ในขั้นตอนปัจจุบันของการพัฒนาการศึกษาหนึ่งในภารกิจหลักคือการสร้างบุคลิกภาพที่มีความคิดสร้างสรรค์ ความสามารถในการสร้างสรรค์ของนักเรียนสามารถพัฒนาได้ก็ต่อเมื่อพวกเขามีส่วนร่วมอย่างเป็นระบบในพื้นฐานของกิจกรรมการวิจัย รากฐานสำหรับนักเรียนในการใช้พลังความคิดสร้างสรรค์ ความสามารถและพรสวรรค์ของพวกเขานั้นเกิดจากความรู้และทักษะที่เต็มเปี่ยม ในเรื่องนี้ปัญหาของการสร้างระบบความรู้และทักษะพื้นฐานสำหรับแต่ละหัวข้อของหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียนนั้นมีความสำคัญไม่น้อย ในขณะเดียวกัน ทักษะที่เต็มเปี่ยมควรเป็นเป้าหมายในการสอน ไม่ใช่ของงานแต่ละอย่าง แต่เป็นระบบที่ไตร่ตรองอย่างรอบคอบ ในความหมายที่กว้างที่สุด ระบบถูกเข้าใจว่าเป็นชุดขององค์ประกอบการโต้ตอบที่สัมพันธ์กันซึ่งมีความสมบูรณ์และโครงสร้างที่มั่นคง

พิจารณาวิธีการสอนนักเรียนเกี่ยวกับวิธีสร้างสมการแทนเจนต์ของกราฟฟังก์ชัน โดยพื้นฐานแล้ว งานทั้งหมดสำหรับการค้นหาสมการแทนเจนต์จะลดลงจนจำเป็นต้องเลือกจากชุด (มัด, ตระกูล) ของเส้นที่ตรงตามความต้องการบางอย่าง - พวกมันสัมผัสกับกราฟของฟังก์ชันบางอย่าง ในกรณีนี้ ชุดของบรรทัดที่ดำเนินการเลือกสามารถระบุได้สองวิธี:

a) จุดที่อยู่บนระนาบ xOy (ดินสอกลางของเส้น);
b) ค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุม (การรวมกลุ่มของเส้นขนาน)

ในเรื่องนี้ เมื่อศึกษาหัวข้อ "สัมผัสกับกราฟของฟังก์ชัน" เพื่อแยกองค์ประกอบของระบบ เราได้ระบุงานสองประเภท:

1) งานบนแทนเจนต์ที่กำหนดโดยจุดที่ผ่าน
2) งานบนเส้นสัมผัสที่กำหนดโดยความชัน

การเรียนรู้เพื่อแก้ปัญหาบนแทนเจนต์ดำเนินการโดยใช้อัลกอริทึมที่เสนอโดย A.G. มอเดอร์โควิช. ความแตกต่างพื้นฐานจากสิ่งที่ทราบอยู่แล้วคือ abscissa ของจุดสัมผัสนั้นแสดงด้วยตัวอักษร a (แทนที่จะเป็น x0) ซึ่งเกี่ยวข้องกับสมการแทนเจนต์ที่ใช้รูปแบบ

y \u003d f (a) + f "(a) (x - a)

(เปรียบเทียบกับ y \u003d f (x 0) + f "(x 0) (x - x 0)) ในความคิดของเรา เทคนิคระเบียบวิธีนี้ช่วยให้นักเรียนทราบตำแหน่งพิกัดของจุดปัจจุบันได้อย่างรวดเร็วและง่ายดาย ในสมการแทนเจนต์ทั่วไป และจุดสัมผัสอยู่ที่ไหน

อัลกอริทึมสำหรับรวบรวมสมการแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชัน y = f(x)

1. กำหนดด้วยตัวอักษร a abscissa ของจุดติดต่อ
2. ค้นหา f(a)
3. ค้นหา f "(x) และ f "(a)
4. แทนที่ตัวเลขที่พบ a, f (a), f "(a) ลงในสมการทั่วไปของแทนเจนต์ y \u003d f (a) \u003d f "(a) (x - a)

อัลกอริทึมนี้สามารถรวบรวมบนพื้นฐานของการเลือกการดำเนินการโดยอิสระของนักเรียนและลำดับของการดำเนินการ

การปฏิบัติได้แสดงให้เห็นว่าการแก้ปัญหาที่สอดคล้องกันของงานหลักแต่ละงานโดยใช้อัลกอริทึมช่วยให้คุณสร้างความสามารถในการเขียนสมการแทนเจนต์ลงในกราฟของฟังก์ชันเป็นขั้นๆ และขั้นตอนของอัลกอริทึมทำหน้าที่เป็นจุดแข็งสำหรับการดำเนินการ . วิธีการนี้สอดคล้องกับทฤษฎีของการก่อตัวของการกระทำทางจิตอย่างค่อยเป็นค่อยไปซึ่งพัฒนาโดย P.Ya Galperin และ N.F. ทาลิซิน่า.

ในงานประเภทแรก มีการระบุงานหลักสองงาน:

• เส้นสัมผัสผ่านจุดที่อยู่บนเส้นโค้ง (ปัญหาที่ 1);
• เส้นสัมผัสผ่านจุดที่ไม่ได้อยู่บนเส้นโค้ง (ปัญหาที่ 2)

งาน 1. เทียบแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน ที่จุด M(3; – 2)

การตัดสินใจ. จุด M(3; – 2) เป็นจุดติดต่อ เนื่องจาก

1. a = 3 - abscissa ของจุดสัมผัส
2. ฉ(3) = – 2.
3. f "(x) \u003d x 2 - 4, f "(3) \u003d 5.
y \u003d - 2 + 5 (x - 3), y \u003d 5x - 17 คือสมการแทนเจนต์

ภารกิจที่ 2 เขียนสมการของแทนเจนต์ทั้งหมดลงในกราฟของฟังก์ชัน y = - x 2 - 4x + 2 ผ่านจุด M(- 3; 6)

การตัดสินใจ. จุด M(– 3; 6) ไม่ใช่จุดสัมผัส เนื่องจาก f(– 3) 6 (รูปที่ 2)

2. ฉ(ก) = – ก 2 – 4ก + 2.
3. f "(x) \u003d - 2x - 4, f "(a) \u003d - 2a - 4.
4. y \u003d - a 2 - 4a + 2 - 2 (a + 2) (x - a) - สมการสัมผัส

เส้นสัมผัสผ่านจุด M(– 3; 6) ดังนั้น พิกัดจึงเป็นไปตามสมการเส้นสัมผัส

6 = – ก 2 – 4ก + 2 – 2(ก + 2)(– 3 – ก),
ก 2 + 6a + 8 = 0 ^ ก 1 = - 4, ก 2 = - 2

ถ้า a = – 4 สมการแทนเจนต์คือ y = 4x + 18

ถ้า a \u003d - 2 สมการแทนเจนต์จะมีรูปแบบ y \u003d 6

ในแบบที่สอง ภารกิจหลักจะเป็นดังต่อไปนี้:

• เส้นสัมผัสขนานกับเส้นตรงบางเส้น (ปัญหาที่ 3);
• เส้นสัมผัสผ่านในบางมุมไปยังเส้นที่กำหนด (ปัญหาที่ 4)

ภารกิจที่ 3 เขียนสมการแทนเจนต์ทั้งหมดลงในกราฟของฟังก์ชัน y \u003d x 3 - 3x 2 + 3 ขนานกับเส้น y \u003d 9x + 1

1. a - abscissa ของจุดสัมผัส
2. f(a) = a 3 - 3a 2 + 3.
3. f "(x) \u003d 3x 2 - 6x, f "(a) \u003d 3a 2 - 6a

แต่ในทางกลับกัน f "(a) \u003d 9 (เงื่อนไขความขนาน) ดังนั้นเราต้องแก้สมการ 3a 2 - 6a \u003d 9 รากของมัน a \u003d - 1, a \u003d 3 (รูปที่ . 3).

4. 1) ก = – 1;
2) ฉ(– 1) = – 1;
3) ฉ "(– 1) = 9;
4) ย = – 1 + 9(x + 1);

y = 9x + 8 คือสมการแทนเจนต์

1) ก = 3;
2) ฉ(3) = 3;
3) ฉ "(3) = 9;
4) y = 3 + 9(x - 3);

y = 9x – 24 คือสมการแทนเจนต์

ภารกิจที่ 4 เขียนสมการแทนเจนต์ลงในกราฟของฟังก์ชัน y = 0.5x 2 - 3x + 1 ผ่านมุม 45 °ไปยังเส้นตรง y = 0 (รูปที่ 4)

การตัดสินใจ. จากเงื่อนไข f "(a) \u003d tg 45 ° เราพบ a: a - 3 \u003d 1 ^ a \u003d 4

1. a = 4 - abscissa ของจุดสัมผัส
2. f(4) = 8 - 12 + 1 = - 3.
3. ฉ "(4) \u003d 4 - 3 \u003d 1.
4. y \u003d - 3 + 1 (x - 4)

y \u003d x - 7 - สมการของแทนเจนต์

เป็นการง่ายที่จะแสดงให้เห็นว่าการแก้ปัญหาอื่น ๆ นั้นลดลงเหลือเพียงการแก้ปัญหาหลักหนึ่งหรือหลายปัญหา พิจารณาปัญหาสองข้อต่อไปนี้เป็นตัวอย่าง

1. เขียนสมการแทนเจนต์ของพาราโบลา y = 2x 2 - 5x - 2 ถ้าแทนเจนต์ตัดกันเป็นมุมฉาก และหนึ่งในนั้นแตะพาราโบลาที่จุดที่มี abscissa 3 (รูปที่ 5)

การตัดสินใจ. เนื่องจากมีการกำหนด abscissa ของจุดติดต่อ ส่วนแรกของการแก้ปัญหาจึงลดลงเป็นปัญหาสำคัญ 1

1. a \u003d 3 - abscissa ของจุดสัมผัสด้านใดด้านหนึ่งของมุมฉาก
2. ฉ(3) = 1.
3. f "(x) \u003d 4x - 5, f "(3) \u003d 7.
4. y \u003d 1 + 7 (x - 3), y \u003d 7x - 20 - สมการของแทนเจนต์แรก

ให้ a เป็นความชันของเส้นสัมผัสแรก เนื่องจากเส้นสัมผัสตั้งฉากกัน ดังนั้นมุมเอียงของเส้นสัมผัสที่สองจึงเป็นมุมเอียง จากสมการ y = 7x – 20 ของแทนเจนต์แรก เราได้ tg a = 7 จงหา

ซึ่งหมายความว่าความชันของเส้นสัมผัสที่สองคือ

วิธีแก้ปัญหาเพิ่มเติมจะลดลงเหลืองานหลัก 3

ให้ B(c; f(c)) เป็นจุดสัมผัสของเส้นที่สอง แล้ว

1. - abscissa ของจุดติดต่อที่สอง
2.
3.
4.
คือสมการของเส้นสัมผัสที่สอง

บันทึก. สามารถหาค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นสัมผัสได้ง่ายขึ้นหากนักเรียนทราบอัตราส่วนของค่าสัมประสิทธิ์ของเส้นตั้งฉาก k 1 k 2 = - 1

2. เขียนสมการของแทนเจนต์ทั่วไปทั้งหมดลงในกราฟฟังก์ชัน

การตัดสินใจ. งานจะลดลงเพื่อค้นหา abscissas ของจุดสัมผัสของสัมผัสทั่วไปนั่นคือเพื่อแก้ปัญหาหลัก 1 ในรูปแบบทั่วไปรวบรวมระบบสมการแล้วแก้ไข (รูปที่ 6)

1. ให้ a เป็น abscissa ของจุดสัมผัสซึ่งอยู่บนกราฟของฟังก์ชัน y = x 2 + x + 1
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y \u003d a 2 + a + 1 + (2a + 1) (x - a) \u003d (2a + 1) x + 1 - a 2

1. ให้ c เป็น abscissa ของจุดสัมผัสที่อยู่บนกราฟของฟังก์ชัน
2.
3.ฉ"(ค)=ค.
4.

เนื่องจากแทนเจนต์เป็นเรื่องธรรมดาแล้ว

ดังนั้น y = x + 1 และ y = - 3x - 3 จึงเป็นแทนเจนต์ทั่วไป

เป้าหมายหลักของงานที่พิจารณาคือการเตรียมนักเรียนให้พร้อมสำหรับการจดจำประเภทของงานหลักด้วยตนเองเมื่อแก้ปัญหาที่ซับซ้อนมากขึ้นซึ่งต้องใช้ทักษะการวิจัยบางอย่าง (ความสามารถในการวิเคราะห์ เปรียบเทียบ สรุป เสนอสมมติฐาน เป็นต้น) งานดังกล่าวรวมถึงงานใดๆ ที่รวมงานหลักเป็นส่วนประกอบ ลองพิจารณาตัวอย่างปัญหา (ผกผันกับปัญหา 1) ของการค้นหาฟังก์ชันจากตระกูลแทนเจนต์ของมัน

3. สำหรับเส้น b และ c คืออะไร y \u003d x และ y \u003d - 2x สัมผัสกับกราฟของฟังก์ชัน y \u003d x 2 + bx + c

ให้ t เป็น abscissa ของจุดสัมผัสของเส้น y = x กับพาราโบลา y = x 2 + bx + c; p คือ abscissa ของจุดสัมผัสของเส้น y = - 2x กับพาราโบลา y = x 2 + bx + c จากนั้นสมการสัมผัส y = x จะอยู่ในรูปแบบ y = (2t + b)x + c - t 2 และสมการสัมผัส y = - 2x จะอยู่ในรูปแบบ y = (2p + b)x + c - p 2 .

เขียนและแก้ระบบสมการ

ตอบ:

ในบทความนี้เราจะวิเคราะห์ปัญหาทุกประเภทเพื่อค้นหา

มาจำกัน ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์: ถ้าเส้นสัมผัสถูกลากไปยังกราฟของฟังก์ชันที่จุดหนึ่ง ความชันของเส้นสัมผัส (เท่ากับเส้นสัมผัสของมุมระหว่างเส้นสัมผัสกับทิศทางบวกของแกน) จะเท่ากับอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ จุด

ใช้จุดโดยพลการในการสัมผัสกับพิกัด :

และพิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉาก:

ในรูปสามเหลี่ยมนี้

จากที่นี่

นี่คือสมการของเส้นสัมผัสกับกราฟของฟังก์ชันที่จุด

ในการเขียนสมการของเส้นสัมผัส เราเพียงต้องรู้สมการของฟังก์ชันและจุดที่เส้นสัมผัสถูกดึงออกมา จากนั้นเราจะพบและ .

โจทย์สมการเส้นสัมผัสมีสามประเภทหลักๆ

1. กำหนดจุดติดต่อ

2. กำหนดสัมประสิทธิ์ความชันของเส้นสัมผัส นั่นคือ ค่าของอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุด

3. กำหนดพิกัดของจุดที่เส้นสัมผัสผ่าน แต่ไม่ใช่จุดสัมผัส

มาดูปัญหาแต่ละประเภทกัน

หนึ่ง . เขียนสมการแทนเจนต์ลงในกราฟของฟังก์ชัน ที่จุด .

.

b) หาค่าของอนุพันธ์ที่จุด . ก่อนอื่นเราจะหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

แทนค่าที่พบในสมการแทนเจนต์:

เรามาเปิดวงเล็บทางด้านขวาของสมการกัน เราได้รับ:

ตอบ: .

2. ค้นหา abscissas ของจุดที่ฟังก์ชันสัมผัสกับกราฟ ขนานกับแกน x

ถ้าเส้นสัมผัสขนานกับแกน x มุมระหว่างเส้นสัมผัสกับทิศทางบวกของแกนจะเป็นศูนย์ ดังนั้นเส้นสัมผัสของความชันของเส้นสัมผัสจะเป็นศูนย์ ดังนั้นค่าของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ที่จุดติดต่อเป็นศูนย์

ก) ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน .

b) เทียบอนุพันธ์กับศูนย์และค้นหาค่าที่แทนเจนต์ขนานกับแกน:

เราเทียบแต่ละปัจจัยเป็นศูนย์ เราได้รับ:

คำตอบ: 0;3;5

3 . เขียนสมการแทนเจนต์ลงในกราฟของฟังก์ชัน , ขนาน ตรง .

เส้นสัมผัสขนานกับเส้นตรง ความชันของเส้นตรงนี้คือ -1 เนื่องจากเส้นสัมผัสขนานกับเส้นตรง ดังนั้น ความชันของเส้นสัมผัสจึงเป็น -1 ด้วย นั่นคือ เรารู้ความชันของเส้นสัมผัสและด้วยเหตุนี้ มูลค่าของอนุพันธ์ ณ จุดติดต่อ.

นี่เป็นโจทย์ประเภทที่สองในการหาสมการแทนเจนต์

ดังนั้นเราจึงได้รับฟังก์ชันและค่าของอนุพันธ์ ณ จุดสัมผัส

ก) ค้นหาจุดที่อนุพันธ์ของฟังก์ชันเท่ากับ -1

อันดับแรก มาหาสมการเชิงอนุพันธ์กันก่อน

ลองเทียบอนุพันธ์กับจำนวน -1

ค้นหาค่าของฟังก์ชันที่จุด

(ตามเงื่อนไข)

.

b) ค้นหาสมการของเส้นสัมผัสกับกราฟของฟังก์ชันที่จุด .

ค้นหาค่าของฟังก์ชันที่จุด

(ตามเงื่อนไข).

แทนค่าเหล่านี้ลงในสมการแทนเจนต์:

.

ตอบ:

4 . เขียนสมการแทนเจนต์ของเส้นโค้ง , ผ่านจุด

ขั้นแรก ให้ตรวจสอบว่าจุดนั้นไม่ใช่จุดสัมผัสหรือไม่ ถ้าจุดนั้นเป็นจุดสัมผัส แสดงว่าเป็นของกราฟของฟังก์ชัน และพิกัดของมันจะต้องเป็นไปตามสมการของฟังก์ชัน แทนพิกัดของจุดในสมการของฟังก์ชัน

Title="(!LANG:1sqrt(8-3^2)">. Мы получили под корнем отрицательное число, равенство не верно, и точка не принадлежит графику функции и !} ไม่ใช่จุดติดต่อ

นี่คือโจทย์ประเภทสุดท้ายในการหาสมการแทนเจนต์ สิ่งแรก เราจำเป็นต้องค้นหา abscissa ของจุดติดต่อ.

มาหาค่ากัน

ให้เป็นจุดติดต่อ จุดเป็นของเส้นสัมผัสกับกราฟของฟังก์ชัน ถ้าเราแทนพิกัดของจุดนี้ลงในสมการแทนเจนต์ เราจะได้ความเท่ากันที่ถูกต้อง:

.

ค่าของฟังก์ชัน ณ จุดคือ .

ค้นหาค่าของอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุด

ลองหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันก่อน นี้ .

อนุพันธ์ ณ จุดหนึ่งคือ .

ให้เราแทนนิพจน์สำหรับและลงในสมการแทนเจนต์ เราได้สมการสำหรับ:

ลองแก้สมการนี้กัน

ลดตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนลง 2:

เรานำด้านขวาของสมการมาเป็นตัวส่วนร่วม เราได้รับ:

ลดความซับซ้อนของตัวเศษของเศษส่วนและคูณทั้งสองส่วนด้วย - นิพจน์นี้มีค่ามากกว่าศูนย์อย่างเคร่งครัด

เราได้สมการ

มาแก้กัน ในการทำเช่นนี้เรายกกำลังสองส่วนและไปที่ระบบ

Title="(!LANG:delim(lbrace)(matrix(2)(1)((64-48(x_0)+9(x_0)^2=8-(x_0)^2) (8-3x_0>=0 ) ))( )">!}

มาแก้สมการแรกกัน

เราแก้สมการกำลังสอง เราจะได้

รากที่สองไม่ตรงตามเงื่อนไข title="(!LANG:8-3x_0>=0">, следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна .!}

ลองเขียนสมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด กัน ในการทำเช่นนี้ เราแทนค่าในสมการ เราบันทึกไว้แล้ว

ตอบ:
.

เส้นสัมผัสเป็นเส้นตรง ซึ่งสัมผัสกับกราฟของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง และจุดทั้งหมดอยู่ห่างจากกราฟของฟังก์ชันน้อยที่สุด ดังนั้น เส้นสัมผัสจะผ่านสัมผัสกับกราฟของฟังก์ชันที่มุมหนึ่ง และเส้นสัมผัสหลายเส้นไม่สามารถผ่านจุดสัมผัสที่มุมต่างๆ ได้ สมการแทนเจนต์และสมการของเส้นปกติกับกราฟของฟังก์ชันรวบรวมโดยใช้อนุพันธ์

สมการแทนเจนต์มาจากสมการเส้นตรง .

เราหาสมการของเส้นสัมผัส แล้วสมการของเส้นปกติกับกราฟของฟังก์ชัน

ย = เคเอ็กซ์ + ข .

ในตัวเขา เค- ค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุม

จากที่นี่เราได้รับรายการต่อไปนี้:

ย - ย 0 = เค(x - x 0 ) .

มูลค่าอนุพันธ์ ฉ "(x 0 ) ฟังก์ชั่น ย = ฉ(x) ที่จุด x0 เท่ากับความชัน เค=tg φ สัมผัสกับกราฟของฟังก์ชันที่ลากผ่านจุด ม0 (x 0 , ย 0 ) , ที่ไหน ย0 = ฉ(x 0 ) . นี่คืออะไร ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ .

ดังนั้นเราจึงสามารถแทนที่ เคบน ฉ "(x 0 ) และได้รับสิ่งต่อไปนี้ สมการแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชัน :

ย - ย 0 = ฉ "(x 0 )(x - x 0 ) .

ในงานรวบรวมสมการของแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน (และเราจะดำเนินการต่อไปในไม่ช้า) จำเป็นต้องนำสมการที่ได้จากสูตรด้านบนไป สมการทั่วไปของเส้นตรง. ในการทำเช่นนี้ คุณต้องย้ายตัวอักษรและตัวเลขทั้งหมดไปทางด้านซ้ายของสมการ และปล่อยให้ศูนย์อยู่ทางด้านขวา

ตอนนี้เกี่ยวกับสมการปกติ ปกติ เป็นเส้นตรงที่ผ่านจุดสัมผัสไปยังกราฟของฟังก์ชันที่ตั้งฉากกับเส้นสัมผัส สมการปกติ :

(x - x 0 ) + ฉ "(x 0 )(ย - ย 0 ) = 0

ในการอุ่นเครื่องตัวอย่างแรก คุณจะต้องแก้ปัญหาด้วยตัวเอง จากนั้นดูวิธีแก้ปัญหา มีเหตุผลทุกประการที่จะหวังว่างานนี้จะไม่ "อาบน้ำเย็น" สำหรับผู้อ่านของเรา

ตัวอย่างที่ 0เขียนสมการของเส้นสัมผัสและสมการของเส้นปกติให้กับกราฟของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง ม (1, 1) .

ตัวอย่างที่ 1เขียนสมการของเส้นสัมผัสและสมการของเส้นปกติลงในกราฟของฟังก์ชัน ถ้า abscissa ของจุดสัมผัสคือ

มาหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันกัน:

ตอนนี้เรามีทุกสิ่งที่ต้องแทนที่ในรายการที่กำหนดในการอ้างอิงทางทฤษฎีเพื่อให้ได้สมการแทนเจนต์ เราได้รับ

ในตัวอย่างนี้เราโชคดี: ความชันกลายเป็นศูนย์ดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องแยกสมการออกเป็นรูปแบบทั่วไป ตอนนี้เราสามารถเขียนสมการปกติ:

ในภาพด้านล่าง: กราฟของฟังก์ชันในเบอร์กันดี, แทนเจนต์ในสีเขียว, ปกติในสีส้ม

ตัวอย่างถัดไปก็ไม่ซับซ้อนเช่นกัน ฟังก์ชันเหมือนในฟังก์ชันก่อนหน้าคือพหุนามเช่นกัน แต่ค่าสัมประสิทธิ์ความชันจะไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้นจะเพิ่มขั้นตอนอีกหนึ่งขั้นตอน - นำสมการไปสู่รูปแบบทั่วไป

ตัวอย่างที่ 2

การตัดสินใจ. มาหาพิกัดของจุดสัมผัสกัน:

มาหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันกัน:

.

มาหาค่าของอนุพันธ์ ณ จุดสัมผัสกัน นั่นคือ ความชันของเส้นสัมผัส:

เราแทนที่ข้อมูลทั้งหมดที่ได้รับใน "สูตรว่าง" และรับสมการแทนเจนต์:

เรานำสมการมาไว้ในรูปแบบทั่วไป (เรารวบรวมตัวอักษรและตัวเลขทั้งหมดที่ไม่ใช่ศูนย์ทางด้านซ้าย และปล่อยให้เป็นศูนย์ทางด้านขวา):

เราสร้างสมการของปกติ:

ตัวอย่างที่ 3เขียนสมการของเส้นสัมผัสและสมการของเส้นปกติลงในกราฟของฟังก์ชัน ถ้า abscissa ของจุดสัมผัสคือ

การตัดสินใจ. มาหาพิกัดของจุดสัมผัสกัน:

มาหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันกัน:

.

มาหาค่าของอนุพันธ์ ณ จุดสัมผัสกัน นั่นคือ ความชันของเส้นสัมผัส:

.

เราพบสมการของแทนเจนต์:

ก่อนที่จะนำสมการไปใช้ในรูปแบบทั่วไป คุณต้อง "รวม" สักหน่อย: คูณเทอมต่อเทอมด้วย 4 เราทำสิ่งนี้และนำสมการไปสู่รูปแบบทั่วไป:

เราสร้างสมการของปกติ:

ตัวอย่างที่ 4เขียนสมการของเส้นสัมผัสและสมการของเส้นปกติลงในกราฟของฟังก์ชัน ถ้า abscissa ของจุดสัมผัสคือ

การตัดสินใจ. มาหาพิกัดของจุดสัมผัสกัน:

.

มาหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันกัน:

มาหาค่าของอนุพันธ์ ณ จุดสัมผัสกัน นั่นคือ ความชันของเส้นสัมผัส:

.

เราได้สมการแทนเจนต์:

เรานำสมการไปสู่รูปแบบทั่วไป:

เราสร้างสมการของปกติ:

ข้อผิดพลาดทั่วไปเมื่อเขียนสมการแทนเจนต์และสมการปกติคือการไม่สังเกตว่าฟังก์ชันที่ระบุในตัวอย่างนั้นซับซ้อนและคำนวณอนุพันธ์ของมันเป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชันอย่างง่าย ดังตัวอย่างต่อไปนี้แล้ว ฟังก์ชันที่ซับซ้อน(บทเรียนที่เกี่ยวข้องจะเปิดขึ้นในหน้าต่างใหม่)

ตัวอย่างที่ 5เขียนสมการของเส้นสัมผัสและสมการของเส้นปกติลงในกราฟของฟังก์ชัน ถ้า abscissa ของจุดสัมผัสคือ

การตัดสินใจ. มาหาพิกัดของจุดสัมผัสกัน:

ความสนใจ! ฟังก์ชันนี้ซับซ้อน เนื่องจากอาร์กิวเมนต์ของแทนเจนต์ (2 x) เป็นฟังก์ชัน ดังนั้นเราจึงพบว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน

ตัวอย่างที่ 1กำหนดฟังก์ชั่น ฉ(x) = 3x 2 + 4x– 5. ลองเขียนสมการแทนเจนต์ลงในกราฟของฟังก์ชันกัน ฉ(x) ที่จุดของกราฟที่มี abscissa x 0 = 1.

การตัดสินใจ.อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ฉ(x) มีอยู่สำหรับ x ใดๆ ร . มาหากันเถอะ:

= (3x 2 + 4x– 5)′ = 6 x + 4.

แล้ว ฉ(x 0) = ฉ(1) = 2; (x 0) = = 10. สมการแทนเจนต์มีรูปแบบ:

ย = (x 0) (x – x 0) + ฉ(x 0),

ย = 10(x – 1) + 2,

ย = 10x – 8.

ตอบ. ย = 10x – 8.

ตัวอย่างที่ 2กำหนดฟังก์ชั่น ฉ(x) = x 3 – 3x 2 + 2x+ 5. ลองเขียนสมการแทนเจนต์ลงในกราฟของฟังก์ชัน ฉ(x) ขนานกับเส้น ย = 2x – 11.

การตัดสินใจ.อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ฉ(x) มีอยู่สำหรับ x ใดๆ ร . มาหากันเถอะ:

= (x 3 – 3x 2 + 2x+ 5)' = 3 x 2 – 6x + 2.

ตั้งแต่เส้นสัมผัสกับกราฟของฟังก์ชัน ฉ(x) ที่จุดด้วย abscissa x 0 ขนานกับเส้นตรง ย = 2x– 11 ความชันของมันคือ 2 เช่น ( x 0) = 2 จงหา abscissa นี้จากเงื่อนไขที่ 3 x– 6x 0 + 2 = 2 ความเท่าเทียมกันนี้ใช้ได้กับ x 0 = 0 และ x 0 = 2 เนื่องจากในทั้งสองกรณี ฉ(x 0) = 5 แล้วเส้นตรง ย = 2x + ขสัมผัสกราฟของฟังก์ชันที่จุด (0; 5) หรือที่จุด (2; 5)

ในกรณีแรก ความเท่าเทียมกันของตัวเลขจะเป็นจริง 5 = 2×0 + ข, ที่ไหน ข= 5 และในกรณีที่สอง ความเท่ากันของตัวเลขจะเป็นจริง 5 = 2 × 2 + ข, ที่ไหน ข = 1.

ดังนั้นจึงมีสองแทนเจนต์ ย = 2x+ 5 และ ย = 2x+ 1 ไปยังกราฟของฟังก์ชัน ฉ(x) ขนานกับเส้น ย = 2x – 11.

ตอบ. ย = 2x + 5, ย = 2x + 1.

ตัวอย่างที่ 3กำหนดฟังก์ชั่น ฉ(x) = x 2 – 6x+ 7. ลองเขียนสมการแทนเจนต์ลงในกราฟของฟังก์ชัน ฉ(x) ผ่านจุด ก (2; –5).

การตัดสินใจ.เพราะ ฉ(2) –5 แล้วจุด กไม่ได้อยู่ในกราฟของฟังก์ชัน ฉ(x). ปล่อยให้เป็น x 0 - abscissa ของจุดสัมผัส

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ฉ(x) มีอยู่สำหรับ x ใดๆ ร . มาหากันเถอะ:

= (x 2 – 6x+ 1)' = 2 x – 6.

แล้ว ฉ(x 0) = x– 6x 0 + 7; (x 0) = 2x 0 - 6. สมการแทนเจนต์มีรูปแบบ:

ย = (2x 0 – 6)(x – x 0) + x– 6x+ 7,

ย = (2x 0 – 6)x– x+ 7.

ตั้งแต่จุดที่ กเป็นของแทนเจนต์ ดังนั้นความเท่ากันของตัวเลขจึงเป็นจริง

–5 = (2x 0 – 6)×2– x+ 7,

ที่ไหน x 0 = 0 หรือ x 0 = 4 ซึ่งหมายความว่าผ่านจุด กเป็นไปได้ที่จะวาดเส้นสัมผัสสองเส้นบนกราฟของฟังก์ชัน ฉ(x).

ถ้า x 0 = 0 แล้วสมการสัมผัสจะมีรูปแบบ ย = –6x+ 7. ถ้า x 0 = 4 แล้วสมการสัมผัสจะมีรูปแบบ ย = 2x – 9.

ตอบ. ย = –6x + 7, ย = 2x – 9.

ตัวอย่างที่ 4กำหนดฟังก์ชั่น ฉ(x) = x 2 – 2x+ 2 และ ช(x) = –x 2 - 3. ลองเขียนสมการของเส้นสัมผัสร่วมให้กับกราฟของฟังก์ชันเหล่านี้กัน

การตัดสินใจ.ปล่อยให้เป็น x 1 - abscissa ของจุดสัมผัสของเส้นที่ต้องการพร้อมกราฟของฟังก์ชัน ฉ(x) ก x 2 - abscissa ของจุดสัมผัสของเส้นเดียวกันกับกราฟของฟังก์ชัน ช(x).

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ฉ(x) มีอยู่สำหรับ x ใดๆ ร . มาหากันเถอะ:

= (x 2 – 2x+ 2)' = 2 x – 2.

แล้ว ฉ(x 1) = x– 2x 1 + 2; (x 1) = 2x 1 - 2. สมการแทนเจนต์มีรูปแบบ:

ย = (2x 1 – 2)(x – x 1) + x– 2x 1 + 2,

ย = (2x 1 – 2)x – x+ 2. (1)

ลองหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันกัน ช(x):

= (–x 2 – 3)′ = –2 x.

สมการแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชัน

พี. โรมานอฟ, ที. โรมาโนวา,
แมกนีโตกอร์สค์,
ภูมิภาคเชเลียบินสค์

สมการแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชัน

บทความนี้เผยแพร่โดยได้รับการสนับสนุนจาก ITAKA+ Hotel Complex การอยู่ในเมืองของช่างต่อเรือ Severodvinsk คุณจะไม่ประสบปัญหาในการหาที่พักชั่วคราว บนเว็บไซต์ของโรงแรมคอมเพล็กซ์ "ITAKA +" http://itakaplus.ru คุณสามารถเช่าอพาร์ทเมนต์ในเมืองได้อย่างง่ายดายและรวดเร็วในช่วงเวลาใดก็ได้โดยชำระเงินรายวัน

ในขั้นตอนปัจจุบันของการพัฒนาการศึกษาหนึ่งในภารกิจหลักคือการสร้างบุคลิกภาพที่มีความคิดสร้างสรรค์ ความสามารถในการสร้างสรรค์ของนักเรียนสามารถพัฒนาได้ก็ต่อเมื่อพวกเขามีส่วนร่วมอย่างเป็นระบบในพื้นฐานของกิจกรรมการวิจัย รากฐานสำหรับนักเรียนในการใช้พลังความคิดสร้างสรรค์ ความสามารถและพรสวรรค์ของพวกเขานั้นเกิดจากความรู้และทักษะที่เต็มเปี่ยม ในเรื่องนี้ปัญหาของการสร้างระบบความรู้และทักษะพื้นฐานสำหรับแต่ละหัวข้อของหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียนนั้นมีความสำคัญไม่น้อย ในขณะเดียวกัน ทักษะที่เต็มเปี่ยมควรเป็นเป้าหมายในการสอน ไม่ใช่ของงานแต่ละอย่าง แต่เป็นระบบที่ไตร่ตรองอย่างรอบคอบ ในความหมายที่กว้างที่สุด ระบบถูกเข้าใจว่าเป็นชุดขององค์ประกอบการโต้ตอบที่สัมพันธ์กันซึ่งมีความสมบูรณ์และโครงสร้างที่มั่นคง

พิจารณาวิธีการสอนนักเรียนเกี่ยวกับวิธีสร้างสมการแทนเจนต์ของกราฟฟังก์ชัน โดยพื้นฐานแล้ว งานทั้งหมดสำหรับการค้นหาสมการแทนเจนต์จะลดลงจนจำเป็นต้องเลือกจากชุด (มัด, ตระกูล) ของเส้นที่ตรงตามความต้องการบางอย่าง - พวกมันสัมผัสกับกราฟของฟังก์ชันบางอย่าง ในกรณีนี้ ชุดของบรรทัดที่ดำเนินการเลือกสามารถระบุได้สองวิธี:

a) จุดที่อยู่บนระนาบ xOy (ดินสอกลางของเส้น);
b) ค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุม (การรวมกลุ่มของเส้นขนาน)

ในเรื่องนี้ เมื่อศึกษาหัวข้อ "สัมผัสกับกราฟของฟังก์ชัน" เพื่อแยกองค์ประกอบของระบบ เราได้ระบุงานสองประเภท:

1) งานบนแทนเจนต์ที่กำหนดโดยจุดที่ผ่าน
2) งานบนเส้นสัมผัสที่กำหนดโดยความชัน

การเรียนรู้เพื่อแก้ปัญหาบนแทนเจนต์ดำเนินการโดยใช้อัลกอริทึมที่เสนอโดย A.G. มอเดอร์โควิช. ความแตกต่างพื้นฐานจากสิ่งที่ทราบอยู่แล้วคือ abscissa ของจุดสัมผัสนั้นแสดงด้วยตัวอักษร a (แทนที่จะเป็น x0) ซึ่งเกี่ยวข้องกับสมการแทนเจนต์ที่ใช้รูปแบบ

y \u003d f (a) + f "(a) (x - a)

(เปรียบเทียบกับ y \u003d f (x 0) + f "(x 0) (x - x 0)) ในความคิดของเรา เทคนิคระเบียบวิธีนี้ช่วยให้นักเรียนทราบตำแหน่งพิกัดของจุดปัจจุบันได้อย่างรวดเร็วและง่ายดาย ในสมการแทนเจนต์ทั่วไป และจุดสัมผัสอยู่ที่ไหน

อัลกอริทึมสำหรับรวบรวมสมการแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชัน y = f(x)

1. กำหนดด้วยตัวอักษร a abscissa ของจุดติดต่อ
2. ค้นหา f(a)
3. ค้นหา f "(x) และ f "(a)
4. แทนที่ตัวเลขที่พบ a, f (a), f "(a) ลงในสมการทั่วไปของแทนเจนต์ y \u003d f (a) \u003d f "(a) (x - a)

อัลกอริทึมนี้สามารถรวบรวมบนพื้นฐานของการเลือกการดำเนินการโดยอิสระของนักเรียนและลำดับของการดำเนินการ

การปฏิบัติได้แสดงให้เห็นว่าการแก้ปัญหาที่สอดคล้องกันของงานหลักแต่ละงานโดยใช้อัลกอริทึมช่วยให้คุณสร้างความสามารถในการเขียนสมการแทนเจนต์ลงในกราฟของฟังก์ชันเป็นขั้นๆ และขั้นตอนของอัลกอริทึมทำหน้าที่เป็นจุดแข็งสำหรับการดำเนินการ . วิธีการนี้สอดคล้องกับทฤษฎีของการก่อตัวของการกระทำทางจิตอย่างค่อยเป็นค่อยไปซึ่งพัฒนาโดย P.Ya Galperin และ N.F. ทาลิซิน่า.

ในงานประเภทแรก มีการระบุงานหลักสองงาน:

• เส้นสัมผัสผ่านจุดที่อยู่บนเส้นโค้ง (ปัญหาที่ 1);
• เส้นสัมผัสผ่านจุดที่ไม่ได้อยู่บนเส้นโค้ง (ปัญหาที่ 2)

งาน 1. เทียบแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน ที่จุด M(3; – 2)

การตัดสินใจ. จุด M(3; – 2) เป็นจุดติดต่อ เนื่องจาก

1. a = 3 - abscissa ของจุดสัมผัส
2. ฉ(3) = – 2.
3. f "(x) \u003d x 2 - 4, f "(3) \u003d 5.
y \u003d - 2 + 5 (x - 3), y \u003d 5x - 17 คือสมการแทนเจนต์

ภารกิจที่ 2 เขียนสมการของแทนเจนต์ทั้งหมดลงในกราฟของฟังก์ชัน y = - x 2 - 4x + 2 ผ่านจุด M(- 3; 6)

การตัดสินใจ. จุด M(– 3; 6) ไม่ใช่จุดสัมผัส เนื่องจาก f(– 3) 6 (รูปที่ 2)

2. ฉ(ก) = – ก 2 – 4ก + 2.
3. f "(x) \u003d - 2x - 4, f "(a) \u003d - 2a - 4.
4. y \u003d - a 2 - 4a + 2 - 2 (a + 2) (x - a) - สมการสัมผัส

เส้นสัมผัสผ่านจุด M(– 3; 6) ดังนั้น พิกัดจึงเป็นไปตามสมการเส้นสัมผัส

6 = – ก 2 – 4ก + 2 – 2(ก + 2)(– 3 – ก),
ก 2 + 6a + 8 = 0^ ก 1 = - 4, ก 2 = - 2

ถ้า a = – 4 สมการแทนเจนต์คือ y = 4x + 18

ถ้า a \u003d - 2 สมการแทนเจนต์จะมีรูปแบบ y \u003d 6

ในแบบที่สอง ภารกิจหลักจะเป็นดังต่อไปนี้:

• เส้นสัมผัสขนานกับเส้นตรงบางเส้น (ปัญหาที่ 3);
• เส้นสัมผัสผ่านในบางมุมไปยังเส้นที่กำหนด (ปัญหาที่ 4)

ภารกิจที่ 3 เขียนสมการแทนเจนต์ทั้งหมดลงในกราฟของฟังก์ชัน y \u003d x 3 - 3x 2 + 3 ขนานกับเส้น y \u003d 9x + 1

การตัดสินใจ.

1. a - abscissa ของจุดสัมผัส
2. f(a) = a 3 - 3a 2 + 3.
3. f "(x) \u003d 3x 2 - 6x, f "(a) \u003d 3a 2 - 6a

แต่ในทางกลับกัน f "(a) \u003d 9 (เงื่อนไขความขนาน) ดังนั้นเราต้องแก้สมการ 3a 2 - 6a \u003d 9 รากของมัน a \u003d - 1, a \u003d 3 (รูปที่ . 3).

4. 1) ก = – 1;
2) ฉ(– 1) = – 1;
3) ฉ "(– 1) = 9;
4) ย = – 1 + 9(x + 1);

y = 9x + 8 คือสมการแทนเจนต์

1) ก = 3;
2) ฉ(3) = 3;
3) ฉ "(3) = 9;
4) y = 3 + 9(x - 3);

y = 9x – 24 คือสมการแทนเจนต์

ภารกิจที่ 4 เขียนสมการแทนเจนต์ลงในกราฟของฟังก์ชัน y = 0.5x 2 - 3x + 1 ผ่านมุม 45 °ไปยังเส้นตรง y = 0 (รูปที่ 4)

การตัดสินใจ. จากเงื่อนไข f "(a) \u003d tg 45 ° เราพบ a: a - 3 \u003d 1^a=4.

1. a = 4 - abscissa ของจุดสัมผัส
2. f(4) = 8 - 12 + 1 = - 3.
3. ฉ "(4) \u003d 4 - 3 \u003d 1.
4. y \u003d - 3 + 1 (x - 4)

y \u003d x - 7 - สมการของแทนเจนต์

เป็นการง่ายที่จะแสดงให้เห็นว่าการแก้ปัญหาอื่น ๆ นั้นลดลงเหลือเพียงการแก้ปัญหาหลักหนึ่งหรือหลายปัญหา พิจารณาปัญหาสองข้อต่อไปนี้เป็นตัวอย่าง

1. เขียนสมการแทนเจนต์ของพาราโบลา y = 2x 2 - 5x - 2 ถ้าแทนเจนต์ตัดกันเป็นมุมฉาก และหนึ่งในนั้นแตะพาราโบลาที่จุดที่มี abscissa 3 (รูปที่ 5)

การตัดสินใจ. เนื่องจากมีการกำหนด abscissa ของจุดติดต่อ ส่วนแรกของการแก้ปัญหาจึงลดลงเป็นปัญหาสำคัญ 1

1. a \u003d 3 - abscissa ของจุดสัมผัสด้านใดด้านหนึ่งของมุมฉาก
2. ฉ(3) = 1.
3. f "(x) \u003d 4x - 5, f "(3) \u003d 7.
4. y \u003d 1 + 7 (x - 3), y \u003d 7x - 20 - สมการของแทนเจนต์แรก

ให้ ก คือมุมเอียงของสัมผัสแรก เนื่องจากเส้นสัมผัสตั้งฉากกัน ดังนั้นมุมเอียงของเส้นสัมผัสที่สองจึงเป็นมุมเอียง จากสมการ y = 7x – 20 ของแทนเจนต์แรก เรามี tg a = 7. จงหา

ซึ่งหมายความว่าความชันของเส้นสัมผัสที่สองคือ

วิธีแก้ปัญหาเพิ่มเติมจะลดลงเหลืองานหลัก 3

ให้ B(c; f(c)) เป็นจุดสัมผัสของเส้นที่สอง แล้ว

1. - abscissa ของจุดติดต่อที่สอง
2.
3.
4.
คือสมการของเส้นสัมผัสที่สอง

บันทึก. สามารถหาค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นสัมผัสได้ง่ายขึ้นหากนักเรียนทราบอัตราส่วนของค่าสัมประสิทธิ์ของเส้นตั้งฉาก k 1 k 2 = - 1

2. เขียนสมการของแทนเจนต์ทั่วไปทั้งหมดลงในกราฟฟังก์ชัน

การตัดสินใจ. งานจะลดลงเพื่อค้นหา abscissas ของจุดสัมผัสของสัมผัสทั่วไปนั่นคือเพื่อแก้ปัญหาหลัก 1 ในรูปแบบทั่วไปรวบรวมระบบสมการแล้วแก้ไข (รูปที่ 6)

1. ให้ a เป็น abscissa ของจุดสัมผัสซึ่งอยู่บนกราฟของฟังก์ชัน y = x 2 + x + 1
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y \u003d a 2 + a + 1 + (2a + 1) (x - a) \u003d (2a + 1) x + 1 - a 2

1. ให้ c เป็น abscissa ของจุดสัมผัสที่อยู่บนกราฟของฟังก์ชัน
2.
3.ฉ"(ค)=ค.
4.

เนื่องจากแทนเจนต์เป็นเรื่องธรรมดาแล้ว

ดังนั้น y = x + 1 และ y = - 3x - 3 จึงเป็นแทนเจนต์ทั่วไป

เป้าหมายหลักของงานที่พิจารณาคือการเตรียมนักเรียนให้พร้อมสำหรับการจดจำประเภทของงานหลักด้วยตนเองเมื่อแก้ปัญหาที่ซับซ้อนมากขึ้นซึ่งต้องใช้ทักษะการวิจัยบางอย่าง (ความสามารถในการวิเคราะห์ เปรียบเทียบ สรุป เสนอสมมติฐาน เป็นต้น) งานดังกล่าวรวมถึงงานใดๆ ที่รวมงานหลักเป็นส่วนประกอบ ลองพิจารณาตัวอย่างปัญหา (ผกผันกับปัญหา 1) ของการค้นหาฟังก์ชันจากตระกูลแทนเจนต์ของมัน

3. สำหรับเส้น b และ c คืออะไร y \u003d x และ y \u003d - 2x สัมผัสกับกราฟของฟังก์ชัน y \u003d x 2 + bx + c

การตัดสินใจ.

ให้ t เป็น abscissa ของจุดสัมผัสของเส้น y = x กับพาราโบลา y = x 2 + bx + c; p คือ abscissa ของจุดสัมผัสของเส้น y = - 2x กับพาราโบลา y = x 2 + bx + c จากนั้นสมการสัมผัส y = x จะอยู่ในรูปแบบ y = (2t + b)x + c - t 2 และสมการสัมผัส y = - 2x จะอยู่ในรูปแบบ y = (2p + b)x + c - p 2 .

เขียนและแก้ระบบสมการ

ตอบ:

งานสำหรับโซลูชันอิสระ

1. เขียนสมการของแทนเจนต์ที่วาดลงในกราฟของฟังก์ชัน y = 2x 2 - 4x + 3 ที่จุดตัดของกราฟด้วยเส้น y = x + 3

คำตอบ: y \u003d - 4x + 3, y \u003d 6x - 9.5

2. สำหรับค่าใดของ a ที่ลากเส้นสัมผัสไปยังกราฟของฟังก์ชัน y \u003d x 2 - ขวานที่จุดของกราฟด้วย abscissa x 0 \u003d 1 ผ่านจุด M (2; 3) ?

คำตอบ: a = 0.5

3. ค่า p ใดที่เส้น y = px - 5 แตะเส้นโค้ง y = 3x 2 - 4x - 2

คำตอบ: หน้า 1 \u003d - 10, หน้า 2 \u003d 2

4. ค้นหาจุดร่วมทั้งหมดของกราฟของฟังก์ชัน y = 3x - x 3 และเส้นสัมผัสที่ลากไปยังกราฟนี้ผ่านจุด P(0; 16)

คำตอบ: ก(2; - 2), ข(- 4; 52).

5. จงหาระยะทางที่สั้นที่สุดระหว่างพาราโบลา y = x 2 + 6x + 10 กับเส้น

ตอบ:

6. บนเส้นโค้ง y \u003d x 2 - x + 1 ให้หาจุดที่เส้นสัมผัสกับกราฟขนานกับเส้น y - 3x + 1 \u003d 0

คำตอบ: ม(2; 3).

7. เขียนสมการแทนเจนต์ลงในกราฟของฟังก์ชัน y = x 2 + 2x - | 4x | ที่สัมผัสมันที่จุดสองจุด วาดรูป

คำตอบ: y = 2x - 4

8. จงพิสูจน์ว่าเส้น y = 2x – 1 ไม่ตัดกับเส้นโค้ง y = x 4 + 3x 2 + 2x ค้นหาระยะห่างระหว่างจุดที่ใกล้ที่สุด

ตอบ:

9. บนพาราโบลา y \u003d x 2 มีจุดสองจุดที่มี abscissas x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 3 จุดเหล่านี้ลากเส้นแบ่ง เส้นสัมผัสกับพาราโบลาจะขนานกับเส้นตัดที่ลากที่จุดใดของพาราโบลา เขียนสมการสำหรับซีแคนต์และแทนเจนต์

คำตอบ: y \u003d 4x - 3 - สมการหาร; y = 4x – 4 คือสมการแทนเจนต์

10. หามุม q ระหว่างเส้นสัมผัสกับกราฟของฟังก์ชัน y \u003d x 3 - 4x 2 + 3x + 1 วาดที่จุดด้วย abscissas 0 และ 1

คำตอบ: q = 45°

11. เส้นสัมผัสกับกราฟฟังก์ชันทำมุม 135° กับแกน Ox ที่จุดใด

คำตอบ: A(0; - 1), B(4; 3).

12. ที่จุด A(1; 8) ถึงเส้นโค้ง มีการวาดเส้นสัมผัส ค้นหาความยาวของส่วนสัมผัสระหว่างแกนพิกัด

ตอบ:

13. เขียนสมการของแทนเจนต์ทั่วไปทั้งหมดลงในกราฟของฟังก์ชัน y \u003d x 2 - x + 1 และ y \u003d 2x 2 - x + 0.5

คำตอบ: y = - 3x และ y = x

14. หาระยะห่างระหว่างเส้นสัมผัสกับกราฟฟังก์ชันที่ขนานกับแกน x

ตอบ:

15. กำหนดมุมที่พาราโบลา y \u003d x 2 + 2x - 8 ตัดแกน x

คำตอบ: q 1 \u003d arctan 6, q 2 \u003d arctan (- 6)

16. บนกราฟของฟังก์ชัน หาจุดทั้งหมด แทนเจนต์ที่แต่ละจุดของกราฟนี้ตัดกับกึ่งแกนบวกของพิกัด โดยตัดส่วนที่เท่ากันออกจากจุดเหล่านั้น

คำตอบ: ก(-3; 11).

17. เส้น y = 2x + 7 และพาราโบลา y = x 2 – 1 ตัดกันที่จุด M และ N จงหาจุดตัด K ของเส้นสัมผัสกับพาราโบลาที่จุด M และ N

คำตอบ: K(1; - 9).

18. ค่าใดของ b คือเส้น y \u003d 9x + b สัมผัสกับกราฟของฟังก์ชัน y \u003d x 3 - 3x + 15

คำตอบ: - 1; 31.

19. ค่า k ใดที่เส้น y = kx – 10 มีจุดร่วมเพียงจุดเดียวที่มีกราฟของฟังก์ชัน y = 2x 2 + 3x – 2 สำหรับค่าที่พบของ k ให้กำหนดพิกัดของจุด

คำตอบ: k 1 = - 5, A(- 2; 0); k 2 = 11, B(2; 12)

20. ค่าใดของ b ที่แทนเจนต์วาดลงในกราฟของฟังก์ชัน y = bx 3 – 2x 2 – 4 ที่จุดที่มี abscissa x 0 = 2 ผ่านจุด M(1; 8)?

คำตอบ: b = - 3.

21. พาราโบลาที่มีจุดยอดบนแกน x สัมผัสกับเส้นตรงที่ผ่านจุด A(1; 2) และ B(2; 4) ที่จุด B จงหาสมการของพาราโบลา

ตอบ:

22. ค่าสัมประสิทธิ์ k พาราโบลา y \u003d x 2 + kx + 1 แตะแกน Ox ด้วยค่าเท่าใด

คำตอบ: k = q 2.

23. หามุมระหว่างเส้น y = x + 2 และเส้นโค้ง y = 2x 2 + 4x - 3

29. ค้นหาระยะห่างระหว่างเส้นสัมผัสกับกราฟของตัวสร้างฟังก์ชันที่มีทิศทางบวกของแกน Ox ที่มุม 45 °

ตอบ:

30. หาตำแหน่งจุดยอดของพาราโบลาในรูป y = x 2 + ax + b สัมผัสเส้น y = 4x - 1

คำตอบ: เส้นตรง y = 4x + 3

วรรณกรรม

1. Zvavich L.I. , Shlyapochnik L.Ya. , Chinkina M.V. พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: 3600 ปัญหาสำหรับเด็กนักเรียนและผู้สมัครมหาวิทยาลัย - ม., อีแร้ง, 2542.
2. Mordkovich A. การสัมมนาครั้งที่สี่สำหรับครูรุ่นใหม่ หัวข้อคือ "การประยุกต์ใช้อนุพันธ์" - ม., "คณิต" น. 21/94.
3. การก่อตัวของความรู้และทักษะตามทฤษฎีการดูดซึมของการกระทำทางจิตอย่างค่อยเป็นค่อยไป / เอ็ด ป.ญา Galperin, N.F. ทาลิซิน่า. - ม., มหาวิทยาลัยแห่งรัฐมอสโก, 2511