อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ทฤษฎีโดยละเอียดพร้อมตัวอย่าง

ฟังก์ชันอนุพันธ์คืออะไร - นี่คือแนวคิดทางคณิตศาสตร์พื้นฐานที่อยู่ในระดับเดียวกับปริพันธ์ในการวิเคราะห์ ฟังก์ชันนี้ ณ จุดหนึ่งจะให้คุณลักษณะของอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน ณ จุดนี้
แนวคิดเช่นการสร้างความแตกต่างและบูรณาการ แนวคิดแรกถูกถอดรหัสเป็นการกระทำในการค้นหาอนุพันธ์ ประการที่สองในทางกลับกันคืนค่าฟังก์ชันที่เริ่มต้นจากอนุพันธ์ที่กำหนด
การคำนวณอนุพันธ์มีบทบาทสำคัญในการคำนวณส่วนต่าง
เพื่อเป็นตัวอย่างที่ชัดเจน เราจะพรรณนาถึงอนุพันธ์บนระนาบพิกัด

ในฟังก์ชัน y=f(x) เรากำหนดจุด M โดยที่ (x0; f(X0)) และ N f (x0+?x) ให้กับแต่ละ abscissa จะมีการเพิ่มขึ้นในรูปแบบ?x การเพิ่มขึ้นเป็นกระบวนการที่ abscissa เปลี่ยนแปลง จากนั้นลำดับก็เปลี่ยนด้วย แสดงว่า?y.
ลองหาแทนเจนต์ของมุมในรูปสามเหลี่ยม MPN โดยใช้จุด M และ N สำหรับสิ่งนี้

ใช่ไหม? = NP/MP = ?คุณ/?x.

As?x ไปที่ 0 ค่า MN ที่ตัดกันเข้าใกล้ MT แทนเจนต์และมุมมากขึ้น? จะ?. ดังนั้น tg? ค่าสูงสุดสำหรับ tg?.

ใช่ไหม? = ลิมจาก?x-0 tg ? = ลิมจาก?x-0 ?y/?x

ตารางอนุพันธ์

หากออกเสียงถ้อยคำของแต่ละคน สูตรอนุพันธ์- ตารางจะง่ายต่อการจดจำ
1) อนุพันธ์ของค่าคงที่คือ 0
2) X ที่มีจำนวนเฉพาะเท่ากับ 1
3) หากมีปัจจัยคงที่ เราก็เอามันเป็นอนุพันธ์
4) ในการค้นหากำลังที่ได้รับ คุณต้องคูณเลขชี้กำลังของกำลังที่กำหนดด้วยกำลังที่มีฐานเดียวกัน ซึ่งมีเลขชี้กำลังน้อยกว่า 1
5) การค้นหารากจะเท่ากับหนึ่งหารด้วย 2 รากเหล่านี้
6) อนุพันธ์ของอันหนึ่งหารด้วย X เท่ากับหนึ่งหารด้วย X กำลังสอง โดยมีเครื่องหมายลบ
7) P ไซน์เท่ากับโคไซน์
8) P โคไซน์เท่ากับไซน์โดยมีเครื่องหมายลบ
9) P แทนเจนต์เท่ากับ 1 หารด้วยโคไซน์กำลังสอง
10) P โคแทนเจนต์เท่ากับหนึ่งที่มีเครื่องหมายลบ หารด้วยไซน์กำลังสอง

นอกจากนี้ยังมีกฎเกณฑ์ในการสร้างความแตกต่าง ซึ่งง่ายต่อการเรียนรู้โดยการพูดออกมาดังๆ

1) พูดง่ายๆ ก็คือ n ของพจน์จะเท่ากับผลรวมของมัน
2) อนุพันธ์ในการคูณเท่ากับการคูณค่าแรกด้วยค่าที่สอง โดยบวกเข้ากับตัวมันเองด้วยการคูณค่าที่สองด้วยค่าแรก
3) อนุพันธ์ในการหารเท่ากับการคูณค่าแรกด้วยค่าที่สอง ลบการคูณของค่าที่สองด้วยค่าแรก เศษส่วนหารด้วยค่าที่สองยกกำลังสอง
4) สูตรเป็นกรณีพิเศษของสูตรที่สาม

ในบทนี้ เราจะศึกษาอนุพันธ์ของฟังก์ชันต่อไป และไปยังหัวข้อขั้นสูงยิ่งขึ้น กล่าวคือ อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์และผลหาร หากคุณดูบทเรียนที่แล้ว คุณอาจตระหนักว่าเราพิจารณาเฉพาะโครงสร้างที่ง่ายที่สุดเท่านั้น กล่าวคือ อนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลัง ผลรวมและผลต่าง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เราได้เรียนรู้ว่าอนุพันธ์ของผลรวมเท่ากับผลรวมของมัน และอนุพันธ์ของผลต่างเท่ากับผลต่างของมันตามลำดับ น่าเสียดาย ในกรณีของผลหารและอนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ สูตรจะซับซ้อนกว่ามาก เราจะเริ่มต้นด้วยสูตรหาอนุพันธ์ของผลคูณของฟังก์ชัน

อนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ขั้นแรก ผมขอพูดนอกเรื่องโคลงสั้น ๆ ก่อน ความจริงก็คือนอกเหนือจากฟังก์ชันยกกำลังมาตรฐาน - $y=((x)^(n))$ แล้ว ในบทเรียนนี้เรายังจะพบกับฟังก์ชันอื่นๆ ด้วย กล่าวคือ $y=\sin x$ เช่นเดียวกับ $ y=\ cos x$ และตรีโกณมิติอื่นๆ - $y=tgx$ และแน่นอน $y=ctgx$

หากเราทุกคนรู้ดีถึงอนุพันธ์ของฟังก์ชันยกกำลัง นั่นคือ $\left(((x)^(n)) \right)=n\cdot ((x)^(n-1))$ ดังนั้นสำหรับ ฟังก์ชันตรีโกณมิติ จำเป็นต้องกล่าวถึงแยกกัน ลองเขียนมันลงไป:

\[\begin(align)& ((\left(\sinx \right))^(\prime ))=\cosx \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ))= -\sin x \\& ((\left(tgx \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\& ((\left( ctgx \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\\end(จัด)\]

แต่คุณรู้จักสูตรเหล่านี้เป็นอย่างดี มาดูกันดีกว่า

อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์คืออะไร?

อันดับแรก สิ่งที่สำคัญที่สุด: หากฟังก์ชันเป็นผลคูณของฟังก์ชันอื่นอีกสองฟังก์ชัน เช่น $f\cdot g$ อนุพันธ์ของโครงสร้างนี้จะเท่ากับนิพจน์ต่อไปนี้:

อย่างที่คุณเห็น สูตรนี้แตกต่างอย่างมากและซับซ้อนกว่าสูตรที่เราดูก่อนหน้านี้ ตัวอย่างเช่น อนุพันธ์ของผลรวมถือเป็นระดับประถมศึกษา - $((\left(f+g \right))^(\prime ))=(f)"+(g)"$ หรืออนุพันธ์ของผลต่าง ซึ่งคำนวณเบื้องต้นด้วย - $(( \left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"$

ลองใช้สูตรแรกในการคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันทั้งสองที่เราได้รับจากโจทย์ เริ่มจากตัวอย่างแรกกันก่อน:

แน่นอนว่า โครงสร้างต่อไปนี้ทำหน้าที่เป็นผลคูณ หรือถ้าให้เจาะจงกว่านั้นคือเป็นตัวคูณ: $((x)^(3))$ เราสามารถพิจารณาว่าเป็น $f$ และ $\left(x-5 \right) $ เราสามารถพิจารณาว่าเป็น $g$ แล้วผลคูณของพวกเขาก็จะเป็นผลคูณของสองฟังก์ชันอย่างแม่นยำ เราตัดสินใจ:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))\cdot \left(x-5 \right) \right))^(\prime ))=((\left(( (x)^(3)) \right))^(\prime ))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot ((\ซ้าย(x-5 \ ขวา))^(\prime ))= \\& =3((x)^(2))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot 1 \\ \end(จัดแนว)\].

