จำนวนเฉพาะและจำนวนประกอบ แยกตัวประกอบจำนวน 6 จำนวนให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ

เครื่องคิดเลขออนไลน์นี้ออกแบบมาเพื่อแยกตัวประกอบฟังก์ชัน

ตัวอย่างเช่น แยกตัวประกอบ: x 2 /3-3x+12 ลองเขียนมันเป็น x^2/3-3*x+12. คุณยังสามารถใช้บริการนี้ได้ โดยที่การคำนวณทั้งหมดจะถูกบันทึกในรูปแบบ Word

เช่น แยกย่อยออกเป็นเงื่อนไข ลองเขียนมันเป็น (1-x^2)/(x^3+x) . หากต้องการดูความคืบหน้าของโซลูชัน คลิกแสดงขั้นตอน หากคุณต้องการผลลัพธ์ในรูปแบบ Word ให้ใช้บริการนี้

บันทึก: ตัวเลข "pi" (π) เขียนเป็น pi; รากที่สองเป็น sqrt เช่น sqrt(3) แทนเจนต์ tg เขียนว่า tan หากต้องการดูคำตอบ โปรดดูทางเลือก

1. หากกำหนดนิพจน์ธรรมดาไว้ เช่น 8*d+12*c*d การแยกตัวประกอบนิพจน์หมายถึงการแสดงนิพจน์ในรูปของตัวประกอบ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ คุณต้องค้นหาปัจจัยร่วม ลองเขียนนิพจน์นี้เป็น: 4*d*(2+3*c) .
2. นำเสนอผลคูณในรูปทวินามสองตัว: x 2 + 21yz + 7xz + 3xy ที่นี่คุณจำเป็นต้องค้นหาปัจจัยทั่วไปหลายประการแล้ว: x(x+7z) + 3y(x + 7z) เรานำออก (x+7z) และรับ: (x+7z)(x + 3y) .

ดูเพิ่มเติม การหารพหุนามด้วยมุม (แสดงทุกขั้นตอนของการหารด้วยคอลัมน์)

จะมีประโยชน์เมื่อศึกษากฎการแยกตัวประกอบ สูตรคูณแบบย่อด้วยความช่วยเหลือซึ่งจะชัดเจนวิธีการเปิดวงเล็บเหลี่ยมด้วยสี่เหลี่ยมจัตุรัส:

1. (ก+ข) 2 = (ก+ข)(ก+ข) = ก 2 +2ab+ข 2
2. (ก-ข) 2 = (ก-ข)(ก-ข) = ก 2 -2ab+ข 2
3. (ก+ข)(ก-ข) = ก 2 - ข 2
4. ก 3 +ข 3 = (ก+ข)(ก 2 -ab+ข 2)
5. 3 -b 3 = (a-b)(a 2 +ab+b 2)
6. (ก+ข) 3 = (ก+ข)(ก+ข) 2 = ก 3 +3a 2 ข + 3ab 2 +ข 3
7. (ก-ข) 3 = (ก-ข)(ก-ข) 2 = ก 3 -3a 2 ข + 3ab 2 -b 3

วิธีการแยกตัวประกอบ

หลังจากเรียนรู้เทคนิคบางอย่างแล้ว การแยกตัวประกอบสามารถจำแนกประเภทของโซลูชันได้ดังต่อไปนี้:

1. การใช้สูตรคูณแบบย่อ
2. การหาปัจจัยร่วมกัน

ทุกอย่างเริ่มต้นด้วยความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ในการบรรยายครั้งแรกเป็นแถว (ดูหัวข้อ 18.1. คำจำกัดความพื้นฐาน) เราได้พิสูจน์แล้วว่าฟังก์ชันนี้คือผลรวมของอนุกรม และอนุกรมมาบรรจบกับฟังก์ชันที่
. ดังนั้น,

.

ให้เราแสดงรายการซีรีส์นี้หลายแบบ กำลังเปลี่ยน เอ็กซ์ บน - เอ็กซ์ , เราได้รับ

เมื่อเปลี่ยน เอ็กซ์ บน
เราได้รับ

ฯลฯ.; ขอบเขตการบรรจบกันของซีรีส์ทั้งหมดนี้เหมือนกัน:
.

2.
.

อนุพันธ์ทั้งหมดของฟังก์ชันนี้ที่จุด เอ็กซ์ =0 มีค่าเท่ากัน
ซีรีย์ก็เลยดูเหมือน

.

พื้นที่บรรจบกันของอนุกรมนี้คือแกนตัวเลขทั้งหมด (ตัวอย่างที่ 6 ของส่วน 18.2.4.3. รัศมีของการบรรจบกัน ช่วงเวลาของการลู่เข้า และขอบเขตของการบรรจบกันของอนุกรมกำลัง) นั่นเป็นเหตุผล
ที่
. ผลก็คือเทอมที่เหลือของสูตรเทย์เลอร์
. ดังนั้นซีรีส์จึงมาบรรจบกันที่
ณ จุดใดก็ได้ เอ็กซ์ .

3.
.

ชุดนี้มาบรรจบกันอย่างแน่นอนที่

และผลรวมของมันเท่ากันจริงๆ
. เทอมที่เหลือของสูตรเทย์เลอร์จะมีรูปแบบ
, ที่ไหน
หรือ
- ฟังก์ชั่นจำกัด และ
(นี่คือคำศัพท์ทั่วไปของการขยายครั้งก่อน)

4.
.

การขยายตัวนี้สามารถรับได้เช่นเดียวกับก่อนหน้านี้โดยการคำนวณอนุพันธ์ตามลำดับ แต่เราจะดำเนินการแตกต่างออกไป ให้เราแยกความแตกต่างของคำศัพท์ชุดก่อนหน้าตามคำศัพท์:

การลู่เข้าหากันของฟังก์ชันบนแกนทั้งหมดตามมาจากทฤษฎีบทเรื่องการหาอนุพันธ์ของอนุกรมกำลังแบบเทอมต่อเทอม

5. พิสูจน์อย่างอิสระว่าบนแกนตัวเลขทั้งหมด, .

6.
.

ซีรีส์สำหรับฟังก์ชันนี้เรียกว่า อนุกรมทวินาม. ที่นี่เราจะคำนวณอนุพันธ์

...ซีรีส์ Maclaurin มีรูปทรง

เรากำลังมองหาช่วงเวลาของการบรรจบกัน ดังนั้น ช่วงเวลาของการบรรจบกันคือ
. เราจะไม่ศึกษาเทอมที่เหลือและพฤติกรรมของอนุกรมเมื่อสิ้นสุดช่วงการบรรจบกัน ปรากฎว่าเมื่อไร
ซีรีส์นี้มาบรรจบกันที่ทั้งสองจุดอย่างแน่นอน
, ที่
ซีรีส์มาบรรจบกันที่จุดหนึ่งอย่างมีเงื่อนไข
และแตกแยกออกไป ณ จุดหนึ่ง
, ที่
แตกแยกทั้งสองจุด

7.
.

ในที่นี้เราจะใช้ข้อเท็จจริงที่ว่า
. เนื่องจาก จากนั้น หลังจากการอินทิเกรตแบบเทอมต่อเทอม

พื้นที่บรรจบกันของซีรีย์นี้คือครึ่งช่วง
การลู่เข้าหากันของฟังก์ชันที่จุดภายในต่อจากทฤษฎีบทเรื่องการอินทิเกรตอนุกรมกำลังทีละเทอม ณ จุดนั้น เอ็กซ์ =1 - จากความต่อเนื่องของทั้งฟังก์ชันและผลรวมของอนุกรมกำลังที่ทุกจุดโดยพลการใกล้กับ เอ็กซ์ =เหลืออยู่ 1 อัน โปรดทราบว่าการสละ เอ็กซ์ =1 เราจะหาผลรวมของอนุกรม

8. เมื่อรวมอนุกรมอนุกรมทีละเทอม เราจะได้ส่วนขยายสำหรับฟังก์ชันนี้
. ทำการคำนวณทั้งหมดด้วยตัวเอง เขียนขอบเขตการบรรจบกัน

9. ให้เราเขียนการขยายฟังก์ชัน
ตามสูตรอนุกรมทวินามด้วย
: . ตัวส่วน
แสดงเป็น , แฟกทอเรียลคู่
หมายถึงผลคูณของจำนวนธรรมชาติทั้งหมดที่มีความเท่าเทียมกันเท่ากัน ไม่เกิน . การขยายตัวมาบรรจบกันที่ฟังก์ชันที่
. การบูรณาการทีละเทอมตั้งแต่ 0 ถึง เอ็กซ์ เราก็จะได้รับ. ปรากฎว่าอนุกรมนี้มาบรรจบกับฟังก์ชันตลอดช่วงเวลา
; ที่ เอ็กซ์ =1 เราได้การแสดงตัวเลขที่สวยงามอีกครั้ง :
.

18.2.6.2. การแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการขยายฟังก์ชันแบบอนุกรมปัญหาส่วนใหญ่ที่คุณต้องขยายฟังก์ชันพื้นฐานเป็นอนุกรมกำลัง
ได้รับการแก้ไขโดยใช้ส่วนขยายมาตรฐาน โชคดีที่ฟังก์ชันพื้นฐานทุกฟังก์ชันมีคุณสมบัติที่ช่วยให้คุณทำเช่นนี้ได้ ลองดูตัวอย่างจำนวนหนึ่ง

1. ขยายฟังก์ชัน
ตามองศา
.

สารละลาย. . ซีรีส์มาบรรจบกันที่
.

2. ขยายฟังก์ชัน
ตามองศา
.

สารละลาย.
. พื้นที่บรรจบกัน:
.

3. ขยายฟังก์ชัน
ตามองศา
.

สารละลาย. . ซีรีส์มาบรรจบกันที่
.

4. ขยายฟังก์ชัน
ตามองศา
.

สารละลาย. . ซีรีส์มาบรรจบกันที่
.

5. ขยายฟังก์ชัน
ตามองศา
.

สารละลาย. . ภูมิภาคบรรจบกัน
.

6. ขยายฟังก์ชัน
ตามองศา
.

สารละลาย. การขยายออกเป็นชุดของเศษส่วนตรรกยะอย่างง่ายของประเภทที่สองนั้นได้มาจากการหาความแตกต่างแบบเทอมต่อเทอมของการขยายเศษส่วนของประเภทแรกที่สอดคล้องกัน ในตัวอย่างนี้ นอกจากนี้ การแยกความแตกต่างแบบทีละเทอมทำให้เราสามารถขยายฟังก์ชันต่างๆ ได้
,
ฯลฯ

7. ขยายฟังก์ชัน
ตามองศา
.

สารละลาย. ถ้าเศษส่วนตรรกยะไม่ใช่เศษส่วนอย่างง่าย ขั้นแรกให้แสดงเป็นผลรวมของเศษส่วนอย่างง่าย:
แล้วดำเนินการตามตัวอย่างที่ 5: โดยที่
.

โดยปกติแล้ว วิธีการนี้ใช้ไม่ได้ เช่น การแยกย่อยฟังก์ชัน ตามองศา เอ็กซ์ . ในที่นี้ถ้าคุณต้องการได้คำศัพท์สองสามเทอมแรกของอนุกรม Taylor วิธีที่ง่ายที่สุดคือการหาค่า ณ จุดนั้น เอ็กซ์ =0 จำนวนอนุพันธ์อันดับแรกที่ต้องการ

จำนวนธรรมชาติทุกจำนวน ยกเว้น 1 จะมีตัวหารตั้งแต่ 2 ตัวขึ้นไป เช่น เลข 7 หารลงตัวด้วย 1 และ 7 เท่านั้น กล่าวคือ มีตัวหาร 2 ตัว และเลข 8 ก็มีตัวหาร 1, 2, 4, 8 เท่ากับตัวหาร 4 ตัวในคราวเดียว

ความแตกต่างระหว่างจำนวนเฉพาะและจำนวนประกอบคืออะไร?

จำนวนที่มีตัวหารมากกว่าสองตัวเรียกว่าจำนวนประกอบ ตัวเลขที่มีตัวหารเพียงสองตัว: หนึ่งและจำนวนเองเรียกว่าจำนวนเฉพาะ

เลข 1 มีเพียง 1 ส่วนเท่านั้น คือ ตัวเลขนั้นเอง หนึ่งไม่ใช่จำนวนเฉพาะหรือจำนวนประกอบ

• เช่น เลข 7 เป็นจำนวนเฉพาะ และเลข 8 เป็นจำนวนประกอบ

เลขเฉพาะ 10 ตัวแรก: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 จำนวน 2 เป็นจำนวนเฉพาะคู่เพียงจำนวนเดียว ส่วนจำนวนเฉพาะอื่นๆ ทั้งหมดเป็นเลขคี่

จำนวน 78 เป็นจำนวนประกอบ เนื่องจากนอกจาก 1 และตัวมันเองแล้ว ยังหารด้วย 2 ลงตัวด้วย เมื่อหารด้วย 2 เราจะได้ 39 นั่นคือ 78 = 2*39 ในกรณีเช่นนี้ พวกเขาบอกว่าจำนวนนั้นถูกแยกตัวประกอบเป็น 2 และ 39

จำนวนประกอบใดๆ สามารถแยกย่อยได้เป็น 2 ตัวประกอบ ซึ่งแต่ละตัวมีค่ามากกว่า 1 เคล็ดลับนี้ใช้ไม่ได้กับจำนวนเฉพาะ ดังนั้นมันไป

แยกตัวประกอบตัวเลขให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ

ตามที่ระบุไว้ข้างต้น จำนวนประกอบใดๆ สามารถแบ่งออกเป็นสองปัจจัยได้ ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณาตัวเลข 210 ตัวเลขนี้สามารถแยกย่อยได้เป็น 2 ตัวประกอบ 21 และ 10 แต่ตัวเลข 21 และ 10 ก็เป็นจำนวนประกอบกันเช่นกัน ลองแยกเป็น 2 ตัวประกอบกัน เราได้ 10 = 2*5, 21=3*7 และส่งผลให้เลข 210 ถูกแบ่งออกเป็น 4 ตัว คือ 2,3,5,7 ตัวเลขเหล่านี้เป็นจำนวนเฉพาะอยู่แล้วและไม่สามารถขยายได้ นั่นคือ เราแยกตัวประกอบของจำนวน 210 ให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ.

เมื่อแยกตัวประกอบจำนวนประกอบให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ มักจะเขียนตามลำดับจากน้อยไปหามาก

ควรจำไว้ว่าจำนวนประกอบใดๆ สามารถแบ่งออกเป็นตัวประกอบเฉพาะได้และด้วยวิธีเฉพาะ ขึ้นอยู่กับการเรียงสับเปลี่ยน

• โดยปกติแล้ว เมื่อแยกตัวเลขออกเป็นปัจจัยเฉพาะ จะใช้เกณฑ์การหารลงตัว

ลองแยกตัวประกอบของ 378 ให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ

เราจะเขียนตัวเลขโดยคั่นด้วยเส้นแนวตั้ง เลข 378 หารด้วย 2 ลงตัว เนื่องจากลงท้ายด้วย 8 เมื่อหารเราจะได้เลข 189 ผลรวมของเลขหลัก 189 หารด้วย 3 ลงตัว ซึ่งหมายความว่าเลข 189 เองหารด้วย 3 ลงตัว ผลลัพธ์ คือ 63

จำนวน 63 ก็หารด้วย 3 ลงตัวเช่นกันตามการหารลงตัว เราได้ 21, 21 หารด้วย 3 ได้อีกครั้ง, เราได้ 7. เจ็ดหารด้วยตัวมันเองเท่านั้น, เราได้หนึ่ง. เป็นอันเสร็จสิ้นการแบ่งส่วน ทางด้านขวาหลังเส้นคือตัวประกอบสำคัญที่ทำให้เลข 378 ถูกสลายไป

378|2
189|3
63|3
21|3

แฟคตอริ่งหมายถึงอะไร? ทำอย่างไร? คุณสามารถเรียนรู้อะไรได้บ้างจากการแยกตัวประกอบตัวเลขให้เป็นปัจจัยเฉพาะ คำตอบสำหรับคำถามเหล่านี้มีภาพประกอบพร้อมตัวอย่างเฉพาะเจาะจง

คำจำกัดความ:

จำนวนที่มีตัวหารต่างกันสองตัวพอดีเรียกว่าจำนวนเฉพาะ

จำนวนที่มีตัวหารมากกว่าสองตัวเรียกว่าจำนวนประกอบ

แยกตัวประกอบจำนวนธรรมชาติหมายถึงการแสดงเป็นผลคูณของจำนวนธรรมชาติ

การแยกตัวประกอบจำนวนธรรมชาติเป็นจำนวนเฉพาะหมายถึงการแสดงเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะ

หมายเหตุ:

• ในการสลายตัวของจำนวนเฉพาะ ตัวประกอบตัวหนึ่งจะเท่ากับตัวหนึ่ง และตัวอีกตัวจะเท่ากับตัวมันเอง
• มันไม่สมเหตุสมผลเลยที่จะพูดถึงการแยกตัวประกอบเอกภาพ
• จำนวนประกอบสามารถแยกตัวประกอบออกเป็นตัวประกอบได้ ซึ่งแต่ละตัวจะแตกต่างจาก 1

	ลองแยกตัวประกอบจำนวน 150 กัน. เช่น 150 คือ 15 คูณ 10 15 เป็นจำนวนประกอบ สามารถแยกตัวประกอบเป็นตัวประกอบเฉพาะของ 5 และ 3 ได้ 10 เป็นจำนวนประกอบ สามารถแยกตัวประกอบเป็นตัวประกอบเฉพาะของ 5 และ 2 ได้ โดยการเขียนการสลายตัวของพวกมันลงในตัวประกอบเฉพาะแทนที่จะเป็น 15 และ 10 เราได้การสลายตัวของจำนวน 150
	จำนวน 150 สามารถแยกตัวประกอบได้ด้วยวิธีอื่น เช่น 150 คือผลคูณของตัวเลข 5 และ 30 5 เป็นจำนวนเฉพาะ 30 เป็นจำนวนประกอบ ถือได้ว่าเป็นผลคูณของ 10 และ 3 10 เป็นจำนวนประกอบ สามารถแยกตัวประกอบเป็นตัวประกอบเฉพาะของ 5 และ 2 ได้ เราได้การแยกตัวประกอบของ 150 เป็นตัวประกอบเฉพาะด้วยวิธีที่ต่างออกไป
	โปรดทราบว่าการขยายครั้งแรกและครั้งที่สองจะเหมือนกัน ต่างกันเพียงลำดับปัจจัยเท่านั้น เป็นเรื่องปกติที่จะต้องเขียนปัจจัยจากน้อยไปหามาก
จำนวนประกอบทุกจำนวนสามารถแยกตัวประกอบให้เป็นตัวประกอบเฉพาะได้ด้วยวิธีที่ไม่ซ้ำกัน ขึ้นอยู่กับลำดับของตัวประกอบ

เมื่อแยกตัวประกอบจำนวนมากให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ ให้ใช้สัญลักษณ์คอลัมน์:

	จำนวนเฉพาะที่น้อยที่สุดที่หารด้วย 216 ลงตัวคือ 2 หาร 216 ด้วย 2 เราได้ 108.
	ผลลัพธ์หมายเลข 108 หารด้วย 2 มาทำการแบ่งกันเถอะ ผลลัพธ์คือ 54
	จากการทดสอบการหารด้วย 2 ลงตัว ตัวเลข 54 หารด้วย 2 ลงตัว หลังจากหารแล้ว เราได้ 27.
	เลข 27 ลงท้ายด้วยเลขคี่ 7 มัน หารด้วย 2 ไม่ลงตัว. จำนวนเฉพาะถัดไปคือ 3. หาร 27 ด้วย 3 เราได้ 9. จำนวนเฉพาะน้อยที่สุด จำนวนที่ 9 หารด้วย 3 ลงตัว สามตัวเป็นจำนวนเฉพาะซึ่งหารด้วยตัวมันเองและหนึ่งลงตัว ลองหาร 3 ด้วยตัวเอง. ในที่สุดเราก็ได้ที่ 1

• ตัวเลขจะหารด้วยจำนวนเฉพาะที่เป็นส่วนหนึ่งของการสลายตัวเท่านั้น
• ตัวเลขจะหารได้เฉพาะจำนวนประกอบที่มีการสลายตัวเป็นตัวประกอบเฉพาะอยู่ในนั้นเท่านั้น

ลองดูตัวอย่าง:

	4900 หารด้วยจำนวนเฉพาะ 2, 5 และ 7 ลงตัว (รวมอยู่ในส่วนขยายของจำนวน 4900) แต่หารด้วย 13 ไม่ได้ เช่น
	11 550 75 ที่เป็นเช่นนี้เพราะว่าการสลายตัวของเลข 75 นั้นมีอยู่ในการสลายตัวของเลข 11550 อย่างสมบูรณ์ ผลลัพธ์ของการหารจะเป็นผลคูณของตัวประกอบ 2, 7 และ 11 11550 หารด้วย 4 ไม่ลงตัว เนื่องจากมี 2 เพิ่มเติมในส่วนขยายของ 4

ค้นหาผลหารของการหารตัวเลข a ด้วยจำนวน b หากตัวเลขเหล่านี้ถูกแยกย่อยเป็นตัวประกอบเฉพาะดังนี้: a=2∙2∙2∙3∙3∙3∙5∙5∙19; ข=2∙2∙3∙3∙5∙19

	การสลายตัวของเลข b มีอยู่ในการสลายตัวของเลข a โดยสมบูรณ์
	ผลลัพธ์ของการหาร a ด้วย b คือผลคูณของตัวเลขสามตัวที่เหลืออยู่ในส่วนขยายของ a ดังนั้นคำตอบคือ: 30.

บรรณานุกรม

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburgd S.I. คณิตศาสตร์ 6. - อ.: Mnemosyne, 2012.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. คณิตศาสตร์ ป.6. - โรงยิม. 2549.
3. เดปแมน ไอ.ยา., วิเลนคิน เอ็น.ยา. ด้านหลังหน้าหนังสือเรียนคณิตศาสตร์ - อ.: การศึกษา, 2532.
4. Ruukin A.N., Tchaikovsky I.V. งานมอบหมายสำหรับหลักสูตรคณิตศาสตร์สำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 5-6 - อ.: ZSh MEPhI, 2011.
5. Ruukin A.N., Sochilov S.V., Tchaikovsky K.G. คณิตศาสตร์ 5-6 คู่มือสำหรับนักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 ของโรงเรียนโต้ตอบ MEPhI - อ.: ZSh MEPhI, 2011.
6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. คณิตศาสตร์: ตำราเรียนคู่สนทนาสำหรับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5-6 - อ.: ศึกษาศาสตร์, ห้องสมุดครูคณิตศาสตร์, 2532.

1. พอร์ทัลอินเทอร์เน็ต Matematika-na.ru ()
2. พอร์ทัลอินเทอร์เน็ต Math-portal.ru ()

การบ้าน

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburgd S.I. คณิตศาสตร์ 6. - อ.: Mnemosyne, 2012. ลำดับที่ 127, ลำดับที่ 129, ลำดับที่ 141.
2. งานอื่นๆ: หมายเลข 133, หมายเลข 144