การประยุกต์กราฟในการแก้สมการ การเรียนฟังก์ชันพื้นฐานเบื้องต้นในหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียน

รู้หรือไม่ว่าแต่ละคู่เรียงลำดับสอดคล้องกัน จุดเฉพาะบน ประสานงานเครื่องบิน- เนื่องจากแต่ละคำตอบของสมการที่มีตัวแปร x และ y สองตัวเป็นคู่ลำดับของตัวเลข คำตอบทั้งหมดจึงสามารถแสดงด้วยจุดบนระนาบพิกัดได้ ณ จุดเหล่านี้ Abscissa คือค่าของตัวแปร x และพิกัดคือค่าที่สอดคล้องกันของตัวแปร y ดังนั้นเราจึงได้กราฟของสมการที่มีตัวแปรสองตัว

จดจำ!

กราฟของสมการที่มีตัวแปรสองตัวคือรูปภาพบนระนาบพิกัดของทุกจุดที่มีพิกัดตรงกัน สมการที่กำหนด.

ดูรูปที่ 64 และ 65 คุณจะเห็นกราฟของสมการ 0.5 x - y = 2 โดยที่ x เป็นตัวเลขเลขคู่เดียว (รูปที่ 64) และกราฟของสมการ x 2 + y 2 = 4 (รูปที่ 64) 65) กราฟแรกมีเพียงสี่จุดเท่านั้น เนื่องจากตัวแปร x และ y สามารถรับค่าได้เพียงสี่ค่าเท่านั้น กราฟที่สองเป็นเส้นบนระนาบพิกัด ประกอบด้วยจุดหลายจุด เนื่องจากตัวแปร x สามารถรับค่าใดๆ ได้ตั้งแต่ -2 ถึง 2 และมีตัวเลขดังกล่าวหลายจุด นอกจากนี้ยังมีค่าที่สอดคล้องกันอีกมากมาย แตกต่างกันไปตั้งแต่ 2 ถึง 2

รูปที่ 66 แสดงกราฟของสมการ x + y = 4 ต่างจากกราฟของสมการ x 2 + y 2 = 4 (ดูรูปที่ 65) จุดหักล้างแต่ละจุดของกราฟนี้สอดคล้องกับพิกัดจุดเดียว ซึ่งหมายความว่า รูปที่ 66 แสดงกราฟของฟังก์ชัน โน้มน้าวตัวเองว่ากราฟของสมการในรูปที่ 64 ก็คือกราฟของฟังก์ชันด้วย

โปรดทราบ

ไม่ใช่ทุกสมการที่มีกราฟของฟังก์ชัน แต่ทุกกราฟของฟังก์ชันก็คือกราฟของสมการบางสมการ

สมการ x + y = 4 เป็นสมการเชิงเส้นในตัวแปรสองตัว เมื่อแก้ไขค่า y แล้วเราจะได้: y = -x + 4 ความเท่าเทียมกันที่เกิดขึ้นสามารถเข้าใจได้ว่าเป็นสูตรที่กำหนดฟังก์ชันเชิงเส้น y = -x + 4 กราฟของฟังก์ชันดังกล่าวเป็นเส้นตรง ดังนั้นกำหนดการ สมการเชิงเส้น x + y = 4 ดังแสดงในรูปที่ 66 เป็นเส้นตรง

เราสามารถพูดได้ว่ากราฟของสมการเชิงเส้นใดๆ ในตัวแปรสองตัวนั้นเป็นเส้นตรงหรือไม่? เลขที่ ตัวอย่างเช่น สมการเชิงเส้น 0 ∙ x + 0 ∙ y = 0 เป็นไปตามคู่ของตัวเลขใดๆ ดังนั้นกราฟของสมการนี้จึงมีจุดทั้งหมดของระนาบพิกัด

เรามาดูกันว่ากราฟของสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรสองตัวคืออะไร ax + by + c = 0 ขึ้นอยู่กับค่าของสัมประสิทธิ์ a, b และ c กรณีดังกล่าวเป็นไปได้

ให้ ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0 จากนั้นสมการ ax + โดย + c = 0 สามารถแสดงเป็น:

เราได้รับความเท่าเทียมกันซึ่งกำหนดฟังก์ชันเชิงเส้น y(x) กราฟของมันและกราฟของสมการนี้จึงเป็นเส้นตรงที่ไม่ผ่านจุดกำเนิดของพิกัด (รูปที่ 67)

2. ให้ ≠ 0, b ≠ 0, c = 0 จากนั้นสมการ ax + by + c = 0 จะอยู่ในรูป ax + by + 0 = 0 หรือ y = x

เราได้รับความเท่าเทียมกัน ซึ่งระบุสัดส่วนโดยตรงกับ y(x) กราฟของมันและกราฟของสมการนี้จึงเป็นเส้นตรงที่ผ่านจุดกำเนิดของพิกัด (รูปที่ 68)

3. ให้ ≠ 0, b = 0, c ≠ 0 จากนั้นสมการ ax + by + c = 0 จะอยู่ในรูป ax + 0 ∙ y + c = 0 หรือ x = -

ความเท่าเทียมกันที่ได้รับไม่ได้ระบุฟังก์ชัน y() ความเท่าเทียมกันนี้เป็นไปตามคู่ของตัวเลขดังกล่าว (x; y) โดยที่ x = และ y เป็นตัวเลขใดๆ บนระนาบพิกัด จุดเหล่านี้อยู่บนเส้นตรงขนานกับแกน OY ดังนั้นกราฟของสมการนี้จึงเป็นเส้นตรงขนานกับแกนพิกัด (รูปที่ 69)

4. ให้ ≠ 0, b = 0, c = 0 จากนั้นสมการ ax + by + c = 0 จะอยู่ในรูป ax + 0 ∙ y + 0 = 0 หรือ x = 0

ความเท่าเทียมกันนี้เป็นไปตามคู่ของตัวเลขดังกล่าว (x; y) โดยที่ x = 0 และ y คือตัวเลขใดๆ บนระนาบพิกัด จุดเหล่านี้อยู่บนแกน OY ดังนั้น กราฟของสมการนี้จึงเป็นเส้นตรงที่ประจวบกับแกนพิกัด

5. ให้ ≠ 0, b ≠ 0, c ≠0 จากนั้นสมการ ax + by + c = 0 อยู่ในรูปแบบ 0 ∙ x + โดย + c = 0 หรือ y = - ความเท่าเทียมกันนี้กำหนดฟังก์ชัน y(x) ซึ่งรับค่าเดียวกันสำหรับค่าใด ๆ ของ x นั่นคือค่าคงที่ กราฟของมันและกราฟของสมการนี้จึงเป็นเส้นตรงขนานกับแกนแอบซิสซา (รูปที่ 70)

6. ให้ a = 0, b ≠ 0, c = 0 จากนั้นสมการ ax + by + c = 0 จะอยู่ในรูปแบบ 0 ∙ x + by + 0 = 0 หรือ b = 0 เราได้ ฟังก์ชั่นคงที่ y(x) โดยที่แต่ละจุดของกราฟอยู่บนแกน OX ดังนั้น กราฟของสมการนี้จึงเป็นเส้นตรงที่ประจวบกับแกนแอบซิสซา

7. ให้ a = 0, b = 0, c ≠ 0 จากนั้นสมการ ax + by + c = 0 จะอยู่ในรูป 0 ∙ x + 0 ∙ y + c = 0 หรือ 0 ∙ x + 0 ∙ b = c . และสมการเชิงเส้นดังกล่าวไม่มีคำตอบ ดังนั้นกราฟของมันจึงไม่มีจุดเดียวบนระนาบพิกัด

8. ให้ a = 0, b = 0, c = 0 จากนั้นสมการ ax + by + c = 0 จะอยู่ในรูป 0 ∙ x + 0 ∙ y + 0 = 0 หรือ 0 ∙ x + 0 ∙ y = 0 สมการเชิงเส้นดังกล่าวมีคำตอบมากมาย ดังนั้นกราฟของมันคือระนาบพิกัดทั้งหมด

เราสามารถสรุปผลลัพธ์ที่ได้รับได้

กราฟของสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรสองตัว ax + by + с = 0:

เป็นเส้นตรงถ้า a ≠ 0 หรือ b ≠ 0;

เป็นระนาบทั้งหมดถ้า a = 0, b = 0 และ c = 0;

ไม่มีจุดเดียวของระนาบพิกัดถ้า a = 0, b = 0 และ c ≠ 0

งาน. เขียนกราฟสมการ 2x - y - 3 = 0

โซลูชั่น สมการ 2x - y - 3 = 0 เป็นเส้นตรง ดังนั้นกราฟของมันคือเส้น y = 2x - 3 หากต้องการสร้างมันก็เพียงพอที่จะระบุสองจุดที่เป็นของเส้นนี้ มาสร้างตารางค่า y สำหรับค่าที่กำหนดเองสองค่าของ x เช่นสำหรับ x = 0 และ x = 2 (ตารางที่ 27)

ตารางที่ 27

บนระนาบพิกัดเรากำหนดจุดด้วยพิกัด (0; -3) และ (2; 1) และลากเส้นตรงผ่านจุดเหล่านั้น (รูปที่ 70) เส้นตรงนี้คือกราฟที่ต้องการของสมการ 2x - y - 3 = 0

เป็นไปได้หรือไม่ที่จะระบุกราฟของสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรสองตัวและกราฟของสมการระดับที่หนึ่งที่มีตัวแปรสองตัว? ไม่ เนื่องจากมีสมการเชิงเส้นที่ไม่ใช่สมการระดับแรก ตัวอย่างเช่น สมการเหล่านี้คือสมการ 0 ∙ x + 0 ∙ y + c = 0, 0 ∙ x + 0 ∙ y + 0 = 0

โปรดทราบ:

กราฟของสมการเชิงเส้นในตัวแปรสองตัวอาจเป็นเส้นตรง ทั่วทั้งระนาบ หรือไม่มีจุดเดียวบนระนาบพิกัด

กราฟของสมการดีกรีองศาหนึ่งในตัวแปรสองตัวจะเป็นเส้นตรงเสมอ

ค้นหาข้อมูลเพิ่มเติม

1. ให้ ≠ 0 จากนั้น วิธีแก้ปัญหาทั่วไปสมการสามารถนำเสนอในรูปแบบนี้: X = - y - เราได้ฟังก์ชันเชิงเส้น x(y) กราฟของมันคือเส้นตรง ในการสร้างกราฟดังกล่าว คุณจะต้องรวมแกนพิกัดที่แตกต่างกันออกไป อันดับแรก แกนพิกัด(ตัวแปรอิสระ) พิจารณาแกน op-amp และแกนที่สอง (ตัวแปรตาม)

แกนอ็อกซ์ จากนั้นจะสะดวกในการวางตำแหน่งแกน OU ในแนวนอนและแกน OX

แนวตั้ง (รูปที่ 72) กราฟของสมการในกรณีนี้จะถูกวางแตกต่างกันบนระนาบพิกัด ขึ้นอยู่กับเครื่องหมายของสัมประสิทธิ์ b และ c สำรวจมันด้วยตัวคุณเอง

2. Nikolai Nikolaevich Bogolyubov (2452-2535) - นักคณิตศาสตร์และช่างเครื่องชาวรัสเซียที่โดดเด่นนักฟิสิกส์เชิงทฤษฎีผู้ก่อตั้ง โรงเรียนวิทยาศาสตร์ในกลศาสตร์ไม่เชิงเส้นและฟิสิกส์เชิงทฤษฎี นักวิชาการของ Academy of Sciences แห่งยูเครน SSR (1948) และ Academy of Sciences แห่งสหภาพโซเวียต (ตั้งแต่ปี 1953) เกิดใน นิจนี นอฟโกรอด จักรวรรดิรัสเซีย- ในปี 1921 ครอบครัวย้ายไปอยู่ที่เคียฟ หลังจากสำเร็จการศึกษาจากโรงเรียนเจ็ดปี Bogolyubov ศึกษาฟิสิกส์และคณิตศาสตร์อย่างอิสระและตั้งแต่อายุ 14 ปีได้เข้าร่วมในการสัมมนาของภาควิชาแล้ว ฟิสิกส์คณิตศาสตร์ Kyiv University ภายใต้การนำของนักวิชาการ D. A. Grave ในปี 1924 Bogolyubov อายุ 15 ปี ได้เขียนผลงานทางวิทยาศาสตร์ชิ้นแรกของเขา และใน ปีหน้าได้รับการตอบรับเข้าสู่บัณฑิตวิทยาลัย ANURSR ให้กับนักวิชาการ M. Krylov ซึ่งเขาสำเร็จการศึกษาในปี 1929 โดยได้รับปริญญาดุษฎีบัณฑิตสาขาวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์เมื่ออายุ 20 ปี

ในปี พ.ศ. 2472 หน้า มม. Bogolyubov กลายเป็นนักวิจัยที่ยูเครน Academy of Sciences และในปี 1934 เริ่มสอนที่มหาวิทยาลัยเคียฟ (ตั้งแต่ปี 1936 - ศาสตราจารย์) ตั้งแต่ปลายทศวรรษที่ 40 ของศตวรรษที่ XX ในเวลาเดียวกันเขาทำงานในรัสเซีย เขาเป็นผู้อำนวยการสถาบันร่วมเพื่อการวิจัยนิวเคลียร์ และต่อมาเป็นผู้อำนวยการสถาบันคณิตศาสตร์ซึ่งตั้งชื่อตาม A. Steklova ในมอสโก สอนที่มอสโก มหาวิทยาลัยของรัฐตั้งชื่อตามมิคาอิล โลโมโนซอฟ ในปี 1966 เขากลายเป็นผู้อำนวยการคนแรกของสถาบันฟิสิกส์เชิงทฤษฎีของยูเครน Academy of Sciences ในเคียฟซึ่งเขาสร้างขึ้นและในเวลาเดียวกัน (พ.ศ. 2506-2531) เขาเป็นนักวิชาการและเลขานุการของภาควิชาคณิตศาสตร์ของ สถาบันวิทยาศาสตร์แห่งสหภาพโซเวียต

มม. Bogolyubov - ฮีโร่สองครั้ง แรงงานสังคมนิยม(พ.ศ. 2512,2522) ได้รับรางวัล รางวัลเลนิน(2501) รางวัลรัฐล้าหลัง (2490.2496,2527) เหรียญทองตั้งชื่อตาม M.V. Lomonosov Academy of Sciences แห่งสหภาพโซเวียต (1985)

21 กันยายน 2552 ที่ด้านหน้าอาคารสีแดงแห่งเคียฟ มหาวิทยาลัยแห่งชาติตั้งชื่อตามเปิดร้าน Taras Shevchenko โล่ประกาศเกียรติคุณถึงนักวิชาการที่เก่งกาจ Nikolai Bogolyubov เพื่อเป็นเกียรติแก่การครบรอบหนึ่งร้อยปีแห่งการเกิดของเขา

ในปี 1992 สถาบันการศึกษาแห่งชาติ Sciences ofยูเครน รางวัล NAS ofยูเครน ตั้งชื่อตาม N.M. Bogolyubov ก่อตั้งขึ้น ซึ่งได้รับรางวัลจากภาควิชาคณิตศาสตร์ของ NAS ของประเทศยูเครนสำหรับผลงานดีเด่น งานทางวิทยาศาสตร์ในวิชาคณิตศาสตร์และฟิสิกส์เชิงทฤษฎี ดาวเคราะห์ดวงเล็ก "22616 Bogolyubov" ได้รับการตั้งชื่อเพื่อเป็นเกียรติแก่นักวิทยาศาสตร์

จำสิ่งสำคัญ

1. กราฟของสมการเชิงเส้นในตัวแปรสองตัวคืออะไร?

2. ไม่ว่าในกรณีใด กราฟของสมการที่มีตัวแปรสองตัวจะเป็นเส้นตรง เครื่องบิน?

3. กราฟของสมการเชิงเส้นของตัวแปรสองตัวจะผ่านจุดกำเนิดในกรณีใด

แก้ปัญหา

1078 - รูปที่ 73-74 ข้อใดแสดงกราฟของสมการเชิงเส้นในตัวแปรสองตัว อธิบายคำตอบของคุณ

1079 - ค่าสัมประสิทธิ์ a, b และ c คือค่าใดของเส้นตรง ขวาน + โดย + c = 0

1) ผ่านจุดกำเนิด

2) ขนานกับแกน x;

3) ขนานกับแกนกำหนด;

4) เกิดขึ้นพร้อมกับแกนแอบซิสซา

5) เกิดขึ้นพร้อมกับแกนพิกัด?

1080 - โดยไม่ต้องดำเนินการก่อสร้าง ให้พิจารณาว่าจุดนั้นเป็นของกราฟของสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรสองตัว 6x - 2y + 1 = 0:

1)เอ(-1;2.5); 2)ข(0;3.5); 3) ค(-2; 5.5); 4)ง(1,5;5)

1081 - โดยไม่ต้องดำเนินการก่อสร้าง ให้พิจารณาว่าจุดนั้นเป็นของกราฟของสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรสองตัว 3x + 3y - 5 = 0:

1) ก (-1; ); 2) ข (0; 1)

1082

1) 2x + y - 4 = 0 ถ้า x = 0; 3) 3x + 3y - 1 = 0 ถ้า x = 2;

2) 4x - 2y + 5 = 0 ถ้า x = 0; 4) -5x - y + 6 = 0 ถ้า x = 2

1083 - สำหรับสมการเชิงเส้นที่กำหนดในตัวแปรสองตัว ให้ค้นหาค่า y ที่สอดคล้องกับ สำหรับ มูลค่าที่กำหนดเอ็กซ์:

1)3x - y + 2 = 0 ถ้า x = 0; 2) 6x - 5y - 7 = 0 ถ้า x = 2

1084

1) 2x + y - 4 = 0; 4) -x + 2y + 8 = 0; 7) 5x - 10 = 0;

2) 6x - 2y + 12 = 0; 5)-x - 2y + 4 = 0; 8)-2у + 4 = 0;

3) 5x - 10y = 0; 6)x - y = 0; 9) x - y = 0

1085 - สร้างกราฟสมการเชิงเส้นด้วยตัวแปรสองตัว:

1) 4x + y - 3 = 0; 4) 10x - 5y - 1 = 0;

2) 9x - 3y + 12 = 0; 5) 2x + 6 = 0;

3) -4x - 8y = 0; 6) ปี - 3 = 0

1086 - ค้นหาพิกัดของจุดตัดของกราฟของสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรสองตัว 2x - 3y - 18 = 0 พร้อมแกน:

1) เพลา; 2) แกน

1087 - ค้นหาพิกัดของจุดตัดของกราฟของสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรสองตัว 5x + 4y - 20 = 0 พร้อมแกน:

1) เพลา; 2) แกน

1088 - บนเส้นตรงซึ่งเป็นกราฟของสมการ 0.5 x + 2y - 4 = 0 จะมีการระบุจุด จงหาพิกัดของจุดนี้ถ้าจุดหักล้างของมันคือ:

5) 4(x - y) = 4 - 4ป;

6) 7x - 2y = 2(1 + 3.5 x)

1094 - กราฟของสมการเชิงเส้นในตัวแปรสองตัวจะผ่านจุด A(3; -2) ค้นหาค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่รู้จักของสมการ:

1) ขวาน + 3y - 3 = 0;

2) 2x - คูณ + 8 = 0;

3)-x + 3y - ค = 0

1095 - กำหนดประเภทของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่มีจุดยอดเป็นจุดตัดของกราฟของสมการ:

x - y + 4 = 0, x - y - 4 = 0, -x - y + 4 = 0, -x - y - 4 = 0

1096 - เขียนสมการ:

1) ก - 4b + 1 = 0; 3) 3a + 0 ∙ ข - 12 = 0;

2) 0 ∙ ก + 2b + 6 = 0; 4) 0 ∙ ก + 0 ∙ ข + 5 = 0

นำไปปฏิบัติ

1097 - สร้างสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรสองตัวตามข้อมูลต่อไปนี้: 1) ขนมหวาน 3 กก. และคุกกี้ 2 กก. ราคา 120 UAH; 2) ปากกา 2 ด้ามมีราคา 20 UAH แพงกว่าดินสอ 5 แท่ง สร้างกราฟสมการที่คุณสร้างขึ้น

1098 - สร้างกราฟสมการของปัญหาเกี่ยวกับ: 1) จำนวนเด็กหญิงและเด็กชายในชั้นเรียนของคุณ; 2) การจัดซื้อสมุดบันทึกแบบมีเส้นและสี่เหลี่ยม

ตรวจสอบปัญหา

1,099 นักท่องเที่ยวเดิน 12 กม. ในหนึ่งชั่วโมง นักท่องเที่ยวจะใช้เวลากี่ชั่วโมงในการครอบคลุมระยะทาง 20 กม. ด้วยความเร็วเท่ากัน

11.00 ความเร็วรถไฟตามตารางใหม่ควรเป็นเท่าใดจึงจะครอบคลุมระยะทางระหว่างสองสถานีได้ในเวลา 2.5 ชั่วโมง ถ้าตามตารางเดิมเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 100 กม./ชม. ครอบคลุมใน 3 ชั่วโมง ชั่วโมง?

หน้า 2

วาดกราฟของสมการ x+y=3 และใช้กราฟเพื่อหาคำตอบต่างๆ ของสมการนี้

ต่อไป ความสนใจของนักเรียนจะอยู่ที่ความจริงที่ว่า การสร้างกราฟของสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรสองตัวจะง่ายกว่าหากสมการถูกแปลงเป็นรูปแบบ y=kx+b ซึ่งใช้คำว่า "ฟังก์ชันเชิงเส้น" ต่อมาได้รับแจ้งว่ามีฟังก์ชันอื่นๆ เช่น y=x2 (ซึ่งครอบคลุมอยู่ในบทที่ 7)

หนังสือเรียนแนะนำทฤษฎีบทที่ไม่มีการพิสูจน์ เช่น

ทฤษฎีบท 2 กราฟ ฟังก์ชันเชิงเส้น y=kx+b เป็นเส้นตรง

ทฤษฎีบท 4 เส้นตรงที่ทำหน้าที่เป็นกราฟของฟังก์ชันเชิงเส้น y=kx+b ขนานกับเส้นตรงที่ทำหน้าที่เป็นกราฟที่มีสัดส่วนโดยตรง y=kx

ด้วยฟังก์ชันกำลังสอง นักเรียนในตำราเรียนของ Sh.A. Alimova พบกันครั้งแรกในชั้นประถมศึกษาปีที่ 8

ในมาตรา 35 นักเรียนจะได้รู้จักกับคำจำกัดความของฟังก์ชันกำลังสอง ตัวอย่างมาจากชีวิตที่มีฟังก์ชันกำลังสองเกิดขึ้น ตัวอย่างเช่น การพึ่งพาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้านข้างเป็นตัวอย่างหนึ่งของฟังก์ชัน y=x2

ใน§36 เสนอให้พิจารณาฟังก์ชัน y=x2 เช่น ฟังก์ชันกำลังสอง y=ax2+bx+c ที่, a=1, b=0, c=0

ในการสร้างฟังก์ชัน ตารางจะถูกรวบรวม จากนั้นจุดต่างๆ จะถูกทำเครื่องหมายบนระนาบพิกัดและเชื่อมต่อกัน กราฟของฟังก์ชัน y=x2 เรียกว่าพาราโบลา

หลังจากนั้น คุณสมบัติบางอย่างของฟังก์ชัน y=x2 จะถูกชี้แจง

ใน §37 นักเรียนจะถูกขอให้สร้างกราฟของฟังก์ชัน y=ax2 เปรียบเทียบกราฟของฟังก์ชัน y=ax2 และ y=x2 พวกเขาบอกว่ากราฟของฟังก์ชัน y=аx2 นั้นได้มาจากการยืดกราฟของฟังก์ชัน y=x2 จากแกน Ох ไปตามแกน Оу ทีละครั้ง

พิจารณาคุณสมบัติของฟังก์ชัน y=ax2 โดยที่ а¹0

1) ถ้า a>0 ฟังก์ชัน y=ax2 จะใช้ ค่าบวกที่x¹0;

ถ้าก<0, то функция y=ax2 принимает отрицательные значения при х¹0;

2) พาราโบลา y=ax2 มีความสมมาตรเกี่ยวกับพิกัด

3) ถ้า a>0 ฟังก์ชัน y=ax2 จะเพิ่มขึ้นเป็น x³0 และลดลงเป็น x £ 0;

ถ้าก<0, то функция y=ax2 убывает при х³0 и возрастает при х£0.

ใน §38 ผู้เขียนแนะนำให้สร้างกราฟของฟังก์ชันกำลังสอง ในการทำเช่นนี้ ขอเสนอให้ใช้วิธีแยกกำลังสองสมบูรณ์ (เราได้ y=(x+m)2+n) แล้วเปรียบเทียบกราฟผลลัพธ์กับกราฟของฟังก์ชัน y=x2 สรุปได้ว่าเราได้พาราโบลาเลื่อนไป m หน่วยตามแกน Ox และ n หน่วยตามแกน Oy

ส่วนที่ 39 มีอัลกอริทึมสำหรับการสร้างกราฟของฟังก์ชันกำลังสองใดๆ y=ax2+bx+c:

สร้างจุดยอดของพาราโบลา (x0, y0) โดยการคำนวณ x0, y0 โดยใช้สูตร

ลากเส้นตรงผ่านจุดยอดของพาราโบลาขนานกับแกนพิกัด - แกนสมมาตรของพาราโบลา

หาศูนย์ของฟังก์ชัน (ถ้ามี) แล้วพล็อตจุดที่สอดคล้องกันของพาราโบลาบนแกนแอบซิสซา

สร้างจุดสองจุดของพาราโบลาโดยสมมาตรรอบแกน ในการทำเช่นนี้คุณจะต้องใช้จุดสองจุดบนแกนซึ่งสมมาตรเทียบกับจุด x0 (x0 ¹ 0) และคำนวณค่าที่สอดคล้องกันของฟังก์ชัน (ค่าเหล่านี้เหมือนกัน) ตัวอย่างเช่น คุณสามารถสร้างจุดของพาราโบลาโดยมีจุดหักล้าง x=0 และ x=2x0 (พิกัดของจุดเหล่านี้จะเท่ากับ c)

วาดพาราโบลาผ่านจุดที่สร้างขึ้น

เมื่อศึกษาหัวข้อนี้ ความสามารถในการกำหนดจากกราฟช่วงเวลาของฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น ช่วงเวลาของเครื่องหมายคงที่ และศูนย์ของฟังก์ชันจะเกิดขึ้น ไม่จำเป็นต้องค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชันและแก้ไขปัญหาโดยใช้ฟังก์ชันเหล่านั้น

โดยสรุป นักเรียนจะได้รับโอกาสทำซ้ำการแก้ระบบสมการสองสมการอีกครั้ง ซึ่งหนึ่งในนั้นคือระบบที่หนึ่งและอีกระดับที่สอง

ในตำราเรียนของ Yu.N. Makarycheva และคณะ นักเรียนจะพบกับฟังก์ชัน y=x2 เป็นครั้งแรกในชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 ข้อมูลทั้งหมดถูกกล่าวถึงในย่อหน้านี้คล้ายกับตำราเรียนของ Sh.A. Alimova สำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 8

สมการเชิงเส้นในตัวแปรสองตัวคือสมการใดๆ ที่มีรูปแบบดังต่อไปนี้ a*x + b*y =с- โดยที่ x และ y เป็นตัวแปรสองตัว ส่วน a,b,c คือตัวเลขบางตัว

ผลเฉลยของสมการเชิงเส้น a*x + b*y = c คือคู่ของตัวเลขใดๆ (x,y) ที่เป็นไปตามสมการนี้ กล่าวคือ เปลี่ยนสมการที่มีตัวแปร x และ y ให้กลายเป็นความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลขที่ถูกต้อง สมการเชิงเส้นมีจำนวนคำตอบไม่สิ้นสุด

หากตัวเลขแต่ละคู่ที่เป็นคำตอบของสมการเชิงเส้นในตัวแปรสองตัวแสดงบนระนาบพิกัดเป็นจุด จุดทั้งหมดเหล่านี้จะกลายเป็นกราฟของสมการเชิงเส้นในตัวแปรสองตัว พิกัดของจุดต่างๆ จะเป็นค่า x และ y ของเรา ในกรณีนี้ ค่า x จะเป็นค่า abscissa และค่า y จะเป็นค่าพิกัด

กราฟของสมการเชิงเส้นในสองตัวแปร

กราฟของสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรสองตัวคือเซตของจุดที่เป็นไปได้ทั้งหมดบนระนาบพิกัด ซึ่งพิกัดจะเป็นคำตอบของสมการเชิงเส้นนี้ เดาได้ง่ายว่ากราฟจะเป็นเส้นตรง นั่นคือสาเหตุที่สมการดังกล่าวเรียกว่าเชิงเส้น

อัลกอริธึมการก่อสร้าง

อัลกอริทึมสำหรับพล็อตสมการเชิงเส้นในตัวแปรสองตัว

1. วาดแกนพิกัด ติดป้ายกำกับและทำเครื่องหมายมาตราส่วนของหน่วย

2. ในสมการเชิงเส้น ใส่ x = 0 และแก้สมการผลลัพธ์สำหรับ y ทำเครื่องหมายจุดผลลัพธ์บนกราฟ

3. ในสมการเชิงเส้น ให้นำเลข 0 เป็น y แล้วแก้สมการผลลัพธ์สำหรับ x ทำเครื่องหมายจุดผลลัพธ์บนกราฟ

4. หากจำเป็น ให้ใช้ค่า x ที่กำหนดเองแล้วแก้สมการผลลัพธ์สำหรับ y ทำเครื่องหมายจุดผลลัพธ์บนกราฟ

5. เชื่อมต่อจุดผลลัพธ์และต่อกราฟต่อไป ลงชื่อเส้นตรงที่เกิดขึ้น

ตัวอย่าง:สร้างกราฟสมการ 3*x - 2*y =6;

ลองใส่ x=0 จากนั้น - 2*y =6; ย= -3;

ลองใส่ y=0 แล้ว 3*x = 6; x=2;

เราทำเครื่องหมายจุดที่ได้รับบนกราฟ ลากเส้นตรงผ่านจุดเหล่านั้นแล้วติดป้ายกำกับ ดูรูปด้านล่างกราฟควรมีลักษณะเช่นนี้

วัตถุประสงค์:1) เพื่อแนะนำนักเรียนเกี่ยวกับแนวคิดเรื่อง "สมการที่มีตัวแปรสองตัว"

2) เรียนรู้การกำหนดระดับของสมการด้วยตัวแปรสองตัว

3) เรียนรู้ที่จะพิจารณาจากฟังก์ชันที่กำหนดว่ารูปใดเป็นกราฟ

สมการที่กำหนด;

4) พิจารณาการแปลงกราฟด้วยตัวแปรสองตัว

ให้สมการกับตัวแปรสองตัวโดยใช้โปรแกรม Agrapher

6) พัฒนาความคิดเชิงตรรกะของนักเรียน

I. เนื้อหาใหม่ - การบรรยายเชิงอธิบายพร้อมองค์ประกอบของการสนทนา

(บรรยายโดยใช้สไลด์ของผู้เขียน วาดกราฟในโปรแกรม Agrapher)

T: เมื่อศึกษาบรรทัดจะเกิดปัญหาสองประการ:

ใช้คุณสมบัติทางเรขาคณิตของเส้นที่กำหนด ค้นหาสมการ

ปัญหาผกผัน: จากสมการของเส้นตรง ให้ศึกษาคุณสมบัติทางเรขาคณิตของมัน

เราพิจารณาปัญหาแรกในหลักสูตรเรขาคณิตที่เกี่ยวข้องกับวงกลมและเส้นตรง

วันนี้เราจะพิจารณาปัญหาผกผัน

พิจารณาสมการของแบบฟอร์ม:

ก) x(x-y)=4;ข) 2u-x 2 =-2 - วี) x(x+y 2 ) = x +1.

เป็นตัวอย่างของสมการที่มีตัวแปรสองตัว

สมการที่มีตัวแปรสองตัว เอ็กซ์และ ที่ ดูเหมือนว่า ฉ(x,y)=(x,y), ที่ไหน ฉและ – นิพจน์ที่มีตัวแปร เอ็กซ์และ คุณ

ถ้าอยู่ในสมการ x(x-y)=4ทดแทนแทนตัวแปร เอ็กซ์ค่าของมันคือ -1 และแทน ที่– ค่า 3 จากนั้นจะได้ความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง: 1*(-1-3)=4,

จับคู่ (-1; 3) ค่าตัวแปร เอ็กซ์และ ที่เป็นการแก้สมการ x(x-y)=4.

นั่นก็คือ การแก้สมการ โดยมีตัวแปรสองตัวเรียกว่า เซตของคู่ลำดับของค่าของตัวแปรที่สร้างสมการนี้ให้มีความเท่าเทียมกันอย่างแท้จริง

สมการที่มีตัวแปรสองตัวมักจะมีคำตอบมากมายนับไม่ถ้วน ข้อยกเว้นแบบฟอร์ม เช่น สมการ เช่น เอ็กซ์ 2 +(ย 2 - 4) 2 = 0 หรือ

2x2 + ที่ 2 = 0 .

วิธีแรกมีสองวิธี (0; -2) และ (0; 2) วิธีที่สองมีหนึ่งวิธี (0; 0)

สมการ x 4 + y 4 +3 = 0 ไม่มีคำตอบเลย เป็นที่สนใจเมื่อค่าของตัวแปรในสมการเป็นจำนวนเต็ม โดยการแก้สมการดังกล่าวด้วยตัวแปรสองตัว จะพบคู่ของจำนวนเต็ม ในกรณีเช่นนี้ กล่าวกันว่าสมการต้องแก้เป็นจำนวนเต็ม

สมการสองสมการที่มีคำตอบชุดเดียวกันเรียกว่า สมการที่เทียบเท่า- ตัวอย่างเช่น สมการ x(x + y 2) = x + 1 เป็นสมการของระดับที่สาม เนื่องจากสามารถแปลงเป็นสมการ xy 2 + x 2 - x-1 = 0 ได้ ซึ่งทางด้านขวาคือ พหุนามของรูปแบบมาตรฐานของดีกรีที่สาม

ระดับของสมการที่มีตัวแปรสองตัวซึ่งแสดงอยู่ในรูปแบบ F(x, y) = 0 โดยที่ F(x, y) เป็นพหุนามในรูปแบบมาตรฐาน เรียกว่าดีกรีของพหุนาม F(x, y)

ถ้าคำตอบทั้งหมดของสมการที่มีตัวแปรสองตัวแสดงเป็นจุดในระนาบพิกัด คุณจะได้กราฟของสมการที่มีตัวแปรสองตัว

กำหนดการสมการที่มีตัวแปรสองตัวคือเซตของจุดซึ่งมีพิกัดเป็นคำตอบของสมการนี้

ดังนั้นกราฟของสมการ ขวาน + โดย + c = 0เป็นเส้นตรงถ้ามีสัมประสิทธิ์อย่างน้อยหนึ่งตัว กหรือ ข ไม่เท่ากับศูนย์ (รูปที่ 1)- ถ้า ก = ข = ค = 0แล้วกราฟของสมการนี้คือ ระนาบพิกัด (รูปที่ 2), ถ้า ก = ข = 0, ก ค0แล้วกราฟจะเป็น ชุดเปล่า (รูปที่ 3).

กราฟสมการ y = ก x 2 + โดย + คคือพาราโบลา (รูปที่ 4) ซึ่งเป็นกราฟของสมการ xy=k (k0) – อติพจน์ (รูปที่ 5)- กราฟสมการ เอ็กซ์ 2 + ย 2 = อาร์โดยที่ x และ y เป็นตัวแปร r เป็นจำนวนบวก คือ วงกลมโดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดและมีรัศมีเท่ากัน ร(รูปที่ 6) กราฟของสมการคือ วงรี, ที่ไหน กและ ข– ครึ่งแกนหลักและรองของวงรี (รูปที่ 7)

การสร้างกราฟของสมการบางสมการได้รับการอำนวยความสะดวกโดยการใช้การแปลง ลองพิจารณาดู การแปลงกราฟของสมการเป็นสองตัวแปรและกำหนดกฎที่ใช้แปลงกราฟสมการที่ง่ายที่สุด

1) กราฟของสมการ F (-x, y) = 0 ได้มาจากกราฟของสมการ F (x, y) = 0 โดยใช้สมมาตรรอบแกน คุณ

2) กราฟของสมการ F (x, -y) = 0 ได้มาจากกราฟของสมการ F (x, y) = 0 โดยใช้สมมาตรรอบแกน เอ็กซ์.

3) กราฟของสมการ F (-x, -y) = 0 ได้มาจากกราฟของสมการ F (x, y) = 0 โดยใช้สมมาตรกลางรอบจุดกำเนิด

4) กราฟของสมการ F (x-a, y) = 0 ได้มาจากกราฟของสมการ F (x, y) = 0 โดยการเคลื่อนที่ขนานกับแกน x ด้วย |a| หน่วย (ไปทางขวา, ถ้า ก> 0 และไปทางซ้ายถ้า ก < 0).

5) กราฟของสมการ F (x, y-b) = 0 ได้มาจากกราฟของสมการ F (x, y) = 0 โดยเลื่อนไปที่ |b| หน่วยขนานกับแกน ที่(ขึ้นถ้า ข> 0 และลงถ้า ข < 0).

6) กราฟของสมการ F (ax, y) = 0 ได้มาจากกราฟของสมการ F (x, y) = 0 โดยการบีบอัดไปที่แกน y และ a ครั้ง ถ้า ก> 1 และโดยการยืดจากแกน y คูณคูณ ถ้าเป็น 0< ก < 1.

7) กราฟของสมการ F (x, โดย) = 0 ได้มาจากกราฟของสมการ F (x, y) = 0 โดยใช้การบีบอัดแกน x ใน ขครั้งถ้า ข> 1 และโดยการยืดจากแกน x คูณด้วย 0 < b < 1.

ถ้ากราฟของสมการบางสมการหมุนด้วยมุมหนึ่งใกล้กับจุดกำเนิด กราฟใหม่จะเป็นกราฟของสมการอื่น กรณีพิเศษของการหมุนที่มุม 90 0 และ 45 0 มีความสำคัญ

8) กราฟของสมการ F (x, y) = 0 ซึ่งเป็นผลมาจากการหมุนตามเข็มนาฬิกาใกล้กับจุดกำเนิดของพิกัดด้วยมุม 90 0 เปลี่ยนเป็นกราฟของสมการ F (-y, x) = 0 และทวนเข็มนาฬิกาลงในกราฟของสมการ F (y , -x) = 0

9) กราฟของสมการ F (x, y) = 0 ซึ่งเป็นผลมาจากการหมุนตามเข็มนาฬิกาใกล้กับจุดกำเนิดของพิกัดด้วยมุม 45 0 เปลี่ยนเป็นกราฟของสมการ F = 0 และทวนเข็มนาฬิกาเป็นกราฟของ สมการ F = 0.

จากกฎที่เราพิจารณาในการแปลงกราฟของสมการที่มีตัวแปรสองตัว กฎสำหรับการแปลงกราฟของฟังก์ชันต่างๆ ก็สามารถหาได้ง่าย

ตัวอย่างที่ 1 ให้เราแสดงสิ่งนั้นโดยสร้างกราฟสมการ เอ็กซ์ 2 + ย 2 + 2x – 8y + 8 = 0เป็นวงกลม (รูปที่ 17)

ลองแปลงสมการดังนี้:

1) จัดกลุ่มคำศัพท์ที่มีตัวแปร เอ็กซ์และมีตัวแปรอยู่ด้วย ที่และจินตนาการแต่ละกลุ่มของพจน์ในรูปของตรีโกณมิติกำลังสองสมบูรณ์: (x 2 + 2x + 1) + (y 2 -2*4*y + 16) + 8 – 1 – 16 = 0;

2) เขียนผลลัพธ์ตรีโกณมิติเป็นกำลังสองของผลรวม (ผลต่าง) ของสองนิพจน์: (x + 1) 2 + (y – 4) 2 - 9 = 0;

3) มาวิเคราะห์ตามกฎสำหรับการแปลงกราฟของสมการที่มีตัวแปรสองตัว สมการ (x + 1) 2 + (y – 4) 2 = 3 2: กราฟของสมการนี้เป็นวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ จุด (-1; 4) และรัศมี 3 หน่วย .

ตัวอย่างที่ 2: ลองสร้างกราฟสมการกัน เอ็กซ์ 2 + 4у 2 = 9 .

ลองนึกภาพ 4y 2 ในรูปแบบ (2y) 2 เราจะได้สมการ x 2 + (2y) 2 = 9 ซึ่งกราฟนี้สามารถหาได้จากวงกลม x 2 + y 2 = 9 โดยการบีบอัดแกน x ด้วย a ตัวประกอบของ 2

วาดวงกลมโดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดและมีรัศมี 3 หน่วย

ลองลดระยะห่างของแต่ละจุดจากแกน X ลง 2 เท่าแล้วจะได้กราฟของสมการ

x 2 + (2ป) 2 = 9.

เราได้รูปโดยการบีบอัดวงกลมให้เหลือเส้นผ่านศูนย์กลางอันใดอันหนึ่ง (จนถึงเส้นผ่านศูนย์กลางที่อยู่บนแกน X) รูปนี้เรียกว่าวงรี (รูปที่ 18)

ตัวอย่างที่ 3 เรามาดูกันว่ากราฟของสมการ x 2 - y 2 = 8 คืออะไร

ลองใช้สูตร F= 0

แทนที่ในสมการนี้แทนที่จะเป็น X และแทนที่จะเป็น Y เราจะได้:

T: กราฟของสมการ y = คืออะไร?

D: กราฟของสมการ y = คือไฮเปอร์โบลา

U: เราแปลงสมการของรูปแบบ x 2 - y 2 = 8 ให้เป็นสมการ y =

เส้นใดจะเป็นกราฟของสมการนี้?

D: ดังนั้น กราฟของสมการ x 2 - y 2 = 8 จึงเป็นไฮเปอร์โบลา

U: เส้นใดเป็นเส้นกำกับของไฮเพอร์โบลา y =

D: เส้นกำกับของไฮเพอร์โบลา y = คือเส้นตรง y = 0 และ x = 0

U: เมื่อการหมุนเสร็จสิ้น เส้นตรงเหล่านี้จะเปลี่ยนเป็นเส้นตรง = 0 และ = 0 นั่นคือเป็นเส้นตรง y = x และ y = - x (รูปที่ 19)

ตัวอย่างที่ 4: เรามาดูกันว่าสมการ y = x 2 ของพาราโบลาจะเป็นอย่างไรเมื่อหมุนรอบจุดกำเนิดด้วยมุม 90 0 ตามเข็มนาฬิกา

ใช้สูตร F (-y; x) = 0 ในสมการ y = x 2 เราแทนที่ตัวแปร x ด้วย – y และตัวแปร y ด้วย x เราได้สมการ x = (-y) 2 เช่น x = y 2 (รูปที่ 20)

เราดูตัวอย่างกราฟของสมการระดับสองที่มีตัวแปรสองตัว และพบว่ากราฟของสมการดังกล่าวอาจเป็นพาราโบลา ไฮเปอร์โบลา วงรี (โดยเฉพาะวงกลม) นอกจากนี้ กราฟของสมการระดับที่สองสามารถเป็นเส้นคู่ได้ (ตัดกันหรือขนาน) นี่คือสิ่งที่เรียกว่ากรณีที่เสื่อมโทรม ดังนั้นกราฟของสมการ x 2 - y 2 = 0 คือเส้นตัดกันคู่หนึ่ง (รูปที่ 21a) และกราฟของสมการ x 2 - 5x + 6 + 0y = 0 คือเส้นขนาน

II การรวมบัญชี

(นักเรียนจะได้รับ “บัตรคำสั่ง” สำหรับสร้างกราฟสมการที่มีตัวแปรสองตัวในโปรแกรม Agrapher (ภาคผนวก 2) และบัตร “งานภาคปฏิบัติ” (ภาคผนวก 3) พร้อมการกำหนดภารกิจที่ 1-8 ครูสาธิตกราฟสมการสำหรับ ภารกิจที่ 4-5 บนสไลด์ )

ภารกิจที่ 1 คู่ใด (5;4), (1;0), (-5;-4) และ (-1; -) เป็นคำตอบของสมการ:

ก) x 2 - y 2 = 0, b) x 3 - 1 = x 2 ปี + 6y?

สารละลาย:

เข้ามาทดแทน สมการที่กำหนดเมื่อนำพิกัดของจุดเหล่านี้ทีละจุด เรามั่นใจว่าไม่มีคู่ที่กำหนดเพียงคู่เดียวที่จะเป็นวิธีแก้สมการ x 2 - y 2 = 0 และการแก้สมการของสมการ x 3 - 1 = x 2 y + 6y คือคู่ (5;4), (1;0) และ (-1; -)

125 - 1 = 100 + 24 (ฉัน)

1 - 1= 0 + 0 (ฉัน)

125 – 1 = -100 – 24 (ยาว)

1 – 1 = - - (ฉัน)

คำตอบ:ก); ข) (5;4), (1; 0), (-1; -)

ภารกิจที่ 2 ค้นหาคำตอบของสมการ xy 2 - x 2 y = 12 โดยที่ค่านั้น เอ็กซ์เท่ากับ 3

วิธีแก้ไข: 1) แทนค่า 3 แทน X ในสมการที่กำหนด

2) เราได้สมการกำลังสองสำหรับตัวแปร Y โดยมีรูปแบบ:

3ปี 2 - 9ปี = 12.

4) มาแก้สมการนี้กัน:

3ปี 2 - 9ปี – 12 = 0

ง = 81 + 144 = 225

คำตอบ: คู่ (3;4) และ (3;-1) เป็นคำตอบของสมการ xy 2 - x 2 y = 12

ภารกิจที่ 3 กำหนดระดับของสมการ:

ก) 2y 2 - 3x 3 + 4x = 2; ค) (3 x 2 + x)(4x - y 2) = x;

b) 5y 2 - 3y 2 x 2 + 2x 3 = 0; ง) (2y - x 2) 2 = x(x 2 + 4xy + 1)

คำตอบ: ก) 3; ข) 5; ค) 4; ง) 4.

ภารกิจที่ 4 รูปใดคือกราฟของสมการ:

ก) 2x = 5 + 3y; ข) 6 x 2 - 5x = y – 1; ค) 2(x + 1) = x 2 - y;

ง) (x - 1.5)(x – 4) = 0; จ) xy – 1.2 = 0; จ) x 2 + y 2 = 9

ภารกิจที่ 5 เขียนสมการที่มีกราฟสมมาตรกับกราฟของสมการ x 2 - xy + 3 = 0 (รูปที่ 24) เทียบกับ: a) แกน เอ็กซ์- b) แกน ที่- c) เส้นตรง y = x; d) เส้นตรง y = -x

ภารกิจที่ 6 สร้างสมการที่ได้กราฟโดยการยืดกราฟของสมการ y = x 2 -3 (รูปที่ 25):

ก) จากแกน x 2 ครั้ง; b) จากแกน y 3 ครั้ง

ตรวจสอบกับโปรแกรม Agrapher ว่างานเสร็จสมบูรณ์อย่างถูกต้อง

คำตอบ: ก)y - x 2 + 3 = 0 (รูปที่ 25a); b) y-(x) 2 + 3 = 0 (รูปที่ 25b)

b) เส้นขนานโดยเคลื่อนที่ขนานกับแกน x 1 หน่วยไปทางขวาและขนานกับแกน y 3 หน่วยลงไป (รูปที่ 26b)

c) เส้นตรงตัดกัน การแสดงสมมาตรสัมพันธ์กับแกน x (รูปที่ 26c)

d) เส้นตรงตัดกันการแสดงแบบสมมาตรสัมพันธ์กับแกน y (รูปที่ 26d)

e) เส้นขนานและแสดงสมมาตรสัมพันธ์กับจุดกำเนิด (รูปที่ 26e)

e) เส้นตรงตัดกัน หมุนรอบจุดกำเนิด 90 ตามเข็มนาฬิกา และแสดงแบบสมมาตรสัมพันธ์กับแกน x (รูปที่ 26e)

ที่สาม ทำงานอิสระการศึกษาในธรรมชาติ

(นักเรียนจะได้รับการ์ด "งานอิสระ" และ "ตารางรายงานผลงานอิสระ" ซึ่งนักเรียนเขียนคำตอบและหลังจากทดสอบตัวเองแล้วให้ประเมินงานตามโครงการที่เสนอ) ภาคผนวก 4 ..

ฉัน. ตัวเลือก.

ก) 5x 3 -3x 2 และ 2 + 8 = 0; ข) (x + y + 1) 2 - (x-y) 2 = 2(x + y)

ก) x 3 + y 3 -5x 2 = 0; b) x 4 +4x 3 y +6x 2 y 2 + 4xy 3 + y 4 = 1

x 4 + y 4 -8x 2 + 16 = 0

ก) (x + 1) 2 + (y-1) 2 = 4;

ข) x 2 -y 2 = 1;

ค) x - y 2 = 9

x 2 - 2x + y 2 - 4y = 20

ระบุพิกัดของศูนย์กลางของวงกลมและรัศมี

6. ไฮเปอร์โบลา y = ควรเคลื่อนที่บนระนาบพิกัดอย่างไร เพื่อให้สมการอยู่ในรูป x 2 - y 2 = 16

ตรวจสอบคำตอบของคุณโดยสร้างกราฟโดยใช้ Agrapher

7. พาราโบลา y = x 2 ควรเคลื่อนที่บนระนาบพิกัดอย่างไร เพื่อให้สมการอยู่ในรูป x = y 2 - 1

ตัวเลือกที่สอง

1. กำหนดระดับของสมการ:

ก)3xy = (y-x 3)(x 2 +y); b) 2y 3 + 5x 2 y 2 - 7 = 0

2. คู่ของตัวเลข (-2;3) เป็นคำตอบของสมการหรือไม่:

ก) x 2 -y 2 -3x = 1; b) 8x 3 + 12x 2 y + 6xy 2 + y 3 = -1

3. ค้นหาชุดคำตอบของสมการ:

x 2 + y 2 -2x – 8y + 17 = 0

4. เส้นโค้งประเภทใด (ไฮเปอร์โบลา, วงกลม, พาราโบลา) คือเซตของจุด หากสมการของเส้นโค้งนี้มีรูปแบบ:

ก) (x-2) 2 + (y + 2) 2 =9

b) ปี 2 - x 2 =1

ค) x = ย 2 - 1

(ตรวจสอบกับโปรแกรม Agrapher ว่างานเสร็จถูกต้องหรือไม่)

5. ใช้โปรแกรม Agrapher เขียนสมการ:

x 2 + y 2 - 6x + 10y = 2

6. ไฮเปอร์โบลา y = ควรเคลื่อนที่บนระนาบพิกัดอย่างไร เพื่อให้สมการอยู่ในรูป x 2 - y 2 = 28

7. พาราโบลา y = x 2 ควรเคลื่อนที่บนระนาบพิกัดอย่างไร เพื่อให้สมการอยู่ในรูป x = y 2 + 9

ฉัน ) โซลูชันกราฟิก สมการกำลังสอง:

พิจารณาสมการกำลังสองที่กำหนด: x2+px+q=0;

ลองเขียนมันใหม่แบบนี้: x2=-px-q.(1)

มาสร้างกราฟการพึ่งพากัน: y=x2 และ y=-px-q

เรารู้กราฟของการพึ่งพาครั้งแรก มันคือพาราโบลา ที่สอง การพึ่งพาอาศัยกัน - เชิงเส้น- กราฟของมันเป็นเส้นตรง จากสมการ (1) เห็นได้ชัดว่าในกรณีที่ x เป็นคำตอบ พิกัดของจุดทั้งสองกราฟจะเท่ากัน ซึ่งหมายความว่าค่า x ที่กำหนดจะสอดคล้องกับจุดเดียวกันบนทั้งพาราโบลาและเส้นตรง กล่าวคือ พาราโบลาและเส้นตรงตัดกันที่จุดที่มีจุดหักล้างของ x

ดังนั้นอันถัดไป วิธีกราฟิกการแก้สมการกำลังสอง: วาดพาราโบลา y=x2, วาด (ตามจุด) เป็นเส้นตรง y=-px-q

หากเส้นตรงและพาราโบลาตัดกัน สมการกำลังสองของจุดตัดกันจะเป็นรากของสมการกำลังสอง วิธีนี้สะดวกหากไม่ต้องการความแม่นยำมากนัก

1. แก้สมการ: 4x2-12x+7=0

ลองจินตนาการว่ามันอยู่ในรูปแบบ x2=3x-7/4

ลองสร้างพาราโบลา y=x2 และเส้นตรง y=3x-7/4 กัน

รูปที่ 1.

ในการสร้างเส้นตรง คุณสามารถใช้จุด (0;-7/4) และ (2;17/4) พาราโบลาและเส้นตรงตัดกันที่จุดสองจุดโดยมีจุดหักล้าง x1=0.8 และ x2= 2.2 (ดูรูปที่ 1)

2. แก้สมการ: x2-x+1=0

ลองเขียนสมการในรูปแบบ: x2=x-1

เมื่อสร้างพาราโบลา y=x2 และเส้นตรง y=x-1 แล้ว เราจะเห็นว่าพาราโบลาไม่ตัดกัน (รูปที่ 2) ซึ่งหมายความว่าสมการไม่มีราก

รูปที่ 2.

เรามาตรวจสอบกัน มาคำนวณการแบ่งแยก:

ด=(-1)2-4=-3<0,

ดังนั้นสมการจึงไม่มีราก

3. แก้สมการ: x2-2x+1=0

รูปที่ 3.

หากเราวาดพาราโบลา y=x2 และเส้นตรง y=2x-1 อย่างระมัดระวัง เราจะเห็นว่าพวกมันมีจุดร่วมจุดเดียว (เส้นตรงแตะพาราโบลา ดูรูปที่ 3) x=1, y=1; สมการมีหนึ่งรูท x=1 (อย่าลืมตรวจสอบด้วยการคำนวณ)

ครั้งที่สอง ) ระบบสมการ

กราฟของสมการที่มีตัวแปรสองตัวคือเซตของจุดบนระนาบพิกัดซึ่งพิกัดจะเปลี่ยนสมการให้มีความเท่าเทียมกันอย่างแท้จริง กราฟสมการของตัวแปรสองตัวมีความแตกต่างกันค่อนข้างมาก ตัวอย่างเช่น กราฟของสมการ 2x+3y=15 เป็นเส้นตรง สมการ y=0.5x2 –2 คือพาราโบลา สมการ x2 +y2=4 เป็นวงกลม เป็นต้น

ระดับของสมการทั้งหมดที่มีตัวแปรสองตัวถูกกำหนดในลักษณะเดียวกับระดับของสมการทั้งหมดที่มีตัวแปรตัวเดียว ถ้าด้านซ้ายของสมการที่มีตัวแปรสองตัวเป็นพหุนามของรูปแบบมาตรฐาน และด้านขวาเป็นเลข 0 ระดับของสมการจะถือว่าเท่ากับระดับของพหุนาม เพื่อหาระดับของสมการที่มีตัวแปรสองตัว สมการจะถูกแทนที่ด้วยสมการที่เทียบเท่า โดยด้านซ้ายเป็นพหุนามของรูปแบบมาตรฐาน และด้านขวาเป็นศูนย์ ลองพิจารณาวิธีแก้ปัญหาแบบกราฟิก

ตัวอย่างที่ 1: แก้ระบบ ⌠ x2 +y2 =25 (1)

⌠y=-x2+2x+5 (2)

มาสร้างกราฟของสมการในระบบพิกัดเดียวกัน (รูปที่ 4):

มาสร้างกราฟในระบบพิกัดเดียวกัน)

x2 +y2=25 และ y=-x2+2x+5

พิกัดของจุดใดๆ ของวงกลมที่สร้างขึ้นคือคำตอบของสมการที่ 1 และพิกัดของจุดใดๆ ของพาราโบลาคือคำตอบของสมการที่ 2 ซึ่งหมายความว่าพิกัดของแต่ละจุดตัดกันของวงกลมและพาราโบลา ตอบสนองทั้งสมการแรกของระบบและสมการที่สองนั่นคือ เป็นแนวทางแก้ไขระบบที่อยู่ระหว่างการพิจารณา จากรูปเราจะค้นหาค่าโดยประมาณของพิกัดของจุดตัดของกราฟ: A(-2.2; -4.5), B(0;5), C(2.2;4.5), D(4;- 3) ดังนั้น ระบบสมการจึงมีคำตอบอยู่สี่ข้อ:

x1µ-2.2, y1µ-4.5; x2µ00, y2µ55;

x3µ2.2, y3µ4.5; x4µ4, y4µ-3

ด้วยการแทนที่ค่าที่พบลงในสมการของระบบ คุณสามารถตรวจสอบได้ว่าคำตอบที่สองและสี่นั้นถูกต้องแม่นยำ และค่าที่หนึ่งและสามนั้นเป็นค่าโดยประมาณ

III) สมการตรีโกณมิติ:

สมการตรีโกณมิติได้รับการแก้ไขทั้งในเชิงวิเคราะห์และเชิงกราฟิก ลองดูที่โซลูชันกราฟิกโดยใช้ตัวอย่าง

รูปที่5.

ตัวอย่างที่ 1: sinx+cosx=1 ลองพลอตฟังก์ชัน y=sinx u y=1-cosx กัน (รูปที่ 5)

จากกราฟ เห็นได้ชัดว่าสมการนี้มีคำตอบ 2 แบบ: x ​​= 2πп โดยที่ nЄZ และ x = π/2+2πk โดยที่ kЄZ (อย่าลืมตรวจสอบด้วยการคำนวณ) รูปที่ 6.

ตัวอย่างที่ 2: แก้สมการ: tg2x+tgx=0 เราจะแก้สมการนี้ตามหลักการแก้สมการก่อนหน้า ก่อนอื่น มาสร้างกราฟของฟังก์ชันกันก่อน (ดูรูปที่ 6): y=tg2x u y=-tgx กราฟแสดงว่าสมการมี 2 คำตอบ: x=πп, пЄZ u x=2πk/3 โดยที่ kЄZ (ตรวจสอบสิ่งนี้ด้วยการคำนวณ)

การประยุกต์กราฟในการแก้อสมการ

1) อสมการกับโมดูลัส

แก้อสมการ |x-1|+|x+1|<4.

บนอินทิกรัล (-1;-∞) ตามนิยามของโมดูลัส เรามี |x-1|=-x+1,|x+1|=-x-1 และด้วยเหตุนี้ บนอินทิกรัลนี้จึงเกิดอสมการ เทียบเท่ากับอสมการเชิงเส้น –2x<4,которое справедливо при х>-2. ดังนั้น ชุดของการแก้ปัญหาจึงรวมอินทิกรัล (-2,-1) ไว้ด้วย ในช่วง [-1,1] อสมการดั้งเดิมจะเท่ากับอสมการเชิงตัวเลขที่ถูกต้อง 2<4.Поэтому все значения переменной, принадлежащие этому отрезку, входят в множество решний.

บนอินทิกรัล (1;+∞) เราจะได้อสมการเชิงเส้น 2х อีกครั้ง<4, справедливое при х<2. Поэтому интеграл (1;2) также входит в множество решений. Объединяя полученные результаты, делаем вывод: неравенству удовлетворяют все значения переменной из интеграла (-2;2) и только они.

อย่างไรก็ตาม ผลลัพธ์เดียวกันนี้สามารถได้รับจากการมองเห็นและการพิจารณาทางเรขาคณิตที่เข้มงวดในเวลาเดียวกัน รูปที่ 7 แสดงกราฟฟังก์ชัน: y=f(x)=|x-1|+|x+1| และ y=4

รูปที่ 7.

บนอินทิกรัล (-2;2) กราฟของฟังก์ชัน y=f(x) จะอยู่ใต้กราฟของฟังก์ชัน y=4 ซึ่งหมายความว่าความไม่เท่าเทียมกัน f(x)<4 справедливо. Ответ:(-2;2)

II) อสมการกับพารามิเตอร์

ตามกฎแล้ว การแก้ไขอสมการด้วยพารามิเตอร์ตั้งแต่หนึ่งตัวขึ้นไปนั้นเป็นงานที่ซับซ้อนกว่าเมื่อเปรียบเทียบกับปัญหาที่ไม่มีพารามิเตอร์

ตัวอย่างเช่น อสมการ √a+x+√a-x>4 ซึ่งมีพารามิเตอร์ a ต้องใช้ความพยายามในการแก้ปัญหามากกว่าอสมการ √1+x + √1-x>1 มาก

การแก้ไขอสมการประการแรกเหล่านี้หมายความว่าอย่างไร โดยพื้นฐานแล้วสิ่งนี้หมายถึงการแก้ปัญหาไม่เพียงแค่ความไม่เท่าเทียมกันเพียงอย่างเดียว แต่ยังรวมถึงทั้งคลาสซึ่งเป็นชุดความไม่เท่าเทียมกันทั้งหมดที่ได้รับหากเราให้ค่าตัวเลขเฉพาะแก่พารามิเตอร์ อสมการที่สองที่เป็นลายลักษณ์อักษรเป็นกรณีพิเศษของอันแรกเนื่องจากได้มาจากค่า a = 1

ดังนั้นเพื่อแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันที่มีพารามิเตอร์หมายถึงการกำหนดค่าของพารามิเตอร์ความไม่เท่าเทียมกันจะมีวิธีแก้ปัญหาและสำหรับค่าพารามิเตอร์ดังกล่าวทั้งหมดเพื่อค้นหาวิธีแก้ปัญหาทั้งหมด

แก้อสมการ|x-a|+|x+a| 0.

เพื่อแก้ไขอสมการนี้ด้วยพารามิเตอร์สองตัว aub เราใช้การพิจารณาทางเรขาคณิต รูปที่ 8 และ 9 แสดงกราฟฟังก์ชัน

Y=f(x)=|x-a|+|x+a| คุณ=ข.

เห็นได้ชัดว่าสำหรับข<=2|a| прямая y=b проходит не выше горизонтального отрезка кривой y=|x-a|+|x+a| и, следовательно, неравенство в этом случае не имеет решений (рисунок 8). Если же b>2|a| จากนั้นเส้นตรง y=b ตัดกันกราฟของฟังก์ชัน y=f(x) ที่จุดสองจุด (-b/2;b) u (b/2;b) (รูปที่ 6) และอสมการ ในกรณีนี้ใช้ได้สำหรับ – b/2

คำตอบ:ถ้าข<=2|a| , то решений нет,

ถ้า b>2|a| แล้ว x €(-b/2;b/2)

ที่สาม ) อสมการตรีโกณมิติ:

เมื่อแก้ไขอสมการด้วยฟังก์ชันตรีโกณมิติ จะใช้คาบของฟังก์ชันเหล่านี้และความซ้ำซากจำเจในช่วงเวลาที่สอดคล้องกันเป็นหลัก อสมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด ฟังก์ชัน sinx มีคาบบวกเท่ากับ 2π ดังนั้นความไม่เท่าเทียมกันของรูปแบบ: sinx>a, sinx>=a,

บาป x

ก็เพียงพอแล้วที่จะแก้โจทย์บนบางส่วนของเส้น 2π ก่อน เราได้รับชุดของโซลูชันทั้งหมดโดยการเพิ่มตัวเลขในรูปแบบ 2πп, пЄZ ลงในแต่ละโซลูชันที่พบในส่วนนี้

ตัวอย่างที่ 1: แก้อสมการ sinx>-1/2 (รูปที่ 10)

ก่อนอื่น มาแก้อสมการนี้ตามช่วง [-π/2;3π/2] กัน ลองพิจารณาทางด้านซ้ายของมัน - ส่วน [-π/2;3π/2] ในสมการ sinx=-1/2 มีคำตอบเดียว x=-π/6; และฟังก์ชัน sinx เพิ่มขึ้นอย่างซ้ำซากจำเจ ซึ่งหมายความว่าถ้า –π/2<=x<= -π/6, то sinx<=sin(-π/6)=-1/2, т.е. эти значения х решениями неравенства не являются. Если же –π/6<х<=π/2 то sinx>บาป(-π/6) = –1/2 ค่า x เหล่านี้ทั้งหมดไม่ใช่วิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน

ในส่วนที่เหลือ [π/2;3π/2] ฟังก์ชัน sinx จะลดลงแบบซ้ำซาก และสมการ sinx = -1/2 มีคำตอบเดียว x=7π/6 ดังนั้น ถ้า π/2<=x<7π/, то sinx>sin(7π/6)=-1/2 เช่น ค่า x ทั้งหมดนี้เป็นวิธีการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน สำหรับ x Є เรามี sinx<= sin(7π/6)=-1/2, эти значения х решениями не являются. Таким образом, множество всех решений данного неравенства на отрезке [-π/2;3π/2] есть интеграл (-π/6;7π/6).

เนื่องจากช่วงเวลาของฟังก์ชัน sinx ด้วยระยะเวลา 2π ค่าของ x จากอินทิกรัลใด ๆ ของรูปแบบ: (-π/6+2πn;7π/6 +2πn),nЄZ ก็เป็นวิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันเช่นกัน . ไม่มีค่าอื่นของ x ที่จะแก้อสมการนี้ได้

คำตอบ: -π/6+2πn

รูปที่ 10.