อนุพันธ์ของฟังก์ชัน y x lnx เท่ากัน อนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาติและลอการิทึมเป็นฐาน a

การพิสูจน์และการได้มาของสูตรสำหรับอนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาติและลอการิทึมในฐาน a ตัวอย่างการคำนวณอนุพันธ์ของ ln 2x, ln 3x และ ln nx การพิสูจน์สูตรอนุพันธ์ของลอการิทึมอันดับที่ n โดยวิธีการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์

ที่มาของสูตรอนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาติและลอการิทึมในฐาน a

อนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาติของ x เท่ากับหนึ่งหารด้วย x:
(1) (lnx)′ =.

อนุพันธ์ของลอการิทึมกับฐาน a เท่ากับหนึ่งหารด้วยตัวแปร x คูณด้วยลอการิทึมธรรมชาติของ a :
(2) (ล็อก x)′ =.

การพิสูจน์

ให้มีจำนวนบวกไม่เท่ากับหนึ่ง พิจารณาฟังก์ชันที่ขึ้นอยู่กับตัวแปร x ซึ่งเป็นลอการิทึมฐาน:
.
ฟังก์ชันนี้ถูกกำหนดด้วย . ลองหาอนุพันธ์เทียบกับ x กัน ตามคำจำกัดความ อนุพันธ์คือขีดจำกัดต่อไปนี้:
(3) .

มาแปลงนิพจน์นี้เพื่อลดให้เป็นคุณสมบัติและกฎทางคณิตศาสตร์ที่รู้จัก ในการทำเช่นนี้ เราจำเป็นต้องทราบข้อเท็จจริงต่อไปนี้:
แต่)คุณสมบัติของลอการิทึม เราต้องการสูตรต่อไปนี้:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
ข)ความต่อเนื่องของลอการิทึมและคุณสมบัติของลิมิตสำหรับฟังก์ชันต่อเนื่อง:
(7) .
นี่คือฟังก์ชันบางอย่างที่มีขีดจำกัดและขีดจำกัดนี้เป็นค่าบวก
ที่)ความหมายของขีด จำกัด ที่ยอดเยี่ยมที่สอง:
(8) .

เราใช้ข้อเท็จจริงเหล่านี้กับขีดจำกัดของเรา ก่อนอื่นเราแปลงนิพจน์พีชคณิต
.
ในการทำเช่นนี้ เราใช้คุณสมบัติ (4) และ (5)

.

เราใช้ทรัพย์สิน (7) และขีด จำกัด ที่สองที่น่าทึ่ง (8):
.

และสุดท้าย ใช้คุณสมบัติ (6):
.
ลอการิทึมฐาน อีเรียกว่า ลอการิทึมธรรมชาติ. มันถูกทำเครื่องหมายเช่นนี้:
.
แล้ว ;
.

ดังนั้นเราจึงได้สูตร (2) สำหรับอนุพันธ์ของลอการิทึม

อนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาติ

อีกครั้งที่เราเขียนสูตรอนุพันธ์ของลอการิทึมในฐาน a:
.
สูตรนี้มีรูปแบบที่ง่ายที่สุดสำหรับลอการิทึมธรรมชาติ ซึ่ง , แล้ว
(1) .

เนื่องจากความเรียบง่ายนี้ ลอการิทึมธรรมชาติจึงถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในแคลคูลัสและสาขาอื่นๆ ของคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ ฟังก์ชันลอการิทึมกับฐานอื่นสามารถแสดงในรูปของลอการิทึมธรรมชาติโดยใช้คุณสมบัติ (6):
.

อนุพันธ์พื้นฐานของลอการิทึมสามารถหาได้จากสูตร (1) ถ้าค่าคงที่ถูกนำออกจากเครื่องหมายอนุพันธ์:
.

วิธีอื่นในการพิสูจน์อนุพันธ์ของลอการิทึม

ที่นี่เราคิดว่าเรารู้สูตรสำหรับอนุพันธ์ของเลขชี้กำลัง:
(9) .
จากนั้นเราสามารถหาสูตรอนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาติได้ โดยที่ลอการิทึมเป็นตัวผกผันของเลขชี้กำลัง

ให้เราพิสูจน์สูตรอนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาติ การใช้สูตรอนุพันธ์ของฟังก์ชันผกผัน:
.
ในกรณีของเรา. อินเวอร์สของลอการิทึมธรรมชาติคือเลขชี้กำลัง:
.
อนุพันธ์ถูกกำหนดโดยสูตร (9) ตัวแปรสามารถแสดงด้วยตัวอักษรใดก็ได้ ในสูตร (9) เราแทนที่ตัวแปร x ด้วย y:
.
ตั้งแต่นั้นมา
.
แล้ว
.
สูตรได้รับการพิสูจน์แล้ว

ตอนนี้เราพิสูจน์สูตรอนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาติโดยใช้ กฎการแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน. เนื่องจากฟังก์ชันและมีการผกผันกันจึง
.
แยกความแตกต่างของสมการนี้เทียบกับตัวแปร x :
(10) .
อนุพันธ์ของ x เท่ากับหนึ่ง:
.
เราใช้กฎการแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน:
.
ที่นี่ . เปลี่ยนเป็น (10):
.
จากที่นี่
.

ตัวอย่าง

ค้นหาอนุพันธ์ของ ln 2x, ln 3xและ ln nx.

วิธีการแก้

ฟังก์ชันเดิมมีรูปแบบที่คล้ายคลึงกัน ดังนั้นเราจะหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y = บันทึก nx. จากนั้นเราแทนที่ n = 2 และ n = 3 . ดังนั้นเราจึงได้สูตรอนุพันธ์ของ ln 2xและ ln 3x .

ดังนั้น เรากำลังมองหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
y = บันทึก nx .
มาแทนฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อนซึ่งประกอบด้วยฟังก์ชันสองฟังก์ชัน:
1) ฟังก์ชันขึ้นอยู่กับตัวแปร : ;
2) ฟังก์ชันที่ขึ้นกับตัวแปร : .
จากนั้นฟังก์ชันดั้งเดิมจะประกอบด้วยฟังก์ชันและ :
.

ลองหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเทียบกับตัวแปร x กัน:
.
มาหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเทียบกับตัวแปรกัน:
.
เราใช้สูตรสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน
.
ที่นี่เราได้ทดแทน

ดังนั้นเราจึงพบว่า:
(11) .
เราเห็นว่าอนุพันธ์ไม่ได้ขึ้นอยู่กับ n ผลลัพธ์นี้จะค่อนข้างเป็นธรรมชาติหากเราแปลงฟังก์ชันดั้งเดิมโดยใช้สูตรของลอการิทึมของผลิตภัณฑ์:
.
- เป็นค่าคงที่ อนุพันธ์ของมันคือศูนย์ จากนั้นตามกฎของการแยกความแตกต่างของผลรวม เรามี:
.

ตอบ

; ; .

อนุพันธ์ของลอการิทึมโมดูโล x

มาหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่สำคัญมากอีกอัน - ลอการิทึมธรรมชาติของโมดูล x:
(12) .

ลองพิจารณากรณี จากนั้นฟังก์ชันจะมีลักษณะดังนี้:
.
อนุพันธ์ถูกกำหนดโดยสูตร (1):
.

ตอนนี้พิจารณากรณี จากนั้นฟังก์ชันจะมีลักษณะดังนี้:
,
ที่ไหน .
แต่เรายังพบอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้ในตัวอย่างข้างต้น มันไม่ได้ขึ้นอยู่กับ n และเท่ากับ
.
แล้ว
.

เรารวมสองกรณีนี้เป็นสูตรเดียว:
.

ดังนั้น สำหรับลอการิทึมของฐาน a เรามี:
.

อนุพันธ์อันดับสูงกว่าของลอการิทึมธรรมชาติ

พิจารณาฟังก์ชั่น
.
เราพบอนุพันธ์อันดับ 1 ของมัน:
(13) .

มาหาอนุพันธ์อันดับสองกัน:
.
ลองหาอนุพันธ์ของลำดับที่สาม:
.
ลองหาอนุพันธ์ของลำดับที่สี่:
.

จะเห็นได้ว่าอนุพันธ์อันดับที่ n มีรูปแบบดังนี้
(14) .
ให้เราพิสูจน์สิ่งนี้ด้วยการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์

การพิสูจน์

ให้เราแทนค่า n = 1 เป็นสูตร (14):
.
ตั้งแต่ ดังนั้นสำหรับ n = 1 , สูตร (14) ถูกต้อง

ให้เราสมมติว่าสูตร (14) นั้นพอใจสำหรับ n = k ให้เราพิสูจน์ว่าจากนี้ไปสูตรนั้นใช้ได้กับ n = k + 1 .

แน่นอนสำหรับ n = k เรามี:
.
แยกความแตกต่างด้วยความเคารพ x :

.
ดังนั้นเราจึงได้รับ:
.
สูตรนี้ตรงกับสูตร (14) สำหรับ n = k + 1 . ดังนั้น จากสมมติฐานที่ว่าสูตร (14) ใช้ได้กับ n = k จึงเป็นไปตามสูตร (14) ที่ใช้ได้กับ n = k + 1 .

ดังนั้น สูตร (14) สำหรับอนุพันธ์อันดับที่ n จึงใช้ได้กับ n ใดๆ

อนุพันธ์อันดับสูงกว่าของลอการิทึมถึงฐาน a

ในการหาอนุพันธ์อันดับที่ n ของลอการิทึมฐาน a คุณต้องแสดงในรูปของลอการิทึมธรรมชาติ:
.
ใช้สูตร (14) เราพบอนุพันธ์อันดับที่ n:
.

คำนิยาม.ให้ฟังก์ชัน \(y = f(x) \) ถูกกำหนดในช่วงเวลาที่มีจุด \(x_0 \) อยู่ภายใน มาเพิ่ม \(\Delta x \) ให้กับอาร์กิวเมนต์เพื่อไม่ให้ออกจากช่วงเวลานี้ ค้นหาการเพิ่มขึ้นที่สอดคล้องกันของฟังก์ชัน \(\Delta y \) (เมื่อผ่านจากจุด \(x_0 \) ไปยังจุด \(x_0 + \Delta x \)) และเขียนความสัมพันธ์ \(\frac(\Delta y )(\เดลต้า x) \). หากมีขีดจำกัดของความสัมพันธ์นี้ที่ \(\Delta x \rightarrow 0 \) จะมีการเรียกขีดจำกัดที่ระบุ ฟังก์ชันอนุพันธ์\(y=f(x) \) ที่จุด \(x_0 \) และแสดงว่า \(f"(x_0) \)

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

สัญลักษณ์ y มักใช้เพื่อแสดงถึงอนุพันธ์ โปรดทราบว่า y" = f(x) เป็นฟังก์ชันใหม่แต่มีความเกี่ยวข้องตามธรรมชาติกับฟังก์ชัน y = f(x) ซึ่งกำหนดไว้ที่จุด x ทุกจุดซึ่งมีขีดจำกัดข้างต้น ฟังก์ชันนี้เรียกว่าดังนี้: อนุพันธ์ของฟังก์ชัน y \u003d f (x).

ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ประกอบด้วยสิ่งต่อไปนี้ หากแทนเจนต์ที่ไม่ขนานกับแกน y สามารถวาดไปยังกราฟของฟังก์ชัน y \u003d f (x) ที่จุดที่มี abscissa x \u003d a แล้ว f (a) แสดงความชันของแทนเจนต์:
\(k = ฉ"(ก)\)

เนื่องจาก \(k = tg(a) \) ความเท่าเทียมกัน \(f"(a) = tg(a) \) เป็นจริง

และตอนนี้เราตีความนิยามของอนุพันธ์ในแง่ของความเท่าเทียมกันโดยประมาณ ให้ฟังก์ชัน \(y = f(x) \) มีอนุพันธ์ ณ จุดใดจุดหนึ่ง \(x \):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
ซึ่งหมายความว่าใกล้จุด x ความเท่าเทียมกันโดยประมาณ \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \ประมาณ f"(x) \), เช่น \(\Delta y \ประมาณ f"(x) \cdot \Deltax\). ความหมายที่มีความหมายของความเท่าเทียมกันโดยประมาณที่ได้รับมีดังนี้ การเพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน "เกือบเป็นสัดส่วน" กับการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ และค่าสัมประสิทธิ์ของสัดส่วนคือค่าของอนุพันธ์ ณ จุดที่กำหนด x ตัวอย่างเช่น สำหรับฟังก์ชัน \(y = x^2 \) ความเท่าเทียมกันโดยประมาณ \(\Delta y \ประมาณ 2x \cdot \Delta x \) นั้นใช้ได้ หากเราวิเคราะห์คำจำกัดความของอนุพันธ์อย่างถี่ถ้วน เราจะพบว่ามันมีอัลกอริธึมในการค้นหา

มากำหนดสูตรกัน

จะหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y \u003d f (x) ได้อย่างไร

1. แก้ไขค่า \(x \), ค้นหา \(f(x) \)
2. เพิ่ม \(x \) อาร์กิวเมนต์ \(\Delta x \) ย้ายไปยังจุดใหม่ \(x+ \Delta x \) ค้นหา \(f(x+ \Delta x) \)
3. ค้นหาการเพิ่มฟังก์ชัน: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. เขียนความสัมพันธ์ \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. คำนวณ $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
ลิมิตนี้เป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ x

หากฟังก์ชัน y = f(x) มีอนุพันธ์ที่จุด x ก็จะเรียกว่าอนุพันธ์ที่จุด x ขั้นตอนการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y \u003d f (x) เรียกว่า ความแตกต่างฟังก์ชัน y = f(x)

ให้เราพิจารณาคำถามต่อไปนี้: ความต่อเนื่องและความแตกต่างของฟังก์ชัน ณ จุดนั้นสัมพันธ์กันอย่างไร?

ให้ฟังก์ชัน y = f(x) หาอนุพันธ์ได้ที่จุด x จากนั้นสามารถวาดแทนเจนต์ไปยังกราฟของฟังก์ชันที่จุด M (x; f (x)) และจำความชันของแทนเจนต์เท่ากับ f "(x) กราฟดังกล่าวไม่สามารถ "แตก" ได้ที่ จุด M นั่นคือฟังก์ชันต้องต่อเนื่องที่ x

มันเป็นการให้เหตุผล "ที่นิ้ว" ให้เรานำเสนออาร์กิวเมนต์ที่เข้มงวดมากขึ้น หากฟังก์ชัน y = f(x) สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่จุด x ดังนั้นค่าความเท่าเทียมกันโดยประมาณ \(\Delta y \ประมาณ f"(x) \cdot \Delta x \) จะมีค่าเป็นศูนย์ ดังนั้น \(\Delta y \ ) ก็จะมีแนวโน้มเป็นศูนย์เช่นกัน และนี่คือเงื่อนไขสำหรับความต่อเนื่องของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง

ดังนั้น, ถ้าฟังก์ชันนั้นหาอนุพันธ์ได้ที่จุด x มันก็ต่อเนื่องที่จุดนั้นด้วย.

การสนทนาไม่เป็นความจริง ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน y = |x| ต่อเนื่องทุกที่ โดยเฉพาะที่จุด x = 0 แต่ไม่มีแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชันที่ "จุดร่วม" (0; 0) หาก ณ จุดหนึ่ง เป็นไปไม่ได้ที่จะวาดแทนเจนต์ให้กับกราฟฟังก์ชัน แสดงว่าไม่มีอนุพันธ์ ณ จุดนี้

อีกหนึ่งตัวอย่าง ฟังก์ชัน \(y=\sqrt(x) \) จะต่อเนื่องกันบนเส้นจำนวนทั้งหมด ซึ่งรวมถึงที่จุด x = 0 และแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชันนั้นอยู่ที่จุดใดๆ รวมทั้งที่จุด x = 0 . แต่เมื่อถึงจุดนี้แทนเจนต์เกิดขึ้นพร้อมกับแกน y นั่นคือตั้งฉากกับแกน abscissa สมการของมันมีรูปแบบ x \u003d 0 ไม่มีความชันสำหรับเส้นตรงดังกล่าวซึ่งหมายความว่า \ ( f "(0) \) ไม่มีอยู่เช่นกัน

ดังนั้นเราจึงทำความคุ้นเคยกับคุณสมบัติใหม่ของฟังก์ชัน - ความแตกต่าง คุณจะทราบได้อย่างไรว่าฟังก์ชันนั้นแตกต่างจากกราฟของฟังก์ชันหรือไม่

คำตอบได้รับจริงข้างต้น หากในบางจุดสามารถวาดแทนเจนต์ไปยังกราฟของฟังก์ชันที่ไม่ตั้งฉากกับแกน x ได้ เมื่อถึงจุดนี้ ฟังก์ชันก็จะหาอนุพันธ์ได้ ถ้า ณ จุดหนึ่ง แทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชันไม่มีอยู่หรือตั้งฉากกับแกน x เมื่อถึงจุดนี้ ฟังก์ชันจะไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้

กฎการสร้างความแตกต่าง

การดำเนินการหาอนุพันธ์เรียกว่า ความแตกต่าง. เมื่อดำเนินการนี้ คุณมักจะต้องทำงานกับผลหาร ผลรวม ผลคูณของฟังก์ชัน เช่นเดียวกับ "ฟังก์ชันของฟังก์ชัน" นั่นคือ ฟังก์ชันที่ซับซ้อน จากคำจำกัดความของอนุพันธ์ เราสามารถหากฎการสร้างความแตกต่างที่เอื้อต่องานนี้ได้ ถ้า C เป็นจำนวนคงที่และ f=f(x) g=g(x) เป็นฟังก์ชันอนุพันธ์บางอย่าง ดังนั้นสิ่งต่อไปนี้จะเป็นจริง กฎความแตกต่าง:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ อนุพันธ์ของฟังก์ชันคอมพาวด์:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

ตารางอนุพันธ์ของฟังก์ชันบางอย่าง

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $

การดำเนินการหาอนุพันธ์เรียกว่าดิฟเฟอเรนติเอชัน

จากการแก้ปัญหาการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ง่ายที่สุด (และไม่ง่ายมาก) โดยนิยามของอนุพันธ์เมื่อจำกัดอัตราส่วนของการเพิ่มต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ ตารางอนุพันธ์และกฎการแยกความแตกต่างที่กำหนดไว้อย่างแม่นยำปรากฏขึ้น Isaac Newton (1643-1727) และ Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) เป็นคนแรกที่ทำงานด้านการค้นหาอนุพันธ์

ดังนั้นในสมัยของเราเพื่อค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันใด ๆ ไม่จำเป็นต้องคำนวณขีด จำกัด ข้างต้นของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ แต่ต้องใช้ตารางเท่านั้น ของอนุพันธ์และกฎของความแตกต่าง อัลกอริทึมต่อไปนี้เหมาะสำหรับการหาอนุพันธ์

เพื่อหาอนุพันธ์คุณต้องการนิพจน์ภายใต้เครื่องหมายขีด แบ่งหน้าที่ง่าย ๆและกำหนดการกระทำ (ผลิตภัณฑ์ ผลรวม ผลหาร)ฟังก์ชันเหล่านี้เกี่ยวข้องกัน นอกจากนี้ เราพบอนุพันธ์ของฟังก์ชันพื้นฐานในตารางอนุพันธ์ และสูตรอนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ ผลรวมและผลหาร - ในกฎของความแตกต่าง ตารางอนุพันธ์และกฎการสร้างความแตกต่างมีให้หลังจากสองตัวอย่างแรก

ตัวอย่าง 1หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

วิธีการแก้. จากกฎของความแตกต่าง เราพบว่าอนุพันธ์ของผลรวมของฟังก์ชันคือผลรวมของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน นั่นคือ

จากตารางอนุพันธ์ เราพบว่าอนุพันธ์ของ "X" เท่ากับ 1 และอนุพันธ์ของไซน์คือโคไซน์ เราแทนที่ค่าเหล่านี้ด้วยผลรวมของอนุพันธ์และค้นหาอนุพันธ์ที่ต้องการโดยเงื่อนไขของปัญหา:

ตัวอย่าง 2หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

วิธีการแก้. สร้างความแตกต่างในฐานะอนุพันธ์ของผลรวม ซึ่งเทอมที่สองที่มีค่าคงที่ สามารถนำออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์ได้:

หากยังคงมีคำถามว่าบางสิ่งมาจากไหน ตามกฎแล้วจะมีความชัดเจนหลังจากอ่านตารางอนุพันธ์และกฎการแยกความแตกต่างที่ง่ายที่สุด เราจะไปหาพวกเขาตอนนี้

ตารางอนุพันธ์ของฟังก์ชันอย่างง่าย

1. อนุพันธ์ของค่าคงที่ (ตัวเลข) ตัวเลขใดๆ (1, 2, 5, 200...) ที่อยู่ในนิพจน์ของฟังก์ชัน ศูนย์เสมอ สิ่งนี้สำคัญมากที่ต้องจำไว้ เพราะจำเป็นมาก
2. อนุพันธ์ของตัวแปรอิสระ ส่วนใหญ่มักจะเป็น "x" เท่ากับหนึ่งเสมอ นี่เป็นสิ่งสำคัญที่ต้องจำไว้
3. อนุพันธ์ของดีกรี เมื่อแก้ปัญหา คุณต้องแปลงรากที่สองให้เป็นกำลัง
4. อนุพันธ์ของตัวแปรยกกำลัง -1
5. อนุพันธ์ของรากที่สอง
6. อนุพันธ์ของไซน์
7. อนุพันธ์โคไซน์
8. อนุพันธ์แทนเจนต์
9. อนุพันธ์ของโคแทนเจนต์
10. อนุพันธ์ของอาร์กไซน์
11. อนุพันธ์ของอาร์คโคไซน์
12. อนุพันธ์ของอาร์คแทนเจนต์
13. อนุพันธ์ของแทนเจนต์ผกผัน
14. อนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาติ
15. อนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึม
16. อนุพันธ์ของเลขชี้กำลัง
17. อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

กฎการสร้างความแตกต่าง

1. อนุพันธ์ของผลรวมหรือส่วนต่าง
2. อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์
2ก. อนุพันธ์ของนิพจน์คูณด้วยตัวประกอบคงที่
3. อนุพันธ์ของผลหาร
4. อนุพันธ์ของฟังก์ชันประสม

กฎข้อที่ 1ถ้าทำหน้าที่

แตกต่างได้ในบางจุด จากนั้นฟังก์ชัน .ที่จุดเดียวกัน

และ

เหล่านั้น. อนุพันธ์ของผลรวมเชิงพีชคณิตของฟังก์ชันเท่ากับผลรวมเชิงพีชคณิตของอนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านี้

ผลที่ตามมา ถ้าฟังก์ชันดิฟเฟอเรนติเอเบิลสองตัวต่างกันด้วยค่าคงที่ อนุพันธ์ของพวกมันคือ, เช่น.

กฎข้อ 2ถ้าทำหน้าที่

ต่างกันที่จุดหนึ่ง แล้วผลคูณก็ต่างกันที่จุดเดียวกัน

และ

เหล่านั้น. อนุพันธ์ของผลคูณของฟังก์ชันสองฟังก์ชันมีค่าเท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์ของฟังก์ชันเหล่านี้แต่ละตัวและอนุพันธ์ของฟังก์ชันอื่น

ผลที่ 1 ตัวประกอบคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์ได้:

ผลที่ 2 อนุพันธ์ของผลคูณของฟังก์ชันดิฟเฟอเรนติเอเบิลหลายตัวเท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์ของอนุพันธ์ของปัจจัยแต่ละตัวและอื่นๆ ทั้งหมด

ตัวอย่างเช่น สำหรับตัวคูณสามตัว:

กฎข้อ 3ถ้าทำหน้าที่

แตกต่างในบางจุด และ , เมื่อถึงจุดนี้ ผลหารของพวกมันก็หาอนุพันธ์ได้ด้วยเช่นกันu/v และ

เหล่านั้น. อนุพันธ์ของผลหารของสองฟังก์ชัน เท่ากับเศษส่วนที่มีตัวเศษเป็นผลต่างระหว่างผลคูณของตัวส่วนกับอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวเศษ และอนุพันธ์ของตัวส่วน และตัวส่วนคือกำลังสองของตัวเศษเดิม .

จะดูหน้าอื่นได้ที่ไหน

เมื่อค้นหาอนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์และความฉลาดในปัญหาจริง จำเป็นต้องใช้กฎการสร้างความแตกต่างหลายข้อในครั้งเดียวเสมอ ดังนั้นตัวอย่างเพิ่มเติมเกี่ยวกับอนุพันธ์เหล่านี้จะอยู่ในบทความ"อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์และผลหาร " .

ความคิดเห็นคุณไม่ควรสับสนค่าคงที่ (นั่นคือตัวเลข) เป็นพจน์ในผลรวมและเป็นปัจจัยคงที่! ในกรณีของพจน์ อนุพันธ์จะเท่ากับศูนย์ และในกรณีของตัวประกอบคงที่ อนุพันธ์จะถูกนำออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์ นี่เป็นข้อผิดพลาดทั่วไปที่เกิดขึ้นในช่วงเริ่มต้นของการเรียนอนุพันธ์ แต่ในขณะที่นักเรียนทั่วไปแก้ตัวอย่างที่มีหนึ่งสององค์ประกอบหลายๆ ตัวอย่าง นักเรียนโดยเฉลี่ยจะไม่ทำผิดพลาดนี้อีกต่อไป

และถ้าเมื่อแยกความแตกต่างของผลิตภัณฑ์หรือผลหาร คุณมีเทอม ยู"วี, โดยที่ ยู- ตัวเลข เช่น 2 หรือ 5 นั่นคือ ค่าคงที่ จากนั้นอนุพันธ์ของตัวเลขนี้จะเท่ากับศูนย์ ดังนั้น พจน์ทั้งหมดจะเท่ากับศูนย์ (กรณีดังกล่าววิเคราะห์ในตัวอย่างที่ 10) .

ข้อผิดพลาดทั่วไปอีกประการหนึ่งคือการแก้ปัญหาทางกลของอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนในฐานะอนุพันธ์ของฟังก์ชันง่าย ๆ นั่นเป็นเหตุผลที่ อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนอุทิศให้กับบทความแยกต่างหาก แต่ก่อนอื่น เราจะเรียนรู้การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันง่าย ๆ

ระหว่างทางคุณไม่สามารถทำได้โดยไม่ต้องแปลงนิพจน์ ในการดำเนินการนี้ คุณอาจต้องเปิดคู่มือ windows ใหม่ การกระทำด้วยอำนาจและรากเหง้าและ การกระทำที่มีเศษส่วน.

หากคุณกำลังมองหาคำตอบของอนุพันธ์ที่มีกำลังและราก นั่นคือ เมื่อฟังก์ชันดูเหมือน แล้วทำตามบทเรียน" อนุพันธ์ของผลรวมของเศษส่วนที่มีกำลังและราก ".

หากคุณมีงานเช่น แล้วคุณจะมีงานทำ "อนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติอย่างง่าย".

