แนวคิดของสูตรการปริพันธ์เชิงตัวเลข หนังสือเรียนเกี่ยวกับวิธีการทางคณิตศาสตร์ในภูมิศาสตร์

หน้า 1

ภาควิชาคณิตศาสตร์ชั้นสูง
เชิงนามธรรม:

เสร็จสิ้นโดย: Matveev F.I.
ตรวจสอบโดย: Burlova L.V.

อูลาน-อูเด.2002

1. วิธีการบูรณาการเชิงตัวเลข

2. ที่มาของสูตรซิมป์สัน

3.ภาพประกอบทางเรขาคณิต

4.การเลือกขั้นตอนการบูรณาการ

5.ตัวอย่าง

1. วิธีการบูรณาการเชิงตัวเลข
งาน การบูรณาการเชิงตัวเลขประกอบด้วยการคำนวณอินทิกรัล

ผ่านชุดค่านิยมของปริพันธ์
.

ปัญหาการรวมตัวเลขจะต้องได้รับการแก้ไขสำหรับฟังก์ชันที่ระบุในตาราง ซึ่งเป็นฟังก์ชันที่ไม่มีการอินทิกรัลเข้ามา ฟังก์ชั่นเบื้องต้นฯลฯ ลองพิจารณาเฉพาะฟังก์ชันของตัวแปรตัวเดียวเท่านั้น

แทนที่จะรวมฟังก์ชันที่ต้องอินทิเกรต เราจะรวมพหุนามการประมาณค่าเข้าด้วยกัน วิธีการที่ใช้การแทนที่จำนวนเต็มด้วยพหุนามการประมาณค่าทำให้สามารถประมาณความแม่นยำของผลลัพธ์โดยใช้พารามิเตอร์ของพหุนามหรือเลือกพารามิเตอร์เหล่านี้ตามความแม่นยำที่กำหนด

วิธีการเชิงตัวเลขสามารถจัดกลุ่มได้ตามเงื่อนไขตามวิธีการประมาณปริพันธ์

วิธีการของนิวตัน-โคตส์จะขึ้นอยู่กับการประมาณฟังก์ชัน
พหุนามของปริญญา - อัลกอริธึมของคลาสนี้แตกต่างเฉพาะในระดับของพหุนามเท่านั้น ตามกฎแล้ว โหนดของพหุนามโดยประมาณนั้นมีความสัมพันธ์กันเท่ากัน

วิธีการรวม Spline ขึ้นอยู่กับการประมาณฟังก์ชัน
พหุนามแบบแยกเป็นชิ้นๆ

วิธีการที่มีความแม่นยำเชิงพีชคณิตสูงสุด (วิธีเกาส์เซียน) ใช้โหนดที่ไม่เท่ากันที่เลือกมาเป็นพิเศษซึ่งให้ข้อผิดพลาดในการรวมขั้นต่ำสำหรับจำนวนโหนดที่กำหนด (เลือก)

วิธีมอนติคาร์โลมักใช้ในการคำนวณอินทิกรัลหลายรายการ โดยเลือกโหนดแบบสุ่ม และคำตอบคือความน่าจะเป็น

ข้อผิดพลาดทั้งหมด

ข้อผิดพลาดในการตัดทอน

ข้อผิดพลาดในการปัดเศษ

โดยไม่คำนึงถึงวิธีการที่เลือกในกระบวนการรวมตัวเลขจำเป็นต้องคำนวณค่าโดยประมาณของอินทิกรัลและประมาณค่าข้อผิดพลาด ข้อผิดพลาดจะลดลงเมื่อจำนวน n เพิ่มขึ้น

พาร์ทิชันส่วน
- อย่างไรก็ตาม สิ่งนี้จะเพิ่มข้อผิดพลาดในการปัดเศษ

โดยการรวมค่าอินทิกรัลที่คำนวณจากส่วนบางส่วน

ข้อผิดพลาดในการตัดทอนขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของปริพันธ์และความยาว ส่วนบางส่วน
2. ที่มาของสูตรซิมป์สัน
ถ้าสำหรับแต่ละคู่ของเซ็กเมนต์
สร้างพหุนามระดับที่สอง จากนั้นอินทิเกรตและใช้คุณสมบัติของการบวกของอินทิกรัล เราจะได้สูตรของซิมป์สัน

พิจารณาฟังก์ชันปริพันธ์
บนส่วน
- ขอให้เราแทนที่อินทิแกรนด์นี้ด้วยพหุนามการประมาณค่าลากรองจ์ของดีกรีที่สอง ซึ่งตรงกับ
ที่จุด:

มาบูรณาการกันเถอะ
:

สูตร:

และเรียกว่าสูตรของซิมป์สัน

ผลลัพธ์ที่ได้สำหรับอินทิกรัล
มูลค่าสอดคล้องกับพื้นที่ สี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่ถูกจำกัดด้วยแกน , ตรง
,
และพาราโบลาที่ผ่านจุดต่างๆ

ตอนนี้ให้เราประเมินข้อผิดพลาดในการรวมโดยใช้สูตรของซิมป์สัน เราจะถือว่า บนส่วน
มีอนุพันธ์ต่อเนื่องกัน
- มาสร้างความแตกต่างกันเถอะ

ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยสามารถนำไปใช้กับอินทิกรัลทั้งสองแต่ละตัวได้แล้ว เนื่องจาก
อย่างต่อเนื่อง
และฟังก์ชันไม่เป็นลบในช่วงการรวมครั้งแรกและไม่เป็นเชิงบวกในช่วงที่สอง (นั่นคือ ฟังก์ชันจะไม่เปลี่ยนเครื่องหมายในแต่ละช่วงเวลาเหล่านี้) นั่นเป็นเหตุผล:

(เราใช้ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยเพราะว่า
- ฟังก์ชั่นต่อเนื่อง;
).

การสร้างความแตกต่าง
สองครั้งแล้วใช้ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยที่เราได้รับ
การแสดงออกอื่น:

, ที่ไหน

จากการประมาณการทั้งสำหรับ
ตามมาด้วยว่าสูตรของซิมป์สันนั้นตรงกับพหุนามที่มีดีกรีไม่สูงกว่าสาม ลองเขียนสูตรของ Simpson ในรูปแบบ:

,
.

ถ้าเป็นเซ็กเมนต์
บูรณาการมากเกินไปก็แบ่งออกเป็น
ส่วนที่เท่ากัน(สมมติว่า
) จากนั้นไปยังแต่ละคู่ของส่วนที่อยู่ติดกัน
,
,...,
ใช้สูตรของซิมป์สัน ได้แก่ :

ลองเขียนสูตรของซิมป์สันในรูปแบบทั่วไป:

(1)

(2)

ข้อผิดพลาดของสูตรของซิมป์สัน - วิธีลำดับที่สี่:

,
(3)

เนื่องจากวิธีการของซิมป์สันทำให้เราได้ ความแม่นยำสูง, ถ้า
ไม่ใหญ่เกินไป มิฉะนั้นวิธีลำดับที่สองอาจให้ความแม่นยำมากกว่า

ตัวอย่างเช่น สำหรับฟังก์ชัน รูปร่างของสี่เหลี่ยมคางหมูที่
สำหรับ
ให้ ผลลัพธ์ที่แน่นอน
ในขณะที่เราใช้สูตรของซิมป์สันที่เราได้รับ

3. ภาพประกอบทางเรขาคณิต

บนส่วน
ยาว 2h จะได้พาราโบลาลากผ่านจุด 3 จุด
,
- พื้นที่ใต้พาราโบลาที่อยู่ระหว่างแกน OX กับเส้นตรง
, ยอมรับ เท่ากับอินทิกรัล
.

คุณลักษณะพิเศษของการใช้สูตรของซิมป์สันคือจำนวนพาร์ติชั่นของเซ็กเมนต์การรวมเป็นเลขคู่

หากจำนวนส่วนของพาร์ติชันเป็นเลขคี่ สำหรับสามส่วนแรก เราควรใช้สูตรโดยใช้พาราโบลาระดับที่สามที่ผ่านสี่จุดแรกเพื่อประมาณปริพันธ์

(4)

นี่คือสูตรสามในแปดของซิมป์สัน

สำหรับส่วนของการรวมกลุ่มโดยพลการ
สูตร (4) สามารถ "ต่อ" ได้; ในกรณีนี้ จำนวนส่วนของบางส่วนจะต้องเป็นผลคูณของสาม (
คะแนน)

, ม.=2,3,... (5)

- ทั้งส่วน

คุณสามารถรับสูตรของนิวตัน-โคตส์สำหรับลำดับที่สูงกว่าได้:

(6)

- จำนวนส่วนของพาร์ติชัน

- ระดับของพหุนามที่ใช้

- อนุพันธ์ - ลำดับที่จุดหนึ่ง
;

- ขั้นตอนการแบ่งพาร์ติชัน

ตารางที่ 1 แสดงค่าสัมประสิทธิ์
- แต่ละบรรทัดสอดคล้องกับหนึ่งชุด ช่องว่าง
โหนดเพื่อสร้างพหุนามดีกรี k เพื่อใช้โครงร่างนี้เพื่อ มากกว่าเซต (เช่น ด้วย k=2 และ n=6) คุณต้อง "ดำเนินการต่อ" สัมประสิทธิ์แล้วบวกเข้าด้วยกัน

ตารางที่ 1:

เค	ค0	A0	ก1	ก2	ก3	ก4	ก5	ก6
2		1	4	1
				1	4	1
						1	4	1
		1	4	2		2	4	1	

อัลกอริธึมสำหรับการประมาณค่าความผิดพลาดของสูตรสี่เหลี่ยมคางหมูและซิมป์สันสามารถเขียนได้เป็น:
(7),

ที่ไหน - ค่าสัมประสิทธิ์ขึ้นอยู่กับวิธีการอินทิเกรตและคุณสมบัติของปริพันธ์

h - ขั้นตอนการบูรณาการ;

p - ลำดับวิธี

กฎของ Runge ใช้ในการคำนวณข้อผิดพลาดโดยการคำนวณอินทิกรัลสองครั้งด้วยขั้นตอน h และ kh

(8)

(8) - การประมาณการหลัง แล้วไอสเปค.= +โร (9),
ค่ากลั่นของอินทิกรัล
.

หากไม่ทราบลำดับของวิธีการ จำเป็นต้องคำนวณ I เพิ่มขึ้นเป็นครั้งที่สาม
นั่นคือ:

จากระบบสามสมการ:

กับ ไม่ทราบ I,Aและ p เราได้รับ:

(10)

จาก (10) ดังต่อไปนี้
(11)

ดังนั้น วิธีการคำนวณแบบคู่ ซึ่งใช้จำนวนครั้งที่ต้องการ ทำให้สามารถคำนวณอินทิกรัลด้วยระดับความแม่นยำที่กำหนดได้ จำนวนพาร์ติชั่นที่ต้องการจะถูกเลือกโดยอัตโนมัติ ในกรณีนี้ คุณสามารถใช้การเรียกหลายครั้งไปยังรูทีนย่อยของวิธีการรวมที่สอดคล้องกันโดยไม่ต้องเปลี่ยนอัลกอริทึมของวิธีการเหล่านี้ อย่างไรก็ตาม สำหรับวิธีการที่ใช้โหนดที่เกี่ยวข้องกันเท่ากัน คุณสามารถแก้ไขอัลกอริธึมและลดจำนวนการคำนวณอินทิแกรนด์ลงครึ่งหนึ่งได้โดยใช้ผลรวมอินทิกรัลที่สะสมระหว่างหลายพาร์ติชันก่อนหน้าของช่วงการรวม ค่าประมาณสองค่าของอินทิกรัล
และ
คำนวณโดยใช้วิธีสี่เหลี่ยมคางหมูแบบมีขั้นตอน และ
มีความสัมพันธ์กันด้วยความสัมพันธ์:

ในทำนองเดียวกัน สำหรับอินทิกรัลที่คำนวณโดยใช้สูตรพร้อมขั้นตอน และ
ความสัมพันธ์ต่อไปนี้ถูกต้อง:

,

(13)

4. การเลือกขั้นตอนการบูรณาการ
เมื่อต้องการเลือกขั้นตอนการรวม คุณสามารถใช้นิพจน์ของเงื่อนไขส่วนที่เหลือได้ ยกตัวอย่างส่วนที่เหลือของสูตรของซิมป์สัน:

ถ้า 

จากนั้น 

.

จากความถูกต้องที่กำหนด  ของวิธีการบูรณาการ เราจะกำหนดขั้นตอนที่เหมาะสมจากความไม่เท่าเทียมกันครั้งล่าสุด

,
.

อย่างไรก็ตามวิธีนี้ต้องมีการประเมิน
(ซึ่งในทางปฏิบัติก็ทำไม่ได้เสมอไป) ดังนั้นจึงใช้วิธีการอื่นในการประมาณค่าความแม่นยำซึ่งทำให้สามารถเลือกขั้นตอน h ที่ต้องการในระหว่างการคำนวณได้

ลองดูหนึ่งในเทคนิคเหล่านี้ อนุญาต

,

ที่ไหน - ค่าประมาณของอินทิกรัลพร้อมสเต็ป - มาลดขั้นตอนกันเถอะ สองครั้ง ทำลายส่วนนี้
ออกเป็นสองส่วนเท่าๆ กัน
และ
(
).

ให้เราสมมุติว่า
ไม่เปลี่ยนแปลงเร็วเกินไปดังนั้น
เกือบคงที่: . แล้ว
และ
, ที่ไหน
นั่นคือ
.

จากนี้เราสามารถสรุปได้ดังต่อไปนี้: ถ้า
นั่นคือถ้า
,
, ก - ต้องการความแม่นยำแล้วจึงขั้น เหมาะสำหรับการคำนวณอินทิกรัลที่มีความแม่นยำเพียงพอ ถ้า
จากนั้นจึงทำการคำนวณซ้ำเป็นขั้นตอนแล้วจึงเปรียบเทียบ
และ
ฯลฯ กฎนี้เรียกว่ากฎของรุ่ง

อย่างไรก็ตาม เมื่อใช้กฎของ Runge จำเป็นต้องคำนึงถึงขนาดของข้อผิดพลาดในการคำนวณด้วย: โดยลดลง ข้อผิดพลาดแน่นอนการคำนวณการเพิ่มขึ้นของอินทิกรัล (การพึ่งพา
จาก สัดส่วนผกผัน) และสำหรับขนาดเล็กเพียงพอ ข้อผิดพลาดของวิธีการอาจมากกว่านั้น ถ้าเกิน
แล้วสำหรับ ขั้นตอนนี้ไม่สามารถใช้กฎของ Runge ได้และไม่สามารถบรรลุความแม่นยำตามที่ต้องการได้ ในกรณีเช่นนี้จำเป็นต้องเพิ่มมูลค่า .

ในการได้มาซึ่งกฎของ Runge คุณจะต้องใช้สมมติฐานที่ว่า
- หากมีเพียงตารางค่า จากนั้นตรวจสอบ
“เพื่อความสม่ำเสมอ” สามารถทำได้โดยตรงจากตาราง การพัฒนาต่อไปของอัลกอริธึมข้างต้นช่วยให้เราสามารถก้าวไปสู่อัลกอริธึมแบบปรับตัวได้ โดยการเลือกขั้นตอนการรวมที่แตกต่างกัน ส่วนต่างๆส่วนของการรวมขึ้นอยู่กับคุณสมบัติ
จำนวนการคำนวณปริพันธ์จะลดลง

อีกรูปแบบหนึ่งสำหรับการปรับแต่งค่าอินทิกรัลคือกระบวนการ Eithnen อินทิกรัลคำนวณเป็นขั้นตอน
, และ
- กำลังคำนวณค่า แล้ว
(14).

การวัดความแม่นยำของวิธี Simpson คือ:

5. ตัวอย่าง
ตัวอย่างที่ 1คำนวณอินทิกรัล
ตามสูตรของซิมป์สัน ถ้า
มอบให้โดยโต๊ะ ประมาณการข้อผิดพลาด

ตารางที่ 3.

	0	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8
	1	0.995	0.98	0.955	0.921	0.878	0.825	0.765	0.697

วิธีแก้ไข: คำนวณโดยใช้สูตร (1) ที่
และ
บูรณาการ

ตามกฎของ Runge ที่เราได้รับ
เรายอมรับ.

ตัวอย่างที่ 2คำนวณอินทิกรัล
.

วิธีแก้ปัญหา: เรามี
- ดังนั้น h=
=0.1. ผลการคำนวณแสดงไว้ในตารางที่ 4

ตารางที่ 4.

การคำนวณอินทิกรัลโดยใช้สูตรซิมป์สัน

ฉัน
0	0		y0=1.00000
1	0.1	0,90909
2	0.2		0,83333
3	0.3	0,76923
4	0.4		0,71429
5	0.5	0,66667
6	0.6		0,62500
7	0.7	0,58824
8	0.8		0,55556
9	0,9	0,52632
10	1,0		0.50000=yn
		3.45955(1)	2.72818(2)

จากการใช้สูตรของ Simpson เราจะได้:

มาคำนวณข้อผิดพลาดของผลลัพธ์ที่ได้รับ ข้อผิดพลาดทั้งหมด ประกอบด้วยข้อผิดพลาดของการกระทำ และระยะเวลาที่เหลือ - แน่นอน: -0.289687

4

2,35

-0,70271

-0,299026

2,4

-0,73739

-0,307246

2

2,45

-0,77023

-0,314380

2,5

-0,80114

-0,320465

4

2,55

-0,83005

-0,325510

2,6

-0,85689

-0,329573

2

2,65

-0,88158

-0,332672

2,7

-0,90407

-0,334841

4

2,75

-0,92430

-0,336109

 3.

ให้เราแทนที่อินทิแกรนด์ที่อยู่ใน (2.50) ด้วยพหุนามการประมาณค่าลากรองจ์ของดีกรีศูนย์ที่ผ่านตรงกลางของเซ็กเมนต์ - จุด เอ็กซ์ = (ก + ข)/2(รูปที่ 2.5) พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งสามารถถูกแทนที่ด้วยพื้นที่ของสี่เหลี่ยมเช่น

สูตร (2.52) เรียกว่า RECTANGLE FORMULA หรือ AVERAGE FORMULA ข้อผิดพลาดของมันคือ

การขยายฟังก์ชัน ฉ(x)เรียงกันเป็นแถวสัมพันธ์กับกึ่งกลางของปล้องมีรูปทรง

เราได้รับนิพจน์แทน (2.54) ลงใน (2.53)

ข้าว. 2.5

เมื่อคำนวณข้อผิดพลาดในการรวม ไม่เพียงแต่ส่วนแรกเท่านั้น แต่ยังรวมถึงส่วนที่สองของส่วนขยายที่ถูกทำลาย ซึ่งสัมพันธ์กับตัวเลือกแบบสมมาตรของโหนดการรวม และแม้ว่าโดยโครงสร้างแล้ว สูตรจะเป็นค่าพหุนามที่แน่นอนก็ตาม ลำดับศูนย์การเลือกโหนดการแก้ไขแบบสมมาตรทำให้สูตรมีความแม่นยำสำหรับฟังก์ชันเชิงเส้นใดๆ

ค่าของเทอมที่เหลือในสูตรสี่เหลี่ยมผืนผ้า (2.53) อาจมีค่ามาก เนื่องจากผลต่าง (6 - a) อาจมีค่าค่อนข้างมาก เพื่อเพิ่มความแม่นยำ เราขอแนะนำตาข่าย

ด้วยก้าวเล็กๆ ที่ค่อนข้างมาก สวัสดี=เจซี(- xt_ j และใช้สูตรสี่เหลี่ยมกับแต่ละขั้นตอนของตาราง จากนั้นเราจะได้สูตรทั่วไปสำหรับสี่เหลี่ยม

ด้วยมูลค่าของเทอมที่เหลือ

บนตารางที่มีขั้นสม่ำเสมอ สวัสดี «= เอ็กซ์ ( - xt _ j = สูตร const (2.56) เป็นแบบย่อและมีรูปแบบ

ค่าของเทอมที่เหลือคือการแทนที่ผลรวมใน (2.58) ด้วยอินทิกรัลที่เราได้รับ

เพื่อให้การประมาณระยะที่เหลือ (2.58) ถูกต้อง จำเป็นต้องมีอนุพันธ์อันดับสองต่อเนื่องกัน ถ้าเป็นอนุพันธ์อันดับสอง ฉ"x)- ต่อเนื่องเป็นชิ้น ๆ จึงเป็นไปได้ที่จะทำการประมาณค่าหลัก ๆ โดยการแทนที่เท่านั้น ฉ"(x)ค่าสูงสุดของมันอยู่ที่ [ก, 6]. จากนั้นถ้าเราแสดงว่า M 2 = สูงสุด | ฉ"(x)- [และส่วนที่เหลือ

ในกรณีที่มีฟังก์ชัน ฉ(x) จะได้รับในรูปแบบของตาราง โดยไม่ทราบค่าที่อยู่ตรงกลางของช่วงเวลา ค่านี้มักจะพบโดยการประมาณค่า ซึ่งทำให้ความแม่นยำของสูตรลดลง

ในกรณีของตาราง ฟังก์ชั่นที่ระบุสะดวกในการเลือกจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของส่วนการรวมเป็นโหนดการแก้ไข เช่น แทนที่ฟังก์ชัน ฉ(x)พหุนามลากรองจ์ของดีกรี 1 เรามี

ข้าว. 2.6

ในกรณีนี้ ค่าของอินทิกรัล เท่ากับพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูโค้งจะถูกแทนที่ด้วยพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโดยประมาณ (รูปที่ 2.6) ดังนั้นเราจึงได้

จำไว้ว่า x 0 = a, เอ็กซ์ ก = ข.สูตรนี้เรียกว่า TRAPEZIOUS FORMULA เมื่อใช้สูตรสี่เหลี่ยมคางหมูสำหรับ

ค่าประมาณของข้อผิดพลาดในการรวม เราคำนวณจาก J dx

สูตร (2.18) เรามี

ข้อผิดพลาดของสูตรสี่เหลี่ยมคางหมูเป็นสองเท่าของข้อผิดพลาดของสูตรสี่เหลี่ยม สิ่งนี้อธิบายได้จากข้อเท็จจริงที่ว่าการเลือกสี่เหลี่ยมในสูตรเป็นโหนดการแก้ไขโหนดแบบสมมาตรทำให้ความแม่นยำเพิ่มขึ้น

เพื่อปรับปรุงความแม่นยำของสูตร (2.61) เราแนะนำในส่วนนี้ [ก ข]ตาข่าย

เราได้รับการคำนวณค่าอินทิกรัลสำหรับแต่ละช่วงเวลาและรวมค่าเหล่านี้ ทั่วไปสูตรสี่เหลี่ยมคางหมู

ด้วยมูลค่าของเทอมที่เหลือ

สูตรเหล่านี้ถูกทำให้ง่ายขึ้นบนตารางโดยมีขั้นตอนคงที่ L = L (= เอ็กซ์จ- d:, t = const (i - 0, 1, - 1):

ให้เราแนะนำสัญกรณ์ ม2~ max |Гх^)1(а &] ในทางปฏิบัติ พวกเขาใช้การประมาณค่าหลักสำหรับมูลค่าของเทอมที่เหลือ

ดังนั้น สูตรสี่เหลี่ยมคางหมู (เช่น สูตรสี่เหลี่ยม) จึงมีความแม่นยำลำดับที่สองตามขั้นตอนของกริด และข้อผิดพลาดเชิงเส้นกำกับมีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์ที่ ชม.-» 0 ถึงภายในเงื่อนไขเพิ่มเติม ลำดับสูงเล็กน้อย.

เพื่อเพิ่มลำดับความแม่นยำของสูตรการรวมตัวเลข เราจะแทนที่ปริพันธ์ด้วยพาราโบลา - พหุนามการประมาณค่าลากรองจ์ในระดับที่สอง โดยเลือกปลายและตรงกลางของส่วนการรวมเป็นโหนดการแก้ไข: x 0 = ก, x x ~ (ก + ข)/ 2, x ก = ข(รูปที่ 2.7)

ในกรณีนี้ เราได้รับการรวมพหุนามการประมาณค่าสำหรับโหนดที่มีระยะห่างเท่ากัน

ข้าว. 2.7

ในกรณีนี้คือมูลค่าของเทอมที่เหลือ ร~ J D 2 (x) dx ประมาณโดยความสัมพันธ์โดยประมาณ°

สูตร (2.67) เรียกว่า SIMPSON'S FORMULA สำหรับโหนดที่มีระยะห่างไม่เท่ากัน x 0, Xj, x 2 ค่า เอฟจำนวน

เช่นเดียวกับในสองกรณีก่อนหน้านี้ เพื่อเพิ่มความแม่นยำของสูตร (2.67) เราจะแนะนำตารางที่มีขั้นตอนเล็กน้อยเพียงพอ เมื่อรวมค่าอินทิกรัลที่ได้รับจาก (2.67) สำหรับแต่ละช่วงเวลาเราจะได้สูตรซิมป์สันทั่วไป (พาราโบลา) ซึ่งบนตารางสม่ำเสมอจะมีรูปแบบ

และมูลค่าของเทอมที่เหลือคือ

ดังนั้นสูตรพาราโบลาจึงมีความแม่นยำลำดับที่สี่เมื่อเทียบกับขั้นตอนของกริด ให้เราแนะนำสัญกรณ์ ม.4= = สูงสุด |/ IV (x)| -

.
แล้ว .
เราจะใช้การประมาณค่าเชิงเส้นของปริพันธ์
ถ้าแทนที่จะเป็นเซ็กเมนต์ [-1; 1] ใช้โหนดที่เคลื่อนที่ได้ t1, t2 เป็นโหนดการแก้ไข จากนั้นคุณต้องเลือกค่าเหล่านี้เพื่อให้พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูล้อมรอบด้วยเส้นตรงที่ผ่านจุด A1 (t1, φ(t1)) และ A2 (t2, φ(t2)) เท่ากับอินทิกรัลของพหุนามใดๆ ของค่าบางตัว ระดับสูงสุด.
สมมติว่านี่คือพหุนามของระดับที่สาม เราคำนวณ t1, t2 ซึ่งกลายเป็นเท่ากับ และ ต่างกันเฉพาะในการกำหนดหมายเลขของค่าเท่านั้น
ขั้นต่อไป เมื่อแบ่งส่วนการรวมออกเป็นส่วน n โดยใช้แนวคิดที่อธิบายไว้ข้างต้นกับแต่ละส่วน เราจะได้สูตร Gauss:

การเขียนโปรแกรมสูตรปริพันธ์เชิงตัวเลข

การแนะนำ

1. วิธีการรวมตัวเลข

2. สูตรการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส

3. การเลือกขั้นตอนการรวมระบบอัตโนมัติ

บทสรุป

บรรณานุกรม

การแนะนำ

วัตถุประสงค์ของเรียงความคือเพื่อศึกษาและ การวิเคราะห์เปรียบเทียบวิธีการรวมฟังก์ชันเชิงตัวเลข การใช้วิธีการเหล่านี้ในรูปแบบของโปรแกรมเครื่องในภาษา ระดับสูงและการแก้ปัญหาเชิงปฏิบัติของปัญหาการรวมตัวเลขบนคอมพิวเตอร์

เมื่อแก้ไขปัญหาทางวิศวกรรม มักจำเป็นต้องคำนวณค่าต่างๆ อินทิกรัลที่แน่นอนใจดี

. (1)

หากฟังก์ชันต่อเนื่องในช่วงเวลา [ ก , ข] และแอนติเดริเวทีฟของมันสามารถนิยามได้ผ่าน ฟังก์ชั่นที่รู้จักดังนั้นอินทิกรัลดังกล่าวจะถูกคำนวณโดยใช้สูตรของนิวตัน–ไลบ์นิซ:

.