ตอนนี้เรามาดูเงื่อนไขแต่ละข้อของเรากันดีกว่า เราจะเห็นว่าทั้งเทอมแรกและเทอมที่สองมีดีกรี $x$: ในกรณีแรกคือ $((x)^(2))$ และเทอมที่สองคือ $((x)^(3)) $. ลองเอาระดับที่เล็กที่สุดออกจากวงเล็บโดยเหลือไว้ในวงเล็บ:

\[\begin(align)& 3((x)^(2))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot 1=((x)^(2 ))\left(3\cdot 1\left(x-5 \right)+x \right)= \\& =((x)^(2))\left(3x-15+x \right)=( (x)^(2))(4x-15)\\\end(align)\]

เพียงเท่านี้เราก็พบคำตอบแล้ว

กลับไปที่ปัญหาของเราแล้วลองแก้ไข:

งั้นเรามาเขียนใหม่:

ขอย้ำอีกครั้งว่าเรากำลังพูดถึงผลคูณของผลิตภัณฑ์ของสองฟังก์ชัน: $x$ ซึ่งสามารถเขียนแทนด้วย $f$ และ $\left(\sqrt(x)-1 \right)$ ซึ่งสามารถ ให้เขียนแทนด้วย $g$

ดังนั้นเราจึงได้ผลลัพธ์ของสองฟังก์ชันอีกครั้ง เพื่อหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน $f\left(x \right)$ เราจะใช้สูตรของเราอีกครั้ง เราได้รับ:

\[\begin(align)& (f)"=\left(x \right)"\cdot \left(\sqrt(x)-1 \right)+x\cdot ((\left(\sqrt(x) -1 \right))^(\prime ))=1\cdot \left(\sqrt(x)-1 \right)+x\frac(1)(3\sqrt(x))= \\& =\ sqrt(x)-1+\sqrt(x)\cdot \frac(1)(3)=\frac(4)(3)\sqrt(x)-1 \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

พบคำตอบแล้ว

ทำไมต้องแยกตัวประกอบอนุพันธ์?

เราเพิ่งใช้ข้อเท็จจริงทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญหลายประการซึ่งในตัวเองไม่เกี่ยวข้องกับอนุพันธ์ แต่เมื่อไม่มีความรู้การศึกษาเพิ่มเติมในหัวข้อนี้ก็ไม่เหมาะสม

ประการแรก ในขณะที่แก้ไขปัญหาแรกสุดและกำจัดสัญญาณของอนุพันธ์ทั้งหมดออกไปแล้ว ด้วยเหตุผลบางอย่าง เราจึงเริ่มแยกตัวประกอบนิพจน์นี้

ประการที่สอง เมื่อแก้ไขปัญหาต่อไปนี้ เราส่งผ่านจากรากไปสู่ยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะแล้วย้อนกลับหลายครั้ง โดยใช้สูตรเกรด 8-9 ซึ่งควรค่าแก่การทำซ้ำแยกกัน

เกี่ยวกับการแยกตัวประกอบ - เหตุใดจึงต้องมีความพยายามและการเปลี่ยนแปลงเพิ่มเติมทั้งหมดนี้ ที่จริงแล้ว ถ้าปัญหาบอกแค่ว่า “หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน” ก็ไม่จำเป็นต้องทำขั้นตอนเพิ่มเติมเหล่านี้ อย่างไรก็ตาม ในปัญหาจริงที่รอคุณอยู่ในการสอบและการทดสอบทุกประเภท การหาอนุพันธ์มักจะไม่เพียงพอ ความจริงก็คืออนุพันธ์เป็นเพียงเครื่องมือที่คุณสามารถค้นหาได้เช่นการเพิ่มขึ้นหรือลดลงของฟังก์ชันและด้วยเหตุนี้คุณต้องแก้สมการและแยกตัวประกอบ และนี่คือจุดที่เทคนิคนี้จะเหมาะสมมาก และโดยทั่วไปแล้วจะสะดวกและน่าพอใจกว่ามากในการทำงานกับฟังก์ชันที่แยกตัวประกอบในอนาคตหากจำเป็นต้องทำการแปลงใดๆ ดังนั้น กฎข้อที่ 1: หากอนุพันธ์สามารถแยกตัวประกอบได้ นั่นคือสิ่งที่คุณควรจะทำ และขึ้นกฎข้อ 2 ทันที (อันที่จริงนี่เป็นเนื้อหาสำหรับเกรด 8-9): หากปัญหามีราก n- ระดับที่ 2 และรากมีค่ามากกว่าสองอย่างชัดเจน จากนั้นรากนี้สามารถถูกแทนที่ด้วยระดับสามัญด้วยเลขชี้กำลังตรรกยะ และเศษส่วนจะปรากฏในเลขชี้กำลัง โดยที่ n- ดีกรีเดียวกันนั้น - จะเป็นตัวส่วนของเศษส่วนนี้.

แน่นอน หากมีดีกรีอยู่ใต้รูต (ในกรณีของเรา นี่คือดีกรี เค) แล้วมันไม่ไปไหนเลย แต่ไปจบที่ตัวเศษของดีกรีนี้เท่านั้น

เมื่อคุณเข้าใจทั้งหมดนี้แล้ว ลองกลับไปที่อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์แล้วคำนวณสมการเพิ่มเติมอีกเล็กน้อย

แต่ก่อนที่จะเข้าสู่การคำนวณโดยตรง ฉันอยากจะเตือนคุณถึงรูปแบบต่อไปนี้:

\[\begin(align)& ((\left(\sin x \right))^(\prime ))=\cos x \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ) )=-\sin x \\& \left(tgx \right)"=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\& ((\left(ctgx \right))^ (\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x) \\\end(align)\]

ลองพิจารณาตัวอย่างแรก:

อีกครั้งที่เรามีผลิตภัณฑ์ของสองฟังก์ชัน: ฟังก์ชันแรกคือ $f$ ฟังก์ชันที่สองคือ $g$ ฉันขอเตือนคุณด้วยสูตร:

\[((\left(f\cdot g \right))^(\prime ))=(f)"\cdot g+f\cdot (g)"\]

มาตัดสินใจกันเถอะ:

\[\begin(align)& (y)"=((\left(((x)^(4)) \right))^(\prime ))\cdot \sin x+((x)^(4) )\cdot ((\left(\sin x \right))^(\prime ))= \\& =3((x)^(3))\cdot \sin x+((x)^(4)) \cdot \cos x=((x)^(3))\left(3\sin x+x\cdot \cos x \right) \\\end(align)\]

มาดูฟังก์ชันที่สองกันดีกว่า:

ขอย้ำอีกครั้งว่า $\left(3x-2 \right)$ เป็นฟังก์ชันของ $f$, $\cos x$ เป็นฟังก์ชันของ $g$ โดยรวมแล้วอนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ของทั้งสองฟังก์ชันจะเท่ากับ:

\[\begin(align)& (y)"=((\left(3x-2 \right))^(\prime ))\cdot \cos x+\left(3x-2 \right)\cdot ((\ ซ้าย(\cos x \right))^(\prime ))= \\& =3\cdot \cos x+\left(3x-2 \right)\cdot \left(-\sin x \right)=3\ cos x-\left(3x-2 \right)\cdot \sin x \\\end(align)\]

\[(y)"=((\left(((x)^(2))\cdot \cos x \right))^(\prime ))+((\left(4x\sin x \right)) ^(\ไพรม์ ))\]

มาเขียนแยกกัน:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))\cdot \cos x \right))^(\prime ))=\left(((x)^(2)) \right)"\cos x+((x)^(2))\cdot ((\left(\cos x \right))^(\prime ))= \\& =2x\cdot \cos x+((x )^(2))\cdot \left(-\sin x \right)=2x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x \\\end(align)\]

เราไม่แยกตัวประกอบนิพจน์นี้ เพราะนี่ไม่ใช่คำตอบสุดท้าย ตอนนี้เราต้องแก้ส่วนที่สอง ลองเขียนมันออกมา:

\[\begin(align)& ((\left(4x\cdot \sin x \right))^(\prime ))=((\left(4x \right))^(\prime ))\cdot \sin x+4x\cdot ((\left(\sin x \right))^(\prime ))= \\& =4\cdot \sin x+4x\cdot \cos x \\\end(align)\]

ตอนนี้เรากลับมาที่งานเดิมของเราและรวมทุกอย่างไว้ในโครงสร้างเดียว:

\[\begin(align)& (y)"=2x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x+4\sin x+4x\cos x=6x\cdot \cos x= \\& =6x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x+4\sin x \\\end(align)\]

เพียงเท่านี้ นี่คือคำตอบสุดท้าย

มาดูตัวอย่างสุดท้ายกัน - มันจะซับซ้อนที่สุดและใหญ่ที่สุดในแง่ของการคำนวณ ดังนั้นตัวอย่าง:

\[(y)"=((\left(((x)^(2))\cdot tgx \right))^(\prime ))-((\left(2xctgx \right))^(\prime ) )\]

เรานับแต่ละส่วนแยกกัน:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))\cdot tgx \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(2)) \right))^(\prime ))\cdot tgx+((x)^(2))\cdot ((\left(tgx \right))^(\prime ))= \\& =2x\cdot tgx+( (x)^(2))\cdot \frac(1)(((\cos )^(2))x) \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

\[\begin(align)& ((\left(2x\cdot ctgx \right))^(\prime ))=((\left(2x \right))^(\prime ))\cdot ctgx+2x\ cdot ((\left(ctgx \right))^(\prime ))= \\& =2\cdot ctgx+2x\left(-\frac(1)(((\sin )^(2))x) \right)=2\cdot ctgx-\frac(2x)(((\sin )^(2))x) \\\end(align)\]

กลับไปที่ฟังก์ชันเดิม มาคำนวณอนุพันธ์ของมันโดยรวม:

\[\begin(align)& (y)"=2x\cdot tgx+\frac(((x)^(2)))(((\cos )^(2))x)-\left(2ctgx-\ frac(2x)(((\sin )^(2))x) \right)= \\& =2x\cdot tgx+\frac(((x)^(2)))(((\cos )^( 2))x)-2ctgx+\frac(2x)(((\sin )^(2))x) \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

ที่จริงแล้วคือทั้งหมดที่ฉันอยากจะบอกคุณเกี่ยวกับผลงานลอกเลียนแบบ อย่างที่คุณเห็นปัญหาหลักของสูตรไม่ได้อยู่ที่การจดจำ แต่ในข้อเท็จจริงที่ว่ามันเกี่ยวข้องกับการคำนวณจำนวนมากพอสมควร แต่ไม่เป็นไร เพราะตอนนี้เรากำลังไปยังอนุพันธ์ผลหาร ซึ่งเราจะต้องทำงานหนักมาก

อนุพันธ์ของผลหารคืออะไร?

ดังนั้น สูตรของอนุพันธ์ของผลหาร นี่อาจเป็นสูตรที่ซับซ้อนที่สุดในหลักสูตรอนุพันธ์ของโรงเรียน สมมติว่าเรามีฟังก์ชันในรูปแบบ $\frac(f)(g)$ โดยที่ $f$ และ $g$ ก็เป็นฟังก์ชันที่เราสามารถลบจำนวนเฉพาะออกได้เช่นกัน จากนั้นจะคำนวณตามสูตรต่อไปนี้:

ตัวเศษค่อนข้างทำให้เรานึกถึงสูตรของอนุพันธ์ของผลคูณ แต่มีเครื่องหมายลบระหว่างพจน์กับกำลังสองของตัวส่วนเดิมที่ถูกบวกเข้ากับตัวส่วนด้วย มาดูกันว่าวิธีนี้ทำงานอย่างไรในทางปฏิบัติ:

มาลองแก้กัน:

\[(f)"=((\left(\frac(((x)^(2))-1)(x+2) \right))^(\prime ))=\frac(((\ซ้าย (((x)^(2))-1 \right))^(\prime ))\cdot \left(x+2 \right)-\left(((x)^(2))-1 \right )\cdot ((\left(x+2 \right))^(\prime )))(((\left(x+2 \right))^(2)))\]

ฉันขอแนะนำให้เขียนแต่ละส่วนแยกกันและจดบันทึกไว้:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))-1 \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(2)) \ ขวา))^(\prime ))-(1)"=2x \\& ((\left(x+2 \right))^(\prime ))=(x)"+(2)"=1 \ \\end(จัดแนว)\]

มาเขียนนิพจน์ของเราใหม่:

\[\begin(align)& (f)"=\frac(2x\cdot \left(x+2 \right)-\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 1) (((\left(x+2 \right))^(2)))= \\& =\frac(2((x)^(2))+4x-((x)^(2))+ 1)(((\left(x+2 \right))^(2)))=\frac(((x)^(2))+4x+1)(((\ซ้าย(x+2 \right ))^(2))) \\\end(align)\]

เราได้พบคำตอบแล้ว มาดูฟังก์ชันที่สองกันดีกว่า:

เมื่อพิจารณาจากข้อเท็จจริงที่ว่าตัวเศษเป็นเพียงตัวเดียว การคำนวณตรงนี้จะง่ายกว่าเล็กน้อย ดังนั้นเรามาเขียนกัน:

\[(y)"=((\left(\frac(1)(((x)^(2))+4) \right))^(\prime ))=\frac((1)"\cdot \left(((x)^(2))+4 \right)-1\cdot ((\left(((x)^(2))+4 \right))^(\prime )))(( (\ซ้าย(((x)^(2))+4 \right))^(2)))\]

มาคำนวณแต่ละส่วนของตัวอย่างแยกกัน:

\[\begin(align)& (1)"=0 \\& ((\left(((x)^(2))+4 \right))^(\prime ))=((\left(( (x)^(2)) \right))^(\prime ))+(4)"=2x \\\end(align)\]

มาเขียนนิพจน์ของเราใหม่:

\[(y)"=\frac(0\cdot \left(((x)^(2))+4 \right)-1\cdot 2x)(((\left(((x)^(2) )+4 \right))^(2)))=-\frac(2x)(((\left(((x)^(2))+4 \right))^(2)))\]

เราได้พบคำตอบแล้ว ตามที่คาดไว้ ปริมาณการคำนวณน้อยกว่าฟังก์ชันแรกอย่างมาก

ความแตกต่างระหว่างการกำหนดคืออะไร?

นักเรียนที่เอาใจใส่อาจมีคำถามอยู่แล้ว: ทำไมในบางกรณีเราจึงแสดงฟังก์ชันเป็น $f\left(x \right)$ และในกรณีอื่นๆ เราก็เขียนเพียง $y$? ในความเป็นจริงจากมุมมองของคณิตศาสตร์ไม่มีความแตกต่างอย่างแน่นอน - คุณมีสิทธิ์ใช้ทั้งการกำหนดแรกและที่สองและจะไม่มีบทลงโทษในการสอบหรือการทดสอบ สำหรับผู้ที่ยังสนใจ ฉันจะอธิบายว่าทำไมผู้เขียนตำราเรียนและปัญหาในบางกรณีจึงเขียน $f\left(x \right)$ และในกรณีอื่นๆ (บ่อยกว่ามาก) - เพียงแค่ $y$ ความจริงก็คือโดยการเขียนฟังก์ชันในรูปแบบ \ เราบอกเป็นนัยกับผู้ที่อ่านการคำนวณของเราว่าเรากำลังพูดถึงโดยเฉพาะเกี่ยวกับการตีความพีชคณิตของการพึ่งพาฟังก์ชัน นั่นคือ มีตัวแปรบางตัว $x$ เราจะพิจารณาการพึ่งพาตัวแปรนี้และแสดงว่า $f\left(x \right)$ ในเวลาเดียวกันเมื่อเห็นการกำหนดเช่นนี้ผู้ที่อ่านการคำนวณของคุณเช่นผู้ตรวจสอบจะคาดหวังโดยไม่รู้ตัวว่าในอนาคตมีเพียงการเปลี่ยนแปลงพีชคณิตรอเขาอยู่ - ไม่มีกราฟและไม่มีเรขาคณิต

ในทางกลับกัน การใช้สัญกรณ์ในรูปแบบ \ คือ แสดงถึงตัวแปรด้วยตัวอักษรตัวเดียว เราจะแสดงให้เห็นทันทีว่าในอนาคตเราสนใจในการตีความทางเรขาคณิตของฟังก์ชัน นั่นคือ เราสนใจ สิ่งแรกคือ ทั้งหมดอยู่ในกราฟ ดังนั้น เมื่อต้องเผชิญกับบันทึกของแบบฟอร์ม\ ผู้อ่านมีสิทธิ์ที่จะคาดหวังการคำนวณกราฟิก เช่น กราฟ โครงสร้าง ฯลฯ แต่ไม่ว่าในกรณีใด จะเป็นการแปลงเชิงวิเคราะห์

ฉันอยากจะดึงความสนใจของคุณไปที่คุณลักษณะหนึ่งของการออกแบบงานที่เรากำลังพิจารณาในวันนี้ นักเรียนหลายคนคิดว่าฉันให้การคำนวณที่ละเอียดเกินไป และหลายคนอาจถูกข้ามหรือคิดง่ายๆ ในใจ อย่างไรก็ตามมันเป็นบันทึกที่มีรายละเอียดอย่างแน่นอนซึ่งจะช่วยให้คุณกำจัดข้อผิดพลาดที่น่ารังเกียจและเพิ่มเปอร์เซ็นต์ของปัญหาที่แก้ไขอย่างถูกต้องได้อย่างมากเช่นในกรณีของการเตรียมตนเองสำหรับการทดสอบหรือการสอบ ดังนั้น หากคุณยังไม่แน่ใจในความสามารถของตัวเอง หากคุณเพิ่งเริ่มศึกษาหัวข้อนี้ อย่ารีบเร่ง - อธิบายแต่ละขั้นตอนโดยละเอียด เขียนแต่ละปัจจัย แต่ละจังหวะ และในไม่ช้า คุณจะได้เรียนรู้ที่จะแก้ไขตัวอย่างดังกล่าวได้ดีขึ้น มากกว่าครูโรงเรียนหลายคน ฉันหวังว่านี่จะชัดเจน ลองนับตัวอย่างเพิ่มเติมอีกสองสามตัวอย่าง

งานที่น่าสนใจหลายประการ

คราวนี้ ตามที่เราเห็น ตรีโกณมิติมีอยู่ในอนุพันธ์ที่กำลังคำนวณ ดังนั้นฉันขอเตือนคุณดังต่อไปนี้:

\[\begin(align)& (sinx())"=\cos x \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ))=-\sin x \\\end(align )\]

แน่นอนว่าเราไม่สามารถทำอะไรได้หากไม่มีอนุพันธ์ของผลหาร กล่าวคือ:

\[((\left(\frac(f)(g) \right))^(\prime ))=\frac((f)"\cdot g-f\cdot (g)")(((g)^( 2)))\]

พิจารณาฟังก์ชันแรก:

\[\begin(align)& (f)"=((\left(\frac(\sin x)(x) \right))^(\prime ))=\frac(((\left(\sin x \right))^(\prime ))\cdot x-\sin x\cdot \left(((x)") \right))(((x)^(2)))= \\& =\frac (x\cdot \cos x-1\cdot \sin x)(((x)^(2)))=\frac(x\cos x-\sin x)(((x)^(2))) \\\end(จัดแนว)\]

เราจึงพบวิธีแก้นิพจน์นี้แล้ว

มาดูตัวอย่างที่สองกัน:

แน่นอนว่าอนุพันธ์ของมันจะซับซ้อนมากขึ้น ถ้าเพียงเพราะตรีโกณมิติมีทั้งตัวเศษและส่วนของฟังก์ชันนี้ เราตัดสินใจ:

\[(y)"=((\left(\frac(x\sin x)(\cos x) \right))^(\prime ))=\frac(((\left(x\sin x \right) ))^(\prime ))\cdot \cos x-x\sin x\cdot ((\left(\cos x \right))^(\prime )))(((\left(\cos x \right)) ^(2)))\]

โปรดทราบว่าเรามีอนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ ในกรณีนี้จะเท่ากับ:

\[\begin(align)& ((\left(x\cdot \sin x \right))^(\prime ))=(x)"\cdot \sin x+x((\left(\sin x \ ขวา))^(\prime ))= \\& =\sin x+x\cos x \\\end(align)\]

กลับไปที่การคำนวณของเรา เราเขียนลงไป:

\[\begin(align)& (y)"=\frac(\left(\sin x+x\cos x \right)\cos x-x\cdot \sin x\cdot \left(-\sin x \right) )(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x\cdot \cos x+x((\cos )^(2))x+x((\sin ) ^(2))x)(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x\cdot \cos x+x\left(((\sin )^(2) )x+((\cos )^(2))x \right))(((\cos )^(2))x)=\frac(\sin x\cdot \cos x+x)(((\cos )^(2))x) \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

แค่นั้นแหละ! เราทำคณิตศาสตร์

จะลดอนุพันธ์ของผลหารให้เป็นสูตรง่าย ๆ สำหรับอนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ได้อย่างไร?

ตรงนี้ ผมอยากพูดถึงประเด็นสำคัญอย่างหนึ่งเกี่ยวกับฟังก์ชันตรีโกณมิติ ความจริงก็คือ โครงสร้างเดิมของเรามีนิพจน์ในรูปแบบ $\frac(\sin x)(\cos x)$ ซึ่งสามารถแทนที่ได้ง่ายๆ ด้วย $tgx$ ดังนั้นเราจึงลดอนุพันธ์ของผลหารให้เป็นสูตรที่ง่ายกว่าสำหรับอนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ ลองคำนวณตัวอย่างนี้อีกครั้งแล้วเปรียบเทียบผลลัพธ์

ตอนนี้เราต้องพิจารณาสิ่งต่อไปนี้:

\[\frac(\sin x)(\cos x)=tgx\]

ลองเขียนฟังก์ชันเดิมของเราใหม่ $y=\frac(x\sin x)(\cos x)$ โดยคำนึงถึงข้อเท็จจริงนี้ เราได้รับ:

มานับกัน:

\[\begin(align)& (y)"=((\left(x\cdot tgx \right))^(\prime ))(x)"\cdot tgx+x((\left(tgx \right) )^(\ไพรม์ ))=tgx+x\frac(1)(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x)(\cos x)+\frac( x)(((\cos )^(2))x)=\frac(\sin x\cdot \cos x+x)(((\cos )^(2))x) \\\end(จัดแนว) \]

ทีนี้ ถ้าเราเปรียบเทียบผลลัพธ์ที่ได้รับกับสิ่งที่เราได้รับก่อนหน้านี้เมื่อคำนวณด้วยวิธีอื่น เราก็จะมั่นใจว่าเราได้รับนิพจน์เดียวกัน ดังนั้นไม่ว่าเราจะคำนวณอนุพันธ์ด้วยวิธีใดหากคำนวณถูกต้องทุกประการคำตอบก็จะเหมือนเดิม

ความแตกต่างที่สำคัญเมื่อแก้ไขปัญหา

โดยสรุป ฉันอยากจะบอกคุณอีกเรื่องหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับการคำนวณอนุพันธ์ของผลหาร สิ่งที่ฉันจะบอกคุณตอนนี้ไม่ได้อยู่ในสคริปต์ต้นฉบับของบทเรียนวิดีโอ อย่างไรก็ตาม สองสามชั่วโมงก่อนถ่ายทำ ฉันกำลังเรียนหนังสือกับนักเรียนคนหนึ่ง และเราแค่คุยกันเรื่องอนุพันธ์ของผลหาร และปรากฏว่านักเรียนหลายคนไม่เข้าใจประเด็นนี้ สมมติว่าเราจำเป็นต้องคำนวณจังหวะการลบของฟังก์ชันต่อไปนี้:

โดยหลักการแล้ว เมื่อมองแวบแรกไม่มีอะไรเหนือธรรมชาติเลย อย่างไรก็ตาม ในกระบวนการคำนวณ เราสามารถสร้างข้อผิดพลาดที่โง่เขลาและน่ารังเกียจได้มากมาย ซึ่งฉันอยากจะพูดคุยในตอนนี้

เราก็เลยคำนวณอนุพันธ์นี้ ก่อนอื่น โปรดทราบว่าเรามีคำว่า $3((x)^(2))$ ดังนั้นจึงควรจำสูตรต่อไปนี้:

\[((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

นอกจากนี้ เรามีคำว่า $\frac(48)(x)$ - เราจะจัดการกับมันผ่านอนุพันธ์ของผลหาร กล่าวคือ:

\[((\left(\frac(f)(g) \right))^(\prime ))=\frac((f)"\cdot g-f\cdot (g)")(((g)^( 2)))\]

ดังนั้นเรามาตัดสินใจกัน:

\[(y)"=((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))+((\left(3((x)^(2)) \right)) ^(\ไพรม์ ))+10(0)"\]

ไม่มีปัญหากับเทอมแรกดู:

\[((\left(3((x)^(2)) \right))^(\prime ))=3\cdot ((\left(((x)^(2)) \right))^ (\ไพรม์ ))=3k.2x=6x\]

