ความไม่เท่าเทียมกันเชิงเหตุผลและระบบ อสมการเชิงตรรกยะเศษส่วน

>>คณิตศาสตร์: ความไม่เท่าเทียมกันเชิงตรรกยะ

ความไม่เท่าเทียมกันเชิงเหตุผลที่มีตัวแปร x หนึ่งตัวคือความไม่เท่าเทียมกันของรูปแบบ - นิพจน์ที่มีเหตุผล เช่น นิพจน์เกี่ยวกับพีชคณิตประกอบด้วยตัวเลขและตัวแปร x โดยใช้การดำเนินการบวก ลบ คูณ หาร และยกกำลังธรรมชาติ แน่นอน ตัวแปรสามารถเขียนแทนด้วยตัวอักษรอื่น ๆ ได้ แต่ในวิชาคณิตศาสตร์ ตัวอักษร x เป็นที่นิยมมากที่สุด

เมื่อแก้อสมการเชิงตรรกยะ จะใช้กฎ 3 ข้อที่กำหนดไว้ข้างต้นใน § 1 กฎเหล่านี้มักจะแปลงอสมการเชิงตรรกยะให้อยู่ในรูปแบบ / (x) > 0 โดยที่ / (x) เป็นพีชคณิต เศษส่วน (หรือพหุนาม) ถัดไปแยกตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน f (x) ออกเป็นตัวประกอบของรูปแบบ x - a (แน่นอนว่าเป็นไปได้) และใช้วิธีช่วงเวลาซึ่งเราได้กล่าวถึงข้างต้นแล้ว (ดูตัวอย่างที่ 3 ในก่อนหน้า ย่อหน้า).

ตัวอย่างที่ 1แก้อสมการ (x - 1) (x + 1) (x - 2) > 0

การตัดสินใจ.พิจารณานิพจน์ f(x) = (x-1)(x + 1)(x-2)

เปลี่ยนเป็น 0 ที่จุด 1,-1,2; ทำเครื่องหมายจุดเหล่านี้บนเส้นจำนวน เส้นตัวเลขแบ่งตามจุดที่ระบุออกเป็นสี่ช่วง (รูปที่ 6) ซึ่งนิพจน์ f (x) จะเก็บเครื่องหมายคงที่ไว้ในแต่ละช่วง ในการตรวจสอบสิ่งนี้ เราจะดำเนินการสี่ข้อโต้แย้ง (สำหรับแต่ละช่วงเวลาเหล่านี้แยกกัน)

นำจุด x ใดๆ จากช่วงเวลา (2 จุดนี้อยู่บนเส้นจำนวนทางด้านขวาของจุด -1 ทางด้านขวาของจุดที่ 1 และทางด้านขวาของจุด 2 ซึ่งหมายความว่า x> -1, x> 1, x> 2 (รูปที่ 7) จากนั้น x-1>0, x+1>0, x - 2> 0 และด้วยเหตุนี้ f (x)> 0 (เป็นผลคูณของอสมการเชิงตรรกยะของค่าบวกสามค่า ตัวเลข) ดังนั้น อสมการ f (x ) > 0

หาจุด x ใดๆ จากช่วง (1,2) จุดนี้ตั้งอยู่บนเส้นจำนวนทางด้านขวาของจุด 1 ทางด้านขวาของจุดที่ 1 แต่อยู่ทางด้านซ้ายของจุดที่ 2 ดังนั้น x\u003e -1, x\u003e 1 และ x< 2 (рис. 8), а потому x + 1>0.x-1>0.x-2<0. Но тогда f(x) <0 (как произведение двух положительных и одного отрицательного числа). Итак, на промежутке (1,2) выполняется неравенство f (x) < 0.

หาจุด x ใดๆ จากช่วง (-1,1) จุดนี้อยู่บนเส้นจำนวนทางขวาของจุด -1 ทางซ้ายของจุดที่ 1 และทางซ้ายของจุดที่ 2 ดังนั้น x > -1 แต่ x< 1, х <2 (рис. 9), а потому х + 1 >0, x -1<0, х - 2 < 0. Но тогда f (x) >0 (เป็นผลคูณของจำนวนลบสองตัวและจำนวนบวกหนึ่งตัว) ดังนั้น ในช่วง (-1,1) ความไม่เท่าเทียมกัน f (x)> 0 จะคงอยู่

สุดท้าย หาจุด x จากรังสีเปิด (-oo, -1) จุดนี้อยู่บนเส้นจำนวนทางซ้ายของจุด -1 ทางซ้ายของจุดที่ 1 และทางซ้ายของจุดที่ 2 ซึ่งหมายความว่า x<-1, х< 1, х<2 (рис. 10). Но тогда x - 1 < 0, x + 1 < 0, х - 2 < 0, а значит, и f (x) < 0 (как произведение трех отрицательных чисел). Итак, на всем промежутке (-оо, -1) выполняется неравенство f (x) < 0.

มาสรุปกัน สัญญาณของนิพจน์ f (x) ในช่วงที่เลือกแสดงดังรูปที่ 11. เราสนใจพวกที่มีความไม่เท่าเทียมกัน f (x) > 0 พอใจ โดยใช้แบบจำลองทางเรขาคณิตที่แสดงในรูปที่ 11 เราพบว่าความไม่เท่าเทียมกัน f (x) > 0 เป็นที่พอใจในช่วงเวลา (-1, 1) หรือบนคานเปิด
ตอบ: -1 < х < 1; х > 2.

ตัวอย่างที่ 2แก้อสมการ
การตัดสินใจ.ในตัวอย่างก่อนหน้านี้ เราจะดึงข้อมูลที่จำเป็นจากรูปที่ 11 แต่มีการเปลี่ยนแปลงสองอย่างเมื่อเทียบกับตัวอย่างที่ 1 ประการแรก เนื่องจากเราสนใจว่าค่าใดของ x ที่ตอบสนองความไม่เท่าเทียมกัน f(x)< 0, нам придется выбрать промежутки ประการที่สองเรายังพอใจกับจุดที่ความเท่าเทียมกัน f (x) = 0 พอใจ นี่คือจุด -1, 1, 2 เราทำเครื่องหมายในรูปด้วยวงกลมสีดำและรวมไว้ในคำตอบ บนมะเดื่อ 12 แสดงแบบจำลองทางเรขาคณิตของคำตอบ ซึ่งไม่ยากที่จะย้ายไปยังบันทึกการวิเคราะห์
ตอบ:
ตัวอย่างที่ 3แก้อสมการ
การตัดสินใจ. ให้เราแยกตัวประกอบของตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนพีชคณิต fx ที่อยู่ทางด้านซ้ายของอสมการ ในตัวเศษเรามี x 2 - x \u003d x (x - 1)

ในการแยกตัวประกอบของกำลังสองตรีนาม x 2 - bx ~ 6 ที่มีอยู่ในตัวส่วนของเศษส่วน เราจะพบรากของมัน จากสมการ x 2 - 5x - 6 \u003d 0 เราพบ x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 6 ดังนั้น (เราใช้สูตรสำหรับการแยกตัวประกอบของทริโนเมียลกำลังสอง: ax 2 + bx + c \u003d a (x - x 1 - x 2))
ดังนั้นเราจึงแปลงอสมการที่กำหนดให้เป็นรูปแบบ

พิจารณานิพจน์:

ตัวเศษของเศษส่วนนี้จะเปลี่ยนเป็น 0 ที่จุด 0 และ 1 และเปลี่ยนเป็น 0 ที่จุด -1 และ 6 เรามาทำเครื่องหมายจุดเหล่านี้บนเส้นจำนวน (รูปที่ 13) เส้นตัวเลขแบ่งตามจุดที่ระบุออกเป็นห้าช่วง และในแต่ละช่วง นิพจน์ fx) จะคงเครื่องหมายคงที่ไว้ การโต้เถียงในลักษณะเดียวกับตัวอย่างที่ 1 เราได้ข้อสรุปว่าสัญญาณของนิพจน์ fx) ในช่วงที่เลือกไว้ดังแสดงในรูปที่ 13. เราสนใจว่าความไม่เท่าเทียมกัน f (x) อยู่ที่ไหน< 0. С помощью геометрической модели, представленной на рис. 13, устанавливаем, что f (х) < 0 на интервале (-1, 0) или на интервале (1, 6).

0 คำตอบ: -1

ตัวอย่างที่ 4แก้อสมการ

การตัดสินใจ.เมื่อแก้อสมการเชิงเหตุผล ตามกฎแล้ว พวกเขาชอบทิ้งเลข 0 ไว้ทางด้านขวาของอสมการเท่านั้น ดังนั้น เราจึงแปลงอสมการให้เป็นรูปแบบ

ไกลออกไป:

จากประสบการณ์พบว่าหากด้านขวาของอสมการมีเพียงเลข 0 จะสะดวกกว่าที่จะให้เหตุผลเมื่อทั้งตัวเศษและตัวส่วนทางด้านซ้ายมีค่าสัมประสิทธิ์อาวุโสเป็นบวก แล้วเรามีอะไร เรามีทุกอย่างใน ตัวส่วนของเศษส่วนในแง่นี้ตามลำดับ (ค่าสัมประสิทธิ์นำ เช่น ค่าสัมประสิทธิ์ที่ x 2 คือ 6 - จำนวนบวก) แต่ไม่ใช่ทุกอย่างที่เรียงตามลำดับในตัวเศษ - ค่าสัมประสิทธิ์อาวุโส (ค่าสัมประสิทธิ์ที่ x) คือ - 4 (จำนวนลบ) คูณทั้งสองข้างของอสมการด้วย -1 และเปลี่ยนเครื่องหมายอสมการเป็นตรงกันข้าม เราจะได้อสมการที่เท่ากัน

มาแยกตัวประกอบของตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนพีชคณิตกัน ในตัวเศษ ทุกอย่างง่าย:
เพื่อแยกตัวประกอบของกำลังสองที่มีตัวส่วนของเศษส่วน

(เราใช้สูตรการแยกตัวประกอบกำลังสองของไตรนามอีกครั้ง)
ดังนั้นเราจึงลดความไม่เท่าเทียมกันลงในแบบฟอร์ม

พิจารณาการแสดงออก

ตัวเศษของเศษส่วนนี้เปลี่ยนเป็น 0 ที่จุดและตัวส่วน - ที่จุด เราสังเกตจุดเหล่านี้บนเส้นจำนวน (รูปที่ 14) ซึ่งแบ่งตามจุดที่ระบุออกเป็นสี่ช่วงและนิพจน์ในแต่ละช่วง f (x) มีเครื่องหมายคงที่ (เครื่องหมายเหล่านี้ระบุไว้ในรูปที่ 14) เราสนใจช่วงเวลาที่อสมการ fx< 0; эти промежутки выделены штриховкой на рис. 15. По условию, нас интересуют и те точки х, в которых выполняется равенство f (х) = 0. Такая точка только одна - это точка поскольку лишь при этом значении числитель дроби f (х) обращается в нуль. Точка отмечена на рис. 15 темным кружочком. Таким образом, на рис. 15 представлена геометрическая модель решения заданного неравенства, от которой нетрудно перейти к аналитической записи.

ในตัวอย่างทั้งหมดที่พิจารณา เราแปลงอสมการที่กำหนดให้เป็นอสมการเทียบเท่าในรูปแบบ f (x) > 0 หรือ f (x)<0,где
ในกรณีนี้ จำนวนตัวประกอบในตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนสามารถเป็นเท่าใดก็ได้ จากนั้นจุด a, b, c, e ถูกทำเครื่องหมายบนเส้นจำนวน และกำหนดสัญญาณของนิพจน์ f (x) ในช่วงที่เลือก เราสังเกตเห็นว่าทางด้านขวาสุดของช่วงเวลาที่เลือก ความไม่เท่าเทียมกัน f (x) > 0 เป็นที่พอใจ จากนั้นสัญญาณของนิพจน์ f (x) สลับกันไปตลอดช่วงเวลา (ดูรูปที่ 16a) การสลับนี้แสดงให้เห็นอย่างสะดวกโดยใช้เส้นโค้งหยักซึ่งลากจากขวาไปซ้ายและจากบนลงล่าง (รูปที่ 166) ในช่วงที่เส้นโค้งนี้ (บางครั้งเรียกว่าเส้นโค้งของสัญญาณ) อยู่เหนือแกน x ความไม่เท่าเทียมกัน f (x) > 0 เป็นที่พอใจ โดยที่เส้นโค้งนี้อยู่ใต้แกน x อสมการ f (x)< 0.

ตัวอย่างที่ 5แก้อสมการ

การตัดสินใจ.เรามี

(ทั้งสองส่วนของอสมการก่อนหน้านี้คูณด้วย 6)
หากต้องการใช้วิธีแบ่งช่วงเวลา ให้ทำเครื่องหมายจุดบนเส้นจำนวน (ที่จุดเหล่านี้ ตัวเศษของเศษส่วนที่อยู่ทางด้านซ้ายของอสมการจะหายไป) และจุด (ที่จุดเหล่านี้ ตัวส่วนของเศษส่วนที่ระบุจะหายไป) โดยปกติแล้ว จุดต่างๆ จะถูกทำเครื่องหมายตามแผนผัง โดยคำนึงถึงลำดับที่ตามมา (ซึ่งอยู่ทางขวา ซึ่งอยู่ทางซ้าย) และไม่ให้ความสนใจเป็นพิเศษกับมาตราส่วน เป็นที่ชัดเจนว่า สถานการณ์มีความซับซ้อนมากขึ้นด้วยตัวเลข การประมาณการ ครั้งแรกแสดงให้เห็นว่าตัวเลขทั้งสองมีค่ามากกว่า 2.6 เล็กน้อย ซึ่งไม่สามารถสรุปได้ว่าตัวเลขที่ระบุใดมากกว่าและน้อยกว่า สมมติว่า (สุ่ม) ว่า แล้ว
มันกลายเป็นความไม่เท่าเทียมกันที่ถูกต้องซึ่งหมายความว่าการเดาของเราได้รับการยืนยัน: อันที่จริง
ดังนั้น,

เราทำเครื่องหมาย 5 จุดที่ระบุตามลำดับที่ระบุบนเส้นจำนวน (รูปที่ 17a) จัดเรียงสัญญาณของการแสดงออก
ในช่วงเวลาที่ได้รับ: ด้านขวาสุด - เครื่องหมาย + จากนั้นสัญญาณจะสลับกัน (รูปที่ 176) ให้เราวาดเส้นโค้งของสัญญาณและเลือก (โดยการแรเงา) ช่วงเวลาที่อสมการ f (x) > 0 ที่เราสนใจพอใจ (รูปที่ 17c) ให้เราคำนึงถึงสิ่งนั้นในที่สุด เรากำลังพูดถึงเกี่ยวกับอสมการแบบไม่เข้มงวด f (x) > 0 ซึ่งหมายความว่าเรายังสนใจจุดที่นิพจน์ f (x) หายไปด้วย นี่คือรากของตัวเศษของเศษส่วน f (x) เช่น คะแนน เราทำเครื่องหมายในรูป 17 ในแวดวงมืด (และแน่นอนว่ารวมอยู่ในคำตอบด้วย) ตอนนี้นี่คือรูป 17c ให้แบบจำลองทางเรขาคณิตที่สมบูรณ์สำหรับคำตอบของอสมการที่กำหนด

ตัวอย่าง:

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(\leq0\)

\(\frac(1)(2x)\) \(+\) \(\frac(x)(x+1)\) \(<\)\(\frac{1}{2}\)

\(\frac(6)(x+1)\) \(>\) \(\frac(x^2-5x)(x+1)\)

เมื่อแก้อสมการเชิงตรรกยะเศษส่วนจะใช้วิธีช่วงเวลา ดังนั้น หากอัลกอริทึมด้านล่างนี้ทำให้คุณประสบปัญหา โปรดดูบทความเกี่ยวกับ .

วิธีแก้อสมการเชิงตรรกยะเศษส่วน:

อัลกอริทึมสำหรับการแก้อสมการเชิงตรรกยะเศษส่วน

ตัวอย่าง:



วางเครื่องหมายบนช่วงของแกนตัวเลข ฉันขอเตือนคุณถึงกฎสำหรับการจัดป้าย:

เรากำหนดเครื่องหมายในช่วงขวาสุด - เรานำตัวเลขจากช่วงเวลานี้มาแทนค่าในอสมการแทน x หลังจากนั้นเราจะกำหนดเครื่องหมายในวงเล็บและผลลัพธ์ของการคูณเครื่องหมายเหล่านี้

ตัวอย่าง:




เน้นช่องว่างที่คุณต้องการ หากมีรูทแยกต่างหาก ให้ทำเครื่องหมายด้วยแฟล็กเพื่อที่คุณจะไม่ลืมที่จะรวมไว้ในคำตอบ (ดูตัวอย่างด้านล่าง)

ตัวอย่าง:


เขียนคำตอบในช่องว่างที่ไฮไลต์และรากที่ทำเครื่องหมายด้วยแฟล็ก (ถ้ามี)

ตัวอย่าง:
คำตอบ: \((-∞;-1)∪(-1;1,2]∪)