องศาเท่ากัน. การวัดองศาของส่วนโค้งของวงกลม

มุมเป็นรูปที่ประกอบด้วยจุด - จุดยอดของมุมและเส้นแบ่งครึ่งที่แตกต่างกันสองเส้นที่เล็ดลอดออกมาจากจุดนี้ - ด้านข้างของมุม (รูปที่ 14) ถ้าด้านของมุมเป็นครึ่งเส้นประกอบกัน มุมนั้นเรียกว่ามุมตรง

มุมถูกระบุโดยการระบุจุดยอดหรือโดยการระบุด้านข้าง หรือโดยการระบุจุดสามจุด: จุดยอดหนึ่งจุดและจุดสองจุดที่ด้านข้างของมุม บางครั้งคำว่า "มุม" ถูกแทนที่ด้วย

มุมในรูปที่ 14 สามารถแสดงได้สามวิธี:

กล่าวกันว่ารังสี c เคลื่อนผ่านระหว่างด้านของมุม หากมันมาจากจุดยอดและตัดกับบางส่วนที่มีปลายด้านข้างของมุม

ในรูปที่ 15 รังสี c ผ่านระหว่างด้านข้างของมุมเนื่องจากมันตัดกับส่วน

ในกรณีของมุมตรง รังสีใดๆ ที่ออกมาจากจุดยอดและแตกต่างจากด้านข้างจะผ่านระหว่างด้านของมุม

มุมมีหน่วยวัดเป็นองศา ถ้าเราใช้มุมตรงแล้วหารด้วย 180 มุมที่เท่ากันที่ การวัดระดับแต่ละมุมเหล่านี้เรียกว่าองศา

คุณสมบัติหลักของมุมการวัดแสดงในสัจพจน์ต่อไปนี้:

แต่ละมุมมีการวัดระดับที่แน่นอน ศูนย์ใหญ่. มุมที่พัฒนาคือ 180° การวัดระดับของมุมจะเท่ากับผลรวมของการวัดระดับของมุมซึ่งหารด้วยรังสีที่ผ่านระหว่างด้านต่างๆ

หมายความว่า ถ้ารังสี c ผ่านระหว่างด้านของมุม มุมนั้นจะเท่ากับผลรวมของมุม

การวัดองศาของมุมนั้นใช้ไม้โปรแทรกเตอร์

มุมที่มีขนาดเท่ากับ 90° เรียกว่ามุมฉาก มุมที่น้อยกว่า 90° เรียกว่ามุมแหลม มุมที่มากกว่า 90° และน้อยกว่า 180° เรียกว่ามุมป้าน

ให้เรากำหนดคุณสมบัติหลักของการวางมุม

จากครึ่งเส้นใด ๆ ลงในครึ่งระนาบหนึ่ง ๆ เราสามารถจัดมุมด้วยการวัดองศาที่กำหนดน้อยกว่า 180 °และมีเพียงหนึ่งเดียวเท่านั้น

พิจารณาครึ่งบรรทัด ก. เราขยายออกไปเลยจุดเริ่มต้น A เส้นตรงที่ได้จะแบ่งระนาบออกเป็นสองระนาบครึ่ง รูปที่ 16 แสดงวิธีการใช้ไม้โปรแทรกเตอร์เพื่อแยกมุมจากครึ่งเส้น a ถึงครึ่งบนของระนาบด้วยองศาที่กำหนด 60 °

ต. 1. 2. ถ้ามุมสองมุมถูกแยกออกจากครึ่งเส้นที่กำหนดในระนาบครึ่งเดียว ด้านของมุมที่เล็กกว่าซึ่งแตกต่างจากครึ่งเส้นที่กำหนดจะผ่านระหว่างด้านของมุมที่ใหญ่กว่า .

ให้มุมจากครึ่งเส้นที่กำหนด a เข้ากับครึ่งระนาบหนึ่ง และให้มุมน้อยกว่ามุม ทฤษฎีบท 1.2 ระบุว่ารังสีผ่านระหว่างด้านข้างของมุม (รูปที่ 17)

เส้นแบ่งครึ่งมุมคือเส้นรังสีที่มาจากจุดยอดของมัน ผ่านไประหว่างด้านต่างๆ และแบ่งครึ่งมุม ในรูปที่ 18 รังสีเป็นเส้นแบ่งครึ่งของมุม

ในเรขาคณิต มีแนวคิดของมุมระนาบ มุมระนาบเป็นส่วนหนึ่งของระนาบที่ล้อมรอบด้วยลำแสงที่แตกต่างกัน 2 ลำที่เล็ดลอดออกมาจากจุดเดียวกัน รังสีเหล่านี้เรียกว่าด้านของมุม มีสองมุมแบนที่มีด้าน พวกเขาเรียกว่าพิเศษ ในรูปที่ 19 มุมเรียบด้านหนึ่งที่มีด้าน a และ

หมายเหตุสำคัญ!
1. หากคุณเห็นซึ่งพูดพล่อยๆ แทนที่จะเป็นสูตร ให้ล้างแคช วิธีดำเนินการในเบราว์เซอร์ของคุณเขียนไว้ที่นี่:
2. ก่อนที่คุณจะเริ่มอ่านบทความ ให้ความสนใจกับเนวิเกเตอร์ของเราให้มากที่สุด ทรัพยากรที่มีประโยชน์สำหรับ

ข้อกำหนดพื้นฐาน

คุณจำชื่อทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับแวดวงได้ดีแค่ไหน? ในกรณีที่เราจำได้ - ดูภาพ - ฟื้นฟูความรู้ของคุณ

ประการแรก - จุดศูนย์กลางของวงกลมคือจุดที่ทุกจุดบนวงกลมมีระยะห่างเท่ากัน

ประการที่สอง - รัศมี - ส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมระหว่างจุดศูนย์กลางกับจุดบนวงกลม

มีรัศมีจำนวนมาก (เท่าที่มีจุดบนวงกลม) แต่ รัศมีทั้งหมดมีความยาวเท่ากัน

บางครั้งก็สั้น รัศมีพวกเขาเรียกมันว่า ความยาวส่วน"จุดศูนย์กลางคือจุดบนวงกลม" ไม่ใช่ส่วนนั้น

และนี่คือสิ่งที่เกิดขึ้น หากคุณเชื่อมต่อจุดสองจุดบนวงกลม? ยังตัด?

ดังนั้นจึงเรียกส่วนนี้ว่า "คอร์ด".

เช่นเดียวกับในกรณีของรัศมี เส้นผ่านศูนย์กลางมักจะเรียกว่าความยาวของส่วนที่เชื่อมต่อจุดสองจุดบนวงกลมและผ่านจุดศูนย์กลาง เส้นผ่านศูนย์กลางและรัศมีสัมพันธ์กันอย่างไร ดูชัด ๆ. แน่นอน, รัศมีเป็นครึ่งหนึ่งของเส้นผ่านศูนย์กลาง

นอกจากคอร์ดแล้วยังมี แบ่ง

คุณจำง่ายที่สุด?

มุมศูนย์กลางคือมุมระหว่างสองรัศมี

และตอนนี้มุมที่จารึกไว้

มุมที่จารึกไว้คือมุมระหว่างสองคอร์ดที่ตัดกันที่จุดหนึ่งบนวงกลม.

ในกรณีนี้ พวกเขากล่าวว่ามุมที่จารึกนั้นขึ้นอยู่กับส่วนโค้ง (หรือบนคอร์ด)

ดูที่รูปภาพ:

การวัดส่วนโค้งและมุม

เส้นรอบวง. ส่วนโค้งและมุมวัดเป็นองศาและเรเดียน ประการแรกเกี่ยวกับองศา ไม่มีปัญหาสำหรับมุม - คุณต้องเรียนรู้วิธีวัดส่วนโค้งเป็นองศา

การวัดองศา (ค่าส่วนโค้ง) คือค่า (เป็นองศา) ของมุมศูนย์กลางที่สอดคล้องกัน

คำว่า "สอดคล้อง" ที่นี่หมายความว่าอย่างไร ลองดูอย่างระมัดระวัง:

เห็นส่วนโค้งสองอันและมุมตรงกลางสองอันไหม ส่วนโค้งที่ใหญ่กว่านั้นสอดคล้องกับมุมที่ใหญ่กว่า (และไม่เป็นไรที่มันใหญ่กว่า) และส่วนโค้งที่เล็กกว่านั้นสอดคล้องกับมุมที่เล็กกว่า

ดังนั้นเราจึงเห็นด้วย: ส่วนโค้งมีจำนวนองศาเท่ากันกับมุมศูนย์กลางที่สอดคล้องกัน

และตอนนี้เกี่ยวกับสิ่งที่น่ากลัว - เกี่ยวกับเรเดียน!

"เรเดียน" นี้เป็นสัตว์ชนิดใด?

ลองนึกภาพสิ่งนี้: เรเดียนเป็นวิธีการวัดมุม...ในรัศมี!

มุมเรเดียนคือ มุมกลางซึ่งมีความยาวส่วนโค้งเท่ากับรัศมีของวงกลม

จากนั้นคำถามก็เกิดขึ้น - มุมที่ยืดออกมีกี่เรเดียน?

กล่าวอีกนัยหนึ่ง: รัศมี "พอดี" ในครึ่งวงกลมมีกี่รัศมี? หรืออีกวิธีหนึ่ง ความยาวของครึ่งวงกลมมากกว่ารัศมีกี่เท่า

คำถามนี้ถูกถามโดยนักวิทยาศาสตร์ในสมัยกรีกโบราณ

ดังนั้น หลังจากการค้นหาเป็นเวลานาน พวกเขาพบว่าอัตราส่วนของเส้นรอบวงต่อรัศมีไม่ต้องการแสดงเป็นตัวเลข "มนุษย์" เช่น ฯลฯ

และเป็นไปไม่ได้ที่จะแสดงทัศนคตินี้ผ่านราก นั่นคือปรากฎว่าเราไม่สามารถพูดได้ว่าครึ่งหนึ่งของวงกลมเป็นสองเท่าหรือคูณด้วยรัศมี! คุณนึกภาพออกไหมว่าการค้นพบผู้คนเป็นครั้งแรกนั้นน่าทึ่งขนาดไหน! สำหรับอัตราส่วนของความยาวของครึ่งวงกลมต่อรัศมี ตัวเลข "ปกติ" ก็เพียงพอแล้ว ฉันต้องป้อนจดหมาย

ดังนั้น เป็นตัวเลขที่แสดงอัตราส่วนของความยาวของครึ่งวงกลมต่อรัศมี

ตอนนี้เราสามารถตอบคำถาม: มุมตรงมีกี่เรเดียน? มีเรเดียน เพราะครึ่งหนึ่งของวงกลมมีรัศมีเป็นสองเท่า

คนโบราณ (และไม่เป็นเช่นนั้น) ผ่านยุคต่างๆ (!) พวกเขาพยายามคำนวณตัวเลขลึกลับนี้ให้แม่นยำยิ่งขึ้น เพื่อแสดงตัวเลข "ธรรมดา" ให้ดีขึ้น (อย่างน้อยโดยประมาณ) และตอนนี้เราขี้เกียจอย่างไม่น่าเชื่อ - สองสัญญาณหลังจากไม่ว่างก็เพียงพอแล้วสำหรับเรา เราคุ้นเคย

ลองคิดดูนี่หมายความว่า y ของวงกลมที่มีรัศมีหนึ่งมีความยาวเท่ากันโดยประมาณและเป็นไปไม่ได้เลยที่จะเขียนความยาวนี้ด้วยตัวเลข "มนุษย์" - คุณต้องใช้ตัวอักษร แล้วเส้นรอบวงนี้จะเท่ากัน และแน่นอนว่าเส้นรอบวงของรัศมีเท่ากัน

กลับไปที่เรเดียนกัน

เราได้ค้นพบแล้วว่ามุมตรงประกอบด้วยเรเดียน

สิ่งที่เรามี:

ดีใจขนาดนั้นก็ดีใจแล้ว ในทำนองเดียวกันจะได้จานที่มีมุมยอดนิยม

อัตราส่วนระหว่างค่าของมุมที่จารึกไว้และมุมกลาง

มีข้อเท็จจริงที่น่าทึ่งคือ

ค่าของมุมที่จารึกไว้คือครึ่งหนึ่งของมุมตรงกลางที่สอดคล้องกัน

ดูว่าคำสั่งนี้มีลักษณะอย่างไรในภาพ มุมศูนย์กลางที่ "สอดคล้องกัน" คือมุมที่ปลายตรงกับจุดสิ้นสุดของมุมที่เขียนไว้ และจุดยอดอยู่ตรงกลาง และในเวลาเดียวกัน มุมศูนย์กลางที่ "สอดคล้องกัน" จะต้อง "มอง" ที่คอร์ดเดียวกัน () เป็นมุมที่จารึกไว้

ทำไมถึงเป็นเช่นนั้น? มาดูกันก่อนว่า กรณีที่เรียบง่าย. ให้หนึ่งในคอร์ดผ่านจุดศูนย์กลาง ท้ายที่สุดมันก็เกิดขึ้นเป็นบางครั้งใช่ไหม?

เกิดอะไรขึ้นที่นี่? พิจารณา. มันเป็นหน้าจั่ว - และเป็นรัศมี ดังนั้น (แสดงว่าพวกเขา)

ทีนี้มาดูที่. นี่คือมุมด้านนอก! เราจำได้ว่ามุมภายนอกเท่ากับผลรวมของสองมุมภายในที่ไม่ได้อยู่ติดกัน และเขียน:

นั่นคือ! ผลกระทบที่ไม่คาดคิด แต่ยังมีมุมตรงกลางสำหรับจารึก

ในกรณีนี้ เราพิสูจน์ได้ว่ามุมศูนย์กลางเป็นสองเท่าของมุมที่เขียนไว้ แต่มันเจ็บ กรณีพิเศษ: จริงหรือไม่ที่คอร์ดไม่ได้ผ่านจุดศูนย์กลางไปตรงๆ เสมอไป? แต่ไม่มีอะไรตอนนี้กรณีพิเศษนี้จะช่วยเราได้มาก ดู: กรณีที่สอง: ให้ตรงกลางอยู่ข้างใน

ลองทำสิ่งนี้: วาดเส้นผ่านศูนย์กลาง จากนั้น ... เราจะเห็นภาพสองภาพที่ได้รับการวิเคราะห์แล้วในกรณีแรก ดังนั้นเราจึงมีอยู่แล้ว

ดังนั้น (ในรูปวาด ก)

ดีและอยู่ กรณีสุดท้าย: ตรงกลางนอกมุม.

เราทำเช่นเดียวกัน: วาดเส้นผ่านศูนย์กลางผ่านจุด ทุกอย่างเหมือนกัน แต่แทนที่จะเป็นผลรวม - ความแตกต่าง

นั่นคือทั้งหมด!

ตอนนี้เรามาสร้างผลลัพธ์หลักสองประการที่สำคัญมากของข้อความว่ามุมที่จารึกไว้คือครึ่งหนึ่งของศูนย์กลาง

ข้อโต้แย้ง 1

มุมที่เขียนไว้ทั้งหมดตัดกันในส่วนโค้งเดียวกันมีค่าเท่ากัน

เราแสดงให้เห็น:

มุมที่จารึกไว้ตามส่วนโค้งเดียวกัน (เรามีส่วนโค้งนี้) - นับไม่ถ้วนอาจดูแตกต่างกันมาก แต่ทั้งหมดมีมุมศูนย์กลาง () เหมือนกัน ซึ่งหมายความว่ามุมที่จารึกไว้ทั้งหมดมีค่าเท่ากัน

ผลที่ตามมา 2

มุมตามเส้นผ่านศูนย์กลางเป็นมุมฉาก

ดู: มุมไหนอยู่ตรงกลาง?

แน่นอน, . แต่เขาเท่าเทียมกัน! นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไม (เช่นเดียวกับมุมที่จารึกไว้มากมายตาม) และเท่ากับ

มุมระหว่างสองคอร์ดและเซแคนต์

แต่จะเกิดอะไรขึ้นถ้ามุมที่เราสนใจไม่ได้ถูกจารึกไว้และไม่ใช่ศูนย์กลาง แต่ตัวอย่างเช่น:

หรือแบบนี้?

เป็นไปได้ไหมที่จะแสดงออกผ่านมุมกลางบางอย่าง? ปรากฎว่าคุณทำได้ ดูสิ เราสนใจ

ก) (เป็นมุมนอกสำหรับ). แต่ - จารึกไว้ตามส่วนโค้ง - . - จารึกไว้ตามส่วนโค้ง - .

เพื่อความงามพวกเขาพูดว่า:

มุมระหว่างคอร์ดเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลรวมของค่าเชิงมุมของส่วนโค้งที่รวมอยู่ในมุมนี้

สิ่งนี้เขียนขึ้นเพื่อความกระชับ แต่แน่นอน เมื่อใช้สูตรนี้ คุณต้องคำนึงถึงมุมตรงกลางด้วย

b) และตอนนี้ - "ข้างนอก"! จะเป็นอย่างไร? ใช่เกือบจะเหมือนกัน! เฉพาะตอนนี้เท่านั้น (ใช้คุณสมบัติของมุมด้านนอกอีกครั้ง) นั่นคือตอนนี้

และนั่นหมายความว่า เรามานำเสนอความสวยงามและความกระชับในบันทึกและสูตร:

มุมระหว่างส่วนตัดมีค่าเท่ากับครึ่งหนึ่งของความแตกต่างของค่าเชิงมุมของส่วนโค้งที่อยู่ในมุมนี้

ตอนนี้คุณมีความรู้พื้นฐานทั้งหมดเกี่ยวกับมุมที่เกี่ยวข้องกับวงกลมแล้ว ไปข้างหน้าเพื่อโจมตีงาน!

วงกลมและมุมที่บันทึก ระดับเฉลี่ย

วงกลมคืออะไร แม้แต่เด็ก 5 ขวบยังรู้ จริงไหม? นักคณิตศาสตร์เช่นเคยมีคำจำกัดความที่ลึกซึ้งในเรื่องนี้ แต่เราจะไม่ให้ (ดู) แต่จำไว้ว่าจุดเส้นและมุมที่เกี่ยวข้องกับวงกลมเรียกว่าอะไร

ข้อกำหนดที่สำคัญ

ประการแรก:

ศูนย์วงกลม- จุดที่ระยะทางจากจุดใดจุดหนึ่งของวงกลมเท่ากัน

ประการที่สอง:

มีการแสดงออกอื่นที่ได้รับการยอมรับที่นี่: "คอร์ดสัญญาส่วนโค้ง" ที่นี่ ในรูปนี้ ตัวอย่างเช่น คอร์ดหนึ่งเส้นจะต่อกับส่วนโค้ง และถ้าคอร์ดผ่านตรงกลางก็จะมีชื่อพิเศษ: "เส้นผ่านศูนย์กลาง"

เส้นผ่านศูนย์กลางและรัศมีสัมพันธ์กันอย่างไร ดูชัด ๆ. แน่นอน,

และตอนนี้ - ชื่อของมุม

ตามธรรมชาติไม่ใช่หรือ ด้านข้างของมุมออกมาจากจุดศูนย์กลาง ซึ่งหมายความว่ามุมอยู่ตรงกลาง

นี่คือที่ที่บางครั้งความยากลำบากเกิดขึ้น ใส่ใจ - ไม่มีมุมใด ๆ ภายในวงกลมที่จารึกไว้แต่มีเพียงจุดยอด "นั่ง" บนวงกลมเท่านั้น

มาดูความแตกต่างในภาพกัน:

พวกเขายังพูดแตกต่างกัน:

มีจุดหนึ่งที่ยุ่งยากที่นี่ มุมศูนย์กลางที่ "สอดคล้องกัน" หรือ "ของตัวเอง" คืออะไร แค่มุมที่มีจุดยอดตรงกลางวงกลมและสิ้นสุดที่ปลายส่วนโค้ง? ไม่ใช่ในทางนั้นอย่างแน่นอน ดูที่รูปภาพ.

อย่างไรก็ตามหนึ่งในนั้นดูไม่เหมือนมุม - มันใหญ่กว่า แต่ในรูปสามเหลี่ยมจะไม่มีมุมมากกว่านี้ แต่ในวงกลม - มันอาจจะดี! ดังนั้น: ส่วนโค้ง AB ที่เล็กกว่าจะสอดคล้องกับมุมที่เล็กกว่า (สีส้ม) และมุมที่ใหญ่กว่าถึงมุมที่ใหญ่กว่า เหมือนกันไม่ใช่เหรอ?

ความสัมพันธ์ระหว่างมุมที่จารึกและมุมกลาง

จำข้อความที่สำคัญมาก:

ในหนังสือเรียนก็ชอบเขียนเหมือนกันว่า

จริงด้วยมุมศูนย์กลางการกำหนดจะง่ายกว่าหรือไม่?

แต่ถึงกระนั้น เรามาหาความสอดคล้องกันระหว่างสูตรทั้งสอง และในขณะเดียวกันก็เรียนรู้วิธีหามุมศูนย์กลางที่ "สอดคล้องกัน" และส่วนโค้งที่มุมที่จารึกไว้ "พาด" กับตัวเลข

ดูสิ นี่คือวงกลมและมุมที่เขียนไว้:

มุมกลางที่ "สอดคล้องกัน" อยู่ที่ไหน

ลองดูอีกครั้ง:

กฎคืออะไร?

แต่! ในกรณีนี้สิ่งสำคัญคือมุมที่จารึกไว้และตรงกลาง "มอง" ที่ด้านเดียวกันของส่วนโค้ง ตัวอย่างเช่น:

ผิดปกติพอสีน้ำเงิน! เพราะส่วนโค้งยาวเกินครึ่งวงกลม! ดังนั้นอย่าเพิ่งสับสน!

ผลที่ตามมาสามารถอนุมานได้จาก "ความครึ่ง" ของมุมที่จารึกไว้?

ตัวอย่างเช่น:

มุมขึ้นอยู่กับเส้นผ่านศูนย์กลาง

คุณสังเกตแล้วว่านักคณิตศาสตร์ชอบพูดเรื่องเดียวกันมาก คำที่แตกต่างกัน? ทำไมถึงมีไว้สำหรับพวกเขา? คุณเห็นไหมว่าภาษาของคณิตศาสตร์แม้จะเป็นทางการ แต่ก็ยังมีชีวิต และด้วยเหตุนี้ ภาษาธรรมดาทุกครั้งที่ฉันต้องการพูดวิธีที่สะดวกกว่า เราได้เห็นแล้วว่า "มุมที่วางอยู่บนส่วนโค้ง" คืออะไร และลองนึกภาพภาพเดียวกันนี้เรียกว่า "มุมที่วางอยู่บนคอร์ด" เกี่ยวกับอะไร ใช่แน่นอน คนที่ดึงส่วนโค้งนี้!

เมื่อใดที่สะดวกกว่าการใช้คอร์ดมากกว่าส่วนโค้ง

โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อคอร์ดนี้มีเส้นผ่านศูนย์กลาง

มีถ้อยแถลงที่เรียบง่าย สวยงาม และมีประโยชน์อย่างน่าอัศจรรย์สำหรับสถานการณ์เช่นนี้!

ดูสิ นี่คือวงกลม เส้นผ่านศูนย์กลาง และมุมที่วางอยู่

วงกลมและมุมที่บันทึก สั้น ๆ เกี่ยวกับหลัก

1. แนวคิดพื้นฐาน

3. การวัดส่วนโค้งและมุม

มุมเรเดียนคือมุมศูนย์กลางที่มีความยาวส่วนโค้งเท่ากับรัศมีของวงกลม

นี่คือตัวเลขที่แสดงอัตราส่วนของความยาวของครึ่งวงกลมต่อรัศมี

เส้นรอบวงของรัศมีเท่ากับ

4. อัตราส่วนระหว่างค่าของมุมที่จารึกไว้และมุมกลาง

หัวข้อจบลงแล้ว หากคุณกำลังอ่านบรรทัดเหล่านี้แสดงว่าคุณเจ๋งมาก

เพราะมีคนเพียง 5% เท่านั้นที่สามารถเชี่ยวชาญบางอย่างได้ด้วยตัวเอง และถ้าคุณอ่านจนจบ คุณก็อยู่ใน 5%!

ตอนนี้สิ่งที่สำคัญที่สุด

คุณได้เข้าใจทฤษฎีในหัวข้อนี้แล้ว และขอย้ำว่า...มันสุดยอดมาก! คุณเก่งกว่าเพื่อนส่วนใหญ่ของคุณอยู่แล้ว

ปัญหาคือมันอาจไม่เพียงพอ ...

เพื่ออะไร?

สำหรับ การส่งมอบที่ประสบความสำเร็จการสอบของรัฐแบบครบวงจรสำหรับการเข้าศึกษาต่อในสถาบันด้วยงบประมาณและที่สำคัญที่สุดสำหรับชีวิต

ฉันจะไม่โน้มน้าวใจคุณ แต่ฉันจะพูดอย่างหนึ่ง ...

คนที่ได้รับ การศึกษาที่ดีมีรายได้มากกว่าผู้ที่ไม่ได้รับ นี่คือสถิติ

แต่นี่ไม่ใช่สิ่งสำคัญ

สิ่งสำคัญคือพวกเขามีความสุขมากขึ้น (มีการศึกษาดังกล่าว) อาจเป็นเพราะเปิดขึ้นต่อหน้าพวกเขามาก เป็นไปได้มากขึ้นและชีวิตจะสดใสขึ้น? ไม่รู้...

แต่คิดเอาเอง...

อะไรที่จำเป็นเพื่อให้แน่ใจว่าจะดีกว่าคนอื่น ๆ ในการสอบและจะ ... มีความสุขมากขึ้นในท้ายที่สุด?

จับมือคุณแก้ปัญหาในหัวข้อนี้

ในการสอบ คุณจะไม่ถูกถามทฤษฎี

คุณจะต้องการ แก้ปัญหาตรงเวลา.

และถ้าคุณยังแก้ไขไม่ได้ (มาก!) คุณจะทำผิดพลาดโง่ๆ ที่ไหนสักแห่งหรือไม่ก็แก้ไขไม่ทัน

ก็เหมือนกับการเล่นกีฬา คุณต้องเล่นซ้ำหลายๆ ครั้งจึงจะชนะได้อย่างแน่นอน

ค้นหาคอลเลกชันได้ทุกที่ที่คุณต้องการ จำเป็นด้วยโซลูชั่น การวิเคราะห์โดยละเอียด และตัดสินใจ ตัดสินใจ ตัดสินใจ!

คุณสามารถใช้งานของเรา (ไม่จำเป็น) และเราแนะนำอย่างแน่นอน

เพื่อให้ได้รับความช่วยเหลือจากงานของเรา คุณต้องช่วยยืดอายุหนังสือเรียน YouClever ที่คุณกำลังอ่านอยู่

ยังไง? มีสองตัวเลือก:

1. ปลดล็อกการเข้าถึงงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดในบทความนี้ -
2. ปลดล็อกการเข้าถึงงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดในบทช่วยสอนทั้ง 99 บทความ - ซื้อหนังสือเรียน - 499 รูเบิล

ใช่ เรามีบทความดังกล่าว 99 บทความในหนังสือเรียน และสามารถเปิดเข้าถึงงานทั้งหมดและข้อความที่ซ่อนอยู่ในนั้นได้ทันที

การเข้าถึงงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดมีให้ตลอดอายุการใช้งานของไซต์

สรุปแล้ว...

ถ้าคุณไม่ชอบงานของเรา หาคนอื่น อย่าหยุดแค่ทฤษฎี

“เข้าใจ” และ “ฉันรู้วิธีแก้ปัญหา” เป็นทักษะที่แตกต่างกันอย่างสิ้นเชิง คุณต้องการทั้งสองอย่าง

ค้นหาปัญหาและแก้ไข!

คำแนะนำ

ส่วนโค้งเป็นส่วนหนึ่งของวงกลมที่อยู่ระหว่างจุดสองจุดที่อยู่บนวงกลมนี้ ส่วนโค้งใดๆ สามารถแสดงเป็นค่าตัวเลขได้ ของเธอ ลักษณะสำคัญพร้อมกับความยาวคือค่าของหน่วยวัดระดับ

แต่เมื่อเลือกส่วนโค้งหนึ่งบนวงกลม ก็จะเกิดอีกส่วนขึ้น ดังนั้นเพื่อให้เข้าใจอย่างชัดเจนว่าเรากำลังพูดถึงส่วนโค้งประเภทใดให้ทำเครื่องหมายอีกหนึ่งจุดบนส่วนโค้งที่เลือกเช่น C จากนั้นจะอยู่ในรูปของ ABC

ส่วนของเส้นตรงที่เกิดจากจุดสองจุดล้อมรอบส่วนโค้งเป็นคอร์ด

การวัดระดับของส่วนโค้งสามารถหาได้จากค่าของมุมที่จารึกไว้ ซึ่งมีจุดยอดบนวงกลมนั้นขึ้นอยู่กับ ส่วนโค้งนี้. มุมดังกล่าวเรียกว่ามุมที่จารึกไว้ และการวัดระดับจะเท่ากับครึ่งหนึ่งของส่วนโค้งที่วางอยู่

นอกจากนี้ยังมีมุมกลางในวงกลม นอกจากนี้ยังวางอยู่บนส่วนโค้งที่ต้องการ และจุดยอดไม่ได้อยู่บนวงกลมอีกต่อไป แต่อยู่ตรงกลาง และเขา ค่าตัวเลขจะไม่เท่ากับครึ่งหนึ่งของการวัดระดับของส่วนโค้งอีกต่อไป แต่เป็นค่าจำนวนเต็ม

เมื่อเข้าใจวิธีการคำนวณส่วนโค้งผ่านมุมแล้วคุณสามารถใช้กฎหมายนี้ได้ ทิศทางย้อนกลับและได้กฎว่ามุมที่จารึกไว้ซึ่งอาศัยเส้นผ่านศูนย์กลางเป็นมุมฉาก เนื่องจากเส้นผ่านศูนย์กลางแบ่งวงกลมออกเป็นสองส่วนเท่าๆ กัน หมายความว่าส่วนโค้งใดๆ มีค่าเท่ากับ 180 องศา ดังนั้นมุมที่จารึกไว้คือ 90 องศา

นอกจากนี้ จากวิธีการค้นหาค่าองศาของส่วนโค้ง กฎเป็นจริงว่ามุมตามส่วนโค้งหนึ่งมี มูลค่าเท่ากัน.

ค่าของการวัดระดับของส่วนโค้งมักใช้ในการคำนวณเส้นรอบวงของวงกลมหรือส่วนโค้ง ในการทำเช่นนี้ ใช้สูตร L= π*R*α/180

คำว่า "" มีการตีความที่หลากหลาย ในเรขาคณิต มุมเป็นส่วนหนึ่งของระนาบที่ล้อมรอบด้วยรังสีสองเส้นที่ออกมาจากจุดหนึ่ง นั่นคือจุดยอด เมื่อไร เรากำลังพูดถึงเกี่ยวกับมุมขวา, เฉียบพลัน, พัฒนาแล้วแม่นยำ มุมเรขาคณิต.

เช่นเดียวกับรูปทรงใดๆ ในเรขาคณิต มุมสามารถเปรียบเทียบได้ ความเท่าเทียมกันของมุมถูกกำหนดโดยการเคลื่อนไหว มุมนั้นง่ายต่อการแบ่งออกเป็นสองส่วนเท่า ๆ กัน การแบ่งออกเป็นสามส่วนนั้นยากกว่าเล็กน้อย แต่ก็ยังสามารถทำได้ด้วยไม้บรรทัดและวงเวียน อย่างไรก็ตาม งานนี้ดูค่อนข้างยาก อธิบายง่ายๆ ทางเรขาคณิตว่ามุมหนึ่งมีค่ามากกว่าหรือน้อยกว่าอีกมุมหนึ่ง

ในฐานะที่เป็นหน่วยวัดมุม จะใช้ 1/180 ของมุมที่พัฒนาแล้ว ค่ามุมคือตัวเลขที่แสดงจำนวนครั้งที่เลือกมุมเป็นหน่วยการวัดที่พอดีกับรูปที่เป็นปัญหา

แต่ละมุมมีการวัดองศาที่มากกว่าศูนย์ มุมตรงคือ 180 องศา การวัดองศาของมุมคือ เท่ากับผลรวมการวัดองศาของมุมที่แบ่งด้วยรังสีใดๆ บนระนาบที่ล้อมรอบด้วยด้านข้าง

จากลำแสงใด ๆ ให้เครื่องบินคุณสามารถกำหนดมุมที่มีขนาดบางองศาไม่เกิน 180 ยิ่งกว่านั้นจะมีมุมดังกล่าวเพียงมุมเดียว การวัดมุมราบ ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของครึ่งระนาบ คือการวัดองศาของมุมที่มีด้านใกล้เคียงกัน การวัดระนาบของมุมที่มีครึ่งระนาบคือค่า 360 – α โดยที่ α คือการวัดองศาของมุมราบประกอบ

การวัดระดับของมุมทำให้สามารถย้ายจากคำอธิบายทางเรขาคณิตเป็นตัวเลขได้ ดังนั้น มุมฉากคือมุมเท่ากับ 90 องศา มุมป้านคือมุมน้อยกว่า 180 องศา แต่มากกว่า 90 มุมที่คมชัดไม่เกิน 90 องศา

นอกจากองศาแล้วยังมีหน่วยวัดเรเดียนของมุมอีกด้วย ในแผนภาพ ความยาวคือ L รัศมีคือ r และมุมศูนย์กลางที่สอดคล้องกันคือ α นอกจากนี้ พารามิเตอร์เหล่านี้สัมพันธ์กันด้วยความสัมพันธ์ α = L/r นี่คือพื้นฐานของการวัดมุมแบบเรเดียน ถ้า L=r แล้วมุม α จะเท่ากับหนึ่งเรเดียน ดังนั้น การวัดเรเดียนของมุมคืออัตราส่วนของความยาวของส่วนโค้งที่ลากโดยรัศมีตามอำเภอใจและล้อมรอบระหว่างด้านข้างของมุมนี้กับรัศมีของส่วนโค้ง เลี้ยวเต็มวี การวัดระดับ(360 องศา) เท่ากับ 2π ในหน่วยเรเดียน หนึ่งคือ 57.2958 องศา

วิดีโอที่เกี่ยวข้อง

แหล่งที่มา:

• สูตรการวัดองศาของมุม

การวัดค่าแบนเป็นองศาถูกคิดค้นขึ้นในบาบิโลนโบราณนานก่อนที่จะเริ่มยุคของเรา ผู้ที่อาศัยอยู่ในรัฐนี้ชอบแคลคูลัสเชิงเพศ ดังนั้นการแบ่งมุมออกเป็น 180 หรือ 360 หน่วยในวันนี้จึงดูแปลกไปเล็กน้อย อย่างไรก็ตามนำเสนอใน ระบบที่ทันสมัยหน่วยวัด SI, ทวีคูณของ pi นั้นไม่แปลกเลย ตัวเลือกทั้งสองนี้ไม่ จำกัด เฉพาะการกำหนดมุมที่ใช้ในปัจจุบันดังนั้นปัญหาในการแปลงค่าเป็นการวัดระดับจึงเกิดขึ้นค่อนข้างบ่อย

คำแนะนำ

หากคุณต้องการแปลงค่าของมุมเป็นเรเดียนเป็นการวัดระดับ ให้ดำเนินการต่อจากข้อเท็จจริงที่ว่าหนึ่งองศาสอดคล้องกับจำนวนเรเดียนเท่ากับ 1/180 ของจำนวนพาย ค่าคงที่ทางคณิตศาสตร์นี้มีจำนวนตำแหน่งทศนิยมไม่สิ้นสุด ดังนั้นตัวประกอบการแปลงจึงเป็นเศษส่วนทศนิยมที่ไม่สิ้นสุดด้วย นี่คือค่าที่แน่นอนอย่างยิ่งในรูปแบบ เศษส่วนทศนิยมไม่สามารถรับได้ ดังนั้นจึงต้องปัดเศษปัจจัยการแปลง ตัวอย่างเช่น ด้วยความแม่นยำหนึ่งในพันล้านของหน่วย ค่าสัมประสิทธิ์ที่คำนวณได้จะเป็น 0.017453293 หลังจากปัดเศษเป็นจำนวนตำแหน่งทศนิยมที่ต้องการแล้ว ให้หารจำนวนเรเดียนเดิมด้วยปัจจัยนี้ และคุณจะได้การวัดองศาของมุม

การวัดองศาของมุม การวัดเรเดียนของมุม แปลงองศาเป็นเรเดียนและกลับกัน

ความสนใจ!
มีเพิ่มเติม
เนื้อหาในภาคพิเศษ 555
สำหรับผู้ที่ "ไม่มาก ... "
และสำหรับผู้ที่ "มาก...")

ในบทเรียนที่แล้ว เราเชี่ยวชาญการนับมุมบนวงกลมตรีโกณมิติ เรียนรู้วิธีการนับบวกและ มุมลบ. เข้าใจวิธีการวาดมุมที่มากกว่า 360 องศา ได้เวลาจัดการกับการวัดมุมแล้ว โดยเฉพาะกับเลข “ปี่” ที่จ้องจะป่วนเราในงานยุ่งยาก ใช่...

งานมาตรฐานในตรีโกณมิติด้วยตัวเลข "Pi" ได้รับการแก้ไขค่อนข้างดี หน่วยความจำภาพช่วย แต่การเบี่ยงเบนใด ๆ จากเทมเพลต - ทำให้ล้มลงทันที! เพื่อไม่ให้ตก - เข้าใจจำเป็น. สิ่งที่เราจะทำสำเร็จในตอนนี้ ในแง่หนึ่ง - เราเข้าใจทุกอย่าง!

ดังนั้น, อะไร มุมนับหรือไม่? ใน หลักสูตรของโรงเรียนตรีโกณมิติใช้การวัดสองแบบ: การวัดองศาของมุมและ การวัดเรเดียนของมุม. มาดูมาตรการเหล่านี้กัน หากไม่มีสิ่งนี้ในตรีโกณมิติ - ไม่มีที่ไหนเลย

การวัดองศาของมุม

เราคุ้นเคยกับองศา อย่างน้อยที่สุดทางเรขาคณิตก็ผ่าน ... ใช่และในชีวิตเรามักจะพบกับวลี "หัน 180 องศา" เป็นต้น ปริญญาเรียกสั้นๆง่ายๆว่า...

ใช่? ตอบฉันแล้ว ปริญญาคืออะไร? อะไรไม่ทำงานทันทีจากค้างคาว? บางสิ่งบางอย่าง...

องศาถูกประดิษฐ์ขึ้นในบาบิโลนโบราณ นานมาแล้ว ... 40 ศตวรรษที่แล้ว ... และพวกเขาก็คิดขึ้นมาได้ พวกเขาจับและแบ่งวงกลมเป็น 360 ส่วนเท่ากัน. 1 องศา คือ 1/360 ของวงกลม และนั่นแหล่ะ สามารถแตกออกเป็น 100 ชิ้น หรือเพิ่มขึ้น 1,000 แต่พวกเขาแตกมันออกเป็น 360 อย่างไรก็ตาม ทำไมต้องเป็น 360 กันแน่ ทำไม 360 ถึงดีกว่า 100? 100 ดูเหมือนจะมากกว่านั้น... ลองตอบคำถามนี้ หรืออ่อนแอต่อ บาบิโลนโบราณ?

ที่ไหนสักแห่งในเวลาเดียวกัน อียิปต์โบราณทรมานด้วยปัญหาอื่น เส้นรอบวงของวงกลมมีค่ามากกว่าความยาวของเส้นผ่านศูนย์กลางกี่เท่า ดังนั้นพวกเขาจึงวัดและด้วยวิธีนั้น ... ทุกอย่างกลายเป็นมากกว่าสามเล็กน้อย แต่อย่างใดมันกลายเป็นขนดกไม่สม่ำเสมอ ... แต่พวกเขาชาวอียิปต์ไม่ต้องตำหนิ หลังจากนั้นพวกเขาก็ทนทุกข์ต่อไปอีก 35 ศตวรรษ จนกระทั่งในที่สุดพวกเขาก็พิสูจน์ได้ว่าไม่ว่าจะตัดวงกลมให้เป็นชิ้นเท่าๆ กันอย่างละเอียดแค่ไหน ก็สร้างชิ้นส่วนเหล่านั้นขึ้นมาได้ เรียบความยาวของเส้นผ่านศูนย์กลางเป็นไปไม่ได้ ... โดยหลักการแล้วเป็นไปไม่ได้ แน่นอนว่าเส้นรอบวงนั้นใหญ่กว่าเส้นผ่านศูนย์กลางกี่เท่า ประมาณ. 3.1415926...ครั้ง.

นี่คือตัวเลข "Pi" มันขนดกขนดกมาก หลังจุดทศนิยม - ตัวเลขไม่สิ้นสุดโดยไม่มีลำดับใด ๆ ... ตัวเลขดังกล่าวเรียกว่าอตรรกยะ โดยวิธีการนี้หมายความว่าจากชิ้นส่วนของวงกลมที่เท่ากันคือเส้นผ่านศูนย์กลาง เรียบอย่าพับ ไม่เคย.

สำหรับ การประยุกต์ใช้จริงเป็นเรื่องปกติที่จะจำเฉพาะตัวเลขสองหลักหลังจุดทศนิยม จดจำ:

เนื่องจากเราเข้าใจแล้วว่าเส้นรอบวงของวงกลมมีค่ามากกว่าเส้นผ่านศูนย์กลางคูณด้วย "Pi" จึงควรจำสูตรสำหรับเส้นรอบวง:

ที่ไหน แอลคือเส้นรอบวงและ งคือเส้นผ่านศูนย์กลาง

มีประโยชน์ในด้านเรขาคณิต

สำหรับ การศึกษาทั่วไปฉันจะเพิ่มว่าตัวเลข "Pi" ไม่เพียง แต่อยู่ในรูปทรงเรขาคณิตเท่านั้น ... ในส่วนที่หลากหลายที่สุดของคณิตศาสตร์และโดยเฉพาะอย่างยิ่งในทฤษฎีความน่าจะเป็น ตัวเลขนี้ปรากฏขึ้นอย่างต่อเนื่อง! ด้วยตัวมันเอง. อยู่เหนือความปรารถนาของเรา แบบนี้.

แต่กลับเป็นองศา คุณรู้หรือไม่ว่าเหตุใดในบาบิโลนโบราณจึงแบ่งวงกลมออกเป็น 360 ส่วนเท่าๆ กัน? แต่ไม่ใช่ 100 เช่น? เลขที่? ตกลง. ฉันจะให้เวอร์ชันแก่คุณ คุณไม่สามารถถามชาวบาบิโลนโบราณได้ สำหรับการก่อสร้างหรือพูดทางดาราศาสตร์ การแบ่งวงกลมออกเป็นส่วนเท่าๆ กันจะสะดวกกว่า ตอนนี้หาว่าจำนวนใดหารด้วย อย่างสมบูรณ์ 100 และอันไหน - 360? และตัวแบ่งเหล่านี้อยู่ในเวอร์ชันใด อย่างสมบูรณ์- มากกว่า? แผนกนี้สะดวกมากสำหรับผู้คน แต่...

เมื่อมันปรากฏช้ากว่าบาบิโลนโบราณมาก ทุกคนไม่ชอบองศา คณิตศาสตร์ระดับสูงไม่ชอบพวกเขา ... คณิตศาสตร์ที่สูงขึ้น- ผู้หญิงจริงจังจัดตามกฎธรรมชาติ และผู้หญิงคนนี้ประกาศว่า: "วันนี้คุณแบ่งวงกลมออกเป็น 360 ส่วน พรุ่งนี้คุณจะแบ่งเป็น 100 ส่วน มะรืนนี้เป็น 245 ส่วน ... แล้วฉันจะทำอย่างไร ไม่จริงๆ ... " ฉันต้องเชื่อฟัง หลอกธรรมชาติไม่ได้...

ฉันต้องแนะนำการวัดมุมที่ไม่ขึ้นอยู่กับความคิดของมนุษย์ พบปะ - เรเดียน!

การวัดเรเดียนของมุม

เรเดียนคืออะไร? นิยามของเรเดียนขึ้นอยู่กับวงกลมอยู่ดี มุม 1 เรเดียน คือมุมที่ตัดส่วนโค้งออกจากวงกลมที่มีความยาว ( แอล) เท่ากับความยาวของรัศมี ( ร). เราดูที่รูปภาพ

มุมเล็ก ๆ นั้นแทบไม่มีเลย ... เราเลื่อนเคอร์เซอร์ไปที่รูปภาพ (หรือแตะรูปภาพบนแท็บเล็ต) และเราเห็นประมาณหนึ่ง เรเดียน. แอล=อาร์

รู้สึกถึงความแตกต่าง?

หนึ่งเรเดียนมีค่ามากกว่าหนึ่งองศามาก กี่ครั้ง?

ลองดูภาพถัดไป ซึ่งฉันวาดครึ่งวงกลม แน่นอนว่ามุมที่ขยายมีขนาด 180 °

และตอนนี้ฉันจะตัดครึ่งวงกลมนี้เป็นเรเดียน! เราเลื่อนเคอร์เซอร์ไปที่รูปภาพและดูว่า 3 เรเดียนที่มีหางพอดีกับ 180 °

ใครเดาได้บ้างว่าผมหางม้านี่คืออะไร!?

ใช่! หางนี้คือ 0.1415926.... สวัสดี Pi เรายังไม่ลืมคุณ!

อันที่จริง มี 3.1415926 ... เรเดียนใน 180 องศา อย่างที่คุณคิด การเขียน 3.1415926 ตลอดเวลา... ไม่สะดวก ดังนั้น แทนที่จะเป็นจำนวนอนันต์นี้ พวกเขาจึงเขียนง่ายๆ เสมอว่า

และนี่คือตัวเลขบนอินเทอร์เน็ต

ไม่สะดวกที่จะเขียน ... ดังนั้นในข้อความฉันเขียนด้วยชื่อ - "Pi" อย่าสับสน...

ตอนนี้ การเขียนความเท่าเทียมกันโดยประมาณมีความหมายค่อนข้างมาก:

หรือความเท่าเทียมกัน:

กำหนดจำนวนองศาในหนึ่งเรเดียน ยังไง? อย่างง่ายดาย! หากมี 180 องศาใน 3.14 เรเดียน 1 เรเดียนจะน้อยกว่า 3.14 เท่า! นั่นคือ เราแบ่งสมการแรก (สูตรนี้เป็นสมการด้วย!) ด้วย 3.14:

อัตราส่วนนี้มีประโยชน์ในการจดจำ มีประมาณ 60° ในหนึ่งเรเดียน ในตรีโกณมิติ คุณมักจะต้องคิดออก ประเมินสถานการณ์ นี่คือสิ่งที่ความรู้ช่วยได้มาก

แต่ทักษะหลักของหัวข้อนี้คือ การแปลงองศาเป็นเรเดียนและในทางกลับกัน

หากกำหนดมุมเป็นเรเดียนด้วยตัวเลข "pi" ทุกอย่างจะง่ายมาก เรารู้ว่า "pi" เรเดียน = 180° ดังนั้นเราจึงแทนที่เรเดียน "Pi" แทน - 180 ° เราได้มุมเป็นองศา เราลดอะไรลดพร้อมคำตอบ ตัวอย่างเช่น เราต้องหาว่าเท่าไหร่ องศาที่มุม "ปี่"/2 เรเดียน? ที่นี่เราเขียน:

หรือการแสดงออกที่แปลกใหม่:

ง่ายใช่มั้ย?

การแปลย้อนกลับนั้นซับซ้อนกว่าเล็กน้อย แต่ไม่มากนัก หากกำหนดมุมเป็นองศา เราต้องหาว่าหนึ่งองศามีหน่วยเป็นเรเดียนเท่าใดแล้วคูณจำนวนนั้นด้วยจำนวนองศา 1° ในเรเดียนคืออะไร?

เราดูสูตรและรู้ว่าถ้า 180° = "Pi" เรเดียน ดังนั้น 1° จะเล็กกว่า 180 เท่า หรืออีกนัยหนึ่ง เราหารสมการ (สูตรก็คือสมการเช่นกัน!) ด้วย 180 ไม่จำเป็นต้องแทนค่า "Pi" เป็น 3.14 ยังไงก็ต้องเขียนด้วยตัวอักษรเสมอ เราได้หนึ่งดีกรีเท่ากับ:

นั่นคือทั้งหมด คูณจำนวนองศาด้วยค่านี้เพื่อให้ได้มุมเป็นเรเดียน ตัวอย่างเช่น:

หรือในทำนองเดียวกัน:

อย่างที่คุณเห็นในการสนทนาแบบสบาย ๆ กับ พูดนอกเรื่องปรากฎว่าเรเดียนนั้นง่ายมาก ใช่และการแปลก็ไม่มีปัญหา ... และ "Pi" เป็นสิ่งที่ทนได้อย่างสมบูรณ์ ... แล้วความสับสนมาจากไหน!?

ฉันจะเปิดเผยความลับ ความจริงก็คือในฟังก์ชั่นตรีโกณมิติมีการเขียนไอคอนองศา เสมอ. ตัวอย่างเช่น sin35° นี่คือไซน์ 35 องศา . และไอคอนเรเดียน ( ยินดี) ไม่ได้เขียน! เขาเป็นนัย ไม่ว่าจะเป็นความเกียจคร้านของนักคณิตศาสตร์หรืออย่างอื่น ... แต่พวกเขาตัดสินใจที่จะไม่เขียน หากไม่มีไอคอนภายในไซน์ - โคแทนเจนต์ มุม - หน่วยเป็นเรเดียน ! ตัวอย่างเช่น cos3 เป็นโคไซน์ของสาม เรเดียน .

สิ่งนี้นำไปสู่ความเข้าใจผิด ... คนเห็น "Pi" และเชื่อว่าเป็น 180 ° ทุกที่ทุกเวลา โดยวิธีการนี้ใช้งานได้ ในขณะนี้ในขณะที่ตัวอย่างเป็นมาตรฐาน แต่พี่เป็นตัวเลข! เลข 3.14 ไม่ใช่องศา! นั่นคือ "Pi" เรเดียน = 180°!

ย้ำอีกครั้ง “ปี่” เป็นตัวเลข! 3.14. อตรรกยะ แต่เป็นตัวเลข เหมือนกับ 5 หรือ 8 ตัวอย่างเช่น คุณสามารถทำตามขั้นตอน "Pi" สามขั้นตอนและอีกเล็กน้อย หรือซื้อขนมเปี๊ยะเป็นกิโล. ถ้าคนขายมีการศึกษาโดนจับได้...

“ปี่” เป็นตัวเลข! อะไร ฉันเข้าใจคุณด้วยวลีนี้ คุณเข้าใจทุกอย่างแล้วหรือยัง? ตกลง. มาตรวจสอบกัน บอกได้ไหมว่าตัวเลขไหนมากกว่ากัน?

หรือน้อยกว่าคืออะไร?

นี่มาจากชุดคำถามที่ไม่ได้มาตรฐานเล็กน้อยซึ่งอาจนำไปสู่อาการมึนงง ...

หากคุณมีอาการมึนงงให้จำคาถา: "Pi" เป็นตัวเลข! 3.14. ในไซน์แรกมีการระบุไว้อย่างชัดเจนว่ามุม - เป็นองศา! ดังนั้นจึงไม่สามารถแทนที่ "Pi" ได้ 180 °! องศา "Pi" ประมาณ 3.14 องศา ดังนั้น เราสามารถเขียน:

ไม่มีสัญลักษณ์ในไซน์ที่สอง ดังนั้นที่นั่น - เรเดียน! ที่นี่การแทนที่ "Pi" ด้วย 180 °จะทำงานได้ค่อนข้างดี แปลงเรเดียนเป็นองศาตามที่เขียนไว้ด้านบน เราได้รับ:

มันยังคงเปรียบเทียบบาปทั้งสองนี้ อะไร. ลืมได้อย่างไร แน่นอนด้วยความช่วยเหลือของวงกลมตรีโกณมิติ! เราวาดวงกลม วาดมุมประมาณ 60° และ 1.05° เราดูไซน์ของมุมเหล่านี้ ในระยะสั้นจะมีการทาสีทุกอย่างในตอนท้ายของหัวข้อเกี่ยวกับวงกลมตรีโกณมิติ บนวงกลม (แม้แต่อันที่คดเคี้ยว!) จะเห็นได้อย่างชัดเจน บาป60°มากกว่าอย่างมีนัยสำคัญ บาป1.05°.

เราจะทำเช่นเดียวกันกับโคไซน์ บนวงกลม เราวาดมุมประมาณ 4 องศาและ 4 เรเดียน(โปรดจำไว้ว่า 1 เรเดียนมีค่าประมาณเท่าใด) วงกลมจะพูดทุกอย่าง! แน่นอน cos4 น้อยกว่า cos4°

มาฝึกการวัดมุมกันเถอะ

แปลงมุมเหล่านี้จากองศาเป็นเรเดียน:

360°; 30°; 90°; 270°; 45°; 0°; 180°; 60°

คุณควรลงเอยด้วยค่าเหล่านี้เป็นเรเดียน (ในลำดับอื่น!)

0

อย่างไรก็ตาม ฉันได้ทำเครื่องหมายคำตอบไว้ในสองบรรทัดเป็นพิเศษ ลองคิดดูว่ามุมในบรรทัดแรกคืออะไร? ไม่ว่าจะเป็นองศาหรือเรเดียน?

ใช่! นี่คือแกนของระบบพิกัด! หากคุณดูที่วงกลมตรีโกณมิติ ด้านการเคลื่อนที่ของมุมจะอยู่ที่ค่าเหล่านี้ พอดีกับเพลา. ค่าเหล่านี้จำเป็นต้องรู้อย่างแดกดัน และฉันสังเกตมุม 0 องศา (0 เรเดียน) โดยไม่เสียเปล่า จากนั้นบางคนไม่พบมุมนี้บนวงกลม แต่อย่างใด ... และดังนั้นพวกเขาจึงสับสนในฟังก์ชันตรีโกณมิติของศูนย์ ... อีกประการหนึ่งคือตำแหน่งของด้านเคลื่อนที่ที่ศูนย์องศาตรงกับตำแหน่งที่ 360° ความบังเอิญบนวงกลมจึงอยู่ใกล้กันตลอดเวลา

ในบรรทัดที่สองยังมีมุมพิเศษ... ได้แก่ 30°, 45° และ 60° และมีอะไรพิเศษเกี่ยวกับพวกเขาบ้าง? ไม่มีอะไรพิเศษ. ข้อแตกต่างเพียงอย่างเดียวระหว่างมุมเหล่านี้กับมุมอื่นๆ คือคุณควรรู้เกี่ยวกับมุมเหล่านี้ ทั้งหมด. และตั้งอยู่ที่ใดและมุมเหล่านี้คืออะไร ฟังก์ชันตรีโกณมิติ. เอาเป็นว่าค่า บาป100°คุณไม่จำเป็นต้องรู้ ก บาป45°- โปรดเมตตา! นี่เป็นความรู้ที่จำเป็นโดยที่ไม่มีอะไรให้ทำในวิชาตรีโกณมิติ ... แต่จะเพิ่มเติมเกี่ยวกับสิ่งนี้ในบทเรียนถัดไป

ถึงตอนนั้นก็ฝึกกันต่อไป แปลงมุมเหล่านี้จากเรเดียนเป็นองศา:

คุณควรได้รับผลลัพธ์เช่นนี้ (เป็นระเบียบ):

210°; 150°; 135°; 120°; 330°; 315°; 300°; 240°; 225°.

เกิดขึ้น? จากนั้นเราสามารถสันนิษฐานได้ว่า การแปลงองศาเป็นเรเดียนและในทางกลับกัน- ไม่ใช่ปัญหาของคุณอีกต่อไป) แต่การแปลมุมเป็นขั้นตอนแรกในการทำความเข้าใจเกี่ยวกับตรีโกณมิติ ในที่เดียวกัน คุณยังต้องทำงานกับไซน์-โคไซน์ ใช่และด้วยแทนเจนต์, โคแทนเจนต์ด้วย ...

ขั้นตอนที่ทรงพลังที่สองคือ ความสามารถในการกำหนดตำแหน่งของมุมใดก็ได้ วงกลมตรีโกณมิติ. ทั้งในหน่วยองศาและเรเดียน เกี่ยวกับทักษะนี้ฉันจะแนะนำคุณเกี่ยวกับตรีโกณมิติทั้งหมดอย่างน่าเบื่อใช่ ... ) หากคุณรู้ทุกอย่าง (หรือคิดว่าคุณรู้ทุกอย่าง) เกี่ยวกับวงกลมตรีโกณมิติและการนับมุมบนวงกลมตรีโกณมิติ คุณสามารถตรวจสอบได้ ออก. แก้ปัญหาง่ายๆ เหล่านี้:

1. มุมอยู่ในไตรมาสใด:

45°, 175°, 355°, 91°, 355° ?

อย่างง่ายดาย? เรายังคง:

2. มุมตกในไตรมาสใด:

402°, 535°, 3000°, -45°, -325°, -3000°?

ยังไม่มีปัญหา? ดูแล้ว...)

3. คุณสามารถวางมุมในไตรมาส:

คุณสามารถ? คุณให้ .. )

4. แกนใดที่มุมจะตกลงบน:

และมุม:

มันง่ายเกินไปไหม? หืม...)

5. มุมอยู่ในไตรมาสใด:

แล้วมันได้ผล!? อืม ไม่รู้จริงๆ...)

6. กำหนดไตรมาสที่มุมตกอยู่ใน:

1, 2, 3 และ 20 เรเดียน

ฉันจะให้คำตอบเฉพาะคำถามสุดท้าย (ค่อนข้างยุ่งยากเล็กน้อย) ของงานสุดท้าย มุม 20 เรเดียนจะตกลงในไตรมาสแรก

ฉันจะไม่ให้คำตอบที่เหลือเพราะความโลภ) แค่ถ้าคุณ ไม่ได้ตัดสินใจบางสิ่งบางอย่าง สงสัยเป็นผลให้หรือใช้กับงานหมายเลข 4 มากกว่า 10 วินาทีคุณมีทิศทางไม่ดีในวงกลม นี่จะเป็นปัญหาของคุณในวิชาตรีโกณมิติทั้งหมด เป็นการดีกว่าที่จะกำจัดมัน (ปัญหา ไม่ใช่ตรีโกณมิติ!) ทันที สามารถทำได้ในหัวข้อ: การปฏิบัติงานกับวงกลมตรีโกณมิติในหัวข้อ 555

มันบอกวิธีแก้ปัญหาดังกล่าวอย่างง่ายและถูกต้อง แน่นอนว่างานเหล่านี้ได้รับการแก้ไขแล้ว และงานที่สี่ก็แก้ไขได้ใน 10 วินาที ใช่ตัดสินใจว่าใครสามารถทำได้!

หากคุณแน่ใจในคำตอบของคุณอย่างแน่นอน และคุณไม่สนใจวิธีการทำงานกับเรเดียนที่ง่ายและไร้ปัญหา คุณไม่สามารถเยี่ยมชม 555 ฉันไม่ยืนยัน)

ความเข้าใจที่ดี- เพียงพอ เหตุผลที่ดีเพื่อไปต่อ!)

ถ้าคุณชอบเว็บไซต์นี้...

อย่างไรก็ตาม ฉันมีไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามไซต์สำหรับคุณ)

คุณสามารถฝึกฝนการแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการตรวจสอบทันที เรียนรู้ - ด้วยความสนใจ!)

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์