รูปทรงหลายเหลี่ยมนูนปกติ รูปทรงหลายเหลี่ยม

แนวคิดของรูปทรงหลายเหลี่ยม ประเภทของรูปทรงหลายเหลี่ยมในเรขาคณิต

ปริซึมและคุณสมบัติของปริซึม

พีระมิด

รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ: ประเภทและคุณสมบัติของรูปทรงหลายเหลี่ยม

รูปหกเหลี่ยมและคุณสมบัติของมัน

จัตุรมุข

Octahedron และคุณสมบัติของมัน

สิบสองหน้า

icosahedron

รูปหลายเหลี่ยมครึ่งเหลี่ยม

ดาวหลายเหลี่ยม

ข้อมูลทั่วไปเกี่ยวกับรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ

การสรุปแนวคิดของรูปทรงหลายเหลี่ยม

ความหมายอื่นของรูปทรงหลายเหลี่ยมและองค์ประกอบของมัน

ทฤษฎีบทของออยเลอร์

คำจำกัดความพื้นฐาน

คุณสมบัติของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ

ปริมาตรของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ

ปริมาตรของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ

รัศมีของรูปหลายเหลี่ยมปกติ

ความสมมาตรของรูปทรงหลายเหลี่ยม

การพัฒนารูปทรงหลายเหลี่ยม

คำบรรยายสไลด์:

รูปทรงหลายเหลี่ยมไม่เพียง แต่ครอบครองสถานที่ที่โดดเด่นในเรขาคณิตเท่านั้น แต่ยังเกิดขึ้นใน ชีวิตประจำวันแต่ละคน. ไม่ต้องพูดถึงของใช้ในครัวเรือนที่สร้างขึ้นเทียมในรูปแบบของรูปหลายเหลี่ยมต่างๆโดยเริ่มจาก กล่องไม้ขีดและลงท้ายด้วยองค์ประกอบทางสถาปัตยกรรม ในธรรมชาติยังมีคริสตัลในรูปของลูกบาศก์ (เกลือ) ปริซึม (คริสตัล) ปิรามิด (สชีไลต์) รูปแปดด้าน (เพชร) เป็นต้น

เรขาคณิตเป็นวิทยาศาสตร์ประกอบด้วยส่วนของสามมิติที่ศึกษาลักษณะและคุณสมบัติของวัตถุสามมิติ ซึ่งด้านต่างๆ พื้นที่สามมิติเกิดจากระนาบจำกัด (ใบหน้า) เรียกว่า "รูปทรงหลายเหลี่ยม" ประเภทของรูปทรงหลายเหลี่ยมประกอบด้วยตัวแทนมากกว่าหนึ่งโหลซึ่งแตกต่างกันในจำนวนและรูปร่างของใบหน้า

อย่างไรก็ตาม รูปทรงหลายเหลี่ยมทั้งหมดมีคุณสมบัติทั่วไป:

ทั้งหมดมี 3 องค์ประกอบที่สำคัญ: ใบหน้า (พื้นผิวของรูปหลายเหลี่ยม), จุดยอด (มุมที่เกิดขึ้นที่จุดเชื่อมต่อของใบหน้า), ขอบ (ด้านข้างของรูปหรือส่วนที่เกิดที่จุดเชื่อมต่อของสองใบหน้า ).
ขอบรูปหลายเหลี่ยมแต่ละอันเชื่อมต่อสองใบหน้าและมีเพียงสองใบหน้าที่อยู่ติดกัน
ความนูนหมายความว่าร่างกายตั้งอยู่อย่างสมบูรณ์เพียงด้านเดียวของระนาบซึ่งมีใบหน้าด้านใดด้านหนึ่งอยู่ กฎนี้ใช้กับทุกหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยม รูปทรงเรขาคณิตดังกล่าวในระบบสามมิติเรียกว่า โพลีเฮดราแบบนูน ข้อยกเว้นคือรูปทรงหลายเหลี่ยมรูปดาว ซึ่งเป็นอนุพันธ์ของของแข็งรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ

รูปทรงหลายเหลี่ยมสามารถแบ่งออกเป็น:

ประเภทของรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนซึ่งประกอบด้วยคลาสต่อไปนี้: สามัญหรือคลาสสิก (ปริซึม, ปิรามิด, ขนาน), ปกติ (เรียกอีกอย่างว่า Platonic solids), กึ่งปกติ (ชื่อที่สอง - Archimedean solids)
รูปทรงหลายเหลี่ยมที่ไม่นูน (สเตลเทต)

Stereometry เป็นสาขาหนึ่งของเรขาคณิต ศึกษาคุณสมบัติของตัวเลขสามมิติ ประเภทของรูปทรงหลายเหลี่ยม (ปริซึมเป็นหนึ่งในนั้น) พวกเขาเรียกมันว่าปริซึม ร่างกายทางเรขาคณิตซึ่งจำเป็นต้องมีสองใบหน้าที่เหมือนกันทุกประการ (เรียกอีกอย่างว่าฐาน) วางอยู่ ระนาบขนานและจำนวนด้านที่ n ในรูปของสี่เหลี่ยมด้านขนาน ในทางกลับกัน ปริซึมก็มีหลายแบบเช่นกัน รวมถึงรูปทรงหลายเหลี่ยมประเภทต่างๆ เช่น:

Paralepiped จะเกิดขึ้นหากฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน - รูปหลายเหลี่ยมที่มีมุมตรงข้ามเท่ากัน 2 คู่และด้านตรงข้ามที่เท่ากัน 2 คู่
ปริซึมตรงมีขอบตั้งฉากกับฐาน
โดดเด่นด้วยการมีมุมที่ไม่ใช่มุมฉาก (นอกเหนือจาก 90) ระหว่างใบหน้าและฐาน
ปริซึมปกติมีลักษณะเป็นฐานในรูปแบบที่มีด้านเท่ากัน

คุณสมบัติหลักของปริซึม:

ฐานที่สอดคล้องกัน
ขอบของปริซึมเท่ากันและขนานกัน
ทุกคน ใบหน้าด้านข้างมีรูปร่างเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน

พีระมิดเป็นรูปทรงเรขาคณิตซึ่งประกอบด้วยฐานหนึ่งฐานและจำนวนหน้ารูปสามเหลี่ยมจำนวนที่ n ซึ่งเชื่อมต่อกันที่จุดจุดยอด ควรสังเกตว่าหากใบหน้าด้านข้างของปิรามิดจำเป็นต้องแสดงด้วยรูปสามเหลี่ยม ดังนั้นที่ฐานอาจมีรูปหลายเหลี่ยมรูปสามเหลี่ยมหรือรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสและรูปห้าเหลี่ยมและอื่น ๆ ที่ไม่มีที่สิ้นสุด ในกรณีนี้ ชื่อของปิรามิดจะสอดคล้องกับรูปหลายเหลี่ยมที่ฐาน ตัวอย่างเช่นหากมีรูปสามเหลี่ยมที่ฐานของปิรามิด - นี่คือรูปสี่เหลี่ยม - สี่เหลี่ยม ฯลฯ

พีระมิดเป็นรูปหลายเหลี่ยมทรงกรวย ประเภทของรูปทรงหลายเหลี่ยมของกลุ่มนี้นอกเหนือจากที่ระบุไว้ข้างต้นยังรวมถึงตัวแทนต่อไปนี้:

พีระมิดปกติจะมีรูปหลายเหลี่ยมปกติที่ฐาน และความสูงของปิรามิดจะคาดไว้ที่กึ่งกลางของวงกลมที่จารึกไว้ที่ฐานหรือล้อมรอบพีระมิด
พีระมิดสี่เหลี่ยมเกิดขึ้นเมื่อขอบด้านใดด้านหนึ่งตัดกับฐานเป็นมุมฉาก ในกรณีนี้ มันก็ยุติธรรมที่จะเรียกขอบนี้ว่าความสูงของพีระมิด

คุณสมบัติพีระมิด:

ถ้าขอบทุกด้านของพีระมิดเท่ากัน ( ความสูงเท่ากัน) จากนั้นพวกมันทั้งหมดจะตัดกับฐานในมุมหนึ่งและรอบฐานคุณสามารถวาดวงกลมโดยมีศูนย์กลางที่ตรงกับส่วนยอดของพีระมิด
หากรูปหลายเหลี่ยมปกติอยู่ที่ฐานของพีระมิด ขอบด้านข้างทั้งหมดจะเท่ากัน และใบหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

ในระบบสามมิติ สถานที่พิเศษครอบครองรูปทรงเรขาคณิตที่มีใบหน้าเท่ากันทุกประการที่จุดยอดซึ่งมีการเชื่อมต่อจำนวนขอบเท่ากัน ของแข็งเหล่านี้เรียกว่า Platonic solids หรือ Regular Polyhedra ประเภทของรูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีคุณสมบัติดังกล่าวมีเพียงห้าร่างเท่านั้น:

จัตุรมุข.
รูปหกเหลี่ยม
แปดด้าน
สิบสองหน้า.
อิโคซาฮีดรอน.

รูปทรงโพลีเฮดราปกติเป็นชื่อที่มาจากนักปรัชญาชาวกรีกโบราณ เพลโต ผู้ซึ่งอธิบายถึงรูปทรงเรขาคณิตเหล่านี้ในงานเขียนของเขาและเชื่อมโยงพวกมันกับองค์ประกอบทางธรรมชาติ: ดิน น้ำ ไฟ อากาศ ร่างที่ห้าได้รับรางวัลความคล้ายคลึงกับโครงสร้างของเอกภพ ในความเห็นของเขา อะตอมของธาตุธรรมชาติที่มีรูปร่างคล้ายกับรูปทรงหลายเหลี่ยมทั่วไป เนื่องจากคุณสมบัติที่น่าตื่นเต้นที่สุด - ความสมมาตร ร่างกายทางเรขาคณิตเหล่านี้จึงเป็นตัวแทน ดอกเบี้ยใหญ่ไม่เพียงแต่สำหรับนักคณิตศาสตร์และนักปรัชญาโบราณเท่านั้น แต่ยังสำหรับสถาปนิก จิตรกร และประติมากรตลอดกาลอีกด้วย การปรากฏตัวของรูปทรงหลายเหลี่ยมเพียง 5 ประเภทที่มีความสมมาตรสัมบูรณ์ถือเป็นการค้นพบขั้นพื้นฐาน พวกเขายังได้รับรางวัลการเชื่อมต่อกับหลักการอันศักดิ์สิทธิ์

ในรูปของหกเหลี่ยม ผู้สืบทอดของเพลโตสันนิษฐานว่ามีความคล้ายคลึงกันกับโครงสร้างของอะตอมของโลก แน่นอน ในปัจจุบัน สมมติฐานนี้ได้รับการหักล้างอย่างสมบูรณ์ ซึ่งไม่ได้ป้องกันตัวเลขจากการดึงดูดจิตใจในยุคปัจจุบัน ตัวเลขที่มีชื่อเสียงด้วยความสวยงาม

ในเรขาคณิต รูปหกเหลี่ยมหรือที่เรียกว่าลูกบาศก์ถือเป็นกรณีพิเศษของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ซึ่งในทางกลับกันก็เป็นปริซึมชนิดหนึ่ง ดังนั้นคุณสมบัติของลูกบาศก์จึงสัมพันธ์กับข้อแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือใบหน้าและมุมของลูกบาศก์เท่ากันทั้งหมด คุณสมบัติต่อไปนี้ต่อจากนี้:

ขอบทั้งหมดของลูกบาศก์เท่ากันและอยู่ในระนาบที่ขนานกัน
ใบหน้าทั้งหมดเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่เท่ากัน (มีทั้งหมด 6 รูปในหนึ่งลูกบาศก์) ซึ่งสามารถใช้เป็นฐานได้
มุมระหว่างหน้าทั้งหมดเท่ากับ 90
จากจุดยอดแต่ละจุดจะมีขอบจำนวนเท่ากันคือ 3
ลูกบาศก์มี 9 ซึ่งทั้งหมดตัดกันที่จุดตัดของเส้นทแยงมุมของรูปหกเหลี่ยม เรียกว่าจุดศูนย์กลางของสมมาตร

จัตุรมุขเป็นจัตุรมุขที่มีหน้าเท่ากันในรูปสามเหลี่ยม ซึ่งแต่ละจุดเป็นจุดเชื่อมของสามหน้า

คุณสมบัติของจัตุรมุขปกติ:

ใบหน้าทั้งหมดของจัตุรมุข - สิ่งนี้ตามมาว่าใบหน้าของจัตุรมุขทุกหน้าสอดคล้องกัน
เนื่องจากฐานแสดงด้วยรูปทรงเรขาคณิตปกตินั่นคือมี ด้านเท่ากันจากนั้นใบหน้าของจัตุรมุขจะมาบรรจบกันในมุมเดียวกัน นั่นคือทุกมุมเท่ากัน
ผลรวมของมุมแบนที่จุดยอดแต่ละจุดเท่ากับ 180 เนื่องจากทุกมุมเท่ากัน ดังนั้นมุมใดๆ ของจัตุรมุขปกติจึงเท่ากับ 60
จุดยอดแต่ละจุดถูกฉายไปที่จุดตัดกันของความสูงของใบหน้าตรงข้าม (orthocenter)

เมื่ออธิบายถึงประเภทของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ เราไม่สามารถพลาดที่จะสังเกตวัตถุเช่นรูปแปดหน้า ซึ่งสามารถแสดงด้วยสายตาเป็นพีระมิดปกติรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองอันติดกาวเข้าด้วยกันที่ฐาน

คุณสมบัติแปดหน้า:

ชื่อของร่างกายเรขาคณิตบอกถึงจำนวนของใบหน้า รูปแปดด้านประกอบด้วยรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า 8 รูป ซึ่งแต่ละจุดมีใบหน้าจำนวนเท่าๆ กันมาบรรจบกัน คือ 4
เนื่องจากใบหน้าทั้งหมดของรูปแปดหน้าเท่ากัน ดังนั้นมุมต่อประสานของมันจึงเท่ากับ 60 และผลรวมของมุมระนาบของจุดยอดใดๆ จึงเท่ากับ 240

หากเราจินตนาการว่าใบหน้าทั้งหมดของร่างกายทางเรขาคณิตเป็นรูปห้าเหลี่ยมปกติ เราก็จะได้รูปสิบสองเหลี่ยมซึ่งเป็นรูปหลายเหลี่ยม 12 รูป

คุณสมบัติสิบสองหน้า:

สามหน้าตัดกันที่จุดยอดแต่ละจุด
ขอบทั้งหมดเท่ากันและมี ความยาวเท่ากันขอบเช่นเดียวกับพื้นที่เท่ากัน
dodecahedron มี 15 แกนและระนาบสมมาตรและแกนใด ๆ ที่ผ่านจุดยอดของใบหน้าและตรงกลางของขอบตรงข้าม

น่าสนใจไม่น้อยไปกว่าทรงสิบสองหน้า icosahedron เป็นรูปทรงเรขาคณิตสามมิติที่มี 20 หน้าเท่ากัน ในบรรดาคุณสมบัติของยี่สิบฮีดรอนปกติสามารถสังเกตได้ดังต่อไปนี้:

ใบหน้าทั้งหมดของ icosahedron เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว
ห้าหน้ามาบรรจบกันที่จุดยอดแต่ละด้านของรูปทรงหลายหน้าและผลรวม มุมที่อยู่ติดกันจุดสุดยอดคือ 300
icosahedron เช่น dodecahedron มี 15 แกนและระนาบสมมาตรผ่านจุดกึ่งกลางของใบหน้าตรงข้าม

นอกจากของแข็งพลาโทนิกแล้ว กลุ่มของโพลีเฮดราแบบนูนยังรวมถึงของแข็งอาร์คิมีดีนด้วย ซึ่งเป็นโพลีเฮดราปกติที่ถูกตัดทอน ประเภทของรูปทรงหลายเหลี่ยมของกลุ่มนี้มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

รูปทรงเรขาคณิตมีหน้าคู่ที่เท่ากันหลายประเภท เช่น จัตุรมุขหน้าตัดมี 8 หน้าเหมือนจัตุรมุขปกติ แต่ในกรณีของทรงตันอาร์คิมีดีน 4 หน้าจะเป็นรูปสามเหลี่ยม และอีก 4 หน้าจะเป็นรูปหกเหลี่ยม
ทุกมุมของจุดยอดหนึ่งเท่ากัน

ตัวแทนของรูปทรงเรขาคณิตที่ไม่ใช่ปริมาตรคือรูปทรงหลายเหลี่ยมรูปดาวซึ่งใบหน้าตัดกัน พวกมันสามารถก่อตัวขึ้นได้โดยการรวมร่างสามมิติธรรมดาสองร่างเข้าด้วยกัน หรือโดยการดำเนินการต่อใบหน้าของพวกมัน

ดังนั้น รูปทรงหลายเหลี่ยมแบบสเตลเลตดังกล่าวจึงเรียกว่า: รูปแบบสเตลเลชันของทรงแปดหน้า, โดเดคาฮีดรอน, อิโคซาฮีดรอน, ลูกบาศก์ตาฮีดรอน, อิโคซิโดเดคาฮีดรอน

รูปทรงหลายเหลี่ยมนูนเรียกว่าปกติถ้าใบหน้าทั้งหมดเหมือนกัน รูปหลายเหลี่ยมปกติและจำนวนหน้าเท่ากันจะมาบรรจบกันที่จุดยอดแต่ละจุด รูปทรงหลายเหลี่ยมดังกล่าวเรียกอีกอย่างว่า Platonic solids

มีรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติเพียงห้าแบบเท่านั้น:

ชื่อของแต่ละรูปทรงหลายหน้ามาจาก ชื่อกรีกจำนวนหน้าและคำว่า "ขอบ"

จัตุรมุข

Tetrahedron (กรีก fefsbedspn - tetrahedron) เป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีสี่หน้าสามเหลี่ยมที่แต่ละจุดยอดซึ่งมี 3 ใบหน้ามาบรรจบกัน จัตุรมุขมี 4 หน้า 4 จุดยอด 6 ขอบ

คุณสมบัติของจัตุรมุข

ระนาบขนานที่ผ่านขอบตัดกันของจัตุรมุขกำหนดเส้นขนานที่ล้อมรอบใกล้กับจัตุรมุข

ส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดของจัตุรมุขกับจุดตัดของค่ามัธยฐานของใบหน้าตรงข้ามเรียกว่าค่ามัธยฐานซึ่งลดลงจากจุดยอดนี้

ส่วนที่เชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของขอบข้ามของจัตุรมุขเรียกว่า bimedian ซึ่งเชื่อมต่อขอบเหล่านี้

ส่วนของเส้นตรงซึ่งเชื่อมจุดยอดกับจุดบนด้านตรงข้ามและตั้งฉากกับด้านนี้เรียกว่า ความสูงจากจุดยอดที่กำหนด

ทฤษฎีบท.ค่ามัธยฐานและค่าบีมีเดียนทั้งหมดของจัตุรมุขตัดกันที่จุดหนึ่ง จุดนี้แบ่งค่ามัธยฐานในอัตราส่วน 3:1 โดยนับจากด้านบน จุดนี้แบ่งครึ่ง bimedians

จัดสรร:

จัตุรมุขหน้าด้านที่มีหน้าเท่ากันทุกหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมเท่ากัน
· จัตุรมุขออร์โธเซนตริก ซึ่งความสูงทั้งหมดลดลงจากจุดยอดไปยังด้านตรงข้ามตัดกันที่จุดหนึ่ง
จัตุรมุขรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าซึ่งขอบทั้งหมดที่อยู่ติดกับจุดยอดใดจุดหนึ่งตั้งฉากกัน
จัตุรมุขปกติซึ่งทุกหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า
frame tetrahedron - จัตุรมุขที่ตรงตามเงื่อนไขใด ๆ ต่อไปนี้:
· มีทรงกลมที่ขอบทั้งหมด
· ผลบวกของความยาวของด้านตัดกันจะเท่ากัน
· ผลรวมของมุมไดฮีดรัลที่ขอบด้านตรงข้ามมีค่าเท่ากัน
วงกลมที่จารึกไว้ในใบหน้านั้นสัมผัสกันเป็นคู่
· รูปสี่เหลี่ยมทั้งหมดที่เกิดจากการพัฒนาของจัตุรมุขจะถูกกำหนด
· ตั้งฉากกับใบหน้าจากจุดศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้ตัดกันที่จุดหนึ่ง
จัตุรมุขที่สมน้ำสมเนื้อ ซึ่ง biheights เท่ากันทั้งหมด;
· จัตุรมุขแบบ incentric ซึ่งส่วนที่เชื่อมระหว่างจุดยอดของจัตุรมุขกับจุดศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้ในหน้าตรงข้ามตัดกันที่จุดหนึ่ง

ลูกบาศก์หรือหกเหลี่ยมปกติคือรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ ซึ่งแต่ละหน้าเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส กรณีพิเศษขนานและปริซึม

คุณสมบัติของคิวบ์

· สี่ส่วนของลูกบาศก์เป็นรูปหกเหลี่ยมปกติ - ส่วนเหล่านี้ผ่านจุดศูนย์กลางของลูกบาศก์ที่ตั้งฉากกับเส้นทแยงมุมหลักสี่เส้น
จัตุรมุขสามารถจารึกลงในลูกบาศก์ได้สองวิธี ในทั้งสองกรณี จุดยอดทั้งสี่ของจัตุรมุขจะจัดชิดกับจุดยอดทั้งสี่ของลูกบาศก์ และขอบทั้งหกของจัตุรมุขจะเป็นของส่วนหน้าของลูกบาศก์ ในกรณีแรก จุดยอดทั้งหมดของจัตุรมุขเป็นของใบหน้าของมุมสามหน้า ซึ่งเป็นจุดสุดยอดที่ตรงกับจุดยอดลูกบาศก์ ในกรณีที่สอง ขอบที่ตัดกันของจัตุรมุขเป็นของคู่ตรงข้ามของลูกบาศก์ จัตุรมุขดังกล่าวถูกต้อง
· รูปแปดด้านสามารถเขียนลงในลูกบาศก์ได้ ยิ่งกว่านั้น จุดยอดทั้งหกของรูปแปดหน้าจะจัดชิดกับศูนย์กลางของหน้าทั้งหกของลูกบาศก์
· ลูกบาศก์สามารถเขียนเป็นรูปแปดหน้า นอกจากนี้ จุดยอดทั้งแปดของลูกบาศก์จะอยู่ที่กึ่งกลางของหน้าแปดด้านของรูปแปดหน้า
· สามารถใส่รูป icosahedron ลงในลูกบาศก์ได้ ในขณะที่ขอบทั้ง 6 ด้านที่ขนานกันของ icosahedron จะตั้งอยู่ตามลำดับบนหน้าทั้ง 6 ด้านของลูกบาศก์ ส่วนขอบที่เหลืออีก 24 ด้านจะอยู่ภายในลูกบาศก์ จุดยอดทั้งสิบสองของ icosahedron จะอยู่บนหน้าทั้งหกของลูกบาศก์

เส้นทแยงมุมของลูกบาศก์เป็นส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดสองจุดที่มีความสมมาตรรอบศูนย์กลางของลูกบาศก์ สูตรหาเส้นทแยงมุมของลูกบาศก์

รูปทรงหลายเหลี่ยม icosahedron octahedron dodecahedron

โดยที่ d คือเส้นทแยงมุม และ a คือขอบของลูกบาศก์

แปดด้าน

Octahedron (ภาษากรีก pkfedspn จากภาษากรีก pkfyu, "แปด" และภาษากรีก Edsb - "ฐาน") เป็นหนึ่งในห้าของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกตินูน ซึ่งเรียกว่า Platonic solids

รูปแปดด้านมี 8 หน้าสามเหลี่ยม 12 ขอบ 6 จุด และ 4 ขอบมาบรรจบกันที่จุดยอดแต่ละจุด

ถ้าความยาวขอบของรูปแปดด้านคือ a แล้วพื้นที่ของมัน เต็มพื้นผิว(S) และปริมาตรของทรงแปดหน้า (V) คำนวณโดยสูตร:

รัศมีของทรงกลมที่ล้อมรอบแปดด้านคือ:

รัศมีของทรงกลมที่จารึกไว้ในรูปแปดด้านสามารถคำนวณได้โดยสูตร:

รูปแปดด้านปกติมีสมมาตร Oh ซึ่งเหมือนกับของลูกบาศก์

octahedron มีรูปร่างเป็นดาวดวงเดียว แปดเหลี่ยมถูกค้นพบโดยเลโอนาร์โด ดา วินชี จากนั้นเกือบ 100 ปีต่อมา โยฮันเนส เคปเลอร์ค้นพบอีกครั้ง และตั้งชื่อตามเขาว่าสเตลลาออคแทงกูลา ซึ่งเป็นดาวแปดเหลี่ยม ดังนั้นแบบฟอร์มนี้จึงมีชื่อที่สองว่า "Kepler's stella octangula"

ในความเป็นจริงมันเป็นส่วนผสมของสองเตตราเฮดรา

สิบสองหน้า

Dodecahedron (จากภาษากรีก dudekb - สิบสองและ edspn - ใบหน้า), dodecahedron - รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติประกอบด้วยรูปห้าเหลี่ยมปกติสิบสองรูป จุดยอดของ dodecahedron แต่ละจุดเป็นจุดยอดของห้าเหลี่ยมปกติสามอัน

ดังนั้น รูปทรงสิบสองเหลี่ยมจึงมี 12 หน้า (ห้าเหลี่ยม) 30 ขอบ และ 20 จุด (แต่ละด้าน 3 ขอบมาบรรจบกัน) ผลรวมของมุมระนาบที่จุดยอดทั้ง 20 จุดคือ 324°

รูปทรงสิบสองหน้ามี 3 กลุ่มดาว ได้แก่ รูปทรงสิบสองหน้าเล็ก, สิบสองเหลี่ยมใหญ่, สิบสองเหลี่ยมใหญ่, สิบสองเหลี่ยมใหญ่ สองคนแรกค้นพบโดย Kepler (1619) คนที่สามโดย Poinsot (1809) ซึ่งแตกต่างจากทรงแปดด้าน รูปแบบสเตลเลตใดๆ ของทรงสองหน้านี้ไม่ได้เป็นสารประกอบของของแข็งพลาโทนิก แต่ก่อตัวเป็นรูปทรงหลายหน้าใหม่

กลุ่มดาวทั้ง 3 ของ dodecahedron ร่วมกับ Great icosahedron ก่อตัวเป็นตระกูลของ Kepler-Poinsot solids นั่นคือ polyhedra ปกติที่ไม่นูน (stellated)

ใบหน้าสิบสองเหลี่ยมที่ดีเป็นรูปห้าเหลี่ยม ซึ่งแต่ละจุดของห้าเหลี่ยมจะมาบรรจบกัน ใบหน้าของ dodecahedrons stelated ขนาดเล็กและขนาดใหญ่ - ดาวห้าแฉก(แฉก) ซึ่งในกรณีแรกลู่เข้าหากัน 5 และในครั้งที่สองคูณ 3 จุดยอดของรูปทรงสิบสองหน้าที่มีกลุ่มดาวขนาดใหญ่ตรงกับจุดยอดของรูปทรงสิบห้าเหลี่ยมที่มีเส้นรอบวง จุดยอดแต่ละจุดเชื่อมสามหน้า

สูตรพื้นฐาน:

ถ้าเราใช้ a เป็นความยาวของขอบ พื้นที่ผิวของ dodecahedron คือ:

ปริมาณสิบสองหน้า:

รัศมีของทรงกลมที่ล้อมรอบ:

รัศมีของทรงกลมที่จารึกไว้:

องค์ประกอบของสมมาตรของ dodecahedron:

· ทรงห้าเหลี่ยมมีจุดศูนย์กลางสมมาตรและแกนสมมาตร 15 แกน

แต่ละแกนผ่านจุดกึ่งกลางของซี่โครงคู่ขนานตรงข้าม

dodecahedron มีระนาบสมมาตร 15 ระนาบ ระนาบสมมาตรใด ๆ ผ่านไปในแต่ละหน้าผ่านจุดยอดและตรงกลางของขอบตรงข้าม

icosahedron

Icosahedron (จากภาษากรีก eykput - ยี่สิบ; -edspn - ใบหน้า, ใบหน้า, ฐาน) - รูปทรงหลายเหลี่ยมนูนปกติ, ยี่สิบด้าน, หนึ่งในของแข็งสงบ แต่ละ 20 ใบหน้าคือ สามเหลี่ยมด้านเท่า. จำนวนขอบคือ 30 จำนวนจุดยอดคือ 12

พื้นที่ S ปริมาตร V ของทรง icosahedron ที่มีความยาวขอบ a ตลอดจนรัศมีของทรงกลมที่จารึกไว้และทรงกลมที่ล้อมรอบคำนวณโดยสูตร:

รัศมีทรงกลมที่จารึกไว้:

รัศมีของทรงกลมที่ล้อมรอบ:

คุณสมบัติ

สามารถใส่รูปอิโคซาฮีดรอนลงในลูกบาศก์ได้ ในขณะที่ขอบทั้ง 6 ด้านที่ตั้งฉากกันของทรง icosahedron จะตั้งอยู่ตามลำดับบนหน้าทั้ง 6 ของลูกบาศก์ ส่วนขอบที่เหลืออีก 24 ด้านภายในลูกบาศก์ จุดยอดทั้ง 12 จุดของ icosahedron จะอยู่บนหน้าทั้ง 6 ของลูกบาศก์ .
· จัตุรมุขสามารถจารึกไว้ใน icosahedron นอกจากนี้ จุดยอดสี่จุดของจัตุรมุขจะถูกรวมเข้ากับสี่จุดของ icosahedron
· สามารถใส่รูป icosahedron เป็นรูปสิบสองหน้าได้ ในขณะที่จุดยอดของ icosahedron จะอยู่ในแนวเดียวกันกับจุดศูนย์กลางของใบหน้าของ dodecahedron
· รูปทรงสิบสองหน้าสามารถจารึกไว้ใน icosahedron โดยจัดตำแหน่งจุดยอดของ dodecahedron และศูนย์กลางของใบหน้าของ icosahedron
· สามารถรับ icosahedron ที่ถูกตัดออกได้โดยการตัดจุดยอด 12 จุดเพื่อสร้างใบหน้าในรูปห้าเหลี่ยมปกติ ในเวลาเดียวกัน จำนวนจุดยอดของรูปทรงหลายเหลี่ยมใหม่เพิ่มขึ้น 5 เท่า (12?5=60) รูปสามเหลี่ยม 20 รูปกลายเป็นรูปหกเหลี่ยมปกติ (จำนวนหน้าทั้งหมดกลายเป็น 20+12=32) และจำนวนขอบ เพิ่มเป็น 30+12?5=90

icosahedron ประกอบด้วยกลุ่มดาว 59 กลุ่ม โดย 32 กลุ่มมีสมมาตรแบบ icosahedral ที่สมบูรณ์ และ 27 กลุ่มที่ไม่สมบูรณ์ หนึ่งในกลุ่มดาวเหล่านี้ (20th, mod. 41 ตาม Wenninger) เรียกว่า Great icosahedron เป็นหนึ่งใน สี่ถูกต้อง Kepler-Poinsot สเตลเลต โพลีเฮดรา ใบหน้าของมันคือสามเหลี่ยมปกติที่มาบรรจบกันที่จุดยอดห้าแต่ละจุด คุณสมบัตินี้ใช้ร่วมกันโดย Great icosahedron กับ icosahedron

ในบรรดารูปแบบสเตลเลตยังมี: สารประกอบของทรงแปดด้านห้ารูป, สารประกอบของเตตระฮีดราห้ารูป, สารประกอบของเตตระฮีดราสิบรูป

เรขาคณิตเป็นสิ่งที่สวยงาม ซึ่งแตกต่างจากพีชคณิตตรงที่มันไม่ชัดเจนว่าคุณคิดอย่างไรและทำไม มันทำให้มองเห็นวัตถุได้ นี้ โลกที่สวยงาม ร่างกายต่างๆประดับรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ

รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติหรือที่เรียกอีกอย่างว่า Platonic solids มีคุณสมบัติพิเศษ วัตถุเหล่านี้เกี่ยวข้องกับหลายอย่าง สมมติฐานทางวิทยาศาสตร์. เมื่อคุณเริ่มศึกษารูปทรงเรขาคณิตเหล่านี้ คุณจะเข้าใจว่าคุณแทบไม่รู้อะไรเลยเกี่ยวกับแนวคิดเช่นรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ การนำเสนอวัตถุเหล่านี้ที่โรงเรียนไม่น่าสนใจเสมอไป หลายคนจำไม่ได้ด้วยซ้ำว่าเรียกว่าอะไร คนส่วนใหญ่จำได้แต่ลูกบาศก์ ไม่มีส่วนประกอบใดในรูปทรงเรขาคณิตที่สมบูรณ์แบบเท่ากับรูปทรงหลายเหลี่ยมทั่วไป ชื่อทั้งหมดของรูปทรงเรขาคณิตเหล่านี้มาจาก กรีกโบราณ. หมายถึงจำนวนหน้า: จัตุรมุข - สี่ด้าน, หกเหลี่ยม - หกด้าน, แปดด้าน - แปดด้าน, สิบสองด้าน - สิบสองด้าน, icosahedron - ยี่สิบด้าน รูปทรงเรขาคณิตทั้งหมดเหล่านี้ถูกครอบครอง สถานที่สำคัญในแนวคิดเรื่องเอกภพของเพลโต สี่ของพวกเขาเป็นตัวเป็นตนองค์ประกอบหรือหน่วยงาน: จัตุรมุข - ไฟ, icosahedron - น้ำ, ลูกบาศก์ - ดิน, แปดด้าน - อากาศ dodecahedron เป็นตัวเป็นตนทุกอย่างที่มีอยู่ ถือเป็นหลักเพราะเป็นสัญลักษณ์ของจักรวาล

รูปทรงหลายหน้าเป็นชุด จำนวนจำกัดรูปหลายเหลี่ยมเช่นนั้น:

ด้านแต่ละด้านของรูปหลายเหลี่ยมใดๆ ก็เป็นด้านของรูปหลายเหลี่ยมอื่นด้านเดียวกันเพียงด้านเดียว
จากรูปหลายเหลี่ยมแต่ละรูปคุณสามารถไปหารูปอื่นได้โดยส่งรูปหลายเหลี่ยมที่อยู่ติดกัน

รูปหลายเหลี่ยมที่ประกอบกันเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมคือใบหน้า และด้านข้างคือขอบ จุดยอดของรูปทรงหลายเหลี่ยมคือจุดยอดของรูปหลายเหลี่ยม หากแนวคิดของรูปหลายเหลี่ยมถูกเข้าใจว่าเป็นเส้นหักแบนปิด ก็จะมาถึงคำจำกัดความหนึ่งของรูปทรงหลายเหลี่ยม ในกรณีที่แนวคิดนี้หมายถึงส่วนหนึ่งของเครื่องบินซึ่งมีอยู่จำกัด เส้นแตกควรเข้าใจว่าเป็นพื้นผิวที่ประกอบด้วยชิ้นส่วนหลายเหลี่ยม เรียกศพที่นอนระนาบด้านหนึ่งประชิดหน้า.

รูปทรงหลายเหลี่ยมเป็นพื้นผิวที่ประกอบด้วยรูปหลายเหลี่ยมที่ล้อมรอบร่างกายทางเรขาคณิต พวกเขาเป็น:

ไม่นูน
นูน (ถูกต้องและไม่ถูกต้อง)

โพลีโทปปกติคือโพลีโทปนูนที่มีความสมมาตรสูงสุด องค์ประกอบของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ:

จัตุรมุข: 6 ขอบ 4 หน้า 5 จุด;
รูปหกเหลี่ยม (ลูกบาศก์): 12, 6, 8;
สิบสองหน้า: 30, 12, 20;
รูปแปดด้าน: 12, 8, 6;
icosahedron: 30, 20, 12.

สร้างความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนของขอบ จุดยอด และใบหน้าที่เทียบเท่ากับทรงกลมในทางทอพอโลยี โดยการเพิ่มจำนวนจุดยอดและด้าน (B + D) ของรูปทรงโพลีเฮดราปกติต่างๆ และเปรียบเทียบกับจำนวนขอบ สามารถสร้างรูปแบบหนึ่งได้: ผลรวมของจำนวนด้านและจุดยอดเท่ากับจำนวนขอบ (P) เพิ่มขึ้น 2 สามารถรับสูตรง่ายๆ:

C + D = P + 2

สูตรนี้เป็นจริงสำหรับรูปทรงหลายเหลี่ยมแบบนูนทั้งหมด

แนวคิดของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติไม่สามารถอธิบายได้ในประโยคเดียว มันมีความหมายและกว้างขวางกว่า เพื่อให้ร่างกายได้รับการยอมรับในลักษณะนี้ จะต้องเป็นไปตามคำจำกัดความหลายประการ ดังนั้น รูปทรงเรขาคณิตจะเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติภายใต้เงื่อนไขต่อไปนี้:

มันนูน;
ขอบจำนวนเท่ากันมาบรรจบกันที่จุดยอดแต่ละจุด
ใบหน้าทั้งหมดเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติเท่ากัน
เท่ากันหมด

มี 5 ประเภทต่างๆรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ:

Cube (hexahedron) - มีมุมแบนที่ด้านบนคือ 90 ° มีมุม 3 ด้าน ผลรวมของมุมแบนที่ด้านบนคือ 270°
จัตุรมุข - มุมแบนที่ด้านบน - 60° มีมุม 3 ด้าน ผลรวมของมุมแบนที่ด้านบนคือ 180°
Octahedron - มุมแบนที่ด้านบน - 60° มีมุม 4 เหลี่ยม ผลรวมของมุมแบนที่ด้านบนคือ 240°
Dodecahedron - มุมราบที่จุดยอด 108° มีมุม 3 ด้าน ผลรวมของมุมแบนที่ด้านบนคือ 324°
Icosahedron - มีมุมแบนที่ด้านบน - 60 ° มีมุม 5 เหลี่ยม ผลรวมของมุมราบที่ด้านบนคือ 300°

พื้นที่ผิวของรูปทรงเรขาคณิตเหล่านี้ (S) คำนวณเป็นพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมปกติคูณด้วยจำนวนใบหน้า (G):

S \u003d (a: 2) x 2G ctg π / p

ค่านี้คำนวณโดยการคูณปริมาตร ปิรามิดที่ถูกต้องที่ฐานซึ่งมีรูปหลายเหลี่ยมปกติตามจำนวนหน้าและความสูงของมันคือรัศมีของทรงกลมที่จารึกไว้ (r):

V=1:3rS.

เช่นเดียวกับรูปทรงเรขาคณิตอื่นๆ รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติมีปริมาตรต่างกัน ด้านล่างนี้เป็นสูตรที่คุณสามารถคำนวณได้:

จัตุรมุข: α x 3√2: 12;
รูปแปดด้าน: α x 3√2: 3;
icosahedron; α x 3;
รูปหกเหลี่ยม (ลูกบาศก์): 5 x α x 3 x (3 + √5): 12;
สิบสองเหลี่ยม: α x 3 (15 + 7√5): 4.

รูปหกเหลี่ยมและรูปแปดด้านเป็นของแข็งรูปทรงเรขาคณิตคู่ กล่าวอีกนัยหนึ่งพวกเขาสามารถได้รับจากกันและกันหากจุดศูนย์ถ่วงของใบหน้าหนึ่งเป็นจุดสุดยอดของอีกอันหนึ่งและในทางกลับกัน icosahedron และ dodecahedron เป็นคู่ มีเพียงจัตุรมุขเท่านั้นที่อยู่คู่กับตัวมันเอง ตามวิธีของยุคลิด คุณจะได้ทรงสิบสองหน้าจากทรงห้าเหลี่ยมโดยสร้าง "หลังคา" บนใบหน้าของลูกบาศก์ จุดยอดของจัตุรมุขจะเป็นจุดยอด 4 จุดของลูกบาศก์ที่ไม่ติดกันเป็นคู่ตามขอบ จากรูปหกเหลี่ยม (ลูกบาศก์) คุณจะได้รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติอื่น ๆ ทั้งๆที่มีอยู่จริง นับไม่ถ้วน, มีเพียง 5 รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ.

รูปทรงเรขาคณิตแต่ละอันเกี่ยวข้องกับทรงกลมศูนย์กลาง 3 อัน:

อธิบาย ผ่านจุดสูงสุด;
สลักไว้ สัมผัสใบหน้าแต่ละดวงที่กึ่งกลาง
ค่ามัธยฐานแตะซี่โครงทั้งหมดที่อยู่ตรงกลาง

รัศมีของทรงกลมที่อธิบายคำนวณโดยสูตรต่อไปนี้:

R \u003d a: 2 x tg π / g x tg θ: 2.

รัศมีของทรงกลมที่จารึกคำนวณโดยสูตร:

R \u003d a: 2 x ctg π / p x tg θ: 2,

โดยที่ θ คือมุมไดฮีดรัลที่อยู่ระหว่างด้านที่อยู่ติดกัน

รัศมีของทรงกลมมัธยฐานสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้:

ρ = a cos π/p: 2 บาป π/h

โดยที่ค่า h = 4,6,6,10 หรือ 10 อัตราส่วนของรัศมีที่ล้อมรอบและที่จารึกไว้นั้นสมมาตรเมื่อเทียบกับ p และ q คำนวณโดยสูตร:

R / r \u003d tg π / p x tg π / คิว

ความสมมาตรของรูปทรงโพลีเฮดราปกติเป็นสิ่งที่น่าสนใจสำหรับรูปทรงเรขาคณิตเหล่านี้เป็นอันดับแรก เป็นที่เข้าใจกันว่าเป็นการเคลื่อนไหวของร่างกายในอวกาศซึ่งทำให้จุดยอดใบหน้าและขอบมีจำนวนเท่ากัน กล่าวอีกนัยหนึ่ง ภายใต้การดำเนินการของการแปลงสมมาตร ขอบ จุดยอด ใบหน้าจะรักษาตำแหน่งเดิมหรือย้ายไปยังตำแหน่งเดิมของขอบ จุดยอด หรือใบหน้าอื่น

องค์ประกอบสมมาตรของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติเป็นลักษณะของรูปทรงเรขาคณิตทุกประเภท ในที่นี้เรากำลังพูดถึงการเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกันซึ่งทิ้งจุดใดๆ ไว้ในตำแหน่งเดิม ดังนั้น เมื่อคุณหมุนปริซึมหลายเหลี่ยม คุณจะได้สมมาตรหลายๆ แบบ สิ่งเหล่านี้สามารถแสดงเป็นผลิตภัณฑ์ของการสะท้อน สมมาตรที่เป็นผลมาจากการสะท้อนแสงเป็นจำนวนคู่เรียกว่าเส้นตรง หากเป็นผลคูณของการสะท้อนกลับเป็นจำนวนคี่ จะเรียกว่าผกผัน ดังนั้น การหมุนรอบเส้นทั้งหมดจึงเป็นสมมาตรโดยตรง การสะท้อนของรูปทรงหลายเหลี่ยมคือสมมาตรผกผัน

เพื่อให้เข้าใจองค์ประกอบสมมาตรของรูปทรงหลายเหลี่ยมแบบปกติได้ดียิ่งขึ้น เราสามารถยกตัวอย่างของจัตุรมุขได้ เส้นใดๆ ที่จะผ่านจุดยอดใดจุดหนึ่งและจุดศูนย์กลางนี้ รูปทรงเรขาคณิตก็จะผ่านศูนย์กลางของใบหน้าที่อยู่ตรงข้ามกับมันด้วย แต่ละการหมุน 120 และ 240° รอบเส้นเป็นของ พหูพจน์สมมาตรของจัตุรมุข เนื่องจากมีจุดยอด 4 จุดและ 4 ด้าน จึงมีสมมาตรตรงเพียง 8 รูปเท่านั้น เส้นใด ๆ ที่ผ่านกลางขอบและศูนย์กลางของร่างกายนี้ผ่านตรงกลางของขอบตรงข้าม การหมุน 180° ใดๆ ที่เรียกว่าฮาล์ฟเทิร์น รอบเส้นตรงถือเป็นความสมมาตร เนื่องจากจัตุรมุขมีขอบสามคู่ จึงมีสมมาตรตรงอีกสามแบบ จากที่กล่าวมาสรุปได้ว่า จำนวนทั้งหมดสมมาตรโดยตรงรวมถึง การเปลี่ยนแปลงตัวตนจะถึงสิบสอง จัตุรมุขไม่มีสมมาตรโดยตรงอื่นใด แต่มีสมมาตรผกผัน 12 แบบ ดังนั้นจัตุรมุขจึงมีลักษณะสมมาตรทั้งหมด 24 ส่วน เพื่อความชัดเจน คุณสามารถสร้างแบบจำลองจัตุรมุขปกติจากกระดาษแข็งและตรวจสอบให้แน่ใจว่ารูปทรงเรขาคณิตนี้มีความสมมาตรเพียง 24 ส่วนเท่านั้น

dodecahedron และ icosahedron อยู่ใกล้กับทรงกลมของร่างกายมากที่สุด มี icosahedron จำนวนมากที่สุดใบหน้าที่ใหญ่ที่สุดและหนาแน่นที่สุดสามารถกดทับกับทรงกลมที่จารึกไว้ได้ dodecahedron มีข้อบกพร่องเชิงมุมที่เล็กที่สุด ซึ่งเป็นมุมทึบที่ใหญ่ที่สุดที่จุดยอด เขาสามารถเติมเต็มทรงกลมที่อธิบายไว้ได้มากที่สุด

แนวคิดที่ถูกต้องซึ่งเราทุกคนติดกันในวัยเด็กมีแนวคิดมากมาย หากมีกลุ่มของรูปหลายเหลี่ยม ซึ่งแต่ละด้านจะถูกระบุด้วยด้านเดียวของรูปทรงหลายเหลี่ยม ดังนั้นการระบุด้านจะต้องเป็นไปตามเงื่อนไขสองประการ:

จากรูปหลายเหลี่ยมแต่ละรูปเป็นไปได้ที่จะข้ามรูปหลายเหลี่ยมที่มีด้านที่ระบุ
ด้านที่จะระบุต้องมีความยาวเท่ากัน

มันคือชุดของรูปหลายเหลี่ยมที่ตรงตามเงื่อนไขเหล่านี้ที่เรียกว่าการพัฒนาของรูปทรงหลายเหลี่ยม แต่ละตัวมีหลายตัว ตัวอย่างเช่น ลูกบาศก์มี 11 ลูก

หากต้องการใช้การแสดงตัวอย่างงานนำเสนอ ให้สร้างบัญชี Google (บัญชี) และลงชื่อเข้าใช้: https://accounts.google.com

รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ

จำนวนด้านบนใบหน้า

จำนวนขอบที่อยู่ติดกับจุดยอด

จำนวนจุดทั้งหมด

จำนวนขอบทั้งหมด

จำนวนใบหน้าทั้งหมด

Hexahedron หรือลูกบาศก์

สิบสองหน้า

icosahedron

รูปทรงหลายเหลี่ยม จุดยอด ขอบ ใบหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยม ทฤษฎีบทของออยเลอร์ เกรด 10 เสร็จสิ้นโดย: Kaigorodova S.V.

รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่ทุกหน้าเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติและมุมหลายเหลี่ยมทั้งหมดที่จุดยอดเท่ากัน

ตั้งแต่สมัยโบราณมนุษย์รู้จักรูปทรงหลายเหลี่ยมที่น่าทึ่งห้าแบบ

ตามจำนวนใบหน้าเรียกว่าจัตุรมุขปกติ

รูปหกเหลี่ยม (hexahedron) หรือลูกบาศก์

รูปแปดด้าน (octahedron)

สิบสองหน้า (dodecahedron)

icosahedron (ยี่สิบด้าน)

พัฒนาการของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ

ภูมิหลังทางประวัติศาสตร์ มนุษย์รู้จักธรรมชาติสี่ประการ ได้แก่ ไฟ น้ำ ดิน และอากาศ ตามที่เพลโตกล่าวว่าอะตอมของพวกเขาดูเหมือนรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ Plato นักปรัชญาชาวกรีกโบราณผู้ยิ่งใหญ่ผู้อาศัยอยู่ในศตวรรษที่ 4-5 ก่อนคริสต์ศักราชเชื่อว่าร่างกายเหล่านี้เป็นตัวกำหนดแก่นแท้ของธรรมชาติ

อะตอมของไฟดูเหมือนจัตุรมุข, โลก - อากาศทรงหกเหลี่ยม (ลูกบาศก์) - น้ำทรงแปดหน้า - icosahedron

แต่มีรูปทรงสิบสองหน้าซึ่งไม่มีการติดต่อใด ๆ เพลโตแนะนำว่ามีเอนทิตีอื่น (ที่ห้า) เขาเรียกมันว่าโลกอีเธอร์ อะตอมของสาระสำคัญที่ห้านี้ดูเหมือนรูปทรงสองหน้า เพลโตและลูกศิษย์ในงานของพวกเขา ความสนใจที่ดีมอบให้กับรูปทรงหลายเหลี่ยมที่ระบุไว้ ดังนั้น รูปทรงหลายเหลี่ยมเหล่านี้จึงเรียกอีกอย่างว่า Platonic solids

สำหรับรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนใดๆ ความสัมพันธ์จะเป็นจริง: Г+В-Р=2 โดยที่ Г คือจำนวนหน้า В คือจำนวนจุดยอด Р คือจำนวนขอบของรูปทรงหลายเหลี่ยมที่กำหนด ใบหน้า + จุดยอด - ขอบ = 2. ทฤษฎีบทของออยเลอร์

ลักษณะของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ รูปทรงหลายหน้า จำนวนด้านของหน้าหนึ่ง จำนวนหน้าที่มาบรรจบกันที่จุดยอดแต่ละจุด จำนวนหน้า (G) จำนวนขอบ (P) จำนวนจุดยอด (V) เตตระฮีดรอน 3 3 4 6 4 หกเหลี่ยม 4 3 6 12 8 แปดหน้า 3 4 8 12 6 อิโกซาฮีดรอน 3 5 20 30 12 สิบสองหน้า 5 3 12 30 20

ความเป็นคู่ของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ รูปทรงหกเหลี่ยม (ลูกบาศก์) และรูปทรงแปดหน้าประกอบกันเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมคู่ จำนวนหน้าของรูปทรงหลายหน้าหนึ่งเท่ากับจำนวนจุดยอดของอีกหน้าหนึ่งและในทางกลับกัน

นำลูกบาศก์ใด ๆ และพิจารณารูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีจุดยอดที่กึ่งกลางของใบหน้า อย่างที่คุณเห็นได้ง่าย เราได้รูปแปดด้าน

ศูนย์กลางของใบหน้าแปดด้านทำหน้าที่เป็นจุดยอดของลูกบาศก์

โซเดียมพลวงซัลเฟตเป็นจัตุรมุข รูปทรงหลายเหลี่ยมในธรรมชาติ เคมี และชีววิทยา ผลึกของสสารบางชนิดที่เราคุ้นเคยมีรูปร่างเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ ไพไรต์คริสตัล - แบบจำลองรูปทรงสองหน้าตามธรรมชาติ คริสตัล เกลือแกงถ่ายทอดรูปร่างของลูกบาศก์ ผลึกเดี่ยวของอลูมิเนียมโพแทสเซียมสารส้มมีรูปร่างแปดด้าน คริสตัล (ปริซึม) icosahedron เป็นศูนย์กลางของความสนใจของนักชีววิทยาในข้อพิพาทเกี่ยวกับรูปร่างของไวรัส ไวรัสไม่สามารถกลมได้อย่างสมบูรณ์อย่างที่คิด เพื่อสร้างรูปร่าง พวกเขาใช้รูปทรงหลายเหลี่ยมหลายหน้า ฉายแสงไปที่พวกมันในมุมเดียวกับการไหลของอะตอมไปยังไวรัส ปรากฎว่ามีเพียงหนึ่งรูปทรงหลายเหลี่ยมเท่านั้นที่ให้เงาเหมือนกันทุกประการ - icosahedron ในกระบวนการแบ่งตัวของไข่ ขั้นแรกจะมีการสร้าง tetrahedron จากสี่เซลล์ จากนั้นจึงเป็นรูปแปดด้าน ลูกบาศก์ และสุดท้ายเป็นโครงสร้าง dodecahedral-icosahedral ของ gastrula และสุดท้าย บางทีอาจสำคัญที่สุด โครงสร้างของ DNA รหัสพันธุกรรมชีวิต - เป็นการกวาดสี่มิติ (ตามแกนเวลา) ของรูปทรงสิบสองเหลี่ยมที่หมุน! ในโมเลกุลมีเทนจะมีรูปร่างเป็นทรงจัตุรมุขปกติ

รูปทรงหลายเหลี่ยมในงานศิลปะ "Portrait of Monna Lisa" องค์ประกอบของภาพขึ้นอยู่กับสามเหลี่ยมทองคำซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของห้าเหลี่ยมดาวปกติ การแกะสลัก "ความเศร้าโศก" ในเบื้องหน้าของภาพเป็นรูปสิบสองเหลี่ยม "พระกระยาหารมื้อสุดท้าย" พระคริสต์กับเหล่าสาวกของเขาเป็นภาพที่มีพื้นหลังเป็นรูปสิบสองเหลี่ยมโปร่งใสขนาดใหญ่

รูปทรงหลายเหลี่ยมในสถาปัตยกรรมของพิพิธภัณฑ์ผลไม้ในจังหวัดยามานาชิถูกสร้างขึ้นโดยใช้แบบจำลองสามมิติ หอคอย Spasskaya สี่ชั้นที่มีโบสถ์แห่งพระผู้ช่วยให้รอดที่ไม่ได้ทำด้วยมือเป็นทางเข้าหลักสู่คาซานเครมลิน สร้างขึ้นในศตวรรษที่ 16 โดยสถาปนิก Pskov Ivan Shiryai และ Postnik Yakovlev ซึ่งมีชื่อเล่นว่า "Barma" สี่ชั้นของหอคอยคือลูกบาศก์ รูปทรงหลายเหลี่ยม และพีระมิด หอคอย Spasskaya แห่งเครมลิน ประภาคารแห่งพิพิธภัณฑ์ผลไม้พีระมิดอเล็กซานเดรีย

คำนิยาม. รูปทรงหลายเหลี่ยมเรียกว่าปกติถ้า: 1) เป็นรูปนูน; 2) ใบหน้าทั้งหมดเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติเท่ากัน 3) บรรจบกันที่จุดยอดแต่ละจุด หมายเลขเดียวกันซี่โครง; 4) dihedrals ทั้งหมดเท่ากัน

ตัวอย่างของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติคือลูกบาศก์: เป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมนูน หน้าทั้งหมดเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสเท่ากัน ขอบสามด้านมาบรรจบกันที่จุดยอดแต่ละจุด และมุมไดฮีดรอนทั้งหมดของลูกบาศก์นั้นถูกต้อง จัตุรมุขปกติยังเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ

คำถามเกิดขึ้น: เท่าไหร่ หลากหลายชนิดรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ?

รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติห้าประเภท:

พิจารณารูปทรงหลายเหลี่ยมปกติตามอำเภอใจ ม ซึ่งมีจุดยอด B, ขอบ P และหน้า G ตามทฤษฎีบทของออยเลอร์ สำหรับรูปทรงหลายหน้านี้ จะมีความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้:

V - R + G \u003d 2. (1)

ให้แต่ละหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยมที่กำหนดมี มขอบ (ด้าน) และที่จุดยอดแต่ละจุดมาบรรจบกัน นซี่โครง. อย่างชัดเจน,

เนื่องจากรูปทรงหลายหน้า B มีจุดยอด และแต่ละจุดมีขอบ n อัน เราจึงได้ขอบ n อัน แต่ขอบใดๆ เชื่อมต่อจุดยอดสองยอดของรูปทรงหลายเหลี่ยม ดังนั้นแต่ละขอบจะป้อนผลคูณ n สองครั้ง รูปทรงหลายเหลี่ยมจึงมี หลากหลายซี่โครง. แล้ว

จาก (1), (3), (4) เราได้รับ - Р + = 2 ดังนั้น

+ = + > . (5)

ดังนั้นเราจึงมี

จากอสมการ 3 และ 3 จะได้ว่าใบหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติสามารถเป็นได้ทั้งสามเหลี่ยมปกติ สี่เหลี่ยมปกติ หรือห้าเหลี่ยมปกติ นอกจากนี้ ในกรณี m = n = 4; ม = 4, n = 5; ม = 5, n = 4; m = n = 5 เรามาถึงความขัดแย้งกับเงื่อนไข ดังนั้น ยังคงมีห้ากรณี: 1) m = n = 3; 2) ม. = 4, n = 3; 3) ม. = 3, n = 4; 4) ม. = 5, n = 3; 5) m = 3, n = 5 ลองพิจารณาแต่ละกรณีโดยใช้ความสัมพันธ์ (5), (4) และ (3)

1) ม=n=3(แต่ละหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยม - สามเหลี่ยมมุมฉาก. นี้เป็นที่รู้จักสำหรับเรา จัตุรมุขปกติ (« จัตุรมุข" หมายถึงจัตุรมุข).

2) ม = 4, n = 3(แต่ละหน้าเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส และขอบสามด้านมาบรรจบกันที่จุดยอดแต่ละจุด) เรามี

พ = 12; ข = 8; จี = 6.

เราได้รูปหกเหลี่ยมปกติซึ่งแต่ละหน้าเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส รูปทรงหลายเหลี่ยมนี้เรียกว่า รูปหกเหลี่ยมปกติ และเป็นลูกบาศก์ (" หกเหลี่ยม"-- รูปหกเหลี่ยมด้านเท่า) รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานใด ๆ จะเป็นรูปหกเหลี่ยม

3) ม = 3, n = 4(แต่ละหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมปกติ ขอบทั้งสี่มาบรรจบกันที่จุดยอดแต่ละจุด) เรามี

พ = 12; ข = =6; G \u003d \u003d 8.

เราได้รูปแปดด้านปกติซึ่งแต่ละหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมปกติ รูปทรงหลายเหลี่ยมนี้เรียกว่า รูปแปดด้านปกติ ("รูปแปดด้าน" --รูปแปดด้าน).

4) ม = 5, n = 3(แต่ละหน้าเป็นรูปห้าเหลี่ยมปกติ ขอบสามด้านมาบรรจบกันที่จุดยอดแต่ละจุด) เรามี:

พ = 30; ข = = 20; G \u003d \u003d 12.

เราได้รูปทรงสองหน้าปกติซึ่งแต่ละหน้าเป็นรูปห้าเหลี่ยมปกติ รูปทรงหลายเหลี่ยมนี้เรียกว่า สิบสองหน้าปกติ (« สิบสองหน้า"- สิบสองหน้า).

5) ม = 3,n = 5(แต่ละหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมปกติ ขอบทั้งห้ามาบรรจบกันที่จุดยอดแต่ละจุด) เรามี

พ = 30; ข = =12; ซ = = 20.

เราได้ยี่สิบด้านที่ถูกต้อง รูปทรงหลายเหลี่ยมนี้เรียกว่า icosahedron ปกติ (« icosahedron"- ยี่สิบด้าน).

ดังนั้นเราจึงได้ทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบท. รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติมีห้าประเภทที่แตกต่างกัน

ข้อสรุปนี้สามารถเข้าถึงได้ด้วยวิธีที่แตกต่างกันเล็กน้อย

แท้จริงแล้ว ถ้าหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติเป็นรูปสามเหลี่ยมปกติ และมาบรรจบกันที่จุดยอดหนึ่ง เคซี่โครงเช่น มุมนูนแบนทั้งหมด เค-hedral มุมเท่ากันแล้ว เพราะเหตุนี้, จำนวนธรรมชาติ เคสามารถรับค่า: 3;4;5. ในขณะที่ Г = , Р = . ตามทฤษฎีบทออยเลอร์ เรามี:

B+-= 2 หรือ B (6 - เค) = 12.

แล้วที่ เค\u003d 3 เราได้รับ: B \u003d 4, G \u003d 4, P \u003d 6 (จัตุรมุขปกติ);

ที่ k = 4 เราได้รับ: B \u003d 6, G \u003d 8, P \u003d 12 (รูปแปดด้านปกติ);

ที่ k = 5 เราได้รับ: B \u003d 12, G \u003d 20, P \u003d 30 (icosahedron ปกติ)

ถ้าหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติเป็นรูปสี่เหลี่ยมปกติ เงื่อนไขนี้สอดคล้องกับจำนวนธรรมชาติเท่านั้น เค= 3. จากนั้น: Г = , Р= ; B + - = 2 หรือ ดังนั้น B \u003d 8, G \u003d 6, P \u003d 12 - เราได้ลูกบาศก์

หากใบหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติเป็นรูปห้าเหลี่ยมปกติ เงื่อนไขนี้ยังเป็นไปตามเท่านั้น เค= 3 และ Г = ; ร = . ในทำนองเดียวกัน การคำนวณก่อนหน้าเราได้รับ: และ B \u003d 20, G \u003d 12, P \u003d 30 (รูปทรงสองหน้าปกติ)

เริ่มต้นด้วยรูปหกเหลี่ยมปกติ สันนิษฐานว่าเป็นใบหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ มุมระนาบจะไม่เล็กลงและแคบลง เค= 3 ผลรวมของพวกเขากลายเป็นอย่างน้อย ซึ่งเป็นไปไม่ได้ ดังนั้นจึงมีรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติเพียงห้าประเภทเท่านั้น

ตัวเลขแสดงเค้าโครงของรูปทรงโพลีเฮดราปกติทั้งห้าแต่ละอัน

จัตุรมุขปกติ

รูปแปดด้านปกติ

รูปหกเหลี่ยมปกติ

icosahedron ปกติ

สิบสองหน้าปกติ

คุณสมบัติบางอย่างของรูปทรงหลายเหลี่ยมแบบปกติแสดงไว้ในตารางต่อไปนี้

ประเภทใบหน้า	มุมแบนที่ด้านบน	มุมมองของมุมหลายเหลี่ยมที่จุดยอด	ผลรวมของมุมราบที่จุดยอด			ชื่อรูปทรงหลายเหลี่ยม
ถูกต้อง สามเหลี่ยม	3 ด้าน			จัตุรมุขปกติ
ถูกต้อง สามเหลี่ยม	4 ด้าน			รูปแปดด้านปกติ
ถูกต้อง สามเหลี่ยม	5 ด้าน			icosahedron ปกติ
	3 ด้าน			ถูกต้อง รูปหกเหลี่ยม (ลูกบาศก์)
ถูกต้อง ห้าเหลี่ยม	3 ด้าน				ถูกต้อง สิบสองหน้า

สำหรับแต่ละรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ นอกเหนือจากที่ระบุไว้แล้ว เรามักจะสนใจใน:

1. มูลค่าของมัน มุมไดฮีดรัลที่ซี่โครง (ด้วยความยาวของซี่โครง ก).
2. พื้นที่ของพื้นผิวทั้งหมด (ด้วยความยาวของซี่โครง ก).
3. ปริมาณของมัน (ด้วยความยาวของซี่โครง ก).
4. รัศมีของทรงกลมที่ล้อมรอบ (ด้วยความยาวของขอบ ก).
5. รัศมีของทรงกลมที่จารึกไว้ (พร้อมความยาวของขอบ ก).
6. รัศมีของทรงกลมแตะขอบทั้งหมด (โดยมีความยาวขอบ ก).

วิธีที่ง่ายที่สุดคือการคำนวณพื้นที่ผิวทั้งหมดของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ เท่ากับ Г โดยที่ Г คือจำนวนหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ และเป็นพื้นที่ของหน้าเดียว

เรียกคืน sin = ซึ่งเปิดโอกาสให้เราเขียนเป็นอนุมูล: ctg = เมื่อพิจารณาถึงสิ่งนี้ เราสร้างตาราง:

ก) สำหรับพื้นที่ใบหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ

b) สำหรับพื้นที่ผิวทั้งหมดของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ

ทีนี้มาดูการคำนวณค่าของมุมไดฮีดรัลของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติที่ขอบของมัน สำหรับจัตุรมุขปกติและลูกบาศก์ คุณสามารถหาค่าของมุมนี้ได้อย่างง่ายดาย

ในรูปทรงสองหน้าปกติ มุมระนาบทั้งหมดของใบหน้าเท่ากัน ดังนั้น เมื่อใช้ทฤษฎีบทโคไซน์สำหรับมุมสามหน้ากับมุมสามหน้าใดๆ ของรูปทรงสองหน้าที่กำหนดที่จุดยอด เราจะได้: cos

บนรูปแปดด้านปกติ ABCDMF ที่ปรากฎ คุณจะเห็นว่ามุมไดฮีดรัลที่ขอบของรูปแปดด้านคือ 2arctg

ในการหาค่าของมุมไดฮีดรัลที่ขอบของไอโคซาฮีดรอนปกติ เราสามารถพิจารณามุมสามหน้า ABCD ที่จุดยอด A: มุมระนาบ BAC และ CAD เท่ากัน และมุมระนาบที่สาม BAD ซึ่งตรงข้ามกับมุมไดฮีดรัล B (AC)D = โกหก เท่ากับ (BCDMF - รูปห้าเหลี่ยมปกติ ) โดยทฤษฎีบทโคไซน์สำหรับมุมสามส่วน ABCD เรามี: . ระบุว่าเราได้ที่ ดังนั้น มุมไดฮีดรัลที่ขอบของไอโคซาฮีดรอนจึงเท่ากัน

ดังนั้นเราจึงได้ตารางค่ามุมไดฮีดรัลต่อไปนี้ที่ขอบของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ

ก่อนที่จะหาปริมาตรของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติหนึ่งหรือหลายรูปทรง เรามาคุยกันถึงวิธีหาปริมาตรของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติในรูปแบบทั่วไปกันก่อน

พยายามพิสูจน์ก่อนว่าหากจุดศูนย์กลางของทุกหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติใดๆ เป็นเส้นตรง ตั้งฉากกับระนาบใบหน้านี้ จากนั้นเส้นทั้งหมดที่วาดจะตัดกันที่จุดใดจุดหนึ่ง อ, ห่างจากทุกหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยมที่กำหนดโดยระยะทางเท่ากัน ซึ่งเราแสดงด้วย r จุด อกลายเป็นศูนย์กลางของทรงกลมที่จารึกไว้ในรูปทรงหลายเหลี่ยมที่กำหนดและ ร- รัศมีของมัน โดยการเชื่อมต่อจุดผลลัพธ์ อด้วยจุดยอดทั้งหมดของรูปทรงหลายเหลี่ยมที่กำหนดเราจะแบ่งออกเป็นพีระมิด Г เท่า ๆ กัน (Г คือจำนวนหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ): ฐานของปิรามิดที่เกิดขึ้นคือ ร. แล้วปริมาตรของรูปทรงหลายเหลี่ยมนี้ เท่ากับผลรวมปริมาตรของพีระมิดเหล่านี้ทั้งหมด เนื่องจากรูปทรงหลายเหลี่ยมเป็นปกติปริมาณของมัน วีสามารถพบได้โดยใช้สูตร:

ยังคงต้องหาความยาวของรัศมี ร.

ในการทำเช่นนี้โดยเชื่อมต่อจุด อกับตรงกลาง ถึงขอบของรูปทรงหลายหน้าพยายามให้แน่ใจว่าเอียง เกาะไปที่หน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีขอบ ทำมุมกับระนาบของหน้านี้เท่ากับครึ่งหนึ่งของค่ามุมไดฮีดรัลที่ขอบของรูปทรงหลายเหลี่ยมนี้ เส้นโครงเป็นแบบเฉียง เกาะบนระนาบของใบหน้านี้เป็นของ apothem และเท่ากับรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้ แล้ว

โดยที่ p คือเส้นรอบวงของใบหน้า จากนั้นจาก (1) และ (2) เราได้รับสูตรสำหรับการคำนวณปริมาตรร่วมกับรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติทั้งหมด:

สูตรนี้ไม่จำเป็นเลยในการหาปริมาตรของลูกบาศก์ จัตุรมุขปกติและทรงแปดหน้า แต่มันทำให้การหาปริมาตรของไอโคซาฮีดรอนและโทเดคาฮีดรอนปกติค่อนข้างง่าย