การทำซ้ำตัวเลขในทศนิยมอนันต์ เศษส่วนเป็นระยะอนันต์

ความจริงที่ว่ารากที่สองจำนวนมากคือ จำนวนอตรรกยะโดยไม่เบี่ยงเบนความสำคัญ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ตัวเลข $\sqrt2$ มักถูกใช้ในการคำนวณทางวิศวกรรมและวิทยาศาสตร์ต่างๆ ตัวเลขนี้สามารถคำนวณได้อย่างแม่นยำซึ่งจำเป็นในแต่ละกรณี คุณสามารถรับตัวเลขนี้ด้วยตำแหน่งทศนิยมได้มากเท่าที่คุณอดทนได้

ตัวอย่างเช่น จำนวน $\sqrt2$ สามารถกำหนดเป็นทศนิยมหกตำแหน่ง: $\sqrt2=1.414214$ ค่านี้ไม่แตกต่างจากมูลค่าจริงมากนัก เนื่องจาก $1.414214 \times 1.414214=2.000001237796$ คำตอบนี้แตกต่างจาก 2 โดยมากกว่าหนึ่งล้าน ดังนั้น ค่าของ $\sqrt2$ เท่ากับ $1.414214$ จึงถือว่ายอมรับได้สำหรับการแก้ปัญหาในทางปฏิบัติส่วนใหญ่ ในกรณีที่ต้องการความแม่นยำมากขึ้น ไม่ยากที่จะได้รับตัวเลขนัยสำคัญหลังจุดทศนิยมเท่าที่จำเป็นในกรณีนี้

อย่างไรก็ตาม หากคุณแสดงความดื้อรั้นที่หายากและพยายามดึงออก รากที่สองจากจำนวน $\sqrt2$ จนกว่าคุณจะได้ผลลัพธ์ที่แน่นอน คุณจะทำงานไม่เสร็จ มันเป็นกระบวนการที่ไม่มีที่สิ้นสุด ไม่ว่าคุณจะมีทศนิยมกี่ตำแหน่ง ก็จะมีอีกสองสามตำแหน่งเสมอ

ข้อเท็จจริงนี้สามารถทำให้คุณประหลาดใจได้มากเท่ากับการเปลี่ยน $\frac13$ ให้เป็นทศนิยมที่ไม่สิ้นสุด $0.333333333…$ และอื่นๆ ไปเรื่อยๆ หรือเปลี่ยน $\frac17$ เป็น $0.142857142857142857…$ ไปเรื่อยๆ ไปเรื่อยๆ เมื่อมองแวบแรก ดูเหมือนว่ารากที่สองที่ไม่สิ้นสุดและไม่ลงตัวเหล่านี้เป็นปรากฏการณ์ที่มีลำดับเดียวกัน แต่สิ่งนี้ไม่เป็นเช่นนั้นเลย ท้ายที่สุด เศษส่วนอนันต์เหล่านี้มีเศษส่วนเท่ากัน ในขณะที่ $\sqrt2$ ไม่มีค่าเท่ากัน และทำไม? ความจริงก็คือว่าทศนิยมที่เทียบเท่ากับ $\frac13$ และ $\frac17$ รวมทั้งเศษส่วนอนันต์จำนวนอนันต์ เป็นเศษส่วนอนันต์แบบคาบ

ในเวลาเดียวกัน ทศนิยมที่เทียบเท่ากับ $\sqrt2$ จะเป็นเศษส่วนที่ไม่เป็นงวด ข้อความนี้เป็นจริงสำหรับจำนวนอตรรกยะใดๆ

ปัญหาคือว่าทศนิยมใดๆ ที่เป็นค่าประมาณของสแควร์รูทของ 2 คือ เศษส่วนไม่เป็นระยะ. ไม่ว่าเราจะคำนวณก้าวหน้าไปไกลแค่ไหน เศษส่วนที่ได้จะไม่เป็นระยะ

ลองนึกภาพเศษส่วนที่มีจำนวนหลักที่ไม่ใช่ระยะหลังจุดทศนิยม ถ้าทันทีหลังจากหลักล้าน ลำดับทศนิยมทั้งหมดซ้ำกัน ดังนั้น ทศนิยม- เป็นระยะและมีอัตราส่วนของจำนวนเต็มเท่ากัน หากเศษส่วนที่มีทศนิยมไม่เป็นคาบจำนวนมาก (พันล้านหรือล้าน) ในบางจุดมีตัวเลขซ้ำกันไม่รู้จบ เช่น $…55555555555…$ ก็หมายความว่าเศษส่วนนี้เป็นคาบและมีค่าเท่ากัน สำหรับในรูปอัตราส่วนของจำนวนเต็ม

อย่างไรก็ตาม ในกรณีของค่าเทียบเท่าทศนิยมจะไม่เป็นระยะและไม่สามารถกลายเป็นงวดได้

แน่นอน คุณสามารถถามคำถามต่อไปนี้: “และใครสามารถรู้และพูดอย่างแน่นอนว่าเกิดอะไรขึ้นกับเศษส่วน พูดหลังจากเครื่องหมายล้านล้าน? ใครรับรองได้ว่าเศษส่วนจะไม่กลายเป็นงวด? มีวิธีพิสูจน์อย่างเลี่ยงไม่ได้ว่าจำนวนอตรรกยะไม่ใช่เป็นระยะ แต่การพิสูจน์ดังกล่าวต้องใช้เครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อน แต่ถ้าจู่ๆ กลายเป็นว่าจำนวนอตรรกยะกลายเป็น เศษส่วนเป็นระยะนี่จะหมายถึงการล่มสลายของรากฐานของวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์อย่างสมบูรณ์ และในความเป็นจริง แทบจะเป็นไปไม่ได้เลย นี่ไม่ใช่แค่สำหรับคุณที่จะโยนข้อนิ้วจากด้านหนึ่งไปอีกด้านเท่านั้น มีทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนอยู่ที่นี่

บทความนี้เกี่ยวกับ ทศนิยม. ในที่นี้ เราจะจัดการกับสัญกรณ์ทศนิยมของตัวเลขเศษส่วน แนะนำแนวคิดของเศษส่วนทศนิยม และยกตัวอย่างของเศษส่วนทศนิยม ต่อไป เรามาพูดถึงตัวเลขของเศษส่วนทศนิยม ตั้งชื่อตัวเลขกัน หลังจากนั้น เราจะเน้นที่เศษส่วนทศนิยมอนันต์ พูดถึงเศษส่วนที่เป็นคาบและไม่ใช่คาบ ต่อไป เราแสดงรายการการกระทำหลักด้วยเศษส่วนทศนิยม โดยสรุป เรากำหนดตำแหน่งของเศษส่วนทศนิยมบนรัศมีพิกัด

การนำทางหน้า

สัญกรณ์ทศนิยมของจำนวนเศษส่วน

การอ่านทศนิยม

พูดถึงกฎการอ่านเศษส่วนทศนิยมสักสองสามคำ

เศษส่วนทศนิยมซึ่งตรงกับเศษส่วนสามัญที่ถูกต้องจะถูกอ่านในลักษณะเดียวกับเศษส่วนสามัญเหล่านี้ โดยจะเพิ่มเฉพาะ "ศูนย์ทั้งหมด" ไว้ล่วงหน้าเท่านั้น ตัวอย่างเช่น เศษส่วนทศนิยม 0.12 สอดคล้องกับเศษส่วนสามัญ 12/100 (อ่านว่า "สิบสองในร้อย") ดังนั้น 0.12 จึงอ่านว่า "จุดศูนย์สิบสองร้อย"

เศษส่วนทศนิยมซึ่งตรงกับจำนวนคละจะอ่านในลักษณะเดียวกับตัวเลขคละเหล่านี้ ตัวอย่างเช่น เศษส่วนทศนิยม 56.002 สอดคล้องกับจำนวนคละ ดังนั้น เศษส่วนทศนิยม 56.002 จะถูกอ่านเป็น "ห้าสิบหกจุดสองในพัน"

ตำแหน่งทศนิยม

ในสัญกรณ์เศษส่วนทศนิยม เช่นเดียวกับในสัญกรณ์ของตัวเลขธรรมชาติ ค่าของแต่ละหลักขึ้นอยู่กับตำแหน่งของมัน อันที่จริง ตัวเลข 3 เป็นทศนิยม 0.3 หมายถึงสามในสิบ เป็นทศนิยม 0.0003 - สามหมื่น และในทศนิยม 30,000.152 - สามหมื่น ดังนั้น เราสามารถพูดคุยเกี่ยวกับ ตัวเลขเป็นทศนิยมรวมทั้งเกี่ยวกับตัวเลขในจำนวนธรรมชาติ

ชื่อของตัวเลขในเศษส่วนทศนิยมถึงจุดทศนิยมตรงกับชื่อของตัวเลขในจำนวนธรรมชาติ และชื่อของตัวเลขในเศษส่วนทศนิยมหลังจุดทศนิยมจะมองเห็นได้จากตารางต่อไปนี้

ตัวอย่างเช่น ในเศษส่วนทศนิยม 37.051 ตัวเลข 3 อยู่ในหลักสิบ 7 อยู่ในหน่วยหลัก 0 อยู่ในตำแหน่งที่สิบ 5 อยู่ในหลักร้อย 1 อยู่ในหลักพัน

ตัวเลขในส่วนทศนิยมก็ต่างกันในระดับอาวุโสเช่นกัน หากเราย้ายจากหลักเป็นหลักจากซ้ายไปขวาในรูปแบบทศนิยม เราจะย้ายจาก อาวุโสถึง อันดับจูเนียร์. ตัวอย่างเช่น หลักร้อยจะเก่ากว่าหลักที่สิบ และหลักที่หนึ่งล้านจะน้อยกว่าหลักที่ร้อย ในเศษส่วนทศนิยมสุดท้ายนี้ เราสามารถพูดถึงตัวเลขที่มีนัยสำคัญและสำคัญน้อยที่สุดได้ ตัวอย่างเช่น เป็นทศนิยม 604.9387 อาวุโส (สูงสุด)หลักคือหลักร้อย และ จูเนียร์ (ต่ำสุด)- ที่หนึ่งหมื่น

สำหรับเศษส่วนทศนิยม การขยายเป็นตัวเลขจะเกิดขึ้น คล้ายกับการขยายเป็นตัวเลขของจำนวนธรรมชาติ ตัวอย่างเช่น การขยายทศนิยมของ 45.6072 คือ: 45.6072=40+5+0.6+0.007+0.0002 และคุณสมบัติของการบวกจากการขยายเศษส่วนทศนิยมให้เป็นตัวเลขทำให้คุณสามารถไปที่การแสดงเศษส่วนทศนิยมแบบอื่นได้ เช่น 45.6072=45+0.6072 หรือ 45.6072=40.6+5.007+0.0002 หรือ 45.6072= 45.0072+0.6 .

ทศนิยมสิ้นสุด

ถึงจุดนี้ เราได้พูดถึงแต่เศษส่วนทศนิยม ซึ่งบันทึกว่ามีจำนวนหลักหลังจุดทศนิยมอย่างจำกัด เศษส่วนดังกล่าวเรียกว่าเศษส่วนทศนิยมสุดท้าย

คำนิยาม.

ทศนิยมสิ้นสุด- เป็นเศษส่วนทศนิยม ซึ่งบันทึกมีจำนวนอักขระ (ตัวเลข) อย่างจำกัด

ต่อไปนี้คือตัวอย่างบางส่วนของทศนิยมสุดท้าย: 0.317 , 3.5 , 51.1020304958 , 230 032.45

อย่างไรก็ตาม ไม่ใช่ทุกเศษส่วนทั่วไปที่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนทศนิยมจำกัดจำนวนได้ ตัวอย่างเช่น ไม่สามารถแทนที่เศษส่วน 5/13 ด้วยเศษส่วนที่เท่ากันด้วยตัวส่วน 10, 100, ... ดังนั้นจึงไม่สามารถแปลงเป็นเศษส่วนทศนิยมสุดท้ายได้ เราจะพูดถึงเรื่องนี้มากขึ้นในหัวข้อทฤษฎีการแปลงเศษส่วนธรรมดาเป็นเศษส่วนทศนิยม

ทศนิยมอนันต์: เศษส่วนเป็นระยะและเศษส่วนไม่เป็นระยะ

ในการเขียนเศษส่วนทศนิยมหลังจุดทศนิยม คุณสามารถอนุญาตให้มีตัวเลขเป็นอนันต์ได้ ในกรณีนี้ เราจะมาพิจารณาเศษส่วนทศนิยมที่เรียกว่าอนันต์

คำนิยาม.

ทศนิยมไม่มีที่สิ้นสุด- เหล่านี้เป็นเศษส่วนทศนิยมในบันทึกซึ่งมีตัวเลขไม่ จำกัด

เป็นที่แน่ชัดว่าเราไม่สามารถเขียนเศษส่วนทศนิยมอนันต์ได้เต็มจำนวน ดังนั้นในการบันทึก เศษส่วนทศนิยมจำนวนจำกัดจะถูกจำกัดไว้หลังจุดทศนิยมจำนวนหนึ่งเท่านั้นในการบันทึก และใส่จุดไข่ปลาเพื่อระบุลำดับของตัวเลขที่ต่อเนื่องเป็นอนันต์ ต่อไปนี้คือตัวอย่างบางส่วนของเศษส่วนทศนิยมอนันต์: 0.143940932…, 3.1415935432…, 153.02003004005…, 2.111111111…, 69.74152152152….

หากคุณดูเศษส่วนทศนิยมที่ไม่มีที่สิ้นสุดสองอันสุดท้ายอย่างใกล้ชิดในเศษส่วน 2.111111111 ... หมายเลขที่ซ้ำซ้อนอนันต์ 1 นั้นมองเห็นได้ชัดเจนและในเศษส่วน 69.74152152152 ... เริ่มจากตำแหน่งทศนิยมที่สามกลุ่มตัวเลขที่ซ้ำกัน 1, 5 และ 2 มองเห็นได้ชัดเจน เศษส่วนทศนิยมอนันต์ดังกล่าวเรียกว่าคาบ

คำนิยาม.

ทศนิยมประจำ(หรือง่ายๆ เศษส่วนเป็นระยะ) เป็นเศษส่วนทศนิยมอนันต์ในบันทึกซึ่งเริ่มต้นจากตำแหน่งทศนิยมบางหลักหรือกลุ่มของตัวเลขที่เรียกว่า ช่วงเวลาเศษส่วน.

ตัวอย่างเช่น คาบของเศษส่วนคาบ 2.111111111… คือเลข 1 และคาบของเศษส่วน 69.74152152152… คือกลุ่มของตัวเลข เช่น 152

สำหรับเศษส่วนทศนิยมที่มีระยะเวลาไม่จำกัด มีการใช้สัญกรณ์พิเศษ เพื่อความกระชับ เราตกลงที่จะเขียนช่วงเวลาหนึ่งครั้งโดยใส่ไว้ในวงเล็บ ตัวอย่างเช่น เศษส่วนเป็นระยะ 2.111111111… เขียนเป็น 2,(1) และเศษส่วนตามระยะเวลา 69.74152152152… เขียนเป็น 69.74(152)

เป็นที่น่าสังเกตว่าสำหรับเศษส่วนทศนิยมที่เป็นงวดเดียวกัน คุณสามารถระบุช่วงเวลาที่แตกต่างกันได้ ตัวอย่างเช่น ทศนิยมแบบคาบ 0.73333… ถือได้ว่าเป็นเศษส่วน 0.7(3) โดยมีคาบเป็น 3 เช่นเดียวกับเศษส่วน 0.7(33) ที่มีคาบ 33 เป็นต้น 0.7(333), 0.7 (3333) ), ... คุณยังสามารถดูเศษส่วนเป็นระยะ 0.73333 ... แบบนี้: 0.733(3) หรือแบบนี้ 0.73(333) เป็นต้น ในที่นี้ เพื่อหลีกเลี่ยงความกำกวมและความไม่สอดคล้องกัน เราตกลงที่จะพิจารณาว่าช่วงเวลาของเศษส่วนทศนิยมสั้นที่สุดของลำดับตัวเลขซ้ำทั้งหมดที่เป็นไปได้ และเริ่มจากตำแหน่งที่ใกล้ที่สุดไปยังจุดทศนิยม นั่นคือช่วงเวลาของเศษส่วนทศนิยม 0.73333… จะถือเป็นลำดับเลข 3 หนึ่งหลัก และคาบเริ่มจากตำแหน่งที่สองต่อจากจุดทศนิยม นั่นคือ 0.73333…=0.7(3) อีกตัวอย่างหนึ่ง: เศษส่วนเป็นระยะ 4.7412121212… มีคาบ 12 คาบเริ่มจากหลักที่สามหลังจุดทศนิยม นั่นคือ 4.7412121212…=4.74(12)

เศษส่วนทศนิยมอนันต์หาได้จากการแปลงเป็นเศษส่วนทศนิยมของเศษส่วนสามัญซึ่งตัวส่วนประกอบด้วยตัวประกอบเฉพาะนอกเหนือจาก 2 และ 5

ตรงนี้ควรพูดถึงเศษส่วนเป็นระยะที่มีคาบ 9 ต่อไปนี้คือตัวอย่างเศษส่วน: 6.43(9) , 27,(9) . เศษส่วนเหล่านี้เป็นสัญกรณ์อื่นสำหรับเศษส่วนที่มีคาบที่มีคาบ 0 และเป็นเรื่องปกติที่จะแทนที่ด้วยเศษส่วนที่เป็นคาบด้วยคาบ 0 เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ช่วงที่ 9 จะถูกแทนที่ด้วยจุด 0 และค่าของตัวเลขสูงสุดถัดไปจะเพิ่มขึ้นหนึ่ง ตัวอย่างเช่น เศษส่วนที่มีจุด 9 ของรูปแบบ 7.24(9) จะถูกแทนที่ด้วยเศษส่วนที่เป็นงวดด้วยจุด 0 ของรูปแบบ 7.25(0) หรือเศษส่วนทศนิยมสุดท้ายเท่ากับ 7.25 อีกตัวอย่างหนึ่ง: 4,(9)=5,(0)=5 . ความเท่าเทียมกันของเศษส่วนที่มีคาบ 9 และเศษส่วนที่สอดคล้องกันด้วยคาบ 0 นั้นสร้างได้ง่ายหลังจากแทนที่เศษส่วนทศนิยมเหล่านี้ด้วยเศษส่วนธรรมดาที่เท่ากัน

สุดท้าย เรามาดูทศนิยมอนันต์กันอย่างใกล้ชิด ซึ่งไม่มีลำดับของตัวเลขซ้ำกันอย่างอนันต์ พวกเขาเรียกว่าไม่เป็นระยะ

คำนิยาม.

ทศนิยมที่ไม่เกิดซ้ำ(หรือง่ายๆ เศษส่วนไม่เป็นระยะ) เป็นทศนิยมไม่มีจุดสิ้นสุด

บางครั้งเศษส่วนไม่เป็นระยะจะมีรูปแบบคล้ายกับเศษส่วนเป็นงวด เช่น 8.02002000200002 ... เป็นเศษส่วนที่ไม่เป็นงวด ในกรณีเหล่านี้ คุณควรระมัดระวังเป็นพิเศษในการสังเกตความแตกต่าง

โปรดทราบว่าเศษส่วนที่ไม่ใช่ระยะจะไม่ถูกแปลงเป็นเศษส่วนธรรมดา เศษส่วนทศนิยมที่ไม่เป็นงวดเป็นจำนวนอนันต์แทนจำนวนอตรรกยะ

การดำเนินการกับทศนิยม

การกระทำที่มีทศนิยมอย่างหนึ่งคือการเปรียบเทียบ และกำหนดเลขคณิตพื้นฐานสี่ตัวด้วย การดำเนินการที่มีทศนิยม: บวก ลบ คูณ หาร พิจารณาแต่ละการกระทำด้วยเศษส่วนทศนิยมแยกกัน

การเปรียบเทียบทศนิยมตามหลักการเปรียบเทียบเศษส่วนธรรมดาที่สอดคล้องกับเศษส่วนทศนิยมที่เปรียบเทียบ อย่างไรก็ตาม การแปลงเศษส่วนทศนิยมให้เป็นเศษส่วนธรรมดาเป็นการดำเนินการที่ค่อนข้างลำบาก และเศษส่วนที่ไม่ซ้ำแบบอนันต์ไม่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนธรรมดาได้ ดังนั้นจึงสะดวกที่จะใช้การเปรียบเทียบเศษส่วนทศนิยมในระดับบิต การเปรียบเทียบทศนิยมในระดับบิตนั้นคล้ายกับการเปรียบเทียบตัวเลขธรรมชาติ สำหรับข้อมูลโดยละเอียดเพิ่มเติม เราขอแนะนำให้คุณศึกษาบทความเปรียบเทียบเศษส่วนทศนิยม กฎ ตัวอย่าง วิธีแก้ปัญหา

ไปที่ขั้นตอนต่อไป - การคูณทศนิยม. การคูณเศษส่วนทศนิยมสุดท้ายจะดำเนินการในลักษณะเดียวกับการลบเศษส่วนทศนิยม กฎ ตัวอย่าง คำตอบสำหรับการคูณด้วยคอลัมน์ของจำนวนธรรมชาติ ในกรณีของเศษส่วนเป็นงวด การคูณสามารถลดลงเป็นการคูณเศษส่วนธรรมดาได้ ในทางกลับกัน การคูณของเศษส่วนทศนิยมที่ไม่เป็นคาบเป็นอนันต์หลังจากการปัดเศษของเศษส่วนทศนิยมแบบจำกัดครั้ง เราแนะนำให้ศึกษาเพิ่มเติมเกี่ยวกับเนื้อหาของบทความเรื่องการคูณเศษส่วนทศนิยม กฎ ตัวอย่าง วิธีแก้ปัญหา

ทศนิยมบนคานพิกัด

มีการโต้ตอบแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างจุดและทศนิยม

มาดูกันว่าจุดถูกสร้างขึ้นบนรังสีพิกัดที่สัมพันธ์กับเศษส่วนทศนิยมที่กำหนดได้อย่างไร

เราสามารถแทนที่เศษส่วนทศนิยมจำกัดและเศษส่วนทศนิยมคาบอนันต์ด้วยเศษส่วนธรรมดาที่เท่ากับพวกมัน แล้วสร้างเศษส่วนธรรมดาที่สอดคล้องกันบนรังสีพิกัด ตัวอย่างเช่น เศษส่วนทศนิยม 1.4 สอดคล้องกับเศษส่วนธรรมดา 14/10 ดังนั้นจุดที่มีพิกัด 1.4 จะถูกลบออกจากจุดกำเนิดในทิศทางบวกโดย 14 ส่วนเท่ากับหนึ่งในสิบของส่วนเดียว

เศษส่วนทศนิยมสามารถทำเครื่องหมายบนลำแสงพิกัดได้ เริ่มจากการขยายเศษส่วนทศนิยมนี้เป็นตัวเลข ตัวอย่างเช่น สมมติว่าเราต้องสร้างจุดด้วยพิกัด 16.3007 ตั้งแต่ 16.3007=16+0.3+0.0007 จากนั้นเราสามารถไปถึงจุดนี้ได้โดยการวางส่วนหน่วย 16 หน่วยตามลำดับจากจุดกำเนิดของพิกัด 3 ส่วน ความยาว ซึ่งเท่ากับหนึ่งในสิบของหน่วย และ 7 ส่วน ซึ่งมีความยาวเท่ากับหนึ่งในหมื่นของส่วนของหน่วย

วิธีการสร้างเลขทศนิยมบนคานพิกัดนี้ช่วยให้คุณเข้าใกล้จุดที่สอดคล้องกับเศษส่วนทศนิยมอนันต์ได้มากเท่าที่คุณต้องการ

บางครั้งสามารถพล็อตจุดที่สอดคล้องกับทศนิยมอนันต์ได้อย่างแม่นยำ ตัวอย่างเช่น, จากนั้นเศษทศนิยมอนันต์นี้ 1.41421... สอดคล้องกับจุดของรังสีพิกัดซึ่งห่างไกลจากจุดกำเนิดด้วยความยาวของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านเป็นส่วนของ 1 หน่วย

กระบวนการย้อนกลับของการได้รับเศษส่วนทศนิยมที่สอดคล้องกับจุดที่กำหนดบนลำแสงพิกัดคือสิ่งที่เรียกว่า การวัดทศนิยมของเซ็กเมนต์. เรามาดูกันว่ามันทำอย่างไร

ให้งานของเราคือเดินทางจากจุดเริ่มต้นไปยังจุดที่กำหนดบนเส้นพิกัด (หรือเข้าใกล้มันอย่างไม่สิ้นสุดหากไม่สามารถไปถึงได้) ด้วยการวัดส่วนทศนิยมของเซ็กเมนต์ เราสามารถเลื่อนส่วนของหน่วยจำนวนเท่าใดก็ได้จากจุดเริ่มต้นตามลำดับ จากนั้นส่วนที่มีความยาวเท่ากับหนึ่งในสิบของเซ็กเมนต์เดียว จากนั้นส่วนที่มีความยาวเท่ากับหนึ่งในร้อยของเซ็กเมนต์เดียว ฯลฯ . โดยการเขียนจำนวนส่วนที่วางแผนไว้ของแต่ละความยาว เราได้เศษทศนิยมที่สอดคล้องกับจุดที่กำหนดบนรังสีพิกัด

ตัวอย่างเช่น หากต้องการไปยังจุด M ในรูปด้านบน คุณต้องแยกส่วนของหน่วย 1 ส่วนและ 4 ส่วนเข้าด้วยกัน ซึ่งมีความยาวเท่ากับหนึ่งในสิบของหน่วย ดังนั้นจุด M จึงสอดคล้องกับเศษส่วนทศนิยม 1.4

เป็นที่ชัดเจนว่าจุดของลำแสงพิกัดซึ่งไม่สามารถเข้าถึงได้ในระหว่างการวัดทศนิยมนั้นสอดคล้องกับเศษส่วนทศนิยมอนันต์

บรรณานุกรม.

• คณิตศาสตร์: การศึกษา สำหรับ 5 เซลล์ การศึกษาทั่วไป สถาบัน / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartburd - ฉบับที่ 21 ลบแล้ว - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 p.: ill. ไอเอสบีเอ็น 5-346-00699-0
• คณิตศาสตร์.ชั้นประถมศึกษาปีที่ 6: ตำราเรียน เพื่อการศึกษาทั่วไป สถาบัน / [น. ยะ. Vilenkin และอื่น ๆ ]. - ครั้งที่ 22 รายได้ - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill. ไอ 978-5-346-00897-2
• พีชคณิต:หนังสือเรียน สำหรับ 8 เซลล์ การศึกษาทั่วไป สถาบัน / [อ. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; เอ็ด S.A. Telyakovsky. - ครั้งที่ 16 - ม. : การศึกษา, 2551. - 271 น. : ป่วย. - ไอ 978-5-09-019243-9
• Gusev V. A. , Mordkovich A. G.คณิตศาสตร์ (คู่มือสำหรับผู้สมัครเข้าโรงเรียนเทคนิค): Proc. เบี้ยเลี้ยง.- ม.; สูงกว่า รร. 2527-351 น.

ในโรงเรียนประถมศึกษานักเรียนต้องเผชิญกับเศษส่วน แล้วปรากฏในทุกหัวข้อ เป็นไปไม่ได้ที่จะลืมการกระทำกับตัวเลขเหล่านี้ ดังนั้น คุณจำเป็นต้องรู้ข้อมูลทั้งหมดเกี่ยวกับเศษส่วนธรรมดาและทศนิยม แนวคิดเหล่านี้เรียบง่าย สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจทุกอย่างตามลำดับ

ทำไมจึงต้องมีเศษส่วน?

โลกรอบตัวเราประกอบด้วยวัตถุทั้งหมด จึงไม่จำเป็นต้องมีหุ้น แต่ชีวิตประจำวันมักจะผลักดันให้ผู้คนทำงานกับชิ้นส่วนของสิ่งของและสิ่งของต่างๆ

ตัวอย่างเช่น ช็อคโกแลตประกอบด้วยหลายชิ้น พิจารณาสถานการณ์ที่กระเบื้องประกอบด้วยสิบสองสี่เหลี่ยม ถ้าแบ่งเป็น 2 ส่วนจะได้ 6 ส่วน จะแบ่งเป็นสามส่วนอย่างดี แต่ทั้งห้าคนจะไม่สามารถให้ช็อกโกแลตได้เต็มจำนวน

อย่างไรก็ตาม ชิ้นเหล่านี้เป็นเศษส่วนอยู่แล้ว และการหารเพิ่มเติมนำไปสู่การปรากฏตัวของตัวเลขที่ซับซ้อนมากขึ้น

"เศษส่วน" คืออะไร?

เป็นจำนวนที่ประกอบด้วยส่วนต่างๆ ของหนึ่ง ภายนอกดูเหมือนตัวเลขสองตัวคั่นด้วยแนวนอนหรือเครื่องหมายทับ คุณลักษณะนี้เรียกว่าเศษส่วน ตัวเลขที่เขียนไว้ด้านบน (ซ้าย) เรียกว่า ตัวเศษ อันที่อยู่ด้านล่าง (ขวา) เป็นตัวส่วน

อันที่จริง แถบเศษส่วนกลายเป็นเครื่องหมายหาร นั่นคือตัวเศษสามารถเรียกได้ว่าเป็นตัวหารและตัวส่วนสามารถเรียกได้ว่าเป็นตัวหาร

เศษส่วนคืออะไร?

ในวิชาคณิตศาสตร์มีเพียงสองประเภทเท่านั้น: เศษส่วนธรรมดาและเศษส่วนทศนิยม เด็กนักเรียนทำความคุ้นเคยกับคนแรกในระดับประถมศึกษาเรียกพวกเขาว่า "เศษส่วน" เรียนครั้งที่สองในชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 นั่นคือเมื่อชื่อเหล่านี้ปรากฏขึ้น

เศษส่วนร่วมคือส่วนที่เขียนเป็นตัวเลขสองตัวคั่นด้วยแถบ ตัวอย่างเช่น 4/7 ทศนิยมคือตัวเลขที่ส่วนที่เป็นเศษส่วนมีสัญกรณ์ตำแหน่งและแยกจากจำนวนเต็มด้วยเครื่องหมายจุลภาค ตัวอย่างเช่น 4.7 นักเรียนต้องมีความชัดเจนว่าตัวอย่างทั้งสองที่ให้มานั้นเป็นตัวเลขที่แตกต่างกันโดยสิ้นเชิง

เศษส่วนอย่างง่ายทุกตัวสามารถเขียนเป็นทศนิยมได้ คำสั่งนี้มักจะเป็นจริงในทางกลับกันเช่นกัน มีกฎที่อนุญาตให้คุณเขียนเศษส่วนทศนิยมเป็นเศษส่วนธรรมดาได้

เศษส่วนประเภทนี้มีชนิดย่อยอะไรบ้าง?

เป็นการดีกว่าที่จะเริ่มต้นตามลำดับเวลาขณะที่กำลังศึกษาอยู่ เศษส่วนร่วมมาก่อน ในหมู่พวกเขามี 5 ชนิดย่อยสามารถแยกแยะได้

ถูกต้อง. ตัวเศษจะน้อยกว่าตัวส่วนเสมอ

ผิด. ตัวเศษมากกว่าหรือเท่ากับตัวส่วน

ลดไม่ได้/ลดไม่ได้. มันอาจจะถูกหรือผิดก็ได้ อีกสิ่งหนึ่งที่สำคัญ ไม่ว่าตัวเศษและตัวส่วนจะมีตัวประกอบร่วมหรือไม่ หากมีก็ควรจะหารทั้งสองส่วนของเศษส่วนนั่นคือเพื่อลดมัน

ผสม จำนวนเต็มถูกกำหนดให้เป็นเศษส่วนที่ถูกต้อง (ไม่ถูกต้อง) ตามปกติ และมักจะยืนชิดซ้ายเสมอ

คอมโพสิต มันเกิดจากเศษส่วนสองส่วนหารกัน นั่นคือมีคุณสมบัติที่เป็นเศษส่วนสามส่วนพร้อมกัน

ทศนิยมมีเพียงสองชนิดย่อย:

สุดท้ายคือส่วนที่ จำกัด ส่วนที่เป็นเศษส่วน (มีจุดสิ้นสุด);

อนันต์ - ตัวเลขที่มีตัวเลขหลังจุดทศนิยมไม่สิ้นสุด (สามารถเขียนได้ไม่สิ้นสุด)

วิธีการแปลงทศนิยมเป็นสามัญ?

หากนี่เป็นจำนวนจำกัด ก็จะใช้การเชื่อมโยงตามกฎ - ตามที่ฉันได้ยิน ดังนั้นฉันจึงเขียน นั่นคือคุณต้องอ่านอย่างถูกต้องและจดไว้ แต่ไม่มีเครื่องหมายจุลภาค แต่มีเศษส่วน

เพื่อเป็นการบอกใบ้เกี่ยวกับตัวส่วนที่จำเป็น จำไว้ว่ามันเป็นศูนย์หนึ่งและสองสามเสมอ ส่วนหลังจะต้องเขียนให้มากที่สุดเท่าที่ตัวเลขในส่วนที่เป็นเศษส่วนของตัวเลขที่เป็นปัญหา

วิธีการแปลงเศษส่วนทศนิยมให้เป็นเศษส่วนธรรมดาถ้าส่วนทั้งหมดหายไปนั่นคือเท่ากับศูนย์? ตัวอย่างเช่น 0.9 หรือ 0.05 หลังจากใช้กฎที่ระบุ ปรากฎว่าคุณต้องเขียนจำนวนเต็มศูนย์ แต่มันไม่ได้ระบุไว้ มันยังคงเขียนเฉพาะส่วนที่เป็นเศษส่วน สำหรับตัวเลขแรก ตัวส่วนจะเป็น 10 สำหรับตัวที่สอง - 100 นั่นคือ ตัวอย่างที่ระบุจะมีตัวเลขเป็นคำตอบ: 9/10, 5/100 ยิ่งกว่านั้นหลังกลับกลายเป็นเป็นไปได้ที่จะลดลง 5 ดังนั้นผลลัพธ์ของมันจะต้องเขียนเป็น 1/20

จะทำให้เศษส่วนธรรมดาจากทศนิยมได้อย่างไรถ้าส่วนจำนวนเต็มแตกต่างจากศูนย์? ตัวอย่างเช่น 5.23 หรือ 13.00108 ทั้งสองตัวอย่างอ่านส่วนจำนวนเต็มและเขียนค่าของมัน ในกรณีแรก นี่คือ 5 ส่วนที่สองคือ 13 จากนั้นคุณต้องไปยังส่วนที่เป็นเศษส่วน กับพวกเขาจำเป็นต้องดำเนินการแบบเดียวกัน ตัวเลขแรกมี 23/100 ตัวเลขที่สองมี 108/100000 ค่าที่สองจะต้องลดลงอีกครั้ง คำตอบคือเศษส่วนผสม: 5 23/100 และ 13 27/25000

วิธีการแปลงทศนิยมอนันต์เป็นเศษส่วนร่วม?

หากไม่เป็นระยะ ๆ การดำเนินการดังกล่าวจะไม่สามารถทำได้ ข้อเท็จจริงนี้เกิดจากข้อเท็จจริงที่ว่าเศษส่วนทศนิยมแต่ละส่วนจะถูกแปลงเป็นค่างวดหรืองวดสุดท้ายเสมอ

สิ่งเดียวที่ได้รับอนุญาตให้ทำกับเศษส่วนนั้นคือการปัดเศษ แต่ทศนิยมจะเท่ากับอนันต์นั้นโดยประมาณ สามารถเปลี่ยนเป็นแบบธรรมดาได้แล้ว แต่กระบวนการย้อนกลับ: การแปลงเป็นทศนิยม - จะไม่ให้ค่าเริ่มต้น นั่นคือเศษส่วนที่ไม่ต่อเนื่องเป็นอนันต์จะไม่ถูกแปลเป็นเศษส่วนธรรมดา สิ่งนี้จะต้องจำไว้

จะเขียนเศษส่วนเป็นระยะอนันต์ในรูปของสามัญได้อย่างไร?

ในตัวเลขเหล่านี้ ตัวเลขอย่างน้อยหนึ่งหลักจะปรากฏหลังจุดทศนิยมซึ่งซ้ำกันเสมอ พวกเขาจะเรียกว่าช่วงเวลา ตัวอย่างเช่น 0.3(3) ที่นี่ "3" ในช่วงเวลา จัดอยู่ในประเภทตรรกยะ เนื่องจากสามารถแปลงเป็นเศษส่วนธรรมดาได้

ผู้ที่พบเศษส่วนเป็นระยะรู้ว่าสามารถบริสุทธิ์หรือผสมได้ ในกรณีแรก ระยะเวลาเริ่มต้นทันทีจากเครื่องหมายจุลภาค ในวินาที ส่วนที่เป็นเศษส่วนจะเริ่มต้นด้วยตัวเลขใดๆ จากนั้นการทำซ้ำจะเริ่มขึ้น

กฎที่คุณต้องเขียนทศนิยมอนันต์ในรูปแบบของเศษส่วนธรรมดาจะแตกต่างกันสำหรับตัวเลขทั้งสองประเภทนี้ มันค่อนข้างง่ายที่จะเขียนเศษส่วนที่มีระยะบริสุทธิ์เป็นเศษส่วนธรรมดา เช่นเดียวกับตัวสุดท้าย พวกเขาจำเป็นต้องแปลง: เขียนจุดเป็นตัวเศษ แล้วเลข 9 จะเป็นตัวส่วน ทำซ้ำหลายๆ ครั้งตามที่มีตัวเลขในช่วงเวลานั้น

ตัวอย่างเช่น 0,(5) ตัวเลขนี้ไม่มีส่วนจำนวนเต็ม ดังนั้นคุณต้องดำเนินการในส่วนที่เป็นเศษส่วนทันที เขียน 5 ในตัวเศษ และเขียน 9 ในตัวส่วน นั่นคือ คำตอบจะเป็นเศษส่วน 5/9

กฎการเขียนเศษส่วนทศนิยมทั่วไปที่เป็นเศษส่วนคละ

ดูความยาวของช่วงเวลา 9 มากจะมีตัวส่วน

เขียนตัวส่วนลงไป: เก้าตัวแรก แล้วตามด้วยศูนย์

ในการหาตัวเศษ คุณต้องเขียนผลต่างของตัวเลขสองตัว ตัวเลขทั้งหมดหลังจุดทศนิยมจะลดลงพร้อมกับจุด ลบได้ - ไม่มีจุด

ตัวอย่างเช่น 0.5(8) - เขียนเศษส่วนทศนิยมเป็นระยะเป็นเศษส่วนร่วม ส่วนที่เป็นเศษส่วนก่อนช่วงเวลาเป็นตัวเลขหนึ่งหลัก ดังนั้นศูนย์จะเป็นหนึ่ง นอกจากนี้ยังมีตัวเลขเพียงตัวเดียวในช่วงเวลา - 8 นั่นคือมีเพียงเก้าตัวเท่านั้น นั่นคือคุณต้องเขียน 90 ในตัวส่วน

ในการหาตัวเศษจาก 58 คุณต้องลบ 5 ออก 53 ตัวอย่างเช่น คุณจะต้องเขียน 53/90 เป็นคำตอบ

เศษส่วนทั่วไปแปลงเป็นทศนิยมอย่างไร

ตัวเลือกที่ง่ายที่สุดคือตัวเลขที่มีตัวส่วนเป็นตัวเลข 10, 100 และอื่นๆ จากนั้นตัวส่วนจะถูกยกเลิกอย่างง่ายๆ และเครื่องหมายจุลภาคจะอยู่ระหว่างส่วนที่เป็นเศษส่วนและจำนวนเต็ม

มีบางสถานการณ์ที่ตัวส่วนเปลี่ยนเป็น 10, 100 ฯลฯ ได้ง่าย ตัวอย่างเช่น ตัวเลข 5, 20, 25 คูณด้วย 2, 5 และ 4 ตามลำดับก็เพียงพอแล้ว จำเป็นต้องคูณไม่เพียง แต่ตัวส่วนเท่านั้น แต่ยังรวมถึงตัวเศษด้วยจำนวนเดียวกัน

สำหรับกรณีอื่นๆ ทั้งหมด กฎง่ายๆ จะมีประโยชน์: หารตัวเศษด้วยตัวส่วน ในกรณีนี้ คุณอาจได้คำตอบสองคำตอบ: เศษส่วนสุดท้ายหรือเศษส่วนเป็นงวด

การดำเนินการกับเศษส่วนร่วม

การบวกและการลบ

นักเรียนรู้จักพวกเขาเร็วกว่าคนอื่น และในตอนแรกเศษส่วนมีตัวส่วนเท่ากัน แล้วก็ต่างกัน กฎทั่วไปสามารถลดลงในแผนดังกล่าวได้

หาตัวคูณร่วมน้อยของตัวส่วน

เขียนตัวประกอบเพิ่มเติมให้กับเศษส่วนสามัญทั้งหมด

คูณทั้งเศษและส่วนด้วยปัจจัยที่กำหนดไว้สำหรับพวกเขา

บวก (ลบ) ตัวเศษของเศษส่วน และปล่อยให้ตัวส่วนร่วมไม่เปลี่ยนแปลง

หากตัวเศษของ minuend น้อยกว่า subtrahend คุณจำเป็นต้องค้นหาว่าเรามีจำนวนคละหรือเศษส่วนที่เหมาะสม

ในกรณีแรก ส่วนจำนวนเต็มต้องใช้หนึ่งส่วน บวกตัวส่วนเข้ากับตัวเศษของเศษส่วน แล้วทำการลบ

ในวินาที - จำเป็นต้องใช้กฎการลบจากจำนวนที่น้อยกว่าไปหาจำนวนที่มากกว่า นั่นคือลบโมดูลัสของ minuend ออกจากโมดูลัสของ subtrahend แล้วใส่เครื่องหมาย "-" แทน

ดูผลการบวก (การลบ) อย่างระมัดระวัง หากคุณได้เศษส่วนที่ไม่เหมาะสมก็ควรเลือกทั้งส่วนที่ นั่นคือ หารตัวเศษด้วยตัวส่วน

การคูณและการหาร

สำหรับการนำไปใช้ ไม่จำเป็นต้องลดเศษส่วนให้เป็นตัวส่วนร่วม ทำให้ง่ายต่อการดำเนินการ แต่พวกเขายังต้องปฏิบัติตามกฎ

เมื่อคูณเศษส่วนธรรมดา จำเป็นต้องพิจารณาตัวเลขในตัวเศษและตัวส่วน หากตัวเศษและตัวส่วนใดมีตัวประกอบร่วม ก็สามารถลดลงได้

คูณตัวเศษ.

คูณตัวส่วน

หากคุณได้เศษส่วนที่ลดลง ก็ควรจะลดรูปลงอีกครั้ง

เมื่อทำการหาร คุณต้องแทนที่การหารด้วยการคูณก่อน และตัวหาร (เศษส่วนที่สอง) ด้วยส่วนกลับ (สลับตัวเศษและตัวส่วน)

จากนั้นดำเนินการตามการคูณ (เริ่มจากขั้นตอนที่ 1)

ในงานที่คุณต้องคูณ (หาร) ด้วยจำนวนเต็ม ตัวหลังควรเขียนเป็นเศษส่วนที่ไม่เหมาะสม นั่นคือโดยมีตัวส่วนเป็น 1 แล้วดำเนินการตามที่อธิบายไว้ข้างต้น



การดำเนินการกับทศนิยม

การบวกและการลบ

แน่นอน คุณสามารถเปลี่ยนทศนิยมให้เป็นเศษส่วนร่วมได้เสมอ และดำเนินการตามแผนที่กำหนดไว้แล้ว แต่บางครั้งก็สะดวกกว่าที่จะทำโดยไม่มีการแปลนี้ จากนั้นกฎสำหรับการบวกและการลบจะเหมือนกันทุกประการ

ทำให้จำนวนหลักเท่ากันในส่วนของเศษส่วนของตัวเลข นั่นคือ หลังจุดทศนิยม กำหนดจำนวนศูนย์ที่ขาดหายไปในนั้น

เขียนเศษส่วนเพื่อให้เครื่องหมายจุลภาคอยู่ใต้เครื่องหมายจุลภาค

บวก (ลบ) เหมือนจำนวนธรรมชาติ

นำเครื่องหมายจุลภาคออก

การคูณและการหาร

เป็นสิ่งสำคัญที่คุณไม่จำเป็นต้องต่อท้ายศูนย์ที่นี่ เศษส่วนควรจะเหลือตามที่แสดงในตัวอย่าง แล้วไปตามแผน

สำหรับการคูณ คุณต้องเขียนเศษส่วนไว้ใต้ตัวอื่น ไม่ต้องสนใจลูกน้ำ

คูณเหมือนจำนวนธรรมชาติ

ใส่เครื่องหมายจุลภาคในคำตอบ นับจากด้านขวาสุดของคำตอบเป็นตัวเลขให้มากที่สุดเท่าที่อยู่ในเศษส่วนของปัจจัยทั้งสอง

ในการหาร คุณต้องแปลงตัวหารก่อน: ทำให้เป็นจำนวนธรรมชาติ นั่นคือคูณด้วย 10, 100 เป็นต้น ขึ้นอยู่กับจำนวนหลักที่อยู่ในเศษส่วนของตัวหาร

คูณเงินปันผลด้วยจำนวนเดียวกัน

หารทศนิยมด้วยจำนวนธรรมชาติ.

ใส่เครื่องหมายจุลภาคในคำตอบในขณะที่การแบ่งส่วนทั้งหมดสิ้นสุดลง



เกิดอะไรขึ้นถ้ามีเศษส่วนทั้งสองประเภทในตัวอย่างนี้

ใช่ ในวิชาคณิตศาสตร์มักจะมีตัวอย่างที่คุณต้องดำเนินการกับเศษส่วนธรรมดาและทศนิยม มีสองวิธีที่เป็นไปได้สำหรับปัญหาเหล่านี้ คุณต้องชั่งน้ำหนักตัวเลขอย่างเป็นกลางและเลือกตัวเลขที่ดีที่สุด

วิธีแรก: แทนทศนิยมธรรมดา

เหมาะสมหากเมื่อทำการหารหรือแปลง จะได้เศษส่วนสุดท้าย หากอย่างน้อยหนึ่งหมายเลขให้ส่วนเป็นระยะห้ามใช้เทคนิคนี้ ดังนั้น แม้ว่าคุณจะไม่ชอบทำงานกับเศษส่วนธรรมดา คุณก็ต้องนับมันด้วย

วิธีที่สอง: เขียนเศษส่วนทศนิยมตามปกติ

เทคนิคนี้สะดวกหากมี 1-2 หลักในส่วนหลังจุดทศนิยม หากมีมากกว่านั้น เศษส่วนธรรมดาที่มีขนาดใหญ่มากสามารถเปิดออกได้ และรายการทศนิยมจะช่วยให้คุณคำนวณงานได้เร็วและง่ายขึ้น ดังนั้นจึงจำเป็นต้องประเมินงานอย่างรอบคอบและเลือกวิธีการแก้ปัญหาที่ง่ายที่สุด

จำได้ไหมว่าในบทเรียนแรกเกี่ยวกับเศษส่วนทศนิยม ฉันบอกว่ามีเศษส่วนที่เป็นตัวเลขที่ไม่สามารถแสดงเป็นทศนิยมได้ (ดูบทเรียน " เศษส่วนทศนิยม")? นอกจากนี้เรายังได้เรียนรู้วิธีการแยกตัวประกอบตัวส่วนของเศษส่วนเพื่อดูว่ามีตัวเลขอื่นที่ไม่ใช่ 2 และ 5 หรือไม่

ดังนั้น: ฉันโกหก และวันนี้เราจะมาเรียนรู้วิธีการแปลงเศษส่วนที่เป็นตัวเลขให้เป็นทศนิยมอย่างแน่นอน ในเวลาเดียวกัน เราจะทำความคุ้นเคยกับเศษส่วนทั้งชั้นที่มีส่วนสำคัญอนันต์

ทศนิยมที่เกิดซ้ำคือทศนิยมใดๆ ที่มี:

1. ส่วนสำคัญประกอบด้วยตัวเลขอนันต์
2. ในช่วงเวลาหนึ่ง ตัวเลขในส่วนที่สำคัญจะถูกทำซ้ำ

ชุดของตัวเลขซ้ำๆ ที่ประกอบขึ้นเป็นส่วนสำคัญเรียกว่าส่วนที่เป็นคาบของเศษส่วน และจำนวนหลักในชุดนี้คือคาบของเศษส่วน ส่วนที่เหลือของส่วนสำคัญที่ไม่ซ้ำเรียกว่าส่วนที่ไม่เป็นระยะ

เนื่องจากมีคำจำกัดความมากมาย จึงควรพิจารณารายละเอียดบางส่วนของเศษส่วนเหล่านี้:

เศษส่วนนี้เกิดขึ้นบ่อยที่สุดในปัญหา ส่วนที่ไม่เป็นระยะ: 0; ส่วนเป็นระยะ: 3; ระยะเวลา: 1

ส่วนที่ไม่เป็นระยะ: 0.58; ส่วนเป็นระยะ: 3; ระยะเวลา: อีกครั้ง 1

ส่วนที่ไม่เป็นระยะ: 1; ส่วนเป็นระยะ: 54; ระยะเวลา: 2

ส่วนที่ไม่เป็นระยะ: 0; ส่วนเป็นระยะ: 641025; ระยะเวลา: 6. เพื่อความสะดวก ส่วนที่ซ้ำกันจะถูกคั่นด้วยช่องว่าง - ในวิธีนี้ไม่จำเป็นต้องทำเช่นนั้น

ส่วนที่ไม่เป็นระยะ: 3066; ส่วนเป็นระยะ: 6; ระยะเวลา: 1

อย่างที่คุณเห็น คำจำกัดความของเศษส่วนเป็นระยะขึ้นอยู่กับแนวคิด ส่วนสำคัญของตัวเลข. ดังนั้นหากคุณลืมว่ามันคืออะไรฉันขอแนะนำให้ทำซ้ำ - ดูบทเรียน ""

การเปลี่ยนเป็นทศนิยมเป็นระยะ

พิจารณาเศษส่วนสามัญของรูปแบบ a / b . ให้เราแบ่งตัวส่วนเป็นตัวประกอบอย่างง่าย มีสองตัวเลือก:

1. มีเพียงปัจจัย 2 และ 5 เท่านั้นที่มีอยู่ในการขยาย เศษส่วนเหล่านี้ถูกลดทอนเป็นทศนิยมอย่างง่าย - ดูบทเรียน " เศษส่วนทศนิยม" เราไม่สนใจเรื่องนี้
2. มีอย่างอื่นในการขยายนอกเหนือจาก 2 และ 5 ในกรณีนี้ เศษส่วนไม่สามารถแสดงเป็นทศนิยมได้ แต่สามารถทำให้เป็นทศนิยมเป็นระยะได้

ในการตั้งเศษทศนิยมแบบเป็นคาบ คุณต้องหาส่วนที่เป็นคาบและไม่ใช่คาบ ยังไง? แปลงเศษส่วนที่ไม่เหมาะสม แล้วหารตัวเศษด้วยตัวส่วนด้วย "มุม"

ในการทำเช่นนั้น สิ่งต่อไปนี้จะเกิดขึ้น:

1. แบ่งก่อน ทั้งส่วนถ้ามันมีอยู่;
2. อาจมีตัวเลขหลายตัวหลังจุดทศนิยม
3. อีกสักครู่ตัวเลขจะเริ่มขึ้น ทำซ้ำ.

นั่นคือทั้งหมด! ตัวเลขที่ซ้ำกันหลังจุดทศนิยมจะแสดงด้วยส่วนที่เป็นคาบ และสิ่งที่อยู่ข้างหน้า - ไม่ใช่คาบ

งาน. แปลงเศษส่วนสามัญเป็นทศนิยมเป็นระยะ:

เศษส่วนทั้งหมดที่ไม่มีส่วนจำนวนเต็ม เราก็แค่หารตัวเศษด้วยตัวส่วนด้วย "มุม":

อย่างที่คุณเห็น ลองเขียนเศษส่วนในรูปแบบ "ถูกต้อง": 1.733 ... = 1.7(3)

ผลลัพธ์คือเศษส่วน: 0.5833 ... = 0.58(3)

เราเขียนในรูปแบบปกติ: 4.0909 ... = 4, (09)

เราได้เศษส่วน: 0.4141 ... = 0, (41)

การเปลี่ยนจากทศนิยมเป็นระยะเป็นทศนิยมธรรมดา

พิจารณาทศนิยมเป็นระยะ X = abc (a 1 b 1 c 1) จำเป็นต้องโอนไปยัง "สองชั้น" แบบคลาสสิก โดยทำตามสี่ขั้นตอนง่ายๆ:

1. หาคาบของเศษส่วน นั่นคือ นับจำนวนหลักที่อยู่ในภาคธาตุ ปล่อยให้มันเป็นเลข k;
2. ค้นหาค่าของนิพจน์ X · 10 k . นี่เทียบเท่ากับการเลื่อนจุดทศนิยมไปทางขวาเต็มจุด - ดูบทเรียน " การคูณและการหารเศษส่วนทศนิยม";
3. ลบนิพจน์ดั้งเดิมออกจากจำนวนผลลัพธ์ ในกรณีนี้ ส่วนที่เป็นระยะ "หมดไฟ" และยังคงอยู่ เศษส่วนร่วม;
4. ค้นหา X ในสมการผลลัพธ์ เศษส่วนทศนิยมทั้งหมดจะถูกแปลงเป็นเศษส่วนธรรมดา

งาน. แปลงเป็นเศษส่วนที่ไม่เหมาะสมธรรมดาของตัวเลข:

• 9,(6);
• 32,(39);
• 0,30(5);
• 0,(2475).

ทำงานกับเศษส่วนแรก: X = 9,(6) = 9.666 ...

วงเล็บมีตัวเลขเพียงตัวเดียว ดังนั้นจุด k = 1 ต่อไป เราคูณเศษส่วนนี้ด้วย 10 k = 10 1 = 10 เรามี:

10X = 10 9.6666... ​​​​= 96.666...

ลบเศษส่วนเดิมและแก้สมการ:

10X - X = 96.666 ... - 9.666 ... = 96 - 9 = 87;
9X=87;
X = 87/9 = 29/3

ทีนี้มาจัดการกับเศษส่วนที่สองกัน ดังนั้น X = 32,(39) = 32.393939 ...

ช่วงเวลา k = 2 ดังนั้นเราจึงคูณทุกอย่างด้วย 10 k = 10 2 = 100:

100X = 100 32.393939 ... = 3239.3939 ...

ลบเศษส่วนเดิมอีกครั้งแล้วแก้สมการ:

100X - X = 3239.3939 ... - 32.3939 ... = 3239 - 32 = 3207;
99X = 3207;
X = 3207/99 = 1069/33

ไปที่เศษส่วนที่สาม: X = 0.30(5) = 0.30555 ... รูปแบบเหมือนกัน ดังนั้นฉันจะให้การคำนวณ:

ช่วงเวลา k = 1 ⇒ คูณทุกอย่างด้วย 10 k = 10 1 = 10;

10X = 10 0.30555... = 3.05555...
10X - X = 3.0555 ... - 0.305555 ... = 2.75 = 11/4;
9X = 11/4;
X = (11/4) : 9 = 11/36.

สุดท้ายเศษส่วนสุดท้าย: X = 0,(2475) = 0.2475 2475 ... เพื่อความสะดวกอีกครั้งส่วนเป็นระยะจะแยกออกจากกันด้วยช่องว่าง เรามี:

k = 4 ⇒ 10 k = 10 4 = 10,000;
10,000X = 10,000 0.2475 2475 = 2475.2475 ...
10,000X - X = 2475.2475 ... - 0.2475 2475 ... = 2475;
9999X = 2475;
X = 2475: 9999 = 25/101

เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าถ้าตัวส่วน พีเศษส่วนที่ลดไม่ได้ในการขยายตัวตามรูปแบบบัญญัติมีตัวประกอบเฉพาะไม่เท่ากับ 2 และ 5 ดังนั้นเศษส่วนนี้จึงไม่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนทศนิยมที่มีจำกัด หากเราพยายามในกรณีนี้ให้เขียนเศษส่วนที่ลดทอนไม่ได้เดิมเป็นทศนิยม หารตัวเศษด้วยตัวส่วน กระบวนการหารก็จะสิ้นสุดไม่ได้เพราะ ในกรณีของความสมบูรณ์หลังจากจำนวนขั้นตอนที่จำกัด เราจะได้เศษทศนิยมจำกัดในผลหาร ซึ่งขัดแย้งกับทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้วก่อนหน้านี้ ดังนั้นในกรณีนี้ สัญกรณ์ทศนิยมของจำนวนตรรกยะบวกคือ เอ= แสดงเป็นเศษส่วนอนันต์

ตัวอย่างเช่น เศษส่วน = 0.3636.... . ง่ายที่จะเห็นว่าส่วนที่เหลือเมื่อหาร 4 ด้วย 11 นั้นซ้ำกันเป็นระยะ ๆ ดังนั้นตำแหน่งทศนิยมจะซ้ำเป็นระยะเช่น ปรากฎว่า ทศนิยมเป็นระยะอนันต์ซึ่งสามารถเขียนได้เป็น 0,(36)

การทำซ้ำตัวเลข 3 และ 6 เป็นระยะ ๆ อาจกลายเป็นว่ามีหลายหลักระหว่างเครื่องหมายจุลภาคและจุดเริ่มต้นของจุดแรก ตัวเลขเหล่านี้มาจากช่วงก่อนยุค ตัวอย่างเช่น,

0.1931818... กระบวนการหาร 17 ด้วย 88 นั้นไม่มีที่สิ้นสุด ตัวเลข 1, 9, 3 สร้างช่วงก่อนยุค; 1, 8 - ระยะเวลา ตัวอย่างที่เราพิจารณาแล้วสะท้อนถึงรูปแบบ กล่าวคือ จำนวนตรรกยะที่เป็นบวกใดๆ สามารถแสดงด้วยเศษส่วนทศนิยมที่มีขอบเขตจำกัดหรือเป็นช่วงอนันต์ก็ได้

ทฤษฎีบทที่ 1ปล่อยให้เศษส่วนธรรมดาลดทอนไม่ได้และในการขยายตัวตามบัญญัติของตัวส่วน นมีตัวประกอบเฉพาะที่แตกต่างจาก 2 และ 5 จากนั้นเศษส่วนธรรมดาสามารถแทนด้วยเศษส่วนทศนิยมแบบเป็นคาบอนันต์

การพิสูจน์. เรารู้แล้วว่ากระบวนการหารจำนวนธรรมชาติ มเป็นจำนวนธรรมชาติ นจะไม่มีที่สิ้นสุด แสดงว่าจะมีเป็นระยะๆ แท้จริงเมื่อแบ่ง มบน นเศษจะเหลือน้อยลง น,เหล่านั้น. ตัวเลขของแบบฟอร์ม 1, 2, ..., ( น- 1) ซึ่งแสดงว่าจำนวนของสารตกค้างที่แตกต่างกันมีจำกัด ดังนั้น เริ่มต้นจากขั้นตอนหนึ่ง สารตกค้างบางส่วนจะถูกทำซ้ำ ซึ่งจะทำให้เกิดการซ้ำซ้อนของตำแหน่งทศนิยมของผลหาร และเศษส่วนทศนิยมอนันต์จะกลายเป็นคาบ

มีอีกสองทฤษฎีบท

ทฤษฎีบท 2หากการขยายตัวส่วนของเศษส่วนที่ลดทอนไม่ได้ลงในตัวประกอบเฉพาะไม่รวมตัวเลข 2 และ 5 เมื่อเศษส่วนนี้ถูกแปลงเป็นเศษส่วนทศนิยมอนันต์ จะได้เศษส่วนที่เป็นคาบบริสุทธิ์ กล่าวคือ เศษส่วนที่มีจุดเริ่มทันทีหลังจุดทศนิยม

ทฤษฎีบทที่ 3หากการขยายตัวของตัวส่วนรวมตัวประกอบ 2 (หรือ 5) หรือทั้งสองอย่าง เศษส่วนของคาบอนันต์จะผสมกัน กล่าวคือ ระหว่างเครื่องหมายจุลภาคและจุดเริ่มต้นของช่วงเวลาจะมีตัวเลขหลายหลัก (ช่วงก่อนยุค) กล่าวคือ มากเท่ากับเลขชี้กำลังที่ใหญ่ที่สุดของตัวประกอบ 2 และ 5

ทฤษฎีบทที่ 2 และ 3 ได้รับเชิญให้พิสูจน์ให้ผู้อ่านทราบด้วยตนเอง

28. ทางผ่านจากระยะอนันต์
เศษส่วนทศนิยมให้เป็นเศษส่วนร่วม

ให้มีเศษส่วนเป็นระยะ เอ= 0,(4) เช่น 0.4444.... .

มาคูณกัน เอโดย 10 เราได้รับ

10เอ= 4.444…4…Þ 10 เอ = 4 + 0,444….

เหล่านั้น. สิบ เอ = 4 + เอ, เราได้สมการสำหรับ เอ, แก้มัน, เราได้รับ: 9 เอ= 4 Þ เอ = .

โปรดทราบว่า 4 เป็นทั้งตัวเศษของเศษส่วนผลลัพธ์และคาบของเศษส่วน 0,(4)

กฎการแปลงเป็นเศษส่วนธรรมดาของเศษส่วนคาบบริสุทธิ์มีสูตรดังนี้ ตัวเศษของเศษส่วนเท่ากับคาบและตัวส่วนประกอบด้วยจำนวนเก้าเท่าที่มีตัวเลขในคาบของเศษส่วน

ให้เราพิสูจน์กฎนี้สำหรับเศษส่วนที่มีคาบประกอบด้วย พี

เอ= . มาคูณกัน เอเมื่อวันที่ 10 น, เราได้รับ:

10น × เอ = = + 0, ;

10น × เอ = + เอ;

(10น – 1) เอ = Þ ก == .

ดังนั้น กฎที่กำหนดไว้ก่อนหน้านี้ได้รับการพิสูจน์แล้วสำหรับเศษส่วนของคาบบริสุทธิ์ใดๆ

ให้ตอนนี้ให้เศษส่วน เอ= 0.605(43) - แบบผสมเป็นระยะ มาคูณกัน เอโดย 10 ด้วยตัวบ่งชี้เช่นจำนวนหลักในช่วงก่อนระยะเวลาเช่น โดย 10 3 เราได้รับ

10 3 × เอ= 605 + 0,(43) Þ 10 3 × เอ = 605 + = 605 + = = ,

เหล่านั้น. 10 3 × เอ= .

กฎการแปลงเป็นเศษส่วนธรรมดาของเศษส่วนคาบคละมีสูตรดังนี้: ตัวเศษของเศษส่วนเท่ากับผลต่างระหว่างตัวเลขที่เขียนเป็นตัวเลขก่อนเริ่มช่วงที่สองและตัวเลขที่เขียนเป็นตัวเลขก่อนจุดเริ่มต้นของช่วงแรก ระยะเวลา ตัวส่วนประกอบด้วยจำนวนเก้าหลักเนื่องจากมีตัวเลขในช่วงเวลาและจำนวนดังกล่าวเป็นศูนย์จำนวนหลักก่อนจุดเริ่มต้นของช่วงแรก

ตอนนี้ให้เราพิสูจน์กฎนี้สำหรับเศษส่วนที่ประกอบด้วยค่าก่อน พีตัวเลขและคาบของ ถึงตัวเลข ให้มีเศษส่วนเป็นระยะ

หมายถึง ใน= ; r= ,

กับ= ; แล้ว กับ=ใน × 10k + r.

มาคูณกัน เอคูณ 10 ด้วยเลขชี้กำลังดังกล่าว มีจำนวนหลักในช่วงก่อนยุค นั่นคือ เมื่อวันที่ 10 น, เราได้รับ:

เอ×10 น = + .

โดยคำนึงถึงสัญกรณ์ที่แนะนำข้างต้น เราเขียน:

a× 10น= ใน+ .

ดังนั้น กฎที่กำหนดข้างต้นได้รับการพิสูจน์แล้วสำหรับเศษส่วนของคาบผสมใดๆ

เศษส่วนทศนิยมแบบเป็นงวดใด ๆ เป็นรูปแบบหนึ่งของการเขียนจำนวนตรรกยะ

เพื่อความสม่ำเสมอ บางครั้งทศนิยมจำกัดก็ถือเป็นทศนิยมระยะอนันต์ที่มีคาบเป็น "ศูนย์" ด้วย ตัวอย่างเช่น 0.27 = 0.27000...; 10.567 = 10.567000...; 3 = 3,000... .

ตอนนี้ข้อความต่อไปนี้กลายเป็นจริง: จำนวนตรรกยะใดๆ สามารถเป็นได้ (และยิ่งไปกว่านั้น ในรูปแบบที่ไม่ซ้ำ) ที่แสดงด้วยเศษส่วนที่เป็นทศนิยมแบบอนันต์ และเศษส่วนทศนิยมที่ไม่สิ้นสุดใดๆ จะแสดงจำนวนตรรกยะเพียงตัวเดียว (เศษส่วนทศนิยมที่มีคาบเป็น 9 ไม่พิจารณา)