ร
(คณิตศาสตร์เศรษฐศาสตร์)

การสลายตัวของเวกเตอร์

การสลายตัวของเวกเตอร์ กเป็นส่วนประกอบ - การดำเนินการแทนที่เวกเตอร์ กเวกเตอร์อื่นๆ อีกหลายตัว ab a2, a3 ฯลฯ ซึ่งเมื่อบวกเข้ากับเวกเตอร์เริ่มต้น ก;ในกรณีนี้ เวกเตอร์ db a2, a3 ฯลฯ เรียกว่าส่วนประกอบของเวกเตอร์ ก.กล่าวอีกนัยหนึ่งการสลายตัวของ...
(ฟิสิกส์)

พื้นฐานและอันดับของระบบเวกเตอร์

พิจารณาระบบเวกเตอร์ (1.18) ระบบย่อยอิสระสูงสุดของระบบเวกเตอร์(1.I8) คือเซตเวกเตอร์บางส่วนของระบบนี้ที่ตรงตามเงื่อนไขสองประการ: 1) เวกเตอร์ของเซตนี้มีความเป็นอิสระเชิงเส้น; 2) เวกเตอร์ใดๆ ของระบบ (1.18) ถูกแสดงเป็นเส้นตรงผ่านเวกเตอร์ของเซตนี้....
(คณิตศาสตร์เศรษฐศาสตร์)

การแสดงเวกเตอร์ใน ระบบที่แตกต่างกันพิกัด

ลองพิจารณาระบบพิกัดสี่เหลี่ยมมุมฉากสองระบบที่มีเซตของเวกเตอร์หน่วย (i, j, k) และ (i j", k") และแทนเวกเตอร์ a ที่อยู่ในนั้น ให้เราสันนิษฐานตามอัตภาพว่าเวกเตอร์หน่วยที่มีจำนวนเฉพาะสอดคล้องกัน ระบบใหม่พิกัด e และไม่มีเส้นขีด - เก่า ลองจินตนาการถึงเวกเตอร์ในรูปของการขยายตัวตามแกนของระบบทั้งเก่าและใหม่...

การสลายตัวของเวกเตอร์ในลักษณะตั้งฉาก

พิจารณาพื้นฐานของพื้นที่ รโดยที่เวกเตอร์แต่ละตัวตั้งฉากกับเวกเตอร์พื้นฐานอื่นๆ: ฐานตั้งฉากเป็นที่รู้จักและสามารถแสดงได้ดีบนระนาบและในอวกาศ (รูปที่ 1.6) ฐานประเภทนี้สะดวกเป็นหลักเนื่องจากมีการกำหนดพิกัดของการขยายตัวของเวกเตอร์ที่กำหนดเอง...
(คณิตศาสตร์เศรษฐศาสตร์)

เวกเตอร์และการแทนค่าในระบบพิกัด

แนวคิดของเวกเตอร์มีความเกี่ยวข้องกับค่าที่แน่นอน ปริมาณทางกายภาพซึ่งมีลักษณะเฉพาะด้วยความเข้ม (ขนาด) และทิศทางในอวกาศ ปริมาณดังกล่าวได้แก่ แรงที่กระทำต่อวัตถุ ความเร็ว จุดใดจุดหนึ่งของร่างกายนี้ ความเร่งของอนุภาควัตถุ...
(กลศาสตร์ต่อเนื่อง: ทฤษฎีความเครียดและแบบจำลองพื้นฐาน)

โปรโตซัว มุมมองเชิงวิเคราะห์ฟังก์ชันรูปไข่โดยพลการ

การแสดงฟังก์ชันวงรีเป็นผลรวมขององค์ประกอบที่ง่ายที่สุดอนุญาต / (ซ)เป็นฟังก์ชันรูปไข่ของลำดับ s ที่มีขั้วธรรมดา jjt $s,นอนอยู่ในรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานของช่วงเวลา แสดงถึงโดย บีเคเมื่อลบฟังก์ชันด้วยความเคารพกับขั้ว เราจะได้ 2 ?l = 0 (§ 1, ย่อหน้า 3, ทฤษฎีบท...
(บทนำสู่ทฤษฎีฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน)

การพึ่งพาเชิงเส้นและ ความเป็นอิสระเชิงเส้นเวกเตอร์
พื้นฐานของเวกเตอร์ ระบบพิกัดอัฟฟิน

มีรถเข็นพร้อมช็อคโกแลตอยู่ในหอประชุม และผู้เยี่ยมชมทุกคนในวันนี้จะได้รับคู่รักแสนหวาน - เรขาคณิตเชิงวิเคราะห์พร้อมพีชคณิตเชิงเส้น บทความนี้จะครอบคลุมสองส่วนในคราวเดียว คณิตศาสตร์ที่สูงขึ้นและมาดูกันว่าพวกเขาเข้ากันได้อย่างไรในกระดาษห่อเดียว พักสมอง กิน Twix! ...บ้าเอ๊ย ไร้สาระมากมาย แม้ว่าฉันจะไม่ได้คะแนน แต่สุดท้ายแล้วคุณควรมีทัศนคติเชิงบวกต่อการเรียน

การพึ่งพาเชิงเส้นของเวกเตอร์, ความเป็นอิสระของเวกเตอร์เชิงเส้น, พื้นฐานของเวกเตอร์และคำศัพท์อื่นๆ ไม่เพียงแต่มีการตีความทางเรขาคณิตเท่านั้น แต่เหนือสิ่งอื่นใดคือความหมายเชิงพีชคณิต แนวคิดของ "เวกเตอร์" จากมุมมองของพีชคณิตเชิงเส้นไม่ใช่เวกเตอร์ "ธรรมดา" เสมอไปที่เราสามารถพรรณนาบนเครื่องบินหรือในอวกาศ คุณไม่จำเป็นต้องมองหาข้อพิสูจน์มากนัก ลองวาดเวกเตอร์ของปริภูมิห้ามิติ - หรือเวกเตอร์สภาพอากาศ ซึ่งฉันเพิ่งไปที่ Gismeteo เพื่อ: – อุณหภูมิและ ความดันบรรยากาศตามลำดับ แน่นอนว่าตัวอย่างนั้นไม่ถูกต้องจากมุมมองของคุณสมบัติของปริภูมิเวกเตอร์ แต่ถึงกระนั้นก็ไม่มีใครห้ามไม่ให้ทำให้พารามิเตอร์เหล่านี้เป็นเวกเตอร์อย่างเป็นทางการ ลมหายใจแห่งฤดูใบไม้ร่วง...

ไม่ ฉันจะไม่ทำให้คุณเบื่อกับทฤษฎี สเปซเวกเตอร์เชิงเส้น ภารกิจก็คือต้องทำ เข้าใจคำจำกัดความและทฤษฎีบท คำศัพท์ใหม่ (การพึ่งพาเชิงเส้น ความเป็นอิสระ ผลรวมเชิงเส้น พื้นฐาน ฯลฯ) นำไปใช้กับเวกเตอร์ทั้งหมดจากมุมมองพีชคณิต แต่จะมีตัวอย่างเรขาคณิตให้ ดังนั้นทุกอย่างจึงเรียบง่าย เข้าถึงได้ และชัดเจน นอกจากปัญหาเรขาคณิตวิเคราะห์แล้ว เรายังจะพิจารณาปัญหาบางประการด้วย งานทั่วไปพีชคณิต หากต้องการเชี่ยวชาญเนื้อหาขอแนะนำให้ทำความคุ้นเคยกับบทเรียนต่างๆ เวกเตอร์สำหรับหุ่นจำลองและ จะคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ได้อย่างไร?

