คำตอบของปริพันธ์ที่มีตัวแปรเชิงซ้อน การรวมฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน
1. แนวคิดและข้อความพื้นฐาน
ทฤษฎีบท 5.1(เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับการมีอยู่ของอินทิกรัลของฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน) ปล่อยให้เป็น แอลเป็นเส้นโค้งเรียบเรียบง่ายบน , ฉ(ซี)=ยู(x;ย)+ฉัน×โวลต์(x;ย) เปิดต่อเนื่อง แอล. ก็ย่อมมีอยู่ และความเสมอภาคดังต่อไปนี้
ทฤษฎีบท 5.2ปล่อยให้เป็น แอลเป็นเส้นโค้งเรียบอย่างง่ายที่กำหนดโดยพาราเมตริก: แอล:ซี(ที)=x(ที)+ฉัน×y(ที), ก£ ที£ ข, การทำงาน ฉ(ซี) เปิดต่อเนื่อง แอล. จากนั้นความเท่าเทียมกันจะเป็นจริง:
(ที่ไหน 
). (5.2)
ทฤษฎีบท 5.3ถ้า ฉ(ซี) การวิเคราะห์ในโดเมน งหน้าที่แล้ว 
- ฟังก์ชั่นการวิเคราะห์และ เอฟ"(ซี)=ฉ(ซี) โดยที่อินทิกรัลถูกนำไปเหนือส่วนโค้งเรียบใดๆ ที่เชื่อมต่อจุดต่างๆ ซี 0 และ ซี.
- สูตรนิวตัน-ไลบ์นิซ.
2. วิธีการคำนวณอินทิกรัล
วิธีแรกการคำนวณอินทิกรัลของฟังก์ชันต่อเนื่องโดยการลดฟังก์ชันอินทิกรัลเชิงโค้งของตัวแปรจริง (การประยุกต์ใช้สูตร (5.1))
1. ค้นหาเรื่อง ฉ=ยู, ฉัน ฉ=โวลต์.
2. เขียนอินทิกรัล ฉ(ซี)เดซในรูปแบบของงาน ( ยู+iv)(ดีเอ็กซ์+เฉยๆ)=udx-vdy+ผม(อู๊ดดี้+vdx).
3. คำนวณอินทิกรัลเส้นโค้งของแบบฟอร์ม 
ตามกฎการคำนวณปริพันธ์เชิงเส้นโค้งประเภทที่สอง
ตัวอย่าง 5.1 .
คำนวณ 
ตามแนวพาราโบลา y=x 2 จากจุด ซี 1 = 0 ถึงจุด ซี 2 =1+ผม.
■ ค้นหาส่วนจริงและจินตนาการของอินทิกรัล ในการทำเช่นนี้ เราแทนที่ลงในนิพจน์สำหรับ ฉ(ซี) z=x+iy:
เพราะ y=x 2 แล้ว ได= 2x, . นั่นเป็นเหตุผล
วิธีที่สองการคำนวณอินทิกรัลจากฟังก์ชันต่อเนื่องโดยการลดเป็นอินทิกรัลที่แน่นอนในกรณีของข้อกำหนดพารามิเตอร์ของเส้นทางอินทิกรัล (โดยใช้สูตร (5.2))
1. เขียนสมการพาราเมตริกของเส้นโค้ง ซี=ซี(ที) และกำหนดขีดจำกัดของการรวม: เสื้อ=กสอดคล้องกับจุดเริ่มต้นของเส้นทางการรวม เสื้อ=ข- สุดท้าย.
2. ค้นหาส่วนต่างของฟังก์ชันที่มีค่าเชิงซ้อน ซี(ที): เดซ=ซี¢( ที)ด.ต.
3. ทดแทน ซี(ที) เป็นอินทิกรัล แปลงอินทิกรัลให้อยู่ในรูปแบบ: 
.
4. คำนวณอินทิกรัลแน่นอนผลลัพธ์
ตัวอย่าง 5.2 . คำนวณที่ไหน กับ- ส่วนโค้งของวงกลม .
■ สมการพารามิเตอร์ของเส้นโค้งนี้: , 0£ เจ£ หน้า. แล้ว . เราได้รับ
ตัวอย่าง 5.3 . คำนวณที่ไหน กับ- ส่วนโค้งบนของวงกลมภายใต้เงื่อนไข: a), b)
■ การตั้งค่าฟังก์ชันในลูปการรวมช่วยให้คุณสามารถเลือกสาขาของนิพจน์ที่มีค่าเดียว 
, k= 0,1.
เนื่องจากเรามี , k= 0.1 ในกรณีแรกเราเลือกสาขาด้วย k= 0 และในวินาที - กับ k= 1.
อินทิกรันด์บนอินทิเกรตคอนทัวร์นั้นต่อเนื่องกัน สมการพาราเมตริกของเส้นโค้งนี้: , 0£ เจ£ หน้า. แล้ว .
ก) สาขาจะถูกกำหนดเมื่อ k= 0 นั่นคือจากที่เราได้รับ
b) สาขาจะถูกกำหนดเมื่อ เค=1 นั่นคือ จากที่เราได้
วิธีที่สามการคำนวณอินทิกรัลของฟังก์ชันการวิเคราะห์ในโดเมนที่เชื่อมต่ออย่างง่าย (การประยุกต์ใช้สูตร (5.3))
หาสารต่อต้านอนุพันธ์ ฉ(ซี) โดยใช้คุณสมบัติของปริพันธ์ ปริพันธ์แบบตาราง และวิธีการที่ทราบจากการวิเคราะห์จริง ใช้สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซ: 
.
ตัวอย่าง 5.4 .
คำนวณ 
, ที่ไหน กับ- ตรง เอบี, z ก=1-ผม,ซี บี=2+ ฉัน
■ ตั้งแต่อินทิเกรต 
- วิเคราะห์ระนาบเชิงซ้อนทั้งหมด จากนั้นใช้สูตรนิวตัน-ไลบ์นิซ
3. ทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัสเชิงปริพันธ์
ฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน
ทฤษฎีบท 5.4 (Cauchy)ถ้า ฉ(ซี ชฟังก์ชั่นแล้วที่ไหน แอล- วงปิดใด ๆ ที่อยู่ใน ช.
ทฤษฎีบทของ Cauchy ยังถือเป็นโดเมนที่เชื่อมต่อแบบทวีคูณ
ทฤษฎีบท 5.5ให้ฟังก์ชั่น ฉ(ซี) เป็นการวิเคราะห์ในโดเมนที่เชื่อมต่อง่ายๆ ง, แอล- โครงร่างเรียบปิดเป็นชิ้น ๆ ตามอำเภอใจ ง. แล้วสำหรับจุดใด ซี 0 นอนอยู่ในรูปร่าง แอลสูตรถูกต้อง:
, (5.4)
ที่ไหน แอลไหลไปในทิศทางบวก
เรียกว่าสูตร (5.4) สูตร Cauchy หนึ่ง . เป็นการแสดงค่าของฟังก์ชันการวิเคราะห์ภายในรูปร่างในแง่ของค่าของมันในรูปร่าง
ทฤษฎีบท 5.6ฟังก์ชั่นใดๆ ฉ(ซี) วิเคราะห์ในโดเมน งมีอนุพันธ์ของคำสั่งซื้อทั้งหมดบนโดเมนนี้ และสำหรับ " ซี 0 Î งสูตรที่ถูกต้องคือ:
, (5.5)
ที่ไหน แอลเป็นรูปร่างปิดเรียบตามอำเภอใจชิ้นอยู่ในทั้งหมด งและมีจุด ซี 0 .
4. การคำนวณปริพันธ์ในวงปิด
จากฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน
พิจารณาปริพันธ์ของแบบฟอร์ม โดยที่ฟังก์ชัน เจ(z) มีการวิเคราะห์ใน และ ย(z) เป็นพหุนามที่ไม่มีศูนย์ในรูปร่างปิด กับ.
กฎ.เมื่อคำนวณปริพันธ์ของแบบฟอร์มขึ้นอยู่กับการคูณของศูนย์ของพหุนาม ย(z) และตำแหน่งที่สัมพันธ์กับเส้นชั้นความสูง กับแยกได้ 4 กรณี
1. ในพื้นที่ งไม่มีศูนย์พหุนาม ย(ซ). จากนั้นฟังก์ชันจะวิเคราะห์และตามทฤษฎีบทของ Cauchy
2. ในพื้นที่ งมีศูนย์ง่าย ๆ หนึ่งตัว z=z 0 พหุนาม ย(ซ). จากนั้นเราเขียนเศษส่วนเป็น โดยที่ ฉ(ซี) เป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ในการใช้สูตรอินทิกรัล Cauchy (5.4) ที่เราได้รับ
. (5.6)
3. ในสนาม งอยู่หนึ่งส่วนหลายของศูนย์ z=z 0 พหุนาม ย(z) (หลายหลาก น). จากนั้นเราเขียนเศษส่วนเป็น โดยที่ ฉ(ซี) เป็นฟังก์ชันการวิเคราะห์ในการใช้สูตร (5.5) ที่เราได้รับ
4. ในพื้นที่ งมีสองศูนย์ของพหุนาม ย(ซ) z=z 1 และ z=z 2. จากนั้นเราจะแสดงอินทิกรัลเป็นผลรวมของเศษส่วนสองส่วน และอินทิกรัลเป็นผลรวมของอินทิกรัลสองส่วน ซึ่งแต่ละส่วนจะคำนวณตามข้อ 2 หรือข้อ 3
ตัวอย่าง 5.5 . คำนวณที่ไหน กับ- วงกลม.
■ เราพบศูนย์ของตัวส่วน - จุดเอกพจน์ของปริพันธ์ 
. นี่คือจุด ต่อไป เราจะกำหนดตำแหน่งของจุดที่สัมพันธ์กับโครงร่างการรวม: ไม่มีจุดใดรวมอยู่ในพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดหนึ่งและมีรัศมีเป็น 2 (นั่นคือ เรามีกรณีแรก) สามารถตรวจสอบได้โดยการวาดหรือกำหนดระยะทางจากแต่ละจุดไปยังศูนย์กลางของวงกลมและเปรียบเทียบกับรัศมี ตัวอย่างเช่น สำหรับ จึงไม่อยู่ในวงกลม
จากนั้นฟังก์ชั่น 
วิเคราะห์ในวงกลม และตามทฤษฎีบทของ Cauchy 
.
โปรดทราบว่าอินทิกรัลที่ระบุมีค่าเท่ากับศูนย์สำหรับรูปร่างอื่นๆ ที่จำกัดขอบเขตซึ่งไม่รวมศูนย์ใดๆ ของตัวส่วน ■
ตัวอย่าง 5.6 . คำนวณที่ไหน กับ- วงกลม.
■ จากตัวอย่างที่ 5.5 เราพบว่ามีศูนย์ของตัวส่วนเพียงตัวเดียวที่อยู่ในวงกลม (กรณีที่สอง) ดังนั้นเราจึงเขียนอินทิกรัลในรูปแบบ , ฟังก์ชัน 
วิเคราะห์เป็นวงกลม จากนั้นตามสูตร (5.6)
.■
ตัวอย่าง 5.7 .
คำนวณ 
, ที่ไหน กับ- วงกลม.
ขั้นต่ำตามทฤษฎีบ่อยครั้งที่มีกรณีที่การคำนวณปริพันธ์ที่แน่นอนด้วยวิธีการวิเคราะห์เชิงซ้อนนั้นดีกว่าวิธีการ
การวิเคราะห์วัสดุ เหตุผลอาจแตกต่างกันมาก ในบางกรณี วิธีการของ TFCT สามารถลดการคำนวณได้อย่างมาก
บางครั้งไม่สามารถใช้สูตรนิวตัน-ไลบ์นิซได้ เนื่องจากอินทิกรัลไม่แน่นอนไม่แสดงในฟังก์ชันมูลฐาน
วิธีการสร้างความแตกต่างและการรวมเข้ากับพารามิเตอร์นั้นจำเป็นต้องมีการให้เหตุผลที่สมเหตุสมผลอย่างมากในการบังคับใช้ และบางครั้งพารามิเตอร์
จะต้องแนะนำเทียมโดยปกติแล้ว วิธีการวิเคราะห์ที่ซับซ้อนจะคำนวณปริพันธ์ที่ไม่เหมาะสม - ในช่วงเวลาที่ไม่สิ้นสุดหรือจากจำนวนที่ไม่จำกัดในส่วน
การรวมฟังก์ชัน แนวคิดทั่วไปมีดังนี้ ส่วนประกอบของรูปร่างถูกสร้างขึ้น ควรมีอินทิกรัลในบางส่วนของรูปร่าง
ตรงกับอินทิกรัลแน่นอนที่ต้องการ - อย่างน้อยก็ขึ้นอยู่กับปัจจัยคงที่ อินทิกรัลเหนือส่วนที่เหลือของรูปร่าง
ควรคำนวณ จากนั้นจึงใช้ทฤษฎีบทสารตกค้างหลักตามที่
,
จุดเอกพจน์ของฟังก์ชันอยู่ที่ไหนภายในเส้นแสดงการรวม ดังนั้นอินทิกรัลรูปร่างด้วยหนึ่ง
ในทางกลับกัน จะแสดงออกมาผ่านอินทิกรัลแน่นอนที่ต้องการ และในทางกลับกัน คำนวณโดยใช้เศษเหลือ (ซึ่งโดยปกติจะเป็น
ไม่ก่อให้เกิดปัญหาใหญ่แต่อย่างใด)ปัญหาหลักคือการเลือกโครงร่างการรวม มันถูกแนะนำโดยหลักการแล้วโดยอินทิกรัล อย่างไรก็ตามไม่เพียงพอ
การปฏิบัติเป็นเรื่องยากที่จะเชี่ยวชาญวิธีนี้และจะได้รับตัวอย่างมากมาย รูปร่างที่ใช้บ่อยที่สุดประกอบด้วย
องค์ประกอบที่สะดวกในการรวมเข้าด้วยกัน (เส้นตรง, ส่วนโค้งของวงกลม)
การรวมกันในระนาบเชิงซ้อนตัวอย่างที่ 1 ปริพันธ์เฟรส.
มาคำนวณหาปริพันธ์กัน,
.
มันง่ายที่จะคาดเดาว่าขั้นตอนแรกคือการเปลี่ยนไปใช้รูปแบบเลขชี้กำลังซึ่งเกี่ยวข้องกับการพิจารณาปริพันธ์
จำเป็นต้องเลือกโครงร่างการรวมเท่านั้น เป็นที่ชัดเจนว่าครึ่งแกนควรเข้าสู่รูปร่าง จริงและ
ส่วนจินตภาพของอินทิกรัลเหนือส่วนนี้ของรูปร่างคืออินทิกรัลเฟรส นอกจากนี้ ส่วนประกอบของรูปร่างที่คำนวณได้เหนือโครงสร้าง
อินทิกรัลนั้นคล้ายกับอินทิกรัลออยเลอร์-ปัวซอง ซึ่งทราบค่าของมันแล้ว แต่เพื่อให้ได้อินทิกรัลนี้ เราต้องใส่
, แล้ว . และการแสดงตัวแปรดังกล่าวเป็นการบูรณาการตามเส้นตรงที่ผ่านจุดหนึ่ง
ทำมุมกับแกนจริง
ดังนั้นจึงมีองค์ประกอบรูปร่างสองส่วน ในการปิดรูปร่าง เราถือว่าสองส่วนของรูปร่างที่เลือกมีความยาวจำกัด และปิด
รูปร่างของส่วนโค้งของวงกลมรัศมี . ต่อมาเราจะปล่อยให้รัศมีนี้เป็นอนันต์ ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นดังรูป 1 วงจร
(1)
อินทิกรัลไม่มีจุดเอกพจน์ ดังนั้น อินทิกรัลเหนือเส้นชั้นความสูงทั้งหมดจึงเท่ากับศูนย์
.
ในขีดจำกัด อินทิกรัลนี้มีค่าเท่ากับศูนย์
ในพล็อตคุณสามารถเขียนได้ จากนั้น.
เราแทนที่ผลลัพธ์ที่ได้รับใน (1) และส่งผ่านไปยังขีดจำกัด :
เราพบว่าการแยกส่วนจริงและส่วนจินตภาพ โดยคำนึงถึงค่าของอินทิกรัลออยเลอร์-ปัวซอง
,
.ตัวอย่างที่ 2 ทางเลือกของโครงร่างอินทิกรัลที่อยู่ภายในจุดเอกพจน์ของอินทิกรันด์.
ลองคำนวณอินทิกรัลที่คล้ายกับที่พิจารณาในตัวอย่างแรก: , โดยที่.
เราจะคำนวณอินทิกรัล เราจะเลือกรูปร่างคล้ายกับที่ใช้ในตัวอย่างแรก เพียงแต่ตอนนี้ไม่มีจุดมุ่งหมาย
ลดการคำนวณเป็นอินทิกรัลออยเลอร์-ปัวซอง ที่นี่เราทราบว่าเมื่อเปลี่ยนอินทิเกรตจะไม่เปลี่ยนแปลง
การพิจารณานี้กระตุ้นให้เราเลือกเส้นตรงเฉียงของเส้นโครงร่างการรวมเพื่อให้ทำมุมกับแกนจริง
เมื่อเขียนอินทิกรัลรูปร่าง(2)
อินทิกรัลบนส่วนโค้งวงกลมมีแนวโน้มเป็นศูนย์ในขีดจำกัด บนเว็บไซต์คุณสามารถเขียน:
.
ดังนั้นจาก (2) เมื่อผ่านไปถึงขีด จำกัด เราจะพบ
.
ในที่นี้จะนำมาพิจารณาว่าภายในโครงร่างการรวมนั้น อินทิกรันด์มีขั้วอย่างง่าย
จากที่นี่เราจะพบอินทิกรัลที่ต้องการ:.
ตัวอย่างที่ 3 ปิดโครงร่างการรวมผ่านระนาบครึ่งบนหรือล่าง?
ด้วยการใช้อินทิกรัลที่ค่อนข้างง่ายต่อไปนี้ เราแสดงรายละเอียดลักษณะเฉพาะของตัวเลือกโครงร่างการอินทิเกรต คำนวณ
อินทิกรัล .
อินทิกรัลที่ต้องการของฟังก์ชันคำนวณตามแกนจริง ซึ่งอินทิกรัลไม่มี
คุณสมบัติ. ยังคงเป็นเพียงการปิดลูปการรวม เนื่องจากฟังก์ชันภายใต้อินทิกรัลมีจุดเอกพจน์เพียงสองจุดสุดท้ายแล้ว
คุณสามารถปิดรูปร่างด้วยครึ่งวงกลมซึ่งรัศมีควรจะไม่มีที่สิ้นสุด และนี่คือคำถามที่เกิดขึ้นว่าเป็นอย่างไร
ต้องเลือกครึ่งวงกลม: ในระนาบครึ่งบนหรือล่าง (ดูรูปที่ 3 a, b) เพื่อให้เข้าใจสิ่งนี้ เราเขียนอินทิกรัลเหนือครึ่งวงกลม
ในทั้งสองกรณี:
ก)
ข)
อย่างที่คุณเห็น พฤติกรรมของอินทิกรัลในขีดจำกัดถูกกำหนดโดยปัจจัย
ในกรณีของ "a" ดังนั้นขีดจำกัดจะถูกจำกัดภายใต้เงื่อนไข
ในกรณีของ "b" - ตรงกันข้าม - ดังนั้นขีดจำกัดจะถูกจำกัดภายใต้เงื่อนไข .
สิ่งนี้ชี้ให้เห็นว่าวิธีการปิดรูปร่างถูกกำหนดโดยเครื่องหมายของพารามิเตอร์ หากเป็นบวกแล้วล่ะก็
รูปร่างจะปิดผ่านระนาบครึ่งบนมิฉะนั้น - ผ่านส่วนล่าง ลองพิจารณากรณีเหล่านี้แยกกัน
ก)
ปริพันธ์ครึ่งวงกลมในลิมิตที่เราได้เห็นหายไป ภายในรูปร่าง (ดูรูปที่ 3a) คือ
จุดพิเศษดังนั้น
ข)
ในทำนองเดียวกัน เราพบว่าการใช้อินทิเกรตบนเส้นชั้นความสูงที่แสดงในรูปที่ 3b,
สังเกต . อาจดูแปลกที่อินทิกรัลของฟังก์ชันที่ซับซ้อนกลายเป็นจริง อย่างไรก็ตาม นี่เป็นเรื่องง่ายที่จะเข้าใจหากอยู่ในต้นฉบับ
แยกส่วนจริงและส่วนจินตภาพของอินทิกรัลออกจากกัน ในส่วนจินตภาพ ใต้อินทิกรัลจะมีฟังก์ชันคี่ และอินทิกรัลจะคำนวณแบบสมมาตร
ขีด จำกัด เหล่านั้น. ส่วนจินตภาพหายไปซึ่งเป็นสิ่งที่เกิดขึ้นในการคำนวณของเราตัวอย่างที่ 4 ข้ามจุดเอกพจน์ของอินทิกแรนด์เมื่อสร้างโครงร่างการอินทิเกรต.
ในตัวอย่างที่พิจารณา อินทิกแรนด์ไม่มีจุดเอกพจน์ หรืออยู่ในเส้นแสดงการอินทิเกรต อย่างไรก็ตาม
สามารถเลือกรูปร่างในลักษณะที่จุดเอกพจน์ของฟังก์ชันตกลงบนนั้นได้สะดวก ต้องข้ามจุดดังกล่าว บายพาสจะดำเนินการ
ตามวงกลมที่มีรัศมีเล็ก ๆ ซึ่งในอนาคตจะพุ่งไปที่ศูนย์ ตัวอย่างเช่น เราคำนวณอินทิกรัล.
อาจดูเหมือนว่าอินทิกแรนด์ไม่มีจุดเอกพจน์ที่จำกัด เนื่องจากจุดนั้นเป็นภาวะเอกฐานแบบถอดได้
แต่ในการคำนวณอินทิกรัล คุณต้องสร้างอินทิกรัลตามรูปร่างของฟังก์ชันอื่น (เพื่อให้อินทิกรัลหายไปบน
ปิดครึ่งวงกลมในขอบเขตรัศมีอนันต์): . อินทิกรันด์มีขั้วเอกฐาน
ที่จุด
ดังนั้นจึงจำเป็นต้องมีการวนซ้ำการรวมอีกครั้ง (ดูรูปที่ 4) มันแตกต่างจากรูปที่ 3a โดยข้อเท็จจริงที่ว่าจุดเอกพจน์นั้นหมุนวนเป็นครึ่งวงกลม
ซึ่งรัศมีควรจะมีแนวโน้มเป็นศูนย์ในอนาคต
. (3)
เราทราบทันทีว่าอินทิกรัลบนครึ่งวงกลมขนาดใหญ่มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์ในขีดจำกัดของรัศมีขนาดใหญ่ไร้ขอบเขตของมัน และภายในเส้นชั้นความสูง
ไม่มีจุดเอกพจน์ ดังนั้นอินทิกรัลของรูปร่างทั้งหมดจึงเป็นศูนย์ ต่อไป พิจารณาเงื่อนไขที่หนึ่งและสามใน (3):
.
ตอนนี้เราเขียนอินทิกรัลบนครึ่งวงกลมเล็กๆ โดยให้สิ่งนั้น เราจะคำนึงถึงความเล็กของรัศมีของครึ่งวงกลมทันที:
ไม่มีการเขียนข้อกำหนดที่มีแนวโน้มเป็นศูนย์ในขีด จำกัด
เรารวบรวมคำศัพท์ใน (3) - ยกเว้นคำศัพท์ที่เกี่ยวข้องกับครึ่งวงกลมขนาดใหญ่
อย่างที่คุณเห็น เงื่อนไขที่เปลี่ยนเป็นอนันต์ได้ยกเลิกกันไป ให้ และ เรามี.
สังเกต . ตัวอย่างเช่น Dirichlet integral คำนวณด้วยวิธีเดียวกันทุกประการ (เราจำได้ว่ามันแตกต่างจากที่เพิ่งพิจารณาโดยขาด
กำลังสองในตัวเศษและตัวส่วน)ตัวอย่างการคำนวณปริพันธ์แน่นอนโดยใช้เส้นชั้นความสูง
การบูรณาการในระนาบเชิงซ้อน (ต่อ)ตัวอย่างที่ 5 ปริพันธ์มีจุดเอกพจน์จำนวนนับไม่ถ้วน.
ในหลายกรณี การเลือกรูปร่างมีความซับซ้อนเนื่องจากอินทิกรันด์มีจุดเอกพจน์จำนวนไม่สิ้นสุด ในกรณีนี้อาจ
ปรากฎว่าผลรวมของสารตกค้างจะเป็นอนุกรมซึ่งการบรรจบกันจะยังคงต้องได้รับการพิสูจน์หากเราสรุปผลรวม
ไม่ทำงาน (และผลรวมของซีรีส์โดยทั่วไปเป็นงานที่ค่อนข้างซับซ้อนแยกต่างหาก) ตัวอย่างเช่น ลองคำนวณอินทิกรัล
เห็นได้ชัดว่าส่วนหนึ่งของรูปร่างคือแกนจริง ฟังก์ชั่นไม่มีคุณสมบัติ เรามาพูดถึงวิธีการปิดลูป คุณไม่จำเป็นต้องเลือกครึ่งวงกลม
ประเด็นก็คือไฮเปอร์โบลิกโคไซน์มีตระกูลของเลขศูนย์อย่างง่าย. ดังนั้นภายในรูปร่างปิดด้วยครึ่งวงกลม
ในขอบเขตของรัศมีขนาดใหญ่ไม่มีที่สิ้นสุด จุดเอกพจน์จำนวนมากจะตกลงมา คุณจะปิดลูปได้อย่างไร สังเกตว่า.
จากนี้เราสามารถลองรวมส่วนที่ขนานกับแกนจริงในรูปร่างการรวม ลูปจะปิดด้วยสอง
ส่วนแนวตั้งซึ่งในขีด จำกัด อยู่ห่างจากแกนจินตภาพอย่างไม่มีที่สิ้นสุด (ดูรูปที่ 5)
ในส่วนแนวตั้งของรูปร่าง. ดังนั้นไฮเปอร์โบลิกโคไซน์จึงเพิ่มขึ้นอย่างทวีคูณตามการเติบโตของอาร์กิวเมนต์ (โมดูโล)
ในขีดจำกัด ปริพันธ์ในส่วนแนวตั้งมีแนวโน้มเป็นศูนย์
ดังนั้นภายในขอบเขต.
ในทางกลับกัน ภายในเส้นแสดงการอินทิเกรตมีจุดเอกพจน์สองจุดของอินทิกรัล การหักเงินในนั้น
,
.
เพราะเหตุนี้,
.ตัวอย่างที่ 6 อินทิกรัลของอินทิกรัลแน่นอนและอินทิกรัลรูปร่างต่างกัน.
มีกรณีที่สำคัญมากในการคำนวณปริพันธ์ที่แน่นอนโดยวิธีการรวมรูปร่าง จนถึงตอนนี้อินทิเกรต
ฟังก์ชันอินทิกรัลของเส้นชั้นความสูงอาจเกิดขึ้นพร้อมกับอินทิกรัลของอินทิกรัลที่แน่นอน หรือไม่ก็ส่งผ่านเข้าไปโดยการแยก
ส่วนจริงหรือจินตภาพ แต่ไม่ใช่ทุกอย่างจะง่ายเสมอไป ลองคำนวณอินทิกรัลกัน
ในแง่ของการเลือกรูปร่างไม่มีปัญหาเฉพาะ แม้ว่าฟังก์ชันภายใต้อินทิกรัลจะมีขั้วง่ายๆ มากมาย เราก็รู้แล้ว
จากประสบการณ์ของตัวอย่างก่อนหน้านี้ว่าจำเป็นต้องใช้รูปร่างสี่เหลี่ยมเนื่องจาก . ข้อแตกต่างเพียงอย่างเดียวจากตัวอย่างที่ 5 ก็คือ
ว่าขั้วของอินทิกรัลที่ต้องข้ามไปตกลงบนเส้น ดังนั้นเราจึงเลือกที่แสดง
ในรูป 6 วงจร
พิจารณาอินทิกรัลของรูปร่าง เราจะไม่ทาสีในแต่ละส่วนของโครงร่างโดย จำกัด ตัวเองเป็นแนวนอน
แปลง อินทิกรัลตามแกนจริงในขีดจำกัดมีแนวโน้มเป็นค่าที่ต้องการ เราเขียนอินทิกรัลในส่วนที่เหลือ:
.
ในขีด จำกัด และอินทิกรัลสองตัวแรกจะให้ จากนั้นพวกเขาจะป้อนอินทิกรัลรูปร่างในผลรวม
ที่ต้องการซึ่งแตกต่างกันในเครื่องหมาย เป็นผลให้อินทิกรัลแน่นอนที่ต้องการจะหลุดออกจากอินทิกรัลรูปร่าง มันหมายความว่า
เลือกอินทิกรันด์ไม่ถูกต้อง พิจารณาอินทิกรัลอื่น: . เว้นโครงไว้เหมือนเดิม
ในการเริ่มต้น ให้พิจารณาปริพันธ์ในส่วนแนวนอนอีกครั้ง อินทิกรัลตามแกนจริงจะกลายเป็น
อินทิกรัลนี้หายไปในฐานะอินทิกรัลของฟังก์ชันคี่ภายในขอบเขตสมมาตร
ในขีดจำกัด วงเล็บสองอันแรกก็หายไปเช่นกัน กลายเป็นอินทิกรัลของฟังก์ชันคี่อีกครั้ง
ภายในขอบเขตสมมาตร แต่วงเล็บสุดท้ายถึงตัวประกอบจะให้อินทิกรัลที่ต้องการ มันสมเหตุสมผลที่จะดำเนินการคำนวณต่อไป
เช่นเดียวกับตัวอย่างที่ 5 ปริพันธ์ในส่วนแนวตั้งของเส้นชั้นความสูงมักจะเป็นศูนย์ที่ มันยังคงค้นหาอินทิกรัล
ในครึ่งวงกลมที่ไหน. ดังตัวอย่างที่ 4 เราคำนวณอินทิกรัลโดยคำนึงถึงความเล็กของ :
.
ดังนั้นเราจึงมีทุกอย่างที่จะเขียนอินทิกรัลของเส้นชั้นความสูงลงในลิมิต:
ในทางกลับกัน ขั้วของอินทิกแรนด์กลับอยู่ในรูปร่างอินทิกรัล
ให้เราพิจารณาเส้นโค้งเรียบ Γ ในระนาบเชิงซ้อนที่กำหนดโดยสมการพาราเมตริก
(คำจำกัดความของเส้นโค้งเรียบอยู่ที่จุดเริ่มต้นของ§8) ตามที่ระบุไว้ใน§ 8 สมการเหล่านี้สามารถเขียนในรูปแบบกะทัดรัด:
เมื่อเปลี่ยนพารามิเตอร์ ทีจาก กถึง /3 จุดตรงกัน ซี(เสื้อ)จะเคลื่อนที่ไปตามเส้นโค้ง Γ ดังนั้น สมการ (15.1) และ (15.2) ไม่เพียงแต่กำหนดจุดของเส้นโค้ง Γ เท่านั้น แต่ยังกำหนดทิศทางของการวนรอบเส้นโค้งนี้ด้วย เรียกว่าเส้นโค้ง Г ที่มีทิศทางบายพาสที่กำหนด เส้นโค้งที่มุ่งเน้น
ให้อยู่ในพื้นที่ ง CC ฟังก์ชันต่อเนื่อง f(r) = = คุณ(x, y) + iv(x.y),และให้เส้นโค้ง Γ อยู่ในนั้น ง.เพื่อแนะนำแนวคิดของอินทิกรัล [f(z)dzจากฟังก์ชั่น ฉ(z)ตามเส้นโค้ง r เรานิยาม r
ความแตกต่าง เดซความเท่าเทียมกัน dz = dx + ไอดี้อินทิกรัลถูกแปลงเป็นรูปแบบ
ดังนั้น อินทิกรัลของฟังก์ชันเชิงซ้อน ฉ(z)ตามเส้นโค้ง Γ เป็นเรื่องธรรมดาที่จะกำหนดโดยความเท่าเทียมกัน
ซึ่งด้านขวาประกอบด้วยอินทิกรัลเชิงเส้นจริงสองตัวของฟังก์ชันจริงชนิดที่สอง และและ และ.ในการคำนวณปริพันธ์เหล่านี้ แทนที่จะเป็น เอ็กซ์และ ที่ฟังก์ชันทดแทน x(เสื้อ)และ t/(/) แต่แทนที่จะเป็น ดีเอ็กซ์และ dy-ความแตกต่างของฟังก์ชันเหล่านี้ ดีเอ็กซ์ = x"(t) dtและ ตาย = y"(t)dt.จากนั้นอินทิกรัลทางด้านขวาของ (15.3) จะลดฟังก์ชันอินทิกรัลของตัวแปรจริงลงเหลือสองตัว ที
ตอนนี้เราพร้อมที่จะให้คำจำกัดความดังต่อไปนี้
อินทิกรัลตามเส้นโค้งช บนฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน f(z)หมายเลขนั้นถูกเรียก J"f(z)dzและคำนวณโดย
ที่ไหน ซี(เสื้อ) = x(เสื้อ) + ฉัน(t), a ^ t ^ ft, -สมการของเส้นโค้ง Г, ก ซี"(เสื้อ) = = x"(เสื้อ) + ฉัน"(t).
ตัวอย่าง 15.1 คำนวณอินทิกรัลของฟังก์ชัน ฉ(z) = (ช - ก) นตามแนววงกลมรัศมี r โดยมีจุดศูนย์กลาง a ทิศทางของบายพาสจะทวนเข็มนาฬิกา
วิธีแก้ปัญหา: สมการของวงกลม z - ก= g จะ z - a = geเอ หรือ
เมื่อมันเปลี่ยนไป ที.จากจุด 0 ถึง 2tg z(t.)เคลื่อนที่เป็นวงกลม r ทวนเข็มนาฬิกา แล้ว
โดยใช้ความเสมอภาค (15.5) และสูตร De Moivre (2.10) เราได้รับ
เราได้รับผลลัพธ์ที่สำคัญสำหรับการนำเสนอเพิ่มเติม:
โปรดทราบว่าค่าของอินทิกรัลไม่ได้ขึ้นอยู่กับรัศมี ชวงกลม
ตัวอย่าง 15.2. คำนวณอินทิกรัลของฟังก์ชัน ฉ(ซ) = 1 แต่เส้นโค้งเรียบ Γ โดยมีจุดกำเนิดที่จุด กและจบลงที่จุดหนึ่ง ข.
วิธีแก้ปัญหา ให้เส้นโค้ง Γ มาจากสมการ z(t.) = x(เสื้อ) + + ฉัน(t) และ ^ ที^ /3, และ ก= -r(ก), ข = ซี((3).โดยใช้สูตร (15.5) เช่นเดียวกับสูตรนิวตัน-ไลบ์นิซสำหรับการคำนวณอินทิกรัลของฟังก์ชันจริง เราได้รับ
เราเห็นว่าอินทิกรัล ฉ 1 เดซไม่ขึ้นอยู่กับประเภทของเส้นทาง G, connect-
ระหว่างจุด a และ 6 และขึ้นอยู่กับจุดสิ้นสุดเท่านั้น
ให้เราอธิบายสั้น ๆ อีกวิธีหนึ่งในการนิยามอินทิกรัลของฟังก์ชันเชิงซ้อน ฉ(z)ตามแนวเส้นโค้ง คล้ายกับนิยามของอินทิกรัลของฟังก์ชันจริงในเซ็กเมนต์
ให้เราแบ่งส่วนโค้ง Γ ตามอำเภอใจ พีจุดแปลง zq = ก, ซี 1, ..., ซีน-ธ z n = ข,ระบุทิศทางการเคลื่อนที่จากจุดเริ่มต้นไปยังจุดสิ้นสุด (รูปที่ 31) แสดงว่า ซี - โซ ==แอซ> ... , Zlc - Zk-l = Az/c, zn -สังกะสี- 1 = = อัซ(ตัวเลข อซคแทนด้วยเวกเตอร์ที่มาจากจุด ซิ L_i ใน Zk-)ในแต่ละไซต์ (zk-i,Zk)เราเลือกจุดโดยพลการบนเส้นโค้ง (q- และทำผลรวม
จำนวนนี้เรียกว่า ผลรวมของอินทิกรัลให้เราแสดงด้วย L ความยาวของส่วนที่ใหญ่ที่สุดที่เส้นโค้ง G แบ่งออก พิจารณาลำดับของพาร์ติชันที่ A -? 0 (ขณะที่ พี-*อู้).
П1> หน่วยของผลรวมอินทิกรัลซึ่งคำนวณภายใต้เงื่อนไขที่ว่าความยาวของส่วนที่ใหญ่ที่สุดของพาร์ติชันมีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์เรียกว่า อินทิกรัลของฟังก์ชัน/(จี) ตามแนวโค้ง G และแสดงโดย G f(z)dz:
สามารถแสดงได้ว่าคำจำกัดความนี้นำเราไปสู่สูตร (15.3) และเทียบเท่ากับคำจำกัดความ (15.5) ที่ให้ไว้ข้างต้น
ให้เราสร้างคุณสมบัติหลักของอินทิกรัล / f(z)dz.
1°. เชิงเส้น สำหรับค่าคงที่เชิงซ้อน a และ b ใดๆ
คุณสมบัตินี้ต่อจากความเท่าเทียมกัน (15.5) และคุณสมบัติที่สอดคล้องกันของอินทิกรัลเหนือส่วน
2°. สารเติมแต่ง หากเป็นทางโค้งช แบ่งออกเป็นส่วน Tiม. G2, แล้ว 
การพิสูจน์. ให้เส้นโค้ง Γ ที่ปลาย a ขถูกแบ่งด้วยจุด c ออกเป็นสองส่วน: เส้นโค้ง Гi ที่มีปลาย a กับและเส้นโค้ง Gr ที่ลงท้ายด้วย ข.ให้ Г ได้จากสมการ ซี = z(เ), ก ^ ที ^ ใน.และ ก= 2(ก), ข = z(ฟุต),ค = 2(7). จากนั้นสมการของเส้นโค้ง Г1 และ Гг จะเป็น ซี = ซี(เสื้อ),ที่ไหน ก ^ ที^7 สำหรับ Ti และ 7^ ที^/? สำหรับ Gg เราใช้คำจำกัดความ (15.5) และคุณสมบัติที่สอดคล้องกันของอินทิกรัลเหนือส่วนที่เราได้รับ
คิวอีดี
คุณสมบัติ 2° ทำให้สามารถคำนวณปริพันธ์ได้ ไม่เพียงแต่บนเส้นโค้งเรียบเท่านั้น แต่ยังคำนวณด้วย เป็นชิ้นเรียบ, เช่น. เส้นโค้งที่สามารถแบ่งออกเป็นส่วนเรียบในจำนวนจำกัด
3°. เมื่อทิศทางของเส้นโค้งเปลี่ยนไป อินทิกรัลจะเปลี่ยนเครื่องหมาย
พิสูจน์ l ด้วย t ในเกี่ยวกับ ให้เส้นโค้ง Г สิ้นสุด กและ ขได้จากสมการ r = r(?), o ^ ที ^ $. เส้นโค้งที่ประกอบด้วยจุดเดียวกันกับ Γ แต่แตกต่างจาก Γ ในทิศทางของทางอ้อม (ทิศทาง) จะแสดงด้วย Γ จากนั้น Г - ถูกกำหนดโดยสมการ ซี= 2i(J)> ที่ไหน ซี(เสื้อ)= 2(0 -I - พอดี),เราแนะนำตัวแปรใหม่ r = a + - ท.เมื่อมันเปลี่ยนไป ทีจากถึง (งตัวแปร r เปลี่ยนจาก (5 ถึง ก. ดังนั้น จุด r(m) จะวิ่งผ่านเส้นโค้ง r
คุณสมบัติ 3° ได้รับการพิสูจน์แล้ว (โปรดทราบว่าคุณสมบัตินี้ต่อจากนิยามอินทิกรัลโดยตรง (15.8): เมื่อการวางแนวของเส้นโค้งเปลี่ยนไป การเพิ่มขึ้นทั้งหมด อซคเปลี่ยนเครื่องหมาย)
4°. โมดูลัสของอินทิกรัล f f(z)dz ไม่เกินค่าของความโค้งช
อินทิกรัลเชิงเส้นของโมดูลัสของฟังก์ชันตามความยาวของเส้นโค้ง s (อินทิกรัลเส้นโค้งของ f(z) ประเภทแรก):
มันง่ายที่จะเห็นว่า z[(t) = r" r (t)(a + - t)เจ = -z "t (t), dt = -dr. ใช้คำจำกัดความ (15.5) และส่งผ่านไปยังตัวแปร r เราได้
การพิสูจน์. ขอให้เราใช้ความจริงที่ว่าสำหรับอินทิกรัลเหนือส่วน
(อสมการนี้ตามทันทีจากคำจำกัดความของอินทิกรัลเหนือส่วนเป็นขีดจำกัดของผลรวมอินทิกรัล) จากที่นี่และจาก (15.5) เรามี
1. แนวคิดพื้นฐาน
2. การคำนวณปริพันธ์ของฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน
3. ตัวอย่างการคำนวณปริพันธ์ของฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน
4. ทฤษฎีบท Cauchy หลักสำหรับรูปร่างอย่างง่าย
5. ทฤษฎีบทของ Cauchy สำหรับรูปร่างที่ซับซ้อน
6. สูตร Integral Cauchy
7. การคำนวณปริพันธ์ในวงปิด
8. ตัวอย่างการคำนวณปริพันธ์บนเส้นชั้นความสูง
แนวคิดพื้นฐาน
1. แนวคิดของอินทิกรัลของฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อนได้รับการแนะนำ (ในลักษณะเดียวกับในพื้นที่จริง) เป็นขีดจำกัดของลำดับของผลรวมอินทิกรัล ฟังก์ชันถูกกำหนดบนเส้นโค้งบางเส้น l เส้นโค้งจะถือว่าเรียบหรือเรียบตามขวาง:
\int\limits_(l)f(z)\,dz= \lim_(\lambda\to0) \sum_(k=1)^(n)\bigl(f(\xi_k)\cdot \Delta z_k\bigr) ,\qquad\สี่เหลี่ยม (2.43)
โดยที่ x_k คือจุดที่เลือกบนส่วนโค้ง \Delta l_k ของการแยกเส้นโค้ง \Delta z_k - การเพิ่มอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันในส่วนนี้ของการแยก \lambda=\max_(k)|\เดลต้า z_k|- แยกขั้นตอน |\Delta z_k| - ความยาวของคอร์ดที่เชื่อมปลายส่วนโค้ง \Delta l_k ; เส้นโค้ง l ถูกแบ่งออกเป็น n ส่วนโดยพลการ \เดลต้า l_k,~ k=1,2,\ldots,n. มีการเลือกทิศทางบนเส้นโค้ง เช่น มีการระบุจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด ในกรณีโค้งปิด \textstyle(\left(\int\limits_(l) f(z)dz= \oint\limits_(c)f(z)dz\right))การบูรณาการเกิดขึ้นในทิศทางบวกนั่นคือ ในทิศทางที่ออกจากพื้นที่สิ้นสุดที่ล้อมรอบด้วยเส้นทางไปทางซ้าย
สูตร (2.43) กำหนด อินทิกรัลเส้นโค้งของฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน. หากเราแยกส่วนจริงและส่วนจินตภาพของฟังก์ชัน f(z) ออกมา นั่นคือ เขียนลงในแบบฟอร์ม
F(z)=u+i\,v,\qquad u=\operatorname(Re)f(z),\quad v=\operatorname(Im)f(z),\qquad u=u(x,y) ,\quad v=v(x,y),
จากนั้นสามารถเขียนผลรวมอินทิกรัลในรูปของสองเทอม ซึ่งจะเป็นผลรวมอินทิกรัลเชิงโค้งของฟังก์ชันชนิดที่สองของตัวแปรจริงสองตัว หากถือว่า f(z) ต่อเนื่องบน l แล้ว u(x, y),~ v(x, y) ก็จะต่อเนื่องบน l ด้วยเช่นกัน และด้วยเหตุนี้ผลรวมอินทิกรัลที่สอดคล้องกันจึงมีขีดจำกัด ดังนั้น หากฟังก์ชัน f(z) ต่อเนื่องบน l ก็จะมีลิมิตของความเท่าเทียมกัน (2.43) เช่น มีอินทิกรัลเส้นโค้งของฟังก์ชัน f(z) เหนือเส้นโค้ง l และสูตร
\int\limits_(l)f(z)\,dz= \int\limits_(l)u\,dx-v\,dy+ i \int\limits_(l)u\,dy+v\,dx\, .
การใช้นิยามอินทิกรัลหรือสูตร (2.44) และคุณสมบัติของอินทิกรัลเชิงโค้งประเภทที่สอง ทำให้ง่ายต่อการตรวจสอบความถูกต้องของคุณสมบัติต่อไปนี้ของอินทิกรัลเชิงโค้งของฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน (คุณสมบัติที่ทราบจากการวิเคราะห์จริง) .
\begin(ชิด)&\bold(1.)~~ \int\limits_(l)\bigldz= c_1\int\limits_(l) f_1(z)\,dz+ c_2\int\limits_(l)f_2(z )\,dz\,.\\ &\bold(2.)~~ \int\limits_(AB)f(z)\,dz=- \int\limits_(BA)f(z)\,dz\, .\\ &\bold(3.)~~ \int\limits_(AB)f(z)\,dz= \int\limits_(AC)f(z)\,dz+ \int\limits_(CB)f( z)\,dz\,.\\ &\bold(4.)~~ \int\limits_(AB)|dz|= l_(AB).\\ &\bold(5.)~~ \left|\ int\limits_(l)f(z)\,dz \right|\leqslant \int\limits_(l)|f(z)|\,|dz| \end(ชิด)
โดยเฉพาะอย่างยิ่ง, \textstyle(\left|\int\limits_(AB)f(z)\,dz\right|\leqslant M\cdot l_(AB))ถ้าฟังก์ชันอยู่ในค่าสัมบูรณ์บนเส้นโค้ง AB นั่นคือ |f(z)|\leqslant M,~ z\in ล. คุณสมบัตินี้เรียกว่าคุณสมบัติการประมาณโมดูลัสของอินทิกรัล
\bold(6.)~~ \int\limits_(AB)dz= z_B-z_A\,.
สูตร (2.44) ถือได้ว่าเป็นทั้งคำจำกัดความของอินทิกรัลเส้นโค้งของฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน และเป็นสูตรสำหรับการคำนวณผ่านอินทิกรัลเส้นโค้งของฟังก์ชันประเภทที่สองของตัวแปรจริงสองตัว
ในการใช้และจำสูตรการคำนวณ เราสังเกตว่าความเท่าเทียมกัน (2.44) สอดคล้องกับการดำเนินการอย่างเป็นทางการทางด้านซ้ายภายใต้สัญลักษณ์ของอินทิกรัลของการดำเนินการแยกส่วนจริงและส่วนจินตภาพของฟังก์ชัน f(z) คูณด้วย dz=dx+i\,dy และเขียนผลลัพธ์ที่ได้ในรูปแบบพีชคณิต:
\int\limits_(l)f(z)\,dz= \int\limits_(l)(u+iv)(dx+i\,dy)= \int\limits_(l)u\,dx-v\ ,dy+i(u\,dy+v\,dx)= \int\limits_(l)u\,dx-v\,dy+ i\int\limits_(l)u\,dy+v\,dx\ ,.
ตัวอย่าง 2.79.คำนวณปริพันธ์และ \int\limits_(OA)z\,dzซึ่งสายงานอ
ก) ส่วนของเส้นตรงเชื่อมต่อจุด z_1=0 และ z_2=1+i ,
b) เส้นแบ่ง OBA ที่ไหน O(0;0),~A(1;1),~B(1;0).
▼ วิธีแก้ไข
1. คำนวณอินทิกรัล \int\limits_(OA)\overline(z)\,dz. ที่นี่ f(z)= \overline(z)= x-iy,~ dz=dx+i\,dy. เราเขียนอินทิกรัลในรูปของปริพันธ์เชิงโค้งประเภทที่สอง:
\int\limits_(OA)\overline(z)\,dz= \int\limits_(OA) (x-iy)(dx+i\,dy)= \int\limits_(OA) x\,dx+y \,dy+ i\int\limits_(OA)x\,dy-y\,dx\,
ซึ่งสอดคล้องกับสูตร (2.44) เราคำนวณปริพันธ์:
ก) เส้นทางการรวมเป็นส่วนของเส้นตรง ดังนั้น \int\limits_(OA)\overline(z)\,dz= \int\limits_(0)^(1)2x\,dx=1.
b) เส้นทางของการรวมเป็นเส้นแบ่งซึ่งประกอบด้วยสองส่วน OB= \(y=0,~ 0\leqslant x\leqslant1\)และ BA= \(x=1,~ 0\leqslant y\leqslant1\). ดังนั้นเราจึงได้แยกอินทิกรัลออกเป็นสองส่วนและทำการคำนวณ
\int\limits_(OA)\overline(z)\,dz= \int\limits_(OB)\overline(z)\,dz+ \int\limits_(BA)\overline(z)\,dz= \int\ limits_(0)^(1)x\,dx+ \int\limits_(0)^(1)y\,dy+ i\int\limits_(0)^(1) dy=1+i
อินทิกรัลของฟังก์ชัน f(z)=\overline(z) ขึ้นอยู่กับตัวเลือกของเส้นทางอินทิกรัลที่เชื่อมต่อจุด O และ A
2. คำนวณอินทิกรัล \textstyle(\int\limits_(OA)z\,dz)นี่ f(z)=z=x+iy เราเขียนอินทิกรัลในรูปของปริพันธ์เชิงโค้งประเภทที่สอง
\int\limits_(OA)z\,dz= \int\limits_(OA)x\,dx-y\,dy+ i\int\limits_(OA)x\,dy+y\,dx\,
อินทิกรัลของอินทิกรัลประเภทที่สองที่ได้รับคือผลต่างทั้งหมด (ดูเงื่อนไข (2.30)) ดังนั้นจึงเพียงพอแล้วที่จะพิจารณากรณีหนึ่งของเส้นทางการรวม ดังนั้น ในกรณี "a" โดยที่สมการของส่วน y=x,~0 \leqslant x \leqslant1เราได้รับคำตอบ
\int\limits_(OA)z\,dz=i \int\limits_(0)^(1)2x\,dx=i\,
เนื่องจากความเป็นอิสระของอินทิกรัลจากรูปแบบของเส้นทางอินทิกรัล งานในกรณีนี้สามารถกำหนดในรูปแบบทั่วไปมากขึ้น: คำนวณอินทิกรัล
\int\limits_(l)z\,dzจากจุด z_1=0 ไปยังจุด z_2=1+i
ในส่วนย่อยถัดไป เราจะพิจารณากรณีของการรวมดังกล่าวในรายละเอียดเพิ่มเติม
2. ให้อินทิกรัลของฟังก์ชันต่อเนื่องในบางโดเมนเป็นอิสระจากรูปแบบของเส้นโค้งที่เชื่อมจุดสองจุดของโดเมนนี้ มาแก้ไขจุดเริ่มต้นกันเถอะ z_0 จุดสิ้นสุดเป็นตัวแปร z แทนกัน จากนั้นค่าของอินทิกรัลจะขึ้นอยู่กับจุด z เท่านั้น นั่นคือมันกำหนดฟังก์ชันบางอย่างในพื้นที่ที่ระบุ
ด้านล่าง เราจะพิสูจน์การยืนยันว่าในกรณีของโดเมนที่เชื่อมต่อแบบธรรมดา อินทิกรัลจะกำหนดฟังก์ชันค่าเดียวในโดเมนนี้ เราแนะนำสัญกรณ์
\int\limits_(z_0)^(z) f(\xi)\,d\xi=F(z).
ฟังก์ชัน F(z) เป็นอินทิกรัลที่มีขีดจำกัดบนของตัวแปร
การใช้คำจำกัดความของอนุพันธ์ เช่น กำลังพิจารณา \lim_(\Delta z\to0)\frac(\Delta F)(\Delta z)เป็นการง่ายที่จะตรวจสอบว่า F(z) มีอนุพันธ์ที่จุดใดๆ ของโดเมนของคำนิยาม และด้วยเหตุนี้จึงมีการวิเคราะห์อยู่ในนั้น ในกรณีนี้ เราได้สูตรสำหรับอนุพันธ์
ฉ"(z)=ฉ(z).
อนุพันธ์ของอินทิกรัลที่มีขีดจำกัดบนของตัวแปรจะเท่ากับค่าของอินทิกรัลที่ขีดจำกัดบน
โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ตามมาจากความเท่าเทียมกัน (2.46) ว่าอินทิกรัล f(z) ใน (2.45) เป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ เนื่องจากอนุพันธ์ F"(z) ของฟังก์ชันวิเคราะห์ F(z) โดยคุณสมบัติของฟังก์ชันดังกล่าว ( ดูข้อเสนอ 2.28) - ฟังก์ชั่นการวิเคราะห์
3. ฟังก์ชัน F(z) ที่ความเท่าเทียมกัน (2.46) มีอยู่เรียกว่าแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน f(z) ในโดเมนที่เชื่อมต่อง่ายๆ และคอลเล็กชันของแอนติเดริเวทีฟ \Phi(z)=F(z)+c , โดยที่ c=\text( const) , - อินทิกรัลที่ไม่แน่นอนของฟังก์ชัน f(z) .
จากจุดที่ 2 และ 3 เราได้รับการยืนยันดังต่อไปนี้
ถ้อยแถลง 2.25
1. อินทิกรัลที่มีขีดจำกัดบนของตัวแปร \textstyle(\int\limits_(z_0)^(z) f(\xi)\,d\xi)จากการวิเคราะห์ฟังก์ชันในโดเมนที่เชื่อมต่อง่ายๆ จะมีการวิเคราะห์ฟังก์ชันในโดเมนนี้ ฟังก์ชันนี้เป็นแอนติเดริเวทีฟสำหรับอินทิกรัล
2. ฟังก์ชันใดๆ ที่วิเคราะห์ในโดเมนที่เชื่อมต่อง่ายๆ จะมีสารต้านอนุพันธ์อยู่ในนั้น (การมีอยู่ของสารต้านอนุพันธ์)
พบอนุพันธ์ของฟังก์ชันวิเคราะห์ในโดเมนที่เชื่อมต่อง่ายๆ เช่นในกรณีของการวิเคราะห์จริง: มีการใช้คุณสมบัติของปริพันธ์ ตารางของปริพันธ์ และกฎการรวม
ตัวอย่างเช่น, \int e^z\,dz=e^z+c,~~ \int\cos z\,dz=\sin z+c.
ระหว่างอินทิกรัลเส้นโค้งของฟังก์ชันการวิเคราะห์และแอนติเดริเวทีฟในโดเมนที่เชื่อมต่ออย่างง่าย มีสูตรที่คล้ายกับสูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซจากการวิเคราะห์จริง:
\int\limits_(z_1)^(z_2)f(z)\,dz= \Bigl.(F(z))\Bigr|_(z_1)^(z_2)= F(z_2)-F(z_1).
4. ในการวิเคราะห์จริง ในโดเมนที่ซับซ้อน นอกเหนือจากอินทิกรัลที่มีพารามิเตอร์ภายในขอบเขตของการอินทิกรัล (สูตร (2.45) ให้ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดของอินทิกรัลดังกล่าว) อินทิกรัลจะถือว่าขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ที่อยู่ในอินทิกรัล: \textstyle(\int\limits_(l)f(\xi,z)\,d\xi). ในบรรดาอินทิกรัลดังกล่าว สถานที่สำคัญในทฤษฎีและการปฏิบัติของการอินทิกรัลที่ซับซ้อนและการประยุกต์ถูกครอบครองโดยอินทิกรัลของฟอร์ม \textstyle(\int\limits_(l)\dfrac(f(\xi))(\xi-z)\,d\xi).
สมมติว่า f(z) ต่อเนื่องบนเส้น l เราได้รับว่าสำหรับจุดใดๆ z ที่ไม่ใช่ของ l ปริพันธ์นั้นมีอยู่และกำหนดว่า ในพื้นที่ใดๆ ที่ไม่มี l ฟังก์ชันบางอย่าง
\frac(1)(2\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(f(\xi))(\xi-z)\,d\xi=F(z).
อินทิกรัล (2.48) เรียกว่าอินทิกรัลประเภท Cauchy; ตัวคูณ \frac(1)(2\pi\,i) ถูกนำมาใช้เพื่อความสะดวกในการใช้ฟังก์ชันที่สร้างขึ้น
สำหรับฟังก์ชันนี้ เช่นเดียวกับฟังก์ชันที่กำหนดโดยความเท่าเทียมกัน (2.45) ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าสามารถวิเคราะห์ได้ทุกที่ในขอบเขตของคำจำกัดความ ยิ่งไปกว่านั้น ตรงกันข้ามกับอินทิกรัล (2.45) ที่นี่ไม่จำเป็นต้องใช้ฟังก์ชันการสร้าง f(z) ในการวิเคราะห์ เช่น สูตร (2.48) ใช้เพื่อสร้างคลาสของฟังก์ชันการวิเคราะห์บนคลาสของฟังก์ชันต่อเนื่องของตัวแปรเชิงซ้อน อนุพันธ์ของอินทิกรัล (2.48) ถูกกำหนดโดยสูตร
F"(z)= \frac(1)(2\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(f(\xi))((\xi-z)^2)\,d\xi \,.
ในการพิสูจน์สูตร (2.49) และด้วยเหตุนี้ เพื่อยืนยันว่าอินทิกรัลของประเภท Cauchy เป็นการวิเคราะห์ ก็เพียงพอตามคำจำกัดความของอนุพันธ์ เพื่อกำหนดความถูกต้องของอสมการ
\left|\frac(\Delta F)(\Delta z)-F"(z)\right|<\varepsilon,\qquad |\Delta z|<\delta(\varepsilon)
สำหรับ \varepsilon>0 ใดๆ และสำหรับ z ใดๆ จากโดเมนของฟังก์ชัน F(z)
วิธีการเดียวกันนี้สามารถใช้เพื่อแสดงว่ามีอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดโดยความเท่าเทียมกัน (2.49) เช่น F""(z) และสูตร
F""(z)= \frac(1)(\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(f(\xi))((\xi-z)^3)\,d\xi \,.
ขั้นตอนสามารถดำเนินต่อไปได้ และเราสามารถพิสูจน์ได้โดยการเหนี่ยวนำสูตรสำหรับอนุพันธ์ของลำดับใดๆ ของฟังก์ชัน F(z)\colon
F^((n))(z)= \frac(n{2\pi\,i} \int\limits_{l} \frac{f(\xi)}{(\xi-z)^{n+1}}\,d\xi\,. !}
การวิเคราะห์สูตร (2.48) และ (2.49) เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าสามารถรับอนุพันธ์ F(z) ได้อย่างเป็นทางการโดยการแยกความแตกต่างตามพารามิเตอร์ภายใต้เครื่องหมายอินทิกรัล (2.48):
F"(z)= \frac(d)(dz)\! \left(\frac(1)(2\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(f(\xi))(\ xi-z)\,d\xi\right)= \frac(1)(2\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(d)(dz)\!\left(\frac(f (\xi))(\xi-z)\right)\!d\xi= \frac(1)(2\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(f(\xi))( (\xi-z)^2)\,d\xi\,.
การใช้กฎความแตกต่างอย่างเป็นทางการของอินทิกรัลขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ n ครั้ง เราได้สูตร (2.50)
เราเขียนผลลัพธ์ที่ได้ในส่วนนี้ในรูปแบบของการยืนยัน
การยืนยัน 2.26. อินทิกรัล \frac(1)(2\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(f(\xi))(\xi-z)\,d\xiจากฟังก์ชัน f(z) ต่อเนื่องบนเส้นโค้ง l มีฟังก์ชันที่วิเคราะห์ในโดเมน D ใดๆ ที่ไม่มี l ; อนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้สามารถหาได้โดยการหาอนุพันธ์ตามพารามิเตอร์ภายใต้เครื่องหมายอินทิกรัล
การคำนวณปริพันธ์จากฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน
ข้างต้นได้รับสูตรสำหรับการคำนวณอินทิกรัลของฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน - สูตร (2.44) และ (2.47)
ถ้าเส้นโค้ง l ในสูตร (2.44) ถูกตั้งค่าแบบพาราเมตริก: z=z(t),~ \alpha\leqslant t\leqslant\เบต้าหรือที่ตรงกับแบบฟอร์มจริง: \begin(กรณี) x=x(t),\\ y=y(t),\end(กรณี)\!\!\alpha\leqslant t\leqslant\betaจากนั้นใช้กฎสำหรับการคำนวณปริพันธ์ประเภทที่สองในกรณีของข้อกำหนดพารามิเตอร์ของเส้นโค้ง เราสามารถเปลี่ยนสูตร (2.44) เป็นรูปแบบ
\int\limits_(l)f(z)\,dz= \int\limits_(\alpha)^(\beta)f\bigl(z(t)\bigr)z"(t)\,dt\,
ผลลัพธ์ที่ได้และผลลัพธ์ที่ได้รับในการบรรยายครั้งก่อนจะถูกเขียนเป็นลำดับของการกระทำ
วิธีการคำนวณปริพันธ์ \textstyle(\int\limits_(l)f(z)\,dz).
วิธีแรกการคำนวณปริพันธ์ \textstyle(\int\limits_(l)f(z)\,dz)จากฟังก์ชันต่อเนื่องโดยการลดปริพันธ์เชิงโค้งของฟังก์ชันของตัวแปรจริง - การประยุกต์สูตร (2.44)
1. ค้นหา \operatorname(Re)f(z)=u,~ \operatorname(Im)f(z)=v.
2. เขียนปริพันธ์ f(z)dz เป็นผลคูณ (u+iv)(dx+i\,dy) หรือการคูณ คุณ\,dx-v\,dy+i(u\,dy+v\,dx).
3. คำนวณอินทิกรัลเส้นโค้งของแบบฟอร์ม \textstyle(\int\limits_(l)P\,dx+Q\,dy), ที่ไหน P=P(x,y),~ Q=Q(x,y)ตามกฎการคำนวณปริพันธ์เชิงเส้นโค้งประเภทที่สอง
วิธีที่สองการคำนวณปริพันธ์ \textstyle(\int\limits_(l) f(z)\,dz)จากฟังก์ชันต่อเนื่องโดยการลดลงเป็นอินทิกรัลที่แน่นอน ในกรณีของข้อกำหนดพารามิเตอร์ของเส้นทางอินทิเกรต - การใช้สูตร (2.51)
1. เขียนสมการพาราเมตริกของเส้นโค้ง z=z(t) และกำหนดขีดจำกัดการรวมจากสมการนั้น: t=\alpha สอดคล้องกับจุดเริ่มต้นของเส้นทางการรวม t=\beta - ไปยังจุดสิ้นสุด
2. ค้นหาส่วนต่างของฟังก์ชันที่มีค่าเชิงซ้อน z(t)\โคลอน\, dz=z"(t)dt.
3. แทน z(t) ลงในอินทิกรัล แล้วแปลงอินทิกรัล
\int\limits_(\alpha)^(\beta)f \bigl(z(t)\bigr)\cdot z"(t)\,dt= \int\limits_(\alpha)^(\beta)\varphi (ท)\,dt\,.
4. คำนวณอินทิกรัลแน่นอนจากฟังก์ชันค่าเชิงซ้อนของตัวแปรจริงที่ได้จากส่วนที่ 3
โปรดทราบว่าการรวมฟังก์ชันค่าเชิงซ้อนของตัวแปรจริงไม่แตกต่างจากการรวมฟังก์ชันค่าจริง ข้อแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือการมีอยู่ในกรณีแรกของปัจจัย ผม การกระทำซึ่งแน่นอนว่าถือเป็นค่าคงที่ ตัวอย่างเช่น,
\int\limits_(-1)^(1)e^(2it)dt= \left.(\frac(e^(2it))(2i))\right|_(-1)^(1)= \ frac(1)(2i)(e^(2i)-e^(-2i))= \sin2\,.
วิธีที่สามการคำนวณอินทิกรัลของฟังก์ชันการวิเคราะห์ในโดเมนที่เชื่อมต่ออย่างง่าย - การใช้สูตร (2.47)
1. ค้นหาแอนติเดริเวทีฟ F(z) โดยใช้คุณสมบัติของปริพันธ์ ปริพันธ์แบบตาราง และวิธีการที่ทราบจากการวิเคราะห์จริง
2. ใช้สูตร (2.47): \int\limits_(z_1)^(z_2)f(z)\,dz= F(z_2)-F(z_1).
ข้อสังเกต 2.10
1. ในกรณีของขอบเขตที่เชื่อมต่อแบบทวีคูณ การตัดจะทำเพื่อให้ได้ฟังก์ชันค่าเดียว F(z)
2. เมื่อรวมสาขาค่าเดียวของฟังก์ชันหลายค่า สาขาจะแยกความแตกต่างโดยการตั้งค่าของฟังก์ชันที่บางจุดของเส้นโค้งการรวม ถ้าเส้นโค้งปิด จุดเริ่มต้นของเส้นทางการรวมคือจุดที่กำหนดค่าของการรวม ค่าของอินทิกรัลอาจขึ้นอยู่กับตัวเลือกของจุดนี้
▼ ตัวอย่าง 2.80-2.86 การคำนวณปริพันธ์ของฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน
ตัวอย่าง 2.80.คำนวณ \int\limits_(l)\operatorname(Re)z\,dzโดยที่ l คือเส้นเชื่อมระหว่างจุด z_1=0 กับจุด z_2=1+i\โคลอน
ก) ล. - เส้นตรง; b) ล. - เส้นขาด OBA ที่ไหน O(0;0),~B(1;0),~A(1;1).
▼ วิธีแก้ไข
ก) เราใช้วิธีแรก - (สูตร (2.44))
1.2. อินทิกรัลมีรูปแบบ \operatorname(Re)z\,dz= x(dx+i\,dy). นั่นเป็นเหตุผล
\int\limits_(l)\operatorname(Re)z\,dz= \int\limits_(l)x\,dx+ i\int\limits_(l)x\,dy\,
3. คำนวณปริพันธ์สำหรับ y=x,~ 0\leqslant x\leqslant1(สมการของส่วน OA ที่เชื่อมต่อจุด z_1 และ z_2 ) เราได้รับ
\int\limits_(l)\operatorname(Re)z\,dz= \int\limits_(l)x\,dx+ i\int\limits_(l)x\,dy= \int\limits_(0)^( 1)x\,dx+ i\int\limits_(0)^(1)x\,dx= \frac(1+i)(2)\,.
b) เนื่องจากเส้นทางอินทิกรัลประกอบด้วยสองส่วน เราจึงเขียนอินทิกรัลเป็นผลรวมของอินทิกรัลสองตัว:
\int\limits_(l)\operatorname(Re)z\,dz= \int\limits_(OB)\operatorname(Re)z\,dz+ \int\limits_(BA)\operatorname(Re)z\,dz
และแต่ละรายการจะคำนวณตามวรรคก่อน นอกจากนี้สำหรับกลุ่ม OB เรามี
\begin(กรณี)y=0,\\ 0 \leqslant x \leqslant1,\end(กรณี)และสำหรับกลุ่ม BA\โคลอน \begin(กรณี)x=1,\\ 0 \leqslant y \leqslant1.\end(กรณี)
เราทำการคำนวณ:
\int\limits_(l)\operatorname(Re)z\,dz= \int\limits_(OB)x\,dx+ i\,x\,dy+ \int\limits_(BA) x\,dx+i\, x\,dy= \int\limits_(0)^(1)x\,dx+ i \int\limits_(0)^(1)1\cdot dy= \frac(1)(2)+i.
