สร้างโครงร่างของพื้นผิวของพื้นผิวทรงกระบอกของการปฏิวัติ พื้นผิวรูปกรวย

ทฤษฎีบท.

ระยะทางจากจุดถึงเส้น, จุดที่กำหนดและเวกเตอร์ทิศทางสามารถพบได้โดยสูตร

แต่ ระยะห่างระหว่างสองเส้นตัดกันหาได้ตามสูตร

พื้นผิวของการปฏิวัติเรียกว่าพื้นผิว ซึ่ง ร่วมกับแต่ละจุดของมัน ประกอบด้วยวงกลมทั้งหมดที่ได้รับจากการหมุนจุดนี้รอบเส้นคงที่บางเส้น เส้นรอบที่ทำการหมุนเรียกว่า แกนหมุน. การหมุนของจุดรอบแกนเกิดขึ้นในระนาบตั้งฉากกับแกน ในส่วนของพื้นผิวของการปฏิวัติโดยระนาบตั้งฉากกับแกนของการปฏิวัติจะได้วงกลมซึ่งเรียกว่า ความคล้ายคลึงกัน. ระนาบที่ผ่านแกนของการปฏิวัติตัดกับพื้นผิวของการปฏิวัติตามเส้นที่เรียกว่า เส้นเมอริเดียน.

ทฤษฎีบท.ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม สมการ

คือ สมการพื้นผิวของการหมุนรอบแกนของเส้นตรงที่กำหนดโดยสมการ

พื้นผิวทรงกระบอกหรือ กระบอกมีการเรียกพื้นผิวซึ่งแต่ละจุดประกอบด้วยเส้นทั้งหมดที่ผ่านจุดขนานกับเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ที่กำหนด เส้นขนานกับเวกเตอร์และเป็นของพื้นผิวทรงกระบอกเรียกว่า กำเนิดพื้นผิวนี้

พื้นผิวทรงกระบอกสามารถเกิดขึ้นได้ดังนี้ อนุญาต เป็นเส้นตรงแล้วปล่อยให้เป็นเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ พื้นผิวที่เกิดจากเส้นทุกเส้น ซึ่งแต่ละเส้นผ่านบางจุดของเส้นขนานกับเวกเตอร์ จะเป็นรูปทรงกระบอก ในกรณีนี้สายจะเรียกว่า แนะนำนี่คือพื้นผิว

หากเลือกระบบพิกัดสี่เหลี่ยมเพื่อให้ตัวกำเนิดของพื้นผิวทรงกระบอกอันดับสองขนานกับแกน และตัวนำในระบบมีสมการตามบัญญัติ ดังนั้นพื้นผิวทรงกระบอกจะถูกกำหนดดังนี้

- ทรงกระบอกรูปไข่

- กระบอกไฮเปอร์โบลิก

- ทรงกระบอกพาราโบลา

-ทรงกระบอกแยกออกเป็นระนาบคู่หนึ่งตัดกันตามแกน

- กระบอกแยกออกเป็นระนาบคู่ขนาน

- ทรงกระบอก ซึ่งเป็นระนาบคู่

สมการเหล่านี้เรียกว่า สมการบัญญัติพื้นผิวทรงกระบอกที่สอดคล้องกันของลำดับที่สอง

ถ้าในสมการบัญญัติของทรงกระบอกทรงรี แนวนำของทรงกระบอกจะเป็นวงกลมที่วางอยู่ในระนาบ ในกรณีนี้ พื้นผิวคือ กระบอกหมุน.

พื้นผิวเรียวหรือ กรวยมีจุดยอดที่จุดใดจุดหนึ่ง เรียกว่า พื้นผิวที่มีคุณสมบัติที่ร่วมกับแต่ละจุดของมันนอกเหนือจากจุดหนึ่ง พื้นผิวนี้มีเส้น

เส้นที่ผ่านจุดยอดของกรวยและวางบนนั้นเรียกว่า กำเนิดกรวยนี้

พิจารณาเส้นในอวกาศและจุดที่ไม่อยู่บนเส้น พื้นผิวที่เกิดจากเส้นทุกเส้น ซึ่งแต่ละเส้นผ่านจุดหนึ่งและผ่านจุดหนึ่งของเส้น เป็นพื้นผิวทรงกรวยที่มีจุดยอด

ในกรณีนี้สายจะเรียกว่า แนะนำ.

พิจารณาพื้นผิวรูปกรวยที่มีจุดยอดที่จุดกำเนิดของระบบพิกัดสี่เหลี่ยมซึ่งไกด์เป็นวงรี:

ลองหาสมการของพื้นผิวนี้กัน ให้จุดที่แตกต่างจากจุดนั้นเป็นของกรวย จากนั้นเส้นจะตัดกับไกด์ในบางจุด เนื่องจากเวกเตอร์ทั้งสองและเป็นแบบ collinear จึงมีจำนวนจริงที่ , หรือในพิกัด:

จากนี้ไปเราจะพบว่า

แทนที่นิพจน์ที่ได้รับลงในความเท่าเทียมกันแรกหลังจากการแปลงอย่างง่ายเราพบว่า:

ดังนั้นพิกัดของจุดใดๆ ของกรวยจึงเป็นไปตามสมการนี้ สังเกตได้ง่ายด้วยว่าถ้าจุดใดจุดหนึ่งไม่อยู่ในรูปกรวย แสดงว่าพิกัดไม่เป็นไปตามสมการนี้

ดังนั้นเราจึงได้สมการของดีกรีที่สอง ดังนั้นรูปกรวยจึงถูกเรียกว่า กรวยของลำดับที่สองสมการนั้นเรียกว่า สมการบัญญัติของพื้นผิวทรงกรวยอันดับสอง.

ในกรณีที่ตัวนำของพื้นผิวรูปกรวยของลำดับที่สองเป็นวงกลม นั่นคือ เมื่อ สมการจะกลายเป็น

พื้นผิวที่กำหนดโดยสมการนี้ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมเรียกว่า พื้นผิวทรงกรวยกลมหรือ กรวยกลม

การประชุมเชิงปฏิบัติการ:

หัวข้อที่ 1:

หัวข้อที่ 2:

หัวข้อที่ 3:

หัวข้อที่ 4:

หัวข้อที่ 5:

หัวข้อที่ 6:

หัวข้อที่ 7:

หัวข้อที่ 8:

หัวข้อที่ 9:

หัวข้อ 10:

หัวข้อที่ 11

หัวข้อที่ 12.

หัวข้อที่ 13

หัวข้อ 14.

หัวข้อที่ 15.

งานอิสระของนักเรียน:

หัวข้อที่ 1:การดำเนินการไบนารีในชุด แนวคิดของกลุ่ม วงแหวน และสนาม ตัวอย่าง. ฟิลด์ของจำนวนเชิงซ้อน เลขที่ 101 - 113, 17 - 18 บ. ; ลำดับที่ 2.8, 2.10, 2.13, 2.15-2.21, 18-20 ข.

หัวข้อที่ 2:การดำเนินการกับจำนวนเชิงซ้อน รูปแบบพีชคณิตและตรีโกณมิติของจำนวนเชิงซ้อน ลำดับที่ 118 - 119, 136 - 140, 19 -20 บ., ลำดับที่ 2.22 - 2.23, 2.26 - 2.28, 2.46-2.50, 20 - 23 บ.

หัวข้อที่ 3:พีชคณิตและการทดแทน กลุ่มทดแทน การทดแทนแบบวัฏจักร เลขที่ 219 -221, 223, เลขที่ 410 / 28 - 29, 55 -56 ข. ลำดับที่ 3.2 - 3.6, 3.38 / 26 - 27, 33 ข

หัวข้อที่ 4:เมทริกซ์และการกระทำกับพวกเขา ตัวกำหนดลำดับที่สองและสาม ลำดับที่ 235 - 240, 243 - 245, 231-232 / 31-32 บ., ลำดับที่ 3.24-3.27, 3.30 (1.2) / 29-30 บ.

หัวข้อที่ 5:ดีเทอร์มิแนนต์และคุณสมบัติของมัน ผู้เยาว์และการเพิ่มพีชคณิต ตัวกำหนดลำดับที่ n หมายเลข 231–232, 266–267, 273–280, No. 374, 31, 35–37, 48 b., No. 442 / 61 b. , หมายเลข 3.30–3.31 / 30–31 ข., หมายเลข 4.24–4.28 / 44-45 ข.

หัวข้อที่ 6:เมทริกซ์ผกผันและวิธีการคำนวณ สมการเมทริกซ์ หมายเลข 400, 410–411 / 55–56 ข. , หมายเลข 3.38–3.40 / 33–34 ข.

หัวข้อที่ 7:ระบบสมการเชิงเส้น ปริภูมิเวกเตอร์ n มิติทางคณิตศาสตร์ วิธีเกาส์ กฎของแครมเมอร์ หมายเลข 443–447 / 62–64 ข. , หมายเลข 4.18–4.19, 4.64 / 41–43, 51 ข.

หัวข้อที่ 8:พหุนามในหนึ่งตัวแปร GCD ของพหุนาม รากของพหุนาม สูตรเวียต้า ทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิตและผลที่ตามมา หมายเลข 400–402 / 53–54 ข. , หมายเลข 443–447, 449/62–64 ข. ลำดับที่ 3.55-3.59, 4.18 - 4.19, 4.64 / 36-37, 41-43, 51 บ.

หัวข้อที่ 9:เวกเตอร์ พื้นฐานของปริภูมิเวกเตอร์ เลขที่ 650, 167, 173/89, 22 - 23 บ. , ลำดับที่ 11.59, 11.60, 11.65, 11.74 - 11.77, 11.81 - 11.86 / 123 - 125 บ.

หัวข้อ 10:สเกลาร์ เวกเตอร์ และผลคูณผสมของเวกเตอร์ 104, 114, 117, 118, 124, 424, 428, 445(1,3,6), 446(1,3), 454, 462, 468(1,3), 473, 487(1), 489( 1.3)

หัวข้อที่ 11เส้นตรงบนเครื่องบิน สมการประเภทต่างๆ บนระนาบ ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังเครื่องบิน การจัดเรียงกันของเส้นตรงสองเส้น 279(a, c), 282(a, c), 289(a, c), 294(a), 552, 553

หัวข้อที่ 12.เส้นโค้งของลำดับที่สอง วงรี, ไฮเปอร์โบลา, พาราโบลา ที่มาของสมการบัญญัติ 376, 379, 392, 403, 477(a, c), 479, 486, 507(a), 515, 558(1.3), 559(1.3), 564(1, 3), 567, 584 (1), 585(1), 598, 600(1).

หัวข้อที่ 13เครื่องบินในอวกาศ สมการระนาบประเภทต่างๆ ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังเครื่องบิน การจัดเรียงร่วมกันของเครื่องบินสองลำ 756, 758(a, c), 764(a, c), 765(a, c), 767(a, c), 794(a, c), 796(a, c), 798, 713, 715, 718(1), 719(1), 728(1, 3), 730(1), 733(1, 3).

หัวข้อ 14.เส้นตรงในช่องว่าง สมการประเภทต่างๆ การจัดเรียงกันของเส้นตรงสองเส้น 1058(a), 1059(a, c), 1060(a), 1066(a), 1068(a), 1113(a), 1116(a), 1122(a) , 624(1, 3), 625 (1.3), 630(1), 632, 645(1).

หัวข้อที่ 15.พื้นผิวของคำสั่งที่ 2 พื้นผิวของการปฏิวัติ พื้นผิวทรงกระบอก พื้นผิวรูปกรวย 1252, 1254(a, c), 1256, 769, 770(1), 771, 775(1).

ข้าว. 3.15

พื้นผิวของการปฏิวัติมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในทุกด้านของเทคโนโลยี พื้นผิวของการปฏิวัติคือพื้นผิวที่เกิดจากการหมุนของ generatrix . บางส่วน 1 รอบสายโทรศัพท์พื้นฐาน ผม- แกนหมุนของพื้นผิว (รูปที่ 3.15) ในการวาดภาพ พื้นผิวของการปฏิวัติถูกกำหนดโดยโครงร่าง โครงร่างของพื้นผิวคือเส้นที่จำกัดพื้นที่ของการฉายภาพ ในระหว่างการหมุน แต่ละจุดของ generatrix จะอธิบายวงกลม ซึ่งระนาบนั้นตั้งฉากกับแกน ดังนั้นเส้นตัดของพื้นผิวการปฏิวัติโดยระนาบตั้งฉากกับแกนจึงเป็นวงกลม วงกลมดังกล่าวเรียกว่าแนวขนาน (รูปที่ 3.15) เส้นขนานของรัศมีที่ใหญ่ที่สุดเรียกว่าเส้นศูนย์สูตรซึ่งเล็กที่สุด - ลำคอ ระนาบที่ผ่านแกนของพื้นผิวการปฏิวัติเรียกว่าเมอริเดียน เส้นที่ตัดกับพื้นผิวของการปฏิวัติเรียกว่าเมริเดียน เส้นเมอริเดียนที่วางอยู่บนระนาบขนานกับระนาบการฉายเรียกว่าเส้นเมอริเดียนหลัก ในการฝึกฝนการวาดภาพพื้นผิวของการปฏิวัติมักพบบ่อยที่สุด: ทรงกระบอก, ทรงกรวย, ทรงกลม, พรู

ข้าว. 3.16

พื้นผิวทรงกระบอกของการปฏิวัติ. เป็นแนวทาง เอควรจะเป็นวงกลมและเป็นเส้นตรง ข- แกน ผม(fig.3.16). จากนั้นเราจะได้เครื่องกำเนิดไฟฟ้า lขนานกับแกน ผม, หมุนรอบหลัง. หากแกนหมุนตั้งฉากกับระนาบการฉายภาพแนวนอน ให้เปิด พี 1 พื้นผิวทรงกระบอกถูกฉายเป็นวงกลม และเข้าสู่ พี 3 - ในรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เส้นเมริเดียนหลักของพื้นผิวทรงกระบอกคือเส้นตรงสองเส้นขนานกัน

รูปที่ 3.17

พื้นผิวทรงกรวยของการปฏิวัติเราได้รับโดยการหมุน generatrix เป็นเส้นตรง lรอบแกน ผม. ในเวลาเดียวกัน เครื่องกำเนิดไฟฟ้า lข้ามแกน ผมณ จุดนั้น สเรียกว่าส่วนบนของกรวย (รูปที่ 3.17) เส้นเมริเดียนหลักของพื้นผิวทรงกรวยคือเส้นตรงสองเส้นตัดกัน หากเราเอาส่วนของเส้นตรงเป็นตัวสร้าง และแกนของกรวยจะตั้งฉาก พี 1 แล้ว พี 1 พื้นผิวรูปกรวยถูกฉายเป็นวงกลม และเข้าสู่ พี 2 - ในรูปสามเหลี่ยม

พื้นผิวทรงกลมเกิดขึ้นจากการหมุนของวงกลมรอบแกนผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลมและอยู่ในระนาบของมัน (รูปที่ 3.18) เส้นศูนย์สูตรและเส้นเมอริเดียนของพื้นผิวทรงกลมเป็นวงกลมเท่ากัน ดังนั้น เมื่อฉายภาพมุมฉากบนระนาบใด ๆ พื้นผิวทรงกลมจะถูกฉายเป็นวงกลม

ข้าว. 3.18เมื่อวงกลมหมุนรอบแกนที่อยู่ในระนาบของวงกลมนี้แต่ไม่ผ่านจุดศูนย์กลาง จะเกิดพื้นผิวที่เรียกว่าทอรัส (รูปที่ 3.19)

ข้าว. 3.19

11.ปัญหาตำแหน่ง อยู่ในจุดและแนวเดียวกับทฤษฎีบทพื้นผิว MONGE ภายใต้ตำแหน่งงานมีความหมาย วิธีการแก้ปัญหาที่ช่วยให้คุณได้รับคำตอบเกี่ยวกับการเป็นสมาชิกขององค์ประกอบ (จุด) หรือชุดย่อย (เส้น) ไปยังชุด (พื้นผิว) งานตำแหน่งยังรวมถึงงานสำหรับกำหนดองค์ประกอบทั่วไปที่เป็นของรูปทรงเรขาคณิตต่างๆ สามารถจัดกลุ่มงานกลุ่มแรกภายใต้ชื่อทั่วไปของงานเพื่อเป็นเจ้าของได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งสิ่งเหล่านี้รวมถึงงานในการกำหนด: 1) เป็นของจุดของเส้นตรง 2) เป็นของจุดบนพื้นผิว 3) เป็นของเส้นของพื้นผิว กลุ่มที่สองรวมถึงงานสำหรับทางแยก กลุ่มนี้ยังประกอบด้วยงานสามประเภท: 1) สำหรับจุดตัดของเส้นที่มีเส้น 2) สำหรับจุดตัดของพื้นผิวที่มีพื้นผิว 3) สำหรับจุดตัดของเส้นที่มีพื้นผิว ความเป็นเจ้าของจุดพื้นผิว . ตำแหน่งหลักในการแก้ปัญหาสำหรับสมาชิกภาพรุ่นนี้มีดังนี้ : จุดเป็นของพื้นผิวถ้าอยู่ในเส้นใด ๆ ของพื้นผิวนั้น. ในกรณีนี้ ควรเลือกเส้นให้เรียบง่ายที่สุดเพื่อให้สร้างการฉายภาพของเส้นดังกล่าวได้ง่ายขึ้น จากนั้นใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าการฉายภาพของจุดที่วางอยู่บนพื้นผิวจะต้องอยู่ในการฉายภาพของเส้น ของพื้นผิวนี้ที่มีชื่อเดียวกัน . ตัวอย่างวิธีแก้ปัญหานี้แสดงไว้ในรูป. มีวิธีแก้ปัญหาสองวิธีที่นี่ เนื่องจากสามารถวาดเส้นที่ง่ายที่สุดสองเส้นที่เป็นของพื้นผิวทรงกรวยได้ ในกรณีแรก เส้นตรงจะถูกวาด - กำเนิดของพื้นผิวรูปกรวย S1 เพื่อให้มันผ่านเส้นโครงใดๆ ที่กำหนดของจุด C ดังนั้นเราจึงถือว่าจุด C เป็นของกำเนิด S1 ของพื้นผิวรูปกรวย และ ดังนั้นพื้นผิวรูปกรวยนั้นเอง ในกรณีนี้ การคาดคะเนของชื่อเดียวกันของจุด C จะต้องอยู่บนเส้นโครงที่สอดคล้องกันของ generatrix นี้ อีกเส้นที่เรียบง่ายคือวงกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง 1-2 (รัศมีของวงกลมนี้วัดจากแกนของ กรวยไปยังโครงร่าง generatrix) ข้อเท็จจริงนี้ทราบจากหลักสูตรเรขาคณิตของโรงเรียน: เมื่อกรวยวงกลมตัดกันโดยระนาบขนานกับฐาน หรือตั้งฉากกับแกน จะได้วงกลมในส่วน วิธีแก้ไขปัญหาที่สองช่วยให้คุณค้นหาการฉายภาพที่ขาดหายไปของจุด C ได้จากการฉายภาพด้านหน้า ซึ่งเป็นของพื้นผิวของกรวยและประจวบกันในการวาดภาพกับแกนหมุนของกรวย โดยไม่ต้องสร้างการฉายภาพที่สาม คุณควรจำไว้เสมอว่าจุดที่วางอยู่บนพื้นผิวของกรวยนั้นมองเห็นได้หรือมองไม่เห็น (หากมองไม่เห็น การฉายภาพที่สอดคล้องกันของจุดนั้นจะอยู่ในวงเล็บ) เห็นได้ชัดว่า ในปัญหาของเรา จุด C เป็นของพื้นผิว เนื่องจากเส้นโครงของจุดอยู่ในโครงที่มีชื่อเดียวกันของเส้นที่ใช้ในการแก้ปัญหาทั้งวิธีแรกและวิธีที่สอง ความเป็นเจ้าของเส้นของพื้นผิว ตำแหน่งพื้นฐาน: เส้นเป็นของพื้นผิวถ้าจุดทั้งหมดของเส้นอยู่ในพื้นผิวที่กำหนด. ซึ่งหมายความว่าในกรณีของการเป็นเจ้าของนี้ ปัญหาของการเป็นของจุดหนึ่งบนพื้นผิวจะต้องได้รับการแก้ไขหลายครั้ง โทเรมา มอนเง: หากอธิบายพื้นผิวสองพื้นผิวของลำดับที่สองใกล้กับส่วนที่สามหรือจารึกไว้ เส้นของทางแยกของพวกมันจะแยกออกเป็นสองเส้นโค้งของลำดับที่สอง ซึ่งระนาบที่ผ่านเส้นตรงที่เชื่อมจุดตัดของวงกลม ของการสัมผัสกัน

12. ส่วนของกรวยหมุนโดยเครื่องฉาย . เมื่อข้ามพื้นผิวร่างกายโดยการฉายระนาบ การฉายหนึ่งของส่วนเกิดขึ้นพร้อมกับการฉายภาพของระนาบที่ฉาย กรวยสามารถมีรูปร่างที่แตกต่างกันห้าแบบในส่วนตัดขวาง สามเหลี่ยม- ถ้าระนาบตัดตัดกรวยผ่านจุดยอดตามเครื่องกำเนิดไฟฟ้าสองเครื่อง วงกลม- ถ้าระนาบตัดกับกรวยขนานกับฐาน (ตั้งฉากกับแกน) วงรี- ถ้าระนาบตัดกับเครื่องกำเนิดไฟฟ้าทั้งหมดในบางมุม พาราโบลา- ถ้าระนาบขนานกับเครื่องกำเนิดกรวยตัวใดตัวหนึ่ง อติพจน์- ถ้าระนาบขนานกับแกนหรือตัวกำเนิดกรวยสองตัว ส่วนของพื้นผิวโดยระนาบเป็นรูปแบนล้อมรอบด้วยเส้นปิด ทุกจุดเป็นของทั้งระนาบซีแคนต์และพื้นผิว เมื่อระนาบตัดกับรูปทรงหลายเหลี่ยมในส่วนต่างๆ จะได้รูปหลายเหลี่ยมโดยมีจุดยอดอยู่ที่ขอบของรูปทรงหลายเหลี่ยม ตัวอย่าง. สร้างเส้นโครงของเส้นตัด L ของพื้นผิวของกรวยวงกลมด้านขวา ω โดยระนาบ β วิธีการแก้. ในส่วนนี้ จะได้พาราโบลา ซึ่งจุดยอดจะฉายไปยังจุด A (A′, A′) จุด A, D, E ของเส้นตัดกันสุดขั้ว ในรูป การสร้างเส้นตัดที่ต้องการดำเนินการโดยใช้ระนาบระดับแนวนอน αi ซึ่งตัดกับพื้นผิวของกรวย ω ตามแนวขนาน рi และระนาบ β - ตามส่วนของเส้นตรงที่ฉายด้านหน้า เส้นแยก L สามารถมองเห็นได้อย่างสมบูรณ์บนเครื่องบิน

№13. พื้นผิวโคแอกเซียล วิธีการทรงกลมศูนย์กลาง

เมื่อสร้างเส้นตัดของพื้นผิว คุณลักษณะของจุดตัดของพื้นผิวโคแอกเซียลของการปฏิวัติทำให้สามารถใช้ทรงกลมโคแอกเซียลร่วมกับพื้นผิวเหล่านี้เป็นพื้นผิวตัวกลางเสริมได้ พื้นผิวโคแอกเซียลของการปฏิวัติคือพื้นผิวที่มีแกนหมุนร่วมกัน ในรูป 134 แสดงรูปทรงกระบอกโคแอกเซียลและทรงกลม (รูปที่ 134, a), โคแอกเชียลโคนและทรงกลม (รูปที่ 134, b) และทรงกระบอกโคแอกเชียลและทรงกรวย (รูปที่ 134, c)

พื้นผิวโคแอกเซียลของการปฏิวัติตัดกันเป็นวงกลมซึ่งระนาบตั้งฉากกับแกนของการปฏิวัติเสมอ มีวงกลมเหล่านี้จำนวนมากพอๆ กับพื้นผิวทั้งสอง เนื่องจากมีจุดตัดกันของเส้นเค้าร่างของพื้นผิว พื้นผิวในรูป 134 ตัดกันตามวงกลมที่สร้างขึ้นโดยจุดที่ 1 และ 2 ของจุดตัดของเส้นเมอริเดียนหลัก ทรงกลมตัวกลางเสริมตัดกันพื้นผิวที่กำหนดแต่ละส่วนตามวงกลม ที่จุดตัดกันซึ่งได้จุดที่เป็นของอีกพื้นผิวหนึ่ง และด้วยเหตุนี้เส้นของทางแยก หากแกนของพื้นผิวตัดกัน ทรงกลมเสริมจะถูกดึงจากจุดศูนย์กลางหนึ่ง - จุดตัดของแกน ในกรณีนี้ เส้นตัดของพื้นผิวถูกสร้างขึ้นโดยใช้วิธีการทรงกลมที่มีศูนย์กลางเสริม เมื่อสร้างเส้นตัดของพื้นผิวเพื่อใช้วิธีการทรงกลมเสริมศูนย์กลางต้องเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้: 1) จุดตัดของพื้นผิวของการปฏิวัติ 2) แกนของพื้นผิว - เส้นตัดกัน - ขนานกับหนึ่งในนั้น ระนาบการฉายภาพนั่นคือ มีระนาบสมมาตรทั่วไป 3) วิธีนี้ไม่สามารถใช้ระนาบการตัดเสริมได้เนื่องจากพวกมันไม่ได้ให้เส้นกราฟิกที่เรียบง่ายบนพื้นผิว โดยปกติวิธีการทรงกลมเสริมจะใช้ร่วมกับวิธีระนาบการตัดเสริม ในรูป 135 เส้นตัดของพื้นผิวรูปกรวยสองอันของการปฏิวัติที่มีแกนของการปฏิวัติตัดกันในระนาบด้านหน้าของระดับ Ф (Ф1) ถูกวาดไว้ ซึ่งหมายความว่าเส้นเมอริเดียนหลักของพื้นผิวเหล่านี้ตัดกันและให้จุดที่มองเห็นได้ของเส้นตัดที่สัมพันธ์กับระนาบ P2 หรือจุดสูงสุด A และจุดต่ำสุด B ที่จุดตัดกัน ที่จุดตัดของเส้นเมริเดียนแนวนอน h และเส้นขนาน h" ซึ่งอยู่ในระนาบซีแคนต์เสริมเดียวกัน Г(Г2) การมองเห็นจะชี้ไปที่ C และ D ของเส้นตัดที่สัมพันธ์กับระนาบ P1 ไม่แนะนำให้ใช้ ระนาบซีแคนต์เสริมเพื่อสร้างจุดเพิ่มเติมของเส้นตัด เนื่องจากระนาบขนานกับ Ф จะตัดกันพื้นผิวทั้งสองตามไฮเพอร์โบลา และระนาบขนานกับ Г จะให้ที่จุดตัดของพื้นผิวของวงกลมและไฮเพอร์โบลา ระนาบที่ลากผ่านจุดยอดของพื้นผิวด้านใดด้านหนึ่งจะตัดกันตามเครื่องกำเนิดไฟฟ้าและวงรี ในตัวอย่างนี้ เงื่อนไขที่อนุญาตให้ใช้ทรงกลมเสริมเพื่อสร้างจุดของเส้นตัดกัน แกนของพื้นผิวของการปฏิวัติตัดกันที่จุด O (O1; O2) ซึ่งเป็นศูนย์กลางของทรงกลมเสริมรัศมีของทรงกลมแตกต่างกันไปภายใน Rmin< R < Rmах- Радиус максимальной сферы определяется расстоянием от центра О наиболее удаленной точки В (Rmax = О2В2), а радиус минимальной сферы определяется как радиус сферы, касающейся одной поверхности (по окружности h2) и пересекающей другую (по окружности h3).Плоскости этих окружностей перпендикулярны осям вращения поверхностей. В пересечении этих окружностей получаем точки Е и F, принадлежащие линии пересечения поверхностей:

ชั่วโมง22 ^ h32 = E2(F2); E2E1 || A2A1; E2E1 ^ ชั่วโมง21 =E1; F2F ^ h1 = F1 ทรงกลมกลางรัศมี R ตัดกับพื้นผิวตามแนววงกลม h4 และ h5 ที่จุดตัดของจุด Mie N: h42 ^ h52 = M2(N2); M2M1 || A2A1, M2M1 ^ h41 = M1; N2N1 ^ h41 = N1 เชื่อมต่อการคาดคะเนของจุดที่สร้างขึ้นด้วยชื่อเดียวกันโดยคำนึงถึงการมองเห็นเราได้รับการคาดการณ์ของเส้นตัดของพื้นผิว

ลำดับที่ 14 การสร้างเส้นตัดของพื้นผิว หากมีอย่างน้อยหนึ่งเส้นที่ยื่นออกมา จุดเด่นของแนวแยก

ก่อนดำเนินการสร้างแนวตัดของพื้นผิวจำเป็นต้องศึกษาสภาพของปัญหาอย่างรอบคอบเช่น ซึ่งพื้นผิวตัดกัน หากพื้นผิวด้านใดด้านหนึ่งยื่นออกไป การแก้ปัญหาก็จะง่ายขึ้นเพราะ บนเส้นโครงเส้นหนึ่ง เส้นของทางแยกเกิดขึ้นพร้อมกับการฉายภาพของพื้นผิว และงานจะลดลงเพื่อค้นหาเส้นฉายที่สอง เมื่อแก้ปัญหา อันดับแรกควรสังเกตจุด "ลักษณะเฉพาะ" หรือจุด "พิเศษ" มัน:

คะแนนบนเครื่องกำเนิดไฟฟ้าสุดขั้ว

จุดที่แบ่งเส้นออกเป็นส่วนที่มองเห็นและมองไม่เห็น

· จุดบนและจุดล่าง เป็นต้น ต่อไปก็ควรเลือกวิธีที่เราจะใช้ในการสร้างเส้นตัดของพื้นผิว เราจะใช้สองวิธี: 1. ระนาบการตัดเสริม 2. ทรงกลมเสริมซีแคนต์ พื้นผิวฉายภาพรวมถึง: 1) ทรงกระบอก ถ้าแกนของมันตั้งฉากกับระนาบการฉาย 2) ปริซึม ถ้าขอบของปริซึมตั้งฉากกับระนาบการฉาย พื้นผิวที่ยื่นออกมาจะถูกฉายเป็นเส้นตรงไปยังระนาบการฉาย จุดและเส้นทั้งหมดที่เป็นของพื้นผิวด้านข้างของทรงกระบอกที่ยื่นออกมาหรือปริซึมที่ยื่นออกมาจะถูกฉายเป็นเส้นบนระนาบที่แกนของทรงกระบอกหรือขอบของปริซึมตั้งฉาก เส้นตัดของพื้นผิวเป็นของทั้งสองพื้นผิวพร้อมกัน และหากพื้นผิวใดพื้นผิวหนึ่งเหล่านี้ยื่นออกมา กฎต่อไปนี้สามารถใช้สร้างเส้นของทางแยกได้: หากพื้นผิวที่ตัดกันด้านใดด้านหนึ่งยื่นออกมา การฉายภาพของเส้นตัดอยู่ในภาพวาดในรูปแบบสำเร็จรูปและตรงกับการฉายภาพของพื้นผิวที่ยื่นออกมา (วงกลมที่ทรงกระบอกถูกฉายหรือรูปหลายเหลี่ยมที่ฉายปริซึม) การฉายภาพที่สองของเส้นทางแยกถูกสร้างขึ้นตามเงื่อนไขที่จุดของเส้นนี้อยู่ในพื้นผิวอื่นที่ไม่ฉายภาพ

คุณลักษณะที่พิจารณาแล้วของจุดลักษณะเฉพาะทำให้ง่ายต่อการตรวจสอบความถูกต้องของการสร้างเส้นตัดของพื้นผิวหากสร้างขึ้นจากจุดที่เลือกโดยพลการ ในกรณีนี้ จุดสิบจุดก็เพียงพอแล้วที่จะทำให้การฉายภาพเส้นตัดกันเป็นไปอย่างราบรื่น หากจำเป็น สามารถสร้างจุดกลางจำนวนเท่าใดก็ได้ จุดที่สร้างขึ้นนั้นเชื่อมต่อกันด้วยเส้นเรียบ โดยคำนึงถึงลักษณะเฉพาะของตำแหน่งและการมองเห็น ให้เรากำหนดกฎทั่วไปสำหรับการสร้างเส้นตัดกันของพื้นผิว: เลือกประเภทของพื้นผิวเสริม สร้างเส้นตัดของพื้นผิวเสริมด้วยพื้นผิวที่กำหนด หาจุดตัดของเส้นที่สร้างขึ้นและเชื่อมต่อเข้าด้วยกัน ระนาบการตัดเสริมถูกเลือกในลักษณะที่ได้เส้นเรขาคณิตที่เรียบง่าย (เส้นตรงหรือวงกลม) ที่จุดตัดกับพื้นผิวที่กำหนด เลือกระนาบการตัดเสริม ส่วนใหญ่มักจะเลือกระนาบที่ยื่นออกมาโดยเฉพาะระนาบระดับเป็นระนาบตัดเสริม ในกรณีนี้ จำเป็นต้องคำนึงถึงเส้นตัดที่ได้รับบนพื้นผิวอันเป็นผลมาจากจุดตัดของพื้นผิวกับระนาบ ดังนั้นรูปกรวยจึงเป็นพื้นผิวที่ซับซ้อนที่สุดในแง่ของจำนวนเส้นที่ได้รับ เฉพาะระนาบที่ผ่านด้านบนของกรวยหรือตั้งฉากกับแกนของกรวยตัดกันตามลำดับในเส้นตรงและวงกลม (เส้นเรขาคณิตที่ง่ายที่สุด) ระนาบขนานกับหนึ่งกำเนิดตัดมันตามพาราโบลา ระนาบขนานกับแกนของกรวยตัดมันตามไฮเปอร์โบลา และระนาบที่ตัดกันเครื่องกำเนิดทั้งหมดและเอียงไปที่แกนของกรวยตัดมันตามวงรี บนทรงกลม เมื่อมันถูกข้ามโดยระนาบ จะได้วงกลมเสมอ และถ้ามันถูกข้ามโดยระนาบระดับ วงกลมนี้จะถูกฉายลงบนระนาบการฉายตามลำดับ เป็นเส้นตรงและวงกลม ดังนั้น ในฐานะระนาบเสริม เราเลือกระนาบระดับแนวนอนที่ตัดทั้งกรวยและทรงกลมเป็นวงกลม (เส้นที่ง่ายที่สุด) บางกรณีพิเศษของพื้นผิวที่ตัดกันในบางกรณี ตำแหน่ง รูปร่าง หรืออัตราส่วนขนาดของพื้นผิวโค้งนั้นไม่จำเป็นต้องมีโครงสร้างที่ซับซ้อนเพื่อแสดงถึงเส้นของทางแยก สิ่งเหล่านี้รวมถึงจุดตัดของกระบอกสูบที่มีเครื่องกำเนิดแบบขนาน กรวยที่มีจุดยอดร่วม พื้นผิวโคแอกเซียลของการปฏิวัติ พื้นผิวของการปฏิวัติที่ล้อมรอบทรงกลมเดียว

ข้าว. 3.15

พื้นผิวของการปฏิวัติมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในทุกด้านของเทคโนโลยี พื้นผิวของการปฏิวัติคือพื้นผิวที่เกิดจากการหมุนของ generatrix . บางส่วน 1 รอบสายโทรศัพท์พื้นฐาน ผม- แกนหมุนของพื้นผิว (รูปที่ 3.15) ในการวาดภาพ พื้นผิวของการปฏิวัติถูกกำหนดโดยโครงร่าง โครงร่างของพื้นผิวคือเส้นที่จำกัดพื้นที่ของการฉายภาพ ในระหว่างการหมุน แต่ละจุดของ generatrix จะอธิบายวงกลม ซึ่งระนาบนั้นตั้งฉากกับแกน ดังนั้นเส้นตัดของพื้นผิวการปฏิวัติโดยระนาบตั้งฉากกับแกนจึงเป็นวงกลม วงกลมดังกล่าวเรียกว่าแนวขนาน (รูปที่ 3.15) เส้นขนานของรัศมีที่ใหญ่ที่สุดเรียกว่าเส้นศูนย์สูตรซึ่งเล็กที่สุด - ลำคอ ระนาบที่ผ่านแกนของพื้นผิวของการปฏิวัติเรียกว่าเมอริเดียน เส้นที่ตัดกับพื้นผิวของการปฏิวัติเรียกว่าเมริเดียน เส้นเมอริเดียนที่วางอยู่บนระนาบขนานกับระนาบการฉายเรียกว่าเส้นเมอริเดียนหลัก ในการฝึกฝนการวาดภาพพื้นผิวของการปฏิวัติมักพบบ่อยที่สุด: ทรงกระบอก, ทรงกรวย, ทรงกลม, พรู

ข้าว. 3.16

รูปที่ 3.17

ข้าว. 3.19

11.ปัญหาตำแหน่ง อยู่ในจุดและแนวเดียวกับทฤษฎีบทพื้นผิว MONGEภายใต้ตำแหน่งงานมีความหมาย วิธีการแก้ปัญหาที่ช่วยให้คุณได้รับคำตอบเกี่ยวกับการเป็นสมาชิกขององค์ประกอบ (จุด) หรือชุดย่อย (เส้น) ไปยังชุด (พื้นผิว) งานตำแหน่งยังรวมถึงงานสำหรับกำหนดองค์ประกอบทั่วไปที่เป็นของรูปทรงเรขาคณิตต่างๆ สามารถจัดกลุ่มงานกลุ่มแรกภายใต้ชื่อทั่วไปของงานเพื่อเป็นเจ้าของได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งสิ่งเหล่านี้รวมถึงงานในการกำหนด: 1) เป็นของจุดของเส้นตรง 2) เป็นของจุดบนพื้นผิว 3) เป็นของเส้นของพื้นผิว กลุ่มที่สองรวมถึงงานสำหรับทางแยก กลุ่มนี้ยังประกอบด้วยงานสามประเภท: 1) สำหรับจุดตัดของเส้นที่มีเส้น 2) สำหรับจุดตัดของพื้นผิวที่มีพื้นผิว 3) สำหรับจุดตัดของเส้นที่มีพื้นผิว ความเป็นเจ้าของจุดพื้นผิว . ตำแหน่งหลักในการแก้ปัญหาสำหรับสมาชิกภาพรุ่นนี้มีดังนี้ : จุดเป็นของพื้นผิวถ้าอยู่ในเส้นใด ๆ ของพื้นผิวนั้น. ในกรณีนี้ ควรเลือกเส้นให้เรียบง่ายที่สุดเพื่อให้สร้างการฉายภาพของเส้นดังกล่าวได้ง่ายขึ้น จากนั้นใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าการฉายภาพของจุดที่วางอยู่บนพื้นผิวจะต้องอยู่ในการฉายภาพของเส้น ของพื้นผิวนี้ที่มีชื่อเดียวกัน . ตัวอย่างวิธีแก้ปัญหานี้แสดงไว้ในรูป. มีวิธีแก้ปัญหาสองวิธีที่นี่ เนื่องจากสามารถวาดเส้นที่ง่ายที่สุดสองเส้นที่เป็นของพื้นผิวทรงกรวยได้ ในกรณีแรก เส้นตรงจะถูกวาด - กำเนิดของพื้นผิวรูปกรวย S1 เพื่อให้มันผ่านเส้นโครงใดๆ ที่กำหนดของจุด C ดังนั้นเราจึงถือว่าจุด C เป็นของกำเนิด S1 ของพื้นผิวรูปกรวย และ ดังนั้นพื้นผิวรูปกรวยนั้นเอง ในกรณีนี้ การคาดคะเนของชื่อเดียวกันของจุด C จะต้องอยู่บนเส้นโครงที่สอดคล้องกันของ generatrix นี้ อีกเส้นที่เรียบง่ายคือวงกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง 1-2 (รัศมีของวงกลมนี้วัดจากแกนของ กรวยไปยังโครงร่าง generatrix) ข้อเท็จจริงนี้ทราบจากหลักสูตรเรขาคณิตของโรงเรียน: เมื่อกรวยวงกลมตัดกันโดยระนาบขนานกับฐาน หรือตั้งฉากกับแกน จะได้วงกลมในส่วน วิธีแก้ไขปัญหาที่สองช่วยให้คุณค้นหาการฉายภาพที่ขาดหายไปของจุด C ได้จากการฉายภาพด้านหน้า ซึ่งเป็นของพื้นผิวของกรวยและประจวบกันในการวาดภาพกับแกนหมุนของกรวย โดยไม่ต้องสร้างการฉายภาพที่สาม คุณควรจำไว้เสมอว่าจุดที่วางอยู่บนพื้นผิวของกรวยนั้นมองเห็นได้หรือมองไม่เห็น (หากมองไม่เห็น การฉายภาพที่สอดคล้องกันของจุดนั้นจะอยู่ในวงเล็บ) เห็นได้ชัดว่า ในปัญหาของเรา จุด C เป็นของพื้นผิว เนื่องจากเส้นโครงของจุดอยู่ในโครงที่มีชื่อเดียวกันของเส้นที่ใช้ในการแก้ปัญหาทั้งวิธีแรกและวิธีที่สอง ความเป็นเจ้าของเส้นของพื้นผิว ตำแหน่งพื้นฐาน: เส้นเป็นของพื้นผิวถ้าจุดทั้งหมดของเส้นอยู่ในพื้นผิวที่กำหนด. ซึ่งหมายความว่าในกรณีของการเป็นเจ้าของนี้ ปัญหาของการเป็นของจุดหนึ่งบนพื้นผิวจะต้องได้รับการแก้ไขหลายครั้ง โทเรมา มอนเง: หากอธิบายพื้นผิวสองพื้นผิวของลำดับที่สองใกล้กับส่วนที่สามหรือจารึกไว้ เส้นของทางแยกของพวกมันจะแยกออกเป็นสองเส้นโค้งของลำดับที่สอง ซึ่งระนาบที่ผ่านเส้นตรงที่เชื่อมจุดตัดของวงกลม ของการสัมผัสกัน

12. ส่วนของกรวยหมุนโดยเครื่องฉาย.เมื่อข้ามพื้นผิวร่างกายโดยการฉายระนาบ การฉายหนึ่งของส่วนเกิดขึ้นพร้อมกับการฉายภาพของระนาบที่ฉาย กรวยสามารถมีรูปร่างที่แตกต่างกันห้าแบบในส่วนตัดขวาง สามเหลี่ยม- ถ้าระนาบตัดตัดกรวยผ่านจุดยอดตามเครื่องกำเนิดไฟฟ้าสองเครื่อง วงกลม- ถ้าระนาบตัดกับกรวยขนานกับฐาน (ตั้งฉากกับแกน) วงรี- ถ้าระนาบตัดกับเครื่องกำเนิดไฟฟ้าทั้งหมดในบางมุม พาราโบลา- ถ้าระนาบขนานกับเครื่องกำเนิดกรวยตัวใดตัวหนึ่ง อติพจน์- ถ้าระนาบขนานกับแกนหรือตัวกำเนิดกรวยสองตัว ส่วนของพื้นผิวโดยระนาบเป็นรูปแบนล้อมรอบด้วยเส้นปิด ทุกจุดเป็นของทั้งระนาบซีแคนต์และพื้นผิว เมื่อระนาบตัดกับรูปทรงหลายเหลี่ยมในส่วนต่างๆ จะได้รูปหลายเหลี่ยมโดยมีจุดยอดอยู่ที่ขอบของรูปทรงหลายเหลี่ยม ตัวอย่าง. สร้างเส้นโครงของเส้นตัด L ของพื้นผิวของกรวยวงกลมด้านขวา ω โดยระนาบ β วิธีการแก้. ในส่วนนี้ จะได้พาราโบลา ซึ่งจุดยอดจะฉายไปยังจุด A (A′, A′) จุด A, D, E ของเส้นตัดกันสุดขั้ว ในรูป การสร้างเส้นตัดที่ต้องการดำเนินการโดยใช้ระนาบระดับแนวนอน αi ซึ่งตัดกับพื้นผิวของกรวย ω ตามแนวขนาน рi และระนาบ β - ตามส่วนของเส้นตรงที่ฉายด้านหน้า เส้นแยก L สามารถมองเห็นได้อย่างสมบูรณ์บนเครื่องบิน

ลำดับที่ 13 พื้นผิวโคแอกเซียล วิธีการทรงกลมศูนย์กลาง

คะแนนบนเครื่องกำเนิดไฟฟ้าสุดขั้ว

จุดที่แบ่งเส้นออกเป็นส่วนที่มองเห็นและมองไม่เห็น

พื้นผิวของการปฏิวัติและร่างกายที่ถูก จำกัด โดยพวกเขาถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในหลาย ๆ ด้านของเทคโนโลยี: บอลลูนหลอดรังสีแคโทด (รูปที่ 8.11,ก) ศูนย์กลางของเครื่องกลึง (รูปที่ 8.11,ข) เรโซเนเตอร์ไมโครเวฟเชิงปริมาตรของการสั่นของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า (รูปที่ 8.11,ใน), ภาชนะ Dewar สำหรับเก็บอากาศเหลว (รูปที่ 8.11,ช), ตัวสะสมอิเล็กตรอนของอุปกรณ์รังสีแคโทดที่ทรงพลัง (รูปที่ 8.11, e) เป็นต้น

ขึ้นอยู่กับชนิดของกำเนิดของพื้นผิว การหมุนสามารถปกครอง ไม่เชิงเส้น หรือประกอบด้วยส่วนของพื้นผิวดังกล่าว

พื้นผิวของการปฏิวัติคือพื้นผิวที่เกิดจากการหมุนของ generatrix รอบเส้นตรงคงที่ - แกนของพื้นผิว

ในภาพวาด แกนจะแสดงด้วยเส้นประ โดยทั่วไปแล้ว generatrix สามารถมีทั้งส่วนโค้งและส่วนตรง พื้นผิวของการปฏิวัติในรูปวาดสามารถระบุได้โดยกำเนิดและตำแหน่งของแกน รูปที่ 8.12 แสดงพื้นผิวของการปฏิวัติซึ่งเกิดขึ้นจากการหมุนของ generatrix AlCD (การฉายภาพหน้าผากของเธอ a"b"c"d") รอบแกน OO 1 (ฉายด้านหน้า o "o 1" , ตั้งฉากกับระนาบน. ในระหว่างการหมุน แต่ละจุดของ generatrix จะอธิบายวงกลม ซึ่งระนาบนั้นตั้งฉากกับแกน ดังนั้น เส้นตัดของพื้นผิวการปฏิวัติโดยระนาบใดๆ ที่ตั้งฉากกับแกนจะเป็นวงกลม วงกลมดังกล่าวเรียกว่าความคล้ายคลึงกัน มุมมองด้านบน (รูปที่ 8.12) แสดงเส้นโครงของวงกลมที่อธิบายโดยคะแนน A, B, C และ D, ผ่านการประมาณการเอบีซีดี. เส้นขนานที่ใหญ่ที่สุดของเส้นขนานทั้งสองข้างที่อยู่ติดกันทั้งสองข้างเรียกว่าเส้นศูนย์สูตร, ตัวเล็กที่สุดเหมือนกันคอ.

ระนาบที่ผ่านแกนของพื้นผิวการปฏิวัติเรียกว่า meridional เส้นตัดกับพื้นผิวของการปฏิวัติ -เส้นเมอริเดียน ถ้าแกนของพื้นผิวขนานกับระนาบของการฉายภาพ เส้นเมริเดียนที่วางอยู่ในระนาบขนานกับระนาบการฉายภาพจะเรียกว่าเส้นเมอริเดียนหลักเส้นเมอริเดียนหลักถูกฉายลงบนระนาบของการฉายภาพโดยไม่มีการบิดเบือน ดังนั้น ถ้าแกนของพื้นผิวการปฏิวัติขนานกับระนาบวี จากนั้นเส้นเมอริเดียนที่สำคัญจะถูกฉายลงบนระนาบวี โดยไม่ผิดเพี้ยน เช่น การฉายภาพเป็น"f"b"c"d". ถ้าแกนของพื้นผิวการปฏิวัติตั้งฉากกับระนาบชม, จากนั้นการฉายภาพในแนวนอนของพื้นผิวจะมีโครงร่างเป็นวงกลม

สะดวกที่สุดสำหรับการแสดงภาพพื้นผิวของการปฏิวัติคือกรณีที่แกนตั้งฉากกับระนาบ H ไปยังระนาบ V หรือระนาบ W

พื้นผิวบางส่วนของการปฏิวัติเป็นกรณีพิเศษของพื้นผิวที่พิจารณาใน 8.1 เช่น ทรงกระบอกแห่งการปฏิวัติ ทรงกรวยแห่งการปฏิวัติ สำหรับทรงกระบอกและทรงกรวยแห่งการปฏิวัติ เส้นเมอริเดียนเป็นเส้นตรง พวกมันขนานกับแกนและอยู่ห่างจากมันเท่ากันสำหรับทรงกระบอกหรือตัดแกนที่จุดเดียวกันที่มุมเดียวกันกับแกนสำหรับกรวย ทรงกระบอกและกรวยแห่งการปฏิวัติเป็นพื้นผิวที่ไม่มีที่สิ้นสุดในทิศทางของเครื่องกำเนิด ดังนั้น ในภาพจึงถูกจำกัดด้วยเส้นบางเส้น เช่น เส้นตัดกันของพื้นผิวเหล่านี้ด้วยระนาบการฉายภาพหรือโดยแนวขนานใดๆ เป็นที่ทราบกันดีจากเรขาคณิตทึบว่าทรงกระบอกทรงกลมด้านขวาและกรวยทรงกลมด้านขวาล้อมรอบด้วยพื้นผิวของการปฏิวัติและระนาบตั้งฉากกับแกนของพื้นผิว เส้นเมอริเดียนของทรงกระบอกดังกล่าวเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เส้นเมอริเดียนของกรวยเป็นรูปสามเหลี่ยม

พื้นผิวของการปฏิวัติเป็นทรงกลมนั้นถูกจำกัดและสามารถแสดงได้ทั้งหมดในรูปวาด เส้นศูนย์สูตรและเส้นเมอริเดียนของทรงกลมเป็นวงกลมเท่ากัน ด้วยการฉายภาพมุมฉากบนระนาบการฉายภาพทั้งสาม โครงร่างของทรงกลมจะถูกฉายเป็นวงกลม

ธอร์. เมื่อวงกลม (หรือส่วนโค้ง) หมุนรอบแกนที่อยู่ในระนาบของวงกลมนี้ แต่ไม่ผ่านจุดศูนย์กลาง จะได้พื้นผิวที่เรียกว่าทอรัส รูปที่ 8.13 แสดง: พรูเปิดหรือวงแหวนกลม - รูปที่ 8.13,ก พรูปิด - รูปที่ 8.13ข พรูตัดกันตัวเอง - รูปที่ 8.13ค, ทอร์ (รูปที่ 8.13, ง) เรียกอีกอย่างว่ามะนาว ในรูปที่ 8.13 แสดงอยู่ในตำแหน่งที่แกนของทอรัสตั้งฉากกับระนาบของการฉายภาพน. ทรงกลมสามารถจารึกไว้ในโทริเปิดและปิด พรูสามารถมองได้ว่าเป็นพื้นผิวที่ห่อหุ้มทรงกลมเหมือนกันซึ่งมีจุดศูนย์กลางอยู่บนวงกลม

ในโครงสร้างบนภาพวาดนั้นมีการใช้กันอย่างแพร่หลายสองระบบของส่วนวงกลมของพรู: ในระนาบตั้งฉากกับแกนของมันและในระนาบที่ผ่านแกนของพรู ในขณะเดียวกันในแฟลต

ในทิศทางตั้งฉากกับแกนของทอรัส ในทางกลับกัน มีวงกลมสองวง - เส้นตัดกันของระนาบที่มีพื้นผิวด้านนอกของพรูและเส้นตัดของระนาบที่มีพื้นผิวด้านในของพรู พรูรูปมะนาว (รูปที่ 8.13, d) มีเพียงวงกลมตระกูลแรกเท่านั้น

นอกจากนี้ พรูยังมีระบบส่วนที่สามของส่วนที่เป็นวงกลม ซึ่งอยู่ในระนาบที่ผ่านจุดศูนย์กลางของพรูและสัมผัสกับพื้นผิวด้านใน รูปที่ 8.14 แสดงส่วนวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง o 1r และ o 2r บนระนาบการฉายเพิ่มเติมอาร์ เกิดจากระนาบการฉายด้านหน้าถาม(Qv), ผ่านศูนย์กลางของพรูด้วยการฉายภาพโอ้โอ้ และสัมผัสผิวด้านในของทอรัสที่จุดยื่น 1", 1, 2" 2. จุดฉายภาพ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 และ 10ทำให้การวาดภาพอ่านง่ายขึ้น เส้นผ่านศูนย์กลาง d ของส่วนที่เป็นวงกลมเหล่านี้เท่ากับความยาวของแกนหลักของวงรีซึ่งส่วนที่เป็นวงกลมถูกฉายบนระนาบการฉายภาพแนวนอน:ง = 2R

จุดบนพื้นผิวของการปฏิวัติตำแหน่งของจุดบนพื้นผิวของการปฏิวัติถูกกำหนดโดยความเป็นเจ้าของของจุดต่อเส้นของกรอบพื้นผิว กล่าวคือ ด้วยความช่วยเหลือของวงกลมที่ผ่านจุดนี้บนพื้นผิวของการปฏิวัติ ในกรณีของพื้นผิวที่มีการควบคุม เครื่องกำเนิดไฟฟ้าแบบเส้นตรงสามารถใช้เพื่อการนี้ได้

การใช้เจเนอเรทริกซ์แบบขนานและแบบเส้นตรงสำหรับการสร้างเส้นโครงของจุดที่เป็นของพื้นผิวของการหมุนที่กำหนดดังแสดงในรูปที่ 8.12 ถ้า

ให้การฉายภาพ t", แล้วทำการฉายภาพหน้าผากฉ"f1" เส้นขนานแล้วรัศมี R วาดวงกลม - การฉายภาพแนวนอนของเส้นขนาน - แล้วหาเส้นโครงบนมันที หากมีการฉายภาพในแนวนอนเสื้อ ก็จะต้องวาดรัศมีร=ออม วงกลมสร้าง f "บนจุด f" แล้ววาดฉ"f1"- การฉายภาพด้านหน้าของเส้นขนาน - และทำเครื่องหมายจุดบนจุดเชื่อมต่อในการฉายภาพที". หากได้รับการฉายภาพพี" บนส่วนที่ปกครอง (ทรงกรวย) ของพื้นผิวของการปฏิวัติจากนั้นจึงทำการฉายภาพด้านหน้า d "s" ร่าง generatrix และผ่านการฉายภาพ n "- การฉายภาพหน้าผากเป็น "ถึง" generatrix บนพื้นผิวของกรวย จากนั้นในมุมมองแผน sk generatrix นี้สร้างการฉายภาพ n หากมีการฉายภาพในแนวนอน n ให้ลากเส้นโครงในแนวนอนผ่านมัน sk generatrix โดยการฉายภาพ k" และ s" (การก่อสร้างถูกกล่าวถึงข้างต้น) สร้างการฉายภาพด้านหน้า s"ถึง" และในการเชื่อมต่อการฉายภาพทำเครื่องหมายการฉาย n "

รูปที่ 8.15 แสดงการสร้างเส้นโครงแบบจุดถึง, เป็นของพื้นผิวของพรู ควรสังเกตว่าการก่อสร้างทำขึ้นเพื่อการฉายภาพในแนวนอนที่มองเห็นได้ถึง และการฉายภาพด้านหน้าถึง".

รูป 8.16 แสดงการก่อสร้างตามโครงด้านหน้าที่กำหนดที" จุดบนพื้นผิวของทรงกลมในแนวนอน t และโปรไฟล์ t " ประมาณการ การฉายภาพ t สร้างโดยใช้วงกลม - เส้นขนานผ่านเส้นโครง m". รัศมีของมันคือ o-1. การฉาย m "" สร้างโดยใช้วงกลม โดยระนาบขนานกับระนาบโปรไฟล์ของเส้นโครงที่ลากผ่านเส้นโครง t". รัศมีประมาณ "2".

การสร้างเส้นโครงบนพื้นผิวของการปฏิวัติสามารถทำได้โดยใช้วงกลม - เส้นขนานผ่านจุดที่เป็นของเส้นนี้

รูปที่ 8.17 แสดงการสร้างเส้นโครงแนวนอนเอ เส้นที่กำหนดโดยการฉายหน้าผากก"ข" บนพื้นผิวของการปฏิวัติประกอบด้วยส่วนต่าง ๆ ของพื้นผิวของทรงกลม, พรู, รูปกรวย สำหรับการวาดเส้นโครงในแนวนอนที่แม่นยำยิ่งขึ้น เราจะทำการฉายภาพด้านหน้าขึ้นและลงต่อไป และทำเครื่องหมายการฉายภาพ 6" และ 5" จุดสุดขั้ว การฉายภาพในแนวนอน 6, 1, 3, 4, 5 สร้างด้วยสายสื่อสาร ประมาณการข, 2, 7, 8, และ สร้างขึ้นโดยใช้แนวขนานที่ส่วนหน้ายื่นผ่านเส้นโครง b"2", 7", 8", และ" จุดเหล่านี้ จำนวนและตำแหน่งของจุดกลางจะถูกเลือกตามรูปร่างของเส้นและความแม่นยำในการก่อสร้างที่ต้องการ การฉายภาพแนวนอนของเส้นประกอบด้วยส่วนต่างๆ: b-1 - ส่วนของวงรี

พื้นผิวของการปฏิวัติ - พื้นผิวที่เกิดจากการหมุนของ generatrix โดยพลการรอบแกนคงที่ (รูปที่ 51, a) พื้นผิวนำทางของการปฏิวัติเป็นวงกลมคงที่ (ทรงกระบอก) หรือรัศมีแปรผัน (กรวย, ทรงกลม) ปกติ - ตั้งฉากกับแกนของส่วนการหมุนของพื้นผิวของการหมุนใดๆ เป็นวงกลมที่มีศูนย์กลางอยู่ที่แกนของมัน

ข้าว. 51. พื้นผิวของการปฏิวัติ: a - เส้นหลักบนพื้นผิวของการปฏิวัติ; b - การแสดงพื้นผิวของการปฏิวัติในรูปแบบของเครือข่าย

ไกด์เรียกอีกอย่างว่าพื้นผิวคู่ขนานของการปฏิวัติ ระนาบของแนวขนานตั้งฉากกับแกนของพื้นผิว เส้นขนานที่ใหญ่ที่สุดเรียกว่าเส้นศูนย์สูตรของพื้นผิวส่วนที่เล็กที่สุดเรียกว่าคอหอย ระนาบที่ผ่านแกนของพื้นผิวแห่งการปฏิวัติเรียกว่าเมอริเดียนและเส้นที่พวกมันตัดกับพื้นผิวเรียกว่าเมริเดียน พื้นผิวของการปฏิวัติสามารถแสดงด้วยเส้นขนานหรือเส้นเมอริเดียนของพื้นผิว เช่นเดียวกับเครือข่ายที่ประกอบด้วยเส้นขนานและเส้นเมอริเดียน (รูปที่ 51, b)

พื้นผิวของการปฏิวัติเรียกว่าปิดถ้าส่วนเมอริเดียลของพื้นผิวเป็นเส้นโค้งปิดที่ตัดแกนของพื้นผิวที่จุดสองจุด

เมื่อระนาบหรือเส้นโค้งเชิงพีชคณิตเชิงพื้นที่ของลำดับที่ n หมุนรอบแกน ในกรณีทั่วไป พื้นผิวเกี่ยวกับพีชคณิตของการปฏิวัติจะเกิดขึ้นในลำดับที่ 2 หากเส้นโค้งอันดับสองหมุนรอบแกน มันจะเกิดพื้นผิวอันดับสอง

ขึ้นอยู่กับประเภทของ generatrix มี:

พื้นผิวทอรัส – พื้นผิวที่เกิดจากการหมุนของวงกลมหรือส่วนโค้งของวงกลม:

ข้าว. 52. พื้นผิวทอรัส: a - ทรงกลม; b คือทอรัสเปิด (วงแหวน); c คือทอรัสปิด d - globoid

ทรงกลมเกิดขึ้นจากการหมุนวงกลมรอบแกนผ่านจุดศูนย์กลาง (รูปที่ 52, a)
ธอร์เกิดขึ้นจากการหมุนวงกลมรอบแกนที่อยู่ในระนาบของวงกลมนี้และไม่ผ่านจุดศูนย์กลาง (พรูคือพื้นผิวของลำดับที่สี่) แยกแยะ เปิดทอรัสเกิดจากการหมุนของวงกลมรอบแกนที่ไม่ตัดกับกำเนิด (รูปที่ 52, b) และ พรูปิดเกิดจากการหมุนของวงกลมรอบแกนที่ตัดกับวงกลมกำเนิดหรือสัมผัสมัน (รูปที่ 52, c)
Globoidเกิดขึ้นจากการหมุนวงกลมที่มีรัศมีขนาดใหญ่เพียงพอรอบแกนที่ไม่ตัดกับกำเนิด (รูปที่ 52, d)

ทรงรี การหมุนเกิดขึ้นจากการหมุนวงรีรอบแกนของมัน หากแกนหลักของวงรีถูกนำมาใช้เป็นแกนของการหมุน วงรีของการหมุนจะเรียกว่า prolate (รูปที่ 53. a) หากแกนขนาดเล็กถูกบีบอัดหรือทรงกลม (รูปที่ 53, b) ตัวอย่างเช่น โลกมีรูปร่างใกล้เคียงกับทรงกลม

ข้าว. 53. พื้นผิวของการปฏิวัติ: a - prolate ทรงรี; b – ทรงกลม

พาราโบลาแห่งการปฏิวัติ เกิดจากการหมุนของพาราโบลารอบแกนของมัน (รูปที่ 54) Paraboloids of Revolution ถูกใช้เป็นพื้นผิวสะท้อนแสงในไฟฉายส่องทางไกลและไฟหน้ารถเพื่อผลิตลำแสงคู่ขนาน

ข้าว. 54. พาราโบลาแห่งการปฏิวัติ

ไฮเปอร์โบลอยด์แห่งการปฏิวัติ เกิดจากการหมุนของไฮเพอร์โบลา แยกแยะ ไฮเปอร์โบลอยด์แบบแผ่นเดียว(รูปที่ 55, a) เกิดขึ้นจากการหมุนของไฮเปอร์โบลารอบแกนจินตภาพของมัน และ ไฮเปอร์โบลอยด์สองแผ่น(รูปที่ 55, b) เกิดขึ้นจากการหมุนของไฮเปอร์โบลารอบแกนจริงของมัน