แต่เทอมแรก $\frac(48)(x)$ คุณต้องแยกกัน ความจริงก็คือนักเรียนหลายคนสับสนกับสถานการณ์เมื่อพวกเขาต้องการค้นหา $((\left(\frac(x)(48) \right))^(\prime ))$ และเมื่อพวกเขาต้องการค้นหา $((\left (\frac (48)(x) \right))^(\prime ))$ นั่นคือพวกเขาจะสับสนเมื่อค่าคงที่อยู่ในตัวส่วนและเมื่อค่าคงที่อยู่ในตัวเศษ ตามลำดับ เมื่อตัวแปรอยู่ในตัวเศษหรือในตัวส่วน

เริ่มจากตัวเลือกแรกกันก่อน:

\[((\left(\frac(x)(48) \right))^(\prime ))=((\left(\frac(1)(48)\cdot x \right))^(\prime ))=\frac(1)(48)\cdot (x)"=\frac(1)(48)\cdot 1=\frac(1)(48)\]

ในทางกลับกัน ถ้าเราพยายามทำแบบเดียวกันกับเศษส่วนที่สอง เราจะได้ดังต่อไปนี้:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))=((\left(48\cdot \frac(1)(x) \right ))^(\prime ))=48\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))= \\& =48\cdot \frac((1)" \cdot x-1\cdot (x)")(((x)^(2)))=48\cdot \frac(-1)(((x)^(2)))=-\frac(48 )(((x)^(2))) \\\end(จัด)\]

อย่างไรก็ตาม ตัวอย่างเดียวกันนี้สามารถคำนวณแตกต่างออกไปได้: ในขั้นตอนที่เราส่งผ่านไปยังอนุพันธ์ของผลหาร เราสามารถพิจารณา $\frac(1)(x)$ เป็นกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบ กล่าวคือ เราจะได้สิ่งต่อไปนี้ : :

\[\begin(align)& 48\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))=48\cdot ((\left(((x)^(- 1)) \right))^(\prime ))=48\cdot \left(-1 \right)\cdot ((x)^(-2))= \\& =-48\cdot \frac(1 )(((x)^(2)))=-\frac(48)(((x)^(2))) \\\end(จัด)\]

แล้วเราก็ได้รับคำตอบเดียวกัน

ดังนั้นเราจึงมั่นใจอีกครั้งในข้อเท็จจริงที่สำคัญสองประการ ประการแรก อนุพันธ์เดียวกันสามารถคำนวณได้ด้วยวิธีที่ต่างกันโดยสิ้นเชิง ตัวอย่างเช่น $((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))$ สามารถถือเป็นทั้งอนุพันธ์ของผลหารและเป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชันยกกำลัง ยิ่งไปกว่านั้น หากคำนวณทั้งหมดอย่างถูกต้อง คำตอบก็จะเหมือนเดิมเสมอ ประการที่สอง เมื่อคำนวณอนุพันธ์ที่มีทั้งตัวแปรและค่าคงที่ สิ่งสำคัญโดยพื้นฐานคือตำแหน่งของตัวแปร - ในตัวเศษหรือในตัวส่วน ในกรณีแรก เมื่อตัวแปรอยู่ในตัวเศษ เราจะได้ฟังก์ชันเชิงเส้นอย่างง่ายที่สามารถคำนวณได้ง่าย และถ้าตัวแปรอยู่ในตัวส่วน เราจะได้นิพจน์ที่ซับซ้อนมากขึ้นด้วยการคำนวณที่ให้มาก่อนหน้านี้

ณ จุดนี้ บทเรียนถือว่าสมบูรณ์ ดังนั้นหากคุณไม่เข้าใจอะไรเกี่ยวกับอนุพันธ์ของผลหารหรือผลิตภัณฑ์ และโดยทั่วไป หากคุณมีคำถามใด ๆ ในหัวข้อนี้ อย่าลังเลที่จะไปที่เว็บไซต์ของฉัน เขียนโทรแล้วฉันจะพยายามช่วยคุณอย่างแน่นอน

อนุพันธ์เองไม่ใช่หัวข้อที่ซับซ้อน แต่กว้างขวางมากและสิ่งที่เรากำลังศึกษาอยู่ตอนนี้จะถูกใช้ในอนาคตเมื่อแก้ไขปัญหาที่ซับซ้อนมากขึ้น ด้วยเหตุนี้จึงเป็นการดีกว่าที่จะระบุความเข้าใจผิดทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับการคำนวณอนุพันธ์ของผลหารหรือผลิตภัณฑ์ทันที ไม่ใช่เมื่อพวกเขาเป็นก้อนหิมะขนาดใหญ่แห่งความเข้าใจผิด แต่เมื่อพวกเขาเป็นลูกเทนนิสลูกเล็กที่จัดการได้ง่าย

การดำเนินการหาอนุพันธ์เรียกว่าอนุพันธ์

อันเป็นผลมาจากการแก้ปัญหาในการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ง่ายที่สุด (และไม่ง่ายนัก) โดยการกำหนดอนุพันธ์เป็นขีด จำกัด ของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ตารางอนุพันธ์และกฎการแยกความแตกต่างที่กำหนดไว้อย่างแม่นยำปรากฏขึ้น . คนแรกที่ทำงานในด้านการค้นหาอนุพันธ์คือ Isaac Newton (1643-1727) และ Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)

ดังนั้นในยุคของเราในการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันใด ๆ คุณไม่จำเป็นต้องคำนวณขีด จำกัด ดังกล่าวข้างต้นของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ แต่คุณเพียงต้องใช้ตารางของ อนุพันธ์และกฎของความแตกต่าง อัลกอริธึมต่อไปนี้เหมาะสำหรับการค้นหาอนุพันธ์

เพื่อหาอนุพันธ์คุณต้องมีนิพจน์ใต้เครื่องหมายเฉพาะ แบ่งฟังก์ชันง่ายๆ ออกเป็นส่วนประกอบต่างๆและกำหนดการกระทำใด (ผลิตภัณฑ์ ผลรวม ผลหาร)ฟังก์ชันเหล่านี้เกี่ยวข้องกัน ต่อไปเราจะค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันพื้นฐานในตารางอนุพันธ์และสูตรสำหรับอนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ผลรวมและผลหาร - ในกฎการหาความแตกต่าง ตารางอนุพันธ์และกฎการแยกความแตกต่างจะได้รับหลังจากสองตัวอย่างแรก

ตัวอย่างที่ 1ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

สารละลาย. จากกฎการหาความแตกต่าง เราพบว่าอนุพันธ์ของผลรวมของฟังก์ชันคือผลรวมของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน เช่น

จากตารางอนุพันธ์ เราพบว่าอนุพันธ์ของ "X" เท่ากับ 1 และอนุพันธ์ของไซน์เท่ากับโคไซน์ เราแทนที่ค่าเหล่านี้เป็นผลรวมของอนุพันธ์และค้นหาอนุพันธ์ที่ต้องการตามเงื่อนไขของปัญหา:

ตัวอย่างที่ 2ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

สารละลาย. เราแยกความแตกต่างเป็นอนุพันธ์ของผลรวมโดยที่เทอมที่สองมีปัจจัยคงที่ สามารถนำออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์ได้:

หากยังคงมีคำถามเกิดขึ้นเกี่ยวกับที่มาของบางสิ่ง คำถามเหล่านั้นมักจะถูกกระจ่างหลังจากทำความคุ้นเคยกับตารางอนุพันธ์และกฎการแยกความแตกต่างที่ง่ายที่สุด เรากำลังดำเนินการไปหาพวกเขาในขณะนี้

ตารางอนุพันธ์ของฟังก์ชันอย่างง่าย

1. อนุพันธ์ของค่าคงที่ (ตัวเลข) ตัวเลขใดๆ (1, 2, 5, 200...) ที่อยู่ในนิพจน์ฟังก์ชัน เท่ากับศูนย์เสมอ นี่เป็นสิ่งสำคัญมากที่ต้องจำไว้เนื่องจากต้องใช้บ่อยมาก
2. อนุพันธ์ของตัวแปรอิสระ ส่วนใหญ่มักจะเป็น "X" เท่ากับหนึ่งเสมอ นี่เป็นสิ่งสำคัญที่ต้องจดจำเป็นเวลานาน
3. อนุพันธ์ของปริญญา เมื่อแก้ไขปัญหา คุณต้องแปลงรากที่ไม่ใช่กำลังสองให้เป็นกำลัง
4. อนุพันธ์ของตัวแปรยกกำลัง -1
5. อนุพันธ์ของรากที่สอง
6. อนุพันธ์ของไซน์
7. อนุพันธ์ของโคไซน์
8. อนุพันธ์ของแทนเจนต์
9. อนุพันธ์ของโคแทนเจนต์
10. อนุพันธ์ของอาร์คไซน์
11. อนุพันธ์ของอาร์คโคไซน์
12. อนุพันธ์ของอาร์กแทนเจนต์
13. อนุพันธ์ของอาร์คโคแทนเจนต์
14. อนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาติ
15. อนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึม
16. อนุพันธ์ของเลขชี้กำลัง
17. อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

กฎของความแตกต่าง

1. อนุพันธ์ของผลรวมหรือผลต่าง
2. อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์
2ก. อนุพันธ์ของนิพจน์คูณด้วยตัวประกอบคงที่
3. อนุพันธ์ของผลหาร
4. อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน

กฎข้อที่ 1ถ้าฟังก์ชั่น

สามารถหาอนุพันธ์ได้ ณ จุดหนึ่ง จากนั้นฟังก์ชันจะหาอนุพันธ์ได้ที่จุดเดียวกัน

และ

เหล่านั้น. อนุพันธ์ของผลรวมพีชคณิตของฟังก์ชันเท่ากับผลรวมพีชคณิตของอนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านี้

ผลที่ตามมา หากฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้สองฟังก์ชันต่างกันด้วยเทอมคงที่ อนุพันธ์ของฟังก์ชันทั้งสองจะเท่ากัน, เช่น.

กฎข้อที่ 2ถ้าฟังก์ชั่น

สามารถหาอนุพันธ์ได้ ณ จุดหนึ่ง แล้วผลิตภัณฑ์ของเขาก็หาอนุพันธ์ได้ที่จุดเดียวกัน

และ

เหล่านั้น. อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ของสองฟังก์ชันจะเท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์ของแต่ละฟังก์ชันเหล่านี้กับอนุพันธ์ของอีกฟังก์ชันหนึ่ง

ข้อพิสูจน์ 1. ตัวประกอบคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์ได้:

ข้อพิสูจน์ 2. อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ของฟังก์ชันอนุพันธ์หลายตัวจะเท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์ของอนุพันธ์ของแต่ละปัจจัยและอื่นๆ ทั้งหมด

ตัวอย่างเช่น สำหรับตัวคูณสามตัว:

กฎข้อที่ 3ถ้าฟังก์ชั่น

แยกแยะได้ในบางจุด และ , เมื่อถึงจุดนี้ความฉลาดของพวกมันก็สามารถหาอนุพันธ์ได้เช่นกันคุณ/v และ

เหล่านั้น. อนุพันธ์ของผลหารของสองฟังก์ชันเท่ากับเศษส่วน โดยตัวเศษคือผลต่างระหว่างผลคูณของตัวส่วนกับอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวเศษและอนุพันธ์ของตัวส่วน และตัวส่วนคือกำลังสองของ อดีตตัวเศษ

จะค้นหาสิ่งต่าง ๆ ในหน้าอื่นได้ที่ไหน

เมื่อค้นหาอนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์และผลหารในปัญหาจริง จำเป็นต้องใช้กฎการสร้างความแตกต่างหลายข้อในคราวเดียวเสมอ ดังนั้นจึงมีตัวอย่างเพิ่มเติมเกี่ยวกับอนุพันธ์เหล่านี้ในบทความ"อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์และผลหารของฟังก์ชัน".

ความคิดเห็นคุณไม่ควรสับสนระหว่างค่าคงที่ (นั่นคือตัวเลข) ในรูปของผลรวมและตัวประกอบคงที่! ในกรณีของเทอม อนุพันธ์ของมันจะเท่ากับศูนย์ และในกรณีของตัวประกอบคงที่ อนุพันธ์ของเทอมนั้นจะถูกนำออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์ นี่เป็นข้อผิดพลาดทั่วไปที่เกิดขึ้นในระยะเริ่มต้นของการศึกษาอนุพันธ์ แต่เมื่อนักเรียนทั่วไปแก้ตัวอย่างที่มีหนึ่งและสองส่วน เขาจะไม่ทำผิดพลาดอีกต่อไป

และถ้าเมื่อคุณแยกแยะผลิตภัณฑ์หรือผลหาร คุณมีคำศัพท์ คุณ"โวลต์ซึ่งในนั้น คุณ- ตัวเลข เช่น 2 หรือ 5 นั่นคือค่าคงที่ จากนั้นอนุพันธ์ของตัวเลขนี้จะเท่ากับศูนย์ ดังนั้นพจน์ทั้งหมดจะเท่ากับศูนย์ (ในกรณีนี้จะกล่าวถึงในตัวอย่างที่ 10)

ข้อผิดพลาดทั่วไปอีกประการหนึ่งคือการแก้อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนโดยกลไกให้เป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงเดียว นั่นเป็นเหตุผล อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนมีการอุทิศบทความแยกต่างหาก แต่ก่อนอื่น เราจะเรียนรู้การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันง่ายๆ ก่อน

ระหว่างทาง คุณไม่สามารถทำได้โดยไม่เปลี่ยนการแสดงออก เมื่อต้องการทำเช่นนี้ คุณอาจต้องเปิดคู่มือในหน้าต่างใหม่ การกระทำที่มีพลังและรากและ การดำเนินการกับเศษส่วน .

หากคุณกำลังมองหาคำตอบของอนุพันธ์ของเศษส่วนที่มีกำลังและราก นั่นคือเมื่อฟังก์ชันมีลักษณะเช่นนี้ จากนั้นติดตามบทเรียน “อนุพันธ์ของผลบวกของเศษส่วนที่มีพลังและราก”

หากคุณมีงานเช่น จากนั้น คุณจะได้เรียนรู้บทเรียน “อนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติอย่างง่าย”

ตัวอย่างทีละขั้นตอน - วิธีค้นหาอนุพันธ์

ตัวอย่างที่ 3ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

สารละลาย. เรากำหนดส่วนของนิพจน์ฟังก์ชัน: นิพจน์ทั้งหมดแสดงถึงผลิตภัณฑ์ และตัวประกอบของมันคือผลรวม ในวินาทีที่คำศัพท์ตัวใดตัวหนึ่งมีค่าคงที่ เราใช้กฎการสร้างความแตกต่างของผลคูณ: อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ของสองฟังก์ชันจะเท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์ของแต่ละฟังก์ชันเหล่านี้ด้วยอนุพันธ์ของฟังก์ชันอื่น:

ต่อไป เราใช้กฎการหาผลรวมเชิงอนุพันธ์: อนุพันธ์ของผลรวมพีชคณิตของฟังก์ชันจะเท่ากับผลรวมพีชคณิตของอนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านี้ ในกรณีของเรา ในแต่ละผลรวม เทอมที่สองจะมีเครื่องหมายลบ ในแต่ละผลรวมเราจะเห็นทั้งตัวแปรอิสระ โดยมีอนุพันธ์เท่ากับ 1 และค่าคงที่ (ตัวเลข) ซึ่งอนุพันธ์มีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้น "X" จะกลายเป็นหนึ่ง และลบ 5 จะกลายเป็นศูนย์ ในนิพจน์ที่สอง "x" คูณด้วย 2 ดังนั้นเราจึงคูณสองด้วยหน่วยเดียวกันกับอนุพันธ์ของ "x" เราได้รับค่าอนุพันธ์ดังต่อไปนี้:

เราแทนที่อนุพันธ์ที่พบเป็นผลรวมของผลิตภัณฑ์และรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันทั้งหมดที่กำหนดตามเงื่อนไขของปัญหา:

และคุณสามารถตรวจสอบวิธีแก้ไขปัญหาอนุพันธ์ได้ที่

ตัวอย่างที่ 4ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

สารละลาย. เราจำเป็นต้องค้นหาอนุพันธ์ของผลหาร เราใช้สูตรในการหาความแตกต่างของผลหาร: อนุพันธ์ของผลหารของฟังก์ชันทั้งสองมีค่าเท่ากับเศษส่วน ซึ่งตัวเศษคือความแตกต่างระหว่างผลคูณของตัวส่วนกับอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวเศษและอนุพันธ์ของ ตัวส่วน และตัวส่วนคือกำลังสองของตัวเศษเดิม เราได้รับ:

เราพบอนุพันธ์ของปัจจัยในตัวเศษในตัวอย่างที่ 2 แล้ว อย่าลืมว่าผลคูณซึ่งเป็นตัวประกอบตัวที่สองในตัวเศษในตัวอย่างปัจจุบันนั้นมีเครื่องหมายลบ:

หากคุณกำลังมองหาวิธีแก้ไขปัญหาโดยต้องหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันซึ่งมีรากและกำลังมากมายอย่างต่อเนื่อง เช่น แล้วยินดีต้อนรับเข้าสู่ชั้นเรียน “อนุพันธ์ของผลบวกของเศษส่วนด้วยกำลังและราก” .

หากคุณต้องการเรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับอนุพันธ์ของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่นๆ นั่นคือเมื่อฟังก์ชันมีลักษณะดังนี้ แล้วบทเรียนสำหรับคุณ "อนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติอย่างง่าย" .

ตัวอย่างที่ 5ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

สารละลาย. ในฟังก์ชันนี้ เราจะเห็นผลคูณ หนึ่งในปัจจัยคือรากที่สองของตัวแปรอิสระ ซึ่งเป็นอนุพันธ์ที่เราคุ้นเคยในตารางอนุพันธ์ เมื่อใช้กฎในการแยกความแตกต่างผลิตภัณฑ์และค่าตารางของอนุพันธ์ของรากที่สองเราได้รับ:

สามารถตรวจสอบแนวทางแก้ไขปัญหาอนุพันธ์ได้ที่ เครื่องคิดเลขอนุพันธ์ออนไลน์ .

ตัวอย่างที่ 6ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

สารละลาย. ในฟังก์ชันนี้ เราจะเห็นผลหารซึ่งเงินปันผลคือรากที่สองของตัวแปรอิสระ เมื่อใช้กฎการแยกความแตกต่างของผลหารซึ่งเราทำซ้ำและนำไปใช้ในตัวอย่างที่ 4 และค่าตารางของอนุพันธ์ของรากที่สอง เราได้:

หากต้องการกำจัดเศษส่วนในตัวเศษ ให้คูณทั้งเศษและส่วนด้วย

หากคุณทำตามคำจำกัดความอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งคือขีดจำกัดของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน Δ ยถึงการเพิ่มอาร์กิวเมนต์ Δ x:

ทุกอย่างดูเหมือนจะชัดเจน แต่ลองใช้สูตรนี้คำนวณ เช่น อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ฉ(x) = x 2 + (2x+ 3) · จ xบาป x- หากคุณทำทุกอย่างตามคำจำกัดความหลังจากคำนวณไปสองสามหน้าคุณก็เผลอหลับไป ดังนั้นจึงมีวิธีที่ง่ายและมีประสิทธิภาพมากกว่า

ประการแรก เราสังเกตว่าจากฟังก์ชันที่หลากหลายทั้งหมด เราสามารถแยกแยะสิ่งที่เรียกว่าฟังก์ชันพื้นฐานได้ สิ่งเหล่านี้เป็นนิพจน์ที่ค่อนข้างง่ายซึ่งมีการคำนวณและจัดตารางอนุพันธ์มายาวนาน ฟังก์ชันดังกล่าวค่อนข้างง่ายต่อการจดจำ - พร้อมด้วยอนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านั้น

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเบื้องต้น

ฟังก์ชั่นเบื้องต้นมีทั้งหมดตามรายการด้านล่างนี้ อนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านี้ต้องรู้ด้วยใจ ยิ่งกว่านั้นการจดจำไม่ใช่เรื่องยากเลย - นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไมพวกเขาถึงเป็นระดับประถมศึกษา

ดังนั้นอนุพันธ์ของฟังก์ชันพื้นฐาน:

ชื่อ	การทำงาน	อนุพันธ์
คงที่	ฉ(x) = ค, ค ∈ ร	0 (ใช่ ศูนย์!)
กำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะ	ฉ(x) = x n	n · x n − 1
ไซนัส	ฉ(x) = บาป x	เพราะ x
โคไซน์	ฉ(x) = cos x	−บาป x(ลบไซน์)
แทนเจนต์	ฉ(x) = ทีจี x	1/คอส 2 x
โคแทนเจนต์	ฉ(x) = กะรัต x	− 1/บาป 2 x
ลอการิทึมธรรมชาติ	ฉ(x) = บันทึก x	1/x
ลอการิทึมตามอำเภอใจ	ฉ(x) = บันทึก ก x	1/(x ln ก)
ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง	ฉ(x) = จ x	จ x(ไม่มีอะไรเปลี่ยนแปลง)

หากฟังก์ชันพื้นฐานคูณด้วยค่าคงที่ตามอำเภอใจ อนุพันธ์ของฟังก์ชันใหม่ก็จะถูกคำนวณอย่างง่ายดายเช่นกัน:

(ค · ฉ)’ = ค · ฉ ’.

โดยทั่วไป ค่าคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์ได้ ตัวอย่างเช่น:

(2x 3)’ = 2 · ( x 3)’ = 2 3 x 2 = 6x 2 .

แน่นอนว่าคุณสามารถเพิ่มฟังก์ชันพื้นฐานเข้าด้วยกัน คูณ หาร และอื่นๆ อีกมากมายได้ นี่คือลักษณะที่ฟังก์ชันใหม่ๆ จะปรากฏขึ้น ไม่ใช่แบบพื้นฐานอีกต่อไป แต่ยังมีความแตกต่างตามกฎบางอย่างด้วย กฎเหล่านี้จะกล่าวถึงด้านล่าง

อนุพันธ์ของผลรวมและผลต่าง

ให้ฟังก์ชันได้รับ ฉ(x) และ ก(x) อนุพันธ์ที่เรารู้จัก ตัวอย่างเช่น คุณสามารถใช้ฟังก์ชันพื้นฐานที่กล่าวถึงข้างต้นได้ จากนั้นคุณจะพบอนุพันธ์ของผลรวมและผลต่างของฟังก์ชันเหล่านี้:

1. (ฉ + ก)’ = ฉ ’ + ก ’
2. (ฉ − ก)’ = ฉ ’ − ก ’

ดังนั้น อนุพันธ์ของผลรวม (ผลต่าง) ของสองฟังก์ชันจะเท่ากับผลรวม (ผลต่าง) ของอนุพันธ์ อาจมีเงื่อนไขเพิ่มเติม ตัวอย่างเช่น, ( ฉ + ก + ชม.)’ = ฉ ’ + ก ’ + ชม. ’.

พูดอย่างเคร่งครัด ไม่มีแนวคิดเรื่อง "การลบ" ในพีชคณิต มีแนวคิดเรื่อง "องค์ประกอบเชิงลบ" ดังนั้นความแตกต่าง ฉ − กสามารถเขียนใหม่เป็นผลรวมได้ ฉ+ (−1) กแล้วเหลือเพียงสูตรเดียวเท่านั้น - อนุพันธ์ของผลรวม

ฉ(x) = x 2 + บาป x; ก(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

การทำงาน ฉ(x) คือผลรวมของฟังก์ชันพื้นฐาน 2 ฟังก์ชัน ดังนั้น:

ฉ ’(x) = (x 2 + บาป x)’ = (x 2)’ + (บาป x)’ = 2x+ คอส x;

เราให้เหตุผลในทำนองเดียวกันสำหรับฟังก์ชันนี้ ก(x- มีเพียงสามเทอมเท่านั้น (จากมุมมองของพีชคณิต):

ก ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

คำตอบ:
ฉ ’(x) = 2x+ คอส x;
ก ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์

คณิตศาสตร์เป็นวิทยาศาสตร์เชิงตรรกะ ผู้คนจำนวนมากเชื่อว่าหากอนุพันธ์ของผลรวมเท่ากับผลรวมของอนุพันธ์แล้ว อนุพันธ์ของผลคูณ โจมตี">เท่ากับผลคูณของอนุพันธ์ แต่สกรูคุณ! อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์คำนวณโดยใช้สูตรที่แตกต่างอย่างสิ้นเชิง กล่าวคือ:

(ฉ · ก) ’ = ฉ ’ · ก + ฉ · ก ’

สูตรนั้นเรียบง่ายแต่มักถูกลืม และไม่ใช่แค่เด็กนักเรียนเท่านั้น แต่ยังรวมถึงนักเรียนด้วย ผลลัพธ์ที่ได้คือการแก้ปัญหาอย่างไม่ถูกต้อง

งาน. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน: ฉ(x) = x 3 คอส x; ก(x) = (x 2 + 7x− 7) · จ x .

