การเปิดลูกบาศก์ผลรวม ลูกบาศก์ผลต่างและผลต่างของลูกบาศก์: กฎการใช้สูตรคูณแบบย่อ

สูตรคูณแบบย่อ การฝึกอบรม.

ลองประเมินนิพจน์ต่อไปนี้ด้วยวิธีนี้:

คำตอบ:

หรือถ้ารู้กำลังสองของเลขฐานสองหลัก จำได้ไหมว่าเท่าไหร่? คุณจำได้ไหม? - ยอดเยี่ยม! เนื่องจากเรากำลังยกกำลังสอง เราจึงต้องคูณด้วย ปรากฎว่า

โปรดจำไว้ว่าสูตรผลรวมกำลังสองและผลต่างกำลังสองนั้นใช้ได้ไม่เพียงแต่กับนิพจน์ตัวเลขเท่านั้น:

คำนวณนิพจน์ต่อไปนี้ด้วยตัวเอง:

คำตอบ:

สูตรคูณแบบย่อ บรรทัดล่าง

มาสรุปกันเล็กน้อยแล้วเขียนสูตรสำหรับกำลังสองของผลรวมและผลต่างในบรรทัดเดียว:

ทีนี้มาฝึก "ประกอบ" สูตรจากมุมมองที่แยกส่วนมาดูกันดีกว่า เราจะต้องใช้ทักษะนี้ในภายหลังเมื่อแปลงนิพจน์ขนาดใหญ่

สมมติว่าเรามีนิพจน์ต่อไปนี้:

เรารู้ว่ากำลังสองของผลรวม (หรือผลต่าง) คือ กำลังสองของตัวเลขหนึ่งตัว กำลังสองของจำนวนอื่นและ สองเท่าของผลคูณของตัวเลขเหล่านี้.

ในปัญหานี้ เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นกำลังสองของตัวเลขตัวเดียว - นี่ ดังนั้น หนึ่งในตัวเลขที่อยู่ในวงเล็บคือรากที่สองของ นั่นคือ

เนื่องจากเทอมที่สองประกอบด้วย หมายความว่านี่คือผลคูณของจำนวนหนึ่งและอีกจำนวนหนึ่ง ตามลำดับ:

ตัวเลขตัวที่สองรวมอยู่ในวงเล็บของเราอยู่ที่ไหน

ตัวเลขตัวที่สองในวงเล็บเท่ากับ

มาตรวจสอบกัน ควรจะเท่ากัน อันที่จริงเป็นเช่นนั้น ซึ่งหมายความว่าเราพบตัวเลขทั้งสองอยู่ในวงเล็บ: และ ยังคงต้องกำหนดป้ายที่อยู่ระหว่างพวกเขา คุณคิดว่าจะมีสัญญาณแบบไหน?

ขวา! เนื่องจากเรา เพิ่มหากผลคูณเป็นสองเท่าจะมีเครื่องหมายบวกระหว่างตัวเลข ตอนนี้เขียนนิพจน์ที่แปลงแล้ว คุณจัดการหรือไม่? คุณควรได้รับสิ่งต่อไปนี้:

หมายเหตุ: การเปลี่ยนตำแหน่งของข้อกำหนดจะไม่ส่งผลต่อผลลัพธ์ (ไม่สำคัญว่าจะบวกหรือลบระหว่างและ)

ไม่จำเป็นเลยที่คำศัพท์ในนิพจน์ที่กำลังแปลงจะต้องเป็นไปตามที่เขียนไว้ในสูตร ดูสำนวนนี้: . ลองแปลงเองครับ มันได้ผลเหรอ?

การปฏิบัติ - แปลงสำนวนต่อไปนี้:

คำตอบ:คุณจัดการหรือไม่? มาแก้ไขหัวข้อกันเถอะ เลือกจากนิพจน์ด้านล่างที่สามารถแสดงเป็นกำลังสองของผลรวมหรือผลต่าง

1. - พิสูจน์ว่ามันเทียบเท่า

1. - ไม่สามารถแสดงเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสได้ ใครๆ ก็จินตนาการได้ถ้ามีอยู่แทน

ความแตกต่างของกำลังสอง

สูตรการคูณแบบย่ออีกสูตรหนึ่งคือผลต่างของกำลังสอง

ความแตกต่างของกำลังสองไม่ใช่กำลังสองของความแตกต่าง!

ความแตกต่างระหว่างกำลังสองของตัวเลขสองตัวจะเท่ากับผลคูณของผลรวมของตัวเลขเหล่านี้และผลต่าง:

เรามาตรวจสอบว่าสูตรนี้ถูกต้องหรือไม่ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เรามาคูณกันเหมือนที่เราทำเมื่อหาสูตรสำหรับกำลังสองของผลรวมและผลต่าง:

เราจึงเพิ่งตรวจสอบแล้วว่าสูตรถูกต้องจริงๆ สูตรนี้ยังช่วยลดความยุ่งยากในการคำนวณที่ซับซ้อนอีกด้วย นี่คือตัวอย่าง:

มีความจำเป็นต้องคำนวณ: . แน่นอนว่าเราสามารถยกกำลังสอง จากนั้นยกกำลังสองและลบอันหนึ่งออกจากกัน แต่สูตรทำให้เราง่ายขึ้น:

มันได้ผลเหรอ? ลองเปรียบเทียบผลลัพธ์:

เช่นเดียวกับกำลังสองของผลรวม (ผลต่าง) สูตรผลต่างของกำลังสองสามารถใช้ได้ไม่เฉพาะกับตัวเลขเท่านั้น:

การรู้วิธีคำนวณความแตกต่างของกำลังสองจะช่วยให้เราแปลงนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนได้

โปรดทราบ:

เนื่องจากเมื่อแยกส่วนความแตกต่างของนิพจน์ที่ถูกต้องด้วยกำลังสองเราจึงได้

ระวังและดูว่าคำใดที่กำลังถูกยกกำลังสอง! หากต้องการรวมหัวข้อ ให้แปลงนิพจน์ต่อไปนี้:

คุณเขียนมันลงไปหรือเปล่า? ลองเปรียบเทียบนิพจน์ผลลัพธ์:

ตอนนี้คุณได้เข้าใจเรื่องกำลังสองของผลรวมและกำลังสองของผลต่างแล้ว รวมถึงผลต่างของกำลังสองแล้ว เรามาลองแก้ตัวอย่างโดยใช้สูตรทั้งสามสูตรรวมกันกัน

การแปลงนิพจน์เบื้องต้น (ผลรวมกำลังสอง ผลต่างกำลังสอง ผลต่างของกำลังสอง)

สมมติว่าเราได้รับตัวอย่าง

นิพจน์นี้จะต้องทำให้ง่ายขึ้น ดูดีๆ คุณเห็นอะไรในตัวเศษ? ถูกต้อง ตัวเศษคือกำลังสองสมบูรณ์:

เมื่อลดความซับซ้อนของนิพจน์ จำไว้ว่าคำใบ้ว่าจะต้องไปในทิศทางใดในการลดความซับซ้อนนั้นอยู่ในตัวส่วน (หรือตัวเศษ) ในกรณีของเรา เมื่อตัวส่วนถูกขยายและไม่สามารถทำอะไรได้อีก เราก็เข้าใจได้ว่าตัวเศษจะเป็นกำลังสองของผลรวมหรือกำลังสองของผลต่าง เนื่องจากเรากำลังบวก จึงชัดเจนว่าตัวเศษคือกำลังสองของผลรวม

ลองแปลงนิพจน์ต่อไปนี้ด้วยตนเอง:

มันได้ผลเหรอ? เปรียบเทียบคำตอบแล้วไปต่อ!

ลูกบาศก์ของผลรวมและลูกบาศก์ของผลต่าง

สูตรผลรวมลูกบาศก์และสูตรลูกบาศก์ผลต่างได้มาในลักษณะเดียวกับ กำลังสองของผลรวมและ ผลต่างกำลังสอง: วงเล็บเปิดเมื่อคูณพจน์กัน

หากการจำกำลังสองของผลรวมและกำลังสองของผลต่างนั้นง่ายมาก คำถามก็เกิดขึ้น: "จะจำลูกบาศก์ได้อย่างไร"

ดูสูตรทั้งสองที่อธิบายไว้อย่างละเอียดโดยเปรียบเทียบกับการยกกำลังสองพจน์ที่คล้ายกัน:

คุณเห็นรูปแบบอะไร?

1. เมื่อก่อสร้างแล้ว สี่เหลี่ยมเรามี สี่เหลี่ยมวันแรกและ สี่เหลี่ยมที่สอง; เมื่อยกเป็นลูกบาศก์ - ใช่ ลูกบาศก์หมายเลขเดียวกันและ ลูกบาศก์หมายเลขอื่น

2. เมื่อก่อสร้างแล้ว สี่เหลี่ยมเรามี เพิ่มเป็นสองเท่าผลคูณของตัวเลข (ตัวเลขที่ยกกำลัง 1 ซึ่งเป็นหนึ่งกำลังที่น้อยกว่าที่เรายกนิพจน์) ระหว่างการก่อสร้างใน ลูกบาศก์ - สามเท่าผลคูณที่มีตัวเลขตัวใดตัวหนึ่งถูกยกกำลังสอง (ซึ่งก็คือ 1 ยกกำลัง ซึ่งน้อยกว่ากำลังที่เรายกนิพจน์นั้นด้วย)

3. เมื่อยกกำลังสองเครื่องหมายในวงเล็บในนิพจน์เปิดจะปรากฏขึ้นเมื่อเพิ่ม (หรือลบ) ผลคูณคู่ - หากมีการบวกในวงเล็บเราจะบวกหากมีการลบเราจะลบออก เมื่อยกลูกบาศก์กฎคือ: หากเรามีลูกบาศก์รวมแล้วเครื่องหมายทั้งหมดจะเป็น "+" และถ้าเรามีลูกบาศก์ต่างกันเครื่องหมายจะสลับกัน: " ” - " ” - " ” - " " .

ทั้งหมดข้างต้นยกเว้นการพึ่งพาอำนาจเมื่อคูณเงื่อนไขแสดงในรูป

เรามาฝึกกันไหม? เปิดวงเล็บในนิพจน์ต่อไปนี้:

เปรียบเทียบนิพจน์ผลลัพธ์:

ความแตกต่างและผลรวมของลูกบาศก์

ลองดูสูตรคู่สุดท้าย: ผลต่างและผลรวมของลูกบาศก์

ดังที่เราจำได้ ในผลต่างของกำลังสอง เราจะคูณผลต่างและผลรวมของตัวเลขเหล่านี้ด้วยกัน นอกจากนี้ ยังมีวงเล็บสองอันสำหรับผลต่างของลูกบาศก์และผลรวมของลูกบาศก์:

1 วงเล็บ - ผลต่าง (หรือผลรวม) ของตัวเลขยกกำลังแรก (ขึ้นอยู่กับว่าเราเปิดเผยความแตกต่างหรือผลรวมของลูกบาศก์)

วงเล็บที่ 2 เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ไม่สมบูรณ์ (ดูใกล้ๆ ถ้าเราลบ (หรือบวก) ผลคูณของตัวเลข ก็จะเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส) เครื่องหมายเมื่อคูณตัวเลขจะอยู่ตรงข้ามกับเครื่องหมายของนิพจน์เดิม

เพื่อเน้นย้ำหัวข้อนี้ เรามาแก้ตัวอย่างกัน:

เปรียบเทียบนิพจน์ผลลัพธ์:

การฝึกอบรม

คำตอบ:

สรุป:

มีสูตรคูณแบบย่ออยู่ 7 สูตร:

ระดับขั้นสูง

สูตรการคูณแบบย่อคือสูตรที่รู้ว่าสูตรใดที่คุณสามารถหลีกเลี่ยงการดำเนินการมาตรฐานบางอย่างเมื่อลดความซับซ้อนของนิพจน์หรือการแยกตัวประกอบพหุนาม สูตรคูณแบบย่อต้องรู้ด้วยใจ!

1. กำลังสองของผลรวมสองนิพจน์จะเท่ากับกำลังสองของนิพจน์แรกบวกสองเท่าของผลคูณของนิพจน์แรกและนิพจน์ที่สองบวกกำลังสองของนิพจน์ที่สอง:
2. ผลต่างกำลังสองสองนิพจน์จะเท่ากับกำลังสองของนิพจน์แรกลบด้วยสองเท่าของผลคูณของนิพจน์แรกและนิพจน์ที่สองบวกกำลังสองของนิพจน์ที่สอง:
3. ความแตกต่างของกำลังสองสองนิพจน์เท่ากับผลคูณของความแตกต่างของนิพจน์เหล่านี้และผลรวม:
4. ลูกบาศก์ของผลรวมสองนิพจน์จะเท่ากับกำลังสามของนิพจน์แรก บวกสามเท่าของผลคูณของกำลังสองของนิพจน์แรก และนิพจน์ที่สองบวกสามเท่าของผลคูณของนิพจน์แรก และกำลังสองของนิพจน์ที่สองบวกลูกบาศก์ของนิพจน์ที่สอง:
5. ลูกบาศก์ความแตกต่างสองนิพจน์จะเท่ากับกำลังสามของนิพจน์แรก ลบด้วยผลคูณของกำลังสองของนิพจน์แรก และนิพจน์ที่สองบวกสามเท่าของผลคูณของนิพจน์แรก และกำลังสองของนิพจน์ที่สองลบด้วยลูกบาศก์ของนิพจน์ที่สอง:
6. ผลรวมของลูกบาศก์สองนิพจน์จะเท่ากับผลคูณของผลรวมของนิพจน์ที่หนึ่งและที่สองและกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของความแตกต่างของนิพจน์เหล่านี้:
7. ความแตกต่างของลูกบาศก์สองนิพจน์จะเท่ากับผลคูณของผลต่างของนิพจน์ที่หนึ่งและที่สองด้วยกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของผลรวมของนิพจน์เหล่านี้:

ทีนี้มาพิสูจน์สูตรทั้งหมดนี้กัน

สูตรคูณแบบย่อ การพิสูจน์.

1. .
การยกกำลังสองนิพจน์หมายถึงการคูณด้วยตัวมันเอง:
.

มาเปิดวงเล็บแล้วให้อันที่คล้ายกัน:

2. .
เราทำสิ่งเดียวกัน: เราคูณความแตกต่างด้วยตัวเอง เปิดวงเล็บแล้วให้อันที่คล้ายกัน:
.

3. .
ลองใช้นิพจน์ทางด้านขวาแล้วเปิดวงเล็บ:
.

4. .
ตัวเลขกำลังสามสามารถแสดงเป็นตัวเลขนี้คูณด้วยกำลังสอง:

เช่นเดียวกัน:

ในความแตกต่างของลูกบาศก์สัญญาณจะสลับกัน

6. .

.

7. .
เปิดวงเล็บทางด้านขวา:
.

การใช้สูตรคูณแบบย่อเพื่อแก้ตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 1:

ค้นหาความหมายของสำนวน:

สารละลาย:

1. เราใช้สูตรกำลังสองของผลรวม: .
2. ลองจินตนาการว่าตัวเลขนี้เป็นผลต่างและใช้สูตรสำหรับกำลังสองของผลต่าง:

ตัวอย่างที่ 2:

ค้นหาความหมายของสำนวน: .

สารละลาย:

เมื่อใช้สูตรสำหรับผลต่างของกำลังสองของสองนิพจน์ เราจะได้:

ตัวอย่างที่ 3:

ลดความซับซ้อนของนิพจน์:

วิธีแก้ปัญหาในสองวิธี:

ลองใช้สูตร: กำลังสองของผลรวมและกำลังสองของผลต่าง:

วิธีที่สอง

ลองใช้สูตรหาผลต่างของกำลังสองของสองนิพจน์:

ตอนนี้คำพูดของคุณ...

ฉันบอกคุณทุกอย่างที่ฉันรู้เกี่ยวกับสูตรคูณแบบย่อแล้ว

บอกฉันหน่อยสิ คุณจะใช้มันไหม? ถ้าไม่ทำไมจะไม่ได้?

คุณคิดอย่างไรกับบทความนี้?

บางทีคุณอาจมีคำถาม หรือข้อเสนอแนะ

เขียนในความคิดเห็น เราอ่านทุกความคิดเห็นและตอบกลับทั้งหมด

และขอให้โชคดีในการสอบ!

ในบทเรียนที่แล้ว เราพูดถึงการแยกตัวประกอบ เราเชี่ยวชาญสองวิธี: นำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บและการจัดกลุ่ม ในบทเรียนนี้ - วิธีการอันทรงพลังต่อไปนี้: สูตรคูณแบบย่อ- ในระยะสั้น - FSU

สูตรการคูณแบบย่อ (ผลรวมและผลต่างกำลังสอง ผลรวมและผลต่างลูกบาศก์ ผลต่างของกำลังสอง ผลรวมและผลต่างของลูกบาศก์) มีความจำเป็นอย่างยิ่งในทุกสาขาวิชาของคณิตศาสตร์ ใช้ในการลดความซับซ้อนของนิพจน์ การแก้สมการ การคูณพหุนาม การลดเศษส่วน การแก้ปริพันธ์ ฯลฯ ฯลฯ กล่าวโดยย่อคือ มีเหตุผลทุกประการที่ต้องจัดการกับพวกเขา ทำความเข้าใจว่าสิ่งเหล่านี้มาจากไหน เหตุใดจึงจำเป็น วิธีจดจำ และวิธีนำไปใช้

เราเข้าใจมั้ย?)

สูตรคูณแบบย่อมาจากไหน?

ความเท่าเทียมกัน 6 และ 7 ไม่ได้เขียนด้วยวิธีที่คุ้นเคยมากนัก มันตรงกันข้ามเลย นี่เป็นจุดประสงค์) ความเท่าเทียมกันใดๆ จะทำงานทั้งจากซ้ายไปขวาและจากขวาไปซ้าย รายการนี้ทำให้ชัดเจนยิ่งขึ้นว่า FSU มาจากไหน

นำมาจากการคูณ) ตัวอย่างเช่น:

(ก+ข) 2 =(ก+ข)(ก+ข)=ก 2 +ab+บา+ข 2 =ก 2 +2ab+ข 2

แค่นั้นแหละ ไม่มีเทคนิคทางวิทยาศาสตร์ เราเพียงแค่คูณวงเล็บแล้วให้อันที่คล้ายกัน นี่คือวิธีที่ปรากฎ สูตรคูณแบบย่อทั้งหมด ย่อการคูณเป็นเพราะในสูตรนั้นไม่มีการคูณวงเล็บและการลดลงของค่าที่คล้ายกัน ย่อ.) ทราบผลทันที.

FSU ต้องรู้ด้วยใจ หากไม่มีสามตัวแรก คุณจะไม่สามารถฝันถึง C; หากไม่มีส่วนที่เหลือ คุณจะไม่สามารถฝันถึง B หรือ A.)

ทำไมเราต้องมีสูตรคูณแบบย่อ?

มีเหตุผลสองประการในการเรียนรู้หรือจดจำสูตรเหล่านี้ ประการแรกคือคำตอบสำเร็จรูปจะช่วยลดจำนวนข้อผิดพลาดโดยอัตโนมัติ แต่นี่ไม่ใช่เหตุผลหลัก แต่อันที่สอง...

หากคุณชอบเว็บไซต์นี้...

ฉันมีเว็บไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามแห่งสำหรับคุณ)

คุณสามารถฝึกแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการยืนยันทันที มาเรียนรู้กันเถอะ - ด้วยความสนใจ!)

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์ได้

การยกกำลังเป็นการดำเนินการที่เกี่ยวข้องกับการคูณอย่างใกล้ชิด การดำเนินการนี้เป็นผลมาจากการคูณตัวเลขซ้ำๆ ด้วยตัวมันเอง ลองแทนมันด้วยสูตร: a1 * a2 * … * an = an

ตัวอย่างเช่น a=2, n=3: 2 * 2 * 2=2^3 = 8

โดยทั่วไป การยกกำลังมักใช้ในสูตรต่างๆ ในคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ ฟังก์ชันนี้มีวัตถุประสงค์ทางวิทยาศาสตร์มากกว่าฟังก์ชันหลักทั้งสี่: การบวก การลบ การคูณ การหาร

การยกจำนวนให้เป็นกำลัง

การเพิ่มจำนวนเป็นยกกำลังไม่ใช่การดำเนินการที่ซับซ้อน เกี่ยวข้องกับการคูณในลักษณะเดียวกันกับความสัมพันธ์ระหว่างการคูณและการบวก สัญกรณ์ a คือสัญกรณ์สั้นๆ ของตัวเลข "a" ตัวที่ n คูณกัน

พิจารณาการยกกำลังโดยใช้ตัวอย่างที่ง่ายที่สุด ไปสู่ตัวอย่างที่ซับซ้อนต่อไป

เช่น 42 42 = 4 * 4 = 16 สี่ยกกำลังสอง (ยกกำลังสอง) เท่ากับสิบหก หากคุณไม่เข้าใจการคูณ 4 * 4 โปรดอ่านบทความเกี่ยวกับการคูณของเรา

ลองดูตัวอย่างอื่น: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 - ห้ายกกำลังสาม (ยกกำลังสาม) เท่ากับ หนึ่งร้อยยี่สิบห้า

อีกตัวอย่างหนึ่ง: 9^3 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 - เก้าลูกบาศก์เท่ากับเจ็ดร้อยยี่สิบเก้า

สูตรการยกกำลัง

หากต้องการเพิ่มกำลังอย่างถูกต้อง คุณต้องจำและรู้สูตรที่ให้ไว้ด้านล่าง ไม่มีอะไรที่เป็นธรรมชาติเป็นพิเศษในเรื่องนี้ สิ่งสำคัญคือการเข้าใจแก่นแท้ จากนั้นพวกเขาจะไม่เพียงจดจำเท่านั้น แต่ยังดูง่ายอีกด้วย

การยกระดับ monomial สู่อำนาจ

monomial คืออะไร? นี่คือผลคูณของตัวเลขและตัวแปรในปริมาณใดๆ ตัวอย่างเช่น สองคือ monomial และบทความนี้เกี่ยวกับการยก monomial ดังกล่าวขึ้นสู่อำนาจอย่างแม่นยำ

การใช้สูตรสำหรับการยกกำลังจะทำให้การคำนวณการยกกำลังของเอกพจน์ไม่ใช่เรื่องยาก

ตัวอย่างเช่น, (3x^2y^3)^2= 3^2 * x^2 * 2 * y^(3 * 2) = 9x^4y^6- หากคุณยกกำลังแบบโมโนเมียล แต่ละองค์ประกอบของโมโนเมียลจะถูกยกกำลัง

โดยการเพิ่มตัวแปรที่มีกำลังอยู่แล้วให้เป็นกำลังนั้น ก็จะคูณกำลัง ตัวอย่างเช่น (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6 ;

กลายเป็นพลังลบ

กำลังลบคือส่วนกลับของตัวเลข เลขคู่กันคืออะไร? ส่วนกลับของจำนวน X ใดๆ คือ 1/X นั่นคือ X-1=1/X นี่คือสาระสำคัญของระดับลบ

ลองพิจารณาตัวอย่าง (3ป)^-3:

(3ป)^-3 = 1/(27ป^3)

ทำไมจึงเป็นเช่นนี้? เนื่องจากมีลบอยู่ในดีกรี เราก็แค่โอนพจน์นี้ไปที่ตัวส่วน แล้วยกมันขึ้นยกกำลังสาม ง่ายใช่มั้ย?

ยกกำลังเป็นเศษส่วน

เริ่มต้นด้วยการดูปัญหาด้วยตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจง 43/2. องศา 3/2 หมายถึงอะไร? 3 – ตัวเศษ หมายถึงการเพิ่มตัวเลข (ในกรณีนี้คือ 4) ให้เป็นลูกบาศก์ เลข 2 เป็นตัวส่วน มันคือการแยกรากที่สองของตัวเลข (ในกรณีนี้คือ 4)

จากนั้นเราจะได้รากที่สองของ 43 = 2^3 = 8 คำตอบ: 8.

ดังนั้น ตัวส่วนของกำลังเศษส่วนอาจเป็น 3 หรือ 4 หรืออาจเป็นจำนวนอนันต์ก็ได้ และจำนวนนี้จะกำหนดระดับของรากที่สองที่นำมาจากจำนวนที่กำหนด แน่นอนว่าตัวส่วนไม่สามารถเป็นศูนย์ได้

การหยั่งรากไปสู่พลัง

หากรากถูกยกขึ้นถึงระดับเท่ากับระดับของรากนั้นเอง คำตอบจะเป็นการแสดงออกทางราก ตัวอย่างเช่น (√x)2 = x ดังนั้นไม่ว่าในกรณีใด ระดับของรากและระดับของการเพิ่มรากจะเท่ากัน

ถ้า (√x)^4 จากนั้น (√x)^4=x^2 ในการตรวจสอบผลเฉลย เราจะแปลงนิพจน์ให้เป็นนิพจน์ที่มีกำลังเศษส่วน เนื่องจากรากเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส ตัวส่วนจึงเป็น 2 และถ้ารากยกกำลังสี่ ตัวเศษจะเป็น 4 เราจะได้ 4/2=2 คำตอบ: x = 2

ไม่ว่าในกรณีใด ตัวเลือกที่ดีที่สุดคือแปลงนิพจน์ให้เป็นนิพจน์ที่มีกำลังเศษส่วน ถ้าเศษส่วนไม่หักล้าง นี่คือคำตอบ โดยมีเงื่อนไขว่ารากของตัวเลขที่กำหนดนั้นไม่ได้ถูกแยกออกจากกัน

การยกจำนวนเชิงซ้อนยกกำลัง

จำนวนเชิงซ้อนคืออะไร? จำนวนเชิงซ้อนคือนิพจน์ที่มีสูตร a + b * i; a, b เป็นจำนวนจริง i คือตัวเลขที่เมื่อยกกำลังสองแล้วจะได้เลข -1

ลองดูตัวอย่าง (2 + 3i)^2.

(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i +(3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i

ลงทะเบียนสำหรับหลักสูตร "เร่งความเร็วเลขในใจ ไม่ใช่เลขในใจ" เพื่อเรียนรู้วิธีบวก ลบ คูณ หาร เลขยกกำลังสอง และแม้แต่แยกรากอย่างรวดเร็วและถูกต้อง ใน 30 วัน คุณจะได้เรียนรู้วิธีใช้เคล็ดลับง่ายๆ เพื่อทำให้การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ง่ายขึ้น แต่ละบทเรียนประกอบด้วยเทคนิคใหม่ๆ ตัวอย่างที่ชัดเจน และงานที่เป็นประโยชน์

การยกกำลังออนไลน์

เมื่อใช้เครื่องคิดเลขของเรา คุณสามารถคำนวณการเพิ่มจำนวนเป็นกำลังได้:

การยกกำลังเกรด 7

เด็กนักเรียนเริ่มมีอำนาจเฉพาะในชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 เท่านั้น

การยกกำลังเป็นการดำเนินการที่เกี่ยวข้องกับการคูณอย่างใกล้ชิด การดำเนินการนี้เป็นผลมาจากการคูณตัวเลขซ้ำๆ ด้วยตัวมันเอง ลองแทนมันด้วยสูตร: a1 * a2 * … * an=an

ตัวอย่างเช่น, ก=2, n=3: 2 * 2 * 2 = 2^3 = 8.

ตัวอย่างการแก้ปัญหา:

การนำเสนอการยกกำลัง

การนำเสนอเรื่องการยกระดับอำนาจ ออกแบบมาสำหรับนักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 การนำเสนออาจมีการชี้แจงประเด็นที่ไม่ชัดเจนบางประการ แต่ประเด็นเหล่านี้อาจจะไม่สามารถอธิบายให้กระจ่างได้เนื่องจากบทความของเรา

บรรทัดล่าง

เราได้ดูเพียงส่วนปลายของภูเขาน้ำแข็งเพื่อทำความเข้าใจคณิตศาสตร์ได้ดีขึ้น - ลงทะเบียนเรียนหลักสูตรของเรา: การเร่งความเร็วของการคำนวณทางจิต - ไม่ใช่การคำนวณทางจิต

จากหลักสูตรนี้ คุณจะไม่เพียงแต่ได้เรียนรู้เทคนิคมากมายสำหรับการคูณ การบวก การคูณ การหาร และการคำนวณเปอร์เซ็นต์แบบง่ายและรวดเร็ว แต่คุณยังจะได้ฝึกฝนในงานพิเศษและเกมการศึกษาอีกด้วย! การคำนวณทางจิตยังต้องอาศัยความสนใจและสมาธิอย่างมากซึ่งได้รับการฝึกฝนอย่างแข็งขันเมื่อแก้ไขปัญหาที่น่าสนใจ

ในทางปฏิบัติมักใช้สูตรนิพจน์แบบย่อดังนั้นจึงแนะนำให้เรียนรู้ด้วยใจจริง จนถึงขณะนี้จะให้บริการเราอย่างซื่อสัตย์ซึ่งเราแนะนำให้พิมพ์ออกมาและเก็บไว้ต่อหน้าต่อตาคุณตลอดเวลา:

สูตรสี่สูตรแรกจากตารางสูตรคูณแบบย่อที่คอมไพล์แล้วช่วยให้คุณสามารถยกกำลังสองและยกกำลังสามของผลรวมหรือผลต่างของสองนิพจน์ได้ ส่วนที่ห้ามีจุดประสงค์เพื่อการคูณความแตกต่างและผลรวมของสองนิพจน์โดยย่อ และสูตรที่หกและเจ็ดใช้ในการคูณผลรวมของสองนิพจน์ a และ b ด้วยกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของความแตกต่าง (นี่คือสิ่งที่เรียกว่านิพจน์ในรูปแบบ a 2 −a b+b 2) และผลต่างของสอง นิพจน์ a และ b ด้วยกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของผลรวม (a 2 + a·b+b 2 ) ตามลำดับ

เป็นที่น่าสังเกตว่าแต่ละความเท่าเทียมกันในตารางมีเอกลักษณ์เฉพาะตัว สิ่งนี้อธิบายว่าทำไมสูตรการคูณแบบย่อจึงเรียกว่าอัตลักษณ์การคูณแบบย่อ

เมื่อแก้ตัวอย่าง โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อแยกตัวประกอบพหุนามแล้ว FSU มักจะใช้ในรูปแบบที่มีการสลับด้านซ้ายและขวา:

ข้อมูลระบุตัวตนสามรายการสุดท้ายในตารางมีชื่อเป็นของตัวเอง เรียกสูตร a 2 −b 2 =(a−b)·(a+b) ผลต่างของสูตรกำลังสอง, a 3 +b 3 =(a+b)·(a 2 −a·b+b 2) - สูตรผลรวมของลูกบาศก์, ก a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+b 2) - ความแตกต่างของสูตรลูกบาศก์- โปรดทราบว่าเราไม่ได้ตั้งชื่อสูตรที่เกี่ยวข้องโดยจัดเรียงส่วนที่ใหม่จากตารางก่อนหน้า

สูตรเพิ่มเติม

การเพิ่มข้อมูลประจำตัวอีกสองสามรายการลงในตารางสูตรคูณแบบย่อนั้นไม่ใช่เรื่องเสียหาย

พื้นที่การประยุกต์ใช้สูตรคูณแบบย่อ (FSU) และตัวอย่าง

วัตถุประสงค์หลักของสูตรคูณแบบย่อ (fsu) อธิบายได้ด้วยชื่อนั่นคือประกอบด้วยนิพจน์การคูณแบบย่อ อย่างไรก็ตาม ขอบเขตการใช้ FSU นั้นกว้างกว่ามาก และไม่จำกัดเพียงการคูณสั้นๆ เรามาแสดงรายการทิศทางหลักกัน

ไม่ต้องสงสัยเลยว่ามีการใช้สูตรคูณแบบย่อในการแปลงนิพจน์ที่เหมือนกัน ส่วนใหญ่มักใช้สูตรเหล่านี้ในกระบวนการ ลดความซับซ้อนของการแสดงออก.

ตัวอย่าง.

ลดรูปนิพจน์ 9·y−(1+3·y) 2

สารละลาย.

ในนิพจน์นี้ การยกกำลังสองสามารถดำเนินการแบบย่อได้ 9 y−(1+3 y) 2 =9 y−(1 2 +2 1 3 y+(3 y) 2)- สิ่งที่เหลืออยู่คือการเปิดวงเล็บและนำเงื่อนไขที่คล้ายกัน: 9 ปี−(1 2 +2 1 3 ปี+(3 ปี) 2)= 9·y−1−6·y−9·y 2 =3·y−1−9·y 2.

ปัจจัยสามประการซึ่งแต่ละปัจจัยมีค่าเท่ากัน x.(\displaystyle x.) การดำเนินการทางคณิตศาสตร์นี้เรียกว่า "คิวบ์" และผลลัพธ์จะแสดงแทน:

x 3 (\รูปแบบการแสดงผล x^(3))

x 3 = x ⋅ x ⋅ x (\รูปแบบการแสดงผล x^(3)=x\cdot x\cdot x) ลูกบาศก์สำหรับกำลังสาม การดำเนินการผกผันคือใช้รากที่สาม ชื่อเรขาคณิตของระดับที่สาม " "เป็นเพราะความจริงที่ว่านักคณิตศาสตร์โบราณถือว่าค่าของลูกบาศก์เป็นตัวเลขลูกบาศก์ ซึ่งเป็นตัวเลขหยิกชนิดพิเศษ (ดูด้านล่าง) เนื่องจากเป็นกำลังสามของตัวเลข x (\รูปแบบการแสดงผล x) ซึ่งเป็นตัวเลขหยิกชนิดพิเศษ (ดูด้านล่าง) เนื่องจากเป็นกำลังสามของตัวเลข.

เท่ากับปริมาตรของลูกบาศก์ที่มีความยาวขอบเท่ากับ

, , , , , 125, 216, 343, 512, 729, , 1331, , 2197, 2744, 3375, 4096, 4913, 5832, 6859, 8000, 9261, 10648, 12167, 13824, 15625, 17576, 19683, 21952, 24389, 27000, 29791, 32768, 35937, 39304, 42875, 46656, 50653, 54872, 59319, 64000, 68921, 74088, 79507, 85184, 91125, 97736, 103823, 110592, 117649, 125000, 132651, 140608, 148877, 157464, 166375, 175616, 185193, 195112, 205379, 216000, 226981, 238328…

ลำดับของลูกบาศก์ ผลรวมของลูกบาศก์แรก n (\displaystyle n)

จำนวนธรรมชาติที่เป็นบวกคำนวณโดยสูตร:

∑ i = 1 n i 3 = 1 3 + 2 3 + 3 3 + … + n 3 = (n (n + 1) 2) 2 (\displaystyle \sum _(i=1)^(n)i^(3 )=1^(3)+2^(3)+3^(3)+\ldots +n^(3)=\left((\frac (n(n+1))(2))\right) ^(2))

สูตรสำหรับผลรวมของลูกบาศก์สามารถหาได้โดยใช้ตารางสูตรคูณและสูตรสำหรับผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ เมื่อพิจารณาตารางสูตรคูณ 5×5 สองตารางเป็นตัวอย่างของวิธีการ เราจะดำเนินการหาเหตุผลสำหรับตารางขนาด n×n

ตารางสูตรคูณและลูกบาศก์ตัวเลข × 1 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 2 2 4 6 8 10 3 3 6 9 12 15 4 4 8 12 16 20 5 5 10 15 20 25

ตารางสูตรคูณและความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ × 1 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 2 2 4 6 8 10 3 3 6 9 12 15 4 4 8 12 16 20 5 5 10 15 20 25

ผลรวมของตัวเลขในพื้นที่ k-th (k=1,2,...) พื้นที่ที่เลือกของตารางแรก:

k 2 + 2 k ∑ l = 1 k − 1 l = k 2 + 2 k k (k − 1) 2 = k 3 (\displaystyle k^(2)+2k\sum _(l=1)^(k- 1)l=k^(2)+2k(\frac (k(k-1))(2))=k^(3))

และผลรวมของตัวเลขในพื้นที่ k-th (k=1,2,...) พื้นที่ที่เลือกของตารางที่สองซึ่งแสดงถึงความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์:

k ∑ l = 1 n l = k n (n + 1) 2 (\displaystyle k\sum _(l=1)^(n)l=k(\frac (n(n+1))(2)))

เมื่อรวมพื้นที่ที่เลือกทั้งหมดของตารางแรก เราจะได้ตัวเลขเดียวกันกับการสรุปพื้นที่ที่เลือกทั้งหมดของตารางที่สอง:

∑ k = 1 n k 3 = ∑ k = 1 n k n (n + 1) 2 = n (n + 1) 2 ∑ k = 1 n k = (n (n + 1) 2) 2 (\displaystyle \sum _(k =1)^(n)k^(3)=\sum _(k=1)^(n)k(\frac (n(n+1))(2))=(\frac (n(n+ 1 ))(2))\sum _(k=1)^(n)k=\left((\frac (n(n+1))(2))\right)^(2))

คุณสมบัติบางอย่าง

• ในรูปแบบทศนิยม ลูกบาศก์สามารถลงท้ายด้วยตัวเลขใดๆ ก็ได้ (ไม่เหมือนกับสี่เหลี่ยมจัตุรัส)
• ในรูปแบบทศนิยม ตัวเลขสองตัวสุดท้ายของลูกบาศก์อาจเป็น 00, 01, 03, 04, 07, 08, 09, 11, 12, 13, 16, 17, 19, 21, 23, 24, 25, 27, 28 , 29, 31 , 32, 33, 36, 37, 39, 41, 43, 44, 47, 48, 49, 51, 52, 53, 56, 57, 59, 61, 63, 64, 67, 68, 69 , 71, 72 , 73, 75, 76, 77, 79, 81, 83, 84, 87, 88, 89, 91, 92, 93, 96, 97, 99. การขึ้นต่อกันของหลักสุดท้ายของลูกบาศก์บน สุดท้ายสามารถนำเสนอได้ในตารางต่อไปนี้:

ลูกบาศก์เป็นตัวเลขที่คิดได้

"เลขลูกบาศก์" Q n = n 3 (\displaystyle Q_(n)=n^(3))ในอดีตมองว่าเป็นตัวเลขคิดเชิงพื้นที่ประเภทหนึ่ง สามารถแสดงเป็นผลต่างของกำลังสองของตัวเลขสามเหลี่ยมต่อเนื่องกัน T n (\displaystyle T_(n)):

Q n = (T n) 2 − (T n − 1) 2 , n ⩾ 2 (\displaystyle Q_(n)=(T_(n))^(2)-(T_(n-1))^(2 ),n\geqslant 2) Q 1 + Q 2 + Q 3 + ⋯ + Q n = (T n) 2 (\displaystyle Q_(1)+Q_(2)+Q_(3)+\dots +Q_(n)=(T_(n) )^(2))

ความแตกต่างระหว่างเลขลูกบาศก์สองตัวที่อยู่ติดกันคือเลขหกเหลี่ยมที่อยู่ตรงกลาง

แสดงเลขลูกบาศก์ในรูปของจัตุรมุข Π n (3) (\displaystyle \Pi _(n)^((3))).