การประยุกต์ใช้อินทิกรัลที่แน่นอน การคำนวณความยาวส่วนโค้ง

หน้าแรก > การบรรยาย

การบรรยาย 18 อินทิกรัลแน่นอน.

18.1. การคำนวณพื้นที่ของรูปทรงระนาบ

เป็นที่ทราบกันว่าอินทิกรัลที่แน่นอนในส่วนคือพื้นที่ของเส้นโค้งสี่เหลี่ยมคางหมูที่ล้อมรอบด้วยกราฟของฟังก์ชัน f(x) หากกราฟอยู่ใต้แกน x เช่น ฉ(x)< 0, то площадь имеет знак “-“, если график расположен выше оси Ох, т.е. f(x) >0 พื้นที่นั้นจะมีเครื่องหมาย “+”

สูตรนี้ใช้ในการหาพื้นที่ทั้งหมด

พื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้นบางเส้นสามารถพบได้โดยใช้อินทิกรัลบางตัวหากทราบสมการของเส้นเหล่านี้

ตัวอย่าง.หาพื้นที่ของรูป ล้อมรอบด้วยเส้น y \u003d x, y \u003d x 2, x \u003d 2

พื้นที่ที่ต้องการ (แรเงาในรูป) สามารถดูได้จากสูตร:

18.2. การหาพื้นที่ของส่วนโค้ง

ในการค้นหาพื้นที่ของส่วนโค้ง เราแนะนำระบบพิกัดเชิงขั้ว สมการของเส้นโค้งที่ล้อมรอบเซกเตอร์ในระบบพิกัดนี้มีรูปแบบ  = f() โดยที่  คือความยาวของเวกเตอร์รัศมีที่เชื่อมต่อเสากับ จุดโดยพลการเส้นโค้ง และ  - มุมเอียงของเวกเตอร์รัศมีนี้ไปยังแกนขั้วโลก

พื้นที่ของเซกเตอร์โค้งสามารถหาได้จากสูตร

18.3. การคำนวณความยาวส่วนโค้งของเส้นโค้ง

y y = ฉ(x)

S ฉัน y ฉัน

สามารถหาความยาวของเส้นที่สอดคล้องกับส่วนโค้งได้ดังนี้
.

แล้วความยาวของส่วนโค้งคือ
.

จาก การพิจารณาทางเรขาคณิต:

ในเวลาเดียวกัน

ก็แสดงว่าได้

เหล่านั้น.

หากสมการของเส้นโค้งถูกกำหนดโดยพาราเมตริก เมื่อคำนึงถึงกฎสำหรับการคำนวณอนุพันธ์ของอนุพันธ์ที่กำหนดโดยพาราเมตริก เราจะได้รับ

,

โดยที่ x = (t) และ y = (t)

ถ้าตั้ง เส้นโค้งเชิงพื้นที่และ x = (t), y = (t) และ z = Z(t) แล้ว

หากกำหนดเส้นโค้งเป็น พิกัดเชิงขั้ว, แล้ว

,  = ฉ().

ตัวอย่าง:หาเส้นรอบวงที่กำหนดโดยสมการ x 2 + y 2 = r 2

1 วิธีให้เราแสดงตัวแปร y จากสมการ

ลองหาอนุพันธ์กัน

จากนั้น S = 2r เราได้สูตรที่รู้จักกันดีสำหรับเส้นรอบวงของวงกลม

2 ทางถ้าเราแทนสมการที่กำหนดใน ระบบขั้วโลกพิกัด เราได้รับ: r 2 cos 2  + r 2 sin 2  = r 2 , เช่น ฟังก์ชัน  = f() = r,
แล้ว

18.4. การคำนวณปริมาตรของร่างกาย

การคำนวณปริมาตรของร่างกายโดย จัตุรัสที่มีชื่อเสียงส่วนที่ขนานกัน

ปล่อยให้มีเนื้อหาของปริมาตร V พื้นที่ของส่วนตัดขวางของร่างกาย Q เรียกว่าฟังก์ชันต่อเนื่อง Q = Q(x) มาแบ่งร่างกายออกเป็น "เลเยอร์" โดยส่วนตัดผ่านจุด x ผม ของการแบ่งส่วน . เพราะ ฟังก์ชัน Q(x) ต่อเนื่องกับส่วนตรงกลางของพาร์ติชัน จากนั้นจะใช้ในส่วนที่ใหญ่ที่สุดและ ค่าที่น้อยที่สุด. มากำหนดพวกเขาตาม M i และ m i .

หากในส่วนที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดในการสร้างกระบอกสูบที่มีเครื่องกำเนิดไฟฟ้าขนานกับแกน x ปริมาตรของกระบอกสูบเหล่านี้จะเท่ากับ M i x i และ m i x i ที่นี่ x i = x i - x i -1 .

หลังจากสร้างโครงสร้างดังกล่าวสำหรับทุกส่วนของพาร์ติชันแล้ว เราได้กระบอกสูบที่มีปริมาตรตามลำดับ
และ
.

เนื่องจากขั้นตอนของพาร์ติชัน  มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์ ผลรวมเหล่านี้จึงมีขีดจำกัดร่วมกัน:

ดังนั้นปริมาตรของร่างกายสามารถหาได้จากสูตร:

ข้อเสียของสูตรนี้คือในการหาปริมาตร จำเป็นต้องรู้ฟังก์ชัน Q(x) ซึ่งเป็นปัญหามากสำหรับเนื้อหาที่ซับซ้อน

ตัวอย่าง:หาปริมาตรของทรงกลมรัศมี R

ที่ ภาพตัดขวางได้รับลูกบอลวงกลมรัศมีตัวแปร y ขึ้นอยู่กับพิกัด x ปัจจุบัน รัศมีนี้แสดงโดยสูตร
.

จากนั้นฟังก์ชันพื้นที่หน้าตัดจะมีรูปแบบ: Q(x) =
.

เราได้ปริมาตรของลูกบอล:

ตัวอย่าง:ค้นหาปริมาตรของพีระมิดโดยพลการที่มีความสูง H และพื้นที่ฐาน S

เมื่อข้ามพีระมิดด้วยระนาบที่ตั้งฉากกับความสูง ในส่วนนี้ เราจะได้ตัวเลขที่คล้ายกับฐาน ค่าสัมประสิทธิ์ความคล้ายคลึงกันของตัวเลขเหล่านี้เท่ากับอัตราส่วน x / H โดยที่ x คือระยะทางจากระนาบส่วนถึงยอดพีระมิด

จากรูปทรงเรขาคณิตเป็นที่รู้กันว่าอัตราส่วนของพื้นที่ของตัวเลขที่คล้ายกันนั้นเท่ากับค่าสัมประสิทธิ์ของความคล้ายคลึงกันกำลังสอง นั่นคือ

จากที่นี่เราได้ฟังก์ชันของพื้นที่หน้าตัด:

การหาปริมาตรของพีระมิด:

18.5 ปริมาณของร่างกายของการปฏิวัติ

พิจารณาเส้นโค้ง กำหนดโดยสมการ y = ฉ(x). ให้เราถือว่าฟังก์ชัน f(x) ต่อเนื่องในส่วนของ ถ้าตรงกัน สี่เหลี่ยมคางหมูโค้งโดยที่ฐาน a และ b หมุนรอบแกน Ox แล้วเราจะได้สิ่งที่เรียกว่า ร่างกายของการปฏิวัติ.

y = ฉ(x)

เพราะ แต่ละส่วนของร่างกายโดยระนาบ x = const คือวงกลมรัศมี
จากนั้นสามารถหาปริมาตรของร่างกายของการปฏิวัติได้อย่างง่ายดายโดยใช้สูตรที่ได้รับด้านบน:

18.6. พื้นที่ผิวของร่างกายของการปฏิวัติ

เอ็ม ไอ บี

คำนิยาม: พื้นที่ผิวของการหมุนเส้นโค้ง AB รอบแกนที่กำหนดคือขีดจำกัดที่พื้นที่ของพื้นผิวของการหมุนของเส้นหักซึ่งระบุไว้ในเส้นโค้ง AB มักจะเป็น เมื่อความยาวที่ใหญ่ที่สุดของการเชื่อมโยงของเส้นหักเหล่านี้มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์

ลองแบ่งส่วนโค้ง AB ออกเป็น n ส่วนโดยจุด M 0 , M 1 , M 2 , … , M n . จุดยอดของเส้นผลลัพธ์มีพิกัด x i และ y i เมื่อหมุนเส้นหักรอบแกนเราจะได้พื้นผิวที่ประกอบด้วยพื้นผิวด้านข้างของกรวยที่ถูกตัดออกซึ่งมีพื้นที่เท่ากับ P ผม . พื้นที่นี้สามารถพบได้โดยใช้สูตร:

โดยที่ S i คือความยาวของคอร์ดแต่ละคอร์ด

เราใช้ทฤษฎีบทของลากรองจ์ (เปรียบเทียบ ทฤษฎีบทของลากรองจ์) กับความสัมพันธ์
.

ให้เรานำเสนอแอพพลิเคชั่นของอินทิกรัลที่แน่นอน

การคำนวณพื้นที่ของรูปแบน

พื้นที่ของเส้นโค้งสี่เหลี่ยมคางหมูที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้ง (ที่
), ตรง
,
และส่วน
แกน
คำนวณโดยสูตร

.

พื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้ง
และ
(ที่ไหน
) ตรง
และ
คำนวณโดยสูตร

.

ถ้าเส้นโค้งถูกกำหนดโดยสมการพาราเมตริก
จากนั้นพื้นที่ของเส้นโค้งสี่เหลี่ยมคางหมูที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้งนี้เป็นเส้นตรง
,
และส่วน
แกน
คำนวณโดยสูตร

,

ที่ไหน และ ถูกกำหนดจากสมการ
,
, ก
ที่
.

พื้นที่ของเซกเตอร์โค้งล้อมรอบด้วยเส้นโค้งที่กำหนดในพิกัดเชิงขั้วโดยสมการ
และรัศมีสองขั้ว
,
(
) หาได้จากสูตร

.

ตัวอย่าง 1.27คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยพาราโบลา
และโดยตรง
(รูปที่ 1.1)

	การตัดสินใจ.มาหาจุดตัดของเส้นตรงกับพาราโบลากัน ในการทำเช่นนี้ เราแก้สมการ , . ที่ไหน , . จากนั้นตามสูตร (1.6) เรามี .

การคำนวณความยาวส่วนโค้งของเส้นโค้งระนาบ

หากเป็นทางโค้ง
ในส่วนของ
- เรียบ (นั่นคืออนุพันธ์
ต่อเนื่อง) จากนั้นสูตรจะพบความยาวของส่วนโค้งที่สอดคล้องกันของเส้นโค้งนี้

.

เมื่อระบุเส้นโค้งพาราเมตริก
(
- ฟังก์ชันที่แตกต่างกันอย่างต่อเนื่อง) ความยาวของส่วนโค้งของเส้นโค้งที่สอดคล้องกับการเปลี่ยนแปลงแบบโมโนโทนิกในพารามิเตอร์ จาก ก่อน คำนวณโดยสูตร

ตัวอย่าง 1.28.คำนวณความยาวส่วนโค้งของเส้นโค้ง
,
,
.

การตัดสินใจ.ลองหาอนุพันธ์ที่เกี่ยวกับพารามิเตอร์กัน :
,
. จากนั้นตามสูตร (1.7) เราได้รับ

.

2. แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ของฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัว

ให้แต่ละคู่ของหมายเลขที่สั่งซื้อ
จากบางพื้นที่
ตรงกับจำนวนหนึ่ง
. แล้ว เรียกว่า ฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว และ ,
-ตัวแปรอิสระ หรือ ข้อโต้แย้ง ,
-โดเมนของคำนิยาม ฟังก์ชั่นแต่ล่ะชุด ค่าฟังก์ชันทั้งหมด - ช่วงของมัน และแสดงว่า
.

ในทางเรขาคณิต โดเมนของฟังก์ชันมักจะเป็นส่วนหนึ่งของระนาบ
ล้อมรอบด้วยเส้นที่อาจจะเป็นหรือไม่ใช่ของพื้นที่นี้ก็ได้

ตัวอย่าง 2.1ค้นหาโดเมน
ฟังก์ชั่น
.

	การตัดสินใจ.ฟังก์ชันนี้กำหนดไว้ที่จุดต่างๆ ของระนาบ , ซึ่งใน , หรือ . จุดของเครื่องบินซึ่ง , สร้างขอบเขตของภูมิภาค . สมการ กำหนดพาราโบลา (รูปที่ 2.1; เนื่องจากพาราโบลาไม่ได้เป็นของพื้นที่ จะแสดงเป็นเส้นประ) นอกจากนี้ยังง่ายต่อการตรวจสอบโดยตรงว่าจุดใด ซึ่งอยู่เหนือพาราโบลา ภูมิภาค เปิดอยู่และสามารถระบุได้โดยใช้ระบบอสมการ:

หากแปรผัน ให้กำลังใจบ้าง
, ก ปล่อยให้มันคงที่แล้วฟังก์ชั่น
จะได้รับเพิ่มขึ้น
เรียกว่า ฟังก์ชั่นเพิ่มส่วนตัว โดยตัวแปร :

ในทำนองเดียวกันหากตัวแปร ได้รับเพิ่มขึ้น
, ก คงที่แล้วฟังก์ชัน
จะได้รับเพิ่มขึ้น
เรียกว่า ฟังก์ชั่นเพิ่มส่วนตัว โดยตัวแปร :

หากมีข้อจำกัด:

,

,

พวกเขาถูกเรียก อนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชัน
โดยตัวแปร และ ตามลำดับ

หมายเหตุ 2.1. อนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันของตัวแปรอิสระจำนวนใดๆ ถูกกำหนดในทำนองเดียวกัน

หมายเหตุ 2.2. เนื่องจากอนุพันธ์ย่อยที่เกี่ยวกับตัวแปรใด ๆ เป็นอนุพันธ์ย่อยที่เกี่ยวกับตัวแปรนี้ โดยมีเงื่อนไขว่าตัวแปรอื่น ๆ เป็นค่าคงที่ ดังนั้นกฎทั้งหมดสำหรับการหาอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันของตัวแปรเดียวจึงใช้ได้กับการหาอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันของตัวแปรจำนวนเท่าใดก็ได้

ตัวอย่าง 2.2.
.

การตัดสินใจ. เราพบ:

,

.

ตัวอย่าง 2.3ค้นหาอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชัน
.

การตัดสินใจ. เราพบ:

,

,

.

การเพิ่มฟังก์ชันแบบเต็ม
เรียกว่าความแตกต่าง

ส่วนหลักของการเพิ่มฟังก์ชันทั้งหมด
เชิงเส้นขึ้นอยู่กับการเพิ่มขึ้นของตัวแปรอิสระ
และ
,เรียกว่าผลต่างทั้งหมดของฟังก์ชัน และแสดงว่า
. หากฟังก์ชันมีอนุพันธ์ย่อยต่อเนื่อง แสดงว่าผลต่างทั้งหมดมีอยู่และเท่ากับ

,

ที่ไหน
,
- การเพิ่มตัวแปรอิสระโดยพลการเรียกว่าดิฟเฟอเรนเชียล

ในทำนองเดียวกันสำหรับฟังก์ชันของตัวแปรสามตัว
ความแตกต่างทั้งหมดถูกกำหนดโดย

.

ให้ฟังก์ชั่น
ได้ตรงจุด
อนุพันธ์ย่อยอันดับ 1 เทียบกับตัวแปรทั้งหมด จากนั้นจึงเรียกเวกเตอร์ การไล่ระดับสี ฟังก์ชั่น
ที่จุด
และแสดงว่า
หรือ
.

หมายเหตุ 2.3. สัญลักษณ์
เรียกว่าตัวดำเนินการแฮมิลตันและออกเสียงว่า "นัมบลา"

ตัวอย่าง 2.4ค้นหาการไล่ระดับสีของฟังก์ชันที่จุด
.

การตัดสินใจ. มาหาอนุพันธ์ย่อยกัน:

,
,

และคำนวณค่า ณ จุดนั้น
:

,
,
.

เพราะเหตุนี้,
.

อนุพันธ์ ฟังก์ชั่น
ที่จุด
ในทิศทางของเวกเตอร์
เรียกว่าขีดจำกัดของอัตราส่วน
ที่
:

, ที่ไหน
.

ถ้าฟังก์ชั่น
อนุพันธ์ในทิศทางนี้จะคำนวณโดยสูตร:

,

ที่ไหน ,- มุม ซึ่งเวกเตอร์ แบบฟอร์มด้วยแกน
และ
ตามลำดับ

ในกรณีของฟังก์ชันสามตัวแปร
อนุพันธ์เชิงทิศทางถูกกำหนดในทำนองเดียวกัน สูตรที่เกี่ยวข้องมีรูปแบบ

,

ที่ไหน
- ทิศทางโคไซน์ของเวกเตอร์ .

ตัวอย่างที่ 2.5ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
ที่จุด
ในทิศทางของเวกเตอร์
, ที่ไหน
.

การตัดสินใจ. ลองหาเวกเตอร์กัน
และทิศทางของโคไซน์:

,
,
,
.

คำนวณค่าของอนุพันธ์บางส่วนที่จุด
:

,
,
;
,
,
.

แทนที่ (2.1) เราได้รับ

.

อนุพันธ์ย่อยของอันดับสอง เรียกว่าอนุพันธ์ย่อยที่นำมาจากอนุพันธ์ย่อยของลำดับที่หนึ่ง:

,

,

,

อนุพันธ์บางส่วน
,
เรียกว่า ผสม . ค่าของอนุพันธ์แบบผสมจะเท่ากัน ณ จุดที่อนุพันธ์เหล่านี้ต่อเนื่องกัน

ตัวอย่าง 2.6ค้นหาอนุพันธ์ย่อยอันดับสองของฟังก์ชัน
.

การตัดสินใจ. คำนวณอนุพันธ์ย่อยอันดับหนึ่งของลำดับที่หนึ่ง:

,
.

แยกความแตกต่างอีกครั้ง เราได้รับ:

,
,

,
.

เปรียบเทียบนิพจน์สุดท้าย เราจะเห็นว่า
.

ตัวอย่าง 2.7จงพิสูจน์ว่าฟังก์ชัน
เป็นไปตามสมการของ Laplace

.

การตัดสินใจ. เราพบ:

,
.

,
.

.

จุด
เรียกว่า จุดสูงสุดของท้องถิ่น (ขั้นต่ำ ) ฟังก์ชั่น
ถ้าสำหรับทุกจุด
, นอกเหนือจากนี้
และอยู่ในย่านเล็กๆ ของมันพอสมควร ความเหลื่อมล้ำ

(
).

ค่าสูงสุดหรือต่ำสุดของฟังก์ชันเรียกว่าฟังก์ชัน สุดขีด . จุดที่ถึงจุดสูงสุดของฟังก์ชันเรียกว่า จุดสูงสุดของฟังก์ชัน .

ทฤษฎีบท 2.1 (เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับสุดขีด ). ถ้าจุด
เป็นจุดสูงสุดของฟังก์ชัน
ดังนั้นอย่างน้อยหนึ่งอนุพันธ์เหล่านี้ไม่มีอยู่จริง

จุดที่ตรงกับเงื่อนไขเหล่านี้เรียกว่า เครื่องเขียน หรือ วิกฤต . จุดสุดขั้วจะอยู่นิ่งเสมอ แต่จุดที่หยุดนิ่งอาจไม่ใช่จุดสุดขั้ว เพื่อให้จุดที่อยู่นิ่งเป็นจุดสุดขั้ว ต้องเป็นไปตามเงื่อนไขสุดขั้วที่เพียงพอ

ให้เราแนะนำสัญกรณ์ต่อไปนี้ก่อน :

,
,
,
.

ทฤษฎีบท 2.2 (สภาวะที่เพียงพอสำหรับความสุดโต่ง ). ให้ฟังก์ชั่น
หาอนุพันธ์ได้สองเท่าในย่านของจุดหนึ่ง
และจุด
อยู่นิ่งสำหรับฟังก์ชัน
. แล้ว:

1.ถ้า
แล้วจุด
เป็นสุดขั้วของฟังก์ชัน และ
จะเป็นจุดสูงสุดที่
(
)และจุดต่ำสุดที่
(
).

2.ถ้า
แล้วที่จุด

ไม่มีความสุดโต่ง

3.ถ้า
จากนั้นอาจมีหรือไม่มีเลยก็ได้

ตัวอย่าง 2.8ตรวจสอบฟังก์ชันเพื่อหาค่าสูงสุด
.

การตัดสินใจ. ตั้งแต่ใน กรณีนี้อนุพันธ์ย่อยของลำดับที่หนึ่งจะมีอยู่เสมอ จากนั้นเพื่อหาจุดคงที่ (วิกฤติ) ที่เราแก้ระบบ:

,
,

ที่ไหน
,
,
,
. ดังนั้นเราจึงมีจุดหยุดนิ่งสองจุด:
,
.

,
,
.

สำหรับจุด
เราได้รับ: นั่นคือไม่มีจุดสูงสุด ณ จุดนี้ สำหรับจุด
เราได้รับ: และ
, เพราะเหตุนี้

ณ จุดนี้ ฟังก์ชันที่กำหนดถึงขั้นต่ำในท้องถิ่น: .

อินทิกรัลที่แน่นอน (OI) ถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในการประยุกต์ใช้งานทางคณิตศาสตร์และฟิสิกส์

โดยเฉพาะอย่างยิ่งในรูปทรงเรขาคณิตด้วยความช่วยเหลือของ OR พบพื้นที่ ตัวเลขง่ายๆและพื้นผิวที่ซับซ้อน ปริมาตรของวัตถุของการปฏิวัติและวัตถุที่มีรูปร่างตามอำเภอใจ ความยาวของเส้นโค้งในระนาบและในอวกาศ

ในวิชาฟิสิกส์และ กลศาสตร์เชิงทฤษฎี RI ใช้ในการคำนวณโมเมนต์คงที่ มวลและจุดศูนย์กลางมวลของเส้นโค้งและพื้นผิวของวัสดุ เพื่อคำนวณการทำงานของแรงแปรผันตามเส้นทางโค้ง เป็นต้น

พื้นที่ของรูปแบน

ให้ระนาบบางส่วนอยู่ในคาร์ทีเซียน ระบบสี่เหลี่ยมผืนผ้าพิกัด $xOy$ อยู่เหนือเส้นโค้ง $y=y_(1) \left(x\right)$ อยู่ด้านล่างด้วยเส้นโค้ง $y=y_(2) \left(x\right)$ และไปทางซ้าย และขวาด้วยเส้นแนวตั้ง $x=a$ และ $x=b$ ตามลำดับ ที่ กรณีทั่วไปพื้นที่ของรูปดังกล่าวแสดงโดยใช้ OR $S=\int \limits _(a)^(b)\left(y_(1) \left(x\right)-y_(2) \left( x\right)\right )\cdot dx $

ถ้าตัวเลขแบนๆ ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียน $xOy$ มีขอบเขตทางด้านขวาโดยเส้นโค้ง $x=x_(1) \left(y\right)$ ทางซ้าย - โดยเส้นโค้ง $x=x_(2 ) \left(y\right) $ และด้านล่างและด้านบนด้วยเส้นแนวนอน $y=c$ และ $y=d$ ตามลำดับ จากนั้นพื้นที่ของตัวเลขดังกล่าวจะแสดงโดยใช้ OI $S=\int \limits _(c)^(d)\left(x_(1 ) \left(y\right)-x_(2) \left(y\right)\right)\cdot dy $

ให้รูประนาบ (ส่วนเส้นโค้ง) ที่พิจารณาในระบบพิกัดเชิงขั้วถูกสร้างขึ้นโดยกราฟของฟังก์ชันต่อเนื่อง $\rho =\rho \left(\phi \right)$ เช่นเดียวกับรังสีสองเส้นที่ผ่านมุม $ \phi =\alpha $ และ $\phi =\beta $ ตามลำดับ สูตรสำหรับการคำนวณพื้นที่ของส่วนโค้งดังกล่าวคือ: $S=\frac(1)(2) \cdot \int \limits _(\alpha )^(\beta )\rho ^(2) \left (\phi \right )\cdot d\phi $

ความยาวส่วนโค้ง

ถ้าในส่วน $\left[\alpha ,\; เส้นโค้ง \beta \right]$ ถูกกำหนดโดยสมการ $\rho =\rho \left(\phi \right)$ ในพิกัดเชิงขั้ว จากนั้นความยาวของส่วนโค้งจะคำนวณโดยใช้ OR $L=\int \limits _ (\alpha )^ (\beta )\sqrt(\rho ^(2) \left(\phi \right)+\rho "^(2) \left(\phi \right)) \cdot d\phi $

ถ้าเส้นโค้งในส่วน $\left$ ถูกกำหนดโดยสมการ $y=y\left(x\right)$ ความยาวของส่วนโค้งจะคำนวณโดยใช้ OR $L=\int \limits _(a) ^(b)\sqrt(1 +y"^(2) \left(x\right)) \cdot dx $

ถ้าในส่วน $\left[\alpha ,\; \beta \right]$ เส้นโค้งจะได้รับพาราเมตริก เช่น $x=x\left(t\right)$, $y=y\left(t\right)$ จากนั้นความยาวของส่วนโค้งจะคำนวณโดยใช้ OR $L=\ int \limits _(\alpha )^(\beta )\sqrt(x"^(2) \left(t\right)+y"^(2) \left(t\right)) \cdot dt $

การคำนวณปริมาตรของร่างกายจากพื้นที่ของส่วนขนาน

จำเป็นต้องหาปริมาตรของวัตถุเชิงพื้นที่ที่มีพิกัดจุดตรงตามเงื่อนไข $a\le x\le b$ และพื้นที่หน้าตัด $S\left(x\right)$ โดยระนาบที่ตั้งฉากกับ รู้จักแกน $Ox$

สูตรคำนวณปริมาตรของวัตถุดังกล่าวคือ $V=\int \limits _(a)^(b)S\left(x\right)\cdot dx $

ปริมาณของการปฏิวัติ

ให้ฟังก์ชันต่อเนื่องที่ไม่ใช่ค่าลบ $y=y\left(x\right)$ ถูกกำหนดในส่วน $\left$ โดยสร้างเป็นเส้นโค้งสี่เหลี่ยมคางหมู (KrT) ถ้าเราหมุน CRT นี้รอบแกน $Ox$ ร่างกายจะถูกสร้างขึ้นเรียกว่าร่างกายของการปฏิวัติ

การคำนวณปริมาตรของร่างกายของการปฏิวัติเป็นกรณีพิเศษของการคำนวณปริมาตรของร่างกายจากพื้นที่ที่รู้จักของส่วนที่ขนานกัน สูตรที่เกี่ยวข้องคือ $V=\int \limits _(a)^(b)S\left(x\right)\cdot dx =\pi \cdot \int \limits _(a)^(b)y^( 2) \left(x\right)\cdot dx$

ให้รูประนาบในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียน $xOy$ ล้อมรอบด้วยเส้นโค้ง $y=y_(1) \left(x\right)$ จากด้านล่าง $y=y_(2) \left (x\right)$ โดยที่ $y_(1) \left(x\right)$ และ $y_(2) \left(x\right)$ ไม่เป็นค่าลบ ฟังก์ชันต่อเนื่องและทางซ้ายและขวาตามเส้นแนวตั้ง $x=a$ และ $x=b$ ตามลำดับ จากนั้นปริมาตรของร่างกายที่เกิดขึ้นจากการหมุนของรูปนี้รอบแกน $Ox$ แสดงโดย OR $V=\pi \cdot \int \limits _(a)^(b)\left(y_(1) ^(2) \left(x \right)-y_(2)^(2) \left(x\right)\right)\cdot dx $

ให้รูประนาบในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียน $xOy$ ล้อมรอบทางขวาด้วยเส้นโค้ง $x=x_(1) \left(y\right)$ ทางซ้าย - โดยเส้นโค้ง $x=x_(2 ) \left(y\right)$ โดยที่ $x_(1) \left(y\right)$ และ $x_(2) \left(y\right)$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ไม่ใช่ค่าลบ และเส้นแนวนอน $y =c$ และ $y= d$ ตามลำดับ จากนั้นปริมาตรของร่างกายที่เกิดจากการหมุนของตัวเลขนี้รอบแกน $Oy$ จะแสดงโดย OI $V=\pi \cdot \int \limits _(c)^(d)\left(x_(1) ^(2) \left(y \right)-x_(2)^(2) \left(y\right)\right)\cdot dy $

พื้นที่ผิวของร่างกายของการปฏิวัติ

ให้ฟังก์ชันที่ไม่ใช่ค่าลบ $y=y\left(x\right)$ ที่มีอนุพันธ์ต่อเนื่อง $y"\left(x\right)$ ให้กับส่วน $\left$ ฟังก์ชันนี้สร้าง KrT ถ้า เราหมุน KrT นี้รอบแกน $Ox $ จากนั้นตัวมันเองจะก่อตัวเป็นร่างของการปฏิวัติและส่วนโค้ง KrT เป็นพื้นผิวของมัน พื้นที่ผิวของตัวของการปฏิวัตินั้นแสดงโดยสูตร $Q=2\cdot \pi \cdot \int \limits _(a)^(b)y\left( x\right)\cdot \sqrt(1+y"^(2) \left(x\right)) \cdot dx $

สมมติว่าเส้นโค้ง $x=\phi \left(y\right)$ โดยที่ $\phi \left(y\right)$ เป็นฟังก์ชันที่ไม่ใช่ค่าลบที่กำหนดในส่วน $c\le y\le d$ จะหมุนรอบแกน $Oy$ ในกรณีนี้ พื้นที่ผิวของตัวการปฏิวัติที่เกิดขึ้นจะแสดงเป็น OR $Q=2\cdot \pi \cdot \int \limits _(c)^(d)\phi \left(y\right) \cdot \sqrt(1+\phi "^(2) \left(y\right)) \cdot dy $

การประยุกต์ใช้ทางกายภาพของ OI

1. ในการคำนวณระยะทางที่เดินทาง ณ เวลา $t=T$ ด้วยความเร็วตัวแปร $v=v\left(t\right)$ ของจุดที่เริ่มเคลื่อนที่ ณ เวลา $t=t_(0) $ ให้ใช้ OR $ S =\int \จำกัด _(t_(0) )^(T)v\left(t\right)\cdot dt $
2. ในการคำนวณการทำงานของตัวแปรบังคับ $F=F\left(x\right)$ ที่นำไปใช้ จุดวัสดุย้ายไป เส้นทางตรงตามแกน $Ox$ จากจุด $x=a$ ไปยังจุด $x=b$ (ทิศทางของแรงตรงกับทิศทางการเคลื่อนที่) ใช้คำสั่ง OR $A=\int \limits _(a)^ (b)F\left(x \right)\cdot dx$
3. ช่วงเวลาที่คงที่เมื่อเทียบกับ แกนพิกัดเส้นโค้งของวัสดุ $y=y\left(x\right)$ ในช่วง $\left$ แสดงโดยสูตร $M_(x) =\rho \cdot \int \limits _(a)^(b)y\ ซ้าย(x\ ขวา)\cdot \sqrt(1+y"^(2) \left(x\right)) \cdot dx $ และ $M_(y) =\rho \cdot \int \limits _(a) ^(b) x\cdot \sqrt(1+y"^(2) \left(x\right)) \cdot dx $ โดยที่ความหนาแน่นเชิงเส้น $\rho $ ของเส้นโค้งนี้จะถือว่าคงที่
4. จุดศูนย์กลางมวลของเส้นโค้งของวัสดุคือจุดที่มวลทั้งหมดมีความเข้มข้นตามเงื่อนไขในลักษณะที่โมเมนต์คงที่ของจุดที่สัมพันธ์กับแกนพิกัดเท่ากับโมเมนต์คงที่ที่สอดคล้องกันของเส้นโค้งทั้งหมดโดยรวม

สูตรสำหรับการคำนวณพิกัดของจุดศูนย์กลางมวลของเส้นโค้งระนาบคือ $x_(C) =\frac(\int \limits _(a)^(b)x\cdot \sqrt(1+y"^(2 ) \left(x\ right)) \cdot dx )(\int \limits _(a)^(b)\sqrt(1+y"^(2) \left(x\right)) \cdot dx ) $ และ $y_(C) =\frac(\int \limits _(a)^(b)y\left(x\right)\cdot \sqrt(1+y"^(2) \left(x\right) ) \cdot dx )( \int \จำกัด _(a)^(b)\sqrt(1+y"^(2) \left(x\right)) \cdot dx ) $

5. ช่วงเวลาคงที่ของวัสดุ รูปแบนในรูปแบบของ КрТ ที่เกี่ยวกับแกนพิกัดจะแสดงโดยสูตร $M_(x) =\frac(1)(2) \cdot \rho \cdot \int \limits _(a)^(b)y^ (2) \left(x\ right)\cdot dx $ และ $M_(y) =\rho \cdot \int \limits _(a)^(b)x\cdot y\left(x\right)\cdot dx $
6. พิกัดของจุดศูนย์กลางมวลของวัตถุทรงแบนในรูปของ KrT ซึ่งเกิดจากเส้นโค้ง $y=y\left(x\right)$ ในช่วง $\left$ คำนวณโดยสูตร $x_( C) =\frac(\int \จำกัด _(a )^(b)x\cdot y\left(x\right)\cdot dx )(\int \จำกัด _(a)^(b)y\left( x\right)\cdot dx ) $ และ $y_( C) =\frac(\frac(1)(2) \cdot \int \limits _(a)^(b)y^(2) \left(x \right)\cdot dx )(\int \จำกัด _ (a)^(b)y\left(x\right)\cdot dx ) $