วิธีคูณเลขหลายหลักแบบต่างๆ วิธีคูณจำนวนหลายหลัก

MOU "โรงเรียนมัธยมคุรอฟสกายา หมายเลข 6"

บทคัดย่อวิชาคณิตศาสตร์ในหัวข้อ:

« วิธีคูณที่ไม่ธรรมดา».

จบโดยนักเรียนชั้น 6 "b"

เครสต์นิคอฟ วาซิลี

หัวหน้างาน:

Smirnova Tatyana Vladimirovna

บทนำ…………………………………………………………………………2

ส่วนสำคัญ. วิธีการคูณที่ผิดปกติ…………………………3

2.1. ประวัติเล็กน้อย………………………………………………………………..3

2.2. การคูณด้วยนิ้ว……………………………4

2.3. คูณด้วย 9………………………………………………………………………………5

2.4. วิธีคูณแบบอินเดีย……………………………………………….6

2.5. การคูณด้วยวิธีปราสาทน้อย……………………7

2.6. การคูณด้วยวิธี “ริษยา” ………………………………………………8

2.7. วิธีคูณแบบชาวนา……………………………………………..9

2.8 ทางใหม่…………………………………………………………………..10

สรุป………………………………………………………………………… 11

เอกสารอ้างอิง…………………………………………………………….1 2

ฉัน. บทนำ.

เป็นไปไม่ได้ที่คน ๆ หนึ่งจะทำโดยไม่ต้องคำนวณในชีวิตประจำวัน ดังนั้นในบทเรียนคณิตศาสตร์ ก่อนอื่นเราได้รับการสอนให้ดำเนินการกับตัวเลขนั่นคือการนับ เราคูณ หาร บวกลบด้วยวิธีปกติสำหรับทุกคนที่เรียนที่โรงเรียน

เมื่อฉันบังเอิญเจอหนังสือของ S. N. Olekhnika, Yu. V. Nesterenko และ M. K. Potapov "ปัญหาความบันเทิงเก่า" เมื่ออ่านหนังสือเล่มนี้จบ ความสนใจของฉันถูกดึงไปที่หน้าที่ชื่อว่า "การคูณด้วยนิ้ว" ปรากฎว่าคุณสามารถทวีคูณได้ไม่เท่าที่พวกเขาเสนอให้เราในตำราคณิตศาสตร์ ฉันสงสัยว่ามีวิธีอื่นในการคำนวณหรือไม่ ท้ายที่สุดความสามารถในการคำนวณอย่างรวดเร็วนั้นน่าประหลาดใจจริงๆ

การใช้เทคโนโลยีคอมพิวเตอร์สมัยใหม่อย่างต่อเนื่องนำไปสู่ความจริงที่ว่านักเรียนพบว่าเป็นการยากที่จะทำการคำนวณใด ๆ โดยไม่ต้องมีตารางหรือเครื่องคำนวณ ความรู้เกี่ยวกับเทคนิคการคำนวณอย่างง่ายทำให้ไม่เพียงสามารถคำนวณอย่างง่ายในใจได้อย่างรวดเร็วเท่านั้น แต่ยังควบคุม ประเมิน ค้นหา และแก้ไขข้อผิดพลาดอันเป็นผลมาจากการคำนวณด้วยเครื่องจักร นอกจากนี้การพัฒนาทักษะการคำนวณพัฒนาหน่วยความจำเพิ่มระดับของวัฒนธรรมการคิดทางคณิตศาสตร์ช่วยในการดูดซึมวิชาของวงจรทางกายภาพและคณิตศาสตร์อย่างเต็มที่

วัตถุประสงค์:

โชว์ไม่ธรรมดาวิธีการคูณ

งาน:

ค้นหาให้ได้มากที่สุดวิธีการคำนวณที่ผิดปกติ

เรียนรู้ที่จะนำไปใช้

เลือกสิ่งที่น่าสนใจที่สุดหรือง่ายกว่าสำหรับตัวคุณเองที่นำเสนอที่โรงเรียนและใช้เมื่อนับ

ครั้งที่สอง. ส่วนสำคัญ. วิธีการคูณที่ผิดปกติ

2.1. ประวัติเล็กน้อย

วิธีการคำนวณที่เราใช้ตอนนี้ไม่ได้ง่ายและสะดวกเสมอไป ในสมัยก่อนใช้วิธีที่ยุ่งยากและช้ากว่า และถ้าเด็กนักเรียนในศตวรรษที่ 21 สามารถย้อนเวลากลับไปได้ 5 ศตวรรษ เขาจะทำให้บรรพบุรุษของเราประทับใจด้วยความเร็วและความแม่นยำในการคำนวณของเขา ข่าวลือเกี่ยวกับเขาจะแพร่กระจายไปทั่วโรงเรียนและอารามโดยรอบ กลบรัศมีของเคาน์เตอร์ที่เก่งที่สุดในยุคนั้น และผู้คนจะมาจากทุกสารทิศเพื่อศึกษากับปรมาจารย์ผู้ยิ่งใหญ่คนใหม่

ในหนังสือของ V. Bellyustin“ ผู้คนค่อยๆมาถึงเลขคณิตจริงได้อย่างไร” มีการสรุปวิธีการคูณ 27 วิธีและผู้เขียนตั้งข้อสังเกตว่า:“ เป็นไปได้มากที่จะมีวิธีการอื่นซ่อนอยู่ในซอกตู้หนังสือซึ่งกระจัดกระจายอยู่มากมาย คอลเลกชันที่เขียนด้วยลายมือเป็นหลัก”

และวิธีการคูณเหล่านี้ - "หมากรุกหรืออวัยวะ", "การดัด", "ข้าม", "ขัดแตะ", "กลับไปด้านหน้า", "เพชร" และอื่น ๆ แข่งขันกันและหลอมรวมด้วยความยากลำบากอย่างยิ่ง

ลองดูวิธีการคูณที่น่าสนใจและง่ายที่สุด

2.2. การคูณด้วยนิ้ว

วิธีการคูณนิ้วของรัสเซียโบราณเป็นหนึ่งในวิธีการทั่วไปที่พ่อค้าชาวรัสเซียใช้มานานหลายศตวรรษ พวกเขาเรียนรู้ที่จะคูณตัวเลขหลักเดียวจาก 6 ถึง 9 บนนิ้ว ในขณะเดียวกันก็เพียงพอที่จะฝึกฝนทักษะเริ่มต้นของการนับนิ้วใน "หนึ่ง" "คู่" "สามเท่า" "สี่" " ห้า” และ “สิบ” นิ้วที่นี่ทำหน้าที่เป็นอุปกรณ์คอมพิวเตอร์เสริม

ในการทำเช่นนี้ ในมือข้างหนึ่งพวกเขายื่นนิ้วออกไปให้มากที่สุดเท่าที่ปัจจัยแรกจะเกินเลข 5 และในวินาทีพวกเขาก็ทำเช่นเดียวกันกับปัจจัยที่สอง นิ้วที่เหลืองอ จากนั้นนำจำนวน (ทั้งหมด) ของนิ้วที่เหยียดออกแล้วคูณด้วย 10 จากนั้นจึงคูณตัวเลขที่แสดงจำนวนนิ้วที่งอมือและผลลัพธ์จะถูกรวมเข้าด้วยกัน

ตัวอย่างเช่น ลองคูณ 7 ด้วย 8 ในตัวอย่างที่พิจารณา นิ้ว 2 และ 3 จะงอ หากเราเพิ่มจำนวนนิ้วที่งอ (2+3=5) และคูณจำนวนนิ้วที่ไม่งอ (2 3=6) เราจะได้จำนวนสิบและหน่วยของผลิตภัณฑ์ที่ต้องการตามลำดับ 56 . คุณจึงสามารถคำนวณผลคูณของตัวเลขหลักเดียวใดๆ ที่มากกว่า 5 ได้

2.3. คูณด้วย 9

การคูณสำหรับหมายเลข 9- 9 1, 9 2 ... 9 10 - ง่ายกว่าที่จะจางหายไปจากหน่วยความจำและยากต่อการคำนวณใหม่ด้วยตนเองโดยการบวก แต่สำหรับหมายเลข 9 นั้นการคูณนั้นทำซ้ำได้ง่าย "บนนิ้ว" กางนิ้วออกทั้งสองข้างแล้วหันฝ่ามือออกจากตัว กำหนดตัวเลขจาก 1 ถึง 10 ให้กับนิ้วโดยเริ่มจากนิ้วก้อยของมือซ้ายและลงท้ายด้วยนิ้วก้อยของมือขวา (แสดงในรูป)

สมมติว่าเราต้องการคูณ 9 ด้วย 6 เรางอนิ้วด้วยตัวเลขเท่ากับจำนวนที่เราจะคูณเก้า ในตัวอย่างของเรา คุณต้องงอนิ้วด้วยหมายเลข 6 จำนวนนิ้วทางซ้ายของนิ้วที่งอแสดงให้เราเห็นจำนวนสิบในคำตอบ จำนวนนิ้วทางขวา - จำนวนหน่วย ทางซ้ายเรามี 5 นิ้วไม่งอทางขวา - 4 นิ้ว ดังนั้น 9 6=54 รูปด้านล่างแสดงรายละเอียดหลักการทั้งหมดของ "การคำนวณ"

อีกตัวอย่างหนึ่ง: คุณต้องคำนวณ 9 8=? ระหว่างทาง เราจะบอกว่านิ้วอาจไม่จำเป็นต้องทำหน้าที่เป็น "เครื่องคำนวณ" ยกตัวอย่างเช่น 10 เซลล์ในสมุดบันทึก เราข้ามเซลล์ที่ 8 ออกไป มี 7 เซลล์ทางซ้าย 2 เซลล์ทางขวา ดังนั้น 9 8=72. ทุกอย่างง่ายมาก

7 เซลล์ 2 เซลล์

2.4. วิธีคูณแบบอินเดีย.

การมีส่วนร่วมที่มีค่าที่สุดในคลังความรู้ทางคณิตศาสตร์เกิดขึ้นในอินเดีย ชาวฮินดูเสนอวิธีที่เราใช้เขียนตัวเลขโดยใช้เครื่องหมายสิบอย่าง: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0

พื้นฐานของวิธีนี้คือแนวคิดที่ว่าตัวเลขเดียวกันหมายถึงหน่วย สิบ ร้อยหรือพัน ขึ้นอยู่กับตำแหน่งที่ตัวเลขนี้ใช้ สถานที่ที่ไม่มีตัวเลขใด ๆ จะถูกกำหนดโดยศูนย์ที่กำหนดให้กับตัวเลข

ชาวอินเดียคิดดีแล้ว พวกเขาคิดวิธีง่ายๆ ในการคูณ พวกเขาทำการคูณโดยเริ่มจากลำดับสูงสุด และเขียนผลิตภัณฑ์ที่ไม่สมบูรณ์เหนือตัวคูณทีละนิด ในเวลาเดียวกัน ตัวเลขอาวุโสของผลิตภัณฑ์ทั้งหมดจะมองเห็นได้ทันที และนอกจากนี้ การละเว้นตัวเลขใดๆ ก็ไม่ได้รับการยกเว้น ยังไม่ทราบเครื่องหมายคูณ ดังนั้นพวกเขาจึงทิ้งระยะห่างระหว่างตัวประกอบไว้เล็กน้อย ตัวอย่างเช่น ลองคูณด้วยวิธี 537 ด้วย 6:

(5 ∙ 6 =30) 30

(300 + 3 ∙ 6 = 318) 318

(3180 +7 ∙ 6 = 3222) 3222

2.5 . วิธีคูณ"ปราสาทน้อย".

ตอนนี้กำลังเรียนการคูณจำนวนในชั้นประถมศึกษาปีที่ 1 ของโรงเรียน แต่ในยุคกลาง มีเพียงไม่กี่คนที่เชี่ยวชาญศิลปะการคูณ ผู้ดีที่หายากสามารถโอ้อวดว่ารู้สูตรคูณแม้ว่าเขาจะสำเร็จการศึกษาจากมหาวิทยาลัยในยุโรปก็ตาม

กว่าพันปีของการพัฒนาคณิตศาสตร์ มีการคิดค้นวิธีการคูณจำนวนมากมาย Luca Pacioli นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลีในบทความของเขาเรื่อง "ผลรวมของความรู้ในเลขคณิต อัตราส่วน และสัดส่วน" (1494) ได้ให้วิธีการคูณที่แตกต่างกันแปดวิธี คนแรกเรียกว่า "Little Castle" และอย่างที่สองเรียกว่า "Jealousy or Lattice Multiplication"

ข้อดีของวิธีการคูณแบบ "Little Castle" คือ หลักจากหลักสูงสุดจะถูกกำหนดตั้งแต่ต้น และนี่อาจมีความสำคัญหากคุณต้องการประมาณค่าอย่างรวดเร็ว

ตัวเลขของตัวเลขบนเริ่มต้นจากตัวเลขที่มีนัยสำคัญที่สุดจะถูกคูณด้วยตัวเลขที่ต่ำกว่าและเขียนในคอลัมน์โดยบวกด้วยจำนวนศูนย์ที่ต้องการ จากนั้นผลลัพธ์จะถูกรวมเข้าด้วยกัน

2.6. การคูณเลขวิธีหึงหวง.

วิธีที่สองเรียกว่า "ความหึงหวง" หรือ "การคูณตาข่าย"

ขั้นแรก ให้วาดสี่เหลี่ยมผืนผ้า แบ่งเป็นช่องสี่เหลี่ยม และขนาดของด้านข้างของสี่เหลี่ยมผืนผ้าจะสอดคล้องกับจำนวนตำแหน่งทศนิยมของตัวคูณและตัวคูณ จากนั้นเซลล์สี่เหลี่ยมจะถูกแบ่งตามแนวทแยงมุมและ "... มันกลายเป็นภาพที่ดูเหมือนบานเกล็ดขัดแตะ มู่ลี่" Pacioli เขียน “บานประตูหน้าต่างดังกล่าวถูกแขวนไว้บนหน้าต่างของบ้านในเมืองเวนิส เพื่อป้องกันไม่ให้ผู้สัญจรผ่านไปมามองเห็นสตรีและแม่ชีที่นั่งอยู่ที่หน้าต่าง”

ลองคูณ 347 ด้วย 29 ด้วยวิธีนี้ ลองวาดตาราง เขียนหมายเลข 347 ด้านบน และหมายเลข 29 ทางด้านขวา

ในแต่ละบรรทัด เราเขียนผลคูณของตัวเลขเหนือเซลล์นี้และทางขวาของเซลล์ ขณะที่จำนวนหลักสิบของผลิตภัณฑ์เขียนไว้เหนือเครื่องหมายทับ และจำนวนหน่วยอยู่ด้านล่าง ตอนนี้เพิ่มจำนวนในแต่ละเครื่องหมายทับโดยดำเนินการนี้จากขวาไปซ้าย หากจำนวนน้อยกว่า 10 เราจะเขียนไว้ใต้หมายเลขด้านล่างของวงดนตรี หากกลายเป็นมากกว่า 10 เราจะเขียนเฉพาะจำนวนหน่วยของผลรวมและเพิ่มจำนวนหลักสิบเป็นจำนวนถัดไป เป็นผลให้เราได้ผลิตภัณฑ์ที่ต้องการ 10063

2.7. ถึงวิธีการคูณแบบชนบท.

ในความคิดของฉันวิธีการคูณแบบ "พื้นเมือง" และง่ายที่สุดคือวิธีที่ชาวนารัสเซียใช้ เทคนิคนี้โดยทั่วไปไม่จำเป็นต้องมีความรู้เกี่ยวกับสูตรคูณมากกว่าเลข 2 สาระสำคัญคือการคูณเลขสองตัวใดๆ ลงไปเป็นชุดของการหารเลขหนึ่งต่อครึ่งในขณะที่เพิ่มเลขอีกเลขหนึ่งเป็นสองเท่า แบ่งครึ่งไปเรื่อย ๆ จนกว่าผลหารจะเป็น 1 ในขณะที่เพิ่มจำนวนอีกสองเท่าขนานกัน จำนวนสองเท่าสุดท้ายให้ผลลัพธ์ที่ต้องการ

ในกรณีที่เป็นเลขคี่ต้องทิ้งหน่วยและแบ่งครึ่งที่เหลือ แต่ในทางกลับกัน จำนวนสุดท้ายของคอลัมน์ทางขวา จำเป็นต้องบวกเลขทั้งหมดของคอลัมน์นี้ที่ตรงข้ามกับเลขคี่ของคอลัมน์ทางซ้าย: ผลรวมจะเป็นผลคูณที่ต้องการ

ผลคูณของจำนวนที่ตรงกันทุกคู่จะเหมือนกัน ดังนั้น

37 ∙ 32 = 1184 ∙ 1 = 1184

ในกรณีที่เลขใดเลขหนึ่งเป็นเลขคี่หรือเลขคี่ทั้งสองเลข ให้ดำเนินการดังนี้

384 ∙ 1 = 384

24 ∙ 17 = 24∙(16+1)=24 ∙ 16 + 24 = 384 + 24 = 408

2.8 . วิธีใหม่ในการคูณ

น่าสนใจวิธีการคูณแบบใหม่ที่เพิ่งมีรายงาน Vasily Okoneshnikov ผู้ประดิษฐ์ระบบการนับทางจิตใหม่อ้างว่าบุคคลสามารถจดจำข้อมูลจำนวนมากได้ สิ่งสำคัญคือวิธีการจัดเรียงข้อมูลนี้ ตามที่นักวิทยาศาสตร์เองระบบทศนิยมเก้าหลักเป็นข้อได้เปรียบที่สุดในเรื่องนี้ - ข้อมูลทั้งหมดถูกวางไว้ในเซลล์เก้าเซลล์ที่จัดเรียงเหมือนปุ่มบนเครื่องคิดเลข

มันง่ายมากที่จะนับตามตารางดังกล่าว ตัวอย่างเช่น ลองคูณจำนวน 15647 ด้วย 5 ในส่วนของตารางที่ตรงกับห้า เราเลือกตัวเลขที่สอดคล้องกับหลักของตัวเลขตามลำดับ: หนึ่ง ห้า หก สี่ และเจ็ด เราได้รับ: 05 25 30 20 35

ตัวเลขด้านซ้าย (ในตัวอย่างของเราคือศูนย์) ไม่เปลี่ยนแปลง และตัวเลขต่อไปนี้จะถูกเพิ่มเป็นคู่: ห้ากับสอง, ห้ากับสาม, ศูนย์กับสอง, ศูนย์กับสาม ตัวเลขสุดท้ายจะไม่เปลี่ยนแปลงเช่นกัน

เป็นผลให้เราได้รับ: 078235 หมายเลข 78235 เป็นผลมาจากการคูณ

หากเมื่อบวกเลขสองหลักแล้วได้ตัวเลขที่เกินเก้า หลักแรกจะถูกเพิ่มไปยังหลักก่อนหน้าของผลลัพธ์ และหลักที่สองจะเขียนแทน "มัน"

สาม. บทสรุป.

จากวิธีการนับที่ผิดปกติทั้งหมดที่ฉันพบ วิธี "การคูณแบบขัดแตะหรือการอิจฉา" ดูเหมือนจะน่าสนใจที่สุด ฉันแสดงให้เพื่อนร่วมชั้นดูและพวกเขาก็ชอบมันมากเช่นกัน

วิธีที่ง่ายที่สุดสำหรับฉันดูเหมือนจะเป็นวิธี "เสแสร้งและแยกส่วน" ที่ชาวนารัสเซียใช้ ฉันใช้มันเมื่อคูณตัวเลขที่ไม่มากเกินไป (สะดวกมากที่จะใช้เมื่อคูณตัวเลขสองหลัก)

ฉันสนใจวิธีการคูณแบบใหม่ เพราะมันช่วยให้คุณ "เปลี่ยน" จำนวนมหาศาลในใจของคุณได้

ฉันคิดว่าวิธีการคูณด้วยคอลัมน์ของเรานั้นไม่สมบูรณ์แบบเช่นกัน และเราสามารถหาวิธีที่เร็วและน่าเชื่อถือกว่านี้ได้

วรรณกรรม.

Depman I. "เรื่องราวเกี่ยวกับคณิตศาสตร์". - เลนินกราด: การศึกษา 2497 - 140 หน้า

Korneev A.A. ปรากฏการณ์ของการคูณรัสเซีย เรื่องราว. http://numbernautics.ru/

Olekhnik S. N. , Nesterenko Yu. V. , Potapov M. K. "ปัญหาความบันเทิงเก่า" – ม.: วิทยาศาสตร์. วรรณกรรมกายภาพและคณิตศาสตร์ฉบับหลัก พ.ศ. 2528 - 160 น.

เปเรลมัน ยา.ไอ. บัญชีด่วน. วิธีนับจิตง่ายๆ 30 วิธี L. , 1941 - 12 p.

เปเรลมัน ยา.ไอ. เลขคณิตที่สนุกสนาน M.Rusanova, 1994–205p.

สารานุกรม “ฉันรู้จักโลก คณิตศาสตร์". – อ.: แอสเทรล เออร์มัค, 2547

สารานุกรมสำหรับเด็ก. "คณิตศาสตร์". - ม.: Avanta +, 2546. - 688 น.

เครสต์นิคอฟ วาซิลี

หัวข้อของงาน "วิธีการคำนวณที่ผิดปกติ" นั้นน่าสนใจและมีความเกี่ยวข้องเนื่องจากนักเรียนดำเนินการทางคณิตศาสตร์กับตัวเลขอย่างต่อเนื่องและความสามารถในการคำนวณอย่างรวดเร็วจะเพิ่มความสำเร็จทางวิชาการและพัฒนาความยืดหยุ่นทางจิตใจ

Vasily สามารถระบุเหตุผลในการอุทธรณ์ในหัวข้อนี้ได้อย่างชัดเจนกำหนดเป้าหมายและวัตถุประสงค์ของงานได้อย่างถูกต้อง หลังจากศึกษาแหล่งข้อมูลต่างๆ ฉันพบวิธีการคูณที่น่าสนใจและไม่ธรรมดาและเรียนรู้วิธีนำไปใช้จริง นักเรียนพิจารณาข้อดีข้อเสียของแต่ละวิธีแล้วสรุปให้ถูกต้อง ความน่าเชื่อถือของข้อสรุปได้รับการยืนยันโดยวิธีการคูณแบบใหม่ ในเวลาเดียวกันนักเรียนใช้คำศัพท์พิเศษและความรู้นอกหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียนอย่างชำนาญ หัวข้อของงานสอดคล้องกับเนื้อหา สื่อนำเสนอ ชัดเจน เข้าถึงได้

ผลงานมีความสำคัญในทางปฏิบัติและอาจเป็นที่สนใจของผู้คนในวงกว้าง

ดาวน์โหลด:

แสดงตัวอย่าง:

MOU "โรงเรียนมัธยมคุรอฟสกายา หมายเลข 6"

บทคัดย่อวิชาคณิตศาสตร์ในหัวข้อ:

"วิธีการคูณที่ผิดปกติ"

จบโดยนักเรียนชั้น 6 "b"

เครสต์นิคอฟ วาซิลี

หัวหน้างาน:

Smirnova Tatyana Vladimirovna

2554

บทนำ…………………………………….....2
ส่วนสำคัญ. วิธีการคูณที่ผิดปกติ…………………………...3

2.1. ประวัติเล็กน้อย………………………………………………………………..3

2.2. การคูณด้วยนิ้ว…………………………...4

2.3. คูณด้วย 9………………………………………………………………………………5

2.4. วิธีคูณแบบอินเดีย……………………………………………….6

2.5. การคูณด้วยวิธีปราสาทน้อย……………………7

2.6. การคูณด้วยวิธี “อิจฉาริษยา”…………………………………………………8

2.7. วิธีคูณแบบชาวนา……………………………………………….....9

2.8 ทางใหม่…………………………………………………………………..10

สรุป……………………………………………………………………...11
เอกสารอ้างอิง…………………………………………………………….12

I. บทนำ

วัตถุประสงค์:

แสดงวิธีการคูณที่ผิดปกติ

งาน:

ค้นหาวิธีการคำนวณที่ผิดปกติให้ได้มากที่สุด
เรียนรู้ที่จะนำไปใช้
เลือกสิ่งที่น่าสนใจที่สุดหรือง่ายกว่าสำหรับตัวคุณเองที่โรงเรียน แล้วใช้มันเมื่อนับ

ครั้งที่สอง ส่วนสำคัญ. วิธีการคูณที่ผิดปกติ

2.1. ประวัติเล็กน้อย

และเทคนิคการคูณเหล่านี้ - "หมากรุกหรือออร์แกน", "การโค้งงอ", "ข้าม", "ขัดแตะ", "กลับไปด้านหน้า", "เพชร" และอื่น ๆ แข่งขันกันและหลอมรวมด้วยความยากลำบากอย่างยิ่ง

ลองดูวิธีการคูณที่น่าสนใจและง่ายที่สุด

2.2. การคูณด้วยนิ้ว

2.3. คูณด้วย 9

การคูณสำหรับหมายเลข 9- 9 1, 9 2 ... 9 10 - ง่ายกว่าที่จะจางหายไปจากหน่วยความจำและยากต่อการคำนวณใหม่ด้วยตนเองโดยการบวก แต่สำหรับหมายเลข 9 นั้นการคูณนั้นทำซ้ำได้ง่าย "บนนิ้ว" กางนิ้วทั้งสองมือแล้วหันฝ่ามือออกจากตัว กำหนดตัวเลขจาก 1 ถึง 10 ให้กับนิ้วโดยเริ่มจากนิ้วก้อยของมือซ้ายและลงท้ายด้วยนิ้วก้อยของมือขวา (แสดงในรูป)

สมมติว่าเราต้องการคูณ 9 ด้วย 6 เรางอนิ้วด้วยตัวเลขเท่ากับจำนวนที่เราจะคูณเก้า ในตัวอย่างของเรา คุณต้องงอนิ้วด้วยหมายเลข 6 จำนวนนิ้วทางซ้ายของนิ้วที่งอแสดงให้เราเห็นจำนวนสิบในคำตอบ จำนวนนิ้วทางขวา - จำนวนนิ้ว ทางซ้ายเรามี 5 นิ้วไม่งอทางขวา - 4 นิ้ว ดังนั้น 9 6=54 รูปด้านล่างแสดงหลักการ "การคำนวณ" ทั้งหมดโดยละเอียด

7 เซลล์ 2 เซลล์

2.4. วิธีคูณแบบอินเดีย

537 6

(5 ∙ 6 =30) 30

537 6

(300 + 3 ∙ 6 = 318) 318

537 6

(3180 +7 ∙ 6 = 3222) 3222

2.5. การคูณด้วยวิธี "LITTLE CASTLE"

ตอนนี้กำลังเรียนการคูณจำนวนในชั้นประถมศึกษาปีที่ 1 ของโรงเรียน แต่ในยุคกลาง มีเพียงไม่กี่คนที่เชี่ยวชาญศิลปะการคูณ ผู้ดีที่หายากสามารถโอ้อวดว่ารู้สูตรคูณแม้ว่าเขาจะจบการศึกษาจากมหาวิทยาลัยในยุโรปก็ตาม

กว่าพันปีของการพัฒนาคณิตศาสตร์ มีการคิดค้นวิธีการคูณจำนวนมากมาย Luca Pacioli นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลีในบทความเรื่อง "ผลรวมของความรู้ในเลขคณิต อัตราส่วน และสัดส่วน" (1494) ได้ให้วิธีการคูณที่แตกต่างกันแปดวิธี คนแรกเรียกว่า "Little Castle" และอย่างที่สองเรียกว่า "Jealousy or Lattice Multiplication"

2.6. การคูณเลขด้วยวิธี "ริษยา"

วิธีที่สองเรียกว่า "ความหึงหวง" หรือ "การคูณตาข่าย"

3 4 7

10 0 6 3

2.7. วิธีคูณแบบชาวนา.

ในความคิดของฉันวิธีการคูณแบบ "พื้นเมือง" และง่ายที่สุดคือวิธีที่ชาวนารัสเซียใช้ เทคนิคนี้โดยทั่วไปไม่จำเป็นต้องมีความรู้เกี่ยวกับสูตรคูณมากกว่าเลข 2 สาระสำคัญคือการคูณเลขสองตัวใดๆ ลงไปเป็นอนุกรมของการหารเลขหนึ่งต่อครึ่งในขณะที่เพิ่มเลขอีกเลขหนึ่งเป็นสองเท่า แบ่งครึ่งไปเรื่อย ๆ จนกว่าผลหารจะเป็น 1 ในขณะที่เพิ่มจำนวนอีกสองเท่าขนานกัน จำนวนสองเท่าสุดท้ายให้ผลลัพธ์ที่ต้องการ

37……….32

74……….16

148……….8

296……….4

592……….2

1184……….1

ผลคูณของจำนวนที่ตรงกันทุกคู่จะเหมือนกัน ดังนั้น

37 ∙ 32 = 1184 ∙ 1 = 1184

24 ∙ 17

24 ∙ 16 =

48 ∙ 8 =

96 ∙ 4 =

192 ∙ 2 =

384 ∙ 1 = 384

24 ∙ 17 = 24∙(16+1)=24 ∙ 16 + 24 = 384 + 24 = 408

2.8. วิธีใหม่ในการคูณ

มีการรายงานวิธีการคูณแบบใหม่ที่น่าสนใจ Vasily Okoneshnikov ผู้ประดิษฐ์ระบบการนับทางจิตใหม่อ้างว่าบุคคลสามารถจดจำข้อมูลจำนวนมากได้ สิ่งสำคัญคือวิธีการจัดเรียงข้อมูลนี้ ตามที่นักวิทยาศาสตร์เองระบบทศนิยมเก้าหลักเป็นข้อได้เปรียบที่สุดในเรื่องนี้ - ข้อมูลทั้งหมดถูกวางไว้ในเซลล์เก้าเซลล์ที่จัดเรียงเหมือนปุ่มบนเครื่องคิดเลข

ตัวเลขด้านซ้าย (ในตัวอย่างของเราคือศูนย์) ไม่เปลี่ยนแปลงและตัวเลขต่อไปนี้จะถูกเพิ่มเป็นคู่: ห้ากับสอง, ห้ากับสาม, ศูนย์กับสอง, ศูนย์กับสาม ตัวเลขสุดท้ายจะไม่เปลี่ยนแปลงเช่นกัน

เป็นผลให้เราได้รับ: 078235 หมายเลข 78235 เป็นผลมาจากการคูณ

สาม. บทสรุป.

วรรณกรรม.

Depman I. "เรื่องราวเกี่ยวกับคณิตศาสตร์". - เลนินกราด: การศึกษา 2497 - 140 หน้า
Korneev A.A. ปรากฏการณ์ของการคูณรัสเซีย เรื่องราว. http://numbernautics.ru/
Olekhnik S. N. , Nesterenko Yu. V. , Potapov M. K. "ปัญหาความบันเทิงเก่า" – ม.: วิทยาศาสตร์. วรรณกรรมกายภาพและคณิตศาสตร์ฉบับหลัก พ.ศ. 2528 - 160 น.
เปเรลมัน ยา.ไอ. บัญชีด่วน. วิธีนับจิตง่ายๆ 30 วิธี L. , 1941 - 12 p.
เปเรลมัน ยา.ไอ. เลขคณิตที่สนุกสนาน M.Rusanova, 1994--205p. https://accounts.google.com
คำบรรยายสไลด์:
งานนี้ทำโดย Vasily Krestnikov นักเรียนชั้น 6 "B" หัวหน้า: Smirnova Tatyana Vladimirovna วิธีการคูณที่ผิดปกติ
วัตถุประสงค์ของงาน: เพื่อแสดงวิธีการคูณที่ผิดปกติ งาน: ค้นหาวิธีการคูณที่ผิดปกติ เรียนรู้ที่จะนำไปใช้ เลือกสิ่งที่น่าสนใจที่สุดหรือง่ายกว่าสำหรับตัวคุณเองและใช้เมื่อนับ
การคูณด้วยนิ้ว
คูณด้วย 9
ลูกา ปาซิโอลี นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี เกิดเมื่อปี ค.ศ. 1445
การคูณด้วยวิธี "Little Castle"
การคูณด้วยวิธี "อิจฉาริษยา"
การคูณด้วยวิธีแลตทิซ 3 4 7 2 9 6 8 1 4 3 6 6 3 7 2 3 6 0 10 347 29=10063
วิถีชาวนารัสเซีย 37 32 37……….32 74……….16 148……….8 296……….4 592……….2 1184……….1 37 32=1184
ขอขอบคุณสำหรับความสนใจของคุณ

วิธีคูณสอง:

ในมาตุภูมิชาวนาไม่ได้ใช้ตารางการคูณ แต่ถือว่าผลคูณของตัวเลขหลายหลักสมบูรณ์แบบ

ในมาตุภูมิตั้งแต่สมัยโบราณจนถึงเกือบที่สิบแปดหลายศตวรรษที่คนรัสเซียทำการคำนวณโดยไม่ต้องคูณและแผนก. พวกเขาใช้การดำเนินการทางคณิตศาสตร์เพียงสองครั้งเท่านั้น - การบวก และการลบ ยิ่งกว่านั้นสิ่งที่เรียกว่า "ทวีคูณ" และ "ทวีคูณ" แต่ความต้องการทางการค้าและกิจกรรมอื่น ๆ ที่จำเป็นต่อการผลิตการคูณจำนวนที่มากพอ ทั้งเลขสองหลักและสามหลักสำหรับสิ่งนี้ มีวิธีพิเศษในการคูณจำนวนดังกล่าว

สาระสำคัญของวิธีการคูณรัสเซียแบบเก่าก็คือการคูณของตัวเลขสองตัวใด ๆ จะลดลงเป็นชุดของการหารติดต่อกันหนึ่งจำนวนในครึ่ง (แฉกตามลำดับ) ในขณะเดียวกันเพิ่มขึ้นอีกเป็นทวีคูณ

ตัวอย่างเช่น ถ้าในผลคูณ 24 ∙ 5 ตัวคูณ 24 จะลดลงสองครั้ง (สองเท่า) และตัวคูณเป็นสองเท่า (สองเท่า) เช่น เอาผลิตภัณฑ์ 12 ∙ 10 แล้วผลิตภัณฑ์ยังคงอยู่เท่ากับจำนวน 120 นี้บรรพบุรุษที่อยู่ห่างไกลของเราสังเกตเห็นคุณสมบัติของงานและเรียนรู้ใช้มันเมื่อคูณตัวเลขกับรัสเซียเก่าพิเศษของคุณวิธีคูณ

ลองคูณด้วยวิธีนี้ 32 ∙ 17 ..
32 ∙ 17
16 ∙ 34
8 ∙ 68
4 ∙ 136
2 ∙ 272
1 ∙ 544 คำตอบ: 32 ∙ 17 = 544

ในตัวอย่างที่วิเคราะห์ การหารด้วยสอง - "แฉก" เกิดขึ้นอย่างไร้ร่องรอย แต่ถ้าตัวประกอบหารด้วยสองโดยไม่มีเศษเหลือไม่ได้ล่ะ? และดูเหมือนจะอยู่ใกล้แค่เอื้อมของเครื่องคิดเลขโบราณ ในกรณีนี้ พวกเขาทำเช่นนี้:
21 ∙ 17
10 ∙ 34
5 ∙ 68
2 ∙ 136
1 ∙ 272
357 คำตอบ: 357.

ตัวอย่างแสดงให้เห็นว่าหากตัวคูณไม่สามารถหารด้วยสองได้ก่อนอื่นพวกเขาลบหนึ่งแล้วผลลัพธ์ก็แบ่งออกเป็นสอง” และอื่น ๆ5 ถึงที่สุด จากนั้นบรรทัดทั้งหมดที่มีตัวคูณจะถูกลบ (2nd, 4th,ที่ 6 เป็นต้น) และส่วนที่ถูกต้องทั้งหมดของบรรทัดที่เหลือถูกเพิ่มและรับงานที่ต้องการ

เครื่องคิดเลขโบราณให้เหตุผลอย่างไรโดยให้เหตุผลกับวิธีการของพวกเขาการคำนวณ? นั่นเป็นวิธีที่: 21 ∙ 17 = 20 ∙ 17 + 17.
จำหมายเลข 17 และผลิตภัณฑ์ 20 ∙ 17 = 10 ∙ 34 (สองเท่า -สองเท่า) และเขียน ผลิตภัณฑ์ 10 ∙ 34 = 5 ∙ 68 (สองเท่า -สองเท่า) และเหมือนเดิม ให้ขีดฆ่าผลิตภัณฑ์พิเศษ 10∙34 ออก ตั้งแต่ 5 * 34= 4 ∙ 68 + 68 จากนั้นจะจำหมายเลข 68 ได้ เช่น บรรทัดที่สามไม่ได้ถูกขีดฆ่า แต่4 ∙ 68 = 2 ∙ 136 = 1 ∙ 272 (สองเท่า - สองเท่า) ในขณะที่สี่บรรทัดที่มีผลิตภัณฑ์พิเศษ 2 ∙ 136 ถูกขีดฆ่า และจำหมายเลข 272 ได้ ปรากฎว่าการคูณ 21 ด้วย 17คุณต้องเพิ่มตัวเลข 17, 68 และ 272 - นี่คือส่วนที่เท่ากันของเส้นด้วยตัวคูณคี่
วิธีการคูณของรัสเซียนั้นทั้งหรูหราและฟุ่มเฟือยในเวลาเดียวกัน

ฉันขอนำเสนอตัวอย่างสามตัวอย่างในภาพสี (ที่มุมขวาบน โพสต์ทดสอบ).

ตัวอย่าง #1: 12 × 321 = 3852
เราวาด หมายเลขแรกบนลงล่าง ซ้ายไปขวา: แท่งสีเขียว 1 แท่ง ( 1 ); แท่งสีส้มสองอัน ( 2 ). 12 ดึง
เราวาด หมายเลขที่สองจากล่างขึ้นบน ซ้ายไปขวา: แท่งสีน้ำเงินสามแท่ง ( 3 ); สีแดงสองตัว 2 ); หนึ่งไลแลค ( 1 ). 321 ดึง

ตอนนี้เราจะเดินไปตามรูปวาดด้วยดินสอง่าย ๆ แบ่งจุดตัดของตัวเลขแท่งออกเป็นส่วน ๆ และดำเนินการนับคะแนนต่อไป เลื่อนจากขวาไปซ้าย (ตามเข็มนาฬิกา): 2 , 5 , 8 , 3 . ผลตัวเลขเราจะ "รวบรวม" จากซ้ายไปขวา (ทวนเข็มนาฬิกา) และ ... voila เราได้ 3852

ตัวอย่าง #2: 24 × 34 = 816
ตัวอย่างนี้มีความแตกต่าง เมื่อนับคะแนนในภาคแรกกลับกลายเป็นว่า 16 . เราส่งหนึ่งและเพิ่มไปยังจุดของส่วนที่สอง ( 20 + 1 )…

ตัวอย่าง #3: 215 × 741 = 159315
ไม่มีความเห็น

ในตอนแรกดูเหมือนว่าฉันค่อนข้างเสแสร้ง แต่ในขณะเดียวกันก็น่าสนใจและกลมกลืนอย่างน่าประหลาดใจ ในตัวอย่างที่ห้า ฉันคิดว่าตัวเองคิดว่าการคูณกำลังบินและกำลังทำงานอยู่ ในโหมดออโตไพลอต: วาด นับจุด เราจำสูตรคูณไม่ได้ ดูเหมือนไม่รู้เลย

พูดตามตรงโดยการตรวจสอบ วิธีการวาดการคูณและเปลี่ยนเป็นการคูณด้วยคอลัมน์ และมากกว่าหนึ่งหรือสองครั้ง เพื่อความอัปยศของฉัน ฉันสังเกตเห็นการชะลอตัวบางอย่าง ซึ่งบ่งชี้ว่าตารางการคูณของฉันขึ้นสนิมในบางแห่ง และคุณไม่ควรลืมมัน เมื่อทำงานกับตัวเลขที่ "จริงจัง" มากขึ้น วิธีการวาดการคูณกลายเป็นเรื่องยุ่งยากเกินไป และ คูณด้วยคอลัมน์ไปสู่ความสุข

ป.ล.: เกียรติและสรรเสริญคอลัมน์พื้นเมือง!
ในแง่ของการก่อสร้างวิธีการนี้ไม่โอ้อวดและกะทัดรัดรวดเร็วมาก รถไฟหน่วยความจำ - ตารางสูตรคูณไม่อนุญาตให้ลืม

ดังนั้นฉันขอแนะนำอย่างยิ่งให้คุณและตัวคุณเองถ้าเป็นไปได้ให้ลืมเครื่องคิดเลขในโทรศัพท์และคอมพิวเตอร์ และให้ปฏิบัติตัวคูณด้วยคอลัมน์เป็นระยะ มิฉะนั้นชั่วโมงจะไม่เท่ากันและโครงเรื่องจากภาพยนตร์เรื่อง "Rise of the Machines" จะไม่แสดงบนหน้าจอภาพยนตร์ แต่อยู่ในห้องครัวหรือสนามหญ้าข้างบ้านของเรา ...

ข้ามไหล่ซ้ายสามครั้ง ... เคาะไม้ ... ... และที่สำคัญที่สุดคือ อย่าลืมยิมนาสติกสำหรับจิตใจ!

เรียนรู้ตารางการคูณ !!!

อกาฟูรอฟ แม็กซิม

ทบทวนงานวิจัยของนักศึกษา.

งานวิจัยดำเนินการโดยนักเรียนชั้น "A" รุ่นที่ 7 ของ MBOU "โรงเรียนมัธยมหมายเลข 2" Maxim Agafurov
ผู้นำการศึกษา: ครูคณิตศาสตร์ – Lukyanova O.A.
หัวข้อของงาน: "วิธีการคูณที่ผิดปกติ" ประเภทของงาน: นามธรรม งานนี้มีความเกี่ยวข้องในวันนี้เพราะ ความรู้เกี่ยวกับวิธีการคำนวณแบบปากเปล่าแบบง่ายยังคงจำเป็นแม้จะมีการใช้เครื่องจักรที่สมบูรณ์ของกระบวนการคำนวณที่ใช้แรงงานมากที่สุดทั้งหมด การคำนวณด้วยปากเปล่าไม่เพียงทำให้สามารถคำนวณในใจได้อย่างรวดเร็ว แต่ยังควบคุม ประเมิน ค้นหา และแก้ไขข้อผิดพลาดในผลลัพธ์ของการคำนวณโดยใช้เครื่องคิดเลข นอกจากนี้การพัฒนาทักษะการคำนวณยังพัฒนาความจำและช่วยให้เด็กนักเรียนเชี่ยวชาญวิชาของวัฏจักรทางฟิสิกส์และคณิตศาสตร์อย่างเต็มที่
ส่วนของงานวิจัยเสร็จเรียบร้อยแล้ว คำอธิบายของตัวอย่างเหล่านี้จะได้รับและข้อสรุปที่เหมาะสม
มีการกำหนดเป้าหมายและวัตถุประสงค์ของงานวิจัยได้ถูกต้องตรงตามหัวข้อที่กำหนด
วรรณคดีพิเศษได้รับการศึกษาอย่างมีคุณภาพและมีความลึกซึ้งเพียงพอ
ข้อสรุปของงานวิจัยมีเหตุผล ยืนยันในทางทฤษฎี
กระดาษนำเสนองานวิจัยในระดับพอใช้ คำอธิบายของเธอตรงกับข้อสรุป งานส่วนใหญ่ทำด้วยตัวเองเป็นส่วนใหญ่ โดยมีคำแนะนำเล็กน้อยและการดำเนินการควบคุมดูแล

ดาวน์โหลด:

แสดงตัวอย่าง:


บทนำ
วิธีคูณจำนวนหลายหลัก
1.1. “มิจฉาทิฏฐิ”……………………………..4


1.2 “วิถีชาวนารัสเซีย” ………………………………………………5 1.3. “วิธีคูณแบบจีน”……………………………………...6
ส่วนการวิจัย
2.1. กำลังสองเลขสองหลักใดๆ…………………………6 2.2. กำลังสองของจำนวนที่ใกล้เคียงกับ “รอบ”………………………………7
2.4. วิธีการยกกำลังสองแบบใหม่จาก 40 ถึง 60………………7 2.5. กำลังสองของจำนวนที่ลงท้ายด้วย 5…………………………8 2.6 กำลังสองของจำนวนที่ลงท้ายด้วย 1…………………………8 2.7. กำลังสองของจำนวนที่ลงท้ายด้วย 6…………………………8 2.8. กำลังสองของจำนวนที่ลงท้ายด้วย 9…………………………8 2.9. กำลังสองของจำนวนที่ลงท้ายด้วย 4…………………………8 บทสรุป. บรรณานุกรม.

บทนำ " การนับและการคำนวณ -

พื้นฐานของคำสั่งในหัว

โยฮันน์ ไฮน์ริช เปสตาลอซซี (ค.ศ. 1746 - 1827)

ทุกคนที่มีส่วนร่วมในคณิตศาสตร์ตั้งแต่เด็กพัฒนาความสนใจ, ฝึกสมอง, เจตจำนง, ปลูกฝังความเพียรและความอุตสาหะในการบรรลุเป้าหมาย

ความเกี่ยวข้อง: คณิตศาสตร์เป็นหนึ่งในวิทยาศาสตร์ที่สำคัญที่สุดในโลกและเป็นสิ่งที่คน ๆ หนึ่งพบเจอทุกวันในชีวิตของเขา การนับทางจิตเป็นวิธีการคำนวณที่เก่าแก่ที่สุดและง่ายที่สุด ความรู้เกี่ยวกับวิธีการคำนวณแบบปากเปล่าแบบง่ายยังคงมีความจำเป็นแม้จะมีการใช้เครื่องจักรที่สมบูรณ์ของกระบวนการคำนวณที่ใช้แรงงานมากที่สุดทั้งหมด การคำนวณด้วยปากเปล่าไม่เพียงทำให้สามารถคำนวณในใจได้อย่างรวดเร็ว แต่ยังควบคุม ประเมิน ค้นหา และแก้ไขข้อผิดพลาดในผลลัพธ์ของการคำนวณโดยใช้เครื่องคิดเลข นอกจากนี้การพัฒนาทักษะการคำนวณยังพัฒนาความจำและช่วยให้เด็กนักเรียนเชี่ยวชาญวิชาของวัฏจักรทางฟิสิกส์และคณิตศาสตร์อย่างเต็มที่

ฉันสงสัยว่ามีวิธีอื่นในการคำนวณหรือไม่? ปรากฎว่าเป็นไปได้ที่จะทวีคูณไม่เพียง แต่ตามที่พวกเขาเสนอให้เราในตำราเรียนคณิตศาสตร์เท่านั้น แต่ยังมีวิธีอื่นอีกด้วย การใช้แหล่งข้อมูลทางอินเทอร์เน็ต ฉันได้เรียนรู้วิธีการคูณที่ผิดปกติมากมาย ท้ายที่สุดความสามารถในการคำนวณอย่างรวดเร็วนั้นน่าประหลาดใจจริงๆ

วัตถุประสงค์ของการศึกษา :

ค้นหาวิธีการคำนวณที่ผิดปกติให้ได้มากที่สุด
เรียนรู้ที่จะนำไปใช้
เลือกสิ่งที่น่าสนใจที่สุดสำหรับตัวคุณเองมากกว่าที่มีให้ที่โรงเรียนและใช้เมื่อนับ

วัตถุประสงค์ของการวิจัย:

1. ทำความคุ้นเคยกับวิธีการคูณแบบเก่าเช่น: "ความหึงหวงหรือการคูณแบบขัดแตะ", "ปราสาทเล็ก", "วิธีชาวนารัสเซีย", "วิธีเชิงเส้น"

2. สำรวจเทคนิคการยกกำลังสองในช่องปากของตัวเลขและนำไปใช้จริง

ประวัติเล็กน้อย

การคูณและการหารเป็นเรื่องยากเป็นพิเศษในสมัยก่อน ในเวลานั้นไม่มีเทคนิคเดียวที่ใช้ได้จากการฝึกฝนสำหรับแต่ละการกระทำในทางตรงกันข้ามมีการใช้วิธีคูณและการหารเกือบสิบวิธีในเวลาเดียวกัน - วิธีหนึ่งซับซ้อนกว่าวิธีอื่นซึ่งคนที่มีความสามารถปานกลางจำไม่ได้ ครูแคลคูลัสแต่ละคนยังคงใช้วิธีโปรด "หัวหน้าแผนก" แต่ละคน (มีผู้เชี่ยวชาญดังกล่าว) ยกย่องวิธีการดำเนินการนี้ของตนเองกว่าพันปีของการพัฒนาคณิตศาสตร์ มีการคิดค้นวิธีการคูณมากมาย นอกจากสูตรคูณแล้ว พวกมันทั้งหมดเทอะทะ ซับซ้อน และจำยาก เชื่อกันว่าการจะเชี่ยวชาญศิลปะการคูณอย่างรวดเร็วนั้น คุณต้องมีพรสวรรค์พิเศษโดยธรรมชาติ คนธรรมดาที่ไม่มีพรสวรรค์ทางคณิตศาสตร์พิเศษศิลปะนี้ไม่สามารถใช้ได้

ลองดูวิธีการคูณที่น่าสนใจและง่ายที่สุด

1.1. "ความริษยาหรือการคูณขัดแตะ"

Luca Pacioli นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลีในศตวรรษที่ 15 ให้วิธีคูณ 8 วิธี ในความคิดของฉันสิ่งที่น่าสนใจที่สุดคือ "ความหึงหวงหรือการคูณด้วยตาข่าย" และ "ปราสาทหลังเล็ก"

ลองคูณ 347 ด้วย 29

เราวาดรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าแบ่งเป็นช่องสี่เหลี่ยมแบ่งช่องสี่เหลี่ยมตามแนวทแยงมุม ผลลัพธ์ที่ได้คือภาพคล้ายระแนงบานเกล็ดของบ้านเวนิส นี่คือที่มาของชื่อเมธอด

ที่ด้านบนของตารางเราเขียนหมายเลข 347 และจากขวาจากบนลงล่าง - 29

ในแต่ละตารางเราจะเขียนผลคูณของตัวเลขที่อยู่ในแถวเดียวกันและหนึ่งคอลัมน์ด้วยสี่เหลี่ยมนี้ หลักสิบจะอยู่ในรูปสามเหลี่ยมด้านบน และหลักสิบจะอยู่ด้านล่าง ตัวเลขจะเพิ่มตามเส้นทแยงมุมแต่ละเส้น ผลลัพธ์จะถูกเขียนทางด้านซ้ายและขวาของตาราง

คำตอบคือ 10063

ความไม่สะดวกของวิธีนี้อยู่ที่ความลำบากในการสร้างตารางสี่เหลี่ยมและกระบวนการคูณนั้นน่าสนใจและการเติมลงในตารางนั้นคล้ายกับเกม

1.2. "วิถีชาวนารัสเซีย"

ในรัสเซียมีวิธีการทั่วไปในหมู่ชาวนาที่ไม่ต้องการความรู้เกี่ยวกับสูตรคูณทั้งหมด สิ่งที่คุณต้องมีคือความสามารถในการคูณและหารตัวเลขด้วย 2

เราเขียนตัวเลขหนึ่งตัวทางซ้ายและอีกตัวทางขวาในบรรทัดเดียว เราจะหารเลขทางซ้ายด้วย 2 และคูณเลขทางขวาด้วย 2 แล้วเขียนผลลัพธ์ลงในคอลัมน์ หากเศษเหลือเกิดขึ้นระหว่างการหาร เศษนั้นจะถูกทิ้ง การคูณและการหารด้วย 2 ดำเนินต่อไปจนกระทั่งเหลือ 1 ทางด้านซ้าย

จากนั้นเราขีดเส้นเหล่านั้นออกจากคอลัมน์ที่มีเลขคู่อยู่ทางซ้าย ทีนี้มาบวกเลขที่เหลือในคอลัมน์ทางขวากัน

คำตอบคือ 1972026

1.3 วิธีคูณแบบจีน

ตอนนี้ลองจินตนาการถึงวิธีการคูณซึ่งมีการพูดคุยกันอย่างจริงจังบนอินเทอร์เน็ตซึ่งเรียกว่าภาษาจีน เมื่อคูณตัวเลขจะพิจารณาจุดตัดของเส้นซึ่งสอดคล้องกับจำนวนหลักของแต่ละหลักของทั้งสองปัจจัย

บนกระดาษหนึ่งแผ่น ให้วาดเส้นสลับกัน จำนวนที่กำหนดจากตัวอย่างนี้

32 แรก: 3 เส้นสีแดงและด้านล่าง - 2 สีน้ำเงิน จากนั้น 21: ตั้งฉากกับที่วาดไว้แล้ว วาดสีเขียว 2 อันก่อน แล้วตามด้วยราสเบอร์รี่ 1 อัน. สำคัญ: เส้นของหมายเลขแรกถูกวาดในทิศทางจากมุมซ้ายบนไปทางขวาล่าง หมายเลขที่สอง - จากซ้ายล่างไปขวาบน. จากนั้นเราจะนับจำนวนจุดตัดกันในแต่ละพื้นที่ทั้งสาม (ในภาพ พื้นที่จะถูกระบุเป็นวงกลม) ดังนั้นในพื้นที่แรก (พื้นที่ร้อย) - 6 คะแนนในพื้นที่ที่สอง (พื้นที่สิบ) - 7 คะแนนในพื้นที่ที่สาม (พื้นที่หน่วย) - 2 คะแนน ดังนั้น คำตอบคือ: 672

2. ส่วนการวิจัย

เทคนิคการนับเลขเร็วพัฒนาความจำ สิ่งนี้ไม่เพียงใช้กับคณิตศาสตร์เท่านั้น แต่ยังรวมถึงวิชาอื่น ๆ ที่เรียนที่โรงเรียนด้วย

ฉันยังต้องการเพิ่มวิธีการทำงานของตัวเลขกำลังสองด้วยวาจาโดยไม่ต้องใช้เครื่องคิดเลข ซึ่งจำเป็นในการแก้ปัญหาของ GIA และการสอบ Unified State และยังเป็นการฝึกจิตที่ดีอีกด้วย

แต่ ทีนี้ มาดูสิ่งที่น่าสนใจและฉันชอบวิธีการยกกำลังสองด้วยคำพูดใช้ในบทเรียนพีชคณิตและเรขาคณิต

2.1. กำลังสองของจำนวนสองหลักใดๆ

หากคุณจำกำลังสองของตัวเลขทั้งหมดตั้งแต่ 1 ถึง 25 ได้ การหากำลังสองของตัวเลขสองหลักใดๆ ที่มากกว่า 25 จะเป็นเรื่องง่าย

ในการหาค่ากำลังสองของตัวเลขสองหลักใดๆ คุณต้องคูณผลต่างระหว่างตัวเลขนี้กับ 25 ด้วย 100 และเพิ่มกำลังสองของการบวกจำนวนนี้เข้ากับผลคูณของตัวเลขนี้กับ 50 หรือยกกำลังสองของส่วนที่เกินส่วน 50

พิจารณาตัวอย่าง:

37 2 =12*100+13 2 =1200+169=1369

(M–25) * 100+ (50-M) 2 \u003d 100M-2500 + 2500–100M + M 2 \u003d M 2

2.2 กำลังสองของตัวเลขใกล้กับ "รอบ"

การคำนวณกำลังสองในตัวอย่างที่วิเคราะห์เป็นไปตามสูตร

² \u003d (a + c) (a - c) + c ²,

ที่คัดสรรเลขดีๆใน ช่วยอำนวยความสะดวกในการคำนวณอย่างมาก: ประการแรกหนึ่งในปัจจัยจะต้องกลายเป็นตัวเลข "กลม" (เป็นที่พึงปรารถนาว่าเฉพาะหลักแรกเท่านั้นที่เป็นตัวเลขที่ไม่ใช่ศูนย์) และประการที่สองคือตัวเลขใน ควรเป็นกำลังสองได้ง่าย เช่น ควรมีขนาดเล็ก เงื่อนไขเหล่านี้เกิดขึ้นจากตัวเลขเท่านั้นก ใกล้เคียงกับ "รอบ"

192² = 200*184 + 8² = 36864, / (192+8)(192-8)+ 8²/

412² = 400*424 + 12² = 169744, /(412-12)(412+12)+ 12²/

2.3. เลขกำลังสองจาก 40 ถึง 50

2.4. เลขกำลังสองจาก 50 ถึง 60

ในการยกกำลังสองของจำนวนที่สิบหก (51,52,53,54,55,56,57,58,59)
เพิ่ม 25 ให้กับจำนวนหน่วยและเพิ่มกำลังสองของจำนวนหน่วยในผลรวมนี้
ตัวอย่างเช่น:
54*54=(4+25)*100+4*4=2916
57*57=(7+25)*100+7*7=3249

2.5. กำลังสองของจำนวนที่ลงท้ายด้วย 5

นำจำนวนหลักสิบไปคูณจำนวนหลักสิบถัดไปแล้วบวกด้วย 25

15*15 = 10*20+ 25=225 หรือ (1*2 และกำหนด 25 ทางด้านขวา)

35*35 =30*40 +25= 1225 (3*4 และกำหนด 25 ทางด้านขวา)

65*65 = 60*70+25=4225 (6*7 และกำหนด 25 ทางด้านขวา)

2.6. กำลังสองของจำนวนที่ลงท้ายด้วย 1

เมื่อยกกำลังสองของตัวเลขที่ลงท้ายด้วย 1 คุณต้องแทนที่หน่วยนี้ด้วย 0 ยกกำลังสองด้วยจำนวนใหม่ และเพิ่มตัวเลขเดิมและจำนวนที่ได้จากการแทนที่ 1 ด้วย 0 ในสี่เหลี่ยมจัตุรัสนี้

ตัวอย่างหมายเลข 6 71 2 = ?

71→70→70 2 =4900→4900+70+71=5041=71 2 .

2.7. กำลังสองของจำนวนที่ลงท้ายด้วย 6

เมื่อยกกำลังสองของตัวเลขที่ลงท้ายด้วย 6 คุณต้องแทนที่เลข 6 ด้วย 5 ยกกำลังสองด้วยจำนวนใหม่ (ตามที่อธิบายไว้ก่อนหน้านี้) และเพิ่มจำนวนเดิมและจำนวนที่ได้จากการแทนที่ 6 ด้วย 5 ลงในช่องสี่เหลี่ยมนี้

ตัวอย่างหมายเลข 7 56 2 =?

56→55→55 2 =3025(5 6=30→3025) →3025+55+56 = 3136= 56 2 .

2.8. กำลังสองของจำนวนที่ลงท้ายด้วย 9

เมื่อยกกำลังสองตัวเลขที่ลงท้ายด้วย 9 คุณต้องแทนที่ตัวเลข 9 นี้ด้วย 0 (เราจะได้จำนวนธรรมชาติถัดไป) ยกกำลังสองด้วยจำนวนใหม่และลบจำนวนเดิมและจำนวนที่ได้จากการแทนที่ 9 ด้วย 0 จากสี่เหลี่ยมนี้

ตัวอย่างหมายเลข 8 59 2 =?

59 → 60→60 2 =3600→ 3600 – 60 – 59 = 3481= 59 2 .

2.9. กำลังสองของจำนวนที่ลงท้ายด้วย 4

เมื่อยกกำลังสองของจำนวนที่ลงท้ายด้วย 4 คุณต้องแทนที่เลข 4 ด้วย 5 นำจำนวนใหม่ยกกำลังสองแล้วลบจำนวนเดิมและจำนวนที่ได้จากการแทนที่ 4 ด้วย 5 จากช่องสี่เหลี่ยมนี้

ตัวอย่าง #9 84 2 =?

84→85→85 2 =7225(8 9=72→7225) →7225 – 85 – 84 = 7056 =84 2 .

2.10. เมื่อทำการยกกำลังสอง มักใช้สูตร (และ b) 2 \u003d a 2 + b 2 2ab.

ตัวอย่าง #10

41 2 = (40+1) 2 =1600+1+80=1681.

บทสรุป

ในการดำเนินงานวิจัย ฉันไม่เพียงต้องการความรู้ที่ฉันมีเท่านั้น แต่ยังต้องทำงานที่จำเป็นด้วยวรรณกรรมเพิ่มเติมด้วย

1. ในระหว่างการทำงานของฉัน ฉันพบและเชี่ยวชาญวิธีต่างๆ ในการคูณจำนวนหลายหลัก และฉันสามารถระบุได้ดังต่อไปนี้ - วิธีส่วนใหญ่ในการคูณจำนวนหลายหลักจะขึ้นอยู่กับความรู้เกี่ยวกับตารางการคูณ

วิธี "การคูณแบบขัดแตะ" นั้นไม่ได้แย่ไปกว่าวิธีทั่วไป มันง่ายกว่าเนื่องจากตัวเลขถูกป้อนลงในเซลล์ของตารางโดยตรงจากตารางการคูณโดยไม่ต้องเพิ่มพร้อมกันซึ่งมีอยู่ในวิธีมาตรฐาน

- วิธีการคูณ "ชาวนารัสเซีย" นั้นง่ายกว่าวิธีการที่พิจารณาก่อนหน้านี้มาก แต่มันก็เทอะทะมากเช่นกัน

วิธีการคูณแบบจีนซึ่งชาวจีนใช้ดูเหมือนจะเป็นวิธีที่ง่ายที่สุดสำหรับฉันเนื่องจากไม่ต้องการความรู้เรื่องสูตรคูณ เมื่อเรียนรู้ที่จะนับในทุกวิธีที่นำเสนอ ฉันได้ข้อสรุปว่าวิธีที่ง่ายที่สุดคือวิธีที่เราเรียนที่โรงเรียน บางทีพวกเขาอาจคุ้นเคยกับเรามากกว่า

2. ฉันได้เรียนรู้เคล็ดลับการนับทางจิตที่จะช่วยฉันในชีวิต มันน่าสนใจมากสำหรับฉันที่จะทำงานในโครงการ ฉันได้เรียนรู้วิธีการคูณแบบใหม่สำหรับฉัน พิจารณาเทคนิคต่าง ๆ ในการยกกำลังสอง การคำนวณจำนวนมากเกี่ยวข้องกับสูตรการคูณแบบลดขนาดที่ฉันเรียนในชั้นเรียนพีชคณิต ด้วยวิธีง่ายๆ ของการคำนวณทางจิต ตอนนี้ฉันสามารถทำการคำนวณทางคณิตศาสตร์ที่ใช้เวลานานที่สุดโดยไม่ต้องใช้เครื่องคิดเลขและคอมพิวเตอร์ ไม่ใช่แค่ฉันแต่พ่อแม่ของฉันก็สนใจเช่นกัน ฉันได้แสดงเทคนิคการคูณทางจิตให้กับเพื่อนและเพื่อนร่วมชั้นของฉัน ความรู้เกี่ยวกับวิธีการคำนวณแบบปากเปล่าอย่างง่ายมีความสำคัญอย่างยิ่งในกรณีที่คุณไม่มีตารางหรือเครื่องคิดเลขในการกำจัด ฉันมีความปรารถนาที่จะทำงานนี้ต่อไปและเรียนรู้วิธีการนับจิตเพิ่มเติม ฉันคิดว่างานของฉันจะไม่ไร้ประโยชน์สำหรับฉัน ฉันสามารถใช้ความรู้ทั้งหมดที่ได้รับเมื่อผ่าน GIA และการสอบ Unified State

ดอนสคอย, 2013

แสดงตัวอย่าง:

หากต้องการใช้การแสดงตัวอย่างงานนำเสนอ ให้สร้างบัญชี Google (บัญชี) และลงชื่อเข้าใช้:

ที่ตีพิมพ์ 20.04.2012
อุทิศให้กับ Elena Petrovna Karinskaya ,
ถึงครูคณิตศาสตร์และครูประจำชั้นในโรงเรียนของฉัน
อัลมา-อาตา, ROFMSH, พ.ศ. 2527–2530
“วิทยาศาสตร์บรรลุความสมบูรณ์แบบก็ต่อเมื่อประสบความสำเร็จในการใช้คณิตศาสตร์”. คาร์ล ไฮน์ริช มาร์กซ
คำเหล่านี้ถูกจารึกไว้บนกระดานดำในห้องเรียนคณิตศาสตร์ของเรา ;-)
บทเรียนสารสนเทศ(เอกสารประกอบการบรรยายและการอบรมเชิงปฏิบัติการ)

การคูณคืออะไร?
นี่คือการดำเนินการเพิ่มเติม
แต่ไม่น่าพอใจมาก
เพราะหลายครั้ง...
ทิม โซบากิน

มาลองทำสิ่งนี้กัน
ดีและสนุก ;-)

วิธีการคูณโดยไม่มีตารางการคูณ (ยิมนาสติกใจ)

ฉันเสนอวิธีการคูณสองวิธีแก่ผู้อ่านหน้าเขียวที่ไม่ใช้สูตรคูณ ;-) ฉันหวังว่าครูวิทยาการคอมพิวเตอร์จะชอบเนื้อหานี้ ซึ่งพวกเขาสามารถใช้เมื่อทำกิจกรรมนอกหลักสูตร

วิธีนี้เป็นเรื่องปกติในชีวิตประจำวันของชาวนารัสเซียและสืบทอดมาจากสมัยโบราณ สาระสำคัญคือการคูณของตัวเลขสองตัวใด ๆ จะลดลงเป็นชุดของการหารต่อเนื่องของจำนวนหนึ่งในครึ่งในขณะที่เพิ่มจำนวนอื่น ๆ เป็นสองเท่า สูตรคูณในกรณีนี้โดยไม่จำเป็น :-)

แบ่งครึ่งไปเรื่อย ๆ จนกว่าผลหารจะเป็น 1 ในขณะที่อีกจำนวนหนึ่งคูณกัน จำนวนสองเท่าสุดท้ายให้ผลลัพธ์ที่ต้องการ(ภาพที่ 1). ไม่ยากที่จะเข้าใจว่าวิธีนี้มีพื้นฐานมาจากอะไร: ผลิตภัณฑ์จะไม่เปลี่ยนแปลงหากปัจจัยหนึ่งลดลงครึ่งหนึ่งและอีกปัจจัยหนึ่งเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่า ดังนั้นจึงเป็นที่ชัดเจนว่าจากการทำซ้ำซ้ำ ๆ ของการดำเนินการนี้ทำให้ได้ผลิตภัณฑ์ที่ต้องการ

อย่างไรก็ตาม จะทำอย่างไรถ้าคุณต้องทำ แบ่งครึ่งจำนวนคี่? ในกรณีนี้ เราทิ้งหนึ่งจากเลขคี่และแบ่งครึ่งที่เหลือ ในขณะที่จำนวนสุดท้ายของคอลัมน์ด้านขวา จำเป็นต้องเพิ่มจำนวนทั้งหมดของคอลัมน์นี้ที่ตรงข้ามกับเลขคี่ของคอลัมน์ด้านซ้าย - ผลรวมจะเป็นผลิตภัณฑ์ที่ต้องการ (รูปภาพ: 2, 3)
กล่าวอีกนัยหนึ่งคือเราขีดเส้นทั้งหมดด้วยเลขคู่ซ้าย ออกแล้วเพิ่ม ไม่ขีดฆ่าตัวเลขคอลัมน์ขวา

สำหรับรูปที่ 2: 192 + 48 + 12 = 252
ความถูกต้องของการรับสัญญาณจะชัดเจนหากเราพิจารณาว่า:
5× 48 = (4 + 1) × 48 = 4 × 48 + 48
21× 12 = (20 + 1) × 12 = 20 × 12 + 12
เป็นที่ชัดเจนว่าตัวเลข 48 , 12 , หายไปเมื่อหารจำนวนคี่ในครึ่ง, จะต้องเพิ่มผลลัพธ์ของการคูณล่าสุดเพื่อให้ได้ผลิตภัณฑ์.
วิธีการคูณของรัสเซียนั้นทั้งหรูหราและฟุ่มเฟือยในเวลาเดียวกัน ;-)

§ ปริศนาตรรกะเกี่ยวกับ Serpent Gorynych และวีรบุรุษชาวรัสเซียผู้โด่งดังบนหน้าสีเขียว "ฮีโร่คนไหนที่เอาชนะ Serpent Gorynych ได้"
การแก้ปัญหาเชิงตรรกะด้วยพีชคณิตเชิงตรรกศาสตร์
สำหรับคนที่รักการเรียนรู้!สำหรับผู้ที่มีความสุข ยิมนาสติกสำหรับจิตใจ ;-)
§ การแก้ปัญหาเชิงตรรกะในลักษณะตาราง

เราดำเนินการสนทนาต่อไป :-)

ชาวจีน??? วิธีการวาดการคูณ

ลูกชายของฉันแนะนำให้ฉันรู้จักวิธีการคูณนี้โดยให้กระดาษสองสามแผ่นจากสมุดบันทึกพร้อมวิธีแก้ปัญหาสำเร็จรูปในรูปแบบของภาพวาดที่ซับซ้อน กระบวนการถอดรหัสอัลกอริทึมเริ่มเดือด วิธีการวาดการคูณ :-)เพื่อความชัดเจนฉันตัดสินใจใช้ดินสอสีช่วยและ ... น้ำแข็งทำให้สุภาพบุรุษของคณะลูกขุนแตกสลาย :-)
ฉันขอนำเสนอตัวอย่างสามตัวอย่างในภาพสี (ที่มุมขวาบน โพสต์ทดสอบ).

ตัวอย่าง #1: 12 × 321 = 3852
เราวาด หมายเลขแรกบนลงล่าง ซ้ายไปขวา: แท่งสีเขียว 1 แท่ง ( 1 ); แท่งสีส้มสองอัน ( 2 ). 12 ดึง :-)
เราวาด หมายเลขที่สองจากล่างขึ้นบน ซ้ายไปขวา: แท่งสีน้ำเงินสามแท่ง ( 3 ); สีแดงสองตัว 2 ); หนึ่งไลแลค ( 1 ). 321 ดึง :-)

ตัวอย่าง #2: 24 × 34 = 816
มีความแตกต่างในตัวอย่างนี้ ;-) เมื่อนับคะแนนในส่วนแรกปรากฎว่า 16 . เราส่งหนึ่งและเพิ่มไปยังจุดของส่วนที่สอง ( 20 + 1 )…

ตัวอย่าง #3: 215 × 741 = 159315
ไม่มีความเห็น:-)

ในตอนแรกดูเหมือนว่าฉันค่อนข้างเสแสร้ง แต่ในขณะเดียวกันก็น่าสนใจและกลมกลืนอย่างน่าประหลาดใจ ในตัวอย่างที่ห้า ฉันคิดว่าตัวเองกำลังคิดว่าการคูณกำลังบิน :-) และมันก็ได้ผล ในโหมดออโตไพลอต: วาด นับจุด เราจำสูตรคูณไม่ได้ดูเหมือนว่าเราจะไม่รู้เลย :-)))

สูตรคูณ(ร่างด้านหลังของสมุดบันทึก)

ป.ล.: ความรุ่งโรจน์และการยกย่องให้กับคอลัมน์โซเวียตพื้นเมือง!
ในแง่ของการก่อสร้างวิธีการนี้ไม่โอ้อวดและกะทัดรัดรวดเร็วมาก รถไฟหน่วยความจำ - ตารางสูตรคูณไม่อนุญาตให้ลืม :-)ดังนั้นฉันขอแนะนำให้คุณและตัวคุณเองถ้าเป็นไปได้ลืมเครื่องคิดเลขในโทรศัพท์และคอมพิวเตอร์ ;-) และดื่มด่ำกับการคูณด้วยคอลัมน์เป็นระยะ มิฉะนั้นชั่วโมงจะไม่เท่ากันและโครงเรื่องจากภาพยนตร์เรื่อง "Rise of the Machines" จะไม่แสดงบนหน้าจอภาพยนตร์ แต่อยู่ในห้องครัวหรือสนามหญ้าข้างบ้านของเรา ...
เหนือไหล่ซ้ายสามครั้ง ... เคาะไม้ ... :-))) ... และที่สำคัญที่สุดคือ อย่าลืมยิมนาสติกสำหรับจิตใจ!

สำหรับผู้ที่อยากรู้อยากเห็น: การคูณแสดงด้วยเครื่องหมาย [ × ] หรือ [ · ]
เครื่องหมาย [ × ] ได้รับการแนะนำโดยนักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ วิลเลียม เอาต์เรดในปี 1631
เครื่องหมาย [ ] ได้รับการแนะนำโดยนักวิทยาศาสตร์ชาวเยอรมัน กอตต์ฟรีด วิลเฮล์ม ไลบ์นิซในปี 1698
ในการกำหนดตามตัวอักษร เครื่องหมายเหล่านี้จะถูกละไว้และแทนที่จะเป็น ก × ขหรือ ก · ขเขียน ab.

ไปที่กล่องผู้ดูแลเว็บ: สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์บางอย่างใน HTML

°	° หรือ °	ระดับ
±	± หรือ ±	บวกหรือลบ
¼	¼ หรือ ¼	เศษส่วน - หนึ่งในสี่
½	½ หรือ ½	เศษส่วน - หนึ่งวินาที
¾	¾ หรือ ¾	เศษส่วน - สามในสี่
×	× หรือ ×	เครื่องหมายคูณ
÷	÷ หรือ ÷	เครื่องหมายแบ่ง
ƒ	ƒ หรือ ƒ	เครื่องหมายฟังก์ชัน
′	' หรือ '	จังหวะเดียว - นาทีและฟุต
″	" หรือ "	จังหวะสองครั้ง - วินาทีและนิ้ว
≈	≈ หรือ ≈	เครื่องหมายเท่ากับโดยประมาณ
≠	≠ หรือ ≠	เครื่องหมายไม่เท่ากัน
≡	≡ หรือ ≡	เหมือนกัน
>	> หรือ >	มากกว่า
<	< или	น้อย
≥	≥ หรือ ≥	มากกว่าหรือเท่ากับ
≤	≤ หรือ ≤	น้อยกว่าหรือเท่ากัน
∑	∑ หรือ ∑	เครื่องหมายผลรวม
√	√ หรือ √	รากที่สอง (รากศัพท์)
∞	∞ หรือ ∞	อินฟินิตี้
Ø	Ø หรือ Ø	เส้นผ่านศูนย์กลาง
∠	∠ หรือ ∠	มุม
⊥	⊥ หรือ ⊥	ตั้งฉาก

วิธีคูณเลขหลายหลักแบบต่างๆ วิธีคูณจำนวนหลายหลัก

ดาวน์โหลด:

แสดงตัวอย่าง:

คำบรรยายสไลด์:

ดาวน์โหลด:

แสดงตัวอย่าง:

แสดงตัวอย่าง:

วิธีการคูณโดยไม่มีตารางการคูณ (ยิมนาสติกใจ)

ชาวจีน??? วิธีการวาดการคูณ