ชีวประวัติ ลักษณะเฉพาะ การวิเคราะห์
ขยาย
บ้าน ›

ตัวอย่างของงานในสถานที่ของคะแนน

เรขาคณิต (เรขาคณิตกรีกจาก ge - Earth และ metreo - การวัด)

สาขาคณิตศาสตร์ที่ศึกษาความสัมพันธ์และรูปแบบเชิงพื้นที่ ตลอดจนความสัมพันธ์และรูปแบบอื่น ๆ ที่คล้ายกับเชิงพื้นที่ในโครงสร้าง

ที่มาของคำว่า "G." ซึ่งแปลว่า "การสำรวจโลก" อย่างแท้จริงสามารถอธิบายได้ด้วยคำต่อไปนี้ซึ่งมาจากนักวิทยาศาสตร์ชาวกรีกโบราณ Eudemus of Rhodes (ศตวรรษที่ 4 ก่อนคริสต์ศักราช): "ชาวอียิปต์ค้นพบเรขาคณิตและเกิดขึ้นเมื่อ วัดโลก การวัดนี้เป็นสิ่งจำเป็นเนื่องจากน้ำท่วมของแม่น้ำไนล์ซึ่งพัดพาพรมแดนออกไปอย่างต่อเนื่อง " แล้วในหมู่ชาวกรีกโบราณ G. หมายถึง วิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์ในขณะที่คำว่า Geodesy ถูกนำมาใช้กับวิทยาศาสตร์การวัดโลก เมื่อพิจารณาจากเศษชิ้นส่วนของงานเขียนอียิปต์โบราณที่ยังหลงเหลืออยู่ แรงโน้มถ่วงพัฒนาไม่เพียงแต่จากการวัดของโลกเท่านั้น แต่ยังมาจากการวัดปริมาตรและพื้นผิวในระหว่างการขุดดินและงานก่อสร้าง และอื่นๆ

แนวคิดเริ่มต้นของแรงโน้มถ่วงเกิดขึ้นจากสิ่งที่เป็นนามธรรมจากคุณสมบัติและความสัมพันธ์ทั้งหมดของร่างกาย ยกเว้นตำแหน่งและขนาดสัมพัทธ์ อย่างแรกแสดงออกด้วยการสัมผัสหรือเชื่อมต่อร่างกายเข้าด้วยกัน ในความจริงที่ว่าร่างกายหนึ่งเป็นส่วนหนึ่งของอีกร่างกายหนึ่ง ในตำแหน่ง "ระหว่าง" "ภายใน" ฯลฯ อย่างหลังแสดงในแนวคิดของ "มากกว่า", "น้อยกว่า" ในแนวคิดเรื่องความเท่าเทียมกันของร่างกาย

ในนามธรรมเดียวกันแนวคิดของร่างกายทางเรขาคณิตก็เกิดขึ้น รูปทรงเรขาคณิตคือสิ่งที่เป็นนามธรรมซึ่งมีเพียงรูปร่างและขนาดเท่านั้นที่คงอยู่ในสิ่งที่เป็นนามธรรมโดยสมบูรณ์จากคุณสมบัติอื่นๆ ทั้งหมด ในเวลาเดียวกัน ตามแบบฉบับของคณิตศาสตร์โดยทั่วไป เรขาคณิตเป็นนามธรรมโดยสมบูรณ์จากความไม่แน่นอนและการเคลื่อนที่ของรูปร่างและขนาดจริง และพิจารณาความสัมพันธ์และรูปแบบทั้งหมดที่ตรวจสอบเพื่อให้แม่นยำและแน่นอนที่สุด สิ่งที่เป็นนามธรรมจากส่วนขยายของร่างกายนำไปสู่แนวคิดของพื้นผิว เส้น และจุด สิ่งนี้แสดงให้เห็นอย่างชัดเจน ตัวอย่างเช่น ในคำจำกัดความที่กำหนดโดย Euclid: "เส้นหนึ่งคือความยาวที่ไม่มีความกว้าง", "พื้นผิวคือสิ่งที่มีความยาวและความกว้าง" จุดที่ไม่มีส่วนขยายใด ๆ คือนามธรรมที่สะท้อนถึงความเป็นไปได้ของการลดลงอย่างไม่จำกัดในทุกมิติของร่างกาย ซึ่งเป็นขีดจำกัดในจินตนาการของการหารที่ไม่สิ้นสุด แล้วมี แนวคิดทั่วไปเกี่ยวกับรูปทรงเรขาคณิตซึ่งไม่เพียงเข้าใจว่าเป็นร่างกาย พื้นผิว เส้นหรือจุดเท่านั้น แต่ยังรวมถึงการรวมกันของพวกมันด้วย

G. ในความหมายเดิมคือวิทยาศาสตร์ของตัวเลข การจัดเรียงร่วมกันและขนาดของชิ้นส่วน ตลอดจนการเปลี่ยนแปลงของตัวเลข คำจำกัดความนี้สอดคล้องกับคำจำกัดความของเรขาคณิตในฐานะวิทยาศาสตร์ของรูปแบบและความสัมพันธ์เชิงพื้นที่ แท้จริงแล้วตัวเลขตามที่พิจารณาใน G. เป็นรูปแบบเชิงพื้นที่ ดังนั้นใน G. พวกเขาพูดว่า "ลูกบอล" ไม่ใช่ "ร่างกาย" รูปร่างทรงกลม»; ตำแหน่งและขนาดถูกกำหนดโดยความสัมพันธ์เชิงพื้นที่ ในที่สุดการแปลงตามที่เข้าใจใน G. ก็เป็นความสัมพันธ์ระหว่างสองร่างเช่นกัน - ตัวเลขที่กำหนดและตัวเลขที่แปลงร่าง

ในความหมายทั่วไปสมัยใหม่ เรขาคณิตครอบคลุมทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ที่หลากหลาย ซึ่งของเรขาคณิตนั้นไม่ได้ถูกกำหนดโดยความคล้ายคลึงกัน (แม้ว่าบางครั้งจะห่างไกลกันมาก) ของเนื้อหาที่มีรูปแบบและความสัมพันธ์เชิงพื้นที่ธรรมดาเท่านั้น แต่ยังรวมถึงข้อเท็จจริงที่ว่า พวกเขาได้พัฒนาในอดีตและกำลังก่อร่างสร้างตัวบน G. ในความหมายดั้งเดิมและในการก่อสร้างนั้นมาจากการวิเคราะห์ การสรุปทั่วไป และการปรับเปลี่ยนแนวคิดของมัน ภูมิศาสตร์ในความหมายทั่วไปนี้เกี่ยวพันอย่างใกล้ชิดกับสาขาอื่นๆ ของคณิตศาสตร์ และขอบเขตของมันไม่แม่นยำ ดูลักษณะทั่วไปของเรขาคณิตและเรขาคณิตสมัยใหม่

การพัฒนารูปทรงเรขาคณิต. ในการพัฒนา G. สามารถระบุช่วงเวลาหลักได้สี่ช่วงซึ่งเป็นช่วงเปลี่ยนผ่านที่แสดง การเปลี่ยนแปลงเชิงคุณภาพช.

ยุคแรก - ช่วงเวลากำเนิดของเรขาคณิตในฐานะวิทยาศาสตร์ทางคณิตศาสตร์ - ดำเนินไปในอียิปต์โบราณ บาบิโลน และกรีก จนถึงประมาณศตวรรษที่ 5 พ.ศ อี ข้อมูลทางเรขาคณิตหลักปรากฏขึ้นในช่วงแรกของการพัฒนาสังคม จุดเริ่มต้นของวิทยาศาสตร์ควรได้รับการพิจารณาว่าเป็นจุดเริ่มต้นของ รูปแบบทั่วไป, ใน กรณีนี้- การพึ่งพาระหว่างปริมาณทางเรขาคณิต ช่วงเวลานี้ไม่สามารถลงวันที่ได้ งานแรกสุดที่มีพื้นฐานของ G. ตกทอดมาถึงเราตั้งแต่อียิปต์โบราณและย้อนกลับไปในศตวรรษที่ 17 พ.ศ จ. แต่คงไม่ใช่รายแรกอย่างแน่นอน ข้อมูลทางเรขาคณิตในช่วงเวลานั้นมีไม่มากนักและถูกลดขนาดลงเพื่อคำนวณพื้นที่และปริมาตรบางส่วนเป็นหลัก สิ่งเหล่านี้ถูกระบุไว้ในรูปแบบของกฎ เห็นได้ชัดว่ามีต้นกำเนิดเชิงประจักษ์ในระดับมาก ในขณะที่การพิสูจน์เชิงตรรกะอาจยังคงเป็นแบบดั้งเดิมอยู่มาก กรีกตามประวัติศาสตร์กรีกถูกโอนไปยังกรีซจากอียิปต์ในศตวรรษที่ 7 พ.ศ อี ที่นี่ ตลอดหลายชั่วอายุคน มันพัฒนาเป็นระบบที่เชื่อมโยงกัน กระบวนการนี้เกิดขึ้นจากการสะสมความรู้ทางเรขาคณิตใหม่ การอธิบายความเชื่อมโยงระหว่างข้อเท็จจริงทางเรขาคณิตต่างๆ การพัฒนาวิธีการพิสูจน์ และสุดท้าย การก่อตัวของแนวคิดเกี่ยวกับรูป ประโยคทางเรขาคณิตและการพิสูจน์

กระบวนการนี้ได้นำไปสู่การก้าวกระโดดเชิงคุณภาพในที่สุด เรขาคณิตกลายเป็นวิทยาศาสตร์ทางคณิตศาสตร์ที่เป็นอิสระ: มีการอธิบายอย่างเป็นระบบซึ่งมีการพิสูจน์ข้อเสนออย่างต่อเนื่อง ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมาช่วงที่สองของการพัฒนาภูมิศาสตร์ก็เริ่มขึ้น มีการอ้างอิงถึงการนำเสนอธรณีวิทยาอย่างเป็นระบบซึ่งเป็นที่รู้จักในศตวรรษที่ 5 พ.ศ อี Hippocrates of Chios (ดู Hippocrates of Chios) พวกเขารอดชีวิตมาได้และมีบทบาทชี้ขาดในอนาคต ซึ่งปรากฏราว 300 ปีก่อนคริสตกาล อี "จุดเริ่มต้น" ของยุคลิด (ดูจุดเริ่มต้นของยุคลิด) ต่อไปนี้เป็นการนำเสนอรูปทรงเรขาคณิตในลักษณะที่ยังคงเข้าใจกันโดยทั่วไปในปัจจุบัน หากเราจำกัดขอบเขตตัวเราไว้ที่รูปทรงเรขาคณิตมูลฐาน (ดู เรขาคณิตมูลฐาน) นี่คือวิทยาศาสตร์ของรูปแบบและความสัมพันธ์เชิงพื้นที่ที่ง่ายที่สุดซึ่งพัฒนาขึ้นตามลำดับตรรกะโดยอิงจากบทบัญญัติพื้นฐานที่กำหนดไว้อย่างชัดเจน - สัจพจน์และการแทนเชิงพื้นที่ขั้นพื้นฐาน เรขาคณิตที่พัฒนาขึ้นบนรากฐานเดียวกัน (สัจพจน์) แม้จะได้รับการขัดเกลาและสมบูรณ์ทั้งในหัวเรื่องและในวิธีการตรวจสอบ เราเรียกว่าเรขาคณิตแบบยุคลิด แม้แต่ในกรีซก็มีการเพิ่มผลลัพธ์ใหม่ ๆ วิธีการใหม่ในการกำหนดพื้นที่และปริมาตร (Archimedes ศตวรรษที่ 3 ก่อนคริสต์ศักราช) หลักคำสอนของภาคตัดกรวย (Apollonius of Perga ศตวรรษที่ 3 ก่อนคริสต์ศักราช) เพิ่มจุดเริ่มต้นของตรีโกณมิติ (Hipparchus , 2 ใน. พ.ศ จ.) และ G. บนทรงกลม (เมเนลอส คริสต์ศตวรรษที่ 1) ความเสื่อมโทรมของสังคมโบราณนำไปสู่ความซบเซาเชิงเปรียบเทียบในการพัฒนาของชาวยิปซี แต่ยังคงพัฒนาต่อไปในอินเดียใน เอเชียกลางในประเทศอาหรับตะวันออก

การฟื้นฟูวิทยาศาสตร์และศิลปะในยุโรปทำให้ธรณีวิทยาเฟื่องฟูยิ่งขึ้น โดยพื้นฐาน ขั้นตอนใหม่ถูกสร้างขึ้นในช่วงครึ่งแรกของศตวรรษที่ 17 R. Descartes ผู้แนะนำวิธีพิกัดในรูปเรขาคณิต วิธีพิกัดทำให้สามารถเชื่อมโยงเรขาคณิตกับพีชคณิตที่กำลังพัฒนาในขณะนั้นและการวิเคราะห์ที่เกิดขึ้นใหม่ได้ การประยุกต์ใช้วิธีการของวิทยาศาสตร์เหล่านี้ในธรณีวิทยาก่อให้เกิดภูมิศาสตร์เชิงวิเคราะห์ และธรณีวิทยาเชิงอนุพันธ์ G. ได้ก้าวไปสู่ระดับใหม่เชิงคุณภาพเมื่อเปรียบเทียบกับ G. ในสมัยโบราณ: มันพิจารณาตัวเลขทั่วไปที่มากขึ้นแล้วและใช้วิธีการใหม่เป็นหลัก ช่วงเวลาที่สามของการพัฒนาของ G เริ่มต้นขึ้น เรขาคณิตวิเคราะห์ศึกษาตัวเลขและการแปลงที่กำหนดโดย สมการพีชคณิตในพิกัดสี่เหลี่ยมโดยใช้วิธีการของพีชคณิต เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ซึ่งเกิดขึ้นในศตวรรษที่ 18 จากผลงานของ L. Euler, H. Monge และคนอื่นๆ เขาได้ศึกษาเส้นโค้งและพื้นผิวใดๆ ที่เรียบเพียงพอแล้ว ครอบครัวของพวกมัน (เช่น คอลเลกชันที่ต่อเนื่องกัน) และการแปลง (แนวคิดของ "เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์" คือ ตอนนี้มักจะให้ความหมายทั่วไปมากขึ้น ซึ่งจะกล่าวถึงในหัวข้อ Modern Geometry) ชื่อของมันเกี่ยวข้องกับวิธีการของมันเป็นหลัก ซึ่งมาจากแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ ในช่วงครึ่งแรกของศตวรรษที่ 17 หมายถึงที่มาของเรขาคณิตเชิงโครง (ดู projective geometry) ในผลงานของ J. Desargues และ B. Pascal (ดู Pascal) เกิดจากปัญหาการวาดภาพร่างกายบนเครื่องบิน หัวเรื่องแรกคือคุณสมบัติของรูปทรงระนาบซึ่งจะถูกรักษาไว้เมื่อฉายจากระนาบหนึ่งไปยังอีกระนาบหนึ่งจากจุดใดๆ การกำหนดขั้นสุดท้ายและการเปิดเผยอย่างเป็นระบบของแนวโน้มใหม่ๆ ในธรณีวิทยามีขึ้นในคริสต์ศตวรรษที่ 18 และต้นคริสต์ศตวรรษที่ 19 ออยเลอร์สำหรับการวิเคราะห์กราฟ (1748), Monge สำหรับกราฟเชิงอนุพันธ์ (1795), J. Poncelet สำหรับกราฟเชิงโครง (1822) และหลักคำสอนของการแทนค่าทางเรขาคณิต (ในการเชื่อมต่อโดยตรงกับปัญหาของการวาดภาพ) ได้รับการพัฒนาก่อนหน้านี้ (1799) และนำเข้าระบบโดย Monge ในรูปของเรขาคณิตเชิงพรรณนา (ดู descriptive geometry) ในสาขาวิชาใหม่ทั้งหมดนี้ รากฐาน (สัจพจน์ แนวคิดเริ่มต้น) ของรูปทรงเรขาคณิตยังคงไม่เปลี่ยนแปลง ในขณะที่ช่วงของตัวเลขที่ศึกษาและคุณสมบัติของพวกมัน ตลอดจนวิธีการที่ใช้ ขยายออกไป

ช่วงที่สี่ในการพัฒนารูปทรงเรขาคณิตเริ่มต้นด้วยการสร้าง N. I. Lobachevsky (ดู Lobachevsky) ในปี ค.ศ. 1826 เรขาคณิตใหม่ที่ไม่ใช่แบบยุคลิด ซึ่งปัจจุบันเรียกว่า เรขาคณิตโลบาชอฟสกี (ดู เรขาคณิตโลบาชอฟสกี) โดยเป็นอิสระจาก Lobachevsky ในปี 1832 J. Bolyai สร้างรูปทรงเรขาคณิตเดียวกัน (K. Gauss พัฒนาแนวคิดเดียวกัน แต่เขาไม่ได้เผยแพร่) ที่มา แก่นแท้ และความสำคัญของแนวคิดของ Lobachevsky สรุปได้ดังนี้ ในเรขาคณิตของ Euclid มีสัจพจน์เกี่ยวกับเส้นขนานซึ่งกล่าวว่า: "ผ่านจุดที่ไม่ได้อยู่บนเส้นที่กำหนด เราสามารถลากเส้นขนานกับเส้นที่กำหนดได้มากสุดหนึ่งเส้น" นักเรขาคณิตหลายคนพยายามพิสูจน์สัจพจน์นี้จากพื้นฐานอื่นๆ ของเรขาคณิตของยุคลิด แต่ไม่ประสบความสำเร็จ Lobachevsky ได้ข้อสรุปว่าการพิสูจน์ดังกล่าวเป็นไปไม่ได้ ข้อความตรงข้ามกับสัจพจน์ของยุคลิดกล่าวว่า: "ผ่านจุดที่ไม่ได้อยู่บนเส้นที่กำหนด เราไม่สามารถวาดเส้นเดียวได้ แต่อย่างน้อยสองเส้นขนานกัน" นี่คือสัจพจน์ของ Lobachevsky ตาม Lobachevsky การเพิ่มบทบัญญัตินี้ไปยังบทบัญญัติพื้นฐานอื่น ๆ ของ G. นำไปสู่ข้อสรุปที่ไร้เหตุผล ระบบของข้อสรุปเหล่านี้สร้างรูปทรงเรขาคณิตใหม่ที่ไม่ใช่แบบยุคลิด ข้อดีของ Lobachevsky อยู่ที่ความจริงที่ว่าเขาไม่เพียงแสดงความคิดนี้เท่านั้น แต่จริง ๆ แล้วได้สร้างและพัฒนารูปทรงเรขาคณิตใหม่อย่างครอบคลุม แม้จะไม่สอดคล้องกับการแสดงภาพตามปกติก็ตาม Lobachevsky ถือว่าเรขาคณิตของเขาเป็นทฤษฎีที่เป็นไปได้ของความสัมพันธ์เชิงพื้นที่ อย่างไรก็ตาม มันยังคงเป็นสมมุติฐานจนกว่าจะได้รับการชี้แจง (ในปี พ.ศ. 2411) ความหมายที่แท้จริงและด้วยเหตุนี้จึงได้ให้เหตุผลที่สมบูรณ์ (ดูหัวข้อ การตีความเรขาคณิต)

การปฏิวัติทางเรขาคณิตที่ Lobachevsky ก่อขึ้นนั้นมีความสำคัญไม่น้อยไปกว่าการปฏิวัติใด ๆ ในวิทยาศาสตร์ธรรมชาติ และไม่ใช่เพื่ออะไร Lobachevsky ถูกเรียกว่า "Copernicus of Geometry" แนวคิดของเขามีหลักการสามประการซึ่งกำหนดพัฒนาการใหม่ของรูปทรงเรขาคณิต หลักการแรก คือ ไม่เพียงแต่รูปทรงเรขาคณิตแบบยุคลิดเท่านั้นที่สามารถเป็นไปได้ในเชิงตรรกะ แต่ยังรวมถึง "รูปทรงเรขาคณิต" อื่นๆ ด้วย หลักการที่สองคือหลักการของการสร้างทฤษฎีทางเรขาคณิตใหม่โดยการแก้ไขและสรุปบทบัญญัติหลักของ Euclidean G หลักการที่สามคือความจริงของทฤษฎีทางเรขาคณิตในแง่ของการสอดคล้องกับคุณสมบัติที่แท้จริงของพื้นที่ ได้รับการยืนยันโดยการวิจัยทางกายภาพเท่านั้น และเป็นไปได้ว่าการศึกษาดังกล่าวสร้าง ในแง่นี้ ความไม่ถูกต้องของ Euclidean G. ฟิสิกส์ยุคใหม่ได้ยืนยันสิ่งนี้แล้ว อย่างไรก็ตาม ความแม่นยำทางคณิตศาสตร์ของเรขาคณิตแบบยุคลิดไม่สูญหายไปเพราะเหตุนี้ ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา มันถูกกำหนดโดยความสอดคล้องเชิงตรรกะ (ความสอดคล้อง) ของ G นี้ ในทำนองเดียวกันกับทฤษฎีทางเรขาคณิตใด ๆ เราต้องแยกแยะความแตกต่างระหว่างความจริงทางกายภาพและทางคณิตศาสตร์ ข้อแรกประกอบด้วยความสอดคล้องของความเป็นจริงที่ตรวจสอบโดยประสบการณ์ ข้อที่สองคือความสอดคล้องเชิงตรรกะ ดังนั้น Lobachevsky จึงให้แนวทางวัตถุนิยมแก่ปรัชญาคณิตศาสตร์ หลักการทั่วไปเหล่านี้ได้เล่น บทบาทสำคัญไม่เพียง แต่ในเรขาคณิตเท่านั้น แต่ยังรวมถึงคณิตศาสตร์โดยทั่วไปด้วยในการพัฒนาวิธีการเชิงสัจพจน์ในการทำความเข้าใจความสัมพันธ์กับความเป็นจริง

คุณสมบัติหลักของช่วงเวลาใหม่ในประวัติศาสตร์ของเรขาคณิตที่เริ่มโดย Lobachevsky คือการพัฒนาทฤษฎีทางเรขาคณิตใหม่ - "รูปทรงเรขาคณิต" ใหม่และในลักษณะทั่วไปที่สอดคล้องกันของวิชาเรขาคณิต แนวคิดของ ชนิดที่แตกต่าง“ที่ว่าง” (คำว่า “ที่ว่าง” มีความหมายสองประการในทางวิทยาศาสตร์ ด้านหนึ่งเป็นพื้นที่จริงธรรมดา อีกด้านหนึ่ง หมายถึง “พื้นที่ทางคณิตศาสตร์” ที่เป็นนามธรรม) ในเวลาเดียวกัน ทฤษฎีบางอย่างถูกสร้างขึ้นภายในเรขาคณิตแบบยุคลิดในรูปแบบของบทพิเศษ และหลังจากนั้นก็ได้รับ ความหมายอิสระ. นี่คือวิธีการสร้างรูปทรงเรขาคณิตแบบฉายภาพ เลียนแบบ คล้อยตาม และอื่นๆ หัวข้อคือคุณสมบัติของตัวเลขที่คงไว้ภายใต้การแปลงที่เหมาะสม (เชิงฉาย เลียนแบบ คล้อยตาม ฯลฯ) แนวคิดเรื่องพื้นที่ฉายภาพ แนบชิด และสอดคล้องกันเกิดขึ้น Euclidean G. เริ่มพิจารณาตัวเอง ในแง่หนึ่งในฐานะหัวหน้าโครงการ G.Dr. ทฤษฎีเช่นเรขาคณิตของ Lobachevsky ถูกสร้างขึ้นจากจุดเริ่มต้นบนพื้นฐานของการเปลี่ยนแปลงและการวางแนวทั่วไปของแนวคิดของเรขาคณิตแบบยุคลิด ตัวอย่างเช่น เรขาคณิตหลายมิติถูกสร้างขึ้น งานชิ้นแรกที่เกี่ยวข้องกับมัน (G. Grassman และ A. Cayley, 1844) แสดงถึงลักษณะทั่วไปที่เป็นทางการของ G. การวิเคราะห์ตามปกติกับ สามพิกัดบน น. ผลลัพธ์บางส่วนของการพัฒนา "รูปทรงเรขาคณิต" ใหม่ทั้งหมดนี้สรุปขึ้นในปี พ.ศ. 2415 โดย F. Klein ซึ่งบ่งชี้ว่า หลักการทั่วไปสิ่งก่อสร้างของพวกเขา

ขั้นตอนพื้นฐานดำเนินการโดย B. Riemann (บรรยาย 1854, เผยแพร่ 1867) ประการแรก เขาได้กำหนดแนวคิดทั่วไปของอวกาศไว้อย่างชัดเจนว่าเป็นกลุ่มวัตถุหรือปรากฏการณ์ที่เป็นเนื้อเดียวกันอย่างต่อเนื่อง ประการที่สอง เขาแนะนำแนวคิดของพื้นที่กับกฎใดๆ สำหรับการวัดระยะทางในขั้นตอนที่น้อยมาก (คล้ายกับการวัดความยาวของเส้นด้วยมาตราส่วนขนาดเล็กมาก) จากที่นี่ได้พัฒนาภูมิภาคอันกว้างใหญ่ของจอร์เจียซึ่งเรียกว่า เรขาคณิตรีมานเนียนและลักษณะทั่วไป ซึ่งพบการประยุกต์ใช้ที่สำคัญในทฤษฎีสัมพัทธภาพ ในกลศาสตร์ ฯลฯ

ตัวอย่างอื่น. สถานะของก๊าซในกระบอกสูบใต้ลูกสูบถูกกำหนดโดยความดันและอุณหภูมิ ผลรวมของสถานะที่เป็นไปได้ทั้งหมดของก๊าซจึงสามารถแสดงเป็นพื้นที่สองมิติได้ "จุด" ของ "ช่องว่าง" นี้คือสถานะของก๊าซ "จุด" แตกต่างกันในสอง "พิกัด" - ความดันและอุณหภูมิ เช่นเดียวกับที่จุดบนระนาบค่าของพิกัดต่างกัน การเปลี่ยนแปลงสถานะอย่างต่อเนื่องจะแสดงด้วยเส้นในพื้นที่นี้

นอกจากนี้ เราสามารถจินตนาการถึงระบบวัสดุใดๆ ก็ได้ ไม่ว่าจะเป็นเครื่องกลหรือเคมีฟิสิกส์ ผลรวมของสถานะที่เป็นไปได้ทั้งหมดของระบบนี้เรียกว่า "เฟสสเปซ" "จุด" ของพื้นที่นี้คือรัฐเอง หากมีการกำหนดสถานะของระบบ นปริมาณแล้วเราบอกว่าระบบมี นระดับความอิสระ. ปริมาณเหล่านี้มีบทบาทเป็นพิกัดของสถานะจุด ดังตัวอย่างในแก๊ส ความดันและอุณหภูมิมีบทบาทเป็นพิกัด ตามนี้จึงเรียกเฟสสเปซของระบบ นมิติ การเปลี่ยนแปลงสถานะจะแสดงด้วยเส้นในพื้นที่นี้ ภูมิภาคแต่ละแห่งของรัฐซึ่งมีลักษณะเฉพาะอย่างใดอย่างหนึ่งจะเป็นพื้นที่ของเฟสสเปซและขอบเขตของภูมิภาคจะเป็นพื้นผิวในพื้นที่นี้ หากระบบมีระดับความเป็นอิสระเพียงสองระดับ สถานะของระบบสามารถแสดงด้วยจุดบนระนาบ ดังนั้นสถานะของก๊าซที่มีความดัน รและอุณหภูมิ ตแทนด้วยจุดที่มีพิกัด รและ ที,และกระบวนการที่เกิดขึ้นกับก๊าซจะแสดงด้วยเส้นบนระนาบ วิธีการแสดงกราฟิกนี้เป็นที่รู้จักกันดีและมีการใช้อย่างต่อเนื่องในฟิสิกส์และเทคโนโลยีเพื่อให้เห็นภาพกระบวนการและกฎของกระบวนการ แต่ถ้าจำนวนองศาอิสระมากกว่า 3 แสดงว่าเป็นจำนวนเฉพาะ ภาพกราฟิก(แม้แต่ในอวกาศ) ก็เป็นไปไม่ได้ จากนั้น เพื่อรักษาการเปรียบเทียบเชิงเรขาคณิตที่เป็นประโยชน์ บุคคลหนึ่งจึงหันไปใช้แนวคิดของสเปซเฟสนามธรรม ดังนั้นวิธีการกราฟิกแบบภาพจึงกลายเป็นการแสดงนามธรรมนี้ วิธีเฟสสเปซใช้กันอย่างแพร่หลายในกลศาสตร์ ฟิสิกส์เชิงทฤษฎี และ เคมีกายภาพ. ในกลศาสตร์ การเคลื่อนที่ของระบบกลไกจะแสดงด้วยการเคลื่อนที่ของจุดในปริภูมิเฟส ในวิชาเคมีเชิงกายภาพ การพิจารณารูปร่างและการต่อร่วมกันของพื้นที่เฟสสเปซของระบบสารต่างๆ ที่สอดคล้องกับสถานะที่แตกต่างกันในเชิงคุณภาพเป็นสิ่งสำคัญอย่างยิ่ง พื้นผิวที่แยกบริเวณเหล่านี้คือพื้นผิวของการเปลี่ยนจากคุณภาพหนึ่งไปยังอีกคุณภาพหนึ่ง (การหลอม การตกผลึก ฯลฯ) ในรูปทรงเรขาคณิตเองก็มีการพิจารณาพื้นที่นามธรรมด้วยเช่นกัน ซึ่ง "จุด" คือตัวเลข นี่คือวิธีการกำหนด "ช่องว่าง" ของวงกลม ทรงกลม เส้น ฯลฯ ในกลศาสตร์และทฤษฎีสัมพัทธภาพ ปริภูมิสี่มิติที่เป็นนามธรรมก็ถูกนำมาใช้เช่นกัน โดยเพิ่มเวลาให้กับพิกัดเชิงพื้นที่ทั้งสามเป็นพิกัดที่สี่ ซึ่งหมายความว่าเหตุการณ์จะต้องแยกแยะไม่เฉพาะตามตำแหน่งในอวกาศเท่านั้น แต่ยังรวมถึงเวลาด้วย

ดังนั้นจึงเป็นที่ชัดเจนว่าการสะสมอย่างต่อเนื่องของวัตถุ ปรากฏการณ์ และสภาวะต่าง ๆ สามารถนำมาภายใต้แนวคิดทั่วไปของอวกาศได้อย่างไร ในพื้นที่ดังกล่าว เราสามารถวาด "เส้น" ที่แสดงลำดับต่อเนื่องของปรากฏการณ์ (สถานะ) วาด "พื้นผิว" และกำหนด "ระยะห่าง" ระหว่าง "จุด" ด้วยวิธีที่เหมาะสม ด้วยเหตุนี้จึงเป็นการแสดงเชิงปริมาณของแนวคิดทางกายภาพของระดับ ความแตกต่างของปรากฏการณ์ที่สอดคล้องกัน (สถานะ) และอื่นๆ ดังนั้นโดยการเปรียบเทียบกับเรขาคณิตธรรมดา "เรขาคณิต" ของพื้นที่นามธรรมจึงเกิดขึ้น หลังนี้อาจมีความคล้ายคลึงกันเพียงเล็กน้อยกับพื้นที่ธรรมดา ตัวอย่างเช่น มีคุณสมบัติทางเรขาคณิตที่ไม่เหมือนกันและมีขอบเขตจำกัด เช่น พื้นผิวปิดโค้งที่ไม่สม่ำเสมอ

เรื่องของธรณีวิทยาในความหมายทั่วไปไม่ได้เป็นเพียงรูปแบบและความสัมพันธ์เชิงพื้นที่เท่านั้น แต่รูปแบบและความสัมพันธ์ใดๆ ที่ดึงเอาสิ่งที่เป็นนามธรรมจากเนื้อหามากลายเป็นสิ่งที่คล้ายคลึงกับรูปแบบและความสัมพันธ์เชิงพื้นที่ทั่วไป รูปแบบความเป็นจริงที่เหมือนอวกาศเหล่านี้เรียกว่า "ช่องว่าง" และ "ตัวเลข" อวกาศในแง่นี้เป็นคอลเลกชันต่อเนื่องของวัตถุที่เป็นเนื้อเดียวกัน ปรากฏการณ์ สถานะที่มีบทบาทเป็นจุดในอวกาศ และในคอลเลกชันนี้มีความสัมพันธ์ที่คล้ายคลึงกับความสัมพันธ์เชิงพื้นที่ทั่วไป เช่น ระยะห่างระหว่างจุด ความเท่าเทียมกัน ของตัวเลข ฯลฯ (ตัวเลขโดยทั่วไปเป็นส่วนหนึ่งของพื้นที่) ช. พิจารณารูปแบบความเป็นจริงเหล่านี้โดยนามธรรม เนื้อหาเฉพาะ, การเรียน รูปแบบเฉพาะและความสัมพันธ์ที่เกี่ยวข้องกับเนื้อหาที่เป็นเอกลักษณ์เชิงคุณภาพเป็นเรื่องของศาสตร์อื่น ๆ และเรขาคณิตเป็นวิธีการสำหรับพวกเขา การประยุกต์ใช้เรขาคณิตเชิงนามธรรมใดๆ ก็ตามสามารถใช้เป็นตัวอย่างได้ แม้ว่าจะเป็นการประยุกต์ใช้ข้างต้นก็ตาม นปริภูมิมิติในเคมีเชิงฟิสิกส์ G. มีลักษณะโดยวิธีการดังกล่าวไปยังวัตถุซึ่งประกอบด้วยการสรุปและถ่ายโอนไปยังวัตถุใหม่ของสามัญ แนวคิดทางเรขาคณิตและการแสดงภาพ นี่คือสิ่งที่ทำในตัวอย่างข้างต้นของพื้นที่สี ฯลฯ วิธีการทางเรขาคณิตนี้ไม่ใช่แบบแผนบริสุทธิ์ แต่สอดคล้องกับธรรมชาติของปรากฏการณ์ แต่บ่อยครั้งข้อเท็จจริงเดียวกันสามารถแสดงในเชิงวิเคราะห์หรือเชิงเรขาคณิตได้ เช่นเดียวกับสมการหรือเส้นบนกราฟ

อย่างไรก็ตาม เราไม่ควรเป็นตัวแทนของพัฒนาการของเรขาคณิตในลักษณะที่จะลงทะเบียนและอธิบายในรูปแบบและความสัมพันธ์ในภาษาเรขาคณิตที่ได้พบเจอแล้วในทางปฏิบัติเท่านั้น ซึ่งคล้ายกับรูปแบบเชิงพื้นที่ ในความเป็นจริง เรขาคณิตกำหนดคลาสกว้างๆ ของช่องว่างและตัวเลขใหม่ ซึ่งดำเนินการจากการวิเคราะห์และการกำหนดลักษณะทั่วไปของข้อมูลเรขาคณิตที่มองเห็นได้ และทฤษฎีทางเรขาคณิตที่ได้กำหนดไว้แล้ว ในนิยามนามธรรม ช่องว่างและตัวเลขเหล่านี้จะปรากฏเป็น รูปแบบที่เป็นไปได้ความเป็นจริง ดังนั้นสิ่งเหล่านี้จึงไม่ใช่สิ่งก่อสร้างที่คาดเดาอย่างหมดจด แต่ท้ายที่สุดควรทำหน้าที่เป็นเครื่องมือในการวิจัยและอธิบายข้อเท็จจริงที่แท้จริง Lobachevsky สร้าง G. ของเขาพิจารณาแล้ว ทฤษฎีที่เป็นไปได้ความสัมพันธ์เชิงพื้นที่ และเช่นเดียวกับที่เรขาคณิตของเขาได้รับการพิสูจน์ในแง่ของความสอดคล้องทางตรรกะและการนำไปใช้กับปรากฏการณ์ทางธรรมชาติ ดังนั้นทฤษฎีเรขาคณิตเชิงนามธรรมใดๆ ก็ผ่านการทดสอบสองครั้งเช่นเดียวกัน เพื่อตรวจสอบความสอดคล้องทางตรรกะ วิธีการก่อสร้างเป็นสิ่งจำเป็น แบบจำลองทางคณิตศาสตร์พื้นที่ใหม่ อย่างไรก็ตาม มีเพียงแนวคิดเชิงนามธรรมเท่านั้นที่ได้รับการพิสูจน์ทั้งจากการสร้างแบบจำลองเทียมและการประยุกต์ หากไม่ได้อยู่ในวิทยาศาสตร์ธรรมชาติและเทคโนโลยีโดยตรง อย่างน้อยก็ในทฤษฎีทางคณิตศาสตร์อื่น ๆ ซึ่งแนวคิดเหล่านี้เชื่อมโยงกับความเป็นจริงในที่สุด หยั่งรากในวิทยาศาสตร์ ความสะดวกที่นักคณิตศาสตร์และนักฟิสิกส์ดำเนินการกับ "ช่องว่าง" ที่แตกต่างกันได้รับความสำเร็จอันเป็นผลมาจากการพัฒนารูปทรงเรขาคณิตมาอย่างยาวนานโดยเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับการพัฒนาคณิตศาสตร์โดยทั่วไปและอื่น ๆ วิทยาศาสตร์ที่แน่นอน. เป็นผลมาจากการพัฒนานี้อย่างแม่นยำว่าด้านที่สองของแรงโน้มถ่วงซึ่งระบุไว้ในคำจำกัดความทั่วไปที่ให้ไว้ในตอนต้นของบทความเป็นรูปเป็นร่างและได้รับความสำคัญอย่างยิ่ง: การรวมแรงโน้มถ่วงของการศึกษารูปแบบและความสัมพันธ์ที่คล้ายคลึงกัน ต่อรูปแบบและความสัมพันธ์ในพื้นที่ธรรมดา

ดังตัวอย่างทฤษฎีเรขาคณิตเชิงนามธรรม เราสามารถพิจารณา G. น-มิติปริภูมิแบบยุคลิด มันถูกสร้างขึ้นโดยการสรุปทั่วไปอย่างง่าย ๆ ของข้อกำหนดหลักของเรขาคณิตธรรมดา และมีความเป็นไปได้หลายประการสำหรับสิ่งนี้: เราสามารถยกตัวอย่างสัจพจน์ของเรขาคณิตธรรมดาทั่วไป แต่สามารถดำเนินการต่อจากการระบุจุดตามพิกัด ด้วยแนวทางที่สอง นปริภูมิมิติถูกกำหนดให้เป็นชุดของจุดองค์ประกอบที่กำหนดโดย (แต่ละ) นตัวเลข x 1, x2,…, xn, อยู่ในลำดับที่แน่นอน - พิกัดของจุด นอกจากนี้ระยะห่างระหว่างจุด X \u003d (x 1, x 2, ..., xn)และ X"= (x’ 1, x’ 2,…, x’ n)ถูกกำหนดโดยสูตร:

ซึ่งเป็นการสรุปโดยตรงของสูตรที่รู้จักกันดีสำหรับระยะทางในปริภูมิสามมิติ การเคลื่อนไหวถูกกำหนดให้เป็นการแปลงร่างที่ไม่เปลี่ยนระยะห่างระหว่างจุด แล้วเรื่อง นเรขาคณิตมิติหมายถึงการศึกษาคุณสมบัติของตัวเลขที่ไม่เปลี่ยนแปลงระหว่างการเคลื่อนไหว บนพื้นฐานนี้ แนวคิดของเส้นตรงของระนาบจะถูกนำมาใช้อย่างง่ายดาย จำนวนที่แตกต่างกันวัดจากสองถึง น-1, เกี่ยวกับลูกบอล ฯลฯ ที่. ทฤษฎีที่อุดมไปด้วยเนื้อหากำลังเกิดขึ้น ในหลาย ๆ ด้านคล้ายกับเรขาคณิตแบบยุคลิดทั่วไป แต่ในหลาย ๆ ด้านก็แตกต่างจากทฤษฎีนี้เช่นกัน บ่อยครั้งที่ผลลัพธ์ที่ได้รับสำหรับพื้นที่สามมิติสามารถถ่ายโอนไปยังช่องว่างของมิติจำนวนเท่าใดก็ได้โดยมีการเปลี่ยนแปลงที่เหมาะสม ตัวอย่างเช่น ทฤษฎีบทที่ว่าในบรรดาเนื้อหาทั้งหมดที่มีปริมาตรเท่ากัน พื้นที่ที่เล็กที่สุดพื้นผิวมีลูกบอลจะอ่านแบบคำต่อคำในลักษณะเดียวกันในช่องว่างของมิติจำนวนเท่าใดก็ได้ [คุณเพียงแค่ต้องจำไว้ นปริมาณมิติ ( น-1)พื้นที่มิติและ น-ลูกบอลมิติ ซึ่งถูกกำหนดให้ค่อนข้างคล้ายกับแนวคิดที่สอดคล้องกันของแรงโน้มถ่วงธรรมดา] ถัดไปใน น-มิติปริซึมปริซึมปริซึม มีค่าเท่ากับสินค้าพื้นที่ฐานตามความสูงและปริมาตรของปิรามิด - ผลิตภัณฑ์ดังกล่าวหารด้วย น. ตัวอย่างดังกล่าวสามารถดำเนินการต่อไปได้ ในทางกลับกัน ข้อเท็จจริงใหม่ในเชิงคุณภาพยังพบได้ในช่องว่างหลายมิติอีกด้วย

การตีความทางเรขาคณิต. ทฤษฎีทางเรขาคณิตเดียวกันทำให้สามารถประยุกต์ใช้ได้แตกต่างกัน ตีความได้ต่างกัน (การรับรู้ แบบจำลอง หรือการตีความ) การประยุกต์ใช้ทฤษฎีใด ๆ เป็นเพียงการตระหนักถึงข้อสรุปบางประการในสาขาปรากฏการณ์ที่สอดคล้องกัน

ความเป็นไปได้ของการใช้งานที่แตกต่างกันเป็นคุณสมบัติทั่วไปของทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ใดๆ ดังนั้น ความสัมพันธ์ทางเลขคณิตจึงเกิดขึ้นได้กับชุดวัตถุที่หลากหลายที่สุด สมการเดียวกันมักจะอธิบายปรากฏการณ์ที่แตกต่างกันโดยสิ้นเชิง คณิตศาสตร์พิจารณาเฉพาะรูปแบบของปรากฏการณ์ โดยสรุปจากเนื้อหา และจากมุมมองของรูปแบบ ปรากฏการณ์ต่างๆ เชิงคุณภาพที่ต่างกันมักกลายเป็นสิ่งที่คล้ายคลึงกัน การประยุกต์ใช้คณิตศาสตร์ที่หลากหลายและโดยเฉพาะอย่างยิ่งรูปทรงเรขาคณิตทำให้มั่นใจได้อย่างแม่นยำด้วยลักษณะที่เป็นนามธรรม เป็นที่เชื่อกันว่าระบบของวัตถุ (เขตข้อมูลของปรากฏการณ์) ทำให้เกิดทฤษฎีหากสามารถอธิบายความสัมพันธ์ในสาขาของวัตถุนี้ในภาษาของทฤษฎีในลักษณะที่แต่ละข้อความของทฤษฎีแสดงออกอย่างใดอย่างหนึ่ง หรือข้อเท็จจริงอื่นที่เกิดขึ้นในพื้นที่พิจารณา โดยเฉพาะอย่างยิ่งหากทฤษฎีถูกสร้างขึ้นบนพื้นฐานของระบบสัจพจน์บางระบบการตีความทฤษฎีนี้จะประกอบด้วยการเปรียบเทียบแนวคิดกับวัตถุบางอย่างและความสัมพันธ์ของพวกเขาซึ่งสัจพจน์เป็นที่พอใจสำหรับวัตถุเหล่านี้

Euclidean G. สะท้อนข้อเท็จจริงของความเป็นจริง การตีความตามปกติซึ่งถือว่าด้ายยืดเป็นเส้นตรง การเคลื่อนไหวเชิงกล ฯลฯ นำหน้าแรงโน้มถ่วงเป็นทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ คำถามเกี่ยวกับการตีความอื่น ๆ นั้นไม่มีและไม่สามารถหยิบยกขึ้นมาได้จนกว่าจะมีความเข้าใจเชิงนามธรรมเกี่ยวกับเรขาคณิตมากขึ้น Lobachevsky สร้างรูปทรงเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิดให้เป็นรูปทรงเรขาคณิตที่เป็นไปได้ และจากนั้นคำถามก็เกิดขึ้นเกี่ยวกับการตีความที่แท้จริงของมัน ปัญหานี้ได้รับการแก้ไขในปี 1868 โดย E. Beltrami ซึ่งสังเกตว่ารูปทรงเรขาคณิตของ Lobachevsky นั้นสอดคล้องกับรูปทรงเรขาคณิตภายในของพื้นผิวของค่าคงที่ ความโค้งเชิงลบนั่นคือทฤษฎีบทเรขาคณิตของ Lobachevsky อธิบายข้อเท็จจริงทางเรขาคณิตบนพื้นผิวดังกล่าว (ในกรณีนี้บทบาทของเส้นตรงเล่นโดยเส้นเนื้อที่และบทบาทของการเคลื่อนไหวจะเล่นโดยการดัดพื้นผิวเข้าหาตัวมันเอง) เนื่องจากในเวลาเดียวกันพื้นผิวดังกล่าวเป็นวัตถุของเรขาคณิตแบบยุคลิด ปรากฎว่ารูปทรงเรขาคณิตของ Lobachevsky ถูกตีความในแง่ของรูปทรงเรขาคณิตของยุคลิด ดังนั้นความสอดคล้องของเรขาคณิต Lobachevsky จึงได้รับการพิสูจน์ตั้งแต่นั้นมา ความขัดแย้งในนั้นโดยอาศัยการตีความนี้จะนำมาซึ่งความขัดแย้งในเรขาคณิตของยุคลิด

ดังนั้นจึงมีการชี้แจงความหมายสองประการของการตีความทฤษฎีทางเรขาคณิต - ทางกายภาพและทางคณิตศาสตร์ หากเรากำลังพูดถึงการตีความวัตถุเฉพาะ เราก็จะได้รับการพิสูจน์เชิงทดลองเกี่ยวกับความจริงของทฤษฎี (แน่นอน ด้วยความแม่นยำที่เหมาะสม) หากวัตถุนั้นมีลักษณะเป็นนามธรรม (เช่นพื้นผิวเรขาคณิตภายในกรอบของเรขาคณิตของยุคลิด) ทฤษฎีนั้นเกี่ยวข้องกับทฤษฎีทางคณิตศาสตร์อื่นในกรณีนี้กับเรขาคณิตแบบยุคลิดและผ่านข้อมูลการทดลองที่สรุปไว้ในนั้น การตีความทฤษฎีทางคณิตศาสตร์หนึ่งโดยวิธีการของอีกทฤษฎีหนึ่งเช่นนี้กลายเป็นวิธีการทางคณิตศาสตร์ในการพิสูจน์ทฤษฎีใหม่ ซึ่งเป็นวิธีการพิสูจน์ความสอดคล้องกัน เนื่องจากความขัดแย้งในทฤษฎีใหม่จะก่อให้เกิดความขัดแย้งในทฤษฎีที่ตีความ แต่ทฤษฎีที่ใช้ตีความจำเป็นต้องได้รับการพิสูจน์ ดังนั้น วิธีการทางคณิตศาสตร์ที่ระบุไม่ได้ลบความจริงที่ว่าเกณฑ์สุดท้ายของความจริงสำหรับ ทฤษฎีทางคณิตศาสตร์การปฏิบัติยังคงอยู่ ในปัจจุบัน ทฤษฎีทางเรขาคณิตมักถูกตีความในเชิงวิเคราะห์เป็นส่วนใหญ่ ตัวอย่างเช่น จุดบนระนาบ Lobachevsky สามารถเชื่อมโยงกับคู่ของตัวเลขได้ เอ็กซ์และ ที่, เส้นตรง - กำหนดโดยสมการ ฯลฯ เทคนิคนี้ให้เหตุผลสำหรับทฤษฎีเพราะมัน การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ในที่สุดก็ได้รับการพิสูจน์โดยการปฏิบัติอย่างกว้างขวางของการประยุกต์ใช้

รูปทรงเรขาคณิตสมัยใหม่. คำจำกัดความทางคณิตศาสตร์ที่เป็นทางการของแนวคิดเกี่ยวกับพื้นที่และตัวเลขที่ยอมรับในคณิตศาสตร์สมัยใหม่นั้นมาจากแนวคิดของเซต (ดูทฤษฎีเซต) อวกาศถูกกำหนดให้เป็นชุดขององค์ประกอบใด ๆ ("จุด") โดยมีเงื่อนไขว่าในชุดนี้จะมีการสร้างความสัมพันธ์บางอย่างที่คล้ายคลึงกับความสัมพันธ์เชิงพื้นที่ทั่วไป ชุดของสี ชุดของสถานะของระบบทางกายภาพ ชุดของฟังก์ชันต่อเนื่องที่กำหนดไว้ในส่วน และอื่น ๆ สร้างช่องว่างที่จุดจะเป็นสี สถานะ ฟังก์ชัน แม่นยำยิ่งขึ้น ชุดเหล่านี้ถูกเข้าใจว่าเป็นช่องว่างหากมีเพียงความสัมพันธ์ที่สอดคล้องกันเท่านั้นที่ได้รับการแก้ไข เช่น ระยะห่างระหว่างจุด และคุณสมบัติและความสัมพันธ์เหล่านั้นที่กำหนดผ่านชุดเหล่านี้ ดังนั้นจึงสามารถกำหนดระยะห่างระหว่างฟังก์ชันได้สูงสุด ค่าสัมบูรณ์ความแตกต่าง: สูงสุด| ฉ(x)-ก(x)| . ตัวเลขถูกกำหนดให้เป็นชุดของจุดโดยพลการในพื้นที่ที่กำหนด (บางครั้งพื้นที่เป็นระบบของชุดองค์ประกอบ ตัวอย่างเช่น ในเรขาคณิตเชิงโครง เป็นธรรมเนียมที่จะต้องพิจารณาจุด เส้น และระนาบเป็นวัตถุทางเรขาคณิตเริ่มต้นที่เท่ากันซึ่งเชื่อมต่อกันด้วยความสัมพันธ์ "ความเชื่อมโยง")

ความสัมพันธ์ประเภทหลักที่นำไปสู่ ​​"ช่องว่าง" ที่หลากหลายของรูปทรงเรขาคณิตสมัยใหม่มีดังต่อไปนี้:

1) ความสัมพันธ์ทั่วไปที่มีอยู่ในชุดใด ๆ เป็นสมาชิกและการรวมเข้าด้วยกัน: จุดหนึ่งเป็นของชุดหนึ่งและชุดหนึ่งเป็นส่วนหนึ่งของอีกชุดหนึ่ง หากพิจารณาเฉพาะความสัมพันธ์เหล่านี้ แสดงว่ายังไม่มีการกำหนด "เรขาคณิต" ในชุด จึงไม่กลายเป็นพื้นที่ อย่างไรก็ตามหากมีการเลือกตัวเลขพิเศษ (ชุดของจุด) "เรขาคณิต" ของพื้นที่สามารถกำหนดได้โดยกฎการเชื่อมต่อของจุดกับตัวเลขเหล่านี้ บทบาทดังกล่าวแสดงโดยสัจพจน์ผสมในเรขาคณิตพื้นฐาน เลียนแบบ และฉายภาพ; เส้นและระนาบที่นี่ทำหน้าที่เป็นชุดพิเศษ

หลักการเดียวกันในการเลือกชุดพิเศษบางชุดช่วยให้เราสามารถกำหนดแนวคิดของพื้นที่ทอพอโลยี - ช่องว่างที่ "พื้นที่ใกล้เคียง" ของจุดมีความโดดเด่นเป็นชุดพิเศษ (โดยมีเงื่อนไขว่าจุดนั้นเป็นของพื้นที่ใกล้เคียงและแต่ละจุดมีอย่างน้อย หนึ่งย่าน การกำหนดข้อกำหนดเพิ่มเติมในละแวกใกล้เคียงจะเป็นตัวกำหนดช่องว่างทอพอโลยีประเภทหนึ่งหรือประเภทอื่น) หากย่านใดของจุดที่กำหนดมีจุดร่วมกับเซตบางเซต ก็จะเรียกจุดดังกล่าวว่าจุดสัมผัสของเซตนี้ สามารถเรียกสองชุดได้ว่าการสัมผัสหากอย่างน้อยหนึ่งชุดมีจุดสัมผัสของอีกชุดหนึ่ง ช่องว่างหรือตัวเลขจะต่อเนื่องหรือเชื่อมต่อกันหากไม่สามารถแบ่งออกเป็นสองส่วนที่ไม่ติดกันได้ การเปลี่ยนแปลงจะดำเนินต่อไปหากไม่ขาดการติดต่อ ดังนั้น แนวคิดของทอพอโลยีสเปซจึงเป็นนิพจน์ทางคณิตศาสตร์สำหรับแนวคิดเรื่องความต่อเนื่อง [โทโพโลยีสเปซยังสามารถกำหนดโดยชุดพิเศษอื่นๆ (ปิด, เปิด) หรือโดยตรงโดยความสัมพันธ์แทนเจนซี ซึ่งชุดของจุดใดๆ เชื่อมโยงกับจุดสัมผัสของมัน] ทอพอโลยีสเปซเช่นนี้กำหนดในพวกมันและการแปลง เป็นเรื่องของโทโพโลยี เรื่องของรูปทรงเรขาคณิตที่เหมาะสม (ในระดับใหญ่) คือการศึกษาเกี่ยวกับช่องว่างและตัวเลขในทอพอโลยีซึ่งมีคุณสมบัติเพิ่มเติม

2) หลักการที่สำคัญที่สุดอันดับสองสำหรับการกำหนดช่องว่างและการศึกษาคือการแนะนำพิกัด นานาคือพื้นที่ทอพอโลยี (เชื่อมต่อกัน) ในละแวกใกล้เคียงของแต่ละจุด ซึ่งเราสามารถแนะนำพิกัดได้โดยการใส่จุดของพื้นที่ใกล้เคียงในการติดต่อแบบหนึ่งต่อหนึ่งและต่อเนื่องร่วมกันกับระบบจาก น จำนวนจริง x 1 , x 2 ,(, xn. ตัวเลข นคือจำนวนขนาดของท่อร่วม ช่องว่างที่ศึกษาในทฤษฎีทางเรขาคณิตส่วนใหญ่เป็นแบบต่างๆ รูปทรงเรขาคณิตที่ง่ายที่สุด (ส่วน ส่วนต่าง ๆ ของพื้นผิวที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้ง ฯลฯ) มักจะเป็นชิ้นส่วนต่าง ๆ หากในบรรดาระบบพิกัดทั้งหมดที่สามารถนำเสนอในส่วนต่าง ๆ ของท่อร่วม มีระบบพิกัดในลักษณะที่พิกัดบางส่วนแสดงในรูปของพิกัดอื่น ๆ โดยดิฟเฟอเรนติเอต (หนึ่งหรือหลาย ๆ ครั้ง) หรือฟังก์ชันการวิเคราะห์ จากนั้นเรา ได้รับสิ่งที่เรียกว่า หลากหลาย (วิเคราะห์) ที่ราบรื่น แนวคิดนี้เป็นภาพรวมของการแสดงภาพพื้นผิวเรียบ ท่อร่วมที่ราบรื่นเช่นนี้เป็นเรื่องของสิ่งที่เรียกว่า โทโพโลยีเชิงอนุพันธ์ ใน G. เหมาะสม มีคุณสมบัติเพิ่มเติม การประสานงานกับเงื่อนไขที่ยอมรับได้ของความแตกต่างของการแปลงทำให้มีเหตุผลสำหรับการใช้งานที่กว้างขวาง วิธีการวิเคราะห์- แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และอินทิกรัล ตลอดจนการวิเคราะห์เวกเตอร์และเทนเซอร์ (ดูแคลคูลัสเวกเตอร์ แคลคูลัสเทนเซอร์) จำนวนทั้งสิ้นของทฤษฎีธรณีวิทยาที่พัฒนาขึ้นโดยวิธีการเหล่านี้ก่อตัวเป็นภูมิศาสตร์เชิงอนุพันธ์ทั่วไป กรณีที่ง่ายที่สุดคือ ทฤษฎีคลาสสิกเส้นโค้งและพื้นผิวที่ราบเรียบ ซึ่งไม่มีอะไรมากไปกว่าหนึ่งและสองมิติที่หาอนุพันธ์ได้

3) แนวคิดทั่วไปของแนวคิดเรื่องการเคลื่อนที่เป็นการเปลี่ยนแปลงของตัวเลขหนึ่งไปสู่อีกรูปแบบหนึ่งนำไปสู่หลักการทั่วไปสำหรับการกำหนดช่องว่างที่แตกต่างกัน เมื่อถือว่าช่องว่างเป็นชุดขององค์ประกอบ (จุด) ซึ่งกลุ่มของหนึ่งต่อ การแปลงของเซตนี้เข้าสู่ตัวมันเองหนึ่งครั้ง "เรขาคณิต" ของพื้นที่ดังกล่าวประกอบด้วยการศึกษาคุณสมบัติของตัวเลขที่ได้รับการเก็บรักษาไว้ภายใต้การแปลงจากกลุ่มนี้ ดังนั้นจากมุมมองของรูปทรงเรขาคณิตดังกล่าว ตัวเลขจึงถือว่า "เท่ากัน" ได้หากผ่านเข้าไปในอีกกลุ่มหนึ่งผ่านการแปลงจากกลุ่มที่กำหนด ตัวอย่างเช่น เรขาคณิตแบบยุคลิดศึกษาคุณสมบัติของตัวเลขที่คงไว้ภายใต้การเคลื่อนไหว เรขาคณิตเลียนแบบศึกษาคุณสมบัติของตัวเลขที่คงไว้ภายใต้การแปลงเปรียบเทียบ และโทโพโลยีศึกษาคุณสมบัติของตัวเลขที่คงไว้ภายใต้การแปลงแบบหนึ่งต่อหนึ่งและต่อเนื่อง . รูปแบบเดียวกันรวมถึงรูปทรงเรขาคณิตของ Lobachevsky รูปทรงเรขาคณิตเชิงโครงและอื่น ๆ ในความเป็นจริงหลักการนี้รวมกับการแนะนำของพิกัด ช่องว่างถูกกำหนดให้เป็นความหลากหลายที่ราบรื่นซึ่งการแปลงถูกกำหนดโดยฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องกับพิกัดของแต่ละจุดที่กำหนดและจุดที่มันผ่านไป (พิกัดของรูปภาพของจุดถูกกำหนดให้เป็นฟังก์ชันของพิกัดของจุดเองและ พารามิเตอร์ที่ขึ้นอยู่กับการแปลง ตัวอย่างเช่น การแปลงเลียนแบบถูกกำหนดเป็นแบบเชิงเส้น: x" i = a i1 x 1 + a i2 x 2 +…+ a in x n , i = 1, …, n). ดังนั้นเครื่องมือทั่วไปสำหรับการพัฒนา "รูปทรงเรขาคณิต" ดังกล่าวคือทฤษฎีของกลุ่มการเปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่อง มุมมองอื่นที่เทียบเท่าโดยพื้นฐานแล้วเป็นไปได้โดยไม่ได้ระบุการแปลงพื้นที่ แต่แปลงพิกัดในนั้นและศึกษาคุณสมบัติของตัวเลขที่แสดงอย่างเท่าเทียมกันในระบบพิกัดที่แตกต่างกัน มุมมองนี้พบการประยุกต์ใช้ในทฤษฎีสัมพัทธภาพ ซึ่งต้องการการแสดงออกที่เหมือนกันของกฎทางฟิสิกส์ในระบบพิกัดที่แตกต่างกัน ซึ่งเรียกว่ากรอบอ้างอิงในฟิสิกส์

4) หลักการทั่วไปอีกประการหนึ่งสำหรับคำจำกัดความของช่องว่าง ซึ่งระบุไว้ในปี ค.ศ. 1854 โดยรีมันน์ ได้มาจากการสรุปแนวคิดเรื่องระยะทางโดยทั่วไป อ้างอิงจากสรีมันน์ พื้นที่เป็นส่วนที่ราบเรียบซึ่งกฎของการวัดระยะทาง หรือความยาว แม่นยำยิ่งขึ้น ถูกกำหนดไว้ในขั้นตอนเล็ก ๆ น้อย ๆ กล่าวคือ ความแตกต่างของความยาวของส่วนโค้งของเส้นโค้งถูกกำหนดให้เป็นฟังก์ชันของพิกัดของ จุดของเส้นโค้งและความแตกต่าง นี่เป็นลักษณะทั่วไปของเรขาคณิตภายในของพื้นผิว ซึ่งกำหนดโดย Gauss ว่าเป็นการศึกษาคุณสมบัติของพื้นผิว ซึ่งสามารถกำหนดได้โดยการวัดความยาวของเส้นโค้งบนนั้น กรณีที่ง่ายที่สุดเป็นตัวแทนของสิ่งที่เรียกว่า ปริภูมิรีมานเนียนซึ่งทฤษฎีบทพีทาโกรัสจัดอยู่ในขนาดที่เล็กไม่สิ้นสุด (กล่าวคือ ในพื้นที่ใกล้เคียงของแต่ละจุด เราสามารถแนะนำพิกัดเพื่อให้ ณ จุดนี้ ค่ากำลังสองของส่วนต่างของความยาวส่วนโค้งเท่ากับ เท่ากับผลรวมความแตกต่างของพิกัดกำลังสอง; ในพิกัดโดยพลการ มันแสดงโดยรูปแบบกำลังสองเชิงบวกทั่วไป ดูรูปทรงรีมันเนียน (ดูรูปทรงรีมันเนียน)) ดังนั้น พื้นที่ดังกล่าวจึงเป็นแบบยุคลิดในขอบเขตที่เล็กที่สุด แต่โดยทั่วไปแล้ว มันอาจไม่ใช่แบบยุคลิด เช่นเดียวกับพื้นผิวโค้งที่สามารถย่อลงเป็นระนาบในขอบเขตที่เล็กที่สุดด้วยความแม่นยำที่เหมาะสมเท่านั้น รูปทรงเรขาคณิตของ Euclid และ Lobachevsky กลายเป็นกรณีพิเศษของ Riemannian G. การวางแนวกว้างที่สุดของแนวคิดเรื่องระยะทางนำไปสู่แนวคิดของสเปซเมตริกทั่วไป เช่น ชุดขององค์ประกอบที่ให้ "เมตริก" นั่นคือ แต่ละคู่ขององค์ประกอบถูกกำหนดเป็นตัวเลข - ระยะห่างระหว่างพวกเขา รองลงมาเท่านั้น เงื่อนไขทั่วไป. แนวคิดนี้มีบทบาทสำคัญในการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันและสนับสนุนทฤษฎีทางเรขาคณิตใหม่ล่าสุดบางทฤษฎี เช่น ขอบเขตที่แท้จริงของพื้นผิวที่ไม่ราบเรียบ และลักษณะทั่วไปที่สอดคล้องกันของขอบเขตรีมานเนียน

5) การรวมกันของแนวคิดของ Riemann เกี่ยวกับคำจำกัดความของ "เรขาคณิต" ในพื้นที่เล็ก ๆ มากมายที่มีคำจำกัดความของ "เรขาคณิต" โดยกลุ่มของการเปลี่ยนแปลงที่นำไปสู่ ​​(E. Cartan, 1922-25) ไปสู่แนวคิดของ พื้นที่ที่ให้การแปลงเฉพาะในพื้นที่เล็ก ๆ มากมาย กล่าวอีกนัยหนึ่ง ในที่นี้ การแปลงสร้างการเชื่อมต่อระหว่างชิ้นส่วนที่ปิดไม่สิ้นสุดของท่อร่วมหลายชิ้นเท่านั้น: ชิ้นส่วนหนึ่งถูกเปลี่ยนเป็นอีกชิ้นหนึ่ง ซึ่งแนบสนิทกันไม่สิ้นสุด ดังนั้นจึงมีการพูดถึงช่องว่างด้วย "การเชื่อมต่อ" ประเภทใดประเภทหนึ่ง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ช่องว่างที่มี "การเชื่อมต่อแบบยุคลิด" คือ Riemannian การสรุปทั่วไปเพิ่มเติมย้อนกลับไปที่แนวคิดของอวกาศในฐานะความหลากหลายที่ราบรื่นซึ่งโดยทั่วไปจะให้ "ฟิลด์" ของ "วัตถุ" บางอย่าง ซึ่งสามารถเป็นรูปแบบกำลังสองได้ เช่นเดียวกับในเรขาคณิตรีมันน์ ซึ่งเป็นชุดของปริมาณที่กำหนดการเชื่อมต่อ หนึ่งหรืออีกเทนเซอร์ ฯลฯ ซึ่งรวมถึงสิ่งที่เรียกว่าที่เพิ่งเปิดตัว ช่องว่างชั้น โดยเฉพาะอย่างยิ่ง แนวคิดเหล่านี้รวมถึงการทำให้เป็นลักษณะทั่วไปของเรขาคณิตรีมานเนียนที่เกี่ยวข้องกับทฤษฎีสัมพัทธภาพ เมื่อพิจารณาช่องว่างโดยที่เมตริกไม่ได้รับค่าบวกอีกต่อไป แต่ใช้รูปแบบกำลังสองที่สลับเครื่องหมายแทน (ช่องว่างดังกล่าวเรียกอีกอย่างว่ารีมันเนียน หรือ รีมันเนียน ปลอม หากพวกเขาต้องการแยกความแตกต่างจาก รีมันเนียน ในความหมายดั้งเดิม) ช่องว่างเหล่านี้เป็นช่องว่างที่มีการเชื่อมต่อซึ่งกำหนดโดยกลุ่มที่เกี่ยวข้อง ซึ่งแตกต่างจากกลุ่มของการเคลื่อนที่แบบยุคลิด

บนพื้นฐานของทฤษฏีสัมพัทธภาพ ทฤษฎีปริภูมิได้ถือกำเนิดขึ้นโดยกำหนดแนวคิดของการต่อเนื่องกันของจุดต่างๆ เพื่อให้แต่ละจุด เอ็กซ์ชุดคำตอบ วี(เอ็กซ์)จุดตามนั้น (นี่เป็นลักษณะทั่วไปทางคณิตศาสตร์ตามธรรมชาติของลำดับเหตุการณ์ ซึ่งกำหนดโดยข้อเท็จจริงที่ว่าเหตุการณ์นั้น วายติดตามเหตุการณ์ x,ถ้า เอ็กซ์ส่งผลกระทบต่อ วายแล้ว วายดังนี้ เอ็กซ์ในกรอบอ้างอิงใด ๆ ก็ตาม) ตั้งแต่การกำหนดเซต วีกำหนดจุดต่อไปนี้ x,เป็นของชุด วี(เอ็กซ์)จากนั้นคำจำกัดความของช่องว่างประเภทนี้กลายเป็นการประยุกต์ใช้หลักการข้อแรกที่ระบุไว้ข้างต้นเมื่อ "เรขาคณิต" ของช่องว่างถูกกำหนดโดยการเลือกชุดพิเศษ แน่นอนว่าในขณะที่หลายๆ วีจะต้องอยู่ภายใต้เงื่อนไขที่เกี่ยวข้อง ในกรณีที่ง่ายที่สุดคือกรวยนูน ทฤษฎีนี้รวมถึงทฤษฎีของช่องว่างหลอก-Riemannian ที่สอดคล้องกัน

6) วิธีการจริงในนั้น รูปแบบที่บริสุทธิ์ตอนนี้ทำหน้าที่ในการกำหนดทฤษฎีสำเร็จรูปหรือเพื่อตรวจสอบ ประเภททั่วไปพื้นที่ที่มีชุดพิเศษที่โดดเด่น หากช่องว่างเฉพาะประเภทหนึ่งหรืออีกประเภทหนึ่งถูกกำหนดโดยการกำหนดคุณสมบัติเป็นสัจพจน์ จะใช้พิกัดหรือเมตริกอย่างใดอย่างหนึ่ง เป็นต้น ความสอดคล้องและความหมายของทฤษฎีเชิงสัจพจน์จะถูกตรวจสอบโดยการระบุแบบจำลองที่นำไปใช้ เช่นเดียวกับที่ทำครั้งแรกสำหรับเรขาคณิต Lobachevsky แบบจำลองนั้นสร้างขึ้นจากนามธรรม วัตถุทางคณิตศาสตร์ดังนั้น "การให้เหตุผลขั้นสุดท้าย" ของทฤษฎีทางเรขาคณิตใด ๆ จึงเข้าสู่ขอบเขตของรากฐานของคณิตศาสตร์โดยทั่วไป ซึ่งไม่สามารถเป็นขั้นสุดท้ายในความหมายที่สมบูรณ์ได้ แต่ต้องการการลงลึก (ดู คณิตศาสตร์ วิธีเชิงสัจพจน์)

หลักการเหล่านี้ในการผสมผสานและการแปรผันต่างๆ ก่อให้เกิดทฤษฎีทางเรขาคณิตที่หลากหลาย ความสำคัญของแต่ละปัญหาและระดับความสนใจต่อปัญหานั้นถูกกำหนดโดยเนื้อหาของปัญหาเหล่านี้และผลลัพธ์ที่ได้รับ ความเชื่อมโยงกับทฤษฎีเรขาคณิตอื่น ๆ กับสาขาอื่น ๆ ของคณิตศาสตร์ กับวิทยาศาสตร์ธรรมชาติที่แน่นอน และกับปัญหา ของเทคโนโลยี ทฤษฎีทางเรขาคณิตที่กำหนดให้แต่ละทฤษฎีถูกกำหนดขึ้นท่ามกลางทฤษฎีทางเรขาคณิตอื่นๆ ประการแรก โดยพิจารณาจากปริภูมิใดหรือปริภูมิประเภทใด ประการที่สอง คำจำกัดความของทฤษฎีรวมถึงการบ่งชี้ตัวเลขที่กำลังศึกษา นี่คือความแตกต่างของทฤษฎีโพลีเฮดรา เส้นโค้ง พื้นผิว วัตถุนูน ฯลฯ แต่ละทฤษฎีเหล่านี้สามารถพัฒนาในพื้นที่เฉพาะได้ ตัวอย่างเช่น เราสามารถพิจารณาทฤษฎีของรูปทรงหลายเหลี่ยมในปริภูมิแบบยุคลิดตามปกติใน น-มิติอวกาศยุคลิดในอวกาศ Lobachevsky ฯลฯ เป็นไปได้ที่จะพัฒนาทฤษฎีปกติของพื้นผิว, การฉายภาพ, ในอวกาศ Lobachevsky ฯลฯ ประการที่สาม ลักษณะของคุณสมบัติการพิจารณาของตัวเลขมีความสำคัญ ดังนั้น เราสามารถศึกษาคุณสมบัติของพื้นผิวที่ถูกเก็บรักษาไว้ภายใต้การเปลี่ยนแปลงบางอย่าง เราสามารถแยกความแตกต่างระหว่างหลักคำสอนเรื่องความโค้งของพื้นผิว หลักคำสอนเรื่องการโค้งงอ (เช่น การเสียรูปที่ไม่เปลี่ยนความยาวของส่วนโค้งบนพื้นผิว) และหลักคำสอนภายใน G ในที่สุด ในคำจำกัดความของทฤษฎี เราสามารถรวมทฤษฎีนี้ไว้ด้วย วิธีการพื้นฐานและลักษณะของการกำหนดปัญหา G. มีความโดดเด่นด้วยวิธีนี้: เบื้องต้น, เชิงวิเคราะห์, เชิงอนุพันธ์; ตัวอย่างเช่น เราสามารถพูดถึงเรขาคณิตเบื้องต้นหรือเชิงวิเคราะห์ของปริภูมิโลบาชอฟสกีได้ G. มีความโดดเด่น "ในขนาดเล็ก" ซึ่งพิจารณาเฉพาะคุณสมบัติของภาพเรขาคณิตชิ้นเล็ก ๆ ตามอำเภอใจ (เส้นโค้ง, พื้นผิว, หลากหลาย) จาก G. "โดยรวม" ซึ่งตามที่ชัดเจนจากชื่อของมัน เรขาคณิต ภาพโดยรวมตลอดความยาวทั้งหมด ความแตกต่างโดยทั่วไปเกิดขึ้นระหว่างวิธีการวิเคราะห์และวิธีการเรขาคณิตสังเคราะห์ (หรือวิธีการทางเรขาคณิตอย่างเคร่งครัด) อดีตใช้วิธีการของแคลคูลัสที่สอดคล้องกัน: ดิฟเฟอเรนเชียล, เทนเซอร์, ฯลฯ ส่วนหลังทำงานโดยตรงกับภาพเรขาคณิต

ในบรรดาทฤษฎีทางเรขาคณิตที่หลากหลาย แท้จริงแล้วเป็นทฤษฎีที่มีการพัฒนามากที่สุด น-มิติเรขาคณิตแบบยุคลิดและเรขาคณิตแบบรีมันเนียน (รวมถึงแบบหลอก-รีมันเนียน) โดยเฉพาะอย่างยิ่งในอันแรก ทฤษฎีของเส้นโค้งและพื้นผิว (และพื้นผิวเกินของจำนวนมิติต่างๆ) ได้รับการพัฒนา เรียบ ศึกษาในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์แบบคลาสสิก รวมถึงรูปทรงหลายเหลี่ยม (พื้นผิวหลายเหลี่ยม) จากนั้นจำเป็นต้องตั้งชื่อทฤษฎีของเนื้อนูนซึ่งส่วนใหญ่สามารถนำมาประกอบกับทฤษฎีพื้นผิวโดยรวมตั้งแต่นั้นมา ร่างกายถูกกำหนดโดยพื้นผิวของมัน ถัดไปคือทฤษฎีของระบบปกติของตัวเลข กล่าวคือ พวกที่อนุญาตให้มีการเคลื่อนไหวที่โอนทั้งระบบเข้าไปในตัวมันเองและตัวเลขใด ๆ ของมันไปสู่ระบบอื่น ๆ (ดูกลุ่ม Fedorov (ดูกลุ่ม Fedorov)) จะสังเกตได้ว่าเลขนัยสำคัญ ผลลัพธ์ที่สำคัญในพื้นที่เหล่านี้เป็นของนกฮูก geometers: การพัฒนาที่สมบูรณ์มากของทฤษฎีพื้นผิวนูนและการพัฒนาที่สำคัญของทฤษฎีพื้นผิวทั่วไปที่ไม่นูน ทฤษฎีบทต่างๆ บนพื้นผิวโดยทั่วไป (การมีอยู่และเอกลักษณ์ของพื้นผิวนูนด้วยเมตริกที่แท้จริงที่กำหนดหรือด้วย ให้กับสิ่งนั้นหรือ "ฟังก์ชันความโค้ง" อื่น ๆ ทฤษฎีบทเกี่ยวกับความเป็นไปไม่ได้ของการมีอยู่ของพื้นผิวที่สมบูรณ์โดยมีความโค้งน้อยกว่าบางส่วน จำนวนลบฯลฯ) การศึกษาการแบ่งพื้นที่ที่ถูกต้อง ฯลฯ

ในทฤษฎีของปริภูมิรีมานเนียน มีการศึกษาคำถามเกี่ยวกับความเชื่อมโยงของคุณสมบัติเมตริกกับโครงสร้างทอพอโลยี พฤติกรรมของเส้นธรณีภาค (สั้นที่สุดในส่วนเล็กๆ) โดยทั่วไป เช่น คำถามเกี่ยวกับการมีอยู่ของธรณีภาคปิด คำถามของ " การแช่" นั่นคือการตระหนักถึงสิ่งที่กำหนด น-มิติรีมานเนียนสเปซในรูปแบบ น- พื้นผิวมิติในปริภูมิแบบยุคลิดของมิติจำนวนเท่าใดก็ได้ คำถามเกี่ยวกับเรขาคณิตเทียมแบบรีมานเนียนที่เกี่ยวข้องกับทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป และอื่นๆ G.

นอกจากนี้ ควรกล่าวถึงเรขาคณิตเกี่ยวกับพีชคณิต (ดู Algebraic geometry) ซึ่งพัฒนามาจากเรขาคณิตวิเคราะห์และการศึกษาเกี่ยวกับรูปเรขาคณิตที่กำหนดโดยสมการเกี่ยวกับพีชคณิตเป็นหลัก มันครอบครองสถานที่พิเศษเพราะ รวมถึงปัญหาทางเรขาคณิตและพีชคณิตและเลขคณิตด้วย นอกจากนี้ยังมีสาขาการศึกษาที่กว้างขวางและสำคัญเกี่ยวกับปริภูมิอนันต์ซึ่งไม่รวมอยู่ในหมวดหมู่ของความแตกต่าง แต่รวมอยู่ในการวิเคราะห์เชิงหน้าที่เนื่องจาก ปริภูมิไม่จำกัดมิติถูกกำหนดให้เป็นปริภูมิที่มีจุดของฟังก์ชันบางอย่างโดยเฉพาะ อย่างไรก็ตามมีผลลัพธ์และปัญหามากมายในพื้นที่นี้อย่างแท้จริง อักขระทางเรขาคณิตและควรนำมาประกอบกับ G.

ค่าเรขาคณิตการใช้เรขาคณิตแบบยุคลิดเป็นปรากฏการณ์ที่พบบ่อยที่สุดไม่ว่าจะกำหนดพื้นที่ ปริมาตร และอื่นๆ เทคโนโลยีทั้งหมดตราบเท่าที่รูปร่างและขนาดของร่างกายมีบทบาทในเรื่องนี้โดยใช้ภูมิศาสตร์แบบยุคลิด การทำแผนที่ ธรณีศาสตร์ ดาราศาสตร์ วิธีกราฟิก และกลไกทั้งหมดเป็นไปไม่ได้หากไม่มีภูมิศาสตร์ ตัวอย่างที่สำคัญเป็นการค้นพบโดย I. Kepler เกี่ยวกับข้อเท็จจริงของการหมุนของดาวเคราะห์เป็นวงรี เขาสามารถใช้ประโยชน์จากความจริงที่ว่าวงรีได้รับการศึกษาโดย geometers โบราณ Geometryal crystallography เป็นการประยุกต์ใช้อย่างลึกซึ้งของ geometryal crystallography ซึ่งทำหน้าที่เป็นแหล่งที่มาและขอบเขตของการประยุกต์ใช้สำหรับทฤษฎีของระบบปกติของตัวเลข (cf. Crystallography)

ทฤษฎีทางเรขาคณิตที่เป็นนามธรรมมากขึ้นถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในกลศาสตร์และฟิสิกส์ เมื่อเซตของสถานะของระบบถูกพิจารณาว่าเป็นปริภูมิเฉพาะ (ดูหัวข้อ Generalization of the Subject of Geometry) ดังนั้นการกำหนดค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมด (การจัดเรียงองค์ประกอบร่วมกัน) ของระบบกลไกจึงกลายเป็น "พื้นที่การกำหนดค่า" การเคลื่อนที่ของระบบแสดงโดยการเคลื่อนที่ของจุดในพื้นที่นี้ จำนวนรวมของสถานะทั้งหมดของระบบทางกายภาพ (ในกรณีที่ง่ายที่สุด ตำแหน่งและความเร็วของจุดวัสดุที่ก่อตัวเป็นระบบ ตัวอย่างเช่น โมเลกุลของก๊าซ) ถือเป็น "เฟสสเปซ" ของระบบ โดยเฉพาะอย่างยิ่งมุมมองนี้พบว่าการประยุกต์ใช้ในฟิสิกส์สถิติ (ดูฟิสิกส์เชิงสถิติ) เป็นต้น

เป็นครั้งแรกที่แนวคิดของสเปซหลายมิติถือกำเนิดขึ้นโดยเกี่ยวข้องกับกลไก ในยุคแรกเริ่มของ J. Lagrange เมื่อสามสเปซ พิกัด x, y, zเวลาถูกเพิ่มอย่างเป็นทางการเป็นครั้งที่สี่ ที. นี่คือลักษณะที่ "กาล-อวกาศ" สี่มิติปรากฏขึ้น โดยที่จุดหนึ่งถูกกำหนดโดยพิกัดสี่พิกัด x, y, z, t. แต่ละเหตุการณ์มีลักษณะตามพิกัดทั้งสี่นี้ และสรุปแล้วชุดของเหตุการณ์ทั้งหมดในโลกกลายเป็น พื้นที่สี่มิติ. มุมมองนี้ได้รับการพัฒนาในการตีความทางเรขาคณิตของทฤษฎีสัมพัทธภาพที่กำหนดโดย H. Minkowski (ดู Minkowski) และจากการสร้างทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปของ A. Einstein ในนั้น เขาใช้รูปทรงเรขาคณิตสี่มิติ Riemannian (หลอก-Riemannian) ดังนั้น ทฤษฎีทางเรขาคณิตที่พัฒนาขึ้นจากการทำให้เป็นข้อมูลทั่วไปจากประสบการณ์เชิงพื้นที่กลายเป็นวิธีการทางคณิตศาสตร์สำหรับการสร้างทฤษฎีอวกาศและเวลาที่ลึกขึ้น ในทางกลับกัน ทฤษฎีสัมพัทธภาพได้ให้แรงผลักดันอันทรงพลังต่อการพัฒนาทฤษฎีทางเรขาคณิตทั่วไป ภูมิศาสตร์กลับคืนสู่วิทยาศาสตร์ธรรมชาติและการปฏิบัติในระดับที่สูงขึ้นเป็นวิธีการผ่านชุดนามธรรมและลักษณะทั่วไป

จากมุมมองทางเรขาคณิต นานาพื้นที่-เวลามักได้รับการปฏิบัติในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปว่าเป็นประเภทรีมานเนียนที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน แต่ด้วยเมตริกที่กำหนดโดยรูปแบบสลับลดเป็นอนันต์ พื้นที่ขนาดเล็กสู่จิตใจ

dx 2 + dy 2 + dz 2 - ค 2 dt 2

(กับ -ความเร็วแสงในสุญญากาศ) อวกาศเองเนื่องจากสามารถแยกออกจากเวลาได้จึงกลายเป็นรีมานเนียนที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน จากมุมมองทางเรขาคณิตสมัยใหม่ การดูทฤษฎีสัมพัทธภาพด้วยวิธีต่อไปนี้จะดีกว่า ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษอ้างว่าพื้นที่มากมาย - เวลาเป็นพื้นที่เทียมแบบยุคลิด กล่าวคือ หนึ่งที่บทบาทของ "การเคลื่อนไหว" เล่นโดยการแปลงที่รักษารูปแบบกำลังสอง

x 2 + y 2 + z 2 - ค 2 เสื้อ 2

แม่นยำยิ่งขึ้น มันเป็นพื้นที่ที่มีกลุ่มของการแปลงที่รักษารูปแบบกำลังสองที่ระบุ จากสูตรใดแสดง กฎทางกายภาพจำเป็นต้องไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงกลุ่มของสเปซนี้ ซึ่งเรียกว่าการแปลงลอเรนซ์ ตามทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป นานาพื้นที่-เวลาไม่เป็นเนื้อเดียวกัน และเฉพาะในแต่ละพื้นที่ที่ “เล็กไม่สิ้นสุด” เท่านั้นที่ลดขนาดลงเป็นเสมือนแบบยุคลิด นั่นคือ มันเป็นพื้นที่แบบคาร์ตัน (ดูหัวข้อ เรขาคณิตสมัยใหม่) อย่างไรก็ตามความเข้าใจดังกล่าวเป็นไปได้ในภายหลังเพราะ แนวคิดของช่องว่างประเภทนี้ปรากฏขึ้นหลังจากทฤษฎีสัมพัทธภาพและได้รับการพัฒนาภายใต้อิทธิพลโดยตรง

ในทางคณิตศาสตร์เอง ตำแหน่งและบทบาทของเรขาคณิตถูกกำหนดโดยข้อเท็จจริงที่ว่าความต่อเนื่องถูกนำเข้าสู่คณิตศาสตร์ผ่านทางเรขาคณิตเป็นหลัก คณิตศาสตร์ในฐานะศาสตร์แห่งรูปแบบของความเป็นจริง ประการแรกพบรูปแบบทั่วไปสองรูปแบบ: ความไม่ต่อเนื่องและความต่อเนื่อง บัญชีของวัตถุที่แยกจากกัน (ไม่ต่อเนื่อง) ให้เลขคณิตช่องว่าง G. ศึกษาความต่อเนื่อง หนึ่งในความขัดแย้งหลักที่ขับเคลื่อนการพัฒนาคณิตศาสตร์คือการปะทะกันระหว่างความไม่ต่อเนื่องและความต่อเนื่อง แม้แต่การแบ่งปริมาณที่ต่อเนื่องออกเป็นส่วนๆ และการวัดก็แสดงถึงการเปรียบเทียบปริมาณที่ไม่ต่อเนื่องกับปริมาณที่ต่อเนื่อง ตัวอย่างเช่น การลงจุดมาตราส่วนตามส่วนที่วัดได้ในขั้นตอนที่แยกจากกัน ความขัดแย้งปรากฏขึ้น มีความชัดเจนเป็นพิเศษเมื่อใด กรีกโบราณ(อาจในศตวรรษที่ 5 ก่อนคริสต์ศักราช) มีการค้นพบความไม่เท่ากันของด้านและเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยม: ความยาวของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน 1 ไม่ได้แสดงด้วยตัวเลขใดๆ เพราะ ไม่มีแนวคิดเรื่องจำนวนอตรรกยะ ต้องใช้แนวคิดทั่วไปเกี่ยวกับจำนวน - การสร้างแนวคิดของจำนวนอตรรกยะ (ซึ่งทำในภายหลังในอินเดียเท่านั้น) ทฤษฎีทั่วไป จำนวนอตรรกยะถูกสร้างขึ้นในยุค 70 เท่านั้น ศตวรรษที่ 19 เส้นตรง (และด้วยตัวเลขใด ๆ ) เริ่มได้รับการพิจารณาว่าเป็นชุดของจุด ตอนนี้มุมมองนี้โดดเด่น อย่างไรก็ตาม ความยากของทฤษฎีเซตแสดงให้เห็นข้อจำกัดของมัน ความขัดแย้งระหว่างความไม่ต่อเนื่องและต่อเนื่องไม่สามารถลบออกได้อย่างสมบูรณ์

บทบาททั่วไปของเรขาคณิตในวิชาคณิตศาสตร์ยังอยู่ที่ความจริงที่ว่ามันเกี่ยวข้องกับการคิดเชิงสังเคราะห์ที่แม่นยำ ซึ่งได้มาจากการแทนเชิงพื้นที่ และมักจะทำให้สามารถเข้าใจโดยรวมว่าสิ่งใดบรรลุผลสำเร็จโดยการวิเคราะห์และการคำนวณเท่านั้นผ่านสายโซ่ยาวของ ขั้นตอน ดังนั้น รูปทรงเรขาคณิตจึงไม่ได้แสดงเฉพาะตามหัวข้อเท่านั้น แต่ยังรวมถึงวิธีการของมันด้วย ซึ่งได้มาจากการแสดงภาพและพิสูจน์ได้ว่ามีผลในการแก้ปัญหามากมายในสาขาอื่นๆ ของคณิตศาสตร์ ในทางกลับกัน G. ใช้วิธีการของพวกเขาอย่างกว้างขวาง ดังนั้น ปัญหาทางคณิตศาสตร์หนึ่งเดียวและปัญหาเดียวกันมักจะสามารถจัดการได้ทั้งในเชิงวิเคราะห์หรือเชิงเรขาคณิต หรือทั้งสองวิธีร่วมกัน

ในแง่หนึ่ง คณิตศาสตร์เกือบทั้งหมดสามารถถือได้ว่าพัฒนามาจากปฏิสัมพันธ์ของพีชคณิต (แต่เดิมคือเลขคณิต) และเรขาคณิต และในแง่ของวิธีการ จากการผสมผสานระหว่างการคำนวณและการแทนค่าทางเรขาคณิต สิ่งนี้สามารถเห็นได้แล้วในแนวคิดของผลรวมของทั้งหมด จำนวนจริงเหมือนเส้นจำนวนที่เชื่อมต่อกัน คุณสมบัติทางเลขคณิตตัวเลขที่มีความต่อเนื่อง ต่อไปนี้เป็นประเด็นสำคัญบางประการเกี่ยวกับอิทธิพลของ G. ในวิชาคณิตศาสตร์

1) ควบคู่ไปกับกลศาสตร์ เรขาคณิตมีความสำคัญอย่างยิ่งในการเกิดขึ้นและการพัฒนาของการวิเคราะห์ การบูรณาการมาจากการหาพื้นที่และปริมาตรที่เริ่มต้นโดยนักวิทยาศาสตร์สมัยโบราณ ยิ่งกว่านั้น พื้นที่และปริมาตรเป็นปริมาณที่ถือว่าแน่นอน ไม่มี คำจำกัดความเชิงวิเคราะห์ไม่ได้รับอินทิกรัลจนกระทั่งครึ่งแรกของศตวรรษที่ 19 การวาดแทนเจนต์เป็นปัญหาหนึ่งที่ก่อให้เกิดความแตกต่าง การแสดงกราฟิกของฟังก์ชันมีบทบาทสำคัญในการพัฒนาแนวคิดการวิเคราะห์และรักษาความสำคัญไว้ ในคำศัพท์เฉพาะของการวิเคราะห์ แหล่งที่มาทางเรขาคณิตของแนวคิดนั้นสามารถมองเห็นได้ เช่น ในแง่ของ: "จุดแตกหัก" "ช่วงของการเปลี่ยนแปลงของตัวแปร" เป็นต้น หลักสูตรการวิเคราะห์แรกที่เขียนขึ้นในปี ค.ศ. 1696 โดย G. Lopital (ดู Lopital) ถูกเรียกว่า: "การวิเคราะห์เล็กน้อยเพื่อความเข้าใจเส้นโค้ง" ทฤษฎี สมการเชิงอนุพันธ์ส่วนใหญ่จะถูกตีความทางเรขาคณิต (เส้นโค้งอินทิกรัล ฯลฯ) แคลคูลัสของการแปรผัน มันเกิดขึ้นและพัฒนาในระดับใหญ่เกี่ยวกับปัญหาของเรขาคณิตและแนวคิดของมันมีบทบาทสำคัญในมัน

2) จำนวนเชิงซ้อนในที่สุดก็เป็นที่ยอมรับในวิชาคณิตศาสตร์ในช่วงเปลี่ยนศตวรรษที่ 18-19 เป็นผลจากการเปรียบเทียบกับจุดต่างๆ ของระนาบ เช่น โดยการสร้าง "ระนาบเชิงซ้อน" ในทฤษฎีฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน วิธีการทางเรขาคณิตมีบทบาทสำคัญ แนวคิดนั่นเอง ฟังก์ชันการวิเคราะห์ ว = ฉ(ซี) ของตัวแปรเชิงซ้อนสามารถกำหนดได้ทางเรขาคณิตเท่านั้น: ฟังก์ชันดังกล่าวเป็นการแมปที่สอดคล้องกันของระนาบ ซี(หรือพื้นที่ของเครื่องบิน ซี) ในเครื่องบิน ว. แนวคิดและวิธีการของเรขาคณิตรีมานเนียนพบการประยุกต์ใช้ในทฤษฎีฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อนหลายตัว

3) แนวคิดหลักของการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันคือฟังก์ชันของคลาสที่กำหนด (ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันต่อเนื่องทั้งหมดที่กำหนดในช่วงเวลา ) ถือเป็นจุดของ "พื้นที่การทำงาน" และความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันถูกตีความเป็นรูปทรงเรขาคณิต ความสัมพันธ์ระหว่างจุดที่สอดคล้องกัน (ตัวอย่างเช่น การบรรจบกันของฟังก์ชันถูกตีความเป็นการบรรจบกันของจุด ค่าสูงสุดของค่าสัมบูรณ์ของความแตกต่างของฟังก์ชัน - เป็นระยะทาง เป็นต้น) จากนั้นคำถามการวิเคราะห์จำนวนมากได้รับการรักษาทางเรขาคณิตซึ่งในหลาย ๆ กรณีมีผลอย่างมาก โดยทั่วไปแล้ว การเป็นตัวแทนของวัตถุทางคณิตศาสตร์บางอย่าง (ฟังก์ชัน ตัวเลข ฯลฯ) เป็นจุดของพื้นที่บางส่วนด้วยการตีความทางเรขาคณิตที่สอดคล้องกันของความสัมพันธ์ของวัตถุเหล่านี้เป็นหนึ่งในแนวคิดทั่วไปและมีผลมากที่สุดของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ ซึ่งได้แทรกซึมเข้าไปเกือบ ทุกส่วนของมัน

4) G. มีอิทธิพลต่อพีชคณิตและแม้กระทั่งเลขคณิต - ทฤษฎีจำนวน ตัวอย่างเช่นในพีชคณิตแนวคิด พื้นที่เวกเตอร์. ในทฤษฎีจำนวน มีการสร้างทิศทางทางเรขาคณิตที่ช่วยให้สามารถแก้ปัญหาต่างๆ มากมายที่แทบจะแก้ไขไม่ได้ วิธีการคำนวณ. ในทางกลับกัน ควรสังเกตวิธีการคำนวณแบบกราฟิก (ดู Nomography) และวิธีการทางเรขาคณิต ทฤษฎีสมัยใหม่คอมพิวเตอร์และคอมพิวเตอร์

5) การปรับปรุงเชิงตรรกะและการวิเคราะห์ความจริงของ G. มีบทบาทสำคัญในการพัฒนา รูปแบบนามธรรมวิธีเชิงสัจพจน์ที่มีนามธรรมที่สมบูรณ์จากธรรมชาติของวัตถุและความสัมพันธ์ที่ปรากฏในทฤษฎีสัจพจน์ บนพื้นฐานของเนื้อหาเดียวกัน แนวคิดของความสอดคล้อง ความสมบูรณ์ และความเป็นอิสระของสัจพจน์ได้รับการพัฒนา

โดยรวมแล้ว การแทรกสอดของเรขาคณิตและพื้นที่อื่นๆ ของคณิตศาสตร์นั้นใกล้เคียงกันมากจนบ่อยครั้งที่ขอบเขตกลายเป็นเงื่อนไขและเกี่ยวข้องกับประเพณีเท่านั้น เฉพาะส่วนต่างๆ เช่น พีชคณิตนามธรรม ตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์ และส่วนอื่นๆ เท่านั้นที่แทบไม่มีความเกี่ยวข้องกับเรขาคณิตเลย

บทความ: งานคลาสสิกที่สำคัญ Euclid, จุดเริ่มต้น, ทรานส์ จากภาษากรีก หนังสือ. 1-15 ม.-ล. 2491-50; Descartes R. เรขาคณิตทรานส์ จากภาษาละติน ม. - ล. 2481; Monge G., การประยุกต์ใช้การวิเคราะห์กับเรขาคณิต, ทรานส์. จากภาษาฝรั่งเศส ม. - ล. 2479; Ponselet J. V. , Traite des proprietes projectives des ตัวเลข, Metz - R. , 1822; Gauss K.F., การวิจัยทั่วไปเกี่ยวกับพื้นผิวโค้งทรานส์ จากภาษาเยอรมัน ในคอลเลกชัน: On the foundations of geometry, M., 1956; Lobachevsky N.I. , พล. คอลล์ Soch. v. 1-3, M. - L., 1946-51; บอลัยยา., ภาคผนวก. ใบสมัคร,...,ต่อ. จากภาษาละติน ม. - ล. 2493; Riemann B. เกี่ยวกับสมมติฐานที่เป็นรากฐานของเรขาคณิต ทรานส์ จากภาษาเยอรมัน ในคอลเลกชัน: On the foundations of geometry, M., 1956; Klein, F., การทบทวนเชิงเปรียบเทียบของงานวิจัยทางเรขาคณิตใหม่ล่าสุด ("โปรแกรม Erlangen") อ้างแล้ว; E. Kartan, กลุ่ม Holonomy ของช่องว่างทั่วไป, ทรานส์ จากภาษาฝรั่งเศสในหนังสือ: VIII อินเตอร์เนชั่นแนลการแข่งขันเพื่อรับรางวัล Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1937), Kazan, 1940; Hilbert D., Foundations of Geometry, ทรานส์ จากภาษาเยอรมัน ม. - ล. 2491

เรื่องราว. Kolman E. ประวัติคณิตศาสตร์ในสมัยโบราณ M. , 1961; Yushkevich A. P. , ประวัติคณิตศาสตร์ในยุคกลาง, M. , 1961; Vileitner G. ประวัติคณิตศาสตร์จาก Descartes ถึงกลางศตวรรษที่ 19, trans. จากภาษาเยอรมัน, 2nd ed., M., 1966; Cantor M., Vorlesungen über die Geschichte der Mathematik, Bd 1-4, Lpz., 1907-08.

ข) เรขาคณิตเบื้องต้น. Hadamard J. เรขาคณิตเบื้องต้น ทรานส์ จากภาษาฝรั่งเศส ตอนที่ 1, 3rd ed., M., 1948, part 2, M., 1938; Pogorelov A. V. , เรขาคณิตเบื้องต้น, มอสโก, 2512

ใน) เรขาคณิตวิเคราะห์. Alexandrov PS, การบรรยายเกี่ยวกับเรขาคณิตวิเคราะห์..., M. , 1968; Pogorelov A. V. , เรขาคณิตวิเคราะห์, 3rd ed., M. , 1968

จ) เรขาคณิตเชิงพรรณนาและฉายภาพ Glagolev N. A. , เรขาคณิตเชิงพรรณนา, 3rd ed., M. - L. , 1953; Efimov N.V., เรขาคณิตที่สูงขึ้น, 4th ed., M., 1961

จ) เรขาคณิตรีมานเนียนและลักษณะทั่วไป Rashevsky P.K., Riemannian geometry and tensor analysis, 2nd ed., M. - L., 1964; Norden A. P., Spaces of affine connection, M. - L., 1950; Cartan E. เรขาคณิตของช่องว่าง Riemannian แปล จากภาษาฝรั่งเศส ม. - ล. 2479; Eisenhart L.P., เรขาคณิตรีมานเนียน, แปล จากภาษาอังกฤษ M. , 1948

เอกสารบางส่วนเกี่ยวกับเรขาคณิต Fedorov ES สมมาตรและโครงสร้างของผลึก งานพื้นฐาน M. , 1949; อเล็กซานดรอฟ เอ.ดี., รูปทรงหลายเหลี่ยมนูน, ม. - ล., 2493; เขา เรขาคณิตภายในของพื้นผิวนูน M. - L. , 1948; Pogorelov A. V. , รูปทรงเรขาคณิตภายนอกของพื้นผิวนูน, มอสโก, 2512; Buseman G. เรขาคณิตของธรณีศาสตร์ ทรานส์ จากภาษาอังกฤษ ม. 2505; เขา, พื้นผิวนูน, ทรานส์ จากภาษาอังกฤษ ม. 2507; E. Kartan, Moving Frame Method, Theory of Continuous Groups and Generalized Spaces, แปล จากภาษาฝรั่งเศส ม. - ล. 2479; Finikov S. P. วิธีการ แบบฟอร์มภายนอกกล่องในรูปทรงเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์, M. - L., 1948; Projective-Differential geometry, M. - L., 1937; ทฤษฎีความสอดคล้องของเขาเอง M. - L. , 1950; Shouten I. A. , Stroik D. J. , บทนำเกี่ยวกับวิธีการใหม่ของเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ แปล จากภาษาอังกฤษ เล่ม 1-2 ม. - ล. 2482-48; Nomizu K., กลุ่มโกหกและเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์, ทรานส์ จากภาษาอังกฤษ ม. 2503; มิลเนอร์ เจ. ทฤษฎีมอร์ส ทรานส์ จากภาษาอังกฤษ M. , 1965.

พจนานุกรมคำต่างประเทศของภาษารัสเซีย


    • 4. ตัวอย่างของปัญหาเกี่ยวกับตำแหน่งของคะแนน

    1. ล้อสองล้อรัศมี r 1 และ r 2 หมุนเป็นเส้นตรง ล. ค้นหาเซตของจุดตัดกัน M ของเส้นสัมผัสภายในร่วม

    วิธีแก้ปัญหา: ให้ O 1 และ O 2 เป็นจุดศูนย์กลางของวงล้อรัศมี r 1 และ r 2 ตามลำดับ ถ้า M เป็นจุดตัดกันของเส้นสัมผัสภายใน ดังนั้น O 1 M: O 2 M = r 1: r 2 . จากเงื่อนไขนี้ มันง่ายที่จะได้ระยะทางจากจุด M ถึงเส้นตรง l เท่ากับ 2r 1 r 2 /(r 1 + r 2) ดังนั้นจุดตัดกันของเส้นสัมผัสภายในทั่วไปทั้งหมดจึงอยู่บนเส้นตรงขนานกับเส้นตรง ล. และเว้นระยะห่างจากจุดนั้นเป็นระยะทาง 2r 1 r 2 /(r 1 + r 2)

    2. ค้นหาตำแหน่งของจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ผ่านจุดที่กำหนดสองจุด

    วิธีแก้ปัญหา: ให้วงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง O ผ่านจุด A และ B ที่กำหนด เนื่องจาก OA = OB (เป็นรัศมีของวงกลมหนึ่งวง) จุด O จึงอยู่บน เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากไปยังส่วน AB ในทางกลับกัน แต่ละจุด O ที่อยู่บนเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของ AB จะมีระยะห่างจากจุด A และ B เท่ากัน ดังนั้น จุด O คือจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ผ่านจุด A และ B

    3. ด้าน AB และ CD ของรูปสี่เหลี่ยม ABCD ของพื้นที่ S ไม่ขนานกัน หา HMT X ที่อยู่ในสี่เหลี่ยมซึ่ง S ABX + S CDX = S/2

    วิธีแก้ปัญหา: ให้ O เป็นจุดตัดของเส้น AB และ CD ให้เราพล็อตส่วน OK และ OL บนรังสี OA และ OD เท่ากับ AB และ CD ตามลำดับ จากนั้น S ABX + S CDX = S KOX + S LOX ±S KXL ดังนั้น พื้นที่ของสามเหลี่ยม KXL จึงเป็นค่าคงที่ เช่น จุด X อยู่บนเส้นขนานกับ KL

    4. ให้คะแนน A และ B บนระนาบ ค้นหา GMT M ซึ่งความแตกต่างของกำลังสองของความยาวของส่วน AM และ BM นั้นคงที่

    วิธีแก้ไข: เราแนะนำระบบพิกัดโดยเลือกจุด A เป็นจุดเริ่มต้นและกำหนดทิศทางแกน Ox ไปตามเส้นรังสี AB ให้จุด M มีพิกัด (x, y) จากนั้น AM 2 = x 2 + y 2 และ BM 2 = (x - a) 2 + y 2 โดยที่ a = AB ดังนั้น AM 2 - BM 2 = 2ax - a 2 ค่านี้เท่ากับ k สำหรับจุด M ที่มีพิกัด ((a 2 + k)/2a, y); จุดดังกล่าวทั้งหมดอยู่บนเส้นที่ตั้งฉากกับ AB

    5. กำหนดสี่เหลี่ยมผืนผ้า ABCD ค้นหา GMT X โดยที่ AX + BX = CX + DX

    วิธีแก้: ให้ l เป็นเส้นที่ผ่านจุดกึ่งกลางของด้าน BC และ AD สมมติว่าจุด X ไม่อยู่บนเส้นตรง l เช่น จุด A และ X อยู่บนเส้นด้านเดียวกันของเส้น l จากนั้น AX< DX и BX < CX, а значит, AX + BX < CX + DX. Поэтому прямая l - искомое ГМТ.

    6. ให้เส้นสองเส้นตัดกันที่จุด O จงหา GMT X ซึ่งผลรวมของความยาวของเส้นโครงของส่วน OX บนเส้นเหล่านี้มีค่าคงที่

    วิธีแก้ปัญหา: ให้ a และ b เป็นเวกเตอร์หน่วยขนานกับเส้นที่กำหนด x เท่ากับเวกเตอร์ x ผลรวมของความยาวของเส้นโครงของเวกเตอร์ x บนเส้นที่กำหนดเท่ากับ |(a,x)| + |(ข,x)| = |(a±b,x)| และการเปลี่ยนแปลงของเครื่องหมายเกิดขึ้นบนเส้นตั้งฉากที่สร้างจากจุด O ไปยังเส้นที่กำหนด ดังนั้น GMT ที่ต้องการคือสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีด้านขนานกับเส้นแบ่งครึ่งของมุมระหว่างเส้นที่กำหนด และมีจุดยอดอยู่บนเส้นตั้งฉากที่ระบุ

    7. กำหนดวงกลม S และจุด M ด้านนอก ผ่านจุด M วงกลมที่เป็นไปได้ทั้งหมด S 1 จะถูกวาดตัดวงกลม S; X - จุดตัดกันของเส้นสัมผัสที่จุด M ถึงวงกลม S 1 ด้วยความต่อเนื่องของคอร์ดทั่วไปของวงกลม S และ S 1 . ค้นหา GMT X

    วิธีแก้ปัญหา: ให้ A และ B เป็นจุดตัดของวงกลม S และ S 1 จากนั้น XM 2 = XA XB \u003d XO 2 - R 2 โดยที่ O และ R เป็นจุดศูนย์กลางและรัศมีของวงกลม S ดังนั้น XO 2 - XM 2 \u003d R 2 ซึ่งหมายความว่าจุด X อยู่บนเส้นตั้งฉากกับเส้น OM

    8. ให้วงกลมสองวงที่ไม่ตัดกัน ค้นหาตำแหน่งของจุดศูนย์กลางของวงกลมที่แบ่งครึ่งวงกลมที่กำหนด (เช่น ตัดกันที่จุดตรงข้ามที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง)

    วิธีแก้ปัญหา: ให้ O 1 และ O 2 เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมเหล่านี้ R 1 และ R 2 คือรัศมี วงกลมรัศมี r ที่มีจุดศูนย์กลาง X ตัดกับวงกลมแรกที่จุดตรงข้ามที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง ก็ต่อเมื่อ r 2 \u003d XO 1 2 + R 1 2 ดังนั้น GMT ที่ต้องการจึงประกอบด้วยจุด X ซึ่ง XO 1 2 + R 1 2 \ u003d XO 2 2 + R 2 2 จุดดังกล่าวทั้งหมดของ X อยู่บนเส้นตั้งฉากกับ O 1 O 2

    9. นำจุด A มาไว้ในวงกลม หาตำแหน่งจุดตัดของจุดสัมผัสของวงกลมที่ลากผ่านจุดสิ้นสุดของคอร์ดที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่มีจุด A

    วิธีแก้ปัญหา: ให้ O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม, R รัศมีของมัน, M คือจุดตัดของเส้นสัมผัสที่ลากผ่านปลายคอร์ดที่มีจุด A, P เป็นจุดกึ่งกลางของคอร์ดนี้ จากนั้น OP * OM = R 2 และ OP = OA cos f โดยที่ f = AOP ดังนั้น AM 2 \u003d OM 2 + OA 2 - 2OM * OA cos f \u003d OM 2 + OA 2 - 2R 2 ซึ่งหมายความว่าค่าของ OM 2 - AM 2 \u003d 2R 2 - OA 2 เป็นค่าคงที่ ดังนั้น จุดทั้งหมดของ M อยู่บนเส้นที่ตั้งฉากกับ OA

    10. ค้นหาตำแหน่งของจุด M ที่อยู่ภายในสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ABCD และมีคุณสมบัติที่ AMD + BMC = 180 o .

    วิธีแก้ปัญหา: ให้ N เป็นจุดที่ทำให้เวกเตอร์ MN = DA จากนั้น NAM = DMA และ NBM = BMC ดังนั้น AMBN จึงเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน เส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยม AMBN ที่เขียนไว้มีค่าเท่ากัน ดังนั้น AM| BN หรือ BM| หนึ่ง. ในกรณีแรก AMD = MAN = AMB และในกรณีที่สอง BMC = MBN = BMA ถ้า AMB = AMD ดังนั้น AMB + BMC = 180 o และจุด M จะอยู่บนเส้นทแยงมุม AC และถ้า BMA = BMC แล้วจุด M จะอยู่บนเส้นทแยงมุม BD เป็นที่ชัดเจนว่าหากจุด M อยู่บนหนึ่งในเส้นทแยงมุม AMD + BMC = 180 o .

    11. ก) กำหนดสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD พิสูจน์ว่าปริมาณ AX 2 + CX 2 - BX 2 - DX 2 ไม่ขึ้นอยู่กับตัวเลือกของจุด X

    b) รูปสี่เหลี่ยม ABCD ไม่ใช่สี่เหลี่ยมด้านขนาน พิสูจน์ว่าจุดทั้งหมดของ X ที่เป็นไปตามความสัมพันธ์ AX 2 + CX 2 = BX 2 + DX 2 อยู่บนเส้นตรงเดียวกันที่ตั้งฉากกับส่วนที่เชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของเส้นทแยงมุม

    วิธีแก้ปัญหา: ให้ P และ Q เป็นจุดกึ่งกลางของเส้นทแยงมุม AC และ BD จากนั้น AX 2 + CX 2 = 2PX 2 + AC 2 /2 และ BX 2 + DX 2 = 2QX 2 + BD 2 /2 ดังนั้นในปัญหา b) HMT ที่ต้องการประกอบด้วยจุด X ซึ่ง PX 2 - QX 2 = ( BD 2 - AC 2)/4 และในโจทย์ a) P = Q ดังนั้นปริมาณที่พิจารณาจะเท่ากับ (BD 2 - AC 2)/2


    วรรณกรรม

    1. Pogorelov A.V. เรขาคณิต: หนังสือเรียนสำหรับเกรด 7-9 สถาบันการศึกษา. - ม.: การตรัสรู้, 2543, น. 61.

    2. ซาวิน เอ.พี. วิธีการของสถานที่ทางเรขาคณิต / หลักสูตรเสริมในวิชาคณิตศาสตร์: หนังสือเรียนสำหรับเกรด 7-9 ของโรงเรียนมัธยม คอมพ์ I.L. นิโคลสกายา. - ม.: การศึกษา, 2534, น. 74.

    3. Smirnova I.M. , Smirnov V.A. เรขาคณิต: หนังสือเรียนสำหรับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 7-9 ของสถาบันการศึกษา – ม.: Mnemosyne, 2005, p. 84.

    4. Sharygin I.F. เรขาคณิต. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 7-9: หนังสือเรียนสำหรับการศึกษาทั่วไป สถาบันการศึกษา. – ม.: Bustard, 1997, p. 76.

    5. แหล่งข้อมูลทางอินเทอร์เน็ต: http://matschool2005.narod.ru/Lessons/Lesson8.htm





    ข้อมูลสาเหตุของการโต้ตอบ (การวางตัวเป็นกลางของเอนโทรปี) ที่เกี่ยวข้องกับกระบวนการสะท้อนของระดับของคำสั่ง (การกระตุ้น) การครอบครอง ระบบสากลความสัมพันธ์เชิงพื้นที่และชั่วขณะ แยกแยะ "ควอนตัมสัมบูรณ์" ในปรากฏการณ์มหัศจรรย์ของธรรมชาติทางกายภาพ มันสามารถเป็นศูนย์รวมทางวัตถุที่คาดไม่ถึงของสารออกฤทธิ์เริ่มต้นนั้น ซึ่งอุดมคติเชิงวัตถุ ...


    Q(y) ของส่วนดังกล่าวเท่ากับ โดยถือว่า y เป็นค่าคงที่ระหว่างการอินทิเกรต การอินทิเกรตแล้ว Q(y) ภายในช่วงของ y เช่น จาก c ถึง d เรามาถึงนิพจน์ที่สองสำหรับอินทิกรัลคู่ (B) ในที่นี้ การอินทิเกรตจะทำก่อนส่วน x แล้วตามด้วย y สูตร (A) และ (B) แสดงว่าการคำนวณอินทิกรัลสองเท่าลดลงเป็นการคำนวณตามลำดับของสองสามัญ ...

    เรขาคณิตเป็นศาสตร์ที่ศึกษาเกี่ยวกับความสัมพันธ์เชิงพื้นที่และรูปทรงของวัตถุ

    เรขาคณิตแบบยุคลิดเป็นทฤษฎีทางเรขาคณิตที่อิงตามระบบของสัจพจน์ที่กำหนดไว้ครั้งแรกในองค์ประกอบของยุคลิด

    เรขาคณิตของ Lobachevsky (เรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก)- หนึ่งในเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิด ซึ่งเป็นทฤษฎีทางเรขาคณิตที่มีฐานพื้นฐานเดียวกันกับเรขาคณิตแบบยุคลิดทั่วไป ยกเว้นสัจพจน์ของเส้นขนาน ซึ่งถูกแทนที่ด้วยสัจพจน์ของเส้นขนานของ Lobachevsky

    เส้นตรงที่มีขอบเขตที่ปลายด้านหนึ่งและไม่มีขอบเขตที่อีกด้านหนึ่ง เรียกว่า รังสี

    ส่วนของเส้นตรงที่ล้อมรอบทั้งสองด้านเรียกว่าส่วนของเส้นตรง

    มุม- นี่คือรูปทรงเรขาคณิตที่เกิดจากรังสีสองเส้น (ด้านของมุม) ที่เล็ดลอดออกมาจากจุดหนึ่ง (จุดยอดของมุม) ใช้การวัดมุมสองหน่วย: เรเดียนและองศา มุม 90° เรียกว่ามุมฉาก มุมที่น้อยกว่า 90° เรียกว่ามุมแหลม มุมที่มากกว่า 90° เรียกว่ามุมป้าน

    มุมที่อยู่ติดกันเป็นมุมที่มีจุดยอดร่วมกัน และ ด้านทั่วไป; อีกสองด้านเป็นส่วนขยายของกันและกัน ผลรวมของมุมประชิดคือ 180° มุมแนวตั้งคือมุมสองมุมที่มีจุดยอดร่วมกัน ซึ่งด้านหนึ่งเป็นส่วนต่อจากด้านของอีกมุมหนึ่ง

    เส้นแบ่งครึ่งมุมเรียกว่ารังสีที่แบ่งครึ่งมุม

    เส้นสองเส้นเรียกว่าเส้นขนานหากอยู่ในระนาบเดียวกันและไม่ตัดกันไม่ว่าจะยาวแค่ไหนก็ตาม เส้นที่ขนานกันทุกเส้นจะขนานกัน เส้นตั้งฉากกับเส้นเดียวกันทั้งหมดขนานกัน และในทางกลับกัน เส้นที่ตั้งฉากกับเส้นขนานเส้นหนึ่งจะตั้งฉากกับเส้นอื่น ความยาวของส่วนตั้งฉากระหว่างเส้นขนานสองเส้นคือระยะห่างระหว่างเส้นทั้งสอง เมื่อเส้นขนานสองเส้นตัดกับเส้นที่สาม จะเกิดมุมแปดมุมขึ้น ซึ่งเรียกว่าเป็นคู่: มุมที่สอดคล้องกัน (มุมเหล่านี้เท่ากันทุกคู่); มุมนอนไขว้ภายใน (เท่ากันเป็นคู่); มุมนอนไขว้ภายนอก (เท่ากันเป็นคู่); มุมด้านเดียวภายใน (ผลรวมคือ 180°); มุมด้านเดียวภายนอก (ผลรวมคือ 180°)

    ทฤษฎีบทของธาเลส. เมื่อด้านของมุมตัดกันโดยเส้นขนาน ด้านข้างของมุมจะถูกแบ่งออกเป็นส่วนต่างๆ ตามสัดส่วน

    สัจพจน์ของเรขาคณิต. สัจพจน์ของการเป็นเจ้าของ: ผ่านจุดสองจุดใดๆ บนระนาบ เราสามารถวาดเส้นตรงและยิ่งกว่านั้น มีเพียงจุดเดียวเท่านั้น สัจพจน์ของลำดับ: ในบรรดาสามจุดที่อยู่บนเส้นตรง มีจุดมากที่สุดหนึ่งจุดที่อยู่ระหว่างอีกสองจุด

    สัจพจน์ของความสอดคล้อง (ความเท่าเทียมกัน)ส่วนและมุม: หากสองส่วน (มุม) เท่ากันกับส่วนที่สาม ก็จะสอดคล้องกัน สัจพจน์ของเส้นขนาน: ผ่านจุดใดก็ตามที่อยู่นอกเส้น คุณสามารถวาดเส้นอีกเส้นหนึ่งขนานกับเส้นที่กำหนดและยิ่งกว่านั้นเส้นเดียวเท่านั้น

    สัจพจน์ของความต่อเนื่อง (สัจพจน์ของอาร์คิมิดีส): สำหรับสองส่วน AB และ CD มีจุด A1, A2, … ซึ่งอยู่บนเส้น AB ซึ่งมีส่วน AA1, A1A2, …, An-1An สอดคล้องกับเซ็กเมนต์ซีดี และจุด B อยู่ระหว่าง A และ An

    รูปแบนที่เกิดจากห่วงโซ่ของส่วนปิดเรียกว่ารูปหลายเหลี่ยม
    ขึ้นอยู่กับจำนวนของมุม รูปหลายเหลี่ยมอาจเป็นรูปสามเหลี่ยม รูปสี่เหลี่ยม รูปห้าเหลี่ยม รูปหกเหลี่ยม ฯลฯ ผลรวมของความยาวเรียกว่าเส้นรอบรูปและเขียนแทนด้วย p
    ถ้าเส้นทแยงมุมทั้งหมดอยู่ในรูปหลายเหลี่ยม จะเรียกว่านูน ผลรวม มุมภายใน รูปหลายเหลี่ยมนูนเท่ากับ 180°*(n-2) โดยที่ n คือจำนวนมุม (หรือด้าน) ของรูปหลายเหลี่ยม

    สามเหลี่ยมเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่มีสามด้าน (หรือสามมุม) ถ้ามุมทั้งสามเป็นมุมแหลม ก็จะเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมแหลม ถ้ามุมใดมุมหนึ่งถูกต้อง มันจะเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก ด้านที่เป็นมุมฉากเรียกว่าขา ด้านตรงข้าม มุมฉากเรียกว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก ถ้ามุมใดมุมหนึ่งเป็นมุมป้าน ก็จะเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมป้าน รูปสามเหลี่ยมเป็นรูปหน้าจั่ว ถ้าด้านทั้งสองเท่ากัน รูปสามเหลี่ยมเป็นรูปด้านเท่าถ้าทุกด้านเท่ากัน

    ที่ สามเหลี่ยมมุมฉากความสัมพันธ์ต่อไปนี้ถูกต้อง:

    พื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉาก:

    รัศมีของวงกลมที่เขียน:

    ในรูปสามเหลี่ยมโดยพลการ:

    ที่ใดก็ได้ รูปหลายเหลี่ยมปกติคุณสามารถเขียนวงกลมและล้อมรอบวงกลมนั้นคุณสามารถอธิบายวงกลมได้:

    โดยที่ a คือด้าน, n คือจำนวนด้านของรูปหลายเหลี่ยม, R คือรัศมีของวงกลมที่มีเส้นรอบวง, r คือรัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ (จุดกึ่งกลางของรูปหลายเหลี่ยมปกติ)

    พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมปกติ:

    ความยาวของด้านและเส้นทแยงมุมสัมพันธ์กันโดยสูตร:

    คุณสมบัติพื้นฐานของรูปสามเหลี่ยม:

    • ตรงข้ามด้านที่ใหญ่กว่าจะมีมุมที่ใหญ่กว่าและในทางกลับกัน
    • อยู่ตรงข้ามด้านเท่ากัน มุมที่เท่ากันและในทางกลับกัน;
    • ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมคือ 180°;
    • ทำต่อด้านใดด้านหนึ่งของสามเหลี่ยม เราจะได้มุมภายนอก มุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับผลบวกของมุมภายในที่ไม่ได้อยู่ติดกัน
    • ด้านใดๆ ของรูปสามเหลี่ยมมีค่าน้อยกว่าผลบวกของอีกสองด้านและมากกว่าผลต่าง

    สัญญาณของความเท่ากันของรูปสามเหลี่ยม: รูปสามเหลี่ยมจะเท่ากันทุกประการหากเท่ากัน:

    • สองด้านและมุมระหว่างพวกเขา
    • สองมุมและด้านข้างติดกัน
    • สามด้าน

    การทดสอบความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมมุมฉาก: รูปสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูปสอดคล้องกันหากเงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่งต่อไปนี้เป็นจริง:

    • ขาของพวกเขาเท่ากัน
    • ขาและด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมด้านหนึ่งเท่ากับขาและด้านตรงข้ามมุมฉากของอีกด้าน
    • ด้านตรงข้ามมุมฉากและมุมแหลมของสามเหลี่ยมหนึ่งรูปเท่ากับด้านตรงข้ามมุมฉาก และ มุมที่คมชัดอื่น;
    • ขาและมุมแหลมที่อยู่ติดกันของสามเหลี่ยมหนึ่งเท่ากับขาและมุมแหลมที่อยู่ติดกันของอีกอัน
    • ขาและมุมแหลมตรงข้ามของสามเหลี่ยมหนึ่งเท่ากับขาและมุมแหลมตรงข้ามของอีกอัน

    ความสูงของรูปสามเหลี่ยมคือเส้นตั้งฉากที่ทิ้งจากจุดยอดใดๆ ไปยังด้านตรงข้าม (หรือส่วนต่อขยาย) ด้านนี้เรียกว่าฐานของสามเหลี่ยม ความสูงทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมจะตัดกันที่จุดหนึ่งเสมอ ซึ่งเรียกว่าจุดศูนย์กลางของรูปสามเหลี่ยม จุดศูนย์กลางของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากอยู่ภายในรูปสามเหลี่ยม และจุดศูนย์กลางของรูปสามเหลี่ยมมุมป้านอยู่ด้านนอก จุดศูนย์กลางของสามเหลี่ยมมุมฉากตรงกับจุดยอดของมุมฉาก

    สูตรสำหรับความสูงของสามเหลี่ยมคือ:

    ค่ามัธยฐานคือส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมต่อจุดยอดใดๆ ของสามเหลี่ยมกับจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้าม ค่ามัธยฐานทั้งสามของสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่ง ซึ่งมักจะอยู่ภายในสามเหลี่ยมและเป็นจุดศูนย์ถ่วงของมัน จุดนี้แบ่งแต่ละค่ามัธยฐาน 2:1 จากด้านบน

    เส้นแบ่งครึ่งคือส่วนของเส้นแบ่งครึ่งมุมจากจุดยอดถึงจุดตัดกับ ฝั่งตรงข้าม. เส้นแบ่งครึ่งสามเส้นของสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่ง ซึ่งจะอยู่ภายในสามเหลี่ยมเสมอและเป็นศูนย์กลางของวงกลมที่เขียนไว้ เส้นแบ่งครึ่งแบ่งด้านตรงข้ามออกเป็นส่วน ๆ ตามสัดส่วนของด้านที่อยู่ติดกัน
    สูตรสำหรับเส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยมคือ:

    มัธยฐานตั้งฉากเป็นเส้นตั้งฉากที่ลากจากจุดกึ่งกลางของส่วน (ด้านข้าง) เส้นมัธยฐานสามเส้นตั้งฉากของรูปสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่ง ซึ่งเป็นศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบ ที่ สามเหลี่ยมเฉียบพลันจุดนี้อยู่ภายในสามเหลี่ยม ในป้าน - นอก; เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า - ตรงกลางด้านตรงข้ามมุมฉาก จุดศูนย์กลาง orthocenter, จุดศูนย์ถ่วง, จุดศูนย์กลางของวงกลมและจุดศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้จะอยู่ในรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าเท่านั้น

    ทฤษฎีบทปีทาโกรัส. ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก กำลังสองของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากจะเท่ากับผลรวมของกำลังสองของความยาวของขา: c2 = a2 + b2

    โดยทั่วไป (สำหรับ สามเหลี่ยมโดยพลการ) เรามี: c2=a2+b2–2?a?b?cosC โดยที่ C คือมุมระหว่างด้าน a และ b

    รูปสี่เหลี่ยม- ตัวเลขที่เกิดจากจุดสี่จุด (จุดยอด) ไม่มีสามจุดอยู่บนเส้นตรงเดียวกันและสี่ส่วนที่ต่อเนื่องกัน (ด้านข้าง) เชื่อมต่อกันซึ่งไม่ควรตัดกัน

    สี่เหลี่ยมด้านขนานเป็นรูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านตรงข้ามขนานกัน ด้านตรงข้ามกันสองด้านของสี่เหลี่ยมด้านขนานเรียกว่าฐาน และระยะห่างระหว่างด้านทั้งสองเรียกว่าความสูง

    คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมด้านขนาน:

    • ด้านตรงข้ามของสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากัน
    • มุมตรงข้ามของสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากัน
    • เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานจะถูกแบ่งครึ่งที่จุดตัดกัน
    • ผลรวมของกำลังสองของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานจะเท่ากับผลรวมของกำลังสองของด้านทั้งสี่

    พื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนาน:

    รัศมีของวงกลมที่เขียนในรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน:

    สี่เหลี่ยมผืนผ้าเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีมุมทุกมุมเท่ากับ 90°

    คุณสมบัติพื้นฐานของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า
    ด้านข้างของสี่เหลี่ยมผืนผ้าก็มีส่วนสูงเช่นกัน
    เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้าเท่ากัน: AC = BD

    กำลังสองของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้าเท่ากับผลบวกของกำลังสองของด้านของมัน (ตามทฤษฎีบทปีทาโกรัส)

    พื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้า: S=AB

    เส้นผ่านศูนย์กลางสี่เหลี่ยมผืนผ้า:

    รัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบสี่เหลี่ยมผืนผ้า:

    รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ทุกด้านเท่ากัน เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนตั้งฉากกันและแบ่งมุมออกเป็นสองส่วน

    พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนแสดงเป็นเส้นทแยงมุม:

    สี่เหลี่ยมจัตุรัสคือสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีมุมฉากและด้านเท่ากัน สี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นกรณีพิเศษของสี่เหลี่ยมผืนผ้าและสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนในเวลาเดียวกัน ดังนั้นจึงมีคุณสมบัติทั้งหมดที่ระบุไว้ข้างต้น

    พื้นที่สี่เหลี่ยม:

    รัศมีของวงกลมล้อมรอบสี่เหลี่ยมจัตุรัส:

    รัศมีของวงกลมที่จารึกไว้ในช่องสี่เหลี่ยม:

    เส้นทแยงมุม:

    ราวสำหรับออกกำลังกายเป็นรูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านตรงข้ามขนานกันสองด้าน ด้านขนานเรียกว่าฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูและอีกสองด้านเรียกว่าด้าน ระยะห่างระหว่างฐานคือความสูง ส่วนที่เชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของด้านข้างเรียกว่า เส้นกึ่งกลางของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู เส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมูคือผลบวกครึ่งหนึ่งของฐานและขนานกัน สี่เหลี่ยมคางหมูที่มีด้านเท่ากันเรียกว่าสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว ในสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว มุมที่ฐานแต่ละฐานจะเท่ากัน

    พื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู: โดยที่ a และ b เป็นฐาน h คือความสูง

    เส้นกลางของรูปสามเหลี่ยมคือส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของด้านของรูปสามเหลี่ยม เส้นกึ่งกลางของสามเหลี่ยมเท่ากับครึ่งหนึ่งของฐานและขนานกัน คุณสมบัตินี้ต่อจากคุณสมบัติของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู เนื่องจากรูปสามเหลี่ยมถือได้ว่าเป็นกรณีของความเสื่อมของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู เมื่อหนึ่งในฐานของมันกลายเป็นจุด

    ความคล้ายคลึงกันของรูปทรงเครื่องบิน. หากคุณเปลี่ยนขนาดทั้งหมดของรูปทรงแบนในจำนวนครั้งที่เท่ากัน (อัตราส่วนความคล้ายคลึงกัน) ตัวเลขเก่าและใหม่จะเรียกว่าคล้ายกัน รูปหลายเหลี่ยมสองรูปจะคล้ายกันหากมุมเท่ากันและด้านเท่ากัน

    สัญญาณของความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยม รูปสามเหลี่ยมสองรูปจะคล้ายกันถ้า:

    • มุมที่เกี่ยวข้องทั้งหมดเท่ากัน (สองมุมก็เพียงพอแล้ว);
    • ทุกด้านเป็นสัดส่วน
    • ด้านสองด้านของสามเหลี่ยมหนึ่งเป็นสัดส่วนกับด้านสองด้านของอีกด้าน และมุมที่รวมระหว่างด้านเหล่านี้เท่ากัน

    พื้นที่ของตัวเลขที่คล้ายกันเป็นสัดส่วนกับกำลังสองของเส้นที่คล้ายกัน (เช่น ด้าน เส้นผ่านศูนย์กลาง)

    สถานที่ของจุดคือชุดของคะแนนทั้งหมดที่เป็นไปตามเงื่อนไขที่กำหนด

    วงกลม- นี่คือตำแหน่งของจุดบนระนาบที่ห่างจากจุดหนึ่งซึ่งเรียกว่าจุดศูนย์กลางของวงกลม ส่วนที่เชื่อมต่อจุดศูนย์กลางของวงกลมกับจุดใด ๆ เรียกว่ารัศมีและแสดงแทน - r ส่วนของระนาบที่ล้อมรอบด้วยวงกลมเรียกว่าวงกลม ส่วนหนึ่งของวงกลมเรียกว่าส่วนโค้ง เส้นตรงที่ลากผ่านจุดสองจุดของวงกลมเรียกว่าเซแคนต์ และส่วนที่อยู่ภายในวงกลมเรียกว่าคอร์ด คอร์ดที่ผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลมเรียกว่าเส้นผ่านศูนย์กลางและแสดงแทน d เส้นผ่านศูนย์กลางเป็นคอร์ดที่ใหญ่ที่สุด มีขนาดเท่ากับสองรัศมี: d = 2r

    โดยที่ a เป็นจริง b คือกึ่งแกนในจินตนาการ

    สมการของระนาบในอวกาศ:
    ขวาน + โดย + Cz + D = 0,
    โดยที่ x, y, z เป็นพิกัดสี่เหลี่ยมของจุดแปรผันของระนาบ A, B, C เป็นจำนวนคงที่
    เส้นตรงที่ผ่านจุดวงกลมที่ตั้งฉากกับรัศมีที่ลากไปยังจุดนี้เรียกว่าเส้นสัมผัส จุดนี้เรียกว่าจุดติดต่อ

    คุณสมบัติสัมผัส:

    • เส้นสัมผัสกับวงกลมตั้งฉากกับรัศมีที่ลากไปยังจุดสัมผัส
    • จากจุดนอกวงกลม สามารถลากเส้นสัมผัสสองเส้นเข้าสู่วงกลมเดียวกันได้ ส่วนของพวกเขาเท่ากัน

    ส่วนงาน- นี่คือส่วนของวงกลมที่ล้อมรอบด้วยส่วนโค้งและคอร์ดที่สอดคล้องกัน ความยาวของเส้นตั้งฉากที่ลากจากตรงกลางของคอร์ดไปยังจุดตัดกับส่วนโค้งเรียกว่าความสูงของส่วน

    ภาค- นี่คือส่วนหนึ่งของวงกลมที่ล้อมรอบด้วยส่วนโค้งและรัศมีสองเส้นลากไปที่ปลายส่วนโค้งนี้

    มุมในวงกลม. มุมศูนย์กลางคือมุมที่เกิดจากรัศมีสองเส้น มุมที่จารึกไว้คือมุมที่เกิดจากคอร์ดสองคอร์ดที่ดึงมาจากจุดร่วม มุมที่อธิบายคือมุมที่เกิดจากสองเส้นสัมผัสที่ดึงมาจากจุดร่วมเดียวกัน

    สูตรนี้เป็นพื้นฐานสำหรับการพิจารณาการวัดเรเดียนของมุม การวัดเรเดียนของมุมใดๆ คืออัตราส่วนของความยาวของส่วนโค้งที่ลากโดยรัศมีตามอำเภอใจและปิดล้อมระหว่างด้านของมุมนี้กับรัศมีของมัน

    ความสัมพันธ์ระหว่างองค์ประกอบของวงกลม

    มุมที่จารึกไว้จะเท่ากับครึ่งหนึ่งของมุมศูนย์กลางตามส่วนโค้งเดียวกัน ดังนั้นมุมที่จารึกไว้ทั้งหมดตามส่วนโค้งเดียวกันจึงมีค่าเท่ากัน และตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา มุมกลางมีจำนวนองศาเท่ากันกับส่วนโค้ง จากนั้นมุมใดๆ ที่ถูกจารึกไว้จะถูกวัดโดยครึ่งหนึ่งของส่วนโค้งที่วางอยู่

    มุมที่จารึกไว้ตามครึ่งวงกลมทั้งหมดเป็นมุมฉาก

    มุมที่เกิดจากสองคอร์ดจะวัดจากผลรวมครึ่งหนึ่งของส่วนโค้งที่ปิดอยู่ระหว่างด้านของมัน

    มุมที่เกิดจากสองส่วนจะวัดจากผลต่างครึ่งหนึ่งของส่วนโค้งที่ปิดล้อมระหว่างด้านของมัน

    มุมที่เกิดจากเส้นสัมผัสและคอร์ดจะวัดโดยครึ่งหนึ่งของส่วนโค้งที่อยู่ในนั้น

    มุมที่เกิดจากเส้นสัมผัสและเส้นตัดจะวัดจากผลต่างครึ่งหนึ่งของส่วนโค้งที่ปิดล้อมระหว่างด้านของมัน

    มุมที่อธิบาย เกิดจากสองเส้นสัมผัส วัดจากผลต่างครึ่งหนึ่งของส่วนโค้งที่ล้อมรอบระหว่างด้านของมัน

    ผลคูณของส่วนของคอร์ดที่แบ่งโดยจุดตัดกันนั้นมีค่าเท่ากัน

    กำลังสองของเส้นสัมผัสเท่ากับผลคูณของส่วนตัดและส่วนนอก

    คอร์ดที่ตั้งฉากกับเส้นผ่านศูนย์กลางจะถูกแบ่งครึ่งที่จุดตัดกัน

    รูปหลายเหลี่ยมเรียกว่า จารึกไว้ในวงกลมซึ่งจุดยอดนั้นอยู่บนวงกลม รูปหลายเหลี่ยมที่ล้อมรอบวงกลมเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่มีด้านสัมผัสกับวงกลม ดังนั้น วงกลมที่ผ่านจุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมจึงถูกเรียกว่าล้อมรอบใกล้กับรูปหลายเหลี่ยม วงกลมที่ด้านข้างของรูปหลายเหลี่ยมสัมผัสกันเรียกว่า วงกลมจารึก สำหรับรูปหลายเหลี่ยมโดยพลการ เป็นไปไม่ได้ที่จะจารึกไว้ในนั้นและอธิบายวงกลมรอบๆ สำหรับรูปสามเหลี่ยม ความเป็นไปได้นี้มีอยู่เสมอ

    วงกลมสามารถเขียนเป็นรูปสี่เหลี่ยมได้หากผลบวกของด้านตรงข้ามเท่ากัน สำหรับสี่เหลี่ยมด้านขนาน ทำได้เฉพาะกับสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเท่านั้น ศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้จะอยู่ที่จุดตัดของเส้นทแยงมุม วงกลมสามารถกำหนดเป็นวงกลมได้หากผลรวมของมุมตรงข้ามคือ 180° สำหรับสี่เหลี่ยมด้านขนาน ทำได้เฉพาะกับสี่เหลี่ยมผืนผ้า (สี่เหลี่ยมจัตุรัส) จุดศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบอยู่ที่จุดตัดของเส้นทแยงมุม วงกลมสามารถอธิบายได้รอบสี่เหลี่ยมคางหมูหากเป็นหน้าจั่ว รูปหลายเหลี่ยมปกติคือรูปหลายเหลี่ยมที่มีด้านและมุมเท่ากัน

    รูปสี่เหลี่ยมปกติคือสี่เหลี่ยมจัตุรัส สามเหลี่ยมมุมฉากเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า แต่ละมุมของรูปหลายเหลี่ยมปกติมีค่าเท่ากับ 180°(n - 2)/n โดยที่ n คือจำนวนมุมของมัน ภายในรูปหลายเหลี่ยมปกติมีจุด O ซึ่งอยู่ห่างจากจุดยอดทั้งหมดเท่ากัน ซึ่งเรียกว่าจุดศูนย์กลางของรูปหลายเหลี่ยมปกติ ศูนย์กลางของรูปหลายเหลี่ยมปกตินั้นอยู่ห่างจากทุกด้านเท่ากัน วงกลมสามารถเขียนเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติและวงกลมสามารถล้อมรอบได้ ศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้และวงกลมล้อมรอบตรงกับศูนย์กลางของรูปหลายเหลี่ยมปกติ รัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบคือรัศมีของรูปหลายเหลี่ยมปกติ และรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้คือจุดกึ่งกลางของวงกลม

    สัจพจน์พื้นฐานของสเตอริโอเมทรี

    ไม่ว่าจะเป็นระนาบใดก็ตาม มีจุดที่เป็นของระนาบนี้และจุดที่ไม่ได้อยู่ในระนาบนี้

    หากระนาบที่แตกต่างกันสองระนาบมีจุดร่วมกัน ระนาบทั้งสองจะตัดกันเป็นเส้นตรงที่ผ่านจุดนี้

    หากเส้นสองเส้นที่แตกต่างกันมีจุดร่วมกัน ก็สามารถวาดผ่านระนาบเดียวได้

    ผ่านสามจุดที่อยู่บนเส้นเดียวกัน หนึ่งสามารถวาด นับไม่ถ้วนระนาบซึ่งในกรณีนี้จะรวมกันเป็นระนาบ เส้นตรงที่ระนาบทั้งหมดของลำแสงผ่านเรียกว่าแกนของลำแสง ผ่านเส้นและจุดนอกเส้นนี้ สามารถวาดระนาบเดียวและระนาบเดียวเท่านั้น ไม่สามารถวาดระนาบผ่านเส้นสองเส้นได้เสมอไปเส้นเหล่านี้เรียกว่าการเอียง

    เส้นตัดกันไม่ตัดกันไม่ว่าจะยาวแค่ไหนก็ตาม แต่ไม่ใช่เส้นขนานเนื่องจากไม่ได้อยู่ในระนาบเดียวกัน เส้นคู่ขนานเท่านั้นที่เป็นเส้นที่ไม่ตัดกันซึ่งสามารถวาดระนาบได้ ความแตกต่างระหว่างเส้นขนานและเส้นขนานคือ เส้นขนานมีทิศทางเดียวกัน แต่เส้นขนานไม่มีทิศทางเดียวกัน ผ่านสองเส้นที่ตัดกัน สามารถวาดระนาบเดียวและระนาบเดียวเท่านั้น ระยะห่างระหว่างเส้นเอียงสองเส้นคือความยาวของส่วนที่เชื่อมต่อจุดที่ใกล้ที่สุดที่อยู่บนเส้นเอียง ระนาบที่ไม่ตัดกันเรียกว่า ระนาบขนาน. ระนาบและเส้นตัดกัน (ณ จุดหนึ่ง) หรือไม่ก็ตาม ที่ กรณีสุดท้ายเส้นและระนาบเรียกว่าขนานกัน

    เส้นตั้งฉากที่ทิ้งจากจุดหนึ่งไปยังระนาบคือส่วนของเส้นตรงซึ่งเชื่อมต่อจุดที่กำหนดกับจุดบนระนาบและวิ่งบนเส้นตรงที่ตั้งฉากกับระนาบ

    เส้นโครงของจุดบนระนาบคือฐานของเส้นตั้งฉากที่ทิ้งจากจุดลงบนระนาบ การฉายของส่วนบนระนาบ P คือส่วนที่มีปลายเป็นเส้นโครงของจุดของส่วนนี้

    มุมไดฮีดรัลเป็นรูปที่เกิดจากระนาบครึ่งระนาบสองระนาบที่มีเส้นตรงร่วมกันล้อมรอบ ระนาบครึ่งหนึ่งเรียกว่าใบหน้า และเส้นตรงที่ล้อมรอบเรียกว่าขอบของมุมไดฮีดรัล ระนาบที่ตั้งฉากกับขอบทำให้เกิดมุมที่จุดตัดกับระนาบครึ่งวงกลมที่เรียกว่า มุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัล มุมไดฮีดรัลวัดจากมุมเชิงเส้นของมัน

    มุมหลายเหลี่ยม. หากผ่านจุดหนึ่ง เราวาดชุดของระนาบที่ตัดกันเป็นเส้นตรงต่อเนื่องกัน เราจะได้รูปที่เรียกว่า มุมหลายเหลี่ยม ระนาบที่สร้างมุมหลายเหลี่ยมเรียกว่าใบหน้าของมัน เส้นที่ใบหน้าตัดกันอย่างต่อเนื่องเรียกว่าขอบของมุมหลายเหลี่ยม จำนวนขั้นต่ำมีสามด้านของมุมหลายเหลี่ยม

    ระนาบขนานถูกตัดออกที่ขอบของมุมหลายเหลี่ยม ส่วนตามสัดส่วนและสร้างรูปหลายเหลี่ยมที่คล้ายกัน

    สัญญาณของความขนานของเส้นตรงและระนาบ

    ถ้าเส้นที่อยู่นอกระนาบขนานกับเส้นใดๆ ที่อยู่ในระนาบนั้น เส้นนั้นจะขนานกับระนาบนั้น

    ถ้าเส้นตรงและระนาบตั้งฉากกับเส้นตรงเดียวกัน แสดงว่ามันขนานกัน

    สัญญาณของระนาบคู่ขนาน:

    • ถ้าเส้นตัดกันสองเส้นในระนาบหนึ่งขนานกันกับเส้นตัดกันสองเส้นในระนาบอื่น ระนาบเหล่านี้จะขนานกัน
    • ถ้าระนาบสองระนาบตั้งฉากกับเส้นตรงเดียวกัน แสดงว่าระนาบนั้นขนานกัน
    • สัญญาณของการตั้งฉากของเส้นตรงและระนาบ
    • ถ้าเส้นตั้งฉากกับเส้นที่ตัดกันสองเส้นที่อยู่ในระนาบ เส้นนั้นจะตั้งฉากกับระนาบนั้น
    • หากระนาบตั้งฉากกับเส้นขนาน เส้นหนึ่งก็จะตั้งฉากกับอีกเส้นหนึ่งด้วย

    เส้นตรงที่ตัดกับระนาบและไม่ตั้งฉาก เรียกว่า เส้นเฉียงกับระนาบ

    ทฤษฎีบทสามตั้งฉาก

    เส้นตรงที่อยู่ในระนาบและตั้งฉากกับการฉายของระนาบเฉียงไปยังระนาบนี้ก็ตั้งฉากกับแนวเฉียงเช่นกัน

    สัญญาณของเส้นขนานในอวกาศ:

    • ถ้าเส้นตรงสองเส้นตั้งฉากกับระนาบเดียวกัน แสดงว่าเส้นนั้นขนานกัน
    • หากหนึ่งในระนาบที่ตัดกันมีเส้นขนานกับระนาบอื่น ระนาบนั้นจะขนานกับเส้นตัดของระนาบนั้น

    สมการเส้นตรงบนระนาบในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม xy:
    ax + bx + c = 0 โดยที่ a, b, c เป็นค่าคงที่ x และ y คือพิกัดของจุดแปรผัน M(x,y) บนเส้นตรง

    สัญญาณของเส้นขนาน:

    สัญลักษณ์ของความตั้งฉากของระนาบ: ถ้าระนาบผ่านเส้นที่ตั้งฉากกับระนาบอื่น ระนาบเหล่านี้ก็จะตั้งฉาก

    ทฤษฎีบทร่วมตั้งฉากกับเส้นเบ้สองเส้นสำหรับเส้นที่ตัดกันสองเส้น จะมีเส้นตั้งฉากทั่วไปเพียงเส้นเดียว

    รูปทรงหลายเหลี่ยม- นี่คือร่างกายขอบเขตซึ่งประกอบด้วยชิ้นส่วนของระนาบ (รูปหลายเหลี่ยม) รูปหลายเหลี่ยมเหล่านี้เรียกว่าใบหน้า ด้านข้างเรียกว่าขอบ จุดยอดคือจุดยอดของรูปทรงหลายเหลี่ยม ส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดสองจุดและไม่ได้อยู่บนด้านเดียวกันเรียกว่าเส้นทแยงมุมของรูปทรงหลายเหลี่ยม รูปทรงหลายเหลี่ยมจะนูนออกมาหากมีเส้นทแยงมุมทั้งหมดอยู่ภายใน

    ลูกบาศก์ - รูปปริมาตรมีด้านเท่ากันหกด้าน

    ปริมาตรและพื้นที่ผิวของลูกบาศก์:

    ปริซึมเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีสองหน้า (ฐานของปริซึม) เป็นรูปหลายเหลี่ยมที่เท่ากันโดยมีด้านขนานกันตามลำดับ และหน้าที่เหลือเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

    ส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดที่สอดคล้องกันเรียกว่า ขอบด้านข้าง ความสูงของปริซึมคือเส้นตั้งฉากใดๆ ที่ตกจากจุดใดๆ ของฐานไปยังระนาบของฐานอีกข้างหนึ่ง ขึ้นอยู่กับรูปร่างของรูปหลายเหลี่ยมที่วางอยู่ที่ฐาน ปริซึมสามารถเป็นสามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม ห้าเหลี่ยม หกเหลี่ยม ฯลฯ ตามลำดับ หากขอบด้านข้างของปริซึมตั้งฉากกับระนาบฐาน ปริซึมดังกล่าวจะเรียกว่า เส้นตรง; มิฉะนั้นจะเป็น ปริซึมเฉียง. หากรูปหลายเหลี่ยมปกติอยู่ที่ฐานของปริซึมตรง ปริซึมดังกล่าวจะเรียกอีกอย่างว่าปกติ เส้นทแยงมุมของปริซึมคือส่วนที่เชื่อมระหว่างจุดยอดของปริซึมสองจุดซึ่งไม่ได้อยู่ในหน้าเดียวกัน

    พื้นที่ผิวด้านข้างของปริซึมตรง:
    ด้าน S \u003d P * H โดยที่ P คือเส้นรอบวงของฐาน และ H คือความสูง

    ขนานเป็นปริซึมที่มีฐานเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน ดังนั้น รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานจึงมีหน้าหกหน้า และทั้งหมดเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ใบหน้าตรงข้ามเป็นคู่เท่ากันและขนานกัน Paralepiped มีสี่เส้นทแยงมุม พวกมันตัดกันที่จุดหนึ่งและแบ่งครึ่งที่จุดนั้น

    ถ้าสี่ ใบหน้าด้านข้างขนาน - สี่เหลี่ยมผืนผ้าจากนั้นเรียกว่าเส้นตรง รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานด้านขวา ซึ่งมีหน้าทั้งหกเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เรียกว่า รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เส้นทแยงมุมของ d สี่เหลี่ยมด้านขนานและขอบ a, b, c สัมพันธ์กันโดยความสัมพันธ์ d2 = a2 + b2 + c2 รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีหน้าเป็นสี่เหลี่ยมทั้งหมดเรียกว่าลูกบาศก์ ขอบของลูกบาศก์เท่ากันทั้งหมด

    ปริมาตรและพื้นที่ผิวของสี่เหลี่ยมด้านขนาน:
    V = a*b*c, S รวม = 2(ab + ac + bc)

    พีระมิดเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่ใบหน้าด้านหนึ่ง (ฐานของพีระมิด) เป็นรูปหลายเหลี่ยมตามอำเภอใจ และใบหน้าที่เหลือ (ใบหน้าด้านข้าง) เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดร่วมกัน เรียกว่ายอดพีระมิด เส้นตั้งฉากที่ตกลงมาจากยอดพีระมิดถึงฐาน เรียกว่า ความสูงของพีระมิด ขึ้นอยู่กับรูปร่างของรูปหลายเหลี่ยมที่วางอยู่ที่ฐาน พีระมิดสามารถเป็นรูปสามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม ห้าเหลี่ยม หกเหลี่ยม ฯลฯ ตามลำดับ ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับรูปร่างของรูปหลายเหลี่ยม พีระมิดสามเหลี่ยมเป็นจัตุรมุข, สี่เหลี่ยมเป็นห้าเหลี่ยม ฯลฯ พีระมิดเรียกว่าปกติถ้ารูปหลายเหลี่ยมปกติอยู่ที่ฐานและความสูงของมันตกลงไปที่กึ่งกลางของฐาน ซี่โครงทุกด้าน ปิรามิดที่ถูกต้องมีค่าเท่ากัน ใบหน้าด้านข้างทั้งหมดเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ความสูงของใบหน้าด้านข้างเรียกว่า apothem ของพีระมิดปกติ

    หากเราวาดส่วนที่ขนานกับฐานของปิรามิด ร่างกายที่อยู่ระหว่างระนาบเหล่านี้กับพื้นผิวด้านข้างจะเรียกว่าปิรามิดที่ถูกตัดทอน ใบหน้าที่ขนานกันเรียกว่าฐาน ระยะห่างระหว่างพวกเขาคือความสูง ปิรามิดที่ถูกตัดจะเรียกว่าถูกต้องหากปิรามิดที่ได้มานั้นถูกต้อง ใบหน้าด้านข้างทั้งหมดของปิรามิดที่ถูกตัดทอนเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วที่เท่ากัน

    พื้นที่ผิวด้านข้างของพีระมิดปกติ:
    โดยที่ P คือเส้นรอบรูปของฐาน h คือความสูงของใบหน้าด้านข้าง (ความสูงของพีระมิดปกติ)

    ปริมาตรของพีระมิดที่ถูกตัดทอน:

    พื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดที่ถูกตัดทอน:
    ,
    โดยที่ P และ P' คือเส้นรอบรูปของฐาน h คือความสูงของใบหน้าด้านข้าง

    พื้นผิวทรงกระบอกเกิดจากการเลื่อนเส้นตรงที่คงทิศทางไว้และตัดกับเส้นที่กำหนด (เส้นโค้ง) บรรทัดนี้เรียกว่าแนวทาง เส้นตรงที่สอดคล้องกับตำแหน่งต่าง ๆ ของเส้นตรงที่เคลื่อนที่เรียกว่าเครื่องกำเนิดของพื้นผิวทรงกระบอก

    ทรงกระบอกคือร่างกายที่ล้อมรอบด้วยพื้นผิวทรงกระบอกโดยมีไกด์ปิดและระนาบสองระนาบขนานกัน ส่วนต่างๆ ของระนาบเหล่านี้เรียกว่าฐานของทรงกระบอก ระยะห่างระหว่างฐานคือความสูงของทรงกระบอก ทรงกระบอกจะตรงถ้าเครื่องกำเนิดไฟฟ้าตั้งฉากกับฐาน มิฉะนั้นกระบอกสูบจะเอียง ทรงกระบอกเรียกว่าวงกลม ถ้าฐานเป็นวงกลม ถ้าทรงกระบอกมีทั้งแบบตรงและแบบกลม เรียกว่า แบบกลม ปริซึมเป็นกรณีพิเศษของทรงกระบอก

    ปริมาตร พื้นที่ด้านข้างและพื้นผิวทั้งหมดของทรงกระบอก:
    ,
    โดยที่ R คือรัศมีของฐาน H คือความสูงของกระบอกสูบ

    ส่วนทรงกระบอกของพื้นผิวด้านข้างของทรงกระบอกกลม

    ส่วนที่ขนานกับฐานคือวงกลมที่มีรัศมีเท่ากัน

    ส่วนที่ขนานกับเครื่องกำเนิดไฟฟ้าของกระบอกสูบเป็นคู่ของเส้นขนาน

    ส่วนที่ไม่ขนานกับฐานหรือตัวสร้างจะเป็นวงรี

    พื้นผิวทรงกรวยเกิดขึ้นเมื่อเส้นตรงเคลื่อนที่ผ่านจุดคงที่ตลอดเวลาและตัดกับเส้นที่กำหนดซึ่งเรียกว่าเส้นบอกแนว เส้นที่สอดคล้องกับตำแหน่งต่างๆ ของเส้นขณะที่มันเคลื่อนที่เรียกว่า เจนเนอราทริกซ์ของพื้นผิวทรงกรวย จุดที่อยู่บนสุด พื้นผิวทรงกรวยประกอบด้วยสองส่วน: ส่วนหนึ่งอธิบายโดยรังสีและอีกส่วนหนึ่งเกิดจากความต่อเนื่อง

    โดยปกติแล้วส่วนหนึ่งถือเป็นพื้นผิวรูปกรวย

    กรวย- นี่คือร่างกายที่ล้อมรอบด้วยส่วนใดส่วนหนึ่งของพื้นผิวทรงกรวยที่มีไกด์ปิดและระนาบตัดกับพื้นผิวทรงกรวยที่ไม่ผ่านจุดยอด

    ส่วนของระนาบนี้ที่อยู่ภายในพื้นผิวทรงกรวยเรียกว่าฐานของกรวย ตั้งฉากที่ลดลงจากด้านบนถึงฐานเรียกว่าความสูงของกรวย

    พีระมิดเป็นกรณีพิเศษของกรวย กรวยเรียกว่าวงกลม ถ้าฐานเป็นวงกลม เส้นตรงที่เชื่อมระหว่างยอดกรวยกับจุดศูนย์กลางของฐานเรียกว่าแกนของกรวย หากความสูงของกรวยกลมตรงกับแกนของกรวยนั้น จะเรียกว่ากรวยกลม

    ปริมาตร พื้นที่ด้านข้างและพื้นผิวทั้งหมดของกรวย:
    ,
    โดยที่ r คือรัศมี โซน - พื้นที่; P คือเส้นรอบวงของฐาน L คือความยาวของเจนเนอราทริกซ์ H คือความสูงของกรวย

    ปริมาตรและพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของกรวยที่ถูกตัด:

    ภาคตัดกรวย

    ส่วนของกรวยกลมที่ขนานกับฐานคือวงกลม

    ส่วนที่ตัดกันเพียงส่วนเดียวของกรวยกลมและไม่ขนานกับตัวสร้างใดๆ ของกรวยคือวงรี

    ส่วนที่ตัดกันเพียงส่วนเดียวของกรวยกลมและขนานกับหนึ่งในตัวกำเนิดของกรวยคือพาราโบลา

    ส่วนที่ตัดทั้งสองส่วนของกรวยกลมโดยทั่วไปคือไฮเพอร์โบลาที่ประกอบด้วยกิ่งสองกิ่ง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าส่วนนี้ผ่านแกนของกรวย เราก็จะได้เส้นตัดกันคู่หนึ่ง (สร้างกรวย)

    พื้นผิวทรงกลม- นี่คือตำแหน่งของจุดในอวกาศซึ่งห่างจากจุดหนึ่งเท่ากันซึ่งเรียกว่าจุดศูนย์กลางของพื้นผิวทรงกลม

    ลูกบอล (ทรงกลม)เป็นวัตถุที่ล้อมรอบด้วยพื้นผิวทรงกลม คุณสามารถรับลูกบอลได้โดยหมุนครึ่งวงกลม (หรือวงกลม) รอบเส้นผ่านศูนย์กลาง ส่วนระนาบทั้งหมดของทรงกลมเป็นวงกลม วงกลมที่ใหญ่ที่สุดอยู่ในส่วนที่ผ่านจุดศูนย์กลางของลูกบอล และเรียกว่าวงกลมใหญ่ รัศมีของมันเท่ากับรัศมีของทรงกลม วงกลมใหญ่สองวงตัดกันในเส้นผ่านศูนย์กลางของลูกบอล เส้นผ่านศูนย์กลางนี้ยังเป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมใหญ่ที่ตัดกัน ผ่านจุดสองจุดของพื้นผิวทรงกลมที่ปลายเส้นผ่านศูนย์กลางเดียวกัน เราสามารถวาดวงกลมขนาดใหญ่จำนวนไม่สิ้นสุดได้

    ปริมาตรของทรงกลมน้อยกว่าปริมาตรของทรงกระบอกที่อธิบายไว้รอบๆ หนึ่งเท่าครึ่ง และพื้นผิวของทรงกลมน้อยกว่าพื้นผิวทั้งหมดของทรงกระบอกเดียวกันหนึ่งเท่าครึ่ง

    สมการของทรงกลมในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมคือ:
    (x-x0)+(y-y)2+ (z-z0)=R2,
    ที่นี่ x, y, z คือพิกัดของจุดแปรผันบนทรงกลม
    x0, y0, z0 - พิกัดของศูนย์กลาง
    R คือรัศมีของทรงกลม

    ปริมาตรของทรงกลมและพื้นที่ของทรงกลม:

    ปริมาตรของส่วนทรงกลมและพื้นที่ของพื้นผิวที่แบ่ง:
    ,
    โดยที่ h คือความสูงของส่วนทรงกลม

    ปริมาตรและพื้นที่ผิวทั้งหมดของภาคทรงกลม:
    ,
    โดยที่ R คือรัศมีของลูกบอล h คือความสูงของส่วนทรงกลม

    ปริมาตรและพื้นที่ผิวทั้งหมดของชั้นทรงกลม:
    ,
    โดยที่ h คือความสูง r1 และ r2 คือรัศมีของฐานของชั้นทรงกลม

    ปริมาตรและพื้นที่ผิวของพรู:
    ,
    โดยที่ r คือรัศมีของวงกลม R คือระยะทางจากจุดศูนย์กลางของวงกลมถึงแกนหมุน

    ความโค้งเฉลี่ยของพื้นผิว S ที่จุด A0:

    ชิ้นส่วนลูก. ส่วนหนึ่งของลูกบอล (ทรงกลม) ที่ถูกตัดออกจากระนาบใด ๆ เรียกว่าส่วนทรงกลม (ทรงกลม) วงกลมเรียกว่าฐานของส่วนทรงกลม ส่วนของเส้นตั้งฉากที่ลากจากจุดศูนย์กลางของวงกลมไปยังจุดตัดกับพื้นผิวทรงกลม เรียกว่า ความสูงของส่วนทรงกลม ส่วนของทรงกลมที่อยู่ระหว่างระนาบขนานสองระนาบที่ตัดกับพื้นผิวทรงกลมเรียกว่าชั้นทรงกลม พื้นผิวโค้งของชั้นทรงกลมเรียกว่าแถบทรงกลม (โซน) ระยะห่างระหว่างฐานของสายพานทรงกลมคือความสูง ส่วนหนึ่งของทรงกลมล้อมรอบด้วยพื้นผิวโค้งของส่วนทรงกลมและ พื้นผิวทรงกรวยซึ่งมีฐานเป็นฐานของปล้อง และมีจุดยอดอยู่ตรงกลางของลูกบอล เรียกว่า เซกเตอร์ทรงกลม

    สมมาตร.

    สมมาตรกระจก รูปทรงเรขาคณิตกล่าวได้ว่ามีความสมมาตรเมื่อเทียบกับระนาบ S ถ้าสำหรับแต่ละจุด E ของรูปนี้ สามารถหาจุด E' ของรูปเดียวกันได้ เพื่อให้ส่วน EE' ตั้งฉากกับระนาบ S และแบ่งครึ่งระนาบนี้ ระนาบ S เรียกว่าระนาบสมมาตร ตัวเลขสมมาตร วัตถุและร่างกายไม่เท่ากันในความหมายแคบๆ เรียกว่ากระจกเท่ากัน

    สมมาตรกลาง รูปทรงเรขาคณิตได้รับการกล่าวขานว่าสมมาตรเมื่อเทียบกับจุดศูนย์กลาง C ถ้าสำหรับแต่ละจุด A ของรูปนี้สามารถหาจุด E ของรูปเดียวกันได้ เพื่อให้ส่วน AE ผ่านจุดศูนย์กลาง C และถูกแบ่งครึ่ง ณ จุดนี้ จุด C ในกรณีนี้เรียกว่าจุดศูนย์กลางของสมมาตร

    สมมาตรการหมุน ร่างกายมีสมมาตรแบบหมุนได้ ถ้าเมื่อหมุนผ่านมุม 360° / n (n เป็นจำนวนเต็ม) รอบเส้นตรง AB (แกนสมมาตร) บางส่วนจะตรงกับตำแหน่งเริ่มต้นอย่างสมบูรณ์ สำหรับ n=2 เรามีสมมาตรตามแนวแกน

    ตัวอย่างประเภทของความสมมาตรลูกบอล (ทรงกลม) มีทั้งสมมาตรตรงกลางและกระจกเงาและสมมาตรแบบหมุน ศูนย์กลางของสมมาตรคือศูนย์กลางของลูกบอล ระนาบสมมาตรคือระนาบของวงกลมใหญ่ใดๆ แกนสมมาตรคือเส้นผ่านศูนย์กลางของลูกบอล

    กรวยกลมมีความสมมาตรตามแนวแกน แกนสมมาตรคือแกนของกรวย

    ปริซึมตรงมีความสมมาตรของกระจก ระนาบสมมาตรขนานกับฐานและอยู่ในระยะห่างระหว่างกัน

    ความสมมาตรของรูปทรงระนาบ

    สมมาตรแกนกระจก ถ้า ก รูปแบนสมมาตรเมื่อเทียบกับระนาบ (ซึ่งเป็นไปได้ก็ต่อเมื่อรูประนาบตั้งฉากกับระนาบนี้) ดังนั้นเส้นที่ระนาบเหล่านี้ตัดกันคือแกนสมมาตรอันดับสองของรูปนี้ ในกรณีนี้ ตัวเลขนี้เรียกว่าสมมาตรแบบกระจก

    สมมาตรกลาง ถ้ารูประนาบมีแกนสมมาตรเป็นลำดับที่สอง ตั้งฉากกับระนาบจุดที่เส้นและระนาบของรูปตัดกันคือจุดศูนย์กลางของสมมาตร

    ตัวอย่างความสมมาตรของรูปทรงระนาบ

    สี่เหลี่ยมด้านขนานมีสมมาตรตรงกลางเท่านั้น จุดศูนย์กลางของสมมาตรคือจุดตัดของเส้นทแยงมุม
    สี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วมีสมมาตรตามแนวแกนเท่านั้น แกนสมมาตรของมันคือเส้นตั้งฉากที่ลากผ่านจุดกึ่งกลางของฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู

    รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนมีทั้งความสมมาตรตรงกลางและแกน แกนสมมาตรของมันคือเส้นทแยงมุมใดๆ ศูนย์กลางของสมมาตรคือจุดตัดกัน

    ตำแหน่งของจุด (ต่อไปนี้จะเรียกว่า GMT) เป็นรูประนาบที่ประกอบด้วยจุดที่มีคุณสมบัติบางอย่าง และไม่มีจุดเดียวที่ไม่มีคุณสมบัตินี้

    เราจะพิจารณาเฉพาะ HMT ที่สามารถสร้างได้โดยใช้เข็มทิศและเส้นตรง

    ให้เราพิจารณา HMT บนระนาบ ซึ่งมีคุณสมบัติที่ง่ายและแสดงบ่อยที่สุด:

    1) HMT ซึ่งเว้นระยะตามระยะที่กำหนด r จากจุด O ที่กำหนด เป็นวงกลมที่มีศูนย์กลางอยู่ที่จุด O ของรัศมี r

    2) GMT ของจุด A และ B ที่มีระยะห่างเท่ากันจากสองจุดที่กำหนดให้เป็นเส้นตรงที่ตั้งฉากกับส่วน AB และผ่านตรงกลาง

    3) GMT มีระยะห่างเท่ากันจากเส้นตัดกันสองเส้น มีเส้นตั้งฉากร่วมกันคู่หนึ่งผ่านจุดตัดและแบ่งครึ่งมุมระหว่างเส้นที่กำหนด

    4) GMT ซึ่งเว้นระยะ h จากเส้นตรงเป็นระยะทางเท่ากัน มีเส้นตรงสองเส้นขนานกับเส้นตรงนี้และตั้งอยู่ตามแนว ด้านที่แตกต่างกันจากระยะทางที่กำหนด h.

    5) ตำแหน่งจุดศูนย์กลางของวงกลมสัมผัสกับเส้นที่กำหนด m ที่จุด M ที่กำหนดให้ตั้งฉากกับ AB ที่จุด M (ยกเว้นจุด M)

    6) ตำแหน่งจุดศูนย์กลางของวงกลมที่สัมผัสกับวงกลมที่กำหนด ณ จุด M ที่กำหนดให้นั้นเป็นเส้นตรงผ่านจุด M และจุดศูนย์กลางของวงกลมที่กำหนด (ยกเว้นจุด M และ O)

    7) HMT ซึ่งส่วนนี้มองเห็นได้ในมุมที่กำหนด คือส่วนโค้งสองวงของวงกลมที่อธิบายไว้ในส่วนที่กำหนดและล้อมรอบมุมที่กำหนด

    8) GMT ระยะทางจากจุดที่กำหนดให้ A และ B สองจุดอยู่ในอัตราส่วน m: n เป็นวงกลม (เรียกว่าวงกลมของ Apollonius)

    9) ตำแหน่งจุดกึ่งกลางของคอร์ดที่ลากจากจุดหนึ่งของวงกลมคือวงกลมที่สร้างขึ้นบนส่วนที่เชื่อมต่อจุดที่กำหนดกับจุดศูนย์กลางของวงกลมที่กำหนด เช่นเดียวกับเส้นผ่านศูนย์กลาง

    10) ตำแหน่งจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับพื้นที่ที่กำหนดและมี พื้นดินทั่วไป, สร้างเส้นสองเส้นขนานกับฐานและผ่านจุดยอดของสามเหลี่ยมที่กำหนดและสมมาตรกับเส้นที่มีฐาน

    ให้เรายกตัวอย่างการหา GMT

    ตัวอย่างที่ 2ค้นหา GMT ซึ่งเป็นจุดกึ่งกลางของคอร์ดดึงจากจุดหนึ่งของวงกลมที่กำหนด(GMT ครั้งที่ 9).

    วิธีการแก้ . ให้วงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง O และเลือกจุด A บนวงกลมนี้ที่วาดคอร์ด ให้เราแสดงว่า HMT ที่ต้องการคือวงกลมที่สร้างขึ้นบน AO เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง (ยกเว้นจุด A) (รูปที่ 3)

    ให้ AB เป็นคอร์ดและ M เป็นจุดกึ่งกลาง ลองเชื่อมต่อ M และ O จากนั้น MO ^ AB (รัศมีแบ่งครึ่งคอร์ดจะตั้งฉากกับคอร์ดนี้) แต่แล้ว RAMO = 90 0 . ดังนั้น M อยู่ในวงกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง AO (GMT No. 7) เพราะ วงกลมนี้ผ่านจุด O แล้ว O เป็นของ GMT ของเรา


    ในทางกลับกัน ให้ M เป็นของ GMT ของเรา จากนั้นวาดคอร์ด AB ถึง M และเชื่อมต่อ M และ O เราจะได้ РАМО = 90 0 , เช่น MO ^ AB ดังนั้น M จึงอยู่ตรงกลางของคอร์ด AB ถ้า M ตรงกับ O แล้ว O คือจุดกึ่งกลางของ AC

    บ่อยครั้งที่วิธีพิกัดช่วยให้คุณค้นหา GMT ได้

    ตัวอย่างที่ 3ค้นหา GMT ระยะทางจากจุดที่กำหนดให้ A และ B สองจุดอยู่ในอัตราส่วนที่กำหนด m: n (m ≠ n)

    วิธีการแก้ . มาเลือกกันเลย ระบบสี่เหลี่ยมผืนผ้าพิกัดเพื่อให้จุด A และ B อยู่บนแกน Ox แบบสมมาตรตามจุดกำเนิดของพิกัด และแกน Oy พาดผ่านตรงกลางของ AB (รูปที่ 4) เรากำหนดให้ AB = 2a จากนั้นจุด A มีพิกัด A (a, 0) จุด B มีพิกัด B (-a, 0) ให้ C เป็นของ HMT พิกัด C(x, y) และ CB/CA = ม./น.แต่ วิธี

    (*)

    ลองเปลี่ยนสมการของเรา เรามี

    ร่างกายแตกต่างกันในด้านน้ำหนัก สี ความหนาแน่น ความแข็ง พื้นที่ที่มันครอบครอง ฯลฯ

    สัญญาณเหล่านี้เรียกว่าคุณสมบัติของร่างกาย

    ร่างกายที่มีคุณสมบัติเหล่านี้เรียกว่า ร่างกาย.

    ระหว่างคุณสมบัติเหล่านี้, คุณสมบัติของร่างกาย ก็เรียก ความยาว.

    ความยาวมี คุณสมบัติของร่างกายที่จะครอบครองสถานที่หนึ่งในอวกาศ.

    เขาถูกเรียก คุณสมบัติทางเรขาคณิตร่างกาย. คุณสมบัตินี้กำหนดรูปร่างและขนาดของร่างกาย

    เนื้อหาที่มีคุณสมบัติส่วนขยายเพียงรายการเดียวเรียกว่า เนื้อหาเรขาคณิต เมื่อพิจารณาถึงรูปทรงเรขาคณิต ให้สนใจเฉพาะรูปร่างและขนาดของมันเท่านั้น

    คุณสมบัติที่เหลือของร่างกายเรียกว่าทางกายภาพ

    ร่างกายทางเรขาคณิตมี พื้นที่ที่ถูกครอบครองโดยร่างกาย.

    ร่างกายทางเรขาคณิตถูกจำกัดในทุกด้าน มันถูกแยกออกจากส่วนที่เหลือของพื้นที่โดยพื้นผิวของร่างกาย ในการแสดงสิ่งนี้พวกเขาพูดอย่างนั้น

    พื้นผิวมี ขีด จำกัด ของร่างกาย.

    พื้นผิวด้านหนึ่งแยกออกจากอีกด้านด้วยเส้น เส้นกำหนดพื้นผิว ดังนั้น เส้นจึงเรียกว่าขอบเขตของพื้นผิว

    เส้นมี ขีด จำกัด พื้นผิว.

    จุดสิ้นสุดของบรรทัดเรียกว่าจุด จุดคั่นและแยกเส้นหนึ่งออกจากอีกเส้นหนึ่ง ซึ่งเป็นสาเหตุที่จุดเรียกว่าเส้นแบ่งเขต

    จุดมี ขีด จำกัด บรรทัด.

    รูปที่ 1 แสดงร่างกายในรูปแบบของกล่องปิดทุกด้าน ล้อมรอบด้วยหกด้านที่สร้างพื้นผิวของกล่อง แต่ละด้านของกล่องสามารถมองเป็นพื้นผิวแยกกันได้ ด้านเหล่านี้แยกออกจากกันด้วยเส้น 12 เส้นที่เป็นขอบของกล่อง เส้นแบ่งออกจากกันด้วย 8 จุดที่ประกอบกันเป็นมุมของกล่อง

    ร่างกาย พื้นผิว และเส้นมีขนาดไม่เท่ากัน ซึ่งหมายความว่าพวกเขาครอบครองพื้นที่ที่ไม่เท่ากันหรือมีขอบเขตที่ไม่เท่ากัน

    ปริมาณของร่างกาย. ค่าของรูปทรงเรขาคณิตเรียกว่าปริมาตรหรือความจุของร่างกาย

    พื้นที่ผิว. พื้นที่ผิวเรียกว่าพื้นที่

    ความยาวเส้น. ความยาวของเส้นเรียกว่าความยาว

    ความยาว พื้นที่ และปริมาตรเป็นปริมาณที่ต่างกัน มีการวัดในหน่วยต่างๆ และใช้เพื่อวัตถุประสงค์ที่แตกต่างกัน ในการหาระยะห่างของวัตถุสองชิ้น ความกว้างของแขน ความลึกของบ่อน้ำ ความสูงของหอคอย กำหนดความยาวของเส้น สำหรับสิ่งนี้จะทำการวัดเพียงครั้งเดียวนั่นคือการวัดจะทำในทิศทางเดียว เมื่อทำการวัด ให้ใช้หน่วยความยาว หน่วยความยาวเหล่านี้เรียกว่า versts, sazhens, arshins, ฟุต, เมตร ฯลฯ หน่วยความยาวมีมิติเดียว ซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมพวกเขาถึงกล่าวว่า

    เส้นมีมิติเดียว เส้นไม่มีความกว้างหรือความหนา มีความยาวเท่ากัน

    หากต้องการทราบขนาดรูปภาพ คุณต้องรู้ความยาวและความกว้างของรูปภาพ ความยาวและความกว้างทำให้ทราบพื้นที่ของภาพ ในการกำหนดพื้นที่จำเป็นต้องทำการวัดสองครั้งหรือวัดภาพในสองทิศทาง ในการกำหนดขนาดของพื้นที่จะใช้หน่วยพื้นที่ สี่เหลี่ยมจัตุรัสถือเป็นหน่วยของพื้นที่ซึ่งด้านนั้นมีความยาวตามหน่วยที่กำหนด หน่วยของพื้นที่เรียกว่า ตารางไมล์ หน่วยสี่เหลี่ยม หน่วยตารางฟุต และอื่นๆ หน่วยพื้นที่มีสองมิติ: ความยาว และความกว้าง. เนื่องจากพื้นผิวมีหน่วยวัดเป็นหน่วยพื้นที่ ในแง่นี้พวกเขาจึงพูดเช่นนั้น

    พื้นผิวมีสองมิติ พื้นผิวไม่มีความหนา สามารถมีความยาวและความกว้างเท่านั้น

    ในการมีแนวคิดเกี่ยวกับความจุของห้องหรือกล่อง คุณต้องทราบปริมาตรของห้องหรือกล่อง ในการทำเช่นนี้คุณต้องทราบความยาว ความกว้าง และความสูงของห้อง นั่นคือทำการวัดสามครั้งหรือวัดในสามทิศทาง ปริมาตรมีหน่วยวัดเป็นหน่วยปริมาตร ลูกบาศก์ถือเป็นหน่วยปริมาตรซึ่งแต่ละด้านมีค่าเท่ากับหนึ่ง หน่วยปริมาตรมีสามมิติ: ความยาว ความกว้าง และความสูง เนื่องจากปริมาตรมีหน่วยวัดเป็นหน่วยปริมาตร เราจึงพูดเช่นนั้น

    ร่างกายมีสามมิติ

    หน่วยของปริมาตรเรียกว่า ลูกบาศก์ต่อ ลูกบาศก์ฟุต ฯลฯ ขึ้นอยู่กับความยาวของด้านของลูกบาศก์

    จุดไม่มีความยาว ไม่มีความกว้าง ไม่มีความสูง หรือจุดไม่มีมิติ

    ส่วนขยายทางเรขาคณิต เส้น พื้นผิว และของแข็งเรียกว่าส่วนขยายทางเรขาคณิต

    เรขาคณิต เป็นศาสตร์เกี่ยวกับคุณสมบัติและการวัดส่วนขยายทางเรขาคณิต.

    เรขาคณิตเป็นศาสตร์แห่งอวกาศ กำหนดชุดของความสัมพันธ์ที่จำเป็นที่เกี่ยวข้องกับธรรมชาติของพื้นที่

    การก่อตัวของขอบเขตทางเรขาคณิตโดยการเคลื่อนไหว

    สามารถดูเส้นได้ในลักษณะเดียวกับร่องรอยที่ทิ้งไว้โดยการเคลื่อนที่ของจุด พื้นผิวที่เป็นรอยที่ทิ้งไว้โดยการเคลื่อนที่ของเส้น และเนื้อความที่เป็นร่องรอยที่ทิ้งไว้โดยการเคลื่อนที่ของพื้นผิว คำจำกัดความอื่นๆ ของเส้น พื้นผิว และของแข็งขึ้นอยู่กับการพิจารณาเหล่านี้

    เส้น เป็นที่ตั้งของจุดที่เคลื่อนไหว.

    พื้นผิว เป็นที่ตั้งของเส้นเคลื่อนที่.

    ร่างกาย เป็นที่ตั้งของพื้นผิวที่เคลื่อนที่.

    วัตถุทั้งหมดที่พิจารณาในธรรมชาติมีสามมิติ ไม่มีจุด ไม่มีเส้น ไม่มีพื้นผิวในนั้น แต่มีเพียงร่างกายเท่านั้น อย่างไรก็ตาม ในทางเรขาคณิต จุด เส้น และพื้นผิวถูกพิจารณาแยกจากเนื้อหา ในเวลาเดียวกัน เปลือกที่บางมากของร่างกายทำให้เราเห็นภาพพื้นผิวโดยประมาณ ด้ายหรือเส้นขนที่บางมากทำให้เราเห็นภาพของเส้น และปลายของด้ายเกี่ยวกับจุดนั้น

    เส้น

    เส้นแบ่งเป็นเส้นตรง เส้นหัก และเส้นโค้ง

    คือระยะทางที่สั้นที่สุดระหว่างจุดสองจุด

    ด้ายเส้นเล็กที่ยืดแน่นทำให้มองเห็นเส้นตรงได้ชัดเจน

    บรรทัดใด ๆ จะแสดงด้วยตัวอักษรที่จุด ภาพวาด 2 แสดงเส้นตรง AB ในทุกเส้นตรง จะดึงความสนใจไปที่เส้นนั้น ทิศทางและ ค่า.

    ทิศทางของเส้นตรงถูกกำหนดโดยตำแหน่ง

    มีการเชื่อมต่อแบบอนุกรมและต่อเนื่องของเส้นตรงหลายเส้นที่มีทิศทางต่างกัน

    เส้นแบ่ง ABCD (รูปที่ 3) ประกอบด้วยเส้นตรง AB, BC, CD ซึ่งไม่มีทิศทางเดียวกัน

    มีสิ่งหนึ่งที่ไม่สามารถประกอบด้วยเส้นตรงได้.

    บรรทัดที่แสดงในรูป 4 จะเป็นเส้นโค้ง

    เส้นที่ประกอบด้วยเส้นตรงและเส้นโค้ง บางครั้งเรียกว่าเส้นประสม

    การวาด (4, a) แสดงถึงเส้นประกอบดังกล่าว

    พื้นผิว

    พื้นผิวแบ่งออกเป็นแบบตรงหรือแบบเรียบและแบบโค้ง. พื้นผิวเรียบเรียกว่าเครื่องบิน

    เครื่องบิน. พื้นผิวเรียกว่าระนาบเมื่อเส้นตรงทุกเส้นที่ลากผ่านทุก ๆ สองจุดของพื้นผิวอยู่บนนั้นโดยมีจุดทั้งหมด

    พื้นผิวโค้ง มีอย่างหนึ่งที่ประกอบด้วยระนาบไม่ได้.

    เส้นตรงที่ลากระหว่างจุดสองจุดใดๆ ของพื้นผิวโค้งไม่พอดีกับจุดกึ่งกลางทั้งหมด

    การแสดงภาพของระนาบบางส่วนนั้นมาจากพื้นผิวของกระจกเงาอย่างดีหรือพื้นผิวของน้ำนิ่ง ตัวอย่างของพื้นผิวโค้ง เช่น พื้นผิวของลูกบิลเลียด

    ส่วนต่างๆ ของเรขาคณิต

    เรขาคณิตแบ่งออกเป็นระนาบและเรขาคณิตทึบ.

    แผนภาพ ศึกษาคุณสมบัติของส่วนขยายทางเรขาคณิตที่พิจารณาบนระนาบ

    สามมิติ ศึกษาคุณสมบัติของส่วนขยายทางเรขาคณิตที่ไม่สามารถแสดงได้ในระนาบเดียว

    Planimetry เรียกว่าเรขาคณิตบนระนาบ Stereometry - เรขาคณิตในอวกาศ

    เรขาคณิตแบ่งออกเป็นหลักและสูงกว่าในผลงานปัจจุบันจะนำเสนอเฉพาะรูปทรงเรขาคณิตเริ่มต้นเท่านั้น

    รูปแบบต่างๆ ของการแสดงออกของความจริงทางเรขาคณิต

    ความจริงทางเรขาคณิตจะแสดงในรูปของสัจพจน์ ทฤษฎีบท บทแทรก และปัญหาหรือปัญหา

    สัจพจน์ มีความจริง แต่หลักฐานไม่ต้องการการพิสูจน์.

    ตัวอย่างของความจริงที่ไม่ต้องการการพิสูจน์ ได้แก่ สัจพจน์ต่อไปนี้:

      ทั้งหมดเท่ากับผลรวมของส่วนต่างๆ

      ส่วนรวมนั้นยิ่งใหญ่กว่าส่วนของมัน ชิ้นส่วนมีขนาดเล็กกว่าทั้งหมด

      ปริมาณสองจำนวนที่เท่ากับหนึ่งในสามมีค่าเท่ากัน

      โดยการบวกหรือลบอย่างเท่าเทียมกันจากปริมาณที่เท่ากัน เราจะได้ปริมาณที่เท่ากัน

      โดยการเพิ่มหรือลบจากค่าที่เท่ากัน ไม่เท่ากัน เราได้ค่าที่ไม่เท่ากัน

      โดยการเพิ่มหรือลบอย่างเท่าเทียมกันจากค่าที่ไม่เท่ากัน เราจะได้ค่าที่ไม่เท่ากัน

      ผลรวมของสิ่งที่ใหญ่กว่าจะมากกว่าผลรวมของสิ่งที่เล็กกว่า

      ปริมาณที่เป็นเนื้อเดียวกันซึ่งไม่มากและไม่น้อยไปกว่าปริมาณอื่น ๆ เท่ากับ ฯลฯ

    ทฤษฎีบท. ทฤษฎีบทหรือสมมติฐานเป็นความจริงที่ต้องการการพิสูจน์.

    การพิสูจน์ เป็นชุดของข้อโต้แย้งที่ทำให้ทฤษฎีบทชัดเจน.

    ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์ด้วยความช่วยเหลือของสัจพจน์

    องค์ประกอบของทฤษฎีบท. ทุกทฤษฎีบทประกอบด้วยเงื่อนไขและข้อสรุป.

    บางครั้งเรียกเงื่อนไขนี้ว่า การคาดเดา, การคาดคะเนและบางครั้งเรียกข้อสรุปว่า ผลที่ตามมา. มีการกำหนดเงื่อนไขและบางครั้งจึงได้รับชื่อ ที่ให้ไว้.

    ทฤษฎีบทเรียกว่าผกผัน ถ้าข้อสรุปกลายเป็นเงื่อนไข และเงื่อนไขหรือสมมติฐานกลายเป็นข้อสรุป ในกรณีนี้ ทฤษฎีบทนี้เรียกว่าทฤษฎีบทโดยตรง ไม่ใช่ทุกทฤษฎีบทที่มีการผกผัน

    ปัญหาหรือความท้าทาย มีคำถามที่สามารถแก้ไขได้ด้วยความช่วยเหลือของทฤษฎีบท.

    บทแทรก เป็นความจริงเสริมที่อำนวยความสะดวกในการพิสูจน์ทฤษฎีบท.

    ไม่พบคำตอบสำหรับคำถามของคุณ? ดูที่นี่
    จะเริ่มต้นเป็นติวเตอร์ได้อย่างไร?จะเริ่มต้นเป็นติวเตอร์ได้อย่างไร?
    การเรียนภาษาอังกฤษทางไกลการเรียนภาษาอังกฤษทางไกล
    คำกริยาภาษาอังกฤษปกติและผิดปกติคำกริยาภาษาอังกฤษปกติและผิดปกติ