คณิตศาสตร์เป็นวิทยาศาสตร์ที่สร้างโลก ทั้งนักวิทยาศาสตร์และคนทั่วไป - ไม่มีใครสามารถทำได้หากไม่มีมัน ประการแรก เด็กเล็กได้รับการสอนให้นับ จากนั้นบวก ลบ คูณและหาร โดยการกำหนดตัวอักษรในระดับมัธยมต้นจะเข้ามามีบทบาท

แต่วันนี้เราจะพูดถึงว่าคณิตศาสตร์ที่รู้จักกันทั้งหมดมีพื้นฐานมาจากอะไร เกี่ยวกับชุมชนของตัวเลขที่เรียกว่า "ลำดับจำกัด"

ลำดับคืออะไรและขีด จำกัด อยู่ที่ใด

ความหมายของคำว่า ลำดับ ตีความได้ไม่ยาก นี่คือการสร้างสิ่งต่าง ๆ ซึ่งมีบางคนหรือบางสิ่งอยู่ในลำดับหรือคิวที่แน่นอน เช่น คิวซื้อตั๋วเข้าสวนสัตว์เป็นลำดับ และมีเพียงหนึ่งเดียวเท่านั้น! ตัวอย่างเช่น หากคุณดูที่คิวไปยังร้านค้า นี่เป็นลำดับเดียว และถ้ามีคนออกจากคิวนี้กะทันหัน ก็เป็นอีกคิวหนึ่ง เป็นลำดับที่แตกต่างกัน

คำว่า "ขีด จำกัด " นั้นตีความได้ง่ายเช่นกัน - นี่คือจุดจบของบางสิ่ง อย่างไรก็ตาม ในวิชาคณิตศาสตร์ ลิมิตของลำดับคือค่าบนเส้นจำนวนที่ลำดับของตัวเลขมีแนวโน้ม ทำไมพยายามและไม่สิ้นสุด? มันง่ายมาก เส้นจำนวนไม่มีจุดสิ้นสุด และลำดับส่วนใหญ่ เช่น รังสี มีจุดเริ่มต้นเท่านั้น และมีลักษณะดังนี้:

x 1, x 2, x 3, ... x n ...

ดังนั้นคำจำกัดความของลำดับจึงเป็นฟังก์ชันของอาร์กิวเมนต์ธรรมชาติ พูดง่ายๆ ก็คือ อนุกรมของสมาชิกของเซตใดเซตหนึ่ง

ลำดับตัวเลขถูกสร้างขึ้นอย่างไร?

ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดของลำดับตัวเลขอาจมีลักษณะดังนี้: 1, 2, 3, 4, …n…

ในกรณีส่วนใหญ่ สำหรับการใช้งานจริง ลำดับจะสร้างจากตัวเลข และสมาชิกตัวถัดไปแต่ละตัวของอนุกรม ให้เขียนแทนด้วย X มีชื่อของมันเอง ตัวอย่างเช่น:

x 1 - สมาชิกตัวแรกของลำดับ

x 2 - สมาชิกตัวที่สองของลำดับ

x 3 - สมาชิกคนที่สาม;

xn เป็นสมาชิกตัวที่ n

ในทางปฏิบัติ ลำดับจะได้รับจากสูตรทั่วไปซึ่งมีตัวแปรบางตัว ตัวอย่างเช่น:

X n \u003d 3n ชุดตัวเลขจะมีลักษณะดังนี้:

เป็นสิ่งที่ควรค่าแก่การจดจำว่าในสัญกรณ์ลำดับทั่วไป คุณสามารถใช้ตัวอักษรละตินใดก็ได้ ไม่ใช่แค่ X ตัวอย่างเช่น y, z, k เป็นต้น

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เป็นส่วนหนึ่งของลำดับ

ก่อนที่จะมองหาขีดจำกัดของลำดับ ขอแนะนำให้เจาะลึกลงไปในแนวคิดของชุดตัวเลขดังกล่าว ซึ่งทุกคนเคยพบเมื่อพวกเขาอยู่ในชนชั้นกลาง ความก้าวหน้าทางเลขคณิตเป็นชุดของตัวเลขที่ผลต่างระหว่างพจน์ที่อยู่ติดกันมีค่าคงที่

งาน: "ให้ 1 \u003d 15 และขั้นตอนของความคืบหน้าของชุดตัวเลข d \u003d 4 สร้างสมาชิก 4 ตัวแรกของแถวนี้"

วิธีแก้ไข: a 1 = 15 (ตามเงื่อนไข) เป็นสมาชิกตัวแรกของความก้าวหน้า (ชุดตัวเลข)

และ 2 = 15+4=19 เป็นสมาชิกที่สองของความก้าวหน้า

และ 3 \u003d 19 + 4 \u003d 23 คือเทอมที่สาม

และ 4 \u003d 23 + 4 \u003d 27 คือเทอมที่สี่

อย่างไรก็ตาม ด้วยวิธีนี้ มันยากที่จะเข้าถึงค่าจำนวนมาก เช่น สูงถึง 125 . โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับกรณีดังกล่าว จะได้สูตรที่สะดวกสำหรับการปฏิบัติ: a n \u003d a 1 + d (n-1) ในกรณีนี้ 125 \u003d 15 + 4 (125-1) \u003d 511

ประเภทลำดับ

ลำดับส่วนใหญ่ไม่มีที่สิ้นสุดควรค่าแก่การจดจำไปตลอดชีวิต ชุดตัวเลขที่น่าสนใจมี 2 แบบ อันแรกกำหนดโดยสูตร a n =(-1) n นักคณิตศาสตร์มักอ้างถึงลำดับการกะพริบนี้ ทำไม มาตรวจสอบตัวเลขกัน

1, 1, -1 , 1, -1, 1 เป็นต้น ด้วยตัวอย่างนี้ จะเห็นได้ชัดว่าตัวเลขในลำดับสามารถทำซ้ำได้ง่าย

ลำดับแฟกทอเรียล เดาได้ง่ายว่ามีแฟกทอเรียลในสูตรที่กำหนดลำดับ ตัวอย่างเช่น และ n = (n+1)!

จากนั้นลำดับจะมีลักษณะดังนี้:

และ 2 \u003d 1x2x3 \u003d 6;

และ 3 \u003d 1x2x3x4 \u003d 24 เป็นต้น

ลำดับที่กำหนดโดยความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เรียกว่า การลดลงอย่างไม่สิ้นสุด หากสังเกตอสมการ -1 สำหรับสมาชิกทั้งหมด

และ 3 \u003d - 1/8 เป็นต้น

มีแม้กระทั่งลำดับที่ประกอบด้วยหมายเลขเดียวกัน ดังนั้น และ n \u003d 6 ประกอบด้วยจำนวนหกไม่สิ้นสุด

การกำหนดขีดจำกัดของลำดับ

ขีดจำกัดของลำดับมีมานานแล้วในวิชาคณิตศาสตร์ แน่นอนว่าพวกเขาสมควรได้รับการออกแบบที่มีความสามารถของตนเอง ดังนั้น ถึงเวลาเรียนรู้คำจำกัดความของลำดับจำกัด ขั้นแรก ให้พิจารณาลิมิตของฟังก์ชันเชิงเส้นโดยละเอียด:

1. ลิมิตทั้งหมดใช้ตัวย่อว่า lim
2. รายการลิมิตประกอบด้วยตัวย่อ lim ตัวแปรบางตัวที่พุ่งไปยังจำนวนที่แน่นอน ศูนย์หรืออินฟินิตี้ รวมถึงตัวฟังก์ชันด้วย

มันง่ายที่จะเข้าใจว่าคำจำกัดความของลิมิตของลำดับสามารถกำหนดได้ดังต่อไปนี้: เป็นจำนวนที่สมาชิกทั้งหมดของลำดับเข้าใกล้อย่างไม่สิ้นสุด ตัวอย่างง่ายๆ: และ x = 4x+1 จากนั้นลำดับจะมีลักษณะดังนี้

5, 9, 13, 17, 21…x…

ดังนั้น ลำดับนี้จะเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ ซึ่งหมายความว่าขีดจำกัดของมันเท่ากับอนันต์เป็น x→∞ และควรเขียนดังนี้:

หากเราใช้ลำดับที่คล้ายกัน แต่ x มีแนวโน้มเป็น 1 เราจะได้:

และชุดของตัวเลขจะเป็นดังนี้: 1.4, 1.8, 4.6, 4.944 เป็นต้น ทุกครั้งที่คุณต้องแทนที่ตัวเลขให้ใกล้เคียงกับหนึ่งมากขึ้นเรื่อย ๆ (0.1, 0.2, 0.9, 0.986) จะเห็นได้จากซีรีส์นี้ว่าขีดจำกัดของฟังก์ชันคือ 5