โปรดทราบว่าอินทิกรัลในตัวอย่างนี้ไม่ใช่ฟังก์ชันวิเคราะห์ ดังนั้นอินทิกรัลบนเส้นโค้งที่แตกต่างกันสองเส้นที่เชื่อมต่อสองจุดที่กำหนดให้อาจมีค่าต่างกัน ซึ่งแสดงไว้ในตัวอย่างนี้
ตัวอย่าง 2.81.คำนวณ \int\limits_(l)|z| \overline(z)\,dzโดยที่ l คือครึ่งวงกลมบน |z|=1 ข้ามเส้นโค้ง l ทวนเข็มนาฬิกา
▼ วิธีแก้ไข
เส้นโค้งมีสมการพาราเมตริกอย่างง่าย z=e^(มัน),~ 0\leqslant t\leqslant\piดังนั้นจึงสะดวกที่จะใช้วิธีที่สอง (สูตร (2.51)) อินทิกรัลในที่นี้คือฟังก์ชันต่อเนื่อง ไม่ใช่การวิเคราะห์
1.2. สำหรับ z=e^(มัน) เราพบ \overline(z)=e^(-มัน),~ |z|=1,~ dz=i\,e^(มัน)dt.
3.4. แทนที่ในอินทิกรัล เราคำนวณอินทิกรัล
\int\limits_(l)|z| \overline(z)\,dz= \int\limits_(0)^(\pi)1\cdot e^(-it)\cdot i\,e^(it)dt= \int\limits_(0)^ (\pi)i\,dt=i\,\pi
ตัวอย่าง 2.82.คำนวณอินทิกรัลของฟังก์ชันการวิเคราะห์:
ก) \int\limits_(0)^(i)\sin^2z\,dz; ข) \int\limits_(-i)^(1)\frac(dz)((z-i)^2)เส้นทางการรวมไม่ผ่านจุด i
▼ วิธีแก้ไข
ก) ใช้สูตร (2.47) (กฎข้อที่สาม); เราพบแอนติเดริเวทีฟโดยใช้วิธีการรวมการวิเคราะห์จริง:
\int\limits_()^()\sin^2z\,dz= \frac(1)(2) \int\limits_(0)^(i)(1-\cos2z)\,dz= \left.( \frac(1)(2) \left(z-\frac(1)(2)\sin2z\right))\right|_(0)^(i)= \frac(1)(2)\,i -\frac(1)(4)\sin2i= \frac(1)(2)\,i-i\,\frac(\operatorname(sh)2)(4)= \frac(i)(4)(2- \ชื่อผู้ประกอบการ(sh)2).
b) อินทิกรันด์วิเคราะห์ได้ทุกที่ยกเว้นจุด i หลังจากวาดระนาบตัดตามลำแสงจากจุด i ถึง \infty เราจะได้พื้นที่เชื่อมต่อง่ายๆ ซึ่งฟังก์ชันวิเคราะห์และสามารถคำนวณอินทิกรัลได้ด้วยสูตร (2.47) ดังนั้นสำหรับเส้นโค้งใด ๆ ที่ไม่ผ่านจุด i สามารถคำนวณอินทิกรัลโดยใช้สูตร (2.47) ในขณะที่สำหรับสองจุดที่กำหนดให้จะมีค่าเท่ากัน
บนมะเดื่อ 2.44 แสดงสองกรณีของการตัด ทิศทางของการข้ามขอบเขตของภูมิภาคที่เชื่อมต่อง่ายๆ ซึ่งอินทิกรันด์กำลังวิเคราะห์ จะแสดงด้วยลูกศร เราคำนวณส่วนประกอบ:
\int\limits_(-i)^(1)\frac(dz)((z-i)^2)= \left.(\frac(-1)(z-i))\right|_(-i)^(1 )= -\frac(1)(1-i)-\frac(1)(2i)=-\frac(1+i)(2)+\frac(i)(2)= -\frac(1) (2)\,.
ตัวอย่าง 2.83.คำนวณอินทิกรัล \int\limits_(0)^(1+i)z\,dz.
▼ วิธีแก้ไข
อินทิกรันด์วิเคราะห์ได้ทุกที่ใน \mathbb(C) เราใช้วิธีที่สาม สูตร (2.47):
\int\limits_(0)^(1+i)z\,dz= \left.(\frac(z^2)(2))\right|_(0)^(1+i)= \frac( 1)(2)(1+i)^2=i.
ผลลัพธ์นี้ได้มาจากตัวอย่าง 2.78 ตามวิธีแรก
ตัวอย่าง 2.84.คำนวณอินทิกรัล \oint\limits_(C)\frac(dz)((z-a)^n)โดยที่ C คือวงกลม |z-a|=R
▼ วิธีแก้ไข
มาใช้วิธีที่สองกัน
1. เราเขียนสมการวงกลมในรูปแบบพาราเมตริก: z-a=R\,e^(it) , หรือ z=a+R\,e^(มัน),~ 0\leqslant t\leqslant2\pi.
2. การหาส่วนต่าง dz=R\,i\,e^(มัน)\,dt.
3. แทน z=a+R\,e^(it) และ dz ลงในอินทิกรันด์:
\oint\limits_(C)\frac(dz)((z-a)^n)= \int\limits_(0)^(2\pi) \frac(R\,i\,e^(it))(R ^n e^(int))\,dt= \frac(i)(R^(n-1)) \int\limits_(0)^(2\pi) e^(it(1-n))dt\ ,.
เราคำนวณอินทิกรัลที่แน่นอนที่เป็นผลลัพธ์ สำหรับ n\ne1 เราได้รับ
\int\limits_(0)^(2\pi) e^(it(1-n))dt= \frac(1)(i(1-n)) \Bigl.(e^(it(1-n )))\Bigr|_(0)^(2\pi)= \frac(1)((n-1)i) \bigl(1-e^(2\pi\,i(n-1)) \ใหญ่กว่า).
เพราะ e^(2\pi\,i(n-1))= e^(2k\pi\,i)=1นั่นเป็นเหตุผล \oint\limits_(C)\frac(dz)((z-a)^n) =0สำหรับ n\ne1 สำหรับ n=1 เราได้รับ \oint\limits_(C)\frac(dz)(z-a)= i\int\limits_(0)^(2\pi)dt=2\pi\,i\,.
เราเขียนผลลัพธ์ในรูปแบบของสูตร:
\oint\limits_(|z-a|=R)\frac(dz)((z-a)^n)=0,\quad n\ne1;\qquad \oint\limits_(|z-a|=R)\frac(dz) (z-a)=2\pi\,i\,.
โดยเฉพาะอย่างยิ่ง, \textstyle(\oint\limits_(|z|=R)\frac(dz)(z)=2\pi ผม). โปรดทราบว่าหากวงกลม C\colon |z-a|=R ข้ามจุด k ครั้ง อาร์กิวเมนต์ (พารามิเตอร์) จะเปลี่ยนจาก 0 เป็น 2\pi k ( k>0 หากวงกลมอยู่ในทิศทางบวก เช่น ทวนเข็มนาฬิกา และเค<0 - обход по часовой стрелке). Поэтому
\oint\limits_(C)\frac(dz)(z-a)= i \int\limits_(0)^(2\pi k)dt= 2k\pi i,\qquad \oint\limits_(C) \frac( dz)(z)=2k\pi ผม.
ตัวอย่าง 2.85คำนวณอินทิกรัลของฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน \int\limits_(1)^(z)\frac(d\xi)(\xi):
a) เส้นทางการรวมไม่ผ่านจุด z=0 และไม่ผ่านจุดนั้น -\pi<\arg z \leqslant\pi ;
b) เส้นทางอินทิเกรตไม่ผ่านจุด z=0 แต่วนไปรอบๆ n ครั้งในวงกลมทวนเข็มนาฬิกา
▼ วิธีแก้ไข
ก) อินทิกรัลนี้ - อินทิกรัลที่มีขีดจำกัดบนของตัวแปร - กำหนดฟังก์ชันการวิเคราะห์ค่าเดียวในโดเมนที่เชื่อมต่อง่ายๆ (ดู 2.45)) มาหานิพจน์เชิงวิเคราะห์สำหรับฟังก์ชันนี้ - อนุพันธ์สำหรับ f(z)=\frac(1)(z) กัน การแยกส่วนจริงและส่วนจินตภาพของอินทิกรัล \int\limits_(l)\frac(dz)(z)(โดยใช้สูตร (2.44)) เป็นการง่ายที่จะตรวจสอบว่าอินทิกรัลของอินทิกรัลประเภทที่สองนั้นเป็นดิฟเฟอเรนเชียลทั้งหมด ดังนั้น อินทิกรัล \frac(d\xi)(\xi) จึงไม่ขึ้นอยู่กับรูปแบบของ เส้นโค้งเชื่อมจุด z_1=1 และ z . ลองเลือกเส้นทางที่ประกอบด้วยส่วนของแกน Ox จากจุด z_1=1 ไปยังจุด z_2=r โดยที่ r=|z| , และส่วนโค้ง l ของวงกลม เชื่อมต่อ z_2 กับ z (รูปที่ 2.45, a)
เราเขียนอินทิกรัลเป็นผลรวม: \int\limits_(1)^(z) \frac(d\xi)(\xi)= \int\limits_(1)^(r) \frac(dx)(x)+ \int\limits_(l) \frac(d\xi)(\xi). ในการคำนวณอินทิกรัลบนส่วนโค้งวงกลม เราใช้สูตร (2.51) ในขณะที่ส่วนโค้งมีสมการ \xi=r\,e^(มัน),~ 0\leqslant t\leqslant\arg z. เราได้รับ \int\limits_(l)\frac(d\xi)(\xi)= \int\limits_(0)^(\arg z) \frac(ri\,e^(it))(r\,e^ (มัน))\,dt=i\arg z; ผลที่ตามมา
\int\limits_(1)^(z)\frac(d\xi)(\xi)=\ln r+i\arg z,\,-\pi<\arg z \leqslant\pi
ด้านขวาของความเท่าเทียมกันกำหนดฟังก์ชันค่าเดียว \ln z - ค่าหลักของลอการิทึม เราได้คำตอบในแบบฟอร์ม
\int\limits_(1)^(z)\frac(d\xi)(\xi)=\ln z\,
โปรดทราบว่าความเท่าเทียมกันที่เกิดขึ้นสามารถนำมาเป็นคำจำกัดความของฟังก์ชันค่าเดียว \ln z ในโดเมนที่เชื่อมต่อง่ายๆ - ระนาบที่มีการตัดตามกึ่งแกนจริงเชิงลบ (-\infty;0]
b) อินทิกรัลสามารถเขียนเป็นผลรวมได้: \int\limits_(1)^(z)\frac(d\xi)(\xi)= \oint\limits_(c) \frac(dz)(z)+ \int\limits_(l)\frac(d \xi)(\xi)โดยที่ c คือวงกลม |z|=1 เคลื่อนที่ทวนเข็มนาฬิกา n ครั้ง และ l คือเส้นโค้งที่เชื่อมต่อจุด z_1 และ z และไม่ล้อมรอบจุด z=0 (รูปที่ 2.45,b)
เทอมแรกเท่ากับ 2n\pi i (ดูตัวอย่าง 2.84) เทอมที่สอง - \ln(z) - สูตร (2.53) เราได้รับผลลัพธ์ \int\limits_(1)^(z)\frac(d\xi)(\xi)=\ln z+2n\pi ผม.
ตัวอย่าง 2.86.คำนวณอินทิกรัล \int\limits_(l)\frac(dz)(\sqrt(z))ตามส่วนโค้งบนของวงกลม |z|=1 ให้: a) \sqrt(1)=1 ; ข) \sqrt(1)=-1 .
▼ วิธีแก้ไข
การตั้งค่าของฟังก์ชัน \sqrt(z) ที่จุดของโครงร่างการรวมทำให้คุณสามารถเลือกสาขานิพจน์ที่มีค่าเดียว \sqrt(z)= \sqrt(|z|)\exp\!\left(\frac(i)(2)\arg z+ik\pi\right)\!,~ k=0;1(ดูตัวอย่างที่ 2.6) ตัวอย่างเช่น สามารถวาดรอยตัดตามกึ่งแกนลบในจินตนาการได้ เนื่องจากสำหรับ z=1 เรามี \sqrt(1)=e^(ik\pi),~k=0;1จากนั้นในกรณีแรกจะมีการเลือกสาขาที่มี k=0 ในกรณีที่สอง - ด้วย k=1 อินทิกรันด์บนอินทิเกรตคอนทัวร์นั้นต่อเนื่องกัน ในการแก้ปัญหา เราใช้สูตร (2.51) เส้นโค้งถูกกำหนดโดยสมการ z=e^(มัน),~0\leqslant t\leqslant\pi.
ก) สาขาถูกกำหนดเมื่อ k=0 เช่น จาก z=e^(it) สำหรับอินทิกรัลที่เราได้รับ \sqrt(z)=e^(\frac(i)(2)t). เราคำนวณส่วนประกอบ:
\int\limits_(l)\frac(dz)(\sqrt(z))= \int\limits_(0)^(\pi) \frac(i\,e^(it))(e^(i\ ,\frac(t)(2) ))\,dt= i \int\limits_(0)^(\pi)e^(i\,\frac(t)(2))dt= \Bigl.(2 \,e^(i\,\frac(t)(2)))\Bigr|_(0)^(\pi)= 2\! \left(e^(i\,\frac(\pi)(2))-1\right)= 2(i-1)
b) สาขาถูกกำหนดเมื่อ k=1 เช่น จาก z=e^(it) สำหรับอินทิกรัลที่เรามี \sqrt(z)= e^(i \left(\frac(t)(2)+\pi\right))=-e^(i\,\frac(t)(2)). เราคำนวณส่วนประกอบ:
\int\limits_(l)\frac(dz)(\sqrt(z))= \int\limits_(0)^(\pi)\frac(i\,e^(it))(-e^(i \,\frac(t)(2)))\,dt= \ldots= 2(1-i).
ในทางทฤษฎีและปฏิบัติ ในการประยุกต์ใช้แคลคูลัสอินทิกรัลของฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน เมื่อศึกษาพฤติกรรมของฟังก์ชันในบริเวณที่มีขอบเขตหรือในบริเวณใกล้เคียงของแต่ละจุด ปริพันธ์จะพิจารณาตามเส้นโค้งปิด - ขอบเขตของภูมิภาค โดยเฉพาะอย่างยิ่ง บริเวณใกล้เคียงของจุด เราจะพิจารณาปริพันธ์ \oint\limits_(C)f(z)dzโดยที่ f(z) วิเคราะห์ในบางพื้นที่ยกเว้นจุดแต่ละจุด C คือขอบเขตของพื้นที่หรือเส้นชั้นในของพื้นที่นี้
ทฤษฎีบท Cauchy พื้นฐานสำหรับรูปร่างอย่างง่าย
ทฤษฎีบท 2.1 (ทฤษฎีบทของ Cauchy สำหรับรูปร่างอย่างง่าย) ถ้า f(z) วิเคราะห์ในโดเมนที่เชื่อมต่อธรรมดา ดังนั้นสำหรับเส้นชั้น C ใดๆ ที่เป็นของโดเมนนี้ ความเท่าเทียมกัน
\oint\limits_(C)f(z)dz=0.
การพิสูจน์ทฤษฎีบทนั้นหาได้ง่าย โดยพิจารณาจากคุณสมบัติของฟังก์ชันการวิเคราะห์ ซึ่งฟังก์ชันการวิเคราะห์มีอนุพันธ์ของลำดับใดๆ (ดูข้อเสนอ 2.28) คุณสมบัตินี้รับประกันความต่อเนื่องของอนุพันธ์ย่อยของ \operatorname(เรื่อง)f(z)และ \operatorname(อิ่ม)f(z)ดังนั้น ถ้าเราใช้สูตร (2.44) ก็จะง่ายที่จะเห็นว่าสำหรับอินทิกรัลแต่ละตัวในอินทิกรัลเส้นโค้งของประเภทที่สอง เงื่อนไขเชิงอนุพันธ์ทั้งหมดเป็นไปตามเงื่อนไข เช่นเดียวกับเงื่อนไขของ Cauchy-Riemann สำหรับฟังก์ชันการวิเคราะห์ และปริพันธ์บนเส้นโค้งปิดของส่วนต่างทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์
โปรดทราบว่าข้อเสนอทางทฤษฎีทั้งหมดที่แสดงด้านล่างนี้ขึ้นอยู่กับทฤษฎีบทที่สำคัญนี้ในท้ายที่สุด รวมถึงคุณสมบัติของฟังก์ชันการวิเคราะห์ที่กล่าวถึงข้างต้น เพื่อไม่ให้มีข้อสงสัยเกี่ยวกับความถูกต้องของการนำเสนอ เราทราบว่าทฤษฎีบทสามารถพิสูจน์ได้โดยไม่ต้องอ้างอิงถึงการมีอยู่ของอนุพันธ์บนพื้นฐานของคำจำกัดความของฟังก์ชันการวิเคราะห์เท่านั้น
ข้อสรุปจากทฤษฎีบท 2.1
1. ทฤษฎีบทยังใช้ได้หาก C เป็นขอบเขตของโดเมน D และฟังก์ชัน f(z) วิเคราะห์ในโดเมนและบนขอบเขต เช่น ใน \overline(D) เนื่องจาก ตามนิยาม การวิเคราะห์ใน \overline(D) หมายถึงการวิเคราะห์ของฟังก์ชันในบางพื้นที่ B ที่มี D~(B\อารมณ์เสีย\overline(D))ในขณะที่ C จะเป็นรูปร่างภายใน B
2. อินทิกรัลบนเส้นโค้งต่างๆ ที่อยู่ในขอบเขตการวิเคราะห์ฟังก์ชันที่เชื่อมต่อกันง่ายๆ และการเชื่อมต่อจุดสองจุดของภูมิภาคนี้มีค่าเท่ากัน นั่นคือ \int\limits_(l_1)f(z)dz= \int\limits_(l_2)f(z)dzโดยที่ l_1 และ l_2 เป็นเส้นโค้งโดยพลการที่เชื่อมต่อจุด z_1 และ z_2 (รูปที่ 2.46)
ในการพิสูจน์ ก็เพียงพอแล้วที่จะพิจารณารูปร่าง C ซึ่งประกอบด้วยเส้นโค้ง l_1 (จากจุด z_1 ถึงจุด z_2 ) และเส้นโค้ง l_2 (จากจุด z_2 ถึงจุด z_1 ) สามารถกำหนดคุณสมบัติได้ดังนี้ อินทิกรัลของฟังก์ชันการวิเคราะห์ไม่ได้ขึ้นอยู่กับรูปแบบของเส้นโค้งอินทิกรัลที่เชื่อมต่อจุดสองจุดของขอบเขตการวิเคราะห์ของฟังก์ชันและไม่ได้ออกจากส่วนนี้
นี่เป็นการพิสูจน์คำแถลง 2.25 ที่ให้ไว้ข้างต้นเกี่ยวกับคุณสมบัติของอินทิกรัล \int\limits_(z_0)^(z)f(\xi)d\xiและการมีอยู่ของฟังก์ชันวิเคราะห์เชิงอนุพันธ์
ทฤษฎีบทของ Cauchy สำหรับรูปร่างที่ซับซ้อน
ทฤษฎีบท 2.2 (ทฤษฎีบทของ Cauchy สำหรับรูปร่างที่ซับซ้อน) หากฟังก์ชัน f(z) วิเคราะห์ในพื้นที่เชื่อมต่อแบบทวีคูณซึ่งล้อมรอบด้วยเส้นชั้นเชิงซ้อน และบนเส้นชั้นความสูงนี้ ดังนั้นอินทิกรัลเหนือขอบเขตของขอบเขตของฟังก์ชันจะเท่ากับศูนย์ เช่น ถ้า C เป็นเส้นชั้นเชิงซ้อน - ขอบเขตของภูมิภาคตามด้วยสูตร (2.54 )
รูปร่างที่ซับซ้อน C สำหรับ (n+1) - พื้นที่เชื่อมต่อประกอบด้วยรูปร่างภายนอก \Gamma และภายใน - C_i,~i=1,2,\ldots,n; รูปทรงไม่ตัดกันเป็นคู่บายพาสของขอบเขตเป็นบวก (ในรูปที่ 2.47, n=3)
ในการพิสูจน์ทฤษฎีบท 2.2 ก็เพียงพอแล้วที่จะวาดเส้นตัดในโดเมน (เส้นประในรูปที่ 2.47) เพื่อให้ได้โดเมนที่เชื่อมต่อง่ายๆ สองโดเมนและใช้ทฤษฎีบท 2.1
ผลลัพธ์จากทฤษฎีบท 2.2
1. ภายใต้เงื่อนไขของทฤษฎีบท 2.2 อินทิกรัลเหนือรูปร่างภายนอกจะเท่ากับผลรวมของอินทิกรัลเหนืออินทิกรัล บายพาสรูปทรงทั้งหมดในทิศทางเดียว (ในรูปที่ 2.48, n=2):
\oint\limits_(\Gamma)f(z)\,dz= \sum_(k=1)^(n) \oint\limits_(C_k)f(z)\,dz\,
2. ถ้า f(z) วิเคราะห์ในพื้นที่ D ที่เชื่อมต่ออย่างง่ายและบนขอบเขตของพื้นที่ โดยมีข้อยกเว้นที่เป็นไปได้ของจุด a ของภูมิภาคนี้ ดังนั้นอินทิกรัลบนเส้นโค้งปิดต่างๆ ที่อยู่ในขอบเขต D และขอบเขต ภูมิภาคที่มีจุด a มีค่าเท่ากัน (รูปที่ 2.49):
\oint\limits_(C_k)f(z)\,dz= \oint\limits_(C_m)f(z)\,dz\,
การพิสูจน์นั้นชัดเจน เนื่องจากเส้นชั้นแต่ละเส้นสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นขอบเขตภายในของโดเมนที่เชื่อมต่อแบบทวีคูณ ซึ่งขอบเขตภายนอกเป็นขอบเขตของโดเมน D ตามสูตร (2.55) สำหรับ n=1 อินทิกรัลดังกล่าวใดๆ จะเท่ากับอินทิกรัลเหนือขอบเขต D
การเปรียบเทียบสูตรของทฤษฎีบท 2.2 และข้อเปรียบเทียบ 1 จากทฤษฎีบท 2.1 ทำให้เราสามารถสรุปได้ซึ่งเราเขียนในรูปแบบของการยืนยันต่อไปนี้
การยืนยัน 2.27. ถ้า f(z) ถูกวิเคราะห์ใน D ดังนั้น โดยที่ C คือขอบเขตของโดเมน D (รูปร่างที่เรียบง่ายหรือซับซ้อน)
สูตรอินทิกรัล Cauchy
ในทฤษฎีบทต่อไปนี้ ตรงกันข้ามกับสองทฤษฎีก่อนหน้านี้ มีการพิจารณาอินทิกรัลของฟังก์ชัน ซึ่งไม่ได้วิเคราะห์ในพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยโครงร่างการรวม มีรูปแบบพิเศษ
ทฤษฎีบท 2.3. หากฟังก์ชัน f(z) ถูกวิเคราะห์ในโดเมน D และบนขอบเขต C ดังนั้นสำหรับจุดภายในใดๆ a ของโดเมน (a\in D) ความเท่าเทียมกัน
F(a)= \frac(1)(2\pi i) \oint\limits_(C)\frac(f(z))(z-a)\,dz\,
ภูมิภาค D สามารถเชื่อมต่อหรือเชื่อมต่อแบบทวีคูณ และขอบเขตของภูมิภาคสามารถเป็นรูปร่างที่เรียบง่ายหรือซับซ้อนได้
การพิสูจน์สำหรับกรณีของโดเมนที่เชื่อมต่ออย่างง่ายจะขึ้นอยู่กับผลลัพธ์ของทฤษฎีบท 2.1 และสำหรับโดเมนที่เชื่อมต่อแบบทวีคูณ จะลดขนาดให้เหลือกรณีของโดเมนที่เชื่อมต่ออย่างง่าย (เช่นเดียวกับการพิสูจน์ทฤษฎีบท 2.2) โดยการตัดส่วนที่ทำ ไม่ผ่านจุด ก.
ควรสังเกตว่าจุด a ไม่ได้อยู่ในขอบเขตของขอบเขต ดังนั้น อินทิกรัลจึงต่อเนื่องบน C และอินทิกรัลมีอยู่
ทฤษฎีบทนี้มีความน่าสนใจอย่างยิ่ง กล่าวคือ สูตร (2.57) แก้ปัญหาค่าขอบเขตของทฤษฎีฟังก์ชัน: ค่าของฟังก์ชันบนขอบเขตของโดเมนถูกใช้เพื่อกำหนดค่าของมันที่จุดภายในใดๆ
หมายเหตุ 2.11.
ภายใต้เงื่อนไขของทฤษฎีบท อินทิกรัล \frac(1)(2\pi i) \oint\limits_(C)\frac(f(\xi))(\xi-a)\,d\xiกำหนดฟังก์ชันการวิเคราะห์ที่จุดใด ๆ z ที่ไม่ได้อยู่ในรูปร่าง C และที่จุดของขอบเขตจำกัด D ซึ่งล้อมรอบด้วยรูปร่าง จะเท่ากับ f(z) (ตามสูตร (2.57)) และนอก \overline(D) มันมีค่าเท่ากับศูนย์เนื่องจากทฤษฎีบทของ Cauchy อินทิกรัลนี้เรียกว่าอินทิกรัล Cauchy เป็นกรณีพิเศษของอินทิกรัลประเภท Cauchy (2.48) ในกรณีนี้ เส้นชั้นความสูงจะปิด ตรงกันข้ามกับโครงร่างตามอำเภอใจใน (2.48) และฟังก์ชัน f(z) คือการวิเคราะห์ ตรงกันข้ามกับเส้นต่อเนื่องบน l ใน (2.48) สำหรับอินทิกรัล Cauchy ดังนั้น การยืนยัน 2.26 ซึ่งกำหนดขึ้นสำหรับอินทิกรัลของประเภท Cauchy เกี่ยวกับการมีอยู่ของอนุพันธ์นั้นถูกต้อง จากสิ่งนี้ สามารถกำหนดคำยืนยันต่อไปนี้ได้ถ้อยแถลง 2.28
1. ฟังก์ชันการวิเคราะห์ ณ จุดใดๆ ของการวิเคราะห์สามารถเขียนเป็นอินทิกรัลได้
F(z)= \frac(1)(2\pi i) \oint\limits_(C)\frac(f(\xi))(\xi-z)\,d\xi,\quad z\in D \,.
2. ฟังก์ชันการวิเคราะห์มีอนุพันธ์ของลำดับใดๆ ที่สูตรกำหนด
F^((n))(z)= \frac(n{2\pi i} \oint\limits_{C}\frac{f(\xi)}{(\xi-z)^{n+1}}\,d\xi\,. !}
สูตร (2.59) ให้การแสดงอินทิกรัลของอนุพันธ์ของฟังก์ชันการวิเคราะห์
การคำนวณปริพันธ์ในวงจรปิด
เราจะพิจารณาปริพันธ์ของแบบฟอร์ม \oint\limits_(C)\frac(\varphi(z))(\psi(z))\,dzโดยที่ฟังก์ชัน \varphi(z) ถูกวิเคราะห์ใน D และ \psi(z) เป็นพหุนามที่ไม่มีศูนย์ในรูปร่าง C ในการคำนวณปริพันธ์จะใช้ทฤษฎีบทจากการบรรยายครั้งก่อนและผลสรุป
กฎข้อ 2.6 เมื่อคำนวณปริพันธ์ของแบบฟอร์ม \oint\limits_(C)f(z)\,dzสามารถแยกแยะกรณีสี่กรณีขึ้นอยู่กับธรรมชาติ (หลายหลาก) ของเลขศูนย์ของพหุนาม \psi(z) และตำแหน่งของพวกมันที่สัมพันธ์กับรูปร่าง C
1. ไม่มีเลขศูนย์ของพหุนาม \psi(z) ในพื้นที่ D แล้ว f(z)= \frac(\varphi(z))(\psi(z))ฟังก์ชันคือการวิเคราะห์และใช้ทฤษฎีบท Cauchy หลัก เราได้ผลลัพธ์ \oint\limits_(C)f(z)\,dz=0.
2. ในพื้นที่ D มีศูนย์ธรรมดา z=a ของพหุนาม \psi(z) อยู่หนึ่งตัว จากนั้นเราเขียนเศษส่วนเป็น \frac(f(z))(z-a) โดยที่ f(z) เป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ใน \overline(D) การใช้สูตรอินทิกรัลเราจะได้ผลลัพธ์:
\oint\limits_(C)\frac(\varphi(z))(\psi(z))\,dz= \oint\limits_(C)\frac(f(z))(z-a)\,dz= 2 \pi ฉัน\cdot f(ก)
3. ในพื้นที่ D มีหนึ่งหลายศูนย์ z=a ของพหุนาม \psi(z) (ของหลายหลาก n ) จากนั้นเราเขียนเศษส่วนลงในแบบฟอร์ม \frac(f(z))((z-a)^n)โดยที่ f(z) คือการวิเคราะห์ฟังก์ชันใน \overline(D) ใช้สูตร (2.59) เราได้ผลลัพธ์
\oint\limits_(C)\frac(f(z))((z-a)^n)\,dz= \frac(2\pi i)((n-1)f^{(n-1)}(a). !}
4. ในพื้นที่ D มีสองศูนย์ของพหุนาม \psi(z)\โคลอน\,z_1=aและ z_2=b จากนั้นใช้ข้อ 1 จากทฤษฎีบท 2.2 เราเขียนอินทิกรัลในรูปแบบ \oint\limits_(C)\frac(dz)(z-a) โดยที่ C เป็นรูปร่างตามอำเภอใจที่ล้อมรอบขอบเขตที่มีจุด a
▼ วิธีแก้ไข
พิจารณาขอบเขตที่เชื่อมต่อกันเป็นทวีคูณ ซึ่งขอบเขตหนึ่งคือเส้นขอบ C ส่วนอีกอันคือวงกลม |z-a|=R ตามข้อ 2 ของทฤษฎีบท 2.2 (ดู (2.56)) เรามี
\oint\limits_(C)\frac(dz)(z-a)= \oint\limits_(|z-a|=R)\frac(dz)(z-a)\,
โดยคำนึงถึงผลลัพธ์ของการแก้ตัวอย่าง 2.84 (สูตร (2.52)) เราได้คำตอบ \oint\limits_(C) \frac(dz)(z-a)=2\pi.
โปรดทราบว่าสามารถหาวิธีแก้ปัญหาได้โดยใช้สูตรอินทิกรัล Cauchy กับ f(z)=1 โดยเฉพาะอย่างยิ่งเราได้รับ \oint\limits_(C)\frac(dz)(z)=2\piเนื่องจากเส้นชั้น C วนรอบจุด z=0 หนึ่งครั้ง ถ้าเส้นชั้น C เคลื่อนที่รอบจุด z=0 k ครั้งในทิศทางบวก (k>0) หรือลบ (k<0) , то \oint\limits_(C)\frac(dz)(z)=2k\pi.
ตัวอย่าง 2.88.คำนวณ \oint\limits_(l)\frac(dz)(z)โดยที่ l เป็นเส้นโค้งที่เชื่อมจุด 1 และ z วนรอบจุดกำเนิด 1 ครั้ง
▼ วิธีแก้ไข
อินทิกรัลนั้นต่อเนื่องบนเส้นโค้ง - อินทิกรัลนั้นมีอยู่ สำหรับการคำนวณ เราใช้ผลลัพธ์ของตัวอย่างก่อนหน้าและตัวอย่าง 2.85 ในการทำเช่นนี้ให้พิจารณาวงปิดโดยเชื่อมต่อเช่นจุด A กับจุดที่ 1 (รูปที่ 2.50) เส้นทางการรวมจากจุด 1 ไปยังจุด z ผ่านจุด A สามารถแสดงได้ด้วยการประกอบด้วยเส้นโค้ง 2 เส้น - รูปร่างปิด C (เส้นโค้ง BDEFAB ) และเส้นโค้ง l_0 เชื่อมต่อจุด 1 และ z ผ่านจุด A\โคลอน
\oint\limits_(l)\frac(dz)(z)= \oint\limits_(C)\frac(dz)(z)+ \oint\limits_(l_0) \frac(dz)(z)\,
ใช้ผลลัพธ์ของตัวอย่าง 2.85 และ 2.87 เราได้คำตอบ:
\oint\limits_(l)\frac(dz)(z)= \int\limits_(1)^(z)\frac(1)(z)=\ln z+2\pi i\,
โดยไม่ต้องเปลี่ยนรูปภาพเรขาคณิต เราสามารถพิจารณากรณีที่เส้นโค้งวนรอบจุดกำเนิด n ครั้ง รับผล
\oint\limits_(l)\frac(dz)(z)= \int\limits_(1)^(z)\frac(1)(z)=\ln z+2n\pi i\,
นิพจน์ผลลัพธ์กำหนดฟังก์ชันที่มีหลายค่า \operatorname(Ln)z= \int\limits_(1)^(z)\frac(dz)(z)เส้นทางการรวมไม่ผ่านจุดกำเนิด ตัวเลือกสาขาของนิพจน์หลายค่าถูกกำหนดโดยการตั้งค่าของฟังก์ชันในบางจุด
ตัวอย่าง 2.89.หา \ln2i= \int\limits_(1)^(2i)\frac(1)(z)ถ้า \ln1=4\pi ฉัน
▼ วิธีแก้ไข
เราพบศูนย์ของตัวส่วน - จุดเอกพจน์ของปริพันธ์ นี่คือจุดต่างๆ z_1=0,~ z_(2,3)=\pm4i. ถัดไป คุณต้องกำหนดตำแหน่งของจุดที่สัมพันธ์กับโครงร่างการรวม ในทั้งสองกรณี ไม่มีจุดใดรวมอยู่ในพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยเส้นชั้นความสูง สามารถตรวจสอบได้โดยใช้ภาพวาด รูปทรงทั้งสองเป็นวงกลม จุดศูนย์กลางของอันแรกคือ z_0=2+i และรัศมีคือ R=2 ; ศูนย์กลางของวินาที z_0=-2i และ R=1 เป็นไปได้ที่จะระบุว่าจุดหนึ่งเป็นของพื้นที่ด้วยวิธีอื่นหรือไม่ กล่าวคือกำหนดระยะทางจากจุดศูนย์กลางของวงกลมและเปรียบเทียบกับค่าของรัศมี ตัวอย่างเช่น สำหรับจุด z_2=4i ระยะทางนี้เท่ากับ |4i-2-i|=|3i-2|=\sqrt(13)ซึ่งมากกว่ารัศมี (\sqrt(13)>2) ดังนั้น z_2=4i จึงไม่ได้อยู่ในวงกลม |z-2-i|<2 . В обоих случаях подынтегральная функция является, аналитической в соответствующих кругах. Следовательно, согласно теореме Коши (пункт 1 правил 2.6), интеграл равен нулю. Заметим, что заданный интеграл равен нулю и для любого другого контура, ограничивающего область, в которую не входят ни одна из особых точек - нулей знаменателя.
ตัวอย่าง 2.91.คำนวณในกรณีต่อไปนี้ของการตั้งค่ารูปร่าง C\colon a) |z|=2 ; ข) |z+1+i|=2 .
▼ วิธีแก้ไข
จากตัวอย่างก่อนหน้านี้ เราพบว่าในทั้งสองกรณีมีจุดเอกพจน์เพียงจุดเดียว z_1=0 ที่อยู่ภายในวงกลม ดังนั้น เมื่อใช้ข้อ 2 ของกฎ 2.6 (สูตรอินทิกรัลของ Cauchy) เราเขียนอินทิกรัลเป็นเศษส่วน \frac(1)(z)\cdot \frac(\sin z)(z^2+16)โดยที่ตัวเศษ f(z)= \frac(\sin z)(z^2+16)เป็นฟังก์ชันที่ทำการวิเคราะห์ในวงที่กำหนด คำตอบสำหรับทั้งสองกรณีเหมือนกัน:
\oint\limits_(C)\frac(\sin z)(z(z^2+16))\,dz= \left.(2\pi i \cdot \frac(\sin z)(z^2+ 16))\right|_(z=0)=0.
ตัวอย่าง 2.92.คำนวณ \oint\limits_(C)\frac(\sin z)(z^3+16z)\,dzในกรณีต่อไปนี้ของการตั้งค่ารูปร่าง C\colon a) |z+4i|=2 ; ข) |z-1+3i|=2 .
▼ วิธีแก้ไข
รูปทรงของการอินทิเกรตคือวงกลมดังข้างต้น และในกรณีของ "a" จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด z_0=-4i,~R=2 ในกรณีของ "b" - ที่จุด z_0=1-3i ,~R=2 .nในทั้งสองกรณี จุดหนึ่ง z_0=-4i จะอยู่ภายในวงกลมที่เกี่ยวข้อง การใช้ข้อ 2 ของกฎ 2.6 เราเขียนอินทิกรัลในแบบฟอร์ม \frac(1)(z+4i)\frac(\sin z)(z(z-4i))โดยที่ตัวเศษ f(z)=\frac(\sin z)(z(z-4i))เป็นฟังก์ชันการวิเคราะห์ในโดเมนที่อยู่ระหว่างการพิจารณา การใช้สูตรอินทิกรัลเราจะได้คำตอบ:
\oint\limits_(C)\frac(\sin z)(z^3+16z)\,dz= \left.(2\pi i\cdot \frac(\sin z)(z(z-4i)) )\right|_(z=-4i)= 2\pi i\cdot \frac(-\sin4i)(-32)= \frac(\pi i\cdot i \operatorname(sh)1)(16)= -\frac(\pi \operatorname(sh)1)(16)\,.
ตัวอย่าง 2.93.คำนวณอินทิกรัลในกรณีต่อไปนี้ของการกำหนดรูปร่าง: a) |z+i|=1 ; ข) |z+2+i|=2 .
▼ วิธีแก้ไข
ค้นหาจุดเอกพจน์ของปริพันธ์ - ศูนย์ของตัวส่วน z_1=i,~z_2=-2 . เราพิจารณาความเป็นเจ้าของของคะแนนไปยังพื้นที่ที่เกี่ยวข้อง ในกรณีที่ "a" อยู่ในวงกลม |z+i|<1 не входит ни одна точка. Следовательно, интеграл в этом случае равен нулю.
ในกรณีที่ "b" อยู่ในวงกลม |z+2+i|<2 радиуса 2 с центром в точке z_0=-2-i входит одна точка: z=-2 . Записываем дробь в виде \frac(1)(z+2)\frac(e^z)((z-i)^2), ที่ไหน f(z)=\frac(e^z)((z-i)^2)- ฟังก์ชันการวิเคราะห์ในวงกลม |z+2+i|<2 . Вычисляем интеграл:
\oint\limits_(C)\frac(e^z\,dz)((z-i)^2(z+2))= 2\pi i\cdot \frac(e^(-2))((2+ ผม)^2)= \frac(2\pi)(25)e^(-2)(4+3i).
ตัวอย่าง 2.94.คำนวณอินทิกรัล \oint\limits_(C)\frac(e^z\,dz)((z-i)^2(z+2))ในกรณีต่อไปนี้ของการกำหนดรูปร่าง: a) |z-i|=2 ; ข) |z+2-i|=3 .
▼ วิธีแก้ไข
ก) ในวงกลม |z-i|<2 попадает точка z=i . Записываем функцию \frac(1)((z-i)^2)\frac(e^z)(z+2)และใช้ข้อ 3 ของกฎ 2.6 สำหรับ m=2 และ a=i เราคำนวณส่วนประกอบ:
\oint\limits_(C)\frac(e^z\,dz)((z-i)^2(z+2))= \left.(2\pi i \left(\frac(e^z)(z+ 2)\right)")\right|_(z=i)= \left.(2\pi i\cdot \frac(e^z(z+2)-e^z)((z+2)^ 2))\right|_(z=i)= \left.(2\pi i\cdot \frac(e^z(1+z))((z+2)^2))\right|_( z=i)= \frac(2\pi i(1+i))((2+i)^2)\,e^(i).
b) ไปยังวงกลม |z+2-i|<3 входят обе точки z_1=i,~z_2=-2 . Решаем в соответствии с п. 4 правил 2.6. Записываем интеграл в виде суммы двух интегралов:
\oint\limits_(C)f(z)\,dz= \oint\limits_(C_1)f(z)\,dz+ \oint\limits_(C_2) f(z)\,dz\,
โดยที่โครงร่าง C_1 และ C_2 แต่ละเส้นครอบคลุมจุดใดจุดหนึ่งเท่านั้น โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ในฐานะรูปร่าง C_1 คุณสามารถใช้วงกลมจากกรณีก่อนหน้า "a"; C_2 - วงกลมจากตัวอย่าง 2.93 หน้า "b" เช่น คุณสามารถใช้ผลลัพธ์ เขียนคำตอบ:
\oint\limits_(C)\frac(e^z\,dz)((z-i)^2(z+2))= 2\pi i\cdot \frac(e^(-2))((2+ i)^2)+ 2\pi i\cdot \frac(1+i)((2+i)^2)\,e^(i)= \frac(2\pi i)((2+i) ^2)\bigl(e^(-2)+e^(i)(1+i)\bigl).
Javascript ถูกปิดใช้งานในเบราว์เซอร์ของคุณต้องเปิดใช้งานตัวควบคุม ActiveX เพื่อทำการคำนวณ!
จะเริ่มต้นเป็นติวเตอร์ได้อย่างไร?
การเรียนภาษาอังกฤษทางไกล
คำกริยาภาษาอังกฤษปกติและผิดปกติ