การประยุกต์ใช้พื้นที่อินทิกรัลที่แน่นอนของรูประนาบ พื้นที่ของรูปแบน

การบรรยายครั้งที่ 21 การประยุกต์ใช้ อินทิกรัลแน่นอน(2 ชม.)

การประยุกต์ใช้ทางเรขาคณิต

ก) พื้นที่รูป

ตามที่ระบุไว้ในบทที่ 19 เป็นตัวเลข เท่ากับพื้นที่ สี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง, เส้นโค้งที่มีขอบเขต ที่ = ฉ(x) , เส้นตรง เอ็กซ์ = ก, เอ็กซ์ = ขและส่วน [ ก, ข] ของแกน OX ในขณะเดียวกันถ้า ฉ(x) £ 0 ใน [ ก, ข] จากนั้นควรนำอินทิกรัลด้วยเครื่องหมายลบ

ถ้าเปิด ส่วนที่กำหนดการทำงาน ที่ = ฉ(x) เครื่องหมายการเปลี่ยนแปลง จากนั้นในการคำนวณพื้นที่ของตัวเลขที่อยู่ระหว่างกราฟของฟังก์ชันนี้กับแกน OX เราควรแบ่งส่วนออกเป็นส่วนๆ ซึ่งแต่ละฟังก์ชันจะเก็บเครื่องหมายไว้ และหาพื้นที่ ​แต่ละส่วนของรูป พื้นที่ที่ต้องการในกรณีนี้คือผลรวมเชิงพีชคณิตของอินทิกรัลเหนือส่วนเหล่านี้ และอินทิกรัลที่สอดคล้องกับค่าลบของฟังก์ชันจะถูกนำมารวมด้วยเครื่องหมายลบในผลรวมนี้

หากร่างถูกล้อมรอบด้วยเส้นโค้งสองเส้น ที่ = ฉ 1 (x) และ ที่ = ฉ 2 (x), ฉ 1 (x)£ ฉ 2 (x) จากนั้นตามรูปที่ 9 พื้นที่ของมันจะเท่ากับความแตกต่างระหว่างพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง กดวงอาทิตย์ ขและ กค.ศ ขซึ่งแต่ละตัวมีค่าเท่ากับอินทิกรัล วิธี,

โปรดทราบว่าพื้นที่ของรูปที่แสดงในรูปที่ 10, a ถูกพบโดยสูตรเดียวกัน: S = (พิสูจน์สิ!). ลองคิดดูว่าจะคำนวณพื้นที่ของรูปที่แสดงในรูปที่ 10, b ได้อย่างไร?

เราพูดถึงเฉพาะสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่อยู่ติดกับแกน OX แต่สูตรที่คล้ายกันนี้ใช้ได้กับตัวเลขที่อยู่ติดกับแกน y ด้วยเช่นกัน ตัวอย่างเช่น พื้นที่ของรูปที่แสดงในรูปที่ 11 หาได้จากสูตร

ให้สาย ย=ฉ(x) สามารถกำหนดให้จำกัดความโค้งของสี่เหลี่ยมคางหมูได้ สมการพาราเมตริก , ทีО , และ j(a)= ก, เจ(ข) = ข, เช่น. ที่= . จากนั้นพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งนี้คือ

.

ข) ความยาวส่วนโค้ง

ให้มีเส้นโค้ง ที่ = ฉ(x). พิจารณาส่วนโค้งของเส้นโค้งนี้ที่สอดคล้องกับการเปลี่ยนแปลง เอ็กซ์ในส่วนของ [ ก, ข]. ลองหาความยาวของส่วนโค้งนี้กัน ในการทำเช่นนี้ เราแบ่งส่วนโค้ง AB ออกเป็น พีส่วนที่มีคะแนน A \u003d M 0, M 1, M 2, ..., M พี= B (รูปที่ 14) ซึ่งสอดคล้องกับคะแนน เอ็กซ์ 1 , เอ็กซ์ 2 , ..., x n Î [ ก, ข].

แสดงว่าง ฉันความยาวส่วนโค้งแล้ว ล= . ถ้าส่วนโค้งยาว D ฉันเล็กพอที่จะพิจารณาได้โดยประมาณ ความยาวเท่ากันส่วนที่สอดคล้องกัน จุดเชื่อมต่อ ม ผม-1,ม ผม. จุดเหล่านี้มีพิกัด M ผม -1 (x ฉัน -1, ฉ (x ฉัน-1)) , ม ผม(x ฉัน, ฉ(x ฉัน)). จากนั้นความยาวของส่วนจะเท่ากันตามลำดับ

ที่นี่ใช้สูตร Lagrange ใส่กันเถอะ x ฉัน – x ฉัน-1=ด x ฉัน, เราได้รับ

แล้ว ล = , ที่ไหน

ล = .

ดังนั้นความยาวส่วนโค้งของเส้นโค้ง ที่ = ฉ(x) ที่สอดคล้องกับการเปลี่ยนแปลง เอ็กซ์ในส่วนของ [ ก, ข] หาได้จากสูตร

ล = , (1)

ถ้ากำหนดเส้นโค้งเป็นแบบพาราเมตริก ที O, เช่น ย(ที) = ฉ(x(ที)) จากสูตร (1) เราได้รับ:

ล=
.

ดังนั้น หากกำหนดเส้นโค้งแบบพาราเมตริก ความยาวของส่วนโค้งของเส้นโค้งนี้จะสอดคล้องกับการเปลี่ยนแปลง ทีн พบได้จากสูตร

ใน) ปริมาตรของร่างกายของการปฏิวัติ

รูปที่ 15

พิจารณาสี่เหลี่ยมคางหมูที่เป็นเส้นโค้ง กเอบี ข, ล้อมรอบด้วยเส้น ที่ = ฉ(x), ตรง เอ็กซ์ = ก, เอ็กซ์ = ขและส่วน [ ก,ข] ของแกน OX (รูปที่ 15) ให้สี่เหลี่ยมคางหมูนี้หมุนรอบแกน OX ผลลัพธ์ที่ได้คือร่างกายของการปฏิวัติ สามารถพิสูจน์ได้ว่าปริมาตรของร่างกายนี้จะเท่ากับ

ในทำนองเดียวกัน คุณสามารถหาสูตรสำหรับปริมาตรของร่างกายที่ได้จากการหมุนรอบแกน y ของสี่เหลี่ยมคางหมูที่เป็นเส้นโค้งล้อมรอบด้วยกราฟของฟังก์ชัน เอ็กซ์= เจ ( ที่), ตรง ย = ค , ย = งและส่วน [ ค,ง] แกน y (รูปที่ 15):

การใช้งานทางกายภาพอินทิกรัลแน่นอน

ในบทที่ 19 เราได้พิสูจน์ว่าจากมุมมองทางกายภาพ อินทิกรัลเป็นตัวเลข เท่ากับมวลแท่งยาวบางเป็นเนื้อเดียวกันเป็นเส้นตรง ล= ข – กโดยมีความหนาแน่นเชิงเส้นแปรผันได้ r = ฉ(x), ฉ(x) ³ 0 โดยที่ เอ็กซ์คือระยะทางจากจุดคันถึงปลายด้านซ้าย

ให้เราพิจารณาการใช้งานทางกายภาพอื่นๆ ของอินทิกรัลแน่นอน

ภารกิจที่ 1. หางานที่จำเป็นในการสูบน้ำมันออกจากถังทรงกระบอกแนวตั้งที่มีความสูง H และรัศมีฐาน R ความหนาแน่นของน้ำมันคือ r

วิธีการแก้.มาสร้างกันเถอะ แบบจำลองทางคณิตศาสตร์งานนี้ ให้แกน OX เคลื่อนไปตามแกนสมมาตรของทรงกระบอกความสูง H และรัศมี R จุดเริ่มต้น - ตรงกลางฐานด้านบนของทรงกระบอก (รูปที่ 17) มาแบ่งสูบกันเถอะ พีชิ้นส่วนแนวนอนขนาดเล็ก แล้วที่ AI- งานสูบน้ำ ผมชั้นที่ พาร์ติชันของทรงกระบอกนี้สอดคล้องกับพาร์ติชันของส่วนของการเปลี่ยนแปลงความสูงของชั้นเข้าไป พีชิ้นส่วน พิจารณาหนึ่งในเลเยอร์เหล่านี้ที่อยู่ห่างออกไป x ฉันจากพื้นผิว ความกว้าง D เอ็กซ์(หรือทันที ดีเอ็กซ์). การสูบน้ำออกจากชั้นนี้ถือเป็นการ "ยก" ชั้นให้สูงขึ้น x ฉัน.

จากนั้นงานที่ทำเพื่อปั๊มชั้นนี้ออกมาเท่ากับ

AI“ร ฉัน x ฉัน, ,

โดยที่พี ผม=rgV ผม= rgpR 2 ดีเอ็กซ์, ร ผม– น้ำหนัก V ผมคือปริมาตรของชั้น แล้ว AI"ร ฉัน x ฉัน= rgpR 2 dx.x ผม, ที่ไหน

และด้วยเหตุนี้ .

ภารกิจที่ 2. หาโมเมนต์ความเฉื่อย

ก) ทรงกระบอกผนังบางกลวงรอบแกนที่ผ่านแกนสมมาตร

b) ทรงกระบอกทึบรอบแกนที่ผ่านแกนสมมาตร

c) ความยาวแท่งบาง ลเกี่ยวกับแกนที่ผ่านตรงกลาง

d) ความยาวแท่งบาง ลเกี่ยวกับแกนที่ผ่านปลายด้านซ้าย

วิธีการแก้.ดังที่คุณทราบ โมเมนต์ความเฉื่อยของจุดรอบแกนมีค่าเท่ากับ เจ=นาย 2 , และระบบคะแนน .

a) กระบอกสูบมีผนังบาง ซึ่งหมายความว่าความหนาของผนังสามารถละเลยได้ ให้รัศมีของฐานทรงกระบอก R ความสูง H และความหนาแน่นมวลบนผนังเท่ากับ r

มาแบ่งสูบกันเถอะ พีชิ้นส่วนและค้นหาที่ไหน จิ- โมเมนต์ความเฉื่อย ผมองค์ประกอบพาร์ติชัน -th

พิจารณา ผมองค์ประกอบพาร์ติชัน -th (ทรงกระบอกเล็ก) จุดทั้งหมดอยู่ที่ระยะ R จากแกน ล. ให้มวลของทรงกระบอกนี้ Ti, แล้ว Ti= อาร์วี ผม» อาร์เอส ด้านข้าง= 2prR เดกซ์ ไอ, ที่ไหน x ฉันอ. แล้ว จิ» R 2 prR เดกซ์ ไอ, ที่ไหน

.

ถ้า r เป็นค่าคงที่ แล้ว เจ= 2prR 3 N และเนื่องจากมวลของทรงกระบอกคือ M = 2prRН ดังนั้น เจ= ม.ร.2 .

b) หากกระบอกสูบเป็นของแข็ง (เต็ม) เราจะแบ่งออกเป็น พี vloทรงกระบอกบาง ๆ วางอยู่ข้างใน ถ้า ก พีขนาดใหญ่ แต่ละกระบอกเหล่านี้ถือได้ว่ามีผนังบาง พาร์ติชันนี้สอดคล้องกับพาร์ติชันของเซกเมนต์ พีส่วนต่อจุด R ผม. มาหามวลกันเถอะ ผม- ทรงกระบอกผนังบาง: Ti= อาร์วี ผม, ที่ไหน

วี ผม=พีอาร์ ผม 2 ชั่วโมง - พีอาร์ ผม- 1 2 H \u003d pH (ร ผม 2-ร ผม -1 2) =

PH(ร ผม-ร ผม-1)(ร ผม+ร ผม -1).

เนื่องจากผนังของทรงกระบอกบาง เราจึงสันนิษฐานได้ว่า R ผม+ร ผม-1 » 2R ผม, และ ร ผม-ร ผม-1=ดร ผมแล้ว V ผม» ค่า pH2R ผมดร ผม, ที่ไหน Ti» rpН×2R ผมดร ผม,

แล้วในที่สุด

ค) พิจารณาไม้เรียวที่มีความยาว ลซึ่งมีความหนาแน่นมวลเท่ากับ r ให้แกนหมุนผ่านตรงกลาง

เราสร้างแบบจำลองแกนเป็นส่วนหนึ่งของแกน OX จากนั้นแกนของการหมุนของแกนคือแกน OY พิจารณาส่วนพื้นฐาน , มวลของมัน , ระยะทางถึงแกนสามารถพิจารณาได้โดยประมาณเท่ากับ ฉัน= x ฉัน. จากนั้นโมเมนต์ความเฉื่อยของส่วนนี้คือ ดังนั้นโมเมนต์ความเฉื่อยของแท่งทั้งหมดจึงเป็น . เมื่อพิจารณาว่ามวลของแท่งคือ

d) ตอนนี้ให้แกนหมุนผ่านปลายด้านซ้ายของแกนนั่นคือ โมเดลแท่งเป็นส่วนของแกน OX แล้วในทำนองเดียวกัน ฉัน= x ฉัน, , ที่ไหน และตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา

ภารกิจที่ 3ค้นหาแรงกดของของเหลวที่มีความหนาแน่น r บนสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีขา กและ ขแช่ในแนวตั้งในของเหลวเพื่อให้ขา กอยู่บนพื้นผิวของของเหลว

วิธีการแก้.

มาสร้างโมเดลงานกัน ให้ด้านบน มุมฉากสามเหลี่ยมอยู่ที่จุดกำเนิดขา กตรงกับส่วนของแกน OY (แกน OY กำหนดพื้นผิวของของเหลว) แกน OX ชี้ลง ขา ขตรงกับส่วนของแกนนี้ ด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมนี้มีสมการ หรือ

เป็นที่ทราบกันดีว่าหากอยู่บนพื้นที่แนวนอนของพื้นที่ ส, แช่อยู่ในของเหลวที่มีความหนาแน่น r, ถูกกดโดยคอลัมน์ของเหลวที่มีความสูง ชม.แล้วแรงดันเท่ากับ (กฎของปาสคาล) มาใช้กฎหมายนี้กันเถอะ

อินทิกรัลที่แน่นอน (OI) ถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในการประยุกต์ใช้งานทางคณิตศาสตร์และฟิสิกส์

โดยเฉพาะอย่างยิ่งในรูปทรงเรขาคณิตด้วยความช่วยเหลือของ OR พบพื้นที่ ตัวเลขง่ายๆและพื้นผิวที่ซับซ้อน ปริมาตรของวัตถุของการปฏิวัติและวัตถุที่มีรูปร่างตามอำเภอใจ ความยาวของเส้นโค้งในระนาบและในอวกาศ

ในวิชาฟิสิกส์และ กลศาสตร์เชิงทฤษฎี RI ใช้ในการคำนวณโมเมนต์คงที่ มวลและจุดศูนย์กลางมวลของเส้นโค้งและพื้นผิวของวัสดุ เพื่อคำนวณการทำงานของแรงแปรผันตามเส้นทางโค้ง เป็นต้น

พื้นที่ของรูปแบน

ให้ระนาบบางส่วนอยู่ในคาร์ทีเซียน ระบบสี่เหลี่ยมผืนผ้าพิกัด $xOy$ อยู่เหนือเส้นโค้ง $y=y_(1) \left(x\right)$ อยู่ด้านล่างด้วยเส้นโค้ง $y=y_(2) \left(x\right)$ และไปทางซ้าย และขวาด้วยเส้นแนวตั้ง $x=a$ และ $x=b$ ตามลำดับ ที่ กรณีทั่วไปพื้นที่ของรูปดังกล่าวแสดงโดยใช้ OR $S=\int \limits _(a)^(b)\left(y_(1) \left(x\right)-y_(2) \left( x\right)\right )\cdot dx $

ถ้าตัวเลขแบนๆ ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียน $xOy$ มีขอบเขตทางด้านขวาโดยเส้นโค้ง $x=x_(1) \left(y\right)$ ทางซ้าย - โดยเส้นโค้ง $x=x_(2 ) \left(y\right) $ และด้านล่างและด้านบนด้วยเส้นแนวนอน $y=c$ และ $y=d$ ตามลำดับ จากนั้นพื้นที่ของตัวเลขดังกล่าวจะแสดงโดยใช้ OI $S=\int \limits _(c)^(d)\left(x_(1 ) \left(y\right)-x_(2) \left(y\right)\right)\cdot dy $

ให้พิจารณารูปแบน (ส่วนโค้ง) ระบบขั้วโลกพิกัด เกิดจากกราฟของฟังก์ชันต่อเนื่อง $\rho =\rho \left(\phi \right)$ เช่นเดียวกับรังสีสองเส้นที่ผ่านมุม $\phi =\alpha $ และ $\phi =\ เบต้า $ ตามลำดับ สูตรสำหรับการคำนวณพื้นที่ของส่วนโค้งดังกล่าวคือ: $S=\frac(1)(2) \cdot \int \limits _(\alpha )^(\beta )\rho ^(2) \left (\phi \right )\cdot d\phi $

ความยาวส่วนโค้ง

ถ้าในส่วน $\left[\alpha ,\; เส้นโค้ง \beta \right]$ ถูกกำหนดโดยสมการ $\rho =\rho \left(\phi \right)$ ในพิกัดเชิงขั้ว จากนั้นความยาวของส่วนโค้งจะคำนวณโดยใช้ OR $L=\int \limits _ (\alpha )^ (\beta )\sqrt(\rho ^(2) \left(\phi \right)+\rho "^(2) \left(\phi \right)) \cdot d\phi $

ถ้าเส้นโค้งในส่วน $\left$ ถูกกำหนดโดยสมการ $y=y\left(x\right)$ ความยาวของส่วนโค้งจะคำนวณโดยใช้ OR $L=\int \limits _(a) ^(b)\sqrt(1 +y"^(2) \left(x\right)) \cdot dx $

ถ้าในส่วน $\left[\alpha ,\; \beta \right]$ เส้นโค้งจะได้รับพาราเมตริก เช่น $x=x\left(t\right)$, $y=y\left(t\right)$ จากนั้นความยาวของส่วนโค้งจะคำนวณโดยใช้ OR $L=\ int \limits _(\alpha )^(\beta )\sqrt(x"^(2) \left(t\right)+y"^(2) \left(t\right)) \cdot dt $

การคำนวณปริมาตรของร่างกายจากพื้นที่ของส่วนขนาน

จำเป็นต้องหาปริมาตรของวัตถุเชิงพื้นที่ที่มีพิกัดจุดตรงตามเงื่อนไข $a\le x\le b$ และพื้นที่หน้าตัด $S\left(x\right)$ โดยระนาบที่ตั้งฉากกับ รู้จักแกน $Ox$

สูตรคำนวณปริมาตรของวัตถุดังกล่าวคือ $V=\int \limits _(a)^(b)S\left(x\right)\cdot dx $

ปริมาณของการปฏิวัติ

ให้ฟังก์ชันต่อเนื่องที่ไม่ใช่ค่าลบ $y=y\left(x\right)$ ถูกกำหนดในส่วน $\left$ โดยสร้างเป็นเส้นโค้งสี่เหลี่ยมคางหมู (KrT) ถ้าเราหมุน CRT นี้รอบแกน $Ox$ ร่างกายจะถูกสร้างขึ้นเรียกว่าร่างกายของการปฏิวัติ

การคำนวณปริมาตรของร่างกายของการปฏิวัติเป็นกรณีพิเศษของการคำนวณปริมาตรของร่างกายจาก จัตุรัสที่มีชื่อเสียงส่วนที่ขนานกัน สูตรที่เกี่ยวข้องคือ $V=\int \limits _(a)^(b)S\left(x\right)\cdot dx =\pi \cdot \int \limits _(a)^(b)y^( 2) \left(x\right)\cdot dx$

ให้รูประนาบในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียน $xOy$ ล้อมรอบด้วยเส้นโค้ง $y=y_(1) \left(x\right)$ จากด้านล่าง $y=y_(2) \left (x\right)$ โดยที่ $y_(1) \left(x\right)$ และ $y_(2) \left(x\right)$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ไม่ใช่ค่าลบ และเส้นแนวตั้ง $x=a$ และ $x= b$ ตามลำดับ จากนั้นปริมาตรของร่างกายที่เกิดขึ้นจากการหมุนของตัวเลขนี้รอบแกน $Ox$ แสดงโดย OR $V=\pi \cdot \int \limits _(a)^(b)\left(y_(1) ^(2) \left(x \right)-y_(2)^(2) \left(x\right)\right)\cdot dx $

ให้รูประนาบในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียน $xOy$ ล้อมรอบทางขวาด้วยเส้นโค้ง $x=x_(1) \left(y\right)$ ทางซ้าย - โดยเส้นโค้ง $x=x_(2 ) \left(y\right)$ โดยที่ $x_(1) \left(y\right)$ และ $x_(2) \left(y\right)$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ไม่ใช่ค่าลบ และเส้นแนวนอน $y =c$ และ $y= d$ ตามลำดับ จากนั้นปริมาตรของร่างกายที่เกิดขึ้นจากการหมุนของตัวเลขนี้รอบแกน $Oy$ จะแสดงโดย OI $V=\pi \cdot \int \limits _(c)^(d)\left(x_(1) ^(2) \left(y \right)-x_(2)^(2) \left(y\right)\right)\cdot dy $

พื้นที่ผิวของร่างกายของการปฏิวัติ

ให้ฟังก์ชันที่ไม่ใช่ค่าลบ $y=y\left(x\right)$ ที่มีอนุพันธ์ $y"\left(x\right)$ ต่อเนื่อง ถูกกำหนดในส่วน $\left$ ฟังก์ชันนี้สร้าง KrT ถ้า เราหมุน KrT นี้รอบแกน $Ox $ จากนั้นตัวมันเองจะก่อตัวเป็นร่างของการปฏิวัติและส่วนโค้ง KrT เป็นพื้นผิวของมัน พื้นที่ผิวของวัตถุของการปฏิวัตินั้นแสดงโดยสูตร $Q=2\cdot \pi \cdot \int \limits _(a)^(b)y\left( x\right)\cdot \sqrt(1+y"^(2) \left(x\right)) \cdot dx $

สมมติว่าเส้นโค้ง $x=\phi \left(y\right)$ โดยที่ $\phi \left(y\right)$ เป็นฟังก์ชันที่ไม่ใช่ค่าลบที่กำหนดในส่วน $c\le y\le d$ จะหมุนรอบแกน $Oy$ ในกรณีนี้ พื้นที่ผิวของตัวการปฏิวัติที่เกิดขึ้นจะแสดงเป็น OR $Q=2\cdot \pi \cdot \int \limits _(c)^(d)\phi \left(y\right) \cdot \sqrt(1+\phi "^(2) \left(y\right)) \cdot dy $

การประยุกต์ใช้ทางกายภาพของ OI

1. ในการคำนวณระยะทางที่เดินทาง ณ เวลา $t=T$ ด้วยความเร็วตัวแปร $v=v\left(t\right)$ ของจุดที่เริ่มเคลื่อนที่ ณ เวลา $t=t_(0) $ ให้ใช้ OR $ S =\int \จำกัด _(t_(0) )^(T)v\left(t\right)\cdot dt $
2. ในการคำนวณการทำงานของตัวแปรบังคับ $F=F\left(x\right)$ ที่นำไปใช้ จุดวัสดุย้ายไป เส้นทางตรงตามแกน $Ox$ จากจุด $x=a$ ไปยังจุด $x=b$ (ทิศทางของแรงตรงกับทิศทางการเคลื่อนที่) ใช้คำสั่ง OR $A=\int \limits _(a)^ (b)F\left(x \right)\cdot dx $
3. ช่วงเวลาที่คงที่เมื่อเทียบกับ แกนพิกัดเส้นโค้งของวัสดุ $y=y\left(x\right)$ ในช่วง $\left$ แสดงโดยสูตร $M_(x) =\rho \cdot \int \limits _(a)^(b)y\ ซ้าย(x\ ขวา)\cdot \sqrt(1+y"^(2) \left(x\right)) \cdot dx $ และ $M_(y) =\rho \cdot \int \limits _(a) ^(b) x\cdot \sqrt(1+y"^(2) \left(x\right)) \cdot dx $ โดยที่ความหนาแน่นเชิงเส้น $\rho $ ของเส้นโค้งนี้จะถือว่าคงที่
4. จุดศูนย์กลางมวลของเส้นโค้งของวัสดุคือจุดที่มวลทั้งหมดของมันถูกรวมเข้าด้วยกันอย่างมีเงื่อนไขในลักษณะที่โมเมนต์คงที่ของจุดที่สัมพันธ์กับแกนพิกัดเท่ากับโมเมนต์คงที่ที่สอดคล้องกันของเส้นโค้งทั้งหมดโดยรวม

สูตรสำหรับการคำนวณพิกัดของจุดศูนย์กลางมวลของเส้นโค้งระนาบคือ $x_(C) =\frac(\int \limits _(a)^(b)x\cdot \sqrt(1+y"^(2 ) \left(x\ right)) \cdot dx )(\int \limits _(a)^(b)\sqrt(1+y"^(2) \left(x\right)) \cdot dx ) $ และ $y_(C) =\frac(\int \limits _(a)^(b)y\left(x\right)\cdot \sqrt(1+y"^(2) \left(x\right) ) \cdot dx )( \int \จำกัด _(a)^(b)\sqrt(1+y"^(2) \left(x\right)) \cdot dx ) $

5. ช่วงเวลาคงที่ของวัสดุ รูปแบนในรูปแบบของ КрТ ที่เกี่ยวกับแกนพิกัดจะแสดงโดยสูตร $M_(x) =\frac(1)(2) \cdot \rho \cdot \int \limits _(a)^(b)y^ (2) \left(x\ right)\cdot dx $ และ $M_(y) =\rho \cdot \int \limits _(a)^(b)x\cdot y\left(x\right)\cdot dx $
6. พิกัดของจุดศูนย์กลางมวลของวัตถุทรงแบนในรูปของ KrT ซึ่งเกิดจากเส้นโค้ง $y=y\left(x\right)$ ในช่วง $\left$ คำนวณโดยสูตร $x_( C) =\frac(\int \จำกัด _(a )^(b)x\cdot y\left(x\right)\cdot dx )(\int \จำกัด _(a)^(b)y\left( x\right)\cdot dx ) $ และ $y_( C) =\frac(\frac(1)(2) \cdot \int \limits _(a)^(b)y^(2) \left(x \right)\cdot dx )(\int \จำกัด _ (a)^(b)y\left(x\right)\cdot dx ) $

การบรรยาย 8. การประยุกต์ของปริพันธ์ที่แน่นอน

การประยุกต์ใช้อินทิกรัลกับ งานทางกายภาพขึ้นอยู่กับคุณสมบัติการบวกของอินทิกรัลเหนือเซต ดังนั้นด้วยความช่วยเหลือของอินทิกรัลจึงสามารถคำนวณปริมาณดังกล่าวซึ่งเป็นสารเติมแต่งในชุดได้ ตัวอย่างเช่น พื้นที่ของรูปเท่ากับผลรวมของพื้นที่ของส่วนต่าง ๆ ความยาวของส่วนโค้ง พื้นที่ผิว ปริมาตรของวัตถุ และมวลของวัตถุ มีคุณสมบัติเหมือนกัน ดังนั้นปริมาณทั้งหมดเหล่านี้สามารถคำนวณได้โดยใช้อินทิกรัลที่แน่นอน

มีสองวิธีในการแก้ปัญหา: วิธีผลบวกรวมและวิธีหาอนุพันธ์

วิธีการของผลรวมแบบอินทิกรัลทำซ้ำการสร้างอินทิกรัลที่แน่นอน: มีการสร้างพาร์ติชัน, จุดถูกทำเครื่องหมาย, ฟังก์ชันถูกคำนวณในพวกมัน, คำนวณผลรวมแบบอินทิกรัล, และดำเนินการผ่านไปยังขีด จำกัด ในวิธีนี้ปัญหาหลักคือการพิสูจน์ว่าในขอบเขตนั้นจะได้รับสิ่งที่จำเป็นในปัญหาอย่างแน่นอน

วิธีดิฟเฟอเรนเชียลใช้อินทิกรัลไม่จำกัดและสูตรนิวตัน-ไลบ์นิซ ส่วนต่างของค่าที่จะกำหนดจะถูกคำนวณ จากนั้นเมื่อรวมส่วนต่างนี้เข้าด้วยกัน จะได้ค่าที่ต้องการโดยใช้สูตรนิวตัน-ไลบ์นิซ ในวิธีนี้ ความยากหลักคือการพิสูจน์ว่าเป็นส่วนต่างของค่าที่ต้องการที่คำนวณ ไม่ใช่อย่างอื่น

การคำนวณพื้นที่ของรูปทรงระนาบ

1. ตัวเลขนี้จำกัดเฉพาะกราฟของฟังก์ชันที่ระบุใน ระบบคาร์ทีเซียนพิกัด.

เรามาถึงแนวคิดของอินทิกรัลที่แน่นอนจากปัญหาของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูแบบโค้ง (อันที่จริงใช้วิธีผลรวมอินทิกรัล) หากฟังก์ชั่นยอมรับเท่านั้น ค่าลบจากนั้นพื้นที่ใต้กราฟของฟังก์ชันในส่วนสามารถคำนวณได้โดยใช้อินทิกรัลที่แน่นอน สังเกตว่า คุณสามารถดูวิธีการหาส่วนต่างได้ที่นี่

แต่ฟังก์ชั่นยังสามารถรับค่าลบในบางส่วนจากนั้นอินทิกรัลในส่วนนี้จะให้พื้นที่เชิงลบซึ่งขัดแย้งกับคำจำกัดความของพื้นที่

คุณสามารถคำนวณพื้นที่โดยใช้สูตรส=. นี่เทียบเท่ากับการเปลี่ยนเครื่องหมายของฟังก์ชันในพื้นที่ซึ่งรับค่าลบ

หากคุณต้องการคำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยกราฟของฟังก์ชันจากด้านบนและจากด้านล่างโดยกราฟของฟังก์ชัน คุณสามารถใช้สูตรส= , เพราะ .

ตัวอย่าง. คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้นตรง x=0, x=2 และกราฟของฟังก์ชัน y=x 2 , y=x 3 .

โปรดทราบว่าในช่วง (0,1) สมการอสมการ x 2 > x 3 และสำหรับ x >1 สมการอสมการ x 3 > x 2 นั่นเป็นเหตุผล

2. รูปนี้จำกัดเฉพาะกราฟของฟังก์ชันที่กำหนดในระบบพิกัดเชิงขั้ว

ให้กราฟของฟังก์ชันได้รับในระบบพิกัดเชิงขั้วและเราต้องการคำนวณพื้นที่ของส่วนโค้งที่ล้อมรอบด้วยรังสีสองเส้นและกราฟของฟังก์ชันในระบบพิกัดเชิงขั้ว

ที่นี่คุณสามารถใช้วิธีการหาผลรวมรวมคำนวณพื้นที่ของเซกเตอร์โค้งเป็นขีด จำกัด ของผลรวมของพื้นที่ของเซกเตอร์พื้นฐานซึ่งกราฟของฟังก์ชันถูกแทนที่ด้วยส่วนโค้งของวงกลม .

คุณยังสามารถใช้วิธีดิฟเฟอเรนเชียล: .

คุณสามารถให้เหตุผลเช่นนี้ แทนที่ส่วนโค้งพื้นฐานที่สอดคล้องกับ มุมกลางภาควงกลม เรามีสัดส่วน . จากที่นี่ . เราได้บูรณาการและใช้สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซ .

ตัวอย่าง. คำนวณพื้นที่วงกลม (ตรวจสอบสูตร) พวกเราเชื่อว่า . พื้นที่ของวงกลมคือ .

ตัวอย่าง. คำนวณพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วย cardioid .

3 ตัวเลขนี้จำกัดเฉพาะกราฟของฟังก์ชันที่ระบุในรูปแบบพาราเมตริก

สามารถระบุฟังก์ชันในรูปแบบพาราเมตริกได้ เราใช้สูตร ส= แทนที่ขีดจำกัดของการรวมเข้ากับตัวแปรใหม่ . โดยปกติแล้ว เมื่อคำนวณอินทิกรัล พื้นที่เหล่านั้นจะถูกแยกแยะโดยที่อินทิกรัลมีเครื่องหมายเฉพาะและคำนึงถึงพื้นที่ที่สอดคล้องกันซึ่งมีเครื่องหมายเดียวหรืออีกเครื่องหมายหนึ่ง

ตัวอย่าง. คำนวณพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยวงรี

คำนวณพื้นที่หนึ่งในสี่ของวงรีโดยใช้สมมาตรของวงรีซึ่งอยู่ในควอดแดรนต์แรก ในจตุภาคนี้ นั่นเป็นเหตุผล

การคำนวณปริมาตรของร่างกาย

1. การคำนวณปริมาตรของร่างกายจากพื้นที่ของส่วนขนาน

ให้คำนวณปริมาตรของร่างกาย V จากพื้นที่ที่ทราบของส่วนต่างๆ ของร่างกายนี้ด้วยระนาบที่ตั้งฉากกับเส้น OX ที่ลากผ่านจุด x ใดๆ ของส่วนของเส้นตรง OX

เราใช้วิธีการของความแตกต่าง พิจารณาปริมาตรมูลฐาน เหนือส่วนเป็นปริมาตรของทรงกระบอกกลมด้านขวาที่มีพื้นที่ฐานและความสูง เราได้รับ . เราได้บูรณาการและใช้สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซ

2. การคำนวณปริมาตรของร่างกายของการปฏิวัติ

ให้มันจำเป็นต้องคำนวณ วัว.

แล้ว .

เช่นเดียวกัน, ปริมาตรของวัตถุที่หมุนรอบแกนเอ๋ยหากกำหนดฟังก์ชันไว้ในรูป สามารถคำนวณโดยใช้สูตร

หากฟังก์ชันได้รับในรูปแบบและจำเป็นต้องกำหนดปริมาตรของวัตถุของการปฏิวัติรอบแกนเอ๋ยก็จะได้สูตรคำนวณหาปริมาตรดังนี้

เรามีความแตกต่างและละเลยเงื่อนไขกำลังสอง . การรวมและใช้สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซ เรามี

ตัวอย่าง. คำนวณปริมาตรของทรงกลม

ตัวอย่าง. คำนวณปริมาตรของกรวยกลมด้านขวาที่มีพื้นผิวและระนาบล้อมรอบ

คำนวณปริมาตรเป็นปริมาตรของการหมุนรอบแกน OZ สามเหลี่ยมมุมฉากในระนาบ OXZ ซึ่งมีขาอยู่บนแกน OZ และเส้น z \u003d H และด้านตรงข้ามมุมฉากอยู่บนเส้น

แสดง x ในรูปของ z เราจะได้ .

การคำนวณความยาวส่วนโค้ง

เพื่อให้ได้สูตรสำหรับคำนวณความยาวของส่วนโค้ง ให้เราจำสูตรสำหรับส่วนต่างของความยาวของส่วนโค้งที่ได้มาในภาคการศึกษาที่ 1

ถ้าส่วนโค้งเป็นกราฟของฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่อง, ความแตกต่างของความยาวส่วนโค้งสามารถคำนวณได้จากสูตร

. นั่นเป็นเหตุผล

หากระบุส่วนโค้งเรียบแบบพาราเมตริก, แล้ว

. นั่นเป็นเหตุผล .

ถ้าส่วนโค้งอยู่ในพิกัดเชิงขั้ว, แล้ว

. นั่นเป็นเหตุผล .

ตัวอย่าง. คำนวณความยาวส่วนโค้งของกราฟฟังก์ชัน .

หน้าแรก > การบรรยาย

บทบรรยาย 18. การประยุกต์ใช้อินทิกรัลที่แน่นอน

18.1. การคำนวณพื้นที่ของรูปทรงระนาบ

เป็นที่ทราบกันว่าอินทิกรัลที่แน่นอนในส่วนคือพื้นที่ของเส้นโค้งสี่เหลี่ยมคางหมูที่ล้อมรอบด้วยกราฟของฟังก์ชัน f(x) หากกราฟอยู่ใต้แกน x เช่น ฉ(x)< 0, то площадь имеет знак “-“, если график расположен выше оси Ох, т.е. f(x) >0 พื้นที่นั้นจะมีเครื่องหมาย “+”

สูตรนี้ใช้ในการหาพื้นที่ทั้งหมด

พื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้นบางเส้นสามารถพบได้โดยใช้อินทิกรัลบางตัวหากทราบสมการของเส้นเหล่านี้

ตัวอย่าง.ค้นหาพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น y \u003d x, y \u003d x 2, x \u003d 2

พื้นที่ที่ต้องการ (แรเงาในรูป) สามารถดูได้จากสูตร:

18.2. การหาพื้นที่ของส่วนโค้ง

ในการค้นหาพื้นที่ของส่วนโค้ง เราแนะนำระบบพิกัดเชิงขั้ว สมการของเส้นโค้งที่ล้อมรอบเซกเตอร์ในระบบพิกัดนี้มีรูปแบบ  = f() โดยที่  คือความยาวของเวกเตอร์รัศมีที่เชื่อมต่อเสากับ จุดโดยพลการเส้นโค้ง และ  - มุมเอียงของเวกเตอร์รัศมีนี้ไปยังแกนขั้วโลก

พื้นที่ของเซกเตอร์โค้งสามารถหาได้จากสูตร

18.3. การคำนวณความยาวส่วนโค้งของเส้นโค้ง

y y = ฉ(x)

S ฉัน y ฉัน

สามารถหาความยาวของเส้นที่สอดคล้องกับส่วนโค้งได้ดังนี้
.

แล้วความยาวของส่วนโค้งคือ
.

จาก การพิจารณาทางเรขาคณิต:

ในเวลาเดียวกัน

ก็แสดงว่าได้

เหล่านั้น.

หากสมการของเส้นโค้งถูกกำหนดโดยพาราเมตริก เมื่อคำนึงถึงกฎสำหรับการคำนวณอนุพันธ์ของอนุพันธ์ที่กำหนดโดยพาราเมตริก เราจะได้รับ

,

โดยที่ x = (t) และ y = (t)

ถ้าตั้ง เส้นโค้งเชิงพื้นที่และ x = (t), y = (t) และ z = Z(t) แล้ว

หากกำหนดเส้นโค้งเป็น พิกัดเชิงขั้ว, แล้ว

,  = ฉ().

ตัวอย่าง:หาเส้นรอบวงที่กำหนดโดยสมการ x 2 + y 2 = r 2

1 วิธีให้เราแสดงตัวแปร y จากสมการ

ลองหาอนุพันธ์กัน

จากนั้น S = 2r เราได้สูตรที่รู้จักกันดีสำหรับเส้นรอบวงของวงกลม

2 ทางถ้าเราแทนสมการที่กำหนดในระบบพิกัดเชิงขั้ว เราจะได้: r 2 cos 2  + r 2 sin 2  = r 2 นั่นคือ ฟังก์ชัน  = f() = r,
แล้ว

18.4. การคำนวณปริมาตรของร่างกาย

การคำนวณปริมาตรของร่างกายจากพื้นที่ที่ทราบของส่วนที่ขนานกัน

ปล่อยให้มีเนื้อหาของปริมาตร V พื้นที่ของส่วนตัดขวางของร่างกาย Q เรียกว่าฟังก์ชันต่อเนื่อง Q = Q(x) มาแบ่งร่างกายออกเป็น "เลเยอร์" โดยส่วนตัดผ่านจุด x ผม ของการแบ่งส่วน . เพราะ ฟังก์ชัน Q(x) ต่อเนื่องกับส่วนตรงกลางของพาร์ติชัน จากนั้นจะใช้ในส่วนที่ใหญ่ที่สุดและ ค่าที่น้อยที่สุด. มากำหนดพวกเขาตาม M i และ m i .

หากในส่วนที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดในการสร้างกระบอกสูบที่มีเครื่องกำเนิดไฟฟ้าขนานกับแกน x ปริมาตรของกระบอกสูบเหล่านี้จะเท่ากับ M i x i และ m i x i ที่นี่ x i = x i - x i -1 .

หลังจากสร้างโครงสร้างดังกล่าวสำหรับทุกส่วนของพาร์ติชันแล้ว เราได้กระบอกสูบที่มีปริมาตรตามลำดับ
และ
.

เนื่องจากขั้นตอนของพาร์ติชัน  มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์ ผลรวมเหล่านี้จึงมีขีดจำกัดร่วมกัน:

ดังนั้นปริมาตรของร่างกายสามารถหาได้จากสูตร:

ข้อเสียของสูตรนี้คือในการหาปริมาตร จำเป็นต้องรู้ฟังก์ชัน Q(x) ซึ่งเป็นปัญหามากสำหรับเนื้อหาที่ซับซ้อน

ตัวอย่าง:หาปริมาตรของทรงกลมรัศมี R

ที่ ภาพตัดขวางได้รับลูกบอลวงกลมรัศมีตัวแปร y ขึ้นอยู่กับพิกัด x ปัจจุบัน รัศมีนี้แสดงโดยสูตร
.

จากนั้นฟังก์ชันพื้นที่หน้าตัดจะมีรูปแบบ: Q(x) =

เราได้ปริมาตรของลูกบอล:

ตัวอย่าง:ค้นหาปริมาตรของพีระมิดโดยพลการที่มีความสูง H และพื้นที่ฐาน S

เมื่อข้ามพีระมิดด้วยระนาบที่ตั้งฉากกับความสูง ในส่วนนี้ เราจะได้ตัวเลขที่คล้ายกับฐาน ค่าสัมประสิทธิ์ความคล้ายคลึงกันของตัวเลขเหล่านี้เท่ากับอัตราส่วน x / H โดยที่ x คือระยะทางจากระนาบส่วนถึงยอดพีระมิด

จากรูปทรงเรขาคณิตเป็นที่รู้กันว่าอัตราส่วนของพื้นที่ของตัวเลขที่คล้ายกันนั้นเท่ากับค่าสัมประสิทธิ์ของความคล้ายคลึงกันกำลังสอง นั่นคือ

จากที่นี่เราได้ฟังก์ชันของพื้นที่หน้าตัด:

การหาปริมาตรของพีระมิด:

18.5 ปริมาณของร่างกายของการปฏิวัติ

พิจารณาเส้นโค้งที่กำหนดโดยสมการ y = f(x) ให้เราถือว่าฟังก์ชัน f(x) ต่อเนื่องในส่วนของ หากสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่สอดคล้องกับฐาน a และ b หมุนรอบแกน Ox เราจะได้สิ่งที่เรียกว่า ร่างกายของการปฏิวัติ.

เพราะ แต่ละส่วนของร่างกายโดยระนาบ x = const เป็นวงกลมรัศมี จากนั้นสามารถหาปริมาตรของร่างกายของการปฏิวัติได้อย่างง่ายดายโดยใช้สูตรที่ได้รับด้านบน:

18.6. พื้นที่ผิวของร่างกายของการปฏิวัติ

เอ็ม ไอ บี

คำนิยาม: พื้นที่ผิวของการหมุนเส้นโค้ง AB รอบแกนที่กำหนดคือขีดจำกัดที่พื้นที่ของพื้นผิวของการหมุนของเส้นหักซึ่งระบุไว้ในเส้นโค้ง AB มักจะเป็น เมื่อความยาวที่ใหญ่ที่สุดของการเชื่อมโยงของเส้นหักเหล่านี้มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์

ลองแบ่งส่วนโค้ง AB ออกเป็น n ส่วนโดยจุด M 0 , M 1 , M 2 , … , M n . จุดยอดของเส้นผลลัพธ์มีพิกัด x i และ y i เมื่อหมุนเส้นหักรอบแกนเราจะได้พื้นผิวที่ประกอบด้วยพื้นผิวด้านข้างของกรวยที่ถูกตัดออกซึ่งมีพื้นที่เท่ากับ P ผม . พื้นที่นี้สามารถพบได้โดยใช้สูตร:

โดยที่ S i คือความยาวของคอร์ดแต่ละคอร์ด

เราใช้ทฤษฎีบทของลากรองจ์ (เปรียบเทียบ ทฤษฎีบทของลากรองจ์) กับความสัมพันธ์
.

กระทรวงศึกษาธิการและวิทยาศาสตร์แห่งสหพันธรัฐรัสเซีย

สถาบันการศึกษาในกำกับของรัฐของรัฐบาลกลาง

การศึกษาวิชาชีพที่สูงขึ้น

"เหนือ (อาร์กติก) มหาวิทยาลัยรัฐบาลกลางตั้งชื่อตามเอ็ม.วี. โลโมโนซอฟ"

ภาควิชาคณิตศาสตร์

งานหลักสูตร

โดยสาขาวิชาคณิตศาสตร์

Pyatysheva Anastasia Andreevna

หัวหน้างาน

ศิลปะ. ครู

Borodkina T. A.

อาร์คันเกลสค์ 2014

งานสำหรับงานหลักสูตร

การประยุกต์ของอินทิกรัลที่แน่นอน

ข้อมูลเริ่มต้น:

21. y=x 3 , y= ; 22.

การแนะนำ

ในหลักสูตรนี้ ฉันมีงานต่อไปนี้: เพื่อคำนวณพื้นที่ของตัวเลขที่ล้อมรอบด้วยกราฟฟังก์ชัน จำกัดด้วยเส้นที่กำหนดโดยสมการ ล้อมรอบด้วยเส้นที่กำหนดโดยสมการในพิกัดเชิงขั้ว คำนวณความยาวส่วนโค้งของเส้นโค้ง กำหนดโดยสมการในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมที่กำหนดโดยสมการพาราเมตริก กำหนดโดยสมการในพิกัดเชิงขั้ว ตลอดจนคำนวณปริมาตรของวัตถุที่ล้อมรอบด้วยพื้นผิว ล้อมรอบด้วยกราฟของฟังก์ชัน และเกิดขึ้นจากการหมุนของตัวเลขที่ล้อมรอบด้วยกราฟของฟังก์ชันรอบๆ แกนขั้วโลก ฉันเลือกภาคนิพนธ์ในหัวข้อ “อินทิกรัลที่แน่นอน ในเรื่องนี้ ฉันตัดสินใจที่จะค้นหาว่าคุณสามารถใช้การคำนวณแบบอินทิกรัลได้ง่ายและรวดเร็วเพียงใด และคุณสามารถคำนวณงานที่มอบหมายให้ฉันได้แม่นยำเพียงใด

อินทิกรัลเป็นหนึ่งในแนวคิดที่สำคัญที่สุดของคณิตศาสตร์ที่เกิดขึ้นจากความต้องการในแง่หนึ่ง เพื่อค้นหาฟังก์ชันจากอนุพันธ์ของมัน (ตัวอย่างเช่น เพื่อค้นหาฟังก์ชันที่แสดงเส้นทางที่เดินทางโดยจุดเคลื่อนที่ ตาม ความเร็วของจุดนี้) และในทางกลับกัน ใช้วัดพื้นที่ ปริมาตร ความยาวส่วนโค้ง การทำงานของแรงในช่วงระยะเวลาหนึ่ง เป็นต้น

การเปิดเผยหัวข้อ ภาคนิพนธ์ฉันทำตามแผนต่อไปนี้: คำจำกัดความของอินทิกรัลที่แน่นอนและคุณสมบัติของมัน ความยาวส่วนโค้ง; พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง พื้นที่ผิวของการหมุน

สำหรับฟังก์ชัน f(x) ต่อเนื่องใดๆ ในส่วนนี้ จะมีแอนติเดริเวทีฟอยู่ในส่วนนี้ ซึ่งหมายความว่ามีอินทิกรัลที่ไม่แน่นอน

ถ้าฟังก์ชัน F(x) เป็นแอนติเดริเวทีฟของ ฟังก์ชันต่อเนื่อง f(x) นิพจน์นี้เรียกว่าสูตรนิวตัน-ไลบ์นิซ:

คุณสมบัติหลักของอินทิกรัลที่แน่นอน:

หากขีดจำกัดล่างและบนของการรวมเท่ากัน (a=b) ดังนั้นอินทิกรัลจะเท่ากับศูนย์:

ถ้า f(x)=1 แล้ว:

เมื่อจัดเรียงลิมิตของการอินทิกรัลใหม่ ค่าอินทิกรัลที่แน่นอนจะเปลี่ยนไปในทางตรงกันข้าม:

สามารถนำปัจจัยคงที่ออกจากเครื่องหมายของอินทิกรัลที่แน่นอนได้:

หากฟังก์ชันสามารถอินทิกรัลได้ ผลรวมของฟังก์ชันนั้นจะเป็นอินทิกรัลและอินทิกรัลของผลรวม เท่ากับผลรวมปริพันธ์:

นอกจากนี้ยังมีวิธีการรวมพื้นฐาน เช่น การเปลี่ยนแปลงของตัวแปร:

การแก้ไขส่วนต่าง:

สูตรการรวมโดยส่วนทำให้สามารถลดการคำนวณของอินทิกรัลเป็นการคำนวณของอินทิกรัลซึ่งอาจง่ายกว่า:

ความรู้สึกทางเรขาคณิตของอินทิกรัลที่แน่นอนคือสำหรับฟังก์ชันที่ต่อเนื่องและไม่เป็นลบ มันอยู่ในความรู้สึกทางเรขาคณิตของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่สอดคล้องกัน

นอกจากนี้ เมื่อใช้อินทิกรัลที่แน่นอน คุณสามารถค้นหาพื้นที่ของพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้ง เส้นตรง และที่

ถ้าสี่เหลี่ยมคางหมูที่เป็นเส้นโค้งถูกล้อมรอบด้วยเส้นโค้งที่กำหนดโดยพาราเมตริกโดยเส้นตรง x = a และ x = b และแกน Ox ดังนั้นสูตรจะพบพื้นที่ของมัน ซึ่งคำนวณจากความเท่าเทียมกัน:

. (12)

พื้นที่หลักซึ่งเป็นพื้นที่ที่พบได้โดยใช้อินทิกรัลคือส่วนโค้ง นี่คือพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยรังสีสองเส้นและเส้นโค้ง โดยที่ r และ เป็นพิกัดเชิงขั้ว:

หากเส้นโค้งเป็นกราฟของฟังก์ชันโดยที่และฟังก์ชันของอนุพันธ์ต่อเนื่องในส่วนนี้ พื้นที่ผิวของรูปที่เกิดจากการหมุนของเส้นโค้งรอบแกน Ox สามารถคำนวณได้โดยสูตร:

. (14)

ถ้าฟังก์ชันและอนุพันธ์ของฟังก์ชันนั้นต่อเนื่องกันในเซ็กเมนต์ เส้นโค้งจะมีความยาวเท่ากับ:

ถ้ากำหนดสมการเส้นโค้งในรูปพาราเมตริก

โดยที่ x(t) และ y(t) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่มีอนุพันธ์ต่อเนื่อง แล้วหาความยาวของเส้นโค้งได้จากสูตร:

ถ้าเส้นโค้งถูกกำหนดโดยสมการในพิกัดเชิงขั้ว โดยที่และต่อเนื่องบนส่วนนั้น ความยาวของส่วนโค้งสามารถคำนวณได้ดังนี้:

หากสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งหมุนรอบแกน Ox ซึ่งล้อมรอบด้วยส่วนของเส้นต่อเนื่องและเส้นตรง x \u003d a และ x \u003d b ปริมาตรของร่างกายที่เกิดจากการหมุนของสี่เหลี่ยมคางหมูรอบแกน Ox จะเท่ากับ :

ถ้าสี่เหลี่ยมคางหมูเชิงเส้นโค้งล้อมรอบด้วยกราฟของฟังก์ชันต่อเนื่องและเส้น x = 0, y = c, y = d (c< d), то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Oy, будет равен:

หากตัวเลขล้อมรอบด้วยเส้นโค้งและ ("สูง" กว่าเส้นตรง x = a, x = b ดังนั้นปริมาตรของวัตถุที่หมุนรอบแกนวัวจะเท่ากับ:

และรอบแกน y (:

หากส่วนโค้งหมุนรอบแกนขั้วโลกสูตรจะพบพื้นที่ของร่างกายผลลัพธ์:

2. การแก้ปัญหา

งาน 14: คำนวณพื้นที่ของตัวเลขที่ล้อมรอบด้วยกราฟฟังก์ชัน:

1) วิธีแก้ไข:

รูปที่ 1 - กราฟของฟังก์ชัน

X เปลี่ยนจาก 0 เป็น

x 1 = -1 และ x 2 = 2 - ขีดจำกัดการรวม (ดูได้จากรูปที่ 1)

3) คำนวณพื้นที่ของรูปโดยใช้สูตร (10)

ตอบ ส = .

งาน 15: คำนวณพื้นที่ของตัวเลขที่ล้อมรอบด้วยเส้นที่กำหนดโดยสมการ:

1) วิธีแก้ไข:

รูปที่ 2 - กราฟของฟังก์ชัน

พิจารณาฟังก์ชันในช่วงเวลา

รูปที่ 3 - ตารางตัวแปรสำหรับฟังก์ชัน

ตั้งแต่นั้นมา 1 ส่วนโค้งจะพอดีกับช่วงเวลานี้ ส่วนโค้งนี้ประกอบด้วยส่วนกลาง (S 1) และส่วนด้านข้าง ส่วนกลางประกอบด้วยส่วนที่ต้องการและสี่เหลี่ยมผืนผ้า (Spr): ลองคำนวณพื้นที่ของส่วนกลางส่วนโค้ง

2) ค้นหาขีด จำกัด ของการรวม

และ y = 6 ดังนั้น

สำหรับช่วงเวลา ขีดจำกัดของการรวม

3) ค้นหาพื้นที่ของรูปโดยใช้สูตร (12)

สี่เหลี่ยมคางหมูอินทิกรัลโค้ง

ปัญหาที่ 16: คำนวณพื้นที่ของตัวเลขที่ล้อมรอบด้วยเส้นที่กำหนดโดยสมการในพิกัดเชิงขั้ว:

1) วิธีแก้ไข:

รูปที่ 4 - กราฟของฟังก์ชัน

รูปที่ 5 - ตารางของฟังก์ชันตัวแปร

2) ค้นหาขีด จำกัด ของการรวม

เพราะเหตุนี้ -

3) ค้นหาพื้นที่ของรูปโดยใช้สูตร (13)

ตอบ ส=.

งาน 17: คำนวณความยาวของส่วนโค้งที่กำหนดโดยสมการในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม:

1) วิธีแก้ไข:

รูปที่ 6 - กราฟของฟังก์ชัน

รูปที่ 7 - ตารางของตัวแปรฟังก์ชัน

2) ค้นหาขีด จำกัด ของการรวม

แตกต่างกันไปจาก ln ถึง ln ซึ่งจะเห็นได้ชัดจากเงื่อนไข

3) ค้นหาความยาวส่วนโค้งโดยใช้สูตร (15)

ตอบ: ล =

ภารกิจที่ 18: คำนวณความยาวของส่วนโค้งที่กำหนดโดยสมการพาราเมตริก: 1)

1) วิธีแก้ไข:

รูปที่ 8- กราฟฟังก์ชัน

รูปที่ 11 - ตารางของตัวแปรฟังก์ชัน

2) ค้นหาขีด จำกัด ของการรวม

ts แตกต่างจากนี้ เห็นได้ชัดจากเงื่อนไข

ลองหาความยาวส่วนโค้งโดยใช้สูตร (17)

ภารกิจที่ 20: คำนวณปริมาตรของร่างกายที่ล้อมรอบด้วยพื้นผิว:

1) วิธีแก้ไข:

รูปที่ 12 - กราฟของฟังก์ชัน:

2) ค้นหาขีด จำกัด ของการรวม

Z เปลี่ยนจาก 0 เป็น 3

3) หาปริมาตรของรูปโดยใช้สูตร (18)

งาน 21: คำนวณปริมาตรของร่างกายที่ล้อมรอบด้วยกราฟฟังก์ชัน แกนหมุน Ox: 1)

1) วิธีแก้ไข:

รูปที่ 13 - กราฟของฟังก์ชัน

รูปที่ 15 - ตารางกราฟฟังก์ชัน

2) ค้นหาขีด จำกัด ของการรวม

จุด (0;0) และ (1;1) เป็นจุดร่วมสำหรับกราฟทั้งสอง ดังนั้น จุดเหล่านี้จึงเป็นขีดจำกัดของการรวม ซึ่งจะเห็นได้ชัดเจนในรูป

3) หาปริมาตรของรูปโดยใช้สูตร (20)

งาน 22: คำนวณพื้นที่ของร่างกายที่เกิดจากการหมุนของตัวเลขที่ล้อมรอบด้วยกราฟฟังก์ชันรอบแกนขั้วโลก:

1) วิธีแก้ไข:

รูปที่ 16 - กราฟของฟังก์ชัน

รูปที่ 17 - ตารางตัวแปรสำหรับกราฟของฟังก์ชัน

2) ค้นหาขีด จำกัด ของการรวม

ค เปลี่ยนจาก

3) ค้นหาพื้นที่ของรูปโดยใช้สูตร (22)

คำตอบ: 3.68

บทสรุป

ในขั้นตอนการจบหลักสูตรในหัวข้อ "อินทิกรัลที่แน่นอน" ฉันได้เรียนรู้วิธีการคำนวณพื้นที่ ร่างกายที่แตกต่างกันหาความยาวของส่วนโค้งต่างๆ และคำนวณปริมาตร การเป็นตัวแทนนี้เกี่ยวกับการทำงานกับปริพันธ์จะช่วยฉันในอนาคต กิจกรรมระดับมืออาชีพวิธีการดำเนินการอย่างรวดเร็วและมีประสิทธิภาพ กิจกรรมต่างๆ. ท้ายที่สุด อินทิกรัลเองเป็นหนึ่งในแนวคิดที่สำคัญที่สุดของคณิตศาสตร์ ซึ่งเกิดขึ้นจากความต้องการในแง่หนึ่ง เพื่อค้นหาฟังก์ชันจากอนุพันธ์ของพวกมัน (ตัวอย่างเช่น เพื่อค้นหาฟังก์ชันที่แสดงเส้นทางที่เดินทางโดยการเคลื่อนที่ ตามความเร็วของจุดนี้) และในทางกลับกัน ใช้วัดพื้นที่ ปริมาตร ความยาวส่วนโค้ง การทำงานของแรงในช่วงระยะเวลาหนึ่ง เป็นต้น

รายการแหล่งที่มาที่ใช้

1. เขียน D.T. บันทึกการบรรยายเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ระดับสูง: ตอนที่ 1 - 9th ed. - M.: Iris-press, 2008. - 288 p.

2. Bugrov, Ya.S. , Nikolsky, S.M. คณิตศาสตร์ที่สูงขึ้น ดิฟเฟอเรนเชียลและ อินทิกรัลแคลคูลัส: V.2 - M.: Drofa, 2547. - 512 น.

3. V. A. Zorich การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ส่วนที่ 1 - เอ็ด 4 - ม.: MTSNMO, 2545 - 664 น.

4. Kuznetsov D.A. "รวบรวมงานเพื่อ คณิตศาสตร์ที่สูงขึ้น» มอสโก 2526

5. Nikolsky S. N. "องค์ประกอบ การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์". - ม.: Nauka, 1981.

เอกสารที่คล้ายกัน

การคำนวณพื้นที่ของรูปทรงระนาบ การหาปริพันธ์ของฟังก์ชัน การกำหนดพื้นที่ใต้เส้นโค้ง, พื้นที่ของรูปที่ปิดอยู่ระหว่างเส้นโค้ง. การคำนวณปริมาตรของร่างกายของการปฏิวัติ ลิมิตของผลรวมอินทิกรัลของฟังก์ชัน การหาปริมาตรของทรงกระบอก

งานนำเสนอ เพิ่ม 09/18/2013


คุณสมบัติของการคำนวณปริมาตรของร่างกายที่ล้อมรอบด้วยพื้นผิวโดยใช้ความหมายทางเรขาคณิต อินทิกรัลสองเท่า. การกำหนดพื้นที่ของรูปทรงระนาบที่ล้อมรอบด้วยเส้นโดยใช้วิธีการบูรณาการในรายวิชาการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์

งานนำเสนอ เพิ่ม 09/17/2013


อนุพันธ์ของปริพันธ์แน่นอนที่เกี่ยวกับตัวแปร ขีด จำกัด บน. การคำนวณอินทิกรัลที่แน่นอนเป็นลิมิตของผลรวมอินทิกรัลตามสูตรนิวตัน-ไลบ์นิซ การเปลี่ยนแปลงของตัวแปรและการอินทิเกรตทีละส่วน ความยาวส่วนโค้งในพิกัดเชิงขั้ว

งานควบคุม เพิ่ม 08/22/2552


โมเมนต์และจุดศูนย์กลางมวลของเส้นโค้งระนาบ ทฤษฎีบทของกุลเดน พื้นที่ผิวที่เกิดจากการหมุนส่วนโค้งของเส้นโค้งระนาบรอบแกนที่อยู่ในระนาบของส่วนโค้งและไม่ตัดกัน จะเท่ากับผลคูณของความยาวของส่วนโค้งและความยาวของวงกลม

บรรยายเพิ่ม 09/04/2546


เทคนิคและขั้นตอนหลักของการค้นหาพารามิเตอร์: พื้นที่ของเส้นโค้งสี่เหลี่ยมคางหมูและเซกเตอร์, ความยาวของส่วนโค้งของเส้นโค้ง, ปริมาตรของวัตถุ, พื้นที่ผิวของวัตถุของการปฏิวัติ, การทำงานของตัวแปร บังคับ. ลำดับและกลไกในการคำนวณปริพันธ์โดยใช้แพ็คเกจ MathCAD

งานควบคุมเพิ่ม 11/21/2010


จำเป็นและ เงื่อนไขเพียงพอการมีอยู่ของอินทิกรัลที่แน่นอน การเท่ากันของอินทิกรัลแน่นอนของ ผลรวมเชิงพีชคณิต(ความแตกต่าง) ของสองฟังก์ชัน ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย - ข้อพิสูจน์และข้อพิสูจน์ ความหมายทางเรขาคณิตของอินทิกรัลที่แน่นอน

งานนำเสนอ เพิ่ม 09/18/2013


งาน การรวมตัวเลขฟังก์ชั่น. การคำนวณค่าโดยประมาณของอินทิกรัลที่แน่นอน การหาอินทิกรัลที่แน่นอนโดยใช้วิธีของสี่เหลี่ยม สี่เหลี่ยมตรงกลาง สี่เหลี่ยมคางหมู ข้อผิดพลาดของสูตรและการเปรียบเทียบวิธีการในด้านความถูกต้อง

คู่มือการฝึกอบรม เพิ่ม 07/01/2009


วิธีการคำนวณปริพันธ์ สูตรและการตรวจสอบ อินทิกรัลไม่ จำกัด. พื้นที่ของเส้นโค้งสี่เหลี่ยมคางหมู ไม่แน่นอน เด็ดขาด และ อินทิกรัลเชิงซ้อน. การประยุกต์ใช้ปริพันธ์เบื้องต้น ความหมายทางเรขาคณิตของปริพันธ์แน่นอนและไม่จำกัด

งานนำเสนอ เพิ่ม 01/15/2014


การคำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วย เส้นที่กำหนดโดยใช้อินทิกรัลคู่ การคำนวณอินทิกรัลสองเท่าโดยไปที่ พิกัดเชิงขั้ว. วิธีการกำหนด อินทิกรัลเส้นโค้งชนิดที่สองตามเส้นที่กำหนดและการไหลของสนามเวกเตอร์

งานควบคุม เพิ่ม 12/14/2555


แนวคิดของอินทิกรัลที่แน่นอน การคำนวณพื้นที่ ปริมาตรของวัตถุและความยาวของส่วนโค้ง โมเมนต์คงที่ และจุดศูนย์ถ่วงของเส้นโค้ง การคำนวณพื้นที่ในกรณีของพื้นที่โค้งรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า การประยุกต์ใช้ปริพันธ์เชิงโค้ง พื้นผิว และปริพันธ์สามส่วน