ทฤษฎีบทพีทาโกรัสแบบขยาย วิธีต่างๆ ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเป็นข้อความที่สำคัญที่สุดของเรขาคณิต ทฤษฎีบทถูกกำหนดดังนี้: พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากับผลรวมของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นบนขาของมัน

โดยปกติแล้วการค้นพบข้อความนี้จะมาจากนักปรัชญาชาวกรีกโบราณและนักคณิตศาสตร์ Pythagoras (ศตวรรษที่ 6 ก่อนคริสต์ศักราช) แต่จากการศึกษาแผ่นจารึกอักษรคูนิฟอร์มของชาวบาบิโลนและต้นฉบับภาษาจีนโบราณ (สำเนาของต้นฉบับที่เก่าแก่กว่านั้น) แสดงให้เห็นว่าข้อความนี้เป็นที่รู้จักมานานก่อนปีทาโกรัส บางทีอาจเป็นพันปีก่อนหน้าเขา ข้อดีของพีทาโกรัสคือเขาค้นพบข้อพิสูจน์ของทฤษฎีบทนี้

อาจเป็นไปได้ว่าข้อเท็จจริงที่ระบุไว้ในทฤษฎีบทพีทาโกรัสมีขึ้นเป็นครั้งแรกสำหรับสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่ว ก็เพียงพอที่จะดูภาพโมเสกของสามเหลี่ยมสีดำและสีอ่อนที่แสดงในรูปที่ 1 เพื่อตรวจสอบความถูกต้องของทฤษฎีบทสามเหลี่ยม: สี่เหลี่ยมที่สร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉากมีสามเหลี่ยม 4 อัน และสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีสามเหลี่ยม 2 อันถูกสร้างขึ้นที่ขาแต่ละข้าง เพื่อเป็นหลักฐาน กรณีทั่วไปใน อินเดียโบราณจัดเรียงเป็นสองวิธี: ในสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านข้างสี่สามเหลี่ยมมุมฉากที่มีความยาวขาและถูกวาด (รูปที่ 2, a และ 2, b) หลังจากนั้นพวกเขาเขียนคำเดียวว่า "ดู!" และเมื่อมองไปที่ตัวเลขเหล่านี้เราจะเห็นว่าทางด้านซ้ายเป็นรูปที่ไม่มีรูปสามเหลี่ยมซึ่งประกอบด้วยสี่เหลี่ยมสองช่องที่มีด้านและพื้นที่เท่ากันตามลำดับและด้านขวา - สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน - พื้นที่ของมันคือ เท่ากัน. ดังนั้น ซึ่งเป็นคำสั่งของทฤษฎีบทพีทาโกรัส

อย่างไรก็ตาม เป็นเวลากว่าสองพันปีแล้ว มันไม่ใช่หลักฐานที่มองเห็นได้ แต่เป็นหลักฐานที่ซับซ้อนกว่าที่ยุคลิดคิดค้นขึ้น ซึ่งบรรจุไว้ในหนังสือชื่อดังของเขาเรื่อง "Beginnings" (ดู Euclid and his "Beginnings") Euclid ลดความสูงจาก ด้านบน มุมฉากด้านตรงข้ามมุมฉากและพิสูจน์ว่าความต่อเนื่องของมันแบ่งสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างบนด้านตรงข้ามมุมฉากออกเป็นสองสี่เหลี่ยมซึ่งมีพื้นที่เท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่สอดคล้องกันซึ่งสร้างบนขา (รูปที่ 3) ภาพวาดที่ใช้ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้เรียกติดตลกว่า "กางเกงปีทาโกรัส" เป็นเวลานานที่เขาถือว่าเป็นหนึ่งในสัญลักษณ์ของวิทยาศาสตร์ทางคณิตศาสตร์

วันนี้มีหลายโหล หลักฐานต่างๆทฤษฎีบทปีทาโกรัส. บางส่วนขึ้นอยู่กับพาร์ติชันของสี่เหลี่ยมจัตุรัสซึ่งสร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉากประกอบด้วยชิ้นส่วนที่รวมอยู่ในพาร์ติชันของสี่เหลี่ยมที่สร้างขึ้นบนขา อื่น ๆ - เป็นส่วนเสริมของตัวเลขที่เท่ากัน ประการที่สาม - จากความจริงที่ว่าความสูงซึ่งลดลงจากจุดยอดของมุมฉากถึงด้านตรงข้ามมุมฉากแบ่งสามเหลี่ยมมุมฉากออกเป็นสองรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสรองรับมากที่สุด การคำนวณทางเรขาคณิต. แม้แต่ในบาบิโลนโบราณก็ใช้ในการคำนวณความยาวของส่วนสูง สามเหลี่ยมหน้าจั่วตามความยาวของฐานและด้านข้าง, ลูกศรของส่วนตามเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมและความยาวของคอร์ด, อัตราส่วนระหว่างองค์ประกอบของรูปหลายเหลี่ยมปกติบางตัวถูกสร้างขึ้น ด้วยความช่วยเหลือของทฤษฎีบทพีทาโกรัส การสรุปภาพรวมของมันได้รับการพิสูจน์ ซึ่งทำให้สามารถคำนวณความยาวของด้านที่อยู่ตรงข้ามกับมุมแหลมหรือมุมป้านได้:

จากลักษณะทั่วไปนี้เป็นไปตามที่การมีมุมฉากในไม่เพียงเพียงพอ แต่ยังเป็นเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการปฏิบัติตามความเท่าเทียมกัน . สูตร (1) หมายถึงความสัมพันธ์ ระหว่างความยาวของเส้นทแยงมุมและด้านของสี่เหลี่ยมด้านขนาน ซึ่งง่ายต่อการหาความยาวของด้านมัธยฐานของรูปสามเหลี่ยม

ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส สูตรยังได้มาจากการแสดงพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมใดๆ ในแง่ของความยาวของด้าน (ดูสูตรของ Heron) แน่นอน ทฤษฎีบทพีทาโกรัสยังใช้ในการแก้ปัญหาเชิงปฏิบัติต่างๆ

แทนที่จะเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้านข้างของสามเหลี่ยมมุมฉาก คุณสามารถสร้างรูปทรงใดก็ได้ที่คล้ายกัน (สามเหลี่ยมด้านเท่า ครึ่งวงกลม ฯลฯ) ในกรณีนี้ พื้นที่ของตัวเลขที่สร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉากจะเท่ากับผลรวมของพื้นที่ของตัวเลขที่สร้างขึ้นบนขา ความหมายทั่วไปอื่นเกี่ยวข้องกับการเปลี่ยนจากระนาบสู่อวกาศ มีสูตรดังนี้: กำลังสองของความยาวของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนาน เท่ากับผลรวมกำลังสองของการวัด (ความยาว ความกว้าง และความสูง) ทฤษฎีบทที่คล้ายกันยังเป็นจริงในกรณีหลายมิติและแม้แต่อนันต์มิติ

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสมีอยู่ในเรขาคณิตแบบยุคลิดเท่านั้น มันไม่ได้เกิดขึ้นในเรขาคณิตของ Lobachevsky หรือในเรขาคณิตอื่นที่ไม่ใช่แบบยุคลิด ไม่มีความคล้ายคลึงของทฤษฎีบทพีทาโกรัสบนทรงกลมเช่นกัน เส้นเมอริเดียนสองเส้นก่อตัวเป็นมุม 90° และเส้นศูนย์สูตรจับสามเหลี่ยมทรงกลมด้านเท่าไว้บนทรงกลม ซึ่งทั้งสามเส้นเป็นมุมฉาก สำหรับเขาไม่เหมือนบนเครื่องบิน

ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส คำนวณระยะห่างระหว่างจุดและ ระนาบพิกัดตามสูตร

.

หลังจากค้นพบทฤษฎีบทพีทาโกรัสแล้ว คำถามก็เกิดขึ้นว่าจะหาจำนวนธรรมชาติสามเท่าทั้งหมดที่สามารถเป็นด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากได้อย่างไร (ดูทฤษฎีบทยิ่งใหญ่ของแฟร์มาต์) พวกเขาถูกค้นพบโดยชาวปีทาโกรัส แต่วิธีการทั่วไปบางอย่างในการค้นหาจำนวนสามเท่านั้นเป็นที่รู้จักแม้แต่กับชาวบาบิโลน หนึ่งในแท็บเล็ตฟอร์มมี 15 แฝด ในหมู่พวกเขามีสามประกอบด้วยดังนั้น ตัวเลขขนาดใหญ่ไม่ต้องสงสัยเลยว่าการค้นหาพวกเขาโดยการเลือก

นรกฮิปโปคราเต

หลุม Hippocratic - ตัวเลขที่ล้อมรอบด้วยส่วนโค้งของวงกลมสองวงและยิ่งไปกว่านั้นในรัศมีและความยาว คอร์ดทั่วไปของวงกลมเหล่านี้ ด้วยความช่วยเหลือของเข็มทิศและเส้นตรง คุณสามารถสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีพื้นที่เท่ากันได้

จากการสรุปทฤษฎีบทพีทาโกรัสเป็นครึ่งวงกลม ผลรวมของพื้นที่ของหลุมสีชมพูที่แสดงในรูปด้านซ้ายเท่ากับพื้นที่ของสามเหลี่ยมสีน้ำเงิน ดังนั้นหากเราใช้สามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่วเราจะได้สองรูซึ่งพื้นที่แต่ละรูจะเท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่สามเหลี่ยม พยายามที่จะแก้ปัญหาของสี่เหลี่ยมวงกลม (เปรียบเทียบ ปัญหาคลาสสิกสมัยโบราณ) นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณฮิปโปเครติส (ศตวรรษที่ 5 ก่อนคริสต์ศักราช) พบหลุมอีกหลายหลุมซึ่งพื้นที่ที่แสดงในรูปของพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

รายชื่อหลุมฮิปโปชายขอบที่สมบูรณ์ได้รับเฉพาะในศตวรรษที่ 19-20 โดยใช้วิธีทฤษฎีกาลัวส์

ทฤษฎีบทปีทาโกรัส

ชะตากรรมของทฤษฎีบทและปัญหาอื่นๆ นั้นแปลกประหลาด... เราจะอธิบายได้อย่างไร เช่น ความสนใจเป็นพิเศษของนักคณิตศาสตร์และนักคณิตศาสตร์ต่อทฤษฎีบทพีทาโกรัส เหตุใดพวกเขาจำนวนมากจึงไม่พอใจกับข้อพิสูจน์ที่รู้อยู่แล้ว แต่พบข้อพิสูจน์ของตนเอง ทำให้จำนวนข้อพิสูจน์เพิ่มขึ้นเป็นหลายร้อยในยี่สิบห้าศตวรรษที่สังเกตได้โดยเปรียบเทียบ
เมื่อไร เรากำลังพูดถึงเกี่ยวกับทฤษฎีบทพีทาโกรัส ความผิดปกติเริ่มต้นจากชื่อของมันแล้ว มีความเชื่อกันว่าไม่ใช่ Pythagoras ที่คิดค้นมันเป็นครั้งแรก ยังเป็นที่น่าสงสัยว่าเขาให้หลักฐานกับเธอ ถ้าพีทาโกรัส - ใบหน้าที่แท้จริง(บางคนสงสัยด้วยซ้ำ!) จากนั้นเขาน่าจะมีชีวิตอยู่ในศตวรรษที่ 6-5 พ.ศ อี ตัวเขาเองไม่ได้เขียนอะไรเลย เขาเรียกตัวเองว่าเป็นนักปรัชญา ซึ่งตามความเข้าใจของเขาแล้ว เขาจึงก่อตั้งกลุ่ม Pythagorean Union ซึ่งสมาชิกมีส่วนร่วมในดนตรี ยิมนาสติก คณิตศาสตร์ ฟิสิกส์ และดาราศาสตร์ เห็นได้ชัดว่าเขายังเป็นนักพูดที่ยอดเยี่ยมอีกด้วย ดังที่เห็นได้จากตำนานต่อไปนี้เกี่ยวกับการที่เขาอยู่ในเมืองสลอด: สรุปหน้าที่ของชายหนุ่มที่ผู้อาวุโสในเมืองขอร้องไม่ให้ละทิ้งพวกเขาโดยไม่สอน ในสุนทรพจน์ครั้งที่สองนี้ เขาชี้ให้เห็นถึงความถูกต้องตามกฎหมายและความบริสุทธิ์ของศีลธรรม ซึ่งเป็นรากฐานของครอบครัว ในสองถัดมาเขาพูดกับเด็กและผู้หญิง ผลที่ตามมา คำพูดสุดท้ายที่เขาประณามความหรูหราเป็นพิเศษคือชุดล้ำค่าหลายพันชุดถูกส่งไปยังวิหารของ Hera เพราะไม่มีผู้หญิงคนเดียวที่กล้าแสดงตัวบนถนนอีกต่อไป ... ” อย่างไรก็ตามย้อนกลับไปในศตวรรษที่สองของยุคของเรา นั่นคือ . หลังจากผ่านไป 700 ปี พวกเขาใช้ชีวิตและทำงานอย่างสมบูรณ์ คนจริงนักวิทยาศาสตร์ที่โดดเด่นซึ่งได้รับอิทธิพลอย่างชัดเจนจากสหภาพ Pythagorean และด้วยความเคารพอย่างสูงในสิ่งที่ Pythagoras สร้างขึ้นตามตำนาน
ไม่ต้องสงสัยเลยว่าความสนใจในทฤษฎีบทนั้นเกิดจากความจริงที่ว่ามันครอบครองหนึ่งในสถานที่สำคัญทางคณิตศาสตร์และจากความพึงพอใจของผู้เขียนบทพิสูจน์ที่เอาชนะความยากลำบากซึ่งกวีชาวโรมัน Quintus Horace Flaccus ซึ่งมีชีวิตอยู่ก่อนยุคของเรากล่าวว่า: "เป็นการยากที่จะแสดงข้อเท็จจริงที่เป็นที่รู้จักกันดี" .
ในขั้นต้น ทฤษฎีบทได้สร้างความสัมพันธ์ระหว่างพื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่สร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉากและขาของสามเหลี่ยมมุมฉาก:
.
สูตรพีชคณิต:
ที่ สามเหลี่ยมมุมฉากกำลังสองของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลบวกของกำลังสองของความยาวของขา
นั่นคือแสดงถึงความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมผ่าน c และความยาวของขาผ่าน a และ b: a 2 + b 2 \u003d c 2 สูตรทั้งสองของทฤษฎีบทมีค่าเท่ากัน แต่สูตรที่สองเป็นพื้นฐานมากกว่า ไม่ต้องใช้แนวคิดเรื่องพื้นที่ นั่นคือ ข้อความที่สองสามารถตรวจสอบได้โดยไม่ต้องรู้อะไรเกี่ยวกับพื้นที่และโดยการวัดเฉพาะความยาวของด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก
ทฤษฎีบทพีทาโกรัสผกผัน สำหรับทุกสามคน ตัวเลขที่เป็นบวก a, b และ c อย่างนั้น
a 2 + b 2 = c 2 มีสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีขา a และ b และด้านตรงข้ามมุมฉาก c

หลักฐานของ

บน ช่วงเวลานี้ใน วรรณกรรมทางวิทยาศาสตร์มีการบันทึกหลักฐาน 367 ข้อของทฤษฎีบทนี้ อาจเป็นไปได้ว่าทฤษฎีบทพีทาโกรัสเป็นทฤษฎีบทเดียวที่มีจำนวนการพิสูจน์ที่น่าประทับใจ ความหลากหลายดังกล่าวสามารถอธิบายได้ด้วยความสำคัญพื้นฐานของทฤษฎีบทเรขาคณิตเท่านั้น
แน่นอน ตามแนวคิดแล้ว พวกเขาทั้งหมดสามารถแบ่งออกเป็นชั้นเรียนจำนวนเล็กน้อยได้ ที่มีชื่อเสียงที่สุด ได้แก่ การพิสูจน์โดยวิธีพื้นที่ การพิสูจน์เชิงจริงและเชิงแปลกใหม่ (เช่น การใช้สมการเชิงอนุพันธ์)

ผ่านสามเหลี่ยมคล้าย

การพิสูจน์สูตรพีชคณิตต่อไปนี้เป็นวิธีที่ง่ายที่สุดในการพิสูจน์ที่สร้างขึ้นโดยตรงจากสัจพจน์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งไม่ได้ใช้แนวคิดของพื้นที่ของตัวเลข
ให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุม C วาดความสูงจาก C และเขียนแทนฐานด้วย H สามเหลี่ยม ACH คล้ายกับสามเหลี่ยม ABC ในสองมุม
ในทำนองเดียวกัน สามเหลี่ยม CBH ก็คล้ายกับ ABC แนะนำสัญกรณ์

เราได้รับ

อะไรเทียบเท่า

เพิ่มเราได้รับ

หรือ

พิสูจน์พื้นที่

การพิสูจน์ต่อไปนี้แม้จะดูง่าย แต่ก็ไม่ง่ายเลย พวกเขาทั้งหมดใช้คุณสมบัติของพื้นที่ซึ่งการพิสูจน์นั้นซับซ้อนกว่าการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

พิสูจน์ด้วยความเท่าเทียมกัน

1. จัดเรียงสามเหลี่ยมมุมฉากสี่อันที่เท่ากันดังแสดงในรูป
2. รูปสี่เหลี่ยมที่มีด้าน c เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส เนื่องจากผลบวกของสอง มุมที่คมชัด 90° และมุมตรงคือ 180°
3. พื้นที่ของตัวเลขทั้งหมดเท่ากันในด้านหนึ่งกับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน (a + b) และในทางกลับกันกับผลรวม สี่สามเหลี่ยมและสี่เหลี่ยมด้านใน



คิวอีดี

หลักฐานผ่านความเท่าเทียมกัน

ตัวอย่างของหนึ่งในหลักฐานเหล่านี้แสดงอยู่ในภาพวาดทางด้านขวา โดยที่สี่เหลี่ยมที่สร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉากจะถูกแปลงโดยการเรียงสับเปลี่ยนให้เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองอันที่สร้างขึ้นบนขา

บทพิสูจน์ของยุคลิด

แนวคิดของการพิสูจน์ของ Euclid มีดังนี้ ลองพิสูจน์ว่าพื้นที่ครึ่งหนึ่งของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างบนด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของพื้นที่ครึ่งหนึ่งของสี่เหลี่ยมที่สร้างขึ้นบนขา แล้วพื้นที่ของ สี่เหลี่ยมใหญ่และเล็กสองอันเท่ากัน พิจารณาภาพวาดทางด้านซ้าย เราสร้างสี่เหลี่ยมที่ด้านข้างของสามเหลี่ยมมุมฉากบนนั้น และดึงรังสี s จากจุดยอดของมุมฉาก C ตั้งฉากกับด้านตรงข้ามมุมฉาก AB ตัดสี่เหลี่ยม ABIK ที่สร้างบนด้านตรงข้ามมุมฉากออกเป็นสองสี่เหลี่ยม - BHJI และ HAKJ ตามลำดับ ปรากฎว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยมเหล่านี้เท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่สร้างขึ้นบนขาที่สอดคล้องกัน ลองพิสูจน์ว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยม DECA เท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้า AHJK ในการทำเช่นนี้เราใช้การสังเกตเสริม: พื้นที่ของสามเหลี่ยมที่มีความสูงและฐานเท่ากันตามที่กำหนด สี่เหลี่ยมผืนผ้าเท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้าที่กำหนด นี่เป็นผลมาจากการกำหนดพื้นที่ของสามเหลี่ยมเป็นครึ่งหนึ่งของผลคูณของฐานและความสูง จากการสังเกตนี้พบว่าพื้นที่ของสามเหลี่ยม ACK เท่ากับพื้นที่ของสามเหลี่ยม AHK (ไม่แสดง) ซึ่งจะเท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้า AHJK ให้เราพิสูจน์ว่าพื้นที่สามเหลี่ยม ACK นั้นเท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่สี่เหลี่ยม DECA สิ่งเดียวที่ต้องทำคือการพิสูจน์ความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม ACK และ BDA (เนื่องจากพื้นที่ของสามเหลี่ยม BDA เท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสตามคุณสมบัติข้างต้น) ความเท่าเทียมกันนี้ชัดเจน สามเหลี่ยมเท่ากันในสองด้านและมุมระหว่างพวกเขา กล่าวคือ - AB=AK,AD=AC - ความเท่าเทียมกันของมุม CAK และ BAD นั้นง่ายต่อการพิสูจน์โดยวิธีการเคลื่อนไหว: หมุนสามเหลี่ยม CAK 90 °ทวนเข็มนาฬิกาจากนั้นจะเห็นได้ชัดว่าด้านที่สอดคล้องกันของสามเหลี่ยมทั้งสองที่พิจารณา จะตรงกัน (เนื่องจากมุมที่จุดยอดของสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือ 90°) ข้อโต้แย้งเกี่ยวกับความเท่าเทียมกันของพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส BCFG และสี่เหลี่ยมผืนผ้า BHJI นั้นคล้ายคลึงกันโดยสิ้นเชิง ดังนั้นเราจึงได้พิสูจน์ว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉากคือผลรวมของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่สร้างขึ้นบนขา

บทพิสูจน์ของเลโอนาร์โด ดา วินชี

องค์ประกอบหลักของการพิสูจน์คือความสมมาตรและการเคลื่อนไหว

พิจารณาภาพวาด ดังที่เห็นได้จากสมมาตร ส่วน CI ตัดสี่เหลี่ยม ABHJ ออกเป็นสองส่วนที่เหมือนกัน (เนื่องจากสามเหลี่ยม ABC และ JHI เท่ากันในการก่อสร้าง) เมื่อใช้การหมุนทวนเข็มนาฬิกา 90 องศา เราจะเห็นความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่แรเงา CAJI และ GDAB ตอนนี้เป็นที่ชัดเจนว่าพื้นที่ของรูปที่แรเงาโดยเราเท่ากับผลรวมของพื้นที่ครึ่งหนึ่งของสี่เหลี่ยมที่สร้างขึ้นบนขาและพื้นที่ของสามเหลี่ยมดั้งเดิม ในทางกลับกัน จะเท่ากับพื้นที่ครึ่งหนึ่งของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉาก บวกกับพื้นที่ของสามเหลี่ยมดั้งเดิม ขั้นตอนสุดท้ายในการพิสูจน์จะปล่อยให้ผู้อ่าน

ตรวจสอบให้แน่ใจว่าสามเหลี่ยมที่คุณได้รับนั้นเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก เนื่องจากทฤษฎีบทพีทาโกรัสใช้กับสามเหลี่ยมมุมฉากเท่านั้น ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก มุมหนึ่งในสามมุมจะมีมุม 90 องศาเสมอ

• มุมฉากในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากจะแสดงด้วยสี่เหลี่ยมจัตุรัสแทนที่จะเป็นเส้นโค้ง ซึ่งแสดงถึงมุมที่ไม่ใช่มุมฉาก

ทำเครื่องหมายด้านข้างของสามเหลี่ยมกำหนดขาเป็น "a" และ "b" (ขาเป็นด้านที่ตัดกันเป็นมุมฉาก) และด้านตรงข้ามมุมฉากเป็น "c" (ด้านตรงข้ามมุมฉากเป็นด้านที่ใหญ่ที่สุดของสามเหลี่ยมมุมฉากที่อยู่ตรงข้ามกับมุมฉาก)

กำหนดด้านของสามเหลี่ยมที่คุณต้องการหาทฤษฎีบทพีทาโกรัสช่วยให้คุณหาด้านใดๆ ของสามเหลี่ยมมุมฉากได้ (ถ้ารู้อีกสองด้าน) กำหนดว่าต้องการหาด้านใด (a, b, c)

• ตัวอย่างเช่น ให้ด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับ 5 และให้ขาเท่ากับ 3 ในกรณีนี้ คุณต้องหาขาที่สอง เราจะกลับมาที่ตัวอย่างนี้ในภายหลัง
• หากไม่ทราบอีกสองด้าน ก็จำเป็นต้องหาความยาวของด้านที่ไม่ทราบด้านใดด้านหนึ่งเพื่อให้สามารถใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสได้ ในการทำเช่นนี้ให้ใช้พื้นฐาน ฟังก์ชันตรีโกณมิติ(ถ้าคุณได้รับค่าของมุมใดมุมหนึ่งที่ไม่ใช่มุมฉาก)

แทนที่ในสูตร a 2 + b 2 \u003d c 2 ค่าที่ให้คุณ (หรือค่าที่คุณพบ)จำไว้ว่า a และ b เป็นขา และ c เป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก

• ในตัวอย่างของเรา เขียน: 3² + b² = 5²

ยกกำลังสองแต่ละด้านที่รู้จักหรือปล่อยให้เป็นองศา - คุณสามารถยกกำลังสองได้ในภายหลัง

• ในตัวอย่างของเรา เขียน: 9 + b² = 25

แยก ด้านที่ไม่รู้จักด้านหนึ่งของสมการหากต้องการทำสิ่งนี้ ให้ย้าย ค่าที่ทราบไปอีกด้านหนึ่งของสมการ หากคุณพบด้านตรงข้ามมุมฉาก ดังนั้นในทฤษฎีบทพีทาโกรัส มันถูกแยกออกจากด้านหนึ่งของสมการแล้ว (ไม่ต้องทำอะไรเลย)

• ในตัวอย่างของเรา ย้าย 9 ไปทางด้านขวาของสมการเพื่อแยก b² ที่ไม่รู้จักออก คุณจะได้ b² = 16

สารสกัด รากที่สองจากทั้งสองด้านของสมการหลังจากที่ไม่ทราบค่า (กำลังสอง) อยู่ที่ด้านหนึ่งของสมการ และมีเทอมว่าง (ตัวเลข) อยู่ที่อีกด้านหนึ่ง

• ในตัวอย่างของเรา b² = 16 หาค่ารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการแล้วจะได้ b = 4 ดังนั้นขาที่สองคือ 4

ใช้ทฤษฎีบทปีทาโกรัสใน ชีวิตประจำวันเพราะสามารถใช้ใน จำนวนมากสถานการณ์จริง ในการทำเช่นนี้ เรียนรู้ที่จะรู้จักรูปสามเหลี่ยมมุมฉากในชีวิตประจำวัน ในสถานการณ์ใดก็ตามที่วัตถุสองชิ้น (หรือเส้น) ตัดกันเป็นมุมฉาก และวัตถุที่สาม (หรือเส้น) เชื่อมต่อ (แนวทแยงมุม) ด้านบนของวัตถุสองชิ้นแรก (หรือ เส้น) คุณสามารถใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเพื่อหาด้านที่ไม่รู้ (ถ้ารู้อีกสองด้าน)

• ตัวอย่าง ให้บันไดพาดกับอาคาร ส่วนล่างบันไดอยู่ห่างจากฐานกำแพง 5 เมตร ส่วนบนบันไดอยู่ห่างจากพื้น 20 เมตร (ขึ้นกำแพง) ความยาวของบันไดคืออะไร?
  • "5 เมตรจากฐานกำแพง" หมายความว่า a = 5; "อยู่ห่างจากพื้นดิน 20 เมตร" หมายความว่า b = 20 (นั่นคือ คุณได้รับสองขาของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เนื่องจากผนังของอาคารและพื้นผิวโลกตัดกันเป็นมุมฉาก) ความยาวของบันไดคือความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากซึ่งไม่เป็นที่รู้จัก
    • a² + b² = c²
    • (5)² + (20)² = c²
    • 25 + 400 = c²
    • 425 = c²
    • ค = √425
    • ค = 20.6 ดังนั้นความยาวโดยประมาณของบันไดคือ 20.6 เมตร

การพิสูจน์แบบเคลื่อนไหวของทฤษฎีบทพีทาโกรัสเป็นหนึ่งในนั้น พื้นฐานทฤษฎีบทเรขาคณิตแบบยุคลิด สร้างความสัมพันธ์ระหว่างด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก เป็นที่เชื่อกันว่าได้รับการพิสูจน์โดยนักคณิตศาสตร์ชาวกรีก Pythagoras ตามชื่อ (มีรุ่นอื่น ๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่งความคิดเห็นอื่นที่ทฤษฎีบทนี้อยู่ใน ปริทัศน์คิดค้นโดยฮิปปาซัส นักคณิตศาสตร์ปีทาโกรัส)
ทฤษฎีบทกล่าวว่า:

ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก พื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่สร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉากจะเท่ากับผลรวมของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่สร้างขึ้นบนขา

แสดงความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยม ค,และความยาวของขาเป็น กและ ขเราได้สูตรต่อไปนี้:

ดังนั้น ทฤษฎีบทพีทาโกรัสจึงสร้างความสัมพันธ์ที่ช่วยให้คุณกำหนดด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากได้ โดยรู้ความยาวของอีกสองรูป ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีบทโคไซน์ซึ่งกำหนดความสัมพันธ์ระหว่างด้านต่างๆ สามเหลี่ยมโดยพลการ.
การยืนยันการสนทนาได้รับการพิสูจน์ด้วย (เรียกอีกอย่างว่า ทฤษฎีบทสนทนาพีทาโกรัส):

สำหรับจำนวนบวกสามจำนวน a, b และ c ที่ a ? +b? = c ? มีสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีขา a และ b และด้านตรงข้ามมุมฉาก c

หลักฐานภาพสามเหลี่ยม (3, 4, 5) จาก Chu Pei 500-200 ปีก่อนคริสตกาล ประวัติของทฤษฎีบทแบ่งออกได้เป็นสี่ส่วน ได้แก่ ความรู้เกี่ยวกับจำนวนปีทาโกรัส ความรู้เกี่ยวกับอัตราส่วนของด้านในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ความรู้เกี่ยวกับอัตราส่วน มุมที่อยู่ติดกันและการพิสูจน์ทฤษฎีบท
โครงสร้างหินใหญ่ประมาณ 2,500 ปีก่อนคริสตกาล ในอียิปต์และยุโรปเหนือ มีรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านจำนวนเต็ม Barthel Leendert van der Waerden คาดคะเนว่าในสมัยนั้นจำนวนปีทาโกรัสถูกพบในทางพีชคณิต
เขียนขึ้นระหว่าง พ.ศ. 2543 ถึง พ.ศ. 2419 ต้นกกจากอาณาจักรอียิปต์ตอนกลาง เบอร์ลิน 6619มีปัญหาที่วิธีแก้ปัญหาคือตัวเลขพีทาโกรัส
ในรัชสมัยของพระเจ้าฮัมมูราบีมหาราช แท็บเล็ตของชาววิบิโลเนีย พลิมป์ตัน 322,เขียนขึ้นระหว่าง 1,790 และ 1,750 ปีก่อนคริสตกาล มีหลายรายการที่เกี่ยวข้องกับตัวเลขพีทาโกรัสอย่างใกล้ชิด
ในพระสูตรพุทธยานซึ่งลงวันที่ รุ่นต่างๆศตวรรษที่ 8 หรือ 2 ก่อนคริสต์ศักราช ในอินเดียประกอบด้วยตัวเลขปีทาโกรัสที่ได้มาจากพีชคณิต สูตรของทฤษฎีบทปีทาโกรัส และหลักฐานทางเรขาคณิตสำหรับรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่ว
Apastamba Sutras (ประมาณ 600 ปีก่อนคริสตกาล) ประกอบด้วย พิสูจน์ตัวเลขทฤษฎีบทพีทาโกรัสโดยใช้การคำนวณพื้นที่ Van der Waerden เชื่อว่ามีพื้นฐานมาจากประเพณีของรุ่นก่อน ตามอัลเบิร์ต เบอร์โก นี่เป็นข้อพิสูจน์ดั้งเดิมของทฤษฎีบท และเขาเสนอว่าพีทาโกรัสไปเยี่ยมอาราโคนีและคัดลอกมัน
ปีทาโกรัสซึ่งมักจะระบุอายุขัยในช่วง 569 - 475 ปีก่อนคริสตกาล ใช้ วิธีการเกี่ยวกับพีชคณิตการคำนวณจำนวนพีทาโกรัสตามความคิดเห็นของ Proklov เกี่ยวกับ Euclid อย่างไรก็ตาม Proclus มีชีวิตอยู่ระหว่าง 410 ถึง 485 AD ตามคำกล่าวของ Thomas Giese ไม่มีข้อบ่งชี้ถึงการประพันธ์ทฤษฎีบทนี้เป็นเวลาห้าศตวรรษหลังจากปีทาโกรัส อย่างไรก็ตาม เมื่อผู้เขียนเช่น Plutarch หรือ Cicero ระบุทฤษฎีบทของ Pythagoras พวกเขาทำเช่นนั้นราวกับว่าการประพันธ์นั้นเป็นที่รู้จักอย่างกว้างขวางและแน่นอน
ประมาณ 400 ปีก่อนคริสตกาล จากคำกล่าวของ Proclus เพลโตได้ให้วิธีการคำนวณจำนวนแบบพีทาโกรัส โดยผสมผสานระหว่างพีชคณิตและเรขาคณิตเข้าด้วยกัน ประมาณ 300 ปีก่อนคริสตกาล พ.ศ จุดเริ่มต้นยูคลิด เรามีหลักฐานเชิงความจริงที่เก่าแก่ที่สุดที่ยังหลงเหลืออยู่จนถึงทุกวันนี้
เขียนขึ้นระหว่าง 500 ปีก่อนคริสตกาล และ 200 ปีก่อนคริสตกาล ชาวจีน หนังสือคณิตศาสตร์"ชูเป่ย" (? ? ? ?) ให้หลักฐานภาพของทฤษฎีบทพีทาโกรัส ซึ่งในจีนเรียกว่าทฤษฎีบทกูกู (????) สำหรับรูปสามเหลี่ยมที่มีด้าน (3, 4, 5) ในรัชสมัยราชวงศ์ฮั่น เมื่อ 202 ปีก่อนคริสตกาล ก่อน ค.ศ. 220 ตัวเลขปีทาโกรัสปรากฏในหนังสือ "เก้าส่วนของศิลปะคณิตศาสตร์" พร้อมกับการกล่าวถึงรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
การใช้ทฤษฎีบทนี้ได้รับการบันทึกไว้เป็นครั้งแรกในประเทศจีน ซึ่งรู้จักกันในชื่อทฤษฎีบทกูกู (????) และในอินเดีย ซึ่งรู้จักกันในชื่อทฤษฎีบทของบาสการ์
หลายคนกำลังถกเถียงกันว่าทฤษฎีบทพีทาโกรัสถูกค้นพบเพียงครั้งเดียวหรือหลายครั้ง Boyer (1991) เชื่อว่าความรู้ที่พบใน Shulba Sutra อาจมีต้นกำเนิดจากเมโสโปเตเมีย
หลักฐานเกี่ยวกับพีชคณิต
สี่เหลี่ยมเกิดจากรูปสามเหลี่ยมมุมฉากสี่รูป มีผู้พิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสมากกว่าร้อยบท หลักฐานนี้ขึ้นอยู่กับทฤษฎีบทการดำรงอยู่สำหรับพื้นที่ของตัวเลข:

วางสามเหลี่ยมมุมฉากสี่อันที่เหมือนกันดังแสดงในรูป
รูปสี่เหลี่ยมที่มีด้าน คเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส เนื่องจากผลรวมของมุมแหลมสองมุมคือ และมุมที่ยืดออกคือ
ในแง่หนึ่งพื้นที่ของรูปทั้งหมดเท่ากันกับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน "a + b" และอีกด้านหนึ่งคือผลรวมของพื้นที่ของสามเหลี่ยมสี่รูปและสี่เหลี่ยมด้านใน .

ซึ่งเป็นสิ่งที่ต้องพิสูจน์
โดยความเหมือนของรูปสามเหลี่ยม
การใช้งาน รูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน. อนุญาต เอบีซีเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากซึ่งมุม คตรงดังแสดงในภาพ ลองวาดความสูงจากจุดหนึ่ง ค,และโทร ชมจุดตัดกับด้าน เอบีรูปสามเหลี่ยมเกิดขึ้น อชเหมือนสามเหลี่ยม เอบีซี,เนื่องจากทั้งสองเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า (ตามคำจำกัดความของความสูง) และมีมุมร่วมกัน เอแน่นอนว่ามุมที่สามจะเหมือนกันในรูปสามเหลี่ยมเหล่านี้เช่นกัน ในทำนองเดียวกัน mirkuyuyuchy สามเหลี่ยม ซีบีเอชยังคล้ายกับรูปสามเหลี่ยม เอบีซีจากความเหมือนของรูปสามเหลี่ยม: ถ้า

สามารถเขียนได้เป็น

ถ้าเราบวกการเท่ากันทั้งสองนี้ เราจะได้

HB + c คูณ AH = c คูณ (HB + AH) = c ^ 2, ! Src="http://upload.wikimedia.org/math/7/0/9/70922f59b11b561621c245e11be0b61b.png" />

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

บทพิสูจน์ของยุคลิด
การพิสูจน์ของยุคลิดใน "หลักการ" ของยุคลิด ทฤษฎีบทพีทาโกรัสได้รับการพิสูจน์โดยวิธีการของสี่เหลี่ยมด้านขนาน อนุญาต เอ บี ซีจุดยอดของสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุมฉาก ก.วางแนวตั้งฉากจากจุดหนึ่ง กไปทางด้านตรงข้ามด้านตรงข้ามมุมฉากในสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างบนด้านตรงข้ามมุมฉาก เส้นแบ่งสี่เหลี่ยมจัตุรัสออกเป็นสองสี่เหลี่ยม แต่ละอันมีพื้นที่เท่ากับสี่เหลี่ยมที่สร้างขึ้นบนขา แนวคิดหลักข้อพิสูจน์คือสี่เหลี่ยมด้านบนกลายเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานของพื้นที่เดียวกัน จากนั้นกลับมาเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าในสี่เหลี่ยมด้านล่างและอีกครั้งด้วยพื้นที่เดียวกัน

มาวาดส่วนต่างๆ กันเถอะ ซีเอฟและ ค.ศ.เราได้รูปสามเหลี่ยม พ.ศและ บีดีเอ.
มุม แท็กซี่และ ถุง- ตรง; คะแนน ซี, เอและ ชเป็นเส้นตรง วิธีการเดียวกัน บี, เอและ ชม.
มุม ย่านศูนย์กลางธุรกิจและ เอฟบีเอ- ทั้งสองตรงแล้วเป็นมุม อ.บ.ต เท่ากับมุม เอฟบีซี,เนื่องจากทั้งคู่เป็นผลรวมของมุมฉากและมุมฉาก เอบีซี
สามเหลี่ยม อ.บ.ตและ เอฟบีซีระดับทั้งสองด้านและมุมระหว่างพวกเขา
เนื่องจากจุดต่างๆ เอ, เคและ แอล– collinear พื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้า BDLK เท่ากับพื้นที่สองส่วนของสามเหลี่ยม เอบีดี (BDLK) = ถุง = เอบี2)
ในทำนองเดียวกันเราได้รับ ซีเคแอล = เอซีไอเอช = เอซี 2
ด้านหนึ่งเป็นพื้นที่ CBDEเท่ากับผลบวกของพื้นที่สี่เหลี่ยม บีดีแอลเคและ ซีเคแอล,ในทางกลับกันพื้นที่ของจัตุรัส BC2,หรือ เอบี 2 + เอซี 2 = พ.ศ. 2

การใช้ดิฟเฟอเรนเชียล
การใช้ความแตกต่าง ทฤษฎีบทพีทาโกรัสสามารถหาได้โดยศึกษาว่าด้านที่เพิ่มขึ้นมีผลต่อความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากอย่างไร ดังแสดงในรูปด้านขวาและใช้การคำนวณเล็กน้อย
อันเป็นผลจากการเจริญเติบโตทางด้าน ก,จากสามเหลี่ยมที่คล้ายกันเพื่อเพิ่มทีละน้อย

การบูรณาการที่เราได้รับ

ถ้า ก ก= 0 แล้ว ค = ขดังนั้น "ค่าคงที่" คือ ข 2.แล้ว

ดังที่เห็นได้ว่า กำลังสองเกิดจากสัดส่วนระหว่างด้านที่เพิ่มขึ้นและด้าน ขณะที่ผลรวมเป็นผลมาจากการมีส่วนร่วมอย่างอิสระของด้านที่เพิ่มขึ้น ซึ่งไม่ชัดเจนจาก หลักฐานทางเรขาคณิต. ในสมการเหล่านี้ ดาและ กระแสตรงคือ ตามลำดับ การเพิ่มทีละน้อยของด้าน กและ ค.แต่เราใช้แทนพวกเขา? กและ? ค,แล้วลิมิตของอัตราส่วนถ้ามีแนวโน้มเป็นศูนย์คือ ดา / กระแสตรง,อนุพันธ์และยังเท่ากับ ค / ก,อัตราส่วนของความยาวของด้านของสามเหลี่ยมตามที่เราได้รับ สมการเชิงอนุพันธ์.
ในกรณีของระบบเวกเตอร์แบบมุมฉาก ความเท่าเทียมกันเกิดขึ้น ซึ่งเรียกอีกอย่างว่าทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

ถ้า - นี่คือเส้นโครงของเวกเตอร์บน แกนพิกัดสูตรนี้สอดคล้องกับระยะทางแบบยุคลิดและหมายความว่าความยาวของเวกเตอร์เท่ากับราก ผลรวมกำลังสองกำลังสองของส่วนประกอบ
อะนาล็อกของความเท่าเทียมกันในกรณีนี้ ระบบที่ไม่มีที่สิ้นสุดเวกเตอร์เรียกว่าความเท่าเทียมกันของพาร์เซวาล

นักเรียนทุกคนรู้ว่ากำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากจะเท่ากับผลบวกของขาซึ่งแต่ละขาจะเป็นกำลังสองเสมอ ข้อความนี้เรียกว่าทฤษฎีบทพีทาโกรัส เธอเป็นหนึ่งในที่สุด ทฤษฎีบทที่รู้จักตรีโกณมิติและคณิตศาสตร์โดยทั่วไป ลองพิจารณาในรายละเอียดเพิ่มเติม

แนวคิดของสามเหลี่ยมมุมฉาก

ก่อนที่จะดำเนินการพิจารณาทฤษฎีบทพีทาโกรัส ซึ่งกำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของขาที่กำลังสอง เราควรพิจารณาแนวคิดและคุณสมบัติของสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งทฤษฎีบทนี้ใช้ได้

สามเหลี่ยม - รูปแบนซึ่งมีสามมุมและสามด้าน สามเหลี่ยมมุมฉากตามชื่อของมัน มีมุมฉากหนึ่งมุม นั่นคือ มุมนี้คือ 90 o

จาก คุณสมบัติทั่วไปสำหรับรูปสามเหลี่ยมทั้งหมด เป็นที่ทราบกันว่าผลรวมของมุมทั้งสามมุมของรูปนี้คือ 180 o ซึ่งหมายความว่าสำหรับรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ผลรวมของมุมทั้งสองมุมที่ไม่ถูกต้องคือ 180 o - 90 o = 90 o . ข้อเท็จจริงสุดท้ายหมายความว่ามุมใด ๆ ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่ไม่ใช่มุมฉากจะน้อยกว่า 90o เสมอ

ด้านตรงข้ามมุมฉากเรียกว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก อีกสองด้านเป็นขาของสามเหลี่ยม อาจเท่ากันหรือต่างกันก็ได้ จากตรีโกณมิติเป็นที่ทราบกันดีว่ายิ่งมุมที่ด้านใดด้านหนึ่งอยู่ในรูปสามเหลี่ยมมากเท่าใด ความยาวของด้านนี้ก็ยิ่งมากขึ้นเท่านั้น ซึ่งหมายความว่าในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ด้านตรงข้ามมุมฉาก (อยู่ตรงข้ามกับมุม 90 o) จะมากกว่าขาใดๆ เสมอ (อยู่ตรงข้ามกับมุม< 90 o).

สัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์ของทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ทฤษฎีบทนี้ระบุว่ากำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของขา ซึ่งแต่ละขาก่อนหน้านี้กำลังสอง ในการเขียนสูตรนี้ในทางคณิตศาสตร์ ให้พิจารณารูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่ด้าน a, b และ c เป็นสองขาและด้านตรงข้ามมุมฉาก ตามลำดับ ในกรณีนี้ ทฤษฎีบทซึ่งกำหนดเป็นกำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองของขา สามารถแสดงด้วยสูตรต่อไปนี้: c 2 \u003d a 2 + b 2 จากที่นี่สามารถรับสูตรอื่นที่สำคัญสำหรับการปฏิบัติ: a \u003d √ (c 2 - b 2), b \u003d √ (c 2 - a 2) และ c \u003d √ (a 2 + b 2)

โปรดทราบว่าในกรณีที่เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า สามเหลี่ยมด้านเท่านั่นคือ a \u003d b ถ้อยคำ: กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของขา ซึ่งแต่ละขาเป็นกำลังสอง เขียนทางคณิตศาสตร์ดังนี้ c 2 \u003d a 2 + b 2 \u003d 2a 2 ซึ่งความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้: c \u003d a√2.

อ้างอิงประวัติศาสตร์

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสซึ่งกล่าวว่าผลรวมของขาซึ่งแต่ละขากำลังสองเท่ากับกำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉาก เป็นที่รู้จักกันมานานก่อนที่นักปรัชญาชาวกรีกผู้มีชื่อเสียงจะให้ความสนใจกับมัน papyri จำนวนมากของอียิปต์โบราณรวมถึงแผ่นดินเหนียวของชาวบาบิโลนยืนยันว่าชนชาติเหล่านี้ใช้คุณสมบัติที่สังเกตได้จากด้านข้างของสามเหลี่ยมมุมฉาก ตัวอย่างเช่นหนึ่งในคนแรก ปิรามิดอียิปต์พีระมิด Khafre ซึ่งสร้างขึ้นในศตวรรษที่ 26 ก่อนคริสต์ศักราช (2,000 ปีก่อนที่ Pythagoras จะมีชีวิต) สร้างขึ้นจากความรู้เรื่องอัตราส่วนกว้างยาวในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก 3x4x5

ถ้า​อย่าง​นั้น ทำไม​ทฤษฎี​บท​นี้​ถึง​มี​ชื่อ​ภาษา​กรีก? คำตอบนั้นง่าย: พีทาโกรัสเป็นคนแรกที่พิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ทางคณิตศาสตร์ ในบาบิโลนและอียิปต์ที่ยังหลงเหลืออยู่ แหล่งที่มาเป็นลายลักษณ์อักษรมันพูดถึงการใช้งานเท่านั้น แต่ไม่ได้ให้หลักฐานทางคณิตศาสตร์ใด ๆ

มีความเชื่อกันว่าพีทาโกรัสพิสูจน์ทฤษฎีบทภายใต้การพิจารณาโดยใช้คุณสมบัติของรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน ซึ่งเขาได้มาจากการวาดความสูงในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากจากมุม 90 o ถึงด้านตรงข้ามมุมฉาก

ตัวอย่างการใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

พิจารณา งานง่ายๆ: จำเป็นต้องกำหนดความยาวของบันไดเอียง L หากทราบว่ามีความสูง H \u003d 3 เมตรและระยะห่างจากผนังที่บันไดวางถึงเท้าคือ P \u003d 2.5 เมตร

ที่ กรณีนี้ H และ P คือขา และ L คือด้านตรงข้ามมุมฉาก เนื่องจากความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองของขา เราจึงได้รับ: L 2 \u003d H 2 + P 2 โดยที่ L \u003d √ (H 2 + P 2) \u003d √ (3 2 + 2.5 2) \u003d 3.905 เมตรหรือ 3 ม. และ 90, 5 ซม.