แนวคิดของชุด ปฏิบัติการชุด

คำนิยาม.ชุดคือชุดของวัตถุบางอย่างที่รวมกันโดยแอตทริบิวต์บางอย่าง

องค์ประกอบที่ประกอบเป็นชุดมักจะแสดงด้วยตัวอักษรละตินตัวเล็ก และชุดนั้นมักจะแสดงด้วยตัวอักษรละตินตัวพิมพ์ใหญ่ เครื่องหมาย ∈ ใช้เพื่อระบุว่าองค์ประกอบนั้นเป็นของเซต สัญกรณ์ a∈A หมายความว่าองค์ประกอบ a เป็นของเซต A หากวัตถุ x บางตัวไม่ใช่องค์ประกอบของเซต A ให้เขียน x∉A ตัวอย่างเช่น ถ้า A เป็นเซตของจำนวนคู่ ดังนั้น 2∈A และ 1∉A ชุด A และ B จะถือว่าเท่ากัน (เขียน A = B) หากประกอบด้วยองค์ประกอบเดียวกัน

ถ้าชุดประกอบด้วยจำนวนจำกัดขององค์ประกอบ เรียกว่าจำกัด; มิฉะนั้นชุดจะเรียกว่าอนันต์ หากเซต A เป็นจำนวนจำกัด สัญลักษณ์ |A| จะแสดงด้วยจำนวนขององค์ประกอบ ชุดที่ไม่มีองค์ประกอบเดียวเรียกว่าว่างและแสดงด้วยสัญลักษณ์ ∅ แน่นอน |∅|=0.

ตัวอย่าง. ให้ A เป็นเซตของคำตอบจริงของสมการกำลังสอง x 2 + px + q = 0 เซต A มีขีดจำกัด |A|≤2 ถ้า discriminant D = p 2 -4q เป็นลบ แสดงว่า set A ว่างเปล่า เซตของคำตอบจริงของอสมการกำลังสอง x 2 +px+q≤0 นั้นมีจำกัดถ้า D≤0 และอนันต์ถ้า D>0

เซตจำกัดสามารถกำหนดได้โดยการแสดงรายการองค์ประกอบทั้งหมด

หรืออธิบายคุณสมบัติของพวกเขา หากเซต A ประกอบด้วยองค์ประกอบ x, y, z ให้เขียนว่า A = (x, y, z,) ตัวอย่างเช่น A = (0, 2, 4, 6, 8) คือชุดของทศนิยมคู่หรือชุดของจำนวนธรรมชาติที่เป็นไปตามเงื่อนไข x + 2 = 1

ให้เราแนะนำแนวคิดของชุดที่จัดทำดัชนีซึ่งจะใช้ด้านล่าง ให้ฉันเป็นชุดซึ่งแต่ละองค์ประกอบ i ซึ่งเชื่อมโยงกับชุดที่กำหนดไว้เฉพาะ A ผม องค์ประกอบของเซต I เรียกว่า ดัชนี และคอลเล็กชันของเซต A ฉัน เรียกว่า เซตที่จัดทำดัชนี และแสดงโดย (A i) ฉัน ∈ ฉัน .

เราบอกว่าเซต B เป็นสับเซตของเซต A และเขียน B⊂A ถ้าทุกองค์ประกอบของเซต B เป็นองค์ประกอบของเซต A ตัวอย่างเช่น เซตของจำนวนธรรมชาติ N เป็นสับเซตของเซตของจำนวนเต็ม Z และตัวหลัง ในทางกลับกัน เป็นสับเซตของเซตของจำนวนตรรกยะ Q นั่นคือ N⊂Z และ Z⊂Q หรือเรียกสั้นๆ ว่า N⊂Z⊂Q มันง่ายที่จะเห็นว่าถ้า B⊂A และ A⊂B แล้ว เซต A และ B ประกอบด้วยองค์ประกอบเดียวกัน และด้วยเหตุนี้ A=B มิฉะนั้น นอกจากสัญกรณ์ B⊂A แล้ว ยังใช้ A⊃B ซึ่งมีความหมายเหมือนกัน

เซตย่อยของเซต A ที่ไม่ใช่ ∅ และ A เรียกว่า เหมาะสม เซตว่างและเซต A เรียกว่า เซตย่อยที่ไม่เหมาะสมเซต A เซตของเซตย่อยทั้งหมดของเซต A เรียกว่า เซตนั้น บูลีน, หรือ ชุดองศาและแสดงด้วย P(A) หรือ 2 A

ตัวอย่าง. ให้ A = (a, b, c) จากนั้นชุดที่ 2 A ประกอบด้วยองค์ประกอบต่อไปนี้:

(∅), (a), (b), (c), (a,b), (a,c), (b,c), (a,b,c)

ถ้าเซต A มีจำกัดและมี n องค์ประกอบ เซตนี้มี 2 n เซตย่อย นั่นคือ |2 A |=2 | A | .

การดำเนินการทั้งหมดในชุดสามารถแสดงได้โดยใช้ไดอะแกรมออยเลอร์-เวนน์ หากชุดสากลบางชุดที่มีชุดอื่นๆ ทั้งหมดเป็นชุดย่อยแสดงโดย U และแสดงเป็นระนาบทั้งหมด ชุดใดๆ ก็สามารถแสดงเป็นส่วนหนึ่งของระนาบได้ กล่าวคือ ในรูปของร่างบางนอนอยู่บนเครื่องบิน

ยูเนี่ยนหรือผลรวมชุด A และ B เรียกว่าชุด C ซึ่งประกอบด้วยองค์ประกอบของชุด A หรือองค์ประกอบของชุด B หรือองค์ประกอบของชุดทั้งสองนี้เช่น . ตัวอย่างเช่น ถ้า A = (1, 2, 3) และ B = (2, 3, 4) แล้ว A∪B = (1, 2, 3, 4)

ทางแยกหรือสินค้าสองชุด A และ B เรียกว่าชุด C ซึ่งประกอบด้วยองค์ประกอบที่เป็นของทั้งสองชุดพร้อมกันเช่น . ตัวอย่างเช่น ถ้า A = (1, 2, 3) และ B = (2, 3, 4) แล้ว A∩B = (2, 3)

ความแตกต่างสองชุด A และ B เรียกว่าชุดที่ประกอบด้วยองค์ประกอบเหล่านั้นและเฉพาะที่รวมอยู่ใน A และไม่รวมอยู่ใน B ในเวลาเดียวกันเช่น

ตัวอย่างเช่น ถ้า A = (1, 2, 3) และ B =(2, 3, 4) แล้ว A\B = (1)

หากโดยเฉพาะอย่างยิ่ง A เป็นสับเซตของ U ดังนั้นความแตกต่าง U \ A จะถูกแสดงและเรียกว่า ส่วนที่เพิ่มเข้าไปชุด A

ความแตกต่างแบบสมมาตร (ผลรวมของริง)ชุด A และ B เรียกว่า ชุด ​​นั่นคือ . ตัวอย่างเช่น ถ้า A =(1, 2, 3) และ B = (2, 3, 4) แล้ว AΔB = (1, 4)

ตั้งกฎพีชคณิต:

1. กฎการสับเปลี่ยน: .

2. กฎหมายสมาคม: .

3. กฎหมายการจำหน่าย:

4. กฎแห่งความเท่าเทียมกัน: , โดยเฉพาะอย่างยิ่ง

5. กฎการดูดซึม:

6. กฎของเดอมอร์แกน (ความเป็นคู่):

7. กฎหมายเสริมคู่:

8. กฎแห่งการรวม:

9. กฎแห่งความเท่าเทียมกัน:

ตัวอย่าง 1มาดูกฎข้อแรกของเดอ มอร์แกนกัน มาแสดงกันก่อนว่า . มาแสร้งทำเป็นว่า จากนั้น x∉A∩B ดังนั้น x ไม่ได้อยู่ในชุด A และ B อย่างน้อยหนึ่งชุด ดังนั้น x∉A หรือ x∉B นั่นคือ หรือ

ก็หมายความว่า เราได้แสดงให้เห็นว่าองค์ประกอบที่กำหนดเองของชุดนั้นเป็นองค์ประกอบของชุด เพราะเหตุนี้, . รวมย้อนกลับ ได้รับการพิสูจน์ในลักษณะเดียวกัน ทำซ้ำขั้นตอนทั้งหมดของการให้เหตุผลก่อนหน้าในลำดับที่กลับกันก็เพียงพอแล้ว

ตัวอย่าง 2พิสูจน์การรวม

วิธีการแก้.วิธีที่ง่ายที่สุดในการทำเช่นนี้คือการใช้แผนภาพออยเลอร์-เวนน์

จากคู่ขององค์ประกอบ a และ b (ไม่จำเป็นต้องแตกต่างกัน) คุณสามารถเขียนองค์ประกอบใหม่ - สั่งคู่(ก, ข). คู่ที่เรียงลำดับ (a,b) และ (c,d) ถือว่าเท่ากันและเขียน (a,b) = (c,d) ถ้า a = c และ b = d โดยเฉพาะอย่างยิ่ง (a,b) = (b,a) เฉพาะในกรณีที่ a=b องค์ประกอบ a และ b เรียกว่าพิกัดของคู่คำสั่ง (a,b)

สินค้าโดยตรง (คาร์ทีเซียน)ชุด A และ B คือเซตของคู่ลำดับทั้งหมด (a,b) โดยที่ a∈A และ b∈B ผลคูณโดยตรงของเซต A และ B แสดงโดย A×B ตามคำจำกัดความ เรามี

A×B = ((a,b)| a∈A, b∈B). งานนี้มีชื่อว่า จัตุรัสคาร์ทีเซียน

ตัวอย่างที่ 3ให้ชุด A = (1; 2); ข = (2; 3). หา .

วิธีการแก้.

ดังนั้นผลคูณคาร์ทีเซียนจึงไม่เป็นไปตามกฎการสับเปลี่ยน

ตัวอย่างที่ 4ให้ชุดประกอบด้วยองค์ประกอบอะไร?

วิธีการแก้.ให้เราเขียนเซต A; ที่; C แสดงรายการองค์ประกอบ:

A = (3; 4; 5; 6); B = (2; 3); ค = (2). จากนั้น เช่นเดียวกับคู่ เราสามารถพิจารณาชุดคำสั่งสามส่วน สี่เท่า และโดยทั่วไป ชุดองค์ประกอบที่มีความยาวตามอำเภอใจ เซตของอิลิเมนต์ที่มีความยาว n ถูกจัดลำดับ ถูกแทนด้วย (a 1 , a 2 , a n) สำหรับเซตดังกล่าว จะใช้ชื่อทูเพิลที่มีความยาว n ด้วย อนุญาตให้ใช้ทูเพิลที่มีความยาว 1 ได้ - เป็นเซตเดี่ยว ทูเปิลส์ (a 1 , 2 , a n) และ (b 1 , b 2 , b n) จะถือว่าเท่ากันถ้า a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , a n = b n

โดยการเปรียบเทียบกับผลคูณของสองเซต เรากำหนดผลคูณโดยตรงของเซต A 1 , A 2 , A n เป็นเซตของ tuples ทั้งหมด (a 1 , a 2 , a n) โดยที่ a 1 ∈A 1 , a 2 ∈ A 2 , a n ∈A n . ผลิตภัณฑ์โดยตรงแสดงด้วย A 1 × A 2 × A n

แนวคิดของผลิตภัณฑ์โดยตรงสามารถสรุปได้ในกรณีของตระกูลชุดตามอำเภอใจ (A i) i ∈ I ให้เรียก I-tuple ว่าชุดขององค์ประกอบ (A i) i ∈ I เพื่อให้ a i ∈A i สำหรับแต่ละ i∈I ผลิตภัณฑ์โดยตรงของตระกูลชุด (A i) i ∈ I คือชุดที่ประกอบด้วย I-tuple ทั้งหมด ชุดนี้แสดงด้วยสัญลักษณ์ Π i ∈ I A i และรูปแบบต่างๆ คล้ายกับที่ใช้แสดงถึงทางแยกและการรวมกลุ่มของชุดเซต

เมื่อเซต A คูณด้วยตัวมันเอง ผลิตภัณฑ์จะเรียกว่ากำลัง (คาร์ทีเซียน) และใช้สัญกรณ์เลขชี้กำลัง ดังนั้นตามนิยามของ A × A = A 2, A × A × A = A 3 เป็นต้น เชื่อกันว่า A 1 = A และ A 0 = ∅

ความสัมพันธ์ต่อไปนี้ติดตามโดยตรงจากคำจำกัดความ (A∪B) × C = (A × C) ∪ (B × C);

(A∩B) × C = (A × C) ∩ (B × C);

(A\B)×C = (A×C)\(B×C).

1. Sudoplatov S.V. , Ovchinnikova E.V. องค์ประกอบของคณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่อง ม.: INFRA-M, โนโวซีบีสค์, 2002.

2. Aseev G.G. , Abramov O.M. , Sitnikov D.E. คณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่อง คาร์คอฟ, "ทอร์ซิง", 2546.

3. Nefedov V.N. , Osipova V.A. หลักสูตรคณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่อง ม.: เนาคา, 1973.

4. Lavrov I.A. , Maksimova L.L. ปัญหาในทฤษฎีเซต ตรรกะทางคณิตศาสตร์ และทฤษฎีอัลกอริทึม ม.: FIZMATLIT, 2001.

เยอะเป็นชุดของวัตถุใด ๆ ที่เรียกว่าองค์ประกอบของชุดนี้

ตัวอย่างเช่น: เด็กนักเรียนเยอะ รถเยอะ ตัวเลขเยอะ .

ในวิชาคณิตศาสตร์ ฉากนี้ถือว่ากว้างกว่ามาก เราจะไม่เจาะลึกในหัวข้อนี้มากเกินไป เนื่องจากเป็นวิชาคณิตศาสตร์ระดับสูง และในตอนแรกอาจสร้างความยุ่งยากในการเรียนรู้ได้ เราจะพิจารณาเฉพาะส่วนนั้นของหัวข้อที่เราได้ดำเนินการไปแล้ว

เนื้อหาบทเรียน

สัญกรณ์

ชุดนี้มักแสดงด้วยตัวพิมพ์ใหญ่ของอักษรละตินและองค์ประกอบ - ตัวพิมพ์เล็ก องค์ประกอบถูกล้อมรอบด้วยวงเล็บปีกกา

เช่น ถ้าเพื่อนเราเรียกว่า ทอม จอห์น และลีโอ จากนั้นเราสามารถระบุกลุ่มเพื่อนที่มีองค์ประกอบจะเป็น ทอม จอห์น และลีโอ

ระบุกลุ่มเพื่อนของเราด้วยอักษรละตินตัวพิมพ์ใหญ่ F(เพื่อน) จากนั้นใส่เครื่องหมายเท่ากับและระบุรายชื่อเพื่อนในวงเล็บปีกกา:

F = ( ทอม จอห์น ลีโอ )

ตัวอย่าง 2. ลองเขียนเซตตัวหารของเลข 6 กัน

ให้เราระบุชุดนี้ด้วยอักษรละตินตัวพิมพ์ใหญ่ เช่น ตัวหนังสือ ดี

จากนั้นเราใส่เครื่องหมายเท่ากับและในวงเล็บปีกกาเราแสดงรายการองค์ประกอบของชุดนี้นั่นคือเราแสดงรายการตัวหารของหมายเลข 6

D = ( 1, 2, 3, 6 )

หากองค์ประกอบบางอย่างอยู่ในชุดที่กำหนด การเป็นสมาชิกนี้จะถูกระบุโดยใช้เครื่องหมายสมาชิก ∈ ตัวอย่างเช่น ตัวหาร 2 เป็นของเซตของตัวหารของตัวเลข 6 (เซต ดี). มันเขียนแบบนี้:

อ่านเหมือน: "2 อยู่ในเซตของตัวหารของเลข 6"

หากองค์ประกอบบางอย่างไม่อยู่ในชุดที่กำหนด การไม่เป็นสมาชิกนี้จะถูกระบุโดยใช้เครื่องหมายสมาชิกที่ขีดฆ่า ∉ ตัวอย่างเช่น ตัวหาร 5 ไม่ได้อยู่ในเซต ดี. มันเขียนแบบนี้:

อ่านเหมือน: "5 ไม่เป็นชุดตัวหาร 6″

นอกจากนี้ ชุดสามารถเขียนได้โดยการแจงนับองค์ประกอบโดยตรง โดยไม่ต้องใช้ตัวพิมพ์ใหญ่ วิธีนี้สะดวกหากชุดประกอบด้วยองค์ประกอบจำนวนเล็กน้อย ตัวอย่างเช่น ลองกำหนดชุดขององค์ประกอบหนึ่ง ให้องค์ประกอบนี้เป็นเพื่อนของเรา ปริมาณ:

( ปริมาณ )

มากำหนดเซตที่ประกอบด้วยเลข 2 . หนึ่งตัว

{ 2 }

มาตั้งเซตที่ประกอบด้วยตัวเลขสองตัว: 2 และ 5

{ 2, 5 }

ชุดตัวเลขธรรมชาติ

นี่เป็นชุดแรกที่เราเริ่มทำงานด้วย ตัวเลขธรรมชาติคือตัวเลข 1, 2, 3 เป็นต้น

ตัวเลขธรรมชาติปรากฏขึ้นเนื่องจากความต้องการของผู้คนในการนับวัตถุอื่นเหล่านั้น เช่น นับจำนวนไก่ วัว ม้า ตัวเลขธรรมชาติเกิดขึ้นตามธรรมชาติในการนับ

ในบทเรียนก่อนหน้านี้เมื่อเราใช้คำว่า "ตัวเลข"ส่วนใหญ่มักจะเป็นจำนวนธรรมชาติ

ในวิชาคณิตศาสตร์ ชุดของจำนวนธรรมชาติจะแสดงด้วยอักษรละตินตัวพิมพ์ใหญ่ นู๋.

ตัวอย่างเช่น สมมุติว่าเลข 1 เป็นของเซตของจำนวนธรรมชาติ ในการทำเช่นนี้เราเขียนหมายเลข 1 จากนั้นใช้เครื่องหมายสมาชิก ∈ เราระบุว่าหน่วยเป็นของชุด นู๋

1 ∈ นู๋

อ่านเหมือน: "หนึ่งอยู่ในเซตของจำนวนธรรมชาติ"

ชุดจำนวนเต็ม

เซตของจำนวนเต็มประกอบด้วยค่าบวกทั้งหมด และ เช่นเดียวกับตัวเลข 0

ชุดของจำนวนเต็มแสดงด้วยอักษรละตินตัวพิมพ์ใหญ่ Z .

ให้เราระบุว่าตัวเลข -5 เป็นของเซตของจำนวนเต็ม:

−5 ∈ Z

เราระบุว่า 10 เป็นของเซตของจำนวนเต็ม:

10 ∈ Z

เราระบุว่า 0 เป็นของเซตของจำนวนเต็ม:

ในอนาคตเราจะเรียกตัวเลขบวกและลบทั้งหมดด้วยวลีเดียว - จำนวนทั้งหมด.

ชุดของจำนวนตรรกยะ

จำนวนตรรกยะเป็นเศษส่วนธรรมดาแบบเดียวกับที่เราศึกษามาจนถึงทุกวันนี้

จำนวนตรรกยะคือตัวเลขที่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ โดยที่ เอ- ตัวเศษของเศษส่วน ข- ตัวส่วน

บทบาทของตัวเศษและตัวส่วนสามารถเป็นตัวเลขใดๆ ก็ได้ รวมถึงจำนวนเต็ม (ยกเว้นศูนย์ เนื่องจากคุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้)

ตัวอย่างเช่น สมมติแทน เอมีค่าเป็นเลข 10 แทน ข- หมายเลข 2

10 หารด้วย 2 เท่ากับ 5 เราจะเห็นว่าเลข 5 สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ ซึ่งหมายความว่าเลข 5 รวมอยู่ในเซตของจำนวนตรรกยะ

ง่ายที่จะเห็นว่าเลข 5 ใช้กับเซตของจำนวนเต็มด้วย ดังนั้น เซตของจำนวนเต็มจึงรวมอยู่ในเซตของจำนวนตรรกยะ ซึ่งหมายความว่าเซตของจำนวนตรรกยะไม่ได้รวมเฉพาะเศษส่วนธรรมดาเท่านั้น แต่ยังรวมถึงจำนวนเต็มของรูปแบบ −2, −1, 0, 1, 2 ด้วย

ทีนี้ลองจินตนาการว่าแทนที่จะเป็น เอเป็นเลข 12 แทน ข- หมายเลข 5

12 หารด้วย 5 เท่ากับ 2.4 เราจะเห็นว่าเศษส่วนทศนิยม 2.4 สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ ซึ่งหมายความว่ารวมอยู่ในเซตของจำนวนตรรกยะ จากนี้ เราสรุปได้ว่าเซตของจำนวนตรรกยะไม่ได้รวมเฉพาะเศษส่วนธรรมดาและจำนวนเต็มเท่านั้น แต่ยังรวมถึงเศษส่วนทศนิยมด้วย

เราคำนวณเศษส่วนและได้คำตอบ 2.4 แต่เราสามารถแยกส่วนจำนวนเต็มในเศษส่วนนี้ได้:

เมื่อคุณเลือกส่วนทั้งหมดเป็นเศษส่วน คุณจะได้จำนวนคละ เราเห็นว่าจำนวนคละสามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ ซึ่งหมายความว่าชุดของจำนวนตรรกยะก็รวมจำนวนคละด้วย

ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้ข้อสรุปว่าเซตของจำนวนตรรกยะประกอบด้วย:

• จำนวนทั้งหมด
• เศษส่วนทั่วไป
• ทศนิยม
• ตัวเลขผสม

ชุดของจำนวนตรรกยะแสดงด้วยอักษรละตินตัวพิมพ์ใหญ่ Q.

ตัวอย่างเช่น เราระบุว่าเศษส่วนเป็นของเซตของจำนวนตรรกยะ ในการทำเช่นนี้ เราเขียนเศษส่วนเอง จากนั้นโดยใช้เครื่องหมายสมาชิก ∈ เราระบุว่าเศษส่วนนั้นเป็นของเซตของจำนวนตรรกยะ:

∈ Q

เราระบุว่าเศษส่วนทศนิยม 4.5 เป็นของชุดของจำนวนตรรกยะ:

4,5 ∈ Q

เราระบุว่าจำนวนคละนั้นเป็นของเซตของจำนวนตรรกยะ:

∈ Q

บทเรียนเบื้องต้นเกี่ยวกับฉากเสร็จสมบูรณ์แล้ว ในอนาคต เราจะพิจารณาฉากให้ดีขึ้นมาก แต่สำหรับตอนนี้ บทช่วยสอนนี้ก็เพียงพอแล้ว

คุณชอบบทเรียนหรือไม่?
เข้าร่วมกลุ่ม Vkontakte ใหม่ของเราและเริ่มรับการแจ้งเตือนบทเรียนใหม่

ทฤษฎีเซต.

ชุด ชุดเปล่า. ชุดยูนิเวอร์แซล ชุดย่อย ส่วนย่อยของตัวเอง วิธีการระบุชุด พลังของชุด ชุดเทียบเท่า เซตจำกัดและนับได้ การดำเนินการกับเซต (ยูเนียน, ทางแยก, การบวก, ความแตกต่าง, ความแตกต่างแบบสมมาตร) กฎของพีชคณิตของเซต ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะ ผลิตภัณฑ์คาร์ทีเซียนของชุด ความสัมพันธ์และคุณสมบัติของความสัมพันธ์ ฟังก์ชั่นในชุด

กำหนดคำจำกัดความ

เยอะ- นี่คือคอลเล็กชันของออบเจ็กต์ที่แยกแยะได้บางอย่าง และเพื่อให้แต่ละรายการสามารถระบุได้ว่าอ็อบเจกต์นี้เป็นของเซตที่กำหนดหรือไม่

ชุดมักจะแสดงด้วยตัวอักษรละตินตัวพิมพ์ใหญ่ และองค์ประกอบชุดด้วยตัวพิมพ์เล็ก องค์ประกอบของเซตสามารถเป็นวัตถุใดก็ได้ เช่น ตัวเลข สัญลักษณ์ คำ วัตถุในโลกแห่งความเป็นจริง โดยเฉพาะองค์ประกอบของชุดอาจเป็นชุดอื่นๆ

ตัวอย่างเช่น:

A = ( a, b, c ) - ชุด A ประกอบด้วย 3 องค์ประกอบ

N = ( 1, 2, 3, … ) - ชุดของจำนวนเต็ม N

องค์ประกอบของชุดมีเอกลักษณ์เฉพาะ กล่าวคือ ไม่สามารถรวมองค์ประกอบเดียวกันในชุดได้หลายครั้ง (ต่างจากเวกเตอร์และชุดหลายชุด) เชื่อกันว่าเมื่อเพิ่มองค์ประกอบที่มีอยู่ในชุดแล้ว ชุดจะไม่เปลี่ยนแปลง

ลำดับการเขียนองค์ประกอบของเซตไม่มีนัยสำคัญ (ต่างจากการเขียนองค์ประกอบของเวกเตอร์ ซึ่งลำดับมีความสำคัญ)

ดังนั้นชุดจะถือว่าเท่ากันหากประกอบด้วยองค์ประกอบเดียวกัน

หากบางอ็อบเจ็กต์เป็นองค์ประกอบของเซต ความจริงข้อนี้จะถูกเขียนดังนี้: และอ่านว่า "x เป็นของ A" ในทำนองเดียวกัน หากองค์ประกอบไม่ใช่องค์ประกอบของชุด ระบบจะใช้สัญกรณ์ ("y ไม่ได้เป็นของ A")

ชุดเปล่า เป็นชุดที่ไม่มีองค์ประกอบ ชุดว่างสามารถแสดงโดยใช้วงเล็บปีกกา: = ( ). อย่างไรก็ตาม เซต B = ( ) ไม่ว่างเปล่า: เป็นชุดที่มีองค์ประกอบเดียว ซึ่งเป็นชุดว่าง

ชุดเอนกประสงค์E คือเซตของวัตถุทั้งหมดที่พิจารณาในปัญหานี้

เซตจำกัดและอนันต์ถ้าจำนวนขององค์ประกอบของเซตมีจำกัด (นั่นคือ มีจำนวนธรรมชาติเท่ากับจำนวนขององค์ประกอบของเซ็ต) เซตดังกล่าวจะเรียกว่า finite . มิฉะนั้นชุดจะเรียกว่าอนันต์ .

พลังของเซตหรือเลขคาร์ดินัล |A|(บางครั้ง การ์ด(ก)). คาร์ดินาลลิตี้ของเซตเป็นลักษณะทั่วไปของแนวคิดเรื่องจำนวนองค์ประกอบถึงเซตอนันต์ สำหรับเซตจำกัด จำนวนสมาชิกจะเท่ากับจำนวนขององค์ประกอบในชุด

คาร์ดินาลิตี้ของเซตว่างเป็นศูนย์ตามคำจำกัดความ: .

เซตเทียบเท่าเป็นชุดระหว่างองค์ประกอบที่สามารถสร้างการติดต่อแบบหนึ่งต่อหนึ่งได้

ชุดนับได้เป็นเซตที่เทียบเท่ากับเซตของจำนวนธรรมชาติ

เซต A เรียกว่า เซตย่อยชุด B (แสดงว่าเป็นอย่างใดอย่างหนึ่ง) หากองค์ประกอบทั้งหมดที่อยู่ในชุด A เป็นของชุด B ด้วย

ในกรณีนี้ B เรียกว่า superset ของ A

เซตว่างเป็นสับเซตของเซตใดๆ

เซตใด ๆ เป็นเซตย่อยของตัวมันเอง:

ในวิชาคณิตศาสตร์ แนวคิดของเซตเป็นหนึ่งในพื้นฐาน พื้นฐาน แต่ไม่มีคำจำกัดความของเซตเดียว คำจำกัดความที่เป็นที่ยอมรับมากที่สุดอย่างหนึ่งของชุดมีดังต่อไปนี้ ชุดคือคอลเล็กชันของอ็อบเจ็กต์ที่กำหนดและแตกต่างออกไปซึ่งสามารถคิดได้ในภาพรวม Georg Cantor นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน (1845-1918) ผู้สร้างทฤษฎีเซต กล่าวว่า "เซตเป็นชุดที่เราคิดในภาพรวม"

ในฐานะประเภทข้อมูล ชุดได้รับการพิสูจน์แล้วว่าสะดวกมากสำหรับการเขียนโปรแกรมสถานการณ์ชีวิตที่ซับซ้อน เนื่องจากสามารถสร้างแบบจำลองวัตถุในโลกแห่งความเป็นจริงได้อย่างแม่นยำและแสดงความสัมพันธ์เชิงตรรกะที่ซับซ้อนอย่างกระชับ ชุดถูกใช้ในภาษาโปรแกรม Pascal และเราจะวิเคราะห์หนึ่งในตัวอย่างโซลูชันด้านล่าง นอกจากนี้ บนพื้นฐานของทฤษฎีเซต แนวคิดของฐานข้อมูลเชิงสัมพันธ์ได้ถูกสร้างขึ้น และบนพื้นฐานของการดำเนินการในชุด - พีชคณิตเชิงสัมพันธ์และการดำเนินการ- ใช้ในภาษาการสืบค้นฐานข้อมูล โดยเฉพาะ SQL

ตัวอย่างที่ 0 (ปาสกาล)มีชุดผลิตภัณฑ์ที่จำหน่ายในร้านค้าหลายแห่งในเมือง กำหนด: มีผลิตภัณฑ์ใดบ้างในร้านค้าทั้งหมดในเมือง สินค้าครบวงจรในตัวเมือง

วิธีการแก้. เรากำหนดประเภทข้อมูลพื้นฐาน อาหาร (ผลิตภัณฑ์) สามารถรับค่าที่สอดคล้องกับชื่อของผลิตภัณฑ์ (เช่น hleb) เราประกาศประเภทของชุดมันกำหนดชุดย่อยทั้งหมดที่สร้างขึ้นจากการรวมกันของค่าประเภทพื้นฐานนั่นคืออาหาร (ผลิตภัณฑ์) และเราสร้างกลุ่มย่อย: ร้านค้า "Solnyshko", "Veterok", "Spark" รวมถึงชุดย่อยที่ได้รับ: MinFood (ผลิตภัณฑ์ที่มีอยู่ในร้านค้าทั้งหมด), MaxFood (ผลิตภัณฑ์ครบวงจรในเมือง) ต่อไป เราเขียนการดำเนินการเพื่อรับชุดย่อยที่ได้รับ ชุดย่อย MinFood ได้มาจากจุดตัดของชุดย่อย Solnyshko, Veterok และ Ogonyok และรวมองค์ประกอบเหล่านั้นและเฉพาะองค์ประกอบเหล่านั้นของชุดย่อยเหล่านี้ที่รวมอยู่ในแต่ละชุดย่อยเหล่านี้ (ใน Pascal การดำเนินการของชุดการข้ามจะแสดงโดย เครื่องหมายดอกจัน: A * B * C สัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์ของจุดตัดของเซตแสดงไว้ด้านล่าง ) เซตย่อย MaxFood ได้มาจากการรวมเซตย่อยเดียวกันและรวมองค์ประกอบที่รวมอยู่ในเซตย่อยทั้งหมด (ใน Pascal การดำเนินการของเซตที่รวมกันจะแสดงด้วยเครื่องหมายบวก: A + B + C สัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์ของยูเนียนของเซตจะได้รับ ด้านล่าง).

รหัสปาสกาล

โปรแกรมร้านค้า; ประเภทอาหาร=(hleb, moloko, myaso, syr, sol, sahar, maslo, ryba); ร้านค้า = ชุดอาหาร; var Solnyshko, Veterok, Ogonyok, MinFood, MaxFood: ร้านค้า; เริ่ม Solnyshko:=; เวท:=; โอโกนยก:=; ... MinFood:=Solnyshko * Veterok * Ogonyok; MaxFood:=Solnyshko + Veterok + Ogonyok; จบ.

ชุดอะไรเอ่ย

วัตถุที่ประกอบเป็นเซต - วัตถุตามสัญชาตญาณหรือสติปัญญาของเรา - อาจมีลักษณะที่แตกต่างกันมาก ในตัวอย่างในย่อหน้าแรก เราจัดการกับชุดที่มีชุดของผลิตภัณฑ์ ตัวอย่างเช่น ชุดสามารถประกอบด้วยตัวอักษรทั้งหมดของตัวอักษรรัสเซีย ในวิชาคณิตศาสตร์มีการศึกษาชุดตัวเลขเช่นประกอบด้วยทั้งหมด:

ตัวเลขธรรมชาติ 0, 1, 2, 3, 4, ...

จำนวนเฉพาะ

เลขคู่

เป็นต้น (มีการกล่าวถึงชุดตัวเลขหลักในเนื้อหานี้)

วัตถุที่ประกอบเป็นชุดเรียกว่าองค์ประกอบ เราสามารถพูดได้ว่าชุดเป็น "ถุงขององค์ประกอบ" มันสำคัญมาก: ในชุดไม่มีองค์ประกอบที่เหมือนกัน

เซตมีจำกัดหรืออนันต์ เซตจำกัดคือเซตที่มีจำนวนธรรมชาติที่เป็นจำนวนขององค์ประกอบ ตัวอย่างเช่น เซตของจำนวนเต็มคี่ไม่ติดลบ 5 ตัวแรกเป็นเซตจำกัดเซตที่ไม่สิ้นสุดเรียกว่าอนันต์ ตัวอย่างเช่น เซตของจำนวนธรรมชาติทั้งหมดเป็นเซตอนันต์

ถ้า เอ็ม- ตั้งค่าและ เอ- องค์ประกอบแล้วเขียน: เอ∈เอ็ม, ซึ่งหมายความว่า " เอเป็นของชุด เอ็ม".

จากตัวอย่างแรก (ศูนย์) ใน Pascal กับสินค้าที่อยู่ในร้านค้าต่างๆ:

hleb∈เวเทอโรก ,

ซึ่งหมายความว่า: องค์ประกอบ "hleb" เป็นของชุดผลิตภัณฑ์ที่อยู่ในร้าน "VETEROK"

มีสองวิธีหลักในการกำหนดชุด: การแจงนับและคำอธิบาย

ชุดสามารถกำหนดได้โดยการแสดงรายการองค์ประกอบทั้งหมด ตัวอย่างเช่น

เวเทอโรก = {hleb, น้ำเชื่อม, น้ำมัน} ,

อา = {7 , 14 , 28 } .

การแจงนับสามารถกำหนดเซตจำกัดเท่านั้น แม้ว่าคุณสามารถทำได้ด้วยคำอธิบาย แต่เซตอนันต์สามารถกำหนดได้โดยคำอธิบายเท่านั้น

วิธีการต่อไปนี้ใช้เพื่ออธิบายชุด อนุญาต พี(x) - คำสั่งบางคำที่อธิบายคุณสมบัติของตัวแปร x, ซึ่งมีช่วงเป็น set เอ็ม. แล้วผ่าน เอ็ม = {x | พี(x)} หมายถึงเซตที่ประกอบด้วยทั้งหมดเหล่านั้นและเฉพาะองค์ประกอบเหล่านั้นที่คำสั่ง พี(x) เป็นความจริง. นิพจน์นี้อ่านดังนี้: เอ็มซึ่งประกอบด้วย x, อะไร พี(x) ".

ตัวอย่างเช่น รายการ

เอ็ม = {x | x² - 3 x + 2 = 0}

ตัวอย่างที่ 6จากการสำรวจผู้ซื้อ 100 รายในตลาดที่ซื้อผลไม้รสเปรี้ยว ผู้ซื้อ 29 ราย มะนาว - ผู้ซื้อ 30 ราย ส้มจีน - 9 เฉพาะส้ม - 1 ส้มและมะนาว - 10 มะนาวและส้มเขียวหวาน - 4 ทั้งสาม ประเภทของผลไม้ - ผู้ซื้อ 3 ราย มีลูกค้ากี่คนที่ไม่ได้ซื้อผลไม้รสเปรี้ยวในรายการนี้? มีผู้ซื้อกี่คนที่ซื้อมะนาวเท่านั้น?

การทำงานของผลิตภัณฑ์ชุดคาร์ทีเซียน

เพื่อกำหนดการดำเนินการที่สำคัญอื่นในชุด - ผลิตภัณฑ์คาร์ทีเซียนของชุดเราแนะนำแนวคิดของชุดคำสั่งความยาว น.

ความยาวของเซตคือตัวเลข นองค์ประกอบของมัน ชุดที่ประกอบด้วยองค์ประกอบตามลำดับนี้จะถูกแสดง . โดยที่ ผมผม () ชุดองค์ประกอบคือ .

ตอนนี้คำนิยามที่เข้มงวดจะตามมา ซึ่งอาจไม่ชัดเจนในทันที แต่หลังจากคำจำกัดความนี้ จะมีรูปภาพที่ทำให้ชัดเจนว่าจะได้รับผลิตภัณฑ์ชุดคาร์ทีเซียนได้อย่างไร

ผลิตภัณฑ์คาร์ทีเซียน (โดยตรง) ของชุดเรียกว่าเซตที่แสดง และประกอบด้วยชุดความยาวทั้งหมดเหล่านั้นและเฉพาะชุดนั้น น, ผม-i องค์ประกอบที่เป็นของ .

ตัวอย่างเช่น ถ้า , , ,

บ่อยครั้ง มีปัญหาและคำถามจำนวนหนึ่งเกิดขึ้นในวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์ และคำตอบมากมายก็ไม่ชัดเจนเสมอไป ไม่มีข้อยกเว้นเป็นหัวข้อเช่นคาร์ดินาลลิตี้ของชุด อันที่จริง นี่ไม่ใช่แค่การแสดงออกเชิงตัวเลขของจำนวนอ็อบเจ็กต์ โดยทั่วไป เซตคือสัจพจน์ ไม่มีคำจำกัดความ มันขึ้นอยู่กับวัตถุใด ๆ หรือมากกว่าชุดของพวกมัน ซึ่งสามารถว่างเปล่า มีขอบเขต หรือไม่มีที่สิ้นสุด นอกจากนี้ยังประกอบด้วยจำนวนเต็มหรือจำนวนธรรมชาติ เมทริกซ์ ลำดับ เซ็กเมนต์ และเส้น

เกี่ยวกับตัวแปรที่มีอยู่

ชุดว่างหรือชุดว่างที่ไม่มีค่าลักษณะเฉพาะจะถือเป็นองค์ประกอบที่สำคัญ เนื่องจากเป็นเซตย่อย คอลเล็กชันของเซตย่อยทั้งหมดของเซตที่ไม่ว่างเปล่า S คือชุดของเซต ดังนั้น เซตกำลังของเซตที่กำหนดจึงถือว่ามีจำนวนมาก คิดได้ แต่เป็นแบบเดี่ยว เซตนี้เรียกว่าเซตของกำลังของ S และเขียนแทนด้วย P (S) ถ้า S มีองค์ประกอบ N ดังนั้น P(S) จะมีเซตย่อย 2^n เนื่องจากเซตย่อยของ P(S) เป็น ∅ หรือเซตย่อยที่มีองค์ประกอบ r จาก S, r = 1, 2, 3, ... ประกอบด้วย ของเซตอนันต์ M ทั้งหมดเรียกว่า ปริมาณกำลัง และแสดงแทนด้วยสัญลักษณ์ด้วย P (M)

ความรู้ด้านนี้ได้รับการพัฒนาโดย George Cantor (1845-1918) วันนี้มีการใช้ในเกือบทุกสาขาของคณิตศาสตร์และทำหน้าที่เป็นส่วนพื้นฐาน ในทฤษฎีเซต องค์ประกอบจะถูกแสดงในรูปแบบของรายการและกำหนดตามประเภท (เซตว่าง, ซิงเกิลตัน, เซตจำกัดและอนันต์, เซตเท่ากันและเท่ากัน, สากล), ยูเนี่ยน, ทางแยก, ความแตกต่างและการบวกตัวเลข ในชีวิตประจำวัน เรามักจะพูดถึงคอลเลกชั่นของสิ่งของต่างๆ เช่น พวงกุญแจ ฝูงนก ซองการ์ด เป็นต้น ในเกรด 5 คณิตศาสตร์ขึ้นไป มีจำนวนธรรมชาติ จำนวนเต็ม จำนวนเฉพาะ และจำนวนประกอบ

ชุดต่อไปนี้สามารถพิจารณาได้:

• จำนวนเต็ม;
• ตัวอักษรของตัวอักษร;
• ค่าสัมประสิทธิ์เบื้องต้น
• สามเหลี่ยมที่มีด้านต่างกัน

จะเห็นได้ว่าตัวอย่างที่ระบุเหล่านี้เป็นชุดของอ็อบเจ็กต์ที่กำหนดไว้อย่างดี มาดูตัวอย่างเพิ่มเติมกัน:

• ห้านักวิทยาศาสตร์ที่มีชื่อเสียงที่สุดในโลก
• เจ็ดสาวสวยในสังคม
• ศัลยแพทย์สามอันดับแรก

ตัวอย่างคาร์ดินัลลิตี้เหล่านี้ไม่ใช่คอลเลกชั่นของวัตถุที่กำหนดไว้อย่างดี เนื่องจากเกณฑ์สำหรับ "ที่มีชื่อเสียงที่สุด" "สวยที่สุด" "ดีที่สุด" จะแตกต่างกันไปในแต่ละบุคคล

ชุด

ค่านี้แสดงถึงจำนวนอ็อบเจ็กต์ต่างๆ ที่กำหนดไว้อย่างดี สมมติว่า:

• ชุดของคำคือคำพ้องความหมาย การรวม คลาส และประกอบด้วยองค์ประกอบ
• วัตถุ สมาชิกมีค่าเท่ากัน
• ชุดมักจะแสดงด้วยตัวพิมพ์ใหญ่
• องค์ประกอบชุดจะแสดงด้วยตัวอักษรขนาดเล็ก a, b, c

หาก "a" เป็นองค์ประกอบของเซต A แสดงว่า "a" เป็นของ A ให้แทนวลี "เป็นของ" ด้วยตัวอักษรกรีก "∈" (epsilon) ดังนั้น ปรากฎว่า ∈ A. ถ้า "b" เป็นองค์ประกอบที่ไม่ใช่ของ A จะแสดงเป็น b ∉ A. ชุดสำคัญบางชุดที่ใช้ในวิชาคณิตศาสตร์ชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 จะแสดงโดยใช้สามวิธีต่อไปนี้:

• แอปพลิเคชัน;
• ทะเบียนหรือตาราง;
• กฎการสร้างการก่อสร้าง

สำหรับการตรวจสอบอย่างใกล้ชิด แบบฟอร์มใบสมัครมีพื้นฐานมาจากต่อไปนี้ ในกรณีนี้จะมีการให้คำอธิบายที่ชัดเจนเกี่ยวกับองค์ประกอบของชุด พวกเขาทั้งหมดอยู่ในวงเล็บปีกกา ตัวอย่างเช่น:

• ชุดเลขคี่น้อยกว่า 7 - เขียนเป็น (น้อยกว่า 7);
• ชุดตัวเลขที่มากกว่า 30 และน้อยกว่า 55
• จำนวนนักเรียนในชั้นเรียนที่มีน้ำหนักมากกว่าครู

ในรูปแบบรีจิสทรี (ตาราง) องค์ประกอบของชุดจะแสดงรายการภายในวงเล็บเหลี่ยม () และคั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค ตัวอย่างเช่น:

1. ให้ N แทนเซตของตัวเลขธรรมชาติห้าตัวแรก ดังนั้น N = → แบบฟอร์มการลงทะเบียน
2. ชุดสระทั้งหมดของตัวอักษรภาษาอังกฤษ ดังนั้น V = (a, e, i, o, u, y) → แบบฟอร์มการลงทะเบียน
3. เซตของเลขคี่ทั้งหมดที่น้อยกว่า 9 ดังนั้น X = (1, 3, 5, 7) → register form
4. ชุดตัวอักษรทั้งหมดในคำว่า "คณิตศาสตร์" ดังนั้น Z = (M, A, T, H, E, I, C, S) → Registry Form
5. W คือเซตของสี่เดือนสุดท้ายของปี ดังนั้น W = (กันยายน ตุลาคม พฤศจิกายน ธันวาคม) → การลงทะเบียน

เป็นที่น่าสังเกตว่าลำดับขององค์ประกอบนั้นไม่สำคัญ แต่ไม่ควรทำซ้ำ รูปแบบการก่อสร้างที่กำหนดไว้ ในกรณีที่กำหนด กฎ สูตร หรือตัวดำเนินการจะถูกเขียนในวงเล็บคู่หนึ่ง เพื่อให้ชุดมีการกำหนดอย่างถูกต้อง ในรูปแบบตัวสร้างชุด องค์ประกอบทั้งหมดต้องมีคุณสมบัติเหมือนกันจึงจะสามารถเป็นสมาชิกของค่าที่เป็นปัญหาได้

ในรูปแบบของการแสดงเซตนี้ องค์ประกอบของชุดอธิบายโดยใช้อักขระ "x" หรือตัวแปรอื่น ๆ ที่ตามด้วยเครื่องหมายทวิภาค (":" หรือ "|" ใช้เพื่อแสดงถึง) ตัวอย่างเช่น ให้ P เป็นเซตของจำนวนนับได้ที่มากกว่า 12 P ในรูปแบบ set-builder เขียนเป็น - (นับได้และมากกว่า 12) มันจะอ่านในทางใดทางหนึ่ง นั่นคือ "P คือเซตขององค์ประกอบ x โดยที่ x นับได้และมากกว่า 12"

ตัวอย่างที่แก้ไขโดยใช้วิธีการแทนเซตสามวิธี: จำนวนเต็มอยู่ระหว่าง -2 ถึง 3 ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างของชุดประเภทต่างๆ:

1. ชุดว่างหรือค่าว่างที่ไม่มีองค์ประกอบใด ๆ และแสดงด้วยสัญลักษณ์ ∅ และอ่านว่า phi ในรูปแบบรายการ ∅ เขียน () ชุดว่างมีจำกัด เนื่องจากจำนวนขององค์ประกอบเป็น 0 ตัวอย่างเช่น ชุดของค่าจำนวนเต็มจะน้อยกว่า 0
2. เห็นได้ชัดว่าพวกเขาไม่ควรจะเป็น<0. Следовательно, это пустое множество.
3. ชุดที่มีตัวแปรเพียงตัวเดียวเรียกว่าชุดเดียว มันไม่ง่ายหรือซับซ้อน

ชุดจำกัด

ชุดที่มีองค์ประกอบจำนวนหนึ่งเรียกว่าชุดที่มีขอบเขตหรือไม่มีที่สิ้นสุด ว่างเปล่าหมายถึงครั้งแรก ตัวอย่างเช่น ชุดสีทั้งหมดในรุ้ง

จำนวนอนันต์คือเซต ไม่สามารถระบุองค์ประกอบในนั้นได้ นั่นคือมีตัวแปรที่คล้ายกันเรียกว่าชุดอนันต์ ตัวอย่าง:

• คาร์ดินาลลิตี้ของเซตของจุดทั้งหมดในระนาบ
• ชุดของจำนวนเฉพาะทั้งหมด

แต่ควรเข้าใจว่าพระคาร์ดินัลลิตี้ทั้งหมดของการรวมชุดไม่สามารถแสดงออกมาในรูปของรายการได้ ตัวอย่างเช่น จำนวนจริง เนื่องจากองค์ประกอบของมันไม่สอดคล้องกับรูปแบบเฉพาะใดๆ

เลขคาร์ดินัลของเซตคือจำนวนขององค์ประกอบที่แตกต่างกันในปริมาณที่กำหนด A ซึ่งแสดงแทน n (A)

ตัวอย่างเช่น:

1. A (x: x ∈ N, x<5}. A = {1, 2, 3, 4}. Следовательно, n (A) = 4.
2. B = ชุดตัวอักษรในคำว่า ALGEBRA

เซตเทียบเท่าสำหรับการเปรียบเทียบเซต

คาร์ดินัลลิตี้สองชุดของเซต A และ B จะเป็นเช่นนั้น ถ้าเลขคาร์ดินัลเท่ากัน สัญลักษณ์สำหรับชุดที่เทียบเท่าคือ "↔" ตัวอย่างเช่น: A ↔ B.

เซตเท่ากัน: คาร์ดินัลลิตี้สองชุดของเซต A และ B หากมีองค์ประกอบเหมือนกัน ค่าสัมประสิทธิ์แต่ละค่าจาก A เป็นตัวแปรจาก B และค่า B แต่ละตัวคือค่า A ที่ระบุ ดังนั้น A = B ประเภทของคาร์ดินัลยูเนี่ยนและคำจำกัดความจะอธิบายโดยใช้ตัวอย่างที่ให้ไว้

แก่นแท้ของความจำกัดและอนันต์

อะไรคือความแตกต่างระหว่างคาร์ดินาลิตี้ของเซตจำกัดและเซตอนันต์?

ค่าแรกจะแสดงลักษณะเฉพาะด้วยชื่อถัดไป หากค่านั้นว่างหรือมีองค์ประกอบจำนวนจำกัด ในชุดจำกัด สามารถระบุตัวแปรได้หากมีการนับจำนวนจำกัด ตัวอย่างเช่น ใช้จำนวนธรรมชาติ 1, 2, 3 และกระบวนการแสดงรายการจะสิ้นสุดที่ N บางส่วน จำนวนองค์ประกอบต่างๆ ที่นับในชุดจำกัด S จะแสดงด้วย n (S) เรียกอีกอย่างว่าคำสั่งหรือพระคาร์ดินัล แสดงสัญลักษณ์ตามหลักการมาตรฐาน ดังนั้น หากเซต S เป็นอักษรรัสเซีย เซตนั้นจะมี 33 องค์ประกอบ สิ่งสำคัญคือต้องจำไว้ว่าองค์ประกอบจะไม่เกิดขึ้นมากกว่าหนึ่งครั้งในชุด

จำนวนอนันต์ในจำนวนมาก

ชุดจะเรียกว่าอนันต์หากไม่สามารถระบุองค์ประกอบได้ ถ้ามันมีจำนวนธรรมชาติที่ไม่ จำกัด (นั่นคือนับไม่ได้) 1, 2, 3, 4 สำหรับ n ใด ๆ เซตที่ไม่สิ้นสุดเรียกว่าอนันต์ ตอนนี้เราสามารถพูดถึงตัวอย่างค่าตัวเลขที่อยู่ระหว่างการพิจารณาได้ ตัวเลือกค่าสิ้นสุด:

1. ให้ Q = (จำนวนธรรมชาติน้อยกว่า 25) Q เป็นเซตจำกัด และ n (P) = 24
2. ให้ R = (จำนวนเต็มระหว่าง 5 ถึง 45) R คือเซตจำกัด และ n (R) = 38
3. ให้ S = (ตัวเลขที่มีโมดูลัสเท่ากับ 9) จากนั้น S = (-9, 9) เป็นเซตจำกัด และ n (S) = 2
4. ชุดของทุกคน
5. จำนวนนกทั้งหมด

ตัวอย่างของเซตอนันต์:

• จำนวนจุดที่มีอยู่บนเครื่องบิน
• จำนวนจุดทั้งหมดในส่วนของเส้นตรง
• เซตของจำนวนเต็มบวกที่หารด้วย 3 ลงตัวเป็นอนันต์
• ตัวเลขทั้งหมดและเป็นธรรมชาติทั้งหมด

ดังนั้น จากเหตุผลข้างต้น จึงเป็นที่ชัดเจนว่าจะแยกแยะระหว่างเซตจำกัดและเซตอนันต์ได้อย่างไร

ชุดจ่ายไฟต่อเนื่อง

หากเราเปรียบเทียบชุดและค่าอื่นๆ ที่มีอยู่ การเพิ่มเติมจะถูกแนบมากับชุด ถ้า ξ เป็นสากล และ A เป็นสับเซตของ ξ แล้ว คอมพลีเมนต์ของ A คือจำนวนของสมาชิกทั้งหมดของ ξ ที่ไม่ใช่สมาชิกของ A ในเชิงสัญลักษณ์ คอมพลีเมนต์ของ A เทียบกับ ξ คือ A ตัวอย่างเช่น 2 4, 5, 6 เป็นองค์ประกอบเดียว ξ ที่ไม่ได้เป็นของ A ดังนั้น A"= (2, 4, 5, 6)

ชุดที่มีคาร์ดินัลลิตี้คอนตินิวอัมมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

• ส่วนเติมเต็มของปริมาณสากลคือค่าว่างที่เป็นปัญหา
• ตัวแปรชุดค่าว่างนี้เป็นสากล
• ปริมาณและส่วนประกอบไม่ปะติดปะต่อกัน

ตัวอย่างเช่น:

1. ให้จำนวนนับธรรมชาติเป็นเซตสากลและ A เป็นคู่ แล้ว A "(x: x เป็นเซตคี่ที่มีตัวเลขเหมือนกัน)
2. ให้ ξ = ชุดตัวอักษรในตัวอักษร A = ชุดพยัญชนะ จากนั้น A "= จำนวนสระ
3. ส่วนเติมเต็มของชุดสากลคือปริมาณที่ว่างเปล่า สามารถเขียนแทนด้วย ξ จากนั้น ξ "= ชุดขององค์ประกอบเหล่านั้นที่ไม่รวมอยู่ใน ξ ชุดว่าง φ ถูกเขียนและแสดง ดังนั้น ξ = φ ดังนั้น ส่วนเสริมของชุดสากลจึงว่างเปล่า

ในวิชาคณิตศาสตร์ บางครั้งคำว่า "ต่อเนื่อง" ใช้เพื่ออ้างถึงเส้นจริง และโดยทั่วไปให้อธิบายวัตถุดังกล่าว:

• คอนตินิวอัม (ในทฤษฎีเซต) - เส้นจริงหรือจำนวนคาร์ดินัลที่สอดคล้องกัน
• เส้นตรง - ชุดคำสั่งใด ๆ ที่แบ่งปันคุณสมบัติบางอย่างของเส้นจริง
• ต่อเนื่อง (ในโทโพโลยี) - พื้นที่เมตริกที่เชื่อมต่อขนาดกะทัดรัดไม่ว่างเปล่า (บางครั้ง Hausdorff);
• การคาดคะเนว่าไม่มีเซตอนันต์ใดที่มากกว่าจำนวนเต็มแต่น้อยกว่าจำนวนจริง
• คาร์ดินาลลิตี้ของคอนตินิวอัมคือจำนวนนับที่แสดงถึงขนาดของเซตของจำนวนจริง

โดยพื้นฐานแล้ว ความต่อเนื่อง (การวัด) ทฤษฎีหรือแบบจำลองที่อธิบายการเปลี่ยนแปลงทีละน้อยจากสถานะหนึ่งไปอีกสถานะหนึ่งโดยไม่มีการเปลี่ยนแปลงอย่างกะทันหัน

ปัญหาสหภาพและทางแยก

เป็นที่ทราบกันว่าจุดตัดของชุดตั้งแต่สองชุดขึ้นไปเป็นการนับที่มีองค์ประกอบทั้งหมดที่เหมือนกันในค่าเหล่านั้น งานคำในชุดจะได้รับการแก้ไขเพื่อให้ได้แนวคิดพื้นฐานเกี่ยวกับวิธีการใช้คุณสมบัติสหภาพและการตัดกันของชุด ปัญหาพื้นฐานของคำในชุดที่แก้ไขแล้วมีลักษณะดังนี้:

1. ให้ A และ B เป็นเซตจำกัด พวกมันเป็นแบบที่ n (A) = 20, n (B) = 28 และ n (A ∪ B) = 36, n (A ∩ B) จะพบ

การสื่อสารในชุดโดยใช้แผนภาพเวนน์:

1. การรวมกันของสองเซตสามารถแสดงด้วยพื้นที่แรเงาแทน A ∪ B. A ∪ B เมื่อ A และ B เป็นเซตที่ไม่ต่อเนื่องกัน
2. จุดตัดของสองชุดสามารถแสดงด้วยแผนภาพเวนน์ โดยมีพื้นที่แรเงาแทน A ∩ B
3. ความแตกต่างของทั้งสองชุดสามารถแสดงได้ด้วยแผนภาพเวนน์ โดยมีพื้นที่แรเงาแทน A - B
4. ความสัมพันธ์ระหว่างสามชุดโดยใช้แผนภาพเวนน์ ถ้า ξ แทนปริมาณสากล A, B, C จะเป็นชุดย่อยสามชุด ที่นี่ทั้งสามชุดซ้อนทับกัน

สรุปข้อมูลเกี่ยวกับชุด

คาร์ดินาลิตี้ของเซตถูกกำหนดเป็นจำนวนรวมขององค์ประกอบแต่ละรายการในชุด และค่าที่ระบุล่าสุดจะอธิบายเป็นจำนวนชุดย่อยทั้งหมด เมื่อศึกษาประเด็นดังกล่าว ต้องอาศัยวิธีการ วิธีการ และแนวทางแก้ไข ดังนั้น สำหรับคาร์ดินัลลิตี้ของเซต ตัวอย่างต่อไปนี้สามารถใช้ได้:

ให้ A = (0,1,2,3)| | = 4 โดยที่ | A | แสดงถึงการคาร์ดินาลลิตี้ของเซต A

ตอนนี้คุณสามารถหาชุดพลังของคุณ มันค่อนข้างง่ายด้วย ดังที่ได้กล่าวไปแล้ว ชุดกำลังถูกตั้งค่าจากชุดย่อยทั้งหมดของหมายเลขที่กำหนด ดังนั้นโดยพื้นฐานแล้วควรกำหนดตัวแปรองค์ประกอบและค่าอื่น ๆ ของ A ที่ (), (0), (1), (2), (3), (0.1), (0.2), (0.3 ), ( 1.2), (1.3), ( 2.3), (0.1.2), (0.1.3), (1.2.3), (0.2.3 ), (0,1,2,3)

ตอนนี้กำลังคำนวณ P = ((), (0), (1), (2), (3), (0.1), (0.2), (0.3), (1.2), ( 1.3), (2.3), (0.1.2), (0.1.3), (1.2.3), (0.2.3), (0.1.2, 3)) ซึ่งมี 16 องค์ประกอบ ดังนั้น คาร์ดินาลิตี้ของเซต A = 16 เห็นได้ชัดว่านี่เป็นวิธีการที่ยุ่งยากและยุ่งยากในการแก้ปัญหานี้ อย่างไรก็ตาม มีสูตรง่ายๆ ซึ่งคุณสามารถทราบจำนวนองค์ประกอบในชุดกำลังของจำนวนที่กำหนดได้โดยตรง | พี | = 2 ^ N โดยที่ N คือจำนวนขององค์ประกอบในบาง A. สูตรนี้สามารถหาได้โดยใช้ combinatorics อย่างง่าย คำถามคือ 2^11 เนื่องจากจำนวนองค์ประกอบในชุด A คือ 11

ดังนั้น เซตคือปริมาณที่แสดงเป็นตัวเลข ซึ่งสามารถเป็นอ็อบเจกต์ใดๆ ก็ได้ เช่น รถยนต์ คน ตัวเลข ในแง่คณิตศาสตร์ แนวคิดนี้กว้างกว่าและเป็นภาพรวมมากกว่า หากในขั้นเริ่มต้น ตัวเลขและตัวเลือกสำหรับการแก้ปัญหาของพวกเขาถูกแยกออก จากนั้นในขั้นกลางและระดับสูง เงื่อนไขและงานจะซับซ้อน อันที่จริง คาร์ดินาลิตี้ของการรวมชุดถูกกำหนดโดยความเป็นเจ้าของของวัตถุในกลุ่ม นั่นคือองค์ประกอบหนึ่งเป็นของคลาส แต่มีตัวแปรตั้งแต่หนึ่งตัวขึ้นไป