การทำงาน ฉ(x) เป็นผลคูณของฟังก์ชันพื้นฐาน 2 ฟังก์ชัน ดังนั้นทุกอย่างจึงเป็นเรื่องง่าย:

ฉ ’(x) = (x 3คอส x)’ = (x 3)’ เพราะ x + x 3 (คอส x)’ = 3x 2คอส x + x 3 (−บาป x) = x 2 (3คอส x − xบาป x)

การทำงาน ก(x) ตัวคูณแรกจะซับซ้อนกว่าเล็กน้อย แต่รูปแบบทั่วไปไม่เปลี่ยนแปลง แน่นอนว่าปัจจัยแรกของฟังก์ชัน ก(x) เป็นพหุนามและอนุพันธ์ของมันคืออนุพันธ์ของผลรวม เรามี:

ก ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · จ x)’ = (x 2 + 7x− 7)’ · จ x + (x 2 + 7x− 7) ( จ x)’ = (2x+ 7) · จ x + (x 2 + 7x− 7) · จ x = จ x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · จ x = x(x+ 9) · จ x .

คำตอบ:
ฉ ’(x) = x 2 (3คอส x − xบาป x);
ก ’(x) = x(x+ 9) · จ x .

โปรดทราบว่าในขั้นตอนสุดท้าย อนุพันธ์จะถูกแยกตัวประกอบ อย่างเป็นทางการไม่จำเป็นต้องทำเช่นนี้ แต่อนุพันธ์ส่วนใหญ่ไม่ได้คำนวณด้วยตัวเอง แต่เพื่อตรวจสอบฟังก์ชัน ซึ่งหมายความว่าอนุพันธ์เพิ่มเติมจะเท่ากับศูนย์ สัญญาณจะถูกกำหนด และอื่นๆ ในกรณีเช่นนี้ ควรแยกตัวประกอบนิพจน์จะดีกว่า

ถ้ามีสองฟังก์ชัน ฉ(x) และ ก(x), และ ก(x) ≠ 0 บนเซตที่เราสนใจ เราสามารถกำหนดฟังก์ชันใหม่ได้ ชม.(x) = ฉ(x)/ก(x- สำหรับฟังก์ชันดังกล่าว คุณยังสามารถหาอนุพันธ์ได้:

ไม่อ่อนแอใช่ไหม? ลบมาจากไหน? ทำไม ก 2? แล้วไงล่ะ! นี่เป็นหนึ่งในสูตรที่ซับซ้อนที่สุด - คุณไม่สามารถเข้าใจได้หากไม่มีขวด ดังนั้นจึงควรศึกษาด้วยตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจงจะดีกว่า

งาน. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:

ตัวเศษและส่วนของแต่ละเศษส่วนมีฟังก์ชันพื้นฐาน ดังนั้นสิ่งที่เราต้องมีคือสูตรหาอนุพันธ์ของผลหาร:

ตามธรรมเนียมแล้ว เรามาแยกตัวประกอบของตัวเศษกัน - นี่จะทำให้คำตอบง่ายขึ้นมาก:

ฟังก์ชันที่ซับซ้อนไม่จำเป็นต้องมีสูตรยาวครึ่งกิโลเมตร ตัวอย่างเช่น การรับฟังก์ชันก็เพียงพอแล้ว ฉ(x) = บาป xและแทนที่ตัวแปร xพูดเปิด x 2 + อิน x- มันจะได้ผล ฉ(x) = บาป ( x 2 + อิน x) - นี่คือฟังก์ชันที่ซับซ้อน นอกจากนี้ยังมีอนุพันธ์ด้วย แต่จะไม่สามารถค้นหาได้โดยใช้กฎที่กล่าวถึงข้างต้น

ฉันควรทำอย่างไร? ในกรณีเช่นนี้ การแทนที่ตัวแปรและสูตรเพื่อหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อนจะช่วย:

ฉ ’(x) = ฉ ’(ที) · ที', ถ้า xถูกแทนที่ด้วย ที(x).

ตามกฎแล้ว สถานการณ์ที่มีการทำความเข้าใจสูตรนี้น่าเศร้ายิ่งกว่าอนุพันธ์ของผลหารด้วยซ้ำ ดังนั้นจึงเป็นการดีกว่าที่จะอธิบายโดยใช้ตัวอย่างเฉพาะพร้อมคำอธิบายโดยละเอียดของแต่ละขั้นตอน

งาน. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน: ฉ(x) = จ 2x + 3 ; ก(x) = บาป ( x 2 + อิน x)

โปรดทราบว่าหากอยู่ในฟังก์ชัน ฉ(x) แทนนิพจน์ 2 x+3 จะเป็นเรื่องง่าย xแล้วเราจะได้ฟังก์ชันพื้นฐาน ฉ(x) = จ x- ดังนั้นเราจึงทำการทดแทน: ให้ 2 x + 3 = ที, ฉ(x) = ฉ(ที) = จ ที- เราค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนโดยใช้สูตร:

ฉ ’(x) = ฉ ’(ที) · ที ’ = (จ ที)’ · ที ’ = จ ที · ที ’

และตอนนี้ - ให้ความสนใจ! เราทำการเปลี่ยนแบบย้อนกลับ: ที = 2x+ 3 เราได้รับ:

ฉ ’(x) = จ ที · ที ’ = จ 2x+3 (2 x + 3)’ = จ 2x+ 3 2 = 2 จ 2x + 3

ทีนี้มาดูฟังก์ชั่นกัน ก(x- แน่นอนว่ามันจำเป็นต้องเปลี่ยนใหม่ x 2 + อิน x = ที- เรามี:

ก ’(x) = ก ’(ที) · ที’ = (บาป ที)’ · ที' = cos ที · ที ’

การแทนที่แบบย้อนกลับ: ที = x 2 + อิน x- แล้ว:

ก ’(x) = คอส ( x 2 + อิน x) · ( x 2 + อิน x)' = คอส ( x 2 + อิน x) · (2 x + 1/x).

แค่นั้นแหละ! ดังที่เห็นได้จากนิพจน์ที่แล้ว ปัญหาทั้งหมดลดลงเหลือเพียงการคำนวณผลรวมอนุพันธ์

คำตอบ:
ฉ ’(x) = 2 · จ 2x + 3 ;
ก ’(x) = (2x + 1/x) เพราะ ( x 2 + อิน x).

บ่อยครั้งในบทเรียนของฉัน แทนที่จะใช้คำว่า "อนุพันธ์" ฉันใช้คำว่า "เฉพาะ" ตัวอย่างเช่น เส้นขีดของผลรวมเท่ากับผลรวมของเส้นขีด นั่นชัดเจนกว่าเหรอ? นั่นเป็นสิ่งที่ดี

ดังนั้นการคำนวณอนุพันธ์จึงต้องกำจัดจังหวะเดียวกันนี้ตามกฎที่กล่าวไว้ข้างต้น เป็นตัวอย่างสุดท้าย ลองกลับไปสู่กำลังอนุพันธ์ด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ:

(x n)’ = n · x n − 1

น้อยคนที่รู้ว่าในบทบาทนี้ nอาจเป็นเลขเศษส่วนก็ได้ ตัวอย่างเช่นรากคือ x 0.5. จะเกิดอะไรขึ้นถ้ามีอะไรแปลก ๆ อยู่ใต้ราก? ผลลัพธ์จะเป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อนอีกครั้ง - พวกเขาต้องการสร้างโครงสร้างดังกล่าวในการทดสอบและการสอบ

งาน. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:

ขั้นแรก ลองเขียนรากใหม่เป็นกำลังด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ:

ฉ(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

ตอนนี้เราทำการทดแทน: ให้ x 2 + 8x − 7 = ที- เราค้นหาอนุพันธ์โดยใช้สูตร:

ฉ ’(x) = ฉ ’(ที) · ที ’ = (ที 0.5)’ · ที’ = 0.5 · ที−0.5 · ที ’.

มาทำการแทนที่แบบย้อนกลับกัน: ที = x 2 + 8x− 7. เรามี:

ฉ ’(x) = 0.5 · ( x 2 + 8x− 7) −0.5 · ( x 2 + 8x− 7)’ = 0.5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

สุดท้ายก็กลับไปสู่รากเหง้า: