พระกิตติคุณ “การแก้ปัญหาเชิงผสมผสาน”. วิธีการแก้ปัญหาแบบผสมผสาน

Combinatorics เป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่ศึกษาคำถามเกี่ยวกับจำนวนค่าผสมต่างๆ ที่สามารถสร้างจากวัตถุที่กำหนดได้ตามเงื่อนไขบางประการ พื้นฐานของการรวมกันมีความสำคัญมากในการประมาณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สุ่มเพราะว่า ช่วยให้เราสามารถคำนวณจำนวนพื้นฐานที่เป็นไปได้ ตัวเลือกต่างๆพัฒนาการของเหตุการณ์

สูตรพื้นฐานของเชิงผสม

ให้มีองค์ประกอบ k กลุ่ม และ กลุ่มที่ iประกอบด้วยธาตุ n i

เรามาเลือกหนึ่งองค์ประกอบจากแต่ละกลุ่ม จากนั้นจำนวน N ทั้งหมดของวิธีที่สามารถเลือกได้จะถูกกำหนดโดยความสัมพันธ์ N=n 1 *n 2 *n 3 *...*n kตัวอย่างที่ 1

ให้เราอธิบายกฎนี้ด้วยตัวอย่างง่ายๆ ให้มีองค์ประกอบสองกลุ่มและกลุ่มแรกประกอบด้วยองค์ประกอบ n 1 รายการและองค์ประกอบที่สองจาก n 2 องค์ประกอบ สามารถสร้างองค์ประกอบที่แตกต่างกันได้กี่คู่จากสองกลุ่มนี้ โดยที่คู่นั้นมีองค์ประกอบเดียวจากแต่ละกลุ่ม สมมติว่าเรานำองค์ประกอบแรกจากกลุ่มแรก และไม่ได้เปลี่ยนมัน เราผ่านคู่ที่เป็นไปได้ทั้งหมด โดยเปลี่ยนเฉพาะองค์ประกอบจากกลุ่มที่สอง องค์ประกอบนี้สามารถมีได้ 2 คู่ จากนั้นเราก็นำองค์ประกอบที่สองจากกลุ่มแรกและสร้างคู่ที่เป็นไปได้ทั้งหมดให้กับมัน ก็จะมี 2 คู่ดังกล่าวเช่นกันเนื่องจากกลุ่มแรกมีเพียง n 1 องค์ประกอบ ตัวเลือกที่เป็นไปได้ทั้งหมดจึงเท่ากับ n 1 *n 2
ตัวอย่างที่ 2จากเลข 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 สามารถสร้างเลขคู่สามหลักได้กี่ตัว ถ้าซ้ำได้?
สารละลาย:

n 1 =6 (เพราะคุณสามารถใช้ตัวเลขใดๆ จาก 1, 2, 3, 4, 5, 6 เป็นหลักตัวแรก), n 2 =7 (เพราะคุณสามารถใช้ตัวเลขใดๆ จาก 0 เป็นหลักที่สอง , 1, 2 , 3, 4, 5, 6), n 3 = 4 (เนื่องจากตัวเลขใดๆ ตั้งแต่ 0, 2, 4, 6 สามารถใช้เป็นหลักที่สามได้) ดังนั้น N=n 1 *n 2 *n 3 =6*7*4=168ในกรณีที่ทุกกลุ่มประกอบด้วย หมายเลขเดียวกัน

องค์ประกอบเช่น n 1 =n 2 =...n k =n เราสามารถสรุปได้ว่าการเลือกแต่ละรายการนั้นมาจากกลุ่มเดียวกัน และองค์ประกอบหลังจากการเลือกจะถูกส่งกลับไปยังกลุ่ม ดังนั้นจำนวนวิธีการเลือกทั้งหมดคือ n k วิธีการเลือกในเชิงผสมนี้เรียกว่าตัวอย่างพร้อมผลตอบแทน
ตัวอย่างที่ 3สำหรับแต่ละหลักของตัวเลขสี่หลัก มีความเป็นไปได้ห้าแบบ ซึ่งหมายความว่า N=5*5*5*5=5 4 =625

พิจารณาเซตที่ประกอบด้วยสมาชิก n ตัว ในเชิงผสมเซตนี้เรียกว่า ประชากรทั่วไป.

จำนวนตำแหน่งขององค์ประกอบ n ตัวโดย m

คำจำกัดความ 1.ที่พักจาก nองค์ประกอบโดย มในเชิงผสมใดๆ สั่งชุดจาก มองค์ประกอบต่าง ๆ ที่คัดเลือกมาจากประชากรใน nองค์ประกอบ

ตัวอย่างที่ 4การจัดเรียงที่แตกต่างกันของสามองค์ประกอบ (1, 2, 3) โดยสองจะเป็นเซต (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3 , 2 ). ตำแหน่งอาจแตกต่างกันทั้งในองค์ประกอบและตามลำดับ

จำนวนตำแหน่งในการจัดตำแหน่งจะแสดงด้วย A n m และคำนวณโดยสูตร:

ความคิดเห็น: n!=1*2*3*...*n (อ่าน: “en factorial”) นอกจากนี้ จะถือว่า 0!=1

ตัวอย่างที่ 5- มีตัวเลขสองหลักกี่ตัวที่หลักสิบและหลักหน่วยต่างกันและเป็นคี่?
ตัวอย่างที่ 2เพราะ หากมีเลขคี่ห้าตัวคือ 1, 3, 5, 7, 9 งานนี้อยู่ที่การเลือกและวางสองในห้าตัวในสองตำแหน่งที่แตกต่างกัน ตัวเลขที่แตกต่างกัน, เช่น. หมายเลขที่ระบุจะ:

คำจำกัดความ 2. การรวมกันจาก nองค์ประกอบโดย มในเชิงผสมใดๆ ชุดที่ไม่เรียงลำดับจาก ม องค์ประกอบต่างๆคัดเลือกจากประชาชนทั่วไปใน nองค์ประกอบ

ตัวอย่างที่ 6- สำหรับเซต (1, 2, 3) ชุดค่าผสมคือ (1, 2), (1, 3), (2, 3)

จำนวนการรวมกันขององค์ประกอบ n รายการ โดยแต่ละรายการเป็น m

จำนวนชุดค่าผสมแสดงด้วย C n m และคำนวณโดยสูตร:

ตัวอย่างที่ 7ผู้อ่านสามารถเลือกหนังสือสองเล่มจากหกเล่มที่มีอยู่ได้กี่วิธี?

ตัวอย่างที่ 2จำนวนวิธีเท่ากับจำนวนชุดค่าผสมของหนังสือหกเล่มจากสองเล่มนั่นคือ เท่ากับ:

การเรียงสับเปลี่ยนขององค์ประกอบ n

คำจำกัดความ 3. การเรียงสับเปลี่ยนจาก nองค์ประกอบเรียกว่าอะไรก็ได้ สั่งชุดองค์ประกอบเหล่านี้

ตัวอย่าง 7aการเรียงสับเปลี่ยนที่เป็นไปได้ทั้งหมดของเซตที่ประกอบด้วยสามองค์ประกอบ (1, 2, 3) คือ: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3) , ( 3, 2, 1), (3, 1, 2)

จำนวนการเรียงสับเปลี่ยนที่แตกต่างกันขององค์ประกอบ n เขียนแทนด้วย P n และคำนวณโดยสูตร P n =n!

ตัวอย่างที่ 8หนังสือเจ็ดเล่มมีกี่เล่ม ผู้เขียนที่แตกต่างกันวางบนชั้นวางแถวเดียวได้ไหม

ตัวอย่างที่ 2ปัญหานี้เกี่ยวกับจำนวนการเรียงสับเปลี่ยนของหนังสือเจ็ดเล่มที่แตกต่างกัน มี P 7 =7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 วิธีจัดเรียงหนังสือ.

การอภิปราย.เราเห็นว่าสามารถคำนวณจำนวนชุดค่าผสมที่เป็นไปได้ได้ กฎที่แตกต่างกัน(การเรียงสับเปลี่ยน การรวมกัน ตำแหน่ง) และผลลัพธ์จะแตกต่างกันเพราะว่า หลักการคำนวณและสูตรต่างกัน เมื่อดูคำจำกัดความอย่างละเอียด คุณจะสังเกตเห็นว่าผลลัพธ์นั้นขึ้นอยู่กับปัจจัยหลายประการพร้อมกัน

ประการแรก จากจำนวนองค์ประกอบที่เราสามารถรวมชุดของพวกมันได้ (ใหญ่แค่ไหน? ประชากรองค์ประกอบ)

ประการที่สอง ผลลัพธ์ขึ้นอยู่กับขนาดของชุดองค์ประกอบที่เราต้องการ

สุดท้ายนี้ สิ่งสำคัญคือต้องทราบว่าลำดับขององค์ประกอบในชุดมีความสำคัญต่อเราหรือไม่ ให้เราอธิบายปัจจัยสุดท้ายโดยใช้ตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 9บน การประชุมผู้ปกครองมี 20 คน. องค์ประกอบของคณะกรรมการผู้ปกครองมีกี่ตัวเลือกหากต้องรวม 5 คน?
ตัวอย่างที่ 2ในตัวอย่างนี้ เราไม่สนใจลำดับชื่อในรายชื่อคณะกรรมการ หากเป็นผลให้คนกลุ่มเดียวกันกลายเป็นส่วนหนึ่งของมัน ดังนั้นสำหรับเราแล้ว นี่คือตัวเลือกเดียวกัน ดังนั้นเราจึงสามารถใช้สูตรคำนวณตัวเลขได้ การรวมกันจำนวน 20 องค์ อย่างละ 5 องค์

สิ่งต่าง ๆ จะแตกต่างกันหากสมาชิกคณะกรรมการแต่ละคนรับผิดชอบงานเฉพาะด้านตั้งแต่แรก จากนั้นด้วยรายชื่อคณะกรรมการชุดเดียวกัน ก็อาจมี 5 รายการอยู่ในนั้น! ตัวเลือก การเรียงสับเปลี่ยนเรื่องนั้น จำนวนตัวเลือกที่แตกต่างกัน (ทั้งในองค์ประกอบและพื้นที่รับผิดชอบ) จะถูกกำหนดในกรณีนี้ด้วยจำนวน ตำแหน่งจำนวน 20 องค์ประกอบ อย่างละ 5 ชิ้น

งานทดสอบตัวเอง
1. จากเลข 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 สามารถสร้างเลขคู่สามหลักได้กี่ตัว ถ้าซ้ำได้

2. มีตัวเลขห้าหลักที่อ่านเหมือนกันจากซ้ายไปขวาและจากขวาไปซ้ายกี่หมายเลข?

3. มี 10 วิชาในชั้นเรียนและ 5 บทเรียนต่อวัน คุณสามารถสร้างตารางเวลาสำหรับหนึ่งวันได้กี่วิธี?

4. สามารถเลือกผู้ร่วมประชุม 4 คนสำหรับการประชุมได้กี่วิธีหากในกลุ่มมี 20 คน?

5. สามารถใส่ตัวอักษรที่แตกต่างกันแปดตัวลงในซองจดหมายแปดซองที่แตกต่างกันได้กี่วิธี ถ้าแต่ละซองใส่ตัวอักษรได้เพียงตัวเดียว?

6. คณะกรรมการที่ประกอบด้วยนักคณิตศาสตร์สองคนและนักเศรษฐศาสตร์หกคน ควรประกอบด้วยนักคณิตศาสตร์สามคนและนักเศรษฐศาสตร์สิบคน สามารถทำได้กี่วิธี?

ภารกิจที่ 1นักเรียนแปดคนจับมือกัน มีการจับมือกันกี่ครั้ง?

ตัวอย่างที่ 3“เซตย่อย” ที่ประกอบด้วยนักเรียนสองคน (m=2) มีส่วนร่วมในการจับมือ ในขณะที่นักเรียนทั้งชุดมี 8 คน (n=8) เนื่องจากลำดับไม่สำคัญในกระบวนการจับมือ เราจึงเลือกสูตรสำหรับจำนวนชุดค่าผสม:

งาน.ธงลายสามสีสามารถทำจากวัสดุห้าชิ้นที่มีสีต่างกันได้กี่วิธี?

สารละลาย- ลำดับเป็นสิ่งสำคัญ เนื่องจากการจัดเรียงเรื่องใหม่ภายในตัวบ่งชี้ธงสามสี ประเทศต่างๆ- ดังนั้นเราจึงเลือกสูตรสำหรับจำนวนตำแหน่งที่ไม่มีการทำซ้ำ โดยที่เซตของชิ้นส่วนคือ n = 5 และเซตย่อยของสีคือ m = 3:

ภารกิจที่ 2ต้องตีพิมพ์พจนานุกรมกี่ฉบับจึงจะสามารถแปลจากภาษาใดภาษาหนึ่งจากหกภาษาเป็นภาษาใดภาษาหนึ่งได้

สารละลาย- ในชุดประกอบด้วย 6 ภาษา n=6 เนื่องจากการแปลเป็นความสัมพันธ์ระหว่างสองภาษา ดังนั้น m = 2 และลำดับจึงมีความสำคัญ เนื่องจากตัวอย่างเช่น พจนานุกรมภาษารัสเซีย-อังกฤษ และภาษาอังกฤษ-รัสเซีย แอพพลิเคชั่นต่างๆ- ดังนั้นเราจึงเลือกตำแหน่งที่ไม่มีการทำซ้ำ:

ภารกิจที่ 3มีกี่ทางเลือกในการสร้างตารางเรียนวันจันทร์ ถ้านักเรียนมี 9 วิชา และวันจันทร์มี 4 คู่คาบ และวิชาไม่ซ้ำ?

สารละลาย- ก) สำหรับนักเรียน ลำดับไม่สำคัญ เราจึงเลือกสูตรสำหรับจำนวนชุดค่าผสม:

b) สำหรับครู ลำดับเป็นสิ่งสำคัญ ดังนั้นเราจึงเลือกสูตรการจัดตำแหน่งโดยไม่ซ้ำกัน:

ภารกิจที่ 4สามารถจัดหนังสือเก้าเล่มบนชั้นหนังสือได้กี่วิธี โดยในจำนวนนั้นเป็นงานสามเล่มของ A.S. พุชกิน?

สารละลาย.

เนื่องจากทั้งสามเล่มที่รวมอยู่ในชุดสามเล่มควรยืนเคียงข้างกัน และเมื่อเรียงตัวเลขไปทางขวาจากน้อยไปหามาก เราจึงถือว่าสิ่งเหล่านี้เป็นองค์ประกอบหนึ่ง ชุดที่ให้มาซึ่งมีองค์ประกอบอีก 6 องค์ประกอบ ดังนั้นเราจึงเลือกการเรียงสับเปลี่ยนโดยไม่ซ้ำกันในชุดที่มีองค์ประกอบเจ็ดรายการ:

ป 7 = 7! = 5040

ภารกิจที่ 5คุณสามารถมอบหมายให้คนสามคนปฏิบัติหน้าที่ในกลุ่มละ 30 คนได้กี่วิธี?

สารละลาย.

ก) หากบทบาทของพวกเขาในกระบวนการปฏิบัติหน้าที่เหมือนกัน ลำดับนั้นไม่สำคัญ ดังนั้นเราจึงเลือกชุดค่าผสมโดยไม่ต้องทำซ้ำ:

จาก 3 30 = 30! / 3!27! = 4060

b) หากคำสั่งซื้อมีความสำคัญเช่น ในระหว่างปฏิบัติหน้าที่ หน้าที่ความรับผิดชอบจะแตกต่างกันแล้วใช้สูตรตำแหน่งโดยไม่ซ้ำกันที่เรามี:

และ 3 30 = 30! / 27! = 24360

ภารกิจที่ 6มีเลขหกหลักกี่ตัว? หมายเลขโทรศัพท์โดยที่: ก) ตัวเลขใดๆ ก็ได้ที่เป็นไปได้; b) ตัวเลขทั้งหมดแตกต่างกันหรือไม่?

ตัวอย่างที่ 3

ก) 1. เนื่องจากตัวเลขใด ๆ ที่เป็นไปได้ในการกดหมายเลขโทรศัพท์หกหลัก ตัวเลข 10 หลักใด ๆ จาก 0 ถึง 9 จึงสามารถปรากฏในแต่ละตำแหน่งในหกหลักได้ จำเป็นต้องเลือกจากตัวเลขสิบหลักที่เป็นไปได้ทั้งหมดเท่านั้น หกที่จะใช้สำหรับหมายเลขโทรศัพท์หกหลัก เนื่องจากลำดับของตัวเลขในการบันทึกหมายเลขโทรศัพท์มีความสำคัญ เราจึงมีสูตรสำหรับตำแหน่งที่มีการซ้ำ:

10 6 = 10 6 = 1000000

2. ดังที่คุณทราบไม่มีตัวเลขหกหลักที่ขึ้นต้นด้วยศูนย์ ดังนั้นคุณต้องนับจำนวนและลบออกจากจำนวนชุดค่าผสมทั้งหมด เราจะค้นหาจำนวนตัวเลขที่มีหลักแรกเป็น 0 โดยใช้สูตรตำแหน่งที่มีการซ้ำซ้อน "แก้ไข" เป็นศูนย์เช่น ในแต่ละห้าที่เหลือ สถานที่ที่เป็นไปได้เลขสิบตัวใดตัวหนึ่งจาก
0 ถึง 9 จากนั้นจำนวนชุดค่าผสมดังกล่าว:

10 5 = 10 5 = 100,000

3. จำนวนทั้งหมดหมายเลขโทรศัพท์หกหลักซึ่งสามารถมีได้รวมทั้งตัวเลขซ้ำจะเท่ากับผลต่าง:

ก 10 6 – ก 10 5 = 10 6 – 10 5 = 1000000 – 100000 = 900000

b) 1. ตอนนี้ให้ตัวเลขทั้งหมดในชุดหกหลักแตกต่างกัน จากตัวเลขทั้งหมดสิบหลักที่เป็นไปได้ จำเป็นต้องเลือกเฉพาะหกหลักที่ใช้สำหรับหมายเลขโทรศัพท์หกหลัก และไม่มีตัวเลขซ้ำ จากนั้นตามสูตรตำแหน่งที่ไม่มีการทำซ้ำเรามี:

และ 10 6 = 10! / (10 – 6)! = 5x6x7x8x9x10 = 151200

2. เนื่องจากไม่มีตัวเลขหกหลักที่ขึ้นต้นด้วยศูนย์ คุณต้องนับจำนวนและลบออกจากจำนวนชุดค่าผสมทั้งหมด เราจะค้นหาจำนวนตัวเลขที่มีหลักแรกเป็น 0 โดยใช้สูตรตำแหน่งโดยไม่ต้องทำซ้ำ "การตรึงศูนย์" เช่น ในแต่ละตำแหน่งที่เป็นไปได้ที่เหลือห้าตำแหน่งอาจมีตัวเลขตั้งแต่ 0 ถึง 9 จากนั้นเราจะค้นหาจำนวนชุดค่าผสมดังกล่าวโดยใช้สูตรตำแหน่งโดยไม่ต้องทำซ้ำ เรามี:

และ 10 5 = 10! / (10-5)! = 6x7x8x9x10 = 30240

3. จำนวนหมายเลขโทรศัพท์หกหลักที่ไม่สามารถมีเลขซ้ำได้จะเท่ากับส่วนต่าง:

เอ 10 6 – เอ 10 5 = 10 6 – 10 5 = 151200 – 30240 = 120960

ภารกิจที่ 7สามารถเลือกคณะผู้แทนสามคนได้กี่วิธี โดยเลือกจากคู่สมรสสี่คู่ ถ้า:

ก) คณะผู้แทนประกอบด้วยบุคคลสามคนจากแปดคนนี้

b) คณะผู้แทนต้องประกอบด้วยผู้หญิงสองคนและผู้ชายหนึ่งคน

การมอบหมายไม่รวมสมาชิกในครอบครัวเดียวกันหรือไม่?

ตัวอย่างที่ 3

ก) คำสั่งซื้อไม่สำคัญ:

จาก 8 3 = 8! / 3! 5! = 56

b) ลองเลือกผู้หญิงสองคนจากวิธี 4 C 4 2 ที่มีอยู่ และผู้ชายหนึ่งคนจากวิธี 4 C 4 1 ตามกฎผลิตภัณฑ์ ( และผู้ชาย, และผู้หญิงสองคน) เรามี C 4 2 x C 4 1 = 24

c) จากสี่ครอบครัวเราเลือกสมาชิกคณะผู้แทน 3 คนในสี่วิธี (เนื่องจาก C 4 3 = 4! / 3!1! = 4) แต่ในแต่ละครอบครัว มีสองวิธีในการเลือกสมาชิกของคณะผู้แทน ตามกฎผลคูณ C 4 3 x2x2x2 = 4x8 =32

ภารกิจที่ 8วิทยาลัยมีนักศึกษา 2,000 คน เป็นไปได้ไหมที่จะบอกว่าอย่างน้อยสองคนมีชื่อย่อของทั้งชื่อและนามสกุลเหมือนกัน?

ตัวอย่างที่ 3

ตัวอักษรรัสเซียมี 33 ตัว ซึ่งъ, ь, ы, й ไม่สามารถใช้ได้ ดังนั้น n = 33-4 = 29 ตัวอักษรแต่ละตัวใน 29 ตัวสามารถเป็นอักษรเริ่มต้นได้ และชื่อ, และนามสกุล ตามกฎผลคูณ 29x29 = 841< 2000. Значит может быть лишь 841 различных вариантов, и среди 2000 студентов обязательно будут совпадения.

ใน ปีที่ผ่านมามีการให้ความสนใจกับปัญหาการพัฒนาการศึกษามากขึ้นเรื่อยๆ การเติบโตอย่างที่ไม่เคยมีมาก่อนในปริมาณข้อมูลที่ต้องการ คนทันสมัยคุณสมบัติเช่นความคิดริเริ่มความเฉลียวฉลาดองค์กรความสามารถในการตัดสินใจอย่างรวดเร็วและแม่นยำ และนี่เป็นไปไม่ได้หากปราศจากความสามารถในการทำงานอย่างสร้างสรรค์และเป็นอิสระ หากในอดีตที่ผ่านมางานหลักที่ครูต้องเผชิญคือการถ่ายทอดความรู้จำนวนหนึ่งให้กับนักเรียน ตอนนี้เป็นงานของ การพัฒนานักเรียนในกระบวนการเรียนรู้ การสอนคณิตศาสตร์ไม่ควรเน้นที่ความเป็นจริงมากนัก การศึกษาคณิตศาสตร์ในความหมายแคบของคำว่าการศึกษาผ่านคณิตศาสตร์เท่าไหร่

การพัฒนาการคิดทางคณิตศาสตร์และ ความคิดสร้างสรรค์ดำเนินการในขณะที่นักเรียนคิดถึงปัญหา กิจกรรมอิสระของนักเรียนในการแก้ปัญหาเป็นศูนย์กลางในการสอนคณิตศาสตร์ ความสามารถในการแก้ปัญหาเป็นเกณฑ์สู่ความสำเร็จทางวิชาการ มันสำคัญมากที่จะต้องแสดงให้เห็นว่าธรรมดาแค่ไหน สถานการณ์ชีวิตสามารถอธิบายได้ด้วยแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

สื่อการสอนเพื่อการพัฒนาสามารถใช้ได้ทั้งเป็นส่วนหนึ่งของบทเรียน (เกรด 5–7) และในชมรมคณิตศาสตร์หรือชั้นเรียนวิชาเลือก

วัตถุประสงค์ของการพัฒนาคือเพื่อปรับปรุงวัฒนธรรมทางคณิตศาสตร์ของนักเรียน ปลุกและพัฒนาความสนใจในวิชาคณิตศาสตร์อย่างยั่งยืน ขยายและเพิ่มพูนความรู้ให้ลึกซึ้ง

งานหลักที่แก้ไขได้โดยการดำเนินการพัฒนาคือการทำความคุ้นเคยในระดับที่ได้รับความนิยมกับ Combinatorics ซึ่งเป็นสาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่ไม่ต่อเนื่องซึ่งได้รับความสำคัญอย่างจริงจังในปัจจุบันที่เกี่ยวข้องกับการพัฒนาทฤษฎีความน่าจะเป็น ตรรกะทางคณิตศาสตร์,เทคโนโลยีสารสนเทศ นักเรียนควรเข้าใจว่าปัญหาแบบผสมผสานคืออะไรและทำความคุ้นเคยกับวิธีการและกฎเกณฑ์ในการแก้ปัญหา

การใช้เนื้อหาที่หลากหลายนี้ ระดับทางคณิตศาสตร์และ การคิดเชิงตรรกะนักเรียนพัฒนาทักษะการวิจัย

หมายเหตุอธิบาย

ชั้นเรียนในโปรแกรม "การศึกษาเพื่อการพัฒนาบทเรียนคณิตศาสตร์" ดำเนินการโดยฉันอย่างเป็นระบบภายในกรอบเวลาเรียน ฉันจัดบทเรียนดังกล่าวตั้งแต่ต้นและปลายไตรมาสเพื่อเพิ่มกิจกรรมของนักเรียนให้เข้มข้นขึ้น ปลุกและพัฒนาความสนใจในคณิตศาสตร์ นอกจากนี้หนึ่งหรือสอง งานที่ไม่ได้มาตรฐานฉันพยายามพิจารณาในทุกบทเรียนควบคู่ไปกับเนื้อหาของหลักสูตร ซึ่งจะทำให้นักเรียนมี “รสนิยม” ความรู้ เมื่อเตรียมตัวสำหรับชั้นเรียนดังกล่าว ฉันใช้สื่อการสอนจากหนังสือเรียน "คณิตศาสตร์: บทเพิ่มเติม - ชั้นประถมศึกษาปีที่ 5" รวมถึงงานที่ได้รับมอบหมายจากสื่อการสอนและสื่อการสอน

แผนการสอน

· ช่วงเวลาขององค์กร

· การอัพเดตความรู้ของนักเรียน

· ทัศนศึกษาประวัติศาสตร์ (ข้อความจากนักเรียน)

· วัสดุทางทฤษฎี

· การแก้ปัญหา (พร้อมองค์ประกอบของการทดสอบตัวเอง)

· การแสดงละคร การบ้าน, การทำซ้ำทางทฤษฎี

· งานอิสระ (ตรวจสอบร่วมกัน)

· สรุปบทเรียน

(เอกสารประกอบคำบรรยาย) ภาคผนวก 1

แผนที่

“ลองพิจารณาถึงความไม่มีความสุขในวันนั้นหรือชั่วโมงนั้นที่คุณไม่ได้เรียนรู้อะไรใหม่ๆ และไม่ได้เพิ่มอะไรให้กับการศึกษาของคุณ”

“การเรียนรู้ไม่ใช่เรื่องง่าย แต่มันน่าสนใจ” ยาน อามอส โคเมเนียส (),

ครูเช็กนักเขียน

หัวข้อบทเรียน ________________________________

เชิงผสม เป็นสาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่เน้นการแก้ปัญหาการเลือกและจัดเรียงองค์ประกอบที่กำหนดตามกฎเกณฑ์ที่กำหนด

กฎผลรวม

(เลือกหนึ่งองค์ประกอบ)

วิธี A – M

ใน - n วิธี

AB – (m+n) วิธี

ตัวอย่างเช่น: 5 แอปเปิ้ล 4 ลูกแพร์

ทางเลือกของแอปเปิ้ลหรือลูกแพร์:

5 + 4 = 9 วิธี

https://pandia.ru/text/78/021/images/image003_105.jpg" width="153" height="177 src=">

กฎผลิตภัณฑ์

(ตัวเลือกคู่

หลายองค์ประกอบ)

วิธี A – M

ใน - n วิธี

AB – (m n) วิธี

ตัวอย่างเช่น:ซองจดหมาย 2 ซอง โปสการ์ด 3 ใบ

การเลือกซองจดหมายพร้อมไปรษณียบัตร:

2 3 = 6 วิธี

https://pandia.ru/text/78/021/images/image006_71.jpg" width="143" height="90 src=">

0 " style="margin-left:40.85pt;border-collapse:collapse;border:none">

__________________

__________________________________

№ 5. 1, 2, 3, 4, 5

__________________

__________________________________

№ 6. 0, 1, 2, 3

__________________

__________________________________

__________________

___________________________________

ลำดับที่ 7.1, 3, 5, 7, 9; น้อยกว่า 400

__________________

__________________________________

№ 8. _______________________________________________________________________________________________________________

______________________________________

№ 9. ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

_________________________________________

_________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

_________________________________________

(เอกสารประกอบคำบรรยาย)

ปัญหาสำหรับบทเรียน “Meet Combinatorics!”

1.

2. ทหารเสือผู้โด่งดังคนหนึ่งมีหมวกหรูหรา 3 ใบ เสื้อคลุมสวยงาม 4 ชิ้น และรองเท้าบู๊ทคุณภาพเยี่ยม 2 คู่ในตู้เสื้อผ้าของเขา เขาสามารถสร้างตัวเลือกเครื่องแต่งกายได้กี่แบบ?

3.

4.

5.

6. ต่างกันกี่อย่าง ตัวเลขสองหลักสามารถเขียนได้จากตัวเลข 0, 1, 2, 3 ถ้าตัวเลข: ก) สามารถทำซ้ำได้; b) ไม่สามารถทำซ้ำได้?

7.

ภาคผนวก 2

9. โต๊ะพร้อมช้อนส้อม 6 ชิ้นสามารถนั่งคน 6 คนได้กี่วิธี

10.

11.

12. เลข 8 และ 9 สามารถเขียนตัวเลขที่น้อยกว่าหนึ่งล้านได้กี่จำนวน?

"พักผ่อน"

ค้นหารูปแบบการก่อสร้าง

ลำดับที่ 111, 213, 141,

516, 171, 819, 202, 122…

การบ้าน

1) ห้อง 5 "b" มีนักเรียน 26 คน คุณสามารถเลือกผู้นำชั้นเรียนและรองหัวหน้าชั้นเรียนได้กี่วิธี? ผู้ใหญ่บ้าน รอง และผู้รับผิดชอบในการปฏิบัติหน้าที่?

2) เราซื้อลูกโป่งสีแดง 9 ลูก สีเขียว 10 ลูก และสีเหลือง 7 ลูกที่ร้าน คุณสามารถหยิบลูกบอลหนึ่งลูกได้กี่วิธี? ลูกบอลสีเขียวและสีเหลือง? แดงหรือเหลือง?

3 ลูก สีที่ต่างกัน?

2 ลูกที่มีสีต่างกัน? (พิจารณา

ตัวเลือกที่เป็นไปได้ทั้งหมด)

อัพเดทความรู้.

การทำซ้ำสิ่งที่ได้รับการคุ้มครอง (การแก้ปัญหาโดยใช้วิธีเดรัจฉาน)

“การนับและการเอาใจใส่เป็นรากฐานของความเป็นระเบียบในหัว”

จากตัวเลข 5 และ 0 สามารถสร้างตัวเลขสองหลักที่แตกต่างกันได้จำนวนเท่าใด

(ไม่ทำซ้ำ)? 1 หมายเลข (50)

จากตัวเลข 3 และ 5 สามารถสร้างตัวเลขสองหลักที่แตกต่างกันได้จำนวนเท่าใด

(อนุญาตให้ทำซ้ำได้)? 4 หมายเลข (33, 55, 53, 35)

ต่างกันกี่อย่าง ตัวเลขสามหลักสามารถทำจากหมายเลข 3 และ 5

(อนุญาตให้ทำซ้ำได้)? 8 หมายเลข (333, 555, 355, 533, 335, 553, 353, 535)

สามารถสร้างตัวเลขสามหลักที่แตกต่างกันได้กี่ตัวจากตัวเลข 3, 8, 7

(ไม่ทำซ้ำ)? 6 หมายเลข (387, 378, 837, 873, 738, 783)

ใช้จำนวนตัวเลขที่ได้รับในแต่ละงาน ตั้งชื่อหัวข้อของบทเรียนวันนี้และเขียนลงในแผนที่บทเรียน: “พบกับ ___________________!”

หมายเลข 1 – “combi”

2 ตัวเลข – “วิชิ”

3 หมายเลข – “ห้อง”

4 ตัว – “NATO”

ตัวเลข 5 ตัว – “ธีม”

ตัวเลข 6 ตัว – “คะ”

ตัวเลข 7 ตัว – “aza”

ตัวเลข 8 ตัว – “ริ”

9 หมายเลข – “นีโม”

10 หมายเลข – “คอรัส”

คำตอบ: "combinatorics"

ในทางคณิตศาสตร์ มีปัญหามากมายที่จำเป็นต้องสร้างเซตต่างๆ จากองค์ประกอบที่มีอยู่ เพื่อนับจำนวนการรวมองค์ประกอบที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่เกิดขึ้นตามกฎข้อหนึ่ง เมื่อแก้ไขปัญหาดังกล่าว คุณจะต้องผ่านตัวเลือกต่าง ๆ จัดเรียงองค์ประกอบที่กำหนดใหม่และรวมเข้าด้วยกัน ปัญหาดังกล่าวเรียกว่าการรวมกัน และสาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับการแก้ปัญหาเหล่านี้เรียกว่าการรวมกัน

ทัศนศึกษาทางประวัติศาสตร์ (ข้อความของนักเรียน)

ผู้คนต้องเผชิญกับปัญหาการผสมผสานกันมาตั้งแต่สมัยโบราณ เช่น พวกเขาเลือกตำแหน่งที่ดีที่สุดสำหรับนักรบในระหว่างการล่าสัตว์ หรือเกิดลวดลายบนเสื้อผ้าหรือจาน ต่อมา เกมปรากฏขึ้นซึ่งต้องใช้ความสามารถในการวางแผน คำนวณการกระทำ และคิดให้รอบคอบ การรวมกันที่เป็นไปได้- นักโบราณคดีได้ค้นพบอุปกรณ์สำหรับเล่นเกมดังกล่าวในการฝังศพโบราณ เช่น ในปิรามิด ฟาโรห์อียิปต์ตุตันคามุน (ศตวรรษที่ 2 ก่อนคริสต์ศักราช) และต่อมาแบ็คแกมมอน หมากฮอส และหมากรุกก็ปรากฏตัวขึ้น

เป็นเวลาหลายศตวรรษมาแล้วที่วิชาเชิงผสมได้รับการพัฒนาในด้านเลขคณิต พีชคณิต และเรขาคณิต ดังนั้นนักวิทยาศาสตร์ชาวกรีกโบราณ ความสนใจอย่างมากให้ความสนใจกับการผสมผสานของตัวเลข - การรวบรวมและการศึกษา สี่เหลี่ยมมหัศจรรย์และเรขาคณิตเชิงผสม - ตัวเลขตัด

Combinatorics กลายเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ในศตวรรษที่ 17 เท่านั้น Chevalier Des Marais พลเมืองชาวฝรั่งเศสชอบประดิษฐ์คิดค้น เกมต่างๆการเล่นซึ่งฉันได้รับมาก ผลลัพธ์ที่น่าสนใจ- ตัวอย่างเช่น ครั้งหนึ่งเขาเคยคิดเกมนี้ขึ้นมา: เขาทอยลูกเต๋า 4 ลูก ลูกเต๋าที่มีแต้มต่อ 6 ลูกเป็นผู้ชนะ แต่พวกเขาก็เลิกเล่นกับเขาอย่างรวดเร็วเพราะเขาชนะบ่อยเกินไป อีกครั้งที่ Chevalier คิดเกมต่อไปนี้: เขาทอยลูกเต๋าสองลูกหลายครั้งและชนะหากมีการทอยสองแต้มอย่างน้อยหนึ่งครั้ง อย่างไรก็ตามในไม่ช้าเขาก็หยุดเล่นไปเพราะว่าเขาเริ่มจะแพ้บ่อยครั้ง ผลลัพธ์ของคดีนี้ทำให้ Chevalier de Marais ประหลาดใจอย่างมาก และเขาได้หันไปหานักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดสองคนในฝรั่งเศสในเวลานั้น ได้แก่ Blaise Pascal และ Pierre Fermat โดยมีคำถามว่าสามารถอธิบายความสำเร็จและความสูญเสียในเกมได้อย่างไร เช่น รวมถึงวิธีการวางเดิมพันในเกมดังกล่าวและเกมที่คล้ายกันอย่างถูกต้อง

เพื่อแก้ปัญหานี้ แบลส ปาสคาล และปิแอร์ แฟร์มาต์ได้พัฒนาจุดเริ่มต้นของคณิตศาสตร์สองสาขา: ทฤษฎีเชิงผสมผสานและทฤษฎีความน่าจะเป็น ต่อมานักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่หลายคนในสมัยนั้นได้ศึกษาวิทยาศาสตร์เหล่านี้ เช่น Jacob Bernoulli, Leonard Euler เป็นต้น

การใช้ Combinatorics ในปัจจุบันมีความหลากหลายมาก หนึ่งในนั้นคือการเข้ารหัสและถอดรหัสข้อความ (ยันต์ปรากฏในยุคกลาง) ในทางชีววิทยา การนับแบบผสมผสานจะใช้สำหรับการนับ โครงสร้างเซลล์ DNA และ RNA ในวิชาฟิสิกส์ - เพื่ออธิบายคุณสมบัติของผลึก Combinatorics ยังใช้กันอย่างแพร่หลายในวิชาเคมี

วัสดุทางทฤษฎี

เชิงผสมเป็นสาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่เน้นการแก้ปัญหาการเลือกและจัดเรียงองค์ประกอบที่กำหนดตามกฎที่กำหนด (ดูแผนที่บทเรียน)

คำถามทั่วไปวี ปัญหาเชิงผสมอา - นี่คือ " มีกี่วิธี- หรือ

« มีกี่ตัวเลือก…?»

ปัญหาเชิงผสมสามารถแก้ไขได้หลายวิธี: โดยวิธีการแจงนับ, การเรียงสับเปลี่ยน (เราคุ้นเคยกับสิ่งนี้แล้ว), การใช้กฎเกณฑ์บางประการของเชิงผสม (เราจะทำความคุ้นเคยกับพวกเขาวันนี้ในบทเรียน) และโดยการสร้างสิ่งที่เรียกว่า " ต้นไม้รูปแบบต่างๆ” (เราจะพูดถึงเรื่องนี้ในภายหลัง)

เรามาเริ่มทำความคุ้นเคยกับกฎของการรวมกัน - นี่คือกฎของผลรวมและผลคูณ

กฎผลรวม:

ถ้าองค์ประกอบ A บางตัวสามารถเลือกได้ m วิธี และองค์ประกอบ B สามารถเลือกได้ n วิธี ดังนั้นตัวเลือก "A หรือ B" ก็สามารถทำได้ด้วยวิธี (m + n) ตัวอย่างเช่น หากคุณได้รับแอปเปิ้ล 5 ผลและลูกแพร์ 4 ลูก คุณสามารถเลือกผลไม้ 1 ผลได้ 5 + 4 = 9 วิธี (ดูแผนที่บทเรียน)

ก) ในแจกันมีแอปเปิ้ล 6 ลูก ลูกแพร์ 5 ลูก และลูกพลัม 4 ลูก การเลือกผลไม้หนึ่งผลมีกี่ตัวเลือก?

(15 ตัวเลือก)

b) ร้านค้าขายดอกกุหลาบสีแดง 3 ดอก, ดอกกุหลาบขาว 2 ดอก และดอกกุหลาบสีเหลือง 4 ดอก คุณสามารถซื้อดอกไม้ได้กี่วิธี? (9 วิธี)

เราดึงความสนใจไปที่ความจริงที่ว่า เราเลือกองค์ประกอบที่เสนอเพียงรายการเดียวเท่านั้น

กฎผลิตภัณฑ์:

ถ้าองค์ประกอบ A บางตัวสามารถเลือกได้ m วิธี และองค์ประกอบ B สามารถเลือกได้ n วิธี ดังนั้นตัวเลือก "A และ B" ก็สามารถทำได้ด้วยวิธี (m n) ตัวอย่างเช่น หากคุณได้รับซอง 2 ซองและโปสการ์ด 3 ใบ คุณสามารถสร้างคู่กัน (ซองจดหมายและโปสการ์ด) ได้ใน 3 · 2 = 6 วิธี (ดูแผนที่บทเรียน)

แก้ไขปัญหาต่อไปนี้ด้วยวาจา:

ก) เด็กชาย 8 คนและเด็กหญิง 6 คนสามารถสร้างคู่เต้นรำได้กี่คู่? (48 คู่)

b) มี 4 คอร์สแรกและ 7 คอร์สที่สองลดราคาในห้องรับประทานอาหาร คุณสามารถสั่งอาหารกลางวันแบบสองคอร์สได้กี่แบบ? (28 ตัวเลือก)

โปรดทราบว่า เราเลือกคู่องค์ประกอบจากชุดที่เสนอ

การแก้ปัญหา

นักเรียนเขียนแบบฟอร์มแผนที่บทเรียนในส่วนที่เหมาะสม ข้อความของงานจะอยู่ในแผ่นงานแยกกันสำหรับนักเรียนแต่ละคน รายการงานสามารถแก้ไขได้โดยการเพิ่มหรือลบคำถามบางส่วน ขึ้นอยู่กับระดับของชั้นเรียน คุณสามารถแบ่งงานตามระดับความยาก เหลือบางส่วนไว้ทำ การตัดสินใจที่เป็นอิสระ- ในปัญหาบางอย่าง จะมีประโยชน์ที่จะเน้นย้ำว่าพวกเขาได้รับการแก้ไขแล้วโดยใช้วิธีกำลังดุร้าย และในปัจจุบันมีวิธีที่สองในการแก้ไข ใช้แนวทางที่แตกต่างในขั้นตอนนี้ ป้อนองค์ประกอบ งานอิสระตามด้วยการทดสอบตัวเอง

1. คุณสามารถเลือกสระและพยัญชนะในคำว่า "ผ้าคลุมไหล่" ได้กี่วิธี? (คำมีพยัญชนะ 4 ตัว สระ 2 ตัว ซึ่งหมายความว่าตามกฎการคูณตัวเลือกในการเลือกคู่คือ 4 · 2 = 8)

2. ทหารถือปืนคาบศิลาผู้มีชื่อเสียงคนหนึ่งมีหมวกหรูหรา 3 ใบอยู่ในตู้เสื้อผ้าของเขา

เสื้อกันฝนสวยๆ 4 ตัว และรองเท้าบู๊ทดีๆ 2 คู่ เขาสามารถเลือกชุดได้กี่แบบ?

ใส่? (เราเลือกหนึ่งองค์ประกอบจากสามชุดนั่นคือเราเขียน

“สาม” ซึ่งหมายความว่าตามกฎการคูณเราจะได้ตัวเลือกชุด 3 · 4 · 2 = 24 ชุด)

3. ในทีมฟุตบอลมี 11 คน มีความจำเป็นต้องเลือกกัปตันและรองของเขา สามารถทำได้กี่วิธี? (มีทั้งหมด 11 คน ซึ่งหมายความว่าสามารถเลือกกัปตันได้ 11 วิธี เหลือผู้เล่น 10 คนที่จะเลือกรองกัปตันได้ ดังนั้น 1 คู่คือกัปตันและรองกัปตันจะสามารถเลือกได้ใน 11 · 10 = 110 วิธี)

4. สามารถสร้างตัวเลขสองหลักที่แตกต่างกันได้จำนวนเท่าใดโดยใช้ตัวเลข 1, 4, 7 หากตัวเลขซ้ำกัน (คุณควรจะได้ตัวเลขสองหลัก - เพียงสองตำแหน่งเท่านั้น ในตำแหน่งแรกคุณสามารถใส่ตัวเลขที่เสนอใด ๆ - 3 ตัวเลือก ในตำแหน่งที่สองโดยคำนึงถึงความเป็นไปได้ในการทำซ้ำตัวเลขก็มี 3 ตัวเลือกเช่นกัน . ซึ่งหมายความว่าเราสร้างคู่ของตัวเลข 3 · 3 = 9 วิธี เช่น คุณจะได้ตัวเลข 9 ตัว

การบันทึกวิธีแก้ปัญหา:

3 ∙ 3 = 9 หมายเลข

บันทึกการแก้ปัญหานี้ใช้กับปัญหาที่คล้ายกันทั้งหมดเมื่อทำงานกับแบบฟอร์มแผนที่บทเรียน)

5. จากตัวเลข 1, 2, 3, 4, 5 สามารถสร้างตัวเลขสามหลักที่แตกต่างกันได้จำนวนเท่าใด โดยต้องไม่มีตัวเลขซ้ำกัน (ตัวเลขสามหลัก: ตำแหน่งแรก - 5 ตัวเลือกสำหรับตัวเลข ตำแหน่งที่สอง โดยคำนึงถึงการยกเว้นการซ้ำของตัวเลข - 4 ตัวเลือก ตำแหน่งที่สาม - 3 ตัวเลือก เราได้ 5 4 3 = 60 หมายเลข)

6. สามารถสร้างตัวเลขสองหลักที่แตกต่างกันได้จำนวนเท่าใดจากตัวเลข 0, 1, 2, 3 ถ้าตัวเลขคือ:

ก) อาจทำซ้ำได้ b) ไม่สามารถทำซ้ำได้? (ก) ตัวเลขสองหลัก เช่นเดียวกับหลายตัวใดๆ

มีค่า ไม่สามารถเริ่มจาก 0 ได้ ดังนั้นคุณจึงสามารถใส่ไว้ในตำแหน่งแรกได้

มีเพียง 3 ตัวจากทั้งหมด 4 หลัก 3 ตัวเลือกไปยังตำแหน่งที่สองโดยคำนึงถึง

ประการที่สองคุณสามารถใส่ตัวเลขใดก็ได้ - 4 ตัวเลือก ดังนั้นปรากฎว่า

3 · 4 = 12 หมายเลข; b) ตำแหน่งแรก – 3 ตัวเลือก ตำแหน่งที่สอง – 3 ตัวเลือก เพราะ

ไม่รวมการทำซ้ำ เราได้ 3 · 3 = 9 หมายเลข)

7. จากตัวเลข 1, 3, 5, 7, 9 สามารถสร้างตัวเลขสามหลักที่แตกต่างกันได้จำนวนเท่าใดซึ่งน้อยกว่า 400 หากแต่ละหลักสามารถใช้ได้เพียงครั้งเดียว (ตัวเลขสามหลัก< 400, значит, на первую позицию можно поставить лишь 1 или 3 – 2 варианта выбора, на вторую, исключая повтор, – 4 варианта цифр из 5-ти, на третью позицию – 3 варианта. Получается 2 · 4 · 3 = 24 числа.)

8. รหัสตู้นิรภัยประกอบด้วยตัวเลขที่แตกต่างกันห้าหมายเลข มีตัวเลือกต่าง ๆ มากมายสำหรับการสร้างรหัส? (5 4 3 2 1 = 120 ตัวเลือก)

9. โต๊ะตัวหนึ่งจะนั่งคน 6 คนได้กี่วิธี

6 เครื่อง? (6 5 4 3 2 1 = 720 วิธี)

10. ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 มีการศึกษา 8 วิชา คุณสามารถสร้างตัวเลือกกำหนดการสำหรับวันจันทร์ได้กี่ตัวเลือก หากวันนี้ควรมี 5 บทเรียนและบทเรียนทั้งหมดแตกต่างกัน (8 7 6 5 4 = 6720 ตัวเลือก)

11. คุณสามารถสร้างหมายเลขโทรศัพท์เจ็ดหลักที่เป็นไปได้ได้กี่หมายเลขหากคุณไม่รวมหมายเลขที่ขึ้นต้นด้วย 0 และ 9 (ตัวเลขที่ใช้คือ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 - รวมทั้งหมด 10 หลัก ไม่รวมโดยรูปแบบ 0 และ 9 ที่จุดเริ่มต้นของตัวเลข โดยคำนึงถึงความเป็นไปได้ของ ซ้ำจะได้ 8 10 10 10 · 10 · 10 · 10 = 8 หลัก)

12. จำนวนตัวเลขที่น้อยกว่าหนึ่งล้านสามารถเขียนโดยใช้ตัวเลขได้กี่จำนวน?

8 และ 9? (เลขหลักเดียว - 2, เลขสองหลัก - 2 2 = 4, เลขสามหลัก -

2 2 2 = 8 ตัวเลขสี่หลัก – 16 ตัวเลขห้าหลัก – 32 ตัวเลขหกหลัก

หมายเลข – 64 และทั้งหมด – 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 126 หมายเลข)

"พักผ่อน"

จงหารูปแบบการสร้างลำดับที่ 111, 213, 141, 516, 171, 819, 202, 122... (ในลำดับนี้ คุณต้องจัดเรียงลูกน้ำให้แตกต่างออกไป และเราจะได้ 11, 12, 13, 14, 15...)

การตั้งค่าการบ้าน (ดูภาคผนวก 2), การทำซ้ำ วัสดุทางทฤษฎี(กฎการบวกและการคูณ เงื่อนไขในการเลือกองค์ประกอบ)

ทำงานอิสระ (ตามด้วยการทดสอบร่วมกันเป็นคู่)

· การเลือกองค์ประกอบใดองค์ประกอบหนึ่งจากชุดที่เสนอจะดำเนินการตามกฎ ______________________ การเลือกคู่หรือองค์ประกอบเพิ่มเติมจากเซตเกิดขึ้นตามกฎ __________

· ในแจกันมีดอกทิวลิปสีแดง 5 ดอก สีขาว 3 ดอก และสีเหลือง 3 ดอก คุณสามารถเลือกดอกไม้หนึ่งดอกจากแจกันได้ด้วยวิธี ________ สามารถเลือกดอกไม้สามดอกที่มีสีต่างกันได้ด้วยวิธี ________

· สามารถสร้างตัวเลขสามหลักที่แตกต่างกันได้จำนวนเท่าใดโดยใช้ตัวเลข 3 และ 5 หากอนุญาตให้ทำซ้ำได้ -

· ในวันพฤหัสบดี ชั้นประถมศึกษาปีที่ 1 ควรมี 4 บทเรียน ได้แก่ การเขียน การอ่าน คณิตศาสตร์ พลศึกษา คุณสามารถเสนอตัวเลือกตารางเวลาที่แตกต่างกันได้กี่แบบสำหรับวันนี้?

_________________________________________________________________________________

คำตอบ: การบวก การคูณ 11, 45, 2 2 2 =8, 4 3 2 1 = 24.

การทบทวน การให้เกรด การอภิปรายผลลัพธ์

สรุปบทเรียน

ในขั้นตอนนี้ของบทเรียน นอกเหนือจากการสนทนาแบบดั้งเดิมเกี่ยวกับงานที่กำหนดไว้และความสำเร็จของงานแล้ว คุณควรกลับไปที่บทสรุปของบทเรียน (ดูแบบฟอร์มแผนที่บทเรียน) และคิดถึงคำศัพท์ต่างๆ

นอกจากนี้ นักเรียนจะต้องตอบคำถามสั้นๆ 3 ข้อ:

· ในบทเรียนวันนี้ ฉันคือ... (ง่าย ปกติ ยาก)

· วัสดุใหม่ฉัน... (ฉันเรียนแล้วสมัครได้ เรียนแล้วสมัครยาก ยังไม่ได้เรียน)

· ความนับถือตนเองในบทเรียน...

ไม่จำเป็นต้องลงนามคำตอบสำหรับคำถามข้างต้น เนื่องจากหน้าที่หลักคือการช่วยครูวิเคราะห์บทเรียนและผลลัพธ์

คำหลัง

บทเรียนต่อไปจะเกี่ยวข้องกับการทำงานเกี่ยวกับเนื้อหาที่ครอบคลุมบนเวที งานช่องปากนำเสนอแนวคิด “ต้นไม้” ตัวเลือกที่เป็นไปได้» อีกหนึ่งแนวทางในการแก้ปัญหาแบบผสมผสาน การจัดระบบวิธีการศึกษาเพื่อแก้ไขปัญหา การประชุมเชิงปฏิบัติการการแก้ปัญหา ในรูปแบบต่างๆ, การแก้ปัญหา ระดับที่สูงขึ้น, การควบคุมความรู้

Combinatorics เป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่อุทิศให้กับการแก้ปัญหาในการเลือกและจัดเรียงองค์ประกอบของเซตใดเซตหนึ่งตามกฎที่กำหนด Combinatorics ศึกษาการผสมผสานและการเรียงสับเปลี่ยนของวัตถุ การจัดเรียงองค์ประกอบที่มีคุณสมบัติที่ระบุ คำถามทั่วไปในการแก้ปัญหาแบบผสมผสานคือ มีกี่วิธี….

ปัญหาเชิงผสมผสานยังรวมถึงปัญหาในการสร้างสี่เหลี่ยมมหัศจรรย์ ปัญหาการถอดรหัสและการเข้ารหัส

การกำเนิดของเชิงคณิตศาสตร์ในฐานะสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์มีความเกี่ยวข้องกับผลงานของนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสผู้ยิ่งใหญ่ในศตวรรษที่ 17 แบลส ปาสคาล (ค.ศ. 1623–1662) และปิแอร์ แฟร์มาต์ (ค.ศ. 1601–1665) เกี่ยวกับทฤษฎีนี้ การพนัน- งานเหล่านี้มีหลักการในการกำหนดจำนวนการรวมกันขององค์ประกอบของเซตจำกัด ตั้งแต่ทศวรรษที่ 50 ของศตวรรษที่ 20 ความสนใจในวิชาเชิงผสมได้รับการฟื้นคืนขึ้นมาเนื่องจากการพัฒนาอย่างรวดเร็วของไซเบอร์เนติกส์

กฎพื้นฐานของการรวมกันคือ กฎผลรวมและ กฎ ทำงาน.

• กฎผลรวม

หากสามารถเลือกองค์ประกอบ A บางตัวได้ nวิธีและองค์ประกอบ B สามารถเลือกได้ มวิธีใดจึงจะสามารถเลือกได้ว่า "A หรือ B" อย่างใดอย่างหนึ่ง n+ มวิธี

ตัวอย่างเช่น หากมีแอปเปิ้ล 5 ลูกและลูกแพร์ 6 ลูกบนจาน ก็จะสามารถเลือกผลไม้ 1 ผลได้ 5 + 6 = 11 วิธี

• กฎผลิตภัณฑ์

หากสามารถเลือกองค์ประกอบ A ได้ nวิธีและองค์ประกอบ B สามารถเลือกได้ มวิธีจึงสามารถเลือกคู่ A และ B ได้ n มวิธี

ตัวอย่างเช่น หากมีซองจดหมาย 2 ซองและตราประทับ 3 ดวงที่แตกต่างกัน คุณสามารถเลือกซองจดหมายและตราประทับได้ 6 วิธี (2 3 = 6)

กฎผลคูณก็เป็นจริงเช่นกันเมื่อพิจารณาองค์ประกอบของหลายชุด

ตัวอย่างเช่น หากมีซองจดหมาย 2 ซอง แสตมป์ 3 ดวง และโปสการ์ด 4 ใบ คุณสามารถเลือกซองจดหมาย แสตมป์ และโปสการ์ดได้ 24 วิธี (2 3 4 = 24)

สินค้าทั้งหมด ตัวเลขธรรมชาติตั้งแต่ 1 ถึง n รวมเรียกว่า n - แฟกทอเรียลและเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ n!

มะ! = 1 2 3 4 …น.

เช่น 5! = 1 2 3 4 5 = 120.

ตัวอย่างเช่น หากมีลูกบอล 3 ลูก - แดง น้ำเงิน และเขียว คุณสามารถวางมันติดต่อกันได้ 6 วิธี (3 2 1 = 3! = 6)

บางครั้งปัญหาเชิงผสมผสานก็แก้ไขได้ด้วยการสร้าง ต้นไม้ ตัวเลือกที่เป็นไปได้.

ตัวอย่างเช่น เรามาแก้ปัญหาก่อนหน้าเกี่ยวกับลูกบอล 3 ลูกด้วยการสร้างต้นไม้กัน

Workshop การแก้ปัญหาเชิงผสมผสาน

ความท้าทายและแนวทางแก้ไข

1. ในแจกันมีแอปเปิ้ล 6 ลูก ลูกแพร์ 5 ลูก และลูกพลัม 4 ลูก การเลือกผลไม้หนึ่งผลมีกี่ตัวเลือก?

คำตอบ: 15 ตัวเลือก

2. มีทางเลือกกี่ทางในการซื้อดอกกุหลาบหนึ่งดอกหากขายดอกกุหลาบสีแดง 3 ดอก สีแดง 2 ดอก และสีเหลือง 4 ดอก?

คำตอบ: 9 ตัวเลือก

3. ถนนห้าสายทอดจากเมือง A ไปยังเมือง B และถนนสามสายทอดจากเมือง B ไปยังเมือง C มีกี่เส้นทางที่ผ่าน B นำจาก A ถึง C?

คำตอบ: 15 วิธี

4. คุณจะสร้างสระหนึ่งตัวและพยัญชนะตัวหนึ่งของคำว่า "ผ้าพันคอ" ได้กี่วิธี?

สระ: a, o – 2 ชิ้น
พยัญชนะ: p, l, t, k – 4 ชิ้น

คำตอบ: 8 วิธี

5. ชาย 8 คน และหญิง 6 คนสามารถสร้างคู่เต้นรำได้กี่คู่?

คำตอบ: 48 คู่.

6. ห้องรับประทานอาหารมี 4 คอร์สแรกและ 7 คอร์สที่สอง คุณสามารถสั่งอาหารกลางวันแบบสองคอร์สได้กี่แบบ?

คำตอบ: 28 ตัวเลือก

7. ถ้าตัวเลขซ้ำกันสามารถสร้างตัวเลขสองหลักที่แตกต่างกันได้จำนวนเท่าใด โดยใช้ตัวเลข 1, 4 และ 7

1 หลัก – 3 วิธี
2 หลัก – 3 วิธี
3 หลัก – 3 วิธี

คำตอบ: ตัวเลขสองหลักที่แตกต่างกัน 9 ตัว

8. ถ้าตัวเลขซ้ำกันสามารถสร้างตัวเลขสามหลักที่แตกต่างกันได้จำนวนเท่าใด

1 หลัก – 2 วิธี
หลักที่ 2 – 2 วิธี
หลักที่ 3 – 2 วิธี

คำตอบ: 8 ตัวเลขที่แตกต่างกัน

9. ถ้าตัวเลขซ้ำกันสามารถสร้างตัวเลขสองหลักที่แตกต่างกันได้จำนวนเท่าใด

1 หลัก – 3 วิธี
2 หลัก – 4 วิธี

คำตอบ: 12 ตัวเลขที่แตกต่างกัน

10. มีตัวเลขสามหลักจำนวนเท่าใด โดยทุกหลักเป็นเลขคู่?

เลขคู่ – 0, 2, 4, 6, 8

1 หลัก – 4 วิธี
2 หลัก – 5 วิธี
3 หลัก – 5 วิธี

คำตอบ: มี 100 หมายเลข

11. มีเลขสามหลักเลขคู่กี่ตัว?

1 หลัก – 9 วิธี (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
หลักที่ 2 – 10 วิธี (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
หลักที่ 3 – 5 วิธี (0, 2, 4, 6, 8)

9 10 5 = 450

ตอบ มีทั้งหมด 450 หมายเลข

12. 4, 5, 6 สามหลักสามารถสร้างตัวเลขสามหลักที่แตกต่างกันได้กี่ตัว

1 หลัก – 3 วิธี
หลักที่ 2 – 2 วิธี
หลักที่ 3 – วิธีที่ 1

คำตอบ: 6 ตัวเลขที่แตกต่างกัน

13. คุณสามารถกำหนดจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมโดยใช้ตัวอักษร A, B, C, D ได้กี่วิธี?

1 บน – 4 วิธี
อันดับ 2 – 3 วิธี
อันดับ 3 – 2 วิธี

คำตอบ: 24 วิธี

14. จากตัวเลข 1, 2, 3, 4, 5 สามารถสร้างตัวเลขสามหลักที่แตกต่างกันได้จำนวนเท่าใด โดยต้องไม่ซ้ำหลักหลักเดียว

1 หลัก – 5 วิธี
2 หลัก – 4 วิธี
3 หลัก – 3 วิธี

คำตอบ: 60 ตัวเลขที่แตกต่างกัน

15. จากเลข 1, 3, 5, 7, 9 สามารถสร้างตัวเลขสามหลักที่แตกต่างกันได้จำนวนเท่าใดซึ่งน้อยกว่า 400 ถ้าตัวเลขเหล่านี้สามารถใช้ได้เพียงครั้งเดียว

1 หลัก – 2 วิธี
2 หลัก – 4 วิธี
3 หลัก – 3 วิธี

คำตอบ: 24 ตัวเลขที่แตกต่างกัน

16. ธงประกอบด้วยแถบแนวนอน 3 แถบที่มีสีต่างกันได้กี่วิธี ถ้ามีวัสดุ 6 สี

1 เลน – 6 วิธี
2 เลน – 5 วิธี
3 เลน – 4 วิธี

คำตอบ: 120 วิธี

17. 8 คนที่ได้รับการคัดเลือกจากชั้นเรียนที่มี ผลลัพธ์ที่ดีที่สุดในระหว่างการวิ่ง พวกเขาจะสามารถทำให้เป็นทีมได้กี่วิธี สามคนที่จะเข้าร่วมในการถ่ายทอด?

1 คน – 8 วิธี
2 คน – 7 วิธี
3 คน – 6 วิธี

คำตอบ: 336 วิธี

18. ในวันพฤหัสบดี ชั้นประถมศึกษาปีที่ 1 ควรมีสี่บทเรียน ได้แก่ การเขียน การอ่าน คณิตศาสตร์ และพลศึกษา คุณสามารถสร้างตัวเลือกตารางเวลาที่แตกต่างกันได้กี่ตัวเลือกสำหรับวันนี้

1 บทเรียน – 4 วิธี
บทที่ 2 – 3 วิธี
บทที่ 3 – 2 วิธี
บทที่ 4 – วิธีที่ 1

4 3 2 1 = 24

คำตอบ: 24 ตัวเลือก

19. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 มีการศึกษา 8 วิชา คุณสามารถสร้างตัวเลือกกำหนดการสำหรับวันจันทร์ได้กี่ตัวเลือก หากวันนี้ควรมี 5 บทเรียนและบทเรียนทั้งหมดแตกต่างกัน

1 บทเรียน – 8 ตัวเลือก
บทที่ 2 – 7 ตัวเลือก
บทที่ 3 – 6 ตัวเลือก
บทที่ 4 – 5 ตัวเลือก
บทที่ 5 – 4 ตัวเลือก

8 7 6 5 4 = 6720

คำตอบ: 6720 ตัวเลือก

20. รหัสตู้เซฟประกอบด้วยตัวเลขที่แตกต่างกันห้าตัว มีตัวเลือกต่าง ๆ มากมายสำหรับการสร้างรหัส?

1 หลัก – 5 วิธี
2 หลัก – 4 วิธี
3 หลัก – 3 วิธี
4 หลัก – 2 วิธี
5 หลัก – 1 วิธี

5 4 3 2 1 = 120

คำตอบ: 120 ตัวเลือก

21. คน 6 คนสามารถนั่งที่โต๊ะพร้อมช้อนส้อม 6 อันได้กี่วิธี?

6 5 4 3 2 1 = 720

คำตอบ: 720 วิธี

22. หมายเลขโทรศัพท์เจ็ดหลักสามารถเกิดขึ้นได้กี่รูปแบบหากคุณไม่รวมหมายเลขที่ขึ้นต้นด้วยศูนย์และ 9

1 หลัก – 8 วิธี
2 หลัก – 10 วิธี
3 หลัก – 10 วิธี
4 หลัก – 10 วิธี
5 หลัก – 10 วิธี
6 หลัก – 10 วิธี
7 หลัก – 10 วิธี

8 10 10 10 10 10 10 = 8.000.000

คำตอบ: 8,000,000 ตัวเลือก

23. การแลกเปลี่ยนโทรศัพท์ให้บริการสมาชิกที่มีหมายเลขโทรศัพท์ 7 หลักและขึ้นต้นด้วย 394 สถานีนี้ออกแบบมาสำหรับสมาชิกจำนวนกี่ราย?

หมายเลขโทรศัพท์ 394

10 10 10 10 = 10.000

คำตอบ: 10,000 สมาชิก

24. ถุงมือขนาดต่างๆ มี 6 คู่ สามารถเลือกถุงมือหนึ่งใบได้กี่วิธี? มือซ้ายและถุงมือหนึ่งอันสำหรับ มือขวาถุงมือพวกนี้มีหลายขนาดเหรอ?

ถุงมือซ้าย - 6 วิธี
ถุงมือขวา - 5 วิธี (ถุงมือที่ 6 ขนาดเดียวกับถุงมือซ้าย)

คำตอบ: 30 วิธี

25. ตัวเลข 1, 2, 3, 4, 5 ประกอบขึ้นเป็นตัวเลขห้าหลักซึ่งตัวเลขทั้งหมดต่างกัน พวกนี้กี่ตัวครับ เลขคู่?

หลักที่ 5 – 2 วิธี (เลขคู่ 2 หลัก)
4 หลัก – 4 วิธี
3 หลัก – 3 วิธี
หลักที่ 2 – 2 วิธี
1 หลัก – 1 วิธี

2 4 3 2 1 = 48

คำตอบ: 48 เลขคู่

26. มีตัวเลขสี่หลักที่ประกอบด้วยเลขคี่หารด้วย 5 ลงตัวทั้งหมดกี่จำนวน?

เลขคี่ – 1, 3, 5, 7, 9
ในจำนวนนี้แบ่งออกเป็น 5 - 5

4 หลัก – 1 วิธี (หลัก 5)
3 หลัก – 4 วิธี
2 หลัก – 3 วิธี
1 หลัก – 2 วิธี

1 4 3 2 = 24

คำตอบ: 24.

27. มีตัวเลขห้าหลักจำนวนเท่าใด โดยหลักที่สามเป็น 7 และหลักสุดท้ายเป็นเลขคู่

1 หลัก – 9 วิธี (ทั้งหมดยกเว้น 0)
2 หลัก – 10 วิธี
3 หลัก – 1 วิธี (หลัก 7)
4 หลัก – 10 วิธี
5 หลัก – 5 วิธี (0, 2, 4, 6, 8)

9 10 1 10 5 = 4500

คำตอบ: 4500 หมายเลข

28. มีตัวเลขหกหลักกี่ตัว ซึ่งหลักที่สองคือ 2 หลักที่สี่คือ 4 หลักที่หกคือ 6 และที่เหลือเป็นเลขคี่ทั้งหมด

1 หลัก – 5 ตัวเลือก (จาก 1, 3, 5, 7, 9)
2 หลัก – 1 ตัวเลือก (หลัก 2)
หลักที่ 3 – 5 ตัวเลือก
4 หลัก – 1 ตัวเลือก (หลัก 4)
5 หลัก – 5 ตัวเลือก
6 หลัก – 1 ตัวเลือก (หลัก 6)

5 1 5 1 5 1 = 125

คำตอบ: 125 หมายเลข

29. เลข 8 และ 9 สามารถเขียนตัวเลขที่มีค่าน้อยกว่า 1 ล้านได้กี่จำนวน?

หลักเดียว – 2
หลักสองหลัก – 2 2 = 4
ตัวเลขสามหลัก – 2 2 2 = 8
ตัวเลขสี่หลัก – 2 2 2 2 =16
ห้าหลัก – 2 2 2 2 2 = 32
หกหลัก – 2 2 2 2 2 2 = 64

รวม: 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 126

คำตอบ: 126 หมายเลข

30. ทีมฟุตบอลมี 11 คน คุณต้องเลือกกัปตันและรองของเขา สามารถทำได้กี่วิธี?

กัปตัน - 11 วิธี
รอง - 10 วิธี

คำตอบ: 110 วิธี

31.ชั้นเรียนมี 30 คน. คุณสามารถเลือกผู้ใหญ่บ้านและผู้รับผิดชอบตั๋วเดินทางได้กี่วิธี?

ผู้ใหญ่บ้าน - 30 วิธี
คำตอบ. สำหรับตั๋ว - 29 วิธี

คำตอบ: 870 วิธี

32. เด็กผู้ชาย 12 คน เด็กผู้หญิง 10 คน และครู 2 คน เข้าร่วมการเดินป่าครั้งนี้ สามารถกำหนดตัวเลือกสำหรับกลุ่มสามคนที่ปฏิบัติหน้าที่ (เด็กชาย 1 คน เด็กผู้หญิง 1 คน ครู 1 คน) ได้กี่ตัวเลือก

12 10 2 = 240

คำตอบ: 240 วิธี

33. ตัวอักษรรัสเซียสี่ตัวรวมกันได้กี่ตัว (ในตัวอักษรมีเพียง 33 ตัว) โดยที่ตัวอักษร 2 ตัวที่อยู่ติดกันต่างกัน?

เมื่อแก้ไขปัญหาในทางปฏิบัติหลายอย่าง มีความจำเป็นต้องใช้การรวมกันขององค์ประกอบ เลือกจากชุดที่กำหนดซึ่งมีคุณสมบัติบางอย่าง และวางไว้ในลำดับที่แน่นอน งานดังกล่าวเรียกว่า การรวมกัน- สาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับการแก้ปัญหาการเลือกและการจัดเรียงองค์ประกอบตามเงื่อนไขที่กำหนดเรียกว่าเชิงคณิตศาสตร์ คำว่า "combinatorics" มาจาก คำภาษาละติน "รวมกัน"ซึ่งแปลเป็นภาษารัสเซียแปลว่า "รวม" "เชื่อมต่อ"

กลุ่มองค์ประกอบที่เลือกเรียกว่าการเชื่อมต่อ หากองค์ประกอบทั้งหมดของการเชื่อมต่อแตกต่างกัน เราจะได้การเชื่อมต่อโดยไม่ต้องทำซ้ำ ซึ่งเราจะพิจารณาด้านล่าง

ปัญหาเชิงผสมส่วนใหญ่แก้ไขได้โดยใช้กฎพื้นฐานสองข้อ - กฎผลรวมและกฎผลคูณ.

ภารกิจที่ 1

ร้าน Everything for Tea มีถ้วย 6 แบบและจานรอง 4 แบบ คุณสามารถซื้อถ้วยและจานรองได้กี่แบบ

สารละลาย.

เราสามารถเลือกถ้วยได้ 6 วิธี และจานรองได้ 4 วิธี เนื่องจากเราต้องซื้อถ้วยและจานรอง 1 คู่ จึงทำได้ 6 · 4 = 24 วิธี (ตามกฎผลิตภัณฑ์)

คำตอบ: 24.

เพื่อแก้ปัญหาเชิงผสมได้สำเร็จ คุณต้องเลือกสูตรที่ถูกต้องเพื่อใช้ค้นหาจำนวนสารประกอบที่ต้องการด้วย แผนภาพต่อไปนี้จะช่วยในเรื่องนี้

ลองพิจารณาแก้ไขปัญหาต่าง ๆ กัน ประเภทต่างๆการเชื่อมต่อโดยไม่ต้องทำซ้ำ

ภารกิจที่ 2

ค้นหาจำนวนตัวเลขสามหลักที่สามารถสร้างขึ้นจากตัวเลข 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ถ้าตัวเลขไม่สามารถทำซ้ำในตัวเลขได้

ตัวอย่างที่ 3

ในการเลือกสูตร เราพบว่าสำหรับตัวเลขที่เราจะเขียนนั้น ลำดับจะถูกนำมาพิจารณาและไม่ได้เลือกองค์ประกอบทั้งหมดพร้อมกัน หมายความว่าการเชื่อมต่อนี้เป็นการจัดเรียงองค์ประกอบ 7 รายการๆ ละ 3 รายการ ลองใช้สูตรสำหรับจำนวนตำแหน่ง: A 7 3 = 7(7 – 1)(7 – 2) = 7 · 6 · 5 = 210 หมายเลข

คำตอบ: 210.

ภารกิจที่ 3

มีหมายเลขโทรศัพท์เจ็ดหลักจำนวนเท่าใดที่ตัวเลขทั้งหมดต่างกันและไม่สามารถขึ้นต้นด้วยศูนย์ได้

ตัวอย่างที่ 3

เมื่อมองแวบแรก งานนี้เหมือนกับงานก่อนหน้า แต่ปัญหาคือเราจะต้องไม่คำนึงถึงการเชื่อมต่อที่เริ่มต้นจากศูนย์ ซึ่งหมายความว่าคุณต้องสร้างหมายเลขโทรศัพท์เจ็ดหลักทั้งหมดจากตัวเลข 10 หลักที่มีอยู่ จากนั้นลบจำนวนตัวเลขที่ขึ้นต้นด้วยศูนย์ออกจากหมายเลขผลลัพธ์ สูตรจะมีลักษณะดังนี้:

ก 10 7 – ก 9 6 = 10 9 8 7 6 5 4 – 9 8 7 6 5 4 = 544,320.

คำตอบ: 544 320.

ภารกิจที่ 4

หนังสือ 12 เล่มสามารถจัดวางบนชั้นวางได้กี่วิธี โดย 5 เล่มในนั้นเป็นคอลเลกชันบทกวี เพื่อให้คอลเลกชันอยู่ติดกัน

ตัวอย่างที่ 3

ก่อนอื่น ให้เรานำคอลเลกชั่น 5 คอลเลกชั่นเป็นหนังสือเล่มเดียวโดยมีเงื่อนไข เนื่องจากคอลเลกชั่นเหล่านั้นควรอยู่ติดกัน เนื่องจากลำดับเป็นสิ่งจำเป็นในการรวมกัน และใช้องค์ประกอบทั้งหมด ซึ่งหมายความว่าสิ่งเหล่านี้คือการเรียงสับเปลี่ยนขององค์ประกอบ 8 รายการ (หนังสือ 7 เล่ม + หนังสือทั่วไป 1 เล่ม) หมายเลขของพวกเขาคือ R 8 ต่อไปเราจะจัดเรียงเฉพาะคอลเลกชันบทกวีในหมู่พวกเราเอง ซึ่งสามารถทำได้ 5 วิธี เนื่องจากเราต้องจัดเรียงทั้งคอลเลกชันและหนังสือเล่มอื่นๆ เราจึงจะใช้กฎผลิตภัณฑ์ ดังนั้น ป 8 · ป 5 = 8! · 5!. จำนวนวิธีจะมีมาก ดังนั้นคำตอบจึงสามารถเหลืออยู่ในรูปผลคูณของแฟกทอเรียลได้

ตอบ: 8! · 5!

ปัญหาที่ 5.

ในชั้นเรียนมีเด็กชาย 16 คน และเด็กหญิง 12 คน ในการทำความสะอาดบริเวณใกล้โรงเรียน คุณต้องมีเด็กชาย 4 คนและเด็กหญิง 3 คน สามารถเลือกนักเรียนทุกคนในชั้นเรียนได้กี่วิธี?

ตัวอย่างที่ 3

ขั้นแรก เราเลือกเด็กผู้ชาย 4 คนจาก 16 คนและเด็กผู้หญิง 3 คนจาก 12 คนแยกกัน เนื่องจากไม่ได้คำนึงถึงลำดับตำแหน่ง สารประกอบที่เกี่ยวข้องจึงเป็นการรวมกันโดยไม่มีการทำซ้ำ เนื่องจากจำเป็นต้องเลือกทั้งเด็กชายและเด็กหญิงในเวลาเดียวกัน เราจึงใช้กฎผลคูณ โดยจะคำนวณจำนวนวิธีดังนี้

ค 16 4 C 12 3 = (16!/(4! 12!)) (12!/(3! 9!)) = ((13 14 15 16) / (2 3 4)) ·((10 · 11 · 12) / (2 · 3)) = 400 400

คำตอบ: 400 400.

ดังนั้น, โซลูชั่นที่ประสบความสำเร็จปัญหาเชิงผสมขึ้นอยู่กับการวิเคราะห์สภาวะที่ถูกต้อง การกำหนดประเภทของสารประกอบที่จะประกอบ และการเลือกสูตรที่เหมาะสมสำหรับการคำนวณจำนวน

ยังมีคำถามอยู่ใช่ไหม? ไม่ทราบวิธีแก้ปัญหาเชิงผสมใช่หรือไม่?
หากต้องการความช่วยเหลือจากครูสอนพิเศษ ให้ลงทะเบียน
บทเรียนแรกฟรี!

เว็บไซต์ เมื่อคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา