โรงเรียนมัธยมในชนบท Kopyevskaya

10 วิธีแก้ สมการกำลังสอง

หัวหน้า: Patrikeeva Galina Anatolyevna

ครูคณิตศาสตร์

s.Kopyevo, 2007

1. ประวัติการพัฒนาสมการกำลังสอง

1.1 สมการกำลังสองในบาบิโลนโบราณ

1.2 Diophantus รวบรวมและแก้ไขสมการกำลังสองอย่างไร

1.3 สมการกำลังสองในอินเดีย

1.4 สมการกำลังสองใน al-Khwarizmi

1.5 สมการกำลังสองใน ยุโรป XIII- ศตวรรษที่สิบสอง

1.6 เกี่ยวกับทฤษฎีบทของ Vieta

2. วิธีการแก้สมการกำลังสอง

บทสรุป

วรรณกรรม

1. ประวัติการพัฒนาสมการกำลังสอง

1.1 สมการกำลังสองในบาบิโลนโบราณ

ความจำเป็นในการแก้สมการไม่เพียงแต่ในสมการแรกเท่านั้น แต่ยังรวมถึงสมการที่สองด้วยในสมัยโบราณนั้นเกิดจากความต้องการในการแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการหาพื้นที่ แปลงที่ดินและด้วยกำแพงดินที่มีลักษณะทางทหารเช่นเดียวกับการพัฒนาทางดาราศาสตร์และคณิตศาสตร์ สมการกำลังสองสามารถแก้ได้เมื่อประมาณ 2,000 ปีก่อนคริสตกาล อี ชาวบาบิโลน

การใช้สัญกรณ์เกี่ยวกับพีชคณิตสมัยใหม่ เราสามารถพูดได้ว่าในข้อความรูปแบบคูนิฟอร์มมี นอกเหนือจากสมการที่ไม่สมบูรณ์ เช่น สมการกำลังสองที่สมบูรณ์:

เอ็กซ์ 2 + เอ็กซ์ = ¾; เอ็กซ์ 2 - เอ็กซ์ = 14,5

กฎสำหรับการแก้สมการเหล่านี้ซึ่งระบุไว้ในตำราของชาวบาบิโลนนั้นเกิดขึ้นพร้อมกับสมัยใหม่ แต่ไม่มีใครรู้ว่าชาวบาบิโลนมาถึงกฎนี้ได้อย่างไร ตำรารูปแบบคูนิฟอร์มเกือบทั้งหมดที่พบจนถึงตอนนี้ให้เฉพาะปัญหาเกี่ยวกับแนวทางแก้ไขที่ระบุไว้ในรูปแบบของสูตรอาหาร โดยไม่มีข้อบ่งชี้ว่าพบได้อย่างไร

ทั้งๆที่มี ระดับสูงการพัฒนาพีชคณิตในบาบิโลนในตำรารูปแบบไม่มีแนวคิดเกี่ยวกับจำนวนลบและ วิธีการทั่วไปคำตอบของสมการกำลังสอง

1.2 Diophantus รวบรวมและแก้ไขสมการกำลังสองอย่างไร

Diophantus' Arithmetic ไม่มีคำอธิบายอย่างเป็นระบบของพีชคณิต แต่มันประกอบด้วยชุดของปัญหาที่เป็นระบบ พร้อมด้วยคำอธิบายและแก้ไขโดยการร่างสมการของระดับต่างๆ

เมื่อรวบรวมสมการ Diophantus จะเลือกสิ่งที่ไม่รู้จักอย่างชำนาญเพื่อทำให้การแก้ปัญหาง่ายขึ้น

ตัวอย่างเช่น นี่เป็นหนึ่งในงานของเขา

ภารกิจที่ 11."หาตัวเลขสองตัวโดยรู้ว่าผลรวมคือ 20 และผลคูณคือ 96"

Diophantus โต้แย้งดังนี้: จากเงื่อนไขของปัญหาว่าจำนวนที่ต้องการไม่เท่ากันเนื่องจากหากเท่ากันผลคูณของมันจะไม่เป็น 96 แต่เป็น 100 ดังนั้นหนึ่งในนั้นจะมีมากกว่าครึ่งหนึ่ง ผลรวมคือ . 10+xอีกอันมีขนาดเล็กกว่านั่นคือ 10 วินาที. ความแตกต่างระหว่างพวกเขา 2 เท่า .

ดังนั้นสมการ:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

จากที่นี่ x = 2. หนึ่งในจำนวนที่ต้องการคือ 12 , อื่นๆ 8 . การตัดสินใจ x = -2สำหรับไดโอแฟนทัสไม่มีอยู่จริง เนื่องจากคณิตศาสตร์กรีกรู้แต่จำนวนบวกเท่านั้น

หากเราแก้ปัญหานี้โดยเลือกหนึ่งในจำนวนที่ต้องการเป็นจำนวนที่ไม่รู้จัก เราจะได้คำตอบของสมการ

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

เป็นที่ชัดเจนว่าไดโอแฟนทัสทำให้การแก้ปัญหาง่ายขึ้นโดยเลือกผลต่างครึ่งหนึ่งของตัวเลขที่ต้องการเป็นค่าที่ไม่รู้จัก เขาจัดการเพื่อลดปัญหาในการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ (1)

1.3 สมการกำลังสองในอินเดีย

ปัญหาเกี่ยวกับสมการกำลังสองพบแล้วในระบบทางดาราศาสตร์ "อารยภัตตะ" ซึ่งรวบรวมในปี 499 โดยนักคณิตศาสตร์และนักดาราศาสตร์ชาวอินเดีย อารยภัตตะ พระพรหมคุปต์ (ศตวรรษที่ 7) นักปราชญ์ชาวอินเดียอีกท่านหนึ่งได้อธิบายไว้ กฎทั่วไปคำตอบของสมการกำลังสองลดลงเหลือเพียงตัวเดียว รูปแบบบัญญัติ:

อา2+ ข x = ค, ก > 0. (1)

ในสมการ (1) ค่าสัมประสิทธิ์ ยกเว้น ก, ยังสามารถเป็นค่าลบได้อีกด้วย กฎของพรหมคุปต์ตรงกับของเราเป็นหลัก

ที่ อินเดียโบราณการแข่งขันสาธารณะในการแก้ปัญหายากเป็นเรื่องปกติ ในหนังสือเก่าของอินเดียเล่มหนึ่งกล่าวถึงการแข่งขันดังกล่าวไว้ดังนี้ “ดวงอาทิตย์ส่องแสงเจิดจ้าเหนือดวงดาวฉันใด นักวิทยาศาสตร์บดบังความรุ่งโรจน์ของผู้อื่นในการประชุมสาธารณะ การเสนอและการแก้ปัญหาเกี่ยวกับพีชคณิต งานมักจะแต่งในรูปแบบบทกวี

นี่คือหนึ่งในปัญหาของนักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียที่มีชื่อเสียงในศตวรรษที่ 12 ภัสสรา.

ภารกิจที่ 13.

“ฝูงลิงขี้เล่นและเถาวัลย์สิบสองตัว...

ได้กินกำลังสนุก. พวกเขาเริ่มกระโดดห้อย ...

ส่วนที่แปดในตาราง มีลิงกี่ตัว

สนุกสนานในทุ่งหญ้า คุณบอกฉันว่าในฝูงนี้?

วิธีแก้ปัญหาของ Bhaskara บ่งชี้ว่าเขารู้เกี่ยวกับค่าสองค่าของรากของสมการกำลังสอง (รูปที่ 3)

สมการที่สอดคล้องกับปัญหา 13 คือ:

( x /8) 2 + 12 = x

Bhaskara เขียนภายใต้หน้ากากของ:

x 2 - 64x = -768

และเพื่อเติมด้านซ้ายของสมการให้เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส เขาก็บวกทั้งสองข้าง 32 2 ได้รับแล้ว:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 สมการกำลังสองใน al-Khorezmi

ตำราเกี่ยวกับพีชคณิตของ Al-Khorezmi ให้การจำแนกสมการเชิงเส้นและสมการกำลังสอง ผู้เขียนได้แสดงสมการไว้ 6 ประเภท ดังนี้

1) "กำลังสองเท่ากับราก" เช่น ขวาน 2 + ค = ข เอ็กซ์

2) "กำลังสองเท่ากับจำนวน" เช่น ขวาน 2 = s

3) "รากเท่ากับจำนวน" เช่น อา = ส.

4) "สี่เหลี่ยมและตัวเลขเท่ากับราก" เช่น ขวาน 2 + ค = ข เอ็กซ์

5) "กำลังสองและรากเท่ากับจำนวน" เช่น อา2+ bx = ส.

6) "รูทและตัวเลขเท่ากับกำลังสอง" เช่น bx + c \u003d ขวาน 2.

สำหรับ al-Khwarizmi ซึ่งหลีกเลี่ยงการใช้จำนวนลบ เงื่อนไขของแต่ละสมการเหล่านี้เป็นการบวก ไม่ใช่การลบ ในกรณีนี้ สมการที่ไม่มีคำตอบที่เป็นบวกจะไม่ถูกนำมาพิจารณา ผู้เขียนสรุปวิธีการแก้ไข สมการที่ระบุโดยใช้เทคนิคของอัลญับรฺและอัลมุฆะอฺบาลา แน่นอนการตัดสินใจของเขาไม่ตรงกับของเรา ไม่ต้องพูดถึงความจริงที่ว่ามันเป็นวาทศิลป์ล้วน ๆ ควรสังเกตว่าเมื่อแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของประเภทแรก

al-Khorezmi เช่นเดียวกับนักคณิตศาสตร์ทุกคนก่อนศตวรรษที่ 17 ไม่คำนึงถึงคำตอบที่เป็นศูนย์ อาจเป็นเพราะมันไม่สำคัญในปัญหาเชิงปฏิบัติที่เฉพาะเจาะจง เมื่อแก้สมการกำลังสองที่สมบูรณ์ของ al - Khorezmi ในบางส่วน ตัวอย่างตัวเลขกำหนดกฎการตัดสินใจ จากนั้นพิสูจน์ทางเรขาคณิต

ภารกิจที่ 14.“สี่เหลี่ยมจัตุรัสและเลข 21 เท่ากับ 10 ราก ค้นหาต้นตอ" (สมมติว่ารากของสมการ x 2 + 21 = 10x)

วิธีแก้ปัญหาของผู้เขียนมีดังนี้: หารจำนวนรูตลงครึ่งหนึ่ง คุณจะได้ 5 คูณ 5 ด้วยตัวเอง ลบ 21 ออกจากผลคูณ เหลือ 4 ใช้รูทของ 4 คุณจะได้ 2 ลบ 2 จาก 5 คุณ ได้ 3 นี่จะเป็นรูทที่ต้องการ หรือเพิ่ม 2 ถึง 5 ซึ่งจะทำให้ได้ 7 นี่เป็นรูทด้วย

ตำรา al - Khorezmi เป็นหนังสือเล่มแรกที่มาถึงเราซึ่งมีการระบุการจำแนกประเภทของสมการกำลังสองอย่างเป็นระบบและให้สูตรสำหรับการแก้ปัญหา

1.5 สมการกำลังสองในยุโรป สิบสาม - XVII ศตวรรษ

สูตรสำหรับการแก้สมการกำลังสองในแบบจำลองของ al - Khorezmi ในยุโรปได้รับการกำหนดไว้เป็นครั้งแรกใน "Book of the Abacus" ซึ่งเขียนขึ้นในปี 1202 โดย Leonardo Fibonacci นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี งานขนาดใหญ่นี้สะท้อนถึงอิทธิพลของคณิตศาสตร์ทั้งในประเทศอิสลามและ กรีกโบราณแตกต่างกันทั้งความสมบูรณ์และความชัดเจนในการนำเสนอ ผู้เขียนพัฒนาใหม่อย่างอิสระ ตัวอย่างพีชคณิตการแก้ปัญหาและเป็นคนแรกในยุโรปที่เข้าใกล้การแนะนำของจำนวนลบ หนังสือของเขามีส่วนช่วยเผยแพร่ความรู้ทางพีชคณิตไม่เพียงแต่ในอิตาลีเท่านั้น แต่ยังเผยแพร่ในเยอรมนี ฝรั่งเศส และประเทศอื่นๆ ในยุโรปด้วย งานหลายชิ้นจาก "Book of the Abacus" ส่งต่อไปยังตำราเรียนของยุโรปเกือบทั้งหมดในศตวรรษที่ 16 - 17 และบางส่วน XVIII

กฎทั่วไปสำหรับการแก้สมการกำลังสองลดลงเป็นรูปแบบบัญญัติเดียว:

x 2+ bx = กับ

สำหรับการรวมเครื่องหมายของค่าสัมประสิทธิ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด ข , กับคิดค้นขึ้นในยุโรปในปี 1544 โดย M. Stiefel เท่านั้น

ที่มาของสูตรสำหรับการแก้สมการกำลังสองใน ปริทัศน์เวียดมี แต่เวียดจำได้เท่านั้น รากที่เป็นบวก. นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี Tartaglia, Cardano, Bombelli เป็นหนึ่งในกลุ่มแรกในศตวรรษที่ 16 พิจารณานอกเหนือจากรากที่เป็นบวกและที่เป็นลบ เฉพาะในศตวรรษที่สิบสอง ขอบคุณผลงานของ Girard, Descartes, Newton และคนอื่นๆ ทางนักวิทยาศาสตร์การแก้สมการกำลังสองเป็นรูปแบบที่ทันสมัย

1.6 เกี่ยวกับทฤษฎีบทของ Vieta

ทฤษฎีบทที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่างค่าสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสองกับรากของมัน ซึ่งมีชื่อว่า Vieta ได้รับการคิดค้นโดยเขาเป็นครั้งแรกในปี ค.ศ. 1591 ดังนี้: "ถ้า ข + งคูณด้วย ก - ก 2 เท่ากับ พ, แล้ว กเท่ากับ ที่และเท่าเทียมกัน ง ».

เพื่อให้เข้าใจเวียตา เราต้องจำไว้ว่า และเช่นเดียวกับเสียงสระใด ๆ ที่มีความหมายสำหรับเขาที่ไม่รู้จัก (ของเรา เอ็กซ์) สระ ที่, ง- ค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่รู้จัก ในภาษาของพีชคณิตสมัยใหม่ สูตรของ Vieta ข้างต้นหมายถึง: ถ้า

(ก+ ข ) x - x 2 = ab ,

x 2 - (ก + ข ) x + ก ข = 0,

x 1 = ก, x 2 = ข .

แสดงความสัมพันธ์ระหว่างรากและสัมประสิทธิ์ของสมการ สูตรทั่วไป, เขียนโดยใช้สัญลักษณ์, เวียตสร้างความสม่ำเสมอในวิธีการแก้สมการ อย่างไรก็ตามสัญลักษณ์ของ Vieta ยังห่างไกลจาก ดูทันสมัย. เขาไม่รู้จักจำนวนลบ ดังนั้นเมื่อแก้สมการ เขาจึงพิจารณาเฉพาะกรณีที่รากทั้งหมดเป็นบวก

2. วิธีการแก้สมการกำลังสอง

สมการกำลังสองเป็นรากฐานของโครงสร้างอันยิ่งใหญ่ของพีชคณิต สมการกำลังสองใช้กันอย่างแพร่หลายในการแก้สมการตรีโกณมิติ เลขชี้กำลัง ลอการิทึม อตรรกยะและอตรรกยะ และอสมการ เราทุกคนรู้วิธีแก้สมการกำลังสองตั้งแต่เรียน (เกรด 8) จนกระทั่งสำเร็จการศึกษา

สมการกำลังสอง

สมการกำลังสอง- สมการพีชคณิตปริทัศน์

โดยที่ x เป็นตัวแปรอิสระ

a, b, c, - ค่าสัมประสิทธิ์ และ

การแสดงออก เรียกว่ารูปสี่เหลี่ยมจตุรัส

วิธีการแก้สมการกำลังสอง

1. วิธีการ : การแยกตัวประกอบของด้านซ้ายของสมการ

มาแก้สมการกันเถอะ x 2 + 10x - 24 = 0. ลองแยกตัวประกอบทางด้านซ้าย:

x 2 + 10x - 24 \u003d x 2 + 12x - 2x - 24 \u003d x (x + 12) - 2 (x + 12) \u003d (x + 12) (x - 2)

ดังนั้น สามารถเขียนสมการใหม่ได้ดังนี้

(x + 12)(x - 2) = 0

เนื่องจากผลิตภัณฑ์มีค่าเป็นศูนย์ ดังนั้นปัจจัยอย่างน้อยหนึ่งตัวจึงเป็นศูนย์ ดังนั้น ด้านซ้ายของสมการจึงหายไปที่ x = 2เช่นเดียวกับที่ x = - 12. แปลว่า ตัวเลข 2 และ - 12 เป็นรากของสมการ x 2 + 10x - 24 = 0.

2. วิธีการ : วิธีการเลือกตารางเต็ม

มาแก้สมการกันเถอะ x 2 + 6x - 7 = 0. ไฮไลท์ทางด้านซ้าย เต็มตาราง.

ในการทำเช่นนี้ เราเขียนนิพจน์ x 2 + 6x in แบบฟอร์มต่อไปนี้:

x 2 + 6x = x 2 + 2 x 3

ในนิพจน์ผลลัพธ์ พจน์แรกคือกำลังสองของจำนวน x และพจน์ที่สองคือ สินค้าคู่ x คูณ 3 ดังนั้น เพื่อให้ได้กำลังสองเต็ม คุณต้องบวก 3 2 เนื่องจาก

x 2+ 2 x 3 + 3 2 \u003d (x + 3) 2.

ตอนนี้เราแปลงด้านซ้ายของสมการ

x 2 + 6x - 7 = 0,

บวกลบ 3 2 . เรามี:

x 2 + 6x - 7 = x 2+ 2 x 3 + 3 2 - 3 2 - 7 = (x + 3) 2 - 9 - 7 = (x + 3) 2 - 16.

ทางนี้, สมการที่กำหนดสามารถเขียนได้ดังนี้:

(x + 3) 2 - 16 = 0, (x + 3) 2 = 16.

เพราะเหตุนี้, x + 3 - 4 = 0, x 1 = 1 หรือ x + 3 = -4, x 2 = -7

3. วิธีการ :การแก้สมการกำลังสองด้วยสูตร

คูณทั้งสองข้างของสมการ

ขวาน 2 + bx + c \u003d 0, a ≠ 0

บน 4a และต่อเนื่องกัน เรามี:

4a 2 x 2 + 4abx + 4ac = 0,

((2ax) 2 + 2ax b + b 2) - b 2 + 4ac \u003d 0,

(2ax + b) 2 = b 2 - 4ac,

2ax + b \u003d ± √ b 2 - 4ac,

2ax \u003d - b ± √ b 2 - 4ac,

ตัวอย่าง.

ก)มาแก้สมการกัน: 4x2 + 7x + 3 = 0

a = 4, b = 7, c = 3, D = b 2 - 4ac = 7 2 - 4 4 3 = 49 - 48 = 1,

ง > 0สองรากที่แตกต่างกัน

ดังนั้น ในกรณีของการเลือกปฏิบัติเชิงบวก เช่น ที่

ข 2 - 4ac >0สมการ ขวาน 2 + bx + c = 0มีสอง รากที่แตกต่างกัน.

ข)มาแก้สมการกัน: 4x 2 - 4x + 1 = 0,

a \u003d 4, b \u003d - 4, c \u003d 1, D \u003d b 2 - 4ac \u003d (-4) 2 - 4 4 1= 16 - 16 \u003d 0,

ง=0หนึ่งราก

ดังนั้น หากการจำแนกเป็นศูนย์ นั่นคือ ข 2 - 4ac = 0แล้วสมการ

ขวาน 2 + bx + c = 0มีรากเดียว

ใน)มาแก้สมการกัน: 2x 2 + 3x + 4 = 0,

a = 2, b = 3, c = 4, D = b 2 - 4ac = 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13, D< 0.

สมการนี้ไม่มีราก

ดังนั้น หากผู้จำแนกเป็นลบ นั่นคือ b2-4ac< 0 สมการ

ขวาน 2 + bx + c = 0ไม่มีราก

สูตร (1) ของรากของสมการกำลังสอง ขวาน 2 + bx + c = 0ช่วยให้คุณค้นหาราก ใดๆ สมการกำลังสอง (ถ้ามี) รวมทั้งลดทอนและไม่สมบูรณ์ สูตร (1) แสดงด้วยวาจาดังนี้: รากของสมการกำลังสองจะเท่ากับเศษส่วนที่มีตัวเศษเท่ากับสัมประสิทธิ์ที่สอง ซึ่งนำมาจาก ป้ายตรงข้ามบวกลบรากที่สองของกำลังสองของสัมประสิทธิ์นี้โดยไม่มีผลคูณสี่เท่าของสัมประสิทธิ์แรกและพจน์อิสระ และตัวส่วนจะเป็นสองเท่าของสัมประสิทธิ์แรก

4. วิธีการ: การแก้สมการโดยใช้ทฤษฎีบทของ Vieta

ดังที่คุณทราบ สมการกำลังสองที่กำหนดมีรูปแบบ

x 2 + พิกเซล + ค = 0(1)

รากของมันเป็นไปตามทฤษฎีบท Vieta ซึ่งเมื่อ ก = 1มีแบบฟอร์ม

x 1 x 2 = คิว

x 1 + x 2 = - หน้า

จากนี้เราสามารถสรุปได้ดังต่อไปนี้ (สัญญาณของรากสามารถทำนายได้จากค่าสัมประสิทธิ์ p และ q)

ก) ถ้าระยะสรุป ถามของสมการที่ลดลง (1) เป็นบวก ( คิว > 0) ดังนั้นสมการจึงมีสองรากของเครื่องหมายเดียวกันและนี่คือค่าสัมประสิทธิ์ที่สองที่อิจฉา หน้า. ถ้า ร< 0 แล้วรากทั้งสองเป็นลบ ถ้า ร< 0 แล้วรากทั้งสองเป็นบวก

ตัวอย่างเช่น,

x 2 - 3x + 2 = 0; x 1 = 2และ x 2 \u003d 1,เช่น คิว = 2 > 0และ พี=-3< 0;

x2 + 8x + 7 = 0; x 1 = - 7และ x 2 \u003d - 1,เช่น คิว = 7 > 0และ พี=8 > 0.

ข) หากเป็นสมาชิกฟรี ถามของสมการที่ลดลง (1) เป็นลบ ( ถาม< 0 ) จากนั้นสมการจะมีสองรากที่มีเครื่องหมายต่างกัน และรากที่ใหญ่กว่าในค่าสัมบูรณ์จะเป็นบวกถ้า หน้า< 0 หรือลบถ้า หน้า > 0 .

ตัวอย่างเช่น,

x 2 + 4x - 5 = 0; x 1 = - 5และ x 2 \u003d 1,เช่น คิว= - 5< 0 และ p = 4 > 0;

x 2 - 8x - 9 \u003d 0; x 1 = 9และ x 2 \u003d - 1,เช่น คิว = - 9< 0 และ พี=-8< 0.

ตัวอย่าง.

1) แก้สมการ 345x 2 - 137x - 208 = 0

การตัดสินใจ.เนื่องจาก a + b + c \u003d 0 (345 - 137 - 208 \u003d 0),แล้ว

x 1 = 1, x 2 = c / a = -208/345.

คำตอบ: 1; -208/345.

2) แก้สมการ 132x 2 - 247x + 115 = 0

การตัดสินใจ.เนื่องจาก a + b + c \u003d 0 (132 - 247 + 115 \u003d 0),แล้ว

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d c / a \u003d 115/132

คำตอบ: 1; 115/132.

ข. ถ้าสัมประสิทธิ์ที่สอง ข = 2kเป็นเลขคู่แล้วสูตรของราก

ตัวอย่าง.

มาแก้สมการกันเถอะ 3x2 - 14x + 16 = 0.

การตัดสินใจ. เรามี: a = 3, b = - 14, c = 16, k = - 7;

D \u003d k 2 - ac \u003d (- 7) 2 - 3 16 \u003d 49 - 48 \u003d 1, D\u003e 0,สองรากที่แตกต่างกัน

คำตอบ: 2; 8/3

ที่. สมการที่ลดลง

x 2 + พิกเซล + คิว \u003d 0

เกิดขึ้นพร้อมกับสมการทั่วไปซึ่ง เอ = 1, ข = หน้าและ ค = คิว. ดังนั้นสำหรับสมการกำลังสองที่ลดลง สูตรสำหรับราก

ใช้แบบฟอร์ม:

สูตร (3) สะดวกอย่างยิ่งที่จะใช้เมื่อ ร- เลขคู่.

ตัวอย่าง.มาแก้สมการกันเถอะ x 2 - 14x - 15 = 0.

การตัดสินใจ.เรามี: x 1.2 \u003d 7 ±

คำตอบ: x 1 = 15; x 2 \u003d -1.

5. วิธีการ: การแก้สมการแบบกราฟิก

ตัวอย่าง. แก้สมการ x2 - 2x - 3 = 0

ลองวางแผนฟังก์ชัน y \u003d x2 - 2x - 3

1) เรามี: a = 1, b = -2, x0 = 1, y0 = f(1)= 12 - 2 - 3= -4 ซึ่งหมายความว่าจุด (1; -4) คือจุดยอดของพาราโบลา และเส้นตรง x \u003d 1 คือแกนของพาราโบลา

2) หาจุดสองจุดบนแกน x ที่สมมาตรรอบแกนของพาราโบลา เช่น จุด x \u003d -1 และ x \u003d 3

เราได้ f(-1) = f(3) = 0 เราสร้างบน ระนาบพิกัดคะแนน (-1; 0) และ (3; 0)

3) ผ่านจุด (-1; 0), (1; -4), (3; 0) เราวาดพาราโบลา (รูปที่ 68)

รากของสมการ x2 - 2x - 3 = 0 คือ abscissas ของจุดตัดของพาราโบลากับแกน x ดังนั้นรากของสมการคือ: x1 = - 1, x2 - 3

ด้วยโปรแกรมคณิตศาสตร์นี้คุณสามารถทำได้ แก้สมการกำลังสอง.

โปรแกรมไม่เพียงแต่ให้คำตอบสำหรับปัญหาเท่านั้น แต่ยังแสดงขั้นตอนการแก้ปัญหาในสองวิธี:
- การใช้จำแนก
- ใช้ทฤษฎีบท Vieta (ถ้าเป็นไปได้)

นอกจากนี้ คำตอบจะแสดงแบบตรงเป๊ะ ไม่ใช่แบบประมาณ
ตัวอย่างเช่น สำหรับสมการ \(81x^2-16x-1=0\) คำตอบจะแสดงในรูปแบบนี้:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ แทน: \(x_1 = 0.247; \ รูปสี่เหลี่ยม x_2 = -0.05 \)

โปรแกรมนี้อาจเป็นประโยชน์สำหรับนักเรียนมัธยมปลาย โรงเรียนศึกษาทั่วไปในการเตรียมการ ควบคุมการทำงานและการสอบเมื่อทดสอบความรู้ก่อนสอบผู้ปกครองจะควบคุมการแก้ปัญหาต่าง ๆ ในวิชาคณิตศาสตร์และพีชคณิต หรืออาจจะแพงเกินไปสำหรับคุณที่จะจ้างติวเตอร์หรือซื้อหนังสือเรียนใหม่? หรือคุณแค่ต้องการทำให้เสร็จโดยเร็วที่สุด? การบ้านคณิตศาสตร์หรือพีชคณิต? ในกรณีนี้ คุณสามารถใช้โปรแกรมของเราพร้อมวิธีแก้ปัญหาโดยละเอียด

ดังนั้นคุณสามารถดำเนินการของคุณ การฝึกอบรมของตัวเองและ/หรือฝึกอบรมพวกเขา น้องชายหรือพี่สาวน้องสาว ในขณะที่ระดับการศึกษาในด้านงานที่ต้องแก้ไขเพิ่มขึ้น

หากคุณไม่คุ้นเคยกับกฎสำหรับการป้อนพหุนามกำลังสอง เราขอแนะนำให้คุณทำความคุ้นเคยกับกฎเหล่านั้น

กฎสำหรับการป้อนพหุนามสแควร์

ตัวอักษรละตินสามารถทำหน้าที่เป็นตัวแปร
ตัวอย่างเช่น: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) เป็นต้น

สามารถป้อนตัวเลขเป็นจำนวนเต็มหรือเศษส่วนได้
นอกจากนี้, ตัวเลขเศษส่วนสามารถป้อนได้ไม่เพียง แต่เป็นทศนิยมเท่านั้น แต่ยังเป็นเศษส่วนธรรมดาอีกด้วย

กฎสำหรับการป้อนเศษส่วนทศนิยม
ในเศษส่วนทศนิยม ส่วนที่เป็นเศษส่วนจากจำนวนเต็มสามารถคั่นด้วยจุดหรือเครื่องหมายจุลภาค
ตัวอย่างเช่น คุณสามารถป้อน ทศนิยมดังนั้น: 2.5x - 3.5x^2

กฎสำหรับการป้อนเศษส่วนสามัญ
จำนวนเต็มเท่านั้นที่สามารถทำหน้าที่เป็นตัวเศษ ตัวส่วน และส่วนจำนวนเต็มของเศษส่วนได้

ตัวส่วนไม่สามารถเป็นค่าลบได้

เมื่อป้อนเศษส่วนตัวเลข ตัวเศษจะถูกแยกออกจากตัวส่วนด้วยเครื่องหมายหาร: /
ทั้งส่วนแยกออกจากเศษส่วนด้วยเครื่องหมายและ: &
อินพุต: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
ผลลัพธ์: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2 \)

เมื่อป้อนนิพจน์ คุณสามารถใช้วงเล็บ. ในกรณีนี้ เมื่อแก้สมการกำลังสอง นิพจน์ที่แนะนำจะถูกทำให้ง่ายขึ้นก่อน
ตัวอย่างเช่น: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

แก้ปัญหา

พบว่าไม่ได้โหลดสคริปต์บางตัวที่จำเป็นในการแก้ปัญหานี้ และโปรแกรมอาจไม่ทำงาน
คุณอาจเปิดใช้งาน AdBlock
ในกรณีนี้ ให้ปิดการใช้งานและรีเฟรชหน้า

คุณปิดใช้งาน JavaScript ในเบราว์เซอร์ของคุณ
ต้องเปิดใช้งาน JavaScript เพื่อให้โซลูชันปรากฏขึ้น
นี่คือคำแนะนำเกี่ยวกับวิธีเปิดใช้งาน JavaScript ในเบราว์เซอร์ของคุณ

เพราะ มีคนจำนวนมากที่ต้องการแก้ปัญหาคำขอของคุณอยู่ในคิว
หลังจากนั้นไม่กี่วินาที วิธีแก้ไขจะปรากฏขึ้นด้านล่าง
โปรดรอ วินาที...

ถ้าคุณ สังเกตเห็นข้อผิดพลาดในการแก้ปัญหาจากนั้นคุณสามารถเขียนเกี่ยวกับเรื่องนี้ในแบบฟอร์มข้อเสนอแนะ
อย่าลืม ระบุว่างานใดคุณตัดสินใจอะไร ป้อนในฟิลด์.

เกม ปริศนา อีมูเลเตอร์ของเรา:

ทฤษฎีเล็กน้อย

สมการกำลังสองและรากของมัน สมการกำลังสองไม่สมบูรณ์

แต่ละสมการ
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
มีแบบฟอร์ม
\(ax^2+bx+c=0, \)
โดยที่ x เป็นตัวแปร a, b และ c เป็นตัวเลข
ในสมการแรก a = -1, b = 6 และ c = 1.4, ในสมการที่สอง a = 8, b = -7 และ c = 0, ในสมการที่สาม a = 1, b = 0 และ c = 4/9 เรียกสมการดังกล่าวว่า สมการกำลังสอง.

คำนิยาม.
สมการกำลังสองสมการในรูปแบบ ax 2 +bx+c=0 เรียกว่า โดยที่ x เป็นตัวแปร a, b และ c เป็นตัวเลขบางตัว และ \(a \neq 0 \)

ตัวเลข a, b และ c เป็นค่าสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสอง จำนวน a เรียกว่าสัมประสิทธิ์แรก เลข b คือสัมประสิทธิ์ที่สอง และเลข c คือจุดตัด

ในแต่ละสมการในรูปแบบ ax 2 +bx+c=0 โดยที่ \(a \neq 0 \) กำลังสูงสุดของตัวแปร x คือกำลังสอง ดังนั้นชื่อ: สมการกำลังสอง

โปรดทราบว่าสมการกำลังสองเรียกอีกอย่างว่าสมการกำลังสอง เนื่องจากด้านซ้ายเป็นพหุนามของกำลังสอง

สมการกำลังสองซึ่งค่าสัมประสิทธิ์ x 2 เท่ากับ 1 เรียกว่า สมการกำลังสองลดลง. ตัวอย่างเช่น สมการกำลังสองที่กำหนดคือสมการ
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

ถ้าในสมการกำลังสอง ax 2 +bx+c=0 อย่างน้อยหนึ่งในสัมประสิทธิ์ b หรือ c เท่ากับศูนย์ สมการดังกล่าวจะเรียกว่า สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์. ดังนั้น สมการ -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 จึงเป็นสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ ในอันแรก b=0 ในอันที่สอง c=0 ในอันที่สาม b=0 และ c=0

สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์มีสามประเภท:
1) ขวาน 2 +c=0 โดยที่ \(c \neq 0 \);
2) ขวาน 2 +bx=0 โดยที่ \(b \neq 0 \);
3) ขวาน2=0.

พิจารณาคำตอบของสมการแต่ละประเภทเหล่านี้

ในการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของรูปแบบ ax 2 +c=0 สำหรับ \(c \neq 0 \) เทอมว่างจะถูกโอนไปยัง ด้านขวาและหารทั้งสองข้างของสมการด้วย a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

เนื่องจาก \(c \neq 0 \) จากนั้น \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

ถ้า \(-\frac(c)(a)>0 \) สมการจะมีสองราก

ถ้า \(-\frac(c)(a) ในการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของรูปแบบ ax 2 +bx=0 สำหรับ \(b \neq 0 \) แยกตัวประกอบด้านซ้ายและได้สมการ
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \rightarrow \left\( \begin (อาร์เรย์)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(อาร์เรย์) \right. \)

ดังนั้น สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ในรูปแบบ ax 2 +bx=0 สำหรับ \(b \neq 0 \) จะมีสองรากเสมอ

สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ในรูปแบบ ax 2 \u003d 0 เทียบเท่ากับสมการ x 2 \u003d 0 ดังนั้นจึงมี 0 รากเดียว

สูตรการหารากของสมการกำลังสอง

ให้เราพิจารณาวิธีการแก้สมการกำลังสองโดยที่ทั้งค่าสัมประสิทธิ์ของค่าที่ไม่รู้จักและค่าว่างไม่เป็นศูนย์

เราแก้สมการกำลังสองในรูปแบบทั่วไปและด้วยเหตุนี้เราจึงได้รับสูตรของราก จากนั้นจึงนำสูตรนี้ไปใช้แก้สมการกำลังสองใดๆ ก็ได้

แก้สมการกำลังสอง ax 2 +bx+c=0

หารทั้งสองส่วนด้วย a เราจะได้สมการกำลังสองที่ลดลงซึ่งเทียบเท่ากัน
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

เราแปลงสมการนี้โดยเน้นกำลังสองของทวินาม:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \ลูกศรขวา \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \ลูกศรขวา \) \(\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Rightarrow \left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Rightarrow \) \(x+\frac(b )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Rightarrow x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2 -4ac) )(2a) \ลูกศรขวา \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

นิพจน์รากเรียกว่า จำแนกสมการกำลังสองขวาน 2 +bx+c=0 (“ผู้เลือกปฏิบัติ” ในภาษาละติน - ผู้แยกแยะ) มันเขียนแทนด้วยตัวอักษร D, i.e.
\(D = b^2-4ac\)

ตอนนี้ ใช้สัญกรณ์ของ discriminant เราเขียนสูตรสำหรับรากของสมการกำลังสองใหม่:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \) โดยที่ \(D= b^2-4ac \)

เห็นได้ชัดว่า:
1) ถ้า D>0 แสดงว่าสมการกำลังสองมีรากสองตัว
2) ถ้า D=0 สมการกำลังสองจะมีหนึ่งราก \(x=-\frac(b)(2a)\)
3) ถ้า D ดังนั้น ขึ้นอยู่กับค่าของการเลือกปฏิบัติ สมการกำลังสองสามารถมีได้สองราก (สำหรับ D > 0) หนึ่งราก (สำหรับ D = 0) หรือไม่มีราก (สำหรับ D เมื่อแก้สมการกำลังสองโดยใช้สูตรนี้ ขอแนะนำให้ทำดังนี้
1) คำนวณการจำแนกและเปรียบเทียบกับศูนย์
2) ถ้าตัวจำแนกเป็นบวกหรือเท่ากับศูนย์ ให้ใช้สูตรรูต ถ้าตัวจำแนกเป็นลบ ให้เขียนลงไปว่าไม่มีราก

ทฤษฎีบทของเวียตา

สมการกำลังสองที่กำหนด ax 2 -7x+10=0 มีราก 2 และ 5 ผลรวมของรากคือ 7 และผลคูณคือ 10 เราจะเห็นว่าผลรวมของรากเท่ากับสัมประสิทธิ์ที่สอง ซึ่งนำมาจาก เครื่องหมายตรงข้ามและผลคูณของรากเท่ากับพจน์อิสระ สมการกำลังสองลดใด ๆ ที่มีรากจะมีคุณสมบัตินี้

ผลรวมของรากของสมการกำลังสองที่กำหนดจะเท่ากับสัมประสิทธิ์ที่สอง ซึ่งนำมาด้วยเครื่องหมายตรงกันข้าม และผลคูณของรากจะเท่ากับพจน์อิสระ

เหล่านั้น. ทฤษฎีบทของ Vieta กล่าวว่าราก x 1 และ x 2 ของสมการกำลังสองที่ลดลง x 2 +px+q=0 มีคุณสมบัติดังนี้
\(\left\( \begin(อาร์เรย์)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(อาร์เรย์) \right. \)

ระดับแรก

สมการกำลังสอง คู่มือที่ครอบคลุม (2019)

ในคำว่า "สมการกำลังสอง" คำสำคัญคือ "กำลังสอง" ซึ่งหมายความว่าสมการจะต้องมีตัวแปร (X เหมือนกัน) อยู่ในรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส และในขณะเดียวกันก็ไม่ควรมี X ในระดับที่สาม (หรือมากกว่า)

คำตอบของสมการจำนวนมากจะลดลงเป็นคำตอบของสมการกำลังสอง

มาเรียนรู้เพื่อหาว่าเรามีสมการกำลังสอง ไม่ใช่สมการอื่น

ตัวอย่างที่ 1

กำจัดตัวส่วนและคูณแต่ละเทอมของสมการด้วย

ลองย้ายทุกอย่างไปทางซ้ายและจัดเรียงเงื่อนไขตามลำดับกำลังของ x จากมากไปน้อย

ตอนนี้เราสามารถพูดได้อย่างมั่นใจว่าสมการนี้เป็นกำลังสอง!

ตัวอย่างที่ 2

คูณด้านซ้ายและด้านขวาด้วย:

สมการนี้แม้ว่าจะมีมาแต่เดิม แต่ก็ไม่ใช่สี่เหลี่ยมจัตุรัส!

ตัวอย่างที่ 3

คูณทุกอย่างด้วย:

อย่างหวาดกลัว? องศาที่สี่และสอง ... อย่างไรก็ตาม หากเราแทนที่ เราจะเห็นว่าเรามีสมการกำลังสองอย่างง่าย:

ตัวอย่างที่ 4

ดูเหมือนจะเป็น แต่ลองมาดูกันดีกว่า ย้ายทุกอย่างไปทางซ้าย:

คุณเห็นไหมว่ามันหดลง - และตอนนี้มันเป็นสมการเชิงเส้นอย่างง่าย!

ตอนนี้ลองพิจารณาด้วยตัวคุณเองว่าสมการใดต่อไปนี้เป็นสมการกำลังสองและสมการใดที่ไม่ใช่:

ตัวอย่าง:

คำตอบ:

1. สี่เหลี่ยม;
2. สี่เหลี่ยม;
3. ไม่ใช่สี่เหลี่ยม
4. ไม่ใช่สี่เหลี่ยม
5. ไม่ใช่สี่เหลี่ยม
6. สี่เหลี่ยม;
7. ไม่ใช่สี่เหลี่ยม
8. สี่เหลี่ยม.

นักคณิตศาสตร์แบ่งสมการกำลังสองทั้งหมดตามเงื่อนไขออกเป็นประเภทต่อไปนี้:

• กรอกสมการกำลังสอง- สมการที่ค่าสัมประสิทธิ์และเทอมอิสระ c ไม่เท่ากับศูนย์ (ตามตัวอย่าง) นอกจากนี้ยังมีสมการกำลังสองที่สมบูรณ์ ที่ให้ไว้คือสมการที่ค่าสัมประสิทธิ์ (สมการจากตัวอย่างที่หนึ่งไม่เพียงแต่สมบูรณ์เท่านั้น แต่ยังลดลงด้วย!)

• สมการกำลังสองไม่สมบูรณ์- สมการที่ค่าสัมประสิทธิ์และหรือเทอมอิสระ c เท่ากับศูนย์:

  ไม่สมบูรณ์เพราะขาดองค์ประกอบบางอย่างไป แต่สมการต้องมี x กำลังสองเสมอ!!! มิฉะนั้น มันจะไม่เป็นกำลังสองอีกต่อไป แต่เป็นสมการอื่น

ทำไมพวกเขาถึงมีการแบ่งเช่นนี้? ดูเหมือนว่ามี X กำลังสองและโอเค การแบ่งดังกล่าวเกิดจากวิธีการแก้ปัญหา ลองพิจารณาแต่ละข้อโดยละเอียด

การแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์

ขั้นแรก เรามาโฟกัสกันที่การแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ ซึ่งง่ายกว่ามาก!

สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์เป็นประเภท:

1. ในสมการนี้ค่าสัมประสิทธิ์จะเท่ากัน
2. ในสมการนี้เทอมว่างเท่ากับ
3. ในสมการนี้ค่าสัมประสิทธิ์และระยะว่างเท่ากัน

1. ฉัน เนื่องจากเรารู้วิธีการสกัด รากที่สองงั้นลองแสดงจากสมการนี้

การแสดงออกสามารถเป็นได้ทั้งเชิงลบหรือเชิงบวก เลขยกกำลังสองไม่สามารถเป็นค่าลบได้ เพราะเมื่อคูณเลขลบสองตัวหรือเลขบวกสองตัว ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นเสมอ จำนวนบวก, ดังนั้น ถ้า สมการนั้นไม่มีคำตอบ

และถ้าเราได้สองราก สูตรเหล่านี้ไม่จำเป็นต้องจำ สิ่งสำคัญคือคุณควรรู้และจำไว้เสมอว่าไม่น้อย

มาลองแก้ตัวอย่างกัน

ตัวอย่างที่ 5:

แก้สมการ

ตอนนี้ยังคงแยกรากออกจากส่วนซ้ายและขวา ท้ายที่สุดคุณจำวิธีแยกรากได้หรือไม่?

ตอบ:

อย่าลืมรากที่มีเครื่องหมายลบ!!!

ตัวอย่างที่ 6:

แก้สมการ

ตอบ:

ตัวอย่างที่ 7:

แก้สมการ

อุ๊ย! กำลังสองของตัวเลขไม่สามารถเป็นค่าลบได้ ซึ่งหมายความว่าสมการนั้น

ไม่มีราก!

สำหรับสมการที่ไม่มีราก นักคณิตศาสตร์จึงสร้างไอคอนพิเศษขึ้นมา - (ชุดว่าง) และเขียนคำตอบได้ดังนี้

ตอบ:

ดังนั้น สมการกำลังสองนี้จึงมีสองราก ไม่มีข้อจำกัดที่นี่ เนื่องจากเราไม่ได้แตกราก
ตัวอย่างที่ 8:

แก้สมการ

ลองนำปัจจัยร่วมออกจากวงเล็บ:

ทางนี้,

สมการนี้มีสองราก

ตอบ:

ประเภทที่ง่ายที่สุดของสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ (แม้ว่าพวกมันจะง่ายทั้งหมด จริงไหม?) แน่นอน สมการนี้มีรากเพียงตัวเดียวเสมอ:

ที่นี่เราจะทำโดยไม่มีตัวอย่าง

การแก้สมการกำลังสองที่สมบูรณ์

เราเตือนคุณว่าสมการกำลังสองสมบูรณ์คือสมการของสมการรูปแบบโดยที่

การแก้สมการกำลังสองแบบเต็มนั้นซับซ้อนกว่าเล็กน้อย (เพียงเล็กน้อย) มากกว่าที่กำหนด

จดจำ, สมการกำลังสองใด ๆ สามารถแก้ไขได้โดยใช้การจำแนก! แม้จะไม่สมบูรณ์

วิธีที่เหลือจะช่วยให้คุณทำได้เร็วขึ้น แต่ถ้าคุณมีปัญหาเกี่ยวกับสมการกำลังสอง ให้เชี่ยวชาญวิธีแก้ปัญหาโดยใช้ตัวจำแนกก่อน

1. การแก้สมการกำลังสองโดยใช้ตัวจำแนก

การแก้สมการกำลังสองด้วยวิธีนี้ง่ายมาก สิ่งสำคัญคือต้องจำลำดับของการกระทำและสูตรสองสามสูตร

ถ้าสมการนั้นมีราก ความสนใจเป็นพิเศษวาดขั้นตอน discriminant () บอกเราถึงจำนวนรากของสมการ

• ถ้าสูตรในขั้นตอนจะลดลงเป็น ดังนั้นสมการจะมีเพียงรากเท่านั้น
• หากเป็นเช่นนั้นเราจะไม่สามารถแยกรากของการเลือกปฏิบัติในขั้นตอน นี่แสดงว่าสมการไม่มีราก

กลับไปที่สมการของเราและดูตัวอย่างบางส่วน

ตัวอย่างที่ 9:

แก้สมการ

ขั้นตอนที่ 1ข้าม.

ขั้นตอนที่ 2

ค้นหาความแตกต่าง:

สมการจึงมีสองราก

ขั้นตอนที่ 3

ตอบ:

ตัวอย่างที่ 10:

แก้สมการ

สมการจะอยู่ในรูปแบบมาตรฐาน ดังนั้น ขั้นตอนที่ 1ข้าม.

ขั้นตอนที่ 2

ค้นหาความแตกต่าง:

สมการจึงมีหนึ่งราก

ตอบ:

ตัวอย่างที่ 11:

แก้สมการ

สมการจะอยู่ในรูปแบบมาตรฐาน ดังนั้น ขั้นตอนที่ 1ข้าม.

ขั้นตอนที่ 2

ค้นหาความแตกต่าง:

ซึ่งหมายความว่าเราจะไม่สามารถแยกรากออกจากการเลือกปฏิบัติได้ ไม่มีรากของสมการ

ตอนนี้เรารู้วิธีเขียนคำตอบอย่างถูกต้องแล้ว

ตอบ:ไม่มีราก

2. การแก้สมการกำลังสองโดยใช้ทฤษฎีบท Vieta

หากคุณจำได้มีสมการประเภทหนึ่งที่เรียกว่า ลดลง (เมื่อค่าสัมประสิทธิ์ a เท่ากับ):

สมการดังกล่าวแก้ได้ง่ายมากโดยใช้ทฤษฎีบทของ Vieta:

ผลรวมของราก ที่ให้ไว้สมการกำลังสองเท่ากัน และผลคูณของรากเท่ากัน

ตัวอย่างที่ 12:

แก้สมการ

สมการนี้เหมาะสำหรับการแก้ปัญหาโดยใช้ทฤษฎีบทของ Vieta เนื่องจาก .

ผลรวมของรากของสมการคือ เช่น เราได้สมการแรก:

และผลิตภัณฑ์คือ:

มาสร้างและแก้ไขระบบกัน:

• และ. ผลรวมคือ;
• และ. ผลรวมคือ;
• และ. จำนวนเงินเท่ากัน

และเป็นทางออกของระบบ:

ตอบ: ; .

ตัวอย่างที่ 13:

แก้สมการ

ตอบ:

ตัวอย่างที่ 14:

แก้สมการ

สมการลดลงซึ่งหมายความว่า:

ตอบ:

สมการกำลังสอง ระดับกลาง

สมการกำลังสองคืออะไร?

กล่าวอีกนัยหนึ่ง สมการกำลังสองคือสมการของรูปแบบ โดยที่ - ไม่ทราบ - ตัวเลขบางจำนวน ยิ่งกว่านั้น

จำนวนที่เรียกว่าสูงสุดหรือ ค่าสัมประสิทธิ์แรกสมการกำลังสอง, - ค่าสัมประสิทธิ์ที่สอง, - สมาชิกฟรี.

ทำไม เพราะหากสมการจะกลายเป็นเส้นตรงทันที เนื่องจาก จะหายไป.

ในกรณีนี้ และ สามารถเท่ากับศูนย์ได้ ในสมการอุจจาระนี้เรียกว่าไม่สมบูรณ์ ถ้าเงื่อนไขทั้งหมดอยู่ในสถานที่ นั่นคือสมการเสร็จสมบูรณ์

คำตอบของสมการกำลังสองประเภทต่างๆ

วิธีการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์:

ในการเริ่มต้นเราจะวิเคราะห์วิธีการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ซึ่งง่ายกว่า

สมการประเภทต่อไปนี้สามารถแยกแยะได้:

I. ในสมการนี้ ค่าสัมประสิทธิ์และระยะว่างเท่ากัน

ครั้งที่สอง ในสมการนี้ค่าสัมประสิทธิ์จะเท่ากัน

สาม. ในสมการนี้เทอมว่างเท่ากับ

พิจารณาวิธีแก้ปัญหาของแต่ละประเภทย่อยเหล่านี้

แน่นอน สมการนี้มีรากเพียงตัวเดียวเสมอ:

จำนวนยกกำลังสองไม่สามารถเป็นค่าลบได้ เนื่องจากเมื่อคูณจำนวนลบสองตัวหรือจำนวนบวกสองตัว ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นจำนวนบวกเสมอ ดังนั้น:

ถ้าสมการนั้นไม่มีคำตอบ

ถ้าเรามีสองราก

สูตรเหล่านี้ไม่จำเป็นต้องจำ สิ่งสำคัญที่ต้องจำคือต้องไม่น้อย

ตัวอย่าง:

โซลูชั่น:

ตอบ:

อย่าลืมรากที่มีเครื่องหมายลบ!

กำลังสองของตัวเลขไม่สามารถเป็นค่าลบได้ ซึ่งหมายความว่าสมการนั้น

ไม่มีราก

หากต้องการเขียนสั้น ๆ ว่าปัญหาไม่มีทางแก้ไข เราใช้ไอคอนชุดว่าง

ตอบ:

ดังนั้น สมการนี้มีรากสองตัวคือ และ

ตอบ:

ลองนำปัจจัยร่วมออกจากวงเล็บ:

ผลคูณจะเท่ากับศูนย์หากปัจจัยอย่างน้อยหนึ่งตัวมีค่าเท่ากับศูนย์ ซึ่งหมายความว่าสมการจะมีคำตอบเมื่อ:

ดังนั้น สมการกำลังสองนี้มีรากสองตัว: และ

ตัวอย่าง:

แก้สมการ

การตัดสินใจ:

เราแยกตัวประกอบทางด้านซ้ายของสมการและค้นหาราก:

ตอบ:

วิธีการแก้สมการกำลังสองสมบูรณ์:

1. เลือกปฏิบัติ

การแก้สมการกำลังสองด้วยวิธีนี้เป็นเรื่องง่าย สิ่งสำคัญคือต้องจำลำดับของการกระทำและสูตรสองสามสูตร จำไว้ว่า สมการกำลังสองสามารถแก้ได้โดยใช้ตัวจำแนก! แม้จะไม่สมบูรณ์

คุณสังเกตเห็นรากของ discriminant ในสูตรรากหรือไม่? แต่ผู้จำแนกสามารถเป็นค่าลบได้ จะทำอย่างไร? เราต้องให้ความสนใจเป็นพิเศษกับขั้นตอนที่ 2 เครื่องมือจำแนกบอกจำนวนรากของสมการ

• ถ้าสมการนั้นมีราก:
• ถ้าสมการนั้นมีรูทเดียวกัน แต่อันที่จริงมีรูทเดียว:

  รากดังกล่าวเรียกว่ารากคู่

• หากไม่ได้แยกรากของการเลือกปฏิบัติออก นี่แสดงว่าสมการไม่มีราก

ทำไมถึงเป็นไปได้ จำนวนที่แตกต่างกันราก? ลองหันมา ความรู้สึกทางเรขาคณิตสมการกำลังสอง. กราฟของฟังก์ชันเป็นรูปพาราโบลา:

ในกรณีเฉพาะ ซึ่งเป็นสมการกำลังสอง และนั่นหมายความว่ารากของสมการกำลังสองคือจุดตัดกับแกน x (แกน) พาราโบลาอาจไม่ข้ามแกนเลย หรืออาจตัดกันที่หนึ่ง (เมื่อยอดพาราโบลาอยู่บนแกน) หรือสองจุด

นอกจากนี้ค่าสัมประสิทธิ์ยังกำหนดทิศทางของกิ่งก้านของพาราโบลา ถ้ากิ่งก้านของพาราโบลาชี้ขึ้นและถ้า - ให้ชี้ลง

ตัวอย่าง:

โซลูชั่น:

ตอบ:

ตอบ: .

ตอบ:

ซึ่งหมายความว่าไม่มีทางแก้ไข

ตอบ: .

2. ทฤษฎีบทของ Vieta

การใช้ทฤษฎีบท Vieta นั้นง่ายมาก คุณเพียงแค่ต้องเลือกคู่ของตัวเลขที่ผลคูณเท่ากับพจน์อิสระของสมการ และผลรวมเท่ากับสัมประสิทธิ์ที่สอง โดยใช้เครื่องหมายตรงกันข้าม

สิ่งสำคัญคือต้องจำไว้ว่าทฤษฎีบทของ Vieta สามารถใช้ได้เท่านั้น กำหนดสมการกำลังสอง ()

ลองดูตัวอย่าง:

ตัวอย่าง #1:

แก้สมการ

การตัดสินใจ:

สมการนี้เหมาะสำหรับการแก้ปัญหาโดยใช้ทฤษฎีบทของ Vieta เนื่องจาก . ค่าสัมประสิทธิ์อื่นๆ: ; .

ผลรวมของรากของสมการคือ:

และผลิตภัณฑ์คือ:

ลองเลือกคู่ของตัวเลขซึ่งผลคูณของจำนวนนั้นเท่ากัน และตรวจสอบว่าผลรวมของตัวเลขเท่ากันหรือไม่:

• และ. ผลรวมคือ;
• และ. ผลรวมคือ;
• และ. จำนวนเงินเท่ากัน

และเป็นทางออกของระบบ:

ดังนั้น และ จึงเป็นรากเหง้าของสมการของเรา

ตอบ: ; .

ตัวอย่าง #2:

การตัดสินใจ:

เราเลือกคู่ของตัวเลขที่ให้ในผลิตภัณฑ์ จากนั้นตรวจสอบว่าผลรวมเท่ากันหรือไม่:

และ: ให้ทั้งหมด

และ: ให้ทั้งหมด ในการรับคุณเพียงแค่เปลี่ยนสัญญาณของรากที่ถูกกล่าวหา: และหลังจากนั้นผลิตภัณฑ์

ตอบ:

ตัวอย่าง #3:

การตัดสินใจ:

เทอมอิสระของสมการเป็นลบ ดังนั้นผลคูณของราก - จำนวนลบ. สิ่งนี้เป็นไปได้ก็ต่อเมื่อหนึ่งในรากเป็นลบและอีกรากหนึ่งเป็นบวก ผลรวมของรากคือ ความแตกต่างของโมดูล.

เราเลือกคู่ของตัวเลขที่ให้ในผลิตภัณฑ์และผลต่างที่เท่ากับ:

และ: ความแตกต่างคือ - ไม่เหมาะสม;

และ: - ไม่เหมาะสม;

และ: - ไม่เหมาะสม;

และ: - เหมาะสม มันยังคงเป็นเพียงการจำไว้ว่าหนึ่งในรากนั้นเป็นลบ เนื่องจากผลรวมจะต้องเท่ากัน ดังนั้นรากซึ่งมีค่าสัมบูรณ์น้อยกว่าจึงต้องเป็นค่าลบ: . เราตรวจสอบ:

ตอบ:

ตัวอย่าง #4:

แก้สมการ

การตัดสินใจ:

สมการลดลงซึ่งหมายความว่า:

พจน์อิสระเป็นค่าลบ ดังนั้น ผลคูณของรากจึงเป็นค่าลบ และเป็นไปได้ก็ต่อเมื่อรากของสมการหนึ่งเป็นลบและอีกรากหนึ่งเป็นบวก

เราเลือกคู่ของตัวเลขที่มีผลิตภัณฑ์เท่ากัน จากนั้นพิจารณาว่ารากใดควรมีเครื่องหมายลบ:

แน่นอน รากเท่านั้น และเหมาะสำหรับเงื่อนไขแรก:

ตอบ:

ตัวอย่าง #5:

แก้สมการ

การตัดสินใจ:

สมการลดลงซึ่งหมายความว่า:

ผลรวมของรากเป็นลบ ซึ่งหมายความว่าอย่างน้อยหนึ่งรากเป็นลบ แต่เนื่องจากผลคูณเป็นบวก จึงหมายความว่ารากทั้งสองเป็นลบ

เราเลือกคู่ของตัวเลขดังกล่าว ซึ่งผลคูณจะเท่ากับ:

แน่นอนรากคือตัวเลขและ

ตอบ:

เห็นด้วยมันสะดวกมาก - ในการคิดค้นรากด้วยปากเปล่าแทนที่จะนับการเลือกปฏิบัติที่น่ารังเกียจนี้ พยายามใช้ทฤษฎีบทของ Vieta ให้บ่อยที่สุด

แต่จำเป็นต้องใช้ทฤษฎีบท Vieta เพื่ออำนวยความสะดวกและรวดเร็วในการค้นหาราก เพื่อให้คุณใช้งานได้อย่างมีกำไร คุณต้องนำการดำเนินการไปสู่ระบบอัตโนมัติ และสำหรับสิ่งนี้ ให้แก้ตัวอย่างอีกห้าตัวอย่าง แต่อย่าโกง: คุณไม่สามารถใช้การเลือกปฏิบัติได้! ทฤษฎีบทของ Vieta เท่านั้น:

วิธีแก้ปัญหาสำหรับงานอิสระ:

งาน 1. ((x)^(2))-8x+12=0

ตามทฤษฎีบทของ Vieta:

ตามปกติ เราจะเริ่มการเลือกด้วยผลิตภัณฑ์:

ไม่เหมาะสมเนื่องจากจำนวน;

: จำนวนคือสิ่งที่คุณต้องการ

ตอบ: ; .

ภารกิจที่ 2

และอีกครั้ง ทฤษฎีบทเวียตาที่เราชื่นชอบ: ผลรวมควรออกมาดี แต่ผลคูณเท่ากัน

แต่เนื่องจากไม่ควร แต่เราเปลี่ยนสัญญาณของราก: และ (ทั้งหมด)

ตอบ: ; .

ภารกิจที่ 3

อืม... มันอยู่ที่ไหน?

จำเป็นต้องโอนเงื่อนไขทั้งหมดเป็นส่วนเดียว:

ผลรวมของรากจะเท่ากับผลคูณ

ใช่ หยุด! สมการไม่ได้รับ แต่ทฤษฎีบทของ Vieta ใช้ได้เฉพาะในสมการที่กำหนดเท่านั้น ก่อนอื่นคุณต้องนำสมการ หากคุณไม่สามารถพูดขึ้นมาได้ ให้วางความคิดนี้และแก้ปัญหาด้วยวิธีอื่น (เช่น ผ่านการเลือกปฏิบัติ) ฉันขอเตือนคุณว่าการนำสมการกำลังสองหมายถึงการทำให้สัมประสิทธิ์นำหน้าเท่ากับ:

ยอดเยี่ยม. จากนั้นผลรวมของรากจะเท่ากันและผลคูณ

ง่ายกว่าที่จะรับที่นี่: หลังจากทั้งหมด - จำนวนเฉพาะ (ขออภัยสำหรับการย้ำซ้ำ ๆ )

ตอบ: ; .

ภารกิจที่ 4

ระยะว่างเป็นลบ มีอะไรพิเศษเกี่ยวกับมัน? และความจริงที่ว่ารากจะมีสัญญาณต่างกัน และตอนนี้ในระหว่างการเลือกเราไม่ได้ตรวจสอบผลรวมของรูท แต่ความแตกต่างระหว่างโมดูล: ความแตกต่างนี้เท่ากัน แต่เป็นผลคูณ

ดังนั้น รากจึงเท่ากัน และ แต่หนึ่งในนั้นมีค่าลบด้วย ทฤษฎีบทของ Vieta บอกเราว่าผลรวมของรากเท่ากับสัมประสิทธิ์ที่สองที่มีเครื่องหมายตรงกันข้าม นั่นคือ ซึ่งหมายความว่ารากที่เล็กกว่าจะมีเครื่องหมายลบ: และตั้งแต่

ตอบ: ; .

ภารกิจที่ 5

ต้องทำอะไรก่อน ถูกต้อง ให้สมการ:

อีกครั้ง: เราเลือกปัจจัยของตัวเลขและความแตกต่างควรเท่ากับ:

รากมีค่าเท่ากัน และ แต่หนึ่งในนั้นเป็นลบ อย่างไหน? ผลรวมของพวกเขาจะต้องเท่ากันซึ่งหมายความว่าด้วยเครื่องหมายลบจะมีรากที่ใหญ่กว่า

ตอบ: ; .

ให้ฉันสรุป:

1. ทฤษฎีบทของ Vieta ใช้ในสมการกำลังสองที่กำหนดเท่านั้น
2. เมื่อใช้ทฤษฎีบท Vieta คุณสามารถค้นหารากโดยการเลือกโดยใช้ปากเปล่า
3. หากไม่ได้กำหนดสมการหรือไม่พบตัวประกอบที่เหมาะสมของพจน์อิสระ แสดงว่าไม่มีรากของจำนวนเต็ม และคุณต้องแก้ด้วยวิธีอื่น (เช่น ผ่านการจำแนก)

3. วิธีการเลือกตารางเต็ม

หากเงื่อนไขทั้งหมดที่มีสิ่งที่ไม่รู้จักแสดงเป็นเงื่อนไขจากสูตรการคูณแบบย่อ - กำลังสองของผลรวมหรือผลต่าง - จากนั้นหลังจากการเปลี่ยนแปลงของตัวแปร สมการสามารถแสดงเป็นสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของประเภท

ตัวอย่างเช่น:

ตัวอย่างที่ 1:

แก้สมการ: .

การตัดสินใจ:

ตอบ:

ตัวอย่างที่ 2:

แก้สมการ: .

การตัดสินใจ:

ตอบ:

โดยทั่วไปการแปลงจะมีลักษณะดังนี้:

นี่หมายความว่า: .

มันไม่เตือนอะไรคุณเลยเหรอ? เป็นการเลือกปฏิบัติ! นั่นคือวิธีที่ได้สูตรจำแนกมา

สมการกำลังสอง สั้น ๆ เกี่ยวกับหลัก

สมการกำลังสองเป็นสมการของรูปแบบ ที่ไหนไม่ทราบ มีค่าสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสอง เป็นระยะอิสระ

กรอกสมการกำลังสอง- สมการที่ค่าสัมประสิทธิ์ไม่เท่ากับศูนย์

ลดสมการกำลังสอง- สมการที่สัมประสิทธิ์ นั่นคือ: .

สมการกำลังสองไม่สมบูรณ์- สมการที่ค่าสัมประสิทธิ์และหรือเทอมอิสระ c เท่ากับศูนย์:

• ถ้าค่าสัมประสิทธิ์สมการจะมีรูปแบบ: ,
• ถ้าเทอมว่าง สมการจะมีรูปแบบ: ,
• ถ้า และ สมการมีรูปแบบ: .

1. อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์

1.1. สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของแบบฟอร์ม โดยที่ :

1) แสดงสิ่งที่ไม่รู้จัก: ,

2) ตรวจสอบสัญลักษณ์ของนิพจน์:

• ถ้าสมการไม่มีคำตอบ
• ถ้าสมการมีสองราก

1.2. สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของแบบฟอร์ม โดยที่ :

1) ลองแยกตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ: ,

2) ผลคูณจะเท่ากับศูนย์หากปัจจัยอย่างน้อยหนึ่งตัวมีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้นสมการจึงมีสองราก:

1.3. สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของแบบฟอร์ม โดยที่:

สมการนี้มีรากเพียงตัวเดียวเสมอ:

2. อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการกำลังสองที่สมบูรณ์ของแบบฟอร์ม

2.1. การแก้ปัญหาโดยใช้การจำแนก

1) เรานำสมการมาที่ มุมมองมาตรฐาน: ,

2) คำนวณการแยกแยะโดยใช้สูตร: ซึ่งระบุจำนวนรากของสมการ:

3) ค้นหารากของสมการ:

• ถ้าสมการนั้นมีรากซึ่งพบได้จากสูตร:
• ถ้าสมการนั้นมีรากซึ่งพบได้จากสูตร:
• ถ้าสมการนั้นไม่มีราก

2.2. การแก้ปัญหาโดยใช้ทฤษฎีบทของ Vieta

ผลบวกของรากของสมการกำลังสองที่ลดลง (สมการของรูปแบบ โดยที่) เท่ากัน และผลคูณของรากเท่ากัน นั่นคือ , ก.

2.3. โซลูชันกำลังสองเต็ม

มีการศึกษาสมการกำลังสองในชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 ดังนั้นจึงไม่มีอะไรซับซ้อนที่นี่ ความสามารถในการแก้ปัญหาเหล่านี้เป็นสิ่งสำคัญ

สมการกำลังสองคือสมการในรูปแบบ ax 2 + bx + c = 0 โดยที่สัมประสิทธิ์ a , b และ c เป็นตัวเลขที่กำหนดเองได้ และ a ≠ 0

ก่อนเรียน วิธีการเฉพาะวิธีแก้ปัญหา เราทราบว่าสมการกำลังสองทั้งหมดสามารถแบ่งตามเงื่อนไขออกเป็นสามคลาส:

1. ไม่มีราก
2. พวกมันมีรากเดียว
3. พวกมันมีสองรากที่แตกต่างกัน

นี่เป็นข้อแตกต่างที่สำคัญระหว่างสมการกำลังสองและสมการเชิงเส้น โดยที่รากจะมีอยู่เสมอและไม่ซ้ำกัน จะทราบได้อย่างไรว่าสมการมีกี่ราก มีสิ่งที่ยอดเยี่ยมสำหรับสิ่งนี้ - เลือกปฏิบัติ.

เลือกปฏิบัติ

ให้สมการกำลังสอง ax 2 + bx + c = 0 จากนั้นตัวจำแนกก็คือตัวเลข D = b 2 − 4ac

สูตรนี้ต้องรู้ด้วยใจ มาจากไหนไม่สำคัญแล้ว อีกสิ่งหนึ่งที่สำคัญ: ด้วยสัญลักษณ์ของการเลือกปฏิบัติ คุณสามารถระบุได้ว่าสมการกำลังสองมีกี่ราก คือ:

1. ถ้า ง< 0, корней нет;
2. ถ้า D = 0 แสดงว่ามีหนึ่งรูทพอดี
3. ถ้า D > 0 จะมีสองราก

โปรดทราบ: การเลือกปฏิบัติระบุจำนวนของรากและไม่ใช่สัญญาณของมันเลย ด้วยเหตุผลบางอย่างที่หลายคนคิด ลองดูตัวอย่างแล้วคุณจะเข้าใจทุกอย่างด้วยตัวคุณเอง:

งาน. สมการกำลังสองมีกี่ราก:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0

เราเขียนค่าสัมประสิทธิ์สำหรับสมการแรกและหาตัวจำแนก:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

ดังนั้น ดิสคริมิแนนต์จึงเป็นค่าบวก สมการจึงมีรากต่างกันสองตัว เราวิเคราะห์สมการที่สองในลักษณะเดียวกัน:
ก = 5; ข = 3; ค = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131

การจำแนกเป็นลบไม่มีราก สมการสุดท้ายยังคงอยู่:
ก = 1; ข = -6; ค = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0

การเลือกปฏิบัติเท่ากับศูนย์ - รากจะเป็นหนึ่ง

โปรดทราบว่ามีการเขียนค่าสัมประสิทธิ์สำหรับแต่ละสมการแล้ว ใช่ มันยาว ใช่ มันน่าเบื่อ - แต่คุณจะไม่สับสนและไม่ทำผิดพลาดโง่ๆ เลือกด้วยตัวคุณเอง: ความเร็วหรือคุณภาพ

อย่างไรก็ตาม หากคุณ "เติมมือของคุณ" หลังจากนั้นไม่นาน คุณจะไม่ต้องเขียนค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดอีกต่อไป คุณจะดำเนินการดังกล่าวในหัวของคุณ คนส่วนใหญ่เริ่มทำสิ่งนี้ที่ไหนสักแห่งหลังจากแก้สมการได้ 50-70 ครั้ง โดยทั่วไปไม่มาก

รากของสมการกำลังสอง

ตอนนี้เรามาดูวิธีแก้ปัญหากัน หากตัวจำแนก D > 0 สามารถหารากได้โดยใช้สูตร:

สูตรพื้นฐานสำหรับรากของสมการกำลังสอง

เมื่อ D = 0 คุณสามารถใช้สูตรใดก็ได้ - คุณจะได้ตัวเลขเดียวกัน ซึ่งจะเป็นคำตอบ สุดท้าย ถ้า D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0

สมการแรก:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; ข = −2; ค = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ สมการมีสองราก มาหาพวกเขากันเถอะ:

สมการที่สอง:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; ข = −2; ค = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64

D > 0 ⇒ สมการมีสองรากอีกครั้ง ไปหาพวกเขากันเถอะ

\[\begin(จัดเรียง) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

ในที่สุดสมการที่สาม:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; ข = 12; ค = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ สมการมีหนึ่งรูท สามารถใช้สูตรใดก็ได้ ตัวอย่างเช่น อันแรก:

อย่างที่คุณเห็นจากตัวอย่าง ทุกอย่างง่ายมาก ถ้ารู้สูตรและนับได้ก็จะไม่มีปัญหา บ่อยครั้งที่ข้อผิดพลาดเกิดขึ้นเมื่อค่าสัมประสิทธิ์ลบถูกแทนที่ในสูตร เทคนิคที่อธิบายไว้ข้างต้นจะช่วยได้อีกครั้ง: ดูสูตรอย่างแท้จริง ระบายสีแต่ละขั้นตอน - และกำจัดข้อผิดพลาดในไม่ช้า

สมการกำลังสองไม่สมบูรณ์

มันเกิดขึ้นที่สมการกำลังสองค่อนข้างแตกต่างจากที่ให้ไว้ในคำจำกัดความ ตัวอย่างเช่น:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 − 16 = 0

เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าไม่มีคำศัพท์ใดคำหนึ่งในสมการเหล่านี้ สมการกำลังสองดังกล่าวแก้ได้ง่ายกว่าสมการมาตรฐาน: ไม่จำเป็นต้องคำนวณการจำแนกด้วยซ้ำ ดังนั้น ขอแนะนำแนวคิดใหม่:

สมการ ax 2 + bx + c = 0 เรียกว่าสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ ถ้า b = 0 หรือ c = 0 เช่น ค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปร x หรือองค์ประกอบอิสระเท่ากับศูนย์

แน่นอน กรณีที่ยากมากเป็นไปได้เมื่อค่าสัมประสิทธิ์ทั้งสองมีค่าเท่ากับศูนย์: b \u003d c \u003d 0 ในกรณีนี้ สมการจะใช้รูปแบบ ax 2 \u003d 0 เห็นได้ชัดว่าสมการดังกล่าวมีสมการเดียว รูท: x \u003d 0

ลองพิจารณากรณีอื่น ๆ ให้ b \u003d 0 จากนั้นเราจะได้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของรูปแบบ ax 2 + c \u003d 0 ลองแปลงเล็กน้อย:

เนื่องจากรากที่สองทางคณิตศาสตร์มาจากจำนวนที่ไม่เป็นลบเท่านั้น ความเสมอภาคสุดท้ายจึงสมเหตุสมผลเมื่อ (−c / a ) ≥ 0 สรุป:

1. หากสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ในรูปแบบ ax 2 + c = 0 เป็นไปตามอสมการ (−c / a ) ≥ 0 จะมีรากสองราก สูตรได้รับข้างต้น
2. ถ้า (−c / a )< 0, корней нет.

อย่างที่คุณเห็น ไม่จำเป็นต้องใช้การจำแนก - ไม่มีการคำนวณที่ซับซ้อนเลยในสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ อันที่จริง ไม่จำเป็นต้องจำอสมการ (−c / a ) ≥ 0 ด้วยซ้ำ แค่แสดงค่า x 2 และดูว่าอะไรอยู่อีกด้านของเครื่องหมายเท่ากับ หากมีจำนวนบวกจะมีสองราก ถ้าติดลบก็จะไม่มีรากเลย

ทีนี้มาจัดการกับสมการในรูปแบบ ax 2 + bx = 0 ซึ่งองค์ประกอบอิสระมีค่าเท่ากับศูนย์ ทุกอย่างง่ายที่นี่: จะมีสองรากเสมอ การแยกตัวประกอบของพหุนามก็เพียงพอแล้ว:

นำปัจจัยร่วมออกจากวงเล็บ

ผลคูณจะเท่ากับศูนย์เมื่อปัจจัยอย่างน้อยหนึ่งตัวมีค่าเท่ากับศูนย์ นี่คือที่มาของรากเหง้า โดยสรุป เราจะวิเคราะห์สมการต่างๆ เหล่านี้:

งาน. แก้สมการกำลังสอง:

1. x2 − 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 − 9 = 0

x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6 ไม่มีรากเพราะ สแควร์ต้องไม่เท่ากับจำนวนลบ

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; x 2 \u003d -1.5.