นี่คือตารางสรุปเพื่อความสะดวกและชัดเจนเมื่อศึกษาหัวข้อ

คงที่y=ค ฟังก์ชันยกกำลัง y = x p (x พี)" = พี x พี - 1	ฟังก์ชันเลขชี้กำลังy = x (ก x)" = ก x ล น ก โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อเอ = อีเรามี y = อี x (อี x)" = อี x
ฟังก์ชันลอการิทึม (บันทึก a x) " = 1 x ln a โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อเอ = อีเรามี y = บันทึก x (ln x)" = 1 x	ฟังก์ชันตรีโกณมิติ (บาป x) "= cos x (cos x)" = - บาป x (t g x) " = 1 cos 2 x (c t g x)" = - 1 บาป 2 x
ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน (a r c sin x) " = 1 1 - x 2 (a r c cos x) " = - 1 1 - x 2 (a r c t g x) " = 1 1 + x 2 (a r c c t g x) " = - 1 1 + x 2	ฟังก์ชันไฮเพอร์โบลิก (s h x) " = c h x (c h x) " = s h x (t h x) " = 1 c h 2 x (ct h x) " = - 1 s h 2 x

ให้เราวิเคราะห์ว่าได้สูตรของตารางที่ระบุมาอย่างไร หรืออีกนัยหนึ่ง เราจะพิสูจน์ที่มาของสูตรสำหรับอนุพันธ์สำหรับฟังก์ชันแต่ละประเภท

อนุพันธ์ของค่าคงที่

หลักฐาน 1

เพื่อให้ได้สูตรนี้ เรายึดนิยามของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งเป็นพื้นฐาน เราใช้ x 0 = x โดยที่ xรับค่าของจำนวนจริงใด ๆ หรืออีกนัยหนึ่ง xเป็นจำนวนใดๆ จากโดเมนของฟังก์ชัน f (x) = C ลองเขียนลิมิตของอัตราส่วนการเพิ่มของฟังก์ชันต่อการเพิ่มอาร์กิวเมนต์เป็น ∆ x → 0:

ลิม ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = ลิม ∆ x → 0 C - C ∆ x = ลิม ∆ x → 0 0 ∆ x = 0

โปรดทราบว่านิพจน์ 0 ∆ x อยู่ภายใต้เครื่องหมายจำกัด ไม่ใช่ความไม่แน่นอนของ "ศูนย์หารด้วยศูนย์" เนื่องจากตัวเศษไม่มีค่าที่น้อยมาก แต่เป็นศูนย์ กล่าวอีกนัยหนึ่ง การเพิ่มของฟังก์ชันคงที่จะเป็นศูนย์เสมอ

ดังนั้น อนุพันธ์ของฟังก์ชันคงที่ f (x) = C จึงเท่ากับศูนย์ตลอดโดเมนของนิยาม

ตัวอย่างที่ 1

กำหนดฟังก์ชันคงที่:

f 1 (x) = 3 , f 2 (x) = a , a ∈ R , f 3 (x) = 4 13 7 22 , f 4 (x) = 0 , f 5 (x) = - 8 7

วิธีการแก้

ให้เราอธิบายเงื่อนไขที่กำหนด ในฟังก์ชันแรก เราจะเห็นอนุพันธ์ของจำนวนธรรมชาติ 3 . ในตัวอย่างต่อไปนี้ คุณต้องหาอนุพันธ์ของ ก, ที่ไหน ก- จำนวนจริงใดๆ ตัวอย่างที่สามแสดงอนุพันธ์ของจำนวนอตรรกยะ 4 13 7 22 ที่สี่ - อนุพันธ์ของศูนย์ (ศูนย์คือจำนวนเต็ม) สุดท้าย ในกรณีที่ห้า เรามีอนุพันธ์ของเศษส่วนตรรกยะ - 8 7 .

ตอบ:อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดเป็นศูนย์สำหรับจำนวนจริงใดๆ x(เหนือขอบเขตทั้งหมดของคำจำกัดความ)

f 1 " (x) = (3) " = 0 , f 2 " (x) = (a) " = 0 , a ∈ R , f 3 " (x) = 4 . 13 7 22 " = 0 , f 4 " (x) = 0 " = 0 , f 5 " (x) = - 8 7 " = 0

อนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลัง

เราหันไปหาฟังก์ชันยกกำลังและสูตรสำหรับอนุพันธ์ซึ่งมีรูปแบบ: (x p) " = p x p - 1 โดยที่เลขยกกำลัง หน้าเป็นจำนวนจริงใดๆ

หลักฐาน 2

นี่คือหลักฐานของสูตรเมื่อเลขชี้กำลังเป็นจำนวนธรรมชาติ: พี = 1 , 2 , 3 , …

อีกครั้ง เราอาศัยนิยามของอนุพันธ์ ลองเขียนขีด จำกัด ของอัตราส่วนของการเพิ่มของฟังก์ชันกำลังต่อการเพิ่มของอาร์กิวเมนต์:

(x p) " = ลิม ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = ลิม ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x

เพื่อให้นิพจน์ในตัวเศษง่ายขึ้น เราใช้สูตรทวินามของนิวตัน:

(x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p - x p = = C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p

ทางนี้:

(x p) " = ลิม ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = ลิม ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = ลิม ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p) ∆ x = = ลิม ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 + C p 2 x p - 2 ∆ x + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 2 + C p p (∆ x) p - 1) = = C p 1 x p - 1 + 0 + 0 + . . + 0 = p! 1! (p - 1)! x p - 1 = p x p - 1

ดังนั้นเราจึงพิสูจน์สูตรสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันยกกำลังเมื่อเลขชี้กำลังเป็นจำนวนธรรมชาติ

หลักฐาน 3

เพื่อเป็นหลักฐานประกอบคดีเมื่อ p-จำนวนจริงใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ เราใช้อนุพันธ์ลอการิทึม (ในที่นี้ เราควรเข้าใจความแตกต่างจากอนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึม) เพื่อให้มีความเข้าใจที่สมบูรณ์ยิ่งขึ้น เป็นที่พึงปรารถนาที่จะศึกษาอนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึม และจัดการกับอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดโดยปริยายและอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนเพิ่มเติม

พิจารณาสองกรณี: เมื่อ xในเชิงบวกและเมื่อใด xเป็นลบ

ดังนั้น x > 0 จากนั้น: x p > 0 . เราใช้ลอการิทึมของความเท่าเทียมกัน y \u003d x p กับฐาน e และใช้คุณสมบัติของลอการิทึม:

y = x p ln y = ln x p ln y = p ln x

ในขั้นตอนนี้ ได้รับฟังก์ชันที่กำหนดไว้โดยปริยายแล้ว เรามานิยามอนุพันธ์กัน:

(ln y) " = (p ln x) 1 y y " = p 1 x ⇒ y " = p y x = p x p x = p x p - 1

ตอนนี้เราพิจารณากรณีเมื่อ x-จำนวนลบ

ถ้าตัวบ่งชี้ หน้าเป็นเลขคู่ จากนั้นฟังก์ชันยกกำลังก็ถูกกำหนดสำหรับ x ด้วย< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

จากนั้น xp< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

ถ้า ก หน้าเป็นเลขคี่ จากนั้นฟังก์ชันยกกำลังถูกกำหนดสำหรับ x< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y "(x) \u003d (- (- x) p) " \u003d - ((- x) p) " \u003d - p (- x) p - 1 (- x) " = \u003d p (- x ) p - 1 = p x p - 1

การเปลี่ยนแปลงครั้งสุดท้ายเป็นไปได้เพราะถ้า หน้าเป็นเลขคี่แล้ว พี - 1อาจเป็นเลขคู่หรือศูนย์ (สำหรับ p = 1) ดังนั้น สำหรับค่าลบ xความเท่าเทียมกัน (- x) p - 1 = x p - 1 เป็นจริง

ดังนั้นเราจึงได้พิสูจน์สูตรสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลังสำหรับ p จริงใดๆ

ตัวอย่างที่ 2

กำหนดฟังก์ชั่น:

f 1 (x) = 1 x 2 3 , f 2 (x) = x 2 - 1 4 , f 3 (x) = 1 x บันทึก 7 12

กำหนดอนุพันธ์ของพวกเขา

วิธีการแก้

เราแปลงส่วนหนึ่งของฟังก์ชันที่กำหนดให้เป็นรูปแบบตาราง y = x p ตามคุณสมบัติของดีกรี จากนั้นใช้สูตร:

f 1 (x) \u003d 1 x 2 3 \u003d x - 2 3 ⇒ f 1 "(x) \u003d - 2 3 x - 2 3 - 1 \u003d - 2 3 x - 5 3 f 2 "(x) \u003d x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x บันทึก 7 12 = x - บันทึก 7 12 ⇒ f 3 " ( x) = - บันทึก 7 12 x - บันทึก 7 12 - 1 = - บันทึก 7 12 x - บันทึก 7 12 - บันทึก 7 7 = - บันทึก 7 12 x - บันทึก 7 84

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

หลักฐาน 4

เราได้รับสูตรสำหรับอนุพันธ์ตามคำจำกัดความ:

(a x) " = ลิม ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = ลิม ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x ลิม ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0

เรามีความไม่แน่นอน หากต้องการขยาย เราเขียนตัวแปรใหม่ z = a ∆ x - 1 (z → 0 เป็น ∆ x → 0) ในกรณีนี้ a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a สำหรับการเปลี่ยนแปลงครั้งล่าสุด จะใช้สูตรสำหรับการเปลี่ยนไปใช้ฐานใหม่ของลอการิทึม

มาทำการทดแทนในขีดจำกัดเดิม:

(a x) " = a x ลิม ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x ln a lim ∆ x → 0 1 1 z ln (z + 1) = = a x ln a lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x ln a 1 ln ลิม ∆ x → 0 (z + 1) 1 z

จำลิมิตมหัศจรรย์อันที่สอง แล้วเราจะได้สูตรสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียล:

(a x) " = a x ln a 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x ln a 1 ln e = a x ln a

ตัวอย่างที่ 3

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังจะได้รับ:

f 1 (x) = 2 3 x , f 2 (x) = 5 3 x , f 3 (x) = 1 (e) x

เราต้องหาอนุพันธ์ของมัน

วิธีการแก้

เราใช้สูตรสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลังและคุณสมบัติของลอการิทึม:

f 1 "(x) = 2 3 x" = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 - ln 3) f 2 "(x) = 5 3 x" = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 f 3 "(x) = 1 (e) x" = 1 e x " = 1 e x ln 1 e = 1 e x ln e - 1 = - 1 e x

อนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึม

หลักฐาน 5

เรานำเสนอการพิสูจน์สูตรสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึมสำหรับข้อใดข้อหนึ่ง xในโดเมนของคำจำกัดความและค่าที่ถูกต้องของฐาน a ของลอการิทึม ตามนิยามของอนุพันธ์ เราได้รับ:

(ล็อก a x) " = ลิม ∆ x → 0 บันทึก a (x + ∆ x) - บันทึก a x ∆ x = ลิม ∆ x → 0 บันทึก a x + ∆ x x ∆ x = = ลิม ∆ x → 0 1 ∆ x บันทึก a 1 + ∆ x x = ลิม ∆ x → 0 ล็อก a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = ลิม ∆ x → 0 ล็อก a 1 + ∆ x x 1 ∆ x x x = ลิม ∆ x → 0 1 x ล็อก a 1 + ∆ x x x ∆ x = = 1 x ล็อก a ลิม ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x ล็อก a e = 1 x ln e ln a = 1 x ln a

จะเห็นได้จากห่วงโซ่ความเท่าเทียมกันที่ระบุว่าการแปลงถูกสร้างขึ้นบนพื้นฐานของคุณสมบัติลอการิทึม ลิมิตความเท่าเทียมกัน ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e เป็นจริงตามลิมิตที่น่าทึ่งที่สอง

ตัวอย่างที่ 4

ฟังก์ชันลอการิทึมจะได้รับ:

f 1 (x) = บันทึก บันทึก 3 x , f 2 (x) = บันทึก x

มีความจำเป็นต้องคำนวณอนุพันธ์

วิธีการแก้

ลองใช้สูตรที่ได้รับ:

f 1 "(x) = (บันทึก ln 3 x)" = 1 x ln (ln 3) ; f 2 "(x) \u003d (ln x)" \u003d 1 x ln e \u003d 1 x

อนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาติคือ 1 หารด้วย x.

อนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

หลักฐาน 6

เราใช้สูตรตรีโกณมิติและลิมิตแรกที่ยอดเยี่ยมในการหาสูตรอนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ตามนิยามของอนุพันธ์ของฟังก์ชันไซน์ เราได้รับ:

(บาป x) " = ลิม ∆ x → 0 บาป (x + ∆ x) - บาป x ∆ x

สูตรสำหรับความแตกต่างของไซน์จะช่วยให้เราดำเนินการดังต่อไปนี้:

(บาป x) " = ลิม ∆ x → 0 บาป (x + ∆ x) - บาป x ∆ x = = ลิม ∆ x → 0 2 บาป x + ∆ x - x 2 cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = ลิม ∆ x → 0 บาป ∆ x 2 cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 ลิม ∆ x → 0 บาป ∆ x 2 ∆ x 2

สุดท้าย เราใช้ขีดจำกัดที่ยอดเยี่ยมข้อแรก:

บาป "x = cos x + 0 2 ลิม ∆ x → 0 บาป ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x

ดังนั้นอนุพันธ์ของฟังก์ชัน บาป xจะ เพราะ x.

เราจะพิสูจน์สูตรของอนุพันธ์โคไซน์ด้วยวิธีเดียวกัน:

cos "x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 บาป x + ∆ x - x 2 บาป x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - ลิม ∆ x → 0 บาป ∆ x 2 บาป x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - บาป x + 0 2 ลิม ∆ x → 0 บาป ∆ x 2 ∆ x 2 = - บาป x

เหล่านั้น. อนุพันธ์ของฟังก์ชัน cos x จะเป็น – บาป x.

เราได้รับสูตรสำหรับอนุพันธ์ของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ตามกฎของความแตกต่าง:

t g "x = บาป x cos x" = บาป "x cos x - บาป x cos "x cos 2 x = = cos x cos x - บาป x (- บาป x) cos 2 x = บาป 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g "x = cos x sin x" = cos "x บาป x - cos x บาป "x บาป 2 x = = - บาป x บาป x - cos x cos x บาป 2 x = - บาป 2 x + cos 2 x บาป 2 x = - 1 บาป 2 x

อนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน

ส่วนเกี่ยวกับอนุพันธ์ของฟังก์ชันผกผันให้ข้อมูลที่ครอบคลุมเกี่ยวกับการพิสูจน์สูตรสำหรับอนุพันธ์ของอาร์คไซน์ อาร์กโคไซน์ อาร์คแทนเจนต์ และอาร์คโคแทนเจนต์ ดังนั้นเราจะไม่ทำซ้ำเนื้อหาที่นี่

อนุพันธ์ของฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิก

หลักฐาน 7

เราสามารถหาสูตรสำหรับอนุพันธ์ของไฮเพอร์โบลิกไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์และโคแทนเจนต์โดยใช้กฎการหาอนุพันธ์และสูตรสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียล:

s h "x = e x - e - x 2" = 1 2 e x "- e - x" == 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h "x = e x + e - x 2" = 1 2 e x "+ e - x" == 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s h x t h "x = s h x c h x" = s h "x c h x - s h x c h "x c h 2 x = c h 2 x - s h 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h "x = c h x s h x" = c h "x s h x - c h x s h "x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x s h 2 x = - 1 s h 2 x

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดเน้นข้อความนั้นแล้วกด Ctrl+Enter

การพิสูจน์และที่มาของสูตรสำหรับอนุพันธ์ของเลขชี้กำลัง (e ยกกำลัง x) และฟังก์ชันเลขชี้กำลัง (a ยกกำลัง x) ตัวอย่างการคำนวณอนุพันธ์ของ e^2x, e^3x และ e^nx สูตรสำหรับอนุพันธ์ของคำสั่งซื้อที่สูงขึ้น

เนื้อหา

ดูสิ่งนี้ด้วย: ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง - คุณสมบัติ สูตร กราฟ
เลขยกกำลัง e กำลัง x - คุณสมบัติ สูตร กราฟ

สูตรพื้นฐาน

อนุพันธ์ของเลขยกกำลังเท่ากับเลขชี้กำลังเอง (อนุพันธ์ของ e ยกกำลัง x เท่ากับ e ยกกำลัง x):
(1) (อี x )' = อี x.

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลที่มีฐานเป็นระดับ a จะเท่ากับฟังก์ชันเอง คูณด้วยลอการิทึมธรรมชาติของ a:
(2) .

เลขชี้กำลังคือฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่มีฐานเลขชี้กำลังเท่ากับเลข e ซึ่งเป็นขีดจำกัดต่อไปนี้:
.
นี่อาจเป็นจำนวนธรรมชาติหรือจำนวนจริงก็ได้ ต่อไป เราได้รับสูตร (1) สำหรับอนุพันธ์ของเลขยกกำลัง

ที่มาของสูตรอนุพันธ์ของเลขยกกำลัง

พิจารณาเลขชี้กำลัง e ยกกำลัง x :
y = อี x .
ฟังก์ชันนี้กำหนดไว้สำหรับทุกคน ลองหาอนุพันธ์เทียบกับ x กัน ตามคำนิยาม อนุพันธ์คือขีดจำกัดต่อไปนี้:
(3) .

ลองแปลงนิพจน์นี้เพื่อลดให้เป็นคุณสมบัติและกฎทางคณิตศาสตร์ที่รู้จัก สำหรับสิ่งนี้เราต้องการข้อเท็จจริงต่อไปนี้:
แต่)คุณสมบัติเลขชี้กำลัง:
(4) ;
ข)คุณสมบัติลอการิทึม:
(5) ;
ที่)ความต่อเนื่องของลอการิทึมและคุณสมบัติของลิมิตสำหรับฟังก์ชันต่อเนื่อง:
(6) .
นี่คือฟังก์ชันบางอย่างที่มีขีดจำกัดและขีดจำกัดนี้เป็นค่าบวก
ช)ความหมายของขีด จำกัด ที่ยอดเยี่ยมที่สอง:
(7) .

เราใช้ข้อเท็จจริงเหล่านี้จนถึงขีดจำกัดของเรา (3) เราใช้คุณสมบัติ (4):
;
.

มาทำแทนกันเถอะ แล้ว ; .
เนื่องจากความต่อเนื่องของเลขชี้กำลัง
.
ดังนั้น ที่ , . เป็นผลให้เราได้รับ:
.

มาทำแทนกันเถอะ แล้ว . ที่ , . และเรามี:
.

เราใช้คุณสมบัติของลอการิทึม (5):
. แล้ว
.

ให้เราใช้คุณสมบัติ (6) เนื่องจากมีลิมิตบวกและลอการิทึมต่อเนื่อง ดังนั้น:
.
ที่นี่เราใช้ขีดจำกัดที่น่าทึ่งที่สองด้วย (7) แล้ว
.

ดังนั้นเราจึงได้รับสูตร (1) สำหรับอนุพันธ์ของเลขยกกำลัง

ที่มาของสูตรสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

ตอนนี้เราได้สูตร (2) สำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่มีฐานเป็นระดับ a เราเชื่ออย่างนั้นและ จากนั้นฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียล
(8)
กำหนดไว้สำหรับทุกคน

ให้เราแปลงสูตร (8) ในการทำเช่นนี้ เราใช้คุณสมบัติของฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลและลอการิทึม
;
.
ดังนั้นเราจึงแปลงสูตร (8) เป็นรูปแบบต่อไปนี้:
.

อนุพันธ์อันดับสูงกว่าของ e ยกกำลัง x

ทีนี้มาหาอนุพันธ์ของคำสั่งซื้อที่สูงกว่ากัน มาดูเลขยกกำลังก่อน:
(14) .
(1) .

เราเห็นว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน (14) เท่ากับฟังก์ชัน (14) เอง ความแตกต่าง (1) เราได้รับอนุพันธ์อันดับสองและสาม:
;
.

นี่แสดงว่าอนุพันธ์ลำดับที่ n ก็เท่ากับฟังก์ชันดั้งเดิมเช่นกัน:
.

อนุพันธ์อันดับสูงกว่าของฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียล

พิจารณาฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลที่มีฐานเป็นระดับ a:
.
เราพบอนุพันธ์อันดับหนึ่ง:
(15) .

ความแตกต่าง (15) เราได้รับอนุพันธ์อันดับสองและสาม:
;
.

เราเห็นว่าความแตกต่างแต่ละรายการนำไปสู่การคูณของฟังก์ชันดั้งเดิมด้วย ดังนั้นอนุพันธ์อันดับ n จึงมีรูปแบบดังนี้
.

ดูสิ่งนี้ด้วย:

อนุพันธ์ที่ซับซ้อน อนุพันธ์ลอการิทึม
อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

เราปรับปรุงเทคนิคการสร้างความแตกต่างอย่างต่อเนื่อง ในบทนี้ เราจะรวบรวมเนื้อหาที่ครอบคลุม พิจารณาอนุพันธ์ที่ซับซ้อนมากขึ้น และทำความคุ้นเคยกับเทคนิคและลูกเล่นใหม่ๆ ในการค้นหาอนุพันธ์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งกับอนุพันธ์ลอการิทึม

ผู้อ่านที่มีการเตรียมตัวในระดับต่ำควรดูบทความ จะหาอนุพันธ์ได้อย่างไร? ตัวอย่างโซลูชันซึ่งจะช่วยให้คุณสามารถยกระดับทักษะของคุณได้ตั้งแต่เริ่มต้น ถัดไปคุณต้องศึกษาหน้าอย่างละเอียด อนุพันธ์ของฟังก์ชันผสมเข้าใจและแก้ไข ทั้งหมดตัวอย่างที่ฉันได้ให้ไว้ บทเรียนนี้เป็นบทเรียนที่สามติดต่อกันอย่างมีเหตุผล และหลังจากเชี่ยวชาญแล้ว คุณจะแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่ค่อนข้างซับซ้อนได้อย่างมั่นใจ ไม่ควรยึดติดกับตำแหน่ง "ที่ไหนอีก? ใช่และนั่นก็เพียงพอแล้ว!” เนื่องจากตัวอย่างและวิธีแก้ปัญหาทั้งหมดนำมาจากการทดสอบจริงและมักพบในทางปฏิบัติ

เริ่มต้นด้วยการทำซ้ำ ในบทเรียน อนุพันธ์ของฟังก์ชันผสมเราได้พิจารณาตัวอย่างจำนวนมากพร้อมความคิดเห็นโดยละเอียด ในหลักสูตรของการเรียนแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และส่วนอื่นๆ ของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ คุณจะต้องแยกแยะความแตกต่างบ่อยครั้ง และไม่สะดวกเสมอไป (และไม่จำเป็นเสมอไป) ในการระบายสีตัวอย่างโดยละเอียด ดังนั้นเราจะฝึกการหาอนุพันธ์ด้วยปากเปล่า "ผู้สมัคร" ที่เหมาะสมที่สุดสำหรับสิ่งนี้คืออนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อนที่ง่ายที่สุด ตัวอย่างเช่น:

ตามกฎการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน :

เมื่อศึกษาหัวข้อ matan อื่น ๆ ในอนาคต มักจะไม่จำเป็นต้องบันทึกรายละเอียดดังกล่าว สันนิษฐานว่านักเรียนสามารถค้นหาอนุพันธ์ที่คล้ายคลึงกันใน autopilot ลองจินตนาการว่าเวลา 3 โมงเช้าโทรศัพท์ดังขึ้น และเสียงที่ไพเราะถามว่า: "อนุพันธ์ของแทนเจนต์ของ 2 x คืออะไร" ควรตามด้วยการตอบกลับเกือบจะทันทีและสุภาพ: .

ตัวอย่างแรกจะมีไว้สำหรับโซลูชันอิสระทันที

ตัวอย่างที่ 1

ค้นหาอนุพันธ์ต่อไปนี้ด้วยปากเปล่าในขั้นตอนเดียว ตัวอย่างเช่น เพื่อให้งานสำเร็จคุณต้องใช้เท่านั้น ตารางอนุพันธ์ของฟังก์ชันมูลฐาน(ถ้าเธอยังจำไม่ได้) หากคุณมีปัญหาใด ๆ ฉันขอแนะนำให้อ่านบทเรียนอีกครั้ง อนุพันธ์ของฟังก์ชันผสม.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

คำตอบในตอนท้ายของบทเรียน

อนุพันธ์เชิงซ้อน

หลังจากการเตรียมปืนใหญ่เบื้องต้นแล้ว ตัวอย่างที่มีฟังก์ชันแนบ 3-4-5 จะน่ากลัวน้อยลง บางทีตัวอย่างสองตัวอย่างต่อไปนี้อาจดูซับซ้อนสำหรับบางคน แต่ถ้าพวกเขาเข้าใจ (บางคนทนทุกข์) เกือบทุกอย่างในแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์จะดูเหมือนเป็นเรื่องตลกของเด็ก

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

ตามที่ระบุไว้แล้ว ในการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน สิ่งแรกคือสิ่งที่จำเป็น ขวาเข้าใจการลงทุน ในกรณีที่มีข้อสงสัย ฉันขอเตือนคุณเกี่ยวกับเคล็ดลับที่มีประโยชน์: เราใช้ค่าทดลอง "x" และลอง (ทางจิตใจหรือแบบร่าง) เพื่อแทนที่ค่านี้เป็น "นิพจน์ที่น่ากลัว"

1) ก่อนอื่นเราต้องคำนวณนิพจน์ ดังนั้นผลรวมจึงเป็นการซ้อนที่ลึกที่สุด

2) จากนั้นคุณต้องคำนวณลอการิทึม:

4) จากนั้นคูณโคไซน์:

5) ในขั้นตอนที่ห้า ความแตกต่าง:

6) และสุดท้าย ฟังก์ชันที่อยู่นอกสุดคือสแควร์รูท:

สูตรการหาความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน จะถูกนำไปใช้ในลำดับย้อนกลับ จากฟังก์ชันที่อยู่นอกสุดไปในสุด เราตัดสินใจ:

ดูเหมือนจะไม่มีข้อผิดพลาด ...

(1) เราหาอนุพันธ์ของสแควร์รูท

(2) เราหาอนุพันธ์ของความแตกต่างโดยใช้กฎ

(3) อนุพันธ์ของสามเท่ากับศูนย์ ในเทอมที่สอง เราใช้อนุพันธ์ของดีกรี (ลูกบาศก์)

(4) เราหาอนุพันธ์ของโคไซน์

(5) เราหาอนุพันธ์ของลอการิทึม

(6) สุดท้าย เราจะหาอนุพันธ์ของรังที่ลึกที่สุด

อาจดูยากเกินไป แต่นี่ไม่ใช่ตัวอย่างที่โหดร้ายที่สุด ยกตัวอย่างเช่น คอลเลกชันของ Kuznetsov แล้วคุณจะประทับใจกับเสน่ห์และความเรียบง่ายของอนุพันธ์ที่วิเคราะห์ ฉันสังเกตเห็นว่าพวกเขาชอบให้สิ่งที่คล้ายกันในข้อสอบเพื่อตรวจสอบว่านักเรียนเข้าใจวิธีหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนหรือไม่เข้าใจ

ตัวอย่างต่อไปนี้ใช้สำหรับโซลูชันแบบสแตนด์อโลน

ตัวอย่างที่ 3

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

คำแนะนำ: อันดับแรก เราใช้กฎความเป็นเส้นตรงและกฎความแตกต่างของผลิตภัณฑ์

เฉลยและคำตอบฉบับเต็มท้ายบทเรียน

ได้เวลาไปสู่สิ่งที่กะทัดรัดและสวยงามยิ่งขึ้น
ไม่ใช่เรื่องแปลกสำหรับสถานการณ์ที่ผลคูณของฟังก์ชันไม่ใช่สองแต่มีสามฟังก์ชันดังตัวอย่าง จะหาอนุพันธ์ของผลคูณของปัจจัยสามตัวได้อย่างไร?

ตัวอย่างที่ 4

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

อันดับแรก เราดู แต่เป็นไปได้ไหมที่จะเปลี่ยนผลคูณของสามฟังก์ชันให้เป็นผลคูณของสองฟังก์ชัน ตัวอย่างเช่น ถ้าเรามีพหุนามสองตัวในผลคูณ เราก็สามารถเปิดวงเล็บได้ แต่ในตัวอย่างนี้ ฟังก์ชันทั้งหมดแตกต่างกัน: องศา เลขชี้กำลัง และลอการิทึม

ในกรณีเช่นนี้มีความจำเป็น อย่างต่อเนื่องใช้กฎความแตกต่างของผลิตภัณฑ์ สองครั้ง

เคล็ดลับคือสำหรับ "y" เราแสดงถึงผลคูณของสองฟังก์ชัน: และสำหรับ "ve" - ​​ลอการิทึม: ทำไมถึงทำได้? ใช่ไหม - นี่ไม่ใช่ผลคูณของสองปัจจัยและกฎใช้ไม่ได้?! ไม่มีอะไรซับซ้อน:

ตอนนี้ยังคงใช้กฎเป็นครั้งที่สอง ในวงเล็บ:

คุณยังคงบิดเบือนและนำบางสิ่งออกจากวงเล็บได้ แต่ในกรณีนี้จะเป็นการดีกว่าที่จะทิ้งคำตอบไว้ในแบบฟอร์มนี้ - จะตรวจสอบได้ง่ายกว่า

ตัวอย่างข้างต้นสามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีที่สอง:

โซลูชันทั้งสองนั้นเทียบเท่ากันอย่างแน่นอน

ตัวอย่างที่ 5

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

นี่คือตัวอย่างสำหรับโซลูชันอิสระ ในตัวอย่างจะแก้ไขด้วยวิธีแรก

พิจารณาตัวอย่างที่คล้ายกันด้วยเศษส่วน

ตัวอย่างที่ 6

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

คุณสามารถไปได้หลายวิธี:

หรือแบบนี้:

แต่วิธีแก้ปัญหาสามารถเขียนให้กระชับกว่านี้ได้ ถ้าก่อนอื่น เราใช้กฎความแตกต่างของผลหาร รับตัวเศษทั้งหมด:

โดยหลักการแล้วตัวอย่างได้รับการแก้ไขแล้วและหากทิ้งไว้ในรูปแบบนี้ก็จะไม่ผิดพลาด แต่ถ้าคุณมีเวลา ขอแนะนำให้ตรวจสอบแบบร่างเสมอ แต่เป็นไปได้ไหมที่จะทำให้คำตอบง่ายขึ้น? เรานำนิพจน์ของตัวเศษมาเป็นตัวส่วนร่วมและ กำจัดเศษสามชั้น:

ข้อเสียของการทำให้เข้าใจง่ายเพิ่มเติมคือมีความเสี่ยงที่จะเกิดข้อผิดพลาดไม่ใช่เมื่อค้นหาอนุพันธ์ แต่เมื่อแปลงโรงเรียนซ้ำซาก ในทางกลับกัน ครูมักจะปฏิเสธงานและขอให้ "นึกถึง" อนุพันธ์

ตัวอย่างที่ง่ายกว่าสำหรับโซลูชันที่ต้องทำด้วยตัวเอง:

ตัวอย่างที่ 7

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

เรายังคงฝึกฝนเทคนิคในการหาอนุพันธ์อย่างต่อเนื่อง และตอนนี้เราจะพิจารณากรณีทั่วไปเมื่อมีการเสนอลอการิทึมที่ "แย่" สำหรับการหาอนุพันธ์

ตัวอย่างที่ 8

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

ที่นี่คุณสามารถไปได้ไกลโดยใช้กฎความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน:

แต่ขั้นตอนแรกนั้นทำให้คุณรู้สึกสิ้นหวังทันที - คุณต้องใช้อนุพันธ์ที่ไม่พึงประสงค์ของระดับเศษส่วนและจากเศษส่วนด้วย

นั่นเป็นเหตุผล ก่อนวิธีหาอนุพันธ์ของลอการิทึม "แฟนซี" ก่อนหน้านี้ทำให้ง่ายขึ้นโดยใช้คุณสมบัติของโรงเรียนที่รู้จักกันดี:

! หากคุณมีสมุดบันทึกแบบฝึกหัดอยู่ในมือ ให้คัดลอกสูตรเหล่านี้ไปที่นั่น หากคุณไม่มีสมุดบันทึก ให้วาดลงบนกระดาษ เนื่องจากตัวอย่างบทเรียนที่เหลือจะเกี่ยวกับสูตรเหล่านี้

โซลูชันสามารถกำหนดได้ดังนี้:

มาแปลงฟังก์ชันกันเถอะ:

เราพบอนุพันธ์:

การแปลงฟังก์ชันเบื้องต้นทำให้การแก้ปัญหาง่ายขึ้นอย่างมาก ดังนั้น เมื่อมีการเสนอลอการิทึมที่คล้ายกันสำหรับการหาอนุพันธ์ จึงแนะนำให้ "แยกย่อย" เสมอ

และตอนนี้ตัวอย่างง่ายๆ สองสามตัวอย่างสำหรับโซลูชันอิสระ:

ตัวอย่างที่ 9

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

ตัวอย่างที่ 10

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

การแปลงทั้งหมดและคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน

อนุพันธ์ลอการิทึม

หากอนุพันธ์ของลอการิทึมเป็นเพลงที่ไพเราะ คำถามก็เกิดขึ้น เป็นไปได้ไหมที่จะจัดระเบียบลอการิทึมเทียมในบางกรณี สามารถ! และจำเป็นด้วยซ้ำ

ตัวอย่างที่ 11

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

ตัวอย่างที่คล้ายกันที่เราเพิ่งพิจารณา จะทำอย่างไร? เราสามารถใช้กฎความแตกต่างของผลหารได้อย่างต่อเนื่อง จากนั้นจึงใช้กฎความแตกต่างของผลิตภัณฑ์ ข้อเสียของวิธีนี้คือคุณจะได้เศษส่วนสามชั้นขนาดใหญ่ซึ่งคุณไม่ต้องการจัดการเลย

แต่ในทางทฤษฎีและทางปฏิบัติ มีสิ่งที่วิเศษมาก เช่น อนุพันธ์ลอการิทึม ลอการิทึมสามารถจัดแบบเทียมได้โดยการ "แขวน" ทั้งสองด้าน:

บันทึก : เพราะ ฟังก์ชันสามารถรับค่าลบได้ โดยทั่วไปแล้ว คุณต้องใช้โมดูล: ซึ่งหายไปเนื่องจากความแตกต่าง อย่างไรก็ตาม การออกแบบปัจจุบันก็เป็นที่ยอมรับเช่นกัน โดยที่ค่าเริ่มต้นคือ ซับซ้อนค่า แต่ถ้าเข้มงวดแล้วในทั้งสองกรณีจำเป็นต้องทำการจอง.

ตอนนี้คุณต้อง "ทำลาย" ลอการิทึมของด้านขวาให้มากที่สุด (สูตรต่อหน้าต่อตาคุณ?) ฉันจะอธิบายกระบวนการนี้โดยละเอียด:

เริ่มจากความแตกต่างกันก่อน
เราสรุปทั้งสองส่วนด้วยจังหวะ:

อนุพันธ์ของด้านขวานั้นค่อนข้างง่าย ฉันจะไม่แสดงความคิดเห็น เพราะถ้าคุณกำลังอ่านข้อความนี้ คุณควรจะสามารถจัดการกับมันได้ด้วยความมั่นใจ

แล้วด้านซ้ายล่ะ?

ทางด้านซ้ายเรามี ฟังก์ชันที่ซับซ้อน. ฉันคาดการณ์ล่วงหน้าว่า: "ทำไม จึงมีตัวอักษร "y" หนึ่งตัวอยู่ใต้ลอการิทึม"

ความจริงก็คือว่า "หนึ่งตัวอักษร y" - เป็นฟังก์ชั่นในตัวเอง(หากไม่ชัดเจน โปรดดูบทความ อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ระบุโดยปริยาย) ดังนั้น ลอการิทึมจึงเป็นฟังก์ชันภายนอก และ "y" เป็นฟังก์ชันภายใน และเราใช้กฎการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันผสม :

ทางด้านซ้ายราวกับเวทมนตร์เรามีอนุพันธ์ นอกจากนี้ ตามกฎของสัดส่วน เราโยน "y" จากตัวส่วนของด้านซ้ายไปที่ด้านบนของด้านขวา:

และตอนนี้เราจำฟังก์ชั่น "เกม" แบบใดที่เราพูดถึงเมื่อสร้างความแตกต่าง? ลองดูเงื่อนไข:

คำตอบสุดท้าย:

ตัวอย่างที่ 12

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

นี่คือตัวอย่างที่ทำเอง ตัวอย่างการออกแบบตัวอย่างประเภทนี้ในตอนท้ายของบทเรียน

ด้วยความช่วยเหลือของอนุพันธ์ของลอการิทึม มันเป็นไปได้ที่จะแก้ตัวอย่างใดๆ หมายเลข 4-7 อีกสิ่งหนึ่งคือฟังก์ชันที่มีอยู่นั้นง่ายกว่า และบางที การใช้อนุพันธ์ของลอการิทึมนั้นไม่สมเหตุสมผลมากนัก

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

เรายังไม่ได้พิจารณาฟังก์ชั่นนี้ ฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลคือฟังก์ชันที่มี และองศากับฐานขึ้นอยู่กับ "x". ตัวอย่างคลาสสิกที่จะมอบให้คุณในตำราเรียนหรือในการบรรยาย:

จะหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลได้อย่างไร?

จำเป็นต้องใช้เทคนิคที่เพิ่งพิจารณา - อนุพันธ์ลอการิทึม เราแขวนลอการิทึมทั้งสองด้าน:

ตามกฎแล้วระดับจะถูกดึงออกมาจากใต้ลอการิทึมทางด้านขวา:

เป็นผลให้ทางด้านขวาเรามีผลิตภัณฑ์ของสองฟังก์ชันซึ่งจะแตกต่างกันไปตามสูตรมาตรฐาน .

เราพบอนุพันธ์ ด้วยเหตุนี้เราจึงใส่ทั้งสองส่วนไว้ใต้เส้นขีด:

ขั้นตอนต่อไปนั้นง่าย:

ในที่สุด:

หากการแปลงบางอย่างไม่ชัดเจน โปรดอ่านคำอธิบายของตัวอย่างที่ 11 อีกครั้งอย่างละเอียด

ในทางปฏิบัติ ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลจะซับซ้อนกว่าตัวอย่างการบรรยายเสมอ

ตัวอย่างที่ 13

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

เราใช้อนุพันธ์ลอการิทึม

ทางด้านขวาเรามีค่าคงที่และผลคูณของปัจจัยสองตัว - "x" และ "ลอการิทึมของลอการิทึมของ x" (ลอการิทึมอื่นซ้อนอยู่ใต้ลอการิทึม) เมื่อแยกแยะความแตกต่างของค่าคงที่ตามที่เราจำได้ จะเป็นการดีกว่าถ้านำค่าคงที่ออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์ทันที เพื่อไม่ให้มันกีดขวาง และแน่นอน ใช้กฎที่คุ้นเคย :

มันง่ายมากที่จะจำ

เราจะไม่ไปไกลเราจะพิจารณาฟังก์ชันผกผันทันที ค่าผกผันของฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลคืออะไร? ลอการิทึม:

ในกรณีของเรา ฐานคือตัวเลข:

ลอการิทึมดังกล่าว (นั่นคือลอการิทึมที่มีฐาน) เรียกว่า "ธรรมชาติ" และเราใช้สัญกรณ์พิเศษสำหรับมัน: เราเขียนแทน

เท่ากับอะไร? แน่นอน, .

อนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาติก็ง่ายมากเช่นกัน:

ตัวอย่าง:

1. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
2. อนุพันธ์ของฟังก์ชันคืออะไร?

คำตอบ: เลขยกกำลังและลอการิทึมธรรมชาติเป็นฟังก์ชันที่เรียบง่ายโดยเฉพาะในแง่ของอนุพันธ์ ฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลและลอการิทึมที่มีฐานอื่นๆ จะมีอนุพันธ์ที่แตกต่างกัน ซึ่งเราจะวิเคราะห์ในภายหลัง หลังจากที่เราผ่านกฎของความแตกต่างแล้ว

กฎความแตกต่าง

กฎอะไร? ศัพท์ใหม่อีกแล้วเหรอ!...

ความแตกต่างเป็นขั้นตอนการหาอนุพันธ์

เท่านั้นและทุกอย่าง คำอื่นสำหรับกระบวนการนี้คืออะไร? ไม่ใช่ proizvodnovanie... ดิฟเฟอเรนเชียลของคณิตศาสตร์เรียกว่าฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นอย่างมากที่ คำนี้มาจากภาษาละติน differentia - ความแตกต่าง ที่นี่.

เมื่อได้รับกฎทั้งหมดนี้ เราจะใช้สองฟังก์ชัน เช่น และ นอกจากนี้เรายังต้องการสูตรสำหรับการเพิ่มขึ้น:

มีทั้งหมด 5 กฎ

นำค่าคงที่ออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์

ถ้า - จำนวนคงที่ (คงที่) แล้ว

เห็นได้ชัดว่ากฎนี้ใช้ได้กับความแตกต่าง:

มาพิสูจน์กันเลย ให้หรือง่ายกว่า

ตัวอย่าง.

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:

1. ที่จุด;
2. ที่จุด;
3. ที่จุด;
4. ที่จุด

โซลูชั่น:

1. (อนุพันธ์จะเท่ากันทุกจุด เนื่องจากเป็นฟังก์ชันเชิงเส้น จำได้ไหม);

อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์

ทุกอย่างคล้ายกันที่นี่: เราแนะนำฟังก์ชันใหม่และค้นหาการเพิ่มขึ้น:

อนุพันธ์:

ตัวอย่าง:

1. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน และ
2. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุด

โซลูชั่น:

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

ตอนนี้ความรู้ของคุณก็เพียงพอที่จะเรียนรู้วิธีหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียล ไม่ใช่แค่เลขยกกำลัง (คุณลืมไปแล้วหรือยังว่ามันคืออะไร?)

ดังนั้นตัวเลขอยู่ที่ไหน

เราทราบอนุพันธ์ของฟังก์ชันแล้ว ดังนั้นลองนำฟังก์ชันไปใช้ฐานใหม่:

ในการทำเช่นนี้ เราใช้กฎง่ายๆ: . แล้ว:

มันได้ผล ทีนี้ลองหาอนุพันธ์ และอย่าลืมว่าฟังก์ชันนี้ซับซ้อน

เกิดขึ้น?

ที่นี่ ตรวจสอบตัวเอง:

สูตรนั้นคล้ายกับอนุพันธ์ของเลขชี้กำลังมาก: เหมือนเดิม มีเพียงตัวประกอบปรากฏขึ้นซึ่งเป็นเพียงตัวเลข แต่ไม่ใช่ตัวแปร

ตัวอย่าง:
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:

คำตอบ:

นี่เป็นเพียงตัวเลขที่ไม่สามารถคำนวณได้หากไม่มีเครื่องคิดเลข นั่นคือไม่สามารถเขียนในรูปแบบที่ง่ายกว่านี้ได้ ดังนั้นคำตอบจึงอยู่ในแบบฟอร์มนี้

โปรดทราบว่านี่คือผลหารของสองฟังก์ชัน เราจึงใช้กฎการหาอนุพันธ์ที่เหมาะสม:

ในตัวอย่างนี้ ผลคูณของสองฟังก์ชัน:

อนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึม

นี่มันคล้ายกัน: คุณรู้อนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาติแล้ว:

ดังนั้น หากต้องการค้นหาค่าโดยพลการจากลอการิทึมที่มีฐานต่างกัน ตัวอย่างเช่น :

เราต้องนำลอการิทึมนี้มาเป็นฐาน คุณจะเปลี่ยนฐานของลอการิทึมได้อย่างไร? ฉันหวังว่าคุณจะจำสูตรนี้:

ตอนนี้แทนที่จะเขียน:

ตัวส่วนกลายเป็นเพียงค่าคงที่ (จำนวนคงที่โดยไม่มีตัวแปร) อนุพันธ์นั้นง่ายมาก:

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลและลอการิทึมแทบจะไม่เคยพบในข้อสอบเลย แต่ก็ไม่ใช่เรื่องฟุ่มเฟือยที่จะรู้จักพวกมัน

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน

"ฟังก์ชันเชิงซ้อน" คืออะไร? ไม่ นี่ไม่ใช่ลอการิทึม และไม่ใช่ส่วนโค้งสัมผัสกัน ฟังก์ชันเหล่านี้อาจเข้าใจได้ยาก (แม้ว่าลอการิทึมจะดูยากสำหรับคุณ โปรดอ่านหัวข้อ "ลอการิทึม" แล้วทุกอย่างจะออกมาดี) แต่ในแง่ของคณิตศาสตร์ คำว่า "ซับซ้อน" ไม่ได้หมายความว่า "ยาก"

ลองนึกภาพสายพานลำเลียงขนาดเล็ก: คนสองคนกำลังนั่งและทำบางอย่างกับวัตถุบางอย่าง ตัวอย่างเช่น วิธีแรกห่อช็อกโกแลตแท่งในกระดาษห่อ และวิธีที่สองผูกด้วยริบบิ้น มันกลายเป็นวัตถุประกอบ: แท่งช็อคโกแลตห่อและผูกด้วยริบบิ้น หากต้องการกินช็อกโกแลตแท่ง คุณต้องทำขั้นตอนตรงกันข้ามในลำดับที่กลับกัน

มาสร้างไปป์ไลน์ทางคณิตศาสตร์ที่คล้ายกัน ขั้นแรกเราจะหาโคไซน์ของตัวเลข จากนั้นเราจะยกกำลังสองของจำนวนผลลัพธ์ พวกเขาให้ตัวเลขเรามา (ช็อกโกแลต) ฉันหาโคไซน์ของมัน (ห่อ) แล้วคุณยกกำลังสองสิ่งที่ฉันได้ (ผูกมันด้วยริบบิ้น) เกิดอะไรขึ้น การทำงาน. นี่คือตัวอย่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน: เมื่อเราจะค้นหาค่าของฟังก์ชันนั้น เราทำการดำเนินการแรกกับตัวแปรโดยตรง จากนั้นจึงดำเนินการครั้งที่สองกับสิ่งที่เกิดขึ้นจากผลลัพธ์ของฟังก์ชันแรก

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ฟังก์ชันเชิงซ้อนคือฟังก์ชันที่มีอาร์กิวเมนต์เป็นฟังก์ชันอื่น: .

สำหรับตัวอย่างของเรา .

เราอาจทำสิ่งเดียวกันในลำดับที่กลับกัน: ก่อนอื่นคุณยกกำลังสอง จากนั้นฉันจะมองหาโคไซน์ของจำนวนผลลัพธ์: คาดเดาได้ง่ายว่าผลลัพธ์จะแตกต่างกันเกือบทุกครั้ง คุณลักษณะที่สำคัญของฟังก์ชันที่ซับซ้อน: เมื่อลำดับของการกระทำเปลี่ยนไป ฟังก์ชันก็จะเปลี่ยนไปด้วย

ตัวอย่างที่สอง: (เหมือนกัน). .

การกระทำสุดท้ายที่เราทำจะถูกเรียก ฟังก์ชั่น "ภายนอก"และการกระทำที่ทำก่อน - ตามลำดับ ฟังก์ชั่น "ภายใน"(เป็นชื่อที่ไม่เป็นทางการ ฉันใช้เพื่ออธิบายเนื้อหาในภาษาง่ายๆ เท่านั้น)

ลองพิจารณาด้วยตัวคุณเองว่าฟังก์ชันใดเป็นภายนอกและใดเป็นภายใน:

คำตอบ:การแยกฟังก์ชันภายในและภายนอกนั้นคล้ายกับการเปลี่ยนตัวแปรมาก ตัวอย่างเช่น ในฟังก์ชัน

1. เราจะดำเนินการอะไรก่อน ก่อนอื่นเราคำนวณไซน์แล้วเพิ่มเป็นลูกบาศก์ ดังนั้นจึงเป็นฟังก์ชันภายใน ไม่ใช่ฟังก์ชันภายนอก
   และฟังก์ชั่นดั้งเดิมคือองค์ประกอบ: .
2. ภายใน: ; ภายนอก: .
   การตรวจสอบ: .
3. ภายใน: ; ภายนอก: .
   การตรวจสอบ: .
4. ภายใน: ; ภายนอก: .
   การตรวจสอบ: .
5. ภายใน: ; ภายนอก: .
   การตรวจสอบ: .

เราเปลี่ยนตัวแปรและรับฟังก์ชัน

ตอนนี้เราจะแยกช็อคโกแลตของเรา - มองหาอนุพันธ์ ขั้นตอนจะย้อนกลับเสมอ: อันดับแรก เราจะมองหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายนอก จากนั้นเราจะคูณผลลัพธ์ด้วยอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายใน สำหรับตัวอย่างต้นฉบับ ดูเหมือนว่า:

ตัวอย่างอื่น:

ในที่สุดเรามากำหนดกฎอย่างเป็นทางการ:

อัลกอริทึมสำหรับการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน:

ดูเหมือนจะง่ายใช่มั้ย?

ตรวจสอบกับตัวอย่าง:

โซลูชั่น:

1) ภายใน: ;

ภายนอก: ;

2) ภายใน: ;

(อย่าเพิ่งพยายามลดตอนนี้! ไม่มีอะไรถูกดึงออกมาจากใต้โคไซน์ จำได้ไหม?)

3) ภายใน: ;

ภายนอก: ;

เป็นที่ชัดเจนทันทีว่ามีฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนสามระดับที่นี่: ท้ายที่สุดแล้วนี่คือฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนในตัวเองและเรายังคงแยกรากออกจากมันนั่นคือเราดำเนินการที่สาม (ใส่ช็อคโกแลตในกระดาษห่อ และด้วยริบบิ้นในกระเป๋าเอกสาร) แต่ไม่มีเหตุผลที่จะต้องกลัว อย่างไรก็ตามเราจะ "แกะ" ฟังก์ชันนี้ตามลำดับตามปกติ: จากตอนท้าย

นั่นคือ อันดับแรก เราจะแยกความแตกต่างของรูต จากนั้นจึงแยกโคไซน์ จากนั้นจึงแยกเฉพาะนิพจน์ในวงเล็บ แล้วเราก็คูณมันทั้งหมด

ในกรณีเช่นนี้ จะสะดวกในการกำหนดหมายเลขการดำเนินการ นั่นคือลองนึกสิ่งที่เรารู้ เราจะดำเนินการตามลำดับใดเพื่อคำนวณค่าของนิพจน์นี้ ลองดูตัวอย่าง:

ยิ่งมีการดำเนินการในภายหลัง ฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องก็จะ "ภายนอก" มากขึ้นเท่านั้น ลำดับของการกระทำ - เหมือนเดิม:

ที่นี่การทำรังโดยทั่วไปมี 4 ระดับ มากำหนดแนวทางการดำเนินการกัน

1. การแสดงออกที่รุนแรง .

2. ราก .

3. ไซนัส .

4. สี่เหลี่ยมจัตุรัส .

5. รวบรวมทุกอย่างเข้าด้วยกัน:

อนุพันธ์ สั้น ๆ เกี่ยวกับหลัก

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน- อัตราส่วนของการเพิ่มฟังก์ชันต่อการเพิ่มอาร์กิวเมนต์ด้วยการเพิ่มอาร์กิวเมนต์เล็กน้อย:

อนุพันธ์พื้นฐาน:

กฎความแตกต่าง:

ค่าคงที่ถูกนำออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์:

อนุพันธ์ของผลรวม:

ผลิตภัณฑ์อนุพันธ์:

อนุพันธ์ของผลหาร:

อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อน:

อัลกอริทึมสำหรับการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน:

1. เรากำหนดฟังก์ชัน "ภายใน" ค้นหาอนุพันธ์ของมัน
2. เรากำหนดฟังก์ชัน "ภายนอก" ค้นหาอนุพันธ์
3. เราคูณผลลัพธ์ของจุดที่หนึ่งและสอง

ที่มาของสูตรอนุพันธ์ของฟังก์ชันยกกำลัง (x ยกกำลัง a) พิจารณาอนุพันธ์ของรากจาก x สูตรสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลังลำดับที่สูงกว่า ตัวอย่างการคำนวณอนุพันธ์

เนื้อหา

ดูสิ่งนี้ด้วย: ฟังก์ชันยกกำลังและราก สูตรและกราฟ
แปลงฟังก์ชันพลังงาน

สูตรพื้นฐาน

อนุพันธ์ของ x กำลังของ a คือ a คูณ x กำลังของ ลบ 1:
(1) .

อนุพันธ์ของรากที่ n ของ x ยกกำลัง m คือ
(2) .

ที่มาของสูตรสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลัง

กรณี x > 0

พิจารณาฟังก์ชันยกกำลังของตัวแปร x ที่มีเลขชี้กำลัง a :
(3) .
นี่คือ a เป็นจำนวนจริงโดยพลการ ลองพิจารณากรณีนี้ก่อน

ในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน (3) เราใช้คุณสมบัติของฟังก์ชันยกกำลังและแปลงเป็นรูปแบบต่อไปนี้:
.

ตอนนี้เราพบอนุพันธ์โดยใช้:
;
.
ที่นี่ .

สูตร (1) ได้รับการพิสูจน์แล้ว

ที่มาของสูตรสำหรับอนุพันธ์ของรากของระดับ n ของ x ถึงระดับ m

ตอนนี้ให้พิจารณาฟังก์ชันที่เป็นรากของรูปแบบต่อไปนี้:
(4) .

ในการหาอนุพันธ์ เราจะแปลงรูทเป็นฟังก์ชันยกกำลัง:
.
เมื่อเปรียบเทียบกับสูตร (3) เราจะเห็นว่า
.
แล้ว
.

ตามสูตร (1) เราพบอนุพันธ์:
(1) ;
;
(2) .

ในทางปฏิบัติ ไม่จำเป็นต้องจำสูตร (2) การแปลงรากเป็นฟังก์ชันยกกำลังจะสะดวกกว่ามาก แล้วจึงหาอนุพันธ์โดยใช้สูตร (1) (ดูตัวอย่างที่ส่วนท้ายของหน้า)

กรณี x = 0

ถ้า ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลจะถูกกำหนดไว้สำหรับค่าของตัวแปร x = 0 . ให้เราหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน (3) สำหรับ x = 0 . ในการทำเช่นนี้ เราใช้คำจำกัดความของอนุพันธ์:
.

แทนค่า x = 0 :
.
ในกรณีนี้ โดยอนุพันธ์ เราหมายถึงขีดจำกัดขวามือซึ่ง

ดังนั้นเราจึงพบว่า:
.
จากนี้จะเห็นได้ว่าที่ , .
ที่ , .
ที่ , .
ผลลัพธ์นี้ได้มาจากสูตร (1):
(1) .
ดังนั้น สูตร (1) จึงใช้ได้สำหรับ x = 0 .

กรณี x< 0

พิจารณาฟังก์ชัน (3) อีกครั้ง:
(3) .
สำหรับค่าคงที่บางค่า a มันถูกกำหนดไว้สำหรับค่าลบของตัวแปร x เช่นกัน กล่าวคือ ให้ a เป็นจำนวนตรรกยะ จากนั้นสามารถแสดงเป็นเศษส่วนที่ลดไม่ได้:
,
โดยที่ m และ n เป็นจำนวนเต็มที่ไม่มีตัวหารร่วมกัน

ถ้า n เป็นเลขคี่ ฟังก์ชันเลขชี้กำลังจะถูกกำหนดไว้สำหรับค่าลบของตัวแปร x ด้วย ตัวอย่างเช่น สำหรับ n = 3 และ ม = 1 เรามีรากที่สามของ x :
.
นอกจากนี้ยังกำหนดไว้สำหรับค่าลบของ x

ให้เราหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลัง (3) สำหรับและสำหรับค่าตรรกยะของค่าคงที่ a ซึ่งกำหนดไว้ ในการทำเช่นนี้ เราแทน x ในรูปแบบต่อไปนี้:
.
แล้ว ,
.
เราหาอนุพันธ์โดยนำค่าคงที่ออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์และใช้กฎการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน:

.
ที่นี่ . แต่
.
ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา
.
แล้ว
.
นั่นคือ สูตร (1) ใช้ได้กับ:
(1) .

อนุพันธ์ของคำสั่งซื้อที่สูงขึ้น

ตอนนี้เราพบอนุพันธ์อันดับสูงกว่าของฟังก์ชันกำลัง
(3) .
เราพบอนุพันธ์ลำดับที่หนึ่งแล้ว:
.

นำค่าคงที่ a ออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์ เราพบอนุพันธ์อันดับสอง:
.
ในทำนองเดียวกัน เราพบอนุพันธ์ของคำสั่งที่สามและสี่:
;

.

จากที่นี่เป็นที่ชัดเจนว่า อนุพันธ์ของลำดับที่ n โดยพลการมีรูปแบบดังนี้
.

สังเกตว่า ถ้า a เป็นจำนวนธรรมชาติ, , ดังนั้นอนุพันธ์อันดับ n จะเป็นค่าคงที่:
.
จากนั้นอนุพันธ์ที่ตามมาทั้งหมดจะเท่ากับศูนย์:
,
ที่ .

ตัวอย่างอนุพันธ์

ตัวอย่าง

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:
.

มาแปลงรากเป็นพลังกันเถอะ:
;
.
จากนั้นฟังก์ชันดั้งเดิมจะอยู่ในรูปแบบ:
.

เราพบอนุพันธ์ขององศา:
;
.
อนุพันธ์ของค่าคงที่เป็นศูนย์:
.