ตำแหน่งสมดุลของลูกตุ้มสปริง การสั่นของลูกตุ้มสปริง

ลูกตุ้มสปริงเป็นจุดวัสดุของมวล ติดอยู่กับสปริงไร้น้ำหนักที่ยืดหยุ่นอย่างยิ่งและมีความแข็ง . มีสองกรณีที่ง่ายที่สุด: แนวนอน (รูปที่ 15, เอ) และแนวตั้ง (รูปที่ 15, ข) ลูกตุ้ม

ก) ลูกตุ้มแนวนอน(รูปที่ 15a). เมื่อย้ายสินค้า
ออกจากสมดุล ตามจำนวนเงิน ทำหน้าที่ในแนวนอน กลับมา แรงยืดหยุ่น
(กฎของฮุก).

สันนิษฐานว่าแนวรองรับที่โหลดสไลด์
ระหว่างการสั่นสะเทือนจะราบรื่นอย่างแน่นอน (ไม่มีแรงเสียดทาน)

ข) ลูกตุ้มแนวตั้ง(รูปที่ 15, ข). ตำแหน่งสมดุลในกรณีนี้มีลักษณะตามเงื่อนไข:

ที่ไหน - ขนาดของแรงยืดหยุ่นที่กระทำต่อโหลด
เมื่อสปริงยืดแบบคงที่ ภายใต้อิทธิพลของแรงโน้มถ่วง
.

เอ

รูปที่ 15 ลูกตุ้มสปริง: เอ- แนวนอนและ ข- แนวตั้ง

หากสปริงยืดออกและปล่อยโหลด สปริงจะเริ่มแกว่งในแนวตั้ง หากออฟเซ็ต ณ จุดใดเวลาหนึ่งคือ
, จากนั้นแรงยืดหยุ่นจะถูกเขียนเป็น
.

ในทั้งสองกรณีเมื่อพิจารณาแล้ว ลูกตุ้มสปริงจะทำการสั่นแบบฮาร์โมนิกด้วยคาบ

(27)

และความถี่วัฏจักร

. (28)

ในเรื่องตัวอย่างการพิจารณา ลูกตุ้มสปริงเราสามารถสรุปได้ว่าฮาร์มอนิกออสซิลเลชันเป็นการเคลื่อนที่ที่เกิดจากแรงที่เพิ่มขึ้นตามสัดส่วนการกระจัด . ทางนี้, ถ้าพลังฟื้นฟูดูเหมือนกฎของฮุก
(เธอได้ชื่อแรงกึ่งยืดหยุ่น ) จากนั้นระบบจะต้องทำการสั่นแบบฮาร์มอนิกในขณะเคลื่อนผ่านตำแหน่งสมดุล แรงฟื้นฟูจะไม่กระทำต่อร่างกาย อย่างไรก็ตาม ร่างกายจะข้ามตำแหน่งดุลยภาพด้วยความเฉื่อย และแรงฟื้นฟูจะเปลี่ยนทิศทางไปในทิศทางตรงกันข้าม

ลูกตุ้มคณิตศาสตร์

รูปที่ 16 ลูกตุ้มคณิตศาสตร์

ลูกตุ้มคณิตศาสตร์เป็นระบบในอุดมคติในรูปแบบของจุดวัสดุที่แขวนอยู่บนเส้นด้ายที่มีความยาวไม่ยืดออก ซึ่งทำการแกว่งเล็กน้อยภายใต้การกระทำของแรงโน้มถ่วง (รูปที่ 16)

การสั่นของลูกตุ้มดังกล่าวที่มุมโก่งตัวเล็กน้อย
(ไม่เกิน5º) ถือได้ว่าฮาร์โมนิกและความถี่วัฏจักร ลูกตุ้มคณิตศาสตร์:

, (29)

และระยะเวลา:

. (30)

2.3. พลังงานของร่างกายระหว่างการสั่นสะเทือนแบบฮาร์มอนิก

พลังงานที่ส่งไปยังระบบสั่นในระหว่างการกดครั้งแรกจะถูกแปลงเป็นระยะ: พลังงานศักย์ของสปริงที่ผิดรูปจะถูกแปลงเป็นพลังงานจลน์ของโหลดที่เคลื่อนที่และในทางกลับกัน

ให้ลูกตุ้มสปริงทำการสั่นแบบฮาร์มอนิกกับเฟสเริ่มต้น
, เช่น.
(รูปที่ 17)

รูปที่ 17 กฎหมายอนุรักษ์ พลังงานกล

เมื่อลูกตุ้มสปริงสั่น

ที่ค่าเบี่ยงเบนสูงสุดของโหลดจากตำแหน่งสมดุล พลังงานกลทั้งหมดของลูกตุ้ม (พลังงานของสปริงบิดเบี้ยวที่มีความแข็ง ) เท่ากับ
. เมื่อผ่านตำแหน่งสมดุล (
) พลังงานศักย์สปริงจะเท่ากับศูนย์ และพลังงานกลทั้งหมดของระบบออสซิลเลเตอร์จะถูกกำหนดเป็น
.

รูปที่ 18 แสดงการพึ่งพาของจลนศาสตร์ ศักย์ไฟฟ้า และพลังงานรวม ในกรณีที่การแกว่งของฮาร์มอนิกอธิบายโดยฟังก์ชันตรีโกณมิติของไซน์ (เส้นประ) หรือโคไซน์ (เส้นทึบ)

รูปที่ 18 กราฟของการพึ่งพาเวลาของจลนศาสตร์

และพลังงานศักย์สำหรับการสั่นฮาร์มอนิก

จากกราฟ (รูปที่ 18) พบว่าความถี่ของการเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์และพลังงานศักย์นั้นสูงเป็นสองเท่าของความถี่ธรรมชาติของการสั่นของฮาร์มอนิก

การเคลื่อนที่แบบสั่นคือการเคลื่อนไหวซ้ำๆ เป็นระยะๆ ดังนั้นการพึ่งพาพิกัดและความเร็วของร่างกายตรงเวลาในระหว่างการแกว่งจึงอธิบายโดยฟังก์ชันของเวลาเป็นระยะ ที่ หลักสูตรโรงเรียนนักฟิสิกส์พิจารณาการสั่นดังกล่าวซึ่งการพึ่งพาและความเร็วของร่างกายเป็นหน้าที่เกี่ยวกับตรีโกณมิติ , หรือรวมกันเป็นจำนวนหนึ่ง การสั่นดังกล่าวเรียกว่าฮาร์มอนิก (ฟังก์ชัน และ มักเรียกว่าฟังก์ชันฮาร์มอนิก) เพื่อแก้ปัญหาการสั่นสะเทือนที่รวมอยู่ในโปรแกรมแบบครบวงจร การสอบของรัฐในวิชาฟิสิกส์คุณต้องรู้คำจำกัดความของคุณสมบัติหลัก การเคลื่อนที่แบบสั่น: แอมพลิจูด คาบ ความถี่ ความถี่วงกลม (หรือวัฏจักร) และเฟสของการแกว่ง ให้เราให้คำจำกัดความเหล่านี้และเชื่อมโยงปริมาณที่แจกแจงด้วยพารามิเตอร์ของการพึ่งพาของร่างกายพิกัดตรงเวลา ซึ่งในกรณีของการสั่นฮาร์มอนิกสามารถแสดงได้เสมอ

โดยที่ และ เป็นตัวเลขบางตัว

แอมพลิจูดของการแกว่งคือค่าเบี่ยงเบนสูงสุดของวัตถุที่แกว่งจากตำแหน่งสมดุล เนื่องจากค่าสูงสุดและต่ำสุดของโคไซน์ใน (11.1) เท่ากับ ±1 ดังนั้นแอมพลิจูดของการแกว่งของร่างกายที่แกว่ง (11.1) จึงเท่ากับ . ระยะเวลาการสั่นคือเวลาต่ำสุดหลังจากที่การเคลื่อนไหวของร่างกายซ้ำแล้วซ้ำอีก สำหรับการพึ่งพา (11.1) ระยะเวลาสามารถกำหนดได้จากข้อควรพิจารณาต่อไปนี้ โคไซน์ - ฟังก์ชั่นเป็นระยะกับช่วงเวลา ดังนั้นการเคลื่อนไหวซ้ำแล้วซ้ำอีกอย่างสมบูรณ์ด้วยค่าที่ . จากนี้ไปเราจะได้

ความถี่การสั่นแบบวงกลม (หรือแบบวนรอบ) คือจำนวนการแกว่งต่อหน่วยเวลา จากสูตร (11.3) เราสรุปได้ว่าความถี่วงกลมคือค่าจากสูตร (11.1)

เฟสการสั่นเป็นอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่อธิบายการพึ่งพาพิกัดตรงเวลา จากสูตร (11.1) เราจะเห็นว่าระยะการแกว่งของร่างกายซึ่งการเคลื่อนที่อธิบายโดยการพึ่งพา (11.1) มีค่าเท่ากับ . ค่าของเฟสการสั่น ณ เวลา = 0 เรียกว่าเฟสเริ่มต้น สำหรับการพึ่งพา (11.1) ระยะเริ่มต้นของการแกว่งจะเท่ากับค่า เห็นได้ชัดว่าช่วงเริ่มต้นของการแกว่งขึ้นอยู่กับการเลือกจุดอ้างอิงเวลา (ช่วงเวลา = 0) ซึ่งเป็นเงื่อนไขเสมอ โดยการเปลี่ยนที่มาของการอ้างอิงเวลา เฟสเริ่มต้นของการแกว่งสามารถ "สร้าง" ได้เท่ากับศูนย์เสมอ และไซน์ในสูตร (11.1) จะถูก "เปลี่ยน" เป็นโคไซน์หรือในทางกลับกัน

โปรแกรมการสอบแบบรวมศูนย์ยังรวมถึงความรู้เกี่ยวกับสูตรสำหรับความถี่การสั่นของสปริงและลูกตุ้มคณิตศาสตร์ เป็นเรื่องปกติที่จะเรียกลูกตุ้มสปริงว่าเป็นวัตถุที่สามารถแกว่งไปมาบนพื้นผิวแนวนอนที่เรียบได้ภายใต้การกระทำของสปริง ซึ่งปลายที่สองได้รับการแก้ไข (รูปซ้าย) ลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์เป็นวัตถุขนาดใหญ่ซึ่งมีขนาดที่สามารถละเลยได้ แกว่งไปมาบนเกลียวที่ยาว ไร้น้ำหนัก และขยายไม่ได้ (รูปขวา) ชื่อของระบบนี้ - "ลูกตุ้มคณิตศาสตร์" เกิดจากการที่มันเป็นนามธรรม คณิตศาสตร์รุ่นจริง ( ทางกายภาพ) ของลูกตุ้ม จำเป็นต้องจำสูตรสำหรับคาบ (หรือความถี่) ของการแกว่งของสปริงและลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์ สำหรับลูกตุ้มสปริง

ความยาวของด้ายอยู่ที่ไหนคือความเร่ง ตกฟรี. พิจารณาการประยุกต์ใช้คำจำกัดความและกฎหมายเหล่านี้กับตัวอย่างการแก้ปัญหา

เพื่อหาความถี่วัฏจักรของโหลดใน งาน 11.1.1ให้เราหาคาบการสั่นก่อนแล้วจึงใช้สูตร (11.2) ตั้งแต่ 10 ม. 28 วินาที คือ 628 วินาที และในช่วงเวลานี้ โหลดทำให้เกิดการแกว่ง 100 ครั้ง ระยะเวลาของการสั่นของโหลดคือ 6.28 วินาที ดังนั้นความถี่การสั่นแบบวนคือ 1 วินาที -1 (คำตอบ 2 ). ที่ งาน 11.1.2โหลดทำ 60 oscillations ใน 600 s ดังนั้นความถี่การสั่นคือ 0.1 s -1 (คำตอบ 1 ).

ให้เข้าใจสิ่งที่ ทางจะผ่านไปขนส่งสินค้า 2.5 งวด ( งาน 11.1.3) ติดตามความเคลื่อนไหวของมัน หลังจากช่วงเวลาหนึ่ง โหลดจะกลับสู่จุดโก่งตัวสูงสุด ทำให้เกิดการแกว่งที่สมบูรณ์ ดังนั้นในช่วงนี้ภาระ จะผ่านระยะทางเท่ากับสี่แอมพลิจูด: ไปยังตำแหน่งสมดุล - หนึ่งแอมพลิจูดจากตำแหน่งสมดุลถึงจุดเบี่ยงเบนสูงสุดในทิศทางอื่น - ที่สองกลับไปที่ตำแหน่งสมดุล - ที่สามจากตำแหน่งสมดุลไปยังจุดเริ่มต้น - ที่สี่. ในช่วงที่สอง โหลดจะผ่านสี่แอมพลิจูดอีกครั้ง และสำหรับครึ่งที่เหลือของคาบนั้น - สองแอมพลิจูด ดังนั้นระยะทางที่เดินทางจึงเท่ากับสิบแอมพลิจูด (คำตอบ 4 ).

ปริมาณการเคลื่อนไหวของร่างกายคือระยะทางจากจุดเริ่มต้นไปยังจุดสิ้นสุด สำหรับ 2.5 งวดใน งาน 11.1.4ร่างกายจะมีเวลาทำการสั่นเต็มสองครั้งครึ่งนั่นคือ จะอยู่ที่ส่วนเบี่ยงเบนสูงสุด แต่อยู่อีกด้านหนึ่งของตำแหน่งสมดุล ดังนั้น ปริมาณการกระจัดจึงเท่ากับสองแอมพลิจูด (คำตอบ 3 ).

ตามคำจำกัดความ เฟสของการแกว่งคืออาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ ซึ่งอธิบายการพึ่งพาพิกัดของวัตถุที่สั่นตามเวลา ดังนั้น คำตอบที่ถูกต้องคือ งาน 11.1.5 - 3 .

คาบคือเวลาของการแกว่งที่สมบูรณ์ ซึ่งหมายความว่าการกลับมาของร่างกายกลับไปยังจุดเดิมที่ร่างกายเริ่มเคลื่อนไหวไม่ได้หมายความว่าช่วงเวลานั้นผ่านไปแล้ว: ร่างกายจะต้องกลับสู่จุดเดิมด้วยความเร็วเท่าเดิม ตัวอย่างเช่น ร่างกายที่เริ่มแกว่งจากตำแหน่งสมดุล ในช่วงเวลานั้นจะมีเวลาเบี่ยงเบนตามค่าสูงสุดในทิศทางเดียว ย้อนกลับ เบี่ยงเบนไปที่ค่าสูงสุดในอีกทิศทางหนึ่ง แล้วกลับมาใหม่อีกครั้ง ดังนั้นในช่วงเวลานั้น ร่างกายจะมีเวลาเบี่ยงสองครั้งตามค่าสูงสุดจากตำแหน่งสมดุลแล้วกลับคืนมา ดังนั้นทางเดินจากตำแหน่งสมดุลไปยังจุดเบี่ยงเบนสูงสุด ( งาน 11.1.6) ร่างกายใช้เวลาส่วนที่สี่ของช่วงเวลา (คำตอบ 3 ).

การสั่นดังกล่าวเรียกว่าฮาร์มอนิกซึ่งการพึ่งพาพิกัดของร่างกายที่สั่นตามเวลานั้นอธิบายโดยฟังก์ชันตรีโกณมิติ (ไซน์หรือโคไซน์) ของเวลา ที่ งาน 11.1.7เหล่านี้เป็นฟังก์ชัน และ แม้ว่าข้อเท็จจริงที่ว่าพารามิเตอร์ที่รวมอยู่ในนั้นจะแสดงเป็น 2 และ 2 ฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติของกำลังสองของเวลา ดังนั้นความผันผวนของปริมาณเท่านั้นและมีความสอดคล้องกัน (คำตอบ 4 ).

ด้วยความสั่นของฮาร์โมนิก ความเร็วของร่างกายจึงเปลี่ยนแปลงไปตามกฎหมาย , โดยที่แอมพลิจูดของการแกว่งของความเร็วอยู่ที่ไหน (การอ้างอิงเวลาถูกเลือกเพื่อให้เฟสเริ่มต้นของการแกว่งจะเท่ากับศูนย์) จากนี้ไปเราจะพบการพึ่งพาอาศัยกัน พลังงานจลน์ร่างกายจากเวลา
(งาน 11.1.8). ใช้ที่รู้จักกันดี สูตรตรีโกณมิติ, เราได้รับ

จากสูตรนี้เองที่พลังงานจลน์ของร่างกายเปลี่ยนแปลงระหว่างการสั่นของฮาร์มอนิกก็เป็นไปตามกฎฮาร์มอนิกเช่นกัน แต่มีความถี่สองเท่า (คำตอบคือ 2 ).

เบื้องหลังอัตราส่วนระหว่างพลังงานจลน์ของโหลดและพลังงานศักย์ของสปริง ( งาน 11.1.9) สามารถติดตามได้โดยง่ายจากข้อควรพิจารณาต่อไปนี้ เมื่อร่างกายเบี่ยงเบนโดยปริมาณสูงสุดจากตำแหน่งสมดุล ความเร็วของร่างกายจะเป็นศูนย์ ดังนั้น พลังงานศักย์ของสปริงจึงมากกว่าพลังงานจลน์ของโหลด ในทางตรงกันข้าม เมื่อร่างกายผ่านตำแหน่งสมดุล พลังงานศักย์ของสปริงจะเป็นศูนย์ ดังนั้นพลังงานจลน์จึงมากกว่าพลังงานศักย์ ดังนั้น ระหว่างทางเดินของตำแหน่งสมดุลและการเบี่ยงเบนสูงสุด พลังงานจลน์และพลังงานศักย์จะถูกเปรียบเทียบครั้งเดียว และเนื่องจากในช่วงเวลาที่ร่างกายผ่านสี่ครั้งจากตำแหน่งสมดุลไปยังส่วนเบี่ยงเบนสูงสุดหรือในทางกลับกัน จากนั้นในช่วงเวลานั้นพลังงานจลน์ของโหลดและพลังงานศักย์ของสปริงจะถูกเปรียบเทียบกันสี่ครั้ง (คำตอบคือ 2 ).

ความกว้างของความผันผวนของความเร็ว ( งาน 11.1.10) หาได้ง่ายที่สุดโดยกฎการอนุรักษ์พลังงาน ที่จุดโก่งตัวสูงสุด พลังงานของระบบออสซิลเลเตอร์จะเท่ากับพลังงานศักย์ของสปริง โดยที่ค่าสัมประสิทธิ์ความแข็งของสปริงคือแอมพลิจูดการแกว่ง เมื่อผ่านตำแหน่งสมดุลพลังงานของร่างกายจะเท่ากับพลังงานจลน์ ที่ซึ่งมวลของร่างกายคือความเร็วของร่างกายเมื่อผ่านตำแหน่งสมดุลซึ่งก็คือ ความเร็วสูงสุดร่างกายอยู่ในกระบวนการแกว่ง ดังนั้น จึงหมายถึงแอมพลิจูดของการแกว่งของความเร็ว เมื่อเทียบพลังงานเหล่านี้ เราพบว่า

(คำตอบ 4 ).

จากสูตร (11.5) เราสรุป ( งาน 11.2.2) ว่าคาบของมันไม่ได้ขึ้นอยู่กับมวลของลูกตุ้มคณิตศาสตร์ และด้วยความยาวที่เพิ่มขึ้น 4 เท่า ระยะเวลาการแกว่งจะเพิ่มขึ้น 2 เท่า (คำตอบคือ 1 ).

นาฬิกาคือ กระบวนการสั่นซึ่งใช้ในการวัดช่วงเวลา ( งาน 11.2.3). คำว่า นาฬิกา "วิ่ง" หมายความว่า ช่วงเวลาของกระบวนการนี้ น้อยกว่านั้นสิ่งที่ควรจะเป็น ดังนั้น เพื่อชี้แจงเส้นทางของนาฬิกาเหล่านี้ จึงจำเป็นต้องเพิ่มระยะเวลาของกระบวนการ ตามสูตร (11.5) เพื่อเพิ่มระยะเวลาการแกว่งของลูกตุ้มคณิตศาสตร์ จำเป็นต้องเพิ่มความยาว (คำตอบคือ 3 ).

เพื่อหาแอมพลิจูดของการแกว่งใน งาน 11.2.4จำเป็นต้องเป็นตัวแทนของการพึ่งพาร่างกายตรงเวลาในรูปแบบของฟังก์ชันตรีโกณมิติเดียว สำหรับฟังก์ชันที่ให้ไว้ในเงื่อนไข สามารถทำได้โดยการเพิ่มมุมเพิ่มเติม การคูณและหารฟังก์ชันนี้ด้วย และใช้สูตรบวก ฟังก์ชันตรีโกณมิติ, เราได้รับ

มุมไหนที่ว่า . จากสูตรนี้ จะได้ว่าแอมพลิจูดของการแกว่งตัวของร่างกายคือ (คำตอบ 4 ).

สวัสดีตอนบ่าย!

ทุกอย่างค่อนข้างง่าย ตอนนี้ฉันอาจจะพูดไม่กี่ คำประสมแต่แล้วฉันจะพยายามอธิบายความหมายของพวกเขา เพื่อความง่ายในการนำเสนอ เราจะพูดถึงกรณีหนึ่งมิติ ซึ่งทุกอย่างสามารถสรุปได้ง่ายถึงกรณีที่มีอิสระหลายระดับ

ดังนั้น, งานหลักกลศาสตร์ --- เพื่อค้นหาการพึ่งพาพิกัดของร่างกายตรงเวลา นั่นคือ ในความเป็นจริง เพื่อค้นหาฟังก์ชันบางอย่างที่เชื่อมโยงค่าบางอย่างของพิกัดกับแต่ละช่วงเวลา เราอธิบายการเคลื่อนไหวใดๆ โดยใช้กฎข้อที่สองของนิวตัน กฎข้อนี้รวมถึงการเร่งความเร็ว ซึ่งเป็นอนุพันธ์อันดับสองของพิกัดของร่างกายเทียบกับเวลา และแรง ซึ่งมักจะขึ้นอยู่กับพิกัดนั้นเอง นอกจากนี้ แรงอาจขึ้นอยู่กับความเร็วของร่างกาย นั่นคือ อนุพันธ์อันดับแรกของพิกัดเทียบกับเวลา ดังนั้นด้วย จุดทางคณิตศาสตร์กฎข้อที่สองของนิวตันแสดงถึงความสัมพันธ์บางอย่างระหว่างพิกัด อนุพันธ์อันดับหนึ่งและอนุพันธ์อันดับสอง ความสัมพันธ์นี้เรียกว่าในวิชาคณิตศาสตร์ สมการเชิงอนุพันธ์. อนุพันธ์สูงสุดที่รวมอยู่ในสมการดังกล่าวคืออันดับที่สอง คณิตศาสตร์บอกว่าการแก้สมการนั้นคือ แบบฟอร์มทั่วไปฟังก์ชั่นที่ตอบสนองความสัมพันธ์ของเราขึ้นอยู่กับค่าคงที่สองค่าที่ไม่สามารถหาได้จากสมการ ค่าคงที่ตามอำเภอใจเหล่านี้ถูกกำหนดเป็นกรณี ๆ ไป ตัวอย่างเช่น โดยใช้เงื่อนไขเริ่มต้นที่เรียกว่า นั่นคือเพื่อที่จะเข้าใจอย่างชัดเจนว่าร่างกายจะเคลื่อนไหวอย่างไร คุณจำเป็นต้องรู้ว่าไม่เพียงแต่กองกำลังที่กระทำต่อมันเท่านั้น แต่ยังต้องทราบด้วยว่าพิกัดและความเร็วเริ่มต้นของมันเป็นอย่างไร ค่าคงที่ตามอำเภอใจสองค่าในสารละลายถูกเลือกในลักษณะที่ฟังก์ชันที่เราได้มาและอนุพันธ์ของมัน (นั่นคือความเร็ว) ใน ช่วงเวลาเริ่มต้นเวลาได้ให้คุณค่า

มันแน่นอน สถานการณ์ทั่วไป. จำไว้เมื่อเราพูดถึงการเคลื่อนไหวของร่างกายด้วย ความเร่งคงที่เพื่อที่จะกำหนดการเคลื่อนที่ได้อย่างแม่นยำ เราจำเป็นต้องมีตัวเลขสองตัวพอดี คือ พิกัดเริ่มต้น และ ความเร็วเริ่มต้น.

เช่นเดียวกับการสั่น การแกว่งของลูกตุ้มเฉพาะ (นั่นคือ ลูกตุ้มที่มีความถี่ธรรมชาติที่กำหนด) ถูกกำหนดด้วยตัวเลขสองตัวเช่นกัน โดยปกติ คำตอบของสมการลูกตุ้มที่ได้จากกฎข้อที่สองของนิวตันจะเขียนเป็น

ที่นี่พวกเขาเล่นบทบาทของค่าคงที่โดยพลการซึ่งต้องพิจารณาจากเงื่อนไขเริ่มต้น มาคำนวณความเร็วกัน: . แจ้งให้เราทราบว่าใน ช่วงเวลาเป็นศูนย์เวลา พิกัดและความเร็วของลูกตุ้มมีค่าเท่ากัน และ . เมื่อแก้ระบบสมการธรรมดาแล้ว เราสามารถหานิพจน์เฉพาะสำหรับและผ่านและ

ฉันจะไม่ให้คำตอบ กรณีทั่วไปถ้าคุณต้องการคุณสามารถทำมันเองได้อย่างง่ายดาย ฉันจะพูดถึงเฉพาะบางกรณีเท่านั้น ตัวอย่างเช่น เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าในช่วงเวลาศูนย์ของเวลาที่ร่างกายอยู่ในสภาวะสมดุล (นั่นคือ ) และความเร็วของมันเท่ากับค่าสูงสุด (นั่นคือ ) จากนั้นเราได้รับสำหรับกรณีเฉพาะของเราว่าระบบสมการอยู่ในรูปแบบ: . จากสมการแรกจะชัดเจนในทันทีว่า (แน่นอนว่าสมการแรกเป็นไปตามเงื่อนไขด้วย แต่จากนั้นคำตอบของเราจะกลายเป็นศูนย์ แต่นี่ไม่เหมาะกับเรา) ที่สองจะใช้รูปแบบ: , ที่ไหน . ดังนั้นเราจึงพบนิพจน์สำหรับค่าคงที่ทั้งสอง เป็นผลให้เรามี: ในเวลาเดียวกันสำหรับการเร่งความเร็วปรากฎ หากตอนนี้เราแสดงด้วยนิพจน์ที่คุ้นเคยสำหรับแอมพลิจูด เราจะได้สูตรที่คุ้นเคยมากขึ้น

ลองพิจารณาอีกตัวอย่างหนึ่ง ตอนนี้ให้สินค้าเข้า ตำแหน่งสุดขั้วนั่นคือความเร็วของมันคือศูนย์ เราจะถือว่ามันเบี่ยงเบนไปจาก ด้านลบแกน นั่นคือ พิกัดของมันคือ . แล้วสมการของ เงื่อนไขเบื้องต้นใช้แบบฟอร์ม: จากสมการที่สอง จากครั้งแรก: . ดังนั้นสำหรับพิกัดมี: (ความเท่าเทียมกันที่สองโดยใช้สูตรการลด) เพื่อความรวดเร็ว: . เพื่อเพิ่มความเร็ว: .

สูตรเฉพาะขึ้นอยู่กับข้อมูลเบื้องต้น พิจารณาคาบของไซน์และโคไซน์โดยใช้ สูตรต่างๆแคสต์ คุณสามารถลบเครื่องหมายออกจากสูตร เพิ่มเฟส ฯลฯ

สำหรับสูตรในปัญหานั้นไม่มี , ความถี่ เนื่องจากค่าเฉพาะจะถูกแทนที่:

การสั่นสะเทือนฟรีถูกผลิตขึ้นภายใต้อิทธิพล กองกำลังภายในระบบหลังจากที่ระบบถูกนำออกจากสมดุลแล้ว

ถึงการสั่นสะเทือนอิสระเกิดขึ้นตามกฎฮาร์โมนิก มันเป็นสิ่งจำเป็นที่แรงที่ผลักให้ร่างกายกลับสู่ตำแหน่งสมดุลควรเป็นสัดส่วนกับการกระจัดของร่างกายจากตำแหน่งสมดุลและชี้ไปในทิศทางตรงกันข้ามกับการกระจัด (ดู§ 2.1):

ความแข็งแกร่งของใครๆ ลักษณะทางกายภาพสนองสภาพนี้เรียกว่า กึ่งยืดหยุ่น .

ดังนั้นภาระของมวล มติดอยู่กับสปริงที่ทำให้แข็งทื่อ kปลายที่สองซึ่งคงที่ไม่เคลื่อนที่ (รูปที่ 2.2.1) เป็นระบบที่สามารถทำการสั่นของฮาร์มอนิกได้อย่างอิสระในกรณีที่ไม่มีแรงเสียดทาน มวลบนสปริงเรียกว่า ฮาร์มอนิกเชิงเส้น ออสซิลเลเตอร์.

ความถี่วงกลม ω 0 การสั่นสะเทือนฟรีน้ำหนักของสปริงหาได้จากกฎข้อที่สองของนิวตัน:

ด้วยการจัดเรียงระบบสปริงโหลดในแนวนอน แรงโน้มถ่วงที่ใช้กับโหลดจะได้รับการชดเชยด้วยแรงปฏิกิริยาของตัวรองรับ หากโหลดถูกระงับในสปริง แรงโน้มถ่วงจะพุ่งไปตามแนวการเคลื่อนที่ของโหลด ในตำแหน่งดุลยภาพ สปริงยืดออกจำนวนหนึ่ง x 0 เท่ากับ

ดังนั้น กฎข้อที่สองของนิวตันสำหรับการโหลดบนสปริงสามารถเขียนได้เป็น

สมการ (*) เรียกว่า สมการของการแกว่งอิสระ . ควรสังเกตว่า คุณสมบัติทางกายภาพระบบสั่น กำหนดเฉพาะความถี่ธรรมชาติของการแกว่ง ω 0 หรือคาบ ตู่ . พารามิเตอร์ดังกล่าวของกระบวนการสั่นเป็นแอมพลิจูด x m และเฟสเริ่มต้น φ 0 ถูกกำหนดโดยวิธีที่ระบบถูกนำออกจากสมดุลในช่วงเวลาเริ่มต้น

ตัวอย่างเช่น ถ้าโหลดถูกแทนที่จากตำแหน่งสมดุลด้วยระยะทาง Δ lและเมื่อถึงเวลานั้น t= 0 ปล่อยโดยไม่มีความเร็วเริ่มต้น แล้ว xม = ∆ l, φ 0 = 0

อย่างไรก็ตาม หากความเร็วเริ่มต้น ± υ 0 ถูกมอบให้กับโหลด ซึ่งอยู่ในตำแหน่งสมดุล โดยใช้แรงกดที่แหลมคม

ดังนั้นแอมพลิจูด x m การแกว่งอิสระและเฟสเริ่มต้น φ 0 ถูกกำหนด เงื่อนไขเบื้องต้น .

ระบบออสซิลเลเตอร์ทางกลมีหลายประเภทที่ใช้แรงของการเปลี่ยนรูปแบบยืดหยุ่น ในรูป 2.2.2 แสดงแอนะล็อกเชิงมุมของออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกเชิงเส้น ดิสก์ที่วางในแนวนอนแขวนอยู่บนเกลียวยางยืดซึ่งจับจ้องอยู่ที่จุดศูนย์กลางมวล เมื่อจานหมุนเป็นมุม θ จะเกิดโมเมนต์แรงขึ้น เอ็มความเครียดแรงบิดยืดหยุ่น:

ที่ไหน ฉัน = ฉัน C - โมเมนต์ความเฉื่อยของดิสก์รอบแกนที่ผ่านจุดศูนย์กลางมวล ε - ความเร่งเชิงมุม

โดยการเปรียบเทียบกับโหลดในสปริง คุณจะได้รับ:

การสั่นสะเทือนฟรี ลูกตุ้มคณิตศาสตร์

ลูกตุ้มคณิตศาสตร์เรียกว่า ร่างเล็ก ห้อยอยู่บนเส้นด้ายบาง ๆ ที่ไม่สามารถยืดออกได้ ซึ่งมวลของมันนั้นเล็กน้อยเมื่อเทียบกับมวลของร่างกาย ในตำแหน่งสมดุล เมื่อลูกตุ้มห้อยอยู่บนแนวดิ่ง แรงโน้มถ่วงจะสมดุลโดยแรงตึงของเกลียว เมื่อลูกตุ้มเบี่ยงเบนจากตำแหน่งสมดุลด้วยมุมหนึ่ง φ ส่วนประกอบในแนวสัมผัสของแรงโน้มถ่วงจะปรากฏขึ้น F τ = - มก.บาป φ (รูปที่ 2.3.1) เครื่องหมายลบในสูตรนี้หมายความว่าส่วนประกอบสัมผัสถูกชี้ไปในทิศทางตรงกันข้ามกับการโก่งตัวของลูกตุ้ม

ถ้าเขียนแทนด้วย xการกระจัดเชิงเส้นของลูกตุ้มจากตำแหน่งสมดุลตามแนวโค้งของวงกลมรัศมี lจากนั้นการกระจัดเชิงมุมจะเท่ากับ φ = x / l. กฎข้อที่สองของนิวตัน ซึ่งเขียนขึ้นสำหรับการฉายภาพเวกเตอร์ความเร่งและแรงในทิศทางของเส้นสัมผัส ให้:

ความสัมพันธ์นี้แสดงว่าลูกตุ้มคณิตศาสตร์เป็นเชิงซ้อน ไม่เชิงเส้นระบบ เนื่องจากแรงที่ผลักให้ลูกตุ้มกลับคืนสู่ตำแหน่งสมดุลนั้นเป็นสัดส่วนกับการไม่กระจัดกระจาย x, แ

เฉพาะกรณี ความผันผวนเล็กน้อยเมื่อปิดสามารถแทนที่ด้วยลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์เป็นฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์นั่นคือระบบที่สามารถทำการสั่นของฮาร์มอนิกได้ ในทางปฏิบัติ การประมาณนี้ใช้ได้สำหรับมุมของลำดับ 15-20° ในขณะที่มูลค่าแตกต่างจากไม่เกิน 2% การแกว่งของลูกตุ้มที่แอมพลิจูดมากไม่ฮาร์โมนิก

สำหรับการแกว่งเล็กน้อยของลูกตุ้มคณิตศาสตร์ กฎข้อที่สองของนิวตันเขียนเป็น

สูตรนี้แสดงออกถึง ความถี่ธรรมชาติของการแกว่งเล็กน้อยของลูกตุ้มคณิตศาสตร์ .

เพราะเหตุนี้,

วัตถุใดๆ ที่ติดตั้งบนแกนหมุนในแนวนอนสามารถทำการแกว่งอิสระในสนามโน้มถ่วงได้ ดังนั้นจึงเป็นลูกตุ้มด้วย ลูกตุ้มดังกล่าวเรียกว่า ทางกายภาพ (รูปที่ 2.3.2). มันแตกต่างจากคณิตศาสตร์เพียงอย่างเดียวในการแจกแจงมวล ในตำแหน่งสมดุลที่มั่นคง จุดศูนย์กลางมวล ค ลูกตุ้มกายภาพอยู่ต่ำกว่าแกนหมุน O บนแนวตั้งที่ผ่านแกน เมื่อลูกตุ้มเบี่ยงเบนโดยมุม φ โมเมนต์ของแรงโน้มถ่วงจะเกิดขึ้น ซึ่งจะทำให้ลูกตุ้มกลับสู่ตำแหน่งสมดุล:

และกฎข้อที่สองของนิวตันสำหรับลูกตุ้มกายภาพจะกลายเป็น (ดู§1.23)

ที่นี่ ω 0 - ความถี่ธรรมชาติของการแกว่งเล็กน้อยของลูกตุ้มกายภาพ .

เพราะเหตุนี้,

ดังนั้น สมการที่แสดงกฎข้อที่สองของนิวตันสำหรับลูกตุ้มกายภาพสามารถเขียนได้เป็น

สุดท้าย สำหรับความถี่วงกลม ω 0 ของการแกว่งอิสระของลูกตุ้มกายภาพ จะได้นิพจน์ต่อไปนี้:

การแปลงพลังงานระหว่างการสั่นสะเทือนทางกลฟรี

เมื่อว่าง การสั่นสะเทือนทางกลพลังงานจลน์และพลังงานศักย์เปลี่ยนแปลงเป็นระยะ ที่ส่วนเบี่ยงเบนสูงสุดของร่างกายจากตำแหน่งสมดุล ความเร็ว และพลังงานจลน์จะหายไป ในตำแหน่งนี้พลังงานศักย์ของร่างกายสั่นไปถึง มูลค่าสูงสุด. สำหรับการโหลดสปริง พลังงานศักย์คือพลังงานของการเสียรูปยืดหยุ่นของสปริง สำหรับลูกตุ้มคณิตศาสตร์ นี่คือพลังงานในสนามโน้มถ่วงของโลก

เมื่อร่างกายเคลื่อนที่ผ่านตำแหน่งสมดุล ความเร็วสูงสุดของวัตถุ ร่างกายข้ามตำแหน่งสมดุลตามกฎของความเฉื่อย ขณะนี้มีพลังงานจลน์สูงสุดและพลังงานศักย์ต่ำสุด การเพิ่มขึ้นของพลังงานจลน์เกิดขึ้นเนื่องจากพลังงานศักย์ลดลง เมื่อเคลื่อนที่ต่อไป พลังงานศักย์จะเริ่มเพิ่มขึ้นเนื่องจากพลังงานจลน์ลดลง ฯลฯ

ดังนั้น ในระหว่างการสั่นของฮาร์มอนิก จะเกิดการเปลี่ยนแปลงเป็นระยะๆ ของพลังงานจลน์เป็นพลังงานศักย์และในทางกลับกันก็เกิดขึ้น

หากไม่มีแรงเสียดทานในระบบออสซิลเลเตอร์ พลังงานกลทั้งหมดระหว่างการสั่นสะเทือนอิสระจะยังคงไม่เปลี่ยนแปลง

สำหรับสปริงโหลด(ดู§2.2):

ในสภาพจริง ระบบออสซิลเลเตอร์ใดๆ ก็ตามอยู่ภายใต้อิทธิพลของแรงเสียดทาน (ความต้านทาน) ในกรณีนี้พลังงานกลส่วนหนึ่งจะถูกแปลงเป็น กำลังภายใน การเคลื่อนที่ด้วยความร้อนอะตอมและโมเลกุล และการสั่นสะเทือนกลายเป็น จางลง (รูปที่ 2.4.2).

อัตราการหน่วงของการแกว่งขึ้นอยู่กับขนาดของแรงเสียดทาน ช่วงเวลา τ ในระหว่างที่แอมพลิจูดการสั่นลดลงใน อี≈ 2.7 ครั้ง เรียกว่า เวลาสลาย .

ความถี่ของการแกว่งอิสระขึ้นอยู่กับอัตราการหน่วงของการแกว่ง เมื่อแรงเสียดทานเพิ่มขึ้น ความถี่ธรรมชาติจะลดลง อย่างไรก็ตาม การเปลี่ยนแปลงของความถี่ธรรมชาติจะสังเกตเห็นได้เฉพาะที่แรงเสียดทานขนาดใหญ่เพียงพอเท่านั้น เมื่อการสั่นตามธรรมชาติสลายตัวอย่างรวดเร็ว

ลักษณะสำคัญของระบบออสซิลเลเตอร์ที่ทำให้อิสระ การสั่นสะเทือนที่ชื้น, เป็น ปัจจัยด้านคุณภาพ Q. พารามิเตอร์นี้ถูกกำหนดเป็นตัวเลข นู๋การแกว่งรวมที่เกิดขึ้นโดยระบบในช่วงเวลาหน่วง τ คูณด้วย π:

ดังนั้น ปัจจัยด้านคุณภาพจึงกำหนดลักษณะการสูญเสียพลังงานสัมพัทธ์ของระบบออสซิลเลเตอร์เนื่องจากการมีอยู่ของแรงเสียดทานในช่วงเวลาหนึ่งเท่ากับหนึ่งช่วงการแกว่ง

แรงสั่นสะเทือนที่บังคับ เสียงก้อง. ตัวเองสั่น

การสั่นที่เกิดขึ้นภายใต้อิทธิพลของแรงคาบภายนอกเรียกว่า บังคับ.

แรงภายนอกทำงานในเชิงบวกและให้พลังงานไหลเข้าไปยังระบบออสซิลเลเตอร์ ไม่ยอมให้การสั่นจางลงแม้จะใช้แรงเสียดทานก็ตาม

แรงภายนอกเป็นระยะสามารถเปลี่ยนแปลงได้ตามเวลาตามกฎหมายต่างๆ สิ่งที่น่าสนใจเป็นพิเศษคือกรณีที่แรงภายนอกเปลี่ยนแปลงตามกฎฮาร์มอนิกที่มีความถี่ ω กระทำกับระบบออสซิลเลเตอร์ที่สามารถทำการแกว่งตามธรรมชาติที่ความถี่หนึ่ง ω 0 .

หากการแกว่งอิสระเกิดขึ้นที่ความถี่ ω 0 ซึ่งกำหนดโดยพารามิเตอร์ของระบบ การสั่นแบบบังคับคงที่จะเกิดขึ้นที่ ความถี่ ω ของแรงภายนอก.

หลังจากเริ่มผลกระทบของแรงภายนอกต่อระบบออสซิลเลเตอร์ ระยะหนึ่ง Δ tก่อตั้ง แรงสั่นสะเทือน. เวลาการตกตะกอนจะเท่ากันโดยลำดับความสำคัญของเวลาการสลายตัว τ ของการแกว่งอิสระในระบบออสซิลเลชัน

ในช่วงเริ่มต้น กระบวนการทั้งสองนั้นตื่นเต้นในระบบออสซิลเลชัน - การสั่นแบบบังคับที่ความถี่ ω และการแกว่งอิสระที่ความถี่ธรรมชาติ ω 0 . แต่การสั่นแบบอิสระถูกลดทอนลงเนื่องจากการมีอยู่ของแรงเสียดทานอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้ ดังนั้นหลังจากผ่านไประยะหนึ่ง เฉพาะการสั่นแบบคงที่ที่ความถี่ ω ของแรงขับเคลื่อนภายนอกเท่านั้นที่ยังคงอยู่ในระบบออสซิลเลชัน

ยกตัวอย่าง การสั่นสะเทือนแบบบังคับของร่างกายบนสปริง (รูปที่ 2.5.1) แรงภายนอกถูกนำไปใช้กับปลายอิสระของสปริง มันบังคับให้ปลายสปริงอิสระ (ซ้ายในรูป 2.5.1) เคลื่อนที่ตามกฎหมาย

หากปลายด้านซ้ายของสปริงเลื่อนออกไปตามระยะทาง y, และอันที่ถูกต้อง - ในระยะไกล xจากตำแหน่งเดิม เมื่อสปริงไม่ได้เสียรูป แล้วการยืดตัวของสปริง Δ lเท่ากับ:

ในสมการนี้ แรงที่กระทำต่อร่างกายจะแสดงเป็นสองพจน์ เทอมแรกทางด้านขวาคือแรงยืดหยุ่นที่ส่งกลับร่างกายไปยังตำแหน่งสมดุล ( x= 0). ระยะที่สองคือผลกระทบภายนอกเป็นระยะต่อร่างกาย คำนี้เรียกว่า แรงดึงดูด.

สมการแสดงกฎข้อที่สองของนิวตันสำหรับวัตถุในสปริงเมื่อมีการกระทำเป็นระยะภายนอกสามารถกำหนดได้อย่างเคร่งครัด รูปแบบทางคณิตศาสตร์หากเราคำนึงถึงความสัมพันธ์ระหว่างการเร่งความเร็วของร่างกายและพิกัดของมัน: แล้ว จะเขียนในรูปแบบ

สมการ (**) ไม่ได้คำนึงถึงการกระทำของแรงเสียดทาน ไม่เหมือน สมการการสั่นอิสระ(*) (ดู§2.2) สมการแรงสั่นสะเทือน(**) มีสองความถี่ - ความถี่ ω 0 ของการแกว่งอิสระและความถี่ ω ของแรงขับเคลื่อน

แรงสั่นสะเทือนคงที่ของโหลดบนสปริงเกิดขึ้นที่ความถี่ อิทธิพลภายนอกในกฎหมาย

x(t) = x m cos (ω t + θ).

แอมพลิจูดของการสั่นสะเทือนแบบบังคับ x m และเฟสเริ่มต้น θ ขึ้นอยู่กับอัตราส่วนของความถี่ ω 0 และ ω และตามแอมพลิจูด yเมตร แรงภายนอก

ที่ความถี่ต่ำมาก เมื่อ ω<< ω 0 , движение тела массой มติดกับปลายด้านขวาของสปริง ทำซ้ำการเคลื่อนไหวของปลายด้านซ้ายของสปริง โดยที่ x(t) = y(t) และสปริงยังคงไม่เปลี่ยนรูปในทางปฏิบัติ แรงภายนอกที่ใช้กับปลายด้านซ้ายของสปริงไม่ทำงาน เนื่องจากโมดูลัสของแรงนี้ที่ ω<< ω 0 стремится к нулю.

หากความถี่ ω ของแรงภายนอกเข้าใกล้ความถี่ธรรมชาติ ω 0 แอมพลิจูดของการสั่นแบบบังคับจะเพิ่มขึ้นอย่างมาก ปรากฏการณ์นี้เรียกว่า เสียงก้อง . การพึ่งพาแอมพลิจูด x m การแกว่งบังคับจากความถี่ ω ของแรงขับเรียกว่า ลักษณะจังหวะหรือ เส้นโค้งเรโซแนนซ์(รูปที่ 2.5.2).

ที่เสียงสะท้อน แอมพลิจูด xความผันผวนของโหลด m อาจมากกว่าแอมพลิจูดหลายเท่า yการสั่นของสปริงอิสระ (ซ้าย) ที่เกิดจากการกระทำภายนอก ในกรณีที่ไม่มีแรงเสียดทาน แอมพลิจูดของการสั่นแบบบังคับที่เรโซแนนซ์ควรเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีกำหนด ในสภาพจริง แอมพลิจูดของการสั่นแบบบังคับในสภาวะคงที่ถูกกำหนดโดยเงื่อนไข: การทำงานของแรงภายนอกในช่วงระยะเวลาของการแกว่งจะต้องเท่ากับการสูญเสียพลังงานกลในเวลาเดียวกันเนื่องจากแรงเสียดทาน ยิ่งแรงเสียดทานน้อย (เช่น ยิ่งปัจจัยคุณภาพสูงขึ้น Qระบบออสซิลเลเตอร์) ยิ่งแอมพลิจูดของการสั่นแบบบังคับที่เรโซแนนซ์มากขึ้น

สำหรับระบบออสซิลเลเตอร์ที่มีปัจจัยคุณภาพไม่สูงมาก (< 10) резонансная частота несколько смещается в сторону низких частот. Это хорошо заметно на рис. 2.5.2.

ปรากฏการณ์ของการสั่นพ้องสามารถทำให้เกิดการทำลายสะพาน อาคาร และโครงสร้างอื่น ๆ หากความถี่ตามธรรมชาติของการแกว่งของมันตรงกับความถี่ของแรงกระทำเป็นระยะ ๆ ซึ่งเกิดขึ้นเช่นเนื่องจากการหมุนของมอเตอร์ที่ไม่สมดุล

แรงสั่นสะเทือนคือ ไม่ติดขัดความผันผวน การสูญเสียพลังงานอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้อันเนื่องมาจากแรงเสียดทานจะได้รับการชดเชยด้วยการจ่ายพลังงานจากแหล่งภายนอกของแรงกระทำเป็นระยะ มีหลายระบบที่การสั่นแบบ undamped ไม่ได้เกิดขึ้นเนื่องจากอิทธิพลภายนอกเป็นระยะ แต่เป็นผลมาจากความสามารถของระบบดังกล่าวในการควบคุมการไหลของพลังงานจากแหล่งคงที่ ระบบดังกล่าวเรียกว่า สั่นตัวเอง, และกระบวนการของการสั่นแบบไม่แดมป์ในระบบดังกล่าว - การสั่นไหวในตัวเอง . ในระบบออสซิลเลเตอร์ในตัวเอง องค์ประกอบลักษณะเฉพาะสามอย่างสามารถแยกแยะได้ - ระบบออสซิลเลเตอร์ แหล่งพลังงาน และอุปกรณ์ป้อนกลับระหว่างระบบออสซิลเลเตอร์กับแหล่งกำเนิด ในฐานะระบบออสซิลเลเตอร์ สามารถใช้ระบบกลไกใดๆ ที่สามารถทำการสั่นสะเทือนแบบแดมเปอร์ของตัวเองได้ (เช่น ลูกตุ้มนาฬิกาแขวน)

แหล่งพลังงานอาจเป็นพลังงานการเปลี่ยนรูปของสปริงหรือพลังงานศักย์ของโหลดในสนามโน้มถ่วง อุปกรณ์ป้อนกลับเป็นกลไกที่ระบบการสั่นในตัวเองควบคุมการไหลของพลังงานจากแหล่งกำเนิด ในรูป 2.5.3 แสดงไดอะแกรมของการทำงานร่วมกันขององค์ประกอบต่าง ๆ ของระบบการสั่นในตัวเอง

ตัวอย่างของระบบสั่นตัวเองทางกลคือเครื่องจักรกับ สมอย้าย (รูปที่ 2.5.4) ล้อวิ่งที่มีฟันเฉียงถูกยึดอย่างแน่นหนากับดรัมฟันซึ่งจะมีการโยนโซ่ที่มีน้ำหนัก ติดกับปลายด้านบนของลูกตุ้ม สมอ(สมอ) ด้วยวัสดุแข็งสองแผ่นโค้งไปตามส่วนโค้งของวงกลมโดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่แกนของลูกตุ้ม ในนาฬิกาข้อมือ น้ำหนักจะถูกแทนที่ด้วยสปริง และลูกตุ้มจะถูกแทนที่ด้วยบาลานเซอร์ - วงล้อจักรที่ติดกับสปริงเกลียว บาลานเซอร์ทำการสั่นสะเทือนแบบบิดรอบแกนของมัน ระบบออสซิลเลเตอร์ในนาฬิกาเป็นลูกตุ้มหรือบาลานเซอร์

แหล่งที่มาของพลังงานคือการยกน้ำหนักหรือสปริงแผล อุปกรณ์ป้อนกลับเป็นพุกที่ช่วยให้ล้อวิ่งหมุนฟันหนึ่งซี่ในครึ่งรอบ ข้อเสนอแนะมาจากการทำงานร่วมกันของสมอกับวงล้อวิ่ง ด้วยการสั่นของลูกตุ้มแต่ละครั้ง ฟันของล้อเลื่อนจะดันส้อมสมอไปในทิศทางของการเคลื่อนที่ของลูกตุ้ม โดยส่งพลังงานส่วนหนึ่งไปยังมัน ซึ่งจะชดเชยการสูญเสียพลังงานอันเนื่องมาจากแรงเสียดทาน ดังนั้นพลังงานศักย์ของน้ำหนัก (หรือสปริงบิด) จะถูกถ่ายโอนไปยังลูกตุ้มทีละส่วนทีละส่วน

ระบบการสั่นด้วยตนเองของกลไกนั้นแพร่หลายในชีวิตรอบตัวเราและในเทคโนโลยี การสั่นในตัวเองดำเนินการโดยเครื่องยนต์ไอน้ำ, เครื่องยนต์สันดาปภายใน, กระดิ่งไฟฟ้า, เครื่องสายเครื่องดนตรีที่โค้งคำนับ, เสาลมในท่อของเครื่องลม, สายเสียงเมื่อพูดหรือร้องเพลง ฯลฯ

รูปที่ 2.5.4. กลไกนาฬิกาพร้อมลูกตุ้ม

เมื่อเกิดการแกว่งตัวที่โรงเรียน ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดสองตัวอย่างแสดงให้เห็นภาพเหล่านี้: น้ำหนักบนสปริงและลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์ (นั่นคือ น้ำหนักจุดบนเส้นด้ายที่ขยายไม่ได้) ในสนามแรงโน้มถ่วง ในทั้งสองกรณี จะสังเกตเห็นความสม่ำเสมอที่สำคัญในการแกว่ง: ระยะเวลาไม่ขึ้นอยู่กับแอมพลิจูด - อย่างน้อยตราบเท่าที่แอมพลิจูดนี้ยังคงน้อย - แต่ถูกกำหนดโดยคุณสมบัติทางกลของระบบเท่านั้น

ตอนนี้ เรามารวมสองตัวอย่างนี้และพิจารณาการสั่นสะเทือนของน้ำหนักที่แขวนอยู่บนสปริงแรงดึงในสนามโน้มถ่วง (รูปที่ 1)

เพื่อความง่าย เราละเลยมิติที่สามและถือว่าลูกตุ้มสปริงแกว่งไปแกว่งมาในระนาบของร่างอย่างเคร่งครัด ในกรณีนี้ น้ำหนัก (ซึ่งถือเป็นน้ำหนักจุดด้วย) สามารถเคลื่อนที่ในระนาบแนวตั้งในทิศทางใดก็ได้ ไม่ใช่แค่ขึ้นและลง หรือซ้ายและขวา ดังแสดงในรูปที่ 2. แต่ถ้าอีกครั้งเราจำกัดตัวเองให้เบี่ยงเบนจากตำแหน่งสมดุลเพียงเล็กน้อยเท่านั้น การแกว่งในแนวนอนและแนวตั้งก็เกิดขึ้นเกือบจะเป็นอิสระด้วยคาบของมันเอง ที xและ T y.

ดูเหมือนว่าเนื่องจากการสั่นเหล่านี้ถูกกำหนดโดยแรงและลักษณะของระบบที่แตกต่างกันโดยสิ้นเชิง ดังนั้นช่วงเวลาของพวกมันจึงเป็นไปตามอำเภอใจโดยสมบูรณ์ ไม่มีทางเชื่อมโยงถึงกัน ปรากฎว่า - ไม่!

งาน

พิสูจน์สำหรับลูกตุ้มดังกล่าว ระยะเวลาของการแกว่งในแนวนอนจะมากกว่าระยะเวลาของการแกว่งในแนวตั้งเสมอ: T x > T y.

เบาะแส

ในตอนแรก ปัญหาอาจทำให้คุณประหลาดใจที่ดูเหมือนว่าไม่มีอะไรให้ในนั้น แต่บางสิ่งจำเป็นต้องได้รับการพิสูจน์ แต่ไม่มีอะไรผิดปกติที่นี่ เมื่อปัญหามีการกำหนดในลักษณะนี้ หมายความว่าคุณสามารถแนะนำสัญกรณ์ที่คุณต้องการ คำนวณกับพวกเขาว่าต้องการอะไร จากนั้นจึงสรุปได้ว่า ไม่ได้ขึ้นอยู่กับจากค่านิยมเหล่านี้ ทำเพื่องานนี้ นำสูตรสำหรับช่วงเวลาการแกว่งตัว คิดเกี่ยวกับปริมาณที่เกี่ยวข้อง และเปรียบเทียบทั้งสองช่วงเวลาด้วยการหารด้วยกันและกัน

วิธีการแก้

คาบการสั่นของมวลน้ำหนัก มบนสปริงที่แข็งทื่อ kและความยาว หลี่ 0 คือ

.

สูตรนี้ไม่เปลี่ยนแปลงแม้น้ำหนักจะลอยอยู่ในสนามโน้มถ่วงด้วยความเร่งการตกอย่างอิสระ ก. แน่นอนว่าตำแหน่งสมดุลของน้ำหนักจะเลื่อนลงมาเป็นความสูง Δ L = มก./k- ด้วยการยืดตัวของสปริงที่แรงยืดหยุ่นจะชดเชยแรงโน้มถ่วง แต่ระยะเวลาของการแกว่งในแนวตั้งเกี่ยวกับตำแหน่งสมดุลใหม่นี้กับสปริงที่ยืดออกจะยังคงเหมือนเดิม

คาบของการสั่นในแนวนอนของลูกตุ้มที่ยืดออกจะแสดงในรูปของความเร่งโน้มถ่วง กและของเขา เสร็จสิ้นความยาว L = L 0 +Δ หลี่:

.

ต้องขอบคุณการยืดตัวเพิ่มเติมในสนามโน้มถ่วงที่เราพบว่า

นั่นคือทางออกทั้งหมด

Afterword

แม้จะดูเรียบง่าย แต่ลูกตุ้มบนสปริงเป็นระบบที่ค่อนข้างสมบูรณ์ในปรากฏการณ์ นี่เป็นหนึ่งในตัวอย่างที่ง่ายที่สุดของปรากฏการณ์ที่น่ารัก - เสียงสะท้อนของ Fermi ประกอบด้วยในนี้ โดยทั่วไปแล้ว หากน้ำหนักถูกดึงและปล่อยออก มันก็จะแกว่งไปมาทั้งในแนวตั้งและแนวนอน การแกว่งทั้งสองประเภทนี้จะทับซ้อนกันและไม่รบกวนซึ่งกันและกัน แต่ถ้าคาบของการแกว่งในแนวตั้งและแนวนอนสัมพันธ์กันโดยความสัมพันธ์ ที x = 2T yจากนั้นการแกว่งในแนวนอนและแนวตั้งราวกับว่าขัดต่อเจตจำนงจะค่อยๆเปลี่ยนไปเหมือนในแอนิเมชั่นทางด้านขวา พลังงานของการสั่นสะเทือนจะถูกสูบจากการสั่นสะเทือนในแนวตั้งไปสู่การสั่นสะเทือนในแนวนอนและในทางกลับกัน

ดูเหมือนว่านี้: คุณดึงน้ำหนักลงแล้วปล่อย ในตอนแรก มันจะแกว่งขึ้นและลงเท่านั้น จากนั้นก็เริ่มแกว่งไปด้านข้างด้วยตัวมันเอง ชั่วขณะหนึ่งการสั่นจะกลายเป็นแนวนอนเกือบทั้งหมด แล้วจึงกลับสู่แนวตั้งอีกครั้ง น่าแปลกที่การแกว่งในแนวตั้งอย่างเคร่งครัดกลับกลายเป็นว่าไม่เสถียร

คำอธิบายของเอฟเฟกต์ที่น่าทึ่งนี้ รวมถึงอัตราส่วนเวทย์มนตร์ ที x:T y= 2:1 นั่นแหละ แสดงโดย xและ yความเบี่ยงเบนของน้ำหนักจากตำแหน่งสมดุล (axis yชี้ขึ้นไป) ด้วยค่าเบี่ยงเบนดังกล่าว พลังงานศักย์จะเพิ่มขึ้นตามปริมาณ

นี่เป็นสูตรที่แน่นอน เหมาะสำหรับการเบี่ยงเบนใด ๆ ทั้งใหญ่และเล็ก แต่ถ้า xและ yเล็ก น้อย หลี่จากนั้นนิพจน์จะเท่ากับ .โดยประมาณ

บวกกับคำอื่นๆ ที่มีระดับความเบี่ยงเบนที่สูงกว่า ปริมาณ คุณยูและ ยู xเป็นพลังงานศักย์ธรรมดาที่ได้จากการแกว่งในแนวตั้งและแนวนอน และนี่คือค่าที่เน้นเป็นสีน้ำเงิน Uxyเป็นสารเติมแต่งพิเศษที่สร้าง ปฏิสัมพันธ์ระหว่างการสั่นสะเทือนเหล่านี้ เนื่องจากการโต้ตอบเพียงเล็กน้อยนี้ การสั่นในแนวตั้งจึงส่งผลต่อการสั่นในแนวนอนและในทางกลับกัน สิ่งนี้จะโปร่งใสมากหากเราทำการคำนวณเพิ่มเติมและเขียนสมการสำหรับการแกว่งในแนวนอนและแนวตั้ง:

ที่สัญกรณ์

หากปราศจากการเติมสีน้ำเงิน เราก็จะมีการแกว่งอิสระตามปกติในแนวตั้งและแนวนอนด้วยความถี่ ωyและ ω x. สารเติมแต่งนี้มีบทบาท แรงผลักดัน, ปั๊มสั่นสะเทือนเพิ่มเติม ถ้าความถี่ ωyและ ω xเป็นไปตามอำเภอใจ แรงเล็กๆ น้อยๆ นี้ไม่ก่อให้เกิดผลกระทบอย่างมีนัยสำคัญ แต่ถ้าความสัมพันธ์ ωy = 2ω x, กำทอนกำหนดใน: แรงผลักดันสำหรับการแกว่งทั้งสองประเภทมีส่วนประกอบ ด้วยความถี่เดียวกับตัวสั่นเอง. เป็นผลให้แรงนี้สร้างการแกว่งประเภทหนึ่งอย่างช้า ๆ แต่มั่นคงและระงับอีกประเภทหนึ่ง นี่คือวิธีที่การสั่นสะเทือนในแนวนอนและแนวตั้งไหลเข้าหากัน

ความงามเพิ่มเติมจะเกิดขึ้นหากในตัวอย่างนี้พิจารณาถึงมิติที่สามอย่างตรงไปตรงมา เราคิดว่าน้ำหนักสามารถกด-คลายสปริงในแนวตั้งและแกว่งเหมือนลูกตุ้มในแนวนอนสองทิศทาง จากนั้น เมื่อตรงตามเงื่อนไขการสั่นพ้อง เมื่อมองจากด้านบน น้ำหนักจะเขียนเส้นทางของดาวฤกษ์ ตัวอย่างเช่น ในรูปที่ 3. สิ่งนี้เกิดขึ้นเพราะระนาบของการสั่นไม่นิ่ง แต่หมุน - แต่ไม่ราบรื่น แต่ราวกับกระโดด ตราบใดที่การวอกแวกเคลื่อนจากด้านหนึ่งไปอีกด้านหนึ่ง ระนาบนี้จะยึดไว้ไม่มากก็น้อย และการเลี้ยวจะเกิดขึ้นในช่วงเวลาสั้นๆ นั้นเมื่อวอกแวกเกือบจะเป็นแนวตั้ง เราขอเชิญชวนผู้อ่านให้คิดเอาเองว่าสาเหตุของพฤติกรรมนี้คืออะไรและอะไรเป็นตัวกำหนดมุมการหมุนของระนาบ และผู้ที่ต้องการกระโจนเข้าสู่งานที่ค่อนข้างลึกล้ำนี้สามารถดูบทความ Stepwise Precession of the Resonant Swinging Spring ซึ่งไม่เพียงแต่ให้การวิเคราะห์โดยละเอียดของปัญหาเท่านั้น แต่ยังพูดถึงประวัติและการเชื่อมโยงของปัญหานี้กับผู้อื่น วิชาฟิสิกส์โดยเฉพาะฟิสิกส์ปรมาณู