ตัวอย่างการแก้อสมการเชิงกราฟิก การแก้อสมการแบบกราฟิก ระบบของเซตอสมการที่มีสองตัวแปร

ดูเพิ่มเติมที่ การแก้ปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นแบบกราฟิก รูปแบบของ Canonical ของปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้น

ระบบข้อจำกัดสำหรับปัญหาดังกล่าวประกอบด้วยความไม่เท่าเทียมกันในสองตัวแปร:
และฟังก์ชันวัตถุประสงค์มีรูปแบบ ฉ = ค 1 x + ค 2 ยซึ่งจะต้องขยายใหญ่สุด

ลองตอบคำถาม: ตัวเลขคู่ใด ( x; ย) เป็นคำตอบของระบบอสมการ กล่าวคือ พวกเขาตอบสนองอสมการแต่ละอย่างพร้อมกันหรือไม่ กล่าวอีกนัยหนึ่ง การแก้ปัญหาระบบแบบกราฟิกหมายความว่าอย่างไร
ก่อนอื่นคุณต้องเข้าใจว่าอะไรคือคำตอบของอสมการเชิงเส้นหนึ่งค่ากับค่าไม่ทราบค่าสองค่า
ในการแก้อสมการเชิงเส้นที่มีนิรนามสองค่าหมายถึงการกำหนดค่าคู่ของนิรนามที่อสมการพอใจ
เช่น อสมการ3 x – 5ย≥ 42 ตอบสนองคู่ ( x , ย) : (100, 2); (3, –10) เป็นต้น โจทย์ให้หาคู่ดังกล่าวทั้งหมด
พิจารณาความไม่เท่าเทียมกันสองประการ: ขวาน + โดย≤ ค, ขวาน + โดย≥ ค. ตรง ขวาน + โดย = คแบ่งระนาบออกเป็นสองระนาบครึ่งเพื่อให้พิกัดของจุดหนึ่งในนั้นเป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกัน ขวาน + โดย >คและอสมการอื่นๆ ขวาน + +โดย <ค.
แน่นอนใช้จุดที่มีการประสานงาน x = x 0; จากนั้นเป็นจุดที่อยู่บนเส้นตรงและมี abscissa x 0 , มีระเบียบ

ให้แน่นอน ก<0, ข>0, ค>0. ทุกจุดด้วย abscissa x 0 ด้านบน พี(เช่น จุด ม), มี วายเอ็ม>ย 0 และจุดทั้งหมดที่อยู่ด้านล่างจุด พีด้วยแอ็บสซิสซา x 0 , มี YN<ย 0 . เพราะว่า x 0 เป็นจุดโดยพลการ จากนั้นจะมีจุดที่ด้านใดด้านหนึ่งของเส้นเสมอ ขวาน+ โดย > ค, สร้างครึ่งระนาบและในทางกลับกัน, จุดที่ ขวาน + โดย< ค.

รูปภาพที่ 1

เครื่องหมายอสมการในครึ่งระนาบขึ้นอยู่กับตัวเลข ก, ข , ค.
นี่แสดงถึงวิธีการต่อไปนี้สำหรับการแก้ปัญหาเชิงกราฟิกของระบบอสมการเชิงเส้นในสองตัวแปร ในการแก้ปัญหาระบบ คุณต้อง:

สำหรับแต่ละอสมการ ให้เขียนสมการที่สอดคล้องกับอสมการที่กำหนด
สร้างเส้นที่เป็นกราฟของฟังก์ชันที่กำหนดโดยสมการ
สำหรับเส้นตรงแต่ละเส้น ให้กำหนดครึ่งระนาบซึ่งกำหนดโดยอสมการ ในการทำเช่นนี้ ให้ใช้จุดโดยพลการที่ไม่อยู่บนเส้นตรง แทนพิกัดลงในอสมการ หากอสมการเป็นจริง ครึ่งระนาบที่มีจุดที่เลือกจะเป็นคำตอบของอสมการเดิม หากอสมการเป็นเท็จ ครึ่งระนาบอีกด้านหนึ่งของเส้นตรงจะเป็นเซตของคำตอบของอสมการนี้
ในการแก้ปัญหาระบบอสมการจำเป็นต้องหาพื้นที่ตัดกันของระนาบครึ่งระนาบทั้งหมดที่เป็นทางออกของความไม่เท่าเทียมกันในระบบ

พื้นที่นี้อาจกลายเป็นพื้นที่ว่างเปล่า จากนั้นระบบอสมการไม่มีทางออก มันไม่สอดคล้องกัน มิฉะนั้นระบบจะบอกว่าเข้ากันได้
คำตอบสามารถเป็นจำนวนจำกัดและเซตอนันต์ได้ พื้นที่อาจเป็นรูปหลายเหลี่ยมปิดหรือไม่จำกัดก็ได้

ลองดูสามตัวอย่างที่เกี่ยวข้องกัน

ตัวอย่างที่ 1. แก้ปัญหาระบบแบบกราฟิก:
x + ย- 1 ≤ 0;
–2x- 2ย + 5 ≤ 0.

พิจารณาสมการ x+y–1=0 และ –2x–2y+5=0 ที่สอดคล้องกับอสมการ
ให้เราสร้างเส้นตรงที่กำหนดโดยสมการเหล่านี้

รูปที่ 2

ให้เรากำหนดครึ่งระนาบที่กำหนดโดยอสมการ ใช้จุดโดยพลการให้ (0; 0) พิจารณา x+ y– 1 0 เราแทนจุด (0; 0): 0 + 0 – 1 ≤ 0 ดังนั้น ในครึ่งระนาบที่จุด (0; 0) อยู่ x + ย – 1 ≤ 0 เช่น ครึ่งระนาบที่อยู่ใต้เส้นตรงคือคำตอบของอสมการแรก แทนจุดนี้ (0; 0) ในจุดที่สอง เราจะได้: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0 นั่นคือ ในครึ่งระนาบที่จุด (0; 0) อยู่ -2 x – 2ย+ 5≥ 0 และเราถูกถามว่า -2 อยู่ที่ไหน x – 2ย+ 5 ≤ 0 ดังนั้นในอีกครึ่งระนาบ - ในระนาบที่อยู่เหนือเส้นตรง
หาจุดตัดของครึ่งระนาบทั้งสองนี้ เส้นขนานกัน ดังนั้นระนาบจึงไม่ตัดกันทุกที่ ซึ่งหมายความว่าระบบของอสมการเหล่านี้ไม่มีคำตอบ มันไม่สอดคล้องกัน

ตัวอย่างที่ 2 ค้นหาวิธีแก้ปัญหาแบบกราฟิกสำหรับระบบอสมการ:

รูปที่ 3
1. เขียนสมการที่สอดคล้องกับอสมการและสร้างเส้นตรง
x + 2ย– 2 = 0

x	2	0
ย	0	1

ย – x – 1 = 0

x	0	2
ย	1	3

ย + 2 = 0;
ย = –2.
2. เมื่อเลือกจุด (0; 0) เราจะกำหนดสัญญาณของความไม่เท่าเทียมกันในระนาบครึ่ง:
0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0 เช่น x + 2ย– 2 ≤ 0 ในครึ่งระนาบใต้เส้นตรง;
0 – 0 – 1 ≤ 0 เช่น ย –x– 1 ≤ 0 ในครึ่งระนาบใต้เส้นตรง
0 + 2 =2 ≥ 0 เช่น ย+ 2 ≥ 0 ในครึ่งระนาบเหนือเส้น
3. จุดตัดของครึ่งระนาบทั้งสามนี้จะเป็นบริเวณที่เป็นรูปสามเหลี่ยม การหาจุดยอดของพื้นที่เป็นจุดตัดของเส้นตรงนั้นไม่ใช่เรื่องยาก

ทางนี้, แต่(–3; –2), ที่(0; 1), จาก(6; –2).