จากส่วนนี้ ควรจดจำว่าขีดจำกัดของลำดับตัวเลขคืออะไร คำจำกัดความและวิธีการแก้ปัญหาง่ายๆ

สัญกรณ์ทั่วไปสำหรับขีดจำกัดของลำดับ

เมื่อวิเคราะห์ขีดจำกัดของลำดับตัวเลข คำจำกัดความ และตัวอย่างแล้ว เราสามารถดำเนินการต่อไปยังหัวข้อที่ซับซ้อนมากขึ้นได้ ขีดจำกัดทั้งหมดของลำดับสามารถกำหนดได้ด้วยสูตรเดียว ซึ่งมักจะวิเคราะห์ในภาคการศึกษาแรก

ตัวอักษร โมดูล และเครื่องหมายอสมการชุดนี้หมายความว่าอย่างไร

∀ เป็นปริมาณสากล แทนที่วลี “สำหรับทุกคน” “สำหรับทุกสิ่ง” เป็นต้น

∃ เป็นปริมาณที่มีอยู่ ในกรณีนี้หมายความว่ามีค่า N อยู่ในเซตของจำนวนธรรมชาติ

แท่งแนวตั้งยาวตาม N หมายความว่าเซต N ที่กำหนดเป็น "เป็นเช่นนั้น" ในทางปฏิบัติอาจหมายถึง "เช่นนั้น" "เช่นนั้น" เป็นต้น

ในการรวมวัสดุ ให้อ่านสูตรดัง ๆ

ความไม่แน่นอนและความแน่นอนของขีดจำกัด

วิธีการค้นหาขีดจำกัดของลำดับซึ่งกล่าวไว้ข้างต้น แม้ว่าจะใช้งานง่าย แต่ก็ไม่มีเหตุผลในทางปฏิบัติ ลองค้นหาขีดจำกัดของฟังก์ชันนี้:

หากเราแทนค่า x ที่แตกต่างกัน (เพิ่มขึ้นทุกครั้ง: 10, 100, 1,000 เป็นต้น) เราจะได้ ∞ ในตัวเศษ แต่รวมถึง ∞ ในตัวส่วนด้วย มันกลายเป็นเศษส่วนที่ค่อนข้างแปลก:

แต่มันเป็นเช่นนั้นจริงหรือ? การคำนวณลิมิตของลำดับตัวเลขในกรณีนี้ดูเหมือนง่ายพอสมควร มันเป็นไปได้ที่จะปล่อยให้ทุกอย่างเหมือนเดิมเพราะคำตอบพร้อมแล้วและได้รับตามเงื่อนไขที่สมเหตุสมผล แต่มีวิธีอื่นสำหรับกรณีดังกล่าวโดยเฉพาะ

ขั้นแรก มาหาค่าสูงสุดในตัวเศษของเศษส่วน นั่นคือ 1 เนื่องจาก x สามารถแทนค่าเป็น x 1 ได้

ทีนี้มาหาดีกรีสูงสุดในตัวส่วนกัน นอกจากนี้ 1.

หารทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยตัวแปรในระดับสูงสุด ในกรณีนี้ เราหารเศษส่วนด้วย x 1

ต่อไป มาหาค่าที่แต่ละคำที่มีตัวแปรมีแนวโน้มที่จะ ในกรณีนี้ให้พิจารณาเศษส่วน เนื่องจาก x→∞ ค่าของเศษส่วนแต่ละส่วนมีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์ เมื่อทำกระดาษเป็นลายลักษณ์อักษรควรทำเชิงอรรถต่อไปนี้:

ได้รับนิพจน์ต่อไปนี้:

แน่นอน เศษส่วนที่มี x ไม่กลายเป็นศูนย์! แต่ค่าของมันนั้นน้อยมากจนไม่สามารถนำมาพิจารณาในการคำนวณได้ ในความเป็นจริง x จะไม่เท่ากับ 0 ในกรณีนี้ เพราะคุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้

ละแวกบ้านคืออะไร?

สมมติว่าศาสตราจารย์มีลำดับที่ซับซ้อนซึ่งกำหนดโดยสูตรที่ซับซ้อนไม่น้อย อาจารย์พบคำตอบ แต่พอดี? ท้ายที่สุดแล้วทุกคนล้วนทำผิดพลาด

Auguste Cauchy คิดวิธีที่ยอดเยี่ยมในการพิสูจน์ขีดจำกัดของลำดับเหตุการณ์ วิธีการของเขาเรียกว่าการดำเนินการในละแวกใกล้เคียง

สมมติว่ามีจุด a บางจุด พื้นที่ใกล้เคียงทั้งสองทิศทางบนเส้นจริงเท่ากับ ε ("เอปไซลอน") เนื่องจากตัวแปรสุดท้ายคือระยะทาง ค่าของมันจึงเป็นบวกเสมอ

ทีนี้มากำหนดลำดับ xn และสมมติว่าสมาชิกตัวที่สิบของลำดับ (x 10) อยู่ในละแวกใกล้เคียงของ a จะเขียนข้อเท็จจริงนี้เป็นภาษาคณิตศาสตร์ได้อย่างไร?

สมมติว่า x 10 อยู่ทางขวาของจุด a แล้วระยะทาง x 10 -a<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε.

ตอนนี้เป็นเวลาที่จะอธิบายในทางปฏิบัติเกี่ยวกับสูตรที่กล่าวถึงข้างต้น เป็นการยุติธรรมที่จะเรียกจำนวนหนึ่งว่าจุดสิ้นสุดของลำดับ หากอสมการ ε>0 อยู่ที่ขีดจำกัดใดๆ ของมัน และย่านทั้งหมดมีจำนวนธรรมชาติ N ของตัวเอง เช่นนั้นสมาชิกทั้งหมดของลำดับที่มีตัวเลขสูงกว่าจะ อยู่ในลำดับ |x n - a|< ε.

ด้วยความรู้ดังกล่าว มันเป็นเรื่องง่ายที่จะแก้ขีดจำกัดของลำดับ เพื่อพิสูจน์หรือพิสูจน์หักล้างคำตอบที่เตรียมไว้

ทฤษฎีบท

ทฤษฎีบทเกี่ยวกับขีดจำกัดของลำดับเป็นองค์ประกอบสำคัญของทฤษฎี หากไม่มีการปฏิบัติก็เป็นไปไม่ได้ มีเพียงสี่ทฤษฎีบทหลักเท่านั้น จำไว้ว่าคุณสามารถอำนวยความสะดวกในกระบวนการแก้ไขหรือพิสูจน์ได้อย่างมาก:

1. ความเป็นเอกลักษณ์ของลิมิตของลำดับ ลำดับใดๆ สามารถมีได้เพียงหนึ่งขีดจำกัดหรือไม่มีเลยก็ได้ ตัวอย่างเดียวกันกับคิวที่สามารถมีปลายด้านเดียวเท่านั้น
2. ถ้าชุดตัวเลขมีจำนวนจำกัด ลำดับของตัวเลขเหล่านี้จะถูกจำกัด
3. ลิมิตของผลรวม (ผลต่าง, ผลคูณ) ของลำดับจะเท่ากับผลรวม (ผลต่าง, ผลคูณ) ของขีดจำกัด
4. ลิมิตผลหารของสองลำดับจะเท่ากับผลหารของลิมิตก็ต่อเมื่อตัวหารไม่หายไป

หลักฐานลำดับ

บางครั้งจำเป็นต้องแก้ปัญหาผกผัน เพื่อพิสูจน์ขีดจำกัดที่กำหนดของลำดับตัวเลข ลองดูตัวอย่าง

พิสูจน์ว่าขีดจำกัดของลำดับที่กำหนดโดยสูตรมีค่าเท่ากับศูนย์

ตามกฎข้างต้น สำหรับลำดับใดๆ อสมการ |x n - a|<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим:

แสดง n ในรูปของ "เอปไซลอน" เพื่อแสดงการมีอยู่ของจำนวนหนึ่งและพิสูจน์การมีอยู่ของลิมิตของลำดับ

ในขั้นตอนนี้ สิ่งสำคัญคือต้องจำไว้ว่า "epsilon" และ "en" เป็นจำนวนบวกและไม่เท่ากับศูนย์ ตอนนี้คุณสามารถดำเนินการแปลงต่อไปโดยใช้ความรู้เกี่ยวกับความไม่เท่าเทียมกันที่ได้รับในโรงเรียนมัธยม

ปรากฎว่า n > -3 + 1/ε เนื่องจากเป็นสิ่งที่ควรค่าแก่การจดจำว่าเรากำลังพูดถึงจำนวนธรรมชาติ ผลลัพธ์สามารถปัดเศษได้โดยการใส่ไว้ในวงเล็บเหลี่ยม ดังนั้นจึงได้รับการพิสูจน์ว่าสำหรับค่าใด ๆ ของย่าน "เอปไซลอน" ของจุด a = 0 จะพบค่าที่ทำให้อสมการเริ่มต้นพอใจ จากนี้เราสามารถยืนยันได้อย่างปลอดภัยว่าจำนวน a คือขีดจำกัดของลำดับที่กำหนด คิวอีดี

ด้วยวิธีการที่สะดวกเช่นนี้ คุณสามารถพิสูจน์ขีดจำกัดของลำดับตัวเลขได้ ไม่ว่ามันจะดูซับซ้อนเพียงใดเมื่อมองแวบแรก สิ่งสำคัญคืออย่าตื่นตระหนกเมื่อเห็นงาน

หรือบางทีเขาอาจไม่อยู่?

การมีอยู่ของลำดับจำกัดไม่จำเป็นในทางปฏิบัติ มันง่ายที่จะหาชุดตัวเลขที่ไม่มีจุดสิ้นสุดจริงๆ ตัวอย่างเช่น ไฟกระพริบเดียวกัน xn = (-1) n . เห็นได้ชัดว่าลำดับที่ประกอบด้วยตัวเลขเพียงสองหลักวนซ้ำไม่สามารถมีขีดจำกัดได้

เรื่องเดียวกันนี้ซ้ำกับลำดับที่ประกอบด้วยตัวเลขเดียว เศษส่วน ซึ่งในระหว่างการคำนวณมีความไม่แน่นอนของลำดับใดๆ (0/0, ∞/∞, ∞/0 เป็นต้น) อย่างไรก็ตามควรจำไว้ว่าการคำนวณที่ไม่ถูกต้องก็เกิดขึ้นเช่นกัน บางครั้งการตรวจสอบโซลูชันของคุณเองอีกครั้งจะช่วยให้คุณพบขีดจำกัดของการสืบทอด

ลำดับโมโนโทนิก

ข้างต้น เราได้พิจารณาตัวอย่างลำดับหลาย ๆ วิธีในการแก้ปัญหา และตอนนี้ เรามาลองใช้กรณีเฉพาะเจาะจงมากขึ้นและเรียกมันว่า "ลำดับเสียงเดียว"

คำจำกัดความ: มันยุติธรรมที่จะเรียกลำดับใด ๆ ที่เพิ่มขึ้นอย่างน่าเบื่อถ้ามันเป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกันที่เข้มงวด x n< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >xn +1

นอกจากสองเงื่อนไขนี้แล้ว ยังมีอสมการที่ไม่เข้มงวดเหมือนกันอีกด้วย ดังนั้น x n ≤ xn +1 (ลำดับที่ไม่ลดลง) และ x n ≥ x n +1 (ลำดับที่ไม่เพิ่มขึ้น)

แต่มันง่ายกว่าที่จะเข้าใจสิ่งนี้ด้วยตัวอย่าง

ลำดับที่กำหนดโดยสูตร x n \u003d 2 + n สร้างชุดตัวเลขต่อไปนี้: 4, 5, 6 เป็นต้น นี่คือลำดับที่เพิ่มขึ้นอย่างจำเจ

และถ้าเราใช้ x n \u003d 1 / n เราก็จะได้ชุด: 1/3, ¼, 1/5 เป็นต้น นี่คือลำดับที่ลดลงอย่างซ้ำซากจำเจ

ลิมิตของลำดับคอนเวอร์เจนต์และขอบเขต

ลำดับที่มีขอบเขตคือลำดับที่มีขีดจำกัด ลำดับคอนเวอร์เจนต์คือชุดของตัวเลขที่มีขีดจำกัดเล็กน้อย

ดังนั้น ลิมิตของลำดับที่มีขอบเขตคือจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อนใดๆ จำไว้ว่าสามารถมีได้เพียงหนึ่งขีดจำกัดเท่านั้น

ลิมิตของลำดับคอนเวอร์เจนต์คือปริมาณที่น้อยมาก (จำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน) หากคุณวาดไดอะแกรมลำดับ เมื่อถึงจุดหนึ่ง มันจะบรรจบกัน และมีแนวโน้มที่จะกลายเป็นค่าที่แน่นอน ดังนั้นชื่อ - ลำดับบรรจบกัน

ขีดจำกัดของลำดับโมโนโทนิก

ลำดับดังกล่าวอาจมีหรือไม่มีขีดจำกัดก็ได้ ขั้นแรก การทำความเข้าใจว่าเมื่อใดนั้นมีประโยชน์ จากที่นี่ คุณสามารถเริ่มต้นเมื่อพิสูจน์ว่าไม่มีขีดจำกัด

ในบรรดาลำดับโมโนโทนิก การบรรจบกันและไดเวอร์เจนต์นั้นแตกต่างกัน คอนเวอร์เจนต์ - นี่คือลำดับที่เกิดจากเซต x และมีขีดจำกัดจริงหรือเชิงซ้อนในเซตนี้ Divergent - ลำดับที่ไม่มีขีดจำกัดในชุดของมัน (ไม่จริงหรือซับซ้อน)

ยิ่งกว่านั้น ลำดับจะมาบรรจบกันหากขีดจำกัดบนและล่างมาบรรจบกันในการแสดงทางเรขาคณิต

ลิมิตของลำดับคอนเวอร์เจนต์สามารถมีค่าเท่ากับศูนย์ได้ในหลายกรณี

ไม่ว่าคุณจะใช้ลำดับที่มาบรรจบกันแบบใด ลำดับเหล่านั้นล้วนมีขอบเขต แต่อยู่ไกลจากลำดับที่มีขอบเขตทั้งหมดมาบรรจบกัน

ผลรวม ผลต่าง ผลคูณของลำดับลู่เข้าสองลำดับก็เป็นลำดับลู่เข้าเช่นกัน อย่างไรก็ตาม ผลหารสามารถบรรจบกันได้หากมีการกำหนดไว้!

การกระทำต่างๆอย่างมีขีดจำกัด

ลิมิตของลำดับมีค่านัยสำคัญ (ในกรณีส่วนใหญ่) เหมือนกันกับตัวเลขและตัวเลข: 1, 2, 15, 24, 362 ฯลฯ ปรากฎว่าสามารถดำเนินการบางอย่างได้โดยมีขีดจำกัด

ขั้นแรก เช่นเดียวกับตัวเลขและตัวเลข ขีดจำกัดของลำดับใดๆ สามารถเพิ่มและลบได้ ตามทฤษฎีบทที่สามเกี่ยวกับลิมิตของลำดับ ความเท่าเทียมกันต่อไปนี้เป็นจริง: ลิมิตของผลรวมของลำดับจะเท่ากับผลรวมของลิมิต

ประการที่สอง ตามทฤษฎีบทที่สี่เกี่ยวกับลิมิตของลำดับ ความเท่าเทียมกันต่อไปนี้เป็นจริง: ลิมิตของผลคูณของจำนวนลำดับที่ n เท่ากับผลคูณของลิมิต เช่นเดียวกับการหาร: ลิมิตของผลหารของสองลำดับเท่ากับผลหารของลิมิต โดยที่ลิมิตไม่เท่ากับศูนย์ ท้ายที่สุดหากขีด จำกัด ของลำดับเท่ากับศูนย์การหารด้วยศูนย์จะกลายเป็นสิ่งที่เป็นไปไม่ได้

คุณสมบัติค่าลำดับ

ดูเหมือนว่าขีดจำกัดของลำดับตัวเลขจะได้รับการวิเคราะห์ในรายละเอียดบางอย่างแล้ว แต่มีการกล่าวถึงวลีเช่นตัวเลข "น้อยไม่สิ้นสุด" และ "ใหญ่ไม่สิ้นสุด" มากกว่าหนึ่งครั้ง เห็นได้ชัดว่า ถ้ามีลำดับ 1/x โดยที่ x→∞ เศษส่วนดังกล่าวจะมีขนาดเล็กมาก และถ้าลำดับเดียวกัน แต่ขีดจำกัดมีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์ (x→0) เศษส่วนนั้นจะกลายเป็นค่าที่มากอย่างไม่สิ้นสุด . และค่าดังกล่าวมีลักษณะเฉพาะของตนเอง คุณสมบัติของขีด จำกัด ของลำดับที่มีค่าน้อยหรือมากโดยพลการมีดังนี้:

1. ผลรวมของปริมาณเล็กน้อยตามอำเภอใจจำนวนใดๆ จะเป็นปริมาณน้อยด้วย
2. ผลรวมของค่ามากจำนวนใดๆ จะเป็นค่ามากอนันต์
3. ผลิตภัณฑ์ของปริมาณเล็กน้อยตามอำเภอใจนั้นมีขนาดเล็กมาก
4. ผลคูณของจำนวนที่มากตามอำเภอใจคือปริมาณที่มากอย่างไม่จำกัด
5. หากลำดับเดิมมีแนวโน้มที่จะเป็นจำนวนอนันต์ ส่วนกลับของลำดับนั้นจะเป็นค่าเล็กน้อยและมีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์

อันที่จริง การคำนวณขีดจำกัดของลำดับไม่ใช่เรื่องยากหากคุณรู้อัลกอริทึมง่ายๆ แต่ข้อจำกัดของลำดับเป็นหัวข้อที่ต้องการความสนใจและความอุตสาหะสูงสุด แน่นอน มันก็เพียงพอแล้วที่จะเข้าใจสาระสำคัญของการแก้ปัญหาของนิพจน์ดังกล่าว เริ่มจากเล็ก ๆ เมื่อเวลาผ่านไป คุณสามารถไปถึงที่สูงได้

มีการให้คำชี้แจงของทฤษฎีบทหลักและคุณสมบัติของลำดับตัวเลขที่มีขีดจำกัด มีคำจำกัดความของลำดับและขีดจำกัดของมัน การดำเนินการเลขคณิตกับลำดับ คุณสมบัติที่เกี่ยวข้องกับอสมการ เกณฑ์การลู่เข้า คุณสมบัติของลำดับที่เล็กไม่สิ้นสุดและลำดับที่ใหญ่ไม่สิ้นสุดได้รับการพิจารณา

เนื้อหา

คุณสมบัติของลิมิตของลำดับ

คุณสมบัติพื้นฐาน

จุด a คือขีดจำกัดของลำดับก็ต่อเมื่ออยู่นอกย่านใดๆ ของจุดนี้ จำนวนองค์ประกอบที่ จำกัดลำดับหรือเซตว่าง

หากจำนวน a ไม่ใช่ขีดจำกัดของลำดับ แสดงว่ามีบริเวณใกล้เคียงของจุด a นอกนั้นจะมี องค์ประกอบลำดับจำนวนไม่ จำกัด.

ทฤษฎีบทเอกลักษณ์สำหรับลิมิตของลำดับจำนวน. หากลำดับมีขีดจำกัด แสดงว่าลำดับนั้นไม่ซ้ำกัน

หากลำดับมีขีดจำกัดที่แน่นอน ถูก จำกัด.

ถ้าแต่ละองค์ประกอบของลำดับ เท่ากับจำนวนเดียวกัน C : แล้วลำดับนี้มีขีดจำกัดเท่ากับจำนวน C

ถ้าลำดับ เพิ่ม ปล่อย หรือเปลี่ยนองค์ประกอบ m ตัวแรกแล้วสิ่งนี้จะไม่ส่งผลกระทบต่อการบรรจบกัน

การพิสูจน์คุณสมบัติพื้นฐานที่กำหนดในหน้า
คุณสมบัติพื้นฐานของลิมิตลำดับจำกัด >>>

เลขคณิตที่มีลิมิต

ให้มีขีดจำกัดและลำดับที่แน่นอน และ . และให้ C เป็นค่าคงที่ นั่นคือ จำนวนที่กำหนด แล้ว
;
;
;
, ถ้า .
ในกรณีของผลหาร จะถือว่าสำหรับทั้งหมด n

ถ้า แล้ว .

การพิสูจน์คุณสมบัติเลขคณิตที่กำหนดในหน้า
คุณสมบัติเลขคณิตของลิมิตของลำดับ >>>

คุณสมบัติที่เกี่ยวข้องกับอสมการ

หากองค์ประกอบของลำดับ เริ่มจากจำนวนจำนวนหนึ่ง เป็นไปตามอสมการ ขีดจำกัด a ของลำดับนี้ก็เป็นไปตามอสมการด้วย

หากองค์ประกอบของลำดับเริ่มต้นจากตัวเลขบางส่วนอยู่ในช่วงเวลาปิด (ส่วน) ขีด จำกัด a ก็เป็นของช่วงเวลานี้ด้วย:

ถ้า และ และ องค์ประกอบของลำดับ เริ่มจากจำนวนหนึ่ง เป็นไปตามอสมการ แล้ว

ถ้า และ เริ่มจากบางจำนวน แล้ว .
โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าเริ่มจากบางจำนวน แล้ว
ถ้า แล้ว ;
ถ้า แล้ว .

ถ้า และ แล้ว .

ให้ และ . ถ้า ก < b แล้วมีจำนวนธรรมชาติ N เช่นนั้นสำหรับ n ทั้งหมด > เอ็นความไม่เท่าเทียมกันเป็นที่พอใจ

การพิสูจน์คุณสมบัติที่เกี่ยวข้องกับอสมการที่กำหนดในหน้า
คุณสมบัติของลิมิตของลำดับที่เกี่ยวข้องกับ >>> อสมการ

ลำดับที่น้อยที่สุดและน้อยที่สุด

ลำดับที่น้อยที่สุด

ลำดับที่น้อยที่สุดคือลำดับที่มีขีดจำกัดเป็นศูนย์:
.

ผลรวมและความแตกต่างจำนวนจำกัดของลำดับน้อยเป็นลำดับน้อย

ผลิตภัณฑ์ของลำดับที่มีขอบเขตถึงค่าเล็กน้อยเป็นลำดับที่น้อยที่สุด

ผลคูณของจำนวนจำกัดลำดับที่น้อยที่สุดคือลำดับที่น้อยที่สุด

เพื่อให้ลำดับมีขีดจำกัด a มีความจำเป็นและเพียงพอที่ โดยที่ เป็นลำดับที่น้อยมาก

การพิสูจน์คุณสมบัติของลำดับที่น้อยมากที่กำหนดในหน้า
ลำดับเล็ก ๆ ที่ไม่สิ้นสุด - ความหมายและคุณสมบัติ >>> .

ลำดับใหญ่ไม่สิ้นสุด

ลำดับที่ใหญ่ไม่สิ้นสุดคือลำดับที่มีขีดจำกัดที่ใหญ่ไม่สิ้นสุด นั่นคือ ถ้าสำหรับจำนวนบวกใด ๆ มีจำนวนธรรมชาติดังกล่าว N ขึ้นอยู่กับ ว่าสำหรับจำนวนธรรมชาติทั้งหมด อสมการ
.
ในกรณีนี้ให้เขียน
.
หรือที่.
พวกเขาบอกว่ามันมีแนวโน้มที่จะไม่มีที่สิ้นสุด

ถ้า , เริ่มต้นจากบางหมายเลข N แล้ว
.
ถ้า แล้ว
.

ถ้าลำดับมีขนาดใหญ่ไม่จำกัด ให้เริ่มจากตัวเลข N จำนวนหนึ่ง ลำดับนั้นจะถูกกำหนดให้มีขนาดเล็กมาก ถ้าเป็นลำดับน้อยที่มีองค์ประกอบไม่เป็นศูนย์ แสดงว่าลำดับนั้นมีขนาดใหญ่มาก

ถ้าลำดับนั้นใหญ่อย่างไม่มีที่สิ้นสุดและลำดับนั้นมีขอบเขต ดังนั้น
.

หากค่าสัมบูรณ์ขององค์ประกอบของลำดับถูกล้อมรอบด้วยจำนวนบวก () จากด้านล่างและมีขนาดเล็กมากโดยไม่มีองค์ประกอบที่ไม่ใช่ศูนย์ ดังนั้น
.

ในรายละเอียด นิยามของลำดับขนาดใหญ่ไม่สิ้นสุดพร้อมตัวอย่างที่กำหนดในหน้า
นิยามของลำดับขนาดใหญ่อนันต์ >>> .
การพิสูจน์คุณสมบัติของลำดับขนาดใหญ่ไม่สิ้นสุดที่กำหนดในหน้า
คุณสมบัติของลำดับขนาดใหญ่อนันต์ >>> .

เกณฑ์การบรรจบกันของลำดับ

ลำดับโมโนโทนิก

ลำดับที่เพิ่มขึ้นอย่างเข้มงวดคือลำดับขององค์ประกอบทั้งหมดที่มีความไม่เท่าเทียมกันดังต่อไปนี้:
.

อสมการที่คล้ายกันกำหนดลำดับเสียงเดียวอื่นๆ

ลำดับที่ลดลงอย่างเคร่งครัด:
.
ลำดับที่ไม่ลดลง:
.
ลำดับที่ไม่เพิ่มขึ้น:
.

มันตามมาว่าลำดับที่เพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัดก็ไม่ลดลงเช่นกัน ลำดับที่ลดลงอย่างเข้มงวดก็ไม่เพิ่มขึ้นเช่นกัน

ลำดับโมโนโทนิกเป็นลำดับที่ไม่ลดลงหรือไม่เพิ่มขึ้น

ลำดับโมโนโทนิกมีขอบเขตอย่างน้อยหนึ่งด้านด้วย ลำดับที่ไม่ลดลงมีขอบเขตจากด้านล่าง: ลำดับที่ไม่เพิ่มขึ้นมีขอบเขตจากด้านบน:

ทฤษฎีบทไวเออร์ชตราส. เพื่อให้ลำดับที่ไม่ลดลง (ไม่เพิ่มขึ้น) มีขีดจำกัดจำกัด มีความจำเป็นและเพียงพอที่จะถูกจำกัดขอบเขตจากด้านบน (จากด้านล่าง) ในที่นี้ M คือจำนวนจำนวนหนึ่ง

เนื่องจากลำดับใดๆ ที่ไม่ลดลง (ไม่เพิ่มขึ้น) ถูกล้อมรอบจากด้านล่าง (จากด้านบน) จึงสามารถอธิบายทฤษฎีบทไวเออร์สตราสใหม่ได้ดังนี้:

เพื่อให้ลำดับเสียงเดียวมีขอบเขตที่จำกัด จำเป็นและเพียงพอที่จะต้องมีขอบเขต:

ลำดับที่ไม่มีขอบเขตแบบโมโนโทนิกมีขีดจำกัดไม่สิ้นสุด เท่ากันสำหรับลำดับที่ไม่ลดลงและไม่เพิ่มขึ้น

การพิสูจน์ทฤษฎีบทไวเออร์สตราสที่กำหนดในหน้า
ทฤษฎีบทของไวเออร์ชตราสเกี่ยวกับขีดจำกัดของลำดับโมโนโทน >>> .

เกณฑ์ Cauchy สำหรับการบรรจบกันของลำดับ

ภาวะโคม่า
ความสอดคล้องตอบสนอง ภาวะโคม่า, ถ้ามีจำนวนธรรมชาติสำหรับจำนวนใด ๆ ที่ทำให้จำนวนธรรมชาติทั้งหมด n และ m เป็นไปตามเงื่อนไข , ความไม่เท่าเทียมกัน
.

ลำดับพื้นฐานคือลำดับที่ตอบสนอง สภาพ Cauchy

เกณฑ์ Cauchy สำหรับการบรรจบกันของลำดับ. เพื่อให้ลำดับมีขีดจำกัดที่แน่นอน มีความจำเป็นและเพียงพอที่จะเป็นไปตามเงื่อนไข Cauchy

หลักฐานของเกณฑ์การบรรจบกันของ Cauchyที่กำหนดในหน้า
เกณฑ์การบรรจบกันของ Cauchy สำหรับลำดับ >>>

ผลที่ตามมา

ทฤษฎีบทโบลซาโน-ไวเออร์ชตราส. จากลำดับที่มีขอบเขตใด ๆ ลำดับย่อยที่บรรจบกันสามารถแยกแยะได้ และจากลำดับที่ไม่จำกัดใดๆ - ลำดับย่อยที่ใหญ่อย่างไม่มีที่สิ้นสุดมาบรรจบกันที่ หรือ ถึง

การพิสูจน์ทฤษฎีบทโบลซาโน-ไวเออร์ชตราสที่กำหนดในหน้า
ทฤษฎีบทโบลซาโน–ไวเออร์ชตราส >>> .

นิยาม ทฤษฎีบท และคุณสมบัติของลำดับย่อยและขีดจำกัดบางส่วนจะกล่าวถึงในหน้านี้
ลำดับที่ตามมาและขีดจำกัดบางส่วนของลำดับ >>>.

อ้างอิง:
ซม. นิโคลสกี้. หลักสูตรการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ เล่มที่ 1 มอสโก 2526
แอล.ดี. Kudryavtsev. หลักสูตรการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ เล่มที่ 1 มอสโก 2546
เวอร์จิเนีย โซริช. การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ส่วนที่ 1 มอสโก 2540
เวอร์จิเนีย อิลลิน, อี.จี. พอซเนียก. พื้นฐานของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ส่วนที่ 1 มอสโก 2548

ดูสิ่งนี้ด้วย:

Xn เป็นองค์ประกอบหรือสมาชิกลำดับ n เป็นสมาชิกลำดับ หากกำหนดฟังก์ชัน f(n) ในเชิงวิเคราะห์ นั่นคือ โดยใช้สูตร ดังนั้น xn=f(n) จะเรียกว่าสูตรของสมาชิกของลำดับ

จำนวน a เรียกว่าลิมิตของลำดับ (xn) ถ้าสำหรับ ε>0 ใดๆ มีจำนวน n=n(ε) เริ่มต้นจากอสมการ |xn-a |

ตัวอย่างที่ 2 พิสูจน์ว่าภายใต้เงื่อนไขของตัวอย่างที่ 1 จำนวน a=1 ไม่ใช่ขีดจำกัดของลำดับของตัวอย่างก่อนหน้า สารละลาย. ลดรูปพจน์ทั่วไปของลำดับอีกครั้ง รับ ε=1 (นี่คือจำนวนใดๆ >

ปัญหาของการคำนวณขีดจำกัดของลำดับโดยตรงนั้นค่อนข้างซ้ำซากจำเจ ทั้งหมดมีอัตราส่วนของพหุนามที่เกี่ยวกับ n หรือนิพจน์อตรรกยะที่เกี่ยวกับพหุนามเหล่านี้ เมื่อเริ่มแก้ปัญหา ให้นำวงเล็บ (เครื่องหมายกรณฑ์) ของส่วนประกอบที่อยู่ในระดับสูงสุดออก สมมติว่าสำหรับตัวเศษของนิพจน์ดั้งเดิม สิ่งนี้จะนำไปสู่การปรากฏของตัวประกอบ a^p และสำหรับตัวส่วน b^q แน่นอน เงื่อนไขที่เหลือทั้งหมดมีรูปแบบ C / (n-k) และมีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์เมื่อ n>

วิธีแรกในการคำนวณขีดจำกัดของลำดับจะขึ้นอยู่กับคำจำกัดความ จริงอยู่ควรจำไว้ว่ามันไม่ได้ให้วิธีค้นหาขีด จำกัด โดยตรง แต่ช่วยให้คุณพิสูจน์ได้ว่าจำนวน a เป็น (หรือไม่) เป็นขีด จำกัด ตัวอย่างที่ 1 พิสูจน์ว่าลำดับ (xn) = ( (3n ^ 2-2n -1)/(n^2-n-2)) มีขีดจำกัด a=3 วิธีแก้ไข พิสูจน์โดยใช้คำจำกัดความในลำดับย้อนกลับ นั่นคือจากขวาไปซ้าย ก่อนอื่น ตรวจสอบว่ามันเป็นไปได้ที่จะลดความซับซ้อนของสูตรสำหรับ xn.xn =(3n^2+4n+2)/(n^2+3n22)=((3n+1)(n+1))/((n+ 2) (n+1))=)=(3n+1)/(n+2). พิจารณาอสมการ |(3n+1)/(n+2)-3|0 คุณสามารถหาจำนวนธรรมชาติใดๆ nε ที่มากกว่า มากกว่า -2+ 5/ε

ตัวอย่างที่ 2 พิสูจน์ว่าภายใต้เงื่อนไขของตัวอย่างที่ 1 จำนวน a=1 ไม่ใช่ขีดจำกัดของลำดับของตัวอย่างก่อนหน้า สารละลาย. ลดรูปพจน์ทั่วไปของลำดับอีกครั้ง รับ ε=1 (นี่คือจำนวนใดๆ >0) เขียนอสมการสุดท้ายของคำจำกัดความทั่วไป |(3n+1)/(n+2)-1|

ปัญหาของการคำนวณขีดจำกัดของลำดับโดยตรงนั้นค่อนข้างซ้ำซากจำเจ ทั้งหมดมีอัตราส่วนของพหุนามที่เกี่ยวกับ n หรือนิพจน์อตรรกยะที่เกี่ยวกับพหุนามเหล่านี้ เมื่อเริ่มแก้ปัญหา ให้นำวงเล็บ (เครื่องหมายกรณฑ์) ของส่วนประกอบที่อยู่ในระดับสูงสุดออก สมมติว่าสำหรับตัวเศษของนิพจน์ดั้งเดิม สิ่งนี้จะนำไปสู่การปรากฏของตัวประกอบ a^p และสำหรับตัวส่วน b^q แน่นอน เงื่อนไขที่เหลือทั้งหมดมีรูปแบบ С/(n-k) และมีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์สำหรับ n>k (n มีแนวโน้มที่จะไม่มีที่สิ้นสุด) จากนั้นเขียนคำตอบ: 0 ถ้า pq

ให้เราระบุวิธีที่ไม่ใช่แบบดั้งเดิมในการค้นหาขีดจำกัดของลำดับและผลรวมที่ไม่สิ้นสุด เราจะใช้ลำดับการทำงาน (สมาชิกของ ฟังก์ชันที่กำหนดในบางช่วงเวลา (a,b)) ตัวอย่างที่ 3 จงหาผลรวมของรูปแบบ 1+1/2! +1/3! +…+1/น! +…=s .โซลูชัน จำนวนใดๆ a^0=1 ใส่ 1=exp(0) และพิจารณาลำดับของฟังก์ชัน (1+x+x^2/2! +x^3/3! +…+x^/n, n=0,1,2,..,n… . Легко заметить, что записанный полином совпадает с многочленом Тейлора по степеням x, который в данном случае совпадает с exp(x). Возьмите х=1. Тогдаexp(1)=e=1+1+1/2! +1/3! +…+1/n! +…=1+s. Ответ s=e-1.!}

ลำดับตัวเลข
ยังไง ?

ในบทเรียนนี้ เราจะได้เรียนรู้สิ่งที่น่าสนใจมากมายจากชีวิตของสมาชิกในชุมชนขนาดใหญ่ที่เรียกว่า Vkontakte ลำดับหมายเลข. หัวข้อที่กำลังพิจารณาไม่ได้หมายถึงเฉพาะหลักสูตรการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์เท่านั้น แต่ยังรวมถึงพื้นฐานด้วย คณิตศาสตร์ที่ไม่ต่อเนื่อง. นอกจากนี้ เนื้อหาจะต้องใช้สำหรับการพัฒนาส่วนอื่นๆ ของหอคอย โดยเฉพาะอย่างยิ่งในระหว่างการศึกษา ชุดหมายเลขและ แถวการทำงาน. คุณสามารถพูดซ้ำๆ ว่าสิ่งนี้สำคัญ คุณสามารถพูดได้อย่างมั่นใจว่ามันง่าย คุณสามารถพูดวลีประจำได้มากขึ้น แต่วันนี้เป็นสัปดาห์แรกของโรงเรียนที่ขี้เกียจผิดปกติ ดังนั้นมันจึงเป็นเรื่องแย่สำหรับฉันในการเขียนย่อหน้าแรก =) ฉันบันทึกไฟล์ไว้ในใจแล้วและพร้อมที่จะนอน ทันใดนั้น... ความคิดเรื่องการสารภาพอย่างตรงไปตรงมาก็สว่างขึ้นในหัว ซึ่งทำให้จิตใจโล่งขึ้นอย่างไม่น่าเชื่อและผลักดันให้นิ้วเคาะแป้นพิมพ์ต่อไป

มาพูดนอกเรื่องจากความทรงจำในฤดูร้อนและมองเข้าไปในโลกที่น่าหลงใหลและเป็นบวกของโซเชียลเน็ตเวิร์กใหม่:

แนวคิดของลำดับตัวเลข

ขั้นแรกให้นึกถึงคำศัพท์: ลำดับคืออะไร? ความสอดคล้องคือเมื่อบางสิ่งอยู่ข้างหลังบางสิ่ง ตัวอย่างเช่น ลำดับของการกระทำ ลำดับของฤดูกาล หรือเมื่อมีคนอยู่ข้างหลังใครบางคน เช่น ลำดับคนต่อคิว ลำดับช้างบนเส้นทางสู่แอ่งน้ำ

ให้เราอธิบายคุณลักษณะเฉพาะของลำดับทันที ประการแรก สมาชิกลำดับตั้งอยู่ อย่างเคร่งครัดเป็นลำดับ. ดังนั้นหากมีการสลับคนสองคนในคิวก็จะเป็นเช่นนั้น อื่นผลที่ตามมา ประการที่สองสำหรับแต่ละคน สมาชิกลำดับคุณสามารถกำหนดหมายเลขซีเรียล:

มันเหมือนกันกับตัวเลข อนุญาต ถึงแต่ละคนคุณค่าจากธรรมชาติ ตามกฎบางอย่างแมปกับจำนวนจริง จากนั้นเราบอกว่ามีการกำหนดลำดับตัวเลข

ใช่ ในปัญหาทางคณิตศาสตร์ ตรงกันข้ามกับสถานการณ์ในชีวิต ลำดับมักจะประกอบด้วย มากมายเหลือคณานับตัวเลข

ประเด็น:
เรียกว่า สมาชิกคนแรกลำดับ;
– สมาชิกคนที่สองลำดับ;
– สมาชิกคนที่สามลำดับ;
…
– ครั้งที่หรือ สมาชิกทั่วไปลำดับ;
…

ในทางปฏิบัติมักจะกำหนดลำดับ สูตรคำทั่วไป, ตัวอย่างเช่น:
เป็นลำดับของเลขคู่บวก:

ดังนั้นบันทึกจะกำหนดสมาชิกทั้งหมดของลำดับโดยไม่ซ้ำกัน - นี่คือกฎ (สูตร) ​​ตามที่ค่าธรรมชาติ ตัวเลขตรงกัน ดังนั้น ลำดับจึงมักแสดงโดยสมาชิกร่วมสั้นๆ และสามารถใช้อักษรละตินอื่นๆ แทน "x" ได้ เช่น

ลำดับของเลขคี่ที่เป็นบวก:

ลำดับทั่วไปอื่น:

อย่างที่หลายคนสังเกตเห็นว่าตัวแปร "en" มีบทบาทเป็นตัวนับ

อันที่จริง เราจัดการกับลำดับตัวเลขในสมัยมัธยมต้น มาจำกัน ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์. ฉันจะไม่เขียนคำจำกัดความใหม่ ลองสัมผัสสาระสำคัญด้วยตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจง อนุญาต เป็นระยะแรกและ ขั้นตอนความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ แล้ว:
เป็นระยะที่สองของความก้าวหน้านี้
เป็นสมาชิกคนที่สามของความก้าวหน้านี้
- ที่สี่;
- ที่ห้า;
…
และแน่นอนว่าสมาชิกคนที่ n ถูกถาม กำเริบสูตร

บันทึก : ในสูตรแบบเรียกซ้ำ แต่ละพจน์ถัดไปจะแสดงในรูปของพจน์ก่อนหน้าหรือแม้แต่ในพจน์ของพจน์ก่อนหน้าทั้งชุด

สูตรที่ได้นั้นมีประโยชน์น้อยในทางปฏิบัติ - เพื่อให้ได้ พูด ถึง คุณต้องผ่านเงื่อนไขก่อนหน้าทั้งหมด และในวิชาคณิตศาสตร์ จะได้นิพจน์ที่สะดวกกว่าสำหรับพจน์ที่ n ของความก้าวหน้าทางเลขคณิต: . ในกรณีของเรา:

แทนจำนวนธรรมชาติในสูตรและตรวจสอบความถูกต้องของลำดับตัวเลขที่สร้างขึ้นด้านบน

สามารถคำนวณที่คล้ายกันได้ ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต, เทอมที่ n ซึ่งกำหนดโดยสูตร, เทอมแรกอยู่ที่ไหน, และ is ตัวส่วนความก้าวหน้า ในการมอบหมายมาตัน เทอมแรกมักจะเท่ากับหนึ่ง

ความคืบหน้ากำหนดลำดับ ;
ความก้าวหน้า กำหนดลำดับ ;
ความก้าวหน้า กำหนดลำดับ ;
ความก้าวหน้า กำหนดลำดับ .

ฉันหวังว่าทุกคนจะรู้ว่า -1 ของเลขคี่คือ -1 และสำหรับเลขคู่คือ 1

เรียกว่าความก้าวหน้า ลดลงอย่างไม่มีที่สิ้นสุด, ถ้า (สองกรณีสุดท้าย).

มาเพิ่มเพื่อนใหม่สองคนในรายการของเรา ซึ่งหนึ่งในนั้นเพิ่งเคาะเมทริกซ์ของจอภาพ:

ลำดับในศัพท์แสงทางคณิตศาสตร์เรียกว่า "แฟลชเชอร์":

ดังนั้น, สมาชิกในลำดับสามารถทำซ้ำได้. ดังนั้น ในตัวอย่างที่พิจารณา ลำดับประกอบด้วยตัวเลขสองตัวที่สลับกันไม่สิ้นสุด

มันเกิดขึ้นที่ลำดับประกอบด้วยตัวเลขเดียวกันหรือไม่? แน่นอน. ตัวอย่างเช่น กำหนดจำนวนอนันต์ของ "สามเท่า" สำหรับสุนทรียศาสตร์ มีกรณีที่ "en" ยังคงปรากฏอย่างเป็นทางการในสูตร:

ชวนแฟนเต้นง่ายๆ กันเถอะ:

จะเกิดอะไรขึ้นเมื่อ "en" เพิ่มขึ้นเป็นอนันต์? แน่นอนเงื่อนไขของลำดับจะ ปิดไม่สิ้นสุดเข้าใกล้ศูนย์ นี่คือลิมิตของลำดับนี้ ซึ่งเขียนได้ดังนี้:

ถ้าลิมิตของลำดับเป็นศูนย์ ก็จะเรียกว่า น้อย.

ในทฤษฎีการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์จะได้รับ คำจำกัดความที่เข้มงวดของลำดับขีด จำกัดผ่านย่านที่เรียกว่าเอปไซลอน บทความต่อไปจะกล่าวถึงคำนิยามนี้ แต่ตอนนี้เรามาวิเคราะห์ความหมายกัน:

ให้เราอธิบายเงื่อนไขของลำดับและย่านสมมาตรที่เกี่ยวกับศูนย์ (จำกัด ) บนเส้นจริง:


ตอนนี้จับย่านสีน้ำเงินด้วยขอบฝ่ามือของคุณแล้วเริ่มลดขนาดลงโดยดึงให้สุด (จุดสีแดง) จำนวนคือขีดจำกัดของลำดับ หากเลือกไว้ล่วงหน้าสำหรับ -neighborhood (เล็กโดยพลการ)ข้างในจะเป็น มากมายเหลือคณานับสมาชิกของลำดับและนอกนั้น - เท่านั้น สุดท้ายจำนวนสมาชิก (หรือไม่มีเลย) นั่นคือพื้นที่ใกล้เคียงของเอปไซลอนสามารถมีขนาดเล็กและแม้แต่น้อย แต่ "หางที่ไม่มีที่สิ้นสุด" ของลำดับจะต้องไม่ช้าก็เร็ว อย่างเต็มที่เข้าสู่บริเวณนี้

ลำดับยังมีขนาดเล็กมาก: ด้วยความแตกต่างที่สมาชิกไม่กระโดดไปมา แต่เข้าใกล้ขีด จำกัด จากทางขวาเท่านั้น

โดยปกติแล้ว ลิมิตสามารถเท่ากับจำนวนจำกัดอื่นๆ ตัวอย่างเบื้องต้น:

ที่นี่เศษส่วนมีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์ ดังนั้นขีดจำกัดจึงเท่ากับ "สอง"

ถ้าลำดับ มีขีดจำกัดที่แน่นอนแล้วจะเรียกว่า บรรจบกัน(โดยเฉพาะอย่างยิ่ง, น้อยที่ ). มิฉะนั้น - แตกต่างในขณะที่เป็นไปได้สองทางเลือก: ไม่มีขีดจำกัดเลย หรือไม่มีขีดจำกัด ในกรณีหลังเรียกว่าลำดับ ใหญ่เหลือหลาย. มาดูตัวอย่างของย่อหน้าแรก:

ลำดับ เป็น ใหญ่เหลือหลายในขณะที่สมาชิกของพวกเขาก้าวไปสู่ ​​"บวกไม่มีที่สิ้นสุด" อย่างมั่นคง:

ความก้าวหน้าทางเลขคณิตที่มีเทอมแรกและขั้นตอนก็มากเช่นกัน:

ยังไงก็ตาม ความก้าวหน้าทางเลขคณิตใด ๆ ก็แตกต่างกันเช่นกัน ยกเว้นกรณีที่มีขั้นตอนเป็นศูนย์ - เมื่อเพิ่มเข้าไปในจำนวนเฉพาะอย่างไม่สิ้นสุด ขีดจำกัดของลำดับดังกล่าวมีอยู่และเกิดขึ้นพร้อมกับเทอมแรก

ลำดับมีชะตากรรมที่คล้ายกัน:

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุดใด ๆ ดังที่ชื่อบอกเป็นนัย เล็กมาก:

ถ้าตัวส่วนเป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ลำดับนั้นจะมีขนาดใหญ่ไม่สิ้นสุดA:

ตัวอย่างเช่น ถ้าไม่มีขีดจำกัดเลย เนื่องจากสมาชิกกระโดดไปที่ "บวกอินฟินิตี้" อย่างไม่รู้จักเหน็ดเหนื่อย แล้วก็ไปที่ "ลบอินฟินิตี้" และสามัญสำนึกและทฤษฎีบทของมาตันแนะนำว่าหากมีบางสิ่งพยายามอยู่ที่ไหนสักแห่ง สถานที่อันเป็นที่รักแห่งนี้ก็มีเอกลักษณ์เฉพาะตัว

หลังจากการเปิดเผยเล็กน้อย เห็นได้ชัดว่าไฟกะพริบต้องโทษสำหรับการขว้างปาอย่างไม่ จำกัด ซึ่งโดยวิธีการนั้นแตกต่างออกไปเอง
อันที่จริง สำหรับลำดับ เป็นเรื่องง่ายที่จะเลือก -neighbourhood ซึ่งกล่าวคือยึดเฉพาะหมายเลข -1 เป็นผลให้สมาชิกลำดับจำนวนไม่ จำกัด ("บวกหนึ่ง") จะยังคงอยู่นอกพื้นที่ใกล้เคียงที่กำหนด แต่ตามคำนิยามแล้ว "ส่วนท้ายที่ไม่สิ้นสุด" ของลำดับจากช่วงเวลาหนึ่ง (จำนวนธรรมชาติ) จะต้อง อย่างเต็มที่เข้าสู่พื้นที่ใกล้เคียงใด ๆ ของขีด จำกัด สรุป: ไม่มีขีดจำกัด

แฟกทอเรียลคือ ใหญ่เหลือหลายลำดับ:

ยิ่งไปกว่านั้นมันเติบโตอย่างก้าวกระโดดจึงเป็นตัวเลขที่มีมากกว่า 100 หลัก (หลัก)! ทำไมต้อง 70? มันขอความเมตตาจากเครื่องคิดเลขทางวิศวกรรมของฉัน

ด้วยการยิงควบคุม ทุกอย่างจะซับซ้อนขึ้นเล็กน้อย และเราเพิ่งเข้าสู่ส่วนปฏิบัติของการบรรยาย ซึ่งเราจะวิเคราะห์ตัวอย่างการต่อสู้:

แต่ตอนนี้จำเป็นต้องสามารถแก้ไขขีด จำกัด ของฟังก์ชันได้อย่างน้อยในระดับบทเรียนพื้นฐานสองบท: ขีด จำกัด ตัวอย่างโซลูชันและ ขีด จำกัด ที่น่าทึ่ง. เพราะวิธีการแก้ปัญหาหลายๆ อย่างจะคล้ายๆ กัน แต่ก่อนอื่น เรามาวิเคราะห์ความแตกต่างพื้นฐานระหว่างลิมิตของลำดับและลิมิตของฟังก์ชัน:

ในขีดจำกัดของลำดับ ตัวแปร "ไดนามิก" "en" สามารถมีแนวโน้มที่จะ เพียงเพื่อ "บวกอนันต์"– ในทิศทางของการเพิ่มจำนวนตามธรรมชาติ .
ในขีด จำกัด ของฟังก์ชัน "x" สามารถกำกับได้ทุกที่ - เป็น "บวก / ลบอนันต์" หรือเป็นจำนวนจริงโดยพลการ

ผลที่ตามมา ไม่ต่อเนื่อง(ไม่ต่อเนื่อง) นั่นคือประกอบด้วยสมาชิกที่แยกจากกัน หนึ่ง สอง สาม สี่ ห้า กระต่ายออกไปเดินเล่น อาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันมีลักษณะเฉพาะคือความต่อเนื่อง นั่นคือ "x" อย่างราบรื่น โดยไม่มีเหตุการณ์ใดๆ มีแนวโน้มที่จะเป็นค่าใดค่าหนึ่ง และดังนั้นค่าของฟังก์ชันจะเข้าใกล้ขีดจำกัดอย่างต่อเนื่อง

เพราะว่า ความไม่รอบคอบภายในซีเควนซ์มีสิ่งที่เป็นแบรนด์ของตนเอง เช่น แฟกทอเรียล แฟลชเชอร์ โปรเกรสซีฟ ฯลฯ และตอนนี้ฉันจะพยายามวิเคราะห์ขีด จำกัด ที่เป็นลักษณะของลำดับ

เริ่มต้นด้วยความก้าวหน้า:

ตัวอย่างที่ 1

ค้นหาขีดจำกัดของลำดับ

สารละลาย: สิ่งที่คล้ายกับความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่มีที่สิ้นสุด แต่จริงหรือ? เพื่อความชัดเจน เราเขียนข้อกำหนดสองสามข้อแรก:

เนื่องจาก เรากำลังพูดถึง ผลรวมสมาชิกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่มีที่สิ้นสุดซึ่งคำนวณโดยสูตร

ตัดสินใจ:

เราใช้สูตรสำหรับผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด: . ในกรณีนี้: - เทอมแรก - ส่วนของความก้าวหน้า

ตัวอย่างที่ 2

เขียนสี่พจน์แรกของลำดับและหาขีดจำกัด

นี่คือตัวอย่างที่ทำเอง เพื่อขจัดความไม่แน่นอนในตัวเศษ คุณจะต้องใช้สูตรสำหรับผลบวกของพจน์แรกของความก้าวหน้าทางเลขคณิต:
ซึ่งคือเทอมแรกและเทอมที่ n ของความก้าวหน้า

เนื่องจาก 'en' มีแนวโน้มที่จะ 'บวกอนันต์' เสมอในลำดับ จึงไม่น่าแปลกใจที่ความไม่แน่นอนจะเป็นที่นิยมมากที่สุด
และหลายตัวอย่างได้รับการแก้ไขในลักษณะเดียวกับลิมิตของฟังก์ชัน!

หรืออาจจะซับซ้อนกว่านั้นเช่น ? ตรวจสอบตัวอย่าง #3 ของบทความ วิธีการแก้ลิมิต.

จากมุมมองที่เป็นทางการ ความแตกต่างจะอยู่ในตัวอักษรเดียวเท่านั้น - มี "x" และที่นี่ "en"
การรับสัญญาณเหมือนกัน - ตัวเศษและตัวส่วนต้องหารด้วย "en" ในระดับสูงสุด

นอกจากนี้ ภายในลำดับ ความไม่แน่นอนเป็นเรื่องปกติธรรมดา คุณสามารถเรียนรู้วิธีแก้ลิมิตได้จากตัวอย่างหมายเลข 11-13 ของบทความเดียวกัน

หากต้องการจัดการกับขีดจำกัด โปรดดูตัวอย่าง #7 ของบทเรียน ขีด จำกัด ที่น่าทึ่ง(ขีด จำกัด ที่น่าทึ่งที่สองยังใช้ได้สำหรับกรณีที่ไม่ต่อเนื่อง) วิธีแก้ปัญหาจะเป็นเหมือนสำเนาคาร์บอนที่มีความแตกต่างในตัวอักษรเดียว

สี่ตัวอย่างต่อไปนี้ (หมายเลข 3-6) ยังเป็น "สองหน้า" แต่ในทางปฏิบัติ ด้วยเหตุผลบางประการ ตัวอย่างเหล่านี้เป็นเรื่องปกติสำหรับขีดจำกัดของลำดับมากกว่าขีดจำกัดของฟังก์ชัน:

ตัวอย่างที่ 3

ค้นหาขีดจำกัดของลำดับ

สารละลาย: วิธีแก้ไขที่สมบูรณ์ก่อน จากนั้นแสดงความคิดเห็นทีละขั้นตอน:

(1) ในตัวเศษเราใช้สูตรสองครั้ง

(2) เราให้เงื่อนไขที่เหมือนกันในตัวเศษ

(3) เพื่อขจัดความไม่แน่นอน เราหารตัวเศษและตัวส่วนด้วย ("en" ในระดับสูงสุด)

อย่างที่คุณเห็น ไม่มีอะไรซับซ้อน

ตัวอย่างที่ 4

ค้นหาขีดจำกัดของลำดับ

นี่คือตัวอย่างสำหรับโซลูชันที่ต้องทำด้วยตัวเอง สูตรคูณแบบย่อเพื่อช่วย.

ภายในส สาธิตลำดับใช้วิธีการที่คล้ายกันในการหารเศษและส่วน:

ตัวอย่างที่ 5

ค้นหาขีดจำกัดของลำดับ

สารละลายมาทำแบบเดียวกัน:

อย่างไรก็ตาม ทฤษฎีบทที่คล้ายกันนี้ยังเป็นความจริงสำหรับฟังก์ชัน: ผลคูณของฟังก์ชันที่มีขอบเขตโดยฟังก์ชันน้อยนิดคือฟังก์ชันที่น้อยนิด

ตัวอย่างที่ 9

ค้นหาขีดจำกัดของลำดับ

ขีดจำกัดลำดับหมายเลขคือขีดจำกัดของลำดับองค์ประกอบของปริภูมิตัวเลข ปริภูมิตัวเลขคือปริภูมิเมตริกซึ่งระยะทางถูกกำหนดเป็นโมดูลัสของความแตกต่างระหว่างองค์ประกอบต่างๆ ดังนั้นหมายเลขที่เรียกว่า ขีด จำกัด ของลำดับ, ถ้าสำหรับจำนวนใด ๆ ที่มีอยู่ขึ้นอยู่กับว่าอสมการถือสำหรับใด ๆ .

แนวคิดของลิมิตของลำดับของจำนวนจริงถูกกำหนดขึ้นอย่างเรียบง่าย และในกรณีของจำนวนเชิงซ้อน การมีอยู่ของลิมิตของลำดับจะเทียบเท่ากับการมีอยู่ของลิมิตของลำดับที่สอดคล้องกันของส่วนจริงและจินตภาพของส่วนเชิงซ้อน ตัวเลข

ลิมิต (ของลำดับตัวเลข) เป็นหนึ่งในแนวคิดพื้นฐานของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ จำนวนจริงแต่ละจำนวนสามารถแสดงเป็นขีดจำกัดของลำดับการประมาณค่าที่ต้องการได้ ระบบตัวเลขมีลำดับการปรับแต่งดังกล่าว จำนวนอตรรกยะจำนวนเต็มอธิบายโดยลำดับการประมาณเป็นระยะ ในขณะที่จำนวนอตรรกยะอธิบายโดยลำดับการประมาณที่ไม่ใช่คาบ

ในวิธีการเชิงตัวเลขซึ่งใช้การแสดงตัวเลขด้วยเครื่องหมายจำนวนจำกัด การเลือกระบบการประมาณจะมีบทบาทพิเศษ เกณฑ์สำหรับคุณภาพของระบบการประมาณคืออัตราการบรรจบกัน ในแง่นี้ การแสดงตัวเลขในรูปของเศษส่วนต่อเนื่องจะมีผล

คำนิยาม

เบอร์โทร ขีดจำกัดของลำดับตัวเลขถ้าลำดับมีขนาดเล็กมาก นั่นคือ องค์ประกอบทั้งหมด เริ่มจากบางส่วน จะน้อยกว่าจำนวนบวกใดๆ ที่นำมาล่วงหน้า

ในกรณีที่ลำดับตัวเลขมีขีดจำกัดในรูปของจำนวนจริง จะเรียกว่า บรรจบกัน ถึงเบอร์นี้. มิฉะนั้นจะเรียกว่าลำดับ แตกต่าง . หากยิ่งไปกว่านั้น ไม่จำกัดจำนวน ขีดจำกัดจะถือว่าเท่ากับอินฟินิตี้

นอกจากนี้ หากองค์ประกอบทั้งหมดของลำดับที่ไม่มีขอบเขต เริ่มต้นจากตัวเลขบางตัว มีเครื่องหมายบวก เราจะบอกว่าขีดจำกัดของลำดับนั้นเท่ากับ บวกกับอินฟินิตี้ .

หากองค์ประกอบของลำดับไม่ จำกัด เริ่มจากตัวเลขบางตัวมีเครื่องหมายลบแสดงว่าขีด จำกัด ของลำดับนั้นเท่ากับ ลบอนันต์ .

คำจำกัดความนี้มีข้อบกพร่องที่หลีกเลี่ยงไม่ได้: อธิบายว่าขีด จำกัด คืออะไร แต่ไม่ได้ให้วิธีการคำนวณหรือข้อมูลเกี่ยวกับการมีอยู่ของมัน ทั้งหมดนี้สรุปได้จากคุณสมบัติของขีดจำกัดที่พิสูจน์ด้านล่าง