การประยุกต์ใช้แคลคูลัสเชิงปริพันธ์ในกิจกรรมทางวิชาชีพ บทสรุปของบทเรียน "การประยุกต์ใช้อินทิกรัล"

"สถาบันการแพทย์แห่งรัฐ Omsk"

กระทรวงสาธารณสุขและการพัฒนาสังคมแห่งสหพันธรัฐรัสเซีย

ในหัวข้อ: การประยุกต์ใช้อินทิกรัลที่แน่นอน

ในการแพทย์

จบโดยนักศึกษาชั้นปีที่ 1

คณะแพทยศาสตร์ทั่วไป

กลุ่ม 102F

Glushneva N.A.

บทนำ

นักฟิสิกส์และนักดาราศาสตร์ชาวอิตาลีที่โดดเด่น หนึ่งในผู้ก่อตั้งวิทยาศาสตร์ธรรมชาติอย่างแท้จริง กาลิเลโอ กาลิเลอี (1564-1642) กล่าวว่า "หนังสือแห่งธรรมชาติเขียนด้วยภาษาคณิตศาสตร์" เกือบสองร้อยปีต่อมา Kant (1742-1804) ผู้ก่อตั้งปรัชญาคลาสสิกของเยอรมันแย้งว่า "ในทุกศาสตร์มีความจริงมากพอๆ กับที่มีคณิตศาสตร์อยู่ในนั้น" ในที่สุด หลังจากเกือบหนึ่งร้อยห้าสิบปี เกือบแล้วในยุคของเรา นักคณิตศาสตร์และนักตรรกวิทยาชาวเยอรมัน David Hilbert (1862-1943) กล่าวว่า: "คณิตศาสตร์เป็นพื้นฐานของวิทยาศาสตร์ธรรมชาติที่แน่นอนทั้งหมด"

Leonardo Da Vinci กล่าวว่า: "อย่าให้ใครที่ไม่ใช่นักคณิตศาสตร์อ่านฉันในปัจจัยพื้นฐานของฉัน" พยายามหาเหตุผลทางคณิตศาสตร์สำหรับกฎของธรรมชาติ โดยพิจารณาว่าคณิตศาสตร์เป็นวิธีการแห่งความรู้ที่ทรงพลัง เขาใช้แม้ในวิทยาศาสตร์เช่นกายวิภาคศาสตร์

ทุกคนต้องการคณิตศาสตร์ และแพทย์ด้วย อย่างน้อยก็เพื่อที่จะอ่านค่า cardiogram ปกติได้อย่างถูกต้อง หากปราศจากความรู้พื้นฐานทางคณิตศาสตร์ เป็นไปไม่ได้ที่จะเป็นช่างเทคนิคคอมพิวเตอร์ที่ดี ที่จะใช้ความเป็นไปได้ของการตรวจเอกซเรย์คอมพิวเตอร์ ... ท้ายที่สุด การแพทย์แผนปัจจุบันไม่สามารถทำได้โดยปราศจากเทคโนโลยีที่ซับซ้อนที่สุด

วันนี้เป็นไปไม่ได้ที่จะศึกษา hemodynamics - การเคลื่อนไหวของเลือดผ่านหลอดเลือดโดยไม่ต้องใช้อินทิกรัล

เป็นเวลานาน การสวนหัวใจซีกขวาเป็นวิธีการวิจัยเพียงอย่างเดียวที่ทำให้สามารถประเมินสถานะของหัวใจด้านขวา รับลักษณะของการไหลเวียนของเลือดในหัวใจ และกำหนดความดันในหัวใจด้านขวาและหลอดเลือดแดงในปอด
ข้อได้เปรียบหลักของการตรวจคลื่นไฟฟ้าหัวใจ (EchoCG) คือสามารถประเมินขนาดและการเคลื่อนไหวของโครงสร้างหัวใจแบบไม่รุกรานแบบเรียลไทม์ ศึกษาลักษณะเฉพาะของการไหลเวียนโลหิตภายในหัวใจ และกำหนดความดันในห้องหัวใจและหลอดเลือดแดงในปอด การเปรียบเทียบผลลัพธ์ของการตรวจคลื่นไฟฟ้าหัวใจกับข้อมูลที่ได้รับในระหว่างการสวนหัวใจได้รับการพิสูจน์แล้ว
การศึกษา echocardiographic ไม่เพียง แต่จะตรวจพบการปรากฏตัวของความดันโลหิตสูงในปอด แต่ยังไม่รวมโรคจำนวนหนึ่งที่ทำให้เกิดความดันโลหิตสูงในปอดรอง: ข้อบกพร่องของลิ้นหัวใจไมตรัล, ข้อบกพร่องของหัวใจพิการ แต่กำเนิด, คาร์ดิโอไมโอแพทีพอง, โรคกล้ามเนื้อหัวใจตายเรื้อรัง

อย่างไรก็ตามใกล้ชิดกับการปฏิบัติ ขั้นแรก หาความเร็วเชิงเส้นของการไหลเวียนของเลือด

การเปลี่ยนแปลงความเร็วเชิงเส้นของการไหลเวียนของเลือดในหลอดเลือดต่างๆ

นี่คือเส้นทางที่เดินทางต่อหน่วยเวลาโดยอนุภาคเลือดในเรือ ความเร็วเชิงเส้นในหลอดเลือดประเภทต่าง ๆ นั้นแตกต่างกัน (ดูรูป) และขึ้นอยู่กับความเร็วเชิงปริมาตรของการไหลเวียนของเลือดและพื้นที่หน้าตัดของหลอดเลือด ในการแพทย์ในทางปฏิบัติความเร็วเชิงเส้นของการไหลเวียนของเลือดวัดโดยใช้วิธีการอัลตราซาวนด์และตัวบ่งชี้ซึ่งมักจะกำหนดเวลาของการไหลเวียนโลหิตที่สมบูรณ์ซึ่งก็คือ 21-23 วินาที

เพื่อตรวจสอบว่ามีการแนะนำตัวบ่งชี้ในเส้นเลือด cubital (เม็ดเลือดแดงที่ติดฉลากด้วยไอโซโทปกัมมันตภาพรังสี, สารละลายเมทิลีนบลู ฯลฯ ) และเวลาของการปรากฏตัวครั้งแรกในเลือดดำของหลอดเลือดเดียวกันในแขนขาอื่น ๆ

ในการเริ่มต้น ให้เราระลึกว่าอินทิกรัลเป็นวัตถุทางคณิตศาสตร์ที่เกิดขึ้นในอดีตบนพื้นฐานของความจำเป็นในการแก้ปัญหาประยุกต์ต่างๆ ของฟิสิกส์และเทคโนโลยี นี่คือการใช้งานทางกายภาพของอินทิกรัลที่แน่นอน: การคำนวณเส้นทางของจุดวัสดุที่เคลื่อนที่ไปตามวิถีโคจรเป็นเส้นตรงหรือโค้งด้วยความเร็วของการเคลื่อนที่

ปริมาณทางกายภาพที่ถูกกำหนดด้วยความช่วยเหลือของอินทิกรัลมักจะเรียกว่าอินทิกรัลและปริมาณเหล่านั้นซึ่งแสดงปริมาณอินทิกรัลเรียกว่าดิฟเฟอเรนเชียล ตัวอย่างเช่น ความเร็วของวัตถุ ณ จุดหนึ่งเป็นลักษณะเฉพาะของวัตถุ และมวลของวัตถุนั้นเป็นลักษณะเฉพาะ

ลักษณะเชิงอนุพันธ์ถูกกำหนดโดยค่า ณ จุดหนึ่ง และมักจะแตกต่างกันที่จุดต่าง ๆ ในช่องว่าง

ลักษณะเฉพาะตัวจะแสดงคุณสมบัติของวัตถุที่เกี่ยวข้องกับพื้นที่ทั้งหมดเสมอ ตัวอย่างเช่น มวลกำหนดลักษณะของร่างกายทั้งหมดว่าเป็นวัตถุบางอย่างที่ครอบครองพื้นที่ เส้นทางที่ร่างกายเดินทางยังเป็นลักษณะเฉพาะ เนื่องจากเป็นลักษณะเฉพาะของวิถีทั้งหมด ซึ่งประกอบด้วยหลายจุด และความเร็วจะแตกต่างกันในแต่ละจุดของวิถี และกำหนดลักษณะแต่ละจุดแยกจากกัน

คำถามเกิดขึ้น - วิธีการคำนวณความเร็วอินทิกรัลสำหรับหลอดเลือดทั้งหมด (หลอดเลือดแดงหรือหลอดเลือดดำ) รู้ความเร็วเชิงเส้นของการไหลเวียนของเลือด มันง่ายมาก: คุณต้องการ

เพื่อแบ่งพื้นที่ทั้งหมดออกเป็นส่วนเล็กๆ แยกจากกัน (ตัวอย่างเช่น โดยระนาบตั้งฉากร่วมกัน) ในกรณีนี้ เราจะได้ลูกบาศก์เล็ก ๆ จำนวนมากภายในร่างกาย ซึ่งเราพิจารณาตามเงื่อนไขว่าคุณลักษณะส่วนต่างนั้นไม่เปลี่ยนแปลงและคงที่
คูณค่าของคุณลักษณะดิฟเฟอเรนเชียลในแต่ละคิวบ์ด้วยมูลค่าของปริมาตรของคิวบ์นี้และสรุปผลคูณดังกล่าว ในขั้นตอนนี้ เราจะได้ผลรวมอินทิกรัล ผลรวมของอินทิกรัลไม่เท่ากับอินทิกรัลทุกประการ แต่สามารถใช้เป็นค่าโดยประมาณได้
ไปที่ขีด จำกัด ของผลรวมอินทิกรัลเมื่อปริมาตรของลูกบาศก์ของพาร์ติชันของร่างกายมีแนวโน้มเป็นศูนย์ ในขั้นตอนนี้ เราได้ค่าที่แน่นอนของอินทิกรัลความเร็วเชิงเส้น