ให้เราพิจารณาอีกตัวอย่างหนึ่ง ซึ่งโดเมนที่เป็นผลลัพธ์ของโซลูชันของระบบนั้นไม่จำกัด

วิธีการแบบกราฟิกประกอบด้วยการสร้างชุดของโซลูชัน LLP ที่เป็นไปได้ และค้นหาจุดที่สอดคล้องกับฟังก์ชันวัตถุประสงค์สูงสุด/ต่ำสุดในชุดนี้

เนื่องจากความเป็นไปได้ที่จำกัดของการแสดงกราฟิกด้วยภาพ วิธีนี้ใช้สำหรับระบบอสมการเชิงเส้นที่มีนิรนามสองค่าและระบบที่สามารถลดลงเป็นรูปแบบนี้เท่านั้น

เพื่อแสดงให้เห็นถึงวิธีการแบบกราฟิกเราจะแก้ปัญหาต่อไปนี้:

1. ในระยะแรกจำเป็นต้องสร้างพื้นที่ของแนวทางแก้ไขที่เป็นไปได้ สำหรับตัวอย่างนี้ จะสะดวกที่สุดในการเลือก X2 สำหรับ abscissa และ X1 สำหรับลำดับ และเขียนอสมการในรูปแบบต่อไปนี้:

เนื่องจากทั้งกราฟและพื้นที่ของโซลูชันที่ยอมรับได้อยู่ในไตรมาสแรก ในการหาจุดขอบเขต เราจะแก้สมการ (1)=(2), (1)=(3) และ (2)=(3)

ดังที่เห็นได้จากภาพประกอบ รูปทรงหลายเหลี่ยม ABCDE เป็นพื้นที่ของการแก้ปัญหาที่เป็นไปได้

หากโดเมนของโซลูชันที่ยอมรับไม่ได้ถูกปิด ดังนั้น max(f)=+ ? หรือ min(f)= -?

2. ตอนนี้เราสามารถค้นหาค่าสูงสุดของฟังก์ชัน f ได้โดยตรง

อีกวิธีหนึ่งแทนพิกัดของจุดยอดของรูปทรงหลายเหลี่ยมในฟังก์ชัน f และเปรียบเทียบค่า เราพบว่า f(C)=f (4; 1)=19 - ค่าสูงสุดของฟังก์ชัน

วิธีการนี้มีประโยชน์มากสำหรับจุดยอดจำนวนน้อย แต่ขั้นตอนนี้อาจล่าช้าได้หากมีจุดยอดค่อนข้างมาก

ในกรณีนี้ การพิจารณาเส้นระดับของแบบฟอร์ม f=a จะสะดวกกว่า ด้วยการเพิ่มจำนวน a จาก -? ถึง +? เส้นตรง f=a ถูกแทนที่ด้วยเวกเตอร์ปกติ หากด้วยการกระจัดของเส้นระดับมีจุด X อยู่ - จุดร่วมแรกของพื้นที่ของการแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ (รูปทรงหลายเหลี่ยม ABCDE) และเส้นระดับ ดังนั้น f(X) คือค่าต่ำสุดของ f บน กำหนด ABCDE ถ้า X คือจุดสุดท้ายของจุดตัดของเส้นระดับกับชุด ABCDE ดังนั้น f(X) คือค่าสูงสุดของชุดคำตอบที่เป็นไปได้ ถ้าสำหรับ a>-? เส้น f=a ตัดกับชุดคำตอบที่ยอมรับได้ จากนั้น min(f)= -? หากสิ่งนี้เกิดขึ้นเมื่อ a>+? ดังนั้น max(f)=+?

เป้าหมาย:

1. ทวนความรู้เกี่ยวกับฟังก์ชันกำลังสอง

2. ทำความคุ้นเคยกับวิธีการแก้อสมการกำลังสองตามคุณสมบัติของฟังก์ชันกำลังสอง

อุปกรณ์:มัลติมีเดีย, การนำเสนอ "การแก้อสมการกำลังสอง", การ์ดสำหรับงานอิสระ, ตาราง "อัลกอริทึมสำหรับการแก้อสมการกำลังสอง", แผ่นควบคุมด้วยกระดาษคาร์บอน

ระหว่างเรียน

I. ช่วงเวลาขององค์กร (1 นาที)

ครั้งที่สอง การอัพเดทความรู้พื้นฐาน(10 นาที)

1. การพล็อตฟังก์ชันกำลังสอง y \u003d x 2 -6x + 8<Рисунок 1. Приложение >

การกำหนดทิศทางของกิ่งก้านของพาราโบลา
การกำหนดพิกัดของจุดยอดพาราโบลา
การกำหนดแกนสมมาตร
การกำหนดจุดตัดด้วยแกนพิกัด
หาจุดเพิ่มเติม

2. กำหนดเครื่องหมายของสัมประสิทธิ์ a และจำนวนรากของสมการ ax 2 +in+c=0 จากการวาด<Рисунок 2. Приложение >

3. ตามกราฟของฟังก์ชัน y \u003d x 2 -4x + 3 กำหนด:

เลขศูนย์ของฟังก์ชันคืออะไร
ค้นหาช่วงเวลาที่ฟังก์ชันรับค่าบวก
ค้นหาช่วงเวลาที่ฟังก์ชันรับค่าลบ
ฟังก์ชันเพิ่มขึ้นที่ค่าใดของ x และค่าใดที่ลดลง<Рисунок 3>

4. การเรียนรู้ความรู้ใหม่ (12 นาที)

งาน 1: แก้อสมการ: x 2 +4x-5 > 0.

ความไม่เท่าเทียมกันเป็นที่พอใจโดยค่า x ซึ่งค่าของฟังก์ชัน y=x 2 +4x-5 เท่ากับศูนย์หรือบวกนั่นคือค่า x ที่จุดของพาราโบลาอยู่ บนแกน x หรือเหนือแกนนี้

มาสร้างกราฟของฟังก์ชัน y \u003d x 2 + 4x-5

ด้วยแกน x: X 2 + 4x-5 \u003d 0 ตามทฤษฎีบท Vieta: x 1 \u003d 1, x 2 \u003d -5 คะแนน(1;0),(-5;0).

ด้วยแกน y: y(0)=-5 จุด (0;-5)

คะแนนเพิ่มเติม: y(-1)=-8, y(2)=7<Рисунок 4>

บรรทัดล่าง: ค่าของฟังก์ชันเป็นบวกและเท่ากับศูนย์ (ไม่เป็นลบ) เมื่อ

จำเป็นต้องลงจุดฟังก์ชันกำลังสองอย่างละเอียดทุกครั้งเพื่อแก้อสมการหรือไม่?
ฉันจำเป็นต้องหาพิกัดของจุดยอดของพาราโบลาหรือไม่?
อะไรคือสิ่งสำคัญ? (ก, x 1, x 2)

สรุป: ในการแก้อสมการกำลังสอง ก็เพียงพอแล้วที่จะกำหนดศูนย์ของฟังก์ชัน ทิศทางของกิ่งก้านของพาราโบลา และสร้างร่างของกราฟ

งาน 2: แก้อสมการ: x 2 -6x + 8 < 0.

วิธีแก้ปัญหา: หารากของสมการ x 2 -6x+8=0 กัน

ตามทฤษฎีบท Vieta: x 1 \u003d 2, x 2 \u003d 4

a>0 - กิ่งก้านของพาราโบลาชี้ขึ้น

มาสร้างร่างของกราฟกัน<Рисунок 5>

เราทำเครื่องหมายด้วยเครื่องหมาย "+" และ "–" ช่วงเวลาที่ฟังก์ชันรับค่าบวกและค่าลบ เลือกช่วงเวลาที่เราต้องการ

คำตอบ: X€

5. การรวมวัสดุใหม่ (7 นาที)

หมายเลข 660 (3). นักเรียนตัดสินใจบนกระดาน

แก้อสมการ -x 2 -3x-2<0.

X 2 -3x-2=0; x 2 +3x+2=0;

รากของสมการ: x 1 \u003d -1, x 2 \u003d -2

ก<0 – ветви вниз. <Рисунок 6>

หมายเลข 660 (1) - การทำงานกับบอร์ดที่ซ่อนอยู่

แก้อสมการ x 2 -3x + 2 < 0.

วิธีแก้ไข: x 2 -3x+2=0

มาหารากกันเถอะ: ; x 1 = 1, x 2 = 2.

a>0 - แยกสาขาขึ้น เราสร้างกราฟของฟังก์ชัน<Рисунок 7>

อัลกอริทึม:

ค้นหารากของสมการ ax 2 + in + c \u003d 0
ทำเครื่องหมายไว้บนระนาบพิกัด
กำหนดทิศทางของกิ่งก้านของพาราโบลา
ร่างแผนภูมิ
ทำเครื่องหมายด้วยเครื่องหมาย “+” และ “-” ซึ่งเป็นช่วงเวลาที่ฟังก์ชันรับค่าบวกและค่าลบ
เลือกช่วงเวลาที่ต้องการ

6. งานอิสระ (10 นาที)

(รับ-กระดาษคาร์บอน).

แผ่นควบคุมได้รับการลงนามและส่งมอบให้กับครูเพื่อตรวจสอบและแก้ไข

ตรวจสอบบอร์ดด้วยตนเอง

งานเพิ่มเติม:

№ 670 ค้นหาค่าของ x ที่ฟังก์ชันรับค่าไม่เกินศูนย์: y=x 2 +6x-9

7. การบ้าน (2 นาที)

№ 660 (2, 4), № 661 (2, 4).

กรอกตาราง:

ง	ความไม่เท่าเทียมกัน	ก	การวาดภาพ	วิธีการแก้
ง>0	ขวาน 2 + in + s > 0	ก>0
ง>0	ขวาน 2 + in + s > 0	ก<0
ง>0	ขวาน 2 + in + s < 0	ก>0
ง>0	ขวาน 2 + in + s < 0	ก<0

8. สรุปบทเรียน (3 นาที)

สร้างอัลกอริทึมสำหรับการแก้อสมการ
ใครทำผลงานได้ยอดเยี่ยม?
อะไรที่ดูเหมือนยาก?

วิธีการแก้อสมการกำลังสองที่สะดวกที่สุดวิธีหนึ่งคือวิธีกราฟิก ในบทความนี้ เราจะวิเคราะห์วิธีการแก้ไขอสมการกำลังสองในรูปแบบกราฟิก ก่อนอื่นเรามาคุยกันว่าสาระสำคัญของวิธีนี้คืออะไร จากนั้นเราจะให้อัลกอริทึมและพิจารณาตัวอย่างการแก้อสมการกำลังสองแบบกราฟิก

การนำทางหน้า

สาระสำคัญของวิธีการกราฟิก

โดยทั่วไป วิธีแก้อสมการแบบกราฟิกด้วยตัวแปรเดียว ไม่เพียงแต่ใช้ในการแก้อสมการกำลังสองเท่านั้น แต่ยังรวมถึงอสมการประเภทอื่นด้วย สาระสำคัญของวิธีกราฟิกสำหรับการแก้อสมการถัดไป: พิจารณาฟังก์ชัน y=f(x) และ y=g(x) ที่สอดคล้องกับส่วนซ้ายและขวาของอสมการ สร้างกราฟในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมเดียวกัน และค้นหาว่ากราฟของหนึ่งในนั้นอยู่ในช่วงใด พวกมันอยู่ด้านล่างหรือเหนืออันอื่น ช่วงเวลาเหล่านั้นที่

กราฟของฟังก์ชัน f เหนือกราฟของฟังก์ชัน g คือคำตอบของอสมการ f(x)>g(x) ;
กราฟของฟังก์ชัน f ไม่ต่ำกว่ากราฟของฟังก์ชัน g คือคำตอบของอสมการ f(x)≥g(x) ;
กราฟของฟังก์ชัน f ด้านล่างกราฟของฟังก์ชัน g คือคำตอบของอสมการ f(x)
กราฟของฟังก์ชัน f ที่ไม่อยู่เหนือกราฟของฟังก์ชัน g คือคำตอบของอสมการ f(x)≤g(x) .

สมมติว่า abscissas ของจุดตัดกันของกราฟของฟังก์ชัน f และ g เป็นคำตอบของสมการ f(x)=g(x) .

ให้เราโอนผลลัพธ์เหล่านี้ไปยังกรณีของเรา เพื่อแก้อสมการกำลังสอง a x 2 +b x+c<0 (≤, >, ≥).

เราแนะนำฟังก์ชันสองฟังก์ชัน: ฟังก์ชันแรก y=a x 2 +b x+c (ในกรณีนี้ f(x)=a x 2 +b x+c) สอดคล้องกับด้านซ้ายของอสมการกำลังสอง ฟังก์ชันที่สอง y=0 (ใน กรณีนี้ g (x)=0 ) สอดคล้องกับด้านขวาของอสมการ กำหนดการ ฟังก์ชันกำลังสอง f คือพาราโบลาและกราฟ ฟังก์ชั่นถาวร g เป็นเส้นตรงที่ตรงกับแกน abscissa Ox

นอกจากนี้ตามวิธีการแบบกราฟิกสำหรับการแก้อสมการจำเป็นต้องวิเคราะห์ว่ากราฟของฟังก์ชันหนึ่งอยู่เหนือหรือใต้อีกช่วงใดซึ่งจะช่วยให้เราสามารถเขียนวิธีแก้ปัญหาที่ต้องการสำหรับอสมการกำลังสอง ในกรณีของเรา เราต้องวิเคราะห์ตำแหน่งของพาราโบลาที่สัมพันธ์กับแกน Ox

ขึ้นอยู่กับค่าของค่าสัมประสิทธิ์ a, b และ c หกตัวเลือกต่อไปนี้เป็นไปได้ (การแสดงแผนผังเพียงพอสำหรับความต้องการของเรา และเป็นไปไม่ได้ที่จะไม่แสดงแกน Oy เนื่องจากตำแหน่งของมันไม่ส่งผลต่อการแก้ปัญหา ของความไม่เท่าเทียมกัน):

ในภาพวาดนี้ เราเห็นพาราโบลาที่มีกิ่งชี้ขึ้นและตัดแกน Ox ที่จุดสองจุด โดยมี abscissas คือ x 1 และ x 2 ภาพวาดนี้สอดคล้องกับตัวแปรเมื่อค่าสัมประสิทธิ์ a เป็นบวก (มีหน้าที่รับผิดชอบทิศทางขึ้นของกิ่งก้านของพาราโบลา) และเมื่อค่าเป็นบวก แยกแยะของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส a x 2 +b x + c (ในกรณีนี้ ตรีโกณมิติมีสองราก ซึ่งเราแสดงเป็น x 1 และ x 2 และเราถือว่า x 1 0 , D=b 2 −4 a c=(−1) 2 −4 1 (−6)=25>0, x 1 =−2 , x 2 =3 .

เพื่อความชัดเจนลองวาดส่วนของพาราโบลาที่อยู่เหนือแกน abscissa ด้วยสีแดงและสีน้ำเงิน - ซึ่งอยู่ใต้แกน abscissa

ตอนนี้เรามาดูกันว่าช่องว่างใดที่สอดคล้องกับส่วนเหล่านี้ ภาพวาดต่อไปนี้จะช่วยกำหนดพวกเขา (ในอนาคตเราจะทำการเลือกในรูปแบบของสี่เหลี่ยมผืนผ้าทางจิตใจ):

ดังนั้นบนแกน abscissa สองช่วง (−∞, x 1) และ (x 2, +∞) จึงถูกเน้นด้วยสีแดง พาราโบลาสูงกว่าแกน Ox ซึ่งเป็นคำตอบของอสมการกำลังสอง a x 2 +b x+c>0 , และช่วง (x 1 , x 2) ถูกเน้นด้วยสีน้ำเงิน พาราโบลาอยู่ด้านล่างแกน Ox ซึ่งเป็นคำตอบของอสมการ a x 2 + b x + c<0 . Решениями нестрогих квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c≥0 и a·x 2 +b·x+c≤0 будут те же промежутки, но в них следует включить числа x 1 и x 2 , отвечающие равенству a·x 2 +b·x+c=0 .

และตอนนี้โดยสังเขป: สำหรับ a>0 และ D=b 2 −4 a c>0 (หรือ D"=D/4>0 สำหรับค่าสัมประสิทธิ์เลขคู่ b)

คำตอบของอสมการกำลังสอง a x 2 +b x+c>0 คือ (−∞, x 1)∪(x 2 , +∞) หรือในอีกทางหนึ่ง x x2;
คำตอบของอสมการกำลังสอง a x 2 +b x+c≥0 คือ (−∞, x 1 ]∪ หรือในรูปแบบอื่น x 1 ≤x≤x 2 ,

โดยที่ x 1 และ x 2 คือรากของตรีโกณมิติ a x 2 + b x + c และ x 1

ที่นี่เราเห็นพาราโบลา กิ่งที่ชี้ขึ้น และสัมผัสกับแกน abscissa นั่นคือมันมีจุดร่วมหนึ่งจุด เรามาแทน abscissa ของจุดนี้ด้วย x 0 กรณีที่นำเสนอสอดคล้องกับ a>0 (กิ่งชี้ขึ้นด้านบน) และ D=0 (ตรีโกณมิติกำลังสองมีหนึ่งรูท x 0 ) ตัวอย่างเช่น เราสามารถใช้ฟังก์ชันกำลังสอง y=x 2 −4 x+4 ที่นี่ a=1>0 , D=(−4) 2 −4 1 4=0 และ x 0 =2

ภาพวาดแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนว่าพาราโบลาอยู่เหนือแกน Ox ทุกจุด ยกเว้นจุดสัมผัส นั่นคือ ที่ช่วง (−∞, x 0) , (x 0 , ∞) เพื่อความชัดเจน เราเลือกพื้นที่ในภาพวาดโดยเปรียบเทียบกับย่อหน้าก่อนหน้า

เราได้ข้อสรุป: สำหรับ a>0 และ D=0

คำตอบของอสมการกำลังสอง a x 2 +b x+c>0 คือ (−∞, x 0)∪(x 0 , +∞) หรือในรูปแบบอื่น x≠x 0 ;
คำตอบของอสมการกำลังสอง a x 2 +b x+c≥0 คือ (−∞, +∞) หรือในรูปแบบอื่น x∈R ;
อสมการกำลังสอง a x 2 +b x+c<0 не имеет решений (нет интервалов, на которых парабола расположена ниже оси Ox );
อสมการกำลังสอง a x 2 +b x+c≤0 มีคำตอบเฉพาะ x=x 0 (กำหนดโดยจุดสัมผัส)

โดยที่ x 0 คือรากของรูปสี่เหลี่ยมจตุรัส a x 2 + b x + c

ในกรณีนี้ กิ่งก้านของพาราโบลาจะชี้ขึ้น และไม่มีจุดร่วมกับแกนแอบซิสซา ที่นี่เรามีเงื่อนไข a>0 (กิ่งชี้ขึ้นด้านบน) และ D<0 (квадратный трехчлен не имеет действительных корней). Для примера можно построить график функции y=2·x 2 +1 , здесь a=2>0 , D=0 2 −4 2 1=−8<0 .

เห็นได้ชัดว่าพาราโบลาอยู่เหนือแกน Ox ตลอดความยาวทั้งหมด (ไม่มีช่วงใดที่ต่ำกว่าแกน Ox ไม่มีจุดสัมผัส)

ดังนั้นสำหรับ a>0 และ D<0 решением квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c>0 และ a x 2 +b x+c≥0 คือเซตของจำนวนจริงทั้งหมด และอสมการ a x 2 +b x+c<0 и a·x 2 +b·x+c≤0 не имеют решений.

และมีสามตัวเลือกสำหรับตำแหน่งของพาราโบลาที่มีกิ่งชี้ลงและไม่ขึ้นเมื่อเทียบกับแกน Ox โดยหลักการแล้ว อาจไม่ได้รับการพิจารณา เนื่องจากการคูณทั้งสองส่วนของอสมการด้วย −1 ทำให้เราสามารถส่งต่ออสมการที่เท่ากันด้วยค่าสัมประสิทธิ์บวกที่ x 2 อย่างไรก็ตาม การทำความเข้าใจเกี่ยวกับกรณีเหล่านี้ก็ไม่ใช่เรื่องเสียหาย เหตุผลที่นี่คล้ายกัน ดังนั้นเราจึงเขียนเฉพาะผลลัพธ์หลักเท่านั้น

อัลกอริทึมโซลูชัน

ผลลัพธ์ของการคำนวณก่อนหน้านี้ทั้งหมดคือ อัลกอริทึมสำหรับการแก้อสมการกำลังสองแบบกราฟิก:

การวาดแผนผังดำเนินการบนระนาบพิกัด ซึ่งแสดงแกน Ox (ไม่จำเป็นต้องแสดงแกน Oy) และภาพร่างของพาราโบลาที่สอดคล้องกับฟังก์ชันกำลังสอง y=a x 2 + b x + c ในการสร้างภาพร่างของพาราโบลา ก็เพียงพอที่จะหาจุดสองจุด:

ประการแรกโดยค่าสัมประสิทธิ์ a จะพบว่ากิ่งก้านของมันถูกนำไปที่ใด (สำหรับ a>0 - ขึ้นไปสำหรับ a<0 – вниз).
และประการที่สอง โดยค่าของความแตกต่างของรูปสี่เหลี่ยมจตุรัส a x 2 + b x + c ปรากฎว่าพาราโบลาตัดแกน x ที่จุดสองจุดหรือไม่ (สำหรับ D> 0) แตะที่จุดหนึ่ง (สำหรับ D= 0) หรือไม่มีจุดร่วมกับแกน Ox (สำหรับ D<0 ). Для удобства на чертеже указываются координаты точек пересечения или координата точки касания (при наличии этих точек), а сами точки изображаются выколотыми при решении строгих неравенств, или обычными при решении нестрогих неравенств.

เมื่อภาพวาดพร้อมแล้ว ให้ไปที่ขั้นตอนที่สองของอัลกอริทึม
- เมื่อแก้อสมการกำลังสอง a·x 2 +b·x+c>0 ช่วงที่พาราโบลาอยู่เหนือแกน abscissa จะถูกกำหนด
- เมื่อแก้อสมการ a x 2 +b x+c≥0 ช่วงเวลาจะถูกกำหนดโดยที่พาราโบลาตั้งอยู่เหนือแกน abscissa และ abscissas ของจุดตัดกัน (หรือ abscissa ของจุดสัมผัส) จะถูกเพิ่มเข้าไป
- เมื่อแก้อสมการ a x 2 +b x+c<0 находятся промежутки, на которых парабола ниже оси Ox ;
- ในที่สุด เมื่อแก้อสมการกำลังสองในรูปแบบ a x 2 +b x + c≤0 มีช่วงที่พาราโบลาอยู่ต่ำกว่าแกนวัวและจุดตัดของจุดตัด (หรือจุดตัดของจุดสัมผัส) จะถูกเพิ่มเข้าไป ;
พวกเขาสร้างคำตอบที่ต้องการของอสมการกำลังสองและหากไม่มีช่วงเวลาดังกล่าวและไม่มีจุดสัมผัส อสมการกำลังสองดั้งเดิมจะไม่มีคำตอบ

มันยังคงเป็นเพียงการแก้อสมการกำลังสองเล็กน้อยโดยใช้อัลกอริทึมนี้

ตัวอย่างพร้อมโซลูชัน

ตัวอย่าง.

แก้อสมการ .

วิธีการแก้.

เราจำเป็นต้องแก้อสมการกำลังสอง เราจะใช้อัลกอริทึมจากย่อหน้าก่อนหน้า ในขั้นแรก เราต้องร่างกราฟของฟังก์ชันกำลังสอง . ค่าสัมประสิทธิ์ที่ x 2 คือ 2 เป็นบวก ดังนั้นกิ่งก้านของพาราโบลาจึงชี้ขึ้น ให้เราค้นหาด้วยว่าพาราโบลาที่มีแกน abscissa มีจุดร่วมหรือไม่ สำหรับสิ่งนี้เราคำนวณการแยกแยะของตรีโกณมิติกำลังสอง . เรามี . การเลือกปฏิบัติกลายเป็นมากกว่าศูนย์ ดังนั้น trinomial จึงมีรากจริงสองราก: และ นั่นคือ x 1 =−3 และ x 2 =1/3

จากจุดนี้จะเห็นได้ชัดว่าพาราโบลาตัดแกน Ox ที่จุดสองจุดด้วย abscissas −3 และ 1/3 เราจะพรรณนาจุดเหล่านี้ในภาพวาดเป็นจุดธรรมดา เนื่องจากเรากำลังแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันที่ไม่เข้มงวด ตามข้อมูลที่ชี้แจง เราได้รับภาพวาดต่อไปนี้ (เหมาะกับเทมเพลตแรกจากย่อหน้าแรกของบทความ):

เราผ่านไปยังขั้นตอนที่สองของอัลกอริทึม เนื่องจากเรากำลังแก้อสมการกำลังสองที่ไม่เคร่งครัดด้วยเครื่องหมาย ≤ เราจำเป็นต้องกำหนดช่วงเวลาที่พาราโบลาอยู่ใต้แกน abscissa และเพิ่ม abscissas ของจุดตัดเข้าไป

จะเห็นได้จากภาพวาดว่าพาราโบลาอยู่ต่ำกว่า abscissa ในช่วง (−3, 1/3) และเราเพิ่ม abscissas ของจุดตัดเข้าไป นั่นคือตัวเลข −3 และ 1/3 เป็นผลให้เรามาถึงส่วนที่เป็นตัวเลข [−3, 1/3] . นี่คือทางออกที่ต้องการ สามารถเขียนเป็นอสมการสองเท่า −3≤x≤1/3

ตอบ:

[−3, 1/3] หรือ −3≤x≤1/3

ตัวอย่าง.

ค้นหาคำตอบของอสมการกำลังสอง −x 2 +16 x−63<0 .

วิธีการแก้.

ตามปกติ เราเริ่มต้นด้วยการวาดภาพ ค่าสัมประสิทธิ์ตัวเลขสำหรับกำลังสองของตัวแปรเป็นลบ −1 ดังนั้นกิ่งก้านของพาราโบลาจึงชี้ลง มาคำนวณการเลือกปฏิบัติหรือดีกว่าส่วนที่สี่: D"=8 2 −(−1)(−63)=64−63=1. ค่าของมันเป็นบวก เราคำนวณรากของตรีโกณมิติกำลังสอง: และ , x 1 =7 และ x 2 =9 ดังนั้นพาราโบลาจึงตัดแกน Ox ที่จุดสองจุดด้วย abscissas 7 และ 9 (อสมการเริ่มต้นนั้นเข้มงวดดังนั้นเราจะอธิบายจุดเหล่านี้ด้วยจุดศูนย์กลางที่ว่างเปล่า) ตอนนี้เราสามารถวาดแผนผัง:

เนื่องจากเรากำลังแก้อสมการกำลังสองที่มีเครื่องหมายอย่างเข้มงวด<, то нас интересуют промежутки, на которых парабола расположена ниже оси абсцисс:

ภาพวาดแสดงให้เห็นว่าคำตอบของอสมการกำลังสองเดิมคือสองช่วง (−∞, 7) , (9, +∞)

ตอบ:

(−∞, 7)∪(9, +∞) หรือในรูปแบบอื่น x<7 , x>9 .

เมื่อแก้อสมการกำลังสอง เมื่อตัวจำแนกของตรีโกณมิติทางด้านซ้ายมีค่าเท่ากับศูนย์ คุณต้องระวังการรวมหรือการยกเว้นจุดสัมผัสของจุดสัมผัสออกจากคำตอบ ขึ้นอยู่กับเครื่องหมายของความไม่เท่าเทียมกัน: ถ้าความไม่เท่าเทียมกันนั้นเคร่งครัด มันก็ไม่ใช่วิธีแก้ปัญหาของความไม่เท่าเทียมกัน และถ้ามันไม่เข้มงวด มันก็เป็นเช่นนั้น

ตัวอย่าง.

อสมการกำลังสอง 10 x 2 −14 x+4.9≤0 มีคำตอบอย่างน้อยหนึ่งคำตอบหรือไม่

วิธีการแก้.

ลองวางแผนฟังก์ชัน y=10 x 2 −14 x+4.9 กัน กิ่งของมันชี้ขึ้น เนื่องจากค่าสัมประสิทธิ์ที่ x 2 เป็นค่าบวก และสัมผัสจุด abscissa ที่จุดที่มี abscissa 0.7 เนื่องจาก D "=(−7) 2 −10 4.9=0 โดยที่หรือ 0.7 เป็นทศนิยม แผนผังดูเหมือนว่านี้:

เนื่องจากเรากำลังแก้อสมการกำลังสองด้วยเครื่องหมาย ≤ ดังนั้นคำตอบของมันจะเป็นช่วงเวลาที่พาราโบลาอยู่ต่ำกว่าแกน Ox เช่นเดียวกับจุดสัมผัสแบบออบซิสซา จะเห็นได้จากภาพวาดว่าไม่มีช่องว่างเดียวที่พาราโบลาจะอยู่ใต้แกน Ox ดังนั้นวิธีแก้ปัญหาจะเป็นเพียงจุดสัมผัส abscissa นั่นคือ 0.7

ตอบ:

ความไม่เท่าเทียมกันนี้มีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ 0.7

ตัวอย่าง.

แก้อสมการกำลังสอง –x 2 +8 x−16<0 .

วิธีการแก้.

เราดำเนินการตามอัลกอริทึมสำหรับการแก้อสมการกำลังสองและเริ่มต้นด้วยการลงจุด กิ่งก้านของพาราโบลาชี้ลง เนื่องจากสัมประสิทธิ์ที่ x 2 เป็นลบ −1 ค้นหาความแตกต่างของกำลังสอง trinomial –x 2 +8 x−16 ที่เรามี D'=4 2 −(−1)(−16)=16−16=0และเพิ่มเติม x 0 =−4/(−1) , x 0 =4 . ดังนั้นพาราโบลาจึงแตะแกนวัวที่จุดที่มี abscissa 4 มาวาดรูปกันเถอะ:

เรามาดูเครื่องหมายของอสมการเดิมกันเลยครับ<. Согласно алгоритму, решение неравенства в этом случае составляют все промежутки, на которых парабола расположена строго ниже оси абсцисс.

ในกรณีของเรา นี่คือรังสีเปิด (−∞, 4) , (4, +∞) . แยกกัน เราทราบว่า 4 - abscissa ของจุดสัมผัส - ไม่ใช่วิธีแก้ปัญหาเนื่องจากที่จุดสัมผัสพาราโบลาไม่ต่ำกว่าแกนวัว

ตอบ:

(−∞, 4)∪(4, +∞) หรือในรูปแบบอื่น x≠4

ให้ความสนใจเป็นพิเศษกับกรณีที่ค่าจำแนกของตรีโกณมิติทางด้านซ้ายของอสมการกำลังสองมีค่าน้อยกว่าศูนย์ ไม่จำเป็นต้องรีบเร่งและบอกว่าอสมการไม่มีคำตอบ ประเด็นก็คือว่าอสมการกำลังสองสำหรับ D<0 может иметь решение, которым является множество всех действительных чисел.

ตัวอย่าง.

หาคำตอบของอสมการกำลังสอง 3 x 2 +1>0

วิธีการแก้.

ตามปกติ เราเริ่มต้นด้วยการวาดภาพ ค่าสัมประสิทธิ์ a คือ 3 เป็นค่าบวก ดังนั้นกิ่งก้านของพาราโบลาจึงชี้ขึ้น คำนวณการเลือกปฏิบัติ: D=0 2 −4 3 1=−12 . เนื่องจากดิสคริมิแนนต์เป็นค่าลบ พาราโบลาจึงไม่มีจุดร่วมกับแกน x ข้อมูลที่ได้รับเพียงพอสำหรับแผนภาพ:

เรากำลังแก้อสมการกำลังสองอย่างเข้มงวดด้วยเครื่องหมาย > วิธีแก้ปัญหาคือทุกช่วงเวลาที่พาราโบลาอยู่เหนือแกนวัว ในกรณีของเรา พาราโบลาอยู่เหนือแกน x ตลอดความยาว ดังนั้นคำตอบที่ต้องการจะเป็นเซตของจำนวนจริงทั้งหมด

วัว และคุณต้องเพิ่ม abscissa ของจุดตัดหรือ abscissa ของจุดสัมผัส แต่ภาพวาดแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนว่าไม่มีช่องว่างดังกล่าว (เนื่องจากพาราโบลาอยู่ทุกหนทุกแห่งใต้แกน abscissa) รวมทั้งไม่มีจุดตัด เช่นเดียวกับที่ไม่มีจุดสัมผัส ดังนั้น อสมการกำลังสองเดิมจึงไม่มีทางออก

ตอบ:

ไม่มีวิธีแก้ปัญหาหรือในสัญกรณ์อื่น ∅

บรรณานุกรม.

พีชคณิต:หนังสือเรียน สำหรับ 8 เซลล์ การศึกษาทั่วไป สถาบัน/[ยุ. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; เอ็ด S. A. Telyakovsky - 16 เอ็ด - ม. : การศึกษา, 2551. - 271 น. : ป่วย. - ไอ 978-5-09-019243-9
พีชคณิต:ชั้นประถมศึกษาปีที่ 9: หนังสือเรียน. สำหรับการศึกษาทั่วไป สถาบัน/[ยุ. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; เอ็ด S. A. Telyakovsky - 16 เอ็ด - ม. : การศึกษา, 2552. - 271 น. : ป่วย. - ไอ 978-5-09-021134-5.
มอร์ดโควิช เอ.จี.พีชคณิต. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 เวลา 14.00 น. ส่วนที่ 1 หนังสือเรียนสำหรับนักเรียนของสถาบันการศึกษา / A. G. Mordkovich - ฉบับที่ 11 ลบ. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 p.: ป่วย ไอ 978-5-346-01155-2
มอร์ดโควิช เอ.จี.พีชคณิต. เกรด 9 เวลา 14.00 น. ส่วนที่ 1 หนังสือเรียนสำหรับนักเรียนของสถาบันการศึกษา / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov - 13 เอ็ด, ซีเนียร์ - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 p.: ป่วย ไอ 978-5-346-01752-3
มอร์ดโควิช เอ.จี.พีชคณิตและการเริ่มต้นการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ เกรด 11 เวลา 14.00 น. ส่วนที่ 1 หนังสือเรียนสำหรับนักเรียนของสถาบันการศึกษา (ระดับโปรไฟล์) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov - ฉบับที่ 2 ลบแล้ว - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 p.: ป่วย ไอ 978-5-346-01027-2

ประเภทบทเรียน:

ประเภทของบทเรียน:บรรยายบทเรียนการแก้ปัญหา.

ระยะเวลา: 2 ชั่วโมง.

เป้าหมาย:1)เรียนรู้วิธีการกราฟิก

2) แสดงการใช้โปรแกรม Maple ในการแก้ระบบอสมการด้วยวิธีกราฟิก

3) พัฒนาการรับรู้และการคิดในหัวข้อ

แผนการเรียน:

ความก้าวหน้าของหลักสูตร

ขั้นตอนที่ 1: วิธีการแบบกราฟิกประกอบด้วยการสร้างชุดของโซลูชัน LLP ที่เป็นไปได้ และการค้นหาจุดในชุดนี้ที่สอดคล้องกับค่าสูงสุด / นาทีของฟังก์ชันวัตถุประสงค์

เพื่อแสดงให้เห็นถึงวิธีการแบบกราฟิกเราจะแก้ปัญหาต่อไปนี้:

หากโดเมนของโซลูชันที่ยอมรับไม่ได้ถูกปิด ดังนั้น max(f)=+ ? หรือ min(f)= -?

2. ตอนนี้เราสามารถค้นหาค่าสูงสุดของฟังก์ชัน f ได้โดยตรง

อีกทางหนึ่งแทนพิกัดของจุดยอดของรูปทรงหลายเหลี่ยมในฟังก์ชัน f และเปรียบเทียบค่า เราพบว่า f(C)=f(4;1)=19 คือค่าสูงสุดของฟังก์ชัน

ในกรณีนี้ การพิจารณาเส้นระดับของแบบฟอร์ม f=a จะสะดวกกว่า ด้วยการเพิ่มจำนวน a จาก -? ถึง +? เส้น f=a ถูกแทนที่ด้วยเวกเตอร์ปกติ เวกเตอร์ปกติมีพิกัด (С1;С2) โดยที่ C1 และ C2 เป็นค่าสัมประสิทธิ์ของสิ่งที่ไม่รู้ในฟังก์ชันวัตถุประสงค์ f=C1?X1+C2?X2+C0.. ถ้ามี คือบางจุดระหว่างการกระจัดของเส้นระดับ X เป็นจุดร่วมแรกของพื้นที่ของการแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ (polytope ABCDE) และเส้นระดับ จากนั้น f(X) คือค่าต่ำสุดของ f บนชุด ABCDE ถ้า X คือจุดสุดท้ายของจุดตัดของเส้นระดับกับชุด ABCDE ดังนั้น f(X) คือค่าสูงสุดของชุดคำตอบที่เป็นไปได้ ถ้าสำหรับ a>-? เส้น f=a ตัดกับชุดคำตอบที่ยอมรับได้ จากนั้น min(f)= -? หากสิ่งนี้เกิดขึ้นเมื่อ a>+? ดังนั้น max(f)=+?

ในตัวอย่างของเรา เส้น f=a ตัดผ่านพื้นที่ ABCDE ที่จุด С(4;1) เนื่องจากนี่คือจุดสุดท้ายของการตัดกัน max(f)=f(C)=f(4;1)=19

แก้ระบบอสมการแบบกราฟิก ค้นหาวิธีแก้ปัญหามุม

x1>=0, x2>=0

>กับ(แปลง);

>กับ(plottools);

> S1:=แก้ไข((f1x = X6, f2x = X6), );

คำตอบ: ทุกจุด Si โดยที่ i=1..10 ซึ่ง x และ y เป็นบวก

พื้นที่ล้อมรอบด้วยจุดเหล่านี้: (54/11.2/11) (5/7.60/7) (0.5) (10/3, 10/3)

ขั้นตอนที่ 3 นักเรียนแต่ละคนจะได้รับหนึ่งใน 20 ตัวเลือก ซึ่งนักเรียนจะถูกขอให้แก้อสมการด้วยตนเองโดยใช้วิธีการกราฟิก และตัวอย่างที่เหลือเป็นการบ้าน

บทเรียน№4 วิธีแก้ปัญหาแบบกราฟิกของโปรแกรมเชิงเส้น

ประเภทบทเรียน:บทเรียนการเรียนรู้เนื้อหาใหม่

ประเภทของบทเรียน:บทเรียนบทเรียน + การแก้ปัญหา

ระยะเวลา: 2 ชั่วโมง.

เป้าหมาย: 1) ศึกษาวิธีแก้ปัญหาแบบกราฟิกของปัญหาโปรแกรมเชิงเส้น

2) เรียนรู้การใช้โปรแกรม Maple เมื่อแก้ปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้น

2) พัฒนาการรับรู้การคิด

แผนการเรียน:ขั้นตอนที่ 1: การเรียนรู้เนื้อหาใหม่

ขั้นที่ 2: การพัฒนาเนื้อหาใหม่ในแพ็คเกจคณิตศาสตร์ Maple

ขั้นตอนที่ 3: ตรวจสอบเนื้อหาที่เรียนและการบ้าน

ความก้าวหน้าของหลักสูตร

วิธีการแบบกราฟิกนั้นค่อนข้างง่ายและชัดเจนสำหรับการแก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นด้วยสองตัวแปร มันขึ้นอยู่กับ ทางเรขาคณิตการแสดงวิธีแก้ปัญหาที่ยอมรับได้และตัวกรองดิจิทัลของปัญหา

ความไม่เท่าเทียมกันแต่ละรายการของปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้น (1.2) กำหนดระนาบครึ่งบนระนาบพิกัด (รูปที่ 2.1) และระบบอสมการโดยรวมกำหนดจุดตัดของระนาบที่สอดคล้องกัน ชุดของจุดตัดของระนาบครึ่งนี้เรียกว่า โดเมนของโซลูชันที่เป็นไปได้(โอดีอาร์). ODR อยู่เสมอ นูนรูปเช่น ซึ่งมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้: หากสองจุด A และ B เป็นของตัวเลขนี้ แสดงว่าส่วน AB ทั้งหมดเป็นของมัน ODR สามารถแสดงเป็นภาพกราฟิกด้วยรูปหลายเหลี่ยมนูน, พื้นที่รูปหลายเหลี่ยมนูนไม่จำกัด, ส่วน, รังสี, จุดเดียว หากระบบข้อจำกัดของปัญหา (1.2) ไม่สอดคล้องกัน ดังนั้น ODE จะเป็นเซตว่าง

ทั้งหมดข้างต้นใช้กับกรณีที่ระบบข้อจำกัด (1.2) มีความเท่าเทียมกัน เนื่องจากความเท่าเทียมกันใดๆ

สามารถแสดงเป็นระบบอสมการสองระบบ (ดูรูปที่ 2.1)

ตัวกรองดิจิทัลที่ค่าคงที่กำหนดเส้นตรงบนระนาบ โดยการเปลี่ยนค่าของ L เราได้กลุ่มของเส้นคู่ขนานที่เรียกว่า เส้นระดับ.

นี่เป็นเพราะความจริงที่ว่าการเปลี่ยนแปลงค่า L จะเปลี่ยนความยาวของส่วนที่ตัดโดยเส้นระดับบนแกนเท่านั้น (ลำดับเริ่มต้น) และความชันของเส้นตรงจะคงที่ (ดูรูปที่ 2.1) ดังนั้นสำหรับการแก้ปัญหาก็เพียงพอที่จะสร้างหนึ่งในเส้นระดับโดยเลือกค่า L โดยพลการ

เวกเตอร์ที่มีพิกัดจากค่าสัมประสิทธิ์ CF ที่ และตั้งฉากกับเส้นระดับแต่ละเส้น (ดูรูปที่ 2.1) ทิศทางของเวกเตอร์จะเหมือนกับทิศทาง เพิ่มขึ้น CF ซึ่งเป็นจุดสำคัญในการแก้ปัญหา ทิศทาง จากมากไปน้อยตัวกรองดิจิทัลอยู่ตรงข้ามกับทิศทางของเวกเตอร์

สาระสำคัญของวิธีการกราฟิกมีดังนี้ ในทิศทาง (ตรงข้ามกับทิศทาง) ของเวกเตอร์ใน ODR การค้นหาจุดที่เหมาะสมที่สุดจะดำเนินการ จุดที่เหมาะสมคือจุดที่เส้นระดับผ่าน ซึ่งสอดคล้องกับค่าที่ใหญ่ที่สุด (น้อยที่สุด) ของฟังก์ชัน โซลูชันที่เหมาะสมที่สุดจะอยู่ที่ขอบเขต ODT เสมอ เช่น ที่จุดยอดสุดท้ายของรูปหลายเหลี่ยม ODT ที่เส้นเป้าหมายผ่าน หรือทั้งด้าน

เมื่อค้นหาวิธีแก้ปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นที่เหมาะสมที่สุด สถานการณ์ต่อไปนี้เป็นไปได้: มีวิธีแก้ไขปัญหาเฉพาะ มีวิธีแก้ปัญหาจำนวนไม่ จำกัด (optium ทางเลือก); CF ไม่จำกัด; พื้นที่ของการแก้ปัญหาที่เป็นไปได้คือจุดเดียว ปัญหาไม่มีทางออก

รูปที่ 2.1 การตีความทางเรขาคณิตของข้อจำกัดและ CF ของโจทย์

วิธีการแก้ปัญหา LP ด้วยวิธีกราฟิก

I. ในข้อจำกัดของปัญหา (1.2) ให้แทนที่สัญลักษณ์ของความไม่เท่ากันด้วยเครื่องหมายของความเท่ากันทุกประการ และสร้างเส้นตรงที่สอดคล้องกัน

ครั้งที่สอง ค้นหาและแรเงาครึ่งระนาบที่อนุญาตโดยข้อจำกัดอสมการแต่ละข้อของปัญหา (1.2) ในการทำเช่นนี้ คุณต้องแทนที่พิกัดของจุด [เช่น (0; 0)] เป็นอสมการเฉพาะ และตรวจสอบความจริงของอสมการที่เกิดขึ้น

ถ้า กความไม่เท่าเทียมกันที่แท้จริง

แล้วจำเป็นต้องแรเงาครึ่งระนาบที่มีจุดที่กำหนด

มิฉะนั้น(ความไม่เท่าเทียมกันเป็นเท็จ) จำเป็นต้องแรเงาครึ่งระนาบที่ไม่มีจุดที่กำหนด

เนื่องจากและต้องไม่เป็นค่าลบ ค่าที่ถูกต้องจะอยู่เหนือแกนและทางขวาของแกนเสมอ เช่น ในจตุภาค I

ข้อจำกัดด้านความเท่าเทียมกันจะอนุญาตเฉพาะจุดที่อยู่บนเส้นที่สอดคล้องกันเท่านั้น ดังนั้นจึงจำเป็นต้องเน้นเส้นดังกล่าวบนกราฟ

สาม. กำหนด ODR เป็นส่วนหนึ่งของระนาบที่เป็นของพื้นที่ที่อนุญาตทั้งหมดพร้อมกัน และเลือก ในกรณีที่ไม่มี SDE ปัญหาจะไม่มีวิธีแก้ไข

IV. ถ้า ODS ไม่ใช่เซตว่าง ก็จำเป็นต้องสร้างเส้นเป้าหมาย เช่น บรรทัดระดับใดก็ได้ (โดยที่ L เป็นตัวเลขที่กำหนดเอง ตัวอย่างเช่น ผลคูณของ และ เช่น สะดวกสำหรับการคำนวณ) วิธีการสร้างคล้ายกับการสร้างข้อจำกัดโดยตรง

V. สร้างเวกเตอร์ที่เริ่มต้นที่จุด (0;0) และสิ้นสุดที่จุด หากเส้นเป้าหมายและเวกเตอร์ถูกสร้างขึ้นอย่างถูกต้อง ก็จะเป็นเช่นนั้น ตั้งฉาก.

วี.ไอ. เมื่อค้นหาค่าสูงสุดของตัวกรองดิจิทัล จำเป็นต้องย้ายบรรทัดเป้าหมาย ในทิศทางเวกเตอร์เมื่อค้นหาตัวกรองดิจิทัลขั้นต่ำ - ต่อต้านทิศทางเวกเตอร์ จุดบนสุดสุดท้ายของ ODR ในทิศทางการเคลื่อนที่จะเป็นจุดสูงสุดหรือต่ำสุดของ CF หากไม่มีประเด็นดังกล่าว เราก็สามารถสรุปได้ว่า ความไร้ขอบเขตของตัวกรองดิจิตอลในชุดของแผนจากด้านบน (เมื่อค้นหาค่าสูงสุด) หรือจากด้านล่าง (เมื่อค้นหาค่าต่ำสุด)

ปกเกล้าเจ้าอยู่หัว กำหนดพิกัดของจุดสูงสุด (ต่ำสุด) ของตัวกรองดิจิทัลและคำนวณค่าของตัวกรองดิจิทัล ในการคำนวณพิกัดของจุดที่เหมาะสมที่สุด จำเป็นต้องแก้ระบบสมการของเส้นตรงที่จุดตัดซึ่งอยู่

แก้ปัญหาโปรแกรมเชิงเส้น

1. f(x)=2x1+x2 ->ส่วนต่อขยาย

x1>=0, x2>=0

>แปลง((a+b<=3,a+3*b<=5,5*a-b<=5,a+b>=0,a>=0,b>=0), a=-2..5, b=-2..5, ตัวเลือกที่เป็นไปได้=(สี=สีแดง),

ตัวเลือกเปิด = (สี = สีน้ำเงิน, ความหนา = 2),

optionsclosed=(สี=สีเขียว, ความหนา=3),

ตัวเลือกไม่รวม = (สี = สีเหลือง));

> ด้วย (เริม):

> C:=(x+y<=3, x+3*y <=5, 5*x-y <=5,x+y >=0};

> dp:=ตั้งค่า((x+y<=3, x+3*y <=5, 5*x-y <=5,x+y >=0});

>n:=พื้นฐาน(dp);

ว จอแสดงผล (C,);

> L:=cterm(C);

ว X:=คู่(f,C,p);

ว f_max:=subs(R,f);

ว R1:=ย่อเล็กสุด(f,C ,ไม่เป็นลบ);

f_min:=subs(R1,f);

คำตอบ: เมื่อไหร่ x 1 =5/4 x 2 =5/4 f_max=15/4; ที่ x 1 =0 x 2 =0 f_min=0;

บทเรียน #5

ประเภทบทเรียน:การควบคุมบทเรียน + บทเรียนการเรียนรู้เนื้อหาใหม่ ประเภทของบทเรียน: บรรยาย.

ระยะเวลา: 2 ชั่วโมง.

เป้าหมาย:1)ตรวจสอบและรวบรวมความรู้เกี่ยวกับเนื้อหาที่ผ่านมาในบทเรียนก่อนหน้า

2) เรียนรู้วิธีการใหม่ในการแก้เกมเมทริกซ์

3) พัฒนาความจำ การคิดทางคณิตศาสตร์ และความสนใจ

ขั้นตอนที่ 1: ตรวจการบ้านในรูปแบบของงานอิสระ

ขั้นตอนที่ 2:ให้คำอธิบายสั้น ๆ เกี่ยวกับวิธีการซิกแซก

ขั้นตอนที่ 3:รวมเนื้อหาใหม่และให้การบ้าน

ความก้าวหน้าของหลักสูตร

วิธีการโปรแกรมเชิงเส้น - วิธีการเชิงตัวเลขสำหรับการแก้ปัญหาการปรับให้เหมาะสมซึ่งลดขนาดลงเป็นแบบจำลองที่เป็นทางการของโปรแกรมเชิงเส้น

อย่างที่ทราบกันดีว่า ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นใดๆ สามารถลดขนาดลงเป็นรูปแบบมาตรฐานเพื่อลดฟังก์ชันวัตถุประสงค์เชิงเส้นให้เหลือน้อยที่สุดด้วยข้อจำกัดประเภทความเสมอภาคเชิงเส้น เนื่องจากจำนวนของตัวแปรในโจทย์โปรแกรมเชิงเส้นมีมากกว่าจำนวนของข้อจำกัด (n > m) วิธีแก้ปัญหาสามารถหาได้โดยการเทียบตัวแปร (n - m) ให้เป็นศูนย์ เรียกว่า ฟรี. ตัวแปร m ที่เหลือเรียกว่า ขั้นพื้นฐาน, สามารถกำหนดได้ง่ายจากระบบข้อจำกัดความเท่าเทียมกันโดยวิธีปกติของพีชคณิตเชิงเส้น หากมีวิธีแก้ปัญหาอยู่ ก็จะเรียกว่า ขั้นพื้นฐาน. หากยอมรับวิธีแก้ปัญหาพื้นฐานได้ก็จะเรียกว่า ขั้นพื้นฐานที่ยอมรับได้. ทางเรขาคณิต คำตอบพื้นฐานที่เป็นไปได้จะสอดคล้องกับจุดยอด (จุดสูงสุด) ของรูปทรงหลายหน้านูน ซึ่งจำกัดชุดของคำตอบที่เป็นไปได้ หากปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นมีวิธีแก้ปัญหาที่ดีที่สุด แสดงว่าอย่างน้อยหนึ่งในนั้นเป็นวิธีพื้นฐาน

ข้อควรพิจารณาข้างต้นหมายความว่าเมื่อค้นหาวิธีแก้ปัญหาที่เหมาะสมที่สุดสำหรับปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น ก็เพียงพอแล้วที่จะจำกัดตัวเราให้อยู่ในการแจงนับวิธีแก้ปัญหาพื้นฐานที่ยอมรับได้ จำนวนโซลูชันพื้นฐานเท่ากับจำนวนชุดค่าผสมของตัวแปร n ตัวใน m:

ค = ม n! / นาโนเมตร! * (น - ม)!

และสามารถใหญ่พอที่จะแจกแจงได้โดยการแจกแจงโดยตรงแบบเรียลไทม์ ความจริงที่ว่าการแก้ปัญหาพื้นฐานบางอย่างไม่สามารถยอมรับได้ไม่ได้เปลี่ยนสาระสำคัญของปัญหาเนื่องจากต้องได้รับการประเมินการยอมรับของการแก้ปัญหาพื้นฐาน

ปัญหาของการแจกแจงเหตุผลของการแก้ปัญหาพื้นฐานของปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นได้รับการแก้ไขครั้งแรกโดย J. Dantzig วิธีซิมเพล็กซ์ที่เสนอโดยเขาเป็นวิธีการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นทั่วไปที่ใช้กันทั่วไปมากที่สุด วิธีซิมเพล็กซ์ใช้การแจกแจงโดยตรงของวิธีแก้ปัญหาพื้นฐานที่เป็นไปได้ตามจุดสุดขั้วที่สอดคล้องกันของโพลีเฮดรอนนูนของวิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้เป็นกระบวนการวนซ้ำ โดยที่ค่าของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ลดลงอย่างเคร่งครัดในแต่ละขั้นตอน การเปลี่ยนแปลงระหว่างจุดสุดขีดนั้นดำเนินการตามขอบของรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนของคำตอบที่เป็นไปได้ตามการแปลงเชิงเส้นเชิงพีชคณิตของระบบข้อ จำกัด เนื่องจากจำนวนของจุดที่มากมีจำกัด และฟังก์ชันวัตถุประสงค์เป็นแบบเส้นตรง จากนั้นโดยการเรียงลำดับตามจุดที่มากสุดในทิศทางของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ที่ลดลง วิธีซิมเพล็กซ์จะรวมเข้ากับค่าต่ำสุดทั่วโลกในจำนวนขั้นที่จำกัด

การปฏิบัติแสดงให้เห็นว่าสำหรับปัญหาที่ใช้ส่วนใหญ่ของโปรแกรมเชิงเส้น วิธีซิมเพล็กซ์ช่วยให้สามารถหาทางออกที่เหมาะสมที่สุดในจำนวนขั้นตอนค่อนข้างน้อยเมื่อเทียบกับจำนวนจุดสูงสุดของรูปทรงหลายเหลี่ยมที่ยอมรับได้ ในขณะเดียวกัน เป็นที่ทราบกันดีว่าสำหรับปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นด้วยรูปแบบที่เลือกเป็นพิเศษของภูมิภาคที่ยอมรับได้ การใช้วิธีการแบบซิมเพล็กซ์จะนำไปสู่การแจกแจงจุดสุดโต่งอย่างสมบูรณ์ ข้อเท็จจริงนี้ในระดับหนึ่งกระตุ้นการค้นหาวิธีการใหม่ที่มีประสิทธิภาพในการแก้ปัญหาโปรแกรมเชิงเส้น โดยยึดตามแนวคิดอื่นนอกเหนือจากวิธีซิมเพล็กซ์ ซึ่งช่วยให้แก้ปัญหาโปรแกรมเชิงเส้นได้ในจำนวนขั้นตอนที่จำกัด ซึ่งน้อยกว่าจำนวนขั้นมาก คะแนน

ในบรรดาวิธีการตั้งโปรแกรมเชิงเส้นแบบพหุนามที่ไม่แปรผันกับการกำหนดค่าช่วงของค่าที่อนุญาต วิธีที่พบมากที่สุดคือวิธีของ L.G. คาชิยัน. อย่างไรก็ตาม แม้ว่าวิธีนี้จะมีการประมาณค่าความซับซ้อนแบบพหุนามโดยขึ้นอยู่กับขนาดของปัญหา แต่ก็กลายเป็นว่าไม่สามารถแข่งขันได้เมื่อเทียบกับวิธีซิมเพล็กซ์ เหตุผลนี้คือการพึ่งพาจำนวนการวนซ้ำของวิธีซิมเพล็กซ์ในมิติของปัญหาซึ่งแสดงด้วยพหุนามอันดับ 3 สำหรับปัญหาในทางปฏิบัติส่วนใหญ่ ในขณะที่วิธีคาชิยัน การพึ่งพาอาศัยกันนี้จะมีลำดับอย่างน้อยที่สุดเสมอ อันดับที่ 4 ข้อเท็จจริงนี้มีความสำคัญอย่างยิ่งต่อการปฏิบัติ ซึ่งปัญหาที่ซับซ้อนสำหรับวิธีซิมเพล็กซ์นั้นหายากมาก

ควรสังเกตว่าสำหรับปัญหาเชิงประยุกต์ของโปรแกรมเชิงเส้นที่มีความสำคัญในทางปฏิบัติได้มีการพัฒนาวิธีการพิเศษที่คำนึงถึงลักษณะเฉพาะของข้อจำกัดของปัญหา โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับปัญหาการขนส่งที่เป็นเนื้อเดียวกันจะใช้อัลกอริธึมพิเศษสำหรับการเลือกพื้นฐานเริ่มต้น วิธีที่มีชื่อเสียงที่สุดคือวิธีมุมตะวันตกเฉียงเหนือและวิธีโวเกลโดยประมาณ ปัญหา. ในการแก้ปัญหาการมอบหมายเชิงเส้น (ปัญหาทางเลือก) แทนที่จะใช้วิธีซิมเพล็กซ์ โดยปกติจะใช้อัลกอริทึมของฮังการีอย่างใดอย่างหนึ่ง ตามการตีความปัญหาในแง่ของทฤษฎีกราฟ เป็นปัญหาของการค้นหาการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบถ่วงน้ำหนักสูงสุดในสองฝ่าย กราฟหรือวิธี Mack

แก้เกมเมทริกซ์ 3x3

ฉ(x)=x 1 + x 2 + x 3

x1>=0, x2>=0, x3>=0

> ด้วย (เริม):

> C:=( 0*x+3*y+2*z<=1, 2*x+0*y+1*z <=1, 3*x+0*y+0*z <=1};

ว จอแสดงผล (C,);