แนวคิดเรื่องสมการเส้นตรง การกำหนดเส้นโดยใช้เงื่อนไขสมการเพื่อความขนานของเส้น

กำหนดเส้นโค้งบนระนาบ กลุ่มของพจน์เรียกว่ารูปกำลังสอง – รูปแบบเชิงเส้น หากรูปแบบกำลังสองประกอบด้วยตัวแปรกำลังสองเท่านั้น รูปแบบนี้เรียกว่ารูปแบบบัญญัติ และเวกเตอร์ของพื้นฐานออร์โธนอร์มัลซึ่งรูปแบบกำลังสองมีรูปแบบมาตรฐานเรียกว่าแกนหลักของรูปแบบกำลังสอง
เมทริกซ์ เรียกว่าเมทริกซ์รูปกำลังสอง ในที่นี้ 1 2 = ก 2 1 ในการลดเมทริกซ์ B ให้อยู่ในรูปแบบแนวทแยง จำเป็นต้องใช้เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์นี้เป็นพื้นฐาน จากนั้น โดยที่ แลมบ์ดา 1 และ แลมบ์ คือค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์บี
บนพื้นฐานของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ B รูปแบบกำลังสองจะมีรูปแบบมาตรฐาน: แลมบ์ดา 1 x 2 1 +แลม 2 y 2 1 .
การดำเนินการนี้สอดคล้องกับการหมุนของแกนพิกัด จากนั้นจุดกำเนิดของพิกัดจะเปลี่ยนไป ดังนั้นจึงกำจัดรูปร่างเชิงเส้นออกไป
รูปแบบมาตรฐานของเส้นโค้งอันดับสอง: แลมบ์ดา 1 x 2 2 +แลมบ์ 2 y 2 2 =a และ:
ก) ถ้า แล 1 >0; แล 2 >0 เป็นรูปวงรี โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เมื่อ แล 1 = แล 2 เป็นรูปวงกลม
b) ถ้า แล 1 >0, แล 2<0 (λ 1 <0, λ 2 >0) เรามีอติพจน์;
c) ถ้า แลมบ์ดา 1 =0 หรือ แลมบ์ดา 2 =0 แล้วเส้นโค้งจะเป็นพาราโบลา และหลังจากหมุนแกนพิกัดแล้ว มันจะอยู่ในรูปแบบ แลมบ์ดา 1 x 2 1 =ขวาน 1 +คูณ 1 +c (ในที่นี้ แลมบ์ 2 =0) เมื่อนำมาประกอบกับกำลังสองสมบูรณ์ เราจะได้: แลมบ์ดา 1 x 2 2 =ข 1 y 2

ตัวอย่าง. สมการของเส้นโค้ง 3x 2 +10xy+3y 2 -2x-14y-13=0 กำหนดไว้ในระบบพิกัด (0,i,j) โดยที่ i =(1,0) และ j =(0,1) .
1. กำหนดประเภทของเส้นโค้ง
2. นำสมการมาเป็นรูปแบบมาตรฐานและสร้างเส้นโค้งในระบบพิกัดดั้งเดิม
3. ค้นหาการแปลงพิกัดที่สอดคล้องกัน

สารละลาย. เรานำรูปแบบกำลังสอง B=3x 2 +10xy+3y 2 มาสู่แกนหลัก ซึ่งก็คือรูปแบบมาตรฐาน เมทริกซ์ของรูปกำลังสองนี้คือ . เราค้นหาค่าลักษณะเฉพาะและเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์นี้:

สมการลักษณะ:
; แล 1 =-2, แล 2 =8 ประเภทของรูปแบบกำลังสอง: .
สมการดั้งเดิมกำหนดไฮเปอร์โบลา
โปรดทราบว่ารูปแบบของรูปกำลังสองนั้นไม่ชัดเจน คุณสามารถเขียน 8x 1 2 -2y 1 2 ได้ แต่ประเภทของเส้นโค้งยังคงเหมือนเดิม นั่นคือไฮเปอร์โบลา
เราค้นหาแกนหลักของรูปแบบกำลังสอง ซึ่งก็คือเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ B .
ไอเกนเวกเตอร์ สอดคล้องกับตัวเลข แล=-2 ที่ x 1 =1: x 1 =(1,-1)
เนื่องจากเป็นหน่วยเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ เราจึงหาเวกเตอร์ โดยที่ความยาวของเวกเตอร์ x 1 คือ
พิกัดของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่สองที่สอดคล้องกับค่าลักษณะเฉพาะที่สอง แล = 8 นั้นพบได้จากระบบ
.
1 ,เจ 1)
ตามสูตร (5) ของย่อหน้า 4.3.3 เรามาดูพื้นฐานใหม่กัน:
หรือ

; . (*)

เราใส่นิพจน์ x และ y ลงในสมการดั้งเดิม และหลังจากการแปลง เราได้: .
การเลือกช่องสี่เหลี่ยมที่สมบูรณ์: .
เราทำการแปลแกนพิกัดแบบขนานเป็นจุดเริ่มต้นใหม่: , .
หากเราแนะนำความสัมพันธ์เหล่านี้ใน (*) และแก้ความเท่าเทียมกันเหล่านี้สำหรับ x 2 และ y 2 เราจะได้: , . ในระบบพิกัด (0*, i 1, j 1) สมการนี้มีรูปแบบ: .
ในการสร้างเส้นโค้ง เราสร้างเส้นโค้งใหม่ในระบบพิกัดแบบเก่า: แกน x 2 =0 ถูกกำหนดไว้ในระบบพิกัดแบบเก่าโดยใช้สมการ x-y-3=0 และแกน y 2 =0 ด้วยสมการ x+ y-1=0. ต้นกำเนิดของระบบพิกัดใหม่ 0 * (2,-1) คือจุดตัดของเส้นเหล่านี้
เพื่อให้การรับรู้ง่ายขึ้น เราจะแบ่งกระบวนการสร้างกราฟออกเป็น 2 ขั้นตอน:
1. การเปลี่ยนไปใช้ระบบพิกัดที่มีแกน x 2 =0, y 2 =0 ระบุในระบบพิกัดแบบเก่าโดยใช้สมการ x-y-3=0 และ x+y-1=0 ตามลำดับ

2. การสร้างกราฟของฟังก์ชันในระบบพิกัดผลลัพธ์

กราฟเวอร์ชันสุดท้ายมีลักษณะเช่นนี้ (ดู สารละลาย: ดาวน์โหลดโซลูชัน

ออกกำลังกาย. สร้างสมการแต่ละสมการต่อไปนี้ให้นิยามวงรี และค้นหาพิกัดของจุดศูนย์กลาง C, กึ่งแกน, ความเยื้องศูนย์, สมการไดเรกทริกซ์ วาดวงรีบนภาพวาดเพื่อระบุแกนของสมมาตร จุดโฟกัส และไดเรกตริกซ์
สารละลาย.

ให้เราพิจารณาความสัมพันธ์ของแบบฟอร์ม ฉ(x, y)=0, การเชื่อมต่อตัวแปร xและ ที่. เราจะเรียกความเท่าเทียมกัน (1) สมการที่มีตัวแปรสองตัว x, y,ถ้าความเท่าเทียมกันนี้ไม่เป็นความจริงสำหรับตัวเลขทุกคู่ เอ็กซ์และ ที่. ตัวอย่างของสมการ: 2x + 3y = 0, x 2 + y 2 – 25 = 0,

บาป x + บาป y – 1 = 0

ถ้า (1) เป็นจริงสำหรับคู่จำนวน x และ y ทุกคู่ จะเรียกว่า ตัวตน. ตัวอย่างของตัวตน: (x + y) 2 - x 2 - 2xy - y 2 = 0, (x + y)(x - y) - x 2 + y 2 = 0

เราจะเรียกสมการ (1) สมการของเซตของจุด (x; y)หากสมการนี้เป็นไปตามพิกัด เอ็กซ์และ ที่จุดใด ๆ ของชุดและไม่พอใจกับพิกัดของจุดใด ๆ ที่ไม่อยู่ในชุดนี้

แนวคิดที่สำคัญในเรขาคณิตวิเคราะห์คือแนวคิดเรื่องสมการเส้นตรง ให้ระบบพิกัดสี่เหลี่ยมและเส้นบางเส้นถูกกำหนดไว้บนระนาบ α.

คำนิยาม.สมการ (1) เรียกว่าสมการเส้นตรง α (ในระบบพิกัดที่สร้างขึ้น) หากสมการนี้เป็นไปตามพิกัด เอ็กซ์และ ที่จุดใดที่อยู่บนเส้น α และไม่เป็นไปตามพิกัดของจุดใด ๆ ที่ไม่อยู่บนเส้นนี้

ถ้า (1) คือสมการของเส้นตรง α, แล้วเราจะบอกสมการนั้น (1) กำหนด (ชุด)เส้น α.

เส้น α สามารถกำหนดได้ไม่เพียงแต่โดยสมการของรูปแบบ (1) เท่านั้น แต่ยังสามารถกำหนดได้จากสมการของรูปแบบด้วย

F (พี, φ) = 0ซึ่งมีพิกัดเชิงขั้ว

• สมการของเส้นตรงกับสัมประสิทธิ์เชิงมุม

ปล่อยให้เส้นตรงบางเส้นไม่ตั้งฉากกับแกน โอ้. โทรเลย มุมเอียงให้เส้นตรงกับแกน โอ้มุม α ซึ่งจำเป็นต้องหมุนแกน โอ้เพื่อให้ทิศทางบวกเกิดขึ้นพร้อมกับทิศทางใดทิศทางหนึ่งของเส้นตรง แทนเจนต์ของมุมเอียงของเส้นตรงกับแกน โอ้เรียกว่า ความลาดชันบรรทัดนี้และเขียนแทนด้วยตัวอักษร ถึง.

	K=tg α
		(1)

ลองหาสมการของเส้นนี้ถ้าเรารู้มัน ถึงและมูลค่าในส่วนนั้น อ.บซึ่งมันตัดออกจากแกน อู๋.

(2)

y=kx+ข

ให้เราแสดงโดย ม“จุดเครื่องบิน (x; ย)ถ้าเราวาดตรง บีเอ็นและ น.เอ็ม.ขนานกับแกนแล้ว อาร์ บีเอ็นเอ็ม –สี่เหลี่ยม ต. เอ็มซี ซี บีเอ็ม <=>เมื่อค่าต่างๆ น.เอ็ม.และ บีเอ็นตรงตามเงื่อนไข: . แต่ NM=CM-CN=CM-OB=y-b, BN=x=> เมื่อคำนึงถึง (1) เราเข้าใจประเด็นนั้นแล้ว ม(x;y)คบนบรรทัดนี้<=>เมื่อพิกัดเป็นไปตามสมการ: =>

สมการ (2) เรียกว่า สมการของเส้นตรงกับสัมประสิทธิ์เชิงมุมถ้า K=0แล้วเส้นตรงจะขนานกับแกน โอ้และสมการของมันคือ ย = ข

• สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดสองจุด

(4)

ให้สองคะแนน ม 1 (x 1; ปี 1)และ ม 2 (x 2; และ 2)เข้าสู่จุด (3) ม(x;ย)ด้านหลัง ม 2 (x 2; และ 2)เราได้รับ y 2 -y 1 =k(x 2 - x 1)การกำหนด เคจากความเสมอภาคสุดท้ายและแทนที่เป็นสมการ (3) เราได้สมการเส้นที่ต้องการ: . นี่คือสมการถ้า ปี 1 ≠ ปี 2สามารถเขียนได้เป็น:

ถ้า y 1 = y 2แล้วสมการของเส้นตรงที่ต้องการจะมีรูปแบบ ย = ย 1. ในกรณีนี้ เส้นตรงจะขนานกับแกน โอ้. ถ้า x 1 = x 2แล้วเป็นเส้นตรงที่ผ่านจุดต่างๆ ม.1และ ม.2ขนานกับแกน อู๋สมการของมันมีรูปแบบ x = x 1.

• สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดกับความชันที่กำหนด

(3)

Аx + Вy + С = 0

ทฤษฎีบท.ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม โอ้โหเส้นตรงใดๆ กำหนดโดยสมการระดับแรก:

และในทางกลับกัน สมการ (5) สำหรับสัมประสิทธิ์ตามอำเภอใจ ก, บี, ซี (กและ ข ≠ 0พร้อมกัน) กำหนดเส้นตรงที่แน่นอนในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม โอ้.

การพิสูจน์.

ก่อนอื่น เรามาพิสูจน์ข้อความแรกกันก่อน หากเส้นไม่ตั้งฉาก โอ้,จากนั้นจะถูกกำหนดโดยสมการของระดับแรก: y = kx + ข, เช่น. สมการของรูปแบบ (5) โดยที่

ก = เค ข = -1และ ค = ขหากเส้นตั้งฉาก โอ้,แล้วจุดทุกจุดจะมีค่าแอบซิสซาเท่ากัน เท่ากับค่า α ส่วนตัดเป็นเส้นตรงบนแกน โอ้.

สมการของเส้นนี้มีรูปแบบ x = α,เหล่านั้น. ยังเป็นสมการดีกรีแรกของรูปแบบ (5) โดยที่ A = 1, B = 0, C = - αนี่เป็นการพิสูจน์ข้อความแรก

ให้เราพิสูจน์ข้อความสนทนา ให้สมการ (5) และมีค่าสัมประสิทธิ์อย่างน้อยหนึ่งค่า กและ ข ≠ 0.

ถ้า ข ≠ 0แล้ว (5) สามารถเขียนได้ในรูป แบน เราจะได้สมการ y = kx + ข, เช่น. สมการของรูปแบบ (2) ที่กำหนดเส้นตรง

ถ้า ข = 0, ที่ เอ ≠ 0และ (5) ใช้แบบฟอร์ม แสดงถึงโดย α, เราได้รับ

x = แอลฟา, เช่น. สมการของเส้นตั้งฉากโอ้

เส้นที่กำหนดในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมโดยสมการระดับแรกเรียกว่า บรรทัดการสั่งซื้อครั้งแรก

สมการของแบบฟอร์ม ขวาน + วู + C = 0ไม่สมบูรณ์ เช่น ค่าสัมประสิทธิ์บางส่วนมีค่าเท่ากับศูนย์

1) ค = 0; อา + วู = 0และกำหนดเส้นตรงที่ลากผ่านจุดกำเนิด

2) ข = 0 (ก ≠ 0); สมการ ขวาน + C = 0 อู๋

3) ก = 0 (B ≠ 0); วู + C = 0และกำหนดเส้นตรงขนานกัน โอ้.

สมการ (6) เรียกว่าสมการของเส้นตรง "ในส่วน" ตัวเลข กและ ขคือค่าของส่วนที่เส้นตรงตัดบนแกนพิกัด สมการรูปแบบนี้สะดวกสำหรับการสร้างเส้นตรงทางเรขาคณิต

• สมการปกติของเส้นตรง

Аx + Вy + С = 0 คือสมการทั่วไปของเส้นตรงเส้นใดเส้นหนึ่ง และ (5) xเพราะ α + y บาป α – p = 0(7)

สมการปกติของมัน

เนื่องจากสมการ (5) และ (7) กำหนดเส้นตรงเดียวกัน ดังนั้น ( A 1x + B 1y + C 1 = 0และ

A 2x + B 2y + C 2 = 0 => ) ค่าสัมประสิทธิ์ของสมการเหล่านี้เป็นสัดส่วน ซึ่งหมายความว่าโดยการคูณเงื่อนไขทั้งหมดของสมการ (5) ด้วยปัจจัย M ที่แน่นอน เราจะได้สมการ MA x + MV y + MS = 0ตรงกับสมการ (7) คือ

MA = cos α, MB = บาป α, MC = - P(8)

ในการหาตัวประกอบ M เราจะยกกำลังสองค่าที่เท่ากันเหล่านี้แล้วบวก:

M 2 (A 2 + B 2) = cos 2 α + sin 2 α = 1

(9)

§ 9. แนวคิดเรื่องสมการเส้นตรง

การกำหนดเส้นโดยใช้สมการ

ความเท่าเทียมกันของแบบฟอร์ม F (x, y) = 0เรียกว่าสมการในสองตัวแปร x, ใช่,หากไม่เป็นจริงกับตัวเลขทุกคู่ เอ็กซ์, ย.พวกเขาบอกว่าตัวเลขสองตัว x = x 0 , ย=ย 0, เป็นไปตามสมการของแบบฟอร์มบางอย่าง ฉ(x, y)=0,ถ้าเมื่อแทนตัวเลขเหล่านี้แทนตัวแปร เอ็กซ์และ ที่ในสมการ ด้านซ้ายจะหายไป

สมการของเส้นตรงที่กำหนด (ในระบบพิกัดที่กำหนด) คือสมการที่มีตัวแปรสองตัวที่พอใจโดยพิกัดของแต่ละจุดที่วางอยู่บนเส้นนี้ และไม่พอใจกับพิกัดของแต่ละจุดที่ไม่ได้อยู่บนเส้นนั้น

ต่อไปนี้แทนที่จะใช้นิพจน์ "ให้สมการของเส้นตรง" ฉ(x, y) = 0" เรามักจะพูดสั้นๆ ว่า: ให้บรรทัด ฉ (x, y) = 0

ถ้าให้สมการสองเส้นมา ฉ(x, y) = 0และ Ф(x, y) = Q,แล้วการแก้ปัญหาร่วมกันของระบบ

ให้จุดตัดทั้งหมด เจาะจงกว่านั้นคือตัวเลขแต่ละคู่ที่เป็นคำตอบร่วมของระบบนี้จะกำหนดจุดตัดจุดใดจุดหนึ่ง

1)เอ็กซ์ 2 +ย 2 = 8, x-y = 0;

2) เอ็กซ์ 2 +ย 2 -16x+4ที่+18 = 0, x + ย= 0;

3) เอ็กซ์ 2 +ย 2 -2x+4ที่ -3 = 0, เอ็กซ์ 2 + ย 2 = 25;

4) เอ็กซ์ 2 +ย 2 -8x+10у+40 = 0, เอ็กซ์ 2 + ย 2 = 4.

163. คะแนนจะได้รับในระบบพิกัดเชิงขั้ว

พิจารณาว่าจุดใดอยู่บนเส้นที่กำหนดโดยสมการในพิกัดเชิงขั้ว  = 2 cos  และจุดใดไม่ได้อยู่บนนั้น เส้นใดถูกกำหนดโดยสมการนี้? (วาดลงบนภาพวาด :)

164. บนเส้นที่กำหนดโดยสมการ  =
, หาจุดที่มีมุมเชิงขั้วเท่ากับตัวเลขต่อไปนี้ ก) ,ข) - ,ค) 0, ง) . เส้นใดถูกกำหนดโดยสมการนี้?

(สร้างมันขึ้นมาบนภาพวาด)

165. บนเส้นที่กำหนดโดยสมการ  =
ค้นหาจุดที่รัศมีเชิงขั้วเท่ากับตัวเลขต่อไปนี้: a) 1, b) 2, c)
. เส้นใดถูกกำหนดโดยสมการนี้? (สร้างมันขึ้นมาบนภาพวาด)

166. กำหนดว่าเส้นใดถูกกำหนดในพิกัดเชิงขั้วโดยสมการต่อไปนี้ (สร้างบนภาพวาด):

1)  = 5; 2)  = ; 3)  = ; 4)  คอส  = 2; 5)  บาป  = 1;

6)  = 6 คอส ; 7)  = 10 บาป ; 8) บาป =

พิจารณาฟังก์ชันที่กำหนดโดยสูตร (สมการ)

ฟังก์ชันนี้และสมการ (11) จึงสอดคล้องกับเส้นที่กำหนดไว้อย่างชัดเจนบนระนาบ ซึ่งเป็นกราฟของฟังก์ชันนี้ (ดูรูปที่ 20) จากคำจำกัดความของกราฟของฟังก์ชัน จะได้ว่าเส้นนี้ประกอบด้วยจุดเหล่านั้นและเฉพาะจุดเหล่านั้นของระนาบซึ่งพิกัดเป็นไปตามสมการ (11)

ปล่อยให้มันตอนนี้

เส้นตรงซึ่งเป็นกราฟของฟังก์ชันนี้ประกอบด้วยจุดเหล่านั้นและเฉพาะจุดเหล่านั้นของระนาบซึ่งพิกัดเป็นไปตามสมการ (12) ซึ่งหมายความว่าหากจุดอยู่บนเส้นที่ระบุ พิกัดของจุดนั้นก็จะเป็นไปตามสมการ (12) หากจุดไม่อยู่บนเส้นนี้ แสดงว่าพิกัดไม่เป็นไปตามสมการ (12)

สมการ (12) ได้รับการแก้ไขด้วยความเคารพต่อ y พิจารณาสมการที่มี x และ y และไม่ได้แก้สมการสำหรับ y เช่นสมการ

ให้เราแสดงว่าสมการนี้ในระนาบสอดคล้องกับเส้นตรงด้วย กล่าวคือ วงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดและมีรัศมีเท่ากับ 2 ให้เราเขียนสมการใหม่ในรูปแบบ

ด้านซ้ายของมันคือกำลังสองของระยะห่างของจุดจากจุดกำเนิด (ดู§ 2 วรรค 2 สูตร 3) จากความเท่าเทียมกัน (14) จะได้ว่ากำลังสองของระยะนี้เท่ากับ 4

ซึ่งหมายความว่าจุดใดก็ตามที่พิกัดเป็นไปตามสมการ (14) และสมการ (13) จะอยู่ที่ระยะห่าง 2 จากจุดกำเนิด

ตำแหน่งทางเรขาคณิตของจุดดังกล่าวเป็นวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดและมีรัศมี 2 วงกลมนี้จะเป็นเส้นตรงที่สอดคล้องกับสมการ (13) พิกัดของจุดใดๆ เป็นไปตามสมการ (13) อย่างชัดเจน หากจุดไม่ได้อยู่บนวงกลมที่เราพบ กำลังสองของระยะห่างจากจุดกำเนิดจะมากกว่าหรือน้อยกว่า 4 ซึ่งหมายความว่าพิกัดของจุดดังกล่าวไม่เป็นไปตามสมการ (13)

ในกรณีทั่วไป ให้สมการนี้มา

ทางด้านซ้ายมีนิพจน์ที่มี x และ y

คำนิยาม. เส้นตรงที่กำหนดโดยสมการ (15) คือตำแหน่งทางเรขาคณิตของจุดต่างๆ ในระนาบซึ่งพิกัดเป็นไปตามสมการนี้

ซึ่งหมายความว่าหากเส้น L ถูกกำหนดโดยสมการ พิกัดของจุด L ใดๆ จะเป็นไปตามสมการนี้ แต่พิกัดของจุดใดๆ ในระนาบที่อยู่ด้านนอก L จะไม่เป็นไปตามสมการ (15)

สมการ (15) เรียกว่าสมการเส้น

ความคิดเห็น เราไม่ควรคิดว่าสมการใดๆ จะกำหนดเส้นใดๆ ตัวอย่างเช่น สมการไม่ได้กำหนดเส้นตรงใดๆ ในความเป็นจริงสำหรับค่าจริงใด ๆ ของ และ y ด้านซ้ายของสมการนี้เป็นค่าบวกและด้านขวาเท่ากับศูนย์ ดังนั้นสมการนี้จึงไม่สามารถตอบสนองด้วยพิกัดของจุดใด ๆ ในระนาบ

เส้นสามารถถูกกำหนดบนระนาบได้ไม่เพียงแต่โดยสมการที่มีพิกัดคาร์ทีเซียนเท่านั้น แต่ยังโดยสมการในพิกัดเชิงขั้วด้วย เส้นที่กำหนดโดยสมการในพิกัดเชิงขั้วคือตำแหน่งทางเรขาคณิตของจุดต่างๆ ในระนาบซึ่งพิกัดเชิงขั้วเป็นไปตามสมการนี้

ตัวอย่างที่ 1 สร้างเกลียวอาร์คิมิดีสที่

สารละลาย. มาสร้างตารางสำหรับค่าบางค่าของมุมเชิงขั้วและค่าที่สอดคล้องกันของรัศมีเชิงขั้วกัน

เราสร้างจุดในระบบพิกัดเชิงขั้วซึ่งเห็นได้ชัดว่าเกิดขึ้นพร้อมกับขั้ว จากนั้นวาดแกนเป็นมุมกับแกนขั้วโลกเราสร้างจุดที่มีพิกัดบวกบนแกนนี้ หลังจากนั้นเราก็สร้างจุดในทำนองเดียวกันโดยมีค่าบวกของมุมเชิงขั้วและรัศมีเชิงขั้ว (แกนสำหรับจุดเหล่านี้คือ ไม่ได้ระบุไว้ในรูปที่ 30)

เมื่อเชื่อมต่อจุดต่างๆ เราจะได้เส้นโค้งหนึ่งกิ่ง ดังแสดงในรูปที่ 1 30 มีเส้นหนา เมื่อเปลี่ยนจาก 0 เป็นสาขาของเส้นโค้งนี้ประกอบด้วยจำนวนรอบที่ไม่สิ้นสุด

ความเท่าเทียมกันของรูปแบบ F(x, y) = 0 เรียกว่าสมการที่มีตัวแปร x, y สองตัว หากค่า x, y ทุกคู่ไม่เป็นความจริง พวกเขาบอกว่าตัวเลขสองตัว x = x 0, y = y 0 เป็นไปตามสมการบางอย่างในรูปแบบ F(x, y) = 0 หากเมื่อแทนตัวเลขเหล่านี้แทนตัวแปร x และ y ลงในสมการ ทางด้านซ้ายของตัวเลขจะกลายเป็นศูนย์ .

สมการของเส้นตรงที่กำหนด (ในระบบพิกัดที่กำหนด) คือสมการที่มีตัวแปรสองตัวซึ่งพอใจกับพิกัดของทุกจุดที่วางอยู่บนเส้นนี้ และไม่พอใจกับพิกัดของทุกจุดที่ไม่ได้อยู่บนเส้นนั้น

ต่อไปนี้ แทนที่จะใช้นิพจน์ “เมื่อให้สมการของเส้นตรง F(x, y) = 0” เรามักจะพูดสั้นกว่านี้ว่า เมื่อให้เส้นตรง F(x, y) = 0

หากกำหนดสมการของสองบรรทัด: F(x, y) = 0 และ Ф(x, y) = 0 ดังนั้นวิธีแก้ปัญหาร่วมของระบบ

F(x,y) = 0, Ф(x, y) = 0

ให้จุดตัดทั้งหมด แม่นยำยิ่งขึ้น แต่ละคู่ของตัวเลขที่เป็นคำตอบร่วมของระบบนี้จะกำหนดจุดตัดจุดใดจุดหนึ่ง

157. คะแนนที่ได้รับ *) M 1 (2; -2), M 2 (2; 2), M 3 (2; - 1), M 4 (3; -3), M 5 (5; -5), ม 6 (3; -2) พิจารณาว่าจุดใดที่ให้มาอยู่บนเส้นที่กำหนดโดยสมการ x + y = 0 และจุดใดที่ไม่อยู่บนเส้นนั้น เส้นใดถูกกำหนดโดยสมการนี้? (วาดลงบนภาพวาด)

158. บนเส้นที่กำหนดโดยสมการ x 2 + y 2 = 25 ให้หาจุดที่มีจุดหักล้างเท่ากับตัวเลขต่อไปนี้: 1) 0, 2) -3, 3) 5, 4) 7; ในบรรทัดเดียวกันให้ค้นหาจุดที่มีพิกัดเท่ากับตัวเลขต่อไปนี้: 5) 3, 6) -5, 7) -8 เส้นใดถูกกำหนดโดยสมการนี้? (วาดลงบนภาพวาด)

159. กำหนดว่าเส้นใดถูกกำหนดโดยสมการต่อไปนี้ (สร้างตามรูปวาด): 1)x - y = 0; 2) x + y = 0; 3) x - 2 = 0; 4)x + 3 = 0; 5) y - 5 = 0; 6) ปี + 2 = 0; 7) x = 0; 8) ย = 0; 9) x 2 - xy = 0; 10) xy + y 2 = 0; 11) x 2 - ย 2 = 0; 12) xy = 0; 13) ปี 2 - 9 = 0; 14) x 2 - 8x + 15 = 0; 15) และ 2 + คูณ + 4 = 0; 16) x 2 ปี - 7xy + 10y = 0; 17) ย - |x|; 18) x - |y|; 19) ย + |x| = 0; 20) x + |ย| = 0; 21) ย = |x - 1|; 22) ย = |x + 2|; 23) x 2 + ย 2 = 16; 24) (x - 2) 2 + (y - 1) 2 = 16; 25 (x + 5) 2 + (y-1) 2 = 9; 26) (x - 1) 2 + y 2 = 4; 27) x 2 + (ย + 3) 2 = 1; 28) (x - 3) 2 + y 2 = 0; 29) x 2 + 2y 2 = 0; 30) 2x 2 + 3y 2 + 5 = 0; 31) (x - 2) 2 + (y + 3) 2 + 1 = 0

160. เส้นที่กำหนด: l)x + y = 0; 2)x - y = 0; 3)x 2 + y 2 - 36 = 0; 4) x 2 + y 2 - 2x + y = 0; 5) x 2 + y 2 + 4x - 6y - 1 = 0 พิจารณาว่าอันไหนผ่านจุดกำเนิด

161. เส้นที่กำหนด: 1) x 2 + y 2 = 49; 2) (x - 3) 2 + (y + 4) 2 = 25; 3) (x + 6) 2 + (y - Z) 2 = 25; 4) (x + 5) 2 + (y - 4) 2 = 9; 5) x 2 + y 2 - 12x + 16y - 0; 6) x 2 + y 2 - 2x + 8y + 7 = 0; 7) x 2 + y 2 - 6x + 4y + 12 = 0. หาจุดตัดกัน: a) ด้วยแกน Ox; b) ด้วยแกน Oy

162. ค้นหาจุดตัดของเส้นสองเส้น:

1) x 2 + ปี 2 - 8; x - ย =0;

2) x 2 + y 2 - 16x + 4y + 18 = 0; x + y = 0;

3) x 2 + y 2 - 2x + 4y - 3 = 0; x 2 + y 2 = 25;

4) x 2 + y 2 - 8y + 10y + 40 = 0; x 2 + y 2 = 4

163. ในระบบพิกัดเชิงขั้ว จุด M 1 (l; π/3), M 2 (2; 0), M 3 (2; π/4), M 4 (√3; π/6) และ M 5 ( 1; 2/3π). พิจารณาว่าจุดใดอยู่บนเส้นที่กำหนดในพิกัดเชิงขั้วโดยสมการ p = 2cosΘ และจุดใดไม่ได้อยู่บนเส้นนั้น เส้นใดถูกกำหนดโดยสมการนี้? (วาดลงบนภาพวาด)

164. บนเส้นตรงที่กำหนดโดยสมการ p = 3/cosΘ ให้หาจุดที่มีมุมเชิงขั้วเท่ากับตัวเลขต่อไปนี้: a) π/3, b) - π/3, c) 0, d) π/6 เส้นใดถูกกำหนดโดยสมการนี้? (สร้างมันขึ้นมาบนภาพวาด)

165. บนเส้นตรงที่กำหนดโดยสมการ p = 1/sinΘ ให้หาจุดที่มีรัศมีเชิงขั้วเท่ากับตัวเลขต่อไปนี้: a) 1 6) 2, c) √2 เส้นใดถูกกำหนดโดยสมการนี้? (สร้างมันขึ้นมาบนภาพวาด)

166. กำหนดเส้นที่กำหนดในพิกัดเชิงขั้วโดยสมการต่อไปนี้ (สร้างบนภาพวาด): 1) p = 5; 2) Θ = π/2; 3) Θ = - π/4; 4) พี cosΘ = 2; 5) p บาปΘ = 1; 6.) p = 6cosΘ; 7) p = 10 บาปΘ; 8) บาปΘ = 1/2; 9) ไซน์ = 1/2

167. สร้างเกลียวอาร์คิมิดีสต่อไปนี้บนภาพวาด: 1) p = 20; 2) พี = 50; 3) p = Θ/π; 4) p = -Θ/π.

168. สร้างเกลียวไฮเพอร์โบลิกต่อไปนี้บนภาพวาด: 1) p = 1/Θ; 2) พี = 5/Θ; 3) p = π/Θ; 4) р= - π/Θ

169. สร้างเกลียวลอการิทึมต่อไปนี้บนภาพวาด: 1) p = 2 Θ; 2) พี = (1/2) Θ

170. จงหาความยาวของส่วนที่เกลียวอาร์คิมิดีส p = 3Θ ถูกตัดด้วยลำแสงที่โผล่ออกมาจากขั้วและเอียงไปที่แกนขั้วที่มุม Θ = π/6 วาดรูป.

171. บนเกลียวอาร์คิมิดีสที่ p = 5/πΘ ให้หาจุด C โดยมีรัศมีเชิงขั้วเท่ากับ 47 จงพิจารณาว่าเกลียวนี้จะตัดรัศมีเชิงขั้วของจุด C ได้กี่ส่วน จงวาดรูป

172. บนเกลียวไฮเปอร์โบลิก P = 6/Θ จงหาจุด P ที่มีรัศมีเชิงขั้วเท่ากับ 12 จงวาดรูป

173. บนเกลียวลอการิทึม p = 3 Θ จงหาจุด P ที่มีรัศมีเชิงขั้วเท่ากับ 81 จงวาดรูป