ใน ปัญหาทางวิศวกรรมแทบจะเป็นไปไม่ได้เลยที่จะได้ค่าอินทิกรัลในรูปแบบการวิเคราะห์ นอกจากนี้ฟังก์ชั่น ฉ (x) สามารถระบุได้ ตัวอย่างเช่น โดยตารางข้อมูลการทดลอง ดังนั้นในทางปฏิบัติ ในการคำนวณอินทิกรัลจำกัดเขตที่พวกเขาใช้ วิธีการพิเศษซึ่งขึ้นอยู่กับอุปกรณ์การแก้ไข

แนวคิดของวิธีการดังกล่าวมีดังนี้ แทนที่จะคำนวณอินทิกรัลโดยใช้สูตร (1) ให้คำนวณค่าของฟังก์ชันก่อน ฉ (x ฉัน) = ใช่แล้วในบางโหนด x ฉัน Î[ ก , ข- จากนั้นเลือกพหุนามการประมาณค่า ป (x) ผ่านจุดที่ได้รับ ( x ฉัน , ใช่แล้ว) ซึ่งใช้ในการคำนวณค่าโดยประมาณของอินทิกรัล (1):

.

เมื่อนำแนวทางนี้ไปใช้ สูตรการรวมเชิงตัวเลขจะใช้สิ่งต่อไปนี้ มุมมองทั่วไป:

, (2) - โหนดการแก้ไข ฉัน– ค่าสัมประสิทธิ์บางอย่าง ร– ระยะคงเหลือที่แสดงถึงข้อผิดพลาดของสูตร โปรดทราบว่าสูตรในแบบฟอร์ม (2) เรียกว่าสูตรการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส

ความหมายทางเรขาคณิตของการอินทิเกรตเชิงตัวเลขคือการคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งซึ่งจำกัดโดยกราฟของฟังก์ชัน ฉ (เอ็กซ์) แกน x และเส้นตรงสองเส้น x = กและ x = ขการคำนวณพื้นที่โดยประมาณจะนำไปสู่การปฏิเสธระยะที่เหลือในสูตรการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส รซึ่งระบุลักษณะข้อผิดพลาดของวิธีการซึ่งมีข้อผิดพลาดในการคำนวณซ้อนทับเพิ่มเติม

1. วิธีการอินทิเกรตเชิงตัวเลข

ใน การวิจัยประยุกต์บ่อยครั้งมีความจำเป็นต้องคำนวณค่าของอินทิกรัลจำกัดเขต

ดังที่คุณทราบจากหลักสูตรคณิตศาสตร์ อินทิกรัลไม่สามารถคำนวณเชิงวิเคราะห์ได้ในทุกกรณี และแม้กระทั่งในกรณีที่เป็นไปได้ที่จะค้นหารูปแบบการวิเคราะห์ของอินทิกรัลนี้ ขั้นตอนการคำนวณจะให้ผลลัพธ์โดยประมาณ ดังนั้นปัญหาค่าประมาณของอินทิกรัลนี้จึงเกิดขึ้น

สาระสำคัญของการคำนวณโดยประมาณอยู่ในการดำเนินการสองรายการ: 1. การเลือก จำนวนจำกัดแทนที่จะเป็น n; 2.ในการเลือกจุด

ในส่วนที่เกี่ยวข้อง

ขึ้นอยู่กับทางเลือก

เราได้รับสูตรต่าง ๆ สำหรับการคำนวณอินทิกรัล: สูตรของสี่เหลี่ยมด้านซ้ายและขวา (5), (6) (5) (6)

สูตรสี่เหลี่ยมคางหมู:

สูตรซิมป์สัน

b, a - จุดสิ้นสุดของส่วนที่อยู่ระหว่างการพิจารณา

เพื่อเปรียบเทียบผลการคำนวณกับสูตรการรวมตัวเลขข้างต้น เราคำนวณอินทิกรัลต่อไปนี้ใน 3 วิธี โดยแบ่งส่วนออกเป็น 6 ส่วนเท่า ๆ กัน: h=

ตามสูตรของสี่เหลี่ยมด้านซ้าย:

ตามสูตรสี่เหลี่ยมคางหมู:

ตามสูตรของซิมป์สัน:

และผลลัพธ์ที่ได้เชิงวิเคราะห์ก็เท่ากับ

=1

ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่า วิธีการเชิงตัวเลขการบูรณาการโดยใช้สูตรของซิมป์สันมีความแม่นยำมากกว่า แต่นำมาใช้ใน กรณีทั่วไปเมื่อแบ่งส่วนออกเป็นช่วงเลขคู่

2. สูตรการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส

สูตรสี่เหลี่ยมเป็นสูตรการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ง่ายที่สุด ให้เราแยกส่วนการรวม [ ก, ข] บน nความยาวส่วนที่เท่ากัน

- โปรดทราบว่าค่า ชม.เรียกว่าขั้นตอนการบูรณาการ ณ จุดแยก เอ็กซ์ 0 = ก ,เอ็กซ์ 1 =ก+ช , ..., x n = ขสังเกตคำสั่ง ย 0 ,ย 1 ,…,ใช่คดเคี้ยว ฉ (x), เช่น. มาคำนวณกัน ใช่ ฉัน = ฉ (x ฉัน), x i = a+ ih = x i -1 +ชม (ฉัน =- ในแต่ละส่วนของความยาว ชม.สร้างสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีด้านข้าง ชม.และ ใช่แล้ว, ที่ไหน ฉัน =, เช่น. จากค่าลำดับที่คำนวณไว้ที่ปลายด้านซ้ายของเซ็กเมนต์ จากนั้นพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งซึ่งกำหนดค่าของอินทิกรัล (1) สามารถแสดงโดยประมาณเป็นผลรวมของพื้นที่ของสี่เหลี่ยม (รูปที่ 1) จากที่นี่เราจะได้สูตรสำหรับสี่เหลี่ยม:
. (3)

หากเมื่อคำนวณผลรวมอินทิกรัลเราจะรับค่าของฟังก์ชัน ฉ (x) ไม่ใช่ทางด้านซ้าย แต่อยู่ที่ปลายด้านขวาของส่วนที่มีความยาว ชม.ซึ่งแสดงไว้ในรูปที่. 1 ด้วยเส้นประ เราจะได้สูตรสี่เหลี่ยมเวอร์ชันที่สอง:

. (4)

สูตรสี่เหลี่ยมเวอร์ชันที่สามสามารถรับได้โดยใช้ค่าฟังก์ชัน ฉ (x) คำนวณที่จุดกึ่งกลางของส่วนความยาวแต่ละส่วน ชม.(รูปที่ 2):

. (5)

สูตร (3), (4) และ (4) เรียกว่าสูตรของสี่เหลี่ยมด้านซ้าย ด้านขวา และตรงกลาง ตามลำดับ

สูตรซิมป์สันลองหารช่วงอินทิเกรตด้วย 2 กัน nความยาวส่วนที่เท่ากัน

. ในแต่ละส่วน [ x ฉัน , x i+2] ฟังก์ชันปริพันธ์ ฉ (เอ็กซ์) จะถูกแทนที่ด้วยพาราโบลาที่ผ่านจุดต่างๆ ( x ฉัน , ใช่แล้ว), (x ฉัน +1 , ใช่แล้ว +1), (x ฉัน +2 , ใช่แล้ว+2) จากนั้นค่าประมาณของอินทิกรัลจะถูกกำหนดโดยสูตรของซิมป์สัน: (7)

เมื่อคำนวณบนคอมพิวเตอร์ สูตรต่อไปนี้จะสะดวกกว่า:

วิธีการของซิมป์สันเป็นหนึ่งในวิธีการรวมตัวเลขที่รู้จักและใช้กันอย่างแพร่หลาย โดยให้ค่าอินทิกรัลที่แม่นยำเมื่อรวมพหุนามจนถึงลำดับที่สาม

สูตรของนิวตันค่าประมาณของอินทิกรัลโดยใช้สูตรของนิวตันคำนวณได้ดังนี้:

โดยที่จำนวนส่วนของพาร์ติชั่นเป็นผลคูณของสามนั่นคือ คือ 3 n- เมื่อพัฒนาโปรแกรมคอมพิวเตอร์จะสะดวกกว่าถ้าใช้สูตรที่เทียบเท่า:

วิธีการของนิวตันให้ค่าที่แน่นอนของอินทิกรัลเมื่ออินทิเกรตพหุนามจนถึงลำดับที่สี่

3. การเลือกขั้นตอนการรวมระบบอัตโนมัติ

จากการคำนวณโดยใช้สูตร (3) - (8) จะได้ค่าประมาณของอินทิกรัลซึ่งอาจแตกต่างจากค่าที่แน่นอนในจำนวนหนึ่งเรียกว่าข้อผิดพลาดในการรวม ข้อผิดพลาดถูกกำหนดโดยสูตรส่วนที่เหลือ รแตกต่างกันสำหรับแต่ละวิธีการรวม หากจำเป็นต้องคำนวณค่าอินทิกรัลโดยมีข้อผิดพลาดไม่เกิน e ก็จำเป็นต้องเลือกขั้นตอนการอินทิกรัลดังกล่าว ชม.เพื่อให้เกิดความไม่เท่าเทียมกัน ร (ชม.) ปอนด์อี ในทางปฏิบัติ จะใช้การเลือกค่าอัตโนมัติ ชม.เพื่อให้แน่ใจว่าบรรลุผลสำเร็จของข้อผิดพลาดที่กำหนด ขั้นแรก ให้คำนวณค่าอินทิกรัล ฉัน (n) โดยแบ่งช่วงเวลาการรวมออกเป็น nส่วนต่างๆ จากนั้นจำนวนส่วนจะเพิ่มเป็นสองเท่าและคำนวณอินทิกรัล ฉัน (2n- กระบวนการคำนวณจะดำเนินต่อไปจนกว่าเงื่อนไขจะเป็นจริง