ตัวอย่างทีละขั้นตอน - วิธีหาอนุพันธ์

ตัวอย่างที่ 3หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

วิธีการแก้. เรากำหนดส่วนต่าง ๆ ของนิพจน์ฟังก์ชัน: นิพจน์ทั้งหมดแสดงถึงผลิตภัณฑ์ และปัจจัยของมันคือผลรวม ในวินาทีที่หนึ่งในเงื่อนไขมีปัจจัยคงที่ เราใช้กฎการแยกความแตกต่างของผลิตภัณฑ์: อนุพันธ์ของผลคูณของฟังก์ชันสองฟังก์ชันเท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์ของแต่ละฟังก์ชันเหล่านี้และอนุพันธ์ของฟังก์ชันอื่น:

ต่อไป เราใช้กฎการแยกความแตกต่างของผลรวม: อนุพันธ์ของผลรวมเชิงพีชคณิตของฟังก์ชันเท่ากับผลรวมเชิงพีชคณิตของอนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านี้ ในกรณีของเรา ในแต่ละผลรวม เทอมที่สองที่มีเครื่องหมายลบ ในแต่ละผลรวม เราจะเห็นทั้งตัวแปรอิสระ อนุพันธ์ของค่าหนึ่งเท่ากับหนึ่ง และค่าคงที่ (ตัวเลข) ซึ่งอนุพันธ์นั้นมีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้น "x" กลายเป็นหนึ่ง และลบ 5 - เป็นศูนย์ ในนิพจน์ที่สอง "x" ถูกคูณด้วย 2 เราจึงคูณสองด้วยหน่วยเดียวกันกับอนุพันธ์ของ "x" เราได้รับค่าอนุพันธ์ดังต่อไปนี้:

เราแทนที่อนุพันธ์ที่ค้นพบเป็นผลรวมของผลิตภัณฑ์ และรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันทั้งหมดที่กำหนดโดยเงื่อนไขของปัญหา:

ตัวอย่างที่ 4หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

วิธีการแก้. เราต้องหาอนุพันธ์ของผลหาร เราใช้สูตรในการแยกความแตกต่างของผลหาร: อนุพันธ์ของผลหารของสองฟังก์ชันเท่ากับเศษส่วนซึ่งตัวเศษคือผลต่างระหว่างผลคูณของตัวส่วนกับอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวเศษ และอนุพันธ์ของตัวส่วน และ ตัวส่วนคือกำลังสองของตัวเศษเดิม เราได้รับ:

เราพบอนุพันธ์ของปัจจัยในตัวเศษแล้วในตัวอย่างที่ 2 แล้ว อย่าลืมว่าผลคูณซึ่งเป็นปัจจัยที่สองในตัวเศษในตัวอย่างปัจจุบัน ถูกนำมาด้วยเครื่องหมายลบ:

หากคุณกำลังมองหาวิธีแก้ไขปัญหาดังกล่าว ซึ่งคุณจำเป็นต้องค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ซึ่งมีกองรากและดีกรีต่อเนื่องกัน เช่น ยินดีต้อนรับเข้าสู่ชั้นเรียน "อนุพันธ์ของผลรวมของเศษส่วนที่มีกำลังและราก".

หากคุณต้องการเรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับอนุพันธ์ของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่นๆ นั่นคือเมื่อฟังก์ชันดูเหมือน แล้วคุณจะมีบทเรียน "อนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติอย่างง่าย".

ตัวอย่างที่ 5หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

วิธีการแก้. ในฟังก์ชันนี้ เราจะเห็นผลคูณ หนึ่งในปัจจัยที่เป็นรากที่สองของตัวแปรอิสระ โดยมีอนุพันธ์ที่เราคุ้นเคยในตารางอนุพันธ์ ตามกฎความแตกต่างของผลิตภัณฑ์และค่าตารางของอนุพันธ์ของรากที่สอง เราได้รับ:

ตัวอย่างที่ 6หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

วิธีการแก้. ในฟังก์ชันนี้ เราจะเห็นผลหาร ซึ่งเงินปันผลคือรากที่สองของตัวแปรอิสระ ตามกฎการแยกความแตกต่างของผลหาร ซึ่งเราทำซ้ำและใช้ในตัวอย่างที่ 4 และค่าตารางของอนุพันธ์ของรากที่สอง เราได้รับ:

ในการกำจัดเศษส่วนในตัวเศษ ให้คูณตัวเศษและตัวส่วนด้วย .