การสร้างหลักฐานทางคณิตศาสตร์ วิธีการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์

1. วิธีการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์

2. หลักฐานทางตรงและทางอ้อม พิสูจน์ด้วยความขัดแย้ง

3. การค้นพบที่สำคัญ

วิธีการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์

ที่ ชีวิตประจำวันบ่อยครั้ง เมื่อพูดถึงข้อพิสูจน์ เรามักหมายถึงการยืนยันการยืนยันที่ระบุไว้ ในวิชาคณิตศาสตร์ การตรวจสอบและการพิสูจน์เป็นสองสิ่งที่แตกต่างกัน แม้ว่าจะเกี่ยวข้องกันก็ตาม ตัวอย่างเช่น สมมติว่าจำเป็นต้องพิสูจน์ว่าหากรูปสี่เหลี่ยมมีมุมฉากสามมุม แสดงว่าเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

หากเราหารูปสี่เหลี่ยมด้านขนานใดๆ ที่มีมุมฉากสามมุม และโดยการวัดมุมที่สี่ เรามั่นใจว่ารูปสี่เหลี่ยมนั้นตรงจริงๆ การยืนยันนี้จะทำให้ข้อความนี้น่าเชื่อถือมากขึ้น แต่ยังไม่มีการพิสูจน์

เพื่อพิสูจน์ข้อความนี้ ให้พิจารณารูปสี่เหลี่ยมด้านเท่าโดยพลการซึ่งมีมุมสามมุมที่ถูกต้อง เนื่องจากในรูปสี่เหลี่ยมนูนใด ๆ ผลรวมของมุมคือ 360⁰ ดังนั้นในมุมนี้จึงเท่ากับ 360⁰ ผลรวมของมุมฉากสามมุมคือ 270⁰ (90⁰ 3 = 270⁰) ดังนั้นมุมที่สี่คือ 90⁰ (360⁰ - 270⁰) ถ้าทุกมุมของรูปสี่เหลี่ยมเป็นมุมฉากก็จะเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ดังนั้น รูปสี่เหลี่ยมนี้จะเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า คิวอีดี

โปรดทราบว่าสาระสำคัญของการพิสูจน์คือการสร้างลำดับของข้อความจริง (ทฤษฎีบท สัจพจน์ คำจำกัดความ) ซึ่งจากข้อความที่จะพิสูจน์ตามเหตุผล

โดยทั่วไป การพิสูจน์ข้อความหมายถึงการแสดงว่าข้อความนี้เป็นไปตามเหตุผลจากระบบของข้อความจริงและข้อความที่เกี่ยวข้องกัน.

ในทางตรรกศาสตร์ เชื่อกันว่าหากถ้อยแถลงที่อยู่ระหว่างการพิจารณาอย่างมีเหตุผลตามมาจากถ้อยแถลงที่พิสูจน์แล้ว ก็จะถือว่าชอบธรรมและเป็นความจริงพอๆ กับหลัง

ดังนั้น พื้นฐานของการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์คือการอนุมานแบบนิรนัย และการพิสูจน์เองก็เป็นห่วงโซ่ของการอนุมาน และข้อสรุปของแต่ละข้อ (ยกเว้นข้อสุดท้าย) เป็นหลักฐานในการอนุมานประการหนึ่งในภายหลัง

ตัวอย่างเช่น ในหลักฐานข้างต้น ข้อสรุปต่อไปนี้สามารถแยกแยะได้:

1. ในรูปสี่เหลี่ยมนูนใด ๆ ผลรวมของมุมคือ 360⁰ รูปนี้เป็นรูปสี่เหลี่ยมนูน ดังนั้นผลรวมของมุมในนั้นคือ 360⁰

2. หากทราบผลรวมของมุมทั้งหมดของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนและผลรวมของมุมทั้งสามมุม คุณจะพบค่าของมุมที่สี่ได้โดยการลบ ผลรวมของทุกมุมของรูปสี่เหลี่ยมนี้คือ 360⁰ ผลรวมของสามคือ 270⁰ (90⁰ 3 = 270⁰) จากนั้นค่าของมุมที่สี่คือ 360⁰ - 270⁰ = 90⁰

3. ถ้ารูปสี่เหลี่ยมมุมฉากทุกมุมถูกต้อง แสดงว่ารูปสี่เหลี่ยมนี้เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า รูปสี่เหลี่ยมนี้มีมุมฉากทั้งหมด ดังนั้นมันจึงเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

การอนุมานทั้งหมดข้างต้นเป็นไปตามกฎการสรุป ดังนั้นจึงเป็นการสรุปแบบนิรนัย

การพิสูจน์ที่ง่ายที่สุดประกอบด้วยการอนุมานเดียว เช่น เป็นหลักฐานยืนยันว่า 6< 8.

ดังนั้นเมื่อพูดถึงโครงสร้างของการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ เราต้องเข้าใจว่าก่อนอื่นรวมถึงข้อความที่กำลังพิสูจน์ และระบบของข้อความจริงที่ใช้พิสูจน์

ควรสังเกตว่าการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ไม่ได้เป็นเพียงชุดของการอนุมาน แต่เป็นการอนุมานที่จัดเรียงตามลำดับที่แน่นอน

ตามวิธีการบริหาร (ในรูปแบบ) พวกเขาแยกแยะได้ ทางตรงและทางอ้อม หลักฐานของ. การพิสูจน์ที่พิจารณาก่อนหน้านี้นั้นตรงไปตรงมา โดยอิงจากประโยคจริงบางประโยคและคำนึงถึงเงื่อนไขของทฤษฎีบท จึงมีการสร้างห่วงโซ่ของการอนุมานแบบนิรนัยซึ่งนำไปสู่ข้อสรุปที่แท้จริง

ตัวอย่างของหลักฐานแวดล้อมคือหลักฐาน โดยความขัดแย้ง . โดยมีสาระสำคัญดังนี้ ให้มันพิสูจน์ทฤษฎีบท

A ⇒ B. เมื่อพิสูจน์ด้วยความขัดแย้ง จะถือว่าข้อสรุปของทฤษฎีบท (B) เป็นเท็จ และด้วยเหตุนี้ การปฏิเสธจึงเป็นจริง โดยการเพิ่มประโยค "ไม่ใช่ B" เข้ากับชุดของสถานที่จริงที่ใช้ในกระบวนการพิสูจน์ (ซึ่งรวมถึงเงื่อนไข A) พวกเขาสร้างห่วงโซ่ของการอนุมานแบบนิรนัยจนกว่าจะได้ข้อความที่ขัดแย้งกับสถานที่ใดสถานที่หนึ่ง และโดยเฉพาะอย่างยิ่ง เงื่อนไข A. ทันทีที่มีการสร้างความขัดแย้งดังกล่าว กระบวนการพิสูจน์ก็เสร็จสิ้น และกล่าวกันว่าความขัดแย้งที่เกิดขึ้นนั้นพิสูจน์ความจริงของทฤษฎีบทได้

ปัญหา 1. พิสูจน์ว่าถ้า a + 3 > 10 แล้ว a ≠ 7 วิธีขัดแย้ง

งาน 2. พิสูจน์ว่าถ้า x² - เลขคู่แล้ว x เป็นเลขคู่ วิธีการตรงกันข้าม

โจทย์ข้อที่ 3. ให้เลขธรรมชาติสี่ตัวติดต่อกัน จริงหรือไม่ที่ผลคูณของค่าเฉลี่ยของลำดับนี้ งานศิลปะเพิ่มเติมรุนแรงขึ้น 2? วิธีการเหนี่ยวนำที่ไม่สมบูรณ์

การเหนี่ยวนำแบบเต็ม- นี่เป็นวิธีการพิสูจน์ว่าความจริงของข้อความตามมาจากความจริงในกรณีพิเศษทั้งหมด

ปัญหาที่ 4 พิสูจน์ว่าจำนวนธรรมชาติประกอบทุกจำนวนที่มากกว่า 4 แต่น้อยกว่า 20 สามารถแสดงเป็นผลรวมของจำนวนเฉพาะสองตัวได้

ปัญหา 5. จริงหรือไม่ว่าถ้าจำนวนธรรมชาติ n ไม่ใช่ผลคูณของ 3 แล้วค่าของนิพจน์ n² + 2 จะเป็นผลคูณของ 3 วิธีการเหนี่ยวนำแบบเต็ม

ข้อสรุปหลัก

ณ จุดนี้ เราได้ทำความคุ้นเคยกับแนวคิด: การอนุมาน สมมติฐานและข้อสรุป การให้เหตุผลแบบนิรนัย (ถูกต้อง) การอุปนัยที่ไม่สมบูรณ์ การเปรียบเทียบ หลักฐานโดยตรง หลักฐานทางอ้อม การอุปนัยที่สมบูรณ์

เราพบว่าอุปนัยและอุปมาอุปมัยที่ไม่สมบูรณ์มีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับการนิรนัย: ข้อสรุปที่ได้รับโดยใช้อุปนัยและอุปมาอุปไมยที่ไม่สมบูรณ์จะต้องได้รับการพิสูจน์หรือหักล้าง ในทางกลับกัน การหักลบไม่ได้เกิดขึ้นตั้งแต่เริ่มต้น แต่เป็นผลจากการศึกษาเชิงอุปนัยเบื้องต้นของเนื้อหา

การให้เหตุผลแบบนิรนัยทำให้สามารถได้รับความจริงใหม่จากความรู้ที่มีอยู่ และยิ่งกว่านั้น ด้วยการใช้เหตุผลโดยไม่ต้องอาศัยประสบการณ์ สัญชาตญาณ ฯลฯ

เราพบว่าการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์เป็นลูกโซ่ของการอนุมานแบบนิรนัยที่ดำเนินการตามกฎบางอย่าง เราได้ทำความคุ้นเคยกับสิ่งที่ง่ายที่สุด: กฎของการสรุป, กฎของการปฏิเสธ, กฎของการอ้างเหตุผล เราได้เรียนรู้ว่าคุณสามารถตรวจสอบความถูกต้องของการอนุมานได้โดยใช้วงกลมออยเลอร์

ปัญหาข้อความและกระบวนการแก้ปัญหา

การบรรยายครั้งที่ 11

1. โครงสร้างของโจทย์ปัญหา

2. วิธีการและวิธีแก้ปัญหาคำ

3. ขั้นตอนของการแก้ปัญหาและวิธีการดำเนินการ

ยกเว้น แนวคิดที่แตกต่างกันข้อเสนอแนะหลักฐานในการใดๆ หลักสูตรคณิตศาสตร์มีงาน ในการสอนคณิตศาสตร์ เด็กนักเรียนมัธยมต้นสิ่งที่เรียกว่าเลขคณิต ข้อความ และพล็อตจะมีอำนาจเหนือกว่า งานเหล่านี้จัดทำขึ้นในภาษาธรรมชาติ (เรียกว่า ข้อความ):พวกเขามักจะอธิบายด้านปริมาณของปรากฏการณ์เหตุการณ์บางอย่าง (ดังนั้นจึงมักเรียกว่า เลขคณิตหรือ พล็อต);เป็นงานที่ต้องค้นหาสิ่งที่ต้องการและลดการคำนวณ ค่าที่ไม่รู้จักในระดับหนึ่ง (ซึ่งเป็นสาเหตุที่บางครั้งเรียกว่า คอมพิวเตอร์).

ในคู่มือนี้ เราจะใช้คำว่า "ปัญหาข้อความ" เนื่องจากมักใช้ในวิธีการสอนคณิตศาสตร์ให้กับนักเรียนที่อายุน้อยกว่า

แก้ปัญหาข้อความด้วย การศึกษาระดับประถมศึกษาให้ความสนใจเป็นอย่างมาก นี่คือความจริงที่ว่างานดังกล่าวมักจะไม่ได้เป็นเพียงวิธีการสร้างจำนวนมาก แนวคิดทางคณิตศาสตร์แต่ที่สำคัญที่สุด - วิธีการพัฒนาทักษะในการสร้าง แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ปรากฏการณ์จริงตลอดจนวิธีการพัฒนาความคิดของเด็ก

มีหลากหลาย แนวทางระเบียบวิธีเพื่อสอนให้เด็กแก้ปัญหาคำศัพท์ แต่ไม่ว่าครูจะเลือกวิธีการสอนแบบใด เขาจำเป็นต้องรู้ว่างานดังกล่าวถูกจัดไว้อย่างไรและสามารถแก้ไขได้ วิธีการต่างๆและวิธีการ

โครงสร้างของงานข้อความ

ดังกล่าวข้างต้นแต่อย่างใด งานข้อความเป็นคำอธิบายของปรากฏการณ์ (สถานการณ์ กระบวนการ) จากมุมมองนี้ งานข้อความคือแบบจำลองทางวาจาของปรากฏการณ์ (สถานการณ์ กระบวนการ) และเช่นเดียวกับในแบบจำลองใดๆ งานข้อความไม่ได้อธิบายปรากฏการณ์ทั้งหมดโดยรวม แต่มีเพียงบางแง่มุมเท่านั้น โดยส่วนใหญ่เป็นลักษณะเชิงปริมาณ ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณาปัญหาต่อไปนี้: “รถออกจากจุด A ด้วยความเร็ว 60 กม./ชม. ผ่านไป 2 ชั่วโมง รถคันที่ 2 ตามมาด้วยความเร็ว 90 กม./ชม. รถคันที่สองจะแซงคันแรกเป็นระยะทางเท่าใดจาก A

โจทย์อธิบายการเคลื่อนที่ของรถสองคัน อย่างที่ทราบกันดีว่า การเคลื่อนไหวใดๆ นั้นถูกกำหนดด้วยปริมาณ 3 อย่าง ได้แก่ ระยะทางที่เดินทาง ความเร็ว และเวลาของการเคลื่อนที่ ในปัญหานี้ทราบความเร็วของรถคันแรกและคันที่สอง (60 กม. / ชม. และ 90 กม. / ชม.) เป็นที่ทราบกันดีว่าพวกเขาเดินทางในระยะทางเท่ากันจากจุด A ไปยังจุดนัดพบ ลักษณะเชิงปริมาณซึ่งต้องหาให้ได้ นอกจากนี้ยังทราบว่ารถคันแรกอยู่บนถนนนานกว่าคันที่สอง 2 ชั่วโมง

โดยสรุป เราสามารถพูดได้ว่างานข้อความเป็นคำอธิบาย ภาษาธรรมชาติปรากฏการณ์บางอย่าง (สถานการณ์ กระบวนการ) ที่มีความต้องการในการให้คำอธิบายเชิงปริมาณขององค์ประกอบใดๆ ของปรากฏการณ์นี้ เพื่อสร้างการมีอยู่หรือไม่มีความสัมพันธ์บางอย่างระหว่างองค์ประกอบ หรือเพื่อกำหนดประเภทของความสัมพันธ์นี้

พิจารณาปัญหาอื่นจาก หลักสูตรเริ่มต้นนักคณิตศาสตร์: “เสื้อกันหนาว หมวก และผ้าพันคอถักจากขนแกะ 1 กิโลกรัมหนัก 200 กรัม ผ้าพันคอต้องใช้ขนแกะมากกว่าหมวก 100 กรัม และน้อยกว่าเสื้อกันหนาว 400 กรัม แต่ละรายการใช้ผ้าขนสัตว์เท่าไร?

ในงาน เรากำลังพูดถึงเกี่ยวกับการใช้ขนสัตว์กับเสื้อกันหนาว หมวก และผ้าพันคอ เกี่ยวกับวัตถุเหล่านี้มีแน่นอน งบและ ความต้องการ.

ข้อความ:

1. เสื้อกันหนาว หมวก และผ้าพันคอถักจากขนแกะ 1,200 กรัม

2. เราใช้จ่ายกับผ้าพันคอมากกว่าหมวก 100 กรัม

3. ใช้ผ้าพันคอน้อยกว่าเสื้อกันหนาว 400 กรัม

ความต้องการ:

1. คุณใช้ผ้าขนสัตว์เท่าใดในการทำเสื้อกันหนาว?

2. คุณใช้ผ้าขนสัตว์เท่าไรในการทำหมวก?

3. คุณใช้ขนแกะมากแค่ไหนในการทำผ้าพันคอ?

เรียกว่าคำสั่งงาน เงื่อนไข(หรือเงื่อนไขเช่นเดียวกับในโรงเรียนประถม) ในงาน มักจะไม่มีเงื่อนไขเดียว แต่มีเงื่อนไขพื้นฐานหลายเงื่อนไข พวกเขาแสดงลักษณะเชิงปริมาณหรือเชิงคุณภาพของวัตถุของงานและความสัมพันธ์ระหว่างพวกเขา อาจมีข้อกำหนดหลายอย่างในงานหนึ่งๆ พวกเขาสามารถกำหนดได้ทั้งในคำถามและ แบบฟอร์มยืนยัน. เงื่อนไขและข้อกำหนดมีความเชื่อมโยงกัน

ระบบของเงื่อนไขและข้อกำหนดที่สัมพันธ์กันเรียกว่าแบบจำลองเชิงประพจน์ของงาน

ดังนั้นเพื่อให้เข้าใจว่าโครงสร้างของงานคืออะไรจึงจำเป็นต้องระบุเงื่อนไขและข้อกำหนดโดยละทิ้งทุกสิ่งที่ไม่จำเป็นรองซึ่งไม่ส่งผลกระทบต่อโครงสร้างของงาน กล่าวอีกนัยหนึ่ง จำเป็นต้องสร้างแบบจำลองเชิงประพจน์ของปัญหา

ในการรับแบบจำลองนี้จำเป็นต้องขยายข้อความของงาน (สามารถทำได้เป็นลายลักษณ์อักษรหรือด้วยปากเปล่า) เนื่องจากข้อความของงานตามกฎแล้วจะได้รับในรูปแบบย่อและยุบ ในการทำเช่นนี้ คุณสามารถเรียบเรียงปัญหาใหม่ สร้างมันขึ้นมาใหม่ โมเดลกราฟิกแนะนำการกำหนดบางอย่าง ฯลฯ

นอกจากนี้ยังสามารถแยกเงื่อนไขของปัญหาได้ด้วยความลึกที่แตกต่างกัน ความลึกของการวิเคราะห์เงื่อนไขและข้อกำหนดของปัญหานั้นขึ้นอยู่กับว่าเราคุ้นเคยกับประเภทของปัญหาที่เป็นปัญหานั้นหรือไม่ และเรารู้วิธีแก้ปัญหาดังกล่าวหรือไม่

ตัวอย่างที่ 1 กำหนดเงื่อนไขและข้อกำหนดของงาน:

เด็กผู้หญิงสองคนวิ่งเข้าหากันไปตามลู่วิ่งกีฬาซึ่งมีความยาว 420 ม. เมื่อพวกเขาพบกันคนแรกวิ่งมากกว่าคนที่สอง 60 ม. ผู้หญิงแต่ละคนวิ่งเร็วแค่ไหนหากพบกันหลังจาก 30 วินาที?

ปัญหาเกี่ยวกับการเคลื่อนไหวของสองสาวเข้าหากัน อย่างที่ทราบกันดีว่า การเคลื่อนที่มีสามปริมาณ ได้แก่ ระยะทาง ความเร็ว และเวลา

เงื่อนไขของปัญหา:

1. เด็กผู้หญิงสองคนวิ่งเข้าหากัน

2. พวกเขาเริ่มเคลื่อนไหวในเวลาเดียวกัน

3. วิ่งระยะทาง 420 ม.

4. ผู้หญิงคนหนึ่งวิ่งมากกว่าอีก 60 เมตร

5. สาว ๆ พบกันหลังจาก 30 วินาที

6. ความเร็วในการเคลื่อนที่ของเด็กผู้หญิงคนหนึ่งมากกว่าความเร็วในการเคลื่อนที่
อื่น.

ข้อกำหนดของงาน:

1. เด็กหญิงคนที่ 1 วิ่งเร็วแค่ไหน?

2. สาวคนที่ 2 วิ่งเร็วแค่ไหน?

ในส่วนที่เกี่ยวข้องกับเงื่อนไขและข้อกำหนด ได้แก่

ก) งานบางอย่าง -พวกเขามีเงื่อนไขที่กำหนดได้มากเท่ากับ
ที่จำเป็นและเพียงพอต่อความต้องการ

ข) งานที่ไม่แน่นอน -ในนั้นเงื่อนไขไม่เพียงพอที่จะรับคำตอบ

ใน) กำหนดภารกิจใหม่ -พวกเขามีเงื่อนไขพิเศษ

ที่ โรงเรียนประถมงานที่ไม่ได้กำหนดไว้จะถือว่าเป็นงานที่มีข้อมูลขาดหายไป และงานที่กำหนดไว้เกินจะถือว่าเป็นงานที่มีข้อมูลซ้ำซ้อน

ตัวอย่างเช่น งาน “มีต้นแอปเปิ้ล 5 ต้น เชอร์รี่ 2 ต้น และต้นเบิร์ช 3 ต้นใกล้บ้าน มีผลไม้กี่ต้นใกล้บ้าน? ถูกแทนที่เนื่องจากมีเงื่อนไขพิเศษ

งาน “เก้าอี้ 12 ตัวแรกถูกนำออกจากห้องโถง จากนั้นอีก 5 ตัว เหลือเก้าอี้ในห้องโถงกี่ตัว” ไม่ชัดเจน - มีเงื่อนไขไม่เพียงพอที่จะตอบคำถามที่ตั้งไว้

ให้เราอธิบายความหมายของคำว่า "การแก้ปัญหา" มันเกิดขึ้นที่คำนี้หมายถึง แนวคิดที่แตกต่างกัน:

1) ผลลัพธ์เรียกว่าการแก้ปัญหานั่นคือ ตอบสนองความต้องการ
งาน;

2) กระบวนการค้นหาผลลัพธ์นี้เรียกว่าวิธีแก้ปัญหาและกระบวนการนี้พิจารณาได้สองวิธี: ทั้งสองวิธีเป็นวิธีการค้นหาผลลัพธ์ (เช่นพวกเขาพูดถึงการแก้ปัญหาด้วยวิธีเลขคณิต) และเป็น ลำดับของการกระทำเหล่านั้นที่ตัวแก้ปัญหาดำเนินการโดยใช้วิธีใดวิธีหนึ่ง (เช่น . ใน กรณีนี้ภายใต้
การแก้ปัญหาเป็นที่เข้าใจกันว่าเป็นกิจกรรมทั้งหมดของบุคคลที่แก้ปัญหา)

การออกกำลังกาย

1. ในงานต่อไปนี้ เน้นเงื่อนไขและข้อกำหนด:

ก) รถบัสสองคันออกเดินทางพร้อมกันจากเมืองไปยังหมู่บ้านระยะทาง 72 กม. รถบัสคันแรกมาถึงหมู่บ้านเร็วกว่าคันที่สอง 15 นาที ความเร็วของรถบัสแต่ละคันคือเท่าใดหากความเร็วของหนึ่งในนั้นมากกว่าความเร็วของอีกอันหนึ่ง 4 กม. / ชม.

b) ผลรวมของตัวเลขสองตัวคือ 199 จงหาตัวเลขเหล่านี้หากตัวใดตัวหนึ่งมากกว่าอีกตัว 61

2. กำหนดงานจากแบบฝึกหัดที่ 1 ในลักษณะที่ประโยคที่มีข้อกำหนดไม่มีเงื่อนไข

3. ในโจทย์จากแบบฝึกหัด1 แบบฟอร์มที่จำเป็นแทนที่ข้อกำหนดด้วยคำถามเชิงคำถาม คำถามเชิงคำถามด้วยคำถามบังคับ

4. แก้ปัญหาจากแบบฝึกหัด I.

5. กำหนดเงื่อนไขของปัญหา: "เรารวบรวมแตงกวา 42 กก. และแตงกวาเค็ม 5/7"

จากรายการด้านล่าง เลือกข้อกำหนดสำหรับเงื่อนไขนี้และแก้ไขปัญหาที่เกิดขึ้น:

ก) เหลือแตงกวาที่ไม่ใส่เกลือกี่กิโลกรัม?

b) เหลือมะเขือเทศที่ไม่ใส่เกลือกี่กิโลกรัม?

c) อันไหนใหญ่กว่ากัน - มวลของแตงกวาที่ใส่เกลือหรือมวลของแตงกวาที่ยังไม่ใส่เกลือ?

6. กำหนดข้อกำหนดที่เป็นไปได้สำหรับเงื่อนไขของปัญหา:

ก) เราซื้อผ้า 12 เมตร และใช้ผ้าหนึ่งในสามไปกับชุด

b) คนเดินถนนออกจากหมู่บ้าน และหลังจากนั้น 2 ชั่วโมง คนขี่จักรยานก็ออกจากหมู่บ้านไป ความเร็วของนักปั่นจักรยานคือ 10 กม./ชม. และความเร็วของคนเดินเท้าคือ 5 กม./ชม.

7. ข้อมูลใดที่จำเป็นต่อการตอบสนองข้อกำหนดต่อไปนี้
งาน:

ก) ส่วนใดของบทเรียนที่ใช้ในการแก้ปัญหา?

b) มีกี่ชุดที่ทำจากผ้าที่ซื้อมา?

ค) หาเส้นรอบรูปของสี่เหลี่ยมผืนผ้า

8. นักเรียนได้รับภารกิจ “นักปั่นขี่ 2 ชั่วโมงกับ
ความเร็วบางอย่าง หลังจากที่เขาเดินทาง 60 กม. เหมือนกัน
ความเร็วเส้นทางจะเท่ากับ 48 กม. คุณขับรถด้วยความเร็วเท่าไหร่
นักปั่น?” เขาแก้ดังนี้

1)60-48= 12 (กม.)

2) 12:2 = 6 (กม./ชม.)

ตอบ: 6 กม./ชม. คือความเร็วของนักปั่น

คุณเห็นด้วยกับวิธีแก้ปัญหานี้หรือไม่?

9. คุณสามารถตอบคำถามต่อไปนี้ได้หรือไม่:

ก) จ่าย 60,000 รูเบิลสำหรับผ้า 3 เมตร ครั้งที่สองซื้อผ้า6ม. ซื้อผ้าครั้งที่ 2 เสียเงินไปเท่าไหร่?

b) ผู้ขับขี่รถจักรยานยนต์สองคนกำลังขับเข้าหากัน ความเร็วของหนึ่งในนั้นคือ 62 กม. / ชม. และอีกอันคือ 54 กม. / ชม. จะเจอมอไซค์ภายในกี่ชม.

หากไม่สามารถตอบความต้องการของปัญหาได้ ให้เสริมเงื่อนไขและแก้ปัญหา

10. มีงานใดๆ ที่มีข้อมูลเพิ่มเติมดังต่อไปนี้หรือไม่:

ก) ปริมาตรของห้องคือ 72 m³ ความสูงของห้องคือ 3 ม. ค้นหาพื้นที่พื้นของห้องหากความยาว 6 ม.

5) จัดสรรพื้นที่ 300 ไร่ เพื่อปลูกป่า Du6s ปลูกบน 7/10 ของแปลง และต้นสนบน 3/10 ของแปลง ต้นโอ๊กและต้นสนครอบครองพื้นที่กี่เฮกตาร์

หากงานมีข้อมูลเพิ่มเติม ให้แยกออกและแก้ไขงานนั้น

การพิสูจน์ข้อความหมายถึงการแสดงว่าข้อความนี้เป็นไปตามเหตุผลจากระบบของข้อความจริงและข้อความที่เกี่ยวข้องกัน

ดังนั้น พื้นฐานของการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์คือ วิธีนิรนัย. การพิสูจน์คือชุดของวิธีการเชิงตรรกะในการยืนยันความจริงของข้อความด้วยความช่วยเหลือจากข้อความจริงและที่เกี่ยวข้องอื่น ๆ

การพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ไม่ได้เป็นเพียงชุดของการอนุมาน แต่เป็นการอนุมานที่จัดเรียงตามลำดับที่แน่นอน

หลักฐานแยกแยะระหว่างทางตรงและทางอ้อม

หลักฐานโดยตรง.

1) บนพื้นฐานของประโยคจริงและเงื่อนไขของทฤษฎีบท การอนุมานแบบนิรนัยแบบต่อเนื่องถูกสร้างขึ้นเพื่อนำไปสู่ข้อสรุปที่แท้จริง

ตัวอย่าง. มาพิสูจน์กัน มุมแนวตั้งมีความเท่าเทียมกัน มุม 1 และ 2 อยู่ติดกัน ดังนั้น 1 + 2 = 180 o มุม 2 และ 3 อยู่ติดกัน ดังนั้น 2 + 3 = 180 o เรามี: 1 = 180 o –23 = 180 o –21 =2

2) วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ ข้อความนี้เป็นจริงสำหรับทุกคน จำนวนธรรมชาติ พีถ้า: มันใช้ได้สำหรับ พี= 1 และจากความถูกต้องของการยืนยันสำหรับธรรมชาติตามอำเภอใจใดๆ พี=เคติดตามความยุติธรรมของเขาสำหรับ พี=เค+ 1. (รายละเอียดเพิ่มเติมจะกล่าวถึงในหลักสูตรอาวุโส)

3) การเหนี่ยวนำที่สมบูรณ์ (ดูก่อนหน้า)

หลักฐานทางอ้อม

1) วิธีการโดยความขัดแย้ง ให้มันพิสูจน์ทฤษฎีบท แต่ที่. สันนิษฐานว่าข้อสรุปนั้นเป็นเท็จและเป็นผลให้เกิดการปฏิเสธ จริง. โดยแนบข้อเสนอ ถึงชุดของสถานที่จริงที่ใช้ในกระบวนการพิสูจน์ (ซึ่งมีเงื่อนไข แต่) สร้างห่วงโซ่ของการให้เหตุผลแบบนิรนัยจนกว่าจะได้คำแถลงที่ขัดแย้งกับสถานที่ใดสถานที่หนึ่ง ความขัดแย้งที่เกิดขึ้นพิสูจน์ทฤษฎีบท

ตัวอย่าง. ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกับเส้นตรงเดียวกัน แสดงว่าเส้นนั้นขนานกัน

ที่ให้ไว้: เอ็กซ์ กับ,ที่ กับ. พิสูจน์ว่า เอ็กซ์ ที่.

การพิสูจน์. ให้สาย เอ็กซ์ไม่ขนานกับเส้น ที่, เช่น. เส้นตัดกันในบางจุด แต่. ดังนั้นผ่านจุด แต่ผ่านเส้นสองเส้นที่ขนานกับเส้น กับซึ่งเป็นไปไม่ได้โดยสัจพจน์ของความเท่าเทียม

2) การพิสูจน์ตามกฎของความขัดแย้ง: แทนทฤษฎีบท แต่ที่พิสูจน์ทฤษฎีบทสมมูล
. หากเป็นจริง ทฤษฎีบทเดิมก็เป็นจริงเช่นกัน

ตัวอย่าง. ถ้า ก เอ็กซ์ 2 เป็นเลขคู่แล้ว เอ็กซ์- เลขคู่.

การพิสูจน์. ลองแกล้งทำเป็นว่า เอ็กซ์เป็นเลขคี่เช่น เอ็กซ์= 2เค+ 1เอ็กซ์ 2 = (2เค+ 1) 2 = = 4เค 2 + 4เค+ 1 = 2(2เค 2 + 2เค) + 1 เป็นเลขคี่

คำถามทดสอบ

อะไรเรียกว่าอนุมาน?

เหตุผลแบบใดที่เรียกว่านิรนัย?

ให้คำจำกัดความของการเหนี่ยวนำที่ไม่สมบูรณ์และสมบูรณ์

กำหนดอนุมานโดยการเปรียบเทียบ

เขียนแผนการให้เหตุผลแบบนิรนัยและพิสูจน์ความจริงที่เหมือนกันของสูตรที่อยู่ภายใต้กฎเหล่านี้

จะตรวจสอบความถูกต้องของข้อสรุปโดยใช้วงกลมออยเลอร์ได้อย่างไร? มีวิธีการอื่นใดอีกบ้างที่เป็นที่รู้จักในการตรวจสอบความถูกต้องของการอนุมาน

ข้อสรุปใดที่เรียกว่าลัทธิซับซ้อน?

การพิสูจน์ข้อความหมายความว่าอย่างไร

หลักฐานใดที่จำแนกตามวิธีการดำเนินการ?

อธิบายวิธีการให้เหตุผล แบบฟอร์มต่างๆหลักฐานทางตรงและทางอ้อม

วิธีการหลักใน การวิจัยทางคณิตศาสตร์เป็นเครื่องพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ - การให้เหตุผลเชิงตรรกะอย่างเข้มงวด โดยอาศัยความจำเป็นตามวัตถุประสงค์ ชี้ให้เห็นถึงสมาชิกที่สอดคล้องกันของ Russian Academy of Sciences L.D. Kudryavtsev Kudryavtsev L.D. - คณิตศาสตร์สมัยใหม่และการสอนของมอสโก, Nauka, 1985, เหตุผลเชิงตรรกะ (ซึ่งโดยธรรมชาติแล้วหากถูกต้องก็เข้มงวดเช่นกัน) เป็นวิธีการทางคณิตศาสตร์ คณิตศาสตร์ไม่สามารถคิดได้หากไม่มีพวกเขา ควรสังเกตว่าการคิดทางคณิตศาสตร์ไม่ได้จำกัดอยู่แค่การใช้เหตุผลเชิงตรรกะเท่านั้น สำหรับ การตั้งค่าที่ถูกต้องงาน, เพื่อประเมินข้อมูล, เพื่อเน้นสิ่งที่จำเป็นและเพื่อเลือกวิธีการในการแก้ปัญหา, จำเป็นต้องมีสัญชาตญาณทางคณิตศาสตร์ด้วย, ซึ่งช่วยให้สามารถคาดการณ์ผลลัพธ์ที่ต้องการก่อนที่จะได้รับ, เพื่อร่างเส้นทางของการวิจัยด้วยความช่วยเหลือของ การให้เหตุผลอย่างมีเหตุผล แต่ความถูกต้องของข้อเท็จจริงภายใต้การพิจารณาไม่ได้พิสูจน์โดยการตรวจสอบจากตัวอย่างหลายๆ ตัวอย่าง ไม่ใช่โดยการทดลองหลายๆ ครั้ง (ซึ่งโดยตัวมันเองมีบทบาทสำคัญในการวิจัยทางคณิตศาสตร์) แต่ในทางที่เป็นเหตุเป็นผลอย่างแท้จริง อ้างอิงจาก กฎของตรรกะที่เป็นทางการ

เชื่อกันว่าการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์คือความจริงสูงสุด การตัดสินใจที่อยู่บนพื้นฐานตรรกะล้วน ๆ ย่อมไม่ผิด แต่ด้วยการพัฒนาของวิทยาศาสตร์และภารกิจก่อนที่นักคณิตศาสตร์จะมีความซับซ้อนมากขึ้นเรื่อยๆ

“เราได้เข้าสู่ยุคที่ เครื่องมือทางคณิตศาสตร์กลายเป็นเรื่องที่ซับซ้อนและยุ่งยากจนไม่สามารถบอกได้ว่าปัญหาที่พบนั้นจริงหรือไม่ในแวบแรกอีกต่อไป” Keith Devlin จากมหาวิทยาลัยสแตนฟอร์ดในแคลิฟอร์เนีย สหรัฐอเมริกา กล่าว เขายกตัวอย่าง "การจำแนกกลุ่มจำกัดอย่างง่าย" ซึ่งถูกกำหนดขึ้นในปี 1980 แต่ยังไม่มีการพิสูจน์ที่แน่ชัดอย่างสมบูรณ์ เป็นไปได้มากว่าทฤษฎีบทนั้นเป็นจริง แต่เป็นไปไม่ได้ที่จะพูดอย่างแน่นอนเกี่ยวกับเรื่องนี้

ไม่สามารถเรียกโซลูชันคอมพิวเตอร์ที่แน่นอนได้เนื่องจากการคำนวณดังกล่าวมีข้อผิดพลาดอยู่เสมอ ในปี 1998 Hales ได้เสนอวิธีแก้ปัญหาโดยใช้คอมพิวเตอร์ช่วยสำหรับทฤษฎีบทของ Kepler ซึ่งกำหนดขึ้นในปี 1611 ทฤษฎีบทนี้อธิบายถึงการบรรจุลูกบอลที่หนาแน่นที่สุดในอวกาศ หลักฐานถูกนำเสนอใน 300 หน้าและมีรหัสเครื่อง 40,000 บรรทัด ผู้ตรวจสอบ 12 คนตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาเป็นเวลาหนึ่งปี แต่พวกเขาไม่เคยได้รับความมั่นใจ 100% ในความถูกต้องของการพิสูจน์ และการศึกษาถูกส่งไปเพื่อแก้ไข เป็นผลให้มีการเผยแพร่หลังจากสี่ปีเท่านั้นและไม่มีการรับรองจากผู้ตรวจสอบ

การคำนวณล่าสุดทั้งหมดสำหรับ งานที่ใช้ถูกสร้างขึ้นบนคอมพิวเตอร์ แต่นักวิทยาศาสตร์เชื่อว่าเพื่อความน่าเชื่อถือที่มากขึ้น การคำนวณทางคณิตศาสตร์ควรนำเสนอโดยไม่มีข้อผิดพลาด

ทฤษฎีการพิสูจน์ได้รับการพัฒนาในตรรกะและรวมถึงสามประการ ส่วนประกอบโครงสร้าง: วิทยานิพนธ์ (สิ่งที่ควรได้รับการพิสูจน์) ข้อโต้แย้ง (ชุดของข้อเท็จจริง แนวคิดที่ยอมรับโดยทั่วไป กฎหมาย ฯลฯ ของวิทยาศาสตร์ที่เกี่ยวข้อง) และการสาธิต (ขั้นตอนสำหรับการนำหลักฐานไปใช้เอง ห่วงโซ่การอนุมานตามลำดับเมื่อ นการอนุมานกลายเป็นหนึ่งในสถานที่ n+1อนุมาน). มีความแตกต่างของกฎการพิสูจน์ มีการระบุข้อผิดพลาดเชิงตรรกะที่เป็นไปได้

การพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์มีความเหมือนกันมากกับหลักการที่กำหนดขึ้นโดยตรรกะทางการ นอกจากนี้, กฎทางคณิตศาสตร์เห็นได้ชัดว่าการให้เหตุผลและการดำเนินการทำหน้าที่เป็นรากฐานอย่างหนึ่งในการพัฒนาขั้นตอนการพิสูจน์ทางตรรกศาสตร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งนักวิจัยในประวัติศาสตร์การก่อตัวของตรรกะอย่างเป็นทางการเชื่อว่าครั้งหนึ่งเมื่ออริสโตเติลทำตามขั้นตอนแรกเพื่อสร้างกฎและกฎของตรรกะเขาหันไปหาคณิตศาสตร์และการปฏิบัติกิจกรรมทางกฎหมาย ในแหล่งข้อมูลเหล่านี้ เขาพบเนื้อหาสำหรับการสร้างเชิงตรรกะของทฤษฎีที่คิดขึ้น

ในศตวรรษที่ 20 แนวคิดเรื่องการพิสูจน์ได้สูญเสียความหมายที่เคร่งครัดซึ่งเกิดขึ้นจากการค้นพบ ความขัดแย้งเชิงตรรกะซ่อนอยู่ในทฤษฎีเซต และโดยเฉพาะอย่างยิ่งที่เกี่ยวข้องกับผลลัพธ์ที่ทฤษฎีบทของ K. Gödel เกี่ยวกับความไม่สมบูรณ์ของการทำให้เป็นรูปเป็นร่างนำมา

ประการแรกสิ่งนี้ส่งผลต่อคณิตศาสตร์ซึ่งเชื่อกันว่าคำว่า "พิสูจน์" ไม่มี คำจำกัดความที่แน่นอน. แต่ถ้าความคิดเห็นดังกล่าว (ซึ่งยังคงมีอยู่ในปัจจุบัน) ส่งผลกระทบต่อคณิตศาสตร์เอง พวกเขาก็ได้ข้อสรุปว่าควรยอมรับการพิสูจน์ไม่ใช่ในตรรกะ-คณิตศาสตร์ แต่อยู่ใน ความรู้สึกทางจิตวิทยา. ยิ่งกว่านั้น มุมมองที่คล้ายกันนี้พบในตัวอริสโตเติลเอง ผู้ซึ่งเชื่อว่าการพิสูจน์หมายถึงการใช้เหตุผลที่จะทำให้เราโน้มน้าวใจเราในระดับที่ทำให้เราโน้มน้าวใจผู้อื่นถึงความถูกต้องของบางสิ่ง เฉดสีที่แน่นอน วิธีการทางจิตวิทยาเราพบใน A.E. Yesenin-Volpin เขาต่อต้านการยอมรับความจริงโดยไม่มีข้อพิสูจน์อย่างรุนแรง โดยเชื่อมโยงกับความเชื่อ และเขียนเพิ่มเติมว่า Yesenin-Volpin รายงานว่าคำจำกัดความของเขายังคงต้องได้รับการชี้แจง ในขณะเดียวกัน ลักษณะของหลักฐานที่เป็น "วิธีการที่ซื่อสัตย์" ไม่ได้หักหลังการอุทธรณ์ต่อการประเมินทางศีลธรรมและจิตวิทยาหรือไม่?

ในเวลาเดียวกัน การค้นพบความขัดแย้งทางทฤษฎีเซตและการปรากฏตัวของทฤษฎีบทของโกเดลมีส่วนสนับสนุนการพัฒนาทฤษฎีการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ที่ดำเนินการโดยนักสัญชาตญาณ โดยเฉพาะแนวทางคอนสตรัคติวิสต์ และดี. ฮิลเบิร์ต

บางครั้งเชื่อกันว่าการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์มีลักษณะทั่วไปและเป็นตัวแทน ตัวเลือกที่สมบูรณ์แบบ การพิสูจน์ทางวิทยาศาสตร์. อย่างไรก็ตาม มันไม่ใช่วิธีเดียว ยังมีวิธีอื่น ๆ ที่ใช้หลักฐานและการดำเนินการตามหลักฐาน เป็นความจริงเท่านั้นที่การพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์มีความเหมือนกันอย่างมากกับการพิสูจน์ทางตรรกวิทยาที่เป็นทางการซึ่งนำมาใช้ในวิทยาศาสตร์ธรรมชาติ และการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์มีความเฉพาะเจาะจงบางอย่าง เช่นเดียวกับชุดของเทคนิค-การดำเนินการ นี่คือจุดที่เราจะหยุด ละเว้นสิ่งทั่วไปที่เกี่ยวข้องกับหลักฐานรูปแบบอื่น นั่นคือไม่ขยายขั้นตอนวิธี กฎ ข้อผิดพลาด ฯลฯ ในทุกขั้นตอน (แม้แต่หลักฐานหลัก) กระบวนการพิสูจน์

การพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์คือการให้เหตุผลที่มีหน้าที่ในการพิสูจน์ความจริง (แน่นอน ในทางคณิตศาสตร์ นั่นคือ การอนุมานได้ ความรู้สึก) ของข้อความ

ชุดของกฎที่ใช้ในการพิสูจน์ถูกสร้างขึ้นพร้อมกับการกำเนิดของโครงสร้างจริง ทฤษฎีทางคณิตศาสตร์. สิ่งนี้ได้รับการตระหนักอย่างชัดเจนและสมบูรณ์ที่สุดในเรขาคณิตของยุคลิด "หลักการ" ของเขากลายเป็นรูปแบบมาตรฐานสำหรับองค์กรเชิงสัจพจน์ของความรู้ทางคณิตศาสตร์และเป็นเวลานานสำหรับนักคณิตศาสตร์

ข้อความที่นำเสนอในรูปแบบของลำดับที่แน่นอนจะต้องรับประกันข้อสรุปซึ่งถือว่าได้รับการพิสูจน์ภายใต้กฎของการดำเนินการเชิงตรรกะ ต้องมีการเน้นย้ำว่าการให้เหตุผลบางอย่างเป็นการพิสูจน์เกี่ยวกับระบบความจริงบางระบบเท่านั้น

เมื่อระบุลักษณะการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ คุณลักษณะหลักสองประการจะแตกต่างกัน ประการแรก ความจริงที่ว่าการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ไม่รวมการอ้างอิงถึงหลักฐานเชิงประจักษ์ ขั้นตอนทั้งหมดสำหรับการยืนยันความจริงของข้อสรุปนั้นดำเนินการภายใต้กรอบของสัจพจน์ที่ยอมรับ นักวิชาการ A.D. Aleksandrov เน้นในเรื่องนี้ คุณสามารถวัดมุมของสามเหลี่ยมได้หลายพันครั้งและต้องแน่ใจว่ามุมนั้นเท่ากับ 2d แต่คณิตศาสตร์ไม่ได้พิสูจน์อะไรเลย คุณจะพิสูจน์ให้เขาเห็นถ้าคุณอนุมานข้อความข้างต้นจากสัจพจน์ ขอย้ำ ในที่นี้ คณิตศาสตร์ใกล้เคียงกับวิธีการของนักวิชาการ ซึ่งโดยพื้นฐานแล้วปฏิเสธการโต้แย้งด้วยข้อเท็จจริงที่ได้รับจากการทดลอง

ตัวอย่างเช่น เมื่อมีการค้นพบความไม่แน่นอนของกลุ่ม เมื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ การอุทธรณ์ต่อ การทดลองทางกายภาพเพราะ ประการแรก แนวคิดเรื่อง ความรู้สึกทางกายภาพและ ประการที่สอง นักคณิตศาสตร์เมื่อต้องรับมือกับสิ่งที่เป็นนามธรรม ไม่สามารถนำส่วนต่อขยายที่เป็นรูปธรรมจริงมาช่วยเหลือได้ ซึ่งวัดโดยอุปกรณ์ประสาทสัมผัสและภาพ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ความไม่เท่ากันของด้านและเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจตุรัส พิสูจน์ได้จากคุณสมบัติของจำนวนเต็มโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเกี่ยวกับความเท่ากันของกำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉาก (ตามลำดับ แนวทแยง) กับผลรวมของ สี่เหลี่ยมของขา (สองด้าน สามเหลี่ยมมุมฉาก). หรือเมื่อ Lobachevsky ต้องการการยืนยันรูปทรงเรขาคณิตของเขาโดยอ้างถึงผลลัพธ์ การสังเกตทางดาราศาสตร์จากนั้นการยืนยันนี้ดำเนินการโดยเขาในลักษณะการเก็งกำไรล้วนๆ การตีความของ Cayley-Klein และ Beltrami เกี่ยวกับเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิดยังให้ความสำคัญกับคณิตศาสตร์มากกว่าวัตถุทางกายภาพ

คุณลักษณะประการที่สองของการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์คือความเป็นนามธรรมสูงสุด ซึ่งแตกต่างจากขั้นตอนการพิสูจน์ในศาสตร์อื่นๆ และเช่นเดียวกับในกรณีของแนวคิดเกี่ยวกับวัตถุทางคณิตศาสตร์ มันไม่ได้เกี่ยวกับระดับของสิ่งที่เป็นนามธรรมเท่านั้น แต่เกี่ยวกับธรรมชาติของมันด้วย ความจริงก็คือว่า ระดับสูงการพิสูจน์มาถึงสิ่งที่เป็นนามธรรมในศาสตร์อื่นๆ เช่น ในฟิสิกส์ จักรวาลวิทยา และแน่นอนว่าในปรัชญา เนื่องจากปัญหาขั้นสุดท้ายของความเป็นและความคิดกลายเป็นประเด็นของเรื่องหลัง ในทางกลับกัน คณิตศาสตร์มีความแตกต่างจากข้อเท็จจริงที่ว่าตัวแปรทำหน้าที่ตรงนี้ ซึ่งความหมายนั้นอยู่ในนามธรรมจากคุณสมบัติเฉพาะใดๆ จำได้ว่าตามคำนิยามแล้ว ตัวแปรเป็นสัญญาณว่าในตัวมันเองไม่มีความหมายและได้มาซึ่งสิ่งหลังก็ต่อเมื่อชื่อของวัตถุบางอย่างถูกแทนที่สำหรับพวกเขา (ตัวแปรแต่ละตัว) หรือเมื่อมีการระบุคุณสมบัติและความสัมพันธ์เฉพาะ (ตัวแปรเพรดิเคต) หรือในที่สุด ในกรณีแทนที่ตัวแปรด้วยประโยคที่มีความหมาย (ตัวแปรประพจน์)

คุณลักษณะที่สังเกตกำหนดลักษณะของความเป็นนามธรรมที่รุนแรงของเครื่องหมายที่ใช้ในการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์เช่นเดียวกับข้อความซึ่งเนื่องจากการรวมตัวแปรไว้ในโครงสร้างจึงกลายเป็นข้อความ

ขั้นตอนการพิสูจน์ซึ่งกำหนดไว้ในตรรกะว่าเป็นการสาธิต ดำเนินการบนพื้นฐานของกฎการอนุมาน ซึ่งขึ้นอยู่กับการเปลี่ยนจากข้อความพิสูจน์หนึ่งไปยังอีกข้อความหนึ่ง ก่อให้เกิดห่วงโซ่การอนุมานที่สอดคล้องกัน ที่พบมากที่สุดคือกฎสองข้อ (การแทนที่และการสรุปผล) และทฤษฎีบทการนิรนัย

กฎการเปลี่ยนตัว ในวิชาคณิตศาสตร์ การแทนที่หมายถึงการแทนที่ขององค์ประกอบแต่ละตัว ก ชุดที่กำหนดองค์ประกอบอื่นของ F ( ก) จากชุดเดียวกัน ที่ ตรรกะทางคณิตศาสตร์กฎการเปลี่ยนตัวกำหนดไว้ดังนี้ ถ้าสูตรจริง มในแคลคูลัสเชิงประพจน์ประกอบด้วยตัวอักษรพูด กจากนั้นแทนที่ด้วยตัวอักษรตามอำเภอใจ งเราได้สูตรที่เป็นจริงเช่นเดียวกับสูตรดั้งเดิม สิ่งนี้เป็นไปได้และยอมรับได้อย่างแม่นยำเพราะในแคลคูลัสของประพจน์ นามธรรมจากความหมายของประพจน์ (สูตร)... เฉพาะค่า "จริง" หรือ "เท็จ" เท่านั้นที่จะนำมาพิจารณา ตัวอย่างเช่นในสูตร ม: ก-->(ขยู ก) ในสถานที่ กแทนนิพจน์ ( กยู ข) ดังนั้นเราจึงได้รับสูตรใหม่ ( กยู ข) -->[(ขยู( กยู ข) ].

กฎสำหรับข้อสรุปที่ได้รับสอดคล้องกับโครงสร้างของ syllogism syllogism แบบมีเงื่อนไข modus ponens (โหมดยืนยัน) ใน ตรรกะที่เป็นทางการ. ดูเหมือนว่า:

ก-->ข

ก .

ให้คำชี้แจง ( ก->ข) และยังให้ ก. ดังนั้น ข.

ตัวอย่างเช่น ถ้าฝนตก ทางเท้าก็เปียก ฝนตก ( ก) ดังนั้นทางเท้าจึงเปียก ( ข). ในตรรกะทางคณิตศาสตร์ โวหารนี้เขียนดังนี้ ( ก->ข) ก->ข.

การอนุมานถูกกำหนดตามกฎโดยแยกเป็นนัย ถ้าให้ความหมาย ( ก->ข) และก่อนหน้า ( ก) เราก็มีสิทธิที่จะเพิ่มเหตุผล (การพิสูจน์) เข้ากับผลที่ตามมาจากนัยนี้ ( ข). การอ้างเหตุผลเป็นการบีบบังคับ ประกอบขึ้นเป็นคลังวิธีการพิสูจน์แบบนิรนัย กล่าวคือ เป็นไปตามข้อกำหนดของการใช้เหตุผลทางคณิตศาสตร์อย่างแน่นอน

ทฤษฎีบทการนิรนัยมีบทบาทสำคัญในการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ - ชื่อสามัญสำหรับทฤษฎีบทจำนวนหนึ่ง ขั้นตอนซึ่งทำให้สามารถพิสูจน์ความน่าจะเป็นของความหมายได้: ก->บีเมื่อมีสูตรที่มาจากตรรกะ ขจากสูตร ก. ในเวอร์ชันทั่วไปของแคลคูลัสเชิงประพจน์ (ในคณิตศาสตร์คลาสสิก สัญชาตญาณ และประเภทอื่นๆ) ทฤษฎีบทนิรนัยระบุดังต่อไปนี้ กำหนดระบบพัสดุ G และพัสดุ กซึ่งตามกฎแล้วเราได้มา ขจี ก ข(- เครื่องหมายอนุพันธ์) จากนั้นจะตามมาว่าจากสถานที่ของ G เท่านั้นที่จะได้รับประโยค A-->B

เราได้พิจารณาประเภทซึ่งเป็นข้อพิสูจน์โดยตรง ในเวลาเดียวกัน สิ่งที่เรียกว่าหลักฐานทางอ้อมก็ถูกนำมาใช้ในตรรกะเช่นกัน มีการพิสูจน์ที่ไม่ใช่โดยตรงซึ่งปรับใช้ตามโครงร่างต่อไปนี้ ด้วยเหตุผลหลายประการ (ไม่สามารถเข้าถึงวัตถุประสงค์ของการศึกษา, การสูญเสียความเป็นจริงของการดำรงอยู่ของมัน, ฯลฯ ) โอกาสที่จะดำเนินการพิสูจน์โดยตรงของความจริงของข้อความวิทยานิพนธ์ใด ๆ พวกเขาสร้างสิ่งที่ตรงกันข้าม พวกเขาเชื่อว่าสิ่งที่ตรงกันข้ามนำไปสู่ความขัดแย้ง ดังนั้นจึงเป็นเรื่องเท็จ จากนั้นจากข้อเท็จจริงของความเท็จของสิ่งที่ตรงกันข้ามพวกเขาสร้าง - บนพื้นฐานของกฎหมายของกลางที่ถูกแยกออก ( กโวลต์ ) - ข้อสรุปเกี่ยวกับความจริงของวิทยานิพนธ์

ในวิชาคณิตศาสตร์ รูปแบบการพิสูจน์ทางอ้อมรูปแบบหนึ่งที่ใช้กันอย่างแพร่หลาย นั่นคือการพิสูจน์ด้วยความขัดแย้ง เป็นสิ่งที่มีค่าอย่างยิ่งและในความเป็นจริง ขาดไม่ได้ในการยอมรับแนวคิดพื้นฐานและบทบัญญัติของคณิตศาสตร์ ตัวอย่างเช่น แนวคิดเรื่องอนันต์จริง ซึ่งไม่สามารถนำมาใช้ในทางอื่นได้

การดำเนินการพิสูจน์ด้วยความขัดแย้งแสดงเป็นตรรกะทางคณิตศาสตร์ดังนี้ กำหนดลำดับของสูตร G และนิเสธ ก(ช, ก). ถ้าเป็นไปตามนี้ ขและการปฏิเสธของมัน ( G , A B ไม่ใช่ B) เราสามารถสรุปได้ว่าลำดับของสูตร G แสดงถึงความจริง ก. กล่าวอีกนัยหนึ่งความจริงของวิทยานิพนธ์มาจากความเท็จของสิ่งที่ตรงกันข้าม

ให้เรายกตัวอย่างการใช้การเหนี่ยวนำที่ไม่สมบูรณ์ในการทำงานกับเด็กก่อนวัยเรียน: การใช้เกม " กระเป๋ามหัศจรรย์» ด้วยปริมาตร รูปทรงเรขาคณิตเราส่งงานให้เด็ก: "รับตัวเลขและตั้งชื่อ" หลังจากพยายามหลายครั้ง เด็กก็เดาได้:

ลูกบอล. ลูกบอล. ลูกบอล. ที่นี่อาจเป็นลูกบอลทั้งหมด

ภารกิจที่ 14

เสนอเหตุผลเพิ่มเติมเพื่อตรวจสอบความจริง (หรือเท็จ) ของข้อความที่เกิดขึ้น

เป็นไปไม่ได้ที่จะประเมินค่าความสำคัญของหลักฐานในชีวิตของเราสูงเกินไปและโดยเฉพาะอย่างยิ่งในทางวิทยาศาสตร์ ทุกคนใช้หลักฐาน แต่พวกเขาไม่ได้คิดว่าการ "พิสูจน์ *" หมายความว่าอย่างไร ทักษะเชิงปฏิบัติในการพิสูจน์และแนวคิดเชิงสัญชาตญาณเกี่ยวกับมันนั้นเพียงพอสำหรับวัตถุประสงค์ในชีวิตประจำวันมากมาย แต่ไม่ใช่สำหรับทักษะทางวิทยาศาสตร์

ในการพิสูจน์ข้อความคือการแสดงว่าข้อความเชิงตรรกะนี้เป็นไปตามเหตุผลจากระบบของข้อความจริงและข้อความที่เกี่ยวข้องกัน

หลักฐานคือ การดำเนินการทางตรรกะยืนยันความจริงของข้อความด้วยความช่วยเหลือของข้อความจริงอื่น ๆ และที่เกี่ยวข้อง

มีหลักฐานสามประการ องค์ประกอบโครงสร้าง:

1) การยืนยันที่จะพิสูจน์;

2) ระบบของข้อความจริงด้วยความช่วยเหลือซึ่งความจริงของสิ่งที่กำลังพิสูจน์นั้นได้รับการยืนยัน

3) การเชื่อมต่อเชิงตรรกะระหว่างการอ้างสิทธิ์ 1 และ 2

วิธีการพิสูจน์หลักทางคณิตศาสตร์คือ การอนุมานแบบนิรนัย

โดยรูปร่างของมัน การพิสูจน์- นี่คือการอนุมานแบบนิรนัยหรือห่วงโซ่ของการอนุมานแบบนิรนัยซึ่งนำจากสถานที่จริงไปสู่ข้อความที่พิสูจน์แล้ว

ในการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ ลำดับของข้อสรุปมีความสำคัญ ตามวิธีการดำเนินการพวกเขาแยกแยะ หลักฐานทางตรงและทางอ้อมการพิสูจน์โดยตรงรวมถึงการเหนี่ยวนำที่สมบูรณ์ซึ่งได้กล่าวถึงในส่วนที่ 1.6

การเหนี่ยวนำแบบเต็ม- วิธีการพิสูจน์ความจริงของข้อความต่อจากความจริงในกรณีพิเศษทั้งหมด

การเหนี่ยวนำแบบเต็มมักใช้ในเกมกับเด็กก่อนวัยเรียน เช่น "บอกชื่อด้วยคำเดียว"

ตัวอย่าง หลักฐานโดยตรงพูดว่า "ผลรวมของมุมในรูปสี่เหลี่ยมใดๆ เท่ากับ 360°":

“พิจารณารูปสี่เหลี่ยมโดยพลการ วาดเส้นทแยงมุมเราจะได้สามเหลี่ยม 2 อัน ผลรวมของมุมของรูปสี่เหลี่ยมจะเท่ากับผลรวมของมุมของรูปสามเหลี่ยมทั้งสองรูป เนื่องจากผลรวมของมุมในรูปสามเหลี่ยมใดๆ คือ 180° ดังนั้นเมื่อบวก 180° กับ 180° เราจะได้ผลรวมของมุมในรูปสามเหลี่ยมสองรูป มันจะเป็น 360° ดังนั้น ผลรวมของมุมในรูปสี่เหลี่ยมใดๆ จะเท่ากับ 360" ซึ่งจำเป็นต้องพิสูจน์

จากหลักฐานข้างต้น สามารถแยกความแตกต่างได้ดังต่อไปนี้:

1. หากรูปเป็นรูปสี่เหลี่ยมก็สามารถวาดเส้นทแยงมุมได้ซึ่งจะแบ่งรูปสี่เหลี่ยมออกเป็น 2 รูปสามเหลี่ยม รูปนี้เป็นรูปสี่เหลี่ยม ดังนั้นจึงสามารถแบ่งออกเป็น 2 รูปสามเหลี่ยมโดยการสร้างเส้นทแยงมุม

2. ในรูปสามเหลี่ยมใด ๆ ผลรวมของมุมจะเท่ากับ ISO ตัวเลขเหล่านี้เป็นรูปสามเหลี่ยม ดังนั้น ผลรวมของมุมของแต่ละมุมคือ 180 °

3. ถ้ารูปสี่เหลี่ยมประกอบด้วยรูปสามเหลี่ยมสองรูป ผลรวมของมุมจะเท่ากับผลรวมของมุมของรูปสามเหลี่ยมเหล่านี้ รูปสี่เหลี่ยมนี้ประกอบด้วยรูปสามเหลี่ยมสองรูปโดยมีผลรวมของมุม 180° 180o+180o=360°. ดังนั้น ผลรวมของมุมในรูปสี่เหลี่ยมนี้คือ 360°

ตัวอย่างของการพิสูจน์ทางอ้อมคือการพิสูจน์ด้วยความขัดแย้ง ที่ ในกรณีนี้ให้อนุญาตข้อสรุปนั้นเป็นเท็จ ดังนั้นการปฏิเสธจึงเป็นจริง เมื่อแนบประโยคนี้เข้ากับส่วนรวมของสถานที่จริงแล้ว การให้เหตุผลจะดำเนินการจนกว่าจะได้รับความขัดแย้ง

ให้เรายกตัวอย่างการพิสูจน์โดยความขัดแย้งของทฤษฎีบท: "ถ้าสองบรรทัด ก และ ข ขนานกับเส้นที่สาม c แล้วขนานกัน":

"สมมติว่าโดยตรง ก และ ข ไม่ขนานกัน แล้วพวกมันจะตัดกันที่จุด A ซึ่งไม่อยู่ในเส้นตรง c จากนั้นเราได้สิ่งนั้นผ่านจุด A มันเป็นไปได้ที่จะลากเส้น a และ b สองเส้นขนานกับ c สิ่งนี้ขัดแย้งกับสัจพจน์ของการขนาน: "ผ่าน

8. กำหนดกฎสำหรับคำจำกัดความที่ชัดเจนผ่านประเภทและความแตกต่างเฉพาะ

9. คำจำกัดความเรียกว่าอะไร:

บริบท;

ออสเทนซีฟ?

10. คำสั่งคืออะไรและรูปแบบคำสั่งคืออะไร?

11. ประโยคประเภท "A และ B", "A หรือ B", "ไม่ใช่ A" เป็นจริงเมื่อใด และเมื่อใดเป็นเท็จ

12. ทำรายการปริมาณทั่วไปและปริมาณของการดำรงอยู่ จะกำหนดค่าความจริงของประโยคด้วยปริมาณที่แตกต่างกันได้อย่างไร?

13. เมื่อใดที่มีความสัมพันธ์ของการสืบสันตติวงศ์ระหว่างประโยค และเมื่อใดที่มีความสัมพันธ์สมมูลกัน ? พวกเขาถูกกำหนดอย่างไร?

14. การอนุมานคืออะไร? เหตุผลแบบใดที่เรียกว่านิรนัย?

15. เขียนด้วยความช่วยเหลือของสัญลักษณ์กฎของข้อสรุป, กฎของการปฏิเสธ, กฎของการอ้างเหตุผล

16. การอนุมานแบบใดเรียกว่าอุปนัยไม่สมบูรณ์ และการอนุมานแบบอุปมาอุปไมยแบบใด

17. การพิสูจน์ข้อความหมายความว่าอย่างไร

18. การพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์คืออะไร?

19. ให้คำจำกัดความของการเหนี่ยวนำที่สมบูรณ์

20. ความซับซ้อนคืออะไร?

ดังนั้น พื้นฐานของการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์คือวิธีการนิรนัย การพิสูจน์คือชุดของวิธีการเชิงตรรกะในการยืนยันความจริงของข้อความด้วยความช่วยเหลือจากข้อความจริงและที่เกี่ยวข้องอื่น ๆ

หลักฐานแยกแยะระหว่างทางตรงและทางอ้อม

หลักฐานโดยตรง.

ตัวอย่าง. เราพิสูจน์ว่ามุมแนวตั้งเท่ากัน มุม 1 และ 2 อยู่ติดกัน ดังนั้น
Ð 1 + Ð 2 \u003d 180 o มุม 2 และ 3 อยู่ติดกัน ดังนั้น Р 2 + Р 3 = 180 o เรามี: R 1 \u003d 180 o - R 2 R 3 \u003d 180 o - R 2 Þ R 1 \u003d R 2

2) วิธีการ การเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์. ข้อความนี้เป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ พีถ้า: มันใช้ได้สำหรับ พี= 1 และจากความถูกต้องของการยืนยันสำหรับธรรมชาติตามอำเภอใจใดๆ พี = เคติดตามความยุติธรรมของเขาสำหรับ พี = เค+ 1. (รายละเอียดเพิ่มเติมจะกล่าวถึงในหลักสูตรอาวุโส)

3) การเหนี่ยวนำที่สมบูรณ์ (ดูก่อนหน้า)

หลักฐานทางอ้อม

1) วิธีการโดยความขัดแย้ง ให้มันพิสูจน์ทฤษฎีบท แต่ Þ ที่. สันนิษฐานว่าข้อสรุปนั้นเป็นเท็จ ดังนั้นการปฏิเสธจึงเป็นจริง โดยเพิ่มประโยคลงในชุดของสถานที่จริงที่ใช้ในกระบวนการพิสูจน์ (ซึ่งมีเงื่อนไข แต่) สร้างห่วงโซ่ของการให้เหตุผลแบบนิรนัยจนกว่าจะได้คำแถลงที่ขัดแย้งกับสถานที่ใดสถานที่หนึ่ง ความขัดแย้งที่เกิดขึ้นพิสูจน์ทฤษฎีบท

ที่ให้ไว้: เอ็กซ์úú กับ, ที่úú กับ. พิสูจน์ว่า เอ็กซ์úú ที่.

2) การพิสูจน์ตามกฎของความขัดแย้ง: แทนทฤษฎีบท แต่ Þ ที่พิสูจน์ทฤษฎีบทที่เทียบเท่ากับมัน หากเป็นจริง ทฤษฎีบทเดิมก็เป็นจริงเช่นกัน

ตัวอย่าง. ถ้า ก เอ็กซ์ 2 เป็นเลขคู่แล้ว เอ็กซ์- เลขคู่.

การพิสูจน์. ลองแกล้งทำเป็นว่า เอ็กซ์เป็นเลขคี่เช่น เอ็กซ์ = 2เค+ 1 เอ็กซ์ 2 = (2เค + 1) 2 =
= 4เค 2 + 4เค + 1 = 2(2เค 2 + 2เค) + 1 เป็นเลขคี่

เราจะทำอย่างไรกับเนื้อหาที่ได้รับ:

หากเนื้อหานี้มีประโยชน์สำหรับคุณ คุณสามารถบันทึกลงในเพจของคุณบนโซเชียลเน็ตเวิร์ก:

หัวข้อทั้งหมดในส่วนนี้:

กฎของพีชคณิตเชิงประพจน์
1. กฎการสลับที่ A Ù B º B Ù A A Ú B º B Ú A 2. รศ

แนวคิดของชุด ตั้งค่าองค์ประกอบ ชุดเปล่า
เซตเป็นแนวคิดพื้นฐานของคณิตศาสตร์ ดังนั้นจึงไม่ได้นิยามไว้ในเงื่อนไขอื่นๆ โดยปกติแล้วชุดจะถูกเข้าใจว่าเป็นชุดของวัตถุที่รวมกันตาม พื้นดินทั่วไป. ใช่ คุณสามารถพูดได้

ความสัมพันธ์ระหว่างเซต ภาพประกอบกราฟิกของชุด
คำนิยาม. ถ้าเซต A และ B มีองค์ประกอบร่วม เช่น องค์ประกอบที่เป็นของเซต A และ B พร้อมกัน เราจะบอกว่าเซตเหล่านี้

กฎของการดำเนินการในเซต
1. กฎการสลับที่ A Ç B = B Ç A A È B = B È A 2. กฎหมายที่เกี่ยวข้อง

จำนวนองค์ประกอบของยูเนียนของเซตจำกัดสองและสามเซต
ในวิชาคณิตศาสตร์ เรามักจะต้องแก้ปัญหาที่ต้องกำหนดจำนวนองค์ประกอบในเซต หรือในยูเนียนหรือจุดตัดของเซต เรามาเห็นด้วยกับจำนวนองค์ประกอบ

สั่งคู่. ผลิตภัณฑ์คาร์ทีเซียนสองชุด
พิจารณาปัญหา: ใช้ตัวเลข 1, 2, 3 สร้างตัวเลขสองหลักที่เป็นไปได้ทั้งหมด บันทึกของตัวเลขแต่ละตัวประกอบด้วยตัวเลขสองหลัก และลำดับของตัวเลขนั้นมีนัยสำคัญ (h

การติดต่อแบบตัวต่อตัว
คำนิยาม. การแมป f ของเซต X กับเซต Y เป็นความสัมพันธ์ระหว่างเซต X และ Y ซึ่งแต่ละองค์ประกอบ

ชุดที่เท่ากัน เซตที่นับได้และนับไม่ได้
คำนิยาม. ชุด X และ Y สองชุดจะเทียบเท่าหากมีการแมปแบบหนึ่งต่อหนึ่งของชุด X กับชุด Y (แสดงเป็น: X ~ Y)

ประเภทของฟังก์ชัน
1. ฟังก์ชั่นคงที่ คำนิยาม. ฟังก์ชันเรียกว่าค่าคงที่ กำหนดโดยสูตร y = b โดยที่ b คือจำนวนจำนวนหนึ่ง

ฟังก์ชันผกผัน
ให้ฟังก์ชัน y = f(x) กำหนดการแมปแบบฉีด ชุดตัวเลข X เพื่อตั้งค่า จำนวนจริง R (เช่น ค่าต่างๆ

คุณสมบัติความสัมพันธ์
ความสัมพันธ์ที่กำหนดไว้ในเซตอาจมีคุณสมบัติหลายอย่าง ได้แก่ 1. นิยามการสะท้อนกลับ ความสัมพันธ์ R บนเซต X

ลำดับความสัมพันธ์ ชุดที่สั่ง
คำนิยาม. ความสัมพันธ์ R บนเซต X เรียกว่าความสัมพันธ์เชิงลำดับ หากความสัมพันธ์เป็นแบบสกรรมกริยาและไม่สมมาตรหรือแอนติสมมาตร คำนิยาม. เรล

ข้อความที่มีตัวบอกปริมาณและการปฏิเสธ
หากได้รับภาคแสดง เพื่อที่จะเปลี่ยนเป็นคำสั่ง ก็เพียงพอแล้วที่จะแทนที่ค่าของมันแทนตัวแปรแต่ละตัวที่รวมอยู่ในภาคแสดง ตัวอย่างเช่น ถ้าอยู่ในเซตของธรรมชาติ h

ความสัมพันธ์ของการสืบและสมมูลระหว่างประโยค. เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอ
คำแสดงกริยามักจะเกิดขึ้นในลักษณะที่ความจริงของหนึ่งในนั้นแสดงถึงความจริงของอีกสิ่งหนึ่ง ตัวอย่างเช่น เราสามารถพูดได้ว่าจากภาคแสดง A(x): "จำนวน x เป็นผลคูณของ

โครงสร้างและประเภทของทฤษฎีบท
ทฤษฎีบทคือข้อความซึ่งความจริงนั้นถูกสร้างขึ้นผ่านการให้เหตุผล (การพิสูจน์) จากมุมมองเชิงตรรกะ ทฤษฎีบทคือคำแถลงของรูปแบบ A & T

นิยามแนวคิด ข้อกำหนดสำหรับคำจำกัดความของแนวคิด
การปรากฏขึ้นในวิชาคณิตศาสตร์ของแนวคิดใหม่ และด้วยเหตุนี้คำศัพท์ใหม่ที่แสดงถึงแนวคิดเหล่านี้ จึงสันนิษฐานถึงคำจำกัดความของแนวคิดเหล่านั้น คำจำกัดความมักจะเรียกว่าประโยคที่อธิบายสาระสำคัญของสิ่งใหม่

การอนุมานและประเภทของมัน
การอนุมาน (การให้เหตุผล) เป็นวิธีการรับความรู้ใหม่จากความรู้ที่มีอยู่ การอนุมานประกอบด้วยสถานที่และข้อสรุป พัสดุอยู่ในระดับสูง

แบบแผนของการให้เหตุผลแบบนิรนัย
การอนุมานจะให้ข้อสรุปที่แท้จริงหากสถานที่นั้นเป็นจริงและปฏิบัติตามกฎของการอนุมาน หรือที่เรียกอีกอย่างว่า แบบแผนการให้เหตุผลแบบนิรนัย คำนึงถึงมากที่สุด

ตรวจสอบความถูกต้องของการอนุมาน
ในตรรกะมี วิธีต่างๆการตรวจสอบความถูกต้องของการอนุมาน หนึ่งในนั้นคือการใช้วงกลมออยเลอร์ ข้อสรุปนี้เขียนขึ้นเป็นครั้งแรกในทฤษฎีเซต