วิธี secant (วิธีคอร์ด)

ในนี้และ ส่วนถัดไปพิจารณาการปรับเปลี่ยนวิธีการของนิวตัน

ดังที่เห็นได้จากสูตร (2.13) วิธีของนิวตันต้องการการคำนวณอนุพันธ์เพื่อนำไปใช้ ซึ่งจำกัดการใช้งาน วิธี secant ไม่มีข้อบกพร่องนี้ หากอนุพันธ์ถูกแทนที่ด้วยการประมาณ:

ฉ"(x น) ,

จากนั้นแทนสูตร (2.13) ที่เราได้รับ

x n+1 = x n- . (2.20)

ซึ่งหมายความว่าเส้นสัมผัสถูกแทนที่ด้วยเส้นแบ่ง วิธี secant เป็นวิธีสองขั้นตอนในการคำนวณค่าประมาณ x n +1 จำเป็นต้องคำนวณค่าประมาณสองค่าก่อนหน้านี้ x n และ x n - 1 และโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ในการวนซ้ำครั้งแรก เราจำเป็นต้องทราบค่าเริ่มต้นสองค่า x 0 และ x 1 .

สูตร (2.20) คือ สูตรการคำนวณของวิธีซีแคนท์. บนมะเดื่อ 2.9 แสดงภาพประกอบทางเรขาคณิตของวิธีซีแคนต์

ประมาณอื่น xจะได้ n +1 เป็นจุดตัดกับแกน วัวตัดการเชื่อมต่อจุดของกราฟของฟังก์ชัน ฉ(x) พร้อมพิกัด ( x n -1 , ฉ(x n - 1)) และ ( xน ฉ(xน)).

วิธีการบรรจบกัน . การบรรจบกันของวิธีเซแคนต์ถูกกำหนดโดยทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบท 2.4 อนุญาต x* - รากของสมการอย่างง่าย ฉ(x) = 0 และในบางพื้นที่ของรูทฟังก์ชันนี้ ฉเป็นสองเท่าอย่างต่อเนื่องหาอนุพันธ์ได้ และ ฉ"(x) 0. จากนั้นจะมีพื้นที่ใกล้เคียงเล็กน้อยของรูท x* นั้นสำหรับการเลือกค่าประมาณเริ่มต้นโดยพลการ x 0 และ x 1 จากย่านนี้ ลำดับวนซ้ำที่กำหนดโดยสูตร (2.20) จะมาบรรจบกัน และการประมาณนั้นถูกต้อง:

|x n+ 1 -x * | ค|x น -x * | หน้า , น 0, หน้า= 1.618. (2.21)

การเปรียบเทียบค่าประมาณ (2.15) และ (2.21) แสดงให้เห็นว่า หน้า< 2, и метод секущих сходится медленнее, чем метод Ньютона. Но в методе Ньютона на каждой итерации надо вычислять и функцию, и производную, а в методе секущих - только функцию. Поэтому при одинаковом объеме вычислений в методе секущих можно сделать примерно вдвое больше итераций и получить более высокую точность.

เช่นเดียวกับวิธีของนิวตัน หากเลือกค่าประมาณเริ่มต้นไม่สำเร็จ (ห่างไกลจากรากศัพท์) วิธีซีแคนต์อาจแตกต่างออกไป นอกจากนี้การประยุกต์ใช้วิธีการแยกส่วนยังมีความซับซ้อนเนื่องจากตัวหารของสูตรการคำนวณของวิธีการ (2.20) รวมถึงความแตกต่างในค่าของฟังก์ชัน ใกล้ราก ความแตกต่างนี้มีขนาดเล็ก และวิธีการจะไม่เสถียร

เกณฑ์การสิ้นสุด เกณฑ์การสิ้นสุดสำหรับการวนซ้ำของวิธีซีแคนต์จะเหมือนกับวิธีนิวตัน เพื่อความแม่นยำที่กำหนด >

|x น -x n- 1 | < . (2.22)

ตัวอย่าง 2.4

เราใช้วิธีซีแคนต์ในการคำนวณ รากบวกสมการ 4(1 - x 2)-อี x= 0 ด้วยความแม่นยำ = 10 -3 .

รากของสมการนี้อยู่ในช่วง ตั้งแต่ ฉ(0) = 3 > 0 และ ฉ (1) = -อี < 0. Подсчитаем вторую производную функции: ฉ"(x) = -8 - จ x . สภาพ ฉ(x)ฉ"(x) 0 เสร็จแล้วสำหรับจุด ข= 1. เราใช้ค่าประมาณเบื้องต้น x 0 = ข= 1. เราใช้ค่าเริ่มต้นที่สอง x 1 = 0.5 มาทำการคำนวณตามสูตรการคำนวณ (2.20) ผลลัพธ์แสดงในตาราง 2.4.

ตารางที่ 2.4

	x น

วิธีตำแหน่งเท็จ

พิจารณาการปรับเปลี่ยนวิธีการของนิวตันอีกครั้ง

ให้มันรู้ว่ารากง่าย x* สมการ ฉ(x) = 0 อยู่ในช่วง [ ก ข] และเงื่อนไข ฉ(x)ฉ"(x) 0. ลองใช้จุดนี้เป็นค่าประมาณเริ่มต้น ปล่อยให้เป็นเช่นนี้ ข. ใส่กันเถอะ x 0 = ก.เราจะดำเนินการจากจุด ข=(ข, ฉ(ข)) เส้นตรงผ่านฟังก์ชันจุดที่อยู่บนกราฟ ข นพร้อมพิกัด ( x น ฉ(x น), n = 0, 1, … . abscissa ของจุดตัดของเส้นดังกล่าวกับแกน วัวมีการประมาณอื่น x n+ 1 .

ภาพประกอบทางเรขาคณิตของวิธีนี้แสดงในรูปที่ 2.10.

เส้นตรงในรูปนี้แทนที่แทนเจนต์ในวิธีของนิวตัน (รูปที่ 2.8) การแทนที่นี้ขึ้นอยู่กับความเท่าเทียมกันโดยประมาณ

ฉ"(x น) . (2.23)

ให้เราแทนที่อนุพันธ์ในสูตรการคำนวณของนิวตัน (2.13) ฉ"(x น) ด้านขวาความเท่าเทียมกันโดยประมาณ (2.23) เป็นผลให้เราได้รับ สูตรการคำนวณวิธีตำแหน่งเท็จ:

x n+1 = xน-.. (2.24)

วิธีตำแหน่งเท็จมีเพียงการบรรจบกันเชิงเส้นเท่านั้น การบรรจบกันยิ่งสูง ส่วนยิ่งเล็ก [ ก ข].

เกณฑ์การสิ้นสุด เกณฑ์การสิ้นสุดสำหรับการวนซ้ำของวิธีตำแหน่งเท็จจะเหมือนกับวิธีของนิวตัน สำหรับความแม่นยำที่กำหนด > 0 จะต้องดำเนินการคำนวณจนกว่าจะได้ค่าอสมการ

|x น -x n- 1 | < . (2.25)

ตัวอย่างที่ 2.5

ใช้วิธีตำแหน่งเท็จในการคำนวณรากของสมการ x 3 + 2x- 11 = 0 ด้วยความแม่นยำ = 10 -3 .

รากของสมการนี้อยู่ในช่วง ตั้งแต่ ฉ(1) = -8 < 0, а ฉ(2) = 1 > 0 เพื่อให้การบรรจบกันเร็วขึ้น เราใช้ส่วนที่แคบลง เนื่องจาก ฉ(1.9) < 0, а ฉ(2) > 0. อนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชัน ฉ(x) = x 3 + 2x- 11 เท่ากับ 6 x.สภาพ ฉ(x)ฉ"(x) 0 เสร็จแล้วสำหรับจุด ข= 2. เราใช้การประมาณเบื้องต้น x 0 = ก= 1.9 ตามสูตร (2.24) เรามี

x 1 = x 0 -. = 1.9 + 1.9254.

ดำเนินการตามกระบวนการวนซ้ำต่อไป เราได้รับผลลัพธ์ที่แสดงในตาราง 2.5.

ตารางที่ 2.5

	x น

วิธีการซีแคนท์

เมื่อหาเลขศูนย์ของฟังก์ชัน ฉซึ่งสำหรับการคำนวณ ฉ"(x)ยากบ่อย ทางเลือกที่ดีที่สุดวิธีของนิวตันคือวิธีซีแคนท์ อัลกอริทึมนี้เริ่มต้นด้วยตัวเลขเริ่มต้นสองตัว x 1 และ x 2 ในแต่ละขั้นตอน จะได้ x k+1 จาก x k และ x k-1 เป็นศูนย์เดียวของฟังก์ชันเชิงเส้นที่รับค่า f(x k) ที่ x k และ f(x k-1) ที่ x k- 1 . นี้ ฟังก์ชันเชิงเส้นแสดงถึงส่วนตัดของเส้นโค้ง y \u003d f (x) ผ่านจุดด้วย abscissas x k และ x k-1 - จึงเป็นที่มาของชื่อวิธี secant

ให้เป็น abscissas ของส่วนท้ายของคอร์ด เป็นสมการของส่วนที่มีคอร์ด ค้นหาค่าสัมประสิทธิ์และจากระบบสมการ:

ลบที่สองออกจากสมการแรก:

จากนั้นเราจะพบค่าสัมประสิทธิ์และ:

สมการจะอยู่ในรูปแบบ:

ดังนั้น ตอนนี้เราสามารถหาค่าประมาณแรกสำหรับรูทที่ได้จากวิธี secant:

ทีนี้มาดูพิกัดและทำซ้ำการดำเนินการทั้งหมดเพื่อค้นหาค่าประมาณใหม่สำหรับรูท ทางนี้, สูตรการวนซ้ำวิธี secant มีรูปแบบ:

ทำซ้ำการดำเนินการจนกว่าจะน้อยกว่าหรือเท่ากับ ตั้งค่าข้อผิดพลาด

ตัวอย่างการแก้ปัญหาด้วยวิธีซีแคนต์

ใน Delphi เราจะเขียน โปรแกรมในการคำนวณหารากของสมการด้วยวิธีซีแคนต์:

ขั้นตอน TForm1.Button1Click (ผู้ส่ง: TObject);

var ck1, x0, x1, x2, eps:จริง;

x1:=StrToFloat(Form1.Edit1.Text);

x2:=StrToFloat(Form1.Edit2.Text);

eps:=StrToFloat(Form1.Edite.Text);

(ปรับแต่งรูตด้วยรูปแบบวนซ้ำ)

x2:=x1-(x0-x1)*f(x1)/(f(x0)-f(x1));

จนถึงหน้าท้อง(x2-x1)

(การคำนวณขั้นสุดท้าย)

ck2:= (ck1-c01)/2+c02;

ck3:= (-ck1+c01)/2+c03 ;

ck4:=(-2*ck1+2*c01)/2+c04;

(ผลลัพธ์ออกในช่องบันทึก)

Form1.Memo2.clear ;

Form1.Memo2.Lines.Add("วิธีการห้าม");

Form1.Memo2.Lines.Add

("ck1 =" + FloatToStr(ck1));

Form1.Memo2.Lines.Add

("ck2 =" + FloatToStr(ck2));

Form1.Memo2.Lines.Add

("ck3 =" + FloatToStr(ck3));

Form1.Memo2.Lines.Add

("ck4 =" + FloatToStr(ck4));

วิธีคอร์ด ตัวอย่างวิธีคอร์ด
- วิธีการคำนวณซ้ำสำหรับการค้นหารากของสมการโดยประมาณ

• 1 คำอธิบายทางเรขาคณิตของวิธีซีแคนต์
• 2 คำอธิบายเกี่ยวกับพีชคณิตของวิธีการแบ่ง
• 3 วิธีคอร์ดพร้อมสูตรวนซ้ำ
• 4 ตัวอย่างการใช้วิธีการแยกส่วน
• 5 การบรรจบกันของวิธีการตัด
• 6 เกณฑ์และอัตราการบรรจบกันของวิธีคอร์ด
• 7 ภูมิหลังทางประวัติศาสตร์
• 8 รหัสตัวอย่าง
• 9 การปรับเปลี่ยน
• 10 ดูเพิ่มเติม
• 11 วรรณคดี
• 12 หมายเหตุ
• 13 ลิงค์

คำอธิบายทางเรขาคณิตของวิธีซีแคนต์

เราจะมองหาศูนย์ของฟังก์ชัน เลือกจุดเริ่มต้นสองจุดแล้วลากเส้นผ่านจุดเหล่านั้น มันจะตัดแกน x ที่จุดหนึ่ง ทีนี้มาหาค่าของฟังก์ชันด้วย abscissa กัน ชั่วคราวเราจะพิจารณารากในส่วน ให้จุดมี abscissa และอยู่บนกราฟ ตอนนี้แทนที่จะเป็นคะแนนและเราจะใช้จุดและจุด ตอนนี้ด