ตัวอย่างการแก้ระบบสมการเชิงอนุพันธ์ด้วยวิธีเชิงตัวเลข วิธีการเชิงตัวเลขสำหรับการแก้สมการเชิงอนุพันธ์

บทนำ

เมื่อแก้ปัญหาทางวิทยาศาสตร์และวิศวกรรม มักจะจำเป็นต้องอธิบายระบบไดนามิกทางคณิตศาสตร์ ทำได้ดีที่สุดในรูปของสมการเชิงอนุพันธ์ ( ตู่) หรือระบบสมการเชิงอนุพันธ์ ส่วนใหญ่แล้ว ปัญหาดังกล่าวเกิดขึ้นเมื่อแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการสร้างแบบจำลองจลนพลศาสตร์ของปฏิกิริยาเคมีและปรากฏการณ์การถ่ายโอนต่างๆ (ความร้อน มวล โมเมนตัม) - การถ่ายเทความร้อน การผสม การอบแห้ง การดูดซับ เมื่ออธิบายการเคลื่อนที่ของมาโครและอนุภาคขนาดเล็ก

ในบางกรณี สมการเชิงอนุพันธ์สามารถแปลงเป็นรูปแบบที่แสดงอนุพันธ์สูงสุดได้อย่างชัดเจน รูปแบบการเขียนนี้เรียกว่า สมการที่แก้โดยเทียบกับอนุพันธ์สูงสุด (ในกรณีนี้ อนุพันธ์สูงสุดจะไม่อยู่ทางด้านขวาของสมการ):

คำตอบของสมการอนุพันธ์สามัญคือฟังก์ชัน y(x) ที่สำหรับ x ใดๆ สมการนี้จะมีช่วงจำกัดหรืออนันต์ที่แน่นอน กระบวนการแก้สมการเชิงอนุพันธ์เรียกว่า การรวมสมการเชิงอนุพันธ์

ในอดีต วิธีแรกและง่ายที่สุดในการแก้ปัญหา Cauchy เชิงตัวเลขสำหรับ ODE อันดับแรกคือวิธีออยเลอร์ มันขึ้นอยู่กับการประมาณของอนุพันธ์โดยอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นอย่าง จำกัด ของตัวแปรตาม (y) และอิสระ (x) ระหว่างโหนดของกริดแบบสม่ำเสมอ:

โดยที่ y i+1 คือค่าที่ต้องการของฟังก์ชันที่จุด x i+1

ความแม่นยำของวิธีออยเลอร์สามารถปรับปรุงได้หากเราใช้สูตรการรวมที่แม่นยำยิ่งขึ้นเพื่อประมาณค่าอินทิกรัล: สูตรสี่เหลี่ยมคางหมู.

สูตรนี้ปรากฏเป็นนัยเทียบกับ y i+1 (ค่านี้อยู่ทั้งด้านซ้ายและด้านขวาของนิพจน์) นั่นคือ เป็นสมการของ y i+1 ซึ่งแก้ได้ เช่น ในเชิงตัวเลขโดยใช้วิธีการวนซ้ำ (ในรูปแบบดังกล่าว ถือได้ว่าเป็นสูตรวนซ้ำของวิธีการวนซ้ำอย่างง่าย)

องค์ประกอบของงานหลักสูตร: งานหลักสูตรประกอบด้วยสามส่วน ในส่วนแรกเป็นคำอธิบายสั้น ๆ เกี่ยวกับวิธีการ ในส่วนที่สอง การกำหนดและการแก้ปัญหา ในส่วนที่สาม - การใช้งานซอฟต์แวร์ในภาษาคอมพิวเตอร์

วัตถุประสงค์ของหลักสูตร: เพื่อศึกษาวิธีการแก้สมการเชิงอนุพันธ์สองวิธี - วิธีออยเลอร์-คอชีและวิธีออยเลอร์ที่ได้รับการปรับปรุง

1. ส่วนทฤษฎี

ความแตกต่างของตัวเลข

สมการอนุพันธ์คือสมการที่มีอนุพันธ์ตั้งแต่หนึ่งตัวขึ้นไป สมการเชิงอนุพันธ์แบ่งออกเป็นสองประเภทขึ้นอยู่กับจำนวนของตัวแปรอิสระ

สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ (ODE)

สมการเชิงอนุพันธ์บางส่วน

สมการอนุพันธ์สามัญเรียกว่าสมการดังกล่าวที่มีอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ต้องการตั้งแต่หนึ่งตัวขึ้นไป สามารถเขียนได้ในรูป

ตัวแปรอิสระ

ลำดับสูงสุดที่รวมอยู่ในสมการ (1) เรียกว่าลำดับของสมการอนุพันธ์

ODE ที่ง่ายที่สุด (เชิงเส้น) คือสมการ (1) ของคำสั่งที่แก้ไขตามอนุพันธ์

คำตอบของสมการอนุพันธ์ (1) คือฟังก์ชันใดๆ ที่หลังจากแทนค่าลงในสมการแล้ว จะเปลี่ยนให้เป็นค่าเอกลักษณ์

ปัญหาหลักที่เกี่ยวข้องกับ ODE เชิงเส้นเรียกว่าปัญหาคาชิ:

หาคำตอบของสมการ (2) ในรูปแบบของฟังก์ชันที่ตรงตามเงื่อนไขเริ่มต้น (3)

ในเชิงเรขาคณิต นี่หมายความว่าจำเป็นต้องหาเส้นโค้งปริพันธ์ที่ลากผ่านจุด ) เมื่อได้รับความเท่าเทียมกัน (2)

ตัวเลขจากมุมมองของปัญหาคาชิหมายความว่า: จำเป็นต้องสร้างตารางค่าฟังก์ชันที่ตรงกับสมการ (2) และเงื่อนไขเริ่มต้น (3) ในส่วนที่มีขั้นตอนที่แน่นอน . โดยปกติแล้วจะถือว่า นั่นคือ เงื่อนไขเริ่มต้นจะได้รับที่ด้านซ้ายสุดของเซ็กเมนต์

วิธีเชิงตัวเลขที่ง่ายที่สุดในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์คือวิธีออยเลอร์ มันขึ้นอยู่กับแนวคิดของการสร้างวิธีแก้ปัญหาแบบกราฟิกสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์ แต่วิธีนี้ยังให้วิธีการค้นหาฟังก์ชันที่ต้องการในรูปแบบตัวเลขหรือในตาราง

ให้สมการ (2) มีเงื่อนไขตั้งต้น นั่นคือ ปัญหาคาชิถูกตั้งค่า มาแก้ปัญหาต่อไปนี้กันก่อน หาค่าประมาณของสารละลายด้วยวิธีที่ง่ายที่สุด ณ จุดใดจุดหนึ่งซึ่งเป็นขั้นตอนเล็กๆ เพียงพอ สมการ (2) ร่วมกับเงื่อนไขเริ่มต้น (3) กำหนดทิศทางของแทนเจนต์ของเส้นโค้งปริพันธ์ที่ต้องการที่จุดด้วยพิกัด

สมการแทนเจนต์มีรูปแบบ

ไปตามแทนเจนต์นี้ เราจะได้ค่าโดยประมาณของการแก้ปัญหา ณ จุด :

มีวิธีแก้ปัญหาโดยประมาณ ณ จุดหนึ่ง เราสามารถทำซ้ำขั้นตอนที่อธิบายไว้ก่อนหน้านี้: สร้างเส้นตรงที่ผ่านจุดนี้ด้วยความชัน และใช้เพื่อหาค่าประมาณของสารละลายที่จุดนั้น

. โปรดทราบว่าเส้นตรงนี้ไม่ได้สัมผัสกับเส้นโค้งอินทิกรัลจริง เนื่องจากไม่มีจุดให้บริการสำหรับเรา อย่างไรก็ตาม หากจุดนั้นมีขนาดเล็กพอ ค่าโดยประมาณที่ได้จะใกล้เคียงกับค่าที่แน่นอนของโซลูชัน

ต่อจากแนวคิดนี้ เราสร้างระบบที่มีระยะห่างเท่ากัน

รับตารางค่าของฟังก์ชันที่ต้องการ

ตามวิธีออยเลอร์ประกอบด้วยการใช้สูตรเป็นวัฏจักร

รูปที่ 1 การตีความแบบกราฟิกของวิธีออยเลอร์

วิธีการรวมเชิงตัวเลขของสมการเชิงอนุพันธ์ซึ่งได้คำตอบจากโหนดหนึ่งไปยังโหนดอื่นเรียกว่าแบบขั้นตอน วิธีออยเลอร์เป็นตัวแทนที่ง่ายที่สุดของวิธีการทีละขั้นตอน คุณลักษณะของวิธีการทีละขั้นตอนใดๆ คือ เริ่มต้นจากขั้นตอนที่สอง ค่าเริ่มต้นในสูตร (5) เป็นค่าโดยประมาณ นั่นคือ ข้อผิดพลาดในแต่ละขั้นตอนถัดไปจะเพิ่มขึ้นอย่างเป็นระบบ วิธีที่ใช้มากที่สุดสำหรับการประมาณความถูกต้องของวิธีการทีละขั้นตอนสำหรับโซลูชันตัวเลขโดยประมาณของ ODE คือวิธีการส่งผ่านส่วนที่กำหนดสองครั้งด้วยขั้นตอนและขั้นตอน

1.1 ปรับปรุงวิธีออยเลอร์

แนวคิดหลักของวิธีนี้: ค่าถัดไปที่คำนวณโดยสูตร (5) จะแม่นยำยิ่งขึ้นหากค่าของอนุพันธ์ซึ่งก็คือความชันของเส้นตรงที่แทนที่เส้นโค้งปริพันธ์บนส่วนนั้นจะไม่ถูกคำนวณ ตามขอบด้านซ้าย (นั่นคือ ที่จุด ) แต่อยู่ตรงกลางของเซ็กเมนต์ แต่เนื่องจากค่าของอนุพันธ์ระหว่างจุดไม่ถูกคำนวณ เรามาดูส่วนคู่ของจุดศูนย์กลาง ซึ่งจุดนั้นอยู่ ในขณะที่สมการของเส้นตรงอยู่ในรูปแบบ:

และสูตร (5) ใช้รูปแบบ

สูตร (7) ใช้สำหรับเท่านั้นดังนั้นจึงไม่สามารถหาค่าได้ดังนั้นจึงพบโดยใช้วิธีออยเลอร์ในขณะที่เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่แม่นยำยิ่งขึ้นพวกเขาทำเช่นนี้ตั้งแต่เริ่มต้นโดยใช้สูตร (5 ) หาค่า

(8)

ที่จุดแล้วพบโดยสูตร (7) ด้วยขั้นตอน

(9)

หลังจากพบการคำนวณเพิ่มเติมสำหรับ ผลิตโดยสูตร (7)

แล็บ 1

วิธีการแก้ปัญหาเชิงตัวเลข

สมการอนุพันธ์สามัญ (4 ชั่วโมง)

เมื่อแก้ปัญหาทางกายภาพและเรขาคณิตจำนวนมาก เราต้องมองหาฟังก์ชันที่ไม่รู้จักด้วยความสัมพันธ์ที่กำหนดระหว่างฟังก์ชันที่ไม่รู้จัก อนุพันธ์ของฟังก์ชัน และตัวแปรอิสระ อัตราส่วนนี้เรียกว่า สมการเชิงอนุพันธ์ และหาฟังก์ชันที่ตรงกับสมการอนุพันธ์เรียกว่า แก้สมการอนุพันธ์

สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ เรียกว่าความเท่าเทียมกัน

, (1)

นั้น

เป็นตัวแปรอิสระที่เปลี่ยนแปลงในช่วงเวลาหนึ่ง และ - ฟังก์ชั่นที่ไม่รู้จัก y ( x ) และครั้งแรกของเธอ นอนุพันธ์ เรียกว่า ลำดับของสมการ .

ปัญหาคือการหาฟังก์ชัน y ที่ตรงกับความเท่าเทียมกัน (1) นอกจากนี้ โดยไม่ระบุสิ่งนี้แยกต่างหาก เราจะถือว่าโซลูชันที่ต้องการมีระดับความราบรื่นที่จำเป็นสำหรับการก่อสร้างและการประยุกต์ใช้วิธีการเฉพาะอย่าง "ถูกกฎหมาย"

สมการอนุพันธ์สามัญมี 2 ประเภท

สมการที่ไม่มีเงื่อนไขตั้งต้น

สมการที่มีเงื่อนไขตั้งต้น

สมการที่ไม่มีเงื่อนไขตั้งต้นคือสมการของรูปแบบ (1)

สมการที่มีเงื่อนไขตั้งต้นเป็นสมการของรูปแบบ (1) ที่ต้องใช้ในการหาฟังก์ชันดังกล่าว

ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้สำหรับบางคน: ,

เหล่านั้น. ณ จุดนั้น

ฟังก์ชันและอนุพันธ์อันดับแรกใช้ค่าที่กำหนดไว้ล่วงหน้า

ปัญหาจุกจิก

เมื่อศึกษาวิธีการแก้สมการเชิงอนุพันธ์โดยวิธีโดยประมาณ งานหลักนับ ปัญหาจุกจิก.

พิจารณาวิธีที่ได้รับความนิยมมากที่สุดในการแก้ปัญหา Cauchy - วิธี Runge-Kutta วิธีนี้ทำให้สามารถสร้างสูตรสำหรับคำนวณโซลูชันโดยประมาณของความแม่นยำเกือบทุกลำดับ

ให้เราหาสูตรของวิธี Runge-Kutta ของความแม่นยำอันดับสอง ในการทำเช่นนี้ เราแสดงโซลูชันเป็นส่วนหนึ่งของอนุกรมเทย์เลอร์ โดยละทิ้งเงื่อนไขที่มีลำดับที่สูงกว่าลำดับที่สอง จากนั้นค่าโดยประมาณของฟังก์ชันที่ต้องการที่จุด x 1 สามารถเขียนเป็น:

(2)

อนุพันธ์อันดับสอง y "( x 0 ) สามารถแสดงในรูปอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ฉ ( x , y ) อย่างไรก็ตามในวิธี Runge-Kutta แทนที่จะใช้อนุพันธ์จะใช้ความแตกต่าง

การเลือกค่าของพารามิเตอร์อย่างเหมาะสม

จากนั้น (2) สามารถเขียนใหม่เป็น:

y 1 = y 0 + ชม. [ β ฉ ( x 0 , y 0 ) + α ฉ ( x 0 + γh , y 0 + ห๊ะ )], (3)

ที่ไหน α , β , γ และ δ - พารามิเตอร์บางอย่าง

พิจารณาด้านขวาของ (3) เป็นหน้าที่ของอาร์กิวเมนต์ ชม. , มาทำลายมันลงด้วยอำนาจ ชม. :

y 1 = y 0 +( α + β ) ชม. ฉ ( x 0 , y 0 ) + อา 2 [ γ fx ( x 0 , y 0 ) + δ ฉี่ ( x 0 , y 0 )],

และเลือกตัวเลือก α , β , γ และ δ เพื่อให้การขยายตัวนี้ใกล้เคียงกับ (2) ดังนั้นจึงเป็นไปตามนั้น

α + β =1, αγ =0,5, α δ =0,5 ฉ ( x 0 , y 0 ).

ใช้สมการเหล่านี้แสดง β , γ และ δ ผ่านพารามิเตอร์ α , เราได้รับ

y 1 = y 0 + ชม. [(1 - α ) ฉ ( x 0 , y 0 ) + α ฉ ( x 0 +, y 0 + ฉ ( x 0 , y 0 )], (4)

0 < α ≤ 1.

ตอนนี้ถ้าแทนที่จะเป็น ( x 0 , y 0 ) ใน (4) แทน ( x 1 , y 1 ) เราได้สูตรการคำนวณ y 2 – ค่าโดยประมาณของฟังก์ชันที่ต้องการ ณ จุด x 2 .

ในกรณีทั่วไป วิธีการ Runge-Kutta จะถูกนำไปใช้กับการแบ่งพาร์ติชันตามอำเภอใจ [ x 0 , X ] บน นชิ้นส่วน เช่น ด้วยระยะพิทช์แบบแปรผัน

x 0, x 1 , …, x n ; h i \u003d x i+1 - x i, x n \u003d X. (5)

ตัวเลือก α เลือกเท่ากับ 1 หรือ 0.5 ให้เราเขียนสูตรการคำนวณขั้นสุดท้ายของวิธี Runge-Kutta ของลำดับที่สองด้วยขั้นตอนตัวแปรfor α =1:

y ผม+1 =y ผม +h ผม f(x ผม + , ฉัน + f(x ผม , y ผม)), (6.1)

ผม = 0, 1,…, น -1.

และ α =0,5:

ยี่+1 =ยี่ + , (6.2)

ผม = 0, 1,…, น -1.

สูตรที่ใช้มากที่สุดของวิธี Runge-Kutta คือสูตรความแม่นยำอันดับที่สี่:

ยี่+1 = ยี่ + (k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4),

k 1 \u003d f (x i, y i), k 2 \u003d f (x i + , ฉัน + k1), (7)

k 3 = ฉ(x ผม + , ฉัน + k 2), k 4 = f(x ผม + h, y ผม + hk 3)

สำหรับวิธี Runge-Kutta จะใช้กฎ Runge สำหรับการประมาณค่าข้อผิดพลาด อนุญาต y ( x ; ชม. ) คือค่าโดยประมาณของสารละลาย ณ จุด x , ได้จากสูตร (6.1), (6.2) หรือ (7) ด้วยขั้นตอน ชม. , เอ พี – ลำดับความถูกต้องของสูตรที่สอดคล้องกัน แล้วเกิดข้อผิดพลาด R ( ชม. ) ค่า y ( x ; ชม. ) สามารถประมาณได้โดยใช้ค่าโดยประมาณ y ( x ; 2 ชม. ) การแก้ปัญหาจุด x , ได้มาด้วยขั้นตอน 2 ชม. :

(8)

ที่ไหน พี =2 สำหรับสูตร (6.1) และ (6.2) และ พี =4 สำหรับ (7)

ในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ จำเป็นต้องทราบค่าของตัวแปรตามและอนุพันธ์ของค่าบางค่าของตัวแปรอิสระ หากมีการระบุเงื่อนไขเพิ่มเติมสำหรับค่าใดค่าหนึ่งที่ไม่ทราบค่า นั่นคือ ตัวแปรอิสระ ดังนั้นปัญหาดังกล่าวจึงเรียกว่าปัญหาคอชี หากกำหนดเงื่อนไขเริ่มต้นที่ค่าตัวแปรอิสระตั้งแต่สองค่าขึ้นไป ปัญหาจะเรียกว่า ปัญหาขอบเขต เมื่อแก้สมการเชิงอนุพันธ์ประเภทต่าง ๆ ฟังก์ชันที่มีค่าที่คุณต้องการกำหนดจะถูกคำนวณในรูปแบบของตาราง

การจำแนกวิธีการเชิงตัวเลขสำหรับการแก้ความแตกต่าง ระดับ ประเภท

ปัญหา Cauchy เป็นขั้นตอนเดียว: วิธีออยเลอร์, วิธี Runge-Kutta; – หลายขั้นตอน: วิธีหลัก วิธีอดัมส์ ปัญหาค่าขอบเขตคือวิธีการลดปัญหาค่าขอบเขตให้เป็นปัญหาของ Cauchy – วิธีการของความแตกต่างจำกัด

เมื่อแก้ปัญหา Cauchy ต่างกัน คุณ. คำสั่ง n หรือความแตกต่างของระบบ คุณ. ของลำดับแรกจาก n สมการและ n เงื่อนไขเพิ่มเติมสำหรับคำตอบ ต้องระบุเงื่อนไขเพิ่มเติมสำหรับค่าเดียวกันของตัวแปรอิสระ เมื่อแก้ปัญหาขอบเขต เช่น ลำดับที่ n หรือระบบของสมการ n และ n เงื่อนไขเพิ่มเติมสำหรับค่าตัวแปรอิสระตั้งแต่สองค่าขึ้นไป เมื่อแก้ปัญหา Cauchy ฟังก์ชันที่ต้องการจะถูกกำหนดอย่างไม่ต่อเนื่องในรูปแบบของตารางที่มีขั้นตอนที่กำหนด  เมื่อกำหนดค่าถัดไปแต่ละค่า คุณสามารถใช้ข้อมูลเกี่ยวกับจุดก่อนหน้าหนึ่งจุด ในกรณีนี้ เมธอดนี้เรียกว่าเมธอดแบบขั้นตอนเดียว หรือคุณสามารถใช้ข้อมูลเกี่ยวกับจุดก่อนหน้าหลายๆ จุด - เมธอดแบบหลายขั้นตอน

ดิฟเฟอเรนเชียล ur ปัญหาจุกจิก. วิธีการขั้นตอนเดียว วิธีการออยเลอร์

ให้: g(x,y)y+h(x,y)=0, y=-h(x,y)/g(x,y)= f(x,y), x 0 , y( x 0)=y 0 . เป็นที่รู้จัก: f(x,y), x 0 , y 0 . กำหนดวิธีแก้ปัญหาแบบไม่ต่อเนื่อง: x i , y i , i=0,1,…,n. วิธีออยเลอร์ขึ้นอยู่กับการขยายตัวของฟังก์ชันในอนุกรมเทย์เลอร์รอบจุด x 0 พื้นที่ใกล้เคียงอธิบายโดยขั้นตอน h. y(x 0 +h)y(x 0)+hy(x 0)+…+ (1). วิธีออยเลอร์พิจารณาเพียงสองเทอมของอนุกรมเทย์เลอร์ เรามาแนะนำสัญกรณ์ สูตรของออยเลอร์จะอยู่ในรูปแบบ: y i+1 =y i +y i , y i =hy(x i)=hf(x i ,y i), y i+1 =y i +hf(x i ,y i) (2), ผม= 0,1,2…, x ผม+1 = x ผม +h

สูตร (2) คือสูตรของวิธีออยเลอร์อย่างง่าย

การตีความทางเรขาคณิตของสูตรออยเลอร์

เพื่อให้ได้คำตอบที่เป็นตัวเลข f-la ของแทนเจนต์ผ่านสมการ แทนเจนต์: y=y(x 0)+y(x 0)(x-x 0), x=x 1 ,

y 1 \u003d y (x 0) + f (x 0, y 0)  (x-x 0) เพราะ

x-x 0 \u003d h จากนั้น y 1 \u003d y 0 + hf (x 0, y 0), f (x 0, y 0) \u003d tg £

แก้ไขวิธีการออยเลอร์

ให้ไว้: y=f(x,y), y(x 0)=y 0 . เป็นที่รู้จัก: f(x,y), x 0 , y 0 . กำหนด: การพึ่งพาของ y บน x ในรูปแบบของฟังก์ชันไม่ต่อเนื่องแบบตาราง: x i , y i , i=0,1,…,n.

การตีความทางเรขาคณิต

1) คำนวณแทนเจนต์มุมลาดที่จุดเริ่มต้น

tg £=y(x n ,y n)=f(x n ,y n)

2) คำนวณค่า  y n+1 on

เมื่อสิ้นสุดขั้นตอนตามสูตรออยเลอร์

 y n+1 \u003d y n + f (x n, y n) 3) คำนวณแทนเจนต์ของความชัน

แทนเจนต์ที่ n+1 จุด: tg £=y(x n+1 ,  y n+1)=f(x n+1 ,  y n+1) 4) คำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตของมุม

ความชัน: tg £=½. 5) ใช้แทนเจนต์ของมุมความชัน เราคำนวณค่าของฟังก์ชันใหม่อีกครั้งที่ n+1 จุด: y n+1 =y n +htg £= y n +½h=y n +½h เป็นสูตรของวิธีออยเลอร์ที่แก้ไข . สามารถแสดงให้เห็นได้ว่า f-la ที่ได้นั้นสอดคล้องกับการขยายตัวของ f-ii ในซีรีส์ Taylor รวมถึงเงื่อนไข (สูงถึง h 2) วิธี Eilnr ที่ได้รับการดัดแปลงนั้นตรงกันข้ามกับวิธีง่าย ๆ เป็นวิธีการลำดับที่สองของความแม่นยำตั้งแต่ ข้อผิดพลาดเป็นสัดส่วนกับ ชั่วโมง 2 .

สมการอนุพันธ์สามัญเรียกว่าสมการดังกล่าวที่มีอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ต้องการ y=y (x) ตั้งแต่หนึ่งตัวขึ้นไป สามารถเขียนได้ในรูป

โดยที่ x คือตัวแปรอิสระ

ลำดับสูงสุด n ของอนุพันธ์ในสมการเรียกว่า ลำดับของสมการอนุพันธ์

วิธีการแก้สมการเชิงอนุพันธ์สามัญสามารถแบ่งออกเป็นกลุ่มต่างๆ ได้ดังนี้: กราฟ การวิเคราะห์ การประมาณ และตัวเลข

วิธีการแบบกราฟิกใช้โครงสร้างทางเรขาคณิต

วิธีการวิเคราะห์พบได้ในสมการเชิงอนุพันธ์ สำหรับสมการลำดับที่หนึ่ง (ด้วยตัวแปรที่แยกได้, เอกพันธ์, เชิงเส้น, ฯลฯ) เช่นเดียวกับสมการลำดับที่สูงกว่าบางประเภท (เช่น เชิงเส้นที่มีสัมประสิทธิ์คงที่) เป็นไปได้ที่จะได้คำตอบในรูปแบบของสูตร โดยการแปลงเชิงวิเคราะห์

วิธีการโดยประมาณใช้การทำให้สมการง่ายขึ้นหลายแบบโดยการปฏิเสธเงื่อนไขบางคำที่มีอยู่ในนั้นอย่างสมเหตุสมผลรวมถึงการเลือกคลาสของฟังก์ชันที่ต้องการพิเศษ

วิธีการเชิงตัวเลขสำหรับการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ในปัจจุบันเป็นเครื่องมือหลักในการศึกษาปัญหาทางวิทยาศาสตร์และทางเทคนิคที่อธิบายโดยสมการเชิงอนุพันธ์ ในขณะเดียวกัน ควรเน้นว่าวิธีการเหล่านี้มีประสิทธิภาพเป็นพิเศษเมื่อใช้ร่วมกับคอมพิวเตอร์สมัยใหม่

วิธีเชิงตัวเลขที่ง่ายที่สุดสำหรับการแก้ปัญหา Cauchy สำหรับ ODE คือวิธีออยเลอร์ พิจารณาสมการในบริเวณใกล้เคียงกับโหนด (i=1,2,3,…) และแทนที่อนุพันธ์ทางด้านซ้ายด้วยผลต่างที่ถูกต้อง ในกรณีนี้ ค่าของฟังก์ชันที่โหนดจะถูกแทนที่ด้วยค่าของฟังก์ชันกริด:

การประมาณค่า DE ที่ได้รับนั้นมาจากลำดับแรก เนื่องจากอนุญาตให้มีข้อผิดพลาดได้เมื่อแทนที่ด้วย .

สังเกตว่ามันตามมาจากสมการ

ดังนั้นจึงเป็นการหาค่าโดยประมาณของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งโดยใช้การขยายในอนุกรมเทย์เลอร์ โดยจะปฏิเสธเงื่อนไขของลำดับที่สองและลำดับที่สูงกว่า กล่าวอีกนัยหนึ่ง การเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันจะถือว่าเท่ากับส่วนต่างของฟังก์ชัน

สมมติว่า i=0 โดยใช้ความสัมพันธ์ เราจะพบค่าของฟังก์ชันกริดที่:

ค่าที่ต้องการในที่นี้กำหนดโดยเงื่อนไขเริ่มต้น กล่าวคือ

ในทำนองเดียวกัน ค่าของฟังก์ชันกริดที่โหนดอื่นสามารถพบได้:

อัลกอริทึมที่สร้างขึ้นเรียกว่าวิธีออยเลอร์

รูป - 19 วิธีออยเลอร์

การตีความทางเรขาคณิตของวิธีออยเลอร์แสดงไว้ในรูป สองขั้นตอนแรกจะแสดงเช่น แสดงการคำนวณของฟังก์ชันกริดที่จุด เส้นโค้งปริพันธ์ 0,1,2 อธิบายคำตอบที่แน่นอนของสมการ ในกรณีนี้ เส้นโค้ง 0 สอดคล้องกับวิธีแก้ปัญหาที่แท้จริงของปัญหา Cauchy เนื่องจากมันผ่านจุดเริ่มต้น A (x 0, y 0) คะแนน B,C ได้มาจากผลลัพธ์ของการแก้ปัญหาเชิงตัวเลขของปัญหา Cauchy โดยวิธีออยเลอร์ ความเบี่ยงเบนจากเส้นโค้ง 0 แสดงถึงข้อผิดพลาดของวิธีการ เมื่อดำเนินการแต่ละขั้นตอน เราจะไปถึงเส้นโค้งอินทิกรัลอีกอันหนึ่ง เซ็กเมนต์ AB คือส่วนของเส้นสัมผัสถึงเส้นโค้ง 0 ที่จุด A ความชันของมันถูกกำหนดโดยค่าของอนุพันธ์ ข้อผิดพลาดปรากฏขึ้นเนื่องจากค่าที่เพิ่มขึ้นของฟังก์ชันระหว่างการเปลี่ยนจาก x 0 เป็น x 1 ถูกแทนที่ด้วยการเพิ่มขึ้นในลำดับของแทนเจนต์เป็นเส้นโค้ง 0 ที่จุด A แทนเจนต์ BC ถูกวาดไปยังเส้นโค้งปริพันธ์อื่น 1 แล้ว . ดังนั้น ข้อผิดพลาดของวิธีออยเลอร์จึงนำไปสู่ความจริงที่ว่าในแต่ละขั้นตอน การแก้ปัญหาโดยประมาณจะผ่านไปยังเส้นโค้งอินทิกรัลอีกเส้นหนึ่ง

นิยามสมการอนุพันธ์ออยเลอร์ พิจารณาวิธีการแก้ปัญหา

เนื้อหา

สมการอนุพันธ์ออยเลอร์คือสมการของรูปแบบ
เอ 0 x n y (n) + a 1 x n-1 y (n-1) + ...+ น- 1 xy′ + น y = f(x).

ในรูปแบบทั่วไป สมการออยเลอร์มีรูปแบบดังนี้
.
สมการนี้ถูกลดขนาดให้อยู่ในรูปแบบที่ง่ายกว่าโดยการแทนที่ t = ax + b ซึ่งเราจะพิจารณา

การลดสมการอนุพันธ์ออยเลอร์ให้เป็นสมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่

พิจารณาสมการออยเลอร์:
(1) .
ลดลงเป็นสมการเชิงเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่โดยการแทนที่:
x = อี ต .
แท้จริงแล้ว
;
;
;

;
;
..........................

ดังนั้น ตัวประกอบที่มี x m จึงตัดกัน มีเงื่อนไขที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่ อย่างไรก็ตาม ในทางปฏิบัติ ในการแก้สมการออยเลอร์ เป็นไปได้ที่จะใช้วิธีแก้ DE เชิงเส้นด้วยสัมประสิทธิ์คงที่โดยไม่ต้องใช้การแทนที่ข้างต้น

คำตอบของสมการออยเลอร์ที่เป็นเนื้อเดียวกัน

พิจารณาสมการออยเลอร์ที่เป็นเนื้อเดียวกัน:
(2) .
เรากำลังมองหาคำตอบของสมการ (2) ในรูปแบบ
.
;
;
........................
.
แทนที่ใน (2) และลดลง x k เราได้สมการคุณลักษณะ:
.
เราแก้มันแล้วได้ n รูท ซึ่งอาจซับซ้อนได้

พิจารณารากที่แท้จริง. ให้ ki เป็นรากของหลายหลาก m หลายราก m รากเหล่านี้สอดคล้องกับ m โซลูชั่นอิสระเชิงเส้น:
.

พิจารณารากที่ซับซ้อน ปรากฏเป็นคู่พร้อมกับคอนจูเกตที่ซับซ้อน ให้ ki เป็นรากของหลายหลาก m หลายราก เราแสดงรากที่ซับซ้อน ki ในแง่ของส่วนจริงและส่วนจินตภาพ:
.
m รากเหล่านี้และ m คอนจูเกตที่ซับซ้อน m เหล่านี้สอดคล้องกับ 2 นาทีโซลูชันอิสระเชิงเส้น:
;
;
..............................
.

หลังจากได้รับคำตอบอิสระเชิงเส้น n คำตอบ เราจะได้คำตอบของสมการทั่วไป (2):
(3) .

ตัวอย่าง

แก้สมการ:


เฉลยตัวอย่าง >> >

คำตอบของสมการออยเลอร์ที่เป็นเนื้อเดียวกัน

พิจารณาสมการออยเลอร์ที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน:
.
วิธีการแปรผันของค่าคงที่ (วิธีลากรองจ์) ยังใช้ได้กับสมการออยเลอร์ด้วย

อันดับแรก เราแก้สมการเอกพันธ์ (2) และรับคำตอบทั่วไป (3) จากนั้นเราถือว่าค่าคงที่เป็นฟังก์ชันของตัวแปร x ดิฟเฟอเรนติเอต (3) n - 1 ครั้งหนึ่ง. เราได้รับนิพจน์สำหรับ n - 1 อนุพันธ์ของ y เทียบกับ x ด้วยความแตกต่างแต่ละครั้ง เงื่อนไขที่มีอนุพันธ์จะเท่ากับศูนย์ ดังนั้นเราจึงได้ n - 1 สมการที่เกี่ยวข้องกับอนุพันธ์ ต่อไป เราหาอนุพันธ์อันดับที่ n ของ y เราแทนที่อนุพันธ์ที่ได้รับเป็น (1) และรับสมการที่ n เกี่ยวกับอนุพันธ์ จากสมการเหล่านี้ เรากำหนด . หลังจากนั้น เมื่อรวมเข้าด้วยกัน เราจะได้คำตอบทั่วไปของสมการ (1)

ตัวอย่าง

แก้สมการ:

สารละลาย > > >

สมการออยเลอร์ที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันที่มีส่วนที่เป็นเอกพันธ์พิเศษ

หากส่วนที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันมีรูปแบบที่แน่นอน ก็จะเป็นการง่ายกว่าที่จะหาคำตอบทั่วไปโดยการหาคำตอบเฉพาะของสมการเอกพันธ์ คลาสนี้รวมถึงสมการของแบบฟอร์ม:
(4)
,
โดยที่พหุนามในหน่วยองศา และ ตามลำดับ

ในกรณีนี้ จะทำการเปลี่ยนตัวได้ง่ายขึ้น
,
และตัดสินใจ