ต. โคสยาโควา
โรงเรียนหมายเลข 80 ครัสโนดาร์

การแก้สมการตรรกยะกำลังสองและเศษส่วนที่มีพารามิเตอร์

บทที่ 4

หัวข้อบทเรียน:

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:พัฒนาความสามารถในการแก้สมการตรรกยะเศษส่วนที่มีพารามิเตอร์

ประเภทบทเรียน:การแนะนำวัสดุใหม่

1. (วาจา) แก้สมการ:

ตัวอย่างที่ 1- แก้สมการ

สารละลาย.

ลองค้นหาค่าที่ไม่ถูกต้อง ก:

คำตอบ. ถ้า ถ้า ก = – 19 แล้วไม่มีราก

ตัวอย่างที่ 2- แก้สมการ

สารละลาย.

เรามาค้นหาค่าพารามิเตอร์ที่ไม่ถูกต้องกัน ก :

10 – ก = 5, ก = 5;

10 – ก = ก, ก = 5.

คำตอบ. ถ้า ก = 5 ก № 5 , ที่ x=10– ก .

ตัวอย่างที่ 3- ที่ค่าพารามิเตอร์ใด ข สมการ มี:

ก) สองราก; b) รูตเดียว?

สารละลาย.

1) ค้นหาค่าพารามิเตอร์ที่ไม่ถูกต้อง ข :

x= ข, ข 2 (ข 2 – 1) – 2ข 3 + ข 2 = 0, ข 4 – 2ข 3 = 0,
ข= 0 หรือ ข = 2;
x = 2, 4( ข 2 – 1) – 4ข 2 + ข 2 = 0, ข 2 – 4 = 0, (ข – 2)(ข + 2) = 0,
ข= 2 หรือ ข = – 2.

2) แก้สมการ x 2 ( ข 2 – 1) – 2ข 2x+ ข 2 = 0:

ด=4 ข 4 – 4ข 2 (ข 2 – 1), ง = 4 ข 2 .

ก)

ไม่รวมค่าพารามิเตอร์ที่ไม่ถูกต้อง ข เราพบว่าสมการมีสองรากถ้า ข № – 2, ข № – 1, ข № 0, ข № 1, ข № 2 .

ข) 4ข 2 = 0, ข = 0, แต่นี่เป็นค่าพารามิเตอร์ที่ไม่ถูกต้อง ข - ถ้า ข 2 –1=0 , เช่น. ข=1 หรือ.

คำตอบ: ก) ถ้า ข № –2 , ข № –1, ข № 0, ข № 1, ข № 2 , แล้วก็มีรากสองอัน ข) ถ้า ข=1 หรือ ข=–1 แล้วรูตเดียวเท่านั้น

ทำงานอิสระ

ตัวเลือกที่ 1

แก้สมการ:

ตัวเลือกที่ 2

แก้สมการ:

คำตอบ

บี-1- ก) ถ้า ก=3 ก็ไม่มีราก ถ้า ข) ถ้าถ้า ก № 2 แล้วไม่มีราก

บี-2.ถ้า ก=2 ก็ไม่มีราก ถ้า ก=0 ก็ไม่มีราก ถ้า
ข) ถ้า ก=– 1 แล้วสมการก็ไร้ความหมาย หากไม่มีราก
ถ้า

การบ้านที่ได้รับมอบหมาย

แก้สมการ:

คำตอบ: ก) ถ้า ก № –2 , ที่ x= ก - ถ้า ก=–2 ก็ไม่มีวิธีแก้ปัญหา ข) ถ้า ก № –2 , ที่ x=2- ถ้า ก=–2 ก็ไม่มีวิธีแก้ปัญหา ค) ถ้า ก=–2 , ที่ x- ตัวเลขใดก็ได้ ยกเว้น 3 - ถ้า ก № –2 , ที่ x=2- ง) ถ้า ก=–8 ก็ไม่มีราก ถ้า ก=2 ก็ไม่มีราก ถ้า

บทที่ 5

หัวข้อบทเรียน:"การแก้สมการตรรกยะเศษส่วนที่มีพารามิเตอร์"

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

การฝึกอบรมการแก้สมการที่มีเงื่อนไขไม่เป็นไปตามมาตรฐาน
การดูดซึมอย่างมีสติโดยนักเรียนเกี่ยวกับแนวคิดเกี่ยวกับพีชคณิตและการเชื่อมโยงระหว่างพวกเขา

ประเภทบทเรียน:การจัดระบบและลักษณะทั่วไป

ตรวจการบ้าน.

ตัวอย่างที่ 1- แก้สมการ

ก) สัมพันธ์กับ x; b) สัมพันธ์กับ y

สารละลาย.

ก) ค้นหาค่าที่ไม่ถูกต้อง ย: y=0, x=y, y 2 =y 2 –2y,

ย=0– ค่าพารามิเตอร์ไม่ถูกต้อง ย.

ถ้า ย№ 0 , ที่ x=y–2- ถ้า ย=0แล้วสมการก็ไร้ความหมาย

b) ค้นหาค่าพารามิเตอร์ที่ไม่ถูกต้อง x: y=x, 2x–x 2 +x 2 =0, x=0– ค่าพารามิเตอร์ไม่ถูกต้อง x; y(2+x–y)=0, y=0หรือ y=2+x;

ย=0ไม่เป็นไปตามเงื่อนไข ใช่(ใช่–x)№ 0 .

คำตอบ: ก) ถ้า ย=0แล้วสมการก็ไร้ความหมาย ถ้า ย№ 0 , ที่ x=y–2- ข) ถ้า x=0 x№ 0 , ที่ y=2+x .

ตัวอย่างที่ 2- สำหรับค่าจำนวนเต็มของพารามิเตอร์ a คือรากของสมการ อยู่ในช่วงเวลา

ด = (3 ก + 2) 2 – 4ก(ก+ 1) 2 = 9 ก 2 + 12ก + 4 – 8ก 2 – 8ก,

ง = ( ก + 2) 2 .

ถ้า ก № 0 หรือ ก № – 1 , ที่

คำตอบ: 5 .

ตัวอย่างที่ 3- หาค่อนข้าง xคำตอบจำนวนเต็มของสมการ

คำตอบ. ถ้า ย=0แล้วสมการก็ไม่สมเหตุสมผล ถ้า ย=–1, ที่ x– จำนวนเต็มใดๆ ยกเว้นศูนย์ ถ้า ใช่ 0, ใช่ – 1ก็ไม่มีวิธีแก้ปัญหา

ตัวอย่างที่ 4แก้สมการ พร้อมพารามิเตอร์ ก และ ข .

ถ้า ก№ –ข , ที่

คำตอบ. ถ้า ก= 0 หรือ ข= 0 แล้วสมการก็ไร้ความหมาย ถ้า ก№ 0,ข№ 0, ก=–ข , ที่ x- ตัวเลขใดๆ ยกเว้นศูนย์ ถ้า ก№ 0,ข№ 0,ก№ –ข, ที่ x=–ก, x=–ข .

ตัวอย่างที่ 5- พิสูจน์ว่าสมการสำหรับค่าใดๆ ของพารามิเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ มีรากเดียวเท่ากับ –n .

สารละลาย.

เช่น. x=–nซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องได้รับการพิสูจน์

การบ้านที่ได้รับมอบหมาย

1. ค้นหาคำตอบจำนวนเต็มของสมการ

2. ที่ค่าพารามิเตอร์ใด คสมการ มี:
ก) สองราก; b) รูตเดียว?

3. ค้นหารากจำนวนเต็มทั้งหมดของสมการ ถ้า กเกี่ยวกับ เอ็น .

4. แก้สมการ 3xy – 5x + 5y = 7:ก) ค่อนข้าง ย- b) ค่อนข้าง x .

1. สมการนี้เป็นไปตามจำนวนเต็มที่มีค่าเท่ากับ x และ y นอกเหนือจากศูนย์
2.ก) เมื่อใด
b) ที่หรือ
3. – 12; – 9; 0 .
4.ก) ถ้าไม่มีราก; ถ้า
b) หากไม่มีราก; ถ้า

ทดสอบ

ตัวเลือกที่ 1

1. กำหนดประเภทของสมการ 7c(c + 3)x 2 +(c–2)x–8=0 เมื่อ: ก) ค=–3- ข) ค=2 ;วี) ค=4 .

2. แก้สมการ: ก) x 2 –bx=0 ;ข) ซีเอ็กซ์ 2 –6x+1=0- วี)

3. แก้สมการ 3x–xy–2y=1:

ก) ค่อนข้าง x ;
b) ค่อนข้าง ย .

นx 2 – 26x + n = 0,เมื่อรู้ว่าพารามิเตอร์ n ยอมรับเฉพาะค่าจำนวนเต็มเท่านั้น

5. สมการนี้มีค่า b เท่าใด มี:

ก) สองราก;
b) รูตเดียว?

ตัวเลือกที่ 2

1. กำหนดประเภทของสมการ 5c(ค + 4)x 2 +(c–7)x+7=0เมื่อ: ก) ค=–4 ;ข) ค=7 ;วี) ค=1 .

2. แก้สมการ: ก) y 2 +cy=0 ;ข) ny 2 –8y+2=0 ;วี)

3. แก้สมการ 6x–xy+2y=5:

ก) ค่อนข้าง x ;
b) ค่อนข้าง ย .

4. ค้นหารากจำนวนเต็มของสมการ นx 2 –22x+2n=0 ,เมื่อรู้ว่าพารามิเตอร์ n ยอมรับเฉพาะค่าจำนวนเต็มเท่านั้น

5. ค่าของพารามิเตอร์ใดที่ a ทำสมการ มี:

ก) สองราก;
b) รูตเดียว?

คำตอบ

บี-1. 1. ก) สมการเชิงเส้น
b) สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ c) สมการกำลังสอง
2. ก) ถ้า ข=0, ที่ x=0- ถ้า ขหมายเลข 0, ที่ x=0, x=ข;
ข) ถ้า คโอ (9;+Ґ )ก็ไม่มีราก
ค) ถ้า ก=–4 แล้วสมการก็ไร้ความหมาย ถ้า ก№ –4 , ที่ x=– ก .
3. ก) ถ้า ย=3ก็ไม่มีราก ถ้า);
ข) ก=–3, ก=1.

งานเพิ่มเติม

แก้สมการ:

วรรณกรรม

1. Golubev V.I., Goldman A.M., Dorofeev G.V. เกี่ยวกับพารามิเตอร์ตั้งแต่เริ่มต้น – อาจารย์ผู้สอน ฉบับที่ 2/1991, หน้า. 3–13.
2. Gronshtein P.I., Polonsky V.B., Yakir M.S.
เงื่อนไขที่จำเป็นในปัญหาเกี่ยวกับพารามิเตอร์ – ควานต์ เลขที่ 11/1991, หน้า 1. 44–49.
3. Dorofeev G.V., Zatakavay V.V. การแก้ปัญหาที่มีพารามิเตอร์ ตอนที่ 2 – ม. มุมมอง 2533 หน้า 2–38.
4. ทินยาคิน เอส.เอ. ห้าร้อยสิบสี่ปัญหาเกี่ยวกับพารามิเตอร์ – โวลโกกราด, 1991.

5. ยาสเตรบิเนทสกี้ จี.เอ. ปัญหาเกี่ยวกับพารามิเตอร์ – ม. การศึกษา, 2529.

§ 1 สมการจำนวนเต็มและเศษส่วน

ในบทนี้ เราจะดูแนวคิดต่างๆ เช่น สมการตรรกยะ นิพจน์ตรรกยะ นิพจน์ทั้งหมด นิพจน์เศษส่วน ลองพิจารณาแก้สมการตรรกยะกัน

สมการตรรกยะคือสมการที่ด้านซ้ายและด้านขวาเป็นนิพจน์ตรรกยะ

นิพจน์เหตุผลคือ:

นิพจน์จำนวนเต็มประกอบด้วยตัวเลข ตัวแปร กำลังจำนวนเต็มโดยใช้การดำเนินการบวก ลบ คูณ และหารด้วยตัวเลขอื่นที่ไม่ใช่ศูนย์

ตัวอย่างเช่น:

นิพจน์เศษส่วนเกี่ยวข้องกับการหารด้วยตัวแปรหรือนิพจน์ที่มีตัวแปร ตัวอย่างเช่น:

นิพจน์เศษส่วนไม่สมเหตุสมผลสำหรับค่าทั้งหมดของตัวแปรที่รวมอยู่ในนั้น ตัวอย่างเช่น การแสดงออก

ที่ x = -9 มันไม่สมเหตุสมผลเลย เนื่องจากที่ x = -9 ตัวส่วนจะเป็นศูนย์

ซึ่งหมายความว่าสมการตรรกยะอาจเป็นจำนวนเต็มหรือเศษส่วนก็ได้

สมการตรรกยะทั้งหมดคือสมการตรรกยะซึ่งด้านซ้ายและด้านขวาเป็นนิพจน์ทั้งหมด

ตัวอย่างเช่น:

สมการตรรกยะเศษส่วนคือสมการตรรกยะที่ด้านซ้ายหรือด้านขวาเป็นนิพจน์เศษส่วน

ตัวอย่างเช่น:

§ 2 การแก้สมการตรรกยะทั้งหมด

ลองพิจารณาคำตอบของสมการตรรกยะทั้งหมดกัน

ตัวอย่างเช่น:

ลองคูณทั้งสองข้างของสมการด้วยตัวส่วนร่วมน้อยที่สุดของตัวส่วนของเศษส่วนที่อยู่ในนั้น

เมื่อต้องการทำสิ่งนี้:

1. ค้นหาตัวส่วนร่วมของตัวส่วน 2, 3, 6 เท่ากับ 6

2. หาตัวประกอบเพิ่มเติมสำหรับแต่ละเศษส่วน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้หารตัวส่วนร่วม 6 ด้วยตัวส่วนแต่ละตัว

ตัวประกอบเพิ่มเติมสำหรับเศษส่วน

ตัวประกอบเพิ่มเติมสำหรับเศษส่วน

3. คูณตัวเศษของเศษส่วนด้วยตัวประกอบเพิ่มเติมที่เกี่ยวข้อง ดังนั้นเราจึงได้สมการ

ซึ่งเท่ากับสมการที่กำหนด

ลองเปิดวงเล็บทางด้านซ้าย เลื่อนส่วนขวาไปทางซ้าย เปลี่ยนเครื่องหมายของคำเมื่อโอนไปยังส่วนตรงกันข้าม

ขอให้เรานำพจน์ที่คล้ายกันของพหุนามมาด้วย

เราจะเห็นว่าสมการนั้นเป็นเส้นตรง

เมื่อแก้ได้แล้วเราจะพบว่า x = 0.5

§ 3 การแก้สมการตรรกยะเศษส่วน

ลองพิจารณาแก้สมการตรรกยะเศษส่วน

ตัวอย่างเช่น:

1. คูณทั้งสองข้างของสมการด้วยตัวส่วนร่วมที่น้อยที่สุดของตัวส่วนของเศษส่วนตรรกยะที่อยู่ในนั้น

ลองหาตัวส่วนร่วมของตัวส่วน x + 7 และ x - 1 กัน

มันเท่ากับผลคูณของมัน (x + 7)(x - 1)

2. มาหาตัวประกอบเพิ่มเติมสำหรับเศษส่วนตรรกยะแต่ละส่วนกัน

เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้หารตัวส่วนร่วม (x + 7)(x - 1) ด้วยตัวส่วนแต่ละตัว ตัวประกอบเพิ่มเติมสำหรับเศษส่วน

เท่ากับ x - 1,

ตัวประกอบเพิ่มเติมสำหรับเศษส่วน

เท่ากับ x+7

3.คูณตัวเศษของเศษส่วนด้วยตัวประกอบเพิ่มเติมที่เกี่ยวข้อง

เราได้สมการ (2x - 1)(x - 1) = (3x + 4)(x + 7) ซึ่งเทียบเท่ากับสมการนี้

4. คูณทวินามด้วยทวินามทางซ้ายและขวา แล้วได้สมการต่อไปนี้

5. เราเลื่อนด้านขวาไปทางซ้ายโดยเปลี่ยนเครื่องหมายของแต่ละเทอมเมื่อถ่ายโอนไปยังฝั่งตรงข้าม:

6. ให้เรานำเสนอพจน์ที่คล้ายกันของพหุนาม:

7. ทั้งสองด้านสามารถหารด้วย -1 ได้ เราได้สมการกำลังสอง:

8.เมื่อแก้ได้แล้วเราก็จะพบราก

เนื่องจากในสมการ

ด้านซ้ายและด้านขวาเป็นนิพจน์เศษส่วนและในนิพจน์เศษส่วนสำหรับค่าบางค่าของตัวแปรตัวส่วนสามารถกลายเป็นศูนย์ได้จากนั้นจึงจำเป็นต้องตรวจสอบว่าตัวส่วนร่วมไม่เป็นศูนย์เมื่อพบ x1 และ x2 หรือไม่ .

ที่ x = -27 ตัวส่วนร่วม (x + 7)(x - 1) จะไม่หายไป ที่ x = -1 ตัวส่วนร่วมก็ไม่ใช่ศูนย์เช่นกัน

ดังนั้นทั้งราก -27 และ -1 จึงเป็นรากของสมการ

เมื่อแก้สมการตรรกยะเศษส่วน ควรระบุช่วงของค่าที่ยอมรับได้ในทันที กำจัดค่าเหล่านั้นที่ตัวส่วนร่วมมีค่าเป็นศูนย์

ลองพิจารณาอีกตัวอย่างหนึ่งของการแก้สมการตรรกยะเศษส่วน

ตัวอย่างเช่น ลองแก้สมการกัน

เราแยกตัวส่วนของเศษส่วนทางด้านขวาของสมการ

เราได้สมการ

ลองหาตัวส่วนร่วมของตัวส่วน (x - 5), x, x(x - 5) กัน

มันจะเป็นนิพจน์ x(x - 5)

ตอนนี้เรามาดูช่วงของค่าที่ยอมรับได้ของสมการกัน

เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ เราให้ตัวส่วนร่วมเท่ากับศูนย์ x(x - 5) = 0

เราได้สมการมา โดยแก้โจทย์โดยพบว่าเมื่อ x = 0 หรือที่ x = 5 ตัวส่วนร่วมจะเป็นศูนย์

ซึ่งหมายความว่า x = 0 หรือ x = 5 ไม่สามารถเป็นรากของสมการได้

คุณสามารถหาตัวคูณเพิ่มเติมได้แล้ว

ตัวประกอบเพิ่มเติมสำหรับเศษส่วนตรรกยะ

ตัวประกอบเพิ่มเติมสำหรับเศษส่วน

จะเป็น (x - 5)

และตัวประกอบเพิ่มเติมของเศษส่วน

เราคูณตัวเศษด้วยปัจจัยเพิ่มเติมที่เกี่ยวข้อง

เราได้สมการ x(x - 3) + 1(x - 5) = 1(x + 5)

ลองเปิดวงเล็บด้านซ้ายและขวา x2 - 3x + x - 5 = x + 5

ย้ายเงื่อนไขจากขวาไปซ้ายโดยเปลี่ยนเครื่องหมายของเงื่อนไขที่ถ่ายโอน:

X2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0

และหลังจากนำพจน์ที่คล้ายกันมา เราจะได้สมการกำลังสอง x2 - 3x - 10 = 0 เมื่อแก้ได้แล้ว เราจะพบราก x1 = -2; x2 = 5.

แต่เราพบแล้วว่าที่ x = 5 ตัวส่วนร่วม x(x - 5) จะเป็นศูนย์ ดังนั้นรากของสมการของเรา

จะเป็น x = -2

§ 4 สรุปบทเรียนโดยย่อ

สิ่งสำคัญที่ต้องจำ:

เมื่อแก้สมการตรรกยะเศษส่วน ให้ดำเนินการดังนี้:

1. ค้นหาตัวส่วนร่วมของเศษส่วนที่อยู่ในสมการ นอกจากนี้ หากสามารถแยกตัวส่วนของเศษส่วนได้ ให้แยกตัวประกอบแล้วหาตัวส่วนร่วม

2. คูณทั้งสองข้างของสมการด้วยตัวส่วนร่วม: หาตัวประกอบเพิ่มเติม คูณตัวเศษด้วยตัวประกอบเพิ่มเติม

3.แก้สมการผลลัพธ์ทั้งหมด

4. กำจัดสิ่งที่ทำให้ตัวส่วนร่วมหายไปจากรากของมัน

รายชื่อวรรณกรรมที่ใช้:

1. Makarychev Yu.N. , N.G. Mindyuk, Neshkov K.I. , Suvorova S.B. / เรียบเรียงโดย Telyakovsky S.A. พีชคณิต: หนังสือเรียน. สำหรับเกรด 8 การศึกษาทั่วไป สถาบัน - อ.: การศึกษา, 2556.
2. มอร์ดโควิช เอ.จี. พีชคณิต. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8: ในสองส่วน ส่วนที่ 1: หนังสือเรียน เพื่อการศึกษาทั่วไป สถาบัน - ม.: นีโมซิน.
3. รุรุคิน เอ.เอ็น. การพัฒนาบทเรียนในพีชคณิต: ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 - ม.: VAKO, 2010
4. พีชคณิตชั้นประถมศึกษาปีที่ 8: แผนการสอนตามตำราเรียนของ Yu.N. มาคารีเชวา, N.G. มินดุ๊ก, K.I. Neshkova, S.B. Suvorova / Auth.-comp. ที.แอล. อาฟานาซิวา แอล.เอ. ตาปิลิน่า. -โวลโกกราด: อาจารย์, 2548.

ตัวส่วนร่วมที่ต่ำที่สุดจะใช้เพื่อทำให้สมการนี้ง่ายขึ้นวิธีการนี้ใช้เมื่อคุณไม่สามารถเขียนสมการที่กำหนดด้วยนิพจน์ตรรกยะหนึ่งนิพจน์ในแต่ละด้านของสมการได้ (และใช้วิธีการคูณแบบกากบาด) วิธีการนี้ใช้เมื่อคุณได้รับสมการตรรกยะที่มีเศษส่วนตั้งแต่ 3 ตัวขึ้นไป (ในกรณีที่มีเศษส่วนสองส่วน ควรใช้การคูณแบบไขว้จะดีกว่า)

ค้นหาตัวส่วนร่วมที่ต่ำที่สุดของเศษส่วน (หรือตัวคูณร่วมน้อย) NOZ คือจำนวนที่น้อยที่สุดที่หารด้วยตัวส่วนแต่ละตัวลงตัว

• บางครั้ง NPD ก็เป็นตัวเลขที่ชัดเจน ตัวอย่างเช่น หากกำหนดสมการ: x/3 + 1/2 = (3x +1)/6 จะเห็นได้ชัดว่าตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลข 3, 2 และ 6 คือ 6
• หาก NCD ไม่ชัดเจน ให้เขียนผลคูณของตัวส่วนที่ใหญ่ที่สุดและหาค่าหนึ่งในนั้นที่จะเป็นตัวคูณของตัวส่วนอื่นๆ บ่อยครั้งที่ NOD สามารถหาได้โดยการคูณตัวส่วนสองตัวเท่านั้น ตัวอย่างเช่น ถ้าให้สมการเป็น x/8 + 2/6 = (x - 3)/9 ดังนั้น NOS = 8*9 = 72
• หากตัวส่วนอย่างน้อยหนึ่งตัวมีตัวแปร กระบวนการก็จะค่อนข้างซับซ้อนมากขึ้น (แต่ไม่ใช่เป็นไปไม่ได้) ในกรณีนี้ NOC คือนิพจน์ (ประกอบด้วยตัวแปร) ที่หารด้วยตัวส่วนแต่ละตัว ตัวอย่างเช่น ในสมการ 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) NOZ = 3x(x-1) เนื่องจากนิพจน์นี้ถูกหารด้วยตัวส่วนแต่ละตัว: 3x(x-1)/(x -1 ) = 3x; 3x(x-1)/3x = (x-1); 3x(x-1)/x = 3(x-1)

คูณทั้งเศษและส่วนของแต่ละเศษส่วนด้วยตัวเลขเท่ากับผลการหาร NOC ด้วยตัวส่วนที่สอดคล้องกันของแต่ละเศษส่วน

• เนื่องจากคุณคูณทั้งเศษและส่วนด้วยจำนวนเดียวกัน คุณจึงคูณเศษส่วนด้วย 1 ได้อย่างมีประสิทธิภาพ (เช่น 2/2 = 1 หรือ 3/3 = 1)
• ทำเช่นเดียวกันเมื่อตัวแปรอยู่ในตัวส่วน ในตัวอย่างที่สอง NOZ = 3x(x-1) ดังนั้นให้คูณ 5/(x-1) ด้วย (3x)/(3x) เพื่อให้ได้ 5(3x)/(3x)(x-1); 1/x คูณด้วย 3(x-1)/3(x-1) แล้วคุณจะได้ 3(x-1)/3x(x-1); 2/(3x) คูณด้วย (x-1)/(x-1) แล้วคุณจะได้ 2(x-1)/3x(x-1)

หาเอ็กซ์ตอนนี้คุณลดเศษส่วนให้เป็นตัวส่วนร่วมแล้ว คุณก็สามารถกำจัดตัวส่วนได้ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้คูณแต่ละด้านของสมการด้วยตัวส่วนร่วม จากนั้นแก้สมการผลลัพธ์นั่นคือหา "x" เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้แยกตัวแปรไว้ที่ด้านหนึ่งของสมการ

• ในตัวอย่างของเรา: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6 คุณสามารถบวกเศษส่วน 2 ตัวด้วยตัวส่วนเดียวกันได้ ดังนั้นให้เขียนสมการเป็น: (2x+3)/6=(3x+1)/6 คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 6 แล้วกำจัดตัวส่วนออก: 2x+3 = 3x +1 แก้โจทย์แล้วได้ x = 2
• ในตัวอย่างที่สอง (โดยมีตัวแปรในตัวส่วน) สมการจะมีลักษณะดังนี้ (หลังจากลดเป็นตัวส่วนร่วมแล้ว): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x -1) + 2 (x-1)/3x(x-1) ด้วยการคูณทั้งสองข้างของสมการด้วย N3 คุณจะกำจัดตัวส่วนออกและได้: 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1) หรือ 15x = 3x - 3 + 2x -2 หรือ 15x = x - 5 แก้โจทย์แล้วได้: x = -5/14

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

ทางการศึกษา:

• การก่อตัวของแนวคิดสมการตรรกยะเศษส่วน
• พิจารณาวิธีการต่างๆ ในการแก้สมการตรรกยะเศษส่วน
• พิจารณาอัลกอริธึมในการแก้สมการตรรกยะเศษส่วนพร้อมเงื่อนไขว่าเศษส่วนเท่ากับศูนย์
• สอนการแก้สมการตรรกยะเศษส่วนโดยใช้อัลกอริทึม
• ตรวจสอบระดับความเชี่ยวชาญของหัวข้อโดยทำแบบทดสอบ

พัฒนาการ:

• การพัฒนาความสามารถในการดำเนินการอย่างถูกต้องด้วยความรู้ที่ได้รับและคิดอย่างมีเหตุผล
• การพัฒนาทักษะทางปัญญาและการดำเนินงานทางจิต - การวิเคราะห์ การสังเคราะห์ การเปรียบเทียบ และการวางนัยทั่วไป
• การพัฒนาความคิดริเริ่ม ความสามารถในการตัดสินใจ และไม่ได้หยุดเพียงแค่นั้น
• พัฒนาการของการคิดอย่างมีวิจารณญาณ
• การพัฒนาทักษะการวิจัย

การให้ความรู้:

• ส่งเสริมความสนใจทางปัญญาในเรื่อง;
• ส่งเสริมความเป็นอิสระในการแก้ปัญหาการศึกษา
• การบำรุงเลี้ยงความตั้งใจและความเพียรเพื่อให้บรรลุผลสุดท้าย

ประเภทบทเรียน: บทเรียน - คำอธิบายเนื้อหาใหม่

ความคืบหน้าของบทเรียน

1. ช่วงเวลาขององค์กร

สวัสดีทุกคน! มีสมการเขียนอยู่บนกระดาน ลองดูให้ดี คุณสามารถแก้สมการทั้งหมดนี้ได้หรือไม่? อันไหนไม่ใช่และเพราะเหตุใด

สมการที่ด้านซ้ายและด้านขวาเป็นนิพจน์เศษส่วนเรียกว่าสมการตรรกยะเศษส่วน คุณคิดว่าเราจะเรียนอะไรในชั้นเรียนวันนี้? กำหนดหัวข้อของบทเรียน ดังนั้น ให้เปิดสมุดบันทึกของคุณและจดหัวข้อบทเรียน "การแก้สมการตรรกยะเศษส่วน"

2. การอัพเดตความรู้ สำรวจหน้าผาก งานปากเปล่ากับชั้นเรียน

และตอนนี้เราจะทำซ้ำเนื้อหาทางทฤษฎีหลักที่เราจะต้องศึกษาหัวข้อใหม่ กรุณาตอบคำถามต่อไปนี้:

1. สมการคืออะไร? - ความเท่าเทียมกันกับตัวแปรหรือตัวแปร.)
2. สมการหมายเลข 1 ชื่ออะไร - เชิงเส้น.) วิธีการแก้สมการเชิงเส้น - ย้ายทุกสิ่งที่ไม่ทราบค่าไปไว้ทางด้านซ้ายของสมการ และตัวเลขทั้งหมดไปทางด้านขวา ให้เงื่อนไขที่คล้ายกัน ค้นหาปัจจัยที่ไม่ทราบ).
3. สมการหมายเลข 3 ชื่ออะไร - สี่เหลี่ยม.) วิธีการแก้สมการกำลังสอง - การแยกกำลังสองสมบูรณ์โดยใช้สูตรโดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตาและผลที่ตามมา.)
4. สัดส่วนคืออะไร? - ความเท่าเทียมกันของสองอัตราส่วน.) คุณสมบัติหลักของสัดส่วน - หากสัดส่วนถูกต้อง ผลคูณของเทอมสุดขั้วจะเท่ากับผลคูณของเทอมกลาง.)
5. คุณสมบัติใดที่ใช้ในการแก้สมการ? - 1. หากคุณย้ายคำศัพท์ในสมการจากส่วนหนึ่งไปอีกส่วนหนึ่งโดยเปลี่ยนเครื่องหมาย คุณจะได้สมการที่เทียบเท่ากับสมการที่กำหนด 2. หากทั้งสองข้างของสมการคูณหรือหารด้วยจำนวนที่ไม่เป็นศูนย์เท่ากัน คุณจะได้สมการที่เทียบเท่ากับค่าที่กำหนด.)
6. เมื่อเศษส่วนเท่ากับศูนย์? - เศษส่วนจะเท่ากับศูนย์เมื่อตัวเศษเป็นศูนย์และตัวส่วนไม่เป็นศูนย์.)

3. คำอธิบายเนื้อหาใหม่

แก้สมการข้อ 2 ในสมุดบันทึกและบนกระดาน

คำตอบ: 10.

สมการตรรกยะเศษส่วนใดที่คุณสามารถลองแก้ได้โดยใช้คุณสมบัติพื้นฐานของสัดส่วน (หมายเลข 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x+8 = x 2 +3x+2x+6

x 2 -6x-x 2 -5x = 6-8

แก้สมการข้อ 4 ในสมุดบันทึกและบนกระดาน

คำตอบ: 1,5.

สมการเศษส่วนใดที่คุณสามารถลองแก้ได้โดยการคูณทั้งสองข้างของสมการด้วยตัวส่วน (หมายเลข 6).

x 2 -7x+12 = 0

ง=1›0, x 1 =3, x 2 =4

คำตอบ: 3;4.

ตอนนี้ให้ลองแก้สมการหมายเลข 7 โดยใช้วิธีใดวิธีหนึ่งต่อไปนี้

(x 2 -2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x 2 -2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0			x 2 -2x-5=x+5
x(x-5)(x 2 -2x-5-(x+5))=0			x 2 -2x-5-x-5=0
x(x-5)(x 2 -3x-10)=0
x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0
x 1 =0 x 2 =5 D=49
x 3 =5 x 4 =-2			x 3 =5 x 4 =-2
คำตอบ: 0;5;-2.			คำตอบ: 5;-2.

อธิบายว่าทำไมสิ่งนี้ถึงเกิดขึ้น? เหตุใดจึงมีสามรากในกรณีหนึ่งและอีกสองกรณี? รากของสมการตรรกยะเศษส่วนนี้มีจำนวนเท่าใด

จนถึงขณะนี้ นักเรียนยังไม่เคยพบกับแนวคิดเรื่องรากเหง้าภายนอก เป็นเรื่องยากมากสำหรับพวกเขาที่จะเข้าใจว่าเหตุใดจึงเกิดเหตุการณ์เช่นนี้ ถ้าไม่มีใครในชั้นเรียนสามารถอธิบายสถานการณ์นี้ได้ชัดเจน ครูจะถามคำถามนำ

• สมการที่ 2 และ 4 แตกต่างจากสมการที่ 5,6,7 อย่างไร - ในสมการที่ 2 และ 4 มีตัวเลขในตัวส่วน หมายเลข 5-7 เป็นนิพจน์ที่มีตัวแปร.)
• รากของสมการคืออะไร? - ค่าของตัวแปรที่ทำให้สมการกลายเป็นจริง.)
• จะทราบได้อย่างไรว่าตัวเลขคือรากของสมการ? - ทำเช็ค.)

เมื่อทำการทดสอบ นักเรียนบางคนสังเกตว่าต้องหารด้วยศูนย์ พวกเขาสรุปว่าตัวเลข 0 และ 5 ไม่ใช่รากของสมการนี้ คำถามเกิดขึ้น: มีวิธีแก้สมการตรรกยะเศษส่วนที่ช่วยให้เรากำจัดข้อผิดพลาดนี้ได้หรือไม่? ใช่ วิธีการนี้มีเงื่อนไขว่าเศษส่วนเท่ากับศูนย์

x 2 -3x-10=0, ง=49, x 1 =5, x 2 =-2

ถ้า x=5 แล้ว x(x-5)=0 ซึ่งหมายความว่า 5 เป็นรากที่ไม่เกี่ยวข้อง

ถ้า x=-2 แล้ว x(x-5)≠0

คำตอบ: -2.

ลองกำหนดอัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการตรรกยะเศษส่วนด้วยวิธีนี้ เด็ก ๆ กำหนดอัลกอริทึมด้วยตนเอง

อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการตรรกยะเศษส่วน:

1. ย้ายทุกอย่างไปทางซ้าย
2. ลดเศษส่วนให้เป็นตัวส่วนร่วม.
3. สร้างระบบ: เศษส่วนเท่ากับศูนย์เมื่อตัวเศษเท่ากับศูนย์และตัวส่วนไม่เท่ากับศูนย์
4. แก้สมการ
5. ตรวจสอบความไม่เท่าเทียมกันเพื่อแยกรากที่ไม่เกี่ยวข้องออก
6. เขียนคำตอบ.

การสนทนา: วิธีแก้โจทย์ให้เป็นระเบียบหากคุณใช้คุณสมบัติพื้นฐานของสัดส่วนแล้วคูณทั้งสองข้างของสมการด้วยตัวส่วนร่วม (เพิ่มไปยังวิธีแก้ปัญหา: แยกส่วนที่ทำให้ตัวส่วนร่วมหายไปออกจากรากของมัน)

4. ความเข้าใจเบื้องต้นเกี่ยวกับเนื้อหาใหม่

ทำงานเป็นคู่. นักเรียนเลือกวิธีการแก้สมการด้วยตนเองขึ้นอยู่กับประเภทของสมการ งานมอบหมายจากหนังสือเรียน "พีชคณิต 8", Yu.N. มาคารีเชฟ 2550: เลขที่ 600(b,c,i); เลขที่ 601(ก,อี,ก) ครูติดตามความสำเร็จของงาน ตอบคำถามใดๆ ที่เกิดขึ้น และให้ความช่วยเหลือนักเรียนที่มีผลการเรียนต่ำ ทดสอบตัวเอง: คำตอบเขียนไว้บนกระดาน

b) 2 – รูตภายนอก คำตอบ: 3.

c) 2 – รูทภายนอก คำตอบ: 1.5.

ก) คำตอบ: -12.5

ก) คำตอบ: 1;1.5.

5. ตั้งเวลาทำการบ้าน.

1. อ่านย่อหน้าที่ 25 จากหนังสือเรียน วิเคราะห์ตัวอย่างที่ 1-3
2. เรียนรู้อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการตรรกยะเศษส่วน
3. แก้ไขในสมุดบันทึกหมายเลข 600 (a, d, e); เลขที่ 601(ก,ซ).
4. ลองแก้ข้อ 696(a) (ไม่บังคับ)

6. ดำเนินงานควบคุมในหัวข้อที่ศึกษาให้เสร็จสิ้น

งานเสร็จบนแผ่นกระดาษ

งานตัวอย่าง:

A) สมการใดเป็นเหตุผลเศษส่วน?

B) เศษส่วนเท่ากับศูนย์ เมื่อตัวเศษคือ __________ และตัวส่วนคือ ___________

ถาม) ตัวเลข -3 เป็นรากของสมการหมายเลข 6 หรือไม่

D) แก้สมการหมายเลข 7

เกณฑ์การประเมินสำหรับการมอบหมายงาน:

• ให้ "5" หากนักเรียนทำข้อสอบได้ถูกต้องมากกว่า 90%
• "4" - 75%-89%
• "3" - 50%-74%
• “2” มอบให้กับนักเรียนที่ทำเสร็จน้อยกว่า 50% ของงาน
• วารสารไม่ได้ให้คะแนน 2 แต่ 3 เป็นทางเลือก

7. การสะท้อนกลับ

ในแผ่นงานอิสระ ให้ใส่:

• 1 – หากบทเรียนนั้นน่าสนใจและเข้าใจได้สำหรับคุณ
• 2 – น่าสนใจแต่ไม่ชัดเจน
• 3 – ไม่น่าสนใจ แต่เข้าใจได้
• 4 – ไม่น่าสนใจ ไม่ชัดเจน

8. สรุปบทเรียน

ดังนั้น วันนี้ในบทเรียน เราได้ทำความคุ้นเคยกับสมการตรรกยะเศษส่วน เรียนรู้ที่จะแก้สมการเหล่านี้ด้วยวิธีต่างๆ และทดสอบความรู้ของเราด้วยความช่วยเหลือของงานด้านการศึกษาอิสระ คุณจะได้เรียนรู้ผลลัพธ์ของการทำงานอิสระของคุณในบทเรียนถัดไปและที่บ้านคุณจะมีโอกาสรวบรวมความรู้ของคุณ

วิธีใดในการแก้สมการเศษส่วนในความคิดของคุณ ง่ายกว่า เข้าถึงได้ง่ายกว่า และมีเหตุผลมากกว่า ไม่ว่าจะแก้สมการตรรกยะเศษส่วนด้วยวิธีใด ควรจำอะไรบ้าง “ไหวพริบ” ของสมการตรรกยะเศษส่วนคืออะไร?

ขอบคุณทุกคน บทเรียนจบลงแล้ว

\(\bullet\) สมการตรรกยะคือสมการที่แสดงในรูปแบบ \[\dfrac(P(x))(Q(x))=0\] โดยที่ \(P(x), \Q(x)\ ) - พหุนาม (ผลรวมของ "X" ที่มีค่ายกกำลังต่าง ๆ คูณด้วยตัวเลขต่าง ๆ )
นิพจน์ทางด้านซ้ายของสมการเรียกว่านิพจน์เหตุผล
EA (ช่วงของค่าที่ยอมรับได้) ของสมการตรรกยะคือค่าทั้งหมดของ \(x\) ซึ่งตัวส่วนไม่หายไป นั่นคือ \(Q(x)\ne 0\)
\(\bullet\) ตัวอย่างเช่น สมการ \[\dfrac(x+2)(x-3)=0,\qquad \dfrac 2(x^2-1)=3, \qquad x^5-3x=2\]เป็นสมการตรรกยะ
ในสมการแรก ODZ ทั้งหมด \(x\) โดยที่ \(x\ne 3\) (เขียน \(x\in (-\infty;3)\cup(3;+\infty)\)- ในสมการที่สอง – ทั้งหมดนี้คือ \(x\) โดยที่ \(x\ne -1; x\ne 1\) (เขียน \(x\in (-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty)\)- และในสมการที่สามไม่มีข้อจำกัดเกี่ยวกับ ODZ นั่นคือ ODZ คือทั้งหมด \(x\) (เขียนว่า \(x\in\mathbb(R)\))
\(\bullet\) ทฤษฎีบท: \[\begin(cases) \left[ \begin(gathered)\begin(aligned) &f(x)=0\\ &g(x)=0 \end(aligned) \end(gathered) \right.\\ \ ข้อความ (สมการ ODZ)\end(กรณี)\] 2) เศษส่วนจะเท่ากับศูนย์ก็ต่อเมื่อตัวเศษเท่ากับศูนย์และตัวส่วนไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้น สมการ \(\dfrac(f(x))(g(x))=0\ ) เทียบเท่ากับระบบสมการ \[\begin(กรณี) f(x)=0\\ g(x)\ne 0 \end(กรณี)\]\(\bullet\) ลองดูตัวอย่างบางส่วน

1) แก้สมการ \(x+1=\dfrac 2x\)
ลองหา ODZ ของสมการนี้ - นี่คือ \(x\ne 0\) (เนื่องจาก \(x\) อยู่ในตัวส่วน)
ซึ่งหมายความว่า ODZ สามารถเขียนได้ดังนี้: ลองย้ายพจน์ทั้งหมดมาไว้ในส่วนเดียวแล้วนำมาหารด้วยตัวส่วนร่วม:\[\dfrac((x+1)\cdot x)x-\dfrac 2x=0\quad\ลูกศรซ้าย\quad \dfrac(x^2+x-2)x=0\quad\ลูกศรซ้าย\quad \begin( กรณี) x^2+x-2=0\\x\ne 0\end(กรณี)\]

ผลเฉลยของสมการแรกของระบบจะเป็น \(x=-2, x=1\) เราจะเห็นว่ารากทั้งสองไม่เป็นศูนย์ ดังนั้นคำตอบคือ: \(x\in \(-2;1\)\) 2) แก้สมการ\(\left(\dfrac4x - 2\right)\cdot (x^2-x)=0\) - ลองหา ODZ ของสมการนี้กัน เราจะเห็นว่าค่าเดียวของ \(x\) ซึ่งทางด้านซ้ายไม่สมเหตุสมผลคือ \(x=0\) ดังนั้น ODZ สามารถเขียนได้ดังนี้:.
\(x\in (-\infty;0)\cup(0;+\infty)\)

ดังนั้นสมการนี้จึงเทียบเท่ากับระบบ:\[\begin(cases) \left[ \begin(gathered)\begin(aligned) &\dfrac 4x-2=0\\ &x^2-x=0 \end(aligned) \end(gathered) \right. \\ x\ne 0 \end(กรณี) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(กรณี) \left[ \begin(รวบรวม)\begin(ชิด) &\dfrac 4x=2\\ &x(x-1)= 0 \end(ชิด) \end(รวบรวม) \right.\\ x\ne 0 \end(กรณี) \quad \ลูกศรซ้ายขวา \quad \begin(กรณี) \left[ \begin(รวบรวม)\begin(ชิด) &x =2\\ &x=1\\ &x=0 \end(ชิด) \end(รวบรวม) \right.\\ x\ne 0 \end(กรณี) \quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin(รวบรวม) \begin(ชิด) &x=2\\ &x=1 \end(ชิด) \end(รวบรวม) \right.\]
จริงๆ แล้ว แม้ว่า \(x=0\) จะเป็นรากของปัจจัยที่สอง แต่ถ้าคุณแทน \(x=0\) ลงในสมการดั้งเดิม ก็จะไม่สมเหตุสมผล เพราะ ไม่ได้กำหนดนิพจน์ \(\dfrac 40\)

ดังนั้น วิธีแก้สมการนี้คือ \(x\in \(1;2\)\) 3) แก้สมการ\[\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1)\]
ในสมการของเรา \(4x^2-1\ne 0\) ซึ่ง \((2x-1)(2x+1)\ne 0\) ซึ่งก็คือ \(x\ne -\frac12; \frac12 \) .

\(\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1) \quad \ลูกศรซ้ายขวา \quad \dfrac(x^2+4x- 3+x+x^2)(4x^2-1)=0\quad \ลูกศรซ้ายขวา \quad \dfrac(2x^2+5x-3)(4x^2-1)=0 \รูปสี่เหลี่ยม \ลูกศรซ้ายขวา\)

\(\ลูกศรซ้าย \quad \begin(กรณี) 2x^2+5x-3=0\\ 4x^2-1\ne 0 \end(กรณี) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(กรณี) (2x-1 )(x+3)=0\\ (2x-1)(2x+1)\ne 0 \end(กรณี) \quad \ลูกศรซ้ายขวา \quad \begin(กรณี) \left[ \begin(รวบรวม) \begin( จัดเรียง) &x=\dfrac12\\ &x=-3 \end(ชิด)\end(รวบรวม) \right.\\ x\ne \dfrac 12\\ x\ne -\dfrac 12 \end(กรณี) \quad \ ลูกศรซ้ายขวา \รูปสี่เหลี่ยม x=-3\)

คำตอบ: \(x\in \(-3\)\)

ความคิดเห็น หากคำตอบประกอบด้วยชุดตัวเลขที่มีจำกัด ก็สามารถเขียนโดยคั่นด้วยเครื่องหมายอัฒภาคในวงเล็บปีกกา ดังที่แสดงในตัวอย่างก่อนหน้านี้

ปัญหาที่ต้องแก้สมการตรรกยะจะพบทุกปีในการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ ดังนั้นเมื่อเตรียมสอบผ่านการรับรอง ผู้สำเร็จการศึกษาควรทำซ้ำทฤษฎีในหัวข้อนี้ด้วยตนเองอย่างแน่นอน ผู้สำเร็จการศึกษาที่สอบทั้งระดับพื้นฐานและระดับเชี่ยวชาญจะต้องสามารถรับมือกับงานดังกล่าวได้ เมื่อเชี่ยวชาญทฤษฎีและจัดการกับแบบฝึกหัดภาคปฏิบัติในหัวข้อ "สมการตรรกยะ" นักเรียนจะสามารถแก้ปัญหาด้วยการกระทำจำนวนเท่าใดก็ได้และไว้วางใจในการได้รับคะแนนแข่งขันในการสอบ Unified State

จะเตรียมตัวสอบโดยใช้พอร์ทัลการศึกษาของ Shkolkovo ได้อย่างไร?

บางครั้งการหาแหล่งที่นำเสนอทฤษฎีพื้นฐานในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์อย่างครบถ้วนกลับกลายเป็นเรื่องยากทีเดียว หนังสือเรียนอาจไม่อยู่ในมือ และการค้นหาสูตรที่จำเป็นบางครั้งอาจเป็นเรื่องยากแม้แต่บนอินเทอร์เน็ตก็ตาม

พอร์ทัลการศึกษาของ Shkolkovo จะช่วยให้คุณไม่ต้องค้นหาสื่อที่จำเป็นและช่วยให้คุณเตรียมตัวได้ดีสำหรับการผ่านการทดสอบการรับรอง

ผู้เชี่ยวชาญของเราได้เตรียมและนำเสนอทฤษฎีที่จำเป็นทั้งหมดในหัวข้อ "สมการตรรกยะ" ในรูปแบบที่เข้าถึงได้มากที่สุด หลังจากศึกษาข้อมูลที่นำเสนอแล้ว นักเรียนจะสามารถเติมช่องว่างความรู้ได้

เพื่อให้การเตรียมตัวสำหรับการสอบ Unified State ประสบความสำเร็จ ผู้สำเร็จการศึกษาไม่เพียงต้องรีเฟรชความทรงจำเกี่ยวกับเนื้อหาทางทฤษฎีพื้นฐานในหัวข้อ "สมการเชิงตรรกยะ" เท่านั้น แต่ยังต้องฝึกฝนการทำงานให้เสร็จสิ้นโดยใช้ตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจงด้วย มีงานให้เลือกมากมายในส่วน "แคตตาล็อก"

สำหรับแบบฝึกหัดแต่ละข้อบนเว็บไซต์ ผู้เชี่ยวชาญของเราได้เขียนอัลกอริธึมการแก้ปัญหาและระบุคำตอบที่ถูกต้อง นักเรียนสามารถฝึกการแก้ปัญหาในระดับความยากที่แตกต่างกันไปขึ้นอยู่กับระดับทักษะของพวกเขา รายการงานในส่วนที่เกี่ยวข้องได้รับการเสริมและปรับปรุงอย่างต่อเนื่อง

คุณสามารถศึกษาเนื้อหาทางทฤษฎีและฝึกฝนทักษะในการแก้ปัญหาในหัวข้อ "สมการตรรกยะ" ซึ่งคล้ายกับที่รวมอยู่ในแบบทดสอบ Unified State Exam ทางออนไลน์ หากจำเป็น คุณสามารถเพิ่มงานที่นำเสนอในส่วน "รายการโปรด" ได้ เมื่อทบทวนทฤษฎีพื้นฐานในหัวข้อ "สมการเชิงตรรกยะ" อีกครั้ง นักเรียนมัธยมปลายจะสามารถกลับเข้าสู่ปัญหาได้ในอนาคตเพื่อหารือเกี่ยวกับความคืบหน้าในการแก้ปัญหากับครูในบทเรียนพีชคณิต