ระยะทางจากจุดถึงเวกเตอร์บนระนาบ ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกบรรทัด

โอ๊ะโอ๊ะโอ... ก็ยากนะ เหมือนอ่านประโยคให้ตัวเองฟัง =) อย่างไรก็ตาม ความผ่อนคลายจะช่วยได้ทีหลัง โดยเฉพาะวันนี้ที่ซื้ออุปกรณ์เสริมที่เหมาะสมมา เรามาต่อกันที่ส่วนแรกกันดีกว่า ฉันหวังว่าในตอนท้ายของบทความ ฉันจะคงอารมณ์ร่าเริงไว้ได้

ตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้นตรงสองเส้น

นี่เป็นกรณีที่ผู้ฟังร้องเพลงพร้อมคอรัส เส้นตรงสองเส้นก็ได้:

1) การแข่งขัน;

2) ขนาน: ;

3) หรือตัดกันที่จุดเดียว: .

ช่วยเหลือหุ่น : โปรดจำไว้ เครื่องหมายทางคณิตศาสตร์ทางแยกก็จะเกิดขึ้นบ่อยมาก สัญกรณ์หมายความว่าเส้นตัดกับเส้นตรงจุด

จะทราบตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้นสองเส้นได้อย่างไร?

เริ่มจากกรณีแรกกันก่อน:

เส้นสองเส้นตรงกันก็ต่อเมื่อค่าสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกันนั้นเป็นสัดส่วนเท่านั้นนั่นคือมีจำนวน "แลมบ์ดา" ที่ทำให้ความเท่าเทียมกันมีความพึงพอใจ

ลองพิจารณาเส้นตรงและสร้างสมการสามสมการจากสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกัน: . จากแต่ละสมการจึงเป็นไปตามนั้น เส้นเหล่านี้จึงตรงกัน

แท้จริงแล้วถ้าสัมประสิทธิ์ของสมการทั้งหมด คูณด้วย –1 (เครื่องหมายเปลี่ยน) และค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของสมการ ตัดด้วย 2 คุณจะได้สมการเดียวกัน: .

กรณีที่สอง เมื่อเส้นขนานกัน:

เส้นสองเส้นจะขนานกันก็ต่อเมื่อค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรเป็นสัดส่วน: , แต่.

เป็นตัวอย่าง ให้พิจารณาเส้นตรงสองเส้น เราตรวจสอบสัดส่วนของค่าสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกันสำหรับตัวแปร:

อย่างไรก็ตาม มันค่อนข้างชัดเจนว่า

และกรณีที่สาม เมื่อเส้นตัดกัน:

เส้นตรงสองเส้นตัดกันหากค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรไม่เป็นสัดส่วนนั่นคือไม่มีค่าของ "แลมบ์ดา" ที่จะพึงพอใจกับความเท่าเทียมกัน

ดังนั้น สำหรับเส้นตรง เราจะสร้างระบบ:

จากสมการแรกเป็นไปตามนั้น และจากสมการที่สอง: ซึ่งหมายถึง ระบบไม่สอดคล้องกัน(ไม่มีวิธีแก้ปัญหา) ดังนั้นค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรจึงไม่เป็นสัดส่วน

สรุป: เส้นตัดกัน

ในการแก้ปัญหาเชิงปฏิบัติ คุณสามารถใช้โครงร่างการแก้ปัญหาที่เพิ่งกล่าวถึงได้ อย่างไรก็ตาม มันชวนให้นึกถึงอัลกอริธึมในการตรวจสอบเวกเตอร์สำหรับคอลลิเนียริตีซึ่งเราดูในชั้นเรียนเป็นอย่างมาก แนวคิดของการพึ่งพาเชิงเส้น (ใน) ของเวกเตอร์ พื้นฐานของเวกเตอร์- แต่มีบรรจุภัณฑ์ที่มีอารยะมากกว่า:

ตัวอย่างที่ 1

ค้นหาตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้น:

สารละลายจากการศึกษาเวกเตอร์กำกับของเส้นตรง:

ก) จากสมการเราพบเวกเตอร์ทิศทางของเส้น: .

ซึ่งหมายความว่าเวกเตอร์ไม่อยู่ในแนวเดียวกันและมีเส้นตัดกัน

เผื่อว่าฉันจะวางก้อนหินที่มีป้ายไว้ตรงทางแยก:

ที่เหลือก็กระโดดข้ามหินแล้วเดินตามต่อไป ตรงไปที่ Kashchei the Immortal =)

b) ค้นหาเวกเตอร์ทิศทางของเส้น:

เส้นตรงมีเวกเตอร์ทิศทางเดียวกัน ซึ่งหมายความว่าเส้นทั้งสองขนานกันหรือบังเอิญกัน ไม่จำเป็นต้องนับดีเทอร์มีแนนต์ตรงนี้

เห็นได้ชัดว่าค่าสัมประสิทธิ์ของสิ่งไม่รู้นั้นเป็นสัดส่วน และ

มาดูกันว่าความเท่าเทียมกันเป็นจริงหรือไม่:

ดังนั้น,

c) ค้นหาเวกเตอร์ทิศทางของเส้น:

ลองคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ที่ประกอบด้วยพิกัดของเวกเตอร์เหล่านี้:
ดังนั้น เวกเตอร์ทิศทางจึงเป็นเส้นตรง เส้นขนานหรือบังเอิญ

ค่าสัมประสิทธิ์สัดส่วน “แลมบ์ดา” มองเห็นได้ง่ายโดยตรงจากอัตราส่วนของเวกเตอร์ทิศทางคอลลิเนียร์ อย่างไรก็ตาม สามารถพบได้จากค่าสัมประสิทธิ์ของสมการด้วย: .

ทีนี้ลองดูว่าความเท่าเทียมกันเป็นจริงหรือไม่ เงื่อนไขฟรีทั้งสองข้อมีค่าเป็นศูนย์ ดังนั้น:

ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นที่น่าพอใจ สมการนี้(โดยทั่วไปแล้วจำนวนเท่าใดก็ได้ที่พอใจ)

เส้นจึงตรงกัน

คำตอบ:

ในไม่ช้าคุณจะได้เรียนรู้ (หรือได้เรียนรู้แล้ว) เพื่อแก้ไขปัญหาที่พูดคุยกันด้วยวาจาอย่างแท้จริงในเวลาไม่กี่วินาที ในเรื่องนี้ข้าพเจ้าไม่เห็นประโยชน์ที่จะถวายอะไรให้เลย การตัดสินใจที่เป็นอิสระเป็นการดีกว่าที่จะวางอิฐที่สำคัญอีกก้อนในรากฐานทางเรขาคณิต:

จะสร้างเส้นขนานกับเส้นที่กำหนดได้อย่างไร?

เพราะไม่รู้เรื่องนี้ งานที่ง่ายที่สุดโจรไนติงเกลลงโทษอย่างรุนแรง

ตัวอย่างที่ 2

เส้นตรงถูกกำหนดโดยสมการ เขียนสมการของเส้นขนานที่ผ่านจุดนั้น

สารละลาย: เรามาแสดงบรรทัดที่ไม่รู้จักด้วยตัวอักษรกัน สภาพพูดเกี่ยวกับเธออย่างไร? เส้นตรงผ่านจุดนั้น และถ้าเส้นขนานกันก็ชัดเจนว่าเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง “tse” ก็เหมาะสำหรับการสร้างเส้นตรง “de” เช่นกัน

เรานำเวกเตอร์ทิศทางออกจากสมการ:

คำตอบ:

เรขาคณิตของตัวอย่างดูเรียบง่าย:

การทดสอบเชิงวิเคราะห์ประกอบด้วยขั้นตอนต่อไปนี้:

1) เราตรวจสอบว่าเส้นมีเวกเตอร์ทิศทางเดียวกัน (หากสมการของเส้นไม่ได้ถูกทำให้ง่ายขึ้นอย่างถูกต้อง เวกเตอร์ก็จะอยู่ในแนวเดียวกัน)

2) ตรวจสอบว่าจุดนั้นเป็นไปตามสมการผลลัพธ์หรือไม่

ในกรณีส่วนใหญ่ การทดสอบเชิงวิเคราะห์สามารถดำเนินการได้อย่างง่ายดายด้วยวาจา ดูสมการทั้งสองนี้ แล้วหลายๆ คนจะระบุความขนานของเส้นได้อย่างรวดเร็วโดยไม่ต้องวาดใดๆ

ตัวอย่างโซลูชันอิสระในปัจจุบันจะเป็นแบบสร้างสรรค์ เพราะคุณยังคงต้องแข่งขันกับบาบายากาและเธอก็รู้ว่าเธอเป็นผู้รักปริศนาทุกประเภท

ตัวอย่างที่ 3

เขียนสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดขนานกับเส้นถ้า

มีวิธีแก้ปัญหาที่มีเหตุผลและไม่สมเหตุสมผล วิธีที่สั้นที่สุดคือตอนท้ายบทเรียน

เราทำงานเล็กน้อยกับเส้นคู่ขนานและจะกลับมาหาพวกเขาในภายหลัง กรณีของเส้นที่ตรงกันนั้นไม่ค่อยน่าสนใจ ดังนั้นลองมาพิจารณาปัญหาที่คุณคุ้นเคยกันดีกว่า หลักสูตรของโรงเรียน:

จะหาจุดตัดของเส้นตรงสองเส้นได้อย่างไร?

ถ้าตรง ตัดกันที่จุด แล้วพิกัดของมันคือคำตอบ ระบบสมการเชิงเส้น

จะหาจุดตัดของเส้นได้อย่างไร? แก้ระบบ.

เอาล่ะ ความหมายทางเรขาคณิตระบบของทั้งสอง สมการเชิงเส้นมีสองสิ่งไม่รู้- นี่คือเส้นสองเส้นที่ตัดกัน (บ่อยที่สุด) บนเครื่องบิน

ตัวอย่างที่ 4

หาจุดตัดกันของเส้น

สารละลาย: มีสองวิธีในการแก้ปัญหา - แบบกราฟิกและการวิเคราะห์

วิธีกราฟิกคือเพียงวาดเส้นที่กำหนดแล้วค้นหาจุดตัดโดยตรงจากภาพวาด:

นี่คือประเด็นของเรา: . ในการตรวจสอบ คุณควรแทนที่พิกัดของมันลงในแต่ละสมการของเส้นตรง ซึ่งพวกมันควรจะพอดีทั้งตรงนั้นและตรงนั้น กล่าวอีกนัยหนึ่ง พิกัดของจุดคือคำตอบของระบบ โดยพื้นฐานแล้ว เราดูที่โซลูชันแบบกราฟิก ระบบสมการเชิงเส้นด้วยสองสมการ สองสิ่งที่ไม่รู้

แน่นอนว่าวิธีการแบบกราฟิกนั้นไม่เลว แต่ก็มีข้อเสียที่เห็นได้ชัดเจน ไม่ ประเด็นไม่ใช่ว่านักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 ตัดสินใจเช่นนี้ ประเด็นคือ ต้องใช้เวลาในการสร้างภาพวาดที่ถูกต้องและแม่นยำ นอกจากนี้ เส้นตรงบางเส้นยังสร้างได้ไม่ง่ายนัก และจุดตัดกันเองอาจอยู่ที่ไหนสักแห่งในอาณาจักรที่ 30 นอกแผ่นสมุดบันทึก

ดังนั้นจึงเป็นการสมควรมากกว่าที่จะค้นหาจุดตัดโดยใช้วิธีวิเคราะห์ มาแก้ระบบกัน:

ในการแก้ระบบได้ใช้วิธีการบวกสมการแบบเทอมต่อเทอม เพื่อพัฒนาทักษะที่เกี่ยวข้อง ให้เรียนบทเรียน จะแก้ระบบสมการได้อย่างไร?

คำตอบ:

การตรวจสอบนั้นไม่สำคัญ - พิกัดของจุดตัดจะต้องเป็นไปตามสมการแต่ละระบบ

ตัวอย่างที่ 5

หาจุดตัดกันของเส้นตรงถ้ามันตัดกัน

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง สะดวกในการแบ่งงานออกเป็นหลายขั้นตอน การวิเคราะห์สภาพแสดงให้เห็นว่ามีความจำเป็น:
1) เขียนสมการของเส้นตรง
2) สร้างสมการของเส้นตรง
3) ค้นหาตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้น
4) ถ้าเส้นตัดกัน ให้หาจุดตัดกัน

การพัฒนาอัลกอริธึมการดำเนินการเป็นเรื่องปกติสำหรับหลาย ๆ คน ปัญหาทางเรขาคณิตและฉันจะเน้นเรื่องนี้ซ้ำแล้วซ้ำเล่า

โซลูชั่นที่สมบูรณ์และคำตอบท้ายบทเรียน:

ไม่มีรองเท้าคู่ใดขาดเลยก่อนที่เราจะเข้าสู่ส่วนที่สองของบทเรียน:

เส้นตั้งฉาก. ระยะทางจากจุดถึงเส้น
มุมระหว่างเส้นตรง

เริ่มจากแบบทั่วไปและมาก งานสำคัญ- ในส่วนแรก เราได้เรียนรู้วิธีสร้างเส้นตรงขนานกับอันนี้ และตอนนี้กระท่อมบนขาไก่จะหมุน 90 องศา:

จะสร้างเส้นตั้งฉากกับเส้นที่กำหนดได้อย่างไร?

ตัวอย่างที่ 6

เส้นตรงถูกกำหนดโดยสมการ เขียนสมการตั้งฉากกับเส้นที่ผ่านจุด

สารละลาย: โดยเงื่อนไขเป็นที่รู้กันว่า คงจะดีถ้าหาเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง เนื่องจากเส้นตั้งฉากกัน เคล็ดลับง่ายๆ ก็คือ:

จากสมการเรา "ลบ" เวกเตอร์ปกติ: ซึ่งจะเป็นเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง

ลองเขียนสมการของเส้นตรงโดยใช้จุดและเวกเตอร์ทิศทาง:

คำตอบ:

มาขยายร่างเรขาคณิตกัน:

อืม... ฟ้าสีส้ม ทะเลสีส้ม อูฐสีส้ม

การตรวจสอบเชิงวิเคราะห์โซลูชั่น:

1) เรานำเวกเตอร์ทิศทางออกจากสมการ และด้วยความช่วยเหลือ ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์เรามาถึงข้อสรุปว่าเส้นตั้งฉากกันจริงๆ: .

อย่างไรก็ตาม คุณสามารถใช้เวกเตอร์ปกติได้ ง่ายกว่านี้อีก

2) ตรวจสอบว่าจุดนั้นเป็นไปตามสมการผลลัพธ์หรือไม่ .

การทดสอบนี้ทำได้ง่ายด้วยวาจา

ตัวอย่างที่ 7

หาจุดตัดของเส้นตั้งฉากถ้าทราบสมการ และช่วงเวลา

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง ปัญหามีหลายการกระทำ ดังนั้นจึงสะดวกในการกำหนดวิธีแก้ปัญหาทีละจุด

ของเรา การเดินทางที่น่าตื่นเต้นดำเนินต่อไป:

ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกบรรทัด

เรามีแม่น้ำสายตรงอยู่ตรงหน้า และหน้าที่ของเราคือไปให้ถึงแม่น้ำด้วยเส้นทางที่สั้นที่สุด ไม่มีสิ่งกีดขวางและเส้นทางที่เหมาะสมที่สุดคือการเคลื่อนที่ไปในแนวตั้งฉาก นั่นคือระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่งคือความยาวของส่วนตั้งฉาก

ระยะทางในเรขาคณิตมักเขียนแทนด้วยตัวอักษรกรีก "rho" ตัวอย่างเช่น: - ระยะทางจากจุด "em" ถึงเส้นตรง "de"

ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกบรรทัด แสดงโดยสูตร

ตัวอย่างที่ 8

ค้นหาระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่ง

สารละลาย: สิ่งที่คุณต้องทำคือแทนที่ตัวเลขลงในสูตรอย่างระมัดระวังแล้วดำเนินการคำนวณ:

คำตอบ:

มาวาดรูปกันเถอะ:

ระยะทางที่พบจากจุดหนึ่งไปยังเส้นตรงคือความยาวของส่วนสีแดงพอดี หากคุณวาดภาพบนกระดาษตาหมากรุกในระดับ 1 หน่วย = 1 ซม. (2 เซลล์) จากนั้นสามารถวัดระยะทางด้วยไม้บรรทัดธรรมดา

ลองพิจารณางานอื่นโดยใช้รูปวาดเดียวกัน:

ภารกิจคือการหาพิกัดของจุดที่สมมาตรกับจุดที่สัมพันธ์กับเส้นตรง - ฉันแนะนำให้ทำตามขั้นตอนด้วยตัวเอง แต่ฉันจะร่างอัลกอริทึมการแก้ปัญหาด้วย ผลลัพธ์ระดับกลาง:

1) ค้นหาเส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นตรง

2) ค้นหาจุดตัดของเส้น: .

การกระทำทั้งสองจะกล่าวถึงโดยละเอียดในบทเรียนนี้

3) จุดคือจุดกึ่งกลางของส่วน เรารู้พิกัดของตรงกลางและปลายด้านหนึ่ง โดย สูตรสำหรับพิกัดจุดกึ่งกลางของส่วนเราพบ

เป็นความคิดที่ดีที่จะตรวจสอบว่าระยะทางเป็น 2.2 หน่วยด้วย

อาจมีปัญหาในการคำนวณที่นี่ แต่เครื่องคิดเลขขนาดเล็กเป็นตัวช่วยที่ดีเยี่ยมในหอคอย ทำให้คุณสามารถคำนวณได้ เศษส่วนทั่วไป- ฉันเคยแนะนำคุณหลายครั้งแล้วและจะแนะนำคุณอีกครั้ง

จะหาระยะห่างระหว่างเส้นขนานสองเส้นได้อย่างไร?

ตัวอย่างที่ 9

ค้นหาระยะห่างระหว่างเส้นขนานสองเส้น

นี่เป็นอีกตัวอย่างหนึ่งให้คุณตัดสินใจด้วยตัวเอง ฉันจะให้คำแนะนำเล็กน้อยแก่คุณ: มีหลายวิธีในการแก้ปัญหานี้อย่างไม่สิ้นสุด การซักถามในตอนท้ายของบทเรียน แต่ควรลองเดาด้วยตัวเองดีกว่า ฉันคิดว่าความฉลาดของคุณได้รับการพัฒนาอย่างดี

มุมระหว่างเส้นตรงสองเส้น

ทุกมุมเป็นวงกบ:


ในเรขาคณิต มุมระหว่างเส้นตรงสองเส้นจะถือเป็นมุมที่เล็กกว่า ซึ่งจะตามมาโดยอัตโนมัติเพื่อไม่ให้มุมป้าน ในรูป มุมที่ระบุโดยส่วนโค้งสีแดงไม่ถือเป็นมุมระหว่างเส้นตัดกัน และเพื่อนบ้าน "สีเขียว" ของเขาหรือ มุ่งเน้นตรงกันข้ามมุม "ราสเบอร์รี่"

ถ้าเส้นตั้งฉาก มุมทั้ง 4 มุมก็สามารถถือเป็นมุมระหว่างมุมเหล่านั้นได้

มุมต่างกันอย่างไร? ปฐมนิเทศ. ประการแรก ทิศทางของการ "เลื่อน" มุมนั้นมีความสำคัญขั้นพื้นฐาน ประการที่สอง มุมที่เป็นลบจะถูกเขียนด้วยเครื่องหมายลบ เช่น ถ้า

ทำไมฉันถึงบอกคุณเรื่องนี้? ดูเหมือนว่าเราจะผ่านแนวคิดเรื่องมุมตามปกติได้ ความจริงก็คือว่าในสูตรที่เราจะค้นหามุมนั้นสามารถเปิดออกได้อย่างง่ายดาย ผลลัพธ์เชิงลบและไม่ควรทำให้คุณประหลาดใจ มุมที่มีเครื่องหมายลบก็ไม่ได้แย่ไปกว่านั้น และมีความหมายทางเรขาคณิตที่เฉพาะเจาะจงมาก ในภาพวาด สำหรับมุมลบ ต้องแน่ใจว่าได้ระบุทิศทางด้วยลูกศร (ตามเข็มนาฬิกา)

จะหามุมระหว่างเส้นตรงสองเส้นได้อย่างไร?มีสองสูตรการทำงาน:

ตัวอย่างที่ 10

ค้นหามุมระหว่างเส้น

สารละลายและ วิธีที่หนึ่ง

ลองพิจารณาเส้นตรงสองเส้นที่กำหนดโดยสมการในรูปแบบทั่วไป:

ถ้าตรง ไม่ตั้งฉาก, ที่ มุ่งเน้นมุมระหว่างมุมสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร:

มากที่สุด ความสนใจอย่างใกล้ชิดลองย้อนกลับเป็นตัวส่วน - นี่มันเป๊ะเลย ผลิตภัณฑ์ดอทกำกับเวกเตอร์ของเส้นตรง:

ถ้า แล้วตัวหารของสูตรจะกลายเป็นศูนย์ และเวกเตอร์จะตั้งฉากและเส้นจะตั้งฉาก นั่นคือสาเหตุว่าทำไมจึงมีข้อสงวนเกี่ยวกับความไม่ตั้งฉากของเส้นตรงในสูตร

จากที่กล่าวมาข้างต้น จะสะดวกในการจัดทำโซลูชันอย่างเป็นทางการในสองขั้นตอน:

1) ลองคำนวณผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง:
ซึ่งหมายความว่าเส้นไม่ตั้งฉาก

2) ค้นหามุมระหว่างเส้นตรงโดยใช้สูตร:

โดยการใช้ ฟังก์ชันผกผันหามุมเองก็ง่าย ในกรณีนี้ เราใช้ความคี่ของอาร์กแทนเจนต์ (ดู กราฟและคุณสมบัติของฟังก์ชันเบื้องต้น):

คำตอบ:

ในคำตอบ เราระบุค่าที่แน่นอน รวมถึงค่าโดยประมาณ (ควรเป็นทั้งองศาและเรเดียน) โดยคำนวณโดยใช้เครื่องคิดเลข

ลบ ลบ ไม่ใช่เรื่องใหญ่อะไร นี่คือภาพประกอบทางเรขาคณิต:

ไม่น่าแปลกใจที่มุมกลายเป็นทิศทางเชิงลบเพราะในคำชี้แจงปัญหาตัวเลขแรกเป็นเส้นตรงและการ "คลายเกลียว" ของมุมเริ่มต้นด้วยอย่างแม่นยำ

ถ้าอยากได้จริงๆ มุมบวกคุณต้องสลับเส้น นั่นคือ นำสัมประสิทธิ์จากสมการที่สอง และหาสัมประสิทธิ์จากสมการแรก ในระยะสั้นคุณต้องเริ่มต้นด้วยโดยตรง .

การรักษาความเป็นส่วนตัวของคุณเป็นสิ่งสำคัญสำหรับเรา ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้พัฒนานโยบายความเป็นส่วนตัวที่อธิบายถึงวิธีที่เราใช้และจัดเก็บข้อมูลของคุณ โปรดตรวจสอบหลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวของเราและแจ้งให้เราทราบหากคุณมีคำถามใดๆ

การรวบรวมและการใช้ข้อมูลส่วนบุคคล

ข้อมูลส่วนบุคคลหมายถึงข้อมูลที่สามารถใช้เพื่อระบุหรือติดต่อบุคคลใดบุคคลหนึ่งโดยเฉพาะ

คุณอาจถูกขอให้ให้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณได้ตลอดเวลาเมื่อคุณติดต่อเรา

ด้านล่างนี้คือตัวอย่างบางส่วนของประเภทของข้อมูลส่วนบุคคลที่เราอาจรวบรวมและวิธีที่เราอาจใช้ข้อมูลดังกล่าว

เราเก็บรวบรวมข้อมูลส่วนบุคคลอะไรบ้าง:

• เมื่อคุณส่งใบสมัครบนเว็บไซต์ เราอาจรวบรวมข้อมูลต่าง ๆ รวมถึงชื่อ หมายเลขโทรศัพท์ ที่อยู่ของคุณ อีเมลฯลฯ

เราใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณอย่างไร:

• รวบรวมโดยเรา ข้อมูลส่วนบุคคลช่วยให้เราสามารถติดต่อคุณและแจ้งให้คุณทราบเกี่ยวกับข้อเสนอพิเศษ โปรโมชั่นและกิจกรรมอื่น ๆ และกิจกรรมที่กำลังจะเกิดขึ้น
• ในบางครั้ง เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเพื่อส่งประกาศและการสื่อสารที่สำคัญ
• เรายังอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลเพื่อวัตถุประสงค์ภายใน เช่น การดำเนินการตรวจสอบ การวิเคราะห์ข้อมูล และการวิจัยต่างๆ เพื่อปรับปรุงบริการที่เรามีให้และให้คำแนะนำเกี่ยวกับบริการของเราแก่คุณ
• หากคุณเข้าร่วมการจับรางวัล การประกวด หรือการส่งเสริมการขายที่คล้ายกัน เราอาจใช้ข้อมูลที่คุณให้ไว้เพื่อจัดการโปรแกรมดังกล่าว

การเปิดเผยข้อมูลแก่บุคคลที่สาม

เราไม่เปิดเผยข้อมูลที่ได้รับจากคุณต่อบุคคลที่สาม

ข้อยกเว้น:

• หากจำเป็นตามกฎหมาย ขั้นตอนการพิจารณาคดีในการดำเนินการทางกฎหมาย และ/หรือ จากการสอบถามหรือการร้องขอจากสาธารณะ หน่วยงานภาครัฐในอาณาเขตของสหพันธรัฐรัสเซีย - เปิดเผยข้อมูลส่วนบุคคลของคุณ เรายังอาจเปิดเผยข้อมูลเกี่ยวกับคุณหากเราพิจารณาว่าการเปิดเผยดังกล่าวมีความจำเป็นหรือเหมาะสมเพื่อความปลอดภัย การบังคับใช้กฎหมาย หรือวัตถุประสงค์ที่สำคัญสาธารณะอื่น ๆ
• ในกรณีของการปรับโครงสร้างองค์กร การควบรวมกิจการ หรือการขาย เราอาจถ่ายโอนข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมไปยังบุคคลที่สามที่รับช่วงต่อที่เกี่ยวข้อง

การคุ้มครองข้อมูลส่วนบุคคล

เราใช้ความระมัดระวัง - รวมถึงด้านการบริหาร ด้านเทคนิค และทางกายภาพ - เพื่อปกป้องข้อมูลส่วนบุคคลของคุณจากการสูญหาย การโจรกรรม และการใช้งานในทางที่ผิด รวมถึงการเข้าถึง การเปิดเผย การเปลี่ยนแปลง และการทำลายโดยไม่ได้รับอนุญาต

การเคารพความเป็นส่วนตัวของคุณในระดับบริษัท

เพื่อให้มั่นใจว่าข้อมูลส่วนบุคคลของคุณปลอดภัย เราจะสื่อสารมาตรฐานความเป็นส่วนตัวและความปลอดภัยให้กับพนักงานของเราและบังคับใช้หลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวอย่างเคร่งครัด

บทความนี้พูดถึงหัวข้อนี้ « ระยะห่างจากจุดถึงเส้น », อภิปรายคำจำกัดความของระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่งพร้อมตัวอย่างภาพประกอบโดยใช้วิธีพิกัด แต่ละช่วงทฤษฎีในตอนท้ายได้แสดงตัวอย่างการแก้ปัญหาที่คล้ายกัน

ยานเดกซ์ RTB R-A-339285-1

ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่งหาได้จากการกำหนดระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่ง มาดูกันดีกว่า

ให้มีเส้น a และจุด M 1 ที่ไม่อยู่ในเส้นที่กำหนด เราวาดเส้นตรง b ซึ่งตั้งฉากกับเส้นตรง a ผ่านมัน ลองหาจุดตัดของเส้นตรงเป็น H 1 กัน เราพบว่า M 1 H 1 เป็นเส้นตั้งฉากซึ่งลดลงจากจุด M 1 ถึงเส้นตรง a

คำจำกัดความ 1

ระยะห่างจากจุด M 1 ถึงเส้นตรง aเรียกว่าระยะห่างระหว่างจุด M 1 และ H 1

มีคำจำกัดความที่รวมถึงความยาวของฉากตั้งฉากด้วย

คำจำกัดความ 2

ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกบรรทัดคือความยาวของเส้นตั้งฉากที่ลากจากจุดหนึ่งไปยังเส้นที่กำหนด

คำจำกัดความมีความเท่าเทียมกัน พิจารณารูปด้านล่าง

เป็นที่ทราบกันดีว่าระยะห่างจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่งนั้นเล็กที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ ลองดูตัวอย่างนี้ด้วย

หากเราใช้จุด Q นอนอยู่บนเส้นตรง a ซึ่งไม่ตรงกับจุด M 1 เราจะได้ว่าส่วน M 1 Q เรียกว่าส่วนที่เอียงซึ่งลดลงจาก M 1 เป็นเส้นตรง a จำเป็นต้องระบุว่าเส้นตั้งฉากจากจุด M 1 นั้นน้อยกว่าเส้นเอียงอื่น ๆ ที่ลากจากจุดหนึ่งไปยังเส้นตรง

เพื่อพิสูจน์สิ่งนี้ ให้พิจารณาสามเหลี่ยม M 1 Q 1 H 1 โดยที่ M 1 Q 1 คือด้านตรงข้ามมุมฉาก เป็นที่ทราบกันดีว่าความยาวของมันมากกว่าความยาวของขาใด ๆ เสมอ นี่หมายความว่าเรามี M 1 H 1 นั้น< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

ข้อมูลเริ่มต้นสำหรับการค้นหาจากจุดหนึ่งไปอีกเส้นหนึ่งช่วยให้คุณสามารถใช้วิธีการแก้ปัญหาได้หลายวิธี: ผ่านทฤษฎีบทพีทาโกรัส การหาไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ของมุม และอื่นๆ งานประเภทนี้ส่วนใหญ่ได้รับการแก้ไขที่โรงเรียนระหว่างบทเรียนเรขาคณิต

เมื่อเมื่อค้นหาระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่ง เป็นไปได้ที่จะแนะนำระบบพิกัดสี่เหลี่ยม จากนั้นใช้วิธีการพิกัด ใน ณ จุดนี้ลองพิจารณาสองวิธีหลักในการค้นหาระยะทางที่ต้องการ จุดที่กำหนด.

วิธีแรกเกี่ยวข้องกับการหาระยะทางโดยตั้งฉากจาก M 1 ถึงเส้นตรง a วิธีที่สองใช้ สมการปกติเส้นตรง a เพื่อหาระยะทางที่ต้องการ

หากมีจุดบนระนาบที่มีพิกัด M 1 (x 1, y 1) อยู่ที่ ระบบสี่เหลี่ยมพิกัดเส้นตรง a และจำเป็นต้องหาระยะทาง M 1 H 1 การคำนวณสามารถทำได้สองวิธี มาดูพวกเขากันดีกว่า

วิธีแรก

หากมีพิกัดของจุด H 1 เท่ากับ x 2, y 2 ดังนั้นระยะทางจากจุดถึงเส้นจะคำนวณโดยใช้พิกัดจากสูตร M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - ปี 1) 2.

ตอนนี้เรามาดูพิกัดของจุด H 1 กันดีกว่า

เป็นที่ทราบกันว่าเส้นตรงใน O x y สอดคล้องกับสมการของเส้นตรงบนระนาบ ลองใช้วิธีกำหนดเส้นตรง a โดยการเขียนสมการทั่วไปของเส้นตรงหรือสมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุม เราเขียนสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด M 1 ซึ่งตั้งฉากกับเส้นตรงที่กำหนด a ให้เราแสดงเส้นตรงด้วยตัวอักษร b H 1 คือจุดตัดของเส้น a และ b ซึ่งหมายถึงการกำหนดพิกัดที่คุณต้องใช้บทความที่ เรากำลังพูดถึงเกี่ยวกับพิกัดจุดตัดกันของเส้นสองเส้น

จะเห็นได้ว่าอัลกอริทึมในการค้นหาระยะทางจากจุดที่กำหนด M 1 (x 1, y 1) ถึงเส้นตรง a ดำเนินการตามจุด:

คำจำกัดความ 3

• การค้นหาสมการทั่วไปของเส้นตรง a โดยมีรูปแบบ A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 หรือสมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์มุมโดยมีรูปแบบ y = k 1 x + b 1;
• รับสมการทั่วไปของเส้น b โดยมีรูปแบบ A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 หรือสมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุม y = k 2 x + b 2 ถ้าเส้น b ตัดกับจุด M 1 และตั้งฉากกับ บรรทัดที่กำหนด a;
• การกำหนดพิกัด x 2, y 2 ของจุด H 1 ซึ่งเป็นจุดตัดของ a และ b เพื่อจุดประสงค์นี้ระบบสมการเชิงเส้นจะถูกแก้ไข A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 หรือ y = k 1 x + b 1 y = k 2 x + b 2 ;
• คำนวณระยะทางที่ต้องการจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่งโดยใช้สูตร M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

วิธีที่สอง

ทฤษฎีบทสามารถช่วยตอบคำถามในการหาระยะทางจากจุดที่กำหนดไปยังเส้นตรงที่กำหนดบนเครื่องบินได้

ทฤษฎีบท

ระบบพิกัดสี่เหลี่ยมมี O x y มีจุด M 1 (x 1, y 1) จากนั้นลากเส้นตรงไปที่ระนาบ โดยกำหนดโดยสมการปกติของระนาบ โดยมีรูปแบบ cos α x + cos β y - p = 0 เท่ากับ ค่าสัมบูรณ์ที่ได้ทางด้านซ้ายของสมการปกติของเส้นตรง คำนวณที่ x = x 1, y = y 1 หมายความว่า M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · ปี 1 - หน้า

การพิสูจน์

เส้น a สอดคล้องกับสมการปกติของระนาบซึ่งมีรูปแบบ cos α x + cos β y - p = 0 จากนั้นให้พิจารณา n → = (cos α, cos β) เวกเตอร์ปกติเส้น a ที่ระยะห่างจากจุดกำเนิดถึงเส้น a ด้วยหน่วย p จำเป็นต้องแสดงข้อมูลทั้งหมดในรูปเพิ่มจุดที่มีพิกัด M 1 (x 1, y 1) โดยที่เวกเตอร์รัศมีของจุด M 1 - O M 1 → = (x 1, y 1) จำเป็นต้องวาดเส้นตรงจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นตรงซึ่งเราแสดงว่าเป็น M 1 H 1 . จำเป็นต้องแสดงเส้นโครง M 2 และ H 2 ของจุด M 1 และ H 2 ลงบนเส้นตรงที่ผ่านจุด O ด้วยเวกเตอร์ทิศทางของรูปแบบ n → = (cos α, cos β) และแสดงถึง การฉายภาพเชิงตัวเลขของเวกเตอร์เป็น O M 1 → = (x 1, y 1) ไปยังทิศทาง n → = (cos α , cos β) เป็น n p n → O M 1 → .

ความแปรผันขึ้นอยู่กับตำแหน่งของจุด M1 เอง ลองดูรูปด้านล่าง

เราแก้ไขผลลัพธ์โดยใช้สูตร M 1 H 1 = n p n → O M → 1 - p จากนั้นเรานำความเท่าเทียมกันมาสู่รูปแบบนี้ M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p เพื่อให้ได้ n p n → O M → 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 .

สินค้าดอทผลที่ตามมาคือเวกเตอร์ จะได้สูตรที่แปลงแล้วอยู่ในรูปแบบ n → , O M → 1 = n → · n p n → O M 1 → = 1 · n p n → O M 1 → = n p n → O M 1 → ซึ่งเป็นผลคูณในรูปแบบพิกัดของ รูปแบบ n → , O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . ซึ่งหมายความว่าเราจะได้ n p n → O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 ตามมาว่า M 1 H 1 = n p n → O M 1 → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

เราพบว่าหากต้องการหาระยะทางจากจุด M 1 (x 1 , y 1) ถึงเส้นตรง a บนเครื่องบินคุณต้องดำเนินการหลายอย่าง:

คำจำกัดความที่ 4

• รับสมการปกติของเส้นตรง a cos α · x + cos β · y - p = 0 โดยที่ไม่ได้อยู่ในงาน
• การคำนวณนิพจน์ cos α · x 1 + cos β · y 1 - p โดยที่ค่าผลลัพธ์คือ M 1 H 1

ลองใช้วิธีการเหล่านี้ในการแก้ปัญหาการค้นหาระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังระนาบหนึ่ง

ตัวอย่างที่ 1

หาระยะทางจากจุดด้วยพิกัด M 1 (- 1, 2) ถึงเส้นตรง 4 x - 3 y + 35 = 0

สารละลาย

ลองใช้วิธีแรกในการแก้ปัญหา

ในการทำเช่นนี้จำเป็นต้องค้นหาสมการทั่วไปของเส้น b ซึ่งผ่านจุดที่กำหนด M 1 (- 1, 2) ซึ่งตั้งฉากกับเส้น 4 x - 3 y + 35 = 0 จากเงื่อนไขจะเห็นได้ชัดว่าเส้น b ตั้งฉากกับเส้น a ดังนั้นเวกเตอร์ทิศทางมีพิกัดเท่ากับ (4, - 3) ดังนั้นเราจึงมีโอกาสที่จะเขียนสมการทางบัญญัติของเส้น b บนระนาบเนื่องจากมีพิกัดของจุด M 1 ซึ่งเป็นของเส้น b ลองกำหนดพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง b กัน เราจะได้ว่า x - (- 1) 4 = y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 = y - 2 - 3 สมการบัญญัติที่ได้จะต้องถูกแปลงเป็นสมการทั่วไป แล้วเราจะได้รับสิ่งนั้น

x + 1 4 = y - 2 - 3 ⇔ - 3 · (x + 1) = 4 · (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 = 0

ให้เราค้นหาพิกัดของจุดตัดกันของเส้นซึ่งเราจะใช้เป็นชื่อ H 1 การเปลี่ยนแปลงมีลักษณะดังนี้:

4 x - 3 ปี + 35 = 0 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 ปี - 35 4 3 x + 4 ปี - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 ปี - 35 4 3 3 4 ปี - 35 4 + 4 y - 5 = 0 ⇔ ⇔ x = 3 4 y - 35 4 y = 5 ⇔ x = 3 4 5 - 35 4 y = 5 ⇔ x = - 5 y = 5

จากที่เขียนไว้ข้างต้น เราได้ว่าพิกัดของจุด H 1 เท่ากับ (- 5; 5)

จำเป็นต้องคำนวณระยะทางจากจุด M 1 ถึงเส้นตรง a เรามีพิกัดของจุด M 1 (- 1, 2) และ H 1 (- 5, 5) จากนั้นเราแทนพวกมันลงในสูตรเพื่อหาระยะทางแล้วได้สิ่งนั้น

ม 1 ชม 1 = (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 = 25 = 5

วิธีแก้ปัญหาที่สอง

เพื่อที่จะแก้ด้วยวิธีอื่น จำเป็นต้องได้สมการปกติของเส้นตรง เราคำนวณค่าของปัจจัยการทำให้เป็นมาตรฐานและคูณทั้งสองข้างของสมการ 4 x - 3 y + 35 = 0 จากที่นี่เราพบว่าปัจจัยการทำให้เป็นมาตรฐานเท่ากับ - 1 4 2 + (- 3) 2 = - 1 5 และสมการปกติจะอยู่ในรูปแบบ - 1 5 4 x - 3 y + 35 = - 1 5 0 ⇔ - 4 5 x + 3 5 ปี - 7 = 0 .

ตามอัลกอริธึมการคำนวณจำเป็นต้องได้รับสมการปกติของเส้นและคำนวณด้วยค่า x = - 1, y = 2 แล้วเราจะได้รับสิ่งนั้น

4 5 · - 1 + 3 5 · 2 - 7 = - 5

จากนี้เราจะได้ว่าระยะห่างจากจุด M 1 (- 1, 2) ถึงเส้นตรงที่กำหนด 4 x - 3 y + 35 = 0 มีค่า - 5 = 5

คำตอบ: 5 .

เป็นที่ชัดเจนว่าใน วิธีนี้สิ่งสำคัญคือต้องใช้สมการปกติของเส้น เนื่องจากวิธีนี้เป็นวิธีที่สั้นที่สุด แต่วิธีแรกนั้นสะดวกเพราะมีความสอดคล้องและสมเหตุสมผลแม้ว่าจะมีคะแนนการคำนวณมากกว่าก็ตาม

ตัวอย่างที่ 2

บนระนาบจะมีระบบพิกัดสี่เหลี่ยม O x y โดยมีจุด M 1 (8, 0) และเส้นตรง y = 1 2 x + 1 หาระยะทางจากจุดที่กำหนดถึงเส้นตรง

สารละลาย

วิธีแก้ปัญหาแรกเกี่ยวข้องกับการหล่อ สมการที่กำหนดด้วยความชันของสมการ มุมมองทั่วไป- เพื่อให้ง่ายขึ้น คุณสามารถทำได้แตกต่างออกไป

หากผลคูณของสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นตรงตั้งฉากมีค่าเป็น - 1 ดังนั้น ความลาดชันเส้นตั้งฉากกับเส้นที่กำหนด y = 1 2 x + 1 มีค่า 2 ตอนนี้เราได้สมการของเส้นที่ผ่านจุดที่มีพิกัด M 1 (8, 0) เรามีว่า y - 0 = - 2 · (x - 8) ⇔ y = - 2 x + 16

เราดำเนินการค้นหาพิกัดของจุด H 1 นั่นคือจุดตัด y = - 2 x + 16 และ y = 1 2 x + 1 เราเขียนระบบสมการแล้วได้:

y = 1 2 x + 1 y = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 1 2 x + 1 = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 x = 6 ⇔ ⇔ y = 1 2 · 6 + 1 x = 6 = y = 4 x = 6 ⇒ H 1 (6, 4)

ตามมาด้วยระยะทางจากจุดที่มีพิกัด M 1 (8, 0) ถึงเส้นตรง y = 1 2 x + 1 เท่ากับระยะทางจากจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดด้วยพิกัด M 1 (8, 0) และ ฮ 1 (6, 4) . ลองคำนวณและพบว่า M 1 H 1 = 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 = 2 5

วิธีแก้ปัญหาวิธีที่สองคือย้ายจากสมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์เป็นรูปแบบปกติ นั่นคือเราได้รับ y = 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 = 0 จากนั้นค่าของปัจจัยการทำให้เป็นมาตรฐานจะเป็น - 1 1 2 2 + (- 1) 2 = - 2 5 ตามมาว่าสมการปกติของเส้นตรงจะอยู่ในรูปแบบ - 2 5 1 2 x - y + 1 = - 2 5 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 ลองทำการคำนวณจากจุด M 1 8, 0 ถึงบรรทัดของแบบฟอร์ม - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 เราได้รับ:

ม 1 ชม 1 = - 1 5 8 + 2 5 0 - 2 5 = - 10 5 = 2 5

คำตอบ: 2 5 .

ตัวอย่างที่ 3

จำเป็นต้องคำนวณระยะทางจากจุดด้วยพิกัด M 1 (- 2, 4) ถึงเส้น 2 x - 3 = 0 และ y + 1 = 0

สารละลาย

เราได้สมการของรูปแบบปกติของเส้นตรง 2 x - 3 = 0:

2 x - 3 = 0 ⇔ 1 2 2 x - 3 = 1 2 0 ⇔ x - 3 2 = 0

จากนั้นเราดำเนินการคำนวณระยะทางจากจุด M 1 - 2, 4 ถึงเส้นตรง x - 3 2 = 0 เราได้รับ:

ม 1 ชม 1 = - 2 - 3 2 = 3 1 2

สมการของเส้นตรง y + 1 = 0 มีปัจจัยการทำให้เป็นมาตรฐานโดยมีค่าเท่ากับ -1 ซึ่งหมายความว่าสมการจะอยู่ในรูปแบบ - y - 1 = 0 ดำเนินการคำนวณระยะทางจากจุด M 1 (- 2, 4) ถึงเส้นตรง - y - 1 = 0 เราพบว่ามันเท่ากับ - 4 - 1 = 5

คำตอบ: 3 1 2 และ 5.

ลองมาดูการหาระยะทางจากจุดที่กำหนดบนเครื่องบินกันดีกว่า แกนประสานงาน O x และ O y

ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม แกน O y มีสมการของเส้นตรง ซึ่งไม่สมบูรณ์และมีรูปแบบ x = 0 และ O x - y = 0 สมการเป็นเรื่องปกติสำหรับแกนพิกัดดังนั้นจึงจำเป็นต้องค้นหาระยะห่างจากจุดด้วยพิกัด M 1 x 1, y 1 ถึงเส้นตรง ทำได้โดยใช้สูตร M 1 H 1 = x 1 และ M 1 H 1 = y 1 ลองดูรูปด้านล่าง

ตัวอย่างที่ 4

ค้นหาระยะทางจากจุด M 1 (6, - 7) ถึงเส้นพิกัดที่อยู่ในระนาบ O x y

สารละลาย

เนื่องจากสมการ y = 0 หมายถึงเส้นตรง O x คุณจึงสามารถหาระยะทางจาก M 1 ด้วยพิกัดที่กำหนดไปยังเส้นตรงนี้ได้โดยใช้สูตร เราจะได้ว่า 6 = 6

เนื่องจากสมการ x = 0 อ้างอิงถึงเส้นตรง O y คุณจึงสามารถหาระยะห่างจาก M 1 ถึงเส้นตรงนี้ได้โดยใช้สูตร แล้วเราจะได้ - 7 = 7

คำตอบ:ระยะทางจาก M 1 ถึง O x มีค่าเป็น 6 และจาก M 1 ถึง O y มีค่าเป็น 7

เมื่อเข้า พื้นที่สามมิติเรามีจุดที่มีพิกัด M 1 (x 1, y 1, z 1) จำเป็นต้องค้นหาระยะทางจากจุด A ถึงเส้นตรง a

ลองพิจารณาสองวิธีที่ช่วยให้คุณคำนวณระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังเส้นตรง a ที่อยู่ในอวกาศ กรณีแรกพิจารณาระยะทางจากจุด M 1 ถึงเส้นตรง โดยที่จุดบนเส้นเรียกว่า H 1 และเป็นฐานของเส้นตั้งฉากที่ลากจากจุด M 1 ถึงเส้น a กรณีที่สองเสนอว่าต้องค้นหาจุดของระนาบนี้เป็นความสูงของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

วิธีแรก

จากคำจำกัดความที่เรามีว่าระยะห่างจากจุด M 1 ซึ่งอยู่บนเส้นตรง a คือความยาวของเส้นตั้งฉาก M 1 H 1 จากนั้นเราจะได้สิ่งนั้นด้วยพิกัดที่พบของจุด H 1 จากนั้นเราจะหาระยะห่างระหว่าง M 1 (x 1, y 1, z 1 ) และ H 1 (x 1 , y 1 , z 1) ขึ้นอยู่กับสูตร M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - ซี 1 2.

เราพบว่าวิธีแก้ปัญหาทั้งหมดมุ่งไปสู่การค้นหาพิกัดของฐานของเส้นตั้งฉากที่ลากจาก M 1 ไปยังเส้นตรง a ทำได้ดังต่อไปนี้: H 1 คือจุดที่เส้นตรงตัดกับระนาบที่ผ่านจุดที่กำหนด

ซึ่งหมายความว่าอัลกอริทึมในการกำหนดระยะห่างจากจุด M 1 (x 1, y 1, z 1) ไปยังเส้น a ในอวกาศหมายถึงหลายจุด:

คำจำกัดความที่ 5

• วาดสมการของระนาบ χ เป็นสมการของระนาบที่ผ่านจุดที่กำหนดซึ่งตั้งฉากกับเส้น
• การกำหนดพิกัด (x 2, y 2, z 2) ที่เป็นของจุด H 1 ซึ่งเป็นจุดตัดของเส้นตรง a และระนาบ χ;
• คำนวณระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่งโดยใช้สูตร M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2

วิธีที่สอง

จากเงื่อนไขที่เรามีเส้นตรง a จากนั้นเราสามารถกำหนดเวกเตอร์ทิศทาง a → = a x, a y, a z โดยมีพิกัด x 3, y 3, z 3 และ จุดใดจุดหนึ่ง M 3 อยู่ในสาย a หากคุณมีพิกัดของจุด M 1 (x 1, y 1) และ M 3 x 3, y 3, z 3 คุณสามารถคำนวณ M 3 M 1 →:

ม 3 ม 1 → = (x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3)

เราควรแยกเวกเตอร์ a → = a x , a y , a z และ M 3 M 1 → = x 1 - x 3 , y 1 - y 3 , z 1 - z 3 จากจุด M 3 เชื่อมต่อพวกมันและรับสี่เหลี่ยมด้านขนาน รูป. M 1 H 1 คือความสูงของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ลองดูรูปด้านล่าง

เราพบว่าความสูง M 1 H 1 เป็นระยะทางที่ต้องการ จึงจำเป็นต้องค้นหาโดยใช้สูตร นั่นคือเรากำลังมองหา M 1 H 1

ให้เราแสดงพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานด้วยตัวอักษร S ซึ่งพบโดยสูตรโดยใช้เวกเตอร์ a → = (a x, a y, a z) และ M 3 M 1 → = x 1 - x 3 y 1 - y 3, z 1 - z 3 สูตรพื้นที่คือ S = a → × M 3 M 1 → นอกจากนี้พื้นที่ของรูปยังเท่ากับผลคูณของความยาวของด้านข้างและความสูงเราได้ว่า S = a → · M 1 H 1 ด้วย a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 ซึ่ง คือความยาวของเวกเตอร์ a → = (a x, a y, a z) ด้านที่เท่ากันสี่เหลี่ยมด้านขนาน. ซึ่งหมายความว่า M 1 H 1 คือระยะห่างจากจุดถึงเส้น พบโดยใช้สูตร M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

ในการค้นหาระยะทางจากจุดที่มีพิกัด M 1 (x 1, y 1, z 1) ถึงเส้นตรง a ในอวกาศ คุณต้องดำเนินการหลายขั้นตอนของอัลกอริทึม:

คำนิยาม 6

• การหาเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง a - a → = (a x, a y, a z);
• คำนวณความยาวของเวกเตอร์ทิศทาง a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 ;
• รับพิกัด x 3 , y 3 , z 3 ที่เป็นของจุด M 3 ซึ่งตั้งอยู่บนเส้นตรง a;
• คำนวณพิกัดของเวกเตอร์ M 3 M 1 → ;
• ค้นหาผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ a → (a x , a y , a z) และ M 3 M 1 → = x 1 - x 3 , y 1 - y 3 , z 1 - z 3 เป็น a → × M 3 M 1 → = i → j → k → a x a y a z x 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3 เพื่อให้ได้ความยาวโดยใช้สูตร a → × M 3 M 1 → ;
• การคำนวณระยะทางจากจุดถึงเส้น M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

การแก้ปัญหาการหาระยะทางจากจุดที่กำหนดไปยังเส้นที่กำหนดในอวกาศ

ตัวอย่างที่ 5

ค้นหาระยะทางจากจุดด้วยพิกัด M 1 2, - 4, - 1 ถึงเส้นตรง x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5

สารละลาย

วิธีแรกเริ่มต้นด้วยการเขียนสมการของระนาบ χ ที่ผ่าน M 1 และตั้งฉากกับจุดที่กำหนด เราได้รับการแสดงออกเช่น:

2 (x - 2) - 1 (y - (- 4)) + 5 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

จำเป็นต้องค้นหาพิกัดของจุด H 1 ซึ่งเป็นจุดตัดกับระนาบ χ ไปยังเส้นที่ระบุโดยเงื่อนไข คุณควรย้ายจากมุมมองแบบบัญญัติไปยังมุมมองที่ตัดกัน จากนั้นเราจะได้ระบบสมการในรูปแบบ:

x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ⇔ - 1 · (x + 1) = 2 · y 5 · (x + 1) = 2 · (z + 5) 5 · y = - 1 · (z + 5) ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

จำเป็นต้องคำนวณระบบ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = - 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3 โดยวิธีของแครมเมอร์ เราจะได้ดังนี้:

∆ = 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 = - 60 ∆ x = - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 = - 60 ⇔ x = ∆ x ∆ = - 60 - 60 = 1 ∆ y = 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 = 60 ⇒ y = ∆ y ∆ = 60 - 60 = - 1 ∆ z = 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 = 0 ⇒ z = ∆ z ∆ = 0 - 60 = 0

จากตรงนี้ เรามี H 1 (1, - 1, 0)

ม 1 ชม 1 = 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 = 11

วิธีที่สองคือเริ่มต้นด้วยการค้นหาพิกัดใน สมการบัญญัติ- เมื่อต้องการทำเช่นนี้ คุณต้องใส่ใจกับตัวส่วนของเศษส่วน จากนั้น a → = 2, - 1, 5 คือเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 จำเป็นต้องคำนวณความยาวโดยใช้สูตร a → = 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 30

เห็นได้ชัดว่าเส้นตรง x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ตัดกับจุด M 3 (- 1 , 0 , - 5) ดังนั้นเราจึงได้เวกเตอร์ที่มีจุดกำเนิด M 3 (- 1 , 0 , - 5) และจุดสิ้นสุดที่จุด M 1 2, - 4, - 1 คือ M 3 M 1 → = 3, - 4, 4 ค้นหาผลคูณเวกเตอร์ a → = (2, - 1, 5) และ M 3 M 1 → = (3, - 4, 4)

เราได้นิพจน์ในรูปแบบ a → × M 3 M 1 → = i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 = - 4 i → + 15 j → - 8 k → + 20 i → - 8 · เจ → = 16 · ฉัน → + 7 · เจ → - 5 · k →

เราพบว่าความยาวของผลคูณเวกเตอร์เท่ากับ a → × M 3 M 1 → = 16 2 + 7 2 + - 5 2 = 330

เรามีข้อมูลทั้งหมดเพื่อใช้สูตรในการคำนวณระยะทางจากจุดหนึ่งเป็นเส้นตรง ลองใช้มันและรับ:

ม 1 ชม 1 = ก → × ม 3 ม 1 → ก → = 330 30 = 11

คำตอบ: 11 .

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่งคือความยาวของเส้นตั้งฉากที่ลากจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่ง ใน เรขาคณิตเชิงพรรณนามันถูกกำหนดแล้ว แบบกราฟิกตามอัลกอริทึมด้านล่าง

อัลกอริทึม

1. เส้นตรงจะถูกย้ายไปยังตำแหน่งที่จะขนานกับระนาบการฉายภาพใดๆ เพื่อจุดประสงค์นี้จึงใช้วิธีการเปลี่ยนการฉายภาพมุมฉาก
2. จากจุดหนึ่งให้ลากเส้นตั้งฉากกับเส้น ที่แกนกลาง ของการก่อสร้างครั้งนี้เป็นทฤษฎีบทของการฉายภาพมุมฉาก
3. ความยาวของเส้นตั้งฉากถูกกำหนดโดยการเปลี่ยนเส้นโครงหรือการใช้วิธีสามเหลี่ยมมุมฉาก

รูปต่อไปนี้แสดงการวาดจุด M และเส้น b อย่างครอบคลุม กำหนดโดยส่วนงานซีดี. คุณต้องค้นหาระยะห่างระหว่างพวกเขา

ตามอัลกอริทึมของเรา สิ่งแรกที่ต้องทำคือย้ายเส้นตรงไปยังตำแหน่ง ขนานไปกับเครื่องบินการคาดการณ์ สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่าหลังจากการแปลงแล้ว ระยะห่างที่แท้จริงระหว่างจุดและเส้นไม่ควรเปลี่ยนแปลง ด้วยเหตุนี้จึงสะดวกที่จะใช้วิธีการเปลี่ยนเครื่องบินซึ่งไม่เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่ในอวกาศ

ผลลัพธ์ของการก่อสร้างระยะแรกแสดงไว้ด้านล่าง รูปนี้แสดงให้เห็นว่าระนาบส่วนหน้าเพิ่มเติม P 4 ขนานกับ b อย่างไร ใน ระบบใหม่(P 1, P 4) จุด C"" 1, D"" 1, M"" 1 อยู่ที่ระยะห่างจากแกน X 1 เท่ากับ C"", D"", M"" จากแกน X

ดำเนินการส่วนที่สองของอัลกอริทึมจาก M"" 1 เราลดตั้งฉาก M"" 1 N"" 1 ไปที่เส้นตรง b"" 1 เนื่องจากมุมขวา MND ระหว่าง b และ MN ถูกฉายลงบนระนาบ P 4 ขนาดเต็ม. ใช้สายสื่อสารกำหนดตำแหน่งของจุด N" และดำเนินการฉายภาพ M"N" ของส่วน MN

บน ขั้นตอนสุดท้ายคุณต้องกำหนดขนาดของส่วน MN จากการฉายภาพ M"N" และ M"" 1 N"" 1 สำหรับสิ่งนี้เรากำลังสร้าง สามเหลี่ยมมุมฉาก M"" 1 N"" 1 N 0 ซึ่งขา N"" 1 N 0 เท่ากับความแตกต่าง (YM 1 – Y N 1) ของระยะห่างของจุด M" และ N" จากแกน X 1 ความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก M"" 1 N 0 ของสามเหลี่ยม M"" 1 N"" 1 N 0 สอดคล้องกับระยะทางที่ต้องการจาก M ถึง b

วิธีแก้ปัญหาที่สอง

• ขนานกับแผ่น CD เราแนะนำระนาบส่วนหน้าใหม่ P 4 มันตัดกัน P 1 ตามแกน X 1 และ X 1 ∥C"D" ตามวิธีการเปลี่ยนเครื่องบินเรากำหนดเส้นโครงของจุด C"" 1, D"" 1 และ M"" 1 ดังแสดงในรูป
• ตั้งฉากกับ C"" 1 D"" 1 เราสร้างเพิ่มเติม ระนาบแนวนอน P 5 ซึ่งเส้นตรง b ฉายไปที่จุด C" 2 = b" 2
• ระยะห่างระหว่างจุด M และเส้น b ถูกกำหนดโดยความยาวของส่วน M" 2 C" 2 ซึ่งระบุด้วยสีแดง

งานที่คล้ายกัน: