ความเป็นส่วนตัวของคุณมีความสำคัญต่อเรา ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้พัฒนานโยบายความเป็นส่วนตัวที่อธิบายวิธีที่เราใช้และจัดเก็บข้อมูลของคุณ โปรดอ่านนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราและแจ้งให้เราทราบหากคุณมีคำถามใดๆ

การรวบรวมและการใช้ข้อมูลส่วนบุคคล

ข้อมูลส่วนบุคคลหมายถึงข้อมูลที่สามารถใช้ระบุหรือติดต่อบุคคลใดบุคคลหนึ่งได้

คุณอาจถูกขอให้ให้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณได้ตลอดเวลาเมื่อคุณติดต่อเรา

ต่อไปนี้คือตัวอย่างบางส่วนของประเภทของข้อมูลส่วนบุคคลที่เราอาจรวบรวมและวิธีที่เราอาจใช้ข้อมูลดังกล่าว

ข้อมูลส่วนบุคคลใดที่เรารวบรวม:

• เมื่อคุณส่งใบสมัครบนเว็บไซต์ เราอาจรวบรวมข้อมูลต่าง ๆ รวมถึงชื่อ หมายเลขโทรศัพท์ ที่อยู่ อีเมลเป็นต้น

เราใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณอย่างไร:

• รวบรวมโดยเรา ข้อมูลส่วนบุคคลช่วยให้เราสามารถติดต่อคุณและแจ้งให้คุณทราบเกี่ยวกับข้อเสนอพิเศษ โปรโมชั่นและกิจกรรมอื่นๆ และกิจกรรมที่จะเกิดขึ้น
• ในบางครั้ง เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเพื่อส่งประกาศและการสื่อสารที่สำคัญถึงคุณ
• เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลเพื่อวัตถุประสงค์ภายใน เช่น การตรวจสอบ การวิเคราะห์ข้อมูล และการวิจัยต่างๆ เพื่อปรับปรุงบริการที่เราให้และให้คำแนะนำเกี่ยวกับบริการของเราแก่คุณ
• หากคุณเข้าร่วมการจับรางวัล การแข่งขัน หรือสิ่งจูงใจที่คล้ายคลึงกัน เราอาจใช้ข้อมูลที่คุณให้มาเพื่อจัดการโปรแกรมดังกล่าว

การเปิดเผยต่อบุคคลที่สาม

เราไม่เปิดเผยข้อมูลที่ได้รับจากคุณไปยังบุคคลที่สาม

ข้อยกเว้น:

• หากจำเป็น - ตามกฎหมาย คำสั่งศาลในกระบวนการทางกฎหมายและ/หรือตามคำขอสาธารณะหรือคำขอจาก เจ้าหน้าที่รัฐบาลในอาณาเขตของสหพันธรัฐรัสเซีย - เปิดเผยข้อมูลส่วนบุคคลของคุณ เราอาจเปิดเผยข้อมูลเกี่ยวกับคุณด้วยหากเราพิจารณาแล้วว่าการเปิดเผยดังกล่าวจำเป็นหรือเหมาะสมเพื่อความปลอดภัย การบังคับใช้กฎหมาย หรือเหตุผลด้านสาธารณประโยชน์อื่นๆ
• ในกรณีของการปรับโครงสร้างองค์กร การควบรวมกิจการ หรือการขาย เราอาจโอนข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมไปยังผู้สืบทอดบุคคลที่สามที่เกี่ยวข้อง

การปกป้องข้อมูลส่วนบุคคล

เราใช้มาตรการป้องกัน - รวมทั้งการบริหาร ทางเทคนิค และทางกายภาพ - เพื่อปกป้องข้อมูลส่วนบุคคลของคุณจากการสูญหาย การโจรกรรม และการใช้ในทางที่ผิด ตลอดจนจากการเข้าถึง การเปิดเผย การเปลี่ยนแปลง และการทำลายโดยไม่ได้รับอนุญาต

รักษาความเป็นส่วนตัวของคุณในระดับบริษัท

เพื่อให้แน่ใจว่าข้อมูลส่วนบุคคลของคุณปลอดภัย เราแจ้งหลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวและความปลอดภัยให้กับพนักงานของเรา และบังคับใช้หลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวอย่างเคร่งครัด

ประเภทงาน: 14

สภาพ

ใน DABC พีระมิดสามเหลี่ยมปกติที่มีฐาน ABC ด้านข้างของฐานเท่ากับ 6\sqrt(3),และความสูงของปิรามิดคือ 8 . จุด M , N และ K ถูกทำเครื่องหมายตามลำดับบนขอบ AB , AC และ AD เช่นนั้น AM=AN=\frac(3\sqrt(3))(2)และ AK=\frac(5)(2).

ก)พิสูจน์ว่าระนาบ MNK และ DBC ขนานกัน

ข)หาระยะทางจากจุด K ถึงระนาบ DBC

แสดงวิธีแก้ปัญหา

วิธีการแก้

ก)ระนาบ MNK และ DBC ขนานกัน ถ้าเส้นตัดสองเส้นในระนาบหนึ่งขนานกับเส้นตัดกันสองเส้นในระนาบอื่นตามลำดับ มาพิสูจน์กัน พิจารณาเส้น MN และ KM ของระนาบ MNK และเส้น BC และ DB ของระนาบ DBC

ในรูปสามเหลี่ยม AOD : \angle AOD = 90^\circ และโดยทฤษฎีบทพีทาโกรัส AD=\sqrt(DO^2 +AO^2)

ค้นหา AO โดยใช้ \bigtriangleup ABC ถูกต้อง

AO=\frac(2)(3)AO_1,โดยที่ AO_1 คือความสูงของ \bigtriangleup ABC AO_1 = \frac(a\sqrt(3))(2),โดยที่ a คือด้านของ \bigtriangleup ABC

AO_1 = \frac(6\sqrt(3) \cdot \sqrt(3))(2)=9,แล้ว AO=6, AD=\sqrt(8^2 + 6^2)=10.

1. ตั้งแต่ \frac(AK)(AD)=\frac(5)(2) : 10=\frac(1)(4), \frac(AM)(AB)=\frac(3\sqrt(3))(2) : 6\sqrt(3)=\frac(1)(4)และ \angle DAB เป็นแบบทั่วไป จากนั้น \bigtriangleup AKM \sim ADB

จากความคล้ายคลึงกันที่ \angle AKM = \angle ADB เหล่านี้เป็นมุมที่สอดคล้องกันสำหรับเส้น KM และ BD และเส้น AD ดังนั้น KM \parallel BD

2. เพราะ \frac(AN)(AC)=\frac(3 \sqrt(3))(2 \cdot 6 \sqrt(3))=\frac(1)(4), \frac(AM)(AB)=\frac(1)(4)และ \angle CAB เป็นเรื่องธรรมดาดังนั้น \bigtriangleup ANM \sim \bigtriangleup ACB.

จากความคล้ายคลึงกันที่ \angle ANM = \angle ACB มุมเหล่านี้สอดคล้องกับเส้น MN และ BC และซีแคนต์ AC ดังนั้น MN \parallel BC

สรุป: เนื่องจากเส้นตัดกันสองเส้น KM และ MN ของระนาบ MNK ขนานกับเส้นตัดกันสองเส้น BD และ BC ของระนาบ DBC ตามลำดับ ระนาบเหล่านี้จึงขนานกัน - MNK \parallel DBC

ข)หาระยะทางจากจุด K ถึงระนาบ BDC กัน

เนื่องจากระนาบ MNK ขนานกับระนาบ DBC ระยะทางจากจุด K ถึงระนาบ DBC เท่ากับระยะทางจากจุด O_2 ถึงระนาบ DBC และเท่ากับความยาวของเซกเมนต์ O_2 H มาพิสูจน์กัน .

BC \perp AO_1 และ BC \perp DO_1 (ตามความสูงของสามเหลี่ยม ABC และ DBC ) ดังนั้น BC จึงตั้งฉากกับระนาบ ADO_1 จากนั้น BC จะตั้งฉากกับเส้นใดๆ ของระนาบนี้ เช่น O_2 H โดยการสร้าง O_2H \perp DO_1 จากนั้น O_2H จะตั้งฉากสองเส้นตรงที่ตัดกันของระนาบ BCD จากนั้นส่วน O_2 H จะตั้งฉากกับระนาบ BCD และ เท่ากับระยะทางจาก O_2 ไปยังระนาบ BCD

ในรูปสามเหลี่ยม O_2HO_1:O_2H=O_(2)O_(1)\sin\angle HO_(1)O_(2).

O_(2)O_(1)=AO_(1)-AO_(2).\, \frac(AO_2)(AO_1)=\frac(1)(4), AO_(2)=\frac(AO_1)(4)=\frac(9)(4).

O_(2)O_(1)=9-\frac(9)(4)=\frac(27)(4).

\sin \angle DO_(1)A= \frac(DO)(DO_(1))= \frac(8)(\sqrt(64+3^2))= \frac(8)(\sqrt(73))

O_2H=\frac(27)(4) \cdot \frac(8)(\sqrt(73))=\frac(54)(\sqrt(73))

ตอบ

\frac(54)(\sqrt(73))

ที่มา: "คณิตศาสตร์. การเตรียมตัวสอบปี 2560 ระดับโปรไฟล์". เอ็ด. F.F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

ประเภทงาน: 14
หัวข้อ: ระยะทางจากจุดหนึ่งถึงระนาบ

สภาพ

ABCDA_1B_1C_1D_1 เป็นปริซึมสี่เหลี่ยมปกติ

ก) พิสูจน์ว่าเครื่องบินคือ BB_1D_1 \perp AD_1C

b) รู้ AB = 5 และ AA_1 = 6 หาระยะทางจากจุด B_1 ถึงระนาบ AD_1C

แสดงวิธีแก้ปัญหา

วิธีการแก้

a) เนื่องจากปริซึมนี้ปกติ ดังนั้น BB_1 \perp ABCD ดังนั้น BB_1 \perp AC เนื่องจาก ABCD เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส ดังนั้น AC \perp BD ดังนั้น AC \perp BD และ AC \perp BB_1 เนื่องจากเส้น BD และ BB_1 ตัดกัน ดังนั้น AC \perp BB_1D_1D จึงเป็นสัญญาณของความตั้งฉากของเส้นตรงและระนาบ ตอนนี้บนพื้นฐานของความตั้งฉากของระนาบ AD_1C \perp BB_1D_1

b) แทนด้วย O จุดตัดของเส้นทแยงมุม AC และ BD ของสี่เหลี่ยม ABCD เครื่องบิน AD_1C และ BB_1D_1 ตัดกันตามเส้นตรง OD_1 ให้ B_1H เป็นเส้นตั้งฉากในระนาบ BB_1D_1 ถึงเส้น OD_1 จากนั้น B_1H \perp AD_1C ให้ E=OD_1 \cap BB_1 สำหรับ สามเหลี่ยมที่คล้ายกัน D_1B_1E และ OBE (ความเท่าเทียมกันของมุมที่สอดคล้องกันตามเงื่อนไข BO \parallel B_1D_1 ) ที่เรามี \frac(B_1E)(BE)=\frac(B_1D_1)(BO)=\frac(2)1.

ดังนั้น B_1E=2BE=2 \cdot 6=12 ตั้งแต่ B_1D_1=5\sqrt(2) แล้วด้านตรงข้ามมุมฉาก D_1E= \sqrt(B_1E^(2)+B_1D_1^(2))= \sqrt(12^(2)+(5\sqrt(2))^(2))= \sqrt(194)ต่อไป เราใช้วิธีการพื้นที่ในรูปสามเหลี่ยม D_1B_1E เพื่อคำนวณความสูงของ B_1H ลดลงเหลือด้านตรงข้ามมุมฉาก D_1E :

S_(D_1B_1E)=\frac1(2)B_1E \cdot B_1D_1=\frac1(2)D_1E \cdot B_1H; 12 \cdot 5\sqrt(2)=\sqrt(194) \cdot B_1H;

B_1H=\frac(60\sqrt(2))(\sqrt(194))=\frac(60)(\sqrt(97))=\frac(60\sqrt(97))(97).

ตอบ

\frac(60\sqrt(97))(97)

ที่มา: "คณิตศาสตร์. การเตรียมตัวสอบ ปี 2559 ระดับโปรไฟล์ เอ็ด. F.F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

ประเภทงาน: 14
หัวข้อ: ระยะทางจากจุดหนึ่งถึงระนาบ

สภาพ

ABCDA_1B_1C_1D_1 — ทรงลูกบาศก์. ขอบ AB=24, BC=7, BB_(1)=4 .

a) พิสูจน์ว่าระยะทางจากจุด B และ D ไปยังระนาบ ACD_(1) เท่ากัน

b) ค้นหาระยะทางนี้

แสดงวิธีแก้ปัญหา

วิธีการแก้

ก)พิจารณา ปิรามิดสามเหลี่ยม D_1ACD

ในปิรามิดนี้ ระยะทางจากจุด D ถึงระนาบฐาน ACD_1-DH เท่ากับความสูงของปิรามิดที่ลากจากจุด D ไปยังฐาน ACD_1 .

V_(D_1ABC)=\frac1(3)S_(ACD_1) \cdot DH, จากความเท่าเทียมกันนี้เราได้รับ

DH=\frac(3V_(D_1ACD))(S_(ACD_1)).

พิจารณาปิรามิด D_1ABC ระยะทางจากจุด B ถึงระนาบ ACD_1 เท่ากับความสูงที่ตกจากด้านบนของ B ถึงด้านล่างของ ACD_1 แสดงว่าระยะทางนี้ BK . แล้ว V_(D_1ABC)=\frac1(3)S_(ACD_1) \cdot BKจากนี้เราจะได้ BK=\frac(3V_(D_1ABC))(S_(ACD_1)).\:แต่ V_(D_1ACD) = V_(D_1ABC) เนื่องจากถ้าเราพิจารณาฐานในปิรามิด ADC และ ABC แล้วความสูง D_1D จะเป็นผลรวมและ S_(ADC)=S_(ABC) ( \bigtriangleup ADC=\bigtriangleup ABCสองขา) ดังนั้น BK=DH

b) ค้นหาปริมาตรของปิรามิด D_1ACD

ความสูง D_1D=4 .

S_(ACD)=\frac1(2)AD \cdot DC=\frac1(2) \cdot24 \cdot 7=84.

V=\frac1(3)S_(ACD) \cdot D_1D=\frac1(3) \cdot84 \cdot4=112.

พื้นที่ใบหน้าของ ACD_1 เท่ากับ \frac1(2)AC \cdot D_1P.

AD_1= \sqrt(AD^(2)+DD_1^(2))= \sqrt(7^(2)+4^(2))= \sqrt(65), \:AC= \sqrt(AB^(2)+BC^(2))= \sqrt(24^(2)+7^(2))= 25

โดยรู้ว่าขาของสามเหลี่ยมมุมฉากเป็นสัดส่วนเฉลี่ยของด้านตรงข้ามมุมฉากและส่วนของด้านตรงข้ามมุมฉากที่ล้อมรอบระหว่างขากับความสูงที่วาดจากจุดยอด มุมฉากในรูปสามเหลี่ยม ADC เรามี AD^(2)=AC \cdot AP, \: AP=\frac(AD^(2))(AC)=\frac(7^(2))(25)=\frac(49)(25)

ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก AD_1P โดยทฤษฎีบทพีทาโกรัส D_1P^(2)= AD_1^(2)-AP^(2)= 65-\left (\frac(49)(25) \right)^(2)= \frac(38\:224)(25^(2)), D_1P=\frac(4\sqrt(2\:389))(25)

S_(ACD_1)=\frac1(2) \cdot25 \cdot\frac(4\sqrt(2\:389))(25)=2\sqrt(2\:389).

DH=\frac(3V)(S_(ACD_1))=\frac(3 \cdot112)(2\sqrt(2\:389))=\frac(168)(\sqrt(2\:389)).

• ผ่านจุด A เราสร้างเครื่องบินβ II α .
• เราสร้างระนาบที่สาม, ตั้งฉาก ระนาบคู่ขนาน α และ β
• บนเส้นตัดของระนาบ ให้เลือกจุด B แล้ววางเส้นตั้งฉากจากจุด B
• เซ็กเมนต์ BN - ระยะห่างระหว่างระนาบเท่ากับระยะทางจากจุด A ถึงระนาบα . AH=BN.

2. ให้ลูกบาศก์ ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ความยาวของขอบของลูกบาศก์คือ 1 ค้นหาระยะทางจากจุด A ถึงระนาบ CB 1 D 1 .
โซลูชัน [ , 250Kb] อัลกอริทึมต่อไปนี้จะช่วยเราในงานนี้:

• ผ่านจุด A เราสร้างระนาบตั้งฉากกับระนาบ α
• เราลดแนวตั้งฉากกับเส้นตัดของระนาบ AH АР - ระยะทางที่ต้องการจากจุด A ถึงระนาบ α .

3. มักเป็นเรื่องยากมากที่จะแสดงระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังระนาบในภาพวาด และเป็นเรื่องยากมากที่จะใช้วิธีทางเรขาคณิต มีอีกวิธีหนึ่งในการค้นหาระยะทางที่ต้องการโดยการคำนวณปริมาตรของรูปทรงหลายเหลี่ยมหรือบางส่วนของรูปทรงหลายเหลี่ยมที่กำหนด

ตัวอย่างเช่น ในปัญหาข้างต้น ฉันพบระยะทางจากจุด A ถึงระนาบ A 1 BT ซึ่งแสดงปริมาตรของพีระมิด ABTA 1 เป็นสองเท่าด้วยฐานของ ABT

กำหนดลูกบาศก์ ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ที่มีขอบ 1 ค้นหาระยะทางจากจุด A ถึงระนาบ A 1 BT โดยที่ T เป็นจุดกึ่งกลางของส่วน AD
วิธีแก้ปัญหา [ , 193Kb]

4. ในปริซึมสี่เหลี่ยมจัตุรัสปกติ ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ที่มีด้านฐาน 12 และสูง 21 จุด M จะถูกนำไปที่ขอบ AA 1 เพื่อให้ AM = 8 จุด K ถูกถ่ายที่ขอบ BB 1 ดังนั้น B 1 K=8 หาระยะทางจากจุด A 1 ถึงระนาบ D 1 MK
วิธีแก้ปัญหา [ , 347Kb]

5. ในปริซึมสามเหลี่ยม ABCA 1 B 1 C 1 ด้านของฐานเท่ากับ 2 และขอบด้านข้างเท่ากับ 3 จุด D เป็นจุดกึ่งกลางของขอบ CC 1 หาระยะทางจากจุดยอด C ถึงระนาบ ADB 1
โซลูชัน [ , 285Kb]

6. ฐานของปริซึมตรง ABCA 1 B 1 C 1 คือ หน้าจั่ว สามเหลี่ยม ABC, AB = AC = 5, BC = 6. ความสูงของปริซึมคือ 3. จงหาระยะทางจากกึ่งกลางขอบ B 1 C 1 ถึงระนาบ BCA 1 .
วิธีแก้ปัญหา [ , 103Kb]

7. ฐานของปริซึมตรง ABCA 1 B 1 C 1 คือ สามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ที่มีมุมฉาก C. BC \u003d 3 ความสูงของปริซึมคือ 4 หาระยะทางจากจุด B ถึงระนาบ DIA 1
โซลูชัน [ , 127Kb]

8. ฐานของปริซึม ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 คือ สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ABCD, AB = 10, BD = 12. ความสูงของปริซึมคือ 6. หาระยะทางจากจุดศูนย์กลางของใบหน้า A 1 B 1 C 1 D 1 ไปยังเครื่องบิน BDC 1
วิธีแก้ปัญหา [ , 148Kb]

9. ในปริซึมหกเหลี่ยมปกติ ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 ขอบทั้งหมดเท่ากับ 1 ค้นหาระยะทางจากจุด B ถึงระนาบ DEA 1
วิธีแก้ปัญหา [ , 194Kb]

10. รับ ABCD จัตุรมุขปกติพร้อมขอบ หาระยะทางจากจุดยอด A ถึงระนาบ BDC
วิธีแก้ปัญหา [ , 119Kb]

11. ในพีระมิด DABC ขอบทั้งหมดมีค่าเท่ากับ a ผ่าน O เราหมายถึงจุดศูนย์กลางของฐานของ ABC และผ่าน K - กึ่งกลางของความสูง DO ของปิรามิด หาระยะทางจากจุด K ถึงหน้า ABD
วิธีการแก้ [

ย้อนกลับไปข้างหน้า

ความสนใจ! การแสดงตัวอย่างสไลด์มีวัตถุประสงค์เพื่อให้ข้อมูลเท่านั้นและอาจไม่ได้แสดงถึงขอบเขตทั้งหมดของการนำเสนอ หากคุณสนใจงานนี้ โปรดดาวน์โหลดเวอร์ชันเต็ม

เป้าหมาย:

• ลักษณะทั่วไปและการจัดระบบความรู้และทักษะของนักเรียน
• พัฒนาทักษะการวิเคราะห์ เปรียบเทียบ หาข้อสรุป

อุปกรณ์:

• โปรเจ็กเตอร์มัลติมีเดีย
• คอมพิวเตอร์;
• ใบงาน

กระบวนการศึกษา

I. ช่วงเวลาขององค์กร

ครั้งที่สอง ขั้นตอนการอัพเดทความรู้(สไลด์ 2)

เราทำซ้ำวิธีการกำหนดระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังระนาบ

สาม. บรรยาย(สไลด์ 3-15)

ในชั้นเรียนเราจะดู วิธีต่างๆการหาระยะทางจากจุดหนึ่งถึงระนาบ

วิธีแรก: การคำนวณทีละขั้นตอน

ระยะทางจากจุด M ถึงระนาบ α:
เท่ากับระยะห่างจากระนาบ α จากจุดใดจุดหนึ่ง P ที่วางอยู่บนเส้น a ซึ่งผ่านจุด M และขนานกับระนาบ α
– เท่ากับระยะห่างจากระนาบ α จากจุดใดจุดหนึ่ง P ที่วางอยู่บนระนาบ β ซึ่งผ่านจุด M และขนานกับระนาบ α

เราจะแก้ไขงานต่อไปนี้:

№1. ในลูกบาศก์ A ... D 1 หาระยะทางจากจุด C 1 ถึงระนาบ AB 1 C

มันยังคงคำนวณค่าความยาวของส่วน O 1 N

№2. ในปริซึมหกเหลี่ยมปกติ A ... F 1 ขอบทั้งหมดเท่ากับ 1 หาระยะทางจากจุด A ถึงระนาบ DEA 1

วิธีถัดไป: วิธีการปรับระดับเสียง.

ถ้าปริมาตรของพีระมิด ABCM คือ V ดังนั้นระยะทางจากจุด M ถึงระนาบ α ที่มี ∆ABC จะถูกคำนวณโดยสูตร ρ(M; α) = ρ(M; ABC) =
ในการแก้ปัญหา เราใช้ความเท่าเทียมกันของปริมาตรของตัวเลขหนึ่งรูป โดยแสดงเป็นสองวิธีที่แตกต่างกัน

มาแก้ปัญหาต่อไปนี้กัน:

№3. AD edge AD ของพีระมิด DABC ตั้งฉากกับระนาบของฐาน ABC จงหาระยะทางจาก A ถึงระนาบที่ผ่านจุดกึ่งกลางของขอบ AB, AC และ AD ถ้า

เมื่อแก้ปัญหา วิธีการประสานงานระยะทางจากจุด M ถึงระนาบ α สามารถคำนวณได้โดยสูตร ρ(M; α) = โดยที่ M(x 0; y 0; z 0) และระนาบถูกกำหนดโดยสมการ ax + โดย + cz + d = 0

มาแก้ปัญหาต่อไปนี้กัน:

№4. ในลูกบาศก์หน่วย A…D 1 หาระยะทางจากจุด A 1 ถึงระนาบ BDC 1

เรามาแนะนำระบบพิกัดที่มีจุดกำเนิดที่จุด A แกน y จะผ่านตามขอบ AB แกน x - ตามแนวขอบ AD แกน z - ตามแนวขอบ AA 1 จากนั้นพิกัดของจุด B (0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1)
ให้เราเขียนสมการของระนาบที่ผ่านจุด B, D, C 1 .

จากนั้น – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1= 0 ดังนั้น ρ =

วิธีต่อไปนี้ซึ่งสามารถใช้ในการแก้ปัญหาประเภทนี้ - วิธีการอ้างอิงงาน

แอปพลิเคชัน วิธีนี้ประกอบด้วยการประยุกต์ใช้ปัญหาพื้นฐานที่ทราบกันดีซึ่งกำหนดเป็นทฤษฎีบท

มาแก้ปัญหาต่อไปนี้กัน:

№5. ในลูกบาศก์หน่วย A ... D 1 หาระยะทางจากจุด D 1 ถึงระนาบ AB 1 C

พิจารณาการสมัคร วิธีเวกเตอร์

№6. ในลูกบาศก์หน่วย A ... D 1 หาระยะทางจากจุด A 1 ถึงระนาบ BDC 1

ดังนั้นเราจึงได้พิจารณาวิธีการต่างๆ ที่สามารถนำมาใช้ในการแก้ปัญหาประเภทนี้ได้ การเลือกวิธีใดวิธีหนึ่งขึ้นอยู่กับงานเฉพาะและความชอบของคุณ

IV. งานกลุ่ม

พยายามแก้ปัญหาด้วยวิธีต่างๆ

№1. ขอบของลูกบาศก์ А…D 1 เท่ากับ . หาระยะทางจากจุดยอด C ถึงระนาบ BDC 1

№2. ในสี่เหลี่ยมจตุรัส ABCD ปกติที่มีขอบ ให้หาระยะทางจากจุด A ถึงระนาบ BDC

№3. ในปริซึมสามเหลี่ยม ABCA 1 B 1 C 1 ทุกขอบมีค่าเท่ากับ 1 หาระยะทางจาก A ถึงระนาบ BCA 1

№4. ใน SABCD พีระมิดทรงสี่เหลี่ยมปกติ ขอบทั้งหมดมีค่าเท่ากับ 1 ให้หาระยะทางจาก A ถึงระนาบ SCD

V. ผลลัพธ์ของบทเรียน การบ้าน, การสะท้อน

ระดับแรก

พิกัดและเวกเตอร์ คู่มือที่ครอบคลุม (2019)

ในบทความนี้ คุณและฉันจะเริ่มต้นการสนทนาเกี่ยวกับ "ไม้เท้าวิเศษ" หนึ่งอันที่จะช่วยให้คุณลดปัญหามากมายในเรขาคณิตเป็นเลขคณิตอย่างง่าย “ไม้กายสิทธิ์” นี้จะทำให้ชีวิตของคุณง่ายขึ้นมาก โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อคุณรู้สึกไม่ปลอดภัยในการสร้างหุ่นเชิงพื้นที่ ส่วนต่างๆ ฯลฯ ทั้งหมดนี้ต้องใช้จินตนาการและทักษะเชิงปฏิบัติ วิธีการที่เราจะเริ่มพิจารณาในที่นี้จะช่วยให้คุณสรุปได้เกือบทั้งหมดจากโครงสร้างทางเรขาคณิตและการให้เหตุผลทุกประเภท วิธีการนี้เรียกว่า "วิธีการประสานงาน". ในบทความนี้ เราจะพิจารณาคำถามต่อไปนี้:

1. พิกัดเครื่องบิน
2. จุดและเวกเตอร์บนเครื่องบิน
3. การสร้างเวกเตอร์จากสองจุด
4. ความยาวเวกเตอร์ (ระยะห่างระหว่างสองจุด)​
5. พิกัดจุดกึ่งกลาง
6. ผลิตภัณฑ์ดอทของเวกเตอร์​
7. มุมระหว่างเวกเตอร์สองตัว

ฉันคิดว่าคุณเดาแล้วว่าทำไมวิธีพิกัดจึงถูกเรียกว่า? เป็นความจริงที่ได้รับชื่อดังกล่าวเนื่องจากไม่ได้ใช้งานกับวัตถุทางเรขาคณิต แต่ด้วย ลักษณะเชิงตัวเลข(พิกัด). และการแปลงเองซึ่งทำให้สามารถย้ายจากเรขาคณิตเป็นพีชคณิตได้นั้นประกอบด้วยการแนะนำระบบพิกัด หากรูปต้นฉบับเป็นแบบแบน พิกัดจะเป็นแบบสองมิติ และถ้ารูปนั้นเป็นแบบสามมิติ พิกัดจะเป็นแบบสามมิติ ในบทความนี้เราจะพิจารณาเฉพาะกรณีสองมิติเท่านั้น และจุดประสงค์หลักของบทความนี้คือเพื่อสอนวิธีใช้เทคนิคพื้นฐานบางอย่างของวิธีการพิกัด (บางครั้งอาจมีประโยชน์เมื่อแก้ปัญหาในการวัดระดับระนาบในส่วน B ของการสอบ Unified State) สองส่วนต่อไปนี้ในหัวข้อนี้มีไว้สำหรับการอภิปรายเกี่ยวกับวิธีการแก้ปัญหา C2 (ปัญหาของสเตอริโอเมทรี)

จะเริ่มอภิปรายวิธีการประสานงานที่ไหน น่าจะเป็นด้วยแนวคิดของระบบพิกัด จำไว้เมื่อคุณพบเธอครั้งแรก สำหรับฉันดูเหมือนว่าในชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 เมื่อคุณค้นพบเกี่ยวกับการดำรงอยู่ ฟังก์ชันเชิงเส้น, ตัวอย่างเช่น. ฉันขอเตือนคุณว่าคุณสร้างมันทีละจุด คุณจำได้ไหม? คุณเลือกหมายเลขที่ต้องการ แทนที่ลงในสูตรแล้วคำนวณด้วยวิธีนี้ ตัวอย่างเช่น if แล้ว if ดังนั้น เป็นต้น ผลลัพธ์ที่ได้คืออะไร? และคุณได้รับคะแนนพร้อมพิกัด: และ. ถัดไป คุณวาด "กากบาท" (ระบบพิกัด) เลือกมาตราส่วนบนนั้น (จำนวนเซลล์ที่คุณจะมีเป็นส่วนเดียว) และทำเครื่องหมายจุดที่คุณได้รับบนนั้น ซึ่งคุณเชื่อมต่อกับเส้นตรง ผลลัพธ์ที่ได้ เส้นคือกราฟของฟังก์ชัน

มีบางสิ่งที่ต้องอธิบายให้คุณฟังอย่างละเอียดมากขึ้น:

1. คุณเลือกส่วนเดียวเพื่อความสะดวก เพื่อให้ทุกอย่างพอดีและกระชับในภาพ

2. สมมติว่าแกนไปจากซ้ายไปขวา และแกนไปจากล่างขึ้นบน

3. ตัดกันเป็นมุมฉากและจุดตัดเรียกว่าจุดกำเนิด มันถูกทำเครื่องหมายด้วยตัวอักษร

4. ในบันทึกพิกัดของจุด ตัวอย่างเช่น ทางด้านซ้ายในวงเล็บคือพิกัดของจุดตามแกน และทางด้านขวา ตามแกน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง หมายความง่ายๆ ว่า ประเด็น

5. การตั้งจุดใด ๆ บน แกนพิกัดคุณต้องระบุพิกัด (2 ตัวเลข)

6. สำหรับจุดใด ๆ ที่วางอยู่บนแกน

7. สำหรับจุดใด ๆ ที่วางอยู่บนแกน

8. แกนเรียกว่าแกน x

9. แกนเรียกว่าแกน y

ตอนนี้ ไปขั้นตอนต่อไปกับคุณ: ทำเครื่องหมายสองจุด เชื่อมต่อจุดทั้งสองนี้ด้วยเส้น และลองวางลูกศรราวกับว่าเรากำลังวาดส่วนจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่ง นั่นคือเราจะกำหนดส่วนของเรา!

จำชื่ออื่นสำหรับส่วนกำกับได้หรือไม่? ใช่แล้ว มันถูกเรียกว่าเวกเตอร์!

ดังนั้น หากเราเชื่อมจุดกับจุด และจุดเริ่มต้นจะเป็นจุด A และจุดสิ้นสุดจะเป็นจุด Bแล้วเราจะได้เวกเตอร์ คุณทำการก่อสร้างนี้ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 จำได้ไหม?

ปรากฎว่าเวกเตอร์เช่นจุดสามารถแสดงด้วยตัวเลขสองตัว: ตัวเลขเหล่านี้เรียกว่าพิกัดของเวกเตอร์ คำถาม: คุณคิดว่าเรารู้พิกัดของจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์เพื่อหาพิกัดเพียงพอหรือไม่ ปรากฎว่าใช่! และทำได้ง่ายมาก:

ดังนั้น เนื่องจากในเวกเตอร์ จุดคือจุดเริ่มต้น และจุดสิ้นสุด เวกเตอร์จึงมีพิกัดดังต่อไปนี้:

ตัวอย่างเช่น ถ้า แล้วพิกัดของเวกเตอร์

ทีนี้ลองทำตรงกันข้าม หาพิกัดของเวกเตอร์ เราต้องเปลี่ยนแปลงอะไรในเรื่องนี้? ใช่ คุณต้องสลับจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด: ตอนนี้จุดเริ่มต้นของเวกเตอร์จะอยู่ที่จุดหนึ่ง และสิ้นสุดที่จุดหนึ่ง แล้ว:

ดูให้ดีว่าเวกเตอร์กับเวกเตอร์ต่างกันอย่างไร? ความแตกต่างเพียงอย่างเดียวของพวกเขาคือสัญญาณในพิกัด พวกเขาอยู่ตรงข้าม ข้อเท็จจริงนี้เขียนดังนี้:

บางครั้ง หากไม่ระบุอย่างเจาะจงว่าจุดใดเป็นจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ และจุดสิ้นสุดใด เวกเตอร์จะไม่แสดงด้วยสอง อักษรพิมพ์ใหญ่แต่ตัวพิมพ์เล็กหนึ่งตัว เช่น , เป็นต้น

ตอนนี้นิดหน่อย ฝึกฝนและหาพิกัดของเวกเตอร์ต่อไปนี้:

การตรวจสอบ:

ตอนนี้แก้ปัญหายากขึ้นเล็กน้อย:

พรูเวกเตอร์ที่มีเศษซากที่จุดมีส่วนสัมพันธ์กับคุณ ค้นหาจุด abs-cis-su

ทั้งหมดเหมือนกันค่อนข้างน่าเบื่อ: ให้ เป็นพิกัดของจุด แล้ว

ฉันรวบรวมระบบโดยกำหนดว่าพิกัดของเวกเตอร์คืออะไร จากนั้นจุดจะมีพิกัด เรามีความสนใจใน abscissa แล้ว

ตอบ:

คุณสามารถทำอะไรกับเวกเตอร์ได้อีก? ใช่ เกือบทุกอย่างเหมือนกันกับตัวเลขธรรมดา (ยกเว้นว่าคุณไม่สามารถหารได้ แต่คุณสามารถคูณได้สองวิธี ซึ่งเราจะพูดถึงที่นี่ในภายหลังเล็กน้อย)

1. เวกเตอร์สามารถซ้อนกันได้
2. เวกเตอร์สามารถลบออกจากกัน
3. เวกเตอร์สามารถคูณ (หรือหาร) ด้วยจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์โดยพลการ
4. เวกเตอร์สามารถคูณกันได้

การดำเนินการทั้งหมดนี้ค่อนข้างชัดเจน การแสดงทางเรขาคณิต. ตัวอย่างเช่น กฎสามเหลี่ยม (หรือสี่เหลี่ยมด้านขนาน) สำหรับการบวกและการลบ:

เวกเตอร์ยืดหรือหดหรือเปลี่ยนทิศทางเมื่อคูณหรือหารด้วยตัวเลข:

อย่างไรก็ตาม เราจะมาสนใจคำถามที่ว่าเกิดอะไรขึ้นกับพิกัด

1. เมื่อบวก (ลบ) เวกเตอร์สองตัว เราจะบวก (ลบ) องค์ประกอบพิกัดของพวกมันทีละองค์ประกอบ นั่นคือ:

2. เมื่อคูณ (หาร) เวกเตอร์ด้วยตัวเลข พิกัดทั้งหมดจะถูกคูณ (หาร) ด้วยตัวเลขนี้:

ตัวอย่างเช่น:

· ค้นหาผลรวมของ ko-or-di-nat ศตวรรษต่อรา

เรามาหาพิกัดของเวกเตอร์แต่ละตัวกันก่อน ทั้งสองมีต้นกำเนิดเดียวกัน - จุดกำเนิด ปลายของพวกเขาแตกต่างกัน แล้ว, . ตอนนี้เราคำนวณพิกัดของเวกเตอร์ จากนั้นผลรวมของพิกัดของเวกเตอร์ที่ได้จะเท่ากับ

ตอบ:

ตอนนี้แก้ปัญหาต่อไปนี้ด้วยตัวคุณเอง:

· ค้นหาผลรวมของพิกัดของเวกเตอร์

เราตรวจสอบ:

ตอนนี้ลองพิจารณาปัญหาต่อไปนี้: เรามีสองจุดบน พิกัดเครื่องบิน. จะหาระยะห่างระหว่างพวกเขาได้อย่างไร? ให้จุดแรกเป็นและจุดที่สอง แสดงว่าระยะห่างระหว่างพวกเขาเป็น . ลองทำรูปวาดต่อไปนี้เพื่อความชัดเจน:

ฉันทำอะไรลงไป? ประการแรกฉันเชื่อมต่อจุดและวาดเส้นขนานกับแกนจากจุดและลากเส้นขนานกับแกนจากจุด พวกเขาตัดกันที่จุดหนึ่งเพื่อสร้างร่างที่ยอดเยี่ยมหรือไม่? ทำไมเธอถึงยอดเยี่ยม ใช่ คุณกับฉันเกือบจะรู้ทุกอย่างเกี่ยวกับสามเหลี่ยมมุมฉากแล้ว แน่นอน ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ส่วนที่ต้องการคือด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมนี้ และส่วนคือขา พิกัดของจุดคืออะไร? ใช่ หาได้ง่ายจากภาพ: เนื่องจากเซ็กเมนต์ขนานกับแกนและตามลำดับความยาวของพวกมันจึงหาได้ง่าย: หากเราแสดงความยาวของเซ็กเมนต์ตามลำดับผ่านแล้ว

ทีนี้ ลองใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสกัน เรารู้ความยาวของขา เราจะพบด้านตรงข้ามมุมฉาก:

ดังนั้น ระยะห่างระหว่างจุดสองจุดคือผลรวมรากของผลต่างกำลังสองจากพิกัด หรือ - ระยะห่างระหว่างจุดสองจุดคือความยาวของส่วนที่เชื่อมต่อกัน สังเกตได้ง่ายว่าระยะห่างระหว่างจุดต่างๆ ไม่ได้ขึ้นอยู่กับทิศทาง แล้ว:

จากนี้เราได้ข้อสรุปสามประการ:

มาฝึกการคำนวณระยะห่างระหว่างจุดสองจุดกัน:

ตัวอย่างเช่น ถ้า แล้ว ระยะห่างระหว่าง และ คือ

หรือต่างออกไป: หาพิกัดของเวกเตอร์

และหาความยาวของเวกเตอร์:

อย่างที่คุณเห็นมันเหมือนกัน!

ตอนนี้ฝึกฝนเล็กน้อยด้วยตัวคุณเอง:

งาน: ค้นหาระยะห่างระหว่างจุดที่กำหนด:

เราตรวจสอบ:

ต่อไปนี้คือปัญหาอีกสองสามข้อสำหรับสูตรเดียวกัน แม้ว่าจะฟังดูแตกต่างกันเล็กน้อย:

1. หาค่ากำลังสองของความยาวของเปลือกตาถึงรา

2. นัยน์ตาสี่เหลี่ยมยาวถึงระ

ฉันเดาว่าคุณสามารถจัดการกับพวกเขาได้อย่างง่ายดาย? เราตรวจสอบ:

1. และนี่เพื่อความใส่ใจ) เราเคยพบพิกัดของเวกเตอร์มาก่อนแล้ว: . จากนั้นเวกเตอร์ก็มีพิกัด กำลังสองของความยาวของมันจะเป็น:

2. ค้นหาพิกัดของเวกเตอร์

แล้วความยาวกำลังสองของมันคือ

ไม่มีอะไรซับซ้อนใช่ไหม เลขคณิตง่ายๆ ไม่มีอะไรมาก

ปริศนาต่อไปนี้ไม่สามารถจำแนกได้อย่างชัดเจน ปริศนาเหล่านี้มีไว้สำหรับความรู้ทั่วไปและความสามารถในการวาดภาพง่ายๆ

1. ค้นหาได-ไซน์เหล่านั้นของมุมบน-clo-on-from-cut, ต่อจุดหนึ่ง-n-th-th กับแกน abscissa

และ

เราจะทำอย่างไรที่นี่? คุณต้องหาไซน์ของมุมระหว่างกับแกน และเราจะหาไซน์ได้จากที่ไหน? ถูกแล้ว ในสามเหลี่ยมมุมฉาก แล้วเราต้องทำอย่างไร? สร้างสามเหลี่ยมนี้!

เนื่องจากพิกัดของจุดแล้วส่วนนั้นเท่ากันและส่วนนั้น เราต้องหาไซน์ของมุม ผมขอเตือนคุณว่าไซน์คืออัตราส่วนของขาตรงข้ามกับด้านตรงข้ามมุมฉาก แล้ว

เราเหลืออะไรให้ทำ? หาด้านตรงข้ามมุมฉาก คุณสามารถทำได้สองวิธี: ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส (รู้จักขา!) หรือใช้สูตรสำหรับระยะห่างระหว่างจุดสองจุด (ที่จริงแล้วเหมือนกับวิธีแรก!) ฉันจะไปทางที่สอง:

ตอบ:

งานต่อไปจะดูง่ายยิ่งขึ้นสำหรับคุณ เธอ - บนพิกัดของจุด

ภารกิจที่ 2จากจุดนั้น per-pen-di-ku-lar จะถูกลดระดับลงบนแกน abs-ciss Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

มาวาดรูปกันเถอะ:

ฐานของเส้นตั้งฉากคือจุดที่มันตัดกับแกน x (แกน) สำหรับฉัน นี่คือจุด จากรูปแสดงว่ามีพิกัด: . เราสนใจ abscissa นั่นคือองค์ประกอบ "X" เธอมีความเท่าเทียมกัน

ตอบ: .

ภารกิจที่ 3ภายใต้เงื่อนไขของปัญหาก่อนหน้า ให้หาผลรวมของระยะทางจากจุดไปยังแกนพิกัด

งานนี้เป็นงานพื้นฐานถ้าคุณรู้ว่าระยะห่างจากจุดหนึ่งไปยังแกนคืออะไร คุณรู้? ฉันหวังว่า แต่ฉันยังคงเตือนคุณ:

ดังนั้นในภาพวาดของฉันซึ่งอยู่สูงขึ้นเล็กน้อยฉันได้วาดภาพแนวตั้งฉากหนึ่งแล้วหรือยัง มันคือแกนอะไร? ไปที่แกน แล้วความยาวของมันคือเท่าไหร่? เธอมีความเท่าเทียมกัน วาดเส้นตั้งฉากกับแกนด้วยตัวคุณเองแล้วหาความยาวของมัน มันจะเท่ากันไม่ใช่เหรอ? แล้วผลรวมของพวกเขาจะเท่ากัน

ตอบ: .

ภารกิจที่ 4ในเงื่อนไขของปัญหาที่ 2 ให้หาพิกัดของจุดสมมาตรกับจุดรอบแกน x

ฉันคิดว่าคุณเข้าใจอย่างสังหรณ์ใจว่าสมมาตรคืออะไร? มีวัตถุมากมาย: อาคารหลายหลัง โต๊ะ เครื่องบิน รูปทรงเรขาคณิตมากมาย: ลูกบอล ทรงกระบอก สี่เหลี่ยม รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ฯลฯ พูดคร่าวๆ สมมาตรสามารถเข้าใจได้ดังนี้: ตัวเลขประกอบด้วยสอง (หรือมากกว่า) แบ่งเท่าๆ กัน ความสมมาตรนี้เรียกว่าแนวแกน แล้วแกนคืออะไร? นี่คือเส้นตรงที่ร่างนั้นสามารถ "ตัด" ออกเป็นครึ่งๆ เดียวกันได้ (ในภาพนี้ แกนสมมาตรจะเป็นเส้นตรง):

ตอนนี้กลับไปที่งานของเรา เรารู้ว่าเรากำลังมองหาจุดที่สมมาตรเกี่ยวกับแกน จากนั้นแกนนี้คือแกนสมมาตร ดังนั้น เราจำเป็นต้องทำเครื่องหมายจุดหนึ่งเพื่อให้แกนตัดส่วนนั้นออกเป็นสองส่วนเท่าๆ กัน พยายามทำเครื่องหมายจุดดังกล่าวด้วยตัวเอง ตอนนี้เปรียบเทียบกับโซลูชันของฉัน:

คุณทำเช่นเดียวกันหรือไม่? ดี! ที่จุดพบ เราสนใจในพิกัด เธอเท่าเทียมกัน

ตอบ:

ทีนี้ บอกฉันที หลังจากที่คิดอยู่ครู่หนึ่ง แล้ว abscissa ของจุดสมมาตรที่ชี้ A เกี่ยวกับแกน y คืออะไร? คำตอบของคุณคืออะไร? คำตอบที่ถูกต้อง: .

ที่ กรณีทั่วไปกฎสามารถเขียนได้ดังนี้:

จุดสมมาตรถึงจุดรอบแกน x มีพิกัดดังนี้

จุดสมมาตรถึงจุดรอบแกน y มีพิกัด:

ตอนนี้มันน่ากลัวจริงๆ งาน: ค้นหาพิกัดของจุดที่สมมาตรกับจุดซึ่งสัมพันธ์กับจุดกำเนิด คิดเอาเองก่อน แล้วค่อยดูภาพวาดของฉัน!

ตอบ:

ตอนนี้ ปัญหาด้านสี่เหลี่ยมด้านขนาน:

งาน 5: ประเด็นคือ ver-shi-na-mi-pa-ral-le-lo-gram-ma หาจุดดีเต้หรือดีออนตู

คุณสามารถแก้ปัญหานี้ได้สองวิธี: ตรรกะและวิธีพิกัด ฉันจะใช้วิธีพิกัดก่อน จากนั้นฉันจะบอกคุณว่าคุณจะตัดสินใจต่างจากนี้ได้อย่างไร

ค่อนข้างชัดเจนว่า abscissa ของจุดนั้นเท่ากัน (อยู่บนเส้นตั้งฉากที่ลากจากจุดไปยังแกน x) เราต้องหาพิกัด ลองใช้ประโยชน์จากข้อเท็จจริงที่ว่า ตัวเลขของเราเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน ซึ่งหมายความว่า ค้นหาความยาวของส่วนโดยใช้สูตรสำหรับระยะห่างระหว่างจุดสองจุด:

เราลดจุดเชื่อมต่อตั้งฉากกับแกน จุดตัดแสดงด้วยตัวอักษร

ความยาวของส่วนเท่ากัน (ค้นหาปัญหาด้วยตัวเองที่เราพูดถึงในขณะนี้) จากนั้นเราจะหาความยาวของส่วนโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

ความยาวของส่วนนั้นเท่ากันทุกประการกับการกำหนด

ตอบ: .

วิธีแก้ปัญหาอื่น (ฉันจะให้รูปภาพที่แสดงมันเท่านั้น)

ความคืบหน้าของโซลูชัน:

1. ใช้จ่าย

2. ค้นหาพิกัดจุดและความยาว

3. พิสูจน์ว่า

อีกคน ปัญหาความยาวตัด:

ประเด็นคือ-la-yut-xia top-shi-on-mi tri-angle-no-ka หาความยาวของเส้นกึ่งกลางของเขา par-ral-lel-noy

คุณจำได้ไหมว่าเส้นกลางของรูปสามเหลี่ยมคืออะไร? สำหรับคุณแล้ว งานนี้เป็นงานระดับประถมศึกษา หากคุณจำไม่ได้ ฉันจะเตือนคุณ: เส้นกลางของสามเหลี่ยมคือเส้นที่เชื่อมระหว่างจุดกึ่งกลาง ฝ่ายตรงข้าม. ขนานกับฐานและเท่ากับครึ่งหนึ่ง

ฐานเป็นส่วน เราต้องดูความยาวก่อนว่าเท่ากัน จากนั้นความยาวของเส้นกึ่งกลางจะยาวและเท่ากันครึ่งหนึ่ง

ตอบ: .

ความคิดเห็น: ปัญหานี้สามารถแก้ไขได้ในอีกทางหนึ่งซึ่งเราจะพูดถึงในภายหลัง

ในระหว่างนี้ นี่คืองานสองสามอย่างสำหรับคุณ ฝึกฝนกับมัน พวกมันค่อนข้างง่าย แต่ช่วย "เติมเต็มมือของคุณ" โดยใช้วิธีการประสานงาน!

1. คะแนนปรากฏ-la-yut-xia top-shi-on-mi tra-pe-tion หาความยาวของเส้นกลาง.

2. คะแนนและ yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma หาจุดดีเต้หรือดีออนตู

3. หาความยาวจากการตัด ต่อจุดที่สองและ

4. ค้นหาพื้นที่สำหรับ-the-red-shen-noy fi-gu-ry บนเครื่องบิน ko-or-di-nat-noy

5. วงกลมที่มีศูนย์กลางอยู่ที่นาชะเล โกออร์ดีแนท ผ่านจุดหนึ่ง ค้นหา-de-te ra-di-mustache ของเธอ

6. Nai-di-te ra-di-us circle-no-sti, อธิบาย-san-noy ใกล้มุมขวา-no-ka, tops-shi-ny ของบางสิ่งบางอย่าง-ro-go มี co-or - di-na-you co-from-reply-but

โซลูชั่น:

1. เป็นที่ทราบกันว่าเส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมูเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลรวมของฐาน ฐานเท่ากันแต่ฐาน. แล้ว

ตอบ:

2. วิธีที่ง่ายที่สุดในการแก้ปัญหานี้คือสังเกตว่า (กฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน) คำนวณพิกัดของเวกเตอร์และไม่ยาก: . เมื่อเพิ่มเวกเตอร์ พิกัดจะถูกเพิ่ม แล้วมีพิกัด จุดมีพิกัดเดียวกัน เนื่องจากจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์เป็นจุดที่มีพิกัด เรามีความสนใจในการบวช เธอมีความเท่าเทียมกัน

ตอบ:

3. เราดำเนินการทันทีตามสูตรระยะห่างระหว่างจุดสองจุด:

ตอบ:

4. ดูภาพแล้วพูดว่า พื้นที่แรเงา "ถูกบีบ" ระหว่างตัวเลขใด? มันถูกประกบระหว่างสองสี่เหลี่ยม จากนั้นพื้นที่ของรูปที่ต้องการจะเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสใหญ่ลบด้วยพื้นที่ของสี่เหลี่ยมเล็ก ด้านข้าง สี่เหลี่ยมเล็กคือส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมระหว่างจุดและความยาวของมันคือ

แล้วพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเล็กคือ

เราทำเช่นเดียวกันกับสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดใหญ่: ด้านข้างเป็นส่วนเชื่อมจุดต่างๆ และความยาวเท่ากับ

แล้วพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดใหญ่คือ

พื้นที่ของตัวเลขที่ต้องการหาได้จากสูตร:

ตอบ:

5. ถ้าวงกลมมีจุดกำเนิดเป็นจุดศูนย์กลางและผ่านจุดใดจุดหนึ่ง รัศมีของวงกลมก็จะเท่ากับ เท่ากับความยาวเซ็กเมนต์ (วาดรูปแล้วคุณจะเข้าใจว่าทำไมสิ่งนี้ถึงชัดเจน) ค้นหาความยาวของส่วนนี้:

ตอบ:

6. เป็นที่ทราบกันว่ารัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบสี่เหลี่ยมผืนผ้านั้นมีค่าเท่ากับครึ่งหนึ่งของเส้นทแยงมุม หาความยาวของเส้นทแยงมุมสองเส้น (ในสี่เหลี่ยมมันเท่ากัน!)

ตอบ:

คุณจัดการทุกอย่างแล้วเหรอ? มันไม่ยากเลยที่จะคิดออก ใช่ไหม? มีกฎข้อเดียวอยู่ที่นี่ - เพื่อให้สามารถสร้างภาพที่มองเห็นได้และเพียงแค่ "อ่าน" ข้อมูลทั้งหมดจากมัน

เราเหลือน้อยมาก มีอีกสองประเด็นที่ฉันอยากจะพูดถึง

ลองแก้ปัญหาง่ายๆนี้กัน ให้สองคะแนนและได้รับ หาพิกัดตรงกลางเซกเมนต์ วิธีแก้ปัญหามีดังนี้ ให้จุดอยู่ตรงกลางที่ต้องการ จากนั้นก็มีพิกัด:

นั่นคือ: พิกัดตรงกลางของเซกเมนต์ = ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของพิกัดที่สอดคล้องกันของปลายเซกเมนต์

กฎนี้ง่ายมากและมักจะไม่ทำให้นักเรียนลำบาก มาดูกันว่ามีปัญหาอะไรและใช้งานอย่างไร:

1. Find-di-te or-di-na-tu se-re-di-us from-cut, connect-nya-yu-th-th-th และ

2. คะแนนคือ yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi-che-you-reh-coal-no-ka Find-di-te or-di-na-tu จุด re-re-se-che-niya ของ dia-go-on-lei ของเขา

3. ค้นหา-di-te abs-cis-su ของจุดศูนย์กลางของวงกลม, อธิบาย-san-noy ใกล้รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า-no-ka, ยอด-ชิ-เรามีบางอย่าง-ro-go co-or-di- na-you co-from-vet-stvenno-but.

โซลูชั่น:

1. งานแรกเป็นเพียงงานคลาสสิก เราดำเนินการทันทีโดยกำหนดจุดกึ่งกลางของกลุ่ม เธอมีพิกัด พิกัดเท่ากัน

ตอบ:

2. มันง่ายที่จะเห็นว่ารูปสี่เหลี่ยมที่ให้มานั้นเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน (แม้กระทั่งรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน!) คุณสามารถพิสูจน์ได้ด้วยตัวเองโดยการคำนวณความยาวของด้านและเปรียบเทียบกัน ฉันรู้อะไรเกี่ยวกับสี่เหลี่ยมด้านขนาน? เส้นทแยงมุมของมันถูกแบ่งครึ่งโดยจุดสี่แยก! อ้า! แล้วจุดตัดของเส้นทแยงมุมคืออะไร? นี่คือจุดกึ่งกลางของเส้นทแยงมุม! ฉันจะเลือกโดยเฉพาะเส้นทแยงมุม จากนั้นจุดจะมีพิกัด พิกัดของจุด เท่ากับ

ตอบ:

3. จุดศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบสี่เหลี่ยมจัตุรัสคืออะไร? มันเกิดขึ้นพร้อมกับจุดตัดของเส้นทแยงมุมของมัน คุณรู้อะไรเกี่ยวกับเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้าบ้าง? เท่ากันและจุดตัดแบ่งครึ่ง ลดงานลงเป็นงานก่อนหน้า ใช้ตัวอย่างเช่นเส้นทแยงมุม แล้วถ้าเป็นจุดศูนย์กลางของวงรอบวง แสดงว่าอยู่ตรงกลาง ฉันกำลังมองหาพิกัด: abscissa เท่ากัน

ตอบ:

ตอนนี้ฝึกฝนด้วยตัวเองเล็กน้อยฉันจะให้คำตอบสำหรับแต่ละปัญหาเพื่อให้คุณตรวจสอบตัวเอง

1. Nai-di-te ra-di-us circle-no-sti, อธิบาย-san-noy ใกล้สามเหลี่ยม-no-ka, ยอดของ someone-ro-go มี ko-or-di -no Misters

2. ค้นหา-di-te or-di-na-tu ศูนย์กลางของวงกลม อธิบาย san-noy ใกล้รูปสามเหลี่ยม-no-ka, tops-shi-we มีพิกัดบางอย่าง-ro-go

๓. รัศมีแบบใดควรมีวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดหนึ่งเพื่อให้แตะแกน abs-ciss?

4. ค้นหา-di-te หรือ-di-on-จุด re-re-se-che-ing ของแกนและจาก-cut จุดเชื่อมต่อ-nya-yu-th-th และ

คำตอบ:

ทุกอย่างได้ผลหรือไม่? ฉันหวังว่ามันจริงๆ! ตอนนี้ - ดันสุดท้าย ตอนนี้ควรระมัดระวังเป็นพิเศษ เนื้อหาที่ฉันจะอธิบายตอนนี้เกี่ยวข้องโดยตรงไม่เพียงแต่กับ งานง่ายๆถึงวิธีการพิกัดจากส่วน B แต่ยังเกิดขึ้นทุกที่ในปัญหา C2

ฉันยังไม่ได้รักษาสัญญาใด จำได้ไหมว่าการดำเนินการใดกับเวกเตอร์ที่ฉันสัญญาว่าจะแนะนำและอันไหนที่ฉันแนะนำในที่สุด ฉันแน่ใจว่าฉันไม่ได้ลืมอะไร? ลืม! ฉันลืมอธิบายว่าการคูณเวกเตอร์หมายถึงอะไร

มีสองวิธีในการคูณเวกเตอร์ด้วยเวกเตอร์ เราจะได้วัตถุที่มีลักษณะแตกต่างกันขึ้นอยู่กับวิธีที่เลือก:

ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ค่อนข้างยุ่งยาก จะทำอย่างไรและเหตุใดจึงจำเป็นเราจะหารือกับคุณในบทความถัดไป และในเรื่องนี้เราจะเน้นที่ผลคูณสเกลาร์

มีสองวิธีที่ทำให้เราคำนวณได้อยู่แล้ว:

อย่างที่คุณเดาผลลัพธ์ควรจะเหมือนกัน! มาดูวิธีแรกกันก่อน:

จุดสินค้าผ่านพิกัด

ค้นหา: - การกำหนดทั่วไป สินค้าจุด

สูตรการคำนวณมีดังนี้:

นั่นคือผลคูณดอท = ผลรวมของผลิตภัณฑ์พิกัดของเวกเตอร์!

ตัวอย่าง:

Find-dee-te

วิธีการแก้:

ค้นหาพิกัดของเวกเตอร์แต่ละตัว:

เราคำนวณผลคูณสเกลาร์ตามสูตร:

ตอบ:

คุณเห็นไหมว่าไม่มีอะไรซับซ้อนอย่างแน่นอน!

ทีนี้ลองด้วยตัวคุณเอง:

Find-di-te scalar-noe pro-from-ve-de-nie ศตวรรษสู่คูและ

คุณจัดการ? บางทีเขาอาจสังเกตเห็นเคล็ดลับเล็กน้อย? มาตรวจสอบกัน:

พิกัดเวกเตอร์เหมือนในงานที่แล้ว! ตอบ: .

นอกจากพิกัดแล้ว ยังมีอีกวิธีในการคำนวณผลคูณของสเกลาร์ กล่าวคือ ผ่านความยาวของเวกเตอร์และโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน:

หมายถึงมุมระหว่างเวกเตอร์กับ

นั่นคือผลคูณสเกลาร์เท่ากับผลคูณของความยาวของเวกเตอร์และโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน

ทำไมเราต้องมีสูตรที่สองนี้ ถ้าเรามีสูตรแรก ซึ่งง่ายกว่ามาก อย่างน้อยก็ไม่มีโคไซน์อยู่ในนั้น และเราต้องการมันเพื่อที่ว่าจากสูตรแรกและสูตรที่สอง เราสามารถอนุมานได้ว่าจะหามุมระหว่างเวกเตอร์ได้อย่างไร!

ให้ แล้ว จำสูตรสำหรับความยาวของเวกเตอร์!

ถ้าฉันเสียบข้อมูลนี้ลงในสูตรดอทผลิตภัณฑ์ ฉันจะได้รับ:

แต่อีกด้านหนึ่ง:

แล้วเราได้อะไร? ตอนนี้เรามีสูตรคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์สองตัวแล้ว! บางครั้ง เพื่อความกระชับ ก็เขียนแบบนี้เช่นกัน:

นั่นคืออัลกอริทึมสำหรับการคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์มีดังนี้:

1. เราคำนวณผลคูณสเกลาร์ผ่านพิกัด
2. หาความยาวของเวกเตอร์แล้วคูณมัน
3. หารผลลัพธ์ของจุดที่ 1 ด้วยผลลัพธ์ของจุดที่ 2

มาฝึกกันด้วยตัวอย่าง:

1. หามุมระหว่างเปลือกตากับรัศมี ให้คำตอบเป็นองศา

2. ภายใต้เงื่อนไขของปัญหาก่อนหน้า ให้หาโคไซน์ระหว่างเวกเตอร์

มาทำกัน: ฉันจะช่วยคุณแก้ปัญหาแรก และลองทำปัญหาที่สองด้วยตัวเอง! ฉันเห็นด้วย? เริ่มกันเลย!

1. เวกเตอร์เหล่านี้เป็นเพื่อนเก่าของเรา เราได้พิจารณาผลคูณของสเกลาร์แล้วและมีค่าเท่ากัน พิกัดคือ , . จากนั้นเราจะพบความยาวของมัน:

จากนั้นเรากำลังมองหาโคไซน์ระหว่างเวกเตอร์:

โคไซน์ของมุมคืออะไร? นี่คือมุม

ตอบ:

ตอนนี้แก้ปัญหาที่สองด้วยตัวคุณเองแล้วเปรียบเทียบ! ฉันจะให้วิธีแก้ปัญหาสั้น ๆ :

2. มีพิกัด มีพิกัด

อนุญาต เป็นมุมระหว่างเวกเตอร์กับ, แล้ว

ตอบ:

ควรสังเกตว่างานโดยตรงบนเวกเตอร์และวิธีการพิกัดในส่วนB งานสอบค่อนข้างหายาก อย่างไรก็ตาม ปัญหา C2 ส่วนใหญ่สามารถแก้ไขได้ง่ายด้วยการแนะนำระบบพิกัด ดังนั้นคุณสามารถพิจารณาบทความนี้เป็นพื้นฐานโดยเราจะสร้างโครงสร้างที่ค่อนข้างยุ่งยากซึ่งเราต้องแก้ไข งานที่ท้าทาย.

พิกัดและเวกเตอร์ ระดับกลาง

คุณและฉันศึกษาวิธีการพิกัดต่อไป ในส่วนสุดท้ายเราอนุมานเป็นอนุกรม สูตรสำคัญซึ่งช่วยให้:

1. ค้นหาพิกัดเวกเตอร์
2. หาความยาวของเวกเตอร์ (อีกทางหนึ่งคือ ระยะห่างระหว่างจุดสองจุด)
3. บวกลบเวกเตอร์ คูณด้วย เบอร์จริง
4. หาจุดกึ่งกลางของกลุ่ม
5. คำนวณผลคูณดอทของเวกเตอร์
6. หามุมระหว่างเวกเตอร์

แน่นอนว่าวิธีการพิกัดทั้งหมดไม่เข้ากับ 6 จุดเหล่านี้ มันรองรับวิทยาศาสตร์เช่นเรขาคณิตวิเคราะห์ซึ่งคุณจะได้ทำความคุ้นเคยที่มหาวิทยาลัย ฉันแค่ต้องการสร้างรากฐานที่จะช่วยให้คุณแก้ปัญหาได้ในสถานะเดียว การสอบ. เราค้นพบงานของภาค B ในตอนนี้ ได้เวลาก้าวไปสู่คุณภาพแล้ว ระดับใหม่! บทความนี้จะกล่าวถึงวิธีการแก้ปัญหา C2 ซึ่งควรเปลี่ยนไปใช้วิธีพิกัดอย่างเหมาะสม ความสมเหตุสมผลนี้กำหนดโดยสิ่งที่ต้องพบในปัญหาและตัวเลขที่ให้มา ดังนั้น ฉันจะใช้วิธีพิกัดหากคำถามคือ:

1. หามุมระหว่างระนาบสองระนาบ
2. หามุมระหว่างเส้นกับระนาบ
3. หามุมระหว่างเส้นสองเส้น
4. หาระยะทางจากจุดหนึ่งถึงระนาบ
5. หาระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่ง
6. หาระยะทางจากเส้นตรงถึงระนาบ
7. จงหาระยะห่างระหว่างสองเส้น

หากร่างที่กำหนดในสภาพของปัญหาเป็นร่างของการปฏิวัติ (บอล, กระบอก, กรวย ... )

ตัวเลขที่เหมาะสมสำหรับวิธีการพิกัดคือ:

1. ทรงลูกบาศก์
2. พีระมิด (สามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม หกเหลี่ยม)

จากประสบการณ์ของผมด้วย ไม่เหมาะสมที่จะใช้วิธีการประสานงานสำหรับ:

1. การหาพื้นที่ของส่วนต่างๆ
2. การคำนวณปริมาตรของร่างกาย

อย่างไรก็ตาม ควรสังเกตทันทีว่าสถานการณ์ "เสียเปรียบ" สามสถานการณ์สำหรับวิธีการประสานงานนั้นค่อนข้างหายากในทางปฏิบัติ ในงานส่วนใหญ่ มันสามารถเป็นผู้กอบกู้ของคุณได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าคุณไม่แข็งแกร่งมากในโครงสร้างสามมิติ (ซึ่งบางครั้งก็ค่อนข้างซับซ้อน)

ตัวเลขทั้งหมดที่ฉันได้ระบุไว้ข้างต้นมีอะไรบ้าง? พวกมันไม่แบนอีกต่อไปแล้ว เช่น สี่เหลี่ยม สามเหลี่ยม วงกลม แต่ใหญ่โต! ดังนั้นเราจึงต้องพิจารณาไม่ใช่ระบบพิกัดสองมิติ แต่เป็นระบบพิกัดสามมิติ มันถูกสร้างขึ้นค่อนข้างง่าย: นอกจาก abscissa และ ordinates แล้ว เราจะแนะนำแกนอื่น แกน applicate รูปแผนผังแสดงตำแหน่งสัมพัทธ์:

ทั้งหมดตั้งฉากกันโดยตัดกันที่จุดหนึ่งซึ่งเราจะเรียกว่าจุดกำเนิด แกน abscissa จะแสดงแทนแกนพิกัด - และแกนแอ็พพลิเคชั่นที่แนะนำ - เหมือนเดิม

หากก่อนหน้านี้ แต่ละจุดบนเครื่องบินถูกกำหนดด้วยตัวเลขสองตัว - abscissa และ ordinate แต่ละจุดในอวกาศจะถูกอธิบายด้วยตัวเลขสามตัวแล้ว - abscissa, the ordinate, applicate ตัวอย่างเช่น:

ดังนั้น abscissa ของจุดจะเท่ากัน ลำดับคือ และ applicate คือ .

บางครั้ง abscissa ของจุดเรียกอีกอย่างว่าการฉายภาพของจุดบนแกน abscissa การกำหนดคือการฉายภาพของจุดบนแกนพิกัด และ applicate คือการฉายภาพของจุดบนแกน applicate ดังนั้น หากกำหนดจุดนั้น จุดที่มีพิกัด:

เรียกว่าการฉายจุดบนระนาบ

เรียกว่าการฉายจุดบนระนาบ

คำถามที่เป็นธรรมชาติเกิดขึ้น: สูตรทั้งหมดมาจากกรณีสองมิติในอวกาศหรือไม่? คำตอบคือใช่ พวกเขาเป็นเพียงและมีลักษณะเหมือนกัน สำหรับรายละเอียดปลีกย่อย ฉันคิดว่าคุณเดาได้แล้วว่าอันไหน ในทุกสูตร เราจะต้องเพิ่มอีกหนึ่งเทอมที่รับผิดชอบแกนของแอปพลิเคชัน กล่าวคือ

1. หากได้รับสองคะแนน: แล้ว:

• พิกัดเวกเตอร์:
• ระยะห่างระหว่างจุดสองจุด (หรือความยาวเวกเตอร์)
• ตรงกลางเซกเมนต์มีพิกัด

2. หากได้รับเวกเตอร์สองตัว: และแล้ว:

• ผลิตภัณฑ์จุดของพวกเขาคือ:
• โคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์คือ:

อย่างไรก็ตาม พื้นที่ไม่ง่ายนัก ตามที่คุณเข้าใจ การเพิ่มพิกัดอีกหนึ่งตัวจะแนะนำความหลากหลายที่สำคัญในสเปกตรัมของตัวเลข "มีชีวิต" ในพื้นที่นี้ และสำหรับการบรรยายเพิ่มเติม ฉันต้องแนะนำ "ลักษณะทั่วไป" ของเส้นตรงที่พูดคร่าวๆ "ลักษณะทั่วไป" นี้จะเป็นเครื่องบิน คุณรู้อะไรเกี่ยวกับเครื่องบิน? ลองตอบคำถาม เครื่องบินคืออะไร? มันยากมากที่จะพูด อย่างไรก็ตาม เราทุกคนโดยสัญชาตญาณว่าหน้าตาเป็นอย่างไร:

กล่าวโดยคร่าว ๆ นี่เป็น "ใบไม้" ที่ไม่มีที่สิ้นสุดซึ่งถูกผลักเข้าสู่อวกาศ "อินฟินิตี้" ควรเข้าใจว่าเครื่องบินขยายออกไปทุกทิศทางนั่นคือพื้นที่ของมันเท่ากับอินฟินิตี้ อย่างไรก็ตาม คำอธิบาย "บนนิ้ว" นี้ไม่ได้ให้แนวคิดเกี่ยวกับโครงสร้างของเครื่องบินแม้แต่น้อย และเราจะสนใจมัน

มาจดจำสัจพจน์พื้นฐานของเรขาคณิตอย่างใดอย่างหนึ่ง:

• ในสอง จุดต่างๆบนเครื่องบินมีเส้นตรงและมีเพียงเส้นเดียวเท่านั้น:

หรืออนาล็อกในอวกาศ:

แน่นอน คุณจำได้ว่าจะหาสมการของเส้นตรงจากจุดที่กำหนดสองจุดได้อย่างไร มันไม่ยากเลย: หากจุดแรกมีพิกัด และจุดที่สอง สมการของเส้นตรงจะเป็นดังนี้:

คุณผ่านสิ่งนี้ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 ในอวกาศ สมการของเส้นตรงจะมีลักษณะดังนี้: ให้เรามีสองจุดที่มีพิกัด: จากนั้นสมการของเส้นตรงที่ลากผ่านจะมีรูปแบบดังนี้:

ตัวอย่างเช่น เส้นผ่านจุด:

เรื่องนี้ควรเข้าใจอย่างไร? สิ่งนี้ควรเข้าใจดังนี้: จุดอยู่บนเส้นหากพิกัดเป็นไปตามระบบต่อไปนี้:

เราจะไม่สนใจสมการของเส้นตรงมากนัก แต่เราต้องให้ความสนใจกับแนวคิดที่สำคัญมากของเวกเตอร์การกำกับของเส้นตรง - เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ใดๆ ที่วางอยู่บนเส้นที่กำหนดหรือขนานกับมัน

ตัวอย่างเช่น เวกเตอร์ทั้งสองเป็นเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง อนุญาต ให้เป็นจุดที่วางอยู่บนเส้นตรง, และเป็นเวกเตอร์กำกับของมัน จากนั้นสมการของเส้นตรงสามารถเขียนได้ในรูปแบบต่อไปนี้:

อีกครั้ง ผมจะไม่สนใจสมการของเส้นตรงมากนัก แต่ผมต้องการให้คุณจำว่าเวกเตอร์ทิศทางคืออะไร! อีกครั้ง: มันคือเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ใดๆ ที่วางอยู่บนเส้นตรงหรือขนานกับมัน

ถอน สมการสามจุดของระนาบไม่ใช่เรื่องเล็กน้อยอีกต่อไป และโดยปกติแล้ว ปัญหานี้จะไม่ได้รับการพิจารณาในหลักสูตร มัธยม. แต่เปล่าประโยชน์! เทคนิคนี้มีความสำคัญเมื่อเราใช้วิธีพิกัดเพื่อแก้ปัญหาที่ซับซ้อน อย่างไรก็ตาม ฉันคิดว่าคุณเต็มไปด้วยความปรารถนาที่จะเรียนรู้สิ่งใหม่ ๆ หรือไม่? นอกจากนี้ คุณจะสามารถสร้างความประทับใจให้อาจารย์ที่มหาวิทยาลัยได้ เมื่อปรากฏว่าคุณรู้วิธีใช้เทคนิคที่มักจะศึกษาในหลักสูตรเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์อยู่แล้ว มาเริ่มกันเลยดีกว่า

สมการระนาบไม่แตกต่างจากสมการเส้นตรงบนระนาบมากนัก กล่าวคือ มีรูปแบบดังนี้

ตัวเลขบางตัว (ไม่เท่ากับศูนย์ทั้งหมด) แต่เป็นตัวแปร เช่น เป็นต้น อย่างที่คุณเห็น สมการของระนาบไม่แตกต่างจากสมการของเส้นตรง (ฟังก์ชันเชิงเส้น) มากนัก อย่างไรก็ตาม จำสิ่งที่เราโต้เถียงกับคุณได้ไหม เราบอกว่าถ้าเรามีจุดสามจุดที่ไม่ได้อยู่บนเส้นตรงเส้นเดียว สมการของระนาบก็จะกลับคืนมาอย่างเฉพาะตัวจากจุดเหล่านั้น แต่อย่างไร? ฉันจะพยายามอธิบายให้คุณฟัง

เนื่องจากสมการระนาบคือ:

และจุดต่าง ๆ เป็นของระนาบนี้ เมื่อแทนพิกัดของแต่ละจุดเป็นสมการระนาบ เราควรจะได้เอกลักษณ์ที่ถูกต้อง:

ดังนั้นจึงมีความจำเป็นต้องแก้สมการสามสมการที่ไม่ทราบค่าอยู่แล้ว! ภาวะที่กลืนไม่เข้าคายไม่ออก! อย่างไรก็ตาม เราสามารถสันนิษฐานได้เสมอว่า (สำหรับสิ่งนี้เราต้องหารด้วย) ดังนั้นเราจึงได้สมการสามสมการที่ไม่ทราบค่าสามค่า:

อย่างไรก็ตาม เราจะไม่แก้ระบบดังกล่าว แต่เขียนนิพจน์ที่เป็นความลับที่ตามมา:

สมการของระนาบที่ผ่านสามจุดที่กำหนด

\"ซ้าย| (\begin(array)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(array)) \right| = 0\]

หยุด! นี่อะไรอีก? โมดูลที่ผิดปกติมาก! อย่างไรก็ตาม วัตถุที่คุณเห็นต่อหน้าคุณไม่มีส่วนเกี่ยวข้องกับโมดูล วัตถุนี้เรียกว่าดีเทอร์มีแนนต์อันดับสาม จากนี้ไป เมื่อคุณจัดการกับวิธีพิกัดบนระนาบ คุณมักจะเจอดีเทอร์มิแนนต์เหล่านี้ ดีเทอร์มีแนนต์ลำดับที่สามคืออะไร? น่าแปลกที่มันเป็นเพียงตัวเลข ยังคงต้องเข้าใจว่าเราจะเปรียบเทียบจำนวนใดกับดีเทอร์มีแนนต์

ก่อนอื่นเรามาเขียนดีเทอร์มีแนนต์อันดับสามในรูปแบบทั่วไปกันก่อน:

มีเบอร์ไหน. นอกจากนี้ โดยดัชนีแรก เราหมายถึงหมายเลขแถว และโดยดัชนี - หมายเลขคอลัมน์ ตัวอย่างเช่น หมายความว่า ให้หมายเลขยืนอยู่ที่จุดตัดของแถวที่สองและคอลัมน์ที่สาม มาใส่กัน คำถามต่อไป: เราจะคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ได้อย่างไร? นั่นคือเราจะเปรียบเทียบตัวเลขเฉพาะกับอะไร? สำหรับดีเทอร์มีแนนต์ของลำดับที่สามอย่างแม่นยำ มีกฎรูปสามเหลี่ยมฮิวริสติก (ภาพ) มีลักษณะดังนี้:

1. ผลคูณขององค์ประกอบในแนวทแยงหลัก (จากบนซ้ายไปล่างขวา) ผลคูณขององค์ประกอบที่สร้างสามเหลี่ยมแรก "ตั้งฉาก" กับแนวทแยงหลัก ผลิตภัณฑ์ขององค์ประกอบที่ก่อตัวเป็นสามเหลี่ยมที่สอง "ตั้งฉาก" กับหลัก เส้นทแยงมุม
2. ผลคูณขององค์ประกอบในแนวทแยงทุติยภูมิ (จากมุมบนขวาไปซ้ายล่าง) ผลคูณขององค์ประกอบที่สร้างสามเหลี่ยมแรก "ตั้งฉาก" ของเส้นทแยงมุมรอง ผลคูณขององค์ประกอบที่สร้างสามเหลี่ยมที่สอง "ตั้งฉาก" ของเส้นทแยงมุมรอง
3. จากนั้นดีเทอร์มีแนนต์จะเท่ากับความแตกต่างระหว่างค่าที่ได้รับในขั้นตอนและ

ถ้าเราเขียนทั้งหมดนี้เป็นตัวเลข เราก็จะได้นิพจน์ต่อไปนี้:

อย่างไรก็ตาม คุณไม่จำเป็นต้องจำวิธีการคำนวณในแบบฟอร์มนี้ แค่เก็บสามเหลี่ยมไว้ในหัวและคิดให้ดีว่ามีอะไรเพิ่มเข้าไปในอะไร แล้วอะไรจะถูกหักออกจากอะไร

ลองอธิบายวิธีสามเหลี่ยมด้วยตัวอย่าง:

1. คำนวณดีเทอร์มีแนนต์:

มาดูกันว่าเราเพิ่มอะไรและลบอะไร:

คำศัพท์ที่มาพร้อมกับ "บวก":

นี่คือเส้นทแยงมุมหลัก: ผลคูณขององค์ประกอบคือ

สามเหลี่ยมแรก "ตั้งฉากกับเส้นทแยงมุมหลัก: ผลคูณขององค์ประกอบคือ

สามเหลี่ยมที่สอง "ตั้งฉากกับเส้นทแยงมุมหลัก: ผลคูณขององค์ประกอบคือ

เราเพิ่มตัวเลขสามตัว:

คำศัพท์ที่มาพร้อมกับ "ลบ"

นี่คือเส้นทแยงมุม: ผลคูณขององค์ประกอบคือ

สามเหลี่ยมแรก "ตั้งฉากกับเส้นทแยงมุมรอง: ผลคูณขององค์ประกอบคือ

สามเหลี่ยมที่สอง "ตั้งฉากกับเส้นทแยงมุมรอง: ผลคูณขององค์ประกอบคือ

เราเพิ่มตัวเลขสามตัว:

สิ่งที่ต้องทำคือลบผลบวกของเทอมบวกกับผลบวกลบ:

ทางนี้,

อย่างที่คุณเห็น ไม่มีอะไรซับซ้อนและเหนือธรรมชาติในการคำนวณดีเทอร์มีแนนต์อันดับสาม สิ่งสำคัญคือต้องจำเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมและอย่าทำผิดพลาดทางคณิตศาสตร์ ตอนนี้ลองคำนวณตัวเอง:

เราตรวจสอบ:

1. สามเหลี่ยมแรกตั้งฉากกับเส้นทแยงมุมหลัก:
2. สามเหลี่ยมที่สองตั้งฉากกับเส้นทแยงมุมหลัก:
3. ผลรวมของเงื่อนไขบวก:
4. สามเหลี่ยมแรกตั้งฉากกับแนวทแยงด้าน:
5. สามเหลี่ยมที่สองตั้งฉากกับแนวทแยงด้าน:
6. ผลรวมของเทอมที่มีเครื่องหมายลบ:
7. ผลรวมของเทอมบวกลบผลบวกลบเทอม:

ต่อไปนี้คือตัวกำหนดอีกสองสามตัวสำหรับคุณ คำนวณค่าของพวกมันด้วยตัวเองและเปรียบเทียบกับคำตอบ:

คำตอบ:

ดีทุกอย่างตรงกันหรือไม่? ดีมาก แล้วไปต่อได้! หากมีปัญหาคำแนะนำของฉันคือ: บนอินเทอร์เน็ตมีโปรแกรมมากมายสำหรับคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ออนไลน์ สิ่งที่คุณต้องมีคือสร้างดีเทอร์มีแนนต์ของคุณเอง คำนวณด้วยตัวเอง แล้วเปรียบเทียบกับสิ่งที่โปรแกรมคำนวณ ไปเรื่อยๆ จนกว่าผลการแข่งขันจะเริ่มตรงกัน ฉันแน่ใจว่าช่วงเวลานี้จะไม่นานมานี้!

ทีนี้กลับไปที่ดีเทอร์มีแนนต์ที่ผมเขียนไว้ตอนพูดถึงสมการระนาบที่ผ่านสาม คะแนนที่ได้รับ:

สิ่งที่คุณต้องทำคือคำนวณค่าของมันโดยตรง (โดยใช้วิธีสามเหลี่ยม) และตั้งค่าผลลัพธ์ให้เท่ากับศูนย์ โดยธรรมชาติแล้ว เนื่องจากพวกมันเป็นตัวแปร คุณจะได้นิพจน์ที่ขึ้นอยู่กับพวกมัน นิพจน์นี้จะเป็นสมการของระนาบที่ผ่านสามจุดที่กำหนดซึ่งไม่ได้อยู่บนเส้นตรงเส้นเดียว!

มาอธิบายเรื่องนี้ด้วยตัวอย่างง่ายๆ กัน:

1. สร้างสมการระนาบผ่านจุด

เราเขียนดีเทอร์มีแนนต์สำหรับสามจุดเหล่านี้:

ลดความซับซ้อน:

ตอนนี้เราคำนวณโดยตรงตามกฎของสามเหลี่ยม:

\[(\left| (\begin(array)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(array)) \ right| = \left((x + 3) \right) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \right) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

ดังนั้น สมการของระนาบที่ผ่านจุดคือ

ตอนนี้พยายามแก้ปัญหาด้วยตัวเองแล้วเราจะพูดถึงเรื่องนี้:

2. หาสมการระนาบที่ผ่านจุดต่างๆ

ทีนี้มาพูดถึงวิธีแก้ปัญหากันตอนนี้:

เราทำดีเทอร์มีแนนต์:

และคำนวณมูลค่าของมัน:

จากนั้นสมการของระนาบจะมีรูปแบบดังนี้

หรือลดลงโดยเราได้รับ:

ตอนนี้มีสองงานสำหรับการควบคุมตนเอง:

1. สร้างสมการของระนาบที่ผ่านสามจุด:

คำตอบ:

ทุกอย่างตรงกันหรือไม่? อีกครั้งหากมีปัญหาบางอย่างคำแนะนำของฉันคือ: รับสามคะแนนจากหัวของคุณ (ด้วยความน่าจะเป็นสูงที่พวกเขาจะไม่อยู่บนเส้นตรงเส้นเดียว) สร้างเครื่องบินบนพวกเขา แล้วตรวจสอบตัวเองออนไลน์ ตัวอย่างเช่นบนเว็บไซต์:

อย่างไรก็ตาม ด้วยความช่วยเหลือของดีเทอร์มีแนนต์ เราจะไม่เพียงสร้างสมการของระนาบเท่านั้น จำไว้, ฉันบอกคุณแล้วว่าสำหรับเวกเตอร์, ไม่ใช่แค่ดอทโปรดัคที่ถูกนิยามไว้ นอกจากนี้ยังมีเวกเตอร์และผลิตภัณฑ์ผสม และหากผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์สองตัวเป็นตัวเลข ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์สองตัวจะเป็นเวกเตอร์ และเวกเตอร์นี้จะตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่ให้มา:

และโมดูลของมันจะเป็น เท่ากับพื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างขึ้นบนเวกเตอร์และ. เวกเตอร์นี้เราต้องคำนวณระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่ง เราจะคำนวณผลคูณของเวกเตอร์ได้อย่างไรและถ้าให้พิกัดของพวกมัน? ดีเทอร์มิแนนต์ของลำดับที่สามมาช่วยเหลือเราอีกครั้ง อย่างไรก็ตาม ก่อนที่ฉันจะไปที่อัลกอริทึมสำหรับการคำนวณผลคูณ ฉันต้องพูดนอกเรื่องเล็กน้อย

การพูดนอกเรื่องนี้เกี่ยวข้องกับเวกเตอร์พื้นฐาน

แผนผังจะแสดงในรูป:

ทำไมคุณถึงคิดว่าพวกเขาเรียกว่าพื้นฐาน? ความจริงก็คือ:

หรือในภาพ:

ความถูกต้องของสูตรนี้ชัดเจนเพราะ:

ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์

ตอนนี้ฉันสามารถเริ่มแนะนำผลิตภัณฑ์ข้ามได้:

ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์สองตัวคือเวกเตอร์ที่คำนวณตามกฎต่อไปนี้:

ทีนี้มายกตัวอย่างการคำนวณผลคูณกัน:

ตัวอย่างที่ 1: ค้นหาผลคูณของเวกเตอร์:

วิธีแก้ปัญหา: ฉันสร้างดีเทอร์มีแนนต์:

และฉันคำนวณ:

ตอนนี้ จากการเขียนถึงเวกเตอร์พื้นฐาน ฉันจะกลับไปที่สัญกรณ์เวกเตอร์ปกติ:

ทางนี้:

ตอนนี้ลอง

พร้อม? เราตรวจสอบ:

และตามธรรมเนียมสอง งานในการควบคุม:

1. ค้นหาผลคูณของเวกเตอร์ต่อไปนี้:
2. ค้นหาผลคูณของเวกเตอร์ต่อไปนี้:

คำตอบ:

ผลคูณของเวกเตอร์สามตัว

โครงสร้างสุดท้ายที่ฉันต้องการคือผลคูณของเวกเตอร์สามตัว ก็เหมือนสเกลาร์ มันคือตัวเลข มีสองวิธีในการคำนวณ - ผ่านดีเทอร์มิแนนต์ - ผ่านผลิตภัณฑ์ผสม

สมมุติว่าเรามีเวกเตอร์สามตัว:

จากนั้นผลคูณของเวกเตอร์สามตัวเขียนแทนด้วยสามารถคำนวณได้ดังนี้:

1. - นั่นคือ ผลคูณผสมเป็นผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ และผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์อื่นอีกสองตัว

ตัวอย่างเช่น ผลคูณผสมของเวกเตอร์สามตัวคือ:

ลองคำนวณด้วยตัวเองโดยใช้ผลคูณของเวกเตอร์และตรวจดูให้แน่ใจว่าผลลัพธ์ตรงกัน!

อีกสองตัวอย่าง โซลูชันอิสระ:

คำตอบ:

ทางเลือกของระบบพิกัด

ตอนนี้ เรามีพื้นฐานความรู้ที่จำเป็นในการแก้ปัญหาทางเรขาคณิตที่ซับซ้อนแล้ว อย่างไรก็ตาม ก่อนดำเนินการแก้ไขตัวอย่างและอัลกอริทึมโดยตรง ฉันเชื่อว่าจะเป็นประโยชน์หากต้องอาศัยคำถามต่อไปนี้ เลือกระบบพิกัดสำหรับตัวเลขเฉพาะท้ายที่สุด มันเป็นทางเลือกของตำแหน่งสัมพัทธ์ของระบบพิกัดและตัวเลขในอวกาศที่จะเป็นตัวกำหนดว่าการคำนวณจะยุ่งยากเพียงใด

ฉันเตือนคุณว่าในส่วนนี้ เรากำลังพิจารณารูปร่างต่อไปนี้:

1. ทรงลูกบาศก์
2. ปริซึมตรง (สามเหลี่ยม หกเหลี่ยม…)
3. พีระมิด (สามเหลี่ยม, สี่เหลี่ยม)
4. จัตุรมุข (เหมือนกับปิรามิดสามเหลี่ยม)

สำหรับทรงลูกบาศก์หรือลูกบาศก์ ฉันแนะนำการก่อสร้างต่อไปนี้:

นั่นคือฉันจะวางร่าง "ในมุม" ลูกบาศก์และกล่องเป็นตัวเลขที่ดีมาก สำหรับพวกเขา คุณสามารถค้นหาพิกัดของจุดยอดได้อย่างง่ายดายเสมอ เช่น ถ้า (ตามภาพ)

จากนั้นพิกัดจุดยอดคือ:

แน่นอน คุณไม่จำเป็นต้องจำสิ่งนี้ แต่การจดจำวิธีที่ดีที่สุดในการวางตำแหน่งลูกบาศก์หรือกล่องสี่เหลี่ยมนั้นเป็นสิ่งที่พึงปรารถนา

ปริซึมตรง

ปริซึมเป็นตัวเลขที่เป็นอันตรายมากกว่า คุณสามารถจัดเรียงในช่องว่างได้หลายวิธี อย่างไรก็ตาม ฉันคิดว่าตัวเลือกต่อไปนี้เป็นตัวเลือกที่ดีที่สุด:

ปริซึมสามเหลี่ยม:

นั่นคือ เราวางด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมไว้บนแกนทั้งหมด และจุดยอดจุดหนึ่งเกิดขึ้นพร้อมกับจุดกำเนิด

ปริซึมหกเหลี่ยม:

นั่นคือจุดยอดจุดหนึ่งเกิดขึ้นพร้อมกับจุดกำเนิดและด้านใดด้านหนึ่งอยู่บนแกน

ปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมและหกเหลี่ยม:

สถานการณ์ที่คล้ายกับลูกบาศก์: เรารวมสองด้านของฐานเข้ากับแกนพิกัด เรารวมจุดยอดจุดหนึ่งเข้ากับจุดกำเนิด ความยากเพียงเล็กน้อยเท่านั้นคือการคำนวณพิกัดของจุด

สำหรับปิรามิดหกเหลี่ยม - เช่นเดียวกับปริซึมหกเหลี่ยม งานหลักอีกครั้งคือการหาพิกัดของจุดยอด

จัตุรมุข (พีระมิดสามเหลี่ยม)

สถานการณ์คล้ายกันมากกับสถานการณ์ที่ฉันให้ไว้สำหรับปริซึมสามเหลี่ยม: จุดยอดหนึ่งจุดตรงกับจุดกำเนิด ด้านหนึ่งอยู่บนแกนพิกัด

ตอนนี้คุณและฉันใกล้จะเริ่มแก้ปัญหาแล้ว จากที่ผมกล่าวไปในตอนต้นของบทความ คุณสามารถสรุปได้ดังนี้: ปัญหา C2 ส่วนใหญ่แบ่งออกเป็น 2 หมวดหมู่: ปัญหาสำหรับมุมและปัญหาสำหรับระยะทาง อันดับแรก เราจะพิจารณาปัญหาในการหามุม ในทางกลับกันพวกเขาถูกแบ่งออกเป็นหมวดหมู่ต่อไปนี้ (เมื่อความซับซ้อนเพิ่มขึ้น):

ปัญหาในการหามุม

1. การหามุมระหว่างเส้นสองเส้น
2. การหามุมระหว่างระนาบสองระนาบ

ลองพิจารณาปัญหาเหล่านี้ตามลำดับ: เริ่มจากการหามุมระหว่างเส้นตรงสองเส้น มาเถอะ จำไว้ เธอกับฉันตัดสินใจไม่ได้ ตัวอย่างที่คล้ายกันก่อน? คุณจำได้ เพราะเรามีสิ่งที่คล้ายกันอยู่แล้ว ... เรากำลังมองหามุมระหว่างเวกเตอร์สองตัว ฉันเตือนคุณว่าถ้าให้เวกเตอร์สองตัว: และพบมุมระหว่างพวกมันจากความสัมพันธ์:

ตอนนี้เรามีเป้าหมายแล้ว - การหามุมระหว่างเส้นตรงสองเส้น หันมาที่ "ภาพแบน":

เราจะได้มุมกี่มุมเมื่อเส้นสองเส้นตัดกัน? ของอยู่แล้ว. จริงอยู่เพียงสองคนเท่านั้นที่ไม่เท่ากันในขณะที่คนอื่นอยู่ในแนวตั้ง (และดังนั้นจึงตรงกับพวกเขา) แล้วมุมใดที่เราควรพิจารณามุมระหว่างเส้นตรงสองเส้น: หรือ? นี่คือกฎ: มุมระหว่างเส้นตรงสองเส้นเสมอกันไม่เกินองศา. นั่นคือ จากสองมุม เราจะเลือกมุมที่เล็กที่สุดเสมอ องศาวัด. นั่นคือ ในภาพนี้ มุมระหว่างสองเส้นเท่ากัน เพื่อไม่ให้รบกวนการหามุมที่เล็กที่สุดของทั้งสองทุกครั้ง นักคณิตศาสตร์ที่ฉลาดแกมโกงแนะนำให้ใช้โมดูลนี้ ดังนั้นมุมระหว่างเส้นตรงสองเส้นจึงถูกกำหนดโดยสูตร:

คุณในฐานะผู้อ่านที่ใส่ใจควรมีคำถาม: อันที่จริง เราได้ตัวเลขเหล่านี้ที่เราต้องคำนวณโคไซน์ของมุมจากที่ใด คำตอบ: เราจะเอามันมาจากเวกเตอร์ทิศทางของเส้น! ดังนั้นอัลกอริธึมในการหามุมระหว่างสองเส้นจึงเป็นดังนี้:

1. เราใช้สูตร 1

หรือรายละเอียดเพิ่มเติม:

1. เรากำลังมองหาพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงเส้นแรก
2. เรากำลังมองหาพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นที่สอง
3. คำนวณโมดูลัสของผลิตภัณฑ์สเกลาร์
4. เรากำลังมองหาความยาวของเวกเตอร์แรก
5. เรากำลังมองหาความยาวของเวกเตอร์ที่สอง
6. คูณผลลัพธ์ของจุดที่ 4 ด้วยผลลัพธ์ของจุด 5
7. เราหารผลลัพธ์ของจุดที่ 3 ด้วยผลลัพธ์ของจุดที่ 6 เราได้โคไซน์ของมุมระหว่างเส้น
8. ถ้า ผลที่ได้รับช่วยให้คุณคำนวณมุมได้อย่างแม่นยำเรากำลังมองหา
9. มิฉะนั้นเราจะเขียนผ่านอาร์คโคไซน์

ตอนนี้เป็นเวลาที่จะไปยังงานต่างๆ: ฉันจะสาธิตวิธีแก้ปัญหาของสองข้อแรกโดยละเอียด ฉันจะนำเสนอวิธีแก้ปัญหาของอีกงานหนึ่งโดยสังเขป และฉันจะให้คำตอบสำหรับสองงานสุดท้ายเท่านั้น คุณต้อง ทำการคำนวณทั้งหมดด้วยตัวเอง

งาน:

1. ใน tet-ra-ed-re ทางขวา ให้ค้นหามุมระหว่าง you-so-that tet-ra-ed-ra และด้าน me-di-a-noy bo-ko-how

2. ทางขวาไปข้างหน้า six-coal-pi-ra-mi-de ร้อย-ro-na-os-no-va-niya มีค่าเท่ากัน และซี่โครงด้านข้างเท่ากัน หามุมระหว่างเส้นตรง เส้นและ.

3. ความยาวของขอบทั้งหมดของผู้ถนัดขวา four-you-rech-coal-noy pi-ra-mi-dy เท่ากัน จงหามุมระหว่างเส้นตรงและถ้า from-re-zok - คุณ-พอให้ pi-ra-mi-dy เป็นจุดที่ se-re-di-on ซี่โครง bo-ko- ของเธอ

4. บนขอบของลูกบาศก์จาก-me-che-ไปยังจุดหนึ่ง เพื่อที่ ค้นหา-di-te มุมระหว่างเส้นตรงกับ

5. จุด - se-re-di-on ที่ขอบของลูกบาศก์ Nai-di-te มุมระหว่างเส้นตรงและ

ไม่ใช่เรื่องบังเอิญที่ฉันวางงานตามลำดับนี้ ในขณะที่คุณยังไม่มีเวลาเริ่มสำรวจวิธีการพิกัด ตัวฉันเองจะวิเคราะห์ตัวเลขที่ "มีปัญหา" ที่สุด และฉันจะปล่อยให้คุณจัดการกับลูกบาศก์ที่ง่ายที่สุด! คุณต้องค่อยๆ เรียนรู้วิธีการทำงานกับตัวเลขทั้งหมด ฉันจะเพิ่มความซับซ้อนของงานจากหัวข้อหนึ่งไปอีกหัวข้อหนึ่ง

มาเริ่มแก้ปัญหากันเลย:

1. วาดจัตุรมุข วางไว้ในระบบพิกัดตามที่ฉันแนะนำไว้ก่อนหน้านี้ เนื่องจากจัตุรมุขเป็นแบบปกติ ใบหน้าทั้งหมด (รวมทั้งฐาน) จึงเป็น สามเหลี่ยมปกติ. เนื่องจากเราไม่มีความยาวของด้าน ผมจึงใส่ได้เท่ากัน ฉันคิดว่าคุณเข้าใจว่ามุมจะไม่ขึ้นอยู่กับว่าจัตุรมุขของเราจะ "ยืด" มากแค่ไหน? ฉันจะวาดความสูงและค่ามัธยฐานในจัตุรมุขด้วย ระหว่างทางฉันจะวาดฐานของมัน (มันจะมีประโยชน์สำหรับเราด้วย)

ต้องหามุมระหว่าง and เรารู้อะไร? เรารู้แค่พิกัดของจุดเท่านั้น เลยต้องหาพิกัดของจุดเพิ่มเติม ตอนนี้เราคิดว่า: จุดเป็นจุดตัดของความสูง (หรือแบ่งครึ่งหรือค่ามัธยฐาน) ของรูปสามเหลี่ยม จุดเป็นจุดยกระดับ จุดคือจุดกึ่งกลางของส่วน ในที่สุด เราก็ต้องหาพิกัดของจุดต่างๆ : .

เริ่มจากที่ง่ายที่สุด: พิกัดจุด ดูรูป: เห็นได้ชัดว่าการใช้จุดมีค่าเท่ากับศูนย์ (จุดอยู่บนระนาบ) พิกัดเท่ากัน (เพราะเป็นค่ามัธยฐาน) เป็นการยากที่จะหา abscissa ของมัน อย่างไรก็ตาม สิ่งนี้ทำได้ง่ายๆ โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส: พิจารณารูปสามเหลี่ยม ด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากัน และขาข้างหนึ่งเท่ากัน จากนั้น:

ในที่สุดเราก็มี:

ทีนี้ลองหาพิกัดของจุดกัน เป็นที่ชัดเจนว่าแอปพลิเคชันมีค่าเท่ากับศูนย์อีกครั้งและลำดับของมันก็เหมือนกับของจุดนั่นคือ มาหาเรื่องไร้สาระกันเถอะ สิ่งนี้ทำค่อนข้างเล็กน้อยถ้าจำได้ว่า ความสูง สามเหลี่ยมด้านเท่าจุดตัดแบ่งตามสัดส่วนนับจากด้านบน ตั้งแต่: แล้ว abscissa ที่ต้องการของจุด เท่ากับความยาวส่วนเท่ากับ: . ดังนั้นพิกัดของจุดคือ:

มาหาพิกัดของจุดกัน เป็นที่ชัดเจนว่า abscissa และ ordinate นั้นตรงกับ abscissa และ ordinate ของจุด และ applique เท่ากับความยาวของเซ็กเมนต์ - นี่คือขาข้างหนึ่งของสามเหลี่ยม ด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมคือส่วน - ขา มีการค้นหาเหตุผลที่ฉันเน้นด้วยตัวหนา:

จุดคือจุดกึ่งกลางของส่วน จากนั้นเราต้องจำสูตรพิกัดของส่วนกลางของเซกเมนต์:

เพียงเท่านี้ เราก็สามารถหาพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางได้แล้ว:

ทุกอย่างพร้อมแล้ว: เราแทนที่ข้อมูลทั้งหมดลงในสูตร:

ทางนี้,

ตอบ:

คุณไม่ควรกลัวคำตอบที่ "แย่มาก" สำหรับปัญหา C2 นี่เป็นวิธีปฏิบัติทั่วไป ฉันค่อนข้างจะประหลาดใจกับคำตอบที่ "สวย" ในส่วนนี้ อย่างที่คุณสังเกตด้วย ฉันไม่ได้หันไปใช้อะไรอื่นนอกจากทฤษฎีบทพีทาโกรัสและคุณสมบัติของความสูงของสามเหลี่ยมด้านเท่า นั่นคือ เพื่อแก้ปัญหาสเตอริโอเมทริก ผมใช้มิติที่น้อยที่สุด กำไรในส่วนนี้จะ "ดับ" บางส่วนโดยการคำนวณที่ค่อนข้างยุ่งยาก แต่พวกมันค่อนข้างอัลกอริธึม!

2. วาดพีระมิดหกเหลี่ยมปกติพร้อมกับระบบพิกัดเช่นเดียวกับฐาน:

เราต้องหามุมระหว่างเส้นกับ ดังนั้นงานของเราจึงลดลงเพื่อค้นหาพิกัดของจุด: เราจะหาพิกัดของสามตัวสุดท้ายจากรูปวาดเล็กๆ และเราจะหาพิกัดของจุดยอดผ่านพิกัดของจุดนั้น งานเยอะแต่ต้องเริ่ม!

ก) พิกัด: เป็นที่ชัดเจนว่าการสมัครและการกำหนดเป็นศูนย์ มาหา abscissa กันเถอะ ในการทำเช่นนี้ ให้พิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉาก อนิจจา เรารู้แค่ด้านตรงข้ามมุมฉาก ซึ่งเท่ากับ เราจะพยายามหาขา (เพราะเห็นได้ชัดว่าความยาวของขาสองเท่าจะทำให้เรามีจุดสิ้นสุด) เราจะมองหามันได้อย่างไร? จำกันได้ไหมว่าเรามีรูปร่างแบบใดที่ฐานปิรามิด? นี่คือรูปหกเหลี่ยมปกติ มันหมายความว่าอะไร? ซึ่งหมายความว่าทุกด้านและทุกมุมเท่ากัน เราต้องหามุมแบบนั้นให้ได้ ความคิดใด ๆ? มีความคิดมากมาย แต่มีสูตร:

ผลรวมของมุม ปกติ n-gonเท่ากับ .

ดังนั้น ผลรวมของมุมของรูปหกเหลี่ยมปกติคือองศา แล้วแต่ละมุมจะเท่ากับ:

มาดูรูปกันอีกที เป็นที่ชัดเจนว่าเซ็กเมนต์เป็นครึ่งเสี้ยวของมุม แล้วมุม เท่ากับองศา. แล้ว:

แล้วที่.

จึงมีพิกัด

b) ตอนนี้เราสามารถหาพิกัดของจุดได้อย่างง่ายดาย: .

c) ค้นหาพิกัดของจุด เนื่องจาก abscissa ของมันตรงกับความยาวของส่วนจึงเท่ากัน การหาพิกัดก็ไม่ยากเช่นกัน หากเราเชื่อมต่อจุดต่างๆ และระบุจุดตัดของเส้น ให้พูดแทน (ทำเองก่อสร้างง่ายๆ). ดังนั้น พิกัดของจุด B เท่ากับผลรวมของความยาวของส่วน ลองดูสามเหลี่ยมอีกครั้ง แล้ว

จากนั้นจุดก็มีพิกัด

d) ค้นหาพิกัดของจุด พิจารณาสี่เหลี่ยมแล้วพิสูจน์ว่า ดังนั้นพิกัดของจุดคือ:

จ) ยังคงต้องหาพิกัดของจุดยอด เป็นที่ชัดเจนว่า abscissa และ ordinate นั้นตรงกับ abscissa และ ordinate ของจุด มาหาแอปกัน ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา พิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉาก. โดยสภาพของปัญหาขอบด้านข้าง นี่คือด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมของฉัน จากนั้นความสูงของปิรามิดคือขา

จากนั้นจุดจะมีพิกัด:

แค่นั้นแหละ ฉันมีพิกัดของจุดสนใจทั้งหมดให้ฉัน ฉันกำลังมองหาพิกัดของเวกเตอร์กำกับของเส้นตรง:

เรากำลังมองหามุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านี้:

ตอบ:

อีกครั้ง เมื่อแก้ปัญหานี้ ฉันไม่ได้ใช้กลอุบายที่ซับซ้อนใดๆ ยกเว้นสูตรสำหรับผลรวมของมุมของ n-gon ปกติ เช่นเดียวกับคำจำกัดความของโคไซน์และไซน์ของสามเหลี่ยมมุมฉาก

3. เนื่องจากเราไม่ได้รับความยาวของขอบในปิรามิดอีกต่อไปฉันจะนับมัน เท่ากับหนึ่ง. ดังนั้นเนื่องจากขอบทั้งหมดและไม่ใช่แค่ด้านข้างเท่านั้นที่เท่ากันดังนั้นที่ฐานของปิรามิดและฉันจึงมีสี่เหลี่ยมจัตุรัสและ ใบหน้าด้านข้างเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก ลองวาดภาพปิรามิดดังกล่าวเช่นเดียวกับฐานบนเครื่องบินโดยทำเครื่องหมายข้อมูลทั้งหมดที่ระบุในข้อความของปัญหา:

เรากำลังมองหามุมระหว่างและ ฉันจะทำการคำนวณสั้นๆ เมื่อฉันกำลังมองหาพิกัดของจุดต่างๆ คุณจะต้อง "ถอดรหัส" พวกเขา:

b) - ตรงกลางของส่วน พิกัดของเธอ:

c) ฉันจะหาความยาวของส่วนโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสในรูปสามเหลี่ยม ฉันจะหาโดยทฤษฎีบทพีทาโกรัสในรูปสามเหลี่ยม

พิกัด:

d) - ตรงกลางของส่วน พิกัดคือ

จ) พิกัดเวกเตอร์

f) พิกัดเวกเตอร์

g) มองหามุม:

คิวบ์ - รูปที่ง่ายที่สุด. ฉันแน่ใจว่าคุณสามารถคิดออกด้วยตัวคุณเอง คำตอบของปัญหาที่ 4 และ 5 มีดังนี้:

การหามุมระหว่างเส้นตรงกับระนาบ

หมดเวลาไขปริศนาง่ายๆ แล้ว! ตอนนี้ตัวอย่างจะยิ่งยากขึ้น ในการหามุมระหว่างเส้นตรงกับระนาบ เราจะดำเนินการดังนี้:

1. ใช้สามจุดเราสร้างสมการของระนาบ
   ,
   โดยใช้ดีเทอร์มีแนนต์ลำดับที่สาม
2. สองจุดเรากำลังมองหาพิกัดของเวกเตอร์กำกับของเส้นตรง:
3. เราใช้สูตรในการคำนวณมุมระหว่างเส้นตรงกับระนาบ:

อย่างที่คุณเห็น สูตรนี้คล้ายกันมากกับสูตรที่เราใช้ในการหามุมระหว่างสองบรรทัด โครงสร้างทางด้านขวาก็เหมือนเดิม และทางซ้ายเรากำลังมองหาไซน์ ไม่ใช่โคไซน์เหมือนเมื่อก่อน มีการเพิ่มการกระทำที่น่ารังเกียจอย่างหนึ่ง - การค้นหาสมการของระนาบ

อย่าให้ชั้น แก้ตัวอย่าง:

1. Os-no-va-ni-em straight-my reward-we are-la-et-xia equal-but-ยากจน-ren-ny triangle-nick you-with- that Prize-เราเท่าเทียมกัน หามุมระหว่างเส้นตรงกับระนาบ

2. ในรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า pa-ral-le-le-pi-pe-de จากทิศตะวันตกของ Nai-di-te ทำมุมระหว่างเส้นตรงกับระนาบ

3. ในปริซึมหกถ่านหินทางขวา ขอบทั้งหมดเท่ากัน หามุมระหว่างเส้นตรงกับระนาบ

4. ในรูปสามเหลี่ยมขวา pi-ra-mi-de กับ os-but-va-ni-em จากทิศตะวันตกของมุมซี่โครง Nai-di-te, ob-ra-zo-van -ny ระนาบของ os -โน-วา-นิยะและสตรง-มี, ผ่านเส-เร-ดี-นาของซี่โครงและ

5. ความยาวของขอบทั้งหมดของ pi-ra-mi-dy สี่เหลี่ยมจัตุรัสด้านขวาที่มีส่วนบนเท่ากัน หามุมระหว่างเส้นตรงกับระนาบ ถ้าจุดนั้นอยู่บนขอบ bo-ko-in-th ของ pi-ra-mi-dy

อีกครั้ง ฉันจะแก้ปัญหาสองข้อแรกโดยละเอียด ข้อที่สาม - สั้น ๆ และฉันปล่อยให้สองข้อสุดท้ายให้คุณแก้เอง นอกจากนี้คุณต้องจัดการกับสามเหลี่ยมและ .แล้ว ปิรามิดทรงสี่เหลี่ยมแต่ด้วยปริซึม - ยังไม่มี

โซลูชั่น:

1. วาดปริซึมรวมทั้งฐานของมัน มารวมกับระบบพิกัดและทำเครื่องหมายข้อมูลทั้งหมดที่ระบุในคำสั่งปัญหา:

ฉันขอโทษสำหรับการไม่ปฏิบัติตามสัดส่วน แต่สำหรับการแก้ปัญหานี้ อันที่จริง ไม่สำคัญ เครื่องบินเป็นเพียง "ผนังด้านหลัง" ของปริซึมของฉัน แค่เดาว่าสมการของระนาบดังกล่าวมีรูปแบบดังนี้:

อย่างไรก็ตาม สามารถแสดงข้อมูลนี้ได้โดยตรง:

เราเลือกสามจุดโดยพลการบนระนาบนี้: ตัวอย่างเช่น .

มาสร้างสมการระนาบกันเถอะ:

ออกกำลังกายเพื่อคุณ: คำนวณดีเทอร์มิแนนต์นี้ด้วยตัวเอง คุณประสบความสำเร็จหรือไม่? จากนั้นสมการของระนาบจะมีรูปแบบดังนี้

หรือง่ายๆ

ทางนี้,

ในการแก้ตัวอย่าง ฉันต้องหาพิกัดของเวกเตอร์กำกับของเส้นตรง พิกัดของเวกเตอร์ก็จะตรงกับพิกัดของจุดนั้น ๆ ในการทำเช่นนี้ อันดับแรก ให้หาพิกัดของจุดนั้นก่อน

ในการทำเช่นนี้ ให้พิจารณารูปสามเหลี่ยม ลองวาดความสูง (เป็นค่ามัธยฐานและครึ่งวงกลมด้วย) จากด้านบนกัน เนื่องจากจากนั้นพิกัดของจุดจะเท่ากัน ในการหา abscissa ของจุดนี้ เราต้องคำนวณความยาวของส่วนนั้น โดยทฤษฎีบทพีทาโกรัสเรามี:

จากนั้นจุดจะมีพิกัด:

จุดคือ "ยก" บนจุด:

จากนั้นพิกัดของเวกเตอร์:

ตอบ:

อย่างที่คุณเห็น ไม่มีอะไรยากโดยพื้นฐานในการแก้ปัญหาดังกล่าว อันที่จริง "ความตรง" ของตัวเลข เช่น ปริซึม ทำให้กระบวนการง่ายขึ้นอีกเล็กน้อย ทีนี้มาต่อกันที่ตัวอย่างต่อไป:

2. เราวาดเส้นขนานวาดระนาบและเส้นตรงและแยกฐานล่าง:

อันดับแรก เราพบสมการของระนาบ: พิกัดของจุดสามจุดที่อยู่ในนั้น:

(สองพิกัดแรกจะได้รับอย่างชัดเจน และคุณสามารถค้นหาพิกัดสุดท้ายจากรูปภาพจากจุดนั้นได้อย่างง่ายดาย) จากนั้นเราเขียนสมการของระนาบ:

เราคำนวณ:

เรากำลังมองหาพิกัดของเวกเตอร์ทิศทาง เป็นที่ชัดเจนว่าพิกัดของมันตรงกับพิกัดของจุดใช่ไหม จะหาพิกัดได้อย่างไร? นี่คือพิกัดของจุดที่ยกขึ้นตามแกนแอปพลิเคชันทีละหนึ่ง! . จากนั้นเรากำลังมองหามุมที่ต้องการ:

ตอบ:

3. วาดพีระมิดหกเหลี่ยมปกติแล้ววาดระนาบและเส้นตรงเข้าไป

นี่มันเป็นปัญหาแม้กระทั่งการวาดระนาบ ไม่ต้องพูดถึงวิธีแก้ปัญหานี้ แต่วิธีการพิกัดไม่สนใจ! มันอยู่ในความเก่งกาจที่ข้อได้เปรียบหลักอยู่!

เครื่องบินผ่านสามจุด: . เรากำลังมองหาพิกัดของพวกเขา:

หนึ่ง) . แสดงพิกัดของสองจุดสุดท้ายด้วยตัวเอง คุณจะต้องแก้ปัญหาด้วยปิรามิดหกเหลี่ยมเพื่อสิ่งนี้!

2) เราสร้างสมการของระนาบ:

เรากำลังมองหาพิกัดของเวกเตอร์: (ดูปัญหาพีระมิดสามเหลี่ยมอีกครั้ง!)

3) เรากำลังมองหามุม:

ตอบ:

อย่างที่คุณเห็น ไม่มีอะไรยากเหนือธรรมชาติในงานเหล่านี้ คุณเพียงแค่ต้องระวังให้มากกับราก สำหรับปัญหาสองข้อสุดท้ายฉันจะให้คำตอบเท่านั้น:

อย่างที่คุณเห็น เทคนิคในการแก้ปัญหาจะเหมือนกันทุกที่ ภารกิจหลักคือค้นหาพิกัดของจุดยอดและแทนที่มันลงในสูตรบางสูตร เรายังคงต้องพิจารณาปัญหาอีกประเภทหนึ่งในการคำนวณมุม กล่าวคือ:

การคำนวณมุมระหว่างระนาบสองระนาบ

อัลกอริทึมการแก้ปัญหาจะเป็นดังนี้:

1. สำหรับสามจุดเรากำลังมองหาสมการของระนาบแรก:
2. สำหรับอีกสามจุดที่เหลือ เรากำลังหาสมการของระนาบที่สอง:
3. เราใช้สูตร:

อย่างที่คุณเห็น สูตรนี้คล้ายกันมากกับสองสูตรก่อนหน้า โดยเรากำลังมองหามุมระหว่างเส้นตรงและระหว่างเส้นตรงกับระนาบ ดังนั้นการจดจำสิ่งนี้จะไม่ยากสำหรับคุณ ข้ามไปที่ปัญหากันเลย:

1. หนึ่งร้อย ro- บนพื้นฐานของปริซึมสามเหลี่ยมด้านขวามีค่าเท่ากันและไดอะโกนัลของใบหน้าด้านข้างเท่ากัน หามุมระหว่างระนาบกับระนาบของฐานของรางวัล

2. ทางขวาโฟร์ยูรีโคลนอยปีระมีเด ขอบทุกคนเท่ากัน หาไซน์ของมุมระหว่างระนาบกับระนาบโกสตู ผ่าน ประเด็นของ per-pen-di-ku-lyar-but straight-my

3. ในปริซึมสี่ถ่านหินปกติ ด้านข้างของ os-no-va-nia เท่ากัน และขอบด้านข้างเท่ากัน บนขอบจาก-me-che-ถึงจุดนั้น หามุมระหว่างระนาบกับ

4. ในปริซึมสี่เหลี่ยมด้านขวา ด้านข้างของฐานเท่ากัน และขอบด้านข้างเท่ากัน บนขอบจาก-me-che-ถึงจุดนั้น จงหามุมระหว่างระนาบกับ

5. ในลูกบาศก์ จงหา co-si-nus ของมุมระหว่างระนาบกับ

การแก้ปัญหา:

1. ฉันวาดอันที่ถูกต้อง (ที่ฐานเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า) ปริซึมสามเหลี่ยมและฉันทำเครื่องหมายบนเครื่องบินที่ปรากฏในสภาพของปัญหา:

เราจำเป็นต้องหาสมการของระนาบสองระนาบ: สมการฐานได้มาเล็กน้อย: คุณสามารถสร้างดีเทอร์มีแนนต์ที่สอดคล้องกันสำหรับจุดสามจุด แต่ฉันจะสร้างสมการขึ้นมาทันที:

ทีนี้ลองหาสมการ จุดมีพิกัด จุด - เนื่องจาก - ค่ามัธยฐานและความสูงของสามเหลี่ยม มันหาง่ายโดยทฤษฎีบทพีทาโกรัสในรูปสามเหลี่ยม แล้วจุดมีพิกัด: หา applicate ของจุด ในการทำเช่นนี้ให้พิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉาก

จากนั้นเราจะได้พิกัดต่อไปนี้ เราเขียนสมการของระนาบ

เราคำนวณมุมระหว่างระนาบ:

ตอบ:

2. การวาดภาพ:

สิ่งที่ยากที่สุดคือการเข้าใจว่ามันคือระนาบลึกลับประเภทใด โดยผ่านจุดในแนวตั้งฉาก สิ่งสำคัญคือมันคืออะไร? สิ่งสำคัญคือความใส่ใจ! อันที่จริงเส้นนั้นตั้งฉาก เส้นยังตั้งฉาก จากนั้นเครื่องบินที่ผ่านสองเส้นนี้จะตั้งฉากกับเส้นและจะผ่านจุดนั้น เครื่องบินลำนี้บินผ่านยอดพีระมิดด้วย จากนั้นเครื่องบินที่ต้องการ - และเครื่องบินก็มอบให้เราแล้ว เรากำลังมองหาพิกัดของจุด

เราหาพิกัดของจุดผ่านจุด ง่ายที่จะอนุมานจากรูปวาดเล็กๆ ว่าพิกัดของจุดจะเป็นดังนี้: ตอนนี้ยังเหลืออะไรให้ค้นหาเพื่อหาพิกัดของยอดปิรามิด? ยังต้องคำนวนส่วนสูง ทำได้โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเดียวกัน ขั้นแรก ให้พิสูจน์ว่า เนื่องจากตามเงื่อนไข เรามี:

ตอนนี้ทุกอย่างพร้อมแล้ว: พิกัดจุดสุดยอด:

เราเขียนสมการของระนาบ:

คุณเป็นผู้เชี่ยวชาญในการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์อยู่แล้ว คุณจะได้รับ:

หรืออย่างอื่น (ถ้าเราคูณทั้งสองส่วนด้วยรากของสอง)

ทีนี้ลองหาสมการของระนาบ:

(คุณคงไม่ลืมว่าเราได้สมการของระนาบมาได้อย่างไรใช่ไหม ถ้าคุณไม่เข้าใจว่าลบหนึ่งนี้มาจากไหน ก็กลับไปที่นิยามสมการของระนาบ! มันกลับกลายเป็นว่าผม เครื่องบินเป็นของต้นทาง!)

เราคำนวณดีเทอร์มีแนนต์:

(คุณอาจสังเกตได้ว่าสมการระนาบใกล้เคียงกับสมการเส้นตรงที่ลากผ่านจุดต่างๆ และคิดว่าทำไม!)

ตอนนี้เราคำนวณมุม:

เราต้องหาไซน์:

ตอบ:

3. คำถามที่ยุ่งยาก: คืออะไร ปริซึมสี่เหลี่ยม, คุณคิดว่า? มันเป็นเพียงเกมขนานที่รู้จักกันดีสำหรับคุณ! วาดทันที! คุณไม่สามารถวาดภาพฐานแยกจากกันได้ มีประโยชน์เพียงเล็กน้อยจากที่นี่:

ระนาบดังที่เราได้กล่าวไว้ก่อนหน้านี้เขียนเป็นสมการ:

ตอนนี้เราสร้างเครื่องบิน

เราเขียนสมการของระนาบทันที:

มองหามุม

ตอนนี้คำตอบของปัญหาสองข้อสุดท้าย:

ตอนนี้เป็นเวลาที่จะหยุดพักเพราะคุณกับฉันทำได้ดีและทำได้ดีมาก!

พิกัดและเวกเตอร์ ระดับสูง

ในบทความนี้ เราจะพูดถึงปัญหาอีกประเภทหนึ่งที่สามารถแก้ไขได้โดยใช้วิธีการพิกัด: ปัญหาระยะทาง กล่าวคือเราจะพิจารณา กรณีต่อไปนี้:

1. การคำนวณระยะห่างระหว่างเส้นเอียง

ฉันได้สั่งงานที่กำหนดเมื่อความซับซ้อนเพิ่มขึ้น ง่ายที่สุดคือหา ชี้ไปที่ระยะทางระนาบและส่วนที่ยากที่สุดคือการค้นหา ระยะห่างระหว่างเส้นตัดกัน. แม้ว่าแน่นอน ไม่มีอะไรที่เป็นไปไม่ได้! อย่าผัดวันประกันพรุ่งและดำเนินการพิจารณาปัญหาชั้นหนึ่งทันที:

การคำนวณระยะทางจากจุดหนึ่งถึงระนาบ

เราต้องแก้ปัญหานี้อย่างไร?

1. พิกัดจุด

ดังนั้น ทันทีที่เราได้รับข้อมูลที่จำเป็นทั้งหมด เราจะใช้สูตร:

คุณน่าจะรู้วิธีที่เราสร้างสมการระนาบจากปัญหาก่อนหน้าที่ผมวิเคราะห์ในส่วนที่แล้ว มาลงมือทำธุรกิจกันเถอะ โครงการมีดังนี้ 1, 2 - ฉันช่วยคุณตัดสินใจและในรายละเอียด 3, 4 - เฉพาะคำตอบเท่านั้นที่คุณตัดสินใจด้วยตัวเองและเปรียบเทียบ เริ่ม!

งาน:

1. ให้ลูกบาศก์ ความยาวขอบของลูกบาศก์คือ Find-di-te ระยะทางจาก se-re-di-ny จากการตัดไปยังแฟลต

2. ให้สิทธิ vil-naya four-you-rekh-coal-naya pi-ra-mi-da Bo-ko-voe edge ร้อย ro-on os-no-va-nia เท่ากัน ค้นหาระยะทางเหล่านั้นจากจุดหนึ่งไปยังระนาบโดยที่ - se-re-di-on ที่ขอบ

3. ในรูปสามเหลี่ยมขวา pi-ra-mi-de กับ os-but-va-ni-em อีกด้านเท่ากัน และหนึ่งร้อย ro-on os-no-va-ni-em เท่ากัน ค้นหาระยะทางเหล่านั้นจากด้านบนถึงเครื่องบิน

4. ในปริซึมหกถ่านหินทางขวา ขอบทั้งหมดเท่ากัน หาระยะทางเหล่านั้นจากจุดหนึ่งไปยังระนาบ

โซลูชั่น:

1. วาดลูกบาศก์ที่มีขอบด้านเดียว สร้างส่วนและระนาบ ระบุตรงกลางของส่วนด้วยตัวอักษร

.

ก่อนอื่น มาเริ่มกันด้วยวิธีง่ายๆ กัน: หาพิกัดของจุด ตั้งแต่นั้นมา (จำพิกัดตรงกลางเซกเมนต์!)

ตอนนี้เราเขียนสมการระนาบสามจุด

\"ซ้าย| (\begin(array)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(array)) \right| = 0\]

ตอนนี้ฉันสามารถเริ่มหาระยะทางได้แล้ว:

2. เราเริ่มต้นอีกครั้งด้วยการวาดภาพซึ่งเราทำเครื่องหมายข้อมูลทั้งหมด!

สำหรับปิรามิด จะเป็นประโยชน์ในการวาดฐานแยกจากกัน

ถึงแม้จะวาดเหมือนตีนไก่ก็ไม่สามารถแก้ปัญหานี้ได้ง่ายๆ!

ตอนนี้หาพิกัดของจุดได้ง่ายแล้ว

เนื่องจากพิกัดของจุด

2. เนื่องจากพิกัดของจุด a อยู่ตรงกลางของส่วน ดังนั้น

เราสามารถหาพิกัดของจุดอีก 2 จุดบนระนาบได้อย่างง่ายดาย เราเขียนสมการของระนาบและทำให้ง่ายขึ้น:

\"ซ้าย| (\left| (\begin(array)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(array)) \right|) \right| = 0\]

เนื่องจากจุดมีพิกัด: เราจึงคำนวณระยะทาง:

คำตอบ (หายากมาก!):

อืม เข้าใจมั้ย? สำหรับฉันแล้วดูเหมือนว่าทุกอย่างที่นี่เป็นเพียงเทคนิคเช่นเดียวกับในตัวอย่างที่เราพิจารณากับคุณในส่วนที่แล้ว ดังนั้นฉันแน่ใจว่าถ้าคุณเชี่ยวชาญเนื้อหานั้นแล้ว การแก้ปัญหาอีกสองข้อที่เหลือจะไม่ยากสำหรับคุณ ฉันจะให้คำตอบกับคุณ:

การคำนวณระยะทางจากเส้นถึงเครื่องบิน

อันที่จริง ไม่มีอะไรใหม่ที่นี่ เส้นและระนาบจะสัมพันธ์กันได้อย่างไร? พวกมันมีความเป็นไปได้ทั้งหมด ที่จะตัดกัน หรือเส้นตรงขนานกับระนาบ คุณคิดว่าระยะทางจากเส้นตรงถึงระนาบที่เส้นที่กำหนดตัดกันคือเท่าใด สำหรับฉันดูเหมือนว่าชัดเจนว่าระยะทางดังกล่าวเท่ากับศูนย์ กรณีที่ไม่น่าสนใจ

กรณีที่สองนั้นยากกว่า: ที่นี่ระยะทางไม่เป็นศูนย์แล้ว อย่างไรก็ตาม เนื่องจากเส้นตรงขนานกับระนาบ ดังนั้นแต่ละจุดของเส้นจึงอยู่ห่างจากระนาบนี้เท่ากัน:

ทางนี้:

และนี่หมายความว่างานของฉันถูกลดขนาดไปเป็นงานก่อนหน้า: เรากำลังมองหาพิกัดของจุดใดๆ บนเส้น เรากำลังมองหาสมการของระนาบ เราคำนวณระยะทางจากจุดนั้นไปยังระนาบ อันที่จริงงานดังกล่าวในการสอบนั้นหายากมาก ฉันจัดการเพื่อค้นหาปัญหาเพียงข้อเดียวและข้อมูลในนั้นทำให้วิธีการพิกัดไม่สามารถใช้ได้กับมันมากนัก!

ตอนนี้เรามาดูปัญหาอื่นที่สำคัญกว่ากันมาก:

การคำนวณระยะทางของจุดหนึ่งไปยังเส้นตรง

เราต้องการอะไร?

1. พิกัดของจุดที่เราต้องการหาระยะทาง:

2. พิกัดของจุดใดๆ ที่วางอยู่บนเส้นตรง

3. พิกัดเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง

เราใช้สูตรอะไร?

ตัวส่วนของเศษส่วนนี้มีความหมายต่อคุณอย่างไร และควรมีความชัดเจน: นี่คือความยาวของเวกเตอร์กำกับของเส้นตรง นี่เป็นตัวเศษที่ยุ่งยากมาก! นิพจน์หมายถึงโมดูล (ความยาว) ของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์และวิธีคำนวณผลิตภัณฑ์เวกเตอร์เราศึกษาในส่วนก่อนหน้าของงาน รีเฟรชความรู้ของคุณจะเป็นประโยชน์กับเราในขณะนี้!

ดังนั้นอัลกอริทึมสำหรับการแก้ปัญหาจะเป็นดังนี้:

1. เรากำลังมองหาพิกัดของจุดที่เราต้องการหาระยะทาง:

2. เรากำลังมองหาพิกัดของจุดใด ๆ บนเส้นที่เรากำลังมองหาระยะทาง:

3. การสร้างเวกเตอร์

4. เราสร้างเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง

5. คำนวณผลคูณ

6. เรากำลังมองหาความยาวของเวกเตอร์ผลลัพธ์:

7. คำนวณระยะทาง:

เรามีงานมากมายและตัวอย่างจะค่อนข้างซับซ้อน! ดังนั้นตอนนี้เน้นความสนใจของคุณทั้งหมด!

1. Dana เป็นปิรามิดาสามเหลี่ยมมือขวาที่มีจุดยอด หนึ่งร้อยโรออน os-no-va-niya pi-ra-mi-dy เท่ากัน you-so-ta เท่ากัน หาระยะทางเหล่านั้นจากเซเรดินีของขอบโบโคถึงเส้นตรง โดยที่จุดและคือซีเรดินีของซี่โครงและโคจาก -stven-แต่.

2. ความยาวของซี่โครงและมุมฉาก-no-para-ral-le-le-pi-pe-da เท่ากันตามลำดับ และระยะ Find-di-te จาก top-shi-ny ถึง straight-my

3. ในปริซึมหกถ่านหินทางขวา ขอบทั้งหมดของฝูงมีระยะห่างเท่ากันจากจุดหนึ่งไปยังเส้นตรง

โซลูชั่น:

1. เราวาดรูปอย่างเรียบร้อยซึ่งเราทำเครื่องหมายข้อมูลทั้งหมด:

เรามีงานมากมายให้คุณ! ก่อนอื่นฉันอยากจะอธิบายเป็นคำพูดว่าเราจะมองหาอะไรและเรียงลำดับอย่างไร:

1. พิกัดของจุดและ

2. พิกัดจุด

3. พิกัดจุดและ

4. พิกัดของเวกเตอร์และ

5. ผลิตภัณฑ์ข้ามของพวกเขา

6. ความยาวของเวกเตอร์

7. ความยาวของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์

8. ระยะทางจากถึง

เรามีงานต้องทำมากมาย! มาพับแขนเสื้อกันเถอะ!

1. ในการหาพิกัดความสูงของปิรามิดนั้น เราต้องรู้พิกัดของจุดนั้นเสียก่อน โดยมีค่า 0 และค่าพิกัดเท่ากับ abscissa ในที่สุด เราก็ได้พิกัด:

พิกัดจุด

2. - กลางเซกเมนต์

3. - ตรงกลางของกลุ่ม

จุดกึ่งกลาง

4.พิกัด

พิกัดเวกเตอร์

5. คำนวณผลคูณของเวกเตอร์:

6. ความยาวของเวกเตอร์: วิธีที่ง่ายที่สุดคือการแทนที่ส่วนนั้นเป็นเส้นกลางของสามเหลี่ยม ซึ่งหมายความว่ามันเท่ากับครึ่งหนึ่งของฐาน ดังนั้น.

7. เราพิจารณาความยาวของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์:

8. สุดท้าย หาระยะทาง:

วุ้ย นั่นคือทั้งหมด! ฉันจะบอกคุณอย่างตรงไปตรงมา: วิธีแก้ปัญหานี้ วิธีการดั้งเดิม(ผ่านบิลด์) จะเร็วกว่ามาก แต่ที่นี่ฉันลดทุกอย่างให้เป็นอัลกอริธึมสำเร็จรูป! ฉันคิดว่าอัลกอริทึมการแก้ปัญหานั้นชัดเจนสำหรับคุณ? ดังนั้นฉันจะขอให้คุณแก้ปัญหาที่เหลืออีกสองปัญหาด้วยตัวคุณเอง เปรียบเทียบคำตอบ?

ฉันขอย้ำอีกครั้งว่า ง่ายกว่า (เร็วกว่า) ในการแก้ปัญหาเหล่านี้ผ่านโครงสร้าง แทนที่จะหันไปใช้ วิธีการประสานงาน. ฉันได้สาธิตวิธีแก้ปัญหานี้เพื่อแสดงให้คุณเห็นเท่านั้น วิธีสากลซึ่งทำให้ "ไม่มีอะไรต้องทำให้เสร็จ"

สุดท้ายนี้ พิจารณา ชั้นสุดท้ายงาน:

การคำนวณระยะห่างระหว่างเส้นเอียง

ที่นี่อัลกอริทึมสำหรับการแก้ปัญหาจะคล้ายกับก่อนหน้านี้ สิ่งที่เรามี:

3. เวกเตอร์ใด ๆ ที่เชื่อมต่อจุดของบรรทัดแรกและบรรทัดที่สอง:

เราจะหาระยะห่างระหว่างเส้นได้อย่างไร?

สูตรคือ:

ตัวเศษเป็นโมดูลของผลิตภัณฑ์ผสม (เราแนะนำในส่วนก่อนหน้า) และตัวส่วนจะเหมือนกับในสูตรก่อนหน้า (โมดูลของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์กำกับของเส้น ระยะห่างระหว่างที่เรา กำลังมองหา).

ฉันจะเตือนคุณว่า

แล้ว สูตรระยะทางสามารถเขียนใหม่เป็น:

หารดีเทอร์มีแนนต์นี้ด้วยดีเทอร์มีแนนต์! แม้ว่าตามจริงแล้ว ฉันไม่มีอารมณ์จะเล่นตลกที่นี่! สูตรนี้อันที่จริงมีความยุ่งยากมากและนำไปสู่การคำนวณที่ค่อนข้างซับซ้อน ถ้าฉันเป็นเธอ ฉันจะใช้มันเป็นทางเลือกสุดท้าย!

ลองแก้ปัญหาเล็กน้อยโดยใช้วิธีการข้างต้น:

1. ในปริซึมสามเหลี่ยมด้านขวา ขอบทั้งหมดเท่ากัน จงหาระยะห่างระหว่างเส้นตรงกับ

2. จากปริซึมสามเหลี่ยมหน้าขวา ขอบทั้งหมดของ os-no-va-niya ของใครบางคนมีค่าเท่ากับ Se-che-tion ผ่านซี่โครงอีกอันและซี่โครง se-re-di-nu คือ yav-la-et-sya สแควร์-รา-ทอม Find-di-te dis-sto-I-nie ระหว่าง straight-we-mi และ

ฉันตัดสินใจอย่างแรก และคุณตัดสินใจครั้งที่สอง!

1. ฉันวาดปริซึมและทำเครื่องหมายเส้นและ

พิกัดจุด C: แล้ว

พิกัดจุด

พิกัดเวกเตอร์

พิกัดจุด

พิกัดเวกเตอร์

พิกัดเวกเตอร์

\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \right) = \left| (\begin(array)(*(20)(l))(\begin(array)(*(20)(c))0&1&0\end(array))\\(\begin(array)(*(20) (c))0&0&1\end(array))\\(\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\end(array))\end(array)) \right| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

เราพิจารณาผลคูณระหว่างเวกเตอร์กับ

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \left| \begin(array)(l)\begin(array)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(array)\\\begin(array )(*(20)(c))0&0&1\end(array)\\\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(array)\end(array) \right| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

ตอนนี้เราพิจารณาความยาวของมัน:

ตอบ:

ตอนนี้พยายามทำงานที่สองให้เสร็จอย่างระมัดระวัง คำตอบก็คือ:.

พิกัดและเวกเตอร์ คำอธิบายสั้น ๆ และสูตรพื้นฐาน

เวกเตอร์เป็นส่วนกำกับ - จุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ - จุดสิ้นสุดของเวกเตอร์
เวกเตอร์แสดงด้วยหรือ

ค่าสัมบูรณ์ vector - ความยาวของส่วนที่แทนเวกเตอร์ กำหนดให้เป็น

พิกัดเวกเตอร์:

,
จุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ \displaystyle a อยู่ที่ไหน

ผลรวมของเวกเตอร์: .

ผลคูณของเวกเตอร์:

ผลคูณดอทของเวกเตอร์: