กฎการดำเนินการกับจำนวนตรรกยะ การบวกจำนวนตรรกยะบวก

บทเรียน 4
องศาที่มีตัวบ่งชี้ตามธรรมชาติ

เป้าหมาย: ส่งเสริมการพัฒนาทักษะและความรู้ด้านคอมพิวเตอร์ การสะสมความรู้เกี่ยวกับปริญญาตามประสบการณ์ด้านคอมพิวเตอร์ แนะนำการเขียนจำนวนมากและน้อยโดยใช้เลขยกกำลัง 10

ความคืบหน้าของบทเรียน

I. การอัพเดตความรู้พื้นฐาน

ครูวิเคราะห์ผลลัพธ์ ทดสอบงานโดยนักเรียนแต่ละคนจะได้รับคำแนะนำในการพัฒนา แผนส่วนบุคคลการแก้ไขทักษะการใช้คอมพิวเตอร์

จากนั้นนักเรียนจะถูกขอให้คำนวณและอ่านชื่อของนักคณิตศาสตร์ชื่อดังที่มีส่วนในการสร้างทฤษฎีพลัง:

0,3 2 ; 5 3 ; (– 12) 2 ; ; ; –7 3 ; (–0,2) 3 ; –13 2 ; 1,7 2 ; ; 1,1 2 ; 1 3 .

สำคัญ:

โดยใช้คอมพิวเตอร์หรือเครื่องฉายภาพเพื่อฉายภาพบุคคลของนักวิทยาศาสตร์ Diophantus, Rene Descartes, Simon Stevin บนหน้าจอ นักศึกษาจะได้รับเชิญให้เตรียมข้อมูลทางประวัติศาสตร์เกี่ยวกับชีวิตและผลงานของนักคณิตศาสตร์เหล่านี้ หากต้องการ

ครั้งที่สอง การก่อตัวของแนวคิดและวิธีการดำเนินการใหม่

นักเรียนเขียนลงในสมุดบันทึก สำนวนต่อไปนี้:

1. 2 + 2 + 2 + 2 + 2;

2. 2 + 2 + 2 + … + 2;

กเงื่อนไข

3. 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5;

4. 5 ∙ 5 … ∙ 5;

nตัวคูณ

5. ก∙ ก∙ … ∙ ก;

nตัวคูณ

ขอให้นักเรียนตอบคำถาม: “บันทึกเหล่านี้จะถูกนำเสนอให้กระชับมากขึ้นจน “สังเกตได้” ได้อย่างไร

จากนั้นครูก็ดำเนินบทสนทนาต่อไป หัวข้อใหม่แนะนำให้นักเรียนรู้จักแนวคิดเรื่องกำลังแรกของจำนวน นักเรียนสามารถเตรียมการแสดงละครในตำนานอินเดียโบราณเกี่ยวกับผู้ประดิษฐ์หมากรุก เซธ และกษัตริย์เชราม จำเป็นต้องจบการสนทนาด้วยเรื่องราวเกี่ยวกับการใช้กำลัง 10 ในการเขียนปริมาณมากหรือน้อย และให้นักเรียนมีหนังสืออ้างอิงด้านฟิสิกส์ เทคโนโลยี และดาราศาสตร์หลายเล่มประกอบการพิจารณา ทำให้นักเรียนมีโอกาสหาตัวอย่างปริมาณดังกล่าว ในหนังสือ

ที่สาม การก่อตัวของทักษะและความสามารถ

1. คำตอบของแบบฝึกหัดหมายเลข 40 d), e), f); 51.

ในระหว่างการเฉลย นักเรียนสรุปว่าการจำไว้ว่า: องศาค ฐานลบจะเป็นค่าบวกหากเลขชี้กำลังเป็นเลขคู่ และเป็นลบหากเลขชี้กำลังเป็นเลขคี่

2. คำตอบของแบบฝึกหัดที่ 41, 47

IV. สรุป..

ครูแสดงความคิดเห็นและประเมินผลงานของนักเรียนในชั้นเรียน

การบ้าน: ย่อหน้า 1.3 หมายเลข 42, 43, 52; ทางเลือก: เตรียมรายงานเกี่ยวกับ Diophantus, Descartes, Stevin

ภูมิหลังทางประวัติศาสตร์

ไดโอแฟนทัส- นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณจากอเล็กซานเดรีย (ศตวรรษที่ 3) ส่วนหนึ่งของบทความทางคณิตศาสตร์ของเขา "เลขคณิต" (หนังสือ 6 เล่มจาก 13 เล่ม) ได้รับการเก็บรักษาไว้โดยให้วิธีแก้ปัญหาซึ่งส่วนใหญ่นำไปสู่สิ่งที่เรียกว่า "สมการไดโอแฟนไทน์" ซึ่งเป็นวิธีแก้ปัญหาที่แสวงหาในเชิงบวกอย่างมีเหตุผล ตัวเลข (ไดโอแฟนทัสไม่มีจำนวนลบ)

เพื่อแสดงถึงสิ่งที่ไม่รู้จักและระดับของมัน (จนถึงอันดับที่หก) เครื่องหมายเท่ากับ ไดโอแฟนทัสใช้สัญลักษณ์ย่อของคำที่เกี่ยวข้อง นักวิทยาศาสตร์ยังได้ค้นพบข้อความภาษาอาหรับของหนังสือเลขคณิตของไดโอแฟนตัสอีก 4 เล่ม ผลงานของ Diophantus เป็นจุดเริ่มต้นสำหรับการวิจัยของ P. Fermat, L. Euler, K. Gauss และคนอื่นๆ

เดการ์ตส์ เรเน่ (31.03.159 6 –11. 02. 1650) - นักปรัชญาและนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสมีมาตั้งแต่สมัยโบราณ ครอบครัวอันสูงส่ง- เขาได้รับการศึกษาที่โรงเรียนนิกายเยซูอิต La Flèche ในเมืองอองชู ในตอนต้น สงครามสามสิบปีรับราชการในกองทัพซึ่งเขาจากไปในปี 1621; หลังจากเดินทางหลายปี เขาก็ย้ายไปเนเธอร์แลนด์ (ค.ศ. 1629) ซึ่งเขาใช้เวลายี่สิบปีในการศึกษาทางวิทยาศาสตร์อย่างโดดเดี่ยว ในปี 1649 ตามคำเชิญของราชินีสวีเดน เขาย้ายไปสตอกโฮล์ม แต่ไม่นานก็สิ้นพระชนม์

เดส์การตส์วางรากฐานของเรขาคณิตวิเคราะห์และแนะนำสัญลักษณ์พีชคณิตสมัยใหม่มากมาย เดส์การตส์ปรับปรุงระบบสัญกรณ์อย่างมีนัยสำคัญโดยการแนะนำสัญลักษณ์ที่ยอมรับโดยทั่วไปสำหรับตัวแปร
(เอ็กซ์, ที่,z...) และค่าสัมประสิทธิ์ ( ก, ข, กับ...) เช่นเดียวกับการกำหนดระดับ ( เอ็กซ์ 4 , ก 5...) การเขียนสูตรของเดส์การตส์แทบไม่ต่างจากสูตรสมัยใหม่

ในเรขาคณิตวิเคราะห์ ความสำเร็จหลักของเดส์การตส์คือวิธีพิกัดที่เขาสร้างขึ้น

สตีวิน ไซมอน (1548–1620) - นักวิทยาศาสตร์และวิศวกรชาวดัตช์ ตั้งแต่ปี 1583 เขาสอนที่มหาวิทยาลัยไลเดน และในปี 1600 เขาได้จัดตั้ง โรงเรียนวิศวกรรมศาสตร์ที่มหาวิทยาลัยไลเดนซึ่งเขาบรรยายวิชาคณิตศาสตร์ งานของ Stevin "Tithe" (1585) อุทิศให้กับ ระบบทศนิยมหน่วยวัดและเศษส่วนทศนิยม ซึ่งไซมอน สตีวินนำมาใช้ในยุโรป

จากนั้น a + b = b + a, a+(b + c) = (a + b) + c

การบวกศูนย์ไม่ได้เปลี่ยนตัวเลข แต่เป็นผลรวม ตัวเลขตรงข้ามเท่ากับศูนย์

ซึ่งหมายความว่าสำหรับจำนวนตรรกยะใดๆ ที่เรามี: a + 0 = a, a + (- a) = 0

การคูณจำนวนตรรกยะยังมีคุณสมบัติสับเปลี่ยนและการเชื่อมโยงอีกด้วย กล่าวอีกนัยหนึ่ง ถ้า a, b และ c เป็นจำนวนตรรกยะใดๆ แล้ว ab - ba, a(bc) - (ab)c

การคูณด้วย 1 จะไม่เปลี่ยนจำนวนตรรกยะ แต่ผลคูณของตัวเลขและค่าผกผันจะเท่ากับ 1

ซึ่งหมายความว่าสำหรับจำนวนตรรกยะใดๆ a เรามี:

ก) x + 8 - x - 22; ค) น-ม + 7-8+ม.;
ข) -x-a + 12+a -12; ง) 6.1 -k + 2.8 + p - 8.8 + k - p

1190 เมื่อเลือกขั้นตอนการคำนวณที่สะดวกแล้ว ให้ค้นหาค่าของนิพจน์:

1191. จงกำหนดคุณสมบัติการสับเปลี่ยนของการคูณ ab = ba ด้วยคำพูด แล้วตรวจสอบเมื่อ:

1192. จงกำหนดคุณสมบัติการเชื่อมโยงของการคูณ a(bc)=(ab)c ด้วยคำพูด และตรวจสอบเมื่อ:

1193 การเลือกลำดับการคำนวณที่สะดวกค้นหาค่าของนิพจน์:

1194. คุณจะได้เลขอะไร (บวกหรือลบ) ถ้าคุณคูณ:

ก) จำนวนลบหนึ่งจำนวนและจำนวนบวกสองตัว
b) สองลบและหนึ่ง จำนวนบวก;
c) จำนวนลบ 7 จำนวนและจำนวนบวกหลายจำนวน
d) 20 ค่าลบและค่าบวกหลายค่า? วาดข้อสรุป

1195. กำหนดสัญลักษณ์ของผลิตภัณฑ์:

ก) - 2 (- 3) (- 9) (-1.3) 14 (- 2.7) (- 2.9);
ข) 4 (-11) (-12) (-13) (-15) (-17) 80 90.

ก) Vitya, Kolya, Petya, Seryozha และ Maxim รวมตัวกันในโรงยิม (รูปที่ 91, a) ปรากฎว่าเด็กชายแต่ละคนรู้จักอีกสองคนเท่านั้น ใครรู้จักบ้างคะ? (ขอบของกราฟหมายถึง “เรารู้จักกัน”)

b) พี่น้องของครอบครัวหนึ่งกำลังเดินอยู่ในสนาม เด็กคนไหนเป็นเด็กผู้ชายและผู้หญิงคนไหน (รูปที่ 91, b)? (ขอบเส้นประของกราฟหมายถึง “ฉันเป็นน้องสาว” และเส้นทึบหมายถึง “ฉันเป็นพี่ชาย”)

1205. คำนวณ:

1206. เปรียบเทียบ:

ก) 2 3 และ 3 2; ข) (-2) 3 และ (-3) 2; ค) 1 3 และ 1 2; ง) (-1) 3 และ (-1) 2.

1207. รอบที่ 5.2853 ถึงหนึ่งในพัน; ถึง หนึ่งในร้อย- มากถึงสิบ; จนถึงหน่วย

1208. แก้ไขปัญหา:

1) ผู้ขับขี่รถจักรยานยนต์ไล่ตามนักปั่นจักรยาน ขณะนี้อยู่ระหว่าง 23.4 กม. ความเร็วของผู้ขับขี่รถจักรยานยนต์คือ 3.6 เท่าของความเร็วของผู้ขับขี่จักรยานยนต์ จงหาความเร็วของนักปั่นจักรยานและผู้ขับขี่จักรยานยนต์ ถ้ารู้ว่าผู้ขับขี่จะตามทันในหนึ่งชั่วโมง
2) รถยนต์กำลังแซงรถบัส ขณะนี้มีระยะทาง 18 กม. ความเร็วของรถบัสเท่ากับความเร็วของรถยนต์นั่งส่วนบุคคล จงหาความเร็วของรถบัสและรถถ้ารู้ว่ารถจะวิ่งทันรถบัสภายในหนึ่งชั่วโมง

1209. ค้นหาความหมายของสำนวน:

1) (0,7245:0,23 - 2,45) 0,18 + 0,07 4;
2) (0,8925:0,17 - 4,65) 0,17+0,098;
3) (-2,8 + 3,7 -4,8) 1,5:0,9;
4) (5,7-6,6-1,9) 2,1:(-0,49).

ตรวจสอบการคำนวณของคุณด้วย เครื่องคิดเลขไมโคร.
1210 เมื่อเลือกลำดับการคำนวณที่สะดวกแล้ว ให้ค้นหาค่าของนิพจน์:

1211. ลดความซับซ้อนของนิพจน์:

1212. ค้นหาความหมายของสำนวน:

1213. ทำตามขั้นตอนเหล่านี้:

พ.ศ. 1214 นักศึกษาได้รับมอบหมายให้เก็บเศษเหล็กจำนวน 2.5 ตัน พวกเขารวบรวมเศษโลหะได้ 3.2 ตัน นักเรียนทำภารกิจสำเร็จกี่เปอร์เซ็นต์ และทำสำเร็จได้กี่เปอร์เซ็นต์

1215 รถวิ่งไปแล้ว 240 กม. เธอเดินไปตามถนนในชนบทระยะทาง 180 กม. และเส้นทางที่เหลือไปตามทางหลวง ปริมาณการใช้น้ำมันเบนซินต่อ 10 กม ถนนในชนบทคือ 1.6 ลิตรและบนทางหลวง - น้อยกว่า 25% มีการใช้น้ำมันเบนซินโดยเฉลี่ยกี่ลิตรต่อการเดินทางทุกๆ 10 กม.

พ.ศ. 1216 นักปั่นจักรยานออกจากหมู่บ้านสังเกตเห็นคนเดินถนนบนสะพานเดินไปในทิศทางเดียวกันจึงตามทันอีก 12 นาทีต่อมา จงหาความเร็วของคนเดินเท้า ถ้าความเร็วของนักปั่นจักรยานคือ 15 กม./ชม. และระยะทางจากหมู่บ้านถึงสะพานคือ 1 กม. 800 ม.?

1217. ทำตามขั้นตอนเหล่านี้:

ก) - 4.8 3.7 - 2.9 8.7 - 2.6 5.3 + 6.2 1.9;
ข) -14.31:5.3 - 27.81:2.7 + 2.565:3.42+4.1 0.8;
ค) 3.5 0.23 - 3.5 (- 0.64) + 0.87 (- 2.5)

กับ จำนวนตรรกยะคนอย่างที่คุณทราบก็ค่อยๆรู้จักกัน ในตอนแรกเมื่อนับสิ่งของปัญหาก็เกิดขึ้น ตัวเลขธรรมชาติ- ในตอนแรกมีเพียงไม่กี่คน ดังนั้นจนกระทั่งเมื่อไม่นานมานี้ ในหมู่ชาวพื้นเมืองของหมู่เกาะต่างๆ ในช่องแคบทอร์เรส (แยกทางกัน นิวกินีจากออสเตรเลีย) ในภาษามีเพียงสองตัวเลข: "urapun" (หนึ่ง) และ "okaz" (สอง) ชาวเกาะนับได้ดังนี้ “โอกาซาอุราปุน” (สาม), “โอกาซา-โอกาซา” (สี่) ฯลฯ ชาวพื้นเมืองเรียกเลขทั้งหมดโดยเริ่มจากเจ็ด โดยคำว่า “มากมาย”

นักวิทยาศาสตร์เชื่อว่าคำว่าร้อยปรากฏเมื่อกว่า 7,000 ปีก่อน หลายพัน - 6,000 ปีก่อน และเมื่อ 5,000 ปีก่อนใน อียิปต์โบราณและใน บาบิโลนโบราณชื่อปรากฏขึ้นเป็นจำนวนมาก - มากถึงหนึ่งล้าน แต่เป็นเวลานานที่อนุกรมของตัวเลขตามธรรมชาติถือเป็นจำนวนจำกัด ผู้คนคิดว่ามีจำนวนมากที่สุด จำนวนมาก.

อาร์คิมีดีส นักคณิตศาสตร์และนักฟิสิกส์ชาวกรีกโบราณที่ยิ่งใหญ่ที่สุด (287-212 ปีก่อนคริสตกาล) คิดค้นวิธีอธิบายจำนวนมหาศาลได้ ตัวเลขที่ใหญ่ที่สุดที่อาร์คิมิดีสสามารถตั้งชื่อได้นั้นใหญ่มากจนในการบันทึกแบบดิจิทัลจะต้องใช้เทปยาวกว่าระยะทางจากโลกถึงดวงอาทิตย์ถึงสองเท่า

แต่พวกเขายังไม่สามารถเขียนจำนวนมหาศาลเช่นนี้ได้ สิ่งนี้เกิดขึ้นได้หลังจากนักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียในศตวรรษที่ 6 เท่านั้น มีการประดิษฐ์เลขศูนย์และเริ่มแสดงว่าไม่มีหน่วยเป็นตัวเลข สัญกรณ์ทศนิยมตัวเลข

เมื่อแบ่งของที่ริบและต่อมาเมื่อวัดค่าและในกรณีอื่น ๆ ที่คล้ายคลึงกัน ผู้คนพบว่าจำเป็นต้องแนะนำ "ตัวเลขที่หัก" - เศษส่วนทั่วไป- การดำเนินการกับเศษส่วนถือเป็นสาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่ยากที่สุดในยุคกลาง จนถึงทุกวันนี้ ชาวเยอรมันพูดถึงบุคคลที่พบว่าตัวเองตกอยู่ในสถานการณ์ที่ยากลำบากว่าเขา "แตกเป็นเสี่ยง"

เพื่อให้ง่ายต่อการทำงานกับเศษส่วน จึงมีการประดิษฐ์ทศนิยมขึ้นมา เศษส่วน- ในยุโรปมีการแนะนำผลิตภัณฑ์นี้ใน X585 โดย Simon Stevin นักคณิตศาสตร์และวิศวกรชาวดัตช์

จำนวนลบปรากฏช้ากว่าเศษส่วน เป็นเวลานานที่ตัวเลขดังกล่าวถูกพิจารณาว่า "ไม่มีอยู่จริง", "เท็จ" สาเหตุหลักมาจากความจริงที่ว่าการตีความที่ยอมรับสำหรับตัวเลขบวกและลบ "ทรัพย์สิน - หนี้" ทำให้เกิดความสับสน: คุณสามารถเพิ่มหรือลบ "ทรัพย์สิน" หรือ “หนี้” แต่เข้าใจงานหรือ “ทรัพย์สิน” และ “หนี้” ส่วนตัวอย่างไร?

อย่างไรก็ตาม แม้จะมีข้อสงสัยและความสับสนดังกล่าว แต่ก็มีการเสนอกฎสำหรับการคูณและหารจำนวนบวกและลบในศตวรรษที่ 3 นักคณิตศาสตร์ชาวกรีก ไดโอแฟนทัส (ในรูปแบบ: "สิ่งที่ถูกลบคูณด้วยสิ่งที่ถูกบวกให้สิ่งที่ถูกหักล้างสิ่งที่ถูกลบด้วยสิ่งที่ถูกหักล้างจะให้สิ่งที่ถูกบวก" เป็นต้น) และต่อมานักคณิตศาสตร์ชาวอินเดีย Bhaskar (ศตวรรษที่ 12) แสดงกฎเดียวกันในแนวคิดเรื่อง "ทรัพย์สิน" "หนี้" ("ผลคูณของทรัพย์สินสองรายการหรือหนี้สองรายการคือทรัพย์สิน ผลคูณของทรัพย์สินและหนี้คือหนี้" กฎเดียวกันนี้ใช้กับการแบ่ง)

พบว่าคุณสมบัติของการดำเนินการกับจำนวนลบจะเหมือนกับคุณสมบัติของจำนวนบวก (เช่น การบวกและการคูณ มีคุณสมบัติการสับเปลี่ยน) และสุดท้ายตั้งแต่ต้นศตวรรษที่ผ่านมา ตัวเลขติดลบมีสิทธิเท่าเทียมกันกับคนเชิงบวก

ต่อมาตัวเลขใหม่ปรากฏในคณิตศาสตร์ - ไม่ลงตัว, ซับซ้อนและอื่น ๆ คุณเรียนรู้เกี่ยวกับพวกเขาในโรงเรียนมัธยม

N.Ya.Vilenkin, A.S. เชสโนคอฟ, S.I. Shvartsburg, V.I. Zhokhov, คณิตศาสตร์สำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 6, หนังสือเรียนสำหรับ โรงเรียนมัธยมปลาย

หนังสือและตำราเรียนตามแผนปฏิทินสำหรับการดาวน์โหลดคณิตศาสตร์ชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 ช่วยเหลือสำหรับเด็กนักเรียนออนไลน์

เนื้อหาบทเรียน บันทึกบทเรียนสนับสนุนวิธีการเร่งความเร็วการนำเสนอบทเรียนแบบเฟรมเทคโนโลยีเชิงโต้ตอบ ฝึกฝน งานและแบบฝึกหัด การประชุมเชิงปฏิบัติการ การทดสอบตัวเอง การฝึกอบรม กรณี ภารกิจ การอภิปราย การบ้าน คำถาม คำถามเชิงวาทศิลป์จากนักเรียน ภาพประกอบ เสียง คลิปวิดีโอ และมัลติมีเดียภาพถ่าย รูปภาพ กราฟิก ตาราง แผนภาพ อารมณ์ขัน เกร็ดเล็กเกร็ดน้อย เรื่องตลก การ์ตูน อุปมา คำพูด ปริศนาอักษรไขว้ คำพูด ส่วนเสริม บทคัดย่อบทความ เคล็ดลับสำหรับเปล ตำราเรียนขั้นพื้นฐาน และพจนานุกรมคำศัพท์เพิ่มเติมอื่นๆ การปรับปรุงตำราเรียนและบทเรียนแก้ไขข้อผิดพลาดในตำราเรียนการอัปเดตส่วนในตำราเรียน องค์ประกอบของนวัตกรรมในบทเรียน การแทนที่ความรู้ที่ล้าสมัยด้วยความรู้ใหม่ สำหรับครูเท่านั้น บทเรียนที่สมบูรณ์แบบ แผนปฏิทินเป็นเวลาหนึ่งปี คำแนะนำด้านระเบียบวิธีโปรแกรมการอภิปราย บทเรียนบูรณาการ
การวาดภาพ. การดำเนินการทางคณิตศาสตร์มากกว่าจำนวนตรรกยะ

ข้อความ:

กฎสำหรับการดำเนินการด้วยจำนวนตรรกยะ:
- เมื่อบวกตัวเลขด้วย สัญญาณที่เหมือนกันจำเป็นต้องเพิ่มโมดูลและใส่เครื่องหมายทั่วไปไว้หน้าผลรวม
- เมื่อบวกเลขสองตัวด้วย สัญญาณที่แตกต่างกันจากตัวเลขที่มีโมดูลัสมากกว่า ให้ลบตัวเลขที่มีโมดูลัสน้อยกว่า และใส่เครื่องหมายของตัวเลขที่มีโมดูลัสมากกว่าไว้หน้าผลต่างผลลัพธ์
- เมื่อลบตัวเลขหนึ่งจากอีกจำนวนหนึ่ง คุณจะต้องบวกลบกับจำนวนที่อยู่ตรงข้ามกับจำนวนที่ถูกลบออก: a - b = a + (-b)
- เมื่อคูณตัวเลขสองตัวด้วยเครื่องหมายเดียวกัน โมดูลของพวกมันจะถูกคูณและวางเครื่องหมายบวกไว้ด้านหน้าผลลัพธ์ที่ได้
- เมื่อคูณตัวเลขสองตัวด้วยเครื่องหมายต่างกัน โมดูลของพวกมันจะถูกคูณและวางเครื่องหมายลบไว้ด้านหน้าผลลัพธ์ที่ได้
- เมื่อหารตัวเลขด้วยเครื่องหมายเดียวกัน โมดูลของการจ่ายเงินปันผลจะถูกหารด้วยโมดูลของตัวหาร และเครื่องหมายบวกจะถูกวางไว้ด้านหน้าผลหารผลลัพธ์
- เมื่อหารตัวเลขด้วยเครื่องหมายต่างกัน โมดูลของการจ่ายเงินปันผลจะถูกหารด้วยโมดูลของตัวหาร และเครื่องหมายลบจะถูกวางไว้หน้าผลหารผลลัพธ์
- เมื่อหารและคูณศูนย์ด้วยจำนวนใดๆ ที่ไม่เท่ากับศูนย์ ผลลัพธ์จะเป็นศูนย์:
- คุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้

ตัวเลขจริง II

§ 36 การกระทำเกี่ยวกับจำนวนตรรกยะ

อย่างที่คุณทราบเศษส่วนสองอัน ม / n และ เค / ล เท่ากัน กล่าวคือ พวกมันแทนจำนวนตรรกยะเดียวกัน ถ้าและถ้าเท่านั้น มล. = NK .

ตัวอย่างเช่น 1/3 = 2/6 เนื่องจาก 1 6 = 3 2; -5 / 7 = 10 / - 14 เนื่องจาก (-5) (- 14) = 7 10; 0/1 = 0/5 เนื่องจาก 0 5 = 1 0 เป็นต้น

แน่นอนว่าสำหรับจำนวนเต็มใดๆ ร ไม่เท่ากับ 0

: ม / n = ม ร / n ร

สิ่งนี้ตามมาจากความเท่าเทียมกันที่ชัดเจน ต (n ร ) = n (ต ร - ดังนั้น จำนวนตรรกยะใดๆ จึงสามารถแสดงเป็นอัตราส่วนของตัวเลขสองตัวได้ในจำนวนอนันต์ ตัวอย่างเช่น,

5 = 5/1 = -10 / -2 = 15/3 เป็นต้น

1/7 = 2 / -14 = -3 / 21 = -100 / 700 เป็นต้น

0 = 0 / 1 = 0 / -2 = 0 / 3 = 0 / 100 เป็นต้น

ในชุดของจำนวนตรรกยะทั้งหมด การดำเนินการของการบวก การคูณ การลบ และการหาร (ยกเว้นการหารด้วยศูนย์) นั้นเป็นไปได้ ให้เราระลึกว่าการกระทำเหล่านี้ถูกกำหนดอย่างไร

ผลรวมของจำนวนตรรกยะสองตัว ม / n และ เค / ล ถูกกำหนดโดยสูตร:

ผลคูณของจำนวนตรรกยะสองตัว ม / n และ เค / ล ถูกกำหนดโดยสูตร:

ม / n เค / ล = ม.ค / ไม่มี (2)

เนื่องจากจำนวนตรรกยะเดียวกันสามารถเขียนได้หลายวิธี (เช่น 1 / 3 = 2 / 6 = 3 / 9 = ...) จึงจำเป็นต้องแสดงว่าผลรวมและผลคูณของจำนวนตรรกยะไม่ได้ขึ้นอยู่กับ วิธีการเขียนข้อกำหนดหรือปัจจัย ตัวอย่างเช่น,

1 / 2 + 1 / 3 = 2 / 4 + 3 / 9 ; 1 / 2 1 / 3 = 3 / 6 2 / 6

เป็นต้น อย่างไรก็ตาม การพิจารณาประเด็นเหล่านี้อยู่นอกเหนือขอบเขตของโครงการของเรา

เมื่อบวกและคูณจำนวนตรรกยะ จะต้องปฏิบัติตามกฎพื้นฐานต่อไปนี้:

1) สับเปลี่ยน(หรือสับเปลี่ยน) กฎการบวก

ม / n + เค / ล = เค / ล + ม / n

2) เชื่อมโยง(หรือที่เกี่ยวข้อง) กฎของการบวก:

( ม / n + เค / ล ) + พี / ถาม = ม / n + ( เค / ล + พี / ถาม )

3) สับเปลี่ยน(หรือสับเปลี่ยน) กฎแห่งการคูณ:

ม / n เค / ล = เค / ล ม / n

4) เชื่อมโยง(หรือการเชื่อมโยง) กฎแห่งการคูณ:

( ม / n เค / ล ) พี / ถาม = ม / n ( เค / ล พี / ถาม )

5) การกระจาย(หรือการกระจาย) กฎการคูณที่เกี่ยวข้องกับการบวก:

( ม / n + เค / ล ) พี / ถาม = ม / n พี / ถาม + เค / ล พี / ถาม

การบวกและการคูณเป็นการดำเนินการทางพีชคณิตขั้นพื้นฐาน ในส่วนของการลบและการหาร การกระทำเหล่านี้ถูกกำหนดให้เป็นค่าผกผันของการบวกและการคูณ

ผลต่างของจำนวนตรรกยะสองตัว ม / n และ เค / ล หมายเลขนี้เรียกว่า เอ็กซ์ ซึ่งโดยรวมแล้วด้วย เค / ล ให้ ม / n - กล่าวอีกนัยหนึ่งคือความแตกต่าง ม / n - เค / ล

เค / ล + x = ม / n

สามารถพิสูจน์ได้ว่าสมการดังกล่าวมีรากอยู่เสมอและมีเพียงอันเดียวเท่านั้น:

ดังนั้นผลต่างของตัวเลขสองตัว ม / n และ เค / ล พบได้จากสูตร:

ถ้าเป็นตัวเลข ม / n และ เค / ล มีค่าเท่ากัน จากนั้นผลต่างจะกลายเป็นศูนย์ ถ้าตัวเลขเหล่านี้ไม่เท่ากัน ผลต่างจะเป็นบวกหรือลบ ที่ ม / n - เค / ล > 0 เรียกว่าเป็นตัวเลข ม / n จำนวนมากขึ้น เค / ล - ถ้า ม / n - เค / ล < 0, то говорят, что число ม / n จำนวนน้อยลง เค / ล .

ผลหารของจำนวนตรรกยะ ม./ nด้วยจำนวนตรรกยะ เค/ ลหมายเลขนี้เรียกว่า เอ็กซ์ซึ่งในผลิตภัณฑ์ด้วย เค/ ลให้ ม./ n - กล่าวอีกนัยหนึ่งส่วนตัว ม./ n : เค/ ล ถูกกำหนดให้เป็นรากของสมการ

เค/ ล เอ็กซ์ = ม./ n .

ถ้า เค/ ล =/= 0 แล้ว สมการที่กำหนดมีรากเดียว

เอ็กซ์ = มล./ ไม่เป็นไร

ถ้า เค/ ล = 0 ดังนั้นสมการนี้จึงไม่มีรากเลย (สำหรับ ม./ n =/= 0) หรือมีรากมากมายไม่สิ้นสุด (ด้วย ม./ n = 0) เพื่อให้การดำเนินการหารเป็นไปได้โดยเฉพาะ เราตกลงที่จะไม่พิจารณาการหารด้วยศูนย์เลย ดังนั้นการหารจำนวนตรรกยะ ม./ n ด้วยจำนวนตรรกยะ เค/ ล กำหนดเสมอเว้นแต่ เค/ ล =/= 0. ในเวลาเดียวกัน

ม./ n : เค/ ล = มล./ ไม่เป็นไร

แบบฝึกหัด

295. คำนวณอย่างมีเหตุผลที่สุดและระบุว่าต้องใช้กฎแห่งการกระทำใด

ก) (5 1/12 - 3 1/4) 24; ค) (333 1/3 4) (3/125 1/16) .

ข) (1/10 - 3 1/2) + 9/10