ด้านล่างนี้คือการคำนวณปริมาตรของโรคหลอดเลือดสมอง (ปริมาตรของจังหวะการเต้นของหัวใจ (คำคล้าย: ปริมาณเลือดซิสโตลิก, ปริมาตรซิสโตลิกของหัวใจ, ปริมาตรของจังหวะของเลือด) - ปริมาตรของเลือด (เป็นมล.) ที่ปล่อยออกมาจากช่องหัวใจในหนึ่งเดียว systole) - หนึ่งในค่าหลักใน ECHOkg คำนวณโดยใช้อินทิกรัลของความเร็วเชิงเส้นของการไหลเวียนของเลือด

a - แผนการคำนวณปริมาตรของสโตรค a - การใช้สมการความต่อเนื่องของการไหล b - การใช้สมการความต่อเนื่องของการไหลเมื่อมี mitral regurgitation ที่มีนัยสำคัญ

VTI = V cp ET,

โดยที่ CSA คือพื้นที่หน้าตัด VTI คืออินทิกรัลความเร็วการไหลเชิงเส้น V cp คือความเร็วการไหลเฉลี่ยในช่องระบายน้ำออกของช่องซ้าย ET คือเวลาดีดออก

ในกรณีที่มี mitral regurgitation ที่มีนัยสำคัญทางโลหิตวิทยา (มากกว่าระดับ 2) ปริมาตรของจังหวะรวมของ ventricle ด้านซ้ายคำนวณโดยสูตร:

TSV=FSV+RSV

[อินทิกรัลความเร็วเชิงเส้น (FVI หรือ VTI)] = [เวลาการไหลของเลือด (ET)] x [ความเร็วการไหลของเลือดเฉลี่ย (Vmean)];

การเต้นของหัวใจสามารถกำหนดได้จากอินทิกรัลของความเร็วเชิงเส้นของการไหลของหลอดเลือดและปอด

โดยสรุป ฉันต้องการเสริมว่างานของฉันไม่ได้มีไว้สำหรับนักคณิตศาสตร์ที่เชี่ยวชาญในการบูรณาการ แต่สำหรับบุคคลใดๆ ที่แสดงความสนใจในการใช้อินทิกรัลในการแพทย์ ดังนั้นฉันจึงพยายามทำให้สามารถเข้าถึงได้มากที่สุดสำหรับการรับรู้และน่าสนใจแม้กระทั่งสำหรับเด็ก

บรรณานุกรม:

โรคหัวใจและหลอดเลือด http://old.consilium-medicum com/media/bss/06_02/42.shtml
การไหลเวียนโลหิต http://ru.wikipedia.org/wiki/% D0%93%D0%B5%D0%BC%D0%BE%D0%B4% D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%D0%BC% D0%B8% D0%BA%D0%B0
เครื่องหมายอินทิกรัล http://ru.wikipedia.org/wiki/% C7%ED%E0%EA_%E8%ED%F2%E5%E3% F0%E0%EB%E0
แพทยสภา http://www.consilium-medicum. com/article/7144
สมการพื้นฐาน - หัวใจ http://serdce.com.ua/osnovnye- uravneniya
คู่มือปฏิบัติสำหรับการวินิจฉัยอัลตราซาวนด์ http://euromedcompany.ru/ ultrazvuk/prakticheskoe- rukovodstvo-po-ultrazvukovoj- diagnostike

คำขวัญของบทเรียน: "คณิตศาสตร์เป็นภาษาที่วิทยาศาสตร์ทั้งหมดพูด" N.I. Lobachevsky

วัตถุประสงค์ของบทเรียน: เพื่อสรุปความรู้ของนักเรียนในหัวข้อ "อินทิกรัล", "การประยุกต์ใช้อินทิกรัล" เพื่อขยายขอบเขตอันไกลโพ้น ความรู้เกี่ยวกับการประยุกต์ใช้อินทิกรัลที่เป็นไปได้ในการคำนวณปริมาณต่างๆ รวมทักษะเพื่อใช้อินทิกรัลเพื่อแก้ปัญหาที่ประยุกต์ใช้ ปลูกฝังความสนใจทางปัญญาในวิชาคณิตศาสตร์ พัฒนาวัฒนธรรมการสื่อสารและวัฒนธรรมการพูดทางคณิตศาสตร์ สามารถเรียนรู้ที่จะพูดกับนักเรียนและครู

ประเภทของบทเรียน: วนซ้ำ-ทั่วไป.

ประเภทของบทเรียน: บทเรียน - การป้องกันโครงการ "การประยุกต์ใช้อินทิกรัล"

อุปกรณ์: กระดานแม่เหล็ก, โปสเตอร์ "การประยุกต์ใช้อินทิกรัล", การ์ดพร้อมสูตรและงานสำหรับงานอิสระ

แผนการเรียน:

1. การคุ้มครองโครงการ:

จากประวัติของแคลคูลัสอินทิกรัล
คุณสมบัติที่สำคัญ
การประยุกต์ใช้อินทิกรัลในวิชาคณิตศาสตร์
การประยุกต์ใช้อินทิกรัลในฟิสิกส์

2. การแก้ปัญหาการออกกำลังกาย

ระหว่างเรียน

ครู: เครื่องมือวิจัยที่ทรงพลังในวิชาคณิตศาสตร์ ฟิสิกส์ กลศาสตร์ และสาขาวิชาอื่น ๆ เป็นอินทิกรัลที่แน่นอน ซึ่งเป็นหนึ่งในแนวคิดพื้นฐานของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ความหมายทางเรขาคณิตของอินทิกรัลคือพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูแบบโค้ง ความหมายทางกายภาพของอินทิกรัลคือ 1) มวลของแท่งที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันที่มีความหนาแน่น 2) การกระจัดของจุดที่เคลื่อนที่เป็นเส้นตรงด้วยความเร็วในช่วงระยะเวลาหนึ่ง

ครู: พวกในชั้นเรียนของเราทำได้ดีมาก พวกเขาเลือกงานที่มีการใช้อินทิกรัลบางอย่าง พวกเขามีคำ

นักเรียน 2 คน: คุณสมบัติของปริพันธ์

นักเรียน 3 คน: การประยุกต์ใช้อินทิกรัล (ตารางบนกระดานแม่เหล็ก)

นักเรียน 4 คน: เราพิจารณาการใช้อินทิกรัลในวิชาคณิตศาสตร์เพื่อคำนวณพื้นที่ของตัวเลข

พื้นที่ของรูประนาบใด ๆ ที่พิจารณาในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมสามารถประกอบด้วยพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่อยู่ติดกับแกน โอ้และแกน อ.พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้ง y = ฉ(x),แกน โอ้และสองตรง x=aและ x=ข,ที่ไหน ก x ข, f(x) 0คำนวณโดยสูตร ซม. ข้าว.หากสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งอยู่ติดกับแกน OUแล้วพื้นที่ของมันถูกคำนวณโดยสูตร , ซม. ข้าว.เมื่อคำนวณพื้นที่ของตัวเลข อาจเกิดกรณีต่อไปนี้: a) ตัวเลขตั้งอยู่เหนือแกน Ox และถูกจำกัดโดยแกน Ox เส้นโค้ง y \u003d f (x) และเส้นตรงสองเส้น x \u003d a และ x \u003d ข (ดู ข้าว.) พื้นที่ของรูปนี้หาได้จากสูตร 1 หรือ 2 b) รูปนี้อยู่ใต้แกน Ox และถูกจำกัดโดยแกน Ox เส้นโค้ง y \u003d f (x) และเส้นตรงสองเส้น x \u003d a และ x \u003d b (ดู ข้าว.). หาพื้นที่ได้จากสูตร . c) รูปภาพตั้งอยู่ด้านบนและด้านล่างแกน Ox และถูกจำกัดโดยแกน Ox เส้นโค้ง y \u003d f (x) และเส้นตรงสองเส้น x \u003d a และ x \u003d b ( ข้าว.). d) พื้นที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้งสองเส้นที่ตัดกัน y \u003d f (x) และ y \u003d (x) ( ข้าว.)

นักเรียน 5 คน: แก้ปัญหา

x-2y+4=0 และ x+y-5+0 และ y=0

นักเรียน 7 คน: อินทิกรัลที่ใช้กันอย่างแพร่หลายในวิชาฟิสิกส์ คำสำหรับนักฟิสิกส์

1. การคำนวณเส้นทางที่เดินทางโดยจุด

เส้นทางที่เดินทางโดยจุดใดจุดหนึ่งระหว่างการเคลื่อนที่ไม่สม่ำเสมอในแนวเส้นตรงที่มีความเร็วแปรผันสำหรับช่วงเวลาจาก ถึง คำนวณโดยสูตร

ตัวอย่าง:

1. ความเร็วในการเคลื่อนที่ของจุด นางสาว. ค้นหาเส้นทางที่เดินทางโดยจุดใน 4 วินาที

วิธีแก้ไข: ตามเงื่อนไข . เพราะเหตุนี้,

2. วัตถุสองชิ้นเริ่มเคลื่อนที่พร้อมกันจากจุดเดียวกันในทิศทางเดียวกันเป็นเส้นตรง ร่างแรกเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว m / s วินาที - ด้วยความเร็ว v = (4t+5)นางสาว. ห่างกันสัก 5 วินาทีจะห่างกันแค่ไหน?

วิธีแก้ไข: เห็นได้ชัดว่าค่าที่ต้องการคือความแตกต่างระหว่างระยะทางที่วัตถุที่หนึ่งและตัวที่สองเดินทางใน 5 วินาที:

3. ร่างกายถูกโยนขึ้นไปในแนวตั้งจากพื้นผิวโลกด้วยความเร็ว u = (39.2-9.8^) m/s หาความสูงสูงสุดของลำตัว

วิธีแก้ไข: ร่างกายจะยกขึ้นสูงสุดครั้งละ t เมื่อ v = 0, เช่น 39.2- 9.8t = 0 ดังนั้น I= 4 วิ ตามสูตร (1) เราพบว่า

2. การคำนวณกำลังแรงงาน

งานที่ทำโดยแรงแปรผัน f(x) เมื่อเคลื่อนที่ไปตามแกน โอ้จุดวัสดุจาก x = เอก่อน x=ข,หาได้ตามสูตร ในการแก้ปัญหาการคำนวณการทำงานของแรง มักใช้กฎ G y k a: ฉ=kx, (3)ที่ไหน F - แรง N; X- การยืดตัวของสปริงสัมบูรณ์ m เกิดจากแรง F, แ k- สัมประสิทธิ์สัดส่วน N/m

ตัวอย่าง:

1. สปริงที่อยู่นิ่งมีความยาว 0.2 ม. แรง 50 N ยืดสปริง 0.01 ม. ต้องทำอย่างไรจึงจะยืดสปริงจาก 0.22 ถึง 0.32 ม.

วิธีแก้ไข: ใช้ความเท่าเทียมกัน (3) เรามี 50=0.01k นั่นคือ kK = 5000 N/m เราพบขีดจำกัดของการรวม: a = 0.22 - 0.2 = 0.02 (ม.), b=0.32- 0.2 = 0.12(ม.) ตามสูตร (2) เราได้รับ

3. การคำนวณงานที่ทำเมื่อยกของขึ้น

งาน. ถังทรงกระบอกที่มีรัศมีฐาน 0.5 ม. และสูง 2 ม. เต็มไปด้วยน้ำ คำนวณงานที่ต้องทำเพื่อสูบน้ำออกจากถัง

วิธีแก้ไข: เลือกเลเยอร์แนวนอนที่ความลึก x พร้อมความสูง dx ( ข้าว.). งาน A ที่ต้องทำเพื่อเพิ่มชั้นน้ำที่มีน้ำหนัก P ให้มีความสูง x เท่ากับ Px

การเปลี่ยนแปลงในเชิงลึก x ด้วยจำนวนเล็กน้อย dx จะทำให้ปริมาตร V เปลี่ยนแปลงไป โดย dV = pr 2 dx และการเปลี่ยนแปลงน้ำหนัก Р โดย * dР = 9807 r 2 dх; ในกรณีนี้ งานที่ทำ A จะเปลี่ยนไปตามค่า dA=9807пr 2 xdх การรวมความเท่าเทียมกันนี้เมื่อ x เปลี่ยนจาก 0 เป็น H เราได้รับ

4. การคำนวณแรงดันของเหลว

ความหมายของความแข็งแกร่ง Rแรงดันของเหลวบนแท่นแนวนอนขึ้นอยู่กับความลึกของการแช่ Xไซต์นี้ กล่าวคือ จากระยะห่างของไซต์ไปยังพื้นผิวของของเหลว

แรงกด (N) บนแท่นแนวนอนคำนวณโดยสูตร P = 9807เอสเอ็กซ์,

ที่ไหน - ความหนาแน่นของของเหลว kg/m 3 ; S - พื้นที่ไซต์ m 2; เอ็กซ์ -ความลึกของการแช่แพลตฟอร์ม m

หากแท่นรองภายใต้แรงดันของเหลวไม่อยู่ในแนวนอน ความดันบนแท่นจะต่างกันที่ระดับความลึกต่างกัน ดังนั้น แรงกดบนแท่นจะเป็นหน้าที่ของความลึกของการแช่ พี(x).

5. ความยาวอาร์ค

ให้โค้งแบน AB(ข้าว.)กำหนดโดยสมการ y \u003d f (x) (axข)และ เอฟ(x)และ ฉ ?(x)เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องในช่วง [а, b] แล้วผลต่าง ดลความยาวส่วนโค้ง ABแสดงโดยสูตร หรือ , และความยาวส่วนโค้ง ABคำนวณโดยสูตร (4)

โดยที่ a และ b คือค่าของตัวแปรอิสระ Xที่จุด A และ B หากสมการกำหนดเส้นโค้ง x =(y)(กับ yง)แล้วความยาวของส่วนโค้ง AB จะคำนวณโดยสูตร (5) โดยที่ กับและ dค่าตัวแปรอิสระ ที่ที่จุด แต่และวี

6. ศูนย์กลางของมวล

เมื่อหาจุดศูนย์กลางมวลจะใช้กฎต่อไปนี้:

1) x พิกัด ? จุดศูนย์กลางมวลของระบบจุดวัสดุ А 1 , А 2 ,..., А n มีมวล ม. 1 , ม. 2 , ..., ม. อยู่บนเส้นตรงที่จุดที่มีพิกัด x 1 , x 2 , ..., x n , หาได้จากสูตร

(*); 2) เมื่อคำนวณพิกัดของจุดศูนย์กลางมวล ส่วนหนึ่งส่วนใดของตัวเลขสามารถแทนที่ด้วยจุดวัสดุ วางไว้ที่จุดศูนย์กลางมวลของส่วนนี้ และกำหนดมวลให้เท่ากับมวลของส่วนที่พิจารณา ของรูป ตัวอย่าง. ปล่อยให้ตามส่วนแกน [a;b] ของแกน Ox - มวลถูกกระจายด้วยความหนาแน่น (x) โดยที่ (x) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง แสดงว่า ก) มวลรวม M ของแท่งเท่ากับ; b) พิกัดจุดศูนย์กลางมวล x " เท่ากับ .

มาแบ่งส่วนกัน [a; b] ออกเป็น n ส่วนเท่าๆ กันด้วยคะแนน a= x 0< х 1 < х 2 < ... <х n = b (ข้าว.). ในแต่ละเซ็กเมนต์ n เหล่านี้ ความหนาแน่นสามารถถือได้ว่าเป็นค่าคงที่สำหรับ n ขนาดใหญ่และประมาณเท่ากับ (x k - 1) ในส่วนที่ k-th (เนื่องจากความต่อเนื่องของ (x) จากนั้นมวลของส่วนที่ k-th มีค่าประมาณเท่ากับ และมวลของแท่งทั้งหมดคือ

เมื่อพิจารณาแต่ละส่วนเล็ก ๆ n ส่วนเป็นจุดวัตถุของมวล m k วางไว้ที่จุด เราได้รับโดยสูตร (*) ที่พิกัดของจุดศูนย์กลางมวลมีค่าประมาณดังนี้

ตอนนี้ยังคงต้องสังเกตว่าสำหรับ n -> ตัวเศษมีแนวโน้มที่จะอินทิกรัลและตัวส่วน (แสดงมวลของแท่งทั้งหมด) มีแนวโน้มที่จะอินทิกรัล

เพื่อหาพิกัดของจุดศูนย์กลางมวลของระบบจุดวัสดุบนระนาบหรือในอวกาศ ก็ใช้สูตร (*) เช่นกัน

ครู: คุณมีโต๊ะและงานบนโต๊ะของคุณ โดยใช้ตารางค้นหา: ก) ปริมาณไฟฟ้า; b) มวลของแท่งด้วยความหนาแน่น

ปริมาณ

การคำนวณอนุพันธ์

การคำนวณแบบอินทิกรัล

ตัวเลือกที่ 1	ตัวเลือก 2

ผลลัพธ์ของบทเรียน: เราเสร็จสิ้นหัวข้อ "อินทิกรัล" เรียนรู้วิธีคำนวณแอนติเดริเวทีฟ อินทิกรัล พื้นที่ของตัวเลข พิจารณาการใช้อินทิกรัลในทางปฏิบัติ งานเหล่านี้สามารถพบได้ในการสอบ ฉันคิดว่าคุณสามารถจัดการได้ .

แคลคูลัสเชิงปริพันธ์เกิดขึ้นจากการแก้ปัญหาการกำหนดพื้นที่และปริมาตร 2000 ปีก่อนคริสตกาล ชาวอียิปต์และบาบิโลนรู้วิธีกำหนดพื้นที่โดยประมาณของวงกลมแล้วและรู้กฎในการคำนวณปริมาตรของปิรามิดที่ถูกตัดทอน การยืนยันทางทฤษฎีของกฎสำหรับการคำนวณพื้นที่และปริมาตรปรากฏขึ้นครั้งแรกในหมู่ชาวกรีกโบราณ นักปรัชญาวัตถุนิยม Democritusวี ศตวรรษก่อนคริสต์ศักราช ถือว่าร่างกายประกอบด้วยอนุภาคขนาดเล็กจำนวนมาก นั่นคือ กรวยเป็นชุดของจานทรงกระบอกบางมากที่มีรัศมีต่างกัน มีบทบาทอย่างมากในประวัติศาสตร์ของแคลคูลัสปริพันธ์โดยปัญหาการยกกำลังสองวงกลม(กำลังสองวงกลม - สร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีพื้นที่เท่ากับพื้นที่ของวงกลมที่กำหนด). พื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่แน่นอนของรูปทรงโค้งหลายรูปถูกค้นพบโดยฮิปโปเครติส (กลางศตวรรษที่ 5)

วิธีแรกที่รู้จักในการคำนวณอินทิกรัลคือวิธีการหมดแรงของ Eudoxus (ca. 370 BC) เขาพยายามหาพื้นที่และปริมาตร โดยแบ่งเป็นจำนวนอนันต์ที่ทราบพื้นที่หรือปริมาตรแล้ว วิธีนี้ถูกหยิบขึ้นมาและพัฒนาโดยอาร์คิมิดีส ซึ่งใช้ในการคำนวณพื้นที่ของพาราโบลาและการคำนวณโดยประมาณของพื้นที่ของวงกลมในบทความ การสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสของพาราโบลา อาร์คิมิดีสใช้วิธีการหมดแรงในการคำนวณพื้นที่ของเซกเตอร์ของพาราโบลา เหล่านั้น. อาร์คิมิดีสเป็นคนแรกที่รวบรวมผลรวม ซึ่งในสมัยของเราเรียกว่าผลรวมอินทิกรัล ความพยายามครั้งสำคัญครั้งแรกในการพัฒนาวิธีการบูรณาการของอาร์คิมิดีสซึ่งประสบความสำเร็จอย่างสูงได้เกิดขึ้นใน XVII ศตวรรษ ในด้านหนึ่ง เมื่อความก้าวหน้าที่สำคัญในด้านพีชคณิตเกิดขึ้น และในทางกลับกัน เศรษฐศาสตร์ เทคโนโลยี วิทยาศาสตร์ธรรมชาติได้พัฒนาอย่างเข้มข้นมากขึ้นเรื่อยๆ และจำเป็นต้องมีวิธีการที่ครอบคลุมและลึกซึ้งสำหรับการศึกษาและการคำนวณปริมาณ .

เมื่อคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง Newton และ Leibniz มาถึงแนวคิดฟังก์ชันแอนติเดริเวทีฟ (หรือดั้งเดิม) สำหรับฟังก์ชันอนุพันธ์ที่กำหนดฉ(X),ที่ไหนจากสามารถเป็นอะไรก็ได้ ตาลที่จะเรียกวันนี้ สูตร Newton-Leibniz ช่วยให้คุณลดการคำนวณที่ค่อนข้างซับซ้อนของอินทิกรัลบางตัว เช่น การหาขีดจำกัดของผลรวมปริพันธ์ ไปจนถึงการดำเนินการที่ค่อนข้างง่ายในการหาแอนติเดริเวทีฟLeibniz เป็นเจ้าของสัญลักษณ์ที่แตกต่างพี ต่อมาสัญลักษณ์ปริพันธ์ก็ปรากฏขึ้นสัญลักษณ์อินทิกรัลที่แน่นอนแนะนำ J. Fourier และคำว่า "integral" (จากภาษาละตินจำนวนเต็ม - ทั้งหมด) เสนอโดย I. Bernoulli

งานศึกษาฐานรากของดิฟเฟอเรนเชียลและอินทิกรัลแคลคูลัสเริ่มต้นใน XIX ศตวรรษโดยผลงานของ O. Cauchy และ B. Bolzano ในเวลาเดียวกัน M.V. นักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซียมีส่วนสำคัญในการพัฒนาแคลคูลัสอินทิกรัล ออสโตรกราดสกี้, V.Ya. Bunyakovsky, V. ยา เชบีเชฟ นี่คือช่วงเวลาที่เพิ่งสร้างการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์สมัยใหม่ นี่อาจเป็นยุคเดียวของความคิดสร้างสรรค์ทางคณิตศาสตร์ในแง่ของความเข้มข้น และออยเลอร์ได้รวมเอาเนื้อหาที่กว้างขวางแต่แตกต่างของการวิเคราะห์ใหม่เข้าไว้ในวิทยาศาสตร์เชิงบูรณาการ

กับเวลา, มนุษย์ได้รับพลังเหนือธรรมชาติมากขึ้นเรื่อย ๆ แต่ความฝันที่จะบินไปยังดวงดาวยังคงไม่เกิดขึ้นจริง นักเขียนนิยายวิทยาศาสตร์กล่าวถึงจรวดสำหรับการบินในอวกาศ อย่างไรก็ตาม ขีปนาวุธเหล่านี้เป็นความฝันที่ไม่ปลอดภัยในทางเทคนิค เกียรติของการเปิดทางสู่ดวงดาวสำหรับผู้คนตกเป็นของ K. E. Tsiolkovsky เพื่อนร่วมชาติของเรา นักวิทยาศาสตร์ทั้งกาแลคซี่ นำโดย S.P. โคโรลิอฟ

สิ่งที่น่าสนใจเป็นพิเศษคือปัญหาที่เป็นต้นแบบของปัญหาในการคำนวณวิถีโคจรของยานอวกาศที่เข้าสู่วงโคจรที่กำหนด เพื่อค้นหาความสูงและความเร็วของการขึ้นหรือลงของวัตถุ และปัญหาอื่นๆ โดยใช้แคลคูลัสเชิงปริพันธ์

งาน 1. ความเร็วของการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงของร่างกายจะได้รับ

สมการ หาสมการของเส้นทาง S ถ้าร่างกายเดินทาง 20 เมตรในเวลา t = 2 วินาที

วิธีการแก้: ที่ไหน เรารวม: ที่ไหน ใช้ข้อมูลเราพบ C = 4 นั่นคือ สมการการเคลื่อนที่ของร่างกายมีรูปแบบ .

เมื่อบินไปในอวกาศ จำเป็นต้องคำนึงถึงปัจจัยทั้งหมดของสภาพแวดล้อมรอบตัวเรา และเพื่อไปยังที่ที่คุณต้องการ คุณต้องคำนวณวิถีการเคลื่อนที่โดยใช้ข้อมูลเริ่มต้น ทั้งหมดนี้จะต้องเสร็จสิ้นก่อนเที่ยวบินจะเกิดขึ้น2016 เป็นวันครบรอบ 55 ปีของการบินสู่วงโคจรของนักบินอวกาศคนแรก Yuri Alekseevich Gagarin เมื่อคำนวณแล้วจำเป็นต้องแก้ปัญหาดังกล่าว

งาน2. จำเป็นต้องปล่อยเครื่องชั่งน้ำหนักจรวด P \u003d 2 10 4 H (T)จากพื้นโลกสู่ที่สูงชม.= 1500 กม.คำนวณงานที่จำเป็นในการรัน

วิธีการแก้.f - แรงดึงดูดของร่างกายโดยโลกเป็นหน้าที่ของระยะทาง Xไปยังจุดศูนย์กลางของโลก : , โดยที่ บนพื้นผิวโลกที่มีแรงโน้มถ่วงเท่ากับน้ำหนักของร่างกาย R, แ x = R- รัศมีของโลก ดังนั้น เมื่อยกจรวดจากพื้นผิวโลกขึ้นไปสูง ชม.ตัวแปร Xเปลี่ยนจากx = รก่อน x= R+ ชม.. เราพบงานที่กำลังมองหาโดยใช้สูตร: เราก็ได้: งานปล่อยจรวดเท่ากับ

งาน3. ความแข็งแกร่งใน 10 นาทียืดสปริง 2 ซม.. เธอทำงานอะไร

ทำมัน?

วิธีการแก้ . ตามกฎของฮุค แรง F การยืดสปริงเป็นสัดส่วนกับการยืดของสปริง กล่าวคือF =ค.จากสภาพของปัญหา

k= 10/0,02(N/m),แล้ว F= 500x. ทำงาน: .

งาน 4. จากเหมืองลึกl= 100 mจำเป็นต้องยกกรงให้เท่ากันด้วยน้ำหนัก R 1 = 10 4 ชมซึ่งแขวนอยู่บนเชือกพันแผลบนกลอง คำนวณงานทั้งหมด เต็มจำเป็นต้องยกกรงถ้าน้ำหนักของเชือกหนึ่งเมตรเชิงเส้น R 2= 20ชม.

วิธีการแก้ . งานยกกรง: และเมื่อยกเชือกขึ้นจะเป็นสัดส่วนกับน้ำหนักของเชือก กล่าวคือ ดังนั้นงานที่สมบูรณ์จึงเสร็จสมบูรณ์:

งาน 5. สปริงโค้งงอภายใต้การกระทำของแรง 1.5 10 4 ชมโดย 1 ซม. ต้องดำเนินการมากเพียงใดเพื่อทำให้สปริงเสียรูป 3 ซม.? (แรงเปลี่ยนรูปเป็นสัดส่วนกับการโก่งตัวของสปริง)

วิธีการแก้ . F\u003d kx,ที่ไหน X- การโก่งตัวของสปริง ที่ x = 0.01mเรามี: . จากนั้นงานที่ทำเพื่อทำให้เสียรูปคือ:

การขึ้นสู่อวกาศเป็นเรื่องยากและไม่ปลอดภัย แต่การกลับมายังโลกก็ไม่ใช่เรื่องยาก เมื่อยานอวกาศต้องลงจอดด้วยความเร็วไม่เกิน 2 เมตรต่อวินาที เฉพาะในกรณีนี้ อุปกรณ์ เครื่องมือในนั้น และที่สำคัญที่สุดคือ สมาชิกในทีม จะไม่มีการกระแทกอย่างแรง Konstantin Eduardovich Tsiolkovsky ตัดสินใจใช้การชะลอตัวของยานอวกาศโดยเปลือกอากาศของโลก เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 8 เมตร/วินาที ยานอวกาศไม่ตกลงสู่พื้นโลก ขั้นตอนแรกของการโค่นล้มคือการรวมเครื่องยนต์เบรกไว้ในช่วงเวลาสั้น ๆ ความเร็วลดลง 0.2 กม./วินาที และการลงเขาเริ่มต้นทันที ลองพิจารณาตัวอย่างการแก้ปัญหาการร่างกฎการเคลื่อนที่ภายใต้เงื่อนไขที่กำหนด

งาน 6. จงหากฎการเคลื่อนที่ของวัตถุที่ตกลงมาอย่างอิสระด้วยความเร่งคงที่ g ถ้าร่างกายหยุดนิ่งในขณะที่เคลื่อนไหว

วิธีการแก้:เป็นที่ทราบกันดีว่าความเร่งของร่างกายที่เคลื่อนที่เป็นเส้นตรงเป็นอนุพันธ์อันดับสองของเส้นทาง S เทียบกับเวลา t หรืออนุพันธ์ของความเร็วเทียบกับเวลาที : แต่, ดังนั้น, มาจากไหน. เรารวม: , และ จากเงื่อนไข: , จากที่เราพบและความเร็วของการเคลื่อนไหว: . มาหากฎการเคลื่อนที่ของร่างกายกัน: , หรือ . เรารวม: , . ตามเงื่อนไขเริ่มต้น: , จากที่เราพบ เรามีสมการการเคลื่อนที่ของวัตถุที่ตกลงมา: - นี่คือสูตรฟิสิกส์ที่คุ้นเคย

งาน7. ร่างกายถูกโยนขึ้นไปในแนวตั้งด้วยความเร็วเริ่มต้น

หาสมการการเคลื่อนที่ของวัตถุนี้ (ละเลยแรงต้านของอากาศ)

วิธีการแก้:สมมุติว่าทิศทางแนวตั้งขึ้นเป็นบวก และความเร่งของแรงโน้มถ่วงตามทิศทางลงนั้นเป็นลบ เรามี: มาจากไหน เรารวม: แล้ว . เพราะ แล้ว C 1: และสมการความเร็ว: เราพบกฎการเคลื่อนที่ของร่างกาย: ตั้งแต่ แล้วก็ ที่ไหน .บูรณาการ: หรือ เมื่อไหร่และพบ และเรามีสมการการเคลื่อนไหวของร่างกาย: หรือ .

ตัวอย่างต่อไปนี้แสดงการคำนวณวิถีสำหรับการปล่อยส่วนที่ใช้แล้ว, อุปกรณ์ที่ไม่จำเป็น, วัสดุ ในกรณีนี้พวกเขาถูกส่งไปยังโลกโดยคำนวณวงโคจรเพื่อที่ว่าเมื่อผ่านชั้นบรรยากาศพวกมันจะถูกเผาไหม้และเศษที่ไม่เผาไหม้ตกลงสู่พื้นโลก (ส่วนใหญ่มักจะลงไปในมหาสมุทร) โดยไม่ก่อให้เกิดอันตราย

งาน 8. เขียนสมการของเส้นโค้งที่ลากผ่านจุด M (2; -3) และมีค่าแทนเจนต์ที่มีความชัน .

วิธีการแก้:เงื่อนไขของงานจะได้รับ: หรือ การบูรณาการ เรามี: ที่ x = 2และ y \u003d -3, C \u003d - 5และวิถีการเคลื่อนที่มีรูปแบบดังนี้ .

ผู้สร้างบางครั้งต้องแก้ปัญหาการคำนวณพื้นที่ของตัวเลขที่ผิดปกติซึ่งไม่มีสูตรที่รู้จักกันดี ในกรณีนี้ อินทิกรัลเข้ามาช่วยเหลืออีกครั้ง

งาน 9. คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น: และ

วิธีการแก้: มาสร้างภาพวาดกันเถอะ (รูปที่ 1) ซึ่งเราจะแก้ระบบสมการ มาหาจุดตัดของเส้นกัน: เอ(-2;4) และ ข(4;16). พื้นที่ที่ต้องการคือความแตกต่างระหว่างพื้นที่ที่มีขอบเขตของการบูรณาการ a \u003d x 1 \u003d -2และ ใน \u003d x 2 \u003d 4จากนั้นเราก็มีพื้นที่:

นักบินอวกาศและนักวิทยาศาสตร์ที่ทำงานบนสถานีโคจรเพื่อความบริสุทธิ์ของการทดลอง แก้ปัญหาและสอบสวนประเด็นต่างๆ ทางดาราศาสตร์ ฟิสิกส์ เคมี ยา ชีววิทยา ฯลฯ เราจะมาพร้อมกับปัญหาต่อไปนี้ด้วยตัวอย่างวรรณกรรม นวนิยายวิทยาศาสตร์ที่มีชื่อเสียงโดย HG Wells "War of the Worlds" อธิบายถึงการโจมตีของชาวอังคารบนดาวเคราะห์โลก ซึ่งตัดสินใจขยายพื้นที่ที่มีประชากรมากเกินไปด้วยการยึดครองพื้นที่ของเรา เพราะ สภาพภูมิอากาศของโลกมีความเหมาะสม การยึดอาณาเขตและการทำลายล้างของชาวโลกเริ่มต้นขึ้น ผู้ซึ่งได้รับความช่วยเหลือจากที่ซึ่งพวกเขาไม่ได้คาดหวังเลย แบคทีเรีย "พื้นเมือง" ของเราซึ่งเราได้เรียนรู้ที่จะต่อสู้แล้วเข้าสู่ร่างกายของชาวอังคารด้วยอากาศอาหารน้ำซึ่งพบในสภาพแวดล้อมที่เอื้ออำนวยต่อการพัฒนาและการสืบพันธุ์ของพวกเขาปรับตัวได้อย่างรวดเร็วและทำลายชาวอังคาร กำจัดโลกของผู้รุกราน พิจารณาวิธีแก้ปัญหาที่ให้แนวคิดนี้

งาน 10.อัตราการแพร่พันธุ์ของแบคทีเรียบางชนิดเป็นสัดส่วนกับจำนวนแบคทีเรียที่มีอยู่ในเวลาที่พิจารณา t จำนวนแบคทีเรียเพิ่มขึ้นสามเท่าภายใน 5 ชั่วโมง ค้นหาการพึ่งพาจำนวนแบคทีเรียตรงเวลา

วิธีการแก้:ให้ x(t ) คือจำนวนแบคทีเรีย ณ เวลา t และในช่วงเริ่มต้น จะเป็นอัตราการแพร่พันธุ์ โดยเงื่อนไข เรามี: หรือสิ่งต่อไปนี้: มาหา С: และฟังก์ชัน เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่า t.e. หรือเพราะเหตุใดสัมประสิทธิ์ของสัดส่วนคือ: และฟังก์ชันมีรูปแบบ: .

ในนวนิยายชื่อดังของ A.N. "Hyperboloid of Engineer Garin" ของ Tolstoy ฉันอยากจะรู้สึกว่ามันคืออะไร - ไฮเปอร์โบลา? ขนาด รูปร่าง พื้นผิว ปริมาณคืออะไร? งานต่อไปเกี่ยวกับเรื่องนี้

ภารกิจที่ 11ไฮเปอร์โบลาจำกัดด้วยเส้น: y=0, x= เอ, x = 2aหมุนรอบแกน x ค้นหาปริมาตรของไฮเปอร์โบลอยด์ที่ได้ (รูปที่ 2)

วิธีการแก้.เราใช้สูตรในการคำนวณปริมาตรของวัตถุรอบแกน OX โดยใช้อินทิกรัลที่แน่นอน:

นัก Ufologists กำลังศึกษาข้อเท็จจริงที่ "ผู้เห็นเหตุการณ์" อ้างโดยบอกว่าพวกเขาเห็นยานอวกาศบินในรูปแบบของดิสก์เรืองแสงขนาดใหญ่ ("จาน") ประมาณรูปร่างเดียวกับในรูปที่ 3 พิจารณาการแก้ปัญหาการกำหนดปริมาตรของ "จาน" ดังกล่าว "

งาน 12. คำนวณปริมาตรของร่างกายที่เกิดขึ้นจากการหมุนรอบแกน OX ของพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยเส้น y \u003d x 2 - 9และ y = 0.

วิธีการแก้: เมื่อวาดพาราโบลา (รูปที่ 3) เรามีขีดจำกัดของการรวมจาก x = -3ก่อน x = 3. ให้เราแทนที่ขีด จำกัด ของการรวมเนื่องจากความสมมาตรของตัวเลขเทียบกับแกน y โดย x = 0และ x = 3และเพิ่มผลลัพธ์เป็นสองเท่า ดังนั้น ปริมาณของดิสก์คือ:

ความหมายทางเศรษฐกิจของอินทิกรัลที่แน่นอนแสดงปริมาณการผลิตด้วยฟังก์ชันที่รู้จักฉ(t ) - ผลิตภาพแรงงานในขณะนี้ t . จากนั้นปริมาณของผลผลิตสำหรับรอบระยะเวลาจะถูกคำนวณโดยสูตร ลองพิจารณาตัวอย่างสำหรับองค์กร

งาน13. จงหาปริมาณการผลิตที่ผลิตใน 4 ปี ถ้าฟังก์ชัน Cobb-Douglas มีรูปแบบ

วิธีการแก้. ปริมาณผลิตภัณฑ์ที่ผลิตโดยองค์กรเท่ากับ:

โดยสรุปแล้ว เราสามารถสรุปได้ว่าการใช้อินทิกรัลเปิดโอกาสมากมาย เมื่อศึกษาเรขาคณิต พวกเขาพิจารณาการคำนวณพื้นที่ของรูปทรงแบนที่จำกัดโดยส่วนของเส้นตรง (สามเหลี่ยม สี่เหลี่ยมด้านขนาน สี่เหลี่ยมคางหมู รูปหลายเหลี่ยม) และปริมาตรของวัตถุที่ได้รับระหว่างการหมุน อินทิกรัลที่แน่นอนช่วยให้คุณคำนวณพื้นที่ของตัวเลขที่ซับซ้อนที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้งใด ๆ รวมทั้งหาปริมาตรของร่างกายที่ได้จากการหมุนสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งรอบแกนใด ๆ

ฉันยังต้องการทราบด้วยว่าการใช้อินทิกรัลที่แน่นอนไม่ได้จำกัดแค่การคำนวณปริมาณเรขาคณิตต่างๆ เท่านั้น แต่ยังใช้ในการแก้ปัญหาจากสาขาต่างๆ ของฟิสิกส์ อากาศพลศาสตร์ ดาราศาสตร์ เคมีและการแพทย์ อวกาศด้วย เป็นปัญหาเศรษฐกิจ

บรรณานุกรม:

Apanasov, ปตท. การรวบรวมปัญหาทางคณิตศาสตร์: ตำราเรียน. เบี้ยเลี้ยง / ปตท. อาปานาซอฟ, M.I. ออร์ลอฟ - ม.: ม.ต้น, 2530.- 303 น.
เบเดนโก, เอ็น.เค. บทเรียนพีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: คู่มือระเบียบวิธี / N.K. เบเดนโก, L.O. เดนิชชอฟ. - ม.: ม.ต้น, 2531. - 239 น.
Bogomolov, N.V. ชั้นเรียนภาคปฏิบัติในวิชาคณิตศาสตร์ชั้นสูง: ตำราเรียน เบี้ยเลี้ยง / N.V. โบโกโมลอฟ - ม.: ม.ต้น, 2516 - 348 น.
คณิตศาสตร์ชั้นสูงสำหรับนักเศรษฐศาสตร์: ตำรา / ed. นศ. เครมเมอร์. - ครั้งที่ 3 – ม.: UNITI-DANA, 2551.- 479 น.
ซาโปโรเชตส์, G.I. คู่มือการแก้ปัญหาในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ : หนังสือเรียน เบี้ยเลี้ยง / G.I. Zaporozhets - ม.: โรงเรียนมัธยม 2509 - 460 หน้า

ดูเนื้อหาเอกสาร
"MR ของบทเรียนรวมสำหรับครู "พื้นฐานของแคลคูลัสปริพันธ์ อินทิกรัลที่แน่นอน""

การศึกษาของรัฐโดยอิสระ

สถาบันอาชีวศึกษาระดับมัธยมศึกษา

ภูมิภาคโนโวซีบีร์สค์

"วิทยาลัยการแพทย์บาราบินสกี้"

การพัฒนาระเบียบวิธี

รวมบทเรียนสำหรับครู

วินัย "คณิตศาสตร์"

ส่วนที่ 1.การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์

หัวข้อ1.6. พื้นฐานของแคลคูลัสอินทิกรัล ปริพันธ์ที่แน่นอน

พิเศษ

060101 เวชศาสตร์ทั่วไป

ดี- คนแรก

แผ่นระเบียบ

การก่อตัวของข้อกำหนดของ SES เมื่อศึกษาหัวข้อ

« พื้นฐานของแคลคูลัสอินทิกรัล ปริพันธ์ที่แน่นอน"

ต้องรู้:

ความสำคัญของคณิตศาสตร์ในกิจกรรมทางวิชาชีพและในการพัฒนาโปรแกรมการศึกษาแบบมืออาชีพ

วิธีการทางคณิตศาสตร์ขั้นพื้นฐานในการแก้ปัญหาประยุกต์

พื้นฐานของแคลคูลัสอินทิกรัลและดิฟเฟอเรนเชียล

จากการศึกษาหัวข้อของนักศึกษา ควรจะสามารถ:

แก้ปัญหาประยุกต์ในด้านกิจกรรมทางวิชาชีพ

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

เป้าหมายการศึกษา:ทำซ้ำและรวมทักษะในการคำนวณอินทิกรัลไม่ จำกัด และพิจารณาวิธีการคำนวณอินทิกรัลแน่นอนรวมทักษะในการค้นหาอินทิกรัลที่แน่นอน

เป้าหมายทางการศึกษา: เพื่อส่งเสริมการก่อตัวของวัฒนธรรมของการสื่อสาร, ความสนใจ, ความสนใจในเรื่อง, เพื่อส่งเสริมความเข้าใจของนักเรียนเกี่ยวกับสาระสำคัญและความสำคัญทางสังคมของอาชีพในอนาคตของเขา, การแสดงความสนใจอย่างยั่งยืนในนั้น

เป้าหมายการพัฒนา:

ส่งเสริม

การก่อตัวของทักษะในการใช้วิธีการเปรียบเทียบ, การวางนัยทั่วไป, เน้นสิ่งสำคัญ;

การพัฒนาขอบฟ้าทางคณิตศาสตร์ การคิดและการพูด ความสนใจและความจำ

ประเภทคลาส: บทเรียนรวม

ระยะเวลาเรียน: 90 นาที

การเชื่อมต่อแบบสหวิทยาการ:ฟิสิกส์ เรขาคณิต และทุกวิชาที่ใช้อุปกรณ์ทางคณิตศาสตร์

วรรณกรรม:

Gilyarov M.G. คณิตศาสตร์สำหรับวิทยาลัยแพทย์ - Rostov n / D: Phoenix, 2011. - 410, p. - (ยา)

คณิตศาสตร์: หนังสือเรียน. เบี้ยเลี้ยง / V.S. Mikheev [และคนอื่น ๆ ]; เอ็ด น.ม. เดมิน. - Rostov n / D: Phoenix, 2009. - 896 หน้า – (อาชีวศึกษาระดับมัธยมศึกษาตอนปลาย).

อุปกรณ์การเรียน:

เอกสารประกอบคำบรรยาย

ความคืบหน้าของบทเรียน

№ p/n	เวทีบทเรียน	เวลา (นาที)	แนวปฏิบัติ
	ส่วนองค์กร		ตรวจการเข้าเรียนและหน้าตาของนักเรียน การนำเสนอหัวข้อ วัตถุประสงค์ และแผนของบทเรียน
	แรงจูงใจ		แนวคิดของอินทิกรัลเป็นหนึ่งในแนวคิดพื้นฐานทางคณิตศาสตร์ ในช่วงปลายศตวรรษที่ 17 นิวตันและไลบนิซได้สร้างเครื่องมือของแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และปริพันธ์ ซึ่งเป็นพื้นฐานของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ การศึกษาหัวข้อนี้ทำให้หลักสูตรการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ของโรงเรียนเสร็จสมบูรณ์ แนะนำนักเรียนเกี่ยวกับเครื่องมือใหม่สำหรับการทำความเข้าใจโลก และการพิจารณาที่โรงเรียนเกี่ยวกับการใช้แคลคูลัสเชิงปริพันธ์กับส่วนที่สำคัญที่สุดของฟิสิกส์แสดงให้นักเรียนเห็นถึงความสำคัญและพลังของคณิตศาสตร์ที่สูงขึ้น . ความจำเป็นในการศึกษาองค์ประกอบที่สำคัญที่สุดของแคลคูลัสเชิงปริพันธ์อย่างเต็มรูปแบบนั้นสัมพันธ์กับความสำคัญและความสำคัญของเนื้อหานี้ในการพัฒนาโปรแกรมการศึกษาระดับมืออาชีพ ในอนาคต ความรู้เกี่ยวกับอินทิกรัลที่แน่นอนจะเป็นประโยชน์สำหรับคุณในการหาคำตอบของสมการที่กำหนดอัตราการสลายกัมมันตภาพรังสี การสืบพันธุ์ของแบคทีเรีย การหดตัวของกล้ามเนื้อ การละลายของสารยาในยาเม็ด และปัญหาอื่นๆ ของแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ ใช้ในทางการแพทย์
	อัพเดทความรู้พื้นฐาน		จำเป็นต้องทดสอบทักษะการคำนวณและความรู้เกี่ยวกับตารางปริพันธ์ (เอกสารแนบ 1)
	การนำเสนอวัสดุใหม่		แผนการนำเสนอ (ภาคผนวก 2) ปริพันธ์ที่แน่นอน คุณสมบัติของอินทิกรัลที่แน่นอน สูตรนิวตัน-ไลบนิซ การคำนวณอินทิกรัลแน่นอนด้วยวิธีการต่างๆ การประยุกต์ใช้อินทิกรัลที่แน่นอนในการคำนวณปริมาณต่างๆ การคำนวณพื้นที่ของรูปทรงแบน
	ภาคปฏิบัติ ทำแบบฝึกหัดเพื่อรวมเนื้อหาของหัวข้อ		(ภาคผนวก 3) การรวมความรู้และทักษะเบื้องต้นที่ได้มา การทำความเข้าใจความรู้และทักษะที่ได้รับ
	สรุปบทเรียน		ให้คะแนน วิจารณ์ ความผิดพลาดในการทำงาน
	การบ้าน		เตรียมเนื้อหาเชิงทฤษฎีสำหรับบทเรียนภาคปฏิบัติและทำงานในส่วนนี้ให้เสร็จสิ้น "การควบคุมตนเอง" (ภาคผนวก 4)

เอกสารแนบ 1

อัพเดทความรู้พื้นฐาน

การเขียนตามคำบอกทางคณิตศาสตร์

1 ตัวเลือก

ฉัน.

II.

ตัวเลือก 2

ฉัน.คำนวณอินทิกรัลไม่จำกัด

II. ตั้งชื่อวิธีการคำนวณอินทิกรัล

ภาคผนวก 2

ข้อมูลและเอกสารอ้างอิง

ปริพันธ์ที่แน่นอน

แนวคิดของอินทิกรัลเชื่อมโยงกับปัญหาผกผันของการแยกความแตกต่างของฟังก์ชัน สะดวกในการพิจารณาแนวคิดของอินทิกรัลที่แน่นอนในการแก้ปัญหาการคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง

เพื่อหาพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบทั้งสองด้านโดยตั้งฉากคืนที่จุด เอและ ข, ด้านบนของเส้นโค้งต่อเนื่อง y=ฉ(X)และแกนล่าง โอ้, แบ่งส่วน [ก,ข] เป็นส่วนเล็ก ๆ :

เอ = x 0 x 1 x 2 ... x น -1 x น = ข.

คืนค่าเส้นตั้งฉากจากจุดเหล่านี้ไปยังทางแยกที่มีเส้นโค้ง y=ฉ(X). จากนั้นพื้นที่ของรูปทั้งหมดจะเท่ากับผลรวมของสี่เหลี่ยมพื้นฐานที่มีฐานเท่ากับ  X ผม = x ผม -X ผม -1 และความสูงเท่ากับค่าของฟังก์ชัน ฉ(X)ภายในสี่เหลี่ยมแต่ละอัน ยิ่งค่าน้อย  X ผม, ยิ่งกำหนดพื้นที่ของรูปได้แม่นยำขึ้น ส . เพราะเหตุนี้:

คำนิยาม.หากมีขีดจำกัดของผลรวมปริพันธ์ซึ่งไม่ขึ้นอยู่กับวิธีการแบ่งส่วน [a,ข] และการเลือกจุด, ลิมิตนี้เรียกว่าอินทิกรัลที่แน่นอนของฟังก์ชันฉ(X) ในส่วน [a,ข] และแสดงว่า:

ที่ไหนฉ(x) คืออินทิกรัล x คือตัวแปรอินทิเกรต และข- ข้อ จำกัด ของการรวม (อ่าน: อินทิกรัลที่แน่นอนของเอdo ขออกจาก x de x)

ทางนี้, ความรู้สึกทางเรขาคณิตของอินทิกรัลที่แน่นอนเกี่ยวข้องกับคำจำกัดความของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่ล้อมรอบจากด้านบนโดยฟังก์ชัน y=ฉ(X), แกนล่าง โอ้, และด้านข้าง - โดยตั้งฉากคืนที่จุด เอและ ข.

กระบวนการคำนวณอินทิกรัลแน่นอนเรียกว่า บูรณาการตัวเลข และข เรียกว่าตามลำดับ ขีดจำกัดล่างและบนของการบูรณาการ

คุณสมบัติของอินทิกรัลที่แน่นอน

ถ้าลิมิตของการรวมกันมีค่าเท่ากัน อินทิกรัลที่แน่นอนจะเท่ากับศูนย์:

หากเราจัดเรียงขีดจำกัดของการรวมใหม่ เครื่องหมายของอินทิกรัลจะเปลี่ยนเป็นตรงกันข้าม:

ตัวประกอบคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายของอินทิกรัลที่แน่นอนได้:

อินทิกรัลแน่นอนของผลรวมของจำนวนจำกัดของฟังก์ชันต่อเนื่องฉ 1 (x), ฉ 2 (x)... ฉ น (x) กำหนดไว้ในช่วงเวลา [а,ข] เท่ากับผลรวมของปริพันธ์ที่แน่นอนของเงื่อนไขของฟังก์ชัน:

ส่วนของการรวมสามารถแบ่งออกเป็นส่วนต่างๆ:

ถ้าฟังก์ชันเป็นบวกเสมอหรือเป็นลบเสมอบนเซ็กเมนต์ [a,ข] ดังนั้นอินทิกรัลแน่นอนคือตัวเลขของเครื่องหมายเดียวกับฟังก์ชัน:

สูตรนิวตัน-ไลบนิซ

สูตรของนิวตัน-ไลบนิซสร้างการเชื่อมต่อระหว่างปริพันธ์ที่แน่นอนและไม่แน่นอน

ทฤษฎีบท.ค่าของอินทิกรัลแน่นอนของฟังก์ชันฉ(X) ในส่วน [a,ข] เท่ากับการเพิ่มขึ้นของแอนติเดริเวทีฟใดๆ สำหรับฟังก์ชันนี้ในส่วนที่กำหนด:

จากทฤษฎีบทนี้พบว่าอินทิกรัลแน่นอนเป็นตัวเลข ในขณะที่อินทิกรัลไม่แน่นอนคือชุดของฟังก์ชันแอนติเดริเวทีฟ ดังนั้น ตามสูตร ในการหาอินทิกรัลที่แน่นอน จึงมีความจำเป็น:

1. ค้นหาอินทิกรัลไม่แน่นอนของฟังก์ชันที่กำหนดโดยการตั้งค่า ค = 0.

2. แทนที่แอนติเดริเวทีฟในนิพจน์แทนอาร์กิวเมนต์ Xขีดจำกัดบนก่อน ข, แล้วขีดจำกัดล่าง ก,และลบที่สองออกจากผลลัพธ์แรก

การคำนวณอินทิกรัลแน่นอนด้วยวิธีการต่างๆ

เมื่อคำนวณอินทิกรัลที่แน่นอนจะใช้วิธีการที่พิจารณาเพื่อค้นหาอินทิกรัลไม่แน่นอน

วิธีการรวมโดยตรง

วิธีนี้ขึ้นอยู่กับการใช้อินทิกรัลแบบตารางและคุณสมบัติพื้นฐานของอินทิกรัลที่แน่นอน

ตัวอย่าง:

1) หา

วิธีการแก้:

2) หา

วิธีการแก้:

3) หา

วิธีการแก้:

บูรณาการวิธีการเปลี่ยนตัวแปร

ตัวอย่าง:

วิธีการแก้.ในการหาอินทิกรัล เราใช้การเปลี่ยนแปลงของวิธีตัวแปร เราแนะนำตัวแปรใหม่

ยู=3 x ‑ 1 , แล้ว ดู = 3 dx, dx = . เมื่อแนะนำตัวแปรใหม่ จำเป็นต้องเปลี่ยนขีดจำกัดของการรวม เนื่องจากตัวแปรใหม่จะมีขีดจำกัดการเปลี่ยนแปลงที่แตกต่างกัน หาได้จากการเปลี่ยนแปลงสูตรตัวแปร ดังนั้นขีดจำกัดบนจะเป็น และ ข = 32 ‑ 1 = 5 , ต่ำกว่า - และ เอ =31 ‑ 1 = 2 . การแทนที่ตัวแปรและขีดจำกัดของการรวม เราได้รับ:

วิธีการบูรณาการตามส่วนต่างๆ

วิธีนี้ใช้สูตรการรวมทีละส่วนสำหรับอินทิกรัลที่แน่นอน:

ตัวอย่าง:

1) หา

วิธีการแก้:

อนุญาต ยู = ln x, dv = xdx, แล้ว

การประยุกต์ใช้อินทิกรัลที่แน่นอนในการคำนวณปริมาณต่างๆ

การคำนวณพื้นที่ของรูปทรงแบน

ก่อนหน้านี้แสดงให้เห็นว่าอินทิกรัลที่แน่นอนสามารถใช้คำนวณพื้นที่ของตัวเลขที่ล้อมรอบระหว่างกราฟของฟังก์ชันได้ y=ฉ(x), แกน โอ้และสองตรง X = a และ x =ข.

ถ้าฟังก์ชัน y=ฉ(x) อยู่ใต้เส้น abscissa นั่นคือ ฉ(x)

ถ้าฟังก์ชัน y=ฉ(x) ข้ามแกนหลายครั้ง โอ้จึงจำเป็นต้องแยกหาพื้นที่สำหรับแปลงเมื่อ ฉ(x) 0 และเพิ่มเข้าไปในค่าสัมบูรณ์ของพื้นที่เมื่อฟังก์ชัน ฉ(x)

ตัวอย่างที่ 1หาพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยฟังก์ชัน y= บาปXและแกน โอ้ตำแหน่งบน 0  X 2.

วิธีการแก้.พื้นที่ของรูปจะเท่ากับผลรวมของพื้นที่:

ส = ส 1 + | ส 2 |,

โดยที่ S 1 - ; พื้นที่ที่ ที่0 ; ส 2 - พื้นที่ที่ ที่ 0

S=2 + 2 = 4 ตารางหน่วย

ตัวอย่างที่ 2หาพื้นที่ของรูปที่อยู่ระหว่างเส้นโค้ง y = x 2 , แกน โอ้และกำกับ x=0, x=2.

วิธีการแก้.มาสร้างกราฟของฟังก์ชันกันเถอะ ที่= x 2 และ x = 2

พื้นที่แรเงาจะเป็นพื้นที่ที่ต้องการของรูป เพราะ ฉ(x) 0 แล้ว

การคำนวณความยาวส่วนโค้งของเส้นโค้งระนาบ

ถ้าเข้าโค้ง y=ฉ(X)ในส่วน [ก,ข] มีอนุพันธ์ต่อเนื่อง ดังนั้น ความยาวของส่วนโค้งของเส้นโค้งนี้หาได้จากสูตร:

ตัวอย่าง

หาความยาวส่วนโค้งของเส้นโค้ง y 2 = x 3 ในส่วน (y0)

วิธีการแก้

สมการเส้นโค้ง y = x 3/2 จากนั้น y’ = 1.5 x 1/2

การแทนที่ 1+ เราได้รับ:

กลับไปที่ตัวแปรเดิม:

การคำนวณ คณะปฏิวัติ

ถ้ารูปสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งล้อมรอบด้วยเส้นโค้ง y=ฉ(x) และกำกับ x=aและ x=ข, หมุนรอบแกน โอ้จากนั้นคำนวณปริมาตรของการหมุนโดยสูตร:

ตัวอย่าง

หาปริมาตรของวัตถุที่เกิดจากการหมุนรอบแกน โอ้คลื่นไซน์ครึ่งคลื่น
y= บาป x, ที่ 0≤ x≤.

วิธีการแก้

ตามสูตรเรามี:

ในการคำนวณอินทิกรัลนี้ เราทำการแปลงดังต่อไปนี้:

ภาคผนวก 3

การรวมวัสดุที่ศึกษาเบื้องต้น

1. การคำนวณปริพันธ์แน่นอน

2. การประยุกต์อินทิกรัลที่แน่นอน

พื้นที่รูป

คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น:

เส้นทางที่ร่างกายเดินทาง (จุด) ระหว่างการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงในช่วงเวลาจากt 1 ก่อนt 2 (

วี =3 t 2 +2 t -1 (tใน s,วีในหน่วยเมตร/วินาที)ค้นหาเส้นทางที่ร่างกายเดินทางภายใน 10 วินาทีจากจุดเริ่มต้นของการเคลื่อนไหว

ความเร็วของจุดเปลี่ยนตามกฎหมาย วี =6 t 2 +4 (tใน s,วีในหน่วยเมตร/วินาที)ค้นหาเส้นทางที่เดินทางโดยจุดใน 5 วินาทีจากจุดเริ่มต้นของการเคลื่อนไหว

ความเร็วในการเคลื่อนที่ของจุด วี =12 t -3 t 2 (tใน s,วีในหน่วยเมตร/วินาที)หาเส้นทางที่เดินทางโดยจุดตั้งแต่ต้นการเคลื่อนที่จนถึงจุดหยุด

วัตถุสองชิ้นเริ่มเคลื่อนที่พร้อมกันจากจุดเดียวกันในทิศทางเดียวกันเป็นเส้นตรง ร่างแรกเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว วี =6 t 2 +2 t(นางสาว),ที่สอง
วี =4 t+5 (ม./วินาที).จะห่างกันแค่ไหนใน 5 วินาที?

ภาคผนวก 4

การควบคุมตนเองในหัวข้อ

"อินทิกรัลที่แน่นอนและการประยุกต์ใช้"

1 ตัวเลือก

1. คำนวณปริพันธ์

y = - x 2 + x + 6 และ y = 0

3. ความเร็วของจุดเปลี่ยนตามกฎหมาย วี =9 t 2 -8 t (tใน s,วีในหน่วยเมตร/วินาที)หาเส้นทางที่ร่างกายเดินทางไปในวินาทีที่สี่จากจุดเริ่มต้นการเคลื่อนไหว

ตัวเลือก 2

1. คำนวณปริพันธ์

2. คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น

y = - x 2 + 2 x + 3 และ y = 0

3. ความเร็วของจุดเปลี่ยนตามกฎหมาย วี = 8 t - 3 t 2 (tใน s,วีในหน่วยเมตร/วินาที)ค้นหาเส้นทางที่ร่างกายเดินทางภายใน 5 วินาทีนับจากเริ่มการเคลื่อนไหว

I. ในวิชาฟิสิกส์

บังคับทำงาน

(A=FScos, cos 1)

ถ้าแรง F กระทำต่ออนุภาค พลังงานจลน์จะไม่คงที่ ในกรณีนี้ตาม

การเพิ่มขึ้นของพลังงานจลน์ของอนุภาคในเวลา dt เท่ากับผลคูณสเกลาร์ Fds โดยที่ ds คือการกระจัดของอนุภาคในเวลา dt ค่า

เรียกว่างานที่ทำโดยแรง F

ให้จุดเคลื่อนที่ไปตามแกน OX ภายใต้การกระทำของแรงที่มีการฉายภาพไปยังแกน OX เป็นฟังก์ชัน f(x) (ฟังก์ชัน f-continuous) ภายใต้การกระทำของแรง จุดเคลื่อนจากจุด S1(a) ไปยัง S2(b) แบ่งส่วนออกเป็น n ส่วนที่มีความยาวเท่ากัน

งานของแรงจะเท่ากับผลรวมของงานของแรงในส่วนที่เป็นผลลัพธ์ เพราะ f(x) -ต่อเนื่อง ดังนั้นสำหรับกำลังงานเล็กๆ ในส่วนนี้ จะเท่ากับ

ในทำนองเดียวกัน ในส่วนที่สอง f(x1)(x2-x1) ในส่วนที่ n --

ฉ(xn-1)(b-xn-1).

ดังนั้น ทำงานบน เท่ากับ:

และ An = f(a)x +f(x1)x+...+f(xn-1)x= ((b-a)/n)(f(a)+f(x1)+...+f( xn-1))

ความเท่าเทียมกันโดยประมาณจะกลายเป็นที่แน่นอนสำหรับ n

A = lim [(b-a)/n] (f(a)+...+f(xn-1))= f(x)dx (ตามคำจำกัดความ)

ปล่อยให้สปริงแข็ง C และความยาว l บีบอัดครึ่งความยาว กำหนดขนาดของพลังงานศักย์ Ep เท่ากับงาน A กระทำโดยแรง -F (s) ความยืดหยุ่นของสปริงเมื่อถูกบีบอัด แล้ว

Ep \u003d A \u003d - (-F (s)) dx

เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วจากวิชากลศาสตร์ว่า

จากนี้ไปเราจะพบว่า

En \u003d - (-Cs) ds \u003d CS2 / 2 | = C/2 l2/4

คำตอบ: Cl2/8

สิ่งที่ต้องทำเพื่อยืดสปริง 4 ซม. หากทราบว่าจากโหลด 1 N จะถูกยืด 1 ซม.

ตามกฎของฮุค แรง X N ซึ่งยืดสปริงด้วย x เท่ากับ

เราพบสัมประสิทธิ์สัดส่วน k จากเงื่อนไข: ถ้า x=0.01 m แล้ว X=1 N ดังนั้น k=1/0.01=100 และ X=100x แล้ว

คำตอบ: A=0.08 J

ด้วยความช่วยเหลือของปั้นจั่น เซาะร่องคอนกรีตเสริมเหล็กจะถูกลบออกจากก้นแม่น้ำด้วยความลึก 5 ม. จะทำอะไรได้บ้างถ้าเซาะร่องมีรูปร่างเหมือนจัตุรมุขปกติที่มีขอบ 1 เมตร? ความหนาแน่นของคอนกรีตเสริมเหล็กคือ 2500 กก./ลบ.ม. ความหนาแน่นของน้ำคือ 1000 กก./ลบ.ม.

ความสูงของจัตุรมุข

ปริมาตรของจัตุรมุข

น้ำหนักของเซาะร่องในน้ำโดยคำนึงถึงแรงกระทำของอาร์คิมีดีนเท่ากับ

ตอนนี้เรามาหางาน Ai ตอนดึงเซาะร่องออกจากน้ำกัน ให้จุดยอดของจัตุรมุขออกมาสูง 5+y แล้วปริมาตรของจัตุรมุขเล็กๆ ที่ออกมาจากน้ำจะเท่ากัน และน้ำหนักของจัตุรมุขคือ:

เพราะเหตุนี้,

ดังนั้น A=A0+A1=7227.5 J + 2082.5 J = 9310 J = 9.31 kJ

คำตอบ: A=9.31 (J)

แผ่นสี่เหลี่ยมที่มีความยาว a และความกว้าง b (a>b) เกิดแรงกดแบบใด หากเอียงไปยังพื้นผิวแนวนอนของของเหลวที่มุม b และด้านที่ยาวที่สุดอยู่ที่ความลึก h

ศูนย์พิกัดมวล

จุดศูนย์กลางของมวลคือจุดที่ผลลัพธ์ของแรงโน้มถ่วงเคลื่อนผ่านสำหรับการจัดเรียงเชิงพื้นที่ของร่างกาย

ให้แผ่นวัสดุที่เป็นเนื้อเดียวกัน o มีรูปร่างเป็นสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง (x; y |axb; 0yf(x)) และฟังก์ชัน

ต่อเนื่องบน และพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งนี้เท่ากับ S จากนั้นหาพิกัดของจุดศูนย์กลางมวลของแผ่น o โดยสูตร:

x0 = (1/S) x f(x) dx; y0 = (1/2S) f 2(x) dx;

หาจุดศูนย์กลางมวลของครึ่งวงกลมที่เป็นเนื้อเดียวกันของรัศมี R

วาดครึ่งวงกลมในระบบพิกัด OXY

y = (1/2S) (R2-x2)dx = (1/R2) (R2-x2)dx = (1/R2)(R2x-x3/3)|= 4R/3

คำตอบ: M(0; 4R/3)

หาพิกัดของจุดศูนย์ถ่วงของรูปที่ล้อมรอบด้วยส่วนโค้งของวงรี x=acost, y=bsint ซึ่งอยู่ในจตุภาคแรกและแกนพิกัด

ในไตรมาสแรก เมื่อ x เพิ่มขึ้นจาก 0 เป็น a, t ลดลงจาก p/2 เป็น 0 ดังนั้น

โดยใช้สูตรพื้นที่ของวงรี S \u003d rab เราจะได้

เส้นทางที่เดินทางโดยจุดวัตถุ

ถ้าจุดวัสดุเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงด้วยความเร็ว = (t) และทันเวลา

T=t2-t1 (t2>t1)

ผ่านเส้นทาง S แล้ว

ในทางเรขาคณิต

ปริมาตรเป็นลักษณะเชิงปริมาณของวัตถุเชิงพื้นที่ ลูกบาศก์ที่มีขอบ 1 มม. (1dm, 1m เป็นต้น) จะถูกนำมาเป็นหน่วยปริมาตร

จำนวนลูกบาศก์ของปริมาตรหน่วยที่วางอยู่ในร่างกายที่กำหนดคือปริมาตรของร่างกาย

สัจพจน์ของปริมาตร:

ปริมาณเป็นค่าที่ไม่เป็นลบ

ปริมาตรของร่างกายเท่ากับผลรวมของปริมาตรของร่างกายที่ประกอบขึ้น

มาหาสูตรคำนวณปริมาตรกัน:

เลือกแกน OX ในทิศทางของตำแหน่งของวัตถุนี้

กำหนดขอบเขตของตำแหน่งของร่างกายที่สัมพันธ์กับ OX;

มาแนะนำฟังก์ชันเสริม S(x) ที่กำหนดความสอดคล้องต่อไปนี้: สำหรับแต่ละ x จากเซ็กเมนต์ เราใส่พื้นที่หน้าตัดของตัวเลขที่กำหนดโดยระนาบที่ผ่านจุดที่กำหนด x ตั้งฉากกับแกน OX ให้สอดคล้องกัน

ให้แบ่งเซ็กเมนต์ออกเป็น n ส่วนเท่าๆ กัน แล้ววาดระนาบตั้งฉากกับแกน OX ผ่านแต่ละจุดของการหาร ในขณะที่ร่างกายของเราจะแบ่งออกเป็นส่วนๆ ตามสัจธรรม

V=V1+V2+...+Vn=ลิม(S(x1)x +S(x2)x+...+S(xn)x

และปริมาตรของส่วนที่อยู่ระหว่างระนาบสองระนาบที่อยู่ติดกันเท่ากับปริมาตรของทรงกระบอก Vc = SonH

เรามีผลรวมของผลิตภัณฑ์ของค่าฟังก์ชันที่จุดพาร์ติชั่นตามขั้นตอนของพาร์ติชั่น นั่นคือ จำนวนรวม โดยนิยามของอินทิกรัลแน่นอน ลิมิตของผลรวมนี้ที่ n เรียกว่าอินทิกรัล

โดยที่ S(x) คือส่วนของระนาบที่ผ่านจุดที่เลือกซึ่งตั้งฉากกับแกน OX

ในการค้นหาระดับเสียงที่คุณต้องการ:

1) เลือกแกน OX ด้วยวิธีที่สะดวก
2) กำหนดขอบเขตของตำแหน่งของวัตถุนี้ที่สัมพันธ์กับแกน
3) สร้างส่วนหนึ่งของร่างกายที่กำหนดโดยระนาบตั้งฉากกับแกน OX และผ่านจุดที่เกี่ยวข้อง
4) แสดงในแง่ของปริมาณที่ทราบฟังก์ชันที่แสดงพื้นที่ของส่วนที่กำหนด
5) สร้างอินทิกรัล
6) เมื่อคำนวณอินทิกรัลแล้วให้หาปริมาตร

หาปริมาตรของวงรีสามแกน