การพึ่งพาเชิงเส้นและความเป็นอิสระของเวกเตอร์ระนาบ
พื้นฐานระนาบและระบบพิกัดสัมพันธ์

ลองพิจารณาระนาบของโต๊ะคอมพิวเตอร์ของคุณ (แค่โต๊ะ โต๊ะข้างเตียง พื้น เพดาน และอื่นๆ ตามที่คุณต้องการ) งานจะประกอบด้วยการดำเนินการดังต่อไปนี้:

1) เลือกพื้นฐานเครื่องบิน- พูดโดยคร่าวๆ โต๊ะจะมีความยาวและความกว้าง ดังนั้นจึงเป็นเรื่องง่ายที่ต้องใช้เวกเตอร์สองตัวเพื่อสร้างฐาน เวกเตอร์หนึ่งตัวไม่เพียงพออย่างชัดเจน เวกเตอร์สามตัวมากเกินไป

2) ขึ้นอยู่กับพื้นฐานที่เลือก กำหนดระบบพิกัด(ตารางพิกัด) เพื่อกำหนดพิกัดให้กับวัตถุทั้งหมดบนโต๊ะ

ไม่ต้องแปลกใจ ในตอนแรกคำอธิบายจะอยู่ที่ปลายนิ้ว ยิ่งไปกว่านั้นเกี่ยวกับคุณ กรุณาวาง นิ้วชี้ซ้ายที่ขอบโต๊ะเพื่อมองจอภาพ นี่จะเป็นเวกเตอร์ ตอนนี้สถานที่ นิ้วก้อย มือขวา บนขอบโต๊ะในลักษณะเดียวกัน - เพื่อให้หันไปที่หน้าจอมอนิเตอร์ นี่จะเป็นเวกเตอร์ ยิ้มสิ คุณดูดีมาก! เราจะพูดอะไรเกี่ยวกับเวกเตอร์ได้บ้าง? เวกเตอร์ข้อมูล คอลลิเนียร์ซึ่งหมายความว่า เชิงเส้นแสดงออกผ่านกันและกัน:
หรือในทางกลับกัน: โดยที่ตัวเลขบางตัวแตกต่างจากศูนย์

คุณสามารถเห็นภาพการกระทำนี้ในชั้นเรียน เวกเตอร์สำหรับหุ่นจำลองโดยที่ฉันอธิบายกฎสำหรับการคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข

นิ้วของคุณจะวางรากฐานบนระนาบของโต๊ะคอมพิวเตอร์หรือไม่? เห็นได้ชัดว่าไม่ เวกเตอร์คอลลิเนียร์เคลื่อนที่ไปมา ตามลำพังทิศทาง และระนาบมีความยาวและความกว้าง

เวกเตอร์ดังกล่าวเรียกว่า ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น.

อ้างอิง: คำว่า "เชิงเส้น" "เชิงเส้น" แสดงถึงความจริงที่ว่าใน สมการทางคณิตศาสตร์นิพจน์ไม่มีกำลังสอง ลูกบาศก์ กำลังอื่นๆ ลอการิทึม ไซน์ ฯลฯ มีเพียงนิพจน์และการขึ้นต่อกันเชิงเส้น (ระดับที่ 1) เท่านั้น

เวกเตอร์ระนาบสองตัว ขึ้นอยู่กับเชิงเส้นถ้าเพียงแต่ว่าพวกมันอยู่ในแนวเดียวกัน.

ไขว้นิ้วบนโต๊ะเพื่อให้มีมุมระหว่างนิ้วทั้งสองข้างที่ไม่ใช่ 0 หรือ 180 องศา เวกเตอร์ระนาบสองตัวเชิงเส้น ไม่ขึ้นอยู่กับว่าพวกมันไม่อยู่ในแนวเดียวกันหรือไม่- ดังนั้นจึงได้รับพื้นฐาน ไม่จำเป็นต้องอับอายที่พื้นฐานกลายเป็น "เบ้" ด้วยเวกเตอร์ที่ไม่ตั้งฉากซึ่งมีความยาวต่างกัน ในไม่ช้าเราจะเห็นว่าไม่เพียงแต่มุม 90 องศาเท่านั้นที่เหมาะกับการก่อสร้าง และไม่เพียงแต่เวกเตอร์หน่วยที่มีความยาวเท่ากันเท่านั้น

ใดๆเวกเตอร์เครื่องบิน วิธีเดียวเท่านั้นได้ถูกขยายออกไปตามพื้นฐาน:
, จำนวนจริงอยู่ที่ไหน ตัวเลขที่ถูกเรียกว่า พิกัดเวกเตอร์ในพื้นฐานนี้

ยังได้กล่าวอีกว่า เวกเตอร์นำเสนอเป็น การรวมกันเชิงเส้นเวกเตอร์พื้นฐาน- นั่นคือการแสดงออกที่เรียกว่า การสลายตัวของเวกเตอร์ตามพื้นฐานหรือ การรวมกันเชิงเส้นเวกเตอร์พื้นฐาน

ตัวอย่างเช่น เราสามารถพูดได้ว่าเวกเตอร์ถูกสลายไปตามพื้นฐานออร์โธนอร์มอลของระนาบ หรือเราสามารถพูดได้ว่าเวกเตอร์นั้นแสดงเป็นผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์

มากำหนดกัน คำจำกัดความของพื้นฐานอย่างเป็นทางการ: พื้นฐานของเครื่องบินเรียกว่าคู่ของเวกเตอร์อิสระเชิงเส้น (ไม่ใช่เชิงเส้น) , ในขณะที่ ใดๆเวกเตอร์ระนาบคือการรวมกันเชิงเส้นของเวกเตอร์พื้นฐาน

จุดสำคัญของคำจำกัดความก็คือความจริงที่ว่าเวกเตอร์นั้นถูกถ่าย ในลำดับที่แน่นอน- ฐาน - นี่เป็นสองอย่างแน่นอน ฐานที่แตกต่างกัน- ตามที่กล่าวไว้คุณไม่สามารถเปลี่ยนนิ้วก้อยของมือซ้ายแทนที่นิ้วก้อยของมือขวาได้

เราได้หาพื้นฐานแล้ว แต่ยังไม่เพียงพอในการตั้งค่าตารางพิกัดและกำหนดพิกัดให้กับแต่ละรายการบนโต๊ะคอมพิวเตอร์ของคุณ ทำไมมันไม่พอล่ะ? เวกเตอร์นั้นฟรีและเดินไปทั่วทั้งเครื่องบิน แล้วคุณจะกำหนดพิกัดให้กับจุดสกปรกเล็กๆ น้อยๆ บนโต๊ะที่เหลือจากวันหยุดสุดสัปดาห์ได้อย่างไร? จำเป็นต้องมีจุดเริ่มต้น และจุดสังเกตดังกล่าวเป็นจุดที่ทุกคนคุ้นเคย - ที่มาของพิกัด มาทำความเข้าใจระบบพิกัดกันดีกว่า:

ฉันจะเริ่มต้นด้วยระบบ "โรงเรียน" อยู่ในบทเรียนเบื้องต้นแล้ว เวกเตอร์สำหรับหุ่นจำลองฉันเน้นความแตกต่างบางประการระหว่างระบบพิกัดสี่เหลี่ยมและพื้นฐานออร์โธนอร์มอล นี่คือภาพมาตรฐาน:

เมื่อพวกเขาพูดถึง ระบบพิกัดสี่เหลี่ยมส่วนใหญ่มักจะหมายถึงที่มาของพิกัด แกนประสานงานและขยายไปตามแกน ลองพิมพ์ "ระบบพิกัดสี่เหลี่ยม" ลงในเครื่องมือค้นหา แล้วคุณจะเห็นว่าหลายแหล่งจะบอกคุณเกี่ยวกับแกนพิกัดที่คุ้นเคยตั้งแต่ชั้นประถมศึกษาปีที่ 5-6 และวิธีการพล็อตจุดบนเครื่องบิน

ในทางกลับกันก็ดูเหมือนว่า ระบบสี่เหลี่ยมพิกัดสามารถกำหนดได้อย่างสมบูรณ์ผ่านพื้นฐานออร์โธนอร์มอล และนั่นเกือบจะเป็นความจริง ถ้อยคำมีดังนี้:

ต้นทาง, และ ออร์โธนอร์มอลมีการกำหนดพื้นฐานไว้แล้ว ระบบพิกัดระนาบสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียน - นั่นก็คือระบบพิกัดสี่เหลี่ยม อย่างแน่นอนถูกกำหนดโดยเวกเตอร์มุมฉากจุดเดียวและสองหน่วย นั่นคือสาเหตุที่คุณเห็นภาพวาดที่ฉันให้ไว้ด้านบน - ใน ปัญหาทางเรขาคณิตบ่อยครั้ง (แต่ไม่เสมอไป) ทั้งเวกเตอร์และแกนพิกัดจะถูกวาดขึ้นมา

ฉันคิดว่าทุกคนเข้าใจว่าการใช้จุด (ต้นกำเนิด) และพื้นฐานออร์โธนอร์มอล จุดใดๆ บนเครื่องบินและเวกเตอร์ใดๆ บนเครื่องบินสามารถกำหนดพิกัดได้ หากพูดเป็นรูปเป็นร่างว่า “ทุกสิ่งบนเครื่องบินสามารถนับได้”

เวกเตอร์พิกัดจำเป็นต้องเป็นหน่วยหรือไม่? ไม่ พวกเขาสามารถมีความยาวไม่เป็นศูนย์ได้ตามใจชอบ พิจารณาจุดและเวกเตอร์มุมฉากสองตัวที่มีความยาวไม่เป็นศูนย์ตามอำเภอใจ:

พื้นฐานดังกล่าวเรียกว่า ตั้งฉาก- ต้นกำเนิดของพิกัดกับเวกเตอร์ถูกกำหนดโดยตารางพิกัด และจุดใดๆ บนระนาบ เวกเตอร์ใดๆ ก็มีพิกัดของมันบนพื้นฐานที่กำหนด ตัวอย่างเช่นหรือ. ความไม่สะดวกที่เห็นได้ชัดคือเวกเตอร์พิกัด วี กรณีทั่วไป มีความยาวต่างกันนอกจากความสามัคคี หากความยาวเท่ากับความสามัคคี ก็จะได้ค่าพื้นฐานออร์โธนอร์มอลตามปกติ

- บันทึก : อยู่ในแนวตั้งฉากและอยู่ด้านล่างในด้วย ฐานความสัมพันธ์พิจารณาหน่วยระนาบและอวกาศตามแกน มีเงื่อนไข- ตัวอย่างเช่น หนึ่งหน่วยตามแกน x มี 4 ซม. หนึ่งหน่วยตามแกนกำหนดมี 2 ซม. ข้อมูลนี้เพียงพอที่จะแปลงพิกัด "ที่ไม่ได้มาตรฐาน" เป็น "เซนติเมตรปกติของเรา" หากจำเป็น

และคำถามที่สอง ซึ่งมีคำตอบไปแล้ว คือมุมระหว่างเวกเตอร์ฐานจะต้องเท่ากับ 90 องศาหรือไม่? เลขที่! ตามที่ระบุไว้ในคำจำกัดความ เวกเตอร์พื้นฐานจะต้องเป็น ไม่ใช่คอลลิเนียร์เท่านั้น- ดังนั้น มุมสามารถเป็นอะไรก็ได้ยกเว้น 0 ถึง 180 องศา

จุดบนเครื่องบินเรียกว่า ต้นทาง, และ ไม่ใช่คอลลิเนียร์เวกเตอร์, , ชุด ระบบพิกัดระนาบอัฟฟิน :

บางครั้งเรียกว่าระบบพิกัดดังกล่าว เฉียงระบบ. ตามตัวอย่าง ภาพวาดจะแสดงจุดและเวกเตอร์:

ดังที่คุณเข้าใจ ระบบพิกัดอัฟฟินนั้นสะดวกน้อยกว่า สูตรสำหรับความยาวของเวกเตอร์และเซ็กเมนต์ซึ่งเราพูดคุยไปแล้วในส่วนที่สองของบทเรียนนั้นใช้ไม่ได้ผล เวกเตอร์สำหรับหุ่นจำลอง,สูตรอร่อยมากมายที่เกี่ยวข้อง ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์- แต่กฎสำหรับการบวกเวกเตอร์และการคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข สูตรสำหรับการหารส่วนของความสัมพันธ์นี้ รวมถึงปัญหาประเภทอื่น ๆ ที่เราจะพิจารณาในไม่ช้านั้นใช้ได้

และข้อสรุปก็คือ กรณีพิเศษที่สะดวกที่สุดของระบบพิกัดแอฟฟินคือระบบสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียน นั่นเป็นเหตุผลที่คุณต้องพบเธอบ่อยที่สุดที่รักของฉัน ...อย่างไรก็ตาม ทุกสิ่งในชีวิตนี้มีความสัมพันธ์กัน มีหลายสถานการณ์ที่มีมุมเอียง (หรืออย่างอื่น เช่น ขั้วโลก) ระบบพิกัด และหุ่นยนต์ฮิวแมนนอยด์อาจจะชอบระบบแบบนี้ =)

เรามาดูส่วนที่ใช้งานได้จริงกันดีกว่า งานทั้งหมด บทเรียนนี้ใช้ได้กับทั้งระบบพิกัดสี่เหลี่ยมและกรณีความสัมพันธ์ทั่วไป ไม่มีอะไรซับซ้อนที่นี่แม้แต่เด็กนักเรียนก็สามารถเข้าถึงเนื้อหาทั้งหมดได้

จะตรวจสอบความเป็นเส้นตรงของเวกเตอร์ระนาบได้อย่างไร?

สิ่งทั่วไป เพื่อให้ได้เวกเตอร์ระนาบสองตัว อยู่ในแนวเดียวกัน จึงมีความจำเป็นและเพียงพอที่พิกัดที่สอดคล้องกันจะเป็นสัดส่วนโดยพื้นฐานแล้ว นี่คือรายละเอียดแบบประสานงานโดยพิกัดของความสัมพันธ์ที่ชัดเจน

ตัวอย่างที่ 1

ก) ตรวจสอบว่าเวกเตอร์อยู่ในแนวเดียวกันหรือไม่ .
b) เวกเตอร์สร้างพื้นฐานหรือไม่? ?

สารละลาย:
ก) ให้เราดูว่ามีเวกเตอร์หรือไม่ ค่าสัมประสิทธิ์สัดส่วนเพื่อให้มีความเท่าเทียมกัน:

ฉันจะบอกคุณอย่างแน่นอนเกี่ยวกับการใช้กฎนี้ในรูปแบบ "ฟุ่มเฟือย" ซึ่งใช้ได้ผลค่อนข้างดีในทางปฏิบัติ แนวคิดคือสร้างสัดส่วนทันทีและดูว่าถูกต้องหรือไม่:

เรามาสร้างสัดส่วนจากอัตราส่วนของพิกัดที่สอดคล้องกันของเวกเตอร์กัน:

มาย่อให้สั้นลง:
ดังนั้นพิกัดที่สอดคล้องกันจึงเป็นสัดส่วนดังนั้น

ความสัมพันธ์สามารถทำในทางกลับกันได้ นี่เป็นตัวเลือกที่เทียบเท่า:

สำหรับการทดสอบตัวเอง คุณสามารถใช้ข้อเท็จจริงที่ว่า เวกเตอร์คอลลิเนียร์แสดงเป็นเส้นตรงผ่านกันและกัน ใน ในกรณีนี้มีความเท่าเทียมกัน - ความถูกต้องของพวกมันสามารถตรวจสอบได้อย่างง่ายดายผ่านการดำเนินการเบื้องต้นด้วยเวกเตอร์:

b) เวกเตอร์ระนาบสองตัวจะสร้างฐานหากพวกมันไม่อยู่ในแนวเดียวกัน (อิสระเชิงเส้น) เราตรวจสอบเวกเตอร์เพื่อหาความเป็นเชิงเส้น - มาสร้างระบบกันเถอะ:

จากสมการแรกเป็นไปตามนั้น จากสมการที่สองเป็นไปตามนั้น ซึ่งหมายถึง ระบบไม่สอดคล้องกัน(ไม่มีวิธีแก้ปัญหา) ดังนั้นพิกัดที่สอดคล้องกันของเวกเตอร์จึงไม่เป็นสัดส่วน

บทสรุป: เวกเตอร์มีความเป็นอิสระเชิงเส้นและเป็นพื้นฐาน

โซลูชันเวอร์ชันที่เรียบง่ายมีลักษณะดังนี้:

ลองสร้างสัดส่วนจากพิกัดที่สอดคล้องกันของเวกเตอร์กัน :
ซึ่งหมายความว่าเวกเตอร์เหล่านี้มีความเป็นอิสระเชิงเส้นและเป็นพื้นฐาน

โดยปกติแล้วตัวเลือกนี้จะไม่ถูกปฏิเสธโดยผู้ตรวจสอบ แต่ปัญหาจะเกิดขึ้นในกรณีที่พิกัดบางพิกัดมีค่าเท่ากับศูนย์ แบบนี้: - หรือเช่นนี้: - หรือเช่นนี้: - ทำงานตามสัดส่วนที่นี่ได้อย่างไร? (อันที่จริงคุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้) ด้วยเหตุนี้ฉันจึงเรียกวิธีแก้ปัญหาแบบง่ายว่า "foppish"

คำตอบ:ก) , ข) แบบฟอร์ม

เล็ก ตัวอย่างที่สร้างสรรค์สำหรับ การตัดสินใจที่เป็นอิสระ:

ตัวอย่างที่ 2

เวกเตอร์มีค่าเท่ากับพารามิเตอร์เท่าใด พวกเขาจะเรียงกันไหม?

ในสารละลายตัวอย่าง พารามิเตอร์จะพบได้จากสัดส่วน

มีวิธีพีชคณิตที่หรูหราในการตรวจสอบเวกเตอร์เพื่อหาความสอดคล้องกัน มาจัดระบบความรู้ของเราและเพิ่มเป็นจุดที่ห้า:

สำหรับเวกเตอร์ระนาบสองตัว ข้อความต่อไปนี้จะเทียบเท่ากัน:

2) เวกเตอร์เป็นพื้นฐาน
3) เวกเตอร์ไม่เป็นเส้นตรง

+ 5) ดีเทอร์มิแนนต์ที่ประกอบด้วยพิกัดของเวกเตอร์เหล่านี้ไม่ใช่ศูนย์.

ตามลำดับ ข้อความตรงข้ามต่อไปนี้เทียบเท่ากัน:
1) เวกเตอร์ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น
2) เวกเตอร์ไม่ได้สร้างพื้นฐาน
3) เวกเตอร์เป็นแบบเส้นตรง;
4) เวกเตอร์สามารถแสดงเป็นเส้นตรงผ่านกันและกัน
+ 5) ดีเทอร์มิแนนต์ที่ประกอบด้วยพิกัดของเวกเตอร์เหล่านี้มีค่าเท่ากับศูนย์.

ฉันหวังเป็นอย่างยิ่งว่าตอนนี้คุณจะเข้าใจข้อกำหนดและข้อความทั้งหมดที่คุณพบแล้ว

มาดูประเด็นที่ห้าใหม่ให้ละเอียดยิ่งขึ้น: เวกเตอร์ระนาบสองอัน อยู่ในแนวเดียวกันก็ต่อเมื่อดีเทอร์มีแนนต์ประกอบด้วยพิกัดของเวกเตอร์ที่กำหนดมีค่าเท่ากับศูนย์- แน่นอนว่าหากต้องการใช้ฟีเจอร์นี้ คุณจะต้องสามารถทำได้ ค้นหาปัจจัยกำหนด.

มาตัดสินใจกันตัวอย่างที่ 1 ในวิธีที่สอง:

ก) ให้เราคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ที่ประกอบด้วยพิกัดของเวกเตอร์ :
, ซึ่งหมายความว่าเวกเตอร์เหล่านี้อยู่ในแนวเดียวกัน

b) เวกเตอร์ระนาบสองตัวจะสร้างฐานหากพวกมันไม่อยู่ในแนวเดียวกัน (อิสระเชิงเส้น) ลองคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ที่ประกอบด้วยพิกัดเวกเตอร์กัน :
ซึ่งหมายความว่าเวกเตอร์มีความเป็นอิสระเชิงเส้นและเป็นพื้นฐาน

คำตอบ:ก) , ข) แบบฟอร์ม

มันดูกะทัดรัดและสวยกว่าโซลูชันที่มีสัดส่วนมาก

ด้วยความช่วยเหลือของวัสดุที่พิจารณา มันเป็นไปได้ที่จะสร้างไม่เพียงแต่ความเป็นเส้นตรงของเวกเตอร์เท่านั้น แต่ยังพิสูจน์ความขนานของเซ็กเมนต์และเส้นตรงได้ด้วย ลองพิจารณาปัญหาสองสามประการเกี่ยวกับรูปทรงเรขาคณิตเฉพาะกัน

ตัวอย่างที่ 3

จุดยอดของรูปสี่เหลี่ยมจะได้รับ พิสูจน์ว่ารูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

การพิสูจน์: ไม่จำเป็นต้องสร้างภาพวาดในปัญหา เนื่องจากการแก้ปัญหาจะเป็นการวิเคราะห์ล้วนๆ จำคำจำกัดความของสี่เหลี่ยมด้านขนาน:
สี่เหลี่ยมด้านขนาน รูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านตรงข้ามขนานกันเป็นคู่เรียกว่า

ดังนั้นจึงจำเป็นต้องพิสูจน์:
1) ความขนานของด้านตรงข้ามและ;
2) ความขนานของด้านตรงข้าม และ

เราพิสูจน์:

1) ค้นหาเวกเตอร์:

2) ค้นหาเวกเตอร์:

ผลลัพธ์ที่ได้คือเวกเตอร์เดียวกัน (“รูปแบบโรงเรียน” - เวกเตอร์ที่เท่ากัน- Collinearity ค่อนข้างชัดเจน แต่จะดีกว่าถ้าทำการตัดสินใจให้ชัดเจนและมีการจัดเตรียมไว้จะดีกว่า ลองคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ที่ประกอบด้วยพิกัดเวกเตอร์:
ซึ่งหมายความว่าเวกเตอร์เหล่านี้เป็นเส้นตรง และ

บทสรุป: ฝั่งตรงข้ามรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานนั้นขนานกันเป็นคู่ ซึ่งหมายความว่าเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานตามคำนิยาม Q.E.D.

ตัวเลขที่ดีและแตกต่างมากขึ้น:

ตัวอย่างที่ 4

จุดยอดของรูปสี่เหลี่ยมจะได้รับ พิสูจน์ว่ารูปสี่เหลี่ยมเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู

สำหรับการกำหนดหลักฐานที่เข้มงวดมากขึ้น แน่นอนว่าจะดีกว่าถ้าได้คำจำกัดความของสี่เหลี่ยมคางหมู แต่ก็เพียงพอแล้วที่จะจำไว้ว่ามันมีลักษณะอย่างไร

นี่เป็นงานสำหรับคุณที่จะแก้ไขด้วยตัวเอง โซลูชั่นที่สมบูรณ์ในตอนท้ายของบทเรียน

และตอนนี้ก็ถึงเวลาที่จะค่อยๆ เคลื่อนตัวจากเครื่องบินไปสู่อวกาศ:

จะตรวจสอบความเป็นเส้นตรงของเวกเตอร์อวกาศได้อย่างไร?

กฎนี้คล้ายกันมาก เพื่อให้เวกเตอร์อวกาศสองตัวอยู่ในแนวเดียวกัน พิกัดที่สอดคล้องกันของเวกเตอร์เหล่านั้นจะต้องเป็นสัดส่วนกันจึงจำเป็นและเพียงพอ.

ตัวอย่างที่ 5

ค้นหาว่าเวกเตอร์อวกาศต่อไปนี้อยู่ในแนวเดียวกันหรือไม่:

ก) ;
ข)
วี)

สารละลาย:
ก) มาตรวจสอบว่ามีค่าสัมประสิทธิ์ของสัดส่วนสำหรับพิกัดที่สอดคล้องกันของเวกเตอร์หรือไม่:

ระบบไม่มีวิธีแก้ปัญหา ซึ่งหมายความว่าเวกเตอร์ไม่อยู่ในแนวเดียวกัน

“ประยุกต์” ถูกทำให้เป็นทางการโดยการตรวจสอบสัดส่วน ในกรณีนี้:
– พิกัดที่สอดคล้องกันไม่เป็นสัดส่วน ซึ่งหมายความว่าเวกเตอร์ไม่อยู่ในแนวเดียวกัน

คำตอบ:เวกเตอร์ไม่เป็นเส้นตรง

b-c) สิ่งเหล่านี้เป็นจุดสำหรับการตัดสินใจอย่างอิสระ ลองใช้สองวิธี

มีวิธีการตรวจสอบเวกเตอร์เชิงพื้นที่สำหรับความสอดคล้องกันผ่านปัจจัยกำหนดลำดับที่สาม วิธีนี้ครอบคลุมอยู่ในบทความ ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์.

เช่นเดียวกับกรณีเครื่องบิน เครื่องมือที่ได้รับการพิจารณาสามารถใช้เพื่อศึกษาความขนานของส่วนเชิงพื้นที่และเส้นตรงได้

ยินดีต้อนรับสู่ส่วนที่สอง:

การพึ่งพาเชิงเส้นและความเป็นอิสระของเวกเตอร์ในปริภูมิสามมิติ
พื้นฐานเชิงพื้นที่และระบบพิกัดสัมพันธ์

รูปแบบต่างๆ มากมายที่เราตรวจสอบบนเครื่องบินนั้นใช้ได้กับอวกาศ ฉันพยายามย่อบันทึกทางทฤษฎีให้เหลือน้อยที่สุด เนื่องจากส่วนแบ่งข้อมูลส่วนใหญ่ถูกเคี้ยวไปแล้ว อย่างไรก็ตาม ฉันขอแนะนำให้คุณอ่านส่วนเกริ่นนำอย่างละเอียด เนื่องจากข้อกำหนดและแนวคิดใหม่จะปรากฏขึ้น

ตอนนี้ แทนที่จะเป็นระนาบของโต๊ะคอมพิวเตอร์ เราสำรวจอวกาศสามมิติ ก่อนอื่นเรามาสร้างพื้นฐานกันก่อน ขณะนี้มีคนอยู่ในบ้าน บางคนอยู่กลางแจ้ง แต่ไม่ว่าในกรณีใด เราไม่สามารถหลบหนีสามมิติ ได้แก่ ความกว้าง ความยาว และความสูง ดังนั้น ในการสร้างพื้นฐาน จำเป็นต้องใช้เวกเตอร์เชิงพื้นที่ 3 ตัว เวกเตอร์หนึ่งหรือสองตัวไม่เพียงพอ เวกเตอร์ตัวที่สี่นั้นไม่จำเป็น

และอีกครั้งที่เราอุ่นเครื่องบนนิ้วของเรา โปรดยกมือขึ้นแล้วกางออก ด้านที่แตกต่างกัน นิ้วหัวแม่มือ นิ้วชี้ และนิ้วกลาง- พวกนี้จะเป็นเวกเตอร์ โดยมองไปในทิศทางต่างกัน มีความยาวต่างกัน และมีมุมระหว่างกันต่างกัน ขอแสดงความยินดี พื้นฐานของพื้นที่สามมิติพร้อมแล้ว! ยังไงก็ตามไม่จำเป็นต้องแสดงสิ่งนี้ให้ครูเห็นไม่ว่าคุณจะบิดนิ้วแรงแค่ไหน แต่ก็หนีไม่พ้นคำจำกัดความ =)

ต่อไปลองถามดู ปัญหาสำคัญ, ทำเวกเตอร์สามตัวใดๆ ให้เป็นฐาน พื้นที่สามมิติ - กรุณากดสามนิ้วที่ด้านบนของโต๊ะคอมพิวเตอร์ให้แน่น เกิดอะไรขึ้น เวกเตอร์สามตัวอยู่ในระนาบเดียวกัน และพูดคร่าวๆ ก็คือ เราได้สูญเสียมิติหนึ่งไป นั่นก็คือความสูง เวกเตอร์ดังกล่าวคือ เครื่องบินร่วมและเห็นได้ชัดว่าไม่ได้สร้างพื้นฐานของพื้นที่สามมิติ

ควรสังเกตว่าเวกเตอร์ coplanar ไม่จำเป็นต้องอยู่ในระนาบเดียวกัน ระนาบขนาน(อย่าใช้นิ้วทำอย่างนี้ มีเพียงซัลวาดอร์ ดาลีเท่านั้นที่ดึงออกด้วยวิธีนี้ =))

คำนิยาม: เรียกว่าเวกเตอร์ เครื่องบินร่วมหากมีระนาบที่ขนานกัน เป็นตรรกะที่ต้องเพิ่มตรงนี้ว่า หากไม่มีระนาบดังกล่าว เวกเตอร์ก็จะไม่เป็นระนาบเดียวกัน

เวกเตอร์โคพลานาร์สามตัวจะขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรงเสมอนั่นคือพวกมันถูกแสดงเป็นเส้นตรงผ่านกันและกัน เพื่อความง่าย ลองจินตนาการอีกครั้งว่าพวกเขาอยู่ในระนาบเดียวกัน ประการแรก เวกเตอร์ไม่เพียงแต่เป็นโคพลานาร์เท่านั้น แต่ยังสามารถอยู่ในระนาบเดียวกันได้ด้วย จากนั้นเวกเตอร์ใดๆ ก็สามารถแสดงผ่านเวกเตอร์ใดๆ ก็ได้ ในกรณีที่สอง ตัวอย่างเช่น หากเวกเตอร์ไม่อยู่ในแนวเดียวกัน เวกเตอร์ที่สามก็จะแสดงผ่านเวกเตอร์เหล่านั้นในลักษณะเฉพาะ: (และเหตุใดจึงเดาง่ายจากเนื้อหาในหัวข้อที่แล้ว)

การสนทนาก็เป็นจริงเช่นกัน: เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ coplanar สามตัวจะเป็นอิสระเชิงเส้นเสมอนั่นคือพวกเขาไม่ได้แสดงออกผ่านกันในทางใดทางหนึ่ง และเห็นได้ชัดว่ามีเพียงเวกเตอร์ดังกล่าวเท่านั้นที่สามารถสร้างพื้นฐานของปริภูมิสามมิติได้

คำนิยาม: พื้นฐานของพื้นที่สามมิติเรียกว่าเวกเตอร์อิสระเชิงเส้นสามเท่า (ไม่ใช่โคพลานาร์) ดำเนินการตามลำดับที่แน่นอนและเวกเตอร์ใดๆ ของปริภูมิ วิธีเดียวเท่านั้นถูกสลายไปบนพื้นฐานที่กำหนด โดยที่พิกัดของเวกเตอร์บนพื้นฐานนี้อยู่ที่ไหน

ฉันขอเตือนคุณว่าเราสามารถพูดได้ว่าเวกเตอร์แสดงอยู่ในรูปแบบด้วย การรวมกันเชิงเส้นเวกเตอร์พื้นฐาน

แนวคิดของระบบพิกัดถูกนำมาใช้ในลักษณะเดียวกับทุกประการ กรณีแบนหนึ่งจุดและสามจุดใดๆ เชิงเส้นก็เพียงพอแล้ว เวกเตอร์อิสระ:

ต้นทาง, และ ไม่ใช่ระนาบเวกเตอร์, ดำเนินการตามลำดับที่แน่นอน, ชุด ระบบพิกัดสัมพันธ์ของปริภูมิสามมิติ :

แน่นอนว่าตารางพิกัดนั้น "เอียง" และไม่สะดวก แต่ถึงกระนั้นระบบพิกัดที่สร้างขึ้นก็ช่วยให้เรา อย่างแน่นอนกำหนดพิกัดของเวกเตอร์และพิกัดของจุดใด ๆ ในอวกาศ เช่นเดียวกับเครื่องบิน สูตรบางสูตรที่ผมได้กล่าวไปแล้วจะใช้ไม่ได้ในระบบพิกัดอัฟฟินของอวกาศ

กรณีพิเศษที่คุ้นเคยและสะดวกที่สุดของระบบพิกัดอัฟฟินตามที่ทุกคนเดาก็คือ ระบบพิกัดพื้นที่สี่เหลี่ยม:

จุดหนึ่งในอวกาศที่เรียกว่า ต้นทาง, และ ออร์โธนอร์มอลมีการกำหนดพื้นฐานไว้แล้ว ระบบพิกัดพื้นที่สี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียน - ภาพที่คุ้นเคย:

ก่อนที่จะไปสู่การปฏิบัติ เรามาจัดระบบข้อมูลอีกครั้ง:

สำหรับ เวกเตอร์สามตัวช่องว่าง ข้อความต่อไปนี้เทียบเท่ากัน:
1) เวกเตอร์มีความเป็นอิสระเชิงเส้น
2) เวกเตอร์เป็นพื้นฐาน
3) เวกเตอร์ไม่ใช่ระนาบเดียว
4) เวกเตอร์ไม่สามารถแสดงเป็นเส้นตรงผ่านกันและกันได้
5) ดีเทอร์มิแนนต์ที่ประกอบด้วยพิกัดของเวกเตอร์เหล่านี้ แตกต่างจากศูนย์

ฉันคิดว่าข้อความที่ตรงกันข้ามสามารถเข้าใจได้

การพึ่งพาเชิงเส้น/ความเป็นอิสระของเวกเตอร์ปริภูมิจะถูกตรวจสอบแบบดั้งเดิมโดยใช้ดีเทอร์มิแนนต์ (จุดที่ 5) ที่เหลืออยู่ งานภาคปฏิบัติจะมีอักขระพีชคณิตเด่นชัด ถึงเวลาที่จะแขวนแท่งทรงเรขาคณิตแล้วควงไม้เบสบอลของพีชคณิตเชิงเส้น:

เวกเตอร์อวกาศสามตัวเป็นระนาบเดียวกันก็ต่อเมื่อดีเทอร์มิแนนต์ที่ประกอบด้วยพิกัดของเวกเตอร์ที่กำหนดมีค่าเท่ากับศูนย์: .

ฉันอยากจะดึงความสนใจของคุณไปที่ความแตกต่างทางเทคนิคเล็กน้อย: พิกัดของเวกเตอร์สามารถเขียนได้ไม่เพียง แต่ในคอลัมน์เท่านั้น แต่ยังอยู่ในแถวด้วย (ค่าของดีเทอร์มิแนนต์จะไม่เปลี่ยนแปลงด้วยเหตุนี้ - ดูคุณสมบัติของดีเทอร์มิแนนต์) แต่จะดีกว่ามากในคอลัมน์เนื่องจากมีประโยชน์มากกว่าในการแก้ปัญหาในทางปฏิบัติ

สำหรับผู้อ่านที่ลืมวิธีการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ไปบ้างหรืออาจมีความเข้าใจเพียงเล็กน้อยในเรื่องนี้ ฉันขอแนะนำบทเรียนที่เก่าแก่ที่สุดบทหนึ่งของฉัน: จะคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ได้อย่างไร?

ตัวอย่างที่ 6

ตรวจสอบว่าเวกเตอร์ต่อไปนี้เป็นพื้นฐานของปริภูมิสามมิติหรือไม่:

สารละลาย: อันที่จริง คำตอบทั้งหมดขึ้นอยู่กับการคำนวณดีเทอร์มีแนนต์

ก) ลองคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ที่ประกอบด้วยพิกัดเวกเตอร์ (ดีเทอร์มิแนนต์ถูกเปิดเผยในบรรทัดแรก):

ซึ่งหมายความว่าเวกเตอร์มีความเป็นอิสระเชิงเส้น (ไม่ใช่ระนาบร่วม) และสร้างพื้นฐานของปริภูมิสามมิติ

คำตอบ: เวกเตอร์เหล่านี้เป็นฐาน

b) นี่คือประเด็นสำหรับการตัดสินใจอย่างอิสระ เฉลยเต็มและเฉลยท้ายบทเรียน

พบกันและ งานสร้างสรรค์:

ตัวอย่างที่ 7

เวกเตอร์จะเป็นโคระนาบที่ค่าพารามิเตอร์เท่าใด

สารละลาย: เวกเตอร์จะเป็นระนาบเดียวกันก็ต่อเมื่อดีเทอร์มิแนนต์ที่ประกอบด้วยพิกัดของเวกเตอร์เหล่านี้มีค่าเท่ากับศูนย์:

โดยพื้นฐานแล้ว คุณต้องแก้สมการด้วยดีเทอร์มิแนนต์ เราโฉบลงบนศูนย์เหมือนว่าวบน jerboas - เป็นการดีที่สุดที่จะเปิดดีเทอร์มิแนนต์ในบรรทัดที่สองและกำจัด minuses ทันที:

เราดำเนินการลดความซับซ้อนเพิ่มเติมและลดปัญหาให้เหลือน้อยที่สุด สมการเชิงเส้น:

คำตอบ: ที่

ง่ายต่อการตรวจสอบที่นี่ โดยคุณต้องแทนที่ค่าผลลัพธ์ให้เป็นค่าดีเทอร์มิแนนต์เดิมและตรวจสอบให้แน่ใจว่า , เปิดอีกครั้ง.

สรุปเรามาดูกันอีก งานทั่วไปซึ่งมีลักษณะเป็นพีชคณิตมากกว่าและมักจะรวมอยู่ในหลักสูตรพีชคณิตเชิงเส้น เป็นเรื่องปกติมากที่สมควรได้รับหัวข้อของตัวเอง:

พิสูจน์ว่าเวกเตอร์ 3 ตัวเป็นพื้นฐานของปริภูมิสามมิติ
และหาพิกัดของเวกเตอร์ตัวที่ 4 บนพื้นฐานนี้

ตัวอย่างที่ 8

มีการระบุเวกเตอร์ แสดงว่าเวกเตอร์สร้างฐานในปริภูมิสามมิติและหาพิกัดของเวกเตอร์บนฐานนี้

สารละลาย: ก่อนอื่นมาจัดการกับเงื่อนไขกันก่อน ตามเงื่อนไข จะมีการกำหนดเวกเตอร์สี่ตัว และอย่างที่คุณเห็น เวกเตอร์เหล่านี้มีพิกัดอยู่แล้วในบางพื้นฐาน สิ่งที่เป็นพื้นฐานนี้ไม่น่าสนใจสำหรับเรา และสิ่งต่อไปนี้น่าสนใจ: เวกเตอร์สามตัวอาจสร้างฐานใหม่ได้ และขั้นตอนแรกเกิดขึ้นพร้อมกับคำตอบของตัวอย่างที่ 6 โดยสมบูรณ์ จำเป็นต้องตรวจสอบว่าเวกเตอร์มีความเป็นอิสระเชิงเส้นจริงหรือไม่:

ลองคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ที่ประกอบด้วยพิกัดเวกเตอร์:

ซึ่งหมายความว่าเวกเตอร์มีความเป็นอิสระเชิงเส้นและเป็นพื้นฐานของปริภูมิสามมิติ

- สำคัญ : พิกัดเวกเตอร์ จำเป็นเขียนลงไป ลงในคอลัมน์ดีเทอร์มิแนนต์ ไม่ใช่ในสตริง มิฉะนั้นจะเกิดความสับสนในอัลกอริทึมการแก้ปัญหาเพิ่มเติม

พื้นฐาน(กรีกโบราณ βασις พื้นฐาน) - ชุดของเวกเตอร์ดังกล่าวใน พื้นที่เวกเตอร์ว่าเวกเตอร์ใดๆ ของปริภูมินี้สามารถแสดงได้อย่างไม่ซ้ำกันในรูปผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์จากเซตนี้ - เวกเตอร์พื้นฐาน

พื้นฐานในพื้นที่ Rn คือระบบใดๆ จาก n- เวกเตอร์อิสระเชิงเส้น เวกเตอร์แต่ละตัวจาก R n ที่ไม่รวมอยู่ในฐานสามารถแสดงเป็นผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์พื้นฐานได้ เช่น กระจายอยู่บนพื้นฐาน
อนุญาต เป็นพื้นฐานของช่องว่าง R n และ . จากนั้นก็มีตัวเลข แลมบ์ดา 1, แลมบ์ 2, …, แลมบ์ n แบบนั้น .
ค่าสัมประสิทธิ์การขยายตัว แลมบ์ดา 1, แลมบ์ 2, ..., แลมบ์ n เรียกว่าพิกัดเวกเตอร์ในฐาน B หากกำหนดพื้นฐานไว้ ค่าสัมประสิทธิ์เวกเตอร์จะถูกกำหนดโดยไม่ซ้ำกัน

ความคิดเห็น ในทุก n- มิติพื้นที่เวกเตอร์ที่คุณสามารถเลือกได้ นับไม่ถ้วนฐานที่แตกต่างกัน ในฐานที่ต่างกัน เวกเตอร์เดียวกันจะมี พิกัดที่แตกต่างกันแต่เพียงผู้เดียวในเกณฑ์ที่เลือก ตัวอย่าง.ขยายเวกเตอร์ให้เป็นฐาน
สารละลาย. - ลองแทนที่พิกัดของเวกเตอร์ทั้งหมดแล้วดำเนินการกับพวกมัน:

เมื่อพิกัดเท่ากันเราจะได้ระบบสมการ:

มาแก้กัน: .
ดังนั้นเราจึงได้รับการสลายตัว: .
โดยพื้นฐานแล้ว เวกเตอร์มีพิกัด

สิ้นสุดการทำงาน -

หัวข้อนี้เป็นของส่วน:

แนวคิดเรื่องเวกเตอร์ การดำเนินการเชิงเส้นบนเวกเตอร์

เวกเตอร์คือเซกเมนต์ที่มีทิศทางซึ่งมีความยาวที่แน่นอน เช่น เซ็กเมนต์ ความยาวที่แน่นอนซึ่งมีจุดจำกัดจุดหนึ่ง.. ความยาวของเวกเตอร์เรียกว่าโมดูลัสและเขียนแทนด้วยโมดูลัสสัญลักษณ์ของเวกเตอร์.. เวกเตอร์เรียกว่าศูนย์ ซึ่งแสดงว่าเวกเตอร์เริ่มต้นและสิ้นสุดตรงกัน อันที่เจาะจง..

หากคุณต้องการ วัสดุเพิ่มเติมในหัวข้อนี้หรือคุณไม่พบสิ่งที่คุณกำลังมองหาเราขอแนะนำให้ใช้การค้นหาในฐานข้อมูลผลงานของเรา:

เราจะทำอย่างไรกับเนื้อหาที่ได้รับ:

หากเนื้อหานี้มีประโยชน์สำหรับคุณ คุณสามารถบันทึกลงในเพจของคุณบนโซเชียลเน็ตเวิร์ก:

ในแคลคูลัสเวกเตอร์และการประยุกต์ คุ้มค่ามากมีงานการสลายตัวซึ่งประกอบด้วยการแสดงเวกเตอร์ที่กำหนดเป็นผลรวมของเวกเตอร์หลายตัวที่เรียกว่าส่วนประกอบของเวกเตอร์ที่กำหนด

เวกเตอร์ ปัญหานี้ ซึ่งโดยทั่วไปมีจำนวนคำตอบไม่สิ้นสุด จะถูกนิยามอย่างสมบูรณ์หากเราระบุองค์ประกอบบางส่วนของเวกเตอร์ส่วนประกอบ

2. ตัวอย่างการสลายตัว

ให้เราพิจารณากรณีการสลายตัวที่พบบ่อยๆ หลายกรณี

1. แยกเวกเตอร์ c ที่กำหนดให้เป็นเวกเตอร์องค์ประกอบสองตัว โดยเวกเตอร์ตัวหนึ่ง เช่น a กำหนดขนาดและทิศทาง

ปัญหาอยู่ที่การกำหนดความแตกต่างระหว่างเวกเตอร์สองตัว อันที่จริง ถ้าเวกเตอร์เป็นส่วนประกอบของเวกเตอร์ c ก็จะต้องได้รับความเท่าเทียมกัน

จากที่นี่จะกำหนดเวกเตอร์องค์ประกอบที่สอง

2. แบ่งเวกเตอร์ c ที่กำหนดออกเป็นสององค์ประกอบ โดยองค์ประกอบหนึ่งต้องอยู่ในนั้น เครื่องบินที่ได้รับและอันที่สองจะต้องนอนอยู่บนเส้นตรงที่กำหนด ก.

ในการกำหนดเวกเตอร์ส่วนประกอบ เราย้ายเวกเตอร์ c เพื่อให้จุดเริ่มต้นของมันเกิดขึ้นพร้อมกับจุดตัดของเส้นตรงที่กำหนดกับระนาบ (จุด O - ดูรูปที่ 18) จากจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ c (จุด C) เราวาดเส้นตรงไปที่

จุดตัดกับระนาบ (B คือจุดตัด) จากนั้นจากจุด C เราวาดเส้นตรงขนานกัน

เวกเตอร์ และ จะเป็นค่าที่ต้องการ เช่น โดยธรรมชาติแล้ว การขยายตัวที่ระบุเป็นไปได้หากเส้นตรง a และระนาบไม่ขนานกัน

3. ให้เวกเตอร์โคพลานาร์สามตัว a, b และ c และเวกเตอร์ไม่อยู่ในแนวเดียวกัน จำเป็นต้องแยกเวกเตอร์ c ให้เป็นเวกเตอร์

เรามาแสดงรายการทั้งสามกัน เวกเตอร์ที่กำหนดถึงจุดหนึ่ง O จากนั้น เนื่องจากระนาบเดียวกัน พวกมันจึงอยู่ในระนาบเดียวกัน บน เวกเตอร์ที่กำหนดเราจะสร้างสี่เหลี่ยมด้านขนานในแนวทแยงโดยด้านข้างขนานกับเส้นการกระทำของเวกเตอร์ (รูปที่ 19) โครงสร้างนี้เป็นไปได้เสมอ (เว้นแต่ว่าเวกเตอร์เป็นแบบแนวเดียวกัน) และมีลักษณะเฉพาะ จากรูป 19 เป็นที่ชัดเจนว่า

ล. 2-1 แนวคิดพื้นฐานของพีชคณิตเวกเตอร์ การดำเนินการเชิงเส้นบนเวกเตอร์

การสลายตัวของเวกเตอร์ตามพื้นฐาน

แนวคิดพื้นฐานของพีชคณิตเวกเตอร์

เวกเตอร์คือเซตของเซกเมนต์กำกับทั้งหมดที่มี ความยาวเท่ากันและทิศทาง
.

คุณสมบัติ:

การดำเนินการเชิงเส้นเหนือเวกเตอร์

1.

กฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน:

กับ อืมเวกเตอร์สองตัว และ เรียกว่าเวกเตอร์ มาจากจุดกำเนิดร่วมกันและเป็นเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างจากเวกเตอร์ และ ทั้งสองข้าง

กฎรูปหลายเหลี่ยม:

ในการสร้างผลรวมของเวกเตอร์จำนวนเท่าใดก็ได้ คุณต้องวางจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ที่ 2 ที่จุดสิ้นสุดของเทอมที่ 1, จุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ที่ 3 ที่จุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ที่ 2 เป็นต้น เวกเตอร์ที่ปิดผลลัพธ์ เส้นขาดคือผลรวม จุดเริ่มต้นเกิดขึ้นพร้อมกับจุดเริ่มต้นของวันที่ 1 และจุดสิ้นสุดพร้อมกับจุดสิ้นสุดของครั้งสุดท้าย

คุณสมบัติ:

2.

ผลคูณของเวกเตอร์ ต่อหมายเลข , เป็นเวกเตอร์ที่ตรงตามเงื่อนไข:
.

คุณสมบัติ:

3.

โดยความแตกต่างเวกเตอร์ และ เรียกว่าเวกเตอร์ เท่ากับผลรวมของเวกเตอร์ และเวกเตอร์ที่อยู่ตรงข้ามกับเวกเตอร์ , เช่น.
.

- กฎขององค์ประกอบตรงกันข้าม (เวกเตอร์)

การสลายตัวของเวกเตอร์ให้เป็นพื้นฐาน

ผลรวมของเวกเตอร์ถูกกำหนดด้วยวิธีที่ไม่ซ้ำกัน
(และเท่านั้น - การดำเนินการย้อนกลับ การสลายตัวของเวกเตอร์ออกเป็นหลายองค์ประกอบ มีความคลุมเครือ: เพื่อให้ไม่คลุมเครือจำเป็นต้องระบุทิศทางที่เวกเตอร์ที่เป็นปัญหาถูกสลายหรืออย่างที่พวกเขาพูดจำเป็นต้องระบุ พื้นฐาน.

ในการพิจารณาพื้นฐาน ข้อกำหนดของเวกเตอร์ที่ไม่อยู่ในระนาบเดียวกันและไม่ใช่เชิงเส้นตรงถือเป็นสิ่งสำคัญ เพื่อให้เข้าใจความหมายของข้อกำหนดนี้ จำเป็นต้องพิจารณาแนวคิดของการพึ่งพาเชิงเส้นและความเป็นอิสระเชิงเส้นของเวกเตอร์

การแสดงออกตามอำเภอใจของแบบฟอร์ม: , เรียกว่า การรวมกันเชิงเส้นเวกเตอร์
.

การรวมกันเชิงเส้นของเวกเตอร์หลายตัวเรียกว่า เล็กน้อยถ้าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดเท่ากับศูนย์

เวกเตอร์
ถูกเรียกว่า ขึ้นอยู่กับเชิงเส้นถ้ามีผลรวมเชิงเส้นที่ไม่ไม่สำคัญของเวกเตอร์เหล่านี้เท่ากับศูนย์:
(1) จัดให้
- หากความเสมอภาค (1) มีไว้สำหรับทุกคนเท่านั้น
พร้อมกันเท่ากับศูนย์ จากนั้นเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์
จะ เป็นอิสระเชิงเส้น.

พิสูจน์ได้ง่าย: เวกเตอร์คอลลิเนียร์สองตัวใดๆ ก็ตามขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง และเวกเตอร์ที่ไม่ใช่คอลลิเนียร์สองตัวใดๆ มีความเป็นอิสระเชิงเส้นตรง.

มาเริ่มการพิสูจน์ด้วยข้อความแรกกัน

ปล่อยให้เวกเตอร์ และ คอลลิเนียร์ ลองแสดงว่าพวกมันขึ้นอยู่กับเชิงเส้น อันที่จริงหากพวกมันอยู่ในแนวเดียวกัน พวกมันก็จะแตกต่างกันด้วยปัจจัยเชิงตัวเลขเท่านั้น เช่น
, เพราะฉะนั้น
- เนื่องจากผลรวมเชิงเส้นที่ได้นั้นไม่สำคัญอย่างชัดเจนและเท่ากับ "0" ดังนั้นเวกเตอร์ และ ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น

ตอนนี้ให้เราพิจารณาเวกเตอร์ที่ไม่ใช่เส้นตรงสองตัว และ - ลองพิสูจน์ว่ามันเป็นอิสระเชิงเส้นกัน ให้เราสร้างหลักฐานโดยขัดแย้งกัน

สมมติว่าพวกมันขึ้นอยู่กับเชิงเส้น จากนั้นจะต้องมีการรวมกันเชิงเส้นที่ไม่ไม่สำคัญ
- สมมุติว่า
, แล้ว
- ผลลัพธ์ที่เท่าเทียมกันหมายถึงเวกเตอร์ และ อยู่ในแนวเดียวกัน ซึ่งตรงกันข้ามกับสมมติฐานเริ่มแรกของเรา

ในทำนองเดียวกันเราสามารถพิสูจน์ได้ว่า: เวกเตอร์โคพลานาร์สามตัวใดๆ ก็ตามมีความเป็นอิสระเชิงเส้น และเวกเตอร์ที่ไม่ใช่โคพลานาร์สองตัวใดๆ มีความเป็นอิสระเชิงเส้นตรง.

เมื่อกลับไปสู่แนวคิดเรื่องพื้นฐานและปัญหาการสลายตัวของเวกเตอร์บนพื้นฐานที่แน่นอน เราสามารถพูดอย่างนั้นได้ พื้นฐานบนระนาบและในอวกาศถูกสร้างขึ้นจากเซตของเวกเตอร์อิสระเชิงเส้นแนวคิดเรื่องพื้นฐานนี้เป็นเรื่องทั่วไปเพราะว่า มันใช้กับช่องว่างจำนวนมิติใดก็ได้

การแสดงออกเช่น:
เรียกว่าการสลายตัวของเวกเตอร์ โดยเวกเตอร์ ,…,.

หากเราพิจารณาพื้นฐานในปริภูมิสามมิติแล้วการสลายตัวของเวกเตอร์ ตามพื้นฐาน
จะ
, ที่ไหน
-พิกัดเวกเตอร์.

ในปัญหาการสลายตัวของเวกเตอร์ตามอำเภอใจในบางพื้นฐาน ข้อความต่อไปนี้มีความสำคัญมาก: เวกเตอร์ใดๆสามารถขยายได้ไม่ซ้ำกันตามเกณฑ์ที่กำหนด
. กล่าวอีกนัยหนึ่งคือพิกัด
สำหรับเวกเตอร์ใดๆ สัมพันธ์กับพื้นฐาน
ถูกกำหนดไว้อย่างไม่คลุมเครือ

การแนะนำพื้นฐานในอวกาศและบนระนาบช่วยให้เราสามารถกำหนดเวกเตอร์แต่ละตัวได้ ตัวเลขสาม (คู่) ที่เรียงลำดับ - พิกัดของมัน ผลลัพธ์ที่สำคัญมากนี้ซึ่งช่วยให้เราสามารถสร้างการเชื่อมโยงระหว่างวัตถุทางเรขาคณิตกับตัวเลข ทำให้สามารถอธิบายและศึกษาตำแหน่งและการเคลื่อนไหวของวัตถุทางกายภาพในเชิงวิเคราะห์ได้

เซตของจุดและฐานเรียกว่า ระบบพิกัด

หากเวกเตอร์ที่สร้างฐานเป็นหน่วยและตั้งฉากเป็นคู่ ระบบพิกัดจะถูกเรียก สี่เหลี่ยม,และพื้นฐาน ออร์โธนอร์มอล

ล. 2-2 ผลคูณของเวกเตอร์

การสลายตัวของเวกเตอร์ให้เป็นพื้นฐาน

พิจารณาเวกเตอร์
กำหนดโดยพิกัด:
.

- ส่วนประกอบเวกเตอร์ ตามทิศทางของเวกเตอร์ฐาน
.

การแสดงออกของแบบฟอร์ม
เรียกว่าการสลายตัวของเวกเตอร์ ตามพื้นฐาน
.

ในทำนองเดียวกันเราสามารถย่อยสลายได้ ตามพื้นฐาน
เวกเตอร์
:

.

โคไซน์ของมุมที่เกิดจากเวกเตอร์ที่กำลังพิจารณา ด้วยเวกเตอร์พื้นฐาน
ถูกเรียกว่า โคไซน์ทิศทาง

;
;
.

ผลคูณดอทของเวกเตอร์

ผลคูณดอทของเวกเตอร์สองตัว และ คือตัวเลขที่เท่ากับผลคูณของโมดูลัสของเวกเตอร์เหล่านี้กับโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน

ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์สองตัวถือได้ว่าเป็นผลคูณของโมดูลัสของเวกเตอร์ตัวใดตัวหนึ่งและการฉายภาพมุมฉากของเวกเตอร์อีกตัวหนึ่งไปยังทิศทางของเวกเตอร์ตัวแรก
.

คุณสมบัติ:

หากทราบพิกัดของเวกเตอร์
และ
จากนั้นจึงแยกเวกเตอร์ออกเป็นพื้นฐาน
:
และ
มาหากัน

, เพราะ
,
, ที่

.

.

เงื่อนไขสำหรับเวกเตอร์ที่จะตั้งฉาก:
.

เงื่อนไขสำหรับการคอลลิเนียริตี้ของอธิการบดี:
.

ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์

หรือ

สินค้าเวกเตอร์โดยเวกเตอร์ เป็นเวกเตอร์ เวกเตอร์ดังกล่าวเรียกว่า
ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไข:

คุณสมบัติ:

คุณสมบัติพีชคณิตที่พิจารณาช่วยให้เราสามารถค้นหานิพจน์เชิงวิเคราะห์สำหรับผลคูณเวกเตอร์ผ่านพิกัดของเวกเตอร์ส่วนประกอบในลักษณะออร์โธนอร์มอล

ที่ให้ไว้:
และ
.

เพราะ -
,
,
,
,
,
, ที่

- สูตรนี้สามารถเขียนให้สั้นกว่านี้ได้ ในรูปแบบของดีเทอร์มิแนนต์ลำดับที่สาม:

.

ผลคูณผสมของเวกเตอร์

ผลคูณผสมของเวกเตอร์สามตัว ,และ คือตัวเลขที่เท่ากับผลคูณเวกเตอร์
, คูณสเกลาร์ด้วยเวกเตอร์ .

ความเท่าเทียมกันต่อไปนี้เป็นจริง:
จึงมีการเขียนผลคูณผสม
.

ดังต่อไปนี้จากคำจำกัดความผลลัพธ์ของการผสม ผลิตภัณฑ์ของสามเวกเตอร์คือตัวเลข ตัวเลขนี้มีความหมายทางเรขาคณิตที่ชัดเจน:

โมดูลผลิตภัณฑ์ผสม
เท่ากับปริมาตรของเส้นขนานที่สร้างขึ้นบนจุดลดลง การเริ่มต้นทั่วไปเวกเตอร์ ,และ .

คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์ผสม:

ถ้าเป็นเวกเตอร์ ,,ระบุไว้ตามหลักออร์โธนอร์มอล
พิกัดการคำนวณผลิตภัณฑ์ผสมจะดำเนินการตามสูตร

.

จริงๆ แล้วถ้า.
, ที่

;
;
, แล้ว
.

ถ้าเป็นเวกเตอร์ ,,คือโคพลานาร์ แล้วก็ผลคูณเวกเตอร์
ตั้งฉากกับเวกเตอร์ - และในทางกลับกันถ้า
จากนั้นปริมาตรของเส้นขนานจะเป็นศูนย์ และจะเป็นไปได้ก็ต่อเมื่อเวกเตอร์เป็นแบบระนาบเดียว (ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น)

ดังนั้น เวกเตอร์สามตัวจะเป็นระนาบเดียวกันก็ต่อเมื่อผลคูณผสมของพวกมันเป็นศูนย์