รูปสามเหลี่ยมเป็นรูปหลายเหลี่ยมดั้งเดิมที่ล้อมรอบบนระนาบด้วยจุดสามจุดและส่วนของเส้นตรงสามเส้นที่เชื่อมต่อจุดเหล่านี้เป็นคู่ มุมในรูปสามเหลี่ยมมีทั้งมุมแหลม มุมป้าน และมุมฉาก ผลบวกของมุมในรูปสามเหลี่ยมต่อเนื่องกันเท่ากับ 180 องศา

คุณจะต้องการ

• ความรู้พื้นฐานทางเรขาคณิตและตรีโกณมิติ

คำแนะนำ

1. ให้เราแสดงความยาวของด้านของสามเหลี่ยม a=2, b=3, c=4 และมุมของมัน u, v, w ซึ่งแต่ละด้านจะอยู่ด้านตรงข้ามกัน ตามกฎของโคไซน์ กำลังสองของความยาวของด้านหนึ่งของสามเหลี่ยมจะเท่ากับผลบวกของกำลังสองของความยาวของอีก 2 ด้านลบด้วยผลคูณของด้านเหล่านี้ด้วยโคไซน์ของมุมระหว่างทั้งสอง นั่นคือ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cos(u) เราแทนความยาวของด้านลงในนิพจน์นี้และรับ: 4 \u003d 9 + 16 - 24cos (u)

2. ให้เราแสดง cos(u) จากความเท่าเทียมกันที่ได้รับ เราได้ค่าต่อไปนี้ cos(u) = 7/8 ต่อไปเราจะหามุมจริง u ในการทำเช่นนี้ เราคำนวณส่วนโค้ง (7/8) นั่นคือ มุม u = ส่วนโค้ง(7/8)

3. ในทำนองเดียวกัน การแสดงด้านอื่นๆ ในแง่ของส่วนที่เหลือ เราจะพบมุมที่เหลือ

บันทึก!
ค่าของมุมหนึ่งมุมต้องไม่เกิน 180 องศา เครื่องหมาย arccos() ต้องไม่มีจำนวนที่มากกว่า 1 และน้อยกว่า -1

คำแนะนำที่เป็นประโยชน์
ในการตรวจจับมุมทั้งสาม ไม่จำเป็นต้องแสดงทั้งสามด้าน อนุญาตให้ตรวจจับได้เพียง 2 มุม และมุมที่ 3 สามารถรับได้โดยการลบค่าของ 2 ที่เหลือออกจาก 180 องศา นี่เป็นผลมาจากความจริงที่ว่าผลรวมของมุมทั้งหมดของสามเหลี่ยมนั้นต่อเนื่องกันและเท่ากับ 180 องศา

ในเรขาคณิต มุมเป็นรูปที่เกิดจากรังสีสองเส้นพุ่งออกมาจากจุดหนึ่ง (จุดยอดของมุม) ส่วนใหญ่แล้ว มุมจะถูกวัดเป็นองศา โดยมีมุมเต็ม หรือรอบเท่ากับ 360 องศา คุณสามารถคำนวณมุมของรูปหลายเหลี่ยมได้หากคุณทราบประเภทของรูปหลายเหลี่ยมและขนาดของมุมอื่นๆ หรือในกรณีของสามเหลี่ยมมุมฉาก ความยาวของด้านทั้งสองด้าน

ขั้นตอน

การคำนวณมุมของรูปหลายเหลี่ยม

นับจำนวนมุมในรูปหลายเหลี่ยม

หาผลรวมของทุกมุมของรูปหลายเหลี่ยมสูตรการหาผลรวมของมุมภายในของรูปหลายเหลี่ยมคือ (n - 2) x 180 โดยที่ n คือจำนวนด้านและมุมของรูปหลายเหลี่ยม นี่คือผลบวกของมุมของรูปหลายเหลี่ยมทั่วไป:

• ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยม (รูปหลายเหลี่ยมสามด้าน) คือ 180 องศา
• ผลรวมของมุมของรูปสี่เหลี่ยม (รูปหลายเหลี่ยมสี่ด้าน) คือ 360 องศา
• ผลรวมของมุมของห้าเหลี่ยม (รูปหลายเหลี่ยมห้าเหลี่ยม) คือ 540 องศา
• ผลรวมของมุมของรูปหกเหลี่ยม (รูปหลายเหลี่ยมหกด้าน) คือ 720 องศา
• ผลรวมของมุมแปดเหลี่ยม (รูปหลายเหลี่ยมแปดเหลี่ยม) คือ 1080 องศา

1. ตรวจสอบว่ารูปหลายเหลี่ยมเป็นปกติหรือไม่รูปหลายเหลี่ยมปกติเป็นรูปที่ทุกด้านและทุกมุมเท่ากัน ตัวอย่างของรูปหลายเหลี่ยมปกติ ได้แก่ รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าและรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ในขณะที่อาคารเพนตากอนในวอชิงตัน ดี.ซี. สร้างขึ้นในรูปทรงของห้าเหลี่ยมปกติ และป้ายหยุดอยู่ในรูปของแปดเหลี่ยมปกติ

   เพิ่มมุมที่ทราบของรูปหลายเหลี่ยม แล้วลบผลรวมนี้ออกจากผลรวมของมุมทั้งหมดปัญหาทางเรขาคณิตประเภทนี้ส่วนใหญ่จะจัดการกับรูปสามเหลี่ยมหรือรูปสี่เหลี่ยม เนื่องจากต้องใช้ข้อมูลน้อยกว่า ดังนั้นเราจะทำเช่นเดียวกัน

   • ถ้ามุมสองมุมของสามเหลี่ยมเป็น 60 องศาและ 80 องศา ตามลำดับ ให้บวกเลขเหล่านั้น รับ 140 องศา จากนั้นลบผลรวมนี้ออกจากผลรวมของมุมทั้งหมดของสามเหลี่ยม เช่น จาก 180 องศา: 180 - 140 = 40 องศา (รูปสามเหลี่ยมซึ่งทุกมุมไม่เท่ากันเรียกว่าไม่มีด้านเท่า)
   • คุณสามารถเขียนคำตอบนี้เป็น a = 180 - (b + c) โดยที่ a คือมุมที่คุณต้องการหา b และ c คือมุมที่ทราบ สำหรับรูปหลายเหลี่ยมที่มีมากกว่าสามด้าน ให้แทนที่ 180 ด้วยผลรวมของมุมของรูปหลายเหลี่ยมประเภทที่กำหนด และเพิ่มเทอมหนึ่งให้กับผลรวมในวงเล็บสำหรับแต่ละมุมที่ทราบ
   • รูปหลายเหลี่ยมบางรูปมี "เคล็ดลับ" ของตัวเองเพื่อช่วยคุณคำนวณมุมที่ไม่รู้จัก ตัวอย่างเช่น สามเหลี่ยมหน้าจั่วเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีด้านเท่ากันสองด้านและมุมเท่ากันสองมุม สี่เหลี่ยมด้านขนานคือรูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านตรงข้ามและมุมตรงข้ามเท่ากัน

   การคำนวณมุมของสามเหลี่ยมมุมฉาก

   1. กำหนดข้อมูลที่คุณรู้สามเหลี่ยมมุมฉากถูกเรียกเช่นนี้เพราะมุมหนึ่งของมันเป็นมุมฉาก คุณสามารถหาค่าของมุมใดมุมหนึ่งจากสองมุมที่เหลือได้หากคุณทราบค่าใดค่าหนึ่งต่อไปนี้:

      กำหนดฟังก์ชันตรีโกณมิติที่จะใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติแสดงอัตราส่วนของสองในสามด้านของรูปสามเหลี่ยม มีฟังก์ชันตรีโกณมิติหกฟังก์ชัน แต่ต่อไปนี้เป็นฟังก์ชันที่ใช้บ่อยที่สุด:

ในชีวิตเรามักจะต้องเผชิญกับปัญหาทางคณิตศาสตร์: ที่โรงเรียน, ที่มหาวิทยาลัย, จากนั้นช่วยลูกทำการบ้าน คนบางอาชีพจะต้องเจอคณิตศาสตร์เป็นประจำทุกวัน ดังนั้นจึงเป็นประโยชน์ในการจดจำหรือระลึกถึงกฎทางคณิตศาสตร์ ในบทความนี้ เราจะวิเคราะห์หนึ่งในนั้น: การหาขาของสามเหลี่ยมมุมฉาก

สามเหลี่ยมมุมฉากคืออะไร

อันดับแรก จำกันก่อนว่าสามเหลี่ยมมุมฉากคืออะไร สามเหลี่ยมมุมฉากเป็นรูปทรงเรขาคณิตที่มีส่วนประกอบสามส่วนที่เชื่อมต่อจุดที่ไม่ได้อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน และมุมหนึ่งของรูปนี้คือ 90 องศา ด้านที่เป็นมุมฉากเรียกว่าขา และด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมฉากเรียกว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก

การหาขาของสามเหลี่ยมมุมฉาก

มีหลายวิธีในการหาความยาวของขา ฉันต้องการพิจารณารายละเอียดเพิ่มเติม

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสในการหาขาของสามเหลี่ยมมุมฉาก

ถ้าเรารู้ด้านตรงข้ามมุมฉากและขา เราก็สามารถหาความยาวของขาที่ไม่รู้จักได้โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ดูเหมือนว่า: "กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองของขา" สูตร: c²=a²+b² โดยที่ c คือด้านตรงข้ามมุมฉาก a และ b คือขา เราแปลงสูตรและรับ: a²=c²-b²

ตัวอย่าง. ด้านตรงข้ามมุมฉากคือ 5 ซม. และขาคือ 3 ซม. เราแปลงสูตร: c²=a²+b² → a²=c²-b² ต่อไป เราตัดสินใจว่า: a²=5²-3²; ก²=25-9; ก²=16; ก=√16; ก=4 (ซม.)

ความสัมพันธ์ตรีโกณมิติเพื่อหาขาของสามเหลี่ยมมุมฉาก

นอกจากนี้ยังเป็นไปได้ที่จะหาขาที่ไม่รู้จักหากทราบด้านอื่นและมุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉาก มีสี่ตัวเลือกในการค้นหาขาโดยใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติ: โดยไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์, โคแทนเจนต์ ในการแก้ปัญหาตารางด้านล่างจะช่วยเราได้ ลองพิจารณาตัวเลือกเหล่านี้

หาขาของสามเหลี่ยมมุมฉากโดยใช้ไซน์

ไซน์ของมุม (บาป) คืออัตราส่วนของขาตรงข้ามกับด้านตรงข้ามมุมฉาก สูตร: sin \u003d a / c โดยที่ a คือขาที่อยู่ตรงข้ามกับมุมที่กำหนด และ c คือด้านตรงข้ามมุมฉาก ต่อไป เราแปลงสูตรและได้: a=sin*c

ตัวอย่าง. ด้านตรงข้ามมุมฉากคือ 10 ซม. และมุม A คือ 30 องศา ตามตาราง เราคำนวณไซน์ของมุม A ซึ่งเท่ากับ 1/2 จากนั้นใช้สูตรที่แปลงแล้ว เราแก้ปัญหา: a=sin∠A*c; ก=1/2*10; ก=5 (ซม.)

หาขาของสามเหลี่ยมมุมฉากโดยใช้โคไซน์

โคไซน์ของมุม (cos) คืออัตราส่วนของขาข้างเคียงต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก สูตร: cos \u003d b / c โดยที่ b คือขาที่อยู่ติดกับมุมที่กำหนด และ c คือด้านตรงข้ามมุมฉาก ลองแปลงสูตรและรับ: b=cos*c

ตัวอย่าง. มุม A คือ 60 องศา ด้านตรงข้ามมุมฉากคือ 10 ซม. ตามตาราง เราคำนวณโคไซน์ของมุม A ซึ่งเท่ากับ 1/2 ต่อไป เราจะแก้ปัญหา: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (ซม.)

หาขาของสามเหลี่ยมมุมฉากโดยใช้เส้นสัมผัส

แทนเจนต์ของมุม (tg) คืออัตราส่วนของขาตรงข้ามกับมุมที่อยู่ติดกัน สูตร: tg \u003d a / b โดยที่ a คือขาตรงข้ามกับมุมและ b อยู่ติดกัน มาแปลงสูตรและรับ: a=tg*b

ตัวอย่าง. มุม A คือ 45 องศา ด้านตรงข้ามมุมฉากคือ 10 ซม. ตามตาราง เราคำนวณแทนเจนต์ของมุม A ซึ่งเท่ากับ Solve: a=tg∠A*b; ก=1*10; ก=10 (ซม.)

หาขาของสามเหลี่ยมมุมฉากโดยใช้โคแทนเจนต์

โคแทนเจนต์ของมุม (ctg) คืออัตราส่วนของขาข้างเคียงกับขาตรงข้าม สูตร: ctg \u003d b / a โดยที่ b คือขาที่อยู่ติดกับมุมและอยู่ตรงข้ามกัน กล่าวอีกนัยหนึ่ง โคแทนเจนต์คือ "แทนเจนต์กลับด้าน" เราได้รับ: b=ctg*a

ตัวอย่าง. มุม A คือ 30 องศา ขาตรงข้ามคือ 5 ซม. ตามตาราง เส้นสัมผัสของมุม A คือ √3 คำนวณ: b=ctg∠A*a; ข=√3*5; ข=5√3 (ซม.)

ตอนนี้คุณรู้วิธีหาขาในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากแล้ว อย่างที่คุณเห็นไม่ใช่เรื่องยากสิ่งสำคัญคือการจำสูตร

ในเรขาคณิต มักจะมีปัญหาเกี่ยวกับด้านของรูปสามเหลี่ยม ตัวอย่างเช่น บ่อยครั้งที่จำเป็นต้องหาด้านของสามเหลี่ยมหากรู้จักอีกสองด้าน

รูปสามเหลี่ยมเป็นรูปหน้าจั่ว ด้านเท่า และด้านเท่า จากความหลากหลายทั้งหมดสำหรับตัวอย่างแรกเราเลือกรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า (ในรูปสามเหลี่ยมมุมใดมุมหนึ่งคือ 90 °ด้านที่อยู่ติดกันเรียกว่าขาและด้านที่สามคือด้านตรงข้ามมุมฉาก)

การนำทางบทความอย่างรวดเร็ว

ความยาวของด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก

การแก้ปัญหาเป็นไปตามทฤษฎีบทของพีธากอรัสนักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่ กล่าวว่าผลรวมของกำลังสองของขาของสามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากับกำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉาก: a²+b²=c²

• ค้นหากำลังสองของความยาวขา a;
• ค้นหากำลังสองของขา b;
• เรารวมเข้าด้วยกัน
• จากผลลัพธ์เราแยกรากของระดับที่สอง

ตัวอย่าง: a=4, b=3, c=?

• ก²=4²=16;
• ข²=3²=9;
• 16+9=25;
• √25=5. นั่นคือความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมนี้คือ 5

หากรูปสามเหลี่ยมไม่มีมุมฉาก แสดงว่าความยาวของด้านทั้งสองไม่เพียงพอ สิ่งนี้ต้องการพารามิเตอร์ที่สาม: อาจเป็นมุม, ความสูง, พื้นที่ของสามเหลี่ยม, รัศมีของวงกลมที่จารึกไว้ ฯลฯ

หากทราบขอบเขตแล้ว

ในกรณีนี้งานจะง่ายยิ่งขึ้น เส้นรอบรูป (P) คือผลรวมของทุกด้านของสามเหลี่ยม: P=a+b+c ดังนั้นโดยการแก้สมการทางคณิตศาสตร์อย่างง่าย เราได้ผลลัพธ์

ตัวอย่าง: P=18, a=7, b=6, c=?

1) เราแก้สมการโดยโอนพารามิเตอร์ที่ทราบทั้งหมดไปยังด้านหนึ่งของเครื่องหมายเท่ากับ:

2) แทนที่ค่าและคำนวณด้านที่สาม:

c=18-7-6=5, ทั้งหมด: ด้านที่สามของสามเหลี่ยมคือ 5

หากทราบมุมแล้ว

ในการคำนวณด้านที่สามของรูปสามเหลี่ยมที่กำหนดมุมและอีกสองด้าน การแก้ปัญหาจะลดการคำนวณสมการตรีโกณมิติ เมื่อทราบความสัมพันธ์ของด้านสามเหลี่ยมและไซน์ของมุมแล้ว การคำนวณด้านที่สามจึงเป็นเรื่องง่าย ในการทำเช่นนี้ คุณต้องยกกำลังสองด้านและเพิ่มผลลัพธ์เข้าด้วยกัน จากนั้นให้ลบออกจากผลคูณของด้านที่เป็นผลลัพธ์ คูณด้วยโคไซน์ของมุม: C=√(a²+b²-a*b*cosα)

หากทราบพื้นที่แล้ว

ในกรณีนี้สูตรเดียวไม่เพียงพอ

1) อันดับแรก เราคำนวณ sin γ โดยแสดงจากสูตรสำหรับพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม:

บาป γ= 2S/(a*b)

2) ใช้สูตรต่อไปนี้ เราคำนวณโคไซน์ของมุมเดียวกัน:

บาป² α + cos² α=1

cos α=√(1 - บาป² α)=√(1- (2S/(a*b))²)

3) และอีกครั้งเราใช้ทฤษฎีบทไซน์:

C=√((a²+b²)-a*b*cosα)

C=√((a²+b²)-a*b*√(1- (S/(a*b))²))

การแทนค่าของตัวแปรลงในสมการนี้ เราจะได้คำตอบของปัญหา

ซึ่งทราบความยาวด้าน (a, b, c) ให้ใช้ทฤษฎีบทโคไซน์ เธอระบุว่ากำลังสองของความยาวของด้านใดด้านหนึ่งเท่ากับผลบวกของกำลังสองของความยาวของอีกสองด้าน ซึ่งผลคูณสองเท่าของความยาวของด้านเดียวกันทั้งสองด้านและโคไซน์ของมุมระหว่างทั้งสองจะถูกลบออก . คุณสามารถใช้ทฤษฎีบทนี้เพื่อคำนวณมุมที่จุดยอดใดก็ได้ สิ่งสำคัญคือต้องรู้เฉพาะตำแหน่งที่สัมพันธ์กับด้านข้างเท่านั้น ตัวอย่างเช่น หากต้องการหามุม α ที่อยู่ระหว่างด้าน b และ c ต้องเขียนทฤษฎีบทดังนี้: a² = b² + c² - 2*b*c*cos(α)

แสดงโคไซน์ของมุมที่ต้องการจากสูตร: cos(α) = (b²+c²-a²)/(2*b*c) ใช้ฟังก์ชันโคไซน์ผกผันกับทั้งสองส่วนของสมการ - อาร์คโคไซน์ ช่วยให้คุณคืนค่าของมุมเป็นองศาตามค่าของโคไซน์: arccos(cos(α)) = arccos((b²+c²-a²)/(2*b*c)). ด้านซ้ายสามารถทำให้ง่ายขึ้นได้ และการคำนวณมุมระหว่างด้าน b และ c จะอยู่ในรูปแบบสุดท้าย: α = arccos((b²+c²-a²)/2*b*c)

เมื่อหาขนาดของมุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก การรู้ความยาวของทุกด้านไม่จำเป็น แค่สองด้านก็เพียงพอแล้ว ถ้าด้านทั้งสองนี้เป็นขา (a และ b) ให้นำความยาวของด้านที่อยู่ตรงข้ามกับมุมที่ต้องการ (α) ไปหารด้วยความยาวของอีกด้านหนึ่ง ดังนั้น คุณจะได้ค่าแทนเจนต์ของมุมที่ต้องการ tg(α) = a/b และใช้ฟังก์ชันผกผัน - อาร์กแทนเจนต์ - กับทั้งสองส่วนของความเท่ากันและทำให้ด้านซ้ายง่ายขึ้น ดังเช่นในขั้นตอนที่แล้ว ได้มาซึ่งค่าสุดท้าย สูตร: α = arctg(a/b )

หากด้านที่ทราบคือขา (a) และด้านตรงข้ามมุมฉาก (c) ในการคำนวณมุม (β) ที่เกิดจากด้านเหล่านี้ ให้ใช้ฟังก์ชันโคไซน์และส่วนผกผัน - อาร์คโคไซน์ โคไซน์ถูกกำหนดโดยอัตราส่วนของความยาวของขาต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก และสามารถเขียนสูตรสุดท้ายได้ดังนี้: β = arccos(a/c) ในการคำนวณมุมแหลมเริ่มต้นเดียวกัน (α) ที่อยู่ตรงข้ามขาที่ทราบ ให้ใช้อัตราส่วนเดียวกันโดยแทนที่อาร์คโคไซน์ด้วยอาร์คไซน์: α = อาร์คซิน(a/c)

แหล่งที่มา:

• สูตรสามเหลี่ยมที่มี 2 ด้าน

เคล็ดลับ 2: วิธีหามุมของรูปสามเหลี่ยมตามความยาวของด้าน

มีหลายตัวเลือกในการค้นหาค่าของมุมทั้งหมดในรูปสามเหลี่ยม หากทราบความยาวของทั้งสามมุม ปาร์ตี้. วิธีหนึ่งคือใช้สูตรพื้นที่สองสูตร สามเหลี่ยม. เพื่อให้การคำนวณง่ายขึ้น คุณยังสามารถใช้ทฤษฎีบทไซน์และทฤษฎีบทเกี่ยวกับผลรวมของมุม สามเหลี่ยม.

คำแนะนำ

ตัวอย่างเช่น ใช้สูตรสองสูตรในการคำนวณพื้นที่ สามเหลี่ยมซึ่งหนึ่งในนั้นเกี่ยวข้องกับเขาเพียงสามคนเท่านั้นที่รู้จัก ปาร์ตี้ s (Gerona) และอีกสองคน ปาร์ตี้ s และไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน ใช้คู่ที่แตกต่างกันในสูตรที่สอง ปาร์ตี้คุณสามารถกำหนดขนาดของแต่ละมุมได้ สามเหลี่ยม.

แก้ปัญหาในแง่ทั่วไป สูตรของนกกระสากำหนดพื้นที่ สามเหลี่ยมเป็นรากที่สองของผลคูณของเส้นรอบวง (ครึ่งหนึ่งของทั้งหมด ปาร์ตี้) กับความแตกต่างระหว่างเส้นรอบวงและแต่ละส่วน ปาร์ตี้. หากเราแทนผลรวม ปาร์ตี้, สามารถเขียนสูตรได้ดังนี้: S=0.25∗√(a+b+c)∗(b+c-a)∗(a+c-b)∗(a+b-c).C another ปาร์ตี้พื้นที่ของ สามเหลี่ยมสามารถแสดงเป็นครึ่งหนึ่งของผลคูณของทั้งสอง ปาร์ตี้โดยไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน ตัวอย่างเช่นสำหรับ ปาร์ตี้ a และ b ที่มีมุม γ ระหว่างพวกมัน สูตรนี้สามารถเขียนได้ดังนี้: S=a∗b∗sin(γ) แทนที่ด้านซ้ายของสมการด้วยสูตรของเฮรอน: 0.25∗√(a+b+c)∗(b+c-a)∗(a+c-b)∗(a+b-c)=a∗b∗sin(γ) มาจากสมการนี้เป็นสูตรสำหรับ