ระบบพิกัดสี่เหลี่ยม ระบบพิกัดสี่เหลี่ยมบนระนาบ

ระบบพิกัดสี่เหลี่ยมบนระนาบถูกกำหนดโดยเส้นตั้งฉากสองเส้น เส้นตรงเรียกว่าแกนพิกัด (หรือแกนพิกัด) จุดตัดของเส้นเหล่านี้เรียกว่าจุดกำเนิดและเขียนแทนด้วยตัวอักษร O

โดยปกติเส้นหนึ่งจะเป็นแนวนอน อีกเส้นเป็นแนวตั้ง เส้นแนวนอนถูกกำหนดให้เป็นแกน x (หรือ Ox) และเรียกว่าแกน abscissa เส้นแนวตั้งคือแกน y (Oy) เรียกว่าแกนประสาน ระบบพิกัดทั้งหมดแสดงโดย xOy

จุด O แบ่งแต่ละแกนออกเป็นสองแกน อันหนึ่งถือเป็นค่าบวก (แสดงด้วยลูกศร) อีกอันถือเป็นค่าลบ

แต่ละจุด F ของระนาบถูกกำหนดให้เป็นคู่ของตัวเลข (x;y) — พิกัดของมัน

พิกัด x เรียกว่า abscissa เท่ากับวัวที่ถ่ายด้วยเครื่องหมายที่สอดคล้องกัน

พิกัด y เรียกว่า พิกัด และเท่ากับระยะทางจากจุด F ถึงแกน Oy (พร้อมเครื่องหมายที่สอดคล้องกัน)

ระยะเพลามักจะวัด (แต่ไม่เสมอไป) ในหน่วยความยาวเดียวกัน

จุดทางด้านขวาของแกน y มี abscissas เป็นบวก สำหรับจุดที่อยู่ทางซ้ายของแกน y abscissas จะเป็นค่าลบ สำหรับจุดใดๆ ที่วางอยู่บนแกน Oy พิกัด x ของมันจะเท่ากับศูนย์

จุดที่มีพิกัดบวกอยู่เหนือแกน x จุดที่มีพิกัดเชิงลบจะอยู่ด้านล่าง หากจุดอยู่บนแกน x พิกัด y ของมันจะเป็นศูนย์

แกนพิกัดแบ่งระนาบออกเป็นสี่ส่วน ซึ่งเรียกว่าส่วนพิกัด (หรือพิกัดมุมหรือจตุภาค)

1 พิกัดอยู่ที่มุมขวาบนของระนาบพิกัด xOy พิกัดทั้งสองของจุดที่ตั้งอยู่ในไตรมาส I เป็นค่าบวก

การเปลี่ยนจากไตรมาสหนึ่งไปอีกไตรมาสหนึ่งจะดำเนินการทวนเข็มนาฬิกา

ไตรมาสที่ 2อยู่ที่มุมซ้ายบน คะแนนที่อยู่ในไตรมาสที่สองมี abscissa ลบและลำดับบวก

ไตรมาสที่ 3อยู่ในจตุภาคล่างซ้ายของระนาบ xOy พิกัดทั้งสองของจุดที่เป็นของมุมพิกัด III เป็นค่าลบ

พิกัดที่ 4คือมุมขวาล่างของระนาบพิกัด จุดใดๆ จากไตรมาสที่สี่มีพิกัดแรกเป็นบวกและจุดที่สองเป็นลบ

ตัวอย่างตำแหน่งของจุดในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม:

1. ระบบพิกัดสี่เหลี่ยมบนระนาบ

ระบบพิกัดสี่เหลี่ยมบนระนาบประกอบด้วยแกนพิกัดตั้งฉากซึ่งกันและกัน X"Xและ Y"Y อู๋ซึ่งเรียกว่าจุดกำเนิดแต่ละแกนมีทิศทางเป็นบวก ที่ มือขวาระบบพิกัดเลือกทิศทางบวกของแกนเพื่อให้มีทิศทางของแกน Y"Yขึ้น axis X"Xมองไปทางขวา

สี่มุม (I, II, III, IV) ที่เกิดจากแกนพิกัด X"Xและ Y"Yเรียกว่ามุมพิกัดหรือจตุภาค (ดูรูปที่ 1)

ตำแหน่งจุด อาบนเครื่องบินถูกกำหนดโดยสองพิกัด xและ y. ประสานงาน xเท่ากับความยาวของเซกเมนต์ OB,ประสานงาน y- ความยาวส่วน OCในหน่วยวัดที่เลือก กลุ่ม OBและ OCกำหนดโดยเส้นที่ลากจากจุด อาขนานกับแกน Y"Yและ X"Xตามลำดับ ประสานงาน xเรียกว่า abscissaคะแนน อา,ประสานงาน y - ประสานงานคะแนน อา. เขียนแบบนี้: A x, y)

ถ้าชี้ อาอยู่ในมุมพิกัด I จากนั้นจุด อามี abscissa บวกและบวช ถ้าชี้ อาอยู่ในมุมพิกัด II จากนั้นจุด อามี abscissa เชิงลบและลำดับบวก ถ้าชี้ อาอยู่ในมุมพิกัด III จากนั้นจุด อามี abscissa และ ordinate เชิงลบ ถ้าชี้ อาอยู่ในมุมพิกัด IV จากนั้นจุด อามี abscissa บวกและลบ

2. พิกัดเชิงขั้ว.

กริดโพลาร์ที่มีหลายมุมทำเครื่องหมายเป็นองศา

ระบบพิกัดเชิงขั้ว- ระบบพิกัดสองมิติซึ่งแต่ละจุดบนระนาบถูกกำหนดโดยตัวเลขสองตัว - มุมและระยะทาง ระบบพิกัดเชิงขั้วมีประโยชน์อย่างยิ่งเมื่อความสัมพันธ์ระหว่างจุดต่าง ๆ นั้นง่ายต่อการแสดงเป็นระยะทางและมุม ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนหรือระบบพิกัดคาร์ทีเซียนทั่วไป ความสัมพันธ์ดังกล่าวสามารถสร้างได้โดยใช้สมการตรีโกณมิติเท่านั้น

ระบบพิกัดเชิงขั้วถูกกำหนดโดยรังสีซึ่งเรียกว่าแกนศูนย์หรือแกนเชิงขั้ว จุดที่รังสีนี้โผล่ออกมาเรียกว่าจุดกำเนิดหรือขั้ว จุดใดๆ บนระนาบถูกกำหนดโดยพิกัดสองขั้ว: รัศมีและเชิงมุม พิกัดเรเดียล (มักเขียนแทน r) สอดคล้องกับระยะทางจากจุดไปยังจุดกำเนิด พิกัดเชิงมุมเรียกอีกอย่างว่ามุมขั้วหรือมุมแอซิมัทและแสดงด้วย φ เท่ากับมุมที่แกนเชิงขั้วต้องหมุนทวนเข็มนาฬิกาเพื่อไปยังจุดนั้น

พิกัดแนวรัศมีที่กำหนดด้วยวิธีนี้สามารถรับค่าจากศูนย์ถึงอนันต์ และพิกัดเชิงมุมจะแปรผันจาก 0 °ถึง 360 ° อย่างไรก็ตาม เพื่อความสะดวก ช่วงของค่าพิกัดเชิงขั้วสามารถขยายเกินมุมเต็ม และยังอนุญาตให้ใช้ค่าลบซึ่งสอดคล้องกับการหมุนของแกนขั้วโลกตามเข็มนาฬิกา

3. การแบ่งส่วนในส่วนนี้

จำเป็นต้องแบ่งส่วน AB ที่เชื่อมต่อจุด A(x1;y1) และ B(x2;y2) ในอัตราส่วนที่กำหนด λ > 0, เช่น.jpg" align="left" width="84 height=84" height =" 84">

วิธีการแก้: มาแนะนำเวกเตอร์กัน https://pandia.ru/text/78/214/images/image006_41.gif" width="18" height="13 src=">..gif" width="79" height=" 15 src="> เช่น และ i.e..

สมการ (9.1) อยู่ในรูป

ระบุว่า เวกเตอร์ที่เท่ากันมีพิกัดเท่ากัน เราได้รับ:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image014_27.gif" width="56 height=28" height="28"> (9.2) และ

https://pandia.ru/text/78/214/images/image016_26.gif" width="60 height=29" height="29"> (9.3)

สูตร (9.2) และ (9.3) เรียกว่า สูตรการแบ่งส่วนในส่วนนี้. โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สำหรับ λ = 1 คือ i.e..gif" width="54" height="29 src="> ในกรณีนี้ จุด M(x;y) คือ ตรงกลางของส่วนเอบี.

ความคิดเห็น:

ถ้า λ = 0 แสดงว่าจุด A และ M ตรงกันถ้า λ< 0, то точка Μ лежит вне отрезка АВ - говорят, что точка M делит отрезок АВ внешним образом , т. к. в противном случае , т. е. AM + MB = 0, т. е. АВ = 0).

4. ระยะห่างระหว่างจุด

จำเป็นต้องหาระยะห่าง d ระหว่างจุด A(x1;y1) และ B(x2;y2) ของระนาบ

วิธีการแก้: ระยะทางที่ต้องการ d เท่ากับความยาวของเวกเตอร์ นั่นคือ

5. สมการของเส้นตรงที่ลากผ่านจุดสองจุด

หากจุดใดก็ได้ M1(x1, y1, z1) และ M2(x2, y2, z2) ทำเครื่องหมายบนเส้นตรงในช่องว่าง พิกัดของจุดเหล่านี้จะต้องเป็นไปตามสมการของเส้นตรงที่ได้รับข้างต้น:

.

นอกจากนี้ สำหรับจุด M1 เราสามารถเขียนได้ว่า:

.

การแก้สมการเหล่านี้เข้าด้วยกัน เราจะได้:

.

นี่คือสมการของเส้นตรงที่ลากผ่านจุดสองจุดในอวกาศ

6. ตัวกำหนดลำดับที่ 2

ค่าของดีเทอร์มีแนนต์ลำดับที่ 2 คำนวณได้ง่ายโดยใช้คำนิยามโดยใช้สูตร

7. ตัวกำหนดลำดับที่ 3

https://pandia.ru/text/78/214/images/image030_15.gif" width="120" height="61 src="> รูปแบบการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์โดยใช้วิธีสามเหลี่ยมเช่น:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image034_15.gif" width="72" height="51 src=">DIV_ADBLOCK251">

9. การแก้ปัญหา SLEE โดยวิธีของแครมเมอร์

ทฤษฎีบทของแครมเมอร์: ระบบของสมการ N ที่มี N ไม่ทราบค่า ซึ่งดีเทอร์มีแนนต์แตกต่างจากศูนย์จะมีคำตอบเสมอ ยิ่งกว่านั้น มีเอกลักษณ์เฉพาะ พบว่าค่าของนิรนามแต่ละตัวมีค่าเท่ากับเศษส่วน ตัวส่วนซึ่งเป็นตัวกำหนดของระบบ และตัวเศษได้มาจากดีเทอร์มีแนนต์ของระบบโดยแทนที่คอลัมน์ของสัมประสิทธิ์ใน สิ่งนิรนามที่ไม่รู้จักพร้อมคอลัมน์ของเงื่อนไขที่กำหนด

ระบบสมการนี้จะมีคำตอบเฉพาะเมื่อดีเทอร์มีแนนต์ประกอบด้วยสัมประสิทธิ์ที่ X1 - n ไม่เท่ากับศูนย์ ลองแทนดีเทอร์มีนต์นี้ด้วยเครื่องหมาย - Δ หากดีเทอร์มีแนนต์นี้ไม่เท่ากับศูนย์ เราก็ตัดสินใจต่อไป จากนั้นแต่ละ Xi = Δi / Δ โดยที่ Δi เป็นดีเทอร์มีแนนต์ที่ประกอบด้วยสัมประสิทธิ์ที่ X1 - n เฉพาะค่าของสัมประสิทธิ์ในคอลัมน์ i -th เท่านั้นที่จะถูกแทนที่ด้วยค่าที่อยู่เบื้องหลังเครื่องหมายเท่ากับในระบบของ สมการ และ Δ เป็นดีเทอร์มีแนนต์หลัก

ระบบคำสั่งที่ N https://pandia.ru/text/78/214/images/image037_14.gif" width="112" height="46"> .gif" width="79" height="46">.gif" width="264" height="48">.gif" width="120" height="29">DIV_ADBLOCK252">

10. การแก้ปัญหา SLE โดยวิธีเมทริกซ์

เมทริกซ์ทำให้สามารถเขียนระบบสมการเชิงเส้นสั้น ๆ ได้ ให้ระบบ 3 สมการที่มีสามไม่ทราบค่า:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image046_13.gif" width="75" height="41"> และคอลัมน์เมทริกซ์ของสมาชิกที่ไม่รู้จักและฟรี

มาหาสินค้ากัน

https://pandia.ru/text/78/214/images/image049_13.gif" width="108" height="41"> หรือสั้นกว่า อา∙X=B.

ที่นี่ เมทริกซ์ อาและ บีเป็นที่รู้จักและเมทริกซ์ Xไม่ทราบ จะต้องพบเนื่องจากองค์ประกอบของมันคือการแก้ปัญหาของระบบนี้ สมการนี้เรียกว่า สมการเมทริกซ์.

ให้ดีเทอร์มีแนนต์เมทริกซ์แตกต่างจากศูนย์ | อา| ≠ 0 จากนั้นสมการเมทริกซ์จะได้รับการแก้ไขดังนี้ คูณทั้งสองข้างของสมการทางด้านซ้ายด้วยเมทริกซ์ A-1, ผกผันของเมทริกซ์ อา: https://pandia.ru/text/78/214/images/image051_13.gif" width="168" height="59">

แก้ระบบสมการต่อไปนี้ด้วยวิธีเมทริกซ์:

ข้อควรสนใจ: ค่าศูนย์จะปรากฏขึ้นหากไม่มีตัวแปรใดตัวแปรหนึ่ง เช่น หากไม่ได้ระบุ X3 ในเงื่อนไข ค่านั้นจะเท่ากับศูนย์โดยอัตโนมัติ เช่นเดียวกับ X1 และ X2

https://pandia.ru/text/78/214/images/image057_9.gif" width="56 height=54" height="54">

https://pandia.ru/text/78/214/images/image065_8.gif" width="160 height=51" height="51">

ตอบ:

# ก) ให้:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image074_5.gif" width="59 height=16" height="16"> ตอบ:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image081_5.gif" width="106" height="50 src=">

ลองหาเมทริกซ์ผกผันกัน

ลบแถวที่ 1 จากแถวด้านล่างทั้งหมด การดำเนินการนี้ไม่ขัดแย้งกับการแปลงเมทริกซ์เบื้องต้น

https://pandia.ru/text/78/214/images/image083_4.gif" width="172" height="52 src=">

ลบแถวที่ 3 จากแถวด้านบนทั้งหมด การดำเนินการนี้ไม่ขัดแย้งกับการแปลงเมทริกซ์เบื้องต้น

https://pandia.ru/text/78/214/images/image085_5.gif" width="187" height="53 src=">

เรานำสัมประสิทธิ์ทั้งหมดบนเส้นทแยงมุมหลักของเมทริกซ์เป็น 1 แบ่งแต่ละแถวของเมทริกซ์ด้วยสัมประสิทธิ์ของแถวนี้ที่อยู่บนเส้นทแยงมุมหลัก หากไม่เท่ากับ 1 เมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัสซึ่งกลายเป็น ด้านขวาของเมทริกซ์หน่วย เป็นส่วนผกผันของหน่วยหลัก

https://pandia.ru/text/78/214/images/image087_4.gif" width="172" height="52 src=">

11. เวกเตอร์ การบวกเวกเตอร์

http://www. บิ๊กปี้ *****/encicl/articles/15/1001553/1001553A. htm

เวกเตอร์ เรียกปริมาณที่กำหนดโดยค่าตัวเลข ทิศทางในอวกาศ และพัฒนาด้วยค่าทางเรขาคณิตที่คล้ายกันอีกตัวหนึ่ง.

ในเชิงกราฟิก เวกเตอร์จะแสดงเป็นส่วนของเส้นตรงกำกับที่มีความยาวที่แน่นอน เช่น https://pandia.ru/text/78/214/images/image089_5.gif" width="17" height="17 src="> หรือ DIV_ADBLOCK254">

การเพิ่มเวกเตอร์:ผลรวมของเวกเตอร์ a(a1; a2) และ b(b1; b2) คือเวกเตอร์ c(a1+b1; a2+b2) สำหรับเวกเตอร์ใดๆ a(a1; a2), b(b1; b2), c(c1; c2) ความเท่าเทียมกันเป็นจริง:

ทฤษฎีบท: ไม่ว่าจุดสามจุด A, B และ C คืออะไร ความเท่าเทียมกันของเวกเตอร์จะคงอยู่

เมื่อเพิ่ม สองเวกเตอร์มักใช้สิ่งที่เรียกว่า " กฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน". ในกรณีนี้ สี่เหลี่ยมด้านขนานถูกสร้างขึ้นโดยใช้เงื่อนไขของเวกเตอร์เป็นด้านประชิด เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานซึ่งดึงมาจากจุดที่จุดเริ่มต้นของเวกเตอร์เชื่อมต่อกันคือผลรวมที่ต้องการ (รูปที่ 4 ซ้าย)

สังเกตได้ง่าย (รูปที่ 4 ทางขวา) ว่ากฎนี้นำไปสู่ผลลัพธ์เดียวกันกับวิธีการข้างต้น เมื่อเพิ่มเวกเตอร์มากกว่าสองตัว " กฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน» แทบไม่ได้ใช้งานเนื่องจากโครงสร้างที่ยุ่งยาก การบวกเวกเตอร์เป็นการสับเปลี่ยน นั่นคือ
เอ + ข = ข + เอ.

และผลรวมของเวกเตอร์จำนวนหนึ่งไม่ได้ขึ้นอยู่กับลำดับที่พวกมันถูกเพิ่มเข้าไป นั่นคือ ( เอ + ข) + d = เอ + (ข + d). ในกรณีนี้ เราบอกว่าการบวกเวกเตอร์เป็นการเชื่อมโยง นั่นคือ กฎการเชื่อมโยงมีไว้เพื่อมัน

12. ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์

http://www. ดีพีวีเอ info/Guide/GuideMathematics/linearAlgebra/ScalarVectorsMultiplication/

ผลคูณดอทของเวกเตอร์คือการดำเนินการกับเวกเตอร์สองตัวที่ให้ผลลัพธ์เป็นตัวเลข (ไม่ใช่เวกเตอร์)

https://pandia.ru/text/78/214/images/image097_5.gif" width="86" height="23">

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์เท่ากับผลคูณของความยาวของเวกเตอร์เหล่านี้และโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน ควรสังเกตว่ามุมระหว่างเวกเตอร์สองตัวคือมุมที่สร้างขึ้นหากเลื่อนจากจุดหนึ่งนั่นคือจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์จะต้องตรงกัน

คุณสมบัติอย่างง่ายต่อไปนี้ติดตามโดยตรงจากคำจำกัดความ:

1. ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ที่กำหนด a และตัวมันเอง (กำลังสองสเกลาร์ของเวกเตอร์ a) ไม่เป็นลบเสมอ, และเท่ากับกำลังสองของความยาวของเวกเตอร์นี้ ยิ่งไปกว่านั้น สเกลาร์สแควร์ของเวกเตอร์จะเท่ากับศูนย์ก็ต่อเมื่อเวกเตอร์ที่กำหนดเป็นศูนย์

2. ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ตั้งฉาก a และ b เท่ากับศูนย์

3. ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์สองตัวมีค่าเท่ากับศูนย์ก็ต่อเมื่อพวกมันตั้งฉากหรืออย่างน้อยหนึ่งตัวเป็นศูนย์

4. ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์สองตัว a และ b เป็นบวกก็ต่อเมื่อมีมุมแหลมระหว่างพวกมัน

5. ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์สองตัว a และ b เป็นลบก็ต่อเมื่อมีมุมป้านระหว่างพวกมัน

นิยามทางเลือกของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ หรือการคำนวณผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์สองตัวที่กำหนดโดยพิกัดของพวกมัน

(การคำนวณพิกัดของเวกเตอร์นั้นง่ายมากเมื่อพิจารณาจากพิกัดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด:

ให้มีเวกเตอร์ AB, A - จุดเริ่มต้นของเวกเตอร์, B - จุดสิ้นสุดและพิกัดของจุดเหล่านี้

A=(a1,a2,a3), B=(b1,b2,b3)

จากนั้นพิกัดของเวกเตอร์ AB:

AB=(b1-a1, b2-a2, b3-a3) .

ในทำนองเดียวกันในพื้นที่สองมิติ - ไม่มีพิกัดที่สาม)

ดังนั้น ให้เวกเตอร์สองตัวที่กำหนดโดยชุดพิกัดของพวกมัน:

ก) ในพื้นที่สองมิติ (บนระนาบ)..gif" width="49" height="19 src=">

จากนั้นผลคูณของสเกลาร์สามารถคำนวณได้โดยสูตร:

b) ในพื้นที่สามมิติ: ;

คล้ายกับกรณีสองมิติ ผลิตภัณฑ์สเกลาร์คำนวณโดยสูตร:

DIV_ADBLOCK257">

สมมติว่าเรามีเวกเตอร์สองเวกเตอร์: https://pandia.ru/text/78/214/images/image104_4.gif" width="73" height="23 src=">

และเราต้องหามุมระหว่างพวกมัน เราใช้พิกัดเพื่อหาความยาวของมัน จากนั้นเราก็เทียบสูตรสองสูตรสำหรับดอทโปรดัค ดังนั้นเราจึงได้โคไซน์ของมุมที่ต้องการ

ความยาวเวกเตอร์ เอคำนวณเป็นรากของสเกลาร์สแควร์ของเวกเตอร์ เอซึ่งเราจะคำนวณโดยสูตรสำหรับผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ที่กำหนดโดยพิกัด:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image107_3.gif" width="365" height="23">

วิธี, ,

จะพบมุมที่ต้องการ

13. ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์

http://www. ดีพีวีเอ info/Guide/GuideMathematics/linearAlgebra/vectorVectorsMultiplication/

ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์สองตัว a และ bคือการดำเนินการกับพวกเขาซึ่งกำหนดไว้เฉพาะในพื้นที่สามมิติซึ่งผลลัพธ์ที่ได้คือ เวกเตอร์ด้วยคุณสมบัติดังต่อไปนี้

https://pandia.ru/text/78/214/images/image111_3.gif" width="83" height="27"> โดยที่ เอและ ข.

3) เวกเตอร์มีทิศทางในลักษณะที่หากคุณนำเวกเตอร์ https://pandia.ru/text/78/214/images/image117_3.gif" width="13" height="24 src="> gif" width=" 13" height="24"> ก่อนที่เวกเตอร์จะเป็นทวนเข็มนาฬิกา

เพื่อความชัดเจนยิ่งขึ้น เราได้ยกตัวอย่าง - ในรูปทางขวา เวกเตอร์คือผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ a และ b ตามที่ระบุไว้ในคำจำกัดความ เรานำเวกเตอร์ทั้งสามมาสู่จุดเริ่มต้นทั่วไป จากนั้น หากคุณดูที่เวกเตอร์ a และ b จากจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ การเลี้ยวที่สั้นที่สุดจากเวกเตอร์ a ไปยังเวกเตอร์ b จะเป็นทวนเข็มนาฬิกา

https://pandia.ru/text/78/214/images/image119_3.gif" width="76" height="25">

นอกจากนี้โดยตรงจากคำจำกัดความตามว่าสำหรับปัจจัยสเกลาร์ k (ตัวเลข) ใด ๆ สิ่งต่อไปนี้เป็นจริง:

det A https://pandia.ru/text/78/214/images/image182_2.gif" width="56 height=32" height="32">

7.2 การหาดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ของลำดับที่ 3 โดยกฎของรูปสามเหลี่ยม

DIV_ADBLOCK261">

แต่ละองค์ประกอบของเมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัส (ซึ่งมีลำดับมากกว่าหรือเท่ากับสาม) สามารถกำหนดตัวเลขสองตัวได้ เรียกว่า MINOR หรือ ALGEBRAIC COMPLEMENT ส่วนรองขององค์ประกอบ Aij ของตาราง Matrix A (ในลำดับใดๆ) คือ DETERMINANT ของ MATRIX ซึ่งได้มาจาก Matrix A โดยการลบแถวและคอลัมน์ที่จุดตัดขององค์ประกอบ Aij ลงชื่อ M - การกำหนดเล็กน้อย

https://pandia.ru/text/78/214/images/image034_15.gif" width="72" height="51 src=">.gif" width="35" height="19">

https://pandia.ru/text/78/214/images/image194_1.gif" width="96 height=82" height="82">

ELEMENTS

ส่วนน้อย

พีชคณิตเสริม

ให้ A \u003d เมทริกซ์บางตัวของลำดับ III แล้วดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ A เท่ากับ:

หมายเหตุ: ดีเทอร์มีแนนต์สามารถคำนวณได้เหนือองค์ประกอบ ใดๆสตริงหรือ ใดๆคอลัมน์ของเมทริกซ์นี้

# ค้นหาดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์โดยองค์ประกอบของแถวแรกและคอลัมน์แรก:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image201_0.gif" width="58" height="56 src=">

https://pandia.ru/text/78/214/images/image203_0.gif" width="253" height="34 src=">

7.3 ดีเทอร์มีแนนต์เมทริกซ์ลำดับที่ n

ให้ A เป็นเมทริกซ์กำลังสองของคำสั่ง n จากนั้น ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ของลำดับที่ n จะมีลักษณะดังนี้:

การขยายองค์ประกอบของ 1 แถวเพื่อค้นหาองค์ประกอบของเมทริกซ์ A

DIV_ADBLOCK262">

2) a12=0*(2*0*1+1*0*0+1*2*0)-0*(0*0*0+1*1*1+2*0*2)=0

3) a13=2*(2*2*1+1*1*0+0*0*2)-2*(0*2*0+1*0*1+2*2*1)=0

4) a14=-1*(2*2*0+1*1*1+0*0*0)-1*(1*2*0+1*0*0+2*1*0)=- หนึ่ง

6. คุณสมบัติหลักของตัวกำหนด

1. ดีเทอร์มิแนนต์จะไม่เปลี่ยนแปลงหากแถวของมันถูกสับเปลี่ยนกับคอลัมน์ที่เกี่ยวข้อง (ทรานสโพส)

2. เมื่อทำการเรียงสับเปลี่ยนสองแถวหรือคอลัมน์ คำจำกัดความจะเปลี่ยนเครื่องหมายไปทางตรงกันข้าม

3. ปัจจัยร่วมขององค์ประกอบทั้งหมดของแถว (คอลัมน์) สามารถนำออกจากเครื่องหมายของดีเทอร์มีแนนต์

4. ดีเทอร์มีแนนต์ที่มีแถวหรือคอลัมน์เหมือนกันสองแถวจะเป็นศูนย์เสมอ

5. หากองค์ประกอบของสองแถว (คอลัมน์) ของดีเทอร์มีแนนต์เป็นสัดส่วน ดีเทอร์มีแนนต์จะเท่ากับศูนย์

6. ถ้าในบางแถวหรือคอลัมน์ของดีเทอร์มีแนนต์ ตามลำดับ องค์ประกอบของแถวหรือคอลัมน์อื่นถูกเพิ่ม คูณด้วยตัวเลขเดียวกัน ดีเทอร์มีแนนต์จะไม่เปลี่ยนค่าของมัน

https://pandia.ru/text/78/214/images/image208_0.gif" width="48" height="12"> เป็นต้น

ดีเทอร์มีแนนต์สามเหลี่ยม- นี่คือดีเทอร์มีแนนต์ที่องค์ประกอบทั้งหมดที่อยู่ด้านบน (หรือด้านล่าง) เส้นทแยงมุมหลักเป็นศูนย์ เท่ากับผลคูณขององค์ประกอบของเส้นทแยงมุมหลัก

https://pandia.ru/text/78/214/images/image210_0.gif" width="37" height="28 src=">DIV_ADBLOCK263">

หากมีเมทริกซ์ผกผัน A เมทริกซ์จะเรียกว่า INVERSIBLEการหาเมทริกซ์กำลังสองมีความสำคัญอย่างยิ่งในการแก้สมการเชิงเส้นเชิงระบบ

17. เมทริกซ์ผกผัน

http://www. ช่วย *****/book1/เมทริกซ์. htm

1. ค้นหาดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ A

2. ค้นหาส่วนประกอบพีชคณิตขององค์ประกอบทั้งหมดของเมทริกซ์ A (Aij) และจดเมทริกซ์ใหม่

3. ย้ายเมทริกซ์ใหม่

4. คูณเมทริกซ์ทรานสโพสด้วยส่วนกลับของดีเทอร์มีแนนต์ (ตัวอย่างเช่น ถึงเลข 6 ดีเทอร์มีแนนต์ผกผันจะเป็นตัวเลข)

แสดงว่า ∆ =det A. เพื่อให้เมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัส A มีค่าผกผัน จำเป็นและเพียงพอที่เมทริกซ์จะไม่เสื่อมสภาพ (นอกเหนือจากศูนย์) อินเวอร์สของเมทริกซ์ A ถูกแทนด้วย A-1 ดังนั้น B = A-1..gif" width="12" height="19 src=">.gif" width="82" height="34 src= " > - ตัวประกอบการทำให้เป็นมาตรฐานของระนาบซึ่งเครื่องหมายถูกเลือกตรงข้ามกับเครื่องหมาย ดี, ถ้าโดยพลการ, if D=0.

21. เส้นโค้งที่ 2 (สมการวงกลม)

คำจำกัดความ 11.1.เส้นโค้งของลำดับที่สองบนระนาบเรียกว่าเส้นตัดของกรวยทรงกลมที่มีระนาบที่ไม่ผ่านด้านบน

หากระนาบดังกล่าวตัดกันเครื่องกำเนิดทั้งหมดของกรวยหนึ่งช่องจากนั้นในส่วนที่ปรากฎ วงรีที่จุดตัดของเครื่องกำเนิดไฟฟ้าของทั้งสองช่อง - ไฮเปอร์โบลาและถ้าระนาบการตัดขนานกับ generatrix ใด ๆ ส่วนของกรวยจะเป็น พาราโบลา.

ความคิดเห็น เส้นโค้งทั้งหมดของลำดับที่สองถูกกำหนดโดยสมการของดีกรีที่สองในสองตัวแปร

การจำแนกเส้นโค้งของลำดับที่สอง

เส้นโค้งที่ไม่เสื่อมสภาพ

ไม่เสื่อมสภาพหากตัวเลือกต่อไปนี้อาจเกิดขึ้น:

เส้นโค้งที่ไม่เสื่อมสภาพลำดับที่สองเรียกว่าศูนย์กลาง if

วงรี - มีให้ ดี> 0 และ ∆ ฉัน < 0;

กรณีพิเศษของวงรี - วงกลม - จัดให้ ฉัน 2 = 4ดีหรือ เอ 11 = เอ 22,เอ 12 = 0;

วงรีจินตภาพ (ไม่มีจุดจริง) - ขึ้นอยู่กับΔ ฉัน > 0;

อติพจน์ - ขึ้นอยู่กับ ดี < 0;

เส้นโค้งที่ไม่เสื่อมของลำดับที่สองเรียกว่าไม่อยู่ตรงกลางถ้า Δ ฉัน = 0

พาราโบลา - ขึ้นอยู่กับ ดี = 0.

เส้นโค้งเสื่อม:เส้นโค้งลำดับที่สองเรียกว่า เสื่อมโทรมถ้า Δ = 0 ตัวเลือกต่อไปนี้อาจเกิดขึ้น:

จุดจริงที่จุดตัดของเส้นจินตภาพสองเส้น (วงรีเสื่อม) - มีให้ ดี > 0;

เส้นตัดกันจริงคู่หนึ่ง (ไฮเปอร์โบลาเสื่อมสภาพ) - ภายใต้เงื่อนไข ดี < 0;

พาราโบลาเสื่อม - จัดให้ ดี = 0:

เส้นคู่ขนานจริง - จัดให้ บี < 0;

หนึ่งเส้นจริง (สองเส้นคู่ขนานที่รวมกัน) - จัดเตรียมไว้ บี = 0;

เส้นคู่ขนานจินตภาพคู่หนึ่ง (ไม่ใช่จุดจริงเพียงจุดเดียว) - มีให้ บี > 0.

22. วงรีและสมการของมัน

คำจำกัดความ 11.2วงรีคือเซตของจุดบนระนาบซึ่งผลรวมของระยะทางถึงจุดคงที่สองจุด F 1 และ Fเครื่องบิน 2 ลำนี้เรียกว่า เคล็ดลับ, เป็นค่าคงที่

ความคิดเห็น เมื่อแต้มตรงกัน F 1 และ F 2 วงรีจะกลายเป็นวงกลม

อาจารย์ใหญ่ ดิวงรีที่สอดคล้องกับโฟกัส fiเรียกว่าเส้นตรงอยู่ในระนาบเดียวกันกับ fiเกี่ยวกับแกน OUตั้งฉากกับแกน โอ้ระยะทาง a/eจากแหล่งกำเนิด

ความคิดเห็น ด้วยทางเลือกของระบบพิกัดที่แตกต่างกัน วงรีไม่สามารถให้ได้โดยสมการบัญญัติ (11.1) แต่โดยสมการดีกรีที่สองของชนิดที่ต่างกัน

คุณสมบัติของวงรี:

1) วงรีมีแกนสมมาตรตั้งฉากกันสองแกน (แกนหลักของวงรี) และจุดศูนย์กลางสมมาตร (ศูนย์กลางของวงรี) หากวงรีถูกกำหนดโดยสมการบัญญัติ แกนหลักของมันคือแกนพิกัด และจุดศูนย์กลางคือจุดกำเนิด เนื่องจากความยาวของส่วนที่เกิดจากจุดตัดของวงรีที่มีแกนหลักเท่ากับ 2 เอและ2 ข (2เอ>2ข) จากนั้นแกนหลักที่ผ่านจุดโฟกัสจะเรียกว่าแกนหลักของวงรี และแกนหลักที่สองเรียกว่าแกนรอง

จากนั้น https://pandia.ru/text/78/214/images/image264.gif" width="141" height="122 src=">

เราได้สมการบัญญัติของไฮเพอร์โบลาโดยการเปรียบเทียบกับสมการของวงรีโดยใช้สัญกรณ์เดียวกัน

|r1 - r2 | = 2เอ, ที่ไหน. ถ้าเรากำหนด ข² = ค² - เอ² จากที่นี่ คุณจะได้รับ https://pandia.ru/text/78/214/images/image267.gif" width="38" height="30 src=">.gif" width="87" height= "44 src="> , (11.3`)

ซึ่งแกนจริงและแกนจินตภาพจะสับเปลี่ยนกันโดยคงเส้นกำกับเดียวกันไว้

4) ความเยื้องศูนย์กลางของไฮเพอร์โบลา อี> 1.

5) อัตราส่วนระยะทาง ริจากจุดไฮเพอร์โบลาสู่โฟกัส fiไปให้ไกล ดิจากจุดนี้ไปยังไดเรกทริกซ์ที่สอดคล้องกับโฟกัสจะเท่ากับความเยื้องศูนย์กลางของไฮเพอร์โบลา

การพิสูจน์สามารถทำได้ในลักษณะเดียวกับวงรี

23. พาราโบลา

คำจำกัดความ 11.8พาราโบลาคือเซตของจุดบนระนาบซึ่งระยะทางถึงจุดคงที่บางจุด Fระนาบนี้เท่ากับระยะทางถึงเส้นตรงคงที่บางเส้น Dot Fเรียกว่า จุดสนใจพาราโบลาและเส้นตรง - ของมัน อาจารย์ใหญ่.

เพื่อให้ได้สมการพาราโบลา เราเลือกระบบพิกัดคาร์ทีเซียนเพื่อให้จุดกำเนิดเป็นจุดกึ่งกลางของเส้นตั้งฉาก FDลดระดับจากโฟกัสไปที่ไดเรกทริกซ์ และแกนพิกัดขนานกันและตั้งฉากกับไดเรกทริกซ์ ให้ความยาวของส่วน FD

D O F x คือ R. แล้วจากความเท่าเทียมกัน r = dมันเป็นไปตามนั้น https://pandia.ru/text/78/214/images/image271.gif" width="101 height=38" height="38">,

โดยการแปลงพีชคณิต สมการนี้สามารถลดลงเป็นรูปแบบ:

y² = 2 px, (11.4) เรียกว่า สมการบัญญัติของพาราโบลา.

ค่า Rเรียกว่า พารามิเตอร์พาราโบลา

คุณสมบัติของพาราโบลา :

1) พาราโบลามีแกนสมมาตร (แกนของพาราโบลา) จุดตัดของพาราโบลากับแกนเรียกว่าจุดยอดของพาราโบลา ถ้าพาราโบลาถูกกำหนดโดยสมการบัญญัติ แกนของมันคือแกน โอ้,และจุดยอดเป็นจุดกำเนิดของพิกัด

2) พาราโบลาทั้งหมดอยู่ในครึ่งระนาบขวาของระนาบ อู๋.

ความคิดเห็น การใช้คุณสมบัติของไดเร็กทริกซ์ของวงรีและไฮเพอร์โบลา และคำจำกัดความของพาราโบลา เราสามารถพิสูจน์ข้อความต่อไปนี้ได้:

ชุดของจุดระนาบซึ่งอัตราส่วน อีระยะทางถึงจุดคงที่บางจุดถึงระยะทางถึงเส้นตรงบางเส้นเป็นค่าคงที่คือวงรี (ด้วย อี<1), гиперболу (при อี>1) หรือพาราโบลา (เมื่อ อี=1).

การลดสมการของลำดับที่สองเป็นรูปแบบบัญญัติ

คำจำกัดความ 11.9.เส้นที่กำหนดโดยสมการลำดับที่สองทั่วไป

https://pandia.ru/text/78/214/images/image274.gif" width="103 height=19" height="19"> คุณสามารถตั้งค่าเมทริกซ์

https://pandia.ru/text/78/214/images/image276.gif" width="204" height="24 src="> (สมมติว่า λ .

ในกรณีที่หนึ่งในค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ แต่เท่ากับ 0 สมการ (11.5) ซึ่งเป็นผลมาจากการแปลงพิกัดสองครั้งสามารถลดลงได้ในรูปแบบ: , (11.8) ซึ่งเป็นสมการบัญญัติของพาราโบลา

24. พิกัดสี่เหลี่ยมในอวกาศ

ระบบพิกัดสี่เหลี่ยมในอวกาศเกิดขึ้นจากแกนพิกัดตั้งฉากกันสามแกน วัว, ออยและ ออนซ์. แกนพิกัดตัดกันที่จุด อู๋ซึ่งเรียกว่าจุดเริ่มต้นในแต่ละแกนจะมีการเลือกทิศทางบวกที่ระบุโดยลูกศรและหน่วยการวัดของเซ็กเมนต์บนแกน หน่วยวัดมักจะเหมือนกันสำหรับทุกแกน (ซึ่งเป็นทางเลือก) วัว- แกน abscissa ออย- แกน y ออนซ์- แกน applique

ถ้าเอานิ้วโป้งมือขวาเป็นทิศ X, ชี้ทิศทาง Yและค่าเฉลี่ยต่อทิศทาง Zแล้วมันก่อตัวขึ้น ขวาระบบพิกัด. นิ้วที่คล้ายกันของมือซ้ายสร้างระบบพิกัดด้านซ้าย กล่าวอีกนัยหนึ่งคือเลือกทิศทางบวกของแกนเพื่อให้เมื่อหมุนแกน วัวทวนเข็มนาฬิกา 90° ทิศทางบวกของมันประชิดกับทิศทางบวกของแกน ออย, หากสังเกตการหมุนนี้จากด้านข้างของทิศทางบวกของแกน ออนซ์. ระบบพิกัดด้านขวาและด้านซ้ายไม่สามารถรวมกันเพื่อให้แกนที่สอดคล้องกัน (ดูรูปที่ 2)

ตำแหน่งจุด อาในอวกาศถูกกำหนดโดยสามพิกัด x, yและ z. ประสานงาน xเท่ากับความยาวของเซกเมนต์ OB,ประสานงาน y- ความยาวส่วน OC,ประสานงาน z- ความยาวส่วน ODในหน่วยวัดที่เลือก กลุ่ม OB, OCและ ODถูกกำหนดโดยระนาบที่ลากจากจุด อาขนานกับระนาบ โยซ, XOZและ XOYตามลำดับ ประสานงาน xเรียกว่า อุปัฏฐากแห่งจุด อา,ประสานงาน y- จุดพิกัด อา,ประสานงาน z- จุดสมัคร อา. พวกเขาเขียนแบบนี้:

หากผ่านจุด O ในอวกาศ เราวาดเส้นต่อหนึ่งเพน-ได-คู-ลาร์-เส้นสามเส้น เราเรียกมันว่า เราเอาทางขวา-เลอนี ซึ่งหมายถึงการตัดเดี่ยว เราก็จะได้ รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า si-ste-mu ko-or-di-nat ในอวกาศ. แกนของ ko-or-di-nat คือ na-zy-va-yut-sya ดังนี้: โอ้ - แกน abs-ciss, Oy - แกนของ or-di-nat และ ออนซ์ - แกน up-pli-cat. ทั้ง si-ste-ma ko-or-di-nat หมายถึง-me-cha-et-sya - Oxyz ด้วยวิธีนี้มีสาม เครื่องบิน co-or-di-nat-nye: อ๊อกซี่, อ็อกซ์, ออยซ์.

