การแปลงอินทิกรัลไม่จำกัด

สมการอินทิกรัลคือสมการเชิงฟังก์ชันที่มีการแปลงอินทิกรัลเหนือฟังก์ชันที่ไม่รู้จัก หากสมการอินทิกรัลมีอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ไม่รู้จักด้วย สมการนั้นจะพูดถึงสมการอินทิกรัลดิฟเฟอเรนเชียล.... ... Wikipedia

สมการที่มีฟังก์ชันที่ไม่รู้จักใต้เครื่องหมายอินทิกรัล ปัญหามากมายในฟิสิกส์และฟิสิกส์คณิตศาสตร์นำไปสู่ปัญญาประดิษฐ์ ประเภทต่างๆ- ตัวอย่างเช่นคุณต้องใช้อุปกรณ์ออพติคอลเพื่อรับ... ... สารานุกรมผู้ยิ่งใหญ่แห่งสหภาพโซเวียต

GOST 24736-81 ตัวแปลงดิจิทัลเป็นอะนาล็อกและแอนะล็อกเป็นดิจิทัลแบบรวม พารามิเตอร์พื้นฐาน- คำศัพท์เฉพาะทาง GOST 24736 81: ตัวแปลงดิจิทัลเป็นอะนาล็อกและแอนะล็อกเป็นดิจิทัลแบบรวม พารามิเตอร์หลักของเอกสารต้นฉบับ: เวลาการแปลง ช่วงเวลาจากช่วงเวลาที่สัญญาณเปลี่ยนที่อินพุตของตัวแปลงแอนะล็อกเป็นดิจิทัลเป็น... ...

เวลาในการแปลง- ช่วงเวลาจากช่วงเวลาที่สัญญาณเปลี่ยนที่อินพุตของตัวแปลงแอนะล็อกเป็นดิจิทัลจนกระทั่งโค้ดเสถียรที่สอดคล้องกันปรากฏที่เอาต์พุต µs แหล่งที่มา: เอกสารต้นฉบับ ดูคำที่เกี่ยวข้องเพิ่มเติม: 13 เวลาในการแปลง... ... หนังสืออ้างอิงพจนานุกรมเกี่ยวกับเอกสารเชิงบรรทัดฐานและทางเทคนิค

การแปลงลาปลาซเป็นการแปลงอินทิกรัลที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน (รูปภาพ) กับฟังก์ชันของตัวแปรจริง (ดั้งเดิม) ใช้เพื่อศึกษาคุณสมบัติ ระบบไดนามิกและตัดสินใจ... ...วิกิพีเดีย

การแปลงลาปลาซเป็นการแปลงอินทิกรัลที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน (รูปภาพ) กับฟังก์ชันของตัวแปรจริง (ดั้งเดิม) ด้วยความช่วยเหลือ คุณสมบัติของระบบไดนามิกได้รับการศึกษาและอนุพันธ์และ ... วิกิพีเดียได้รับการแก้ไขแล้ว

การแปลงฟูริเยร์เป็นการดำเนินการที่เชื่อมโยงฟังก์ชันของตัวแปรจริงกับฟังก์ชันอื่นของตัวแปรจริง นี้ คุณลักษณะใหม่อธิบายค่าสัมประสิทธิ์ (“ แอมพลิจูด”) เมื่อแยกย่อยฟังก์ชันดั้งเดิมเป็นส่วนประกอบพื้นฐาน ... ... Wikipedia

การแปลงอินทิกรัลของฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัวที่เกี่ยวข้องกับการแปลงฟูริเยร์ เปิดตัวครั้งแรกในงานของนักคณิตศาสตร์ชาวออสเตรีย Johann Radon ในปี 1917 ทรัพย์สินที่สำคัญที่สุดการพลิกกลับของการเปลี่ยนแปลงของเรดอน นั่นคือ ความเป็นไปได้ ... ... Wikipedia

หนังสือ

• การเปลี่ยนแปลงเชิงบูรณาการ
• การเปลี่ยนแปลงเชิงบูรณาการ Knyazev P.N.. หนังสือเล่มนี้นำเสนอประเด็นทางทฤษฎี การเปลี่ยนแปลงเชิงบูรณาการเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับปัญหาค่าขอบเขตของทฤษฎี ฟังก์ชั่นการวิเคราะห์(การแปลงฟูเรียร์ของฟังก์ชันการวิเคราะห์...

หน้า 1

การประยุกต์ใช้การแปลงแบบอินทิกรัลกับข้อมูลกลุ่มแรกนั้นเห็นได้ชัดว่าเป็นการแทนที่ฟังก์ชันของตัวแปร Aу  

การใช้การแปลงแบบอินทิกรัล (4) ช่วยลดวิธีแก้ปัญหาของปัญหาความยืดหยุ่นหนืด (3) ไปสู่การแก้ปัญหาของปัญหาความยืดหยุ่นล้วนๆ (5) ในภาพ โดยคำนึงถึงส่วนการแก้ปัญหาที่ให้ไว้ก่อนหน้านี้ (16)  

การประยุกต์การแปลงอินทิกรัลบนพิกัดเชิงพื้นที่ในช่วงเวลาจำกัดและวิธีการวิเคราะห์ที่เข้มงวดอื่นๆ กับปัญหาค่าขอบเขตสำหรับ สมการเชิงอนุพันธ์การถ่ายโอนให้วิธีแก้ปัญหาในรูปแบบอนันต์ ซีรี่ส์การทำงาน- ในกรณีนี้จากวิธีแก้ปัญหาที่ได้รับเท่านั้น ส่วนหลักแถวนี้ ดังนั้น วิธีการง่ายๆ ในการกำหนดวิธีแก้ปัญหาโดยประมาณที่เทียบเท่ากับส่วนหลักของวิธีแก้ปัญหาที่แน่นอนจึงควรมีความสำคัญในทางปฏิบัติอย่างมากอย่างไม่ต้องสงสัย  

การประยุกต์การแปลงฟูริเยร์อินทิกรัลกับปัญหาเส้นตรงและเส้นครึ่งเส้น  

การประยุกต์การแปลงฟูริเยร์อินทิกรัลกับปัญหาเส้นตรงและเส้นครึ่งเส้น คำจำกัดความของการแปลงอินทิกรัลฟูริเยร์และ โครงการทั่วไปแอปพลิเคชันสำหรับการแก้ปัญหาค่าขอบเขตมีอยู่ใน Chap  

การประยุกต์ใช้การแปลงอินทิกรัลให้ วิธีการที่เป็นประโยชน์การแก้ปัญหาในระนาบเป็นหลักเช่นเดียวกับ ปัญหาเชิงพื้นที่ทฤษฎีความยืดหยุ่น จำเป็นอย่างยิ่งที่จะต้องลดจำนวนตัวแปรอิสระในสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยได้ บทบาทของตัวแปรอิสระที่สอดคล้องกันจะส่งผ่านไปยังพารามิเตอร์ ดังนั้นจึงเป็นไปได้ที่จะลดสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรหลายตัวให้เป็นสมการเชิงอนุพันธ์ธรรมดาได้  

การประยุกต์ใช้การเปลี่ยนแปลงแบบอินทิกรัลกับการสร้างวิธีแก้ปัญหาการกรองที่แม่นยำในตัวกลางที่มีรูพรุน // การวิเคราะห์ทางกลและการใช้งาน: S.  

การใช้การแปลงอินทิกรัลช่วยให้เราลดปัญหาการอินทิเกรตสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยเข้ากับการอินทิเกรตของระบบสมการเชิงอนุพันธ์สามัญเพื่อแสดงฟังก์ชันที่ต้องการได้ เพื่ออธิบายแนวคิดนี้ เราขอนำเสนอวิธีแก้ปัญหาครึ่งระนาบยืดหยุ่นโดยใช้การแปลงฟูริเยร์ สำหรับโดเมนประเภทอื่น การแปลงอินทิกรัลอื่นๆ จะสะดวก ดังนั้น ปัญหาฮาล์ฟเพลนสามารถลดลงเหลือเพียงฟังก์ชันเดียวจาก p (z) ค่าที่กำหนดส่วนจริงหรือส่วนจินตภาพบนขอบเขต ด้วยการจำกัดตัวเราไว้เฉพาะตัวอย่างที่พิจารณาในมาตรา 10.4 เราจึงนำเสนอวิธีการแปลงอินทิกรัล  

หลังจากใช้การแปลงอินทิกรัล ปัญหาจะลดลงเหลือเพียงสมการอินทิกรัลคู่ วิธีการแก้ปัญหาโดยประมาณจะถูกสร้างขึ้นโดยการขยายอนุกรมในโคไซน์ และการผกผันของการแปลงในเวลาจะดำเนินการโดยวิธีสี่เหลี่ยมคางหมู ผลลัพธ์เชิงตัวเลขถูกนำเสนอเพื่อแสดงให้เห็นถึงอิทธิพลของอัตราส่วนปัวซองต่อการชำระตัวของแม่พิมพ์  

หลังจากใช้การแปลงอินทิกรัลของ Hankel ในพิกัดและการแปลงลาปลาซในเวลาแล้ว วิธีแก้ปัญหาโดยประมาณจะถูกสร้างขึ้นโดยการขยายเข้าไปในระบบของฟังก์ชันคงที่ทีละชิ้น โดยเน้นคุณลักษณะคงที่ใต้ขอบของแม่พิมพ์ การผกผันของการแปลงลาปลาซจะดำเนินการเป็นตัวเลข ผลการคำนวณเชิงตัวเลขบางส่วนเพื่อความสม่ำเสมอ โหลดแบบกระจายบนพื้น ได้มีการศึกษาอิทธิพลของการซึมผ่านและความแข็งของแผ่นพื้นและอัตราส่วนของปัวซองของดินต่อระดับการแข็งตัว  

ข้อดีของการใช้การแปลงอินทิกรัลเหนือสิ่งอื่น วิธีการวิเคราะห์การศึกษากระบวนการทางความร้อนที่เกี่ยวข้องกับการบูรณาการสมการเชิงอนุพันธ์ของการถ่ายโอนพลังงานประกอบด้วยการกำหนดมาตรฐานและความง่ายในการค้นหาวิธีแก้ปัญหาเป็นหลัก  

เมื่อใช้การแปลงอินทิกรัลของเมลลินกับ โซลูชั่นทั่วไปสมการของทฤษฎีระนาบความยืดหยุ่น (6.1.1) - (6.1.5) ในรูปแบบ Papkovich-Neiber (6.5.34) และ (6.5.35) คำถามที่มีลักษณะทั่วไปและเฉพาะเจาะจงเกิดขึ้น  

แนวคิดในการใช้การแปลงอินทิกรัลในปัญหาสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยนั้นคล้ายกัน: เรามุ่งมั่นที่จะเลือกการแปลงอินทิกรัลที่จะช่วยให้การดำเนินการเชิงอนุพันธ์ของตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งถูกแทนที่ด้วยการดำเนินการเชิงพีชคณิต เมื่อสิ่งนี้สำเร็จ ปัญหาที่ได้รับการเปลี่ยนแปลงมักจะง่ายกว่าปัญหาเดิม พบวิธีแก้ไขปัญหาที่เปลี่ยนไปโดยใช้ การแปลงผกผันหาทางแก้ไขจากสิ่งเดิม  

เงื่อนไขหลักสำหรับการใช้การแปลงอินทิกรัลคือการมีทฤษฎีบทการผกผัน ซึ่งช่วยให้สามารถค้นหาฟังก์ชันดั้งเดิมโดยรู้รูปภาพของมัน การพิจารณาการแปลงฟูริเยร์, ลาปลาซ, เมลลิน, ฮันเคล, เมเยอร์, ​​ฮิลแบร์ต ฯลฯ ขึ้นอยู่กับฟังก์ชันน้ำหนักและโดเมนของการรวมเข้าด้วยกัน ด้วยความช่วยเหลือของการเปลี่ยนแปลงเหล่านี้ ปัญหามากมายในทฤษฎีการแกว่ง การนำความร้อน การแพร่กระจาย และการพอประมาณของนิวตรอน อุทกพลศาสตร์ ทฤษฎีความยืดหยุ่น และจลนศาสตร์ทางกายภาพ สามารถแก้ไขได้  

ให้เราสรุปโครงร่างการใช้งานของการแปลงอินทิกรัลที่ระบุโดยย่อ  

การแปลงอินทิกรัลไม่ จำกัด เช่นเดียวกับกฎพีชคณิตที่ให้ไว้ซึ่งอนุญาตให้คุณแปลงได้ นิพจน์พีชคณิตเพื่อให้ง่ายขึ้นและสำหรับ อินทิกรัลไม่ จำกัดมีกฎเกณฑ์ที่อนุญาตให้มีการเปลี่ยนแปลงได้ I. อินทิกรัลของผลรวมพีชคณิตของฟังก์ชันเท่ากับ ผลรวมพีชคณิตอินทิกรัลจากแต่ละเทอมแยกกัน เช่น S dx=lf(x)dx+l (i)="" ii.="" ตัวประกอบคงที่สามารถ "แยกออก="" เกินกว่า ="" sign="" ของอินทิกรัลได้ , จ.="" ( ค่าคงที่ cสูตรสำหรับการอินทิเกรตทีละส่วน ได้แก่ ให้เราพิสูจน์สูตร (III) กัน ลองใช้ส่วนต่างจากด้านขวาของความเท่าเทียมกัน (III) โดยใช้สูตร 4 จากตารางใน§ 2 ของ Ch IX, เราได้ x เราแปลงคำศัพท์ตามสูตร 5 ของตารางเดียวกัน: และคำว่า d J /" (d:) f (l;) dx ตามสูตร (B) § 1 ของบทนี้เท่ากับ d\f (*) f = =/ (x) f" (l:) dx + f (x) /" (x) dx -/" (x) f (*) dx = =f(x)y"(x)dx เช่น เราได้สิ่งที่เราได้รับเมื่อแยกความแตกต่างทางด้านซ้ายของความเท่าเทียมกัน (III) สูตร (I) และ (II) ได้รับการตรวจสอบในทำนองเดียวกัน ตัวอย่างที่ 1 ^ (l* - การใช้กฎการรวม I และสูตร 1 และ 5 จากตารางของ อินทิกรัลเราได้รับ J (x1 - sin) l:) dx= ^ xg dx-^ sin xdx = x* x9 = (-cosх) + C= y + cos x + C ตัวอย่างที่ 2 I ^ dx การใช้กฎ II และสูตร J COS X 6 จากตารางปริพันธ์ เราได้รับ J cos2* J COS2* ถึง 1 ตัวอย่างที่ 3. ^ Inx dx. ไม่มีอินทิกรัลดังกล่าวในตารางปริพันธ์ที่กำหนดใน§ 1. ให้เราคำนวณกัน โดยการอินทิเกรตทีละส่วน โดยเราจะเขียนอินทิกรัลนี้ใหม่ดังนี้: J In xdx= ^ In l: 1 dx = In l: and<р"(д;)=п1, применим правило интегрирования по частям: J 1 п лг tf* = 1 п л: ср (л;) - J (In х)" ф (х) dx. Но так как ф (л:) = J ф" (л:) dx = ^ 1. = j х0 dx, то, применяя формулу 1 таблицы интегралов (п = 0), получим Ф = *. Окончательно получаем Inxdx = x In л:- = л: In х- J dx - x In jc - x + C. Пример 4. Рассмотрим ^ л; sfn л; rfx. Положим f(x) - x и ф" (л:) = sinx. Тогда ф(лг) = - cosjc, так как (-cos*)" = = sin*. Применяя интегрирование по частям, будем иметь J х sin х dx = - х cos *- J (*)" (- cos x) dx = = - x cos * + ^ cos x dx = - x cos x + sin x + C. Пример 5. Рассмотрим ^ хгехdx. Положим /(x) = xг и ф"(лг) = е*. Тогда ф(лг) = е*, так как (ех)" = ех. Применяя интегрирование по частям, будем иметь J хгех dx = x*ex- J (л:1)" dx = = хгех - 2 ^ хех dx. (*) Таким образом, заданный интеграл выражен при помощи более простого интеграла J хех dx. Применим к последнему интегралу еще раз формулу интегрирования по частям, для этого положим f(x) = x и ф/(лг) = ех. Преобразования неопределенных интегралов Отсюда ^ хех dx = хех - ^ (х)" ех dx = ~хе*-J ех dx = xe* - ех Соединяя равенства (*) и (**), получим окончательно ^ х2е* dx = x2ex - 2 [хех - ех + С] = = х2ех - 2хех + 2ех - 2 С = = хгех - 2хех + 2ех + С, где Ct = - 2С, так что С, есть произвольное постоянное интегрирования.

วิธีการดำเนินงาน

สำหรับปัญหาการนำความร้อนหลายประการการใช้วิธีการแบบคลาสสิกกลับกลายเป็นว่าไม่ได้ผลเช่นการใช้วิธีแยกตัวแปรสำหรับปัญหาเกี่ยวกับแหล่งความร้อนภายใน

M. Vishchenko-Zakharchenko และ Heaviswid ได้รับกฎพื้นฐานและทฤษฎีบทของแคลคูลัสเชิงปฏิบัติการ วิศวกรรมไฟฟ้าแพร่หลายมากที่สุดเนื่องจากงานของ Heaviside

วิธีการปฏิบัติงานของ Heaviswid นั้นเทียบเท่ากับวิธีการแปลงอินทิกรัลของ Laplace

วิธีการแปลงลาปลาซประกอบด้วยการศึกษาไม่ใช่ฟังก์ชัน (ดั้งเดิม) แต่เป็นการดัดแปลง (รูปภาพ)

การแปลงอินทิกรัลของฟังก์ชัน
ถูกกำหนดโดยสูตร

(40)

โดยที่ S อาจเป็นจำนวนเชิงซ้อน แต่ในขณะเดียวกันส่วนของสิ่งนั้นก็มากกว่า 0

- ต้นฉบับ;
- รูปภาพของฟังก์ชั่น เพื่อให้รูปภาพมีอยู่ อินทิกรัล (51) จะต้องมาบรรจบกัน

หากปัญหาได้รับการแก้ไขในรูปภาพ ต้นฉบับจะถูกกำหนดจากรูปภาพ (การแปลง) โดยใช้สูตรการกลับกัน

(41)

แทนที่จะใช้สูตร (52) เพื่อกำหนดต้นฉบับของฟังก์ชันจากรูปภาพ คุณสามารถใช้สูตรการผกผันต่อไปนี้ได้

(41.ก)

สูตรนี้ทำให้สามารถรับฟังก์ชันดั้งเดิมได้โดยใช้การดำเนินการหาอนุพันธ์และส่งผ่านไปยังขีดจำกัดเท่านั้น

ถ้ารูปภาพเป็นฟังก์ชัน

(42)

ซึ่งเป็นกรณีบางส่วนของฟังก์ชันเหนือธรรมชาติทั้งสองฟังก์ชัน จากนั้นจึงเป็นไปตามทฤษฎีบทการขยายตัวที่เรามี

(43)

ที่ไหน - รากอย่างง่ายของฟังก์ชัน
- ในกรณีนี้ตัวส่วนไม่มีเงื่อนไขอิสระและ

2.หากเกิดภาพ
แสดงถึงอัตราส่วนของสองนิกาย (ฟังก์ชันเศษส่วน-ตรรกยะ) และระดับของนิกาย
น้อยกว่าค่าที่กำหนด
และนิกาย
มีรากของ K หลายหลากที่จุด , ที่

โดยที่ผลรวมถูกยึดครองรากทั้งหมด
- หากรากทั้งหมดนั้นเรียบง่ายนั่นคือ K ทั้งหมดเท่ากับ 1 จากนั้นสูตร (5) ไปหารด้วย (43)

การแปลงลาปลาซแบบอินทิกรัลมีข้อเสีย โดยเฉพาะอย่างยิ่งความยากลำบากเกิดขึ้นเมื่อแก้ไขปัญหาที่ระบุเงื่อนไขเป็นฟังก์ชันของพิกัดเชิงพื้นที่หรือแก้ไขปัญหาหลายมิติ

ในเรื่องนี้มีการเสนอวิธีการหลายวิธีสำหรับการแปลงอินทิกรัลตามพิกัดเชิงพื้นที่ตามรูปทรงเรขาคณิตของร่างกาย

ถ้าการแปลงเกิดขึ้นตามพิกัดเชิงพื้นที่ x แสดงว่าการแปลงอินทิกรัลของฟังก์ชัน
สามารถแสดงได้ดังนี้:

(44)

ถ้าเคอร์เนลการแปลง K(p,x) อยู่ในรูปแบบ
หรือ
ดังนั้นการแปลงอินทิกรัลนี้เรียกว่าการแปลงฟูริเยร์ไซน์หรือโคไซน์ตามลำดับ

หากเลือกฟังก์ชัน Bessel เป็นเคอร์เนลการแปลง
แล้วจึงเรียกว่าการแปลงฮันเคล

การแปลงฟูริเยร์ที่ซับซ้อนนั้นสะดวกต่อการใช้งานสำหรับเนื้อความที่มีขอบเขตไม่จำกัด ควรใช้การแปลงฟูริเยร์แบบไซน์เมื่อมีการระบุค่าบนพื้นผิวของร่างกายด้วยสูตร เช่น ที่ GU! และโคไซน์คือการแปลงฟูริเยร์เมื่อหาค่าดิฟเฟอเรนเชียลแล้ว สมการการขนส่งที่ GI2 การแปลงรูปแฮงเค็ลสามารถใช้ได้เมื่อร่างกายมีสมมาตรตามแนวแกน การใช้งานจริงของการแปลงอินทิกรัลเหล่านี้ต่อหน้าตารางรูปภาพที่มีรายละเอียดไม่ทำให้เกิดปัญหาใดๆ เป็นพิเศษ

การเปลี่ยนจากรูปภาพเป็นต้นฉบับสามารถทำได้โดยใช้สูตรการผกผันสำหรับ:

การแปลงฟูริเยร์เชิงซ้อน

(45)

การแปลงไซน์ฟูริเยร์

(46)

การแปลงโคไซน์ฟูริเยร์

(47)

การแปลงร่างของแฮนเคิล

(48)

การแปลงอินทิกรัลที่พิจารณานั้นใช้ได้กับเนื้อหาที่มีขอบเขตกึ่งจำกัด

การแปลงอินทิกรัลจำกัด

ข้อจำกัดของการแปลงอินทิกรัลของฟูริเยร์ แฮงเคิล และลาปลาซบางส่วน ในด้านหนึ่ง และความจำเป็นเร่งด่วนในการแก้ปัญหาด้วยการเปลี่ยนแปลงตัวแปรที่มีขอบเขตจำกัด ในทางกลับกัน นำไปสู่การสร้างวิธีการสำหรับการแปลงอินทิกรัลจำกัด . เป็นที่นิยมมากกว่าแม้กระทั่งกับปัญหาที่แก้ไขด้วยวิธีดั้งเดิม

แนวคิดของวิธีการเปลี่ยนแปลงอินทิกรัลอันจำกัดเสนอโดย N.S. คอมเมคอฟ

(49)

การขยายประเด็นเพิ่มเติมของวิธีการแปลงอินทิกรัลอันจำกัดได้สะท้อนให้เห็นในงานของ Griabarga G.A., Sleddon, Tranter, Deug (Deig) และอื่นๆ

หากขอบเขตอินทิเกรตอยู่ระหว่าง 0 ถึง e เคอร์เนลของการแปลงไฟไนต์ไซน์และโคไซน์ฟูริเยร์ รวมถึงการแปลงของ Hankel ตามลำดับจะมีรูปแบบ:

(50)

(51)

ด้วย GU1 และ GU2
และที่ GU3 คือรากของสมการ

(52)

การเปลี่ยนแปลงเชิงบูรณาการ การเปลี่ยนแปลงการทำงานของแบบฟอร์ม

โดยที่ C คือรูปร่างที่มีขอบเขตจำกัดหรืออนันต์ในระนาบเชิงซ้อน K(x, t) คือแกนกลางของการแปลงอินทิกรัล การแปลงอินทิกรัลมักถูกพิจารณา โดยที่ K(x, t) = K(xt) และ C คือแกนจริงหรือส่วนของแกนจริง (a, b) ถ้า - ∞< а, b < ∞, то интегральное преобразование называется конечным. При К(х, t) = К(х - t) интегральное преобразование называется интегральным преобразованием типа свёртки. Если х и t - точки n-мерного пространства, а интегрирование ведётся по области этого пространства, то интегральное преобразование называется многомерным. Используются также дискретные интегральные преобразования вида

โดยที่ n = 0, 1, 2,..., และ (Gn(t)) คือระบบของฟังก์ชันบางระบบ เช่น พหุนามจาโคบี สูตรที่อนุญาตให้คุณคืนค่าฟังก์ชัน f(t) จากฟังก์ชันที่รู้จัก F(x) เรียกว่าสูตรผกผัน การแปลงอินทิกรัลยังถูกกำหนดไว้สำหรับฟังก์ชันทั่วไป (การแจกแจง)

การแปลงอินทิกรัลใช้กันอย่างแพร่หลายในคณิตศาสตร์และการประยุกต์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์และอินทิกรัลของฟิสิกส์คณิตศาสตร์ สิ่งที่สำคัญที่สุดสำหรับทฤษฎีและการประยุกต์คือ การแปลงฟูริเยร์ การแปลงลาปลาซ และการแปลงเมลลิน

ตัวอย่างของการแปลงอินทิกรัลคือการแปลงแบบ Stieltjes

โดยที่ c v (α, β) = J ν (α) Y v (ß) - Υ ν (α)J ν (β), J v (x), Y v (x) เป็นฟังก์ชันทรงกระบอกของเมืองที่ 1 และ 2 สูตรการผกผันของการแปลงเวเบอร์คือ

เมื่อ → 0 การแปลงเวเบอร์จะแปลงเป็นการแปลง Hankel

สำหรับ v = ± 1/2 การแปลงนี้จะลดเป็นการแปลงฟูริเยร์ไซน์และโคไซน์

ตัวอย่างของการแปลงแบบบิดคือการแปลงแบบไวเออร์ชตราส