การประยุกต์อินทิกรัลจำกัดเขตเป็นตัวอย่างของการแก้โจทย์ การคำนวณพื้นที่ของรูปทรงแบน

บรรยายครั้งที่ 21 การประยุกต์ใช้ อินทิกรัลที่แน่นอน(2 ชม.)

การประยุกต์ทางเรขาคณิต

ก) พื้นที่ของรูป

ดังที่กล่าวไว้ในบทบรรยายที่ 19 ในด้านตัวเลข เท่ากับพื้นที่ สี่เหลี่ยมคางหมูโค้งล้อมรอบด้วยเส้นโค้ง ที่ = ฉ(x), ตรง เอ็กซ์ = ก, เอ็กซ์ = ขและส่วน [ ก, ข] แกน OX ยิ่งไปกว่านั้นหาก ฉ(x) 0 ปอนด์ บน [ ก, ข] ดังนั้นอินทิกรัลควรมีเครื่องหมายลบ

ถ้าเปิด ส่วนที่กำหนดการทำงาน ที่ = ฉ(x) เปลี่ยนเครื่องหมาย จากนั้นในการคำนวณพื้นที่ของรูปที่อยู่ระหว่างกราฟของฟังก์ชันนี้กับแกน OX คุณควรแบ่งส่วนออกเป็นส่วนๆ โดยแต่ละฟังก์ชันจะมีเครื่องหมายอยู่ และค้นหาพื้นที่ของ ​แต่ละส่วนของรูป พื้นที่ที่ต้องการในกรณีนี้คือผลรวมเชิงพีชคณิตของปริพันธ์เหนือส่วนเหล่านี้ และปริพันธ์ที่สอดคล้องกับค่าลบของฟังก์ชันจะถูกนำมารวมด้วยเครื่องหมายลบ

ถ้ารูปหนึ่งมีเส้นโค้งสองเส้นล้อมรอบ ที่ = ฉ 1 (x) และ ที่ = ฉ 2 (x), ฉ 1 (x)£ ฉ 2 (x) ดังนั้นจากรูปที่ 9 พื้นที่ของมันจะเท่ากับความแตกต่างในพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง กดวงอาทิตย์ ขและ กค.ศ ขซึ่งแต่ละค่ามีตัวเลขเท่ากับอินทิกรัล วิธี,

โปรดทราบว่าพื้นที่ของรูปที่แสดงในรูปที่ 10a นั้นพบได้โดยใช้สูตรเดียวกัน: S = (พิสูจน์มัน!). ลองคิดดูว่าจะคำนวณพื้นที่ของรูปที่แสดงในรูปที่ 10b ได้อย่างไร?

เรากำลังพูดถึงเฉพาะรูปสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่อยู่ติดกับแกน OX แต่สูตรที่คล้ายกันก็ใช้ได้กับตัวเลขที่อยู่ติดกับแกน OU เช่นกัน เช่น พื้นที่ของรูปที่ 11 หาได้จากสูตร

ให้เส้น ย=ฉ(x) ขอบเขตสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งสามารถกำหนดได้จากสมการพาราเมตริก ทีО และ j(a)= ก, เจ(ข) = ข, เช่น. ที่- จากนั้นพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งนี้จะเท่ากับ

.

ข) ความยาวส่วนโค้ง

ให้เส้นโค้งได้รับ ที่ = ฉ(x- ให้เราพิจารณาส่วนโค้งของเส้นโค้งนี้ที่สอดคล้องกับการเปลี่ยนแปลง เอ็กซ์บนส่วน [ ก, ข- ลองหาความยาวของส่วนโค้งนี้กัน ในการทำเช่นนี้ เราแบ่งส่วนโค้ง AB ออกเป็น nส่วนตามจุด A = M 0, M 1, M 2, ..., M n= B (รูปที่ 14) ตรงกับจุด เอ็กซ์ 1 , เอ็กซ์ 2 , ..., เอ็กซ์เอ็น Î [ ก, ข].

ให้เราแสดง D ฉันความยาวส่วนโค้งแล้ว ล- ถ้าส่วนโค้งยาว D ฉันมีขนาดเล็กพอจึงจะถือว่าได้ประมาณ ความยาวเท่ากันส่วนที่เกี่ยวข้องจุดเชื่อมต่อ M ฉัน-1, ม ฉัน- จุดเหล่านี้มีพิกัด M ฉัน -1 (x ฉัน -1, ฉ (x ฉัน-1)), ม ฉัน(x ฉัน, ฉ(x ฉัน- จากนั้นความยาวของเซ็กเมนต์จะเท่ากันตามลำดับ

ที่นี่ใช้สูตรของลากรองจ์ เอาล่ะใส่ x ฉัน – x ฉัน-1 =ง x ฉันเราได้รับ

แล้ว ล = , ที่ไหน

ล = .

ดังนั้นความยาวส่วนโค้งของเส้นโค้ง ที่ = ฉ(x) สอดคล้องกับการเปลี่ยนแปลง เอ็กซ์บนส่วน [ ก, ข] พบได้จากสูตร

ล = , (1)

หากมีการระบุเส้นโค้งแบบพาราเมตริก ทีอ๋อ คือ ย(ที) = ฉ(x(ที)) จากสูตร (1) เราได้:

ล=
.

ซึ่งหมายความว่าหากกำหนดเส้นโค้งตามพารามิเตอร์ ความยาวของส่วนโค้งของเส้นโค้งนี้จะสอดคล้องกับการเปลี่ยนแปลง ทีО พบได้จากสูตร

วี) ปริมาตรของตัววัตถุที่หมุน

รูปที่ 15

พิจารณารูปทรงสี่เหลี่ยมคางหมูแบบโค้ง กเอบี ข, ล้อมรอบด้วยเส้น ที่ = ฉ(x), ตรง เอ็กซ์ = ก, เอ็กซ์ = ขและส่วน [ ก,ข] แกน OX (รูปที่ 15) ปล่อยให้สี่เหลี่ยมคางหมูนี้หมุนรอบแกน OX ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นตัวของการหมุน พิสูจน์ได้ว่าปริมาตรของร่างกายนี้จะเท่ากับ

ในทำนองเดียวกัน เราสามารถหาสูตรสำหรับปริมาตรของวัตถุได้จากการหมุนสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งรอบแกน OU ซึ่งจำกัดด้วยกราฟของฟังก์ชัน เอ็กซ์= เจ( ที่), ตรง ย = ค , ย = งและส่วน [ ค,ง] แกนของ op-amp (รูปที่ 15):

การประยุกต์ทางกายภาพของอินทิกรัลจำกัดเขต

ในการบรรยายครั้งที่ 19 เราได้พิสูจน์ว่าจากมุมมองทางกายภาพ อินทิกรัลนั้นเป็นตัวเลข เท่ากับมวลแท่งยาวไม่สม่ำเสมอบางเป็นเส้นตรง ล= ข – กโดยมีความหนาแน่นเชิงเส้นแปรผันได้ r = ฉ(x), ฉ(x) ³ 0 โดยที่ เอ็กซ์– ระยะห่างจากปลายคันเบ็ดถึงปลายด้านซ้าย

ลองพิจารณาการประยุกต์ใช้ทางกายภาพอื่นๆ ของอินทิกรัลจำกัดเขต

ปัญหาที่ 1. ค้นหางานที่ต้องใช้ในการสูบน้ำมันจากถังทรงกระบอกแนวตั้งที่มีความสูง H และรัศมีฐาน R ความหนาแน่นของน้ำมันคือ r

สารละลาย.มาสร้างกันเถอะ แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของงานนี้ ปล่อยให้แกน OX ผ่านไปตามแกนสมมาตรของทรงกระบอกสูง H และรัศมี R โดยจุดกำเนิดอยู่ที่ศูนย์กลางของฐานด้านบนของทรงกระบอก (รูปที่ 17) เรามาแยกกระบอกสูบออกเป็น nชิ้นส่วนแนวนอนขนาดเล็ก แล้วไหน. ฉัน– งานปั้ม ฉันชั้นที่ การแบ่งส่วนของทรงกระบอกนี้สอดคล้องกับการแบ่งส่วนของการเปลี่ยนแปลงความสูงของชั้นเป็น nชิ้นส่วน ลองพิจารณาหนึ่งในเลเยอร์เหล่านี้ซึ่งอยู่ห่างจากกัน x ฉันจากพื้นผิว กว้าง D เอ็กซ์(หรือทันที. ดีเอ็กซ์- การปั๊มชั้นนี้ออกมาถือได้ว่าเป็น "การยก" ชั้นให้สูงขึ้น x ฉัน.

แล้วงานปั๊มออกชั้นนี้ก็เท่ากับ

ฉัน»ป ฉัน x ฉัน, ,

ที่ไหน ป ฉัน=rgV ฉัน= อาร์จีพีอาร์ 2 ดีเอ็กซ์, อาร์ ฉัน– น้ำหนัก, วี ฉัน– ปริมาตรของชั้น แล้ว ฉัน» อาร์ ฉัน x ฉัน= อาร์จีพีอาร์ 2 dx.x ฉัน, ที่ไหน

และด้วยเหตุนี้ .

ปัญหาที่ 2. ค้นหาโมเมนต์ความเฉื่อย

ก) ทรงกระบอกผนังบางกลวงสัมพันธ์กับแกนที่ผ่านแกนสมมาตร

b) ทรงกระบอกทึบสัมพันธ์กับแกนที่ผ่านแกนสมมาตร

c) แท่งยาวบาง ลสัมพันธ์กับแกนที่ผ่านตรงกลาง

d) ความยาวก้านบาง ลสัมพันธ์กับแกนที่ผ่านปลายด้านซ้าย

สารละลาย.ดังที่ทราบกันดีว่าโมเมนต์ความเฉื่อยของจุดที่สัมพันธ์กับแกนนั้นมีค่าเท่ากับ เจ=นาย 2 และระบบคะแนน

ก) กระบอกสูบมีผนังบาง ซึ่งหมายความว่าความหนาของผนังสามารถละเลยได้ ให้รัศมีของฐานของทรงกระบอกเป็น R ความสูง H และความหนาแน่นของมวลบนผนังเท่ากับ r

เรามาแยกกระบอกสูบออกเป็น nอะไหล่และหาที่ไหน เจ ฉัน– โมเมนต์ความเฉื่อย ฉันองค์ประกอบที่หนึ่งของพาร์ติชัน

ลองพิจารณาดู ฉันองค์ประกอบที่หนึ่งของพาร์ติชั่น (ทรงกระบอกเล็ก) จุดทั้งหมดอยู่ที่ระยะ R จากแกน ล- ให้มวลของทรงกระบอกนี้ ฉัน, แล้ว ฉัน= อาร์วี ฉัน» RS ด้านข้าง= 2prR ดีเอ็กซ์ ฉัน, ที่ไหน x ฉันโอ แล้ว เจ ฉัน» อาร์ 2 พีอาร์ ดีเอ็กซ์ ฉัน, ที่ไหน

.

ถ้า r เป็นค่าคงที่ แล้ว เจ= 2prR 3 N และเนื่องจากมวลของกระบอกสูบเท่ากับ M = 2prRН ดังนั้น เจ=ม.ร.2.

b) หากกระบอกสูบแข็ง (เต็ม) เราก็จะแบ่งเป็น nโวลกระบอกสูบบาง ๆ เชื่อมต่อกันภายในอีกอันหนึ่ง ถ้า nมีขนาดใหญ่แต่ละกระบอกสูบถือได้ว่าเป็นผนังบาง พาร์ติชั่นนี้สอดคล้องกับพาร์ติชั่นของเซ็กเมนต์ nชิ้นส่วนที่มีจุด R ฉัน- มาหามวลกันดีกว่า ฉันกระบอกสูบผนังบาง: ฉัน= อาร์วี ฉัน, ที่ไหน

วี ฉัน= พีอาร์ ฉัน 2 ชม. – พีอาร์ ฉัน - 1 2 H = pH(อาร์ ฉัน 2 –ร ฉัน -1 2) =

พีเอช(ร ฉัน–ร ฉัน-1)(ร ฉัน+อาร์ ฉัน -1).

เนื่องจากผนังทรงกระบอกบาง เราจึงสรุปได้ว่า R ฉัน+อาร์ ฉัน-1 » 2อาร์ ฉันและร ฉัน–ร ฉัน-1 = ดร ฉันแล้ววี ฉัน» pH2R ฉันดร. ฉัน, ที่ไหน ฉัน» rpN×2R ฉันดร. ฉัน,

แล้วในที่สุด

c) พิจารณาท่อนไม้ที่มีความยาว ลซึ่งมีความหนาแน่นของมวลเท่ากับ r ปล่อยให้แกนหมุนผ่านไปตรงกลาง

เราจำลองแท่งเหล็กเป็นส่วนหนึ่งของแกน OX จากนั้นแกนการหมุนของแท่งคือแกน OU ลองพิจารณาเซกเมนต์เบื้องต้น มวล ระยะทางถึงแกนนั้นถือว่าเท่ากันโดยประมาณ ร ฉัน= x ฉัน- จากนั้นโมเมนต์ความเฉื่อยของส่วนนี้เท่ากับ โดยที่โมเมนต์ความเฉื่อยของแท่งทั้งหมดเท่ากับ - เมื่อพิจารณาว่ามวลของไม้เรียวเท่ากับ แล้ว

d) ปล่อยให้แกนหมุนผ่านปลายด้านซ้ายของแกนเช่น แบบจำลองของแกนเป็นส่วนหนึ่งของแกน OX แล้วในทำนองเดียวกัน ร ฉัน= x ฉัน, , ที่ไหน และตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา

ภารกิจที่ 3ค้นหาแรงกดของของเหลวที่มีความหนาแน่น r บนสามเหลี่ยมมุมฉากกับขา กและ ขโดยแช่ในของเหลวในแนวตั้งเพื่อให้ขา กที่อยู่บนพื้นผิวของของเหลว

สารละลาย.

มาสร้างแบบจำลองของปัญหากันเถอะ ให้ด้านบน มุมขวาสามเหลี่ยมอยู่ที่จุดกำเนิดขา กเกิดขึ้นพร้อมกับส่วนของแกน OU (แกน OU กำหนดพื้นผิวของของเหลว) แกน OX ชี้ลงขา ขตรงกับส่วนของแกนนี้ ด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมนี้มีสมการ หรือ

เป็นที่รู้กันว่าหากอยู่บนพื้นที่แนวนอน สซึ่งแช่อยู่ในของเหลวที่มีความหนาแน่น r ถูกกดด้วยคอลัมน์ของเหลวที่มีความสูง ชม.แล้วแรงกดจะเท่ากัน (กฎปาสคาล) มาใช้กฎหมายนี้กัน

ให้เรานำเสนอการประยุกต์ใช้อินทิกรัลจำกัดจำนวนกัน

การคำนวณพื้นที่ของรูปทรงแบน

พื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูโค้งล้อมรอบด้วยเส้นโค้ง (โดยที่
), ตรง
,
และส่วนหนึ่ง
แกน
คำนวณโดยสูตร

.

พื้นที่ของรูปที่ถูกล้อมรอบด้วยเส้นโค้ง
และ
(ที่ไหน
) ตรง
และ
คำนวณโดยสูตร

.

ถ้าเส้นโค้งถูกกำหนดโดยสมการพาราเมตริก
จากนั้นพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้งนี้ด้วยเส้นตรง
,
และส่วนหนึ่ง
แกน
คำนวณโดยสูตร

,

ที่ไหน และ ถูกกำหนดจากสมการ
,
, ก
ที่
.

พื้นที่ของเซกเตอร์เส้นโค้งที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้งที่ระบุใน พิกัดเชิงขั้วสมการ
และรัศมีสองขั้ว
,
(
) หาได้จากสูตร

.

ตัวอย่างที่ 1.27คำนวณพื้นที่ของร่างที่ล้อมรอบด้วยพาราโบลา
และตรง
(รูปที่ 1.1)

	สารละลาย.ลองหาจุดตัดของเส้นตรงและพาราโบลากัน , . เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราจะแก้สมการ , ที่ไหน .

- จากนั้นตามสูตร (1.6) เราได้

การคำนวณความยาวส่วนโค้งของเส้นโค้งระนาบ
ถ้าเข้าโค้ง
บนส่วน
- เรียบ (นั่นคืออนุพันธ์

.

ต่อเนื่อง) จากนั้นสูตรจะพบความยาวของส่วนโค้งที่สอดคล้องกันของเส้นโค้งนี้
(
เมื่อระบุเส้นโค้งแบบพาราเมตริก - ฟังก์ชันที่สามารถหาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่อง) ความยาวของส่วนโค้งของเส้นโค้งที่สอดคล้องกับการเปลี่ยนแปลงแบบโมโนโทนิกในพารามิเตอร์ จาก คำนวณโดยสูตร

ถึงตัวอย่างที่ 1.28
,
,
.

สารละลาย.คำนวณความยาวส่วนโค้งของเส้นโค้ง :
,
ลองหาอนุพันธ์ตามพารามิเตอร์กัน

.

- จากสูตร (1.7) ที่เราได้รับ

2. แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ของฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัว
ให้แต่ละคู่เรียงลำดับเลขกัน
จากบางพื้นที่
ตรงกับจำนวนหนึ่ง - แล้ว เรียกว่า และ ,
-ฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว ตัวแปรอิสระ หรือ ,
-ข้อโต้แย้ง ขอบเขตของคำจำกัดความ ฟังก์ชั่น และชุด ค่าฟังก์ชันทั้งหมด - ช่วงของค่าของมัน
.

และแสดงถึง
ในเชิงเรขาคณิต โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันมักจะแสดงถึงบางส่วนของระนาบ

ล้อมรอบด้วยเส้นที่อาจหรือไม่ใช่ของพื้นที่นี้ตัวอย่างที่ 2.1
ค้นหาโดเมนของคำจำกัดความ
.

	สารละลาย.ฟังก์ชั่น ฟังก์ชันนี้ถูกกำหนดไว้ที่จุดเหล่านั้นของระนาบ ซึ่งในนั้น , หรือ - จุดเครื่องบินซึ่ง ก่อให้เกิดขอบเขตของภูมิภาค - สมการ กำหนดพาราโบลา (รูปที่ 2.1 เนื่องจากพาราโบลาไม่ได้เป็นของภูมิภาค) แล้วแสดงเป็นเส้นประ) นอกจากนี้ยังง่ายต่อการตรวจสอบโดยตรงว่าจุดใดบ้าง

ซึ่งอยู่เหนือพาราโบลา ภูมิภาค เปิดและสามารถระบุได้โดยใช้ระบบความไม่เท่าเทียมกัน:
, ก หากเป็นตัวแปร
เพิ่มขึ้นบ้าง
ปล่อยให้คงที่แล้วจึงเรียกใช้ฟังก์ชัน จะได้รับส่วนเพิ่ม , เรียกว่า :

การเพิ่มฟังก์ชันส่วนตัว ตามตัวแปร
, ก ในทำนองเดียวกันหากเป็นตัวแปร
เพิ่มขึ้นบ้าง
ปล่อยให้คงที่แล้วจึงเรียกใช้ฟังก์ชัน จะได้รับส่วนเพิ่ม ได้รับการเพิ่มขึ้น :

คงค่าคงที่แล้วจึงเป็นฟังก์ชัน

,

,

ตามตัวแปร หากมีข้อจำกัด:
พวกเขาถูกเรียก และ อนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชัน

โดยตัวแปร ตามลำดับ

หมายเหตุ 2.1. อนุพันธ์บางส่วนของฟังก์ชันของตัวแปรอิสระจำนวนเท่าใดก็ได้ถูกกำหนดในทำนองเดียวกัน

หมายเหตุ 2.2.
.

สารละลาย- เราพบ:

,

.

ตัวอย่างที่ 2.3ค้นหาอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชัน
.

สารละลาย- เราพบ:

,

,

.

เพิ่มฟังก์ชั่นเต็มรูปแบบ
เรียกว่าความแตกต่าง

ส่วนหลักของการเพิ่มฟังก์ชันแบบเต็ม
เชิงเส้นตรงขึ้นอยู่กับการเพิ่มขึ้นของตัวแปรอิสระ
และ
,เรียกว่าผลต่างรวมของฟังก์ชัน และถูกกำหนดไว้
- หากฟังก์ชันมีอนุพันธ์ย่อยต่อเนื่อง ผลต่างรวมจะมีอยู่และเท่ากับ

,

ที่ไหน
,
- การเพิ่มตัวแปรอิสระตามอำเภอใจ เรียกว่าดิฟเฟอเรนเชียล

ในทำนองเดียวกัน สำหรับฟังก์ชันของตัวแปร 3 ตัว
ส่วนต่างทั้งหมดจะได้รับจาก

.

ให้ฟังก์ชัน
มีตรงจุด
เรียงลำดับอนุพันธ์บางส่วนก่อนโดยคำนึงถึงตัวแปรทั้งหมด จากนั้นจึงเรียกเวกเตอร์ว่า การไล่ระดับสี ฟังก์ชั่น
ตรงจุด
และถูกกำหนดไว้
หรือ
.

หมายเหตุ 2.3. เครื่องหมาย
เรียกว่าตัวดำเนินการแฮมิลตัน และออกเสียงว่า "นัมบลา"

ตัวอย่างที่ 2.4ค้นหาความชันของฟังก์ชันที่จุดหนึ่ง
.

สารละลาย- มาหาอนุพันธ์บางส่วน:

,
,

และคำนวณค่า ณ จุดนั้น
:

,
,
.

เพราะฉะนั้น,
.

อนุพันธ์ ฟังก์ชั่น
ตรงจุด
ในทิศทางของเวกเตอร์
เรียกว่าขีดจำกัดของอัตราส่วน
ที่
:

, ที่ไหน
.

ถ้าฟังก์ชั่น
สามารถหาอนุพันธ์ได้ จากนั้นอนุพันธ์ในทิศทางที่กำหนดจะถูกคำนวณโดยสูตร:

,

ที่ไหน ,- มุมซึ่งเป็นเวกเตอร์ แบบฟอร์มที่มีขวาน
และ
ตามลำดับ

ในกรณีที่มีฟังก์ชันสามตัวแปร
อนุพันธ์ของทิศทางถูกกำหนดในทำนองเดียวกัน สูตรที่สอดคล้องกันคือ

,

ที่ไหน
- โคไซน์ทิศทางของเวกเตอร์ .

ตัวอย่างที่ 2.5ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
ตรงจุด
ในทิศทางของเวกเตอร์
, ที่ไหน
.

สารละลาย- ลองหาเวกเตอร์กัน
และโคไซน์ทิศทาง:

,
,
,
.

ให้เราคำนวณค่าของอนุพันธ์ย่อย ณ จุดนั้น
:

,
,
;
,
,
.

เมื่อแทนค่าใน (2.1) เราจะได้

.

อนุพันธ์ย่อยอันดับสอง เรียกว่าอนุพันธ์บางส่วนที่นำมาจากอนุพันธ์บางส่วนของลำดับที่หนึ่ง:

,

,

,

อนุพันธ์บางส่วน
,
ถูกเรียกว่า ผสม - ค่าของอนุพันธ์แบบผสมจะเท่ากัน ณ จุดที่อนุพันธ์เหล่านี้ต่อเนื่องกัน

ตัวอย่างที่ 2.6ค้นหาอนุพันธ์ย่อยอันดับสองของฟังก์ชัน
.

สารละลาย- ให้เราคำนวณอนุพันธ์ย่อยของลำดับแรกก่อน:

,
.

เมื่อสร้างความแตกต่างอีกครั้ง เราได้รับ:

,
,

,
.

เมื่อเปรียบเทียบสำนวนสุดท้ายเราจะเห็นว่า
.

ตัวอย่างที่ 2.7พิสูจน์ว่าฟังก์ชัน
เป็นไปตามสมการของลาปลาซ

.

สารละลาย- เราพบ:

,
.

,
.

.

จุด
- แล้ว จุดสูงสุดในท้องถิ่น (ขั้นต่ำ ) ฟังก์ชัน
ถ้าครบทุกจุด
แตกต่างจาก
และอยู่ในละแวกใกล้เคียงที่มีขนาดเล็กเพียงพอความไม่เท่าเทียมกัน

(
).

ค่าสูงสุดหรือต่ำสุดของฟังก์ชันเรียกว่าฟังก์ชันของมัน สุดขั้ว - เรียกว่าจุดที่ถึงจุดสิ้นสุดของฟังก์ชัน จุดปลายสุดของฟังก์ชัน .

ทฤษฎีบท 2.1 (เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับสุดขั้ว ). ถ้าตรงประเด็น
คือจุดปลายสุดของฟังก์ชัน
หรืออย่างน้อยหนึ่งในอนุพันธ์เหล่านี้ไม่มีอยู่

จุดที่ตรงตามเงื่อนไขเหล่านี้เรียกว่า นิ่ง ตัวแปรอิสระ วิกฤต - จุดสุดขั้วนั้นอยู่กับที่เสมอ แต่จุดที่หยุดนิ่งอาจไม่ใช่จุดที่สุดสุด เพื่อให้จุดที่อยู่นิ่งเป็นจุดสุดขั้ว จะต้องเป็นไปตามเงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับจุดสุดขั้ว

ให้เราแนะนำสัญกรณ์ต่อไปนี้ก่อน :

,
,
,
.

ทฤษฎีบท 2.2 (เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับสุดขั้ว ). ให้ฟังก์ชัน
สามารถหาอนุพันธ์ได้สองเท่าในบริเวณใกล้จุดหนึ่ง
และช่วงเวลา
อยู่กับที่สำหรับฟังก์ชัน
- แล้ว:

1.ถ้า
แล้วชี้
เป็นส่วนปลายสุดของฟังก์ชัน และ
จะเป็นจุดสูงสุดที่
(
)และจุดต่ำสุดที่
(
).

2.ถ้า
แล้วถึงจุดนั้น

ไม่มีความสุดขั้ว

3.ถ้า
แล้วสุดขั้วอาจมีหรือไม่มีก็ได้

ตัวอย่างที่ 2.8ตรวจสอบฟังก์ชันสุดขั้ว
.

สารละลาย- ตั้งแต่ใน ในกรณีนี้อนุพันธ์บางส่วนของลำดับที่ 1 นั้นมีอยู่เสมอ จากนั้นเพื่อหาจุดคงที่ (วิกฤต) เราแก้ระบบ:

,
,

ที่ไหน
,
,
,
- ดังนั้นเราจึงได้จุดคงที่สองจุด:
,
.

,
,
.

สำหรับจุดหนึ่ง
เราได้รับ: นั่นคือไม่มีจุดสิ้นสุด ณ จุดนี้ สำหรับจุดหนึ่ง
เราได้รับ: และ
, เพราะฉะนั้น

ณ จุดนี้ ฟังก์ชั่นนี้ถึงจุดต่ำสุดในท้องถิ่น: .

กระทรวงศึกษาธิการและวิทยาศาสตร์แห่งสหพันธรัฐรัสเซีย

สถาบันการศึกษาของรัฐบาลกลางของรัฐบาลกลาง

การศึกษาวิชาชีพชั้นสูง

“ภาคเหนือ (อาร์กติก) มหาวิทยาลัยสหพันธรัฐตั้งชื่อตาม M.V. โลโมโนซอฟ"

ภาควิชาคณิตศาสตร์

งานหลักสูตร

ในสาขาวิชาคณิตศาสตร์

Pyatysheva Anastasia Andreevna

หัวหน้างาน

ศิลปะ. ครู

โบรอดคินา ที.เอ.

อาร์คันเกลสค์ 2014

การมอบหมายงานหลักสูตร

การประยุกต์อินทิกรัลจำกัดเขต

ข้อมูลเริ่มต้น:

21. y=x 3 , y= ; 22.

การแนะนำ

ในงานหลักสูตรนี้ ฉันได้รับมอบหมายงานต่อไปนี้: การคำนวณพื้นที่ของตัวเลขที่ถูกจำกัดด้วยกราฟของฟังก์ชัน จำกัดด้วยเส้น สมการที่กำหนด และถูกจำกัดด้วยเส้นด้วย กำหนดโดยสมการในพิกัดเชิงขั้ว คำนวณความยาวของส่วนโค้งของเส้นโค้ง กำหนดโดยสมการใน ระบบสี่เหลี่ยมพิกัดที่ระบุโดยสมการพาราเมตริก ระบุโดยสมการในพิกัดเชิงขั้ว และยังคำนวณปริมาตรของวัตถุที่ถูกจำกัดด้วยพื้นผิว จำกัดโดยกราฟของฟังก์ชัน และเกิดขึ้นจากการหมุนของตัวเลขที่ถูกจำกัดโดยกราฟของฟังก์ชันรอบแกนเชิงขั้ว ฉันเลือกงานหลักสูตรในหัวข้อ “อินทิกรัลที่กำหนด ในเรื่องนี้ ฉันตัดสินใจที่จะค้นหาว่าการคำนวณอินทิกรัลสามารถนำมาใช้ได้ง่ายและรวดเร็วเพียงใด และสามารถคำนวณงานที่มอบหมายให้ฉันได้แม่นยำเพียงใด

INTEGRAL เป็นหนึ่งในแนวคิดที่สำคัญที่สุดของคณิตศาสตร์ซึ่งเกิดขึ้นจากความต้องการในด้านหนึ่งเพื่อค้นหาฟังก์ชันด้วยอนุพันธ์ (ตัวอย่างเช่นเพื่อค้นหาฟังก์ชันที่แสดงเส้นทางที่เคลื่อนที่โดยจุดที่เคลื่อนที่ตามความเร็ว ของจุดนี้) และในทางกลับกัน เพื่อวัดพื้นที่ ปริมาตร ส่วนโค้งความยาว งานของแรงในช่วงเวลาหนึ่ง เป็นต้น

การเปิดเผยหัวข้อ งานหลักสูตรฉันได้ดำเนินการตามแผนต่อไปนี้: คำจำกัดความของอินทิกรัลจำกัดขอบเขตและคุณสมบัติของมัน ความยาวส่วนโค้ง พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง พื้นที่ผิวของการหมุน

สำหรับฟังก์ชัน f(x) ใด ๆ ที่ต่อเนื่องกันในช่วงเวลาดังกล่าว จะมีแอนติเดริเวทีฟอยู่ในช่วงนี้ ซึ่งหมายความว่ามีอยู่จริง อินทิกรัลไม่ จำกัด.

ถ้าฟังก์ชัน F(x) เป็นแอนติเดริเวทีฟของ ฟังก์ชั่นต่อเนื่อง f(x) ดังนั้นนิพจน์นี้เรียกว่าสูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซ:

คุณสมบัติพื้นฐานของอินทิกรัลจำกัดเขต:

ถ้าขีดจำกัดล่างและบนของการอินทิเกรตเท่ากัน (a=b) อินทิกรัลจะเท่ากับศูนย์:

ถ้า f(x)=1 แล้ว:

เมื่อจัดเรียงขีดจำกัดของการอินทิเกรตใหม่ การเปลี่ยนแปลงอินทิกรัลที่แน่นอนจะส่งสัญญาณไปในทางตรงกันข้าม:

ตัวประกอบคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายของอินทิกรัลจำกัดเขตได้:

หากฟังก์ชันต่างๆ สามารถอินทิเกรตได้ ผลรวมและอินทิกรัลของผลรวมก็สามารถอินทิเกรตได้ เท่ากับผลรวมปริพันธ์:

นอกจากนี้ยังมีวิธีการบูรณาการขั้นพื้นฐาน เช่น การเปลี่ยนแปลงตัวแปร:

การแก้ไขส่วนต่าง:

สูตรการรวมตามส่วนทำให้สามารถลดการคำนวณอินทิกรัลเป็นการคำนวณอินทิกรัลซึ่งอาจกลายเป็นเรื่องง่ายกว่า:

ความหมายทางเรขาคณิตของอินทิกรัลจำกัดเขตคือ สำหรับฟังก์ชันต่อเนื่องและไม่เป็นลบ มันแสดงถึงพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่สอดคล้องกันในความหมายทางเรขาคณิต

นอกจากนี้ เมื่อใช้อินทิกรัลจำกัดเขต คุณจะพบพื้นที่ของขอบเขตที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้ง เส้นตรง และโดยที่

หากสี่เหลี่ยมคางหมูส่วนโค้งถูกจำกัดด้วยเส้นโค้งที่กำหนดโดยเส้นพาราเมตริก x = a และ x = b และแกน Ox ดังนั้นสูตรจะพบพื้นที่ของมัน ซึ่งถูกกำหนดจากความเท่าเทียมกัน:

. (12)

พื้นที่หลักซึ่งเป็นพื้นที่ที่พบโดยใช้อินทิกรัลที่แน่นอนคือเซกเตอร์เส้นโค้ง นี่คือพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยรังสีสองเส้นและเส้นโค้ง โดยที่ r และ เป็นพิกัดเชิงขั้ว:

หากเส้นโค้งเป็นกราฟของฟังก์ชันโดยที่และฟังก์ชันอนุพันธ์ของมันมีความต่อเนื่องในส่วนนี้ พื้นที่ผิวของรูปที่เกิดจากการหมุนเส้นโค้งรอบแกน Ox สามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร:

. (14)

ถ้าฟังก์ชันและอนุพันธ์ของมันต่อเนื่องกันบนเซกเมนต์ เส้นโค้งจะมีความยาวเท่ากับ:

หากสมการเส้นโค้งถูกกำหนดไว้ในรูปแบบพาราเมตริก

โดยที่ x(t) และ y(t) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่มีอนุพันธ์ต่อเนื่อง จากนั้นสูตรจะพบความยาวของเส้นโค้ง:

ถ้าเส้นโค้งถูกกำหนดโดยสมการในพิกัดเชิงขั้ว โดยที่ และ ต่อเนื่องกันบนเซกเมนต์ ความยาวของส่วนโค้งสามารถคำนวณได้ดังนี้:

หากสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งซึ่งล้อมรอบด้วยส่วนของเส้นต่อเนื่องและเส้นตรง x = a และ x = b หมุนรอบแกน Ox ดังนั้นปริมาตรของร่างกายที่เกิดจากการหมุนของสี่เหลี่ยมคางหมูนี้รอบแกน Ox จะเท่ากับ:

ถ้าสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งถูกจำกัดด้วยกราฟของฟังก์ชันต่อเนื่องและเส้นตรง x = 0, y = c, y = d (c< d), то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Oy, будет равен:

หากรูปถูกจำกัดด้วยเส้นโค้งและ (คือ “สูงกว่า” และด้วยเส้นตรง x = a, x = b) ปริมาตรของตัวการหมุนรอบแกน Ox จะเท่ากับ:

และรอบแกนออย (:

หากเซกเตอร์เส้นโค้งหมุนรอบแกนขั้วโลก จึงสามารถหาพื้นที่ของร่างกายผลลัพธ์ได้โดยใช้สูตร:

2. การแก้ปัญหา

ปัญหาที่ 14: คำนวณพื้นที่ของตัวเลขที่ล้อมรอบด้วยกราฟของฟังก์ชัน:

1) วิธีแก้ปัญหา:

รูปที่ 1 - กราฟฟังก์ชัน

X เปลี่ยนจาก 0 เป็น

x 1 = -1 และ x 2 = 2 เป็นขีดจำกัดของการอินทิเกรต (ดังแสดงในรูปที่ 1)

3) ลองคำนวณพื้นที่ของรูปโดยใช้สูตร (10)

ตอบ ส = .

ปัญหาที่ 15: คำนวณพื้นที่ของตัวเลขที่ล้อมรอบด้วยเส้นที่กำหนดโดยสมการ:

1) วิธีแก้ปัญหา:

รูปที่ 2 - กราฟฟังก์ชัน

ลองพิจารณาฟังก์ชันในช่วงเวลา

รูปที่ 3 - ตารางตัวแปรสำหรับฟังก์ชัน

เนื่องจากช่วงนี้จะพอดี 1 ส่วนโค้ง ส่วนโค้งนี้ประกอบด้วยส่วนกลาง (S 1) และส่วนด้านข้าง ส่วนกลางประกอบด้วยส่วนที่ต้องการและสี่เหลี่ยม (S r): ลองคำนวณพื้นที่ของส่วนกลางส่วนหนึ่งของส่วนโค้งกัน

2) มาดูขีดจำกัดของการบูรณาการกัน

และ y = 6 ดังนั้น

สำหรับช่วงเวลา - ขีดจำกัดของการรวม

3) หาพื้นที่ของรูปโดยใช้สูตร (12)

รูปทรงสี่เหลี่ยมคางหมูอินทิกรัลของเส้นโค้ง

ปัญหาที่ 16: คำนวณพื้นที่ของตัวเลขที่ล้อมรอบด้วยเส้นที่กำหนดโดยสมการในพิกัดเชิงขั้ว:

1) วิธีแก้ปัญหา:

รูปที่ 4 - กราฟฟังก์ชัน

รูปที่ 5 - ตารางฟังก์ชันตัวแปร

2) มาดูขีดจำกัดของการบูรณาการกัน

เพราะฉะนั้น -

3) ค้นหาพื้นที่ของรูปโดยใช้สูตร (13)

คำตอบ: ส =.

ภารกิจที่ 17: คำนวณความยาวของส่วนโค้งที่กำหนดโดยสมการในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม:

1) วิธีแก้ปัญหา:

รูปที่ 6 - กราฟฟังก์ชัน

รูปที่ 7 - ตารางตัวแปรฟังก์ชัน

2) มาดูขีดจำกัดของการบูรณาการกัน

เปลี่ยนจาก ln เป็น ln เห็นได้จากเงื่อนไข

3) ค้นหาความยาวของส่วนโค้งโดยใช้สูตร (15)

คำตอบ: ล =

ภารกิจที่ 18: คำนวณความยาวของส่วนโค้งที่กำหนดโดยสมการพาราเมตริก: 1)

1) วิธีแก้ปัญหา:

รูปที่ 8 - กราฟฟังก์ชัน

รูปที่ 11 - ตารางตัวแปรฟังก์ชัน

2) มาดูขีดจำกัดของการบูรณาการกัน

c แปรผันจาก ซึ่งเห็นได้ชัดจากสภาวะ

ลองหาความยาวส่วนโค้งโดยใช้สูตร (17)

ภารกิจที่ 20: คำนวณปริมาตรของวัตถุที่ล้อมรอบด้วยพื้นผิว:

1) วิธีแก้ปัญหา:

รูปที่ 12 - กราฟฟังก์ชัน:

2) มาดูขีดจำกัดของการบูรณาการกัน

Z แตกต่างกันไปตั้งแต่ 0 ถึง 3

3) ค้นหาปริมาตรของรูปโดยใช้สูตร (18)

ภารกิจที่ 21: คำนวณปริมาตรของวัตถุที่ถูกจำกัดด้วยกราฟของฟังก์ชัน แกนการหมุน Ox: 1)

1) วิธีแก้ปัญหา:

รูปที่ 13 - กราฟฟังก์ชัน

รูปที่ 15 - ตารางกราฟฟังก์ชัน

2) มาดูขีดจำกัดของการบูรณาการกัน

จุด (0;0) และ (1;1) เป็นจุดร่วมของกราฟทั้งสอง ดังนั้นจุดเหล่านี้จึงเป็นขีดจำกัดของการอินทิเกรต ซึ่งเห็นได้ชัดเจนในรูป

3) ค้นหาปริมาตรของรูปโดยใช้สูตร (20)

ภารกิจที่ 22: คำนวณพื้นที่ของร่างกายที่เกิดจากการหมุนของตัวเลขที่ถูกจำกัดโดยกราฟของฟังก์ชันรอบแกนขั้วโลก:

1) วิธีแก้ปัญหา:

รูปที่ 16 - กราฟฟังก์ชัน

รูปที่ 17 - ตารางตัวแปรสำหรับกราฟฟังก์ชัน

2) มาดูขีดจำกัดของการบูรณาการกัน

ค แตกต่างจาก

3) หาพื้นที่ของรูปโดยใช้สูตร (22)

คำตอบ: 3.68

บทสรุป

ในกระบวนการจบงานหลักสูตรในหัวข้อ “ปริพันธ์ที่กำหนด” ฉันได้เรียนรู้การคำนวณพื้นที่ ร่างกายที่แตกต่างกันค้นหาความยาวของส่วนโค้งต่างๆ ของเส้นโค้ง และคำนวณปริมาตรด้วย การนำเสนอครั้งนี้เกี่ยวกับการทำงานกับอินทิกรัลจะช่วยฉันได้ในอนาคต กิจกรรมระดับมืออาชีพวิธีการดำเนินการอย่างรวดเร็วและมีประสิทธิภาพ การกระทำต่างๆ- ท้ายที่สุด อินทิกรัลเองก็เป็นหนึ่งในแนวคิดที่สำคัญที่สุดของคณิตศาสตร์ซึ่งเกิดขึ้นในด้านหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับความต้องการในการค้นหาฟังก์ชันด้วยอนุพันธ์ของมัน (ตัวอย่างเช่นเพื่อค้นหาฟังก์ชันที่แสดงเส้นทางที่เคลื่อนที่โดยการเคลื่อนที่ ชี้ด้วยความเร็วของจุดนี้) และในทางกลับกันเพื่อวัดพื้นที่ ปริมาตร ความยาวของส่วนโค้ง งานของแรงในช่วงระยะเวลาหนึ่ง เป็นต้น

รายชื่อแหล่งที่มาที่ใช้

1. เขียนโดย D.T. บันทึกการบรรยายเรื่องคณิตศาสตร์ชั้นสูง ตอนที่ 1 - ฉบับที่ 9 - อ.: ไอริสกด 2551 - 288 หน้า

2. Bugrov, Ya.S. , Nikolsky, S.M. คณิตศาสตร์ที่สูงขึ้น ดิฟเฟอเรนเชียลและ แคลคูลัสเชิงปริพันธ์: ต.2 - ม.: อีแร้ง, 2547. - 512 หน้า

3. Zorich V. A. การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ส่วนที่ 1 -- เอ็ด วันที่ 4 - ม.: MTsNMO, 2545 -664 หน้า

4. คุซเนตซอฟ ดี.เอ. “รวบรวมปัญหาเรื่อง คณิตศาสตร์ที่สูงขึ้น"มอสโก 2526

5. Nikolsky S. N. “ องค์ประกอบ การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์- - ม.: เนากา, 2524.

เอกสารที่คล้ายกัน

การคำนวณพื้นที่ของรูปเครื่องบิน การหาอินทิกรัลที่แน่นอนของฟังก์ชัน การกำหนดพื้นที่ใต้เส้นโค้ง พื้นที่ของรูปที่อยู่ระหว่างเส้นโค้ง การคำนวณปริมาตรของร่างการปฏิวัติ ขีดจำกัดของผลรวมอินทิกรัลของฟังก์ชัน การกำหนดปริมาตรของกระบอกสูบ

การนำเสนอเพิ่มเมื่อ 18/09/2013


คุณสมบัติของการคำนวณปริมาตรของวัตถุที่ล้อมรอบด้วยพื้นผิวโดยใช้ความหมายทางเรขาคณิต อินทิกรัลสองเท่า- การกำหนดพื้นที่ของรูประนาบที่ล้อมรอบด้วยเส้นโดยใช้วิธีการบูรณาการในวิชาแคลคูลัส

การนำเสนอเพิ่มเมื่อ 17/09/2013


อนุพันธ์ของอินทิกรัลจำกัดขอบเขตเทียบกับตัวแปร ขีด จำกัด บน- การคำนวณอินทิกรัลจำกัดเขตเป็นลิมิตของผลรวมอินทิกรัลโดยใช้สูตรนิวตัน-ไลบ์นิซ การเปลี่ยนแปลงของตัวแปร และอินทิกรัลตามส่วนต่างๆ ความยาวส่วนโค้งใน ระบบขั้วโลกพิกัด

ทดสอบเพิ่มเมื่อ 22/08/2552


โมเมนต์และจุดศูนย์กลางมวลของเส้นโค้งระนาบ ทฤษฎีบทของกุลเดน พื้นที่ผิวที่เกิดจากการหมุนส่วนโค้งของส่วนโค้งของระนาบรอบแกนที่อยู่ในระนาบของส่วนโค้งและไม่ตัดกัน จะเท่ากับผลคูณของความยาวของส่วนโค้งและความยาวของวงกลม

การบรรยายเพิ่มเมื่อ 09/04/2003


ระเบียบวิธีและขั้นตอนหลักของการค้นหาพารามิเตอร์: พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งและเซกเตอร์, ความยาวของส่วนโค้งของเส้นโค้ง, ปริมาตรของวัตถุ, พื้นที่ผิวของตัวของการปฏิวัติ, การทำงานของแรงแปรผัน ขั้นตอนและกลไกการคำนวณอินทิกรัลโดยใช้แพ็คเกจ MathCAD

ทดสอบเพิ่มเมื่อ 11/21/2010


จำเป็นและ สภาพที่เพียงพอการมีอยู่ของอินทิกรัลจำกัดจำนวน ความเท่าเทียมกันของอินทิกรัลจำกัดเขตของ ผลรวมพีชคณิต(ความแตกต่าง) ของสองฟังก์ชัน ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย – ข้อพิสูจน์และการพิสูจน์ ความหมายทางเรขาคณิตของอินทิกรัลจำกัดเขต

การนำเสนอเพิ่มเมื่อ 18/09/2013


งาน การบูรณาการเชิงตัวเลขฟังก์ชั่น การคำนวณค่าโดยประมาณของอินทิกรัลจำกัดเขต การหาอินทิกรัลจำกัดเขตโดยใช้วิธีสี่เหลี่ยม สี่เหลี่ยมกลาง และสี่เหลี่ยมคางหมู ข้อผิดพลาดของสูตรและการเปรียบเทียบวิธีการในแง่ของความแม่นยำ

คู่มือการฝึกอบรม เพิ่มเมื่อ 07/01/2009


วิธีการคำนวณอินทิกรัล สูตรและการทวนสอบอินทิกรัลไม่จำกัด พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง ไม่แน่นอน,แน่นอนและ อินทิกรัลที่ซับซ้อน- การประยุกต์อินทิกรัลเบื้องต้น ความหมายทางเรขาคณิตของอินทิกรัลแน่นอนและอินทิกรัลไม่แน่นอน

การนำเสนอเพิ่มเมื่อ 15/01/2014


การคำนวณพื้นที่ของรูปจำกัด เส้นที่กำหนดโดยใช้อินทิกรัลคู่ การคำนวณอินทิกรัลสองเท่าซึ่งเคลื่อนที่ไปยังพิกัดเชิงขั้ว วิธีการกำหนด อินทิกรัลเส้นโค้งชนิดที่สองตามเส้นตรงและการไหลของสนามเวกเตอร์ที่กำหนด

ทดสอบเพิ่มเมื่อ 12/14/2555


แนวคิดเรื่องอินทิกรัลจำกัด การคำนวณพื้นที่ ปริมาตรของวัตถุและความยาวส่วนโค้ง โมเมนต์คงที่และจุดศูนย์ถ่วงของเส้นโค้ง การคำนวณพื้นที่ในกรณีพื้นที่โค้งเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า การประยุกต์เส้นโค้ง พื้นผิว และอินทิกรัลสามชั้น

การบรรยายครั้งที่ 8 การประยุกต์อินทิกรัลจำกัดเขต

การประยุกต์ใช้อินทิกรัลกับ งานทางกายภาพขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของการบวกของอินทิกรัลส่วนเซต ดังนั้น เมื่อใช้อินทิกรัล จึงสามารถคำนวณปริมาณที่บวกกันเองในชุดได้ ตัวอย่างเช่น พื้นที่ของรูปเท่ากับผลรวมของพื้นที่ของส่วนต่างๆ ของมัน ความยาวของส่วนโค้ง พื้นที่ผิว ปริมาตรของร่างกาย และมวลของร่างกายมีคุณสมบัติเหมือนกัน ดังนั้นปริมาณทั้งหมดนี้สามารถคำนวณได้โดยใช้อินทิกรัลจำกัดเขต

คุณสามารถใช้สองวิธีในการแก้ปัญหา: วิธีผลรวมปริพันธ์และวิธีการหาผลต่าง

วิธีการรวมอินทิกรัลจะทำซ้ำการสร้างอินทิกรัลจำกัดเขต: มีการสร้างพาร์ติชัน, มีการทำเครื่องหมายจุด, คำนวณฟังก์ชันที่จุดนั้น, ผลรวมอินทิกรัลถูกคำนวณ และดำเนินการผ่านไปยังขีดจำกัด ในวิธีนี้ ปัญหาหลักคือการพิสูจน์ว่าในขอบเขตผลลัพธ์คือสิ่งที่จำเป็นสำหรับปัญหา

วิธีอนุพันธ์ใช้อินทิกรัลไม่จำกัดและสูตรของนิวตัน–ไลบ์นิซ ส่วนต่างของปริมาณที่จะกำหนดได้รับการคำนวณ จากนั้นเมื่อรวมส่วนต่างนี้ จะได้ปริมาณที่ต้องการโดยใช้สูตรของนิวตัน–ไลบ์นิซ ในวิธีนี้ ปัญหาหลักคือการพิสูจน์ว่าคำนวณแล้วเป็นส่วนต่างของค่าที่ต้องการ ไม่ใช่อย่างอื่น

การคำนวณพื้นที่ของรูปเครื่องบิน

1. รูปนี้ถูกจำกัดด้วยกราฟของฟังก์ชันที่ระบุใน ระบบคาร์ทีเซียนพิกัด

เรามาถึงแนวคิดเรื่องอินทิกรัลจำกัดจากปัญหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง (อันที่จริงโดยใช้วิธีผลรวมอินทิกรัล) หากฟังก์ชันยอมรับเท่านั้น ค่าลบจากนั้นพื้นที่ใต้กราฟของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์สามารถคำนวณได้โดยใช้อินทิกรัลจำกัดเขต โปรดทราบว่า ดังนั้นจึงสามารถดูวิธีการดิฟเฟอเรนเชียลได้ที่นี่

แต่ฟังก์ชันยังสามารถรับค่าลบบนเซกเมนต์หนึ่งได้ ดังนั้นอินทิกรัลเหนือเซกเมนต์นี้จะให้พื้นที่ลบซึ่งขัดแย้งกับคำจำกัดความของพื้นที่

คุณสามารถคำนวณพื้นที่โดยใช้สูตรส=. ซึ่งเทียบเท่ากับการเปลี่ยนเครื่องหมายของฟังก์ชันในพื้นที่ที่รับค่าลบ

หากคุณต้องการคำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยกราฟของฟังก์ชันด้านบนและด้านล่างด้วยกราฟของฟังก์ชัน คุณสามารถใช้สูตรได้ส= , เพราะ .

ตัวอย่าง. คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้นตรง x=0, x=2 และกราฟของฟังก์ชัน y=x 2, y=x 3

โปรดทราบว่าในช่วง (0,1) ความไม่เท่าเทียมกัน x 2 > x 3 คงอยู่ และสำหรับ x >1 ความไม่เท่าเทียมกัน x 3 > x 2 คงอยู่ นั่นเป็นเหตุผล

2. รูปนี้ถูกจำกัดด้วยกราฟของฟังก์ชันที่ระบุในระบบพิกัดเชิงขั้ว

ให้กราฟของฟังก์ชันถูกกำหนดไว้ในระบบพิกัดเชิงขั้วและเราต้องการคำนวณพื้นที่ของเซกเตอร์เส้นโค้งที่ล้อมรอบด้วยรังสีสองเส้นและกราฟของฟังก์ชันในระบบพิกัดเชิงขั้ว

ที่นี่คุณสามารถใช้วิธีการหาผลรวมอินทิกรัลโดยคำนวณพื้นที่ของเซกเตอร์เส้นโค้งเป็นขีดจำกัดของผลรวมของพื้นที่ของเซกเตอร์เบื้องต้นซึ่งกราฟของฟังก์ชันจะถูกแทนที่ด้วยส่วนโค้งแบบวงกลม .

คุณยังสามารถใช้วิธีดิฟเฟอเรนเชียลได้: .

คุณสามารถคิดแบบนี้ได้ แทนที่เซกเตอร์เส้นโค้งเบื้องต้นที่สอดคล้องกับมุมกลางด้วยเซกเตอร์วงกลม เรามีสัดส่วน จากที่นี่ - เราได้รับการรวมและการใช้สูตรของนิวตัน–ไลบ์นิซ .

ตัวอย่าง. มาคำนวณพื้นที่วงกลมกัน (ตรวจสอบสูตร) เราเชื่อ. พื้นที่ของวงกลมคือ .

ตัวอย่าง. ลองคำนวณพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยคาร์ดิโอด์กัน .

3 รูปนี้ถูกจำกัดโดยกราฟของฟังก์ชันที่ระบุแบบพาราเมตริก

ฟังก์ชันสามารถระบุได้โดยใช้พารามิเตอร์ในรูปแบบ เราใช้สูตร ส= โดยแทนที่ขีดจำกัดของการอินทิเกรตเหนือตัวแปรใหม่ลงไป - โดยปกติเมื่อคำนวณอินทิกรัล พื้นที่เหล่านั้นที่ฟังก์ชันอินทิกรัลมีเครื่องหมายบางอย่างจะถูกระบุและคำนึงถึงพื้นที่ที่เกี่ยวข้องกับเครื่องหมายหนึ่งหรืออีกเครื่องหมายหนึ่งด้วย

ตัวอย่าง. คำนวณพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยวงรี

เมื่อใช้ความสมมาตรของวงรี เราคำนวณพื้นที่ของหนึ่งในสี่ของวงรีที่อยู่ในจตุภาคแรก ในจตุภาคนี้ นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไม

การคำนวณปริมาตรของร่างกาย

1. การคำนวณปริมาตรของวัตถุจากพื้นที่ส่วนขนาน

ปล่อยให้จำเป็นต้องคำนวณปริมาตรของตัว V บางตัวโดยใช้ สี่เหลี่ยมที่มีชื่อเสียงส่วนต่างๆ ของร่างกายนี้โดยระนาบที่ตั้งฉากกับเส้น OX ซึ่งลากผ่านจุด x ใดๆ ของส่วนของเส้นตรง OX

ลองใช้วิธีดิฟเฟอเรนเชียลดู เมื่อพิจารณาปริมาตรเบื้องต้นเหนือเซ็กเมนต์เป็นปริมาตรของทรงกระบอกกลมขวาพร้อมพื้นที่ฐานและความสูง เราได้มา - เราได้รับการรวมและประยุกต์ใช้สูตรของนิวตัน–ไลบ์นิซ

2. การคำนวณปริมาตรของร่างการปฏิวัติ

ปล่อยให้มันจำเป็นต้องคำนวณ วัว.

แล้ว .

เช่นเดียวกัน, ปริมาตรของตัววัตถุที่หมุนรอบแกนโอ้หากกำหนดฟังก์ชันไว้ในแบบฟอร์ม ก็สามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร

หากมีการระบุฟังก์ชันไว้ในแบบฟอร์มและจำเป็นต้องกำหนดปริมาตรของตัววัตถุที่หมุนรอบแกนโอ้จากนั้นจะได้สูตรคำนวณปริมาตรได้ดังนี้

เราได้ผ่านไปยังดิฟเฟอเรนเชียลแล้วละเลยเงื่อนไขกำลังสอง - เมื่อรวมและใช้สูตรของ Newton–Leibniz เรามี

ตัวอย่าง. คำนวณปริมาตรของทรงกลม

ตัวอย่าง. คำนวณปริมาตรของกรวยกลมด้านขวาที่ล้อมรอบด้วยพื้นผิวและระนาบ

ลองคำนวณปริมาตรเป็นปริมาตรของตัวการหมุนที่เกิดจากการหมุนรอบแกน OZ สามเหลี่ยมมุมฉากในระนาบ OXZ โดยมีขาอยู่บนแกน OZ และมีเส้นตรง z = H และด้านตรงข้ามมุมฉากอยู่บนเส้นตรง

เมื่อเขียน x ในรูปของ z เราจะได้ .

การคำนวณความยาวส่วนโค้ง

เพื่อให้ได้สูตรในการคำนวณความยาวของส่วนโค้ง ให้จำสูตรที่ได้ในภาคการศึกษาที่ 1 เพื่อหาค่าอนุพันธ์ของความยาวส่วนโค้ง

ถ้าส่วนโค้งคือกราฟของฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่องสามารถคำนวณส่วนต่างของความยาวส่วนโค้งได้โดยใช้สูตร

- นั่นเป็นเหตุผล

หากมีการระบุส่วนโค้งเรียบแบบพาราเมตริก, ที่

- นั่นเป็นเหตุผล .

หากมีการระบุส่วนโค้งในระบบพิกัดเชิงขั้ว, ที่

- นั่นเป็นเหตุผล .

ตัวอย่าง. คำนวณความยาวของส่วนโค้งของกราฟของฟังก์ชัน .

พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่ล้อมรอบด้วยกราฟของฟังก์ชัน y=ฉ(x),ซ้ายและขวา-ตรง x=กและ x=ขดังนั้นจากด้านล่าง - แกน วัวคำนวณโดยสูตร

พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่ล้อมรอบด้วยกราฟของฟังก์ชันทางด้านขวา x=φ(ย)ด้านบนและด้านล่าง - ตรง ย=งและ ย=คดังนั้นทางด้านซ้าย - แกน เฮ้ย:

สี่เหลี่ยม รูปร่างโค้งล้อมรอบด้วยกราฟของฟังก์ชัน ปี 2 =ฉ 2 (x)ด้านล่าง - กราฟฟังก์ชัน ปี 1 =ฉ 1 (x),ซ้ายและขวา-ตรง x=กและ x=ข:

พื้นที่ของรูปทรงโค้งที่ล้อมรอบด้านซ้ายและขวาด้วยกราฟของฟังก์ชัน x 1 =φ 1 (ย)และ x 2 =φ 2 (ย)ด้านบนและด้านล่าง - ตรง ย=งและ ย=คตามลำดับ:

ให้เราพิจารณากรณีที่เส้นที่จำกัดเส้นโค้งสี่เหลี่ยมคางหมูจากด้านบนถูกกำหนดโดยสมการพาราเมตริก x = φ 1 (เสื้อ), y = φ 2 (t), ที่ไหน α ≤ เสื้อ ≤ β, φ 1 (α)=ก, φ 1 (β)=ข- สมการเหล่านี้กำหนดฟังก์ชันบางอย่าง y=ฉ(x)บนส่วน [ ก, ข- พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งคำนวณโดยสูตร

มาดูตัวแปรใหม่กันดีกว่า x = φ 1 (เสื้อ), แล้ว dx = φ" 1 (t) dt, ก y=f(x)=f(φ 1 (t))=φ 2 (t)ดังนั้น \begin(displaymath)

พื้นที่ในพิกัดเชิงขั้ว

พิจารณาเซกเตอร์เส้นโค้ง โอเอบี, ล้อมรอบด้วยเส้น, กำหนดโดยสมการ ρ=ρ(φ) ในพิกัดเชิงขั้วจะมีรังสีสองเส้น โอเอและ โอ.บี.เพื่อที่ φ=α , φ=β .

เราจะแบ่งภาคออกเป็นภาคเบื้องต้น โอม เค-1เอ็ม เค ( k=1, …, น, ม 0 =ก, ม น =บี- ให้เราแสดงโดย Δφkมุมระหว่างรังสี โอม เค-1และ โอม เคทำให้เกิดมุมกับแกนขั้วโลก φ เค-1และ φ เคตามลำดับ ภาคประถมศึกษาแต่ละภาค โอม เค-1 เอ็มเคแทนที่ด้วยเซกเตอร์วงกลมที่มีรัศมี ρ เค =ρ(φ" k), ที่ไหน φ"เค- ค่ามุม φ จากช่วงเวลา [ φ เค-1 , φ เค], และ มุมกลาง Δφk- พื้นที่ของเซกเตอร์สุดท้ายแสดงด้วยสูตร .

เป็นการแสดงออกถึงพื้นที่ของเซกเตอร์ "ขั้นบันได" ที่แทนที่เซกเตอร์ที่กำหนดโดยประมาณ โอเอบี.

พื้นที่ภาค โอเอบีเรียกว่าขีดจำกัดของพื้นที่ภาค “ก้าว” ที่ n → ∞และ แลมบ์=สูงสุด Δφ k → 0:

เพราะ , ที่

ความยาวส่วนโค้ง

ให้ในส่วน [ ก, ข] จะได้ฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ y=ฉ(x)กราฟซึ่งเป็นส่วนโค้ง ส่วน [ ก,ข] เรามาแบ่งออกเป็น nส่วนที่มีจุด x1, x2, …, เอ็กซ์เอ็น-1- จุดเหล่านี้จะสอดคล้องกับจุด ม.1, ม.2, …, Mn-1ส่วนโค้ง เราเชื่อมมันเข้ากับเส้นขาด ซึ่งเรียกว่าเส้นขาดที่จารึกไว้ในส่วนโค้ง เส้นรอบวงของเส้นประนี้จะแสดงด้วย สนั่นคือ

คำนิยาม- ความยาวของส่วนโค้งของเส้นคือขีดจำกัดของเส้นรอบวงของเส้นขาดที่จารึกไว้เมื่อจำนวนลิงก์ เอ็ม เค-1 เอ็ม เคเพิ่มขึ้นเรื่อยๆ และความยาวของอันที่ใหญ่ที่สุดมีแนวโน้มเป็นศูนย์:

โดยที่ lah คือความยาวของลิงค์ที่ใหญ่ที่สุด

เราจะนับความยาวของส่วนโค้งจากจุดใดจุดหนึ่ง เช่น ก- ให้ตรงจุด ม(x,ย)ความยาวส่วนโค้งคือ สและตรงจุด ม"(x+Δ x,y+Δy)ความยาวส่วนโค้งคือ ส+Δสโดยที่ i>Δs คือความยาวของส่วนโค้ง จากรูปสามเหลี่ยม เอ็มเอ็นเอ็ม"ค้นหาความยาวของคอร์ด: .

จาก ข้อควรพิจารณาทางเรขาคณิตมันเป็นไปตามนั้น

นั่นคือ ส่วนโค้งเล็ก ๆ ของเส้นและคอร์ดที่ซับมันนั้นเทียบเท่ากัน

ให้เราแปลงสูตรที่แสดงความยาวของคอร์ด:

เมื่อผ่านไปถึงขีดจำกัดของความเท่าเทียมกันนี้ เราจะได้สูตรสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ส=ส(x):

จากที่เราพบ

สูตรนี้เป็นการแสดงออกถึงส่วนต่างของส่วนโค้งของเส้นโค้งระนาบและมีความเรียบง่าย ความหมายทางเรขาคณิต : เป็นการแสดงออกถึงทฤษฎีบทพีทาโกรัสสำหรับสามเหลี่ยมขนาดจิ๋ว เอ็มทีเอ็น (ดีเอส=มอนแทนา, ).

ส่วนต่างของส่วนโค้งของเส้นโค้งเชิงพื้นที่ถูกกำหนดโดยสูตร

พิจารณาส่วนโค้งของเส้นเชิงพื้นที่ที่กำหนดโดยสมการพาราเมตริก

ที่ไหน α ≤ เสื้อ ≤ β, φi(t) (ผม=1, 2, 3) - ฟังก์ชันเชิงอนุพันธ์ของอาร์กิวเมนต์ ที, ที่

บูรณาการความเท่าเทียมกันนี้ในช่วงเวลา [ α, β ] เราได้สูตรคำนวณความยาวของส่วนโค้งของเส้นนี้

หากสายอยู่ในเครื่องบิน อ็อกซี่, ที่ ซ=0ต่อหน้าทุกคน t∈[α, β]นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไม

ในกรณีที่ เส้นแบนกำหนดโดยสมการ y=ฉ(x) (ก≤x≤b), ที่ไหน ฉ(x)เป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ สูตรสุดท้ายอยู่ในรูปแบบ

ให้เส้นระนาบถูกกำหนดโดยสมการ ρ=ρ(φ) (α≤φ≤β ) ในพิกัดเชิงขั้ว ในกรณีนี้เรามี สมการพาราเมตริกเส้น x=ρ(φ) cos φ, y=ρ(φ) บาป φโดยที่มุมเชิงขั้วถูกใช้เป็นพารามิเตอร์ φ - เพราะ

แล้วสูตรแสดงความยาวของส่วนโค้งของเส้น ρ=ρ(φ) (α≤φ≤β ) ในพิกัดเชิงขั้วมีรูปแบบ

ปริมาณร่างกาย

ลองหาปริมาตรของร่างกายถ้าทราบพื้นที่ของหน้าตัดใด ๆ ของร่างกายนี้ตั้งฉากกับทิศทางที่แน่นอน

ให้เราแบ่งร่างกายนี้ออกเป็นชั้นพื้นฐานด้วยระนาบที่ตั้งฉากกับแกน วัวและกำหนดโดยสมการ x=ค่าคงที่- สำหรับการแก้ไขใดๆ x∈พื้นที่ที่รู้จัก ส=ส(x)ภาพตัดขวางของร่างกายที่กำหนด

ชั้นประถมศึกษาถูกตัดออกโดยเครื่องบิน x=x k-1, x=xk (k=1, …, น, x 0 =ก, xn =ข) แทนที่ด้วยกระบอกสูบที่มีความสูง ∆x k =x k -x k-1และพื้นที่ฐาน เอส(ξ k), ξ เค ∈.

ปริมาตรของกระบอกสูบเบื้องต้นที่ระบุจะแสดงโดยสูตร Δv k =E(ξ k)Δx k- ลองสรุปผลิตภัณฑ์ดังกล่าวทั้งหมด

ซึ่งเป็นผลรวมอินทิกรัลของฟังก์ชันที่กำหนด ส=ส(x)บนส่วน [ ก, ข- มันแสดงปริมาตรของตัวถังขั้นบันไดที่ประกอบด้วยกระบอกสูบพื้นฐานและแทนที่ตัวถังนี้โดยประมาณ

ปริมาตรของวัตถุที่กำหนดคือขีดจำกัดของปริมาตรของวัตถุขั้นบันไดที่ระบุที่ λ→0 , ที่ไหน λ - ความยาวของส่วนที่ใหญ่ที่สุดของส่วนประถมศึกษา ∆xเค- ให้เราแสดงโดย วีปริมาตรของร่างกายที่กำหนด จากนั้นตามคำจำกัดความ

อีกด้านหนึ่ง

ดังนั้นปริมาตรของร่างกายตามที่กำหนด ภาพตัดขวางคำนวณโดยสูตร

หากวัตถุเกิดขึ้นจากการหมุนรอบแกน วัวสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งล้อมรอบด้วยส่วนโค้งของเส้นต่อเนื่องกันที่ด้านบน y=ฉ(x), ที่ไหน ก≤x≤b, ที่ ส(x)=πf 2 (x)และสูตรสุดท้ายจะอยู่ในรูปแบบ:

ความคิดเห็น- ปริมาตรของวัตถุที่ได้จากการหมุนสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่ล้อมรอบด้วยกราฟของฟังก์ชันทางด้านขวา x=φ(ย) (ค ≤ x ≤ ง) รอบแกน เฮ้ยคำนวณโดยสูตร

พื้นที่ผิวของการหมุน

พิจารณาพื้นผิวที่ได้จากการหมุนส่วนโค้งของเส้น y=ฉ(x) (ก≤x≤b) รอบแกน วัว(สมมุติว่าฟังก์ชัน y=ฉ(x)มีอนุพันธ์ต่อเนื่อง) การแก้ไขค่า x∈เราจะเพิ่มค่าอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชัน ดีเอ็กซ์ซึ่งสอดคล้องกับ "วงแหวนพื้นฐาน" ที่ได้จากการหมุนส่วนโค้งเบื้องต้น ∆ลิตร- ให้เราแทนที่ "วงแหวน" นี้ด้วยวงแหวนทรงกระบอก - พื้นผิวด้านข้างของวัตถุที่เกิดจากการหมุนของสี่เหลี่ยมที่มีฐานเท่ากับส่วนต่างของส่วนโค้ง ดลและส่วนสูง ชั่วโมง=ฉ(x)- โดยการตัดวงแหวนสุดท้ายแล้วคลี่ออก เราจะได้แถบที่มีความกว้าง ดลและความยาว 2ปี, ที่ไหน y=ฉ(x).

ดังนั้นค่าส่วนต่างของพื้นที่ผิวจึงแสดงด้วยสูตร

สูตรนี้แสดงพื้นที่ผิวที่ได้จากการหมุนส่วนโค้งของเส้น y=ฉ(x) (ก≤x≤b) รอบแกน วัว.