การแปลงนิพจน์พีชคณิต การแปลงเอกลักษณ์ของนิพจน์ประเภทของพวกเขา

กระทรวงศึกษาธิการแห่งสาธารณรัฐเบลารุส

สถาบันการศึกษา

Gomel State University ได้รับการตั้งชื่อตาม ฟ. สการีน่า"

คณะคณิตศาสตร์

ภาควิชา MPM

การแปลงนิพจน์และวิธีการสอนนักเรียนให้ปฏิบัติเหมือนกัน

ผู้ดำเนินการ:

นักศึกษา Starodubova A.Yu.

ที่ปรึกษาทางวิทยาศาสตร์:

แคน. ฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ วิทยาศาสตร์, รองศาสตราจารย์ Lebedeva M.T.

Gomel 2007

บทนำ

1 ประเภทหลักของการเปลี่ยนแปลงและขั้นตอนของการศึกษา ขั้นตอนของการเรียนรู้การประยุกต์ใช้การเปลี่ยนแปลง

บทสรุป

วรรณกรรม

บทนำ

การแปลงนิพจน์และสูตรที่ง่ายที่สุดตามคุณสมบัติของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์นั้นดำเนินการในโรงเรียนประถมศึกษาและในชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 และ 6 การก่อตัวของทักษะและความสามารถในการทำการเปลี่ยนแปลงเกิดขึ้นในหลักสูตรพีชคณิต สิ่งนี้เชื่อมโยงทั้งกับการเพิ่มจำนวนและความหลากหลายของการแปลงที่ดำเนินการอย่างรวดเร็ว และด้วยความซับซ้อนของกิจกรรมเพื่อยืนยันและชี้แจงเงื่อนไขของการบังคับใช้ ด้วยการระบุและการศึกษาแนวคิดทั่วไปเกี่ยวกับอัตลักษณ์ การเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกัน การเปลี่ยนแปลงที่เท่าเทียมกัน

1. ประเภทหลักของการเปลี่ยนแปลงและขั้นตอนการศึกษา ขั้นตอนของการเรียนรู้การประยุกต์ใช้การเปลี่ยนแปลง

1. จุดเริ่มต้นของพีชคณิต

ใช้ระบบการแปลงแบบไม่แบ่งพาร์ติชัน ซึ่งแสดงโดยกฎสำหรับการดำเนินการกับส่วนใดส่วนหนึ่งหรือทั้งสองส่วนของสูตร เป้าหมายคือการบรรลุความคล่องแคล่วในการทำงานเพื่อแก้สมการที่ง่ายที่สุด ลดความซับซ้อนของสูตรที่กำหนดฟังก์ชัน ในการคำนวณอย่างมีเหตุผลตามคุณสมบัติของการกระทำ

ตัวอย่างทั่วไป:

แก้สมการ:

ก) ; ข) ; ใน) .

การแปลงเอกลักษณ์ (a); เทียบเท่าและเหมือนกัน (b)

2. การก่อตัวของทักษะสำหรับการใช้การแปลงประเภทเฉพาะ

สรุป: สูตรคูณย่อ; การแปลงที่เกี่ยวข้องกับการยกกำลัง การแปลงที่เกี่ยวข้องกับคลาสต่าง ๆ ของฟังก์ชันพื้นฐาน

การจัดระบบองค์รวมของการเปลี่ยนแปลง (การสังเคราะห์)

เป้าหมายคือการสร้างเครื่องมือที่ยืดหยุ่นและทรงพลังซึ่งเหมาะสำหรับใช้ในการแก้ปัญหาด้านการศึกษาที่หลากหลาย. การเปลี่ยนผ่านไปยังขั้นตอนนี้จะดำเนินการในระหว่างการทำซ้ำขั้นสุดท้ายของหลักสูตรในการทำความเข้าใจเนื้อหาที่เรียนรู้แล้วในส่วนต่างๆ สำหรับการแปลงบางประเภท การแปลงนิพจน์ตรีโกณมิติจะถูกเพิ่มลงในประเภทที่ศึกษาก่อนหน้านี้ การแปลงทั้งหมดเหล่านี้สามารถเรียกได้ว่าการแปลงแบบ “เชิงพีชคณิต” และ “เชิงวิเคราะห์” รวมถึงการแปลงตามกฎของการสร้างความแตกต่างและการบูรณาการและการแปลงของนิพจน์ที่มีข้อความจนถึงขีดจำกัด ความแตกต่างของประเภทนี้อยู่ในธรรมชาติของชุดที่ตัวแปรทำงานผ่านในเอกลักษณ์ (ชุดของฟังก์ชันบางชุด)

อัตลักษณ์ที่อยู่ระหว่างการศึกษาแบ่งออกเป็นสองประเภท:

ฉันเป็นตัวย่อการคูณที่ใช้ได้ในการสับเปลี่ยนและอัตลักษณ์

ยุติธรรมในสนาม

II - ข้อมูลประจำตัวที่เชื่อมต่อการดำเนินการทางคณิตศาสตร์และฟังก์ชันพื้นฐานพื้นฐาน

2 คุณสมบัติของการจัดระบบงานในการศึกษาการเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกัน

หลักการพื้นฐานของการจัดระบบงานคือการนำเสนอจากง่ายไปซับซ้อน

รอบการออกกำลังกาย- การผสมผสานในลำดับของการออกกำลังกายในหลาย ๆ ด้านของการศึกษาและวิธีการจัดวัสดุ เมื่อศึกษาการเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกัน วัฏจักรของแบบฝึกหัดจะเชื่อมโยงกับการศึกษาอัตลักษณ์หนึ่ง ซึ่งอัตลักษณ์อื่นๆ ถูกจัดกลุ่มอยู่โดยรอบ ซึ่งสัมพันธ์กับธรรมชาติโดยธรรมชาติองค์ประกอบของวัฏจักรพร้อมกับงานของผู้บริหารรวมถึงงาน ต้องการการรับรู้ถึงการบังคับใช้ของตัวตนที่พิจารณา. ข้อมูลประจำตัวที่อยู่ระหว่างการศึกษาใช้เพื่อคำนวณโดเมนตัวเลขต่างๆ งานในแต่ละรอบแบ่งออกเป็นสองกลุ่ม. ถึง แรกรวมงานที่ดำเนินการระหว่างความคุ้นเคยกับตัวตนเบื้องต้น ใช้เป็นสื่อการสอนสำหรับบทเรียนต่อเนื่องกันหลายบทเรียน รวมเป็นหนึ่งหัวข้อ

กลุ่มที่สองการออกกำลังกายเชื่อมโยงอัตลักษณ์ภายใต้การศึกษากับแอพพลิเคชั่นต่างๆ กลุ่มนี้ไม่ได้สร้างความสามัคคีในการเรียบเรียง - แบบฝึกหัดที่นี่กระจัดกระจายไปตามหัวข้อต่างๆ

โครงสร้างที่อธิบายไว้ของวัฏจักรหมายถึงขั้นตอนของการพัฒนาทักษะสำหรับการใช้การเปลี่ยนแปลงที่เฉพาะเจาะจง

ในขั้นตอนของการสังเคราะห์ วัฏจักรจะเปลี่ยนไป กลุ่มของงานจะถูกรวมเข้ากับความซับซ้อนและการรวมวงจรที่เกี่ยวข้องกับเอกลักษณ์ที่แตกต่างกัน ซึ่งจะเพิ่มบทบาทของการกระทำเพื่อรับรู้ถึงการบังคับใช้ของข้อมูลประจำตัวอย่างใดอย่างหนึ่ง

ตัวอย่าง.

รอบงานเอกลักษณ์:

ฉันกลุ่มของงาน:

ก) นำเสนอในรูปแบบของผลิตภัณฑ์:

b) ตรวจสอบความถูกต้องของความเท่าเทียมกัน:

c) ขยายวงเล็บในนิพจน์:

ง) คำนวณ:

จ) แยกตัวประกอบ:

จ) ลดความซับซ้อนของนิพจน์:

นักเรียนเพิ่งทำความคุ้นเคยกับการกำหนดอัตลักษณ์ การบันทึกในรูปของอัตลักษณ์ และการพิสูจน์

ภารกิจ a) เกี่ยวข้องกับการแก้ไขโครงสร้างของเอกลักษณ์ภายใต้การศึกษาโดยสร้างการเชื่อมต่อกับชุดตัวเลข (เปรียบเทียบโครงสร้างสัญลักษณ์ของตัวตนและการแสดงออกที่เปลี่ยน; แทนที่ตัวอักษรด้วยตัวเลขในตัวระบุ) ในตัวอย่างที่แล้วยังไม่ได้ลดขนาดลงเป็นรูปแบบที่กำลังศึกษา ในตัวอย่างต่อไปนี้ (e และ g) มีภาวะแทรกซ้อนที่เกิดจากบทบาทของเอกลักษณ์และความซับซ้อนของโครงสร้างสัญญาณ

งานประเภท b) มุ่งพัฒนาทักษะการทดแทน บน . บทบาทของงาน c) มีความคล้ายคลึงกัน

ตัวอย่างประเภท d) ซึ่งจำเป็นต้องเลือกทิศทางการเปลี่ยนแปลงอย่างใดอย่างหนึ่ง จะทำให้การพัฒนาแนวคิดนี้เสร็จสมบูรณ์

งานของกลุ่มที่ 1 มุ่งเน้นไปที่การควบคุมโครงสร้างของเอกลักษณ์ การดำเนินการทดแทนในกรณีที่เรียบง่ายที่สุด โดยพื้นฐานที่สุด และแนวคิดของการย้อนกลับของการเปลี่ยนแปลงที่ดำเนินการโดยเอกลักษณ์ การเพิ่มคุณค่าของภาษาหมายถึงการแสดงตัวตนในด้านต่าง ๆ ก็มีความสำคัญเช่นกัน แนวคิดเกี่ยวกับประเด็นเหล่านี้มาจากเนื้อหาของงาน

กลุ่มงาน II

g) การใช้เอกลักษณ์ for แยกตัวประกอบพหุนาม

h) ขจัดความไม่มีเหตุผลในตัวส่วนของเศษส่วน

i) พิสูจน์ว่าถ้าเป็นเลขคี่ หารด้วย 4 ลงตัว

j) ฟังก์ชันถูกกำหนดโดยนิพจน์การวิเคราะห์

กำจัดเครื่องหมายโมดูโลโดยพิจารณาสองกรณี: , .

ล.) แก้สมการ .

งานเหล่านี้มุ่งเป้าไปที่การใช้งานอย่างเต็มที่และพิจารณาถึงลักษณะเฉพาะของอัตลักษณ์เฉพาะนี้ เสนอแนะการพัฒนาทักษะในการใช้อัตลักษณ์ภายใต้การศึกษาสำหรับความแตกต่างของกำลังสอง เป้าหมายคือเพื่อให้เข้าใจอัตลักษณ์อย่างลึกซึ้งยิ่งขึ้นโดยพิจารณาถึงการใช้งานที่หลากหลายในสถานการณ์ต่างๆ ร่วมกับการใช้เนื้อหาที่เกี่ยวข้องกับหัวข้ออื่นๆ ของหลักสูตรคณิตศาสตร์

หรือ .

คุณสมบัติของรอบงานที่เกี่ยวข้องกับข้อมูลประจำตัวสำหรับหน้าที่ระดับประถมศึกษา:

1) มีการศึกษาบนพื้นฐานของวัสดุที่ใช้งานได้

2) อัตลักษณ์ของกลุ่มแรกปรากฏขึ้นในภายหลังและศึกษาโดยใช้ทักษะที่มีอยู่แล้วเพื่อดำเนินการเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกัน

งานกลุ่มแรกของรอบควรมีงานเพื่อสร้างความเชื่อมโยงระหว่างพื้นที่ตัวเลขใหม่เหล่านี้กับพื้นที่เดิมของจำนวนตรรกยะ

ตัวอย่าง.

คำนวณ:

;

วัตถุประสงค์ของงานดังกล่าวคือเพื่อเชี่ยวชาญคุณสมบัติของบันทึก รวมถึงสัญลักษณ์ของการดำเนินการและฟังก์ชันใหม่ และเพื่อพัฒนาทักษะการพูดทางคณิตศาสตร์

ส่วนสำคัญของการใช้การแปลงเอกลักษณ์ที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันพื้นฐานอยู่ที่การแก้สมการอตรรกยะและเหนือธรรมชาติ ลำดับขั้นตอน:

ก) ค้นหาฟังก์ชัน φ ซึ่งสมการที่กำหนด f(x)=0 สามารถแสดงเป็น:

b) ทำการแทนที่ y=φ(x) และแก้สมการ

c) แก้สมการแต่ละสมการ φ(x)=y k โดยที่ y k คือเซตของรากของสมการ F(y)=0

เมื่อใช้วิธีการที่อธิบายไว้ ขั้นตอน b) มักจะดำเนินการโดยปริยาย โดยไม่ต้องใส่สัญกรณ์สำหรับ φ(x) นอกจากนี้ นักเรียนมักเลือกจากเส้นทางต่างๆ ที่นำไปสู่การหาคำตอบ เพื่อเลือกเส้นทางที่นำไปสู่สมการพีชคณิตได้เร็วและง่ายขึ้น

ตัวอย่าง. แก้สมการ 4 x -3*2=0

2)(2 2) x -3*2 x =0 (ขั้นตอน a)

(2 x) 2 -3*2 x =0; 2x(2x-3)=0; 2 x -3=0 (ขั้นตอนข)

ตัวอย่าง. แก้สมการ:

ก) 2 2x -3*2 x +2=0;

ข) 2 2x -3*2 x -4=0;

ค) 2 2x -3*2 x +1=0

(แนะนำให้ตัดสินใจเอง)

การจำแนกประเภทของงานในวัฏจักรที่เกี่ยวข้องกับการแก้สมการยอดเยี่ยม รวมถึงฟังก์ชันเลขชี้กำลัง:

1) สมการที่ลดเป็นสมการของรูปแบบ a x \u003d y 0 และมีคำตอบทั่วไปแบบง่าย ๆ ในรูปแบบ:

2) สมการที่ลดเป็นสมการของรูปแบบ a x = a k โดยที่ k เป็นจำนวนเต็ม หรือ a x = b โดยที่ b≤0

3) สมการที่ลดเป็นสมการของรูปแบบ a x =y 0 และต้องการการวิเคราะห์ที่ชัดเจนของรูปแบบที่มีการเขียนตัวเลข y 0 อย่างชัดเจน

ประโยชน์อย่างมากคืองานที่ใช้การแปลงที่เหมือนกันเพื่อพล็อตกราฟในขณะที่ลดความซับซ้อนของสูตรที่กำหนดฟังก์ชัน

ก) พล็อตฟังก์ชัน y=;

b) แก้สมการ lgx+lg(x-3)=1

c) ในชุดใดคือสูตร lg(x-5)+ lg(x+5)= lg(x 2 -25) เอกลักษณ์?

การใช้การแปลงที่เหมือนกันในการคำนวณ (J. Mathematics at School, No. 4, 1983, p. 45)

งานหมายเลข 1 ฟังก์ชันถูกกำหนดโดยสูตร y=0.3x 2 +4.64x-6 ค้นหาค่าฟังก์ชันที่ x=1.2

y(1.2)=0.3*1.2 2 +4.64*1.2-6=1.2(0.3*1.2+4.64)-6=1.2(0,36+4.64)-6=1.2*5-6=0.

งานหมายเลข 2 คำนวณความยาวของขาของสามเหลี่ยมมุมฉากถ้าความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากคือ 3.6 ซม. และขาอีกข้างคือ 2.16 ซม.

งานหมายเลข 3 พื้นที่ของแปลงสี่เหลี่ยมที่มีขนาดคืออะไร a) 0.64m และ 6.25m; ข) 99.8m และ 2.6m?

ก) 0.64 * 6.25 \u003d 0.8 2 * 2.5 2 \u003d (0.8 * 2.5) 2;

ข) 99.8*2.6=(100-0.2)2.6=100*2.6-0.2*2.6=260-0.52

ตัวอย่างเหล่านี้ทำให้สามารถเปิดเผยการใช้งานจริงของการแปลงที่เหมือนกันได้ นักเรียนควรทำความคุ้นเคยกับเงื่อนไขสำหรับความเป็นไปได้ของการแปลงสภาพ (ดูแผนภาพ)

ภาพของพหุนามโดยที่พหุนามใด ๆ เข้ากับรูปทรงทรงกลม (แบบที่ 1)

เงื่อนไขสำหรับความเป็นไปได้ในการแปลงผลคูณของโมโนเมียลและนิพจน์ที่ให้มาซึ่งอนุญาตให้แปลงเป็นความแตกต่างของกำลังสอง (โครงการ 2)

ในที่นี้ การฟักไข่ หมายถึง monomial ที่เท่ากันและให้นิพจน์ที่สามารถแปลงเป็นผลต่างของกำลังสอง (แบบที่ 3)

นิพจน์ที่อนุญาตให้ลบปัจจัยร่วม

ในการสร้างทักษะของนักเรียนในการระบุเงื่อนไข คุณสามารถใช้ตัวอย่างต่อไปนี้:

นิพจน์ใดต่อไปนี้สามารถแปลงได้โดยใส่ปัจจัยร่วมออกจากวงเล็บ:

3) 0.7a 2 +0.2b 2;

5) 6,3*0,4+3,4*6,3;

6) 2x2 +3x2 +5y2;

7) 0,21+0,22+0,23.

การคำนวณในทางปฏิบัติส่วนใหญ่ไม่เป็นไปตามเงื่อนไขของความเป็นไปได้ ดังนั้นนักเรียนจึงต้องการทักษะเพื่อนำมาสู่รูปแบบที่สามารถคำนวณการเปลี่ยนแปลงได้ ในกรณีนี้ งานต่อไปนี้มีความเหมาะสม:

เมื่อศึกษาการลบปัจจัยร่วมออกจากวงเล็บ:

นิพจน์นี้ ถ้าเป็นไปได้ เปลี่ยนเป็นนิพจน์ ซึ่งแสดงโดยโครงร่าง 4:

4) 2a * a 2 * a 2;

5) 2n 4 +3n 6 +n 9 ;

8) 15ab 2 +5a 2 b;

10) 12,4*-1,24*0,7;

11) 4,9*3,5+1,7*10,5;

12) 10,8 2 -108;

13)

14) 5*2 2 +7*2 3 -11*2 4 ;

15) 2*3 4 -3*2 4 +6;

18) 3,2/0,7-1,8*

เมื่อสร้างแนวคิดของ "การแปลงที่เหมือนกัน" ควรจำไว้ว่าสิ่งนี้ไม่เพียงหมายความว่านิพจน์ที่กำหนดและผลลัพธ์อันเป็นผลมาจากการแปลงจะใช้ค่าเท่ากันสำหรับค่าใด ๆ ของตัวอักษรที่รวมอยู่ในนั้น แต่ นอกจากนี้ ระหว่างการแปลงที่เหมือนกัน เราส่งต่อจากนิพจน์ที่กำหนดวิธีการประเมินวิธีหนึ่ง ไปยังนิพจน์ที่กำหนดวิธีอื่นในการประเมินค่าเดียวกัน

เป็นไปได้ที่จะแสดงโครงร่าง 5 (กฎสำหรับการแปลงผลคูณของโมโนเมียลและพหุนาม) พร้อมตัวอย่าง

0.5a(b+c) หรือ 3.8(0.7+)

แบบฝึกหัดสำหรับการเรียนรู้ที่จะวงเล็บปัจจัยร่วม:

คำนวณค่าของนิพจน์:

ก) 4.59*0.25+1.27*0.25+2.3-0.25;

b) a+bc ที่ a=0.96; ข=4.8; ค=9.8.

c) a(a+c)-c(a+b) กับ a=1.4; ข=2.8; ค=5.2.

ให้เราอธิบายด้วยตัวอย่างการก่อตัวของทักษะและความสามารถในการคำนวณและการแปลงที่เหมือนกัน (J. Mathematics at School, No. 5, 1984, p. 30)

1) ทักษะและความสามารถจะได้รับเร็วขึ้นและคงอยู่ได้นานขึ้นหากการก่อตัวของมันเกิดขึ้นบนพื้นฐานสติ (หลักการสอนของสติ)

1) คุณสามารถกำหนดกฎสำหรับการบวกเศษส่วนด้วยตัวส่วนเดียวกันหรือก่อนอื่นโดยใช้ตัวอย่างเฉพาะพิจารณาสาระสำคัญของการบวกส่วนที่เท่ากัน

2) เมื่อแยกตัวประกอบโดยนำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ สิ่งสำคัญคือต้องดูปัจจัยร่วมนี้แล้วจึงใช้กฎการแจกแจง เมื่อทำแบบฝึกหัดแรก จะเป็นประโยชน์ในการเขียนแต่ละเทอมของพหุนามเป็นผลคูณ หนึ่งในปัจจัยที่เหมือนกันในทุกพจน์:

3a 3 -15a 2 b+5ab 2 = a3a 2 -a15ab+a5b 2 .

การทำเช่นนี้มีประโยชน์อย่างยิ่งเมื่อหนึ่งในโมโนเมียลของพหุนามถูกนำออกจากวงเล็บ:

ครั้งที่สอง ระยะแรกการสร้างทักษะ - การเรียนรู้ทักษะ (แบบฝึกหัดจะดำเนินการพร้อมคำอธิบายและหมายเหตุโดยละเอียด)

(คำถามของเครื่องหมายถูกแก้ไขก่อน)

ระยะที่สอง- ขั้นตอนของการทำให้ทักษะเป็นอัตโนมัติโดยกำจัดการดำเนินการขั้นกลางบางส่วน

สาม. จุดแข็งของทักษะทำได้โดยการแก้ตัวอย่างที่มีความหลากหลายทั้งในเนื้อหาและในรูปแบบ

หัวข้อ: “การยึดปัจจัยร่วม”.

1. เขียนตัวคูณที่หายไปแทนพหุนาม:

2. แยกตัวประกอบเพื่อให้ก่อนวงเล็บมีโมโนเมียลที่มีค่าสัมประสิทธิ์เชิงลบ:

3. แยกตัวประกอบเพื่อให้พหุนามในวงเล็บมีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม:

4. แก้สมการ:

IV. การพัฒนาทักษะจะมีประสิทธิภาพสูงสุดในกรณีของการคำนวณระดับกลางหรือการเปลี่ยนแปลงบางอย่าง

(ปากเปล่า);

V. ทักษะและความสามารถที่เกิดขึ้นควรรวมอยู่ในระบบความรู้ ทักษะ และความสามารถของนักเรียนที่ได้กำหนดไว้ก่อนหน้านี้

ตัวอย่างเช่น เมื่อเรียนรู้การแยกตัวประกอบพหุนามโดยใช้สูตรคูณแบบย่อ แบบฝึกหัดต่อไปนี้จะนำเสนอ:

คูณ:

หก. ความจำเป็นในการคำนวณและการแปลงที่มีเหตุผล

ใน)ลดความซับซ้อนของนิพจน์:

ความสมเหตุสมผลอยู่ที่การเปิดวงเล็บเพราะ

ปกเกล้าเจ้าอยู่หัว การแปลงนิพจน์ที่มีดีกรี

№1011 (Alg.9) ลดความซับซ้อนของนิพจน์:

№1012 (Alg.9) นำปัจจัยออกจากใต้เครื่องหมายราก:

№1013 (Alg.9) ป้อนปัจจัยภายใต้เครื่องหมายราก:

№1014 (Alg.9) ลดความซับซ้อนของนิพจน์:

ในตัวอย่างทั้งหมด ขั้นแรกดำเนินการแยกตัวประกอบหรือนำปัจจัยร่วมออก หรือ "ดู" สูตรการลดลงที่สอดคล้องกัน

№1015 (Alg.9) ลดเศษส่วน:

นักเรียนหลายคนประสบปัญหาในการแปลงนิพจน์ที่มีราก โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อตรวจสอบความเท่าเทียมกัน:

ดังนั้น ให้อธิบายในนิพจน์โดยละเอียดของแบบฟอร์ม หรือ หรือไปที่ระดับที่มีเลขยกกำลังที่เป็นตรรกยะ

№1018 (Alg.9) ค้นหาค่าของนิพจน์:

№1019 (Alg.9) ลดความซับซ้อนของนิพจน์:

2.285 (Scanavi) ลดความซับซ้อนของนิพจน์

แล้ววาดกราฟฟังก์ชัน yสำหรับ

หมายเลข 2.299 (Skanavi) ตรวจสอบความถูกต้องของความเท่าเทียมกัน:

การแปลงนิพจน์ที่มีระดับเป็นลักษณะทั่วไปของทักษะและความสามารถที่ได้รับในการศึกษาการเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกันของพหุนาม

หมายเลข 2.320 (Skanavi) ลดความซับซ้อนของนิพจน์:

ในหลักสูตรพีชคณิต 7 ให้คำจำกัดความต่อไปนี้

def. นิพจน์สองนิพจน์ที่มีค่าที่สอดคล้องกันเท่ากันสำหรับค่าของตัวแปรจะกล่าวว่าเท่ากัน

def. ความเท่าเทียมกันเป็นจริงสำหรับค่าใด ๆ ของตัวแปรที่เรียกว่า ตัวตน.

№94(Alg.7) เป็นตัวตนที่เท่าเทียมกัน:

ก)

ค)

ง)

คำจำกัดความของคำอธิบาย: การแทนที่นิพจน์หนึ่งด้วยอีกนิพจน์หนึ่ง ซึ่งเท่ากันทุกประการ เรียกว่าการแปลงที่เหมือนกันหรือเพียงแค่การแปลงนิพจน์ การแปลงนิพจน์ที่มีตัวแปรเหมือนกันจะดำเนินการตามคุณสมบัติของการดำเนินการกับตัวเลข

№ (Alg.7) ท่ามกลางนิพจน์

หาค่าที่เท่ากันกับ

หัวข้อ: "การแปลงนิพจน์ที่เหมือนกัน" (เทคนิคคำถาม)

หัวข้อแรกของ "พีชคณิต-7" - "นิพจน์และการแปลง" ช่วยในการรวมทักษะการคำนวณที่ได้รับในเกรด 5-6 เพื่อจัดระบบและสรุปข้อมูลเกี่ยวกับการแปลงนิพจน์และการแก้ปัญหาของสมการ

การค้นหาค่าของนิพจน์ที่เป็นตัวเลขและตัวอักษรทำให้สามารถทำซ้ำกฎการดำเนินการกับนักเรียนด้วยจำนวนตรรกยะ ความสามารถในการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ด้วยจำนวนตรรกยะเป็นพื้นฐานสำหรับหลักสูตรพีชคณิตทั้งหมด

เมื่อพิจารณาการเปลี่ยนแปลงการแสดงออกอย่างเป็นทางการ ทักษะการปฏิบัติงานยังคงอยู่ในระดับเดียวกับที่ได้รับในระดับ 5-6

อย่างไรก็ตาม ที่นี่ นักเรียนจะก้าวไปสู่ระดับใหม่ในการเรียนรู้ทฤษฎี มีการแนะนำแนวคิดของ "นิพจน์ที่เท่าเทียมกัน", "ตัวตน", "การแปลงนิพจน์ที่เหมือนกัน" ซึ่งเนื้อหาจะถูกเปิดเผยอย่างต่อเนื่องและลึกซึ้งยิ่งขึ้นเมื่อศึกษาการเปลี่ยนแปลงของนิพจน์พีชคณิตต่างๆ เน้นว่าพื้นฐานของการแปลงที่เหมือนกันคือคุณสมบัติของการกระทำกับตัวเลข

เมื่อศึกษาหัวข้อ "พหุนาม" ทักษะทางการปฏิบัติการของการแปลงที่เหมือนกันของนิพจน์เกี่ยวกับพีชคณิตจะเกิดขึ้น สูตรคูณแบบย่อมีส่วนช่วยในกระบวนการสร้างทักษะเพิ่มเติมเพื่อดำเนินการแปลงนิพจน์จำนวนเต็มเหมือนกัน ความสามารถในการใช้สูตรทั้งสำหรับการคูณแบบย่อและสำหรับพหุนามแฟคตอริ่งนั้นใช้ไม่เพียงแต่ในการแปลงนิพจน์จำนวนเต็มเท่านั้น แต่ยังใช้ในการดำเนินการกับเศษส่วน ราก ยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ

ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 ทักษะที่ได้รับจากการแปลงที่เหมือนกันจะได้รับการฝึกฝนในการดำเนินการที่มีเศษส่วนพีชคณิต รากที่สอง และนิพจน์ที่มีองศาที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม

ในอนาคต วิธีการของการแปลงที่เหมือนกันจะสะท้อนให้เห็นในนิพจน์ที่มีดีกรีที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ

กลุ่มพิเศษของการแปลงที่เหมือนกันคือนิพจน์ตรีโกณมิติและนิพจน์ลอการิทึม

ผลการเรียนรู้ที่จำเป็นสำหรับหลักสูตรพีชคณิตในเกรด 7-9 รวมถึง:

1) การแปลงนิพจน์จำนวนเต็มเหมือนกัน

ก) การเปิดวงเล็บและการถ่ายคร่อม;

b) การลดจำนวนสมาชิกที่เหมือนกัน;

c) การบวก การลบ และการคูณพหุนาม

d) การแยกตัวประกอบของพหุนามโดยนำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บและสูตรคูณแบบย่อ

e) การแยกตัวประกอบของไตรนามสแควร์

"คณิตศาสตร์ในโรงเรียน" (อ.บ.) น.110

2) การแปลงนิพจน์ตรรกยะที่เหมือนกัน: การบวก การลบ การคูณและการหารเศษส่วน ตลอดจนการใช้ทักษะที่แสดงในรายการเมื่อทำการแปลงรวมอย่างง่าย [p. 111]

3) นักเรียนควรจะสามารถแปลงการแสดงออกอย่างง่ายที่มีองศาและราก (หน้า 111-112)

พิจารณาประเภทงานหลัก ความสามารถในการแก้ปัญหาซึ่งช่วยให้นักเรียนได้รับการประเมินในเชิงบวก

ลักษณะที่สำคัญที่สุดประการหนึ่งของวิธีการศึกษาการเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกันคือการพัฒนาโดยนักเรียนเกี่ยวกับเป้าหมายของการดำเนินการแปลงที่เหมือนกัน

1) - ลดความซับซ้อนของค่าตัวเลขของนิพจน์

2) การเปลี่ยนแปลงใดที่ควรดำเนินการ: (1) หรือ (2) การวิเคราะห์ตัวเลือกเหล่านี้เป็นแรงจูงใจ (ควร (1) เพราะใน (2) พื้นที่คำจำกัดความแคบลง)

3) แก้สมการ:

การแยกตัวประกอบในการแก้สมการ

4) คำนวณ:

ลองใช้สูตรคูณแบบย่อ:

(101-1) (101+1)=100102=102000

5) ค้นหาค่าของนิพจน์:

ในการหาค่า ให้คูณเศษส่วนแต่ละส่วนด้วยคอนจูเกต:

6) พล็อตกราฟฟังก์ชัน:

ให้เลือกทั้งส่วน: .

การป้องกันข้อผิดพลาดเมื่อทำการแปลงที่เหมือนกันสามารถรับได้จากตัวอย่างการดำเนินการที่แตกต่างกัน ในกรณีนี้ เทคนิค "เล็ก" ได้ถูกนำมาใช้ ซึ่งรวมอยู่ในกระบวนการแปลงร่างที่มีขนาดใหญ่กว่าในฐานะส่วนประกอบ

ตัวอย่างเช่น:

ขึ้นอยู่กับทิศทางของสมการ สามารถพิจารณาปัญหาหลายประการ: การคูณพหุนามจากขวาไปซ้าย จากซ้ายไปขวา - การแยกตัวประกอบ ด้านซ้ายเป็นปัจจัยหลายอย่างทางด้านขวาเป็นต้น

นอกจากการยกตัวอย่างที่หลากหลายแล้ว คุณยังสามารถใช้ คำขอโทษระหว่างอัตลักษณ์และความเท่าเทียมกันทางตัวเลข

เคล็ดลับต่อไปคือการอธิบายตัวตน

เพื่อเพิ่มความสนใจของนักเรียน เราสามารถระบุการค้นหาวิธีการต่างๆ ในการแก้ปัญหา

บทเรียนเกี่ยวกับการศึกษาการเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกันจะมีความน่าสนใจมากขึ้นหากพวกเขาทุ่มเทให้กับ หาทางแก้ไขปัญหา .

ตัวอย่างเช่น 1) ลดเศษส่วน:

3) พิสูจน์สูตร "อนุมูลเชิงซ้อน"

พิจารณา:

ลองแปลงด้านขวาของความเท่าเทียมกัน:

ผลรวมของนิพจน์คอนจูเกต พวกมันสามารถคูณและหารด้วยคอนจูเกตได้ แต่การดำเนินการดังกล่าวจะนำเราไปสู่เศษส่วนซึ่งตัวส่วนคือผลต่างของราก

โปรดทราบว่าเทอมแรกในส่วนแรกของข้อมูลประจำตัวเป็นตัวเลขที่มากกว่าส่วนที่สอง ดังนั้นคุณสามารถยกกำลังสองส่วน:

บทเรียนภาคปฏิบัติหมายเลข 3

หัวข้อ: การแปลงนิพจน์ที่เหมือนกัน (เทคนิคคำถาม)

วรรณกรรม: “Workshop on MPM”, pp. 87-93.

สัญญาณของวัฒนธรรมระดับสูงของการคำนวณและการเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกันในหมู่นักเรียนคือความรู้ที่มั่นคงเกี่ยวกับคุณสมบัติและอัลกอริธึมของการดำเนินงานเกี่ยวกับค่าที่แน่นอนและค่าโดยประมาณและการใช้งานที่มีทักษะ วิธีการคำนวณและการแปลงที่มีเหตุผลและการตรวจสอบ ความสามารถในการยืนยันการประยุกต์ใช้วิธีการและกฎของการคำนวณและการแปลงทักษะอัตโนมัติของการดำเนินการคำนวณโดยปราศจากข้อผิดพลาด

นักเรียนควรเริ่มทำงานเพื่อพัฒนาทักษะเหล่านี้ตั้งแต่ระดับชั้นใด

เส้นของการแปลงนิพจน์ที่เหมือนกันเริ่มต้นด้วยการใช้วิธีการคำนวณแบบมีเหตุมีผลและเริ่มต้นด้วยการใช้วิธีการคำนวณอย่างมีเหตุผลของค่าของนิพจน์เชิงตัวเลข (ชั้นประถมศึกษาปีที่ 5)

เมื่อศึกษาหัวข้อดังกล่าวในหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียนควรให้ความสนใจเป็นพิเศษกับพวกเขา!

การดำเนินการอย่างมีสติของการเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกันโดยนักเรียนได้รับการอำนวยความสะดวกโดยความเข้าใจในข้อเท็จจริงที่ว่านิพจน์พีชคณิตไม่มีอยู่ด้วยตัวเอง แต่มีการเชื่อมโยงอย่างแยกไม่ออกกับชุดตัวเลขบางส่วนซึ่งเป็นบันทึกทั่วไปของนิพจน์เชิงตัวเลข ความคล้ายคลึงกันระหว่างนิพจน์เกี่ยวกับพีชคณิตและตัวเลข (และการแปลง) ถูกต้องตามหลักเหตุผล การนำไปใช้ในการสอนจะช่วยป้องกันไม่ให้นักเรียนทำผิดพลาด

การแปลงข้อมูลประจำตัวไม่ใช่หัวข้อแยกต่างหากของหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียน แต่จะได้รับการศึกษาตลอดหลักสูตรพีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์

โปรแกรมคณิตศาสตร์สำหรับเกรด 1-5 เป็นสื่อการสอนสำหรับการศึกษาการแปลงนิพจน์ที่เหมือนกันกับตัวแปร

ในหลักสูตรพีชคณิต 7 เซลล์ มีการแนะนำคำจำกัดความของอัตลักษณ์และการแปลงเอกลักษณ์

def.สองนิพจน์ที่มีค่าเท่ากันสำหรับค่าใด ๆ ของตัวแปรที่เรียกว่า เท่ากันหมด

โอดะ. ความเท่าเทียมกันที่เป็นจริงสำหรับค่าใด ๆ ของตัวแปรเรียกว่าเอกลักษณ์

คุณค่าของเอกลักษณ์อยู่ในความจริงที่ว่ามันยอมให้นิพจน์ที่กำหนดถูกแทนที่ด้วยนิพจน์อื่นที่เท่ากัน

def.การแทนที่นิพจน์หนึ่งด้วยอีกนิพจน์หนึ่งซึ่งเท่ากันเรียกว่า การเปลี่ยนแปลงเอกลักษณ์หรือง่ายๆ การเปลี่ยนแปลงนิพจน์

การแปลงนิพจน์ที่มีตัวแปรเหมือนกันจะดำเนินการตามคุณสมบัติของการดำเนินการกับตัวเลข

การแปลงที่เท่าเทียมกันถือได้ว่าเป็นพื้นฐานของการแปลงที่เหมือนกัน

โอดะ. สองประโยคซึ่งแต่ละประโยคเป็นผลที่สืบเนื่องมาจากอีกประโยคหนึ่งเรียกว่า เทียบเท่า.

โอดะ. ประโยคที่มีตัวแปร A เรียกว่า ผลของประโยคที่มีตัวแปร Bถ้าภาคความจริง B เป็นสับเซตของภาคความจริง A

สามารถให้คำจำกัดความอื่นของประโยคที่เทียบเท่ากันได้: ประโยคสองประโยคที่มีตัวแปรจะเท่ากันหากขอบเขตความจริงเหมือนกัน

a) B: x-1=0 ส่วน R; A: (x-1) 2 ส่วน R => A~B เพราะ ขอบเขตความจริง (วิธีแก้ปัญหา) ตรงกัน (x=1)

b) A: x=2 ส่วน R; B: x 2 \u003d 4 บน R => ความจริงพื้นที่ A: x \u003d 2; ขอบเขตความจริง B: x=-2, x=2; เพราะ ขอบเขตความจริง A มีอยู่ใน B ดังนั้น: x 2 =4 เป็นผลมาจากประโยค x=2

พื้นฐานของการแปลงที่เหมือนกันคือความเป็นไปได้ของการแสดงตัวเลขเดียวกันในรูปแบบที่ต่างกัน ตัวอย่างเช่น,

การเป็นตัวแทนดังกล่าวจะช่วยในการศึกษาหัวข้อ "คุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วน"

ทักษะในการแปลงร่างที่เหมือนกันเริ่มก่อตัวขึ้นเมื่อแก้ตัวอย่างที่คล้ายกับต่อไปนี้: “ ค้นหาค่าตัวเลขของนิพจน์ 2a 3 + 3ab + b 2 ด้วย a \u003d 0.5, b \u003d 2/3” ซึ่งมอบให้กับนักเรียน ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 และอนุญาตให้ดำเนินแนวคิดเกี่ยวกับการทำงาน

เมื่อศึกษาสูตรการคูณแบบย่อควรให้ความสนใจกับความเข้าใจอย่างลึกซึ้งและการดูดซึมที่แข็งแกร่ง เมื่อต้องการทำเช่นนี้ คุณสามารถใช้ภาพประกอบกราฟิกต่อไปนี้:

(a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2 a 2 -b 2 =(a-b)(a+b)

คำถาม: จะอธิบายแก่นักเรียนถึงสาระสำคัญของสูตรข้างต้นตามภาพวาดเหล่านี้ได้อย่างไร?

ข้อผิดพลาดทั่วไปคือการทำให้นิพจน์ "ผลรวมกำลังสอง" และ "ผลรวมกำลังสอง" สับสน การบ่งชี้ของครูว่านิพจน์เหล่านี้แตกต่างกันตามลำดับการกระทำนั้นดูไม่สำคัญ เนื่องจากนักเรียนเชื่อว่าการกระทำเหล่านี้ใช้ตัวเลขเดียวกัน ดังนั้นผลลัพธ์จึงไม่เปลี่ยนจากการเปลี่ยนลำดับของการกระทำ

ภารกิจ: เขียนแบบฝึกหัดปากเปล่าเพื่อพัฒนาทักษะของนักเรียนให้ใช้สูตรข้างต้นได้อย่างถูกต้อง จะอธิบายได้อย่างไรว่านิพจน์ทั้งสองนี้มีความคล้ายคลึงกันและแตกต่างกันอย่างไร

การเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกันหลากหลายรูปแบบทำให้ยากสำหรับนักเรียนที่จะปรับทิศทางตนเองไปยังจุดประสงค์ที่กำลังดำเนินการอยู่ ความรู้ที่คลุมเครือเกี่ยวกับจุดประสงค์ของการเปลี่ยนแปลง (ในแต่ละกรณี) ส่งผลเสียต่อการรับรู้ของพวกเขา และทำหน้าที่เป็นแหล่งที่มาของข้อผิดพลาดจำนวนมากของนักเรียน นี่แสดงให้เห็นว่าการอธิบายให้นักเรียนเข้าใจถึงเป้าหมายของการเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกันต่างๆ เป็นส่วนสำคัญของวิธีการศึกษาพวกเขา

ตัวอย่างของแรงจูงใจสำหรับการแปลงที่เหมือนกัน:

1. ลดความซับซ้อนของการค้นหาค่าตัวเลขของนิพจน์

2. การเลือกการแปลงสมการที่ไม่ทำให้เกิดการสูญเสียราก

3. เมื่อทำการแปลงคุณสามารถทำเครื่องหมายพื้นที่ของการคำนวณ

4. การใช้การแปลงในการคำนวณ เช่น 99 2 -1=(99-1)(99+1);

ในการจัดการกระบวนการตัดสินใจ เป็นสิ่งสำคัญที่ครูจะต้องมีความสามารถในการให้คำอธิบายที่ถูกต้องเกี่ยวกับสาระสำคัญของความผิดพลาดที่ทำโดยนักเรียน การระบุลักษณะข้อผิดพลาดที่ถูกต้องเป็นกุญแจสำคัญในการเลือกการดำเนินการที่ตามมาของครูที่ถูกต้อง

ตัวอย่างข้อผิดพลาดของนักเรียน:

1. ทำการคูณ: นักเรียนได้รับ -54abx 6 (7 เซลล์);

2. ทำการยกกำลัง (3x 2) 3 นักเรียนได้รับ 3x 6 (7 เซลล์);

3. การแปลง (m + n) 2 เป็นพหุนามนักเรียนได้รับ m 2 + n 2 (7 เซลล์)

4. ลดเศษส่วนที่นักเรียนได้รับ (8 เซลล์)

5. ดำเนินการลบ: , นักเรียนจดบันทึก (8 เซลล์)

6. แทนเศษส่วนในรูปเศษส่วน นักเรียนได้รับ: (8 เซลล์);

7. การแยกรากเลขคณิตนักเรียนได้รับ x-1 (9 เซลล์)

8. การแก้สมการ (9 เซลล์);

9. เปลี่ยนนิพจน์นักเรียนได้รับ: (9 เซลล์)

บทสรุป

การศึกษาการเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกันจะดำเนินการอย่างใกล้ชิดกับชุดตัวเลขที่ศึกษาในชั้นเรียนหนึ่งหรืออีกกลุ่มหนึ่ง

ขั้นแรก ควรขอให้นักเรียนอธิบายแต่ละขั้นตอนของการเปลี่ยนแปลง เพื่อกำหนดกฎเกณฑ์และกฎหมายที่บังคับใช้

ในการแปลงนิพจน์พีชคณิตที่เหมือนกันจะใช้กฎสองข้อ: การแทนที่และการแทนที่ด้วยเท่ากับ การทดแทนที่ใช้บ่อยที่สุดเพราะ การนับสูตรขึ้นอยู่กับมันนั่นคือ ค้นหาค่าของนิพจน์ a*b ด้วย a=5 และ b=-3 บ่อยครั้งที่นักเรียนละเลยวงเล็บเมื่อทำการคูณโดยเชื่อว่าการคูณนั้นมีความหมายโดยนัย ตัวอย่างเช่น บันทึกดังกล่าวเป็นไปได้: 5*-3

วรรณกรรม

1. เอไอ อาซารอฟ, S.A. Barvenov "วิธีการทำงานและกราฟิกสำหรับการแก้ปัญหาการสอบ", Mn.. Aversev, 2004

2. อ.น. Piryutko "ข้อผิดพลาดทั่วไปในการทดสอบแบบรวมศูนย์", Mn.. Aversev, 2006

3. เอไอ อาซารอฟ, S.A. Barvenov "งานกับดักในการทดสอบแบบรวมศูนย์", Mn.. Aversev, 2006

4. เอไอ อาซารอฟ, S.A. Barvenov "วิธีการแก้ปัญหาเกี่ยวกับวิชาตรีโกณมิติ", Mn.. Aversev, 2005

นิพจน์ตัวเลขและพีชคณิต การแปลงนิพจน์

นิพจน์ในวิชาคณิตศาสตร์คืออะไร? เหตุใดจึงต้องมีการแปลงนิพจน์

คำถามอย่างที่พวกเขาพูดนั้นน่าสนใจ... ความจริงก็คือแนวคิดเหล่านี้เป็นพื้นฐานของคณิตศาสตร์ทั้งหมด คณิตศาสตร์ทั้งหมดประกอบด้วยนิพจน์และการเปลี่ยนแปลง ไม่ค่อยชัด? ให้ฉันอธิบาย

สมมติว่าคุณมีตัวอย่างที่ชั่วร้าย ใหญ่มากและซับซ้อนมาก สมมติว่าคุณเก่งคณิตศาสตร์และไม่กลัวอะไรเลย! คุณสามารถตอบได้ทันที?

คุณจะต้อง ตัดสินใจตัวอย่างนี้ ตามลำดับ ทีละขั้นตอน ตัวอย่างนี้ ลดความซับซ้อน. ตามกฎบางอย่างแน่นอน เหล่านั้น. ทำ การแปลงนิพจน์. คุณทำการเปลี่ยนแปลงเหล่านี้ได้สำเร็จเพียงใด ดังนั้นคุณจึงแข็งแกร่งในวิชาคณิตศาสตร์ ถ้าคุณไม่รู้วิธีแปลงร่างที่ถูกต้อง ในทางคณิตศาสตร์คุณทำไม่ได้ ไม่มีอะไร...

เพื่อหลีกเลี่ยงอนาคตที่น่าอึดอัดเช่นนี้ (หรือปัจจุบัน ...) การเข้าใจหัวข้อนี้ไม่เสียหาย)

มาเริ่มกันเลยดีกว่า นิพจน์ทางคณิตศาสตร์คืออะไร. อะไร นิพจน์ตัวเลขและอะไรคือ นิพจน์พีชคณิต

นิพจน์ในวิชาคณิตศาสตร์คืออะไร?

การแสดงออกทางคณิตศาสตร์เป็นแนวคิดที่กว้างมาก เกือบทุกอย่างที่เราจัดการในวิชาคณิตศาสตร์คือชุดของนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ ตัวอย่าง สูตร เศษส่วน สมการ และอื่นๆ ทั้งหมดประกอบด้วย นิพจน์ทางคณิตศาสตร์.

3+2 เป็นนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ c 2 - d 2ยังเป็นนิพจน์ทางคณิตศาสตร์อีกด้วย และเศษส่วนสมบูรณ์ และแม้แต่ตัวเลขเดียว - ทั้งหมดนี้เป็นนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ สมการ เช่น

5x + 2 = 12

ประกอบด้วยนิพจน์ทางคณิตศาสตร์สองนิพจน์ที่เชื่อมต่อกันด้วยเครื่องหมายเท่ากับ นิพจน์หนึ่งอยู่ทางซ้าย อีกนิพจน์อยู่ทางขวา

โดยทั่วไปคำว่า นิพจน์ทางคณิตศาสตร์" ใช้บ่อยที่สุดเพื่อไม่ให้พึมพำ พวกเขาจะถามคุณว่าเศษส่วนธรรมดาคืออะไร และจะตอบอย่างไร!

คำตอบ 1: "มัน... ม-ม-ม-ม... สิ่งนั้น ... ซึ่ง ... ฉันจะเขียนเศษส่วนให้ดีขึ้นได้ไหม? อยากได้อันไหน?"

ตัวเลือกคำตอบที่สอง: "เศษส่วนธรรมดาคือ (อย่างร่าเริงและสนุกสนาน!) นิพจน์ทางคณิตศาสตร์ ซึ่งประกอบด้วยตัวเศษและตัวส่วน!"

ตัวเลือกที่สองนั้นน่าประทับใจกว่าใช่ไหม)

เพื่อจุดประสงค์นี้วลี " นิพจน์ทางคณิตศาสตร์ "ดีมาก ทั้งถูกทั้งแข็ง แต่สำหรับการใช้งานจริงต้องชำนาญ นิพจน์เฉพาะทางคณิตศาสตร์ .

ประเภทเฉพาะเป็นอีกเรื่องหนึ่ง มัน อีกอย่างนึง!นิพจน์ทางคณิตศาสตร์แต่ละประเภทมี ของฉันชุดของกฎและเทคนิคที่จะต้องใช้ในการตัดสินใจ ในการทำงานกับเศษส่วน - หนึ่งชุด สำหรับการทำงานกับนิพจน์ตรีโกณมิติ - ที่สอง สำหรับการทำงานกับลอการิทึม - ที่สาม และอื่นๆ. ที่ไหนสักแห่งที่กฎเหล่านี้ตรงกัน แต่อย่ากลัวคำพูดที่น่ากลัวเหล่านี้ ลอการิทึม ตรีโกณมิติ และสิ่งลึกลับอื่น ๆ เราจะเชี่ยวชาญในส่วนที่เกี่ยวข้อง

ที่นี่เราจะเชี่ยวชาญ (หรือ - ทำซ้ำตามที่คุณต้องการ ... ) นิพจน์ทางคณิตศาสตร์สองประเภทหลัก นิพจน์ตัวเลขและนิพจน์พีชคณิต

นิพจน์ตัวเลข

อะไร นิพจน์ตัวเลข? นี่เป็นแนวคิดที่ง่ายมาก ชื่อบ่งบอกว่านี่คือนิพจน์ที่มีตัวเลข นั่นคือสิ่งที่มันเป็น นิพจน์ทางคณิตศาสตร์ที่ประกอบด้วยตัวเลข วงเล็บ และเครื่องหมายของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์เรียกว่า นิพจน์ตัวเลข

7-3 เป็นนิพจน์ตัวเลข

(8+3.2) 5.4 ก็เป็นนิพจน์ตัวเลขเช่นกัน

และสัตว์ประหลาดตัวนี้:

เป็นนิพจน์ตัวเลขด้วย ใช่...

ตัวเลขธรรมดา เศษส่วน ตัวอย่างการคำนวณใดๆ ที่ไม่มี x และตัวอักษรอื่นๆ ทั้งหมดนี้เป็นนิพจน์ตัวเลข

คุณสมบัติหลัก ตัวเลขนิพจน์ในนั้น ไม่มีตัวอักษร. ไม่มี. เฉพาะตัวเลขและไอคอนทางคณิตศาสตร์ (ถ้าจำเป็น) มันง่ายใช่มั้ย?

และสิ่งที่สามารถทำได้ด้วยนิพจน์ตัวเลข? ปกติสามารถนับนิพจน์ตัวเลขได้ ในการทำเช่นนี้ บางครั้งคุณต้องเปิดวงเล็บ เปลี่ยนเครื่องหมาย ย่อ สลับเงื่อนไข - เช่น ทำ การแปลงนิพจน์. แต่เพิ่มเติมเกี่ยวกับที่ด้านล่าง

ที่นี่เราจะจัดการกับกรณีที่ตลกเมื่อใช้นิพจน์ตัวเลข คุณไม่ต้องทำอะไรเลยก็ไม่มีอะไรเลย! ปฏิบัติการดีๆแบบนี้ ไม่ทำอะไร)- ถูกดำเนินการเมื่อนิพจน์ ไม่สมเหตุสมผล.

นิพจน์ตัวเลขไม่สมเหตุสมผลเมื่อใด

แน่นอน หากเราเห็นอักษรอาบอบราอยู่ต่อหน้าเรา เช่น

แล้วเราจะไม่ทำอะไรเลย เนื่องจากไม่ชัดเจนว่าจะทำอย่างไรกับมัน เรื่องไร้สาระบางอย่าง เว้นแต่จะนับจำนวนบวก ...

แต่มีการแสดงออกที่ค่อนข้างดีจากภายนอก ตัวอย่างเช่นนี้:

(2+3) : (16 - 2 8)

อย่างไรก็ตาม นิพจน์นี้ก็เช่นกัน ไม่สมเหตุสมผล! ด้วยเหตุผลง่ายๆ ว่าในวงเล็บที่สอง - ถ้าคุณนับ - คุณจะได้ศูนย์ คุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้! นี่เป็นการดำเนินการที่ต้องห้ามในวิชาคณิตศาสตร์ ดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องทำอะไรกับนิพจน์นี้เช่นกัน สำหรับงานใดๆ ที่มีนิพจน์ดังกล่าว คำตอบจะเหมือนกันเสมอ: “ท่าทางไม่เข้าท่า!”

ในการให้คำตอบนั้น แน่นอน ฉันต้องคำนวณสิ่งที่จะอยู่ในวงเล็บ และบางครั้งในวงเล็บก็บิดเบี้ยว ... ไม่มีอะไรจะทำกับมัน

มีการดำเนินการที่ต้องห้ามไม่มากนักในวิชาคณิตศาสตร์ มีอันเดียวในกระทู้นี้ การหารด้วยศูนย์. ข้อห้ามเพิ่มเติมที่เกิดขึ้นในรากและลอการิทึมจะกล่าวถึงในหัวข้อที่เกี่ยวข้อง

ดังนั้นความคิดของสิ่งที่เป็น นิพจน์ตัวเลข- ได้. แนวคิด นิพจน์ตัวเลขไม่สมเหตุสมผล- ที่ตระหนักรู้. ไปกันเลยดีกว่า

นิพจน์พีชคณิต

ถ้าตัวอักษรปรากฏในนิพจน์ตัวเลข นิพจน์นี้จะกลายเป็น... นิพจน์จะกลายเป็น... ใช่! มันกลายเป็น นิพจน์พีชคณิต. ตัวอย่างเช่น:

5a 2 ; 3x-2y; 3(z-2); 3.4m/n; x 2 +4x-4; (a + b) 2; ...

สำนวนดังกล่าวเรียกอีกอย่างว่า นิพจน์ตามตัวอักษรหรือ นิพจน์ที่มีตัวแปรมันเป็นสิ่งเดียวกัน การแสดงออก 5a +cตัวอย่างเช่น - ทั้งตามตัวอักษรและพีชคณิต และนิพจน์ที่มีตัวแปร

แนวคิด นิพจน์พีชคณิต -กว้างกว่าตัวเลข มัน รวมถึงและนิพจน์ตัวเลขทั้งหมด เหล่านั้น. นิพจน์ตัวเลขยังเป็นนิพจน์เกี่ยวกับพีชคณิต โดยไม่มีตัวอักษรเท่านั้น ปลาเฮอริ่งทุกตัวเป็นปลา แต่ไม่ใช่ปลาทุกตัวที่เป็นปลาเฮอริ่ง...)

ทำไม ตามตัวอักษร- แจ่มใส. เนื่องจากมีตัวอักษร ... วลี นิพจน์ด้วยตัวแปรก็ไม่งงมากเช่นกัน หากคุณเข้าใจว่าตัวเลขถูกซ่อนอยู่ใต้ตัวอักษร ตัวเลขทุกประเภทสามารถซ่อนไว้ใต้ตัวอักษร ... และ 5 และ -18 และอะไรก็ได้ที่คุณต้องการ นั่นคือจดหมายสามารถ แทนที่สำหรับตัวเลขต่างๆ จึงเรียกตัวอักษรว่า ตัวแปร.

ในนิพจน์ y+5, ตัวอย่างเช่น, ที่- ตัวแปร. หรือแค่พูดว่า " ตัวแปร"โดยไม่มีคำว่า "ค่า" ต่างจากห้าซึ่งเป็นค่าคงที่ หรือเพียงแค่ - คงที่.

ภาคเรียน นิพจน์พีชคณิตหมายความว่าจะทำงานกับนิพจน์นี้ คุณต้องใช้กฎหมายและกฎเกณฑ์ พีชคณิต. ถ้า เลขคณิตทำงานกับตัวเลขเฉพาะ แล้ว พีชคณิต- พร้อมตัวเลขทั้งหมดพร้อมกัน ตัวอย่างง่ายๆ เพื่อความกระจ่าง

ในทางเลขคณิตสามารถเขียนได้ว่า

แต่ถ้าเราเขียนความเท่าเทียมกันที่คล้ายกันผ่านนิพจน์พีชคณิต:

a + b = b + a

เราจะตัดสินใจทันที ทั้งหมดคำถาม. สำหรับ ตัวเลขทั้งหมดจังหวะ. เพื่อสิ่งของจำนวนนับไม่ถ้วน เพราะภายใต้ตัวอักษร เอและ ขโดยนัย ทั้งหมดตัวเลข และไม่ใช่แค่ตัวเลขเท่านั้น แต่รวมถึงนิพจน์ทางคณิตศาสตร์อื่นๆ ด้วย นี่คือวิธีการทำงานของพีชคณิต

นิพจน์พีชคณิตไม่สมเหตุสมผลเมื่อใด

ทุกอย่างชัดเจนเกี่ยวกับนิพจน์ตัวเลข คุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้ และด้วยตัวอักษร เป็นไปได้ไหมที่จะค้นหาว่าเราหารด้วยอะไร!

ลองใช้นิพจน์ตัวแปรต่อไปนี้เป็นตัวอย่าง:

2: (เอ - 5)

มันสมเหตุสมผลหรือไม่? แต่ใครจะรู้จักเขา? เอ- เบอร์ไหนก็ได้...

ใดๆ ใดๆ... แต่มีหนึ่งความหมาย เอซึ่งสำนวนนี้ อย่างแน่นอนไม่สมเหตุสมผล! และตัวเลขนั้นคืออะไร? ใช่! มัน 5! ถ้าตัวแปร เอแทนที่ (พวกเขาพูดว่า - "แทนที่") ด้วยหมายเลข 5 ในวงเล็บจะกลายเป็นศูนย์ ที่ไม่สามารถแบ่งได้ ปรากฎว่าการแสดงออกของเรา ไม่สมเหตุสมผล, ถ้า a = 5. แต่สำหรับค่าอื่นๆ เอมันสมเหตุสมผลไหม คุณสามารถแทนที่ตัวเลขอื่น ๆ ได้หรือไม่?

แน่นอน. ในกรณีเช่นนี้ พูดง่าย ๆ ว่า

2: (เอ - 5)

สมเหตุสมผลสำหรับค่าใด ๆ เอ, ยกเว้น a = 5 .

ตัวเลขทั้งชุด สามารถแทนที่ในนิพจน์ที่กำหนดเรียกว่า ช่วงที่ถูกต้องการแสดงออกนี้

อย่างที่คุณเห็นไม่มีอะไรยุ่งยาก เราดูที่นิพจน์ด้วยตัวแปรและคิดว่า: การดำเนินการที่ต้องห้ามได้รับค่าใด (หารด้วยศูนย์)

แล้วอย่าลืมดูคำถามของงาน พวกเขากำลังถามอะไร

ไม่สมเหตุสมผลค่าต้องห้ามของเราจะเป็นคำตอบ

หากพวกเขาถามถึงค่าของตัวแปรนิพจน์ มีความหมาย(สัมผัสได้ถึงความแตกต่าง!) คำตอบจะเป็น ตัวเลขอื่นๆ ทั้งหมดยกเว้นสิ่งต้องห้าม

ทำไมเราต้องการความหมายของนิพจน์? เขาอยู่ เขาไม่... ต่างกันยังไง!? ความจริงก็คือแนวคิดนี้มีความสำคัญมากในโรงเรียนมัธยมศึกษาตอนปลาย สำคัญมาก ๆ! นี่เป็นพื้นฐานสำหรับแนวคิดที่มั่นคง เช่น ช่วงของค่าที่ถูกต้องหรือขอบเขตของฟังก์ชัน หากไม่มีสิ่งนี้ คุณจะไม่สามารถแก้สมการร้ายแรงหรือความไม่เท่าเทียมกันได้เลย แบบนี้.

การแปลงนิพจน์ การแปลงเอกลักษณ์

เราทำความคุ้นเคยกับนิพจน์เชิงตัวเลขและพีชคณิต ทำความเข้าใจว่าวลี "สำนวนไม่สมเหตุสมผล" หมายถึงอะไร ตอนนี้เราต้องคิดออกว่าอะไร การแปลงนิพจน์คำตอบนั้นง่าย อุกอาจ) นี่คือการกระทำใดๆ ที่มีนิพจน์ และนั่นแหล่ะ คุณได้ทำการเปลี่ยนแปลงเหล่านี้ตั้งแต่ชั้นเฟิร์สคลาส

ใช้นิพจน์ตัวเลขที่น่าสนใจ 3+5 จะดัดแปลงได้อย่างไร? ใช่ ง่ายมาก! คำนวณ:

การคำนวณนี้จะเป็นการแปลงนิพจน์ คุณสามารถเขียนนิพจน์เดียวกันด้วยวิธีที่ต่างออกไป:

เราไม่ได้นับอะไรที่นี่ เพียงแค่เขียนนิพจน์ ในรูปแบบที่แตกต่างกันนี่จะเป็นการแปลงนิพจน์ด้วย สามารถเขียนได้ดังนี้

และนี่ก็เช่นกัน คือการแปลงนิพจน์ คุณสามารถทำการเปลี่ยนแปลงเหล่านี้ได้มากเท่าที่คุณต้องการ

ใดๆการกระทำต่อนิพจน์ ใดๆการเขียนในรูปแบบอื่นเรียกว่าการแปลงนิพจน์ และทุกสิ่ง ทุกอย่างง่ายมาก แต่มีสิ่งหนึ่งอยู่ที่นี่ กฎที่สำคัญมากสำคัญจนเรียกได้อย่างปลอดภัย กฎหลักคณิตศาสตร์ทั้งหมด แหกกฎข้อนี้ อย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้นำไปสู่ข้อผิดพลาด เราเข้าใจไหม?)

สมมติว่าเราได้เปลี่ยนนิพจน์ของเราตามอำเภอใจ เช่นนี้

แปลงร่าง? แน่นอน. เราเขียนนิพจน์ในรูปแบบอื่น มีอะไรผิดปกติที่นี่?

ไม่ใช่อย่างนั้น) ความจริงก็คือการเปลี่ยนแปลง "อะไรก็ตาม"คณิตศาสตร์ไม่สนใจเลย) คณิตศาสตร์ทั้งหมดสร้างขึ้นจากการเปลี่ยนแปลงที่รูปลักษณ์เปลี่ยนไป แต่สาระสำคัญของการแสดงออกไม่เปลี่ยนแปลงสามบวกห้าสามารถเขียนในรูปแบบใดก็ได้ แต่ต้องเป็นแปด

การเปลี่ยนแปลง นิพจน์ที่ไม่เปลี่ยนสาระสำคัญเรียกว่า เหมือนกัน

อย่างแน่นอน การเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกันและให้เราเปลี่ยนตัวอย่างที่ซับซ้อนเป็นนิพจน์ง่ายๆ ทีละขั้นตอน สาระสำคัญของตัวอย่างถ้าเราทำผิดพลาดในห่วงโซ่ของการเปลี่ยนแปลง เราจะทำการเปลี่ยนแปลงที่ไม่เหมือนกัน แล้วเราจะตัดสินใจ อื่นตัวอย่าง. พร้อมคำตอบอื่นๆ ที่ไม่เกี่ยวข้องกับคำตอบที่ถูกต้อง)

นี่คือกฎหลักสำหรับการแก้ไขงานใดๆ: การปฏิบัติตามเอกลักษณ์ของการเปลี่ยนแปลง

ฉันยกตัวอย่างด้วยนิพจน์ตัวเลข 3 + 5 เพื่อความชัดเจน ในนิพจน์พีชคณิต การแปลงที่เหมือนกันจะได้รับจากสูตรและกฎ สมมติว่ามีสูตรในพีชคณิต:

a(b+c) = ab + ac

ดังนั้น ไม่ว่าในกรณีใด เราสามารถแทนนิพจน์ได้ (b+c)รู้สึกอิสระที่จะเขียนนิพจน์ ab+ac. และในทางกลับกัน. มัน การเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกันคณิตศาสตร์ทำให้เราเลือกนิพจน์ทั้งสองนี้ได้ และอันไหนที่จะเขียนขึ้นอยู่กับตัวอย่างเฉพาะ

ตัวอย่างอื่น. การแปลงที่สำคัญและจำเป็นอย่างหนึ่งคือคุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วน คุณสามารถดูรายละเอียดเพิ่มเติมได้ที่ลิงค์ แต่ที่นี่ฉันแค่เตือนกฎ: ถ้าตัวเศษและตัวส่วนของเศษถูกคูณ (หาร) ด้วยจำนวนเดียวกัน หรือนิพจน์ที่ไม่เท่ากับศูนย์ เศษส่วนจะไม่เปลี่ยนแปลงนี่คือตัวอย่างของการแปลงที่เหมือนกันสำหรับคุณสมบัตินี้:

อย่างที่คุณอาจเดาได้ ห่วงโซ่นี้สามารถดำเนินต่อไปได้ไม่มีกำหนด...) ทรัพย์สินที่สำคัญมาก มันช่วยให้คุณเปลี่ยนสัตว์ประหลาดตัวอย่างทุกประเภทให้กลายเป็นสีขาวและปุย)

มีหลายสูตรที่กำหนดการแปลงที่เหมือนกัน แต่ที่สำคัญที่สุด - ค่อนข้างสมเหตุสมผล การแปลงพื้นฐานอย่างหนึ่งคือการแยกตัวประกอบ มันถูกใช้ในคณิตศาสตร์ทั้งหมด - ตั้งแต่ระดับประถมศึกษาจนถึงระดับสูง มาเริ่มกันที่ ในบทเรียนต่อไป)

ถ้าคุณชอบเว็บไซต์นี้...

อย่างไรก็ตาม ฉันมีเว็บไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามแห่งสำหรับคุณ)

คุณสามารถฝึกการแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการตรวจสอบทันที การเรียนรู้ - ด้วยความสนใจ!)

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์

หมายเหตุสำคัญ!
1. ถ้าคุณเห็นอักษรย่อแทนสูตร ให้ล้างแคช วิธีทำในเบราว์เซอร์ของคุณเขียนไว้ที่นี่:
2. ก่อนที่คุณจะเริ่มอ่านบทความ ให้ใส่ใจกับตัวนำทางของเราสำหรับแหล่งข้อมูลที่มีประโยชน์ที่สุดสำหรับ

บ่อยครั้งที่เราได้ยินวลีที่ไม่พึงประสงค์นี้: "ลดความซับซ้อนของการแสดงออก"โดยปกติ ในกรณีนี้ เรามีสัตว์ประหลาดประเภทนี้:

“ใช่ ง่ายกว่ามาก” เราพูด แต่คำตอบนั้นมักจะใช้ไม่ได้ผล

ตอนนี้ฉันจะสอนให้คุณไม่ต้องกลัวงานดังกล่าว

นอกจากนี้ ในตอนท้ายของบทเรียน คุณเองจะทำให้ตัวอย่างนี้ง่ายขึ้นเป็นตัวเลขธรรมดา (ใช่!) (ใช่ ลงนรกด้วยตัวอักษรเหล่านี้)

แต่ก่อนที่คุณจะเริ่มบทเรียนนี้ คุณต้องสามารถ จัดการกับเศษส่วนและ แยกตัวประกอบพหุนาม

ดังนั้น หากคุณยังไม่เคยทำมาก่อน อย่าลืมทำความเข้าใจหัวข้อ "" และ ""

อ่าน? ถ้าใช่แสดงว่าคุณพร้อม

ไปกันเถอะ! (ไปกันเถอะ!)

การดำเนินการลดความซับซ้อนของนิพจน์พื้นฐาน

ตอนนี้เราจะวิเคราะห์เทคนิคหลักที่ใช้ในการทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น

ที่ง่ายที่สุดของพวกเขาคือ

1. นำสิ่งที่คล้ายกัน

อะไรที่คล้ายคลึงกัน? คุณผ่านเรื่องนี้ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 เมื่อตัวอักษรปรากฏขึ้นครั้งแรกในวิชาคณิตศาสตร์แทนที่จะเป็นตัวเลข

คล้ายกันเป็นเงื่อนไข (monomials) ที่มีส่วนของตัวอักษรเดียวกัน

ตัวอย่างเช่นในผลรวมเช่นเงื่อนไขและ

จำได้ไหม

นำสิ่งที่คล้ายกัน- หมายถึงการเพิ่มคำที่คล้ายกันหลายคำเข้าด้วยกันและได้รับหนึ่งเทอม

แต่เราจะรวมตัวอักษรเข้าด้วยกันได้อย่างไร? - คุณถาม.

นี่เป็นเรื่องง่ายที่จะเข้าใจถ้าคุณคิดว่าตัวอักษรเป็นวัตถุบางประเภท

ตัวอย่างเช่น จดหมายคือเก้าอี้ แล้วนิพจน์คืออะไร?

เก้าอี้สองตัวบวกสามตัวจะราคาเท่าไหร่? ใช่แล้ว เก้าอี้: .

ตอนนี้ลองใช้นิพจน์นี้:

เพื่อไม่ให้สับสน ให้ตัวอักษรต่างกันแสดงถึงวัตถุต่างๆ

ตัวอย่างเช่น - นี่คือเก้าอี้ (ตามปกติ) และ - นี่คือโต๊ะ

เก้าอี้ โต๊ะ เก้าอี้ โต๊ะ เก้าอี้ เก้าอี้ โต๊ะ

ตัวเลขที่ตัวคูณในเงื่อนไขดังกล่าวเรียกว่า ค่าสัมประสิทธิ์.

ตัวอย่างเช่น ในโมโนเมียล สัมประสิทธิ์จะเท่ากัน และเขาก็เท่าเทียมกัน

ดังนั้น กฎสำหรับการนำสิ่งที่คล้ายกัน:

ตัวอย่าง:

นำสิ่งที่คล้ายกัน:

คำตอบ:

2. (และมีความคล้ายคลึงกัน เนื่องจากคำเหล่านี้มีส่วนที่เป็นตัวอักษรเหมือนกัน)

2. การแยกตัวประกอบ

นี้มักจะ ส่วนที่สำคัญที่สุดในการลดความซับซ้อนของนิพจน์

หลังจากที่คุณได้ให้สิ่งที่คล้ายกันแล้ว ส่วนใหญ่มักจะต้องใช้นิพจน์ผลลัพธ์ แยกตัวประกอบกล่าวคือ แสดงเป็นผลิตภัณฑ์

โดยเฉพาะสิ่งนี้ สำคัญในเศษส่วน:เพราะเพื่อลดเศษส่วน ตัวเศษและตัวส่วนต้องแสดงเป็นผลคูณ

คุณได้อ่านวิธีการโดยละเอียดของการแยกตัวประกอบในหัวข้อ "" ดังนั้นที่นี่คุณแค่ต้องจำสิ่งที่คุณได้เรียนรู้

ในการทำเช่นนี้ ให้แก้ตัวอย่างบางส่วน (คุณต้องแยกตัวประกอบ)

ตัวอย่าง:

โซลูชั่น:

3. การลดเศษส่วน

อะไรจะดีไปกว่าการขีดฆ่าส่วนหนึ่งของตัวเศษและตัวส่วน แล้วโยนมันออกไปจากชีวิตคุณ?

นั่นคือความสวยงามของตัวย่อ

มันง่าย:

หากตัวเศษและตัวส่วนมีตัวประกอบเหมือนกัน พวกมันสามารถลดลงได้ นั่นคือลบออกจากเศษส่วน

กฎนี้ตามมาจากคุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วน:

นั่นคือสาระสำคัญของการดำเนินการลดคือ เราหารตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนด้วยจำนวนเดียวกัน (หรือด้วยนิพจน์เดียวกัน)

เพื่อลดเศษส่วนคุณต้อง:

1) ตัวเศษและตัวส่วน แยกตัวประกอบ

2) ถ้าตัวเศษและตัวส่วนมี ปัจจัยร่วมพวกเขาสามารถลบได้

ตัวอย่าง:

ฉันคิดว่าหลักการนั้นชัดเจน?

ฉันต้องการดึงความสนใจของคุณไปที่ข้อผิดพลาดทั่วไปอย่างหนึ่งโดยใช้ตัวย่อ ถึงแม้ว่าหัวข้อนี้จะธรรมดาแต่หลายคนทำผิดทุกอย่างโดยไม่ทันรู้ตัว ตัด- นี่หมายถึง การแบ่งตัวเศษและตัวส่วนด้วยจำนวนเดียวกัน

ไม่มีตัวย่อถ้าตัวเศษหรือส่วนเป็นผลรวม

ตัวอย่างเช่น คุณต้องทำให้ง่ายขึ้น

บางคนทำสิ่งนี้: ซึ่งผิดอย่างยิ่ง

อีกตัวอย่างหนึ่ง: ลด

"ฉลาดที่สุด" จะทำสิ่งนี้:

บอกฉันว่ามีอะไรผิดปกติที่นี่? ดูเหมือนว่า: - นี่คือตัวคูณดังนั้นคุณสามารถลดได้

แต่ไม่ใช่: - นี่เป็นตัวประกอบของเทอมเดียวในตัวเศษ แต่ตัวเศษโดยรวมไม่ได้ถูกแยกออกเป็นปัจจัย

นี่เป็นอีกตัวอย่างหนึ่ง: .

นิพจน์นี้แบ่งออกเป็นปัจจัย ซึ่งหมายความว่าคุณสามารถลด นั่นคือ แบ่งตัวเศษและส่วนด้วย แล้วโดย:

คุณสามารถหารด้วย:

เพื่อหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดดังกล่าว โปรดจำวิธีง่ายๆ ในการพิจารณาว่านิพจน์มีการแยกตัวประกอบหรือไม่:

การดำเนินการเลขคณิตที่ดำเนินการล่าสุดเมื่อคำนวณค่าของนิพจน์คือ "หลัก"

นั่นคือ ถ้าคุณแทนที่ตัวเลข (ใดๆ) แทนตัวอักษร และพยายามคำนวณค่าของนิพจน์ ถ้าการกระทำสุดท้ายคือการคูณ เราก็ได้ผลลัพธ์ (นิพจน์จะถูกแยกออกเป็นปัจจัย)

ถ้าการกระทำสุดท้ายเป็นการบวกหรือการลบ แสดงว่านิพจน์ไม่ได้รับการแยกตัวประกอบ (ดังนั้นจึงไม่สามารถลดลงได้)

ตัวอย่างบางส่วนเพื่อแก้ไขด้วยตนเอง:

ตัวอย่าง:

โซลูชั่น:

4. การบวกและการลบเศษส่วน การนำเศษส่วนมาเป็นตัวส่วนร่วม.

การบวกและการลบเศษส่วนธรรมดาเป็นการดำเนินการที่รู้จักกันดี: เรามองหาตัวส่วนร่วม คูณเศษส่วนแต่ละส่วนด้วยตัวประกอบที่หายไป แล้วบวก/ลบตัวเศษ

จำไว้ว่า:

คำตอบ:

1. ตัวส่วนและเป็น coprime นั่นคือไม่มีตัวประกอบร่วมกัน ดังนั้น LCM ของตัวเลขเหล่านี้จึงเท่ากับผลคูณของพวกมัน นี่จะเป็นตัวหารร่วม:

2. ตัวส่วนร่วมคือ:

3. ก่อนอื่นเราเปลี่ยนเศษส่วนผสมเป็นเศษส่วนที่ไม่เหมาะสมแล้ว - ตามรูปแบบปกติ:

เป็นอีกเรื่องหนึ่งหากเศษส่วนมีตัวอักษร เช่น

มาเริ่มกันเลยง่าย ๆ :

ก) ตัวส่วนไม่มีตัวอักษร

ที่นี่ทุกอย่างเหมือนกับเศษส่วนตัวเลขทั่วไป: เราพบตัวส่วนร่วม คูณเศษส่วนแต่ละส่วนด้วยตัวประกอบที่ขาดหายไป แล้วบวก/ลบตัวเศษ:

ตอนนี้ในตัวเศษ คุณสามารถนำสิ่งที่คล้ายกัน หากมี และแยกตัวประกอบ:

ลองด้วยตัวคุณเอง:

คำตอบ:

ข) ตัวส่วนประกอบด้วยตัวอักษร

ให้จำหลักการของการหาตัวส่วนร่วมโดยไม่มีตัวอักษร:

ประการแรก เรากำหนดปัจจัยร่วม

จากนั้นเราจะเขียนปัจจัยร่วมทั้งหมดครั้งเดียว

และคูณด้วยปัจจัยอื่นๆ ทั้งหมด ไม่ใช่ปัจจัยทั่วไป

ในการหาตัวประกอบร่วมของตัวส่วน ขั้นแรกเราจะแยกพวกมันออกเป็นปัจจัยง่ายๆ:

เราเน้นปัจจัยทั่วไป:

ตอนนี้เราเขียนปัจจัยร่วมหนึ่งครั้งและเพิ่มปัจจัยที่ไม่ธรรมดา (ไม่ขีดเส้นใต้) ทั้งหมดเข้าไป:

นี่คือตัวส่วนร่วม

ลองกลับไปที่ตัวอักษร ตัวส่วนจะได้รับในลักษณะเดียวกันทุกประการ:

เราแบ่งตัวส่วนเป็นตัวประกอบ

กำหนดตัวคูณร่วม (เหมือนกัน)

เขียนปัจจัยร่วมทั้งหมดครั้งเดียว

เราคูณมันด้วยปัจจัยอื่นๆ ทั้งหมด ไม่ใช่ปัจจัยทั่วไป

ดังนั้นตามลำดับ:

1) แบ่งตัวส่วนออกเป็นปัจจัย:

2) กำหนดปัจจัยทั่วไป (เหมือนกัน):

3) เขียนปัจจัยร่วมทั้งหมดหนึ่งครั้งแล้วคูณด้วยปัจจัยอื่นๆ ทั้งหมด (ไม่ขีดเส้นใต้):

ตัวส่วนร่วมอยู่ที่นี่ เศษส่วนแรกจะต้องคูณด้วยส่วนที่สอง - โดย:

อย่างไรก็ตาม มีเคล็ดลับหนึ่งข้อ:

ตัวอย่างเช่น: .

เราเห็นปัจจัยเดียวกันในตัวส่วน เฉพาะทั้งหมดที่มีตัวบ่งชี้ต่างกัน ตัวหารร่วมจะเป็น:

ถึงขนาด

ในระดับ

มาทำให้งานซับซ้อนขึ้น:

จะทำให้เศษส่วนมีตัวส่วนเท่ากันได้อย่างไร

จำคุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วน:

ไม่มีที่ไหนกล่าวไว้ว่าสามารถลบ (หรือบวก) จำนวนเดียวกันออกจากตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนได้ เพราะไม่จริง!

ดูตัวคุณเอง: นำเศษส่วนมาบวกเลขตัวเศษและตัวส่วน เช่น . ได้เรียนรู้อะไรบ้าง?

ดังนั้นกฎที่ไม่สั่นคลอนอีกประการหนึ่ง:

เมื่อคุณนำเศษส่วนมาเป็นตัวส่วนร่วม ให้ใช้เฉพาะการดำเนินการคูณ!

แต่คุณต้องคูณอะไรเพื่อให้ได้มา?

ที่นี่และทวีคูณ และคูณด้วย:

นิพจน์ที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้จะเรียกว่า "ปัจจัยพื้นฐาน"

ตัวอย่างเช่น เป็นปัจจัยพื้นฐาน - ด้วย. แต่ - ไม่ใช่: มันถูกย่อยสลายเป็นปัจจัย

แล้วการแสดงออกล่ะ? มันเป็นระดับประถมศึกษา?

ไม่ เพราะสามารถแยกตัวประกอบได้:

(คุณได้อ่านเกี่ยวกับการแยกตัวประกอบในหัวข้อ "")

ดังนั้น ปัจจัยพื้นฐานที่คุณสลายนิพจน์ด้วยตัวอักษรจึงเป็นความคล้ายคลึงของปัจจัยง่าย ๆ ที่คุณสลายตัวเลข และเราจะทำเช่นเดียวกันกับพวกเขา

เราเห็นว่าตัวส่วนทั้งสองมีปัจจัย มันจะไปที่ตัวส่วนร่วมในอำนาจ (จำทำไม?).

ตัวคูณเป็นแบบพื้นฐาน และไม่มีมันเหมือนกัน ซึ่งหมายความว่าเศษส่วนแรกจะต้องคูณมันด้วย:

ตัวอย่างอื่น:

วิธีการแก้:

ก่อนที่จะคูณตัวหารเหล่านี้ด้วยความตื่นตระหนก คุณต้องคิดก่อนว่าจะแยกตัวประกอบมันอย่างไร? ทั้งสองเป็นตัวแทนของ:

ยอดเยี่ยม! แล้ว:

ตัวอย่างอื่น:

วิธีการแก้:

ตามปกติ เราจะแยกตัวประกอบตัวส่วน ในตัวส่วนแรก เราแค่ใส่มันออกจากวงเล็บ ในวินาที - ความแตกต่างของกำลังสอง:

ดูเหมือนว่าไม่มีปัจจัยทั่วไป แต่ถ้าคุณมองใกล้ ๆ พวกมันก็คล้ายกันอยู่แล้ว ... และความจริงก็คือ:

ลองเขียน:

นั่นคือ มันกลับกลายเป็นแบบนี้: ในวงเล็บ เราสลับเทอม และในขณะเดียวกัน เครื่องหมายที่อยู่หน้าเศษส่วนก็เปลี่ยนไปตรงกันข้าม รับทราบ คุณจะต้องทำสิ่งนี้บ่อยๆ

ตอนนี้เรานำมาสู่ตัวส่วนร่วม:

เข้าใจแล้ว? ตอนนี้ขอตรวจสอบ

งานสำหรับโซลูชันอิสระ:

คำตอบ:

5. การคูณและการหารเศษส่วน

ตอนนี้ส่วนที่ยากที่สุดได้จบลงแล้ว และข้างหน้าเรานั้นง่ายที่สุด แต่ในขณะเดียวกันสิ่งที่สำคัญที่สุดคือ:

ขั้นตอน

ขั้นตอนการคำนวณนิพจน์ตัวเลขมีอะไรบ้าง? จำไว้ว่าเมื่อพิจารณาถึงคุณค่าของนิพจน์ดังกล่าว:

นับมั้ย?

มันควรจะทำงาน

ดังนั้นฉันเตือนคุณ

ขั้นตอนแรกคือการคำนวณระดับ

ประการที่สองคือการคูณและการหาร หากมีการคูณและการหารหลายอย่างพร้อมกัน คุณสามารถทำได้ในลำดับใดก็ได้

และสุดท้าย เราทำการบวกลบ อีกครั้งในลำดับใด

แต่: นิพจน์ในวงเล็บถูกประเมินว่าไม่เป็นระเบียบ!

หากวงเล็บหลายตัวคูณหรือหารกัน เราจะประเมินนิพจน์ในแต่ละวงเล็บก่อน แล้วจึงคูณหรือหารด้วย

เกิดอะไรขึ้นถ้ามีวงเล็บอื่นอยู่ในวงเล็บ ลองคิดดู: มีบางนิพจน์เขียนอยู่ในวงเล็บ สิ่งแรกที่ต้องทำเมื่อประเมินนิพจน์คืออะไร? ถูกต้อง คำนวณวงเล็บ เราคิดออกแล้ว: ก่อนอื่นเราคำนวณวงเล็บด้านใน จากนั้นทุกอย่างที่เหลือ

ดังนั้น ลำดับของการกระทำสำหรับนิพจน์ด้านบนจึงเป็นดังนี้ (การกระทำปัจจุบันถูกเน้นด้วยสีแดง นั่นคือ การกระทำที่ฉันทำอยู่ตอนนี้):

โอเค มันง่ายมาก

แต่นั่นไม่เหมือนกับนิพจน์ที่มีตัวอักษรใช่หรือไม่?

ไม่ มันเหมือนกัน! จำเป็นต้องดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิตแทนการดำเนินการทางคณิตศาสตร์เท่านั้นนั่นคือการดำเนินการที่อธิบายไว้ในส่วนก่อนหน้า: นำมาซึ่งความคล้ายคลึงกัน, การบวกเศษส่วน, การย่อเศษส่วน และอื่นๆ ความแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือการกระทำของพหุนามแฟคตอริ่ง (เรามักใช้เมื่อทำงานกับเศษส่วน) ส่วนใหญ่แล้ว สำหรับการแยกตัวประกอบ คุณต้องใช้ i หรือเพียงแค่เอาตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ

โดยปกติเป้าหมายของเราคือการแสดงนิพจน์เป็นผลิตภัณฑ์หรือผลหาร

ตัวอย่างเช่น:

เรามาลดความซับซ้อนของนิพจน์กัน

1) ก่อนอื่นเราลดความซับซ้อนของนิพจน์ในวงเล็บ เรามีความแตกต่างของเศษส่วน และเป้าหมายของเราคือเพื่อแสดงเป็นผลคูณหรือผลหาร ดังนั้นเราจึงนำเศษส่วนมาเป็นตัวส่วนร่วมและบวก:

เป็นไปไม่ได้ที่จะทำให้นิพจน์นี้ง่ายขึ้น ปัจจัยทั้งหมดนี้เป็นพื้นฐาน (คุณยังจำความหมายนี้ได้หรือไม่)

2) เราได้รับ:

การคูณเศษส่วน: อะไรจะง่ายกว่ากัน

3) ตอนนี้คุณสามารถย่อ:

ตกลง มันจบลงแล้ว ไม่มีอะไรซับซ้อนใช่ไหม

ตัวอย่างอื่น:

ลดความซับซ้อนของนิพจน์

ขั้นแรก ให้ลองแก้ปัญหาด้วยตัวเอง แล้วดูวิธีแก้ปัญหาเท่านั้น

วิธีการแก้:

ก่อนอื่น มากำหนดขั้นตอนกันก่อน

ขั้นแรก ให้เพิ่มเศษส่วนในวงเล็บ แทนที่จะเป็นเศษส่วนสองส่วน อันหนึ่งจะออกมา

จากนั้นเราจะทำการหารเศษส่วน เราบวกผลลัพธ์ด้วยเศษส่วนสุดท้าย

ฉันจะกำหนดจำนวนขั้นตอนตามแผนผัง:

สุดท้ายนี้ ฉันจะให้เคล็ดลับที่มีประโยชน์สองข้อแก่คุณ:

1. หากมีที่คล้ายคลึงกันต้องนำมาทันที เมื่อใดก็ตามที่เรามีสิ่งที่คล้ายคลึงกันขอแนะนำให้นำมาทันที

2. การลดเศษส่วนก็เช่นเดียวกัน: ทันทีที่มีโอกาสลดก็ต้องใช้ ข้อยกเว้นคือเศษส่วนที่คุณบวกหรือลบ: หากตอนนี้พวกมันมีตัวส่วนเหมือนกัน การลดลงควรเหลือไว้ใช้ในภายหลัง

ต่อไปนี้คืองานบางอย่างสำหรับคุณที่จะแก้ไขด้วยตัวเอง:

และสัญญาไว้ตั้งแต่แรกว่า

คำตอบ:

วิธีแก้ปัญหา (สั้น ๆ ):

หากคุณรับมือกับตัวอย่างสามตัวอย่างแรกเป็นอย่างน้อย ถือว่าคุณเข้าใจหัวข้อนั้นแล้ว

ไปเรียนกันเลย!

การแปลงการแสดงออก สรุปและสูตรพื้นฐาน

การดำเนินการลดความซับซ้อนขั้นพื้นฐาน:

นำมาซึ่งความคล้ายคลึงกัน: ในการเพิ่ม (ลด) คำที่คล้ายกัน คุณต้องเพิ่มค่าสัมประสิทธิ์และกำหนดส่วนของตัวอักษร
การแยกตัวประกอบ:นำปัจจัยร่วมออกจากวงเล็บ ใช้ ฯลฯ
การลดเศษส่วน: ตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนสามารถคูณหรือหารด้วยจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์เดียวกันได้ ซึ่งค่าของเศษส่วนจะไม่เปลี่ยนแปลง
1) ตัวเศษและตัวส่วน แยกตัวประกอบ
2) หากมีตัวประกอบร่วมกันในตัวเศษและส่วน ก็สามารถขีดฆ่าได้
สำคัญ: เฉพาะตัวคูณเท่านั้นที่สามารถลดลงได้!
การบวกและการลบเศษส่วน:
;
การคูณและการหารเศษส่วน:
;

เอาล่ะ หัวข้อจบลงแล้ว หากคุณกำลังอ่านบรรทัดเหล่านี้แสดงว่าคุณเจ๋งมาก

เพราะมีเพียง 5% เท่านั้นที่สามารถควบคุมบางสิ่งได้ด้วยตนเอง และถ้าคุณอ่านจนจบ คุณอยู่ใน 5%!

ตอนนี้สิ่งที่สำคัญที่สุด

คุณได้คิดออกทฤษฎีในหัวข้อนี้ และขอย้ำอีกครั้งว่า ... มันสุดยอดมาก! คุณดีกว่าเพื่อนส่วนใหญ่ของคุณอยู่แล้ว

ปัญหาคือแค่นี้อาจไม่เพียงพอ ...

เพื่ออะไร?

สำหรับการผ่านการสอบที่ประสบความสำเร็จสำหรับการเข้าศึกษาในสถาบันด้วยงบประมาณและที่สำคัญที่สุดคือตลอดชีวิต

ฉันจะไม่โน้มน้าวคุณในสิ่งใดฉันจะพูดสิ่งหนึ่ง ...

ผู้ที่ได้รับการศึกษาที่ดีจะได้รับมากกว่าผู้ที่ไม่ได้รับการศึกษา นี่คือสถิติ

แต่นี่ไม่ใช่สิ่งสำคัญ

สิ่งสำคัญคือพวกเขามีความสุขมากขึ้น (มีการศึกษาดังกล่าว) อาจเป็นเพราะมีโอกาสมากขึ้นต่อหน้าพวกเขาและชีวิตก็สดใสขึ้น? ไม่รู้...

แต่คิดเอาเอง...

ต้องทำอย่างไรจึงจะเก่งกว่าคนอื่นในการสอบและในที่สุด ... มีความสุขมากขึ้น?

กรอกมือของคุณเพื่อแก้ปัญหาในหัวข้อนี้

ในการสอบคุณจะไม่ถูกถามทฤษฎี

คุณจะต้องการ แก้ปัญหาตรงเวลา.

และถ้าคุณยังไม่ได้แก้ไข (จำนวนมาก!) คุณจะทำผิดพลาดโง่ ๆ ที่ไหนสักแห่งหรือไม่สามารถทำมันได้ทันเวลา

เหมือนอยู่ในกีฬา - คุณต้องทำซ้ำหลายครั้งเพื่อชนะอย่างแน่นอน

ค้นหาคอลเลกชันได้ทุกที่ที่คุณต้องการ จำเป็นด้วยการแก้ปัญหาการวิเคราะห์รายละเอียดและตัดสินใจ ตัดสินใจ ตัดสินใจ!

คุณสามารถใช้งานของเรา (ไม่จำเป็น) และเราแนะนำพวกเขาอย่างแน่นอน

เพื่อที่จะได้รับความช่วยเหลือจากงานของเรา คุณต้องช่วยยืดอายุตำราเรียน YouClever ที่คุณกำลังอ่านอยู่

ยังไง? มีสองตัวเลือก:

ปลดล็อกการเข้าถึงงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดในบทความนี้ -
ปลดล็อกการเข้าถึงงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมด 99 บทความของบทช่วยสอน - ซื้อตำราเรียน - 499 รูเบิล

ใช่ เรามีบทความดังกล่าว 99 บทความในหนังสือเรียนและเข้าถึงงานทั้งหมดและเปิดอ่านข้อความที่ซ่อนอยู่ในนั้นได้ทันที

การเข้าถึงงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดมีให้ตลอดอายุของไซต์

สรุปแล้ว...

หากคุณไม่ชอบงานของเรา หาคนอื่น อย่าหยุดแค่ทฤษฎี

“เข้าใจ” กับ “ฉันรู้วิธีแก้ปัญหา” เป็นทักษะที่ต่างกันโดยสิ้นเชิง คุณต้องการทั้งสองอย่าง

พบปัญหาและแก้ไข!

ตัวเลขและนิพจน์ที่ประกอบกันเป็นนิพจน์ดั้งเดิมสามารถแทนที่ด้วยนิพจน์ที่เท่ากันได้ การแปลงนิพจน์ดั้งเดิมดังกล่าวนำไปสู่นิพจน์ที่เท่ากัน

ตัวอย่างเช่น ในนิพจน์ 3+x ตัวเลข 3 สามารถแทนที่ด้วยผลรวม 1+2 ซึ่งส่งผลให้นิพจน์ (1+2)+x ซึ่งเท่ากับนิพจน์ดั้งเดิมเหมือนกัน อีกตัวอย่างหนึ่ง: ในนิพจน์ 1+a 5 ระดับของ 5 สามารถแทนที่ด้วยผลคูณที่เท่ากัน ตัวอย่างเช่น ของรูปแบบ a·a 4 นี่จะให้นิพจน์ 1+a·a 4 แก่เรา

การเปลี่ยนแปลงนี้เกิดขึ้นจริงอย่างไม่ต้องสงสัย และมักจะเป็นการเตรียมตัวสำหรับการเปลี่ยนแปลงเพิ่มเติม ตัวอย่างเช่น ในผลรวม 4·x 3 +2·x 2 โดยคำนึงถึงคุณสมบัติของดีกรี ระยะ 4·x 3 สามารถแสดงเป็นผลิตภัณฑ์ 2·x 2 ·2·x หลังจากการแปลงดังกล่าว นิพจน์ดั้งเดิมจะอยู่ในรูปแบบ 2·x 2 ·2·x+2·x 2 แน่นอน เทอมในผลรวมที่เป็นผลลัพธ์มีตัวประกอบร่วม 2 x 2 ดังนั้นเราจึงสามารถแปลงค่าต่อไปนี้ได้ - ในวงเล็บ หลังจากนั้นเราจะมาถึงนิพจน์: 2 x 2 (2 x+1) .

การบวกลบเลขเดียวกัน

การแปลงนิพจน์ที่ประดิษฐ์ขึ้นอีกประการหนึ่งคือการบวกและลบตัวเลขหรือนิพจน์เดียวกันในเวลาเดียวกัน การแปลงดังกล่าวเหมือนกัน เนื่องจากในความเป็นจริง เทียบเท่ากับการบวกศูนย์ และการเพิ่มศูนย์จะไม่เปลี่ยนค่า

ขอพิจารณาตัวอย่าง. ลองใช้นิพจน์ x 2 +2 x กัน หากคุณเพิ่มหนึ่งรายการและลบหนึ่งรายการ สิ่งนี้จะช่วยให้คุณทำการเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกันอีกในอนาคต - เลือกกำลังสองของทวินาม: x 2 +2 x=x 2 +2 x+1−1=(x+1) 2 −1.

บรรณานุกรม.

พีชคณิต:หนังสือเรียน สำหรับ 7 เซลล์ การศึกษาทั่วไป สถาบัน / [อ. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; เอ็ด S.A. Telyakovsky. - ครั้งที่ 17 - ม. : การศึกษา, 2551. - 240 น. : ป่วย. - ไอ 978-5-09-019315-3
พีชคณิต:หนังสือเรียน สำหรับ 8 เซลล์ การศึกษาทั่วไป สถาบัน / [อ. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; เอ็ด S.A. Telyakovsky. - ครั้งที่ 16 - ม. : การศึกษา, 2551. - 271 น. : ป่วย. - ไอ 978-5-09-019243-9
มอร์ดโควิช เอ. จี.พีชคณิต. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 เวลา 14.00 น. ตอนที่ 1 ตำราสำหรับนักเรียนของสถาบันการศึกษา / A. G. Mordkovich - ฉบับที่ 17 เพิ่ม - M .: Mnemozina, 2013. - 175 p.: ป่วย ไอ 978-5-346-02432-3

คุณสมบัติพื้นฐานของการบวกและการคูณตัวเลข

คุณสมบัติสับเปลี่ยนของการบวก: เมื่อมีการจัดเรียงเงื่อนไขใหม่ มูลค่าของผลรวมจะไม่เปลี่ยนแปลง สำหรับจำนวนใด ๆ a และ b ความเท่าเทียมกันเป็นจริง

คุณสมบัติเชื่อมโยงของการบวก: ในการเพิ่มตัวเลขที่สามเข้ากับผลรวมของตัวเลขสองตัว คุณสามารถเพิ่มผลรวมของตัวเลขที่สองและสามเข้ากับตัวเลขแรกได้ สำหรับจำนวนใด ๆ a, b และ c ความเท่าเทียมกันเป็นจริง

คุณสมบัติสับเปลี่ยนของการคูณ: การเปลี่ยนแปลงของปัจจัยไม่เปลี่ยนมูลค่าของผลิตภัณฑ์ สำหรับจำนวนใด ๆ a, b และ c ความเท่าเทียมกันเป็นจริง

คุณสมบัติเชื่อมโยงของการคูณ: ในการคูณผลคูณของตัวเลขสองตัวด้วยจำนวนที่สาม คุณสามารถคูณจำนวนแรกด้วยผลคูณของตัวเลขที่สองและสาม

สำหรับจำนวนใด ๆ a, b และ c ความเท่าเทียมกันเป็นจริง

คุณสมบัติการกระจาย: ในการคูณตัวเลขด้วยผลรวม คุณสามารถคูณตัวเลขนั้นด้วยแต่ละเทอมแล้วบวกผลลัพธ์ สำหรับจำนวนใด ๆ a, b และ c ความเท่าเทียมกันเป็นจริง

ตามมาจากคุณสมบัติการสับเปลี่ยนและการเชื่อมโยงของการบวก ซึ่งในผลรวมใดๆ คุณสามารถจัดเรียงเงื่อนไขใหม่ได้ตามต้องการและรวมเข้าเป็นกลุ่มในลักษณะใดก็ได้

ตัวอย่างที่ 1 ลองคำนวณผลรวม 1.23+13.5+4.27

เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เป็นการสะดวกที่จะรวมเทอมแรกกับเทอมที่สาม เราได้รับ:

1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.

ตามมาจากคุณสมบัติการสลับเปลี่ยนและเชื่อมโยงของการคูณ: ในผลิตภัณฑ์ใดๆ คุณสามารถจัดเรียงปัจจัยใหม่ด้วยวิธีใดก็ได้และรวมปัจจัยเหล่านี้ออกเป็นกลุ่มตามอำเภอใจ

ตัวอย่างที่ 2 ลองหาค่าของผลิตภัณฑ์ 1.8 0.25 64 0.5

เมื่อรวมปัจจัยแรกกับปัจจัยที่สี่ และปัจจัยที่สองกับปัจจัยที่สาม เราจะมี:

1.8 0.25 64 0.5 \u003d (1.8 0.5) (0.25 64) \u003d 0.9 16 \u003d 14.4

คุณสมบัติการกระจายยังใช้ได้เมื่อคูณตัวเลขด้วยผลรวมของเงื่อนไขสามข้อขึ้นไป

ตัวอย่างเช่น สำหรับจำนวนใด ๆ a, b, c และ d ความเท่าเทียมกันเป็นจริง

a(b+c+d)=ab+ac+โฆษณา

เรารู้ว่าการลบสามารถแทนที่ได้ด้วยการบวกโดยการเพิ่ม minuend จำนวนตรงข้ามกับ subtrahend:

สิ่งนี้ทำให้นิพจน์ตัวเลขของรูปแบบ a-b ถูกพิจารณาเป็นผลรวมของตัวเลข a และ -b นิพจน์เชิงตัวเลขของรูปแบบ a + b-c-d เพื่อพิจารณาผลรวมของตัวเลข a, b, -c, -d เป็นต้น พิจารณาคุณสมบัติของการกระทำก็ใช้ได้สำหรับผลรวมดังกล่าว

ตัวอย่างที่ 3 ลองหาค่าของนิพจน์ 3.27-6.5-2.5+1.73

นิพจน์นี้เป็นผลรวมของตัวเลข 3.27, -6.5, -2.5 และ 1.73 ใช้คุณสมบัติการบวก เราได้รับ: 3.27-6.5-2.5+1.73=(3.27+1.73)+(-6.5-2.5)=5+(-9) = -four

ตัวอย่างที่ 4 ลองคำนวณผลคูณ 36·()

ตัวคูณสามารถคิดได้ว่าเป็นผลรวมของตัวเลขและ - โดยใช้คุณสมบัติการกระจายของการคูณ เราได้:

36()=36-36=9-10=-1.

อัตลักษณ์

คำนิยาม. นิพจน์สองนิพจน์ที่มีค่าที่สอดคล้องกันเท่ากันสำหรับค่าใด ๆ ของตัวแปรจะกล่าวว่าเท่ากัน

คำนิยาม. ความเท่าเทียมกันที่เป็นจริงสำหรับค่าใด ๆ ของตัวแปรเรียกว่าเอกลักษณ์

มาหาค่าของนิพจน์ 3(x+y) และ 3x+3y สำหรับ x=5, y=4:

3(x+y)=3(5+4)=3 9=27,

3x+3y=3 5+3 4=15+12=27.

เราได้รับผลเช่นเดียวกัน มันตามมาจากคุณสมบัติการกระจายซึ่งโดยทั่วไปสำหรับค่าใด ๆ ของตัวแปร ค่าที่สอดคล้องกันของนิพจน์ 3(x+y) และ 3x+3y จะเท่ากัน

พิจารณาตอนนี้นิพจน์ 2x+y และ 2xy สำหรับ x=1, y=2 มีค่าเท่ากัน:

อย่างไรก็ตาม คุณสามารถระบุค่า x และ y เพื่อให้ค่าของนิพจน์เหล่านี้ไม่เท่ากัน ตัวอย่างเช่น ถ้า x=3, y=4 แล้ว

นิพจน์ 3(x+y) และ 3x+3y เท่ากัน แต่นิพจน์ 2x+y และ 2xy ไม่เท่ากัน

ความเท่าเทียมกัน 3(x+y)=x+3y เป็นจริงสำหรับค่าใดๆ ของ x และ y คือเอกลักษณ์

ความเท่าเทียมกันทางตัวเลขที่แท้จริงถือเป็นตัวตนด้วย

ดังนั้น เอกลักษณ์คือความเท่าเทียมกันที่แสดงคุณสมบัติหลักของการกระทำกับตัวเลข:

a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c),

ab=ba, (ab)c=a(bc), a(b+c)=ab+ac.

สามารถยกตัวอย่างอื่น ๆ ของข้อมูลประจำตัว:

a+0=a, a+(-a)=0, a-b=a+(-b),

1=a, a (-b)=-ab, (-a)(-b)=ab.

การแปลงเอกลักษณ์ของนิพจน์

การแทนที่นิพจน์หนึ่งด้วยอีกนิพจน์หนึ่งซึ่งเท่ากันทุกประการเรียกว่าการแปลงที่เหมือนกันหรือเพียงแค่การแปลงนิพจน์

ในการค้นหาค่าของนิพจน์ xy-xz จากค่า x, y, z คุณต้องดำเนินการสามขั้นตอน ตัวอย่างเช่น ด้วย x=2.3, y=0.8, z=0.2 เราได้รับ:

xy-xz=2.3 0.8-2.3 0.2=1.84-0.46=1.38

ผลลัพธ์นี้สามารถหาได้ในสองขั้นตอนเท่านั้น โดยใช้นิพจน์ x(y-z) ซึ่งเท่ากับนิพจน์ xy-xz เหมือนกัน:

xy-xz=2.3(0.8-0.2)=2.3 0.6=1.38.

เราได้ทำให้การคำนวณง่ายขึ้นโดยแทนที่นิพจน์ xy-xz ด้วยนิพจน์ที่เท่ากัน x(y-z)

การแปลงเอกลักษณ์ของนิพจน์ใช้กันอย่างแพร่หลายในการคำนวณค่าของนิพจน์และการแก้ปัญหาอื่นๆ ได้ดำเนินการแปลงที่เหมือนกันบางอย่างแล้ว ตัวอย่างเช่น การลดเงื่อนไขที่คล้ายกัน การเปิดวงเล็บ จำกฎสำหรับการแปลงเหล่านี้:

ในการนำเงื่อนไขที่คล้ายกัน คุณต้องเพิ่มสัมประสิทธิ์และคูณผลลัพธ์ด้วยส่วนตัวอักษรทั่วไป

หากมีเครื่องหมายบวกอยู่ด้านหน้าวงเล็บ สามารถละเว้นวงเล็บได้ โดยคงเครื่องหมายของแต่ละคำที่อยู่ในวงเล็บไว้

หากมีเครื่องหมายลบก่อนวงเล็บเหลี่ยม วงเล็บสามารถละเว้นได้โดยการเปลี่ยนเครื่องหมายของแต่ละคำที่อยู่ในวงเล็บ

ตัวอย่างที่ 1 ลองบวกพจน์ที่ชอบในผลรวม 5x+2x-3x

เราใช้กฎเพื่อลดเงื่อนไขการชอบ:

5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x.

การแปลงนี้ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติการกระจายของการคูณ

ตัวอย่างที่ 2 ลองขยายวงเล็บในนิพจน์ 2a+(b-3c)

การใช้กฎสำหรับการเปิดวงเล็บนำหน้าด้วยเครื่องหมายบวก:

2a+(b-3c)=2a+b-3c

การแปลงที่ดำเนินการจะขึ้นอยู่กับคุณสมบัติเชื่อมโยงของการบวก

ตัวอย่างที่ 3 ลองขยายวงเล็บในนิพจน์ a-(4b-c)

ลองใช้กฎสำหรับการขยายวงเล็บที่นำหน้าด้วยเครื่องหมายลบ:

a-(4b-c)=a-4b+c.

การแปลงที่ดำเนินการขึ้นอยู่กับคุณสมบัติการกระจายของการคูณและคุณสมบัติเชื่อมโยงของการบวก เอามาโชว์กัน มาแทนเทอมที่สอง -(4b-c) ในนิพจน์นี้เป็นผลิตภัณฑ์ (-1)(4b-c):

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c).

การใช้คุณสมบัติของการกระทำเหล่านี้ เราได้รับ:

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c)=a+(-4b+c)=a-4b+c.