรียนรู้ที่จะคิดในแบบนักเลง การขนส่งและการเดินทาง รถยนต์ส่วนตัว จักรยาน…. ฟิสิกส์และเคมีของมนุษย์ เศรษฐศาสตร์สำหรับวิศวกร. นักการเงิน Bormotologiya - ภาษามนุษย์ แนวคิดและภาพวาดทางเทคโนโลยี การเขียนกระดาษ ภาพวาด สำนักงานและซองจดหมาย ขนาดภาพถ่ายมาตรฐาน การระบายอากาศและการปรับอากาศ. น้ำประปาและท่อน้ำทิ้ง น้ำร้อน (DHW) น้ำดื่ม น้ำเสีย. เครื่องทำน้ำเย็น อุตสาหกรรมกัลวานิค เครื่องทำความเย็น ท่อ/ระบบไอน้ำ สาย/ระบบคอนเดนเสท เส้นไอน้ำ ท่อคอนเดนเสท อุตสาหกรรมอาหาร การจัดหาก๊าซธรรมชาติ การเชื่อมโลหะ สัญลักษณ์และการกำหนดอุปกรณ์บนแบบและไดอะแกรม การแสดงกราฟิกเชิงสัญลักษณ์ในโครงการทำความร้อน การระบายอากาศ การปรับอากาศ และการจ่ายความร้อนและความเย็น ตามมาตรฐาน ANSI / ASHRAE 134-2005 การฆ่าเชื้ออุปกรณ์และวัสดุ การจ่ายความร้อน อุตสาหกรรมอิเล็กทรอนิกส์ แหล่งจ่ายไฟ ตัวอักษรอ้างอิงทางกายภาพ ได้รับการยอมรับ ค่าคงที่ทางกายภาพพื้นฐาน ความชื้นสัมบูรณ์ สัมพัทธ์ และเฉพาะเจาะจง ความชื้นในอากาศ ตารางไซโครเมตริก แผนภาพแรมซิน ความหนืดเวลา เลขเรย์โนลด์ (Re) หน่วยความหนืด ก๊าซ คุณสมบัติของก๊าซ ค่าคงที่ของก๊าซแต่ละตัว ความดันและสุญญากาศ สุญญากาศ ความยาว ระยะทาง มิติเชิงเส้น เสียง อัลตร้าซาวด์. ค่าสัมประสิทธิ์การดูดซับเสียง (ลิงก์ไปยังส่วนอื่น) สภาพภูมิอากาศ ข้อมูลภูมิอากาศ ข้อมูลธรรมชาติ SNiP 23-01-99 ภูมิอากาศวิทยาอาคาร. (สถิติข้อมูลภูมิอากาศ) SNIP 23-01-99 ตารางที่ 3 - อุณหภูมิอากาศเฉลี่ยรายเดือนและรายปี, °С อดีตสหภาพโซเวียต SNIP 23-01-99 ตารางที่ 1. พารามิเตอร์ภูมิอากาศของฤดูหนาวของปี RF SNIP 23-01-99 ตารางที่ 2 พารามิเตอร์ภูมิอากาศของฤดูร้อน อดีตสหภาพโซเวียต SNIP 23-01-99 ตารางที่ 2 พารามิเตอร์ภูมิอากาศของฤดูร้อน RF SNIP 23-01-99 ตารางที่ 3 อุณหภูมิอากาศเฉลี่ยรายเดือนและรายปี, °С RF SNiP 23-01-99 ตารางที่ 5a* - ความดันบางส่วนของไอน้ำเฉลี่ยรายเดือนและรายปี hPa = 10^2 Pa RF SNiP 23-01-99 ตารางที่ 1 พารามิเตอร์ภูมิอากาศของฤดูหนาว อดีตสหภาพโซเวียต ความหนาแน่น. น้ำหนัก. แรงดึงดูดเฉพาะ. ความหนาแน่นจำนวนมาก แรงตึงผิว. ความสามารถในการละลาย ความสามารถในการละลายของก๊าซและของแข็ง แสงและสี ค่าสัมประสิทธิ์การสะท้อน การดูดกลืน และการหักเหของแสง ตัวอักษรสี:) - การกำหนด (รหัส) ของสี (สี) คุณสมบัติของวัสดุและสื่อแช่แข็ง ตาราง ค่าสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานสำหรับวัสดุต่างๆ ปริมาณความร้อน รวมถึงอุณหภูมิของการเดือด การหลอมเหลว เปลวไฟ ฯลฯ…… สำหรับข้อมูลเพิ่มเติม โปรดดูที่: ค่าสัมประสิทธิ์อะเดียแบติก (ตัวบ่งชี้) การพาความร้อนและการแลกเปลี่ยนความร้อนเต็มรูปแบบ ค่าสัมประสิทธิ์ของการขยายตัวเชิงเส้นทางความร้อน การขยายตัวเชิงปริมาตรทางความร้อน อุณหภูมิ การเดือด การหลอมเหลว อื่นๆ... การแปลงหน่วยอุณหภูมิ ความสามารถในการติดไฟ อุณหภูมิอ่อนลง จุดเดือด จุดหลอมเหลว การนำความร้อน ค่าสัมประสิทธิ์การนำความร้อน เทอร์โมไดนามิกส์. ความร้อนเฉพาะของการกลายเป็นไอ (การควบแน่น) เอนทาลปีของการกลายเป็นไอ ความร้อนจำเพาะของการเผาไหม้ (ค่าความร้อน) ความต้องการออกซิเจน ปริมาณไฟฟ้าและแม่เหล็ก โมเมนต์ไดโพลไฟฟ้า ค่าคงที่ไดอิเล็กตริก ค่าคงที่ทางไฟฟ้า ความยาวของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า (หนังสืออ้างอิงในหัวข้ออื่น) ความแรงของสนามแม่เหล็ก แนวคิดและสูตรสำหรับไฟฟ้าและแม่เหล็ก ไฟฟ้าสถิต. โมดูลเพียโซอิเล็กทริก ความแข็งแรงทางไฟฟ้าของวัสดุ กระแสไฟฟ้า ความต้านทานไฟฟ้าและการนำไฟฟ้า หนังสืออ้างอิงทางเคมีที่มีศักยภาพทางอิเล็กทรอนิกส์ "อักษรเคมี (พจนานุกรม)" - ชื่อ, ตัวย่อ, คำนำหน้า, การกำหนดสารและสารประกอบ สารละลายและของผสมที่เป็นน้ำสำหรับการแปรรูปโลหะ สารละลายน้ำสำหรับใช้และกำจัดสารเคลือบผิวโลหะ สารละลายน้ำสำหรับขจัดคราบเขม่าคาร์บอน (น้ำมันดิน คราบเขม่าคาร์บอนจากเครื่องยนต์สันดาปภายใน ...) สารละลายน้ำสำหรับการทำทู่ สารละลายน้ำสำหรับกัดกรด - กำจัดออกไซด์ออกจากพื้นผิว สารละลายน้ำสำหรับฟอสเฟต สารละลายน้ำและของผสมสำหรับออกซิเดชันทางเคมีและสีของโลหะ สารละลายและของผสมที่เป็นน้ำสำหรับการขัดเงาด้วยสารเคมี สารละลายที่เป็นน้ำและตัวทำละลายอินทรีย์ pH ตารางค่า pH การเผาไหม้และการระเบิด ออกซิเดชันและรีดักชัน คลาส ประเภท การกำหนดอันตราย (ความเป็นพิษ) ของสารเคมี ระบบธาตุขององค์ประกอบทางเคมีของ DI Mendeleev ตารางธาตุ. ความหนาแน่นของตัวทำละลายอินทรีย์ (g/cm3) ขึ้นอยู่กับอุณหภูมิ 0-100 องศาเซลเซียส คุณสมบัติของสารละลาย ค่าคงที่การแยกตัว ความเป็นกรด ความเป็นเบส ความสามารถในการละลาย ผสม ค่าคงที่ทางความร้อนของสาร เอนทัลปี เอนโทรปี Gibbs energy… (ลิงก์ไปยังหนังสืออ้างอิงทางเคมีของโครงการ) วิศวกรรมไฟฟ้า เรกูเลเตอร์ ระบบจ่ายไฟฟ้าต่อเนื่อง ระบบจ่ายและควบคุม โครงสร้างระบบสายสัญญาณ ศูนย์ข้อมูล

ในศตวรรษที่ 5 ก่อนคริสต์ศักราชนักปรัชญาชาวกรีกโบราณ Zeno of Elea ได้กำหนด aporias ที่มีชื่อเสียงของเขาซึ่งมีชื่อเสียงที่สุดคือ aporia "Achilles and the tortoise" นี่คือเสียง:

สมมติว่าอคิลลีสวิ่งเร็วกว่าเต่าสิบเท่าและตามหลังเต่าหนึ่งพันก้าว ในช่วงเวลาที่ Achilles วิ่งเป็นระยะทางนี้ เต่าจะคลานไปหนึ่งร้อยก้าวในทิศทางเดียวกัน เมื่อ Achilles วิ่งได้ร้อยก้าว เต่าจะคลานไปอีกสิบก้าว ไปเรื่อยๆ กระบวนการนี้จะดำเนินต่อไปอย่างไม่มีกำหนด อคิลลีสจะตามเต่าไม่ทัน

เหตุผลนี้กลายเป็นตรรกะที่น่าตกใจสำหรับคนรุ่นต่อ ๆ ไปทั้งหมด อริสโตเติล, ไดโอจีเนส, คานท์, เฮเกล, กิลเบิร์ต... พวกเขาทั้งหมดไม่ทางใดก็ทางหนึ่งถือเป็น aporias ของนักปราชญ์ กระแทกแรงขนาดนั้น" ... การอภิปรายยังคงดำเนินต่อไปในปัจจุบันชุมชนวิทยาศาสตร์ยังไม่สามารถมีความเห็นร่วมกันเกี่ยวกับสาระสำคัญของความขัดแย้ง ... การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ทฤษฎีเซตแนวทางทางกายภาพและปรัชญาใหม่ ๆ มีส่วนร่วมในการศึกษาปัญหา ; ไม่มีวิธีใดที่กลายเป็นวิธีแก้ปัญหาที่ยอมรับในระดับสากล ..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "] ทุกคนเข้าใจว่าพวกเขาถูกหลอก แต่ไม่มีใครเข้าใจว่าการหลอกลวงคืออะไร

จากมุมมองของคณิตศาสตร์ Zeno ใน aporia ของเขาแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนถึงการเปลี่ยนแปลงจากค่าเป็น การเปลี่ยนแปลงนี้หมายถึงการใช้แทนค่าคงที่ เท่าที่ฉันเข้าใจ เครื่องมือทางคณิตศาสตร์สำหรับการใช้หน่วยการวัดตัวแปรยังไม่ได้รับการพัฒนา หรือยังไม่ได้นำไปใช้กับ aporia ของ Zeno การใช้ตรรกะตามปกตินำเราไปสู่กับดัก ด้วยความเฉื่อยของการคิด เราใช้หน่วยเวลาคงที่กับส่วนกลับ จากมุมมองทางกายภาพ ดูเหมือนว่าเวลาจะเดินช้าลงจนหยุดสนิทในขณะที่อคิลลีสตามทันเต่า หากเวลาหยุดลง อคิลลีสจะไม่สามารถแซงเต่าได้อีกต่อไป

หากเราเปลี่ยนตรรกะที่เราคุ้นเคย ทุกอย่างก็เข้าที่ อคิลลิสวิ่งด้วยความเร็วคงที่ แต่ละส่วนที่ตามมาของเส้นทางนั้นสั้นกว่าส่วนก่อนหน้าสิบเท่า ดังนั้นเวลาที่ใช้ในการเอาชนะจึงน้อยกว่าครั้งก่อนถึงสิบเท่า หากเราใช้แนวคิดของ "อินฟินิตี้" ในสถานการณ์นี้ การพูดว่า "อคิลลีสจะแซงหน้าเต่าอย่างรวดเร็วอย่างไม่มีที่สิ้นสุด"

จะหลีกเลี่ยงกับดักตรรกะนี้ได้อย่างไร? อยู่ในหน่วยเวลาคงที่และไม่เปลี่ยนไปใช้ค่าซึ่งกันและกัน ในภาษาของ Zeno ดูเหมือนว่า:

ในเวลาที่ต้องใช้ Achilles ในการวิ่งหนึ่งพันก้าว เต่าจะคลานไปหนึ่งร้อยก้าวในทิศทางเดียวกัน ในช่วงเวลาถัดไป เท่ากับครั้งแรก Achilles จะวิ่งไปอีกพันก้าว และเต่าจะคลานหนึ่งร้อยก้าว ตอนนี้อคิลลีสนำหน้าเต่าไปแปดร้อยก้าว

วิธีการนี้อธิบายความเป็นจริงได้อย่างเพียงพอโดยไม่มีความขัดแย้งทางตรรกะ แต่นี่ไม่ใช่วิธีแก้ปัญหาที่สมบูรณ์ คำกล่าวของไอน์สไตน์เกี่ยวกับความเร็วแสงที่ผ่านไม่ได้นั้นคล้ายคลึงกับ aporia "Achilles and the tortoise" ของ Zeno มาก เรายังต้องศึกษา คิดใหม่ และแก้ไขปัญหานี้ และวิธีแก้ปัญหาต้องไม่ใช่จำนวนมหาศาล แต่เป็นหน่วยวัด

aporia ที่น่าสนใจอีกอย่างหนึ่งของ Zeno พูดถึงลูกศรที่บินได้:

ลูกธนูที่บินอยู่นั้นไม่เคลื่อนที่ เพราะทุกขณะของมันหยุดอยู่ และเนื่องจากมันหยุดอยู่ทุกขณะ มันจึงหยุดนิ่งเสมอ

ใน aporia นี้ ความขัดแย้งเชิงตรรกะถูกเอาชนะอย่างง่ายดาย - ก็เพียงพอที่จะชี้แจงว่าในแต่ละช่วงเวลาลูกศรบินอยู่ที่จุดต่าง ๆ ในอวกาศซึ่งในความเป็นจริงคือการเคลื่อนไหว มีอีกจุดหนึ่งที่ต้องสังเกตที่นี่ จากรูปถ่ายของรถบนท้องถนน เป็นไปไม่ได้ที่จะระบุข้อเท็จจริงของการเคลื่อนที่หรือระยะทางของมัน ในการระบุข้อเท็จจริงของการเคลื่อนที่ของรถ จำเป็นต้องใช้ภาพถ่ายสองภาพที่ถ่ายจากจุดเดียวกัน ณ เวลาต่างๆ กัน แต่ไม่สามารถใช้เพื่อระบุระยะทางได้ ในการกำหนดระยะทางไปยังรถ คุณต้องมีภาพถ่ายสองภาพที่ถ่ายจากจุดต่างๆ ในอวกาศในเวลาเดียวกัน แต่คุณไม่สามารถระบุข้อเท็จจริงของการเคลื่อนไหวจากภาพถ่ายเหล่านั้นได้ (โดยธรรมชาติ คุณยังต้องการข้อมูลเพิ่มเติมสำหรับการคำนวณ ตรีโกณมิติจะช่วยคุณได้) สิ่งที่ฉันต้องการจะชี้ให้เห็นเป็นพิเศษคือ 2 จุดในเวลาและ 2 จุดในอวกาศเป็น 2 สิ่งที่แตกต่างกันซึ่งไม่ควรสับสน เนื่องจากจุดเหล่านี้ให้โอกาสในการสำรวจที่ต่างกัน

วันพุธที่ 4 กรกฎาคม 2561

ความแตกต่างระหว่างเซ็ตและมัลติเซ็ตอธิบายไว้ในวิกิพีเดียได้เป็นอย่างดี พวกเรามอง.

อย่างที่คุณเห็น "เซตไม่สามารถมีองค์ประกอบที่เหมือนกัน 2 ตัวได้" แต่ถ้ามีองค์ประกอบที่เหมือนกันในเซต เซตดังกล่าวจะเรียกว่า "มัลติเซต" สิ่งมีชีวิตที่มีเหตุผลจะไม่มีวันเข้าใจตรรกะของความไร้เหตุผลเช่นนี้ นี่คือระดับของนกแก้วพูดได้และลิงที่ได้รับการฝึกฝนซึ่งจิตใจขาดจากคำว่า "สมบูรณ์" นักคณิตศาสตร์ทำหน้าที่เป็นผู้ฝึกสอนธรรมดาๆ สั่งสอนความคิดไร้สาระของพวกเขาให้เราฟัง

กาลครั้งหนึ่งนานมาแล้ว วิศวกรผู้สร้างสะพานอยู่ในเรือใต้สะพานระหว่างการทดสอบสะพาน หากสะพานพังลงมา วิศวกรระดับปานกลางก็เสียชีวิตภายใต้ซากปรักหักพังที่เขาสร้างขึ้น หากสะพานสามารถรับน้ำหนักได้ วิศวกรที่มีความสามารถก็สร้างสะพานอื่นๆ

ไม่ว่านักคณิตศาสตร์จะซ่อนอยู่เบื้องหลังวลี "mind me, I'm in the house" หรือ "คณิตศาสตร์ศึกษาแนวคิดที่เป็นนามธรรม" อย่างไร ก็มีสายสะดือเส้นเดียวที่เชื่อมโยงพวกเขากับความเป็นจริงอย่างแยกไม่ออก สายสะดือนี้คือเงิน ให้เราใช้ทฤษฎีเซตทางคณิตศาสตร์กับนักคณิตศาสตร์เอง

เราเรียนคณิตศาสตร์เป็นอย่างดีและตอนนี้เรานั่งอยู่ที่โต๊ะเงินสดจ่ายเงินเดือน ที่นี่นักคณิตศาสตร์มาหาเราเพื่อเงินของเขา เรานับจำนวนเงินทั้งหมดให้เขาและวางบนโต๊ะของเราเป็นกองต่าง ๆ ซึ่งเราใส่ธนบัตรในสกุลเงินเดียวกัน จากนั้นเราจะหยิบบิลหนึ่งใบจากแต่ละกองและให้ "ชุดเงินเดือนทางคณิตศาสตร์" แก่นักคณิตศาสตร์ เราอธิบายทางคณิตศาสตร์ว่าเขาจะได้รับส่วนที่เหลือก็ต่อเมื่อเขาพิสูจน์ได้ว่าเซตที่ไม่มีองค์ประกอบเหมือนกันไม่เท่ากับเซตที่มีองค์ประกอบเหมือนกัน นี่คือจุดเริ่มต้นของความสนุก

ประการแรก ตรรกะของเจ้าหน้าที่จะใช้ได้: "คุณนำไปใช้กับคนอื่นได้ แต่ไม่ใช่กับฉัน!" นอกจากนี้ การรับรองจะเริ่มต้นขึ้นว่ามีหมายเลขธนบัตรที่แตกต่างกันในธนบัตรของสกุลเงินเดียวกัน ซึ่งหมายความว่าไม่สามารถถือเป็นองค์ประกอบที่เหมือนกันได้ เรานับเงินเดือนเป็นเหรียญ - ไม่มีตัวเลขบนเหรียญ ที่นี่ นักคณิตศาสตร์จะจำฟิสิกส์ได้อย่างเมามัน เหรียญต่างๆ มีปริมาณสิ่งสกปรกต่างกัน โครงสร้างผลึกและการจัดเรียงอะตอมของเหรียญแต่ละเหรียญนั้นมีเอกลักษณ์เฉพาะตัว ...

และตอนนี้ฉันมีคำถามที่น่าสนใจที่สุด: ขอบเขตที่เกินกว่าองค์ประกอบใดของมัลติเซตจะกลายเป็นองค์ประกอบของเซตและในทางกลับกันอยู่ที่ไหน ไม่มีบรรทัดดังกล่าว - หมอผีตัดสินใจทุกอย่างวิทยาศาสตร์ที่นี่ไม่ได้ใกล้เคียง

ดูนี่. เราเลือกสนามฟุตบอลที่มีพื้นที่สนามเท่ากัน พื้นที่ของฟิลด์เหมือนกันซึ่งหมายความว่าเรามีหลายชุด แต่ถ้าพิจารณาจากชื่อสนามเดียวกัน เราโดนเยอะ เพราะชื่อต่างกัน อย่างที่คุณเห็น องค์ประกอบชุดเดียวกันนั้นเป็นทั้งชุดและหลายชุดในเวลาเดียวกัน ถูกต้องอย่างไร? และที่นี่ นักคณิตศาสตร์-หมอผี-ชัลเลอร์ หยิบคนเก่งออกมาจากแขนเสื้อของเขา และเริ่มบอกเราเกี่ยวกับเซตหรือมัลติเซต ไม่ว่าในกรณีใดเขาจะโน้มน้าวใจเราว่าเขาพูดถูก

เพื่อทำความเข้าใจว่าหมอผีสมัยใหม่ดำเนินการอย่างไรกับทฤษฎีเซตโดยผูกเข้ากับความเป็นจริง ก็เพียงพอแล้วที่จะตอบคำถามหนึ่งข้อ: องค์ประกอบของเซตหนึ่งแตกต่างจากองค์ประกอบของเซตอื่นอย่างไร ฉันจะแสดงให้คุณเห็นโดยไม่มี "เป็นไปได้ว่าไม่ใช่ทั้งหมด" หรือ "เป็นไปไม่ได้โดยรวม"

วันอาทิตย์ที่ 18 มีนาคม 2561

ผลรวมของตัวเลขคือการเต้นรำของหมอผีกับรำมะนาซึ่งไม่เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์ ใช่ ในบทเรียนคณิตศาสตร์ เราถูกสอนให้หาผลรวมของตัวเลขและใช้มัน แต่พวกเขาเป็นหมอผีสำหรับเรื่องนั้น เพื่อสอนทักษะและภูมิปัญญาให้ลูกหลานของพวกเขา มิฉะนั้น หมอผีก็จะตายไป

คุณต้องการหลักฐานหรือไม่? เปิดวิกิพีเดียแล้วลองค้นหาหน้า "ผลรวมของตัวเลข" เธอไม่อยู่ ไม่มีสูตรใดในวิชาคณิตศาสตร์ที่คุณสามารถหาผลรวมของตัวเลขใดๆ ได้ ท้ายที่สุดแล้ว ตัวเลขคือสัญลักษณ์กราฟิกที่เราใช้เขียนตัวเลข และในภาษาคณิตศาสตร์ ภารกิจจะมีลักษณะดังนี้: "ค้นหาผลรวมของสัญลักษณ์กราฟิกที่แทนจำนวนใดๆ" นักคณิตศาสตร์ไม่สามารถแก้ปัญหานี้ได้ แต่หมอผีสามารถแก้ปัญหาเบื้องต้นได้

มาดูกันว่าเราจะทำอย่างไรเพื่อหาผลบวกของตัวเลขที่กำหนด สมมติว่าเรามีหมายเลข 12345 ต้องทำอะไรเพื่อหาผลรวมของตัวเลขนี้ ลองพิจารณาขั้นตอนทั้งหมดตามลำดับ

1. จดตัวเลขลงบนกระดาษ เราได้ทำอะไร? เราได้แปลงตัวเลขเป็นสัญลักษณ์กราฟิกตัวเลข นี่ไม่ใช่การดำเนินการทางคณิตศาสตร์

2. เราตัดภาพที่ได้รับหนึ่งภาพออกเป็นหลายๆ ภาพที่มีตัวเลขแยกกัน การตัดภาพไม่ใช่การดำเนินการทางคณิตศาสตร์

3. แปลงอักขระกราฟิกแต่ละตัวเป็นตัวเลข นี่ไม่ใช่การดำเนินการทางคณิตศาสตร์

4. เพิ่มจำนวนผลลัพธ์ นั่นคือคณิตศาสตร์

ผลรวมของตัวเลข 12345 คือ 15 นี่คือ "หลักสูตรการตัดเย็บ" จากหมอผีที่นักคณิตศาสตร์ใช้ แต่นั่นไม่ใช่ทั้งหมด

จากมุมมองของคณิตศาสตร์ ไม่สำคัญว่าเราจะเขียนตัวเลขในระบบเลขใด ดังนั้น ในระบบตัวเลขที่แตกต่างกัน ผลบวกของตัวเลขเดียวกันจะแตกต่างกัน ในทางคณิตศาสตร์ ระบบตัวเลขจะแสดงเป็นตัวห้อยทางด้านขวาของตัวเลข ด้วยตัวเลข 12345 จำนวนมาก ฉันไม่อยากหลอกตัวเอง ลองพิจารณาเลข 26 จากบทความเกี่ยวกับ ลองเขียนตัวเลขนี้ในระบบเลขฐานสอง ฐานแปด ฐานสิบ และฐานสิบหก เราจะไม่พิจารณาแต่ละขั้นตอนด้วยกล้องจุลทรรศน์ เราได้ดำเนินการไปแล้ว ลองดูที่ผลลัพธ์

อย่างที่คุณเห็น ในระบบตัวเลขที่แตกต่างกัน ผลบวกของตัวเลขเดียวกันจะแตกต่างกัน ผลลัพธ์นี้ไม่เกี่ยวกับคณิตศาสตร์เลย เหมือนกับการหาพื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีหน่วยเป็นเมตรและเซนติเมตร ซึ่งให้ผลลัพธ์ที่แตกต่างกันโดยสิ้นเชิง

ศูนย์ในระบบตัวเลขทั้งหมดมีลักษณะเหมือนกันและไม่มีผลรวมของตัวเลข นี่เป็นอีกข้อโต้แย้งที่สนับสนุนข้อเท็จจริงที่ว่า คำถามสำหรับนักคณิตศาสตร์: คณิตศาสตร์ไม่ใช่ตัวเลขได้อย่างไร? อะไรสำหรับนักคณิตศาสตร์ ไม่มีอะไรนอกจากตัวเลข? สำหรับหมอผี ฉันยอมได้ แต่สำหรับนักวิทยาศาสตร์ ไม่ ความจริงไม่ใช่แค่ตัวเลข

ผลลัพธ์ที่ได้ควรถือเป็นข้อพิสูจน์ว่าระบบตัวเลขเป็นหน่วยวัดตัวเลข เราไม่สามารถเปรียบเทียบตัวเลขกับหน่วยการวัดที่แตกต่างกันได้ หากการกระทำเดียวกันกับหน่วยการวัดที่แตกต่างกันในปริมาณเดียวกันนำไปสู่ผลลัพธ์ที่แตกต่างกันหลังจากเปรียบเทียบแล้ว สิ่งนี้ไม่เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์

คณิตศาสตร์ที่แท้จริงคืออะไร? นี่คือเมื่อผลลัพธ์ของการกระทำทางคณิตศาสตร์ไม่ได้ขึ้นอยู่กับค่าของตัวเลข หน่วยวัดที่ใช้ และใครเป็นผู้ดำเนินการ

ป้ายที่ประตู เปิดประตูแล้วพูดว่า:

อุ๊ย! นี่มันห้องน้ำหญิงไม่ใช่เหรอ?
- สาววาย! นี่คือห้องทดลองสำหรับศึกษาความศักดิ์สิทธิ์ของวิญญาณอย่างไม่มีกำหนดเมื่อเสด็จขึ้นสู่สวรรค์! Nimbus อยู่ด้านบนและลูกศรขึ้น ห้องน้ำอะไรอีก

ตัวเมีย... รัศมีด้านบนและลูกศรชี้ลงคือตัวผู้

หากคุณมีงานศิลปะการออกแบบกระพริบตาหลายครั้งต่อวัน

ไม่น่าแปลกใจเลยที่คุณจะพบไอคอนแปลก ๆ ในรถของคุณ:

โดยส่วนตัวแล้ว ฉันพยายามทำให้ตัวเองเห็นองศาลบสี่องศาในคนเซ่อ (ภาพเดียว) (ส่วนประกอบของภาพหลายภาพ: เครื่องหมายลบ เลขสี่ การกำหนดองศา) และฉันไม่ถือว่าผู้หญิงคนนี้เป็นคนโง่ที่ไม่รู้ฟิสิกส์ เธอมีทัศนคติแบบแผนของการรับรู้ภาพกราฟิก และนักคณิตศาสตร์สอนเราตลอดเวลา นี่คือตัวอย่าง

1A ไม่ใช่ "ลบสี่องศา" หรือ "หนึ่ง a" นี่คือ "คนเซ่อ" หรือตัวเลข "ยี่สิบหก" ในระบบเลขฐานสิบหก คนที่ทำงานอย่างต่อเนื่องในระบบตัวเลขนี้จะรับรู้ตัวเลขและตัวอักษรเป็นสัญลักษณ์กราฟิกเดียวโดยอัตโนมัติ