เรายกตัวอย่างการสร้างจุด B (4; 3; 5) ในระบบสี่เหลี่ยมของ co-or-di-nat (ดูรูปที่ 1 )

ข้าว. 1. การสร้างจุด B ในอวกาศ

จุด co-or-di-na-ta จุดแรก B - 4 ดังนั้นจาก-cla-dy-va-em ถึง Ox ​​4 เราหรี่แสงตรงแกน Para-ral-lel-แต่แกน Oy เพื่อ re-se -che-tion ด้วยเส้นตรงผ่าน y \u003d 3 ด้วยวิธีนี้ เราได้จุด K จุดนี้อยู่ในระนาบ Oxy และมี co-or-di-na-you K (4; 3; 0) ตอนนี้คุณต้อง pro-ve-sti สั่ง par-ral-lel-but แกน Oz และตรงไปตรง สวรรค์ของใครบางคนผ่านจุดที่มี app-pli-ka-that 5 และ para-ral-lel-on dia-go-on- ไม่ว่าจะเป็น pa-ral-le-lo-gram -ma ในระนาบ Oxy ใน re-se-che-nii ของพวกเขา เราจะได้จุด B ที่ต้องการ

พิจารณาการกระจายของคะแนน สำหรับบางคน หนึ่งหรือสอง co-or-di-na-you เท่ากับ 0 (ดูรูปที่ 2)

ตัวอย่างเช่น จุด A(3;-1;0) จำเป็นต้องดำเนินการต่อแกน Oy ไปทางซ้ายจนถึงค่า -1 ค้นหาจุดที่ 3 บนแกน Ox และบนเส้นต่อเนื่องที่ผ่านค่าเหล่านี้ -tion เราจะได้จุด A นี่ point มี app-pli-ka-tu 0 ซึ่งหมายความว่าอยู่ในระนาบ Oxy

จุด C (0; 2; 0) มี abs-cis-su และ app-pli-ka-tu 0 - ไม่ใช่ from-me-cha-e Or-di-na-ta เท่ากับ 2 ซึ่งหมายความว่าจุด C อยู่บนแกน Oy เท่านั้นสิ่งที่สวรรค์คือ-la-is-a-re-re-se-che-no-it คือ stey Oxy และออยซ์

เพื่อย้ายจุด D (-4; 0; 3) เราดำเนินการต่อแกน Ox กลับไปที่ na-cha-lo ko-or-di-nat ไปยังจุด -4 ทีนี้ คืนค่า-a-ร้อย-nav-li-va-em จากจุดนี้ต่อ pen-di-ku-lyar - ตรง ขนานกับแกน Oz เพื่อ re-re-se-che-niya ด้วยเส้นตรง ขนานกับแกน Ox และผ่านค่า 3 บนแกน Oz ตามกระแส D (-4; 0; 3) เนื่องจากจุดหรือไดออนนั้นเท่ากับ 0 ดังนั้นจุด D จึงอยู่ในระนาบ Oxz

จุดต่อไปคือ E(0;5;-3) Or-di-na-ta จุดที่ 5, app-pli-ka-ta -3 เราส่งเส้นตรงผ่านค่าเหล่านี้ตามคำตอบ -th-axes และบน re-se-che-nii เราได้รับจุด E (0; 5; -3) จุดนี้มี co-or-di-to-tu 0 ตัวแรก ซึ่งหมายความว่าอยู่ในระนาบ Oyz

2. พิกัดเวกเตอร์

ประณาม si-ste-mu ko-or-di-nat มุมขวาในอวกาศ Oxyz Za-da-dim ในพื้นที่ของ si-ste-mu ko-or-di-nat Oxyz สี่เหลี่ยม ในแต่ละ lo-zhi-tel-nyh in-lu-axes from-lo-weep จาก na-cha-la ko-or-di-nat เวกเตอร์เดียว นั่นคือ vector-torus ความยาวของบางสิ่ง-ro- go เท่ากับหนึ่ง เราแสดงเวกเตอร์เดียวของแกน abs-ciss เวกเตอร์เดียวของแกน or-di-nat และเวกเตอร์เดียวของแกน up-pli-kat (ดูรูปที่ 1) เปลือกตาเหล่านี้เป็น co-on-right-le-na โดยมีแกนขวา-le-ni-i-mi มีความยาวเดียวและ or-to-go-nal-na - เป็นคู่ - แต่ต่อ pen-di -ku-lyar-ny. ศตวรรษ-ระ-นา-ซี-วา-ยุต ko-or-di-nat-ny-mi age-to-ra-miหรือ ba-zi-ปลาดุก

ข้าว. 1. Raz-lo-same-age-that-ra ในสามศตวรรษที่ co-or-di-nat-ny-that-frame

ใช้ mem-tor, in-me-stim ใน na-cha-lo ko-or-di-nat และกระจาย vector-tor นี้ในสามแผน-nar-nym - le-zha -shim ในระนาบที่แตกต่างกัน - ศตวรรษต่อกรอบ ในการทำเช่นนี้ ลองลดเส้นโครงของจุด M ลงบนระนาบ Oxy แล้วหาเวคเตอร์คูน้ำร่วมหรือไดออนคุณ และ ออน-ลู-ชา-อีท:. Ras-look-rim บน from-del-no-sti แต่ละศตวรรษที่ผ่านมา พรูเวกเตอร์อยู่บนแกน Ox ซึ่งหมายความว่า ตามคุณสมบัติของการคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข มันสามารถแสดงเป็นจำนวน x เพศหญิงบนเวกเตอร์ co-or-di-nat-ny ได้ และความยาวของเปลือกตามากกว่าความยาวของ x เท่าพอดี ในทำนองเดียวกัน เรามาก้าวต่อไปด้วยศตวรรษว่ารามี และ และในศตวรรษแห่งการกินลู-ชะ-กิน-หล่อ-อายุเดียวกันในสามโค-อ-ดี-แนต-นี ศตวรรษ -to-ram:

Co-ef-fi-qi-en-you ของเวลานี้ x, y และ z on-zy-va-yut-sya ko-or-di-na-ta-mi age-to-ra ในอวกาศ

Ras-look-rim right-vi-la, some-rye poses-in-la-yut ตาม ko-or-di-on-have ให้หลายศตวรรษเพื่อหา ko-or-di-na- คุณอยู่ ผลรวมและความแตกต่างของพวกเขา เช่นเดียวกับ co-or-di-na-you pro-from-ve-de-niya ของศตวรรษที่กำหนดในจำนวนที่กำหนด

1) ความซับซ้อน:

2) ยู-ชิ-ทา-นี่:

3) การคูณด้วยตัวเลข: ,

Vek-tor, na-cha-lo-ko-ro-go owl-pa-yes-et กับ na-cha-scrap ko-or-di-nat, na-zy-va-et-sya รัศมี-ศตวรรษ-รัม(รูปที่ 2). Vector-tor - ra-di-us-vector โดยที่ x, y และ z เป็น co-ef-fi-qi-en-you raz-lo-same-tion ของศตวรรษนี้ถึง ra ตาม co-or - di-nat-ny ศตวรรษ-to-ram,,. ในกรณีนี้ x คือ co-or-di-on-ta แรกของจุด A บนแกน Ox, y คือ co-or-di-on-ta ของจุด B บนแกน Oy, z คือ co-or - di-na-ta จุด C บนแกนออซ ตามคำกล่าวของ ri-sun-ku เป็นที่ชัดเจนว่า ko-or-di-na-you ra-di-us-vek-to-ra one-but-time-men-but is-la-yut-sya ko- or-di -on-ta-mi จุด M.

หาจุด A(x1;y1;z1) และจุด B(x2;y2;z2) (ดูรูปที่ 3) เราจินตนาการว่าศตวรรษทอร์เป็นความแตกต่างของศตวรรษและคู และโดยคุณสมบัติของมัน หนึ่งศตวรรษต่อคู นอกจากนี้ และ - ra-di-us-vek-to-ry และ co-or-di-na-you co-pa-da-yut ของพวกเขาด้วยคอนเท้นต์ co-or-di-na-ta-mi เหล่านี้ ศตวรรษ-คู จากนั้นเราสามารถจินตนาการถึง ko-or-di-na-you ศตวรรษ-ที่-รา ว่ามีความแตกต่างกับ-จาก-the-rep-tu-u-ing-co-or-di-nat ด้วยวิธีนี้ ko-or-di-na-you ศตวรรษต่อรา เราสามารถ vy-ra-zit ผ่าน ko-or-di-na-you ของจุดจบ และ na-cha-la ศตวรรษ-to-ra .

Ras-ดูตัวอย่าง คุณสมบัติ il-lu-stri-ru-yu-sche ของศตวรรษ-คูและ you-ra-same-tion ของพวกเขาผ่าน co-or-di-on-you Take-meme ศตวรรษ-ที่-ry , , . เราถูกถาม-shi-va-yut vector ในกรณีนี้ การค้นหาหมายถึงการค้นหา co-or-di-na-you หนึ่งศตวรรษซึ่งเป็นคนที่ถูกกำหนดโดยมันอย่างสมบูรณ์ Sub-stand-la-em ใน you-ra-same-nie แทนที่จะเป็นร้อยศตวรรษ-a-ditch กับ-from-rep-stven-แต่พวกเขา co-or-di-on-you By-lu-cha-eat:

ตอนนี้เราคูณจำนวน 3 สำหรับแต่ละ co-or-di-na-tu ในวงเล็บและ de-la-em เดียวกันกับ 2:

เรามีผลรวมของสามศตวรรษ-คู เราจัดเก็บตามคุณสมบัติที่ศึกษาข้างต้น:

ตอบ:

ตัวอย่างที่ 2

ให้ไว้: สามเหลี่ยม pi-ra-mi-da AOBC (ดูรูปที่ 4) เครื่องบิน AOB, AOC และ OCB - เป็นคู่ แต่ต่อ pen-di-ku-lyar-ny OA=3, OB=7, OC=4; M - ser.AC; N - ser.OC; พี - เซอร์ ซีบี.

หา: ,,,,,,,.

วิธีแก้ปัญหา: เรามาแนะนำรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า si-ste-mu co-or-di-nat Oxyz ด้วยจุดเริ่มต้นของการนับที่จุด O โดยเงื่อนไขของการที่เรารู้จุด A, B และ C บนแกนและ se-re -di-ny ของขอบของ pi-ra-mi-dy - M, P และ N. ตาม ri-sun-ku on-ho-dim ko-or -di-on-you ยอดของ pi-ra-mi -dy: A (3; 0; 0), B (0; 7; 0), C (0; 0; 4)

ด้วยการแนะนำระบบพิกัดบนระนาบหรือในอวกาศสามมิติ มีโอกาสพิเศษที่จะอธิบายรูปทรงเรขาคณิตและคุณสมบัติของพวกมันโดยใช้สมการและอสมการ มีอีกชื่อหนึ่งว่า - วิธีการของพีชคณิต

บทความนี้จะช่วยให้คุณเข้าใจงานของระบบพิกัดคาร์ทีเซียนรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าและการกำหนดพิกัดของจุด มีรูปภาพที่มองเห็นได้และมีรายละเอียดมากขึ้นในภาพประกอบกราฟิก

ในการแนะนำระบบพิกัดบนระนาบ จำเป็นต้องวาดเส้นตั้งฉากสองเส้นบนระนาบ เลือก ทิศทางบวก, ทำเครื่องหมายด้วยลูกศร ต้องเลือก มาตราส่วน.จุดตัดของเส้นจะเรียกว่าตัวอักษร O ถือว่าเธอ จุดอ้างอิง. นี้เรียกว่า ระบบพิกัดสี่เหลี่ยมบนพื้นผิว

เส้นที่มีจุดกำเนิด O ที่มีทิศทางและมาตราส่วนเรียกว่า เส้นพิกัดหรือ แกนพิกัด.

ระบบพิกัดสี่เหลี่ยมแสดง O x y . แกนพิกัดเรียกว่า O x และ O y เรียกว่าตามลำดับ abscissaและ แกน y.

ภาพระบบพิกัดสี่เหลี่ยมบนระนาบ

แกน abscissa และแกนประสานมีหน่วยการเปลี่ยนแปลงและมาตราส่วนเดียวกัน ซึ่งแสดงเป็นเส้นประที่จุดกำเนิดของแกนพิกัด ทิศทางมาตรฐานคือ O x จากซ้ายไปขวา และ O y จากล่างขึ้นบน บางครั้งใช้การหมุนทางเลือกในมุมที่ต้องการ

ระบบพิกัดรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเรียกว่า Cartesian เพื่อเป็นเกียรติแก่ผู้ค้นพบRené Descartes คุณมักจะพบชื่อเป็นระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยม

อวกาศแบบยุคลิดสามมิติมีระบบที่คล้ายกัน มีเพียงไม่ประกอบด้วยสองแกน แต่ประกอบด้วยแกน O x, O y, O z สามแกน เหล่านี้เป็นเส้นตั้งฉากสามเส้นตั้งฉากกัน โดยที่ O z มีชื่อ แกน applique

ในทิศทางของแกนพิกัดจะแบ่งออกเป็นระบบพิกัดสี่เหลี่ยมด้านขวาและด้านซ้ายของพื้นที่สามมิติ

แกนพิกัดตัดกันที่จุด O เรียกว่าจุดกำเนิด แต่ละแกนมีทิศทางเป็นบวก ซึ่งแสดงโดยลูกศรบนแกน ถ้าเมื่อ O x หมุนทวนเข็มนาฬิกาไป 90 ° ทิศทางบวกของมันจะตรงกับค่าบวก O y ดังนั้นสิ่งนี้จะใช้ได้กับทิศทางบวกของ O z ระบบดังกล่าวถือว่า ขวา.กล่าวอีกนัยหนึ่ง ถ้าเราเปรียบเทียบทิศทางของ X กับนิ้วหัวแม่มือ นิ้วชี้จะรับผิดชอบ Y และนิ้วกลางสำหรับ Z

ระบบพิกัดด้านซ้ายถูกสร้างขึ้นในทำนองเดียวกัน ทั้งสองระบบไม่สามารถรวมกันได้ เนื่องจากแกนที่สอดคล้องกันจะไม่ตรงกัน

ในการเริ่มต้น เราแยกจุด M บนแกนพิกัด O x จำนวนจริง x M ใดๆ เท่ากับจุดเดียว M ที่อยู่ในเส้นที่กำหนด หากจุดนั้นอยู่บนเส้นพิกัดที่ระยะห่าง 2 จากจุดกำเนิดในทิศทางบวก มันจะเท่ากับ 2 ถ้า - 3 ระยะห่างที่สอดคล้องกันคือ 3 ศูนย์เป็นที่มาของเส้นพิกัด

กล่าวอีกนัยหนึ่ง M แต่ละจุดตั้งอยู่บน O x เท่ากับจำนวนจริง x M . จำนวนจริงนี้เป็นศูนย์หากจุด M อยู่ที่จุดกำเนิด นั่นคือ ที่จุดตัดของ O x และ O y จำนวนของความยาวของเซ็กเมนต์จะเป็นบวกเสมอหากจุดนั้นถูกลบไปในทิศทางบวกและในทางกลับกัน

หมายเลขที่มีอยู่ x M เรียกว่า ประสานงานจุด M บนเส้นพิกัดที่กำหนด

ให้เราใช้จุดหนึ่งเป็นการฉายภาพของจุด M x ลงบน O x และเป็นการฉายภาพของจุด M y ไปยัง O y ซึ่งหมายความว่าเส้นตรงที่ตั้งฉากกับแกน O x และ O y สามารถลากผ่านจุด M ซึ่งเราจะได้จุดตัดที่สอดคล้องกัน M x และ M y

จากนั้นจุด M x บนแกน O x จะมีตัวเลขที่สอดคล้องกัน x M และ M y บน O y - y M บนแกนพิกัดจะมีลักษณะดังนี้:

แต่ละจุด M บนระนาบที่กำหนดในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยมมีคู่ของตัวเลขที่สอดคล้องกัน (x M , y M) เรียกว่า พิกัด. Abscissa Mคือ x ม , พิกัด Mคือ y M

ข้อความที่สนทนายังถูกพิจารณาว่าเป็นจริง: แต่ละคู่ที่สั่งซื้อ (x M , y M) มีจุดที่สอดคล้องกันในระนาบ

ความหมายของจุด M ในพื้นที่สามมิติ ให้มี M x , M y , M z ซึ่งเป็นเส้นโครงของจุด M บนแกนที่สอดคล้องกัน O x, O y, O z จากนั้นค่าของจุดเหล่านี้บนแกน О x, О у, О z จะใช้ค่า x M , y M , z M . ลองแสดงบนเส้นพิกัด

เพื่อให้ได้เส้นโครงของจุด M คุณต้องเพิ่มเส้นตั้งฉาก O x, O y, O z เพื่อดำเนินการต่อและพรรณนาในรูปของระนาบที่ผ่าน M ดังนั้นระนาบตัดกันที่ M x , M y , M z

แต่ละจุดของพื้นที่สามมิติมีข้อมูลของตัวเอง (x M , y M , z M) ซึ่งมีชื่อ พิกัดจุด M , x M , y M , z M -นี่คือตัวเลขที่เรียกว่า abscissa, กำหนดและ appliqueให้จุด M สำหรับการตัดสินนี้ คำสั่ง converse ก็เป็นจริงเช่นกัน: แต่ละคำสั่งสามเท่าของจำนวนจริง (x M , y M , z M) ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมที่กำหนดจะมีจุด M ที่สอดคล้องกันหนึ่งจุดของช่องว่างสามมิติ

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

แน่นอนว่าวิธีการพิกัดนั้นดีมาก แต่ในปัญหา C2 จริงนั้นไม่มีพิกัดและเวกเตอร์ จึงต้องเข้ามา ใช่ ใช่ แค่เอามันแล้วป้อนแบบนี้: ระบุที่มา ส่วนหน่วย และทิศทางของแกน x, y และ z

สิ่งที่ยอดเยี่ยมเกี่ยวกับวิธีการนี้คือไม่ว่าคุณจะเข้าสู่ระบบพิกัดอย่างไร หากการคำนวณทั้งหมดถูกต้อง คำตอบก็จะถูกต้อง

พิกัดลูกบาศก์

หากมีลูกบาศก์ในปัญหา C2 ให้ถือว่าตัวเองโชคดี นี่คือรูปทรงหลายเหลี่ยมที่ง่ายที่สุด ซึ่งทุกมุมมีไดฮีดรัลเท่ากับ 90°

ระบบพิกัดนั้นป้อนง่ายมาก:

1. ที่มาของพิกัดอยู่ที่จุด A
2. ส่วนใหญ่มักจะไม่ได้ระบุขอบของลูกบาศก์ดังนั้นเราจึงถือว่าเป็นส่วนเดียว
3. เรากำหนดแกน x ไปตามขอบ AB, y - ไปตามขอบ AD และแกน z - ไปตามขอบ AA 1 .

โปรดทราบว่าแกน z ชี้ขึ้น! หลังจากระบบพิกัดสองมิติ สิ่งนี้ค่อนข้างผิดปกติ แต่จริงๆ แล้วมีเหตุผลมาก

ตอนนี้จุดยอดแต่ละอันของลูกบาศก์มีพิกัด มารวบรวมไว้ในตาราง - แยกกันสำหรับระนาบด้านล่างของลูกบาศก์:

เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าจุดของระนาบบนแตกต่างจากจุดที่สอดคล้องกันของระนาบล่างโดยพิกัด z เท่านั้น ตัวอย่างเช่น B = (1; 0; 0), B 1 = (1; 0; 1) สิ่งสำคัญคืออย่าสับสน!

ปริซึมนั้นสนุกกว่ามาก ด้วยวิธีการที่ถูกต้องก็เพียงพอที่จะรู้พิกัดของฐานล่างเท่านั้น - อันบนจะถูกคำนวณโดยอัตโนมัติ

ในปัญหา C2 มีปริซึมสามส่วนปกติเป็นพิเศษ (ปริซึมตรงที่อิงจากรูปสามเหลี่ยมปกติ) สำหรับพวกเขา ระบบพิกัดจะถูกป้อนในลักษณะเดียวกับลูกบาศก์ อย่างไรก็ตาม ถ้าใครไม่รู้ ลูกบาศก์ก็เป็นปริซึมเช่นกัน มีเพียงสี่เหลี่ยมจตุรัสเท่านั้น

งั้นไปกัน! เข้าสู่ระบบพิกัด:

1. ที่มาของพิกัดอยู่ที่จุด A
2. ด้านข้างของปริซึมถือเป็นส่วนเดียว เว้นแต่จะระบุไว้เป็นอย่างอื่นในสภาพของปัญหา
3. เรากำหนดแกน x ไปตามขอบ AB, z - ไปตามขอบ AA 1 และวางตำแหน่งแกน y เพื่อให้ระนาบ OXY ตรงกับระนาบของฐาน ABC

จำเป็นต้องมีคำอธิบายบางอย่างที่นี่ ความจริงก็คือแกน y ไม่ตรงกับขอบ AC อย่างที่หลายคนคิด ทำไมมันไม่ตรงกัน คิดเอาเอง: สามเหลี่ยม ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีมุมทั้งหมด 60° และมุมระหว่างแกนพิกัดควรเป็น 90 ° ดังนั้นภาพบนจะมีลักษณะดังนี้:

ฉันหวังว่ามันคงจะชัดเจนแล้วว่าทำไมแกน y ถึงไม่ไปตาม AC วาดความสูง CH ในรูปสามเหลี่ยมนี้ สามเหลี่ยม ACH เป็นมุมฉาก และ AC = 1 ดังนั้น AH = 1 cos A = cos 60°; CH = 1 บาป A = บาป 60° ข้อเท็จจริงเหล่านี้จำเป็นในการคำนวณพิกัดของจุด C

ทีนี้มาดูปริซึมทั้งหมดพร้อมกับระบบพิกัดที่สร้างขึ้น:

เราได้รับพิกัดของจุดต่อไปนี้:

อย่างที่คุณเห็น จุดฐานบนของปริซึมแตกต่างจากจุดที่สอดคล้องกันของฐานล่างอีกครั้งโดยพิกัด z เท่านั้น ปัญหาหลักคือจุด C และ C 1 พวกมันมีพิกัดที่ไม่ลงตัวที่คุณต้องจำไว้ ดีหรือจะเข้าใจว่าพวกเขามาจากไหน

พิกัดปริซึมหกเหลี่ยม

ปริซึมหกเหลี่ยมเป็นรูปสามเหลี่ยม "โคลน" คุณสามารถเข้าใจว่าสิ่งนี้เกิดขึ้นได้อย่างไร ถ้าคุณดูที่ฐานล่าง - ให้แทนค่า ABCDEF มาดำเนินการสร้างเพิ่มเติมกัน: ส่วน AD, พ.ศ. และ CF ปรากฎสามเหลี่ยมหกรูป ซึ่งแต่ละรูป (เช่น สามเหลี่ยม ABO) เป็นพื้นฐานสำหรับปริซึมสามส่วน

ทีนี้มาแนะนำระบบพิกัดจริงกัน ที่มาของพิกัด - จุด O - จะถูกวางไว้ที่จุดศูนย์กลางสมมาตรของ ABCDEF หกเหลี่ยม แกน x จะไปตาม FC และแกน y - ผ่านจุดกึ่งกลางของกลุ่ม AB และ DE เราได้ภาพนี้:

โปรดทราบ: ที่มาของพิกัดไม่ตรงกับจุดยอดของรูปทรงหลายเหลี่ยม! ในความเป็นจริง เมื่อแก้ปัญหาจริง คุณจะพบว่าวิธีนี้สะดวกมาก เนื่องจากช่วยให้คุณลดจำนวนการคำนวณลงได้อย่างมาก

มันยังคงเพิ่มแกน z ตามธรรมเนียมแล้ว เราวาดมันในแนวตั้งฉากกับระนาบ OXY และชี้ขึ้นในแนวตั้ง เราได้ภาพสุดท้าย:

มาเขียนพิกัดของจุดกัน สมมติว่าขอบทั้งหมดของปริซึมหกเหลี่ยมปกติของเรามีค่าเท่ากับ 1 ดังนั้น พิกัดของฐานล่าง:

พิกัดของฐานบนจะเลื่อนไปหนึ่งตำแหน่งในแกน z:

ปิรามิดโดยทั่วไปจะรุนแรงมาก เราจะวิเคราะห์เฉพาะกรณีที่ง่ายที่สุด - พีระมิดสี่เหลี่ยมปกติซึ่งขอบทั้งหมดมีค่าเท่ากับหนึ่ง อย่างไรก็ตาม ในปัญหา C2 จริง ความยาวของขอบอาจแตกต่างกันไป ดังนั้นโครงร่างทั่วไปสำหรับการคำนวณพิกัดจะแสดงไว้ด้านล่าง

ดังนั้น พีระมิดสี่เหลี่ยมที่ถูกต้อง นี้เหมือนกับ Cheops เพียงเล็กน้อยเท่านั้น สมมุติว่า SABCD โดยที่ S อยู่ด้านบนสุด เราแนะนำระบบพิกัด: จุดกำเนิดอยู่ที่จุด A ส่วนหน่วย AB = 1 แกน x ชี้ไปตาม AB แกน y อยู่ตาม AD และแกน z ขึ้นด้านบน ตั้งฉากกับระนาบ OXY . สำหรับการคำนวณเพิ่มเติม เราต้องการความสูง SH - มาสร้างกัน เราได้รับภาพต่อไปนี้:

ทีนี้ลองหาพิกัดของจุดกัน เริ่มต้นด้วยเครื่องบิน OXY ทุกอย่างเรียบง่ายที่นี่: ฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรู้จักพิกัดของมัน ปัญหาเกิดขึ้นที่จุด S เนื่องจาก SH คือความสูงของระนาบ OXY จุด S และ H จึงแตกต่างกันในพิกัด z เท่านั้น อันที่จริง ความยาวของเซ็กเมนต์ SH คือพิกัด z สำหรับจุด S เนื่องจาก H = (0.5; 0.5; 0)

โปรดทราบว่าสามเหลี่ยม ABC และ ASC มีสามด้านเท่ากัน (AS = CS = AB = CB = 1 และด้าน AC มีค่าเท่ากัน) ดังนั้น SH = BH แต่ BH เป็นครึ่งหนึ่งของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยม ABCD นั่นคือ BH = AB บาป 45 ° เราได้รับพิกัดของทุกจุด:

นั่นคือทั้งหมดที่มีพิกัดของปิรามิด แต่ไม่มีพิกัดเลย เราได้พิจารณาเฉพาะรูปทรงหลายเหลี่ยมที่พบบ่อยที่สุดเท่านั้น แต่ตัวอย่างเหล่านี้เพียงพอที่จะคำนวณพิกัดของรูปร่างอื่นๆ ได้อย่างอิสระ ดังนั้นเราจึงสามารถดำเนินการตามวิธีการแก้ปัญหาเฉพาะ C2 ได้