ซ้ำแล้วซ้ำเล่า การทดสอบอิสระเรียกว่าการทดลองแบบแบร์นูลลี ถ้าการทดลองแต่ละครั้งมีเพียงสองผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ และความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ยังคงเหมือนเดิมตลอดการทดลองทั้งหมด

ให้เราแสดงความน่าจะเป็นเหล่านี้ว่า พีและ ถาม- ผลลัพธ์ที่มีความน่าจะเป็น พีเราจะเรียกมันว่า "ความสำเร็จ" และผลลัพธ์ที่มีความน่าจะเป็น ถาม- "ความล้มเหลว".

เห็นได้ชัดว่า

พื้นที่ของกิจกรรมเบื้องต้นสำหรับการทดลองแต่ละครั้งประกอบด้วยสองจุด พื้นที่จัดกิจกรรมเบื้องต้นสำหรับ nการทดลองแบบเบอร์นูลลีประกอบด้วยคะแนน ซึ่งแต่ละคะแนนแสดงถึงผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ประการหนึ่งของการทดลองแบบผสม เนื่องจากการทดลองมีความเป็นอิสระ ความน่าจะเป็นของลำดับเหตุการณ์จะเท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ที่เกี่ยวข้อง เช่น ความน่าจะเป็นของลำดับเหตุการณ์

(ยู, ยู, ยังไม่มีข้อความ, ยู, ยังไม่มีข้อความ, ยังไม่มีข้อความ)

เท่ากับสินค้า

ตัวอย่างการทดสอบเบอร์นูลลี

1. โยนเหรียญ “ยุติธรรม” ติดต่อกัน ในกรณีนี้ พี = ถาม = 1/2 .

เมื่อโยนเหรียญที่ไม่สมมาตร ความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกันจะเปลี่ยนค่าของมัน

2. ผลการทดลองแต่ละครั้งถือได้ว่าเป็น กหรือ .

3. หากมีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้หลายประการ จากนั้นเราสามารถเลือกกลุ่มผลลัพธ์ที่ถือว่าเป็น "ความสำเร็จ" โดยเรียกผลลัพธ์อื่นๆ ทั้งหมดว่า "ความล้มเหลว"

ตัวอย่างเช่น เมื่อโยนลูกเต๋าติดต่อกัน "ความสำเร็จ" สามารถเข้าใจได้ว่าเป็นการทอยลูกเต๋า 5 ครั้ง และ "ความล้มเหลว" อาจหมายถึงการทอยแต้มจำนวนอื่นๆ ในกรณีนี้ พี = 1/6, ถาม = 5/6.

หากโดย "ความสำเร็จ" เราหมายถึงการสูญเสียคะแนนเป็นจำนวนคู่และโดย "ความล้มเหลว" - เป็นจำนวนคะแนนคี่ พี = ถาม = 1/2 .

4. สุ่มหยิบลูกบอลออกจากโกศที่บรรจุอยู่ซ้ำแล้วซ้ำอีก ก สีขาวและ ขลูกบอลสีดำ หากประสบความสำเร็จเราหมายถึงการสกัด ลูกบอลสีขาว, ที่ , .

Feller ให้ตัวอย่างต่อไปนี้ การประยุกต์ใช้จริงวงจรทดสอบเบอร์นูลลี เครื่องซักผ้าที่ผลิตโดย การผลิตจำนวนมากอาจมีความหนาแตกต่างกัน แต่เมื่อตรวจสอบแล้วจะจัดประเภทว่ายอมรับได้หรือมีข้อบกพร่อง ขึ้นอยู่กับว่าความหนาอยู่ภายในขีดจำกัดที่กำหนดหรือไม่ แม้ว่าผลิตภัณฑ์อาจไม่เป็นไปตามแผนงานของ Bernoulli อย่างสมบูรณ์ด้วยเหตุผลหลายประการ โครงการนี้ได้สร้างมาตรฐานในอุดมคติสำหรับการควบคุมคุณภาพผลิตภัณฑ์ทางอุตสาหกรรม แม้ว่ามาตรฐานนี้จะไม่เคยบรรลุผลอย่างถูกต้องแม่นยำนักก็ตาม เครื่องจักรอาจมีการเปลี่ยนแปลง และความน่าจะเป็นจึงไม่เหมือนเดิม มีความสม่ำเสมอในการทำงานของเครื่องจักร โดยเป็นผลให้การเบี่ยงเบนที่เหมือนกันต่อเนื่องกันเป็นเวลานานมีแนวโน้มมากกว่าที่จะเป็นหากการทดสอบเป็นอิสระอย่างแท้จริง อย่างไรก็ตาม จากมุมมองของการควบคุมคุณภาพผลิตภัณฑ์ เป็นที่พึงประสงค์ว่ากระบวนการนี้สอดคล้องกับแผนงานของเบอร์นูลลี และสิ่งสำคัญคือสามารถบรรลุผลได้ภายในขีดจำกัดที่กำหนด วัตถุประสงค์ของการติดตามในปัจจุบันคือการตรวจจับแล้ว ระยะเริ่มต้นการเบี่ยงเบนที่สำคัญจากรูปแบบในอุดมคติและใช้เป็นข้อบ่งชี้ถึงการละเมิดการทำงานที่ถูกต้องของเครื่อง

หน่วยงานรัฐบาลกลางเพื่อการศึกษา

สถาบันการศึกษาของรัฐ

การศึกษาวิชาชีพชั้นสูง

"MATI" - มหาวิทยาลัยเทคโนโลยีแห่งรัฐรัสเซียตั้งชื่อตาม เค.อี. ซิโอลคอฟสกี้

ภาควิชา “การสร้างแบบจำลองระบบและเทคโนโลยีสารสนเทศ”

การทำซ้ำการทดสอบ วงจรเบอร์นูลลี

แนวทางการฝึกปฏิบัติ

ในสาขาวิชา “คณิตศาสตร์ชั้นสูง”

เรียบเรียงโดย: Egorova Yu.B.

มาโมโนฟ ไอ.เอ็ม.

บทนำของมอสโก ค.ศ. 2006

หลักเกณฑ์นี้มีไว้สำหรับแบบเต็มเวลาและ แผนกตอนเย็นคณะหมายเลข 14 สาขาวิชาพิเศษ 150601, 160301, 230102 คำแนะนำเน้นแนวคิดพื้นฐานของหัวข้อและกำหนดลำดับการศึกษาเนื้อหา ตัวอย่างจำนวนมากกล่าวถึงความช่วยเหลือในการพัฒนาหัวข้อในทางปฏิบัติ แนวทางปฏิบัติทำหน้าที่เป็นพื้นฐานระเบียบวิธีสำหรับ ชั้นเรียนภาคปฏิบัติและทำงานแต่ละอย่างให้สำเร็จ

โครงการเบอร์นูลลี สูตรเบอร์นูลลี

แผนเบอร์นูลลี- แผนการทดสอบอิสระซ้ำซึ่งมีเหตุการณ์บางอย่าง กสามารถทำซ้ำได้หลายครั้งโดยมีความน่าจะเป็นคงที่ ร (ก)= ร .

ตัวอย่างการทดสอบที่ดำเนินการตามแบบเบอร์นูลลี: การโยนเหรียญหรือลูกเต๋าซ้ำๆ การผลิตชิ้นส่วนเป็นชุด การยิงไปที่เป้าหมาย ฯลฯ

ทฤษฎีบท.หากความน่าจะเป็นของเหตุการณ์จะเกิดขึ้น กในการทดสอบแต่ละครั้งจะคงที่และเท่ากัน รแล้วความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์นั้น กจะมา มทุกครั้ง nการทดสอบ (ไม่ว่าจะอยู่ในลำดับใด) สามารถกำหนดได้โดยสูตรของเบอร์นูลลี:

ที่ไหน ถาม = 1 – พี.

ตัวอย่างที่ 1ความน่าจะเป็นที่ปริมาณการใช้ไฟฟ้าในหนึ่งวันจะไม่เกินค่ามาตรฐานที่กำหนดไว้นั้นเท่ากับ พี= 0,75. จงหาความน่าจะเป็นที่ในอีก 6 วันข้างหน้า ปริมาณการใช้ไฟฟ้า 4 วันจะไม่เกินค่าปกติ

สารละลาย. ความน่าจะเป็นของการใช้ไฟฟ้าปกติในแต่ละ 6 วันจะคงที่และเท่ากับ ร= 0.75. ส่งผลให้ความน่าจะเป็นของการใช้พลังงานมากเกินไปทุกวันจึงคงที่และเท่ากับ ถาม = 1ร = 1  0,75 = 0,25.

ความน่าจะเป็นที่ต้องการตามสูตรของเบอร์นูลลีเท่ากับ:

ตัวอย่างที่ 2ผู้ยิงจะยิงสามนัดไปที่เป้าหมาย ความน่าจะเป็นที่จะโดนเป้าหมายด้วยการยิงแต่ละครั้งมีค่าเท่ากับ พี= 0,3. ค้นหาความน่าจะเป็นที่: ก) โดนเป้าหมายเดียว; b) ทั้งสามเป้าหมาย; c) ไม่ใช่เป้าหมายเดียว d) อย่างน้อยหนึ่งเป้าหมาย; e) น้อยกว่าสองเป้าหมาย

สารละลาย. ความน่าจะเป็นที่จะยิงเข้าเป้าในแต่ละครั้งจะคงที่และเท่ากับ ร=0.75. ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะพลาดจึงเท่ากับ ถาม = 1 ร = 1  0,3= 0,7. จำนวนทั้งหมดการทดลองที่ดำเนินการ n=3.

ก) ความน่าจะเป็นที่จะยิงโดนเป้าหมายเดียวด้วยการยิงสามนัดเท่ากับ:

b) ความน่าจะเป็นที่จะยิงโดนทั้งสามเป้าหมายด้วยการยิงสามนัดเท่ากับ:

c) ความน่าจะเป็นที่พลาดสามครั้งด้วยการยิงสามนัดเท่ากับ:

d) ความน่าจะเป็นที่จะโจมตีเป้าหมายอย่างน้อยหนึ่งเป้าหมายด้วยการยิงสามนัดจะเท่ากับ:

e) ความน่าจะเป็นที่จะโจมตีได้น้อยกว่าสองเป้าหมาย นั่นคือ มีเป้าหมายเดียวหรือไม่มีเลย:

1. ทฤษฎีบทท้องถิ่นและทฤษฎีปริพันธ์ของมัวฟวร์-ลาปลาซ

หากมีการทดสอบจำนวนมาก การคำนวณความน่าจะเป็นโดยใช้สูตรของเบอร์นูลลีจะกลายเป็นเรื่องยากในทางเทคนิค เนื่องจากสูตรต้องใช้การดำเนินการที่มีจำนวนมาก ดังนั้นจึงมีสูตรโดยประมาณที่ง่ายกว่าสำหรับการคำนวณความน่าจะเป็นโดยรวม n- สูตรเหล่านี้เรียกว่าเส้นกำกับและถูกกำหนดโดยทฤษฎีบทของปัวซอง ทฤษฎีบทท้องถิ่นและปริพันธ์ของลาปลาซ

ทฤษฎีบทท้องถิ่นของมัวร์-ลาปลาซ ก กจะเกิดขึ้น มทุกครั้ง n n (n →∞ ) มีค่าประมาณเท่ากับ:

ฟังก์ชั่นอยู่ที่ไหน
และการโต้แย้ง

ยิ่งมาก. n, เหล่านั้น การคำนวณที่แม่นยำยิ่งขึ้นความน่าจะเป็น ดังนั้นจึงแนะนำให้ใช้ทฤษฎีบท Moivre-Laplace เมื่อใด npq  20.

ฉ ( x ) มีการรวบรวมตารางพิเศษ (ดูภาคผนวก 1) เมื่อใช้โต๊ะคุณต้องคำนึงถึง คุณสมบัติฟังก์ชั่น ฉ(x) :

การทำงาน ฉ(x)เท่ากัน ฉ(  x)=ฉ(x) .

ที่ เอ็กซ์ ∞ ฟังก์ชัน ฉ(x) 0. ในทางปฏิบัติ เราสามารถสรุปได้ว่า ณ เอ็กซ์>4 ฟังก์ชั่น ฉ(x) ≈0.

ตัวอย่างที่ 3จงหาความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์จะเกิดขึ้น กจะเกิดขึ้น 80 ครั้งในการทดลอง 400 ครั้ง หากความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นั้นเกิดขึ้น กในการทดลองแต่ละครั้งจะเท่ากัน พี= 0,2.

สารละลาย. ตามเงื่อนไข n=400, ม=80, พี=0,2, ถาม=0.8. เพราะฉะนั้น:

เมื่อใช้ตารางเราจะกำหนดค่าของฟังก์ชัน ฉ (0)=0,3989.

ทฤษฎีบทอินทิกรัลของมัวฟวร์-ลาปลาซหากความน่าจะเป็นของเหตุการณ์จะเกิดขึ้น กในการทดลองแต่ละครั้งจะคงที่และแตกต่างจาก 0 และ 1 แล้วความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์จะเกิดขึ้น กจะมาจาก ม 1 ถึง ม 2 ทุกครั้ง n ทดสอบอย่างเพียงพอ จำนวนมาก n (n →∞ ) มีค่าประมาณเท่ากับ:

ที่ไหน
 ฟังก์ชันอินทิกรัลหรือลาปลาซ

เพื่อค้นหาค่าของฟังก์ชัน ฉ( x ) มีการรวบรวมตารางพิเศษ (เช่น ดูภาคผนวก 2) เมื่อใช้โต๊ะคุณต้องคำนึงถึง คุณสมบัติของฟังก์ชันลาปลาซ เอฟ(x) :

การทำงาน เอฟ(x)เป็นเรื่องแปลก ฉ(  x)=  เอฟ(x) .

ที่ เอ็กซ์ ∞ ฟังก์ชัน เอฟ(x) 0.5. เอ็กซ์ในทางปฏิบัติเราสามารถสรุปได้ว่าที่ เอฟ(x) ≈0,5.

>5 ฟังก์ชั่น (0)=0.

เอฟตัวอย่างที่ 4

สารละลาย. ตามเงื่อนไข n=400, ม 1 =70, ม 2 =100, พี=0,2, ถาม=0.8. เพราะฉะนั้น:

ความน่าจะเป็นที่ชิ้นส่วนไม่ผ่านการตรวจสอบการควบคุมคุณภาพคือ 0.2 ค้นหาความน่าจะเป็นที่ใน 400 ชิ้นส่วนจะมี 70 ถึง 100 ชิ้นที่ยังไม่ทดลอง

เมื่อใช้ตารางที่แสดงค่าของฟังก์ชัน Laplace เราจะพิจารณา: 1 ) = ฉ(  1,25 )=  ฉ( 1,25 )=  0,3944; เมื่อใช้ตารางที่แสดงค่าของฟังก์ชัน Laplace เราจะพิจารณา: 2 ) = ฉ( 2,5 )= 0,4938.

เอฟ(x ก่อนหน้านี้ในย่อหน้าที่ 1.4 แนวคิดเรื่องขึ้นอยู่กับและไม่ขึ้นอยู่กับเหตุการณ์ที่ต้องพึ่งพา - ด้วยแนวคิดกิจกรรมอิสระ

แนวคิดของการทดลองหรือการทดสอบอิสระมีความสัมพันธ์กันและใช้กันอย่างแพร่หลาย 1 , α 2 , … , α การทดลอง α nเรียกว่าเป็นอิสระ หากผลลัพธ์รวมกันเป็นชุดของเหตุการณ์อิสระ α 1 , α 2 , …, α มิฉะนั้น หากงานเกี่ยวข้องกับการทดสอบซ้ำหลายครั้ง กภายใต้เงื่อนไขคงที่และเหตุการณ์บางอย่างในการทดลองแต่ละครั้ง พี = พี(กอาจเกิดขึ้นได้ด้วยความน่าจะเป็น พี(Ā ) เป็นอิสระจากการทดสอบอื่นๆ และไม่เกิดขึ้นพร้อมกับความน่าจะเป็น

) จากนั้นการทดสอบเหล่านี้เรียกว่าอิสระ โครงการทดสอบอิสระนี้เรียกว่าโครงการเบอร์นูลลี โครงการนี้ตั้งชื่อตามจาค็อบ เบอร์นูลลี ผู้ก่อตั้งครอบครัวนักวิทยาศาสตร์ชาวสวิสผู้มีชื่อเสียง (เจคอบ บี., โยฮันน์ บี., นิโคไล บี., ดาเนียล บี. ฯลฯ) Jacob Bernoulli พิสูจน์ทฤษฎีบทที่เรียกว่า Bernoulli ซึ่งเป็นสิ่งสำคัญกรณีพิเศษ กฎจำนวนมาก

(ดูข้อ 3.11) ทฤษฎีบทนี้ใช้กับลำดับการทดสอบอิสระที่พิจารณาในที่นี้ nตัวอย่างของการทดสอบอิสระ ได้แก่: ก) หลายรายการ ( nครั้งหนึ่ง) โยนเหรียญ; b) การสกัด ( nครั้งเดียว) ลูกบอลที่เหมือนกับการสัมผัสจากโกศและการกลับมาในภายหลัง c) ชุดการทดสอบอิสระ (การทดลอง) ใด ๆ ในแต่ละชุดซึ่งความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ที่ประสบความสำเร็จจะเท่ากัน เช่น ชุดของการยิงไปที่เป้าหมาย ทางเลือก nรายละเอียดจากทั้งหมดศึกษา การวิเคราะห์หิน

ทรัพย์สินบางอย่าง ฯลฯ กตามแผนของเบอร์นูลลี การเกิดเหตุการณ์ พี = พี(กด้วยความน่าจะเป็น ) ตามอัตภาพเรียกว่าความสำเร็จ และการไม่เกิดขึ้น ( Ā เหตุการณ์ตรงกันข้าม ถาม = 1 – พี.

) - ความล้มเหลว. ความน่าจะเป็นของความล้มเหลวในการทดลองประเภทนี้แต่ละครั้งคือ nในทางปฏิบัติมักเกิดปัญหากับเหตุการณ์ที่ซับซ้อนซึ่ง มการทดลองที่ประกอบขึ้นเป็นแผนของเบอร์นูลลี ม < nการทดลอง ( ก) เหตุการณ์ n – มเกิดขึ้น (เช่น จบลงด้วยความสำเร็จ) และใน ( ) ในการทดลอง เหตุการณ์นี้ไม่เกิดขึ้น (จบลงด้วยความล้มเหลว) อนุญาตป ไม่มี (เค nความสำเร็จมาจากการทดลอง ไม่มี (การทดลอง (ประสบความสำเร็จ ไม่มี (ครั้งหนึ่ง). มีการวางภารกิจต่อไปนี้: ปล่อยให้เข้าnการทดสอบที่สอดคล้องกับโครงการเบอร์นูลลีไม่มี (การทดสอบจบลงด้วยความสำเร็จ เราจำเป็นต้องค้นหาความน่าจะเป็นพี(ไม่มี () (อ่านว่า: ") ในการทดลอง เหตุการณ์นี้ไม่เกิดขึ้น (จบลงด้วยความล้มเหลว) อนุญาตจากnการทดสอบไม่มี (ประสบความสำเร็จ"). ความน่าจะเป็นนี้คำนวณโดยใช้สูตรเบอร์นูลลี ซึ่งสอดคล้องกับทฤษฎีบทที่มีชื่อเดียวกัน

ทฤษฎีบทของเบอร์นูลลีหากมีความน่าจะเป็น พีการเกิดขึ้นของเหตุการณ์ กในแต่ละลำดับ nการทดสอบ α 1 , α 2 , … , α nเป็นค่าคงที่ แล้วความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์จะเกิดขึ้น กจะมา ไม่มี (ไม่เคยมา n – ไม่มี (ครั้ง คำนวณโดยใช้สูตรของเบอร์นูลลี:

) ในการทดลอง เหตุการณ์นี้ไม่เกิดขึ้น (จบลงด้วยความล้มเหลว) อนุญาตป ไม่มี () = กับnเค พีเค qn-k , (2.1)

ที่ไหน ถาม = 1- พี.

การพิสูจน์. แท้จริงแล้วปล่อยให้เหตุการณ์ กและ Ā į – การเกิดขึ้นและการไม่เกิดขึ้นตามลำดับของเหตุการณ์ กวี į - การทดสอบครั้งที่ α ฉัน ( ฉัน = 1, 2, … , n- ให้ด้วย ใน k หมายถึงเหตุการณ์ที่ใน n กิจกรรมการทดสอบอิสระ กปรากฏขึ้น ไม่มี (ครั้งหนึ่ง. ที่ n= 3 และ ไม่มี (= 2 เหตุการณ์ ใน 2 แสดงผ่าน เหตุการณ์เบื้องต้น ก į ( į = 1, 2, 3) ตามสูตร:

ใน 2 = ก 1 ก 2 Ā 3 + ก 1 Ā 2 ก 3 + Ā 1 ก 2 ก 3 .

ใน มุมมองทั่วไปสูตรสุดท้ายจะเป็นแบบนี้

นั่นคือสมาชิกแต่ละคนของผลรวม (2.2) สอดคล้องกับเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น ก ไม่มี (ครั้ง และ ( n – ไม่มี () เวลาที่ไม่ปรากฏตัว จำนวนชุดค่าผสม (ข้อกำหนด) ทั้งหมดใน (2.2) เท่ากับจำนวนวิธีเลือก nการทดสอบ ไม่มี ( การทดลองซึ่งเหตุการณ์ กเกิดขึ้นนั่นคือจำนวนชุดค่าผสม ซี เอ็น เค- ความน่าจะเป็นของการรวมกันแต่ละครั้งตามทฤษฎีบทการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระจะเท่ากับ พีเค × qn – เค, เพราะ พี(ก į) = พี, พี(Ā į) = ถาม, ฉัน = 1,2,…,n. แต่ การรวมกัน วี (2.2) เป็นเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ ดังนั้นจากทฤษฎีบทการบวกของความน่าจะเป็นที่เราได้รับ

ดังนั้นสูตรของเบอร์นูลลีจึงยังคงอยู่

P n (k) = C n k p k q n-k .

Q.E.D.

หมายเหตุ 1.ทฤษฎีบทที่จัดทำขึ้นข้างต้นใช้กับกรณีที่ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์จะเกิดขึ้นในการทดลองแต่ละครั้ง กคงที่ แล้วมาคำนวณความน่าจะเป็น ) ในการทดลอง เหตุการณ์นี้ไม่เกิดขึ้น (จบลงด้วยความล้มเหลว) อนุญาตป ไม่มี () สูตรเบอร์นูลลี (2.1) ใช้ได้ หากความน่าจะเป็นของเหตุการณ์จะเกิดขึ้น กในการทดลอง α 1 , α 2 , … , α การทดลอง α แตกต่าง กล่าวคือ ความน่าจะเป็นประกอบขึ้นเป็นค่าต่างๆ พี 1 , พี 2 , … , พี n ดังนั้นแทนที่จะเป็น (2.1) สูตรจะใช้ได้:

หมายเหตุ 6ความน่าจะเป็นที่ว่าใน nการทดลองที่ดำเนินการตามแผนของเบอร์นูลลี ความสำเร็จจะมาจาก ไม่มี ( 1 ถึง ไม่มี ( 2 ครั้ง คำนวณโดยสูตร P n ( ไม่มี ()) สำหรับค่าเฉพาะ nและ พี- ตั้งแต่ทะเลาะกัน ไม่มี (รับเฉพาะค่าจำนวนเต็ม กราฟจะแสดงเป็นจุดบนระนาบ ( ไม่มี (, ) ในการทดลอง เหตุการณ์นี้ไม่เกิดขึ้น (จบลงด้วยความล้มเหลว) อนุญาตป ไม่มี (- เพื่อความชัดเจน จุดต่างๆ เชื่อมต่อกันด้วยเส้นประ และเรียกว่ากราฟดังกล่าว รูปหลายเหลี่ยมการกระจาย(รูปที่ 2.1) ที่ พี = 0,5, n= 6 ดังแสดงในรูปที่ 2.1 รูปหลายเหลี่ยมมีความสมมาตรเกี่ยวกับเส้นตรง x = เอ็นพี(ถ้า พีใกล้กับ 0.5 แล้วรูปหลายเหลี่ยมจะอยู่ใกล้กับสมมาตร) ตอนเล็กๆ พีรูปหลายเหลี่ยมนั้นไม่สมมาตรอย่างมาก และความถี่ที่เป็นไปได้มากที่สุดคือความถี่ที่ใกล้กับศูนย์ รูปที่ 2.2 แสดงรูปหลายเหลี่ยมการกระจายสำหรับ พี= 0.2 สำหรับจำนวนการทดสอบ n= 6. สำหรับขนาดใหญ่ พี, ใกล้ 1 เป็นไปได้มากที่สุด ค่าสูงสุด- ในรูป 2.3 แสดงการกระจายรูปหลายเหลี่ยมสำหรับ พี= 0.8 และ n= 6.

ข้าว. 2.3.

ดังนั้นงานอดิเรกทันทีของคุณจะมีประโยชน์อย่างยิ่ง นอกจากนี้ฉันจะบอกคุณว่ามีอะไรผิดปกติ ส่วนใหญ่ผู้เข้าร่วมลอตเตอรี่และการพนัน ...ไม่นะ ศรัทธาหรือ ความหวังอันเลือนลาง“ตีแจ็กพอต” ไม่เกี่ยวอะไรกับมันเลย ;-) เราจะดำดิ่งลงไปในหัวข้อ:

เกิดอะไรขึ้น การทดสอบอิสระ - เกือบทุกอย่างชัดเจนจากชื่อนั้นเอง ปล่อยให้ทำการทดสอบหลายครั้ง หากความน่าจะเป็นของเหตุการณ์บางอย่างจะเกิดขึ้นในแต่ละเหตุการณ์นั้น ไม่ได้ขึ้นอยู่กับจากผลการทดสอบที่เหลือ ก็... เราก็จบวลีพร้อมๆ กัน =) ทำได้ดีมาก ยิ่งไปกว่านั้น วลี “การทดสอบอิสระ” มักจะหมายถึง ซ้ำแล้วซ้ำเล่าการทดสอบอิสระ – เมื่อดำเนินการติดต่อกันแล้ว

ตัวอย่างที่ง่ายที่สุด:
– โยนเหรียญ 10 ครั้ง
– ทอยลูกเต๋า 20 ครั้ง

เป็นที่ชัดเจนอย่างยิ่งว่าความน่าจะเป็นที่จะได้หัวหรือก้อยในการทดสอบใดๆ ไม่ได้ขึ้นอยู่กับผลลัพธ์ของการโยนครั้งอื่นๆ ข้อความที่คล้ายกันนี้เป็นจริงสำหรับคิวบ์

แต่การนำไพ่ออกจากสำรับตามลำดับไม่ใช่ชุดการทดสอบอิสระ อย่างที่คุณจำได้นี่คือห่วงโซ่ เหตุการณ์ที่ต้องพึ่งพา- อย่างไรก็ตาม หากคืนบัตรทุกครั้ง สถานการณ์ก็จะ “อย่างที่ควรจะเป็น”

ฉันรีบทำให้คุณพอใจ - แขกของเราคือเทอร์มิเนเตอร์อีกคนที่ไม่แยแสกับความสำเร็จ/ความล้มเหลวของเขาเลย ดังนั้นการยิงของเขาจึงเป็นตัวอย่างของความมั่นคง =):

ปัญหาที่ 1

ผู้ยิงยิงเข้าเป้า 4 นัด ความน่าจะเป็นของการยิงแต่ละครั้งจะคงที่และเท่ากัน ค้นหาความน่าจะเป็นที่:

ก) ผู้ยิงจะโจมตีเพียงครั้งเดียว
b) ผู้ยิงจะตี 2 ครั้ง

สารละลาย: มีการกำหนดเงื่อนไขแล้ว ในแง่ทั่วไปและความน่าจะเป็นที่จะเข้าเป้าในแต่ละครั้ง ถือว่ามีชื่อเสียง- มันก็เท่าเทียมกัน (หากยากจริงๆ ให้กำหนดค่าเฉพาะให้กับพารามิเตอร์ เช่น) .

เมื่อเรารู้แล้ว ก็เป็นเรื่องง่ายที่จะหาความน่าจะเป็นที่จะพลาดในแต่ละช็อต:
นั่นก็คือ “ku” เช่นกัน ปริมาณที่เรารู้จัก.

ก) พิจารณาเหตุการณ์ “ผู้ยิงจะโจมตีเพียงครั้งเดียว”และแสดงความน่าจะเป็นของมันด้วย (ดัชนีถูกเข้าใจว่าเป็น “หนึ่งจากสี่”)- เหตุการณ์นี้ประกอบด้วยผลลัพธ์ที่เข้ากันไม่ได้ 4 รายการ: ผู้ยิงจะเข้าที่ 1 หรือในวันที่ 2 หรือในวันที่ 3 หรือในความพยายามครั้งที่ 4

จงหาความน่าจะเป็นที่เมื่อโยนเหรียญ 10 เหรียญ จะมีเหรียญขึ้นหัว 3 เหรียญ

ที่นี่การทดสอบจะไม่ทำซ้ำ แต่จะดำเนินการพร้อมกัน แต่อย่างไรก็ตามสูตรเดียวกันก็ใช้งานได้: .

วิธีแก้ไขจะแตกต่างกันในความหมายและความคิดเห็นบางประการ โดยเฉพาะ:
โดยใช้วิธีการเหล่านี้ คุณสามารถเลือก 3 เหรียญที่หัวจะปรากฏ
– ความน่าจะเป็นที่จะได้หัวเหรียญละ 10 เหรียญ
ฯลฯ

อย่างไรก็ตาม ในทางปฏิบัติ ปัญหาดังกล่าวไม่ได้เกิดขึ้นบ่อยนัก และด้วยเหตุนี้ สูตรของเบอร์นูลลีจึงเกือบจะสัมพันธ์กันในเชิงโปรเฟสเซอร์เท่านั้น การทดสอบซ้ำแล้วซ้ำอีก- แม้ว่าดังที่แสดงให้เห็นไปแล้ว การทำซ้ำนั้นไม่จำเป็นเลย

ภารกิจต่อไปสำหรับ การตัดสินใจที่เป็นอิสระ:

ปัญหา 3

ลูกเต๋าโยน 6 ครั้ง ค้นหาความน่าจะเป็นที่ 5 คะแนน:

ก) จะไม่หลุดออกมา (จะปรากฏ 0 ครั้ง);
b) จะปรากฏขึ้น 2 ครั้ง;
c) จะปรากฏขึ้น 5 ครั้ง

ปัดเศษผลลัพธ์ให้เป็นทศนิยม 4 ตำแหน่ง

วิธีแก้ปัญหาด่วนและคำตอบท้ายบทเรียน

เห็นได้ชัดว่าในตัวอย่างที่กำลังพิจารณา บางเหตุการณ์มีแนวโน้มมากกว่า และบางเหตุการณ์มีโอกาสน้อยกว่า ตัวอย่างเช่น ด้วยการทอยลูกเต๋า 6 ลูกแม้ว่าจะไม่มีการคำนวณใดๆ ก็ตาม แต่ก็ชัดเจนว่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ของแต้ม "a" และ "be" นั้นมากกว่าความน่าจะเป็นที่ "ห้า" จะทบกัน 5 ครั้งมาก ตอนนี้เรามาตั้งค่างานเพื่อค้นหา

จำนวนเหตุการณ์ที่มีแนวโน้มมากที่สุดในการทดลองอิสระ

อีกครั้งที่ระดับสัญชาตญาณในปัญหาข้อที่ 3 เราสามารถสรุปได้ว่าจำนวนการปรากฏตัวของ "ห้า" ที่เป็นไปได้มากที่สุดนั้นเท่ากับหนึ่ง - หลังจากนั้นมีทั้งหมดหกหน้าและมีการทอยลูกเต๋า 6 ครั้งแต่ละหน้า ในจำนวนนี้ควรปรากฏโดยเฉลี่ยหนึ่งครั้ง ผู้ที่สนใจสามารถคำนวณความน่าจะเป็นและดูว่ามีค่ามากกว่าค่า “คู่แข่ง” หรือไม่ และ

ให้เรากำหนดเกณฑ์ที่เข้มงวด: เพื่อค้นหาจำนวนครั้งที่เป็นไปได้มากที่สุด เหตุการณ์สุ่มในการทดลองอิสระ (มีความน่าจะเป็นในการทดลองแต่ละครั้ง)ถูกชี้นำโดยความไม่เท่าเทียมกันสองเท่าดังต่อไปนี้:

, และ:

1) ถ้าค่าเป็นเศษส่วน แสดงว่ามีตัวเลขที่เป็นไปได้มากที่สุดเพียงตัวเดียว
โดยเฉพาะถ้าเป็นจำนวนเต็มก็จะเป็นจำนวนที่เป็นไปได้มากที่สุด: ;

2) ถ้าเป็นทั้งหมดก็จะมี สองตัวเลขที่เป็นไปได้มากที่สุด: และ .

จำนวนครั้งที่เป็นไปได้มากที่สุดของการเกิด “ห้า” ที่มีการทอยลูกเต๋า 6 ครั้งจะตกอยู่ภายใต้กรณีพิเศษของแต้มแรก:

เพื่อรวมวัสดุเข้าด้วยกัน เราจะแก้ไขปัญหาสองสามข้อ:

ปัญหาที่ 4

ความน่าจะเป็นที่ผู้เล่นบาสเก็ตบอลจะโดนตะกร้าเมื่อขว้างลูกบอลคือ 0.3 ค้นหาจำนวนครั้งที่น่าจะเป็นไปได้มากที่สุดด้วยการโยน 8 ครั้ง และความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน

และนี่ถ้าไม่ใช่ Terminator อย่างน้อยก็เป็นนักกีฬาเลือดเย็น =)

สารละลาย: เพื่อประมาณจำนวนการเข้าชมที่น่าจะเป็นมากที่สุดที่เราใช้ ความไม่เท่าเทียมกันสองเท่า - ใน ในกรณีนี้:

– การขว้างทั้งหมด;
– ความน่าจะเป็นที่จะชนตะกร้าในการโยนแต่ละครั้ง
– ความน่าจะเป็นที่จะพลาดในการโยนแต่ละครั้ง

ดังนั้น จำนวนการตีที่เป็นไปได้มากที่สุดด้วยการขว้าง 8 ครั้งจึงอยู่ภายในขีดจำกัดต่อไปนี้:

เนื่องจากขอบด้านซ้ายเป็น จำนวนเศษส่วน (จุดที่ 1)แล้วมีค่าที่เป็นไปได้มากที่สุดเพียงค่าเดียว และเห็นได้ชัดว่ามันเท่ากับ

โดยใช้สูตรของเบอร์นูลลี ลองคำนวณความน่าจะเป็นที่การขว้าง 8 ครั้งจะมีการโจมตี 2 ครั้งพอดี:

คำตอบ: – จำนวนครั้งที่เป็นไปได้มากที่สุดด้วยการขว้าง 8 ครั้ง
– ความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน

งานที่คล้ายกันสำหรับโซลูชันอิสระ:

ปัญหาที่ 5

โยนเหรียญ 9 ครั้ง ค้นหาความน่าจะเป็นของจำนวนนกอินทรีที่มีโอกาสเกิดขึ้นมากที่สุด

ตัวอย่างคำตอบและเฉลยท้ายบทเรียน

หลังจากการพูดนอกเรื่องที่น่าทึ่ง เราจะดูปัญหาเพิ่มเติมอีกเล็กน้อย จากนั้นฉันจะแบ่งปันเคล็ดลับในการเล่นเกมอย่างถูกต้อง การพนันและลอตเตอรี่

ปัญหาที่ 6

ในบรรดาผลิตภัณฑ์ที่ผลิตด้วยเครื่องจักรอัตโนมัติ โดยเฉลี่ย 60% ของผลิตภัณฑ์เป็นเกรดแรก ความน่าจะเป็นที่รายการสุ่มเลือก 6 รายการจะมี:

ก) ผลิตภัณฑ์ชั้นหนึ่งตั้งแต่ 2 ถึง 4 รายการ
b) ผลิตภัณฑ์ชั้นหนึ่งอย่างน้อย 5 รายการ;
c) ผลิตภัณฑ์เกรดต่ำกว่าอย่างน้อยหนึ่งรายการ

ความเป็นไปได้ในการผลิตผลิตภัณฑ์ชั้นหนึ่งไม่ได้ขึ้นอยู่กับคุณภาพของผลิตภัณฑ์อื่นๆ ที่ผลิต ดังนั้นเราจึงกำลังพูดถึงการทดสอบอิสระที่นี่ พยายามอย่าละเลยการวิเคราะห์สภาพมิฉะนั้นอาจกลายเป็นเหตุการณ์ได้ ขึ้นอยู่กับหรืองานเป็นเรื่องเกี่ยวกับอย่างอื่นโดยสิ้นเชิง

สารละลาย: ความน่าจะเป็นจะถูกเข้ารหัสเป็นเปอร์เซ็นต์ซึ่งฉันขอเตือนคุณว่าต้องหารด้วยหนึ่งร้อย: - ความน่าจะเป็นที่ผลิตภัณฑ์ที่เลือกจะเป็นเกรด 1
จากนั้น: – ความน่าจะเป็นที่จะไม่ใช่ชั้นหนึ่ง

ก) เหตุการณ์ “ในบรรดาสินค้าที่ได้รับการสุ่มเลือก 6 ชิ้น จะมีสินค้าชั้นหนึ่งจาก 2 ถึง 4 ชิ้น”ประกอบด้วยผลลัพธ์ที่เข้ากันไม่ได้ 3 ประการ:

ในบรรดาผลิตภัณฑ์จะมี 2 รายการระดับเฟิร์สคลาส หรือ 3 ชั้นเฟิร์สคลาส หรือ 4 ชั้นเฟิร์สคลาส

สะดวกกว่าในการจัดการกับผลลัพธ์แยกกัน เราใช้สูตรของเบอร์นูลลีสามครั้ง :

– ความน่าจะเป็นที่คอมพิวเตอร์อย่างน้อย 5 ใน 6 เครื่องจะทำงานโดยไม่เกิดข้อผิดพลาดในระหว่างวัน

ค่านี้มันไม่เหมาะกับเราเช่นกันเนื่องจากน้อยกว่าความน่าเชื่อถือที่ต้องการของศูนย์คอมพิวเตอร์:

ดังนั้นคอมพิวเตอร์หกเครื่องจึงไม่เพียงพอ ขอเพิ่มอีกข้อ:

3)ให้มีคอมพิวเตอร์อยู่ในศูนย์คอมพิวเตอร์ คอมพิวเตอร์ 5, 6 หรือ 7 เครื่องควรจะทำงานได้อย่างไร้ที่ติ โดยใช้สูตรของเบอร์นูลลีและ ทฤษฎีบทสำหรับการบวกความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้มาดูความน่าจะเป็นที่คอมพิวเตอร์อย่างน้อย 5 ใน 7 เครื่องจะทำงานโดยไม่เกิดข้อผิดพลาดในระหว่างวัน