ผลคูณของรากของสมการกำลังสอง วิธีหาผลรวมของรากของสมการ

การหาผลรวมของรากของสมการเป็นหนึ่งในขั้นตอนที่จำเป็นในการแก้สมการกำลังสอง (สมการของรูปแบบ ax² + bx + c = 0 โดยที่เลขชี้กำลัง a, b และ c เป็นตัวเลขทั่วไป และ a ? 0) ด้วย การสนับสนุนทฤษฎีบทของเวียตา

คำแนะนำ

1. เขียนสมการกำลังสองเป็น ax² + bx + c = 0 ตัวอย่าง: สมการตั้งต้น: 12 + x²= 8x สมการที่เขียนถูกต้อง: x² - 8x + 12 = 0

2. ใช้ทฤษฎีบทเวียตาซึ่งผลรวมของรากของสมการจะเท่ากับจำนวน "b" ที่ถ่ายด้วยเครื่องหมายตรงข้ามและผลิตภัณฑ์จะเท่ากับตัวเลข "c" ตัวอย่าง: ในสมการ อยู่ระหว่างการพิจารณา b \u003d -8, c \u003d 12 ตามลำดับ: x1 + x2 =8×1∗x2=12

3. ค้นหาว่ารากของสมการเป็นตัวเลขที่ถูกต้องหรือเป็นค่าลบ ถ้าทั้งผลคูณและผลรวมของรากเป็นจำนวนบวก รากทั้งหมดจะเป็นจำนวนที่ถูกต้อง หากผลคูณของรากถูกต้องและผลรวมของรากเป็นจำนวนลบ รากทั้งสองจะเป็นลบ หากผลคูณของรากเป็นค่าลบ รากจะมีเครื่องหมาย "+" หนึ่งเครื่องหมาย และอีกเครื่องหมาย "-" ค่าลบ - ค่ารากที่ใหญ่กว่า - ค่าลบ ”ตัวอย่าง: ในสมการที่กำลังพิจารณา ทั้งผลรวมและ ผลคูณเป็นตัวเลขที่ถูกต้อง: 8 และ 12 ซึ่งหมายความว่ารากทั้งสองเป็นจำนวนบวก

4. แก้ระบบสมการผลลัพธ์โดยการเลือกราก จะสะดวกกว่าในการเริ่มต้นการเลือกจากปัจจัยต่างๆ และหลังจากนั้น สำหรับการตรวจสอบ ให้แทนที่ปัจจัยคู่ใดๆ ลงในสมการที่สองและตรวจสอบว่าผลรวมของรากเหล่านี้ตรงกับคำตอบหรือไม่ ตัวอย่าง: x1∗x2=12 คู่ที่เหมาะสม ของรากจะเป็นตามลำดับ: 12 และ 1, 6 และ 2, 4 และ 3 ตรวจสอบคู่ที่ได้รับด้วยการสนับสนุนของสมการ x1+x2=8 คู่ 12 + 1 ≠ 86 + 2 = 84 + 3 ≠ 8 ดังนั้น รากของสมการคือตัวเลข 6 และ 8

สมการคือความเท่าเทียมกันของรูปแบบ f(x,y,…)=g(x,y,..) โดยที่ f และ g เป็นฟังก์ชันของตัวแปรตั้งแต่หนึ่งตัวขึ้นไป การหารากของสมการหมายถึงการหาชุดอาร์กิวเมนต์ภายใต้ความเท่าเทียมกันนี้

คุณจะต้องการ

• ความรู้เกี่ยวกับการทบทวนทางคณิตศาสตร์

คำแนะนำ

1. บางทีคุณอาจมีสมการเช่น: x+2=x/5 ในการเริ่มต้น เราถ่ายโอนองค์ประกอบทั้งหมดของความเท่าเทียมกันนี้จากด้านขวาไปด้านซ้าย ขณะที่เปลี่ยนเครื่องหมายของส่วนประกอบเป็นตรงกันข้าม ศูนย์จะยังคงอยู่ทางด้านขวาของสมการนี้ นั่นคือ เราได้ค่าต่อไปนี้: x + 2-x / 5 \u003d 0

2. ให้เรานำเสนอเงื่อนไขที่คล้ายกัน เราได้รับสิ่งต่อไปนี้: 4x/5 + 2 = 0

3. นอกจากนี้ จากผลลัพธ์ของสมการที่ลดลง เราพบพจน์ที่ไม่รู้จักใน กรณีนี้นี่คือ X ค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่ไม่รู้จักจะเป็นคำตอบของสมการตั้งต้น ในกรณีนี้ เราได้รับสิ่งต่อไปนี้: x = -2.5

วิดีโอที่เกี่ยวข้อง

บันทึก!
เป็นผลมาจากการแก้ปัญหาอาจมีรากพิเศษปรากฏขึ้น พวกมันจะไม่ใช่คำตอบของสมการตั้งต้น แม้ว่าคุณจะตัดสินใจทุกอย่างในเชิงบวกแล้วก็ตาม อย่าลืมตรวจสอบโซลูชันทั้งหมดที่คุณได้รับ

คำแนะนำที่เป็นประโยชน์
ตรวจสอบค่าที่ไม่คุ้นเคยที่ได้รับเสมอ ซึ่งสามารถทำได้ในขั้นต้นโดยการแทนค่าผลลัพธ์เป็น สมการเริ่มต้น. ถ้าสมการถูกต้อง แสดงว่าคำตอบนั้นถูกต้อง

ทฤษฎีบทของเวียตาสร้างการเชื่อมต่อโดยตรงระหว่างราก (x1 และ x2) และเลขชี้กำลัง (b และ c, d) ของสมการเช่น bx2+cx+d=0 ด้วยความช่วยเหลือของทฤษฎีบทนี้จึงได้รับอนุญาตโดยไม่ต้องกำหนดค่าของรากในการคำนวณผลรวมของพวกเขาพูดอย่างกล้าหาญในใจ ไม่มีอะไรยากในเรื่องนี้สิ่งสำคัญคือต้องรู้กฎเกณฑ์บางอย่าง

คุณจะต้องการ

• - เครื่องคิดเลข;
• - กระดาษโน๊ต.

คำแนะนำ

1. นำไปสู่ แบบฟอร์มมาตรฐานสมการกำลังสองที่กำลังศึกษาอยู่ ดังนั้นเลขชี้กำลังทั้งหมดจะเรียงลำดับจากมากไปหาน้อย กล่าวคือ ในตอนแรก ระดับสูงสุด- x2 และในตอนท้าย องศาศูนย์ - x0 สมการจะอยู่ในรูปแบบ: b*x2 + c*x1 + d*х0 = b*x2 + c*x + d = 0

2. ตรวจสอบการไม่ปฏิเสธของการเลือกปฏิบัติ การตรวจสอบนี้จำเป็นเพื่อให้แน่ใจว่าสมการมีราก D (discriminant) อยู่ในรูปแบบ: D = c2 – 4*b*d. มีหลายตัวเลือกที่นี่ D - discriminant - ถูกต้อง ซึ่งหมายความว่าสมการมีสองราก D - เท่ากับศูนย์ตามมาว่ามีรูท แต่เป็นแบบคู่นั่นคือ x1 \u003d x2 D - ลบ สำหรับวิชาพีชคณิตของโรงเรียน เงื่อนไขนี้หมายความว่าไม่มีราก for คณิตศาสตร์ชั้นสูงมีราก แต่ซับซ้อน

3. หาผลรวมของรากของสมการ. เมื่อใช้ทฤษฎีบทเวียตา การทำเช่นนี้ทำได้ง่าย: b * x2 + c * x + d \u003d 0 ผลรวมของรากของสมการเป็นสัดส่วนโดยตรงกับ “–c” และแปรผกผันกับตัวบ่งชี้ “b” กล่าวคือ x1+x2 = -c/b กำหนดผลคูณของรากตามถ้อยคำ - ผลคูณของรากของสมการเป็นสัดส่วนโดยตรงกับ "d" และแปรผกผันกับตัวบ่งชี้ "b": x1 * x2 \u003d d / b

บันทึก!
หากคุณมีการเลือกปฏิบัติเชิงลบ ไม่ได้หมายความว่าไม่มีรากเหง้า ซึ่งหมายความว่ารากของสมการคือสิ่งที่เรียกว่ารากที่ซับซ้อน ทฤษฎีบทของ Vieta ก็ใช้ได้ในกรณีนี้เช่นกัน แต่รูปแบบของมันจะเปลี่ยนไปเล็กน้อย: [-c+(-i)*(-c2 + 4*b*d)0.5]/ = x1,2

คำแนะนำที่เป็นประโยชน์
หากคุณไม่ได้เผชิญกับสมการกำลังสอง แต่มีลูกบาศก์หรือสมการของดีกรี n: b0 * xn + b1 * xn-1 + ... .. + bn = 0 คุณสามารถใช้ทฤษฎีบทเวียตาเพื่อ คำนวณผลรวมหรือผลคูณของรากของสมการ :หนึ่ง –b1/b0 = x1 + x2 + x3 +….+ xn,2. b2/b0 = x1*x2+….+xn-1*xn,3. (-1)n * (bn/b0) = x1*x2*x3*….*xn.

หากเมื่อแทนที่ตัวเลขลงในสมการจะได้ความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง ตัวเลขดังกล่าวจะเรียกว่ารูท รากสามารถถูกต้อง ลบ และศูนย์ ในแต่ละชุดของรากของสมการ ค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดจะแตกต่างกัน

คำแนะนำ

1. ค้นหารากของสมการทั้งหมด โดยเลือกรากลบ หากมี สมมุติว่าให้สมการกำลังสอง 2x?-3x+1=0 ใช้สูตรราก สมการกำลังสอง: x(1,2)=/2=/2=/2 จากนั้น x1=2, x2=1 เป็นเรื่องง่ายที่จะสังเกตว่าไม่มีสิ่งที่เป็นลบในหมู่พวกเขา

2. นอกจากนี้ยังสามารถหารากของสมการกำลังสองโดยใช้ทฤษฎีบทเวียตา ตามทฤษฎีบทนี้ x1+x1=-b, x1?x2=c โดยที่ b และ c เป็นตัวบ่งชี้ของสมการ x?+bx+c=0 ตามลำดับ เมื่อใช้ทฤษฎีบทนี้ เป็นไปไม่ได้ที่จะไม่คำนวณการเลือกปฏิบัติ b?-4ac ซึ่งในบางกรณีอาจทำให้งานง่ายขึ้นอย่างมาก

3. ถ้าเลขชี้กำลังที่ x เป็นเลขคู่ในสมการกำลังสอง อนุญาตให้ใช้ไม่ใช่ตัวหลัก แต่เป็นสูตรย่อสำหรับการหาราก หากสูตรหลักมีลักษณะดังนี้ x(1,2)=[-b±?(b?-4ac)]/2a ดังนั้นในรูปแบบย่อ จะถูกเขียนดังนี้: x(1,2)=[-b/2 ±?( b?/4-ac)]/a. หากไม่มีเทอมอิสระในสมการกำลังสอง การย้าย x ออกนอกวงเล็บค่อนข้างง่าย และบางครั้งด้านซ้ายพับเข้า สี่เหลี่ยมเต็ม: x?+2x+1=(x+1)?

4. มีสมการหลายประเภทที่ไม่ได้ให้จำนวนหนึ่ง แต่มีคำตอบมากมาย เอาเป็นว่า สมการตรีโกณมิติ. ดังนั้น ผลลัพธ์ของสมการ 2sin?(2x)+5sin(2x)-3=0 จะเป็น x=?/4+?k โดยที่ k เป็นจำนวนเต็ม นั่นคือเมื่อแทนที่ค่าจำนวนเต็มของพารามิเตอร์ k อาร์กิวเมนต์ x จะเป็นไปตามสมการที่กำหนด

5. ที่ ปัญหาตรีโกณมิติอาจจำเป็นต้องค้นหารากเชิงลบทั้งหมดหรือรากเชิงลบที่สูงที่สุด ในการแก้ปัญหาดังกล่าวจะใช้เหตุผลเชิงตรรกะหรือวิธีการ การเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์. แทนที่ค่าจำนวนเต็มสำหรับ k ลงในนิพจน์ x=?/4+?k และสังเกตว่าอาร์กิวเมนต์ทำงานอย่างไร อีกอย่าง รูทลบที่ใหญ่ที่สุดในสมการก่อนหน้าจะเป็น x=-3?/4 โดยมี k=1

วิดีโอที่เกี่ยวข้อง

บันทึก!
ที่ ตัวอย่างนี้พิจารณาความแปรปรวนของสมการกำลังสอง โดยที่ a=1 ในการแก้สมการกำลังสองทั้งหมดด้วยวิธีเดียวกัน โดยที่ a & ne 1 คุณต้องสร้างสมการช่วย โดยนำ "a" มาเป็นหนึ่ง

คำแนะนำที่เป็นประโยชน์
ใช้ วิธีนี้การแก้สมการเพื่อค้นหารากอย่างรวดเร็ว นอกจากนี้ยังช่วยถ้าคุณต้องการแก้สมการในหัวของคุณโดยไม่ต้องใช้โน้ต

ผลรวมของรากของสมการกำลังสองที่ให้มาเท่ากับค่าสัมประสิทธิ์ที่สองด้วย เครื่องหมายตรงข้าม, และผลิตภัณฑ์ของรูตเท่ากับเทอมอิสระ

(จำได้ว่า: สมการกำลังสองที่ให้มาคือสมการที่สัมประสิทธิ์แรกคือ 1)

คำอธิบาย :

ให้สมการกำลังสอง ขวาน2+bx +ค= 0 มีราก X 1 และ X 2. จากนั้นตามทฤษฎีบทของเวียตา:

ตัวอย่างที่ 1 :

สมการข้างต้น x 2 - 7x + 10 \u003d 0 มีราก 2 และ 5

ผลรวมของรากคือ 7 และผลิตภัณฑ์คือ 10

และในสมการของเรา สัมประสิทธิ์ที่สองคือ -7 และการสกัดกั้นคือ 10

ดังนั้น ผลรวมของรากจะเท่ากับสัมประสิทธิ์ที่สองที่มีเครื่องหมายตรงข้าม และผลิตภัณฑ์ของรากคือพจน์อิสระ

บ่อยครั้งมีสมการกำลังสองที่สามารถคำนวณได้ง่ายโดยใช้ทฤษฎีบทเวียตา − นอกจากนี้ด้วยความช่วยเหลือทำให้คำนวณได้ง่ายขึ้น มันง่ายที่จะเห็นสิ่งนี้ทั้งในตัวอย่างก่อนหน้าและในตัวอย่างถัดไป

ตัวอย่างที่ 2 . แก้สมการกำลังสอง X 2 – 2X – 24 = 0.

วิธีการแก้ .

เราใช้ทฤษฎีบทเวียตาและเขียนอัตลักษณ์สองประการ:

Xหนึ่ง · X 2 = –24

X 1 + X 2 = 2

เราเลือกตัวประกอบดังกล่าวสำหรับ -24 เพื่อให้ผลรวมเท่ากับ 2 หลังจากครุ่นคิด เราจะพบว่า: 6 และ -4 มาตรวจสอบกัน:

6 (- 4) = -24.

6 + (– 4) = 6 – 4 = 2.

ตามที่คุณสังเกตเห็น ในทางปฏิบัติ แก่นแท้ของทฤษฎีบทของ Vieta คือการสลายเทอมอิสระในสมการกำลังสองที่กำหนดให้เป็นปัจจัยดังกล่าว ซึ่งผลรวมจะเท่ากับสัมประสิทธิ์ที่สองที่มีเครื่องหมายตรงข้าม ปัจจัยเหล่านี้จะเป็นรากเหง้า

ดังนั้นรากของสมการกำลังสองของเราคือ 6 และ -4

ตอบ: X 1 = 6, X 2 = –4.

ตัวอย่างที่ 3 . ลองแก้สมการกำลังสอง 3x 2 + 2x - 5 = 0

ที่นี่เราไม่ได้จัดการกับสมการกำลังสองที่ลดลง แต่สมการดังกล่าวสามารถแก้ไขได้โดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตาหากสัมประสิทธิ์ของพวกมันสมดุลกัน ตัวอย่างเช่น หากผลรวมของสัมประสิทธิ์ที่หนึ่งและสามเท่ากับค่าที่สองที่มีเครื่องหมายตรงข้าม

วิธีการแก้ .

ค่าสัมประสิทธิ์ของสมการมีความสมดุล: ผลรวมของเทอมที่หนึ่งและสามเท่ากับค่าที่สองที่มีเครื่องหมายตรงข้าม:

3 + (–5) = –2.

ตามทฤษฎีบทของเวียตา

x 1 + x 2 = -2/3
x 1 x 2 = -5/3

เราต้องหาตัวเลขสองตัวที่ผลรวมเป็น -2/3 และผลคูณคือ -5/3 ตัวเลขเหล่านี้จะเป็นรากของสมการ

ตัวเลขแรกถูกเดาทันที: มันคือ 1 หลังจากทั้งหมดด้วย x \u003d 1 สมการจะกลายเป็นการบวก-ลบที่ง่ายที่สุด:
3 + 2 - 5 = 0 จะหารากที่สองได้อย่างไร?
ลองแทน 1 เป็น 3/3 เพื่อให้ตัวเลขทั้งหมดมี ตัวส่วนเดียวกัน: ง่ายกว่า และพวกเขาถามทันที การดำเนินการเพิ่มเติม. ถ้า x 1 \u003d 3/3 แล้ว:

3/3 + x 2 = -2/3

เราแก้สมการง่ายๆ:

x 2 \u003d -2/3 - 3/3

คำตอบ: x 1 \u003d 1; x 2 \u003d -5/3

ตัวอย่างที่ 4: แก้สมการกำลังสอง7 x 2 – 6x – 1 = 0.

วิธีการแก้ :

พบหนึ่งรูตทันที - ดึงดูดสายตาของคุณ: X 1 = 1 (เพราะได้เลขคณิตอย่างง่าย: 7 - 6 - 1 = 0)

ค่าสัมประสิทธิ์ของสมการมีความสมดุล: ผลรวมของตัวแรกและตัวที่สามเท่ากับค่าที่สองที่มีเครื่องหมายตรงข้าม:
7 + (– 1) = 6.

ตามทฤษฎีบท Vieta เราประกอบด้วยสองตัวตน (แม้ว่าในกรณีนี้หนึ่งในนั้นก็เพียงพอแล้ว):

Xหนึ่ง · X 2 = –1/7
X 1 + X 2 = 6/7

แทนค่าของ x 1 ลงในนิพจน์ทั้งสองนี้แล้วหา x 2:

X 2 = –1/7: 1 = –1/7

ตอบ : X 1 = 1; X 2 = –1/7

ดิสคริมิแนนต์ของสมการกำลังสองรีดิวซ์

ดิสคริมิแนนต์ของสมการกำลังสองที่ลดลงสามารถคำนวณได้เป็น สูตรทั่วไปและในวิธีที่ง่ายขึ้น:

ที่D = 0 รากของสมการข้างต้นสามารถคำนวณได้โดยสูตร:

ถ้าD< 0, то уравнение не имеет корней.

ถ้า D = 0 สมการจะมีหนึ่งรูท

ถ้า D > 0 สมการจะมีรากที่สอง

ระหว่างรากและสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสอง นอกจากสูตรรากแล้ว ยังมีความสัมพันธ์ที่เป็นประโยชน์อื่นๆ ทฤษฎีบทของเวียตา. ในบทความนี้ เราจะให้สูตรและการพิสูจน์ทฤษฎีบทของเวียตาสำหรับสมการกำลังสอง ต่อไป เราพิจารณาทฤษฎีบทหนึ่งที่สนทนากับทฤษฎีบทของเวียตา หลังจากนั้นเราจะวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหาของตัวอย่างที่มีลักษณะเฉพาะมากที่สุด สุดท้าย เราเขียนสูตร Vieta ที่กำหนดการเชื่อมต่อระหว่างรากที่แท้จริง สมการพีชคณิต องศา n และค่าสัมประสิทธิ์

การนำทางหน้า

ทฤษฎีบทของเวียตา สูตร การพิสูจน์

จากสูตรรากของสมการกำลังสอง a x 2 +b x+c=0 ของรูปแบบ โดยที่ D=b 2 −4 a c , ความสัมพันธ์ x 1 +x 2 = −b/a, x 1 x 2 = ค/ก. ผลลัพธ์เหล่านี้ได้รับการยืนยัน ทฤษฎีบทของเวียตา:

ทฤษฎีบท.

ถ้า x 1 และ x 2 คือรากของสมการกำลังสอง a x 2 +b x+c=0 แล้วผลรวมของรากจะเท่ากับอัตราส่วนของสัมประสิทธิ์ b และ a ที่นำมาด้วยเครื่องหมายตรงข้าม และผลิตภัณฑ์ของ รากเท่ากับอัตราส่วนของสัมประสิทธิ์ c และ a นั่นคือ .

การพิสูจน์.

เราจะพิสูจน์ทฤษฎีบทเวียตาตามรูปแบบต่อไปนี้: เราเขียนผลรวมและผลคูณของรากของสมการกำลังสองโดยใช้ สูตรดัง root หลังจากนั้น เราแปลงนิพจน์ผลลัพธ์ และตรวจสอบให้แน่ใจว่ามีค่าเท่ากับ −b/a และ c/a ตามลำดับ

เริ่มจากผลรวมของราก เขียนมัน ตอนนี้เรานำเศษส่วนมาที่ ตัวส่วนร่วม, เรามี . ในตัวเศษของเศษส่วนผลลัพธ์ หลังจากนั้น : . ในที่สุด หลังจาก 2 เราจะได้ . นี่เป็นการพิสูจน์ความสัมพันธ์ครั้งแรกของทฤษฎีบทของเวียตาสำหรับผลรวมของรากของสมการกำลังสอง มาต่อกันที่ข้อที่สอง

เราเขียนผลคูณของรากของสมการกำลังสอง:. ตามกฎการคูณเศษส่วน งานล่าสุดเขียนได้เป็น . ตอนนี้เราคูณวงเล็บด้วยวงเล็บในตัวเศษ แต่จะยุบผลิตภัณฑ์นี้ได้เร็วกว่าโดย ความแตกต่างของสูตรกำลังสอง, ดังนั้น . จากนั้น จำไว้ว่า เราดำเนินการเปลี่ยนครั้งต่อไป และเนื่องจากสูตร D=b 2 −4 a·c สอดคล้องกับการเลือกปฏิบัติของสมการกำลังสอง ดังนั้น b 2 −4·a·c สามารถแทนที่เป็นเศษส่วนสุดท้ายแทนที่จะเป็น D เราจึงได้ หลังจากเปิดวงเล็บแล้วหล่อ คำที่คล้ายกันเรามาถึงเศษส่วนและลดลง 4·a ให้ นี่เป็นการพิสูจน์ความสัมพันธ์ที่สองของทฤษฎีบทของเวียตาสำหรับผลคูณของราก

หากเราละเว้นคำอธิบาย การพิสูจน์ทฤษฎีบทเวียตาจะมีรูปแบบที่กระชับ:
,
.

ยังคงเป็นเพียงข้อสังเกตว่าเมื่อ discriminant เท่ากับศูนย์ สมการกำลังสองจะมีหนึ่งราก อย่างไรก็ตาม หากเราคิดว่าสมการในกรณีนี้มีสองรากที่เหมือนกัน ความเท่าเทียมกันจากทฤษฎีบทเวียตาก็ถือเช่นกัน อันที่จริงสำหรับ D=0 รากของสมการกำลังสองคือ จากนั้น และ และตั้งแต่ D=0 นั่นคือ b 2 −4·a·c=0 เหตุใด b 2 =4·a·c จึง

ในทางปฏิบัติ ทฤษฎีบทของ Vieta มักใช้กับสมการกำลังสองที่ลดลง (ที่มีค่าสัมประสิทธิ์สูงสุดเท่ากับ 1 ) ของรูปแบบ x 2 +p·x+q=0 . บางครั้งมันถูกสร้างสูตรสำหรับสมการกำลังสองของประเภทนี้ ซึ่งไม่จำกัดความทั่วไป เนื่องจากสมการกำลังสองใดๆ สามารถแทนที่ด้วยสมการที่เท่ากันได้โดยการหารทั้งสองส่วนด้วยจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์ a นี่คือสูตรที่สอดคล้องกันของทฤษฎีบทของเวียตา:

ทฤษฎีบท.

ผลรวมของรากของสมการกำลังสองลด x 2 + p x + q \u003d 0 เท่ากับสัมประสิทธิ์ที่ x ถ่ายด้วยเครื่องหมายตรงข้าม และผลิตภัณฑ์ของรากเป็นเทอมอิสระ นั่นคือ x 1 + x 2 \u003d −p, x 1 x 2 \u003d q .

ทฤษฎีบทผกผันกับทฤษฎีบทของเวียตา

สูตรที่สองของทฤษฎีบทเวียตา ให้ไว้ในย่อหน้าก่อนหน้า ระบุว่าถ้า x 1 และ x 2 เป็นรากของสมการกำลังสองลด x 2 +p x+q=0 แล้ว ความสัมพันธ์ x 1 +x 2 = − p, x 1 x 2=q. ในทางกลับกัน จากความสัมพันธ์ที่เป็นลายลักษณ์อักษร x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q ตามมาว่า x 1 และ x 2 เป็นรากของสมการกำลังสอง x 2 +p x+q=0 กล่าวอีกนัยหนึ่ง การยืนยันกับทฤษฎีบทของ Vieta นั้นเป็นความจริง เรากำหนดมันในรูปแบบของทฤษฎีบทและพิสูจน์มัน

ทฤษฎีบท.

หากตัวเลข x 1 และ x 2 เป็นจำนวนที่ x 1 +x 2 =−p และ x 1 x 2 =q ดังนั้น x 1 และ x 2 จะเป็นรากของสมการกำลังสองลด x 2 +p x+q=0 .

การพิสูจน์.

หลังจากแทนที่ในสมการ x 2 +p x+q=0 สัมประสิทธิ์ p และ q ของนิพจน์ผ่าน x 1 และ x 2 ค่าสัมประสิทธิ์จะถูกแปลงเป็น สมการเทียบเท่า.

เราแทนจำนวน x 1 แทน x ในสมการผลลัพธ์ เรามีความเท่าเทียมกัน x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 =0ซึ่งสำหรับ x 1 และ x 2 ใด ๆ เป็นความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่ถูกต้อง 0=0 ตั้งแต่ x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 x 1 + x 1 x 2 =0. ดังนั้น x 1 จึงเป็นรากของสมการ x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0ซึ่งหมายความว่า x 1 เป็นรากของสมการเทียบเท่า x 2 +p x+q=0 .

ถ้าอยู่ในสมการ x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0แทนที่ตัวเลข x 2 แทน x แล้วเราจะได้ความเท่าเทียมกัน x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 =0. เป็นสมการที่ถูกต้องเพราะ x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 x 2 −x 2 2 +x 1 x 2 =0. ดังนั้น x 2 จึงเป็นรากของสมการด้วย x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0และด้วยเหตุนี้สมการ x 2 +p x+q=0 .

เป็นการเสร็จสิ้นการพิสูจน์ทฤษฎีบท ทฤษฎีบทสนทนาเวียต้า.

ตัวอย่างการใช้ทฤษฎีบทของเวียตา

ได้เวลาพูดถึงการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทของเวียตาและทฤษฎีบทผกผันในทางปฏิบัติแล้ว ในส่วนย่อยนี้ เราจะวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหาของตัวอย่างทั่วไปหลายตัว

เราเริ่มต้นด้วยการใช้ทฤษฎีบทกับทฤษฎีบทของเวียตา สะดวกในการใช้ตรวจสอบว่าตัวเลขสองตัวที่ให้มานั้นเป็นรากของสมการกำลังสองที่กำหนดหรือไม่ ในกรณีนี้จะคำนวณผลรวมและส่วนต่างหลังจากนั้นจะตรวจสอบความถูกต้องของความสัมพันธ์ ถ้าความสัมพันธ์ทั้งสองนี้เป็นที่พอใจ ดังนั้น โดยอาศัยทฤษฎีบทที่สนทนากับทฤษฎีบทของเวียตา สรุปได้ว่าตัวเลขเหล่านี้เป็นรากของสมการ ถ้าอย่างน้อยหนึ่งความสัมพันธ์ไม่พอใจ ตัวเลขเหล่านี้ก็ไม่ใช่รากของสมการกำลังสอง วิธีนี้สามารถใช้เมื่อแก้สมการกำลังสองเพื่อตรวจสอบรากที่พบ

ตัวอย่าง.

คู่ใดของตัวเลข 1) x 1 =−5, x 2 =3 หรือ 2), หรือ 3) เป็นคู่ของรากของสมการกำลังสอง 4 x 2 −16 x+9=0?

วิธีการแก้.

สัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสองที่กำหนด 4 x 2 −16 x+9=0 คือ a=4 , b=−16 , c=9 . ตามทฤษฎีบทของ Vieta ผลรวมของรากของสมการกำลังสองต้องเท่ากับ −b/a นั่นคือ 16/4=4 และผลิตภัณฑ์ของรากต้องเท่ากับ c/a นั่นคือ 9 /4.

ตอนนี้เราคำนวณผลรวมและผลคูณของตัวเลขในแต่ละสาม ให้คู่และเปรียบเทียบกับค่าที่เพิ่งได้รับ

ในกรณีแรก เรามี x 1 +x 2 =−5+3=−2 . ค่าผลลัพธ์แตกต่างจาก 4 ดังนั้นจึงไม่สามารถตรวจสอบเพิ่มเติมได้ แต่โดยทฤษฎีบทซึ่งเป็นผกผันของทฤษฎีบทของ Vieta เราสามารถสรุปได้ทันทีว่าตัวเลขคู่แรกไม่ใช่คู่ของรากของสมการกำลังสองที่กำหนด

มาต่อกันที่กรณีที่สอง นั่นคือเงื่อนไขแรกเป็นที่พอใจ เราตรวจสอบเงื่อนไขที่สอง: ค่าที่ได้จะแตกต่างจาก 9/4 ดังนั้น ตัวเลขคู่ที่สองจึงไม่ใช่คู่ของรากของสมการกำลังสอง

ที่เหลืออยู่ กรณีสุดท้าย. ที่นี่และ. ทั้งสองเงื่อนไขเป็นไปตามเงื่อนไข ดังนั้นตัวเลขเหล่านี้ x 1 และ x 2 จึงเป็นรากของสมการกำลังสองที่ให้มา

ตอบ:

ทฤษฎีบทซึ่งเป็นส่วนกลับของทฤษฎีบทของเวียตาสามารถนำมาใช้ในทางปฏิบัติเพื่อเลือกรากของสมการกำลังสอง โดยปกติ รากของจำนวนเต็มของสมการกำลังสองที่กำหนดพร้อมสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มจะถูกเลือก เนื่องจากในกรณีอื่นๆ การทำเช่นนี้ค่อนข้างยาก ในเวลาเดียวกัน พวกเขาใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าถ้าผลรวมของตัวเลขสองตัวเท่ากับสัมประสิทธิ์ที่สองของสมการกำลังสอง นำด้วยเครื่องหมายลบ และผลคูณของจำนวนเหล่านี้เท่ากับเทอมว่าง ตัวเลขเหล่านี้ก็คือ รากของสมการกำลังสองนี้ มาจัดการกับเรื่องนี้ด้วยตัวอย่าง

ลองใช้สมการกำลังสอง x 2 −5 x+6=0 กัน เพื่อให้ตัวเลข x 1 และ x 2 เป็นรากของสมการนี้ ต้องมีความเท่าเทียมกันสองค่า x 1 +x 2 \u003d 5 และ x 1 x 2 \u003d 6 มันยังคงเลือกตัวเลขดังกล่าว ในกรณีนี้ มันค่อนข้างง่ายที่จะทำ: ตัวเลขดังกล่าวคือ 2 และ 3 เนื่องจาก 2+3=5 และ 2 3=6 . ดังนั้น 2 และ 3 จึงเป็นรากของสมการกำลังสองนี้

ทฤษฎีบทซึ่งเป็นส่วนกลับของทฤษฎีบทของเวียตานั้นสะดวกเป็นพิเศษในการประยุกต์ใช้เพื่อค้นหารากที่สองของสมการกำลังสองที่ลดลง เมื่อรากใดรากหนึ่งเป็นที่รู้จักหรือชัดเจนอยู่แล้ว ในกรณีนี้ จะพบรูทที่สองจากความสัมพันธ์ใดๆ

ตัวอย่างเช่น ลองใช้สมการกำลังสอง 512 x 2 −509 x−3=0 กัน ในที่นี้ง่ายที่จะเห็นว่าหน่วยเป็นรากของสมการ เนื่องจากผลรวมของสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสองนี้เป็นศูนย์ ดังนั้น x 1 =1 รากที่สอง x 2 สามารถพบได้ ตัวอย่างเช่น จากความสัมพันธ์ x 1 x 2 =c/a เรามี 1 x 2 =−3/512 ดังนั้น x 2 =−3/512 ดังนั้นเราจึงกำหนดรากทั้งสองของสมการกำลังสอง: 1 และ −3/512

เป็นที่ชัดเจนว่าการเลือกรากนั้นเหมาะสมที่สุดเท่านั้น กรณีง่าย. ในกรณีอื่นๆ ในการหาราก คุณสามารถใช้สูตรของรากของสมการกำลังสองผ่านการเลือกปฏิบัติ

อื่น การใช้งานจริงทฤษฎีบทซึ่งเป็นบทสนทนาของทฤษฎีบทของเวียตาประกอบด้วยการวาดสมการกำลังสองสำหรับรากที่กำหนด x 1 และ x 2 เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ก็เพียงพอที่จะคำนวณผลรวมของราก ซึ่งให้สัมประสิทธิ์ของ x กับเครื่องหมายตรงข้ามของสมการกำลังสองที่กำหนด และผลิตภัณฑ์ของราก ซึ่งให้เทอมอิสระ

ตัวอย่าง.

เขียนสมการกำลังสองซึ่งมีรากเป็นตัวเลข -11 และ 23

วิธีการแก้.

แสดงว่า x 1 =-11 และ x 2 =23 . เราคำนวณผลรวมและผลิตภัณฑ์ของตัวเลขเหล่านี้: x 1 + x 2 \u003d 12 และ x 1 x 2 \u003d −253 เพราะเหตุนี้, ตัวเลขที่ระบุคือรากของสมการกำลังสองรีดิวซ์ด้วยสัมประสิทธิ์ที่สอง -12 และเทอมอิสระ -253 นั่นคือ x 2 −12·x−253=0 เป็นสมการที่ต้องการ

ตอบ:

x 2 −12 x−253=0 .

ทฤษฎีบทของเวียตามักใช้ในการแก้งานที่เกี่ยวข้องกับสัญญาณของรากของสมการกำลังสอง ทฤษฎีบทของ Vieta เกี่ยวข้องกับสัญญาณของรากของสมการกำลังสองลด x 2 +p x+q=0 อย่างไร ต่อไปนี้คือข้อความที่เกี่ยวข้องสองข้อความ:

• ถ้าเทอมอิสระ q คือ จำนวนบวกและถ้าสมการกำลังสองมีรากจริง พวกมันจะเป็นบวกหรือลบทั้งคู่
• ถ้าเทอมอิสระ q เป็นจำนวนลบ และถ้าสมการกำลังสองมีรากจริง เครื่องหมายของพวกมันจะต่างกัน กล่าวคือ รากหนึ่งเป็นค่าบวกและอีกรากหนึ่งเป็นค่าลบ

ข้อความเหล่านี้ตามมาจากสูตร x 1 x 2 \u003d q เช่นเดียวกับกฎสำหรับการคูณบวก ตัวเลขติดลบและตัวเลขที่มีเครื่องหมายต่างกัน พิจารณาตัวอย่างการใช้งาน

ตัวอย่าง.

R เป็นบวก ตามสูตรจำแนกเราพบ D=(r+2) 2 −4 1 (r-1)= r 2 +4 r+4-4 r+4=r 2 +8 ค่าของนิพจน์ r 2 +8 เป็นค่าบวกสำหรับจำนวนจริง r ดังนั้น D>0 สำหรับจำนวนจริง r ใดๆ ดังนั้นสมการกำลังสองดั้งเดิมจึงมีรากที่สองสำหรับค่าจริงของพารามิเตอร์ r

ตอนนี้เรามาดูกันว่าเมื่อใดที่รากมี สัญญาณต่างๆ. ถ้าเครื่องหมายของรากต่างกัน ผลคูณของพวกมันจะเป็นลบ และโดยทฤษฎีบทเวียตา ผลคูณของรากของสมการกำลังสองที่ให้มาจะเท่ากับเทอมอิสระ ดังนั้นเราจึงสนใจค่าของ r ซึ่งพจน์อิสระ r-1 เป็นค่าลบ ดังนั้น เพื่อที่จะหาค่าของ r ที่เราสนใจ เราต้อง ตัดสินใจ ความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้น r-1<0 , откуда находим r<1 .

ตอบ:

ที่ r<1 .

สูตรเวียต้า

ด้านบน เราได้พูดถึงทฤษฎีบทของเวียตาสำหรับสมการกำลังสองและวิเคราะห์ความสัมพันธ์ที่มันยืนยัน แต่มีสูตรที่เชื่อมโยงรากจริงและสัมประสิทธิ์ไม่เพียงแต่ของสมการกำลังสองเท่านั้น แต่ยังรวมถึงสมการลูกบาศก์ สมการสี่เท่า และโดยทั่วไป สมการพีชคณิตองศา น. พวกเขาถูกเรียกว่า สูตรเวียต้า.

เราเขียนสูตรเวียตาสำหรับสมการพีชคณิตของดีกรี n ของแบบฟอร์ม ในขณะที่เราคิดว่ามันมี n รากจริง x 1, x 2, ..., x n (ในจำนวนนั้นอาจมีเหมือนกัน):

รับสูตรเวียต้าช่วยให้ ทฤษฎีบทตัวประกอบพหุนามเช่นเดียวกับคำจำกัดความของพหุนามเท่ากันผ่านความเท่าเทียมกันของสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกันทั้งหมด ดังนั้นพหุนามและการขยายตัวของตัวประกอบเชิงเส้นของรูปแบบจึงเท่ากัน การเปิดวงเล็บในผลิตภัณฑ์สุดท้ายและเท่ากับค่าสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกันเราได้รับสูตร Vieta

โดยเฉพาะสำหรับ n=2 เรามีสูตร Vieta ที่คุ้นเคยอยู่แล้วสำหรับสมการกำลังสอง

สำหรับสมการลูกบาศก์ สูตรเวียต้าจะมีรูปแบบ

เหลือเพียงสังเกตว่าทางด้านซ้ายของสูตรเวียตามีสิ่งที่เรียกว่าระดับประถมศึกษา พหุนามสมมาตร.

บรรณานุกรม.

• พีชคณิต:หนังสือเรียน สำหรับ 8 เซลล์ การศึกษาทั่วไป สถาบัน / [อ. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; เอ็ด S.A. Telyakovsky. - ครั้งที่ 16 - ม. : การศึกษา, 2551. - 271 น. : ป่วย. - ไอ 978-5-09-019243-9
• มอร์ดโควิช เอ. จี.พีชคณิต. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 เวลา 14.00 น. ส่วนที่ 1 ตำราสำหรับนักเรียนของสถาบันการศึกษา / A. G. Mordkovich - ค.ศ. 11 ลบ. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 p.: ill. ไอ 978-5-346-01155-2
• พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ชั้นประถมศึกษาปีที่ 10: ตำราเรียน เพื่อการศึกษาทั่วไป สถาบัน: พื้นฐานและโปรไฟล์ ระดับ / [อ. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; เอ็ด A. B. Zhizhchenko. - ครั้งที่ 3 - ม.: ตรัสรู้, 2553.- 368 น. : ป่วย. - ไอ 978-5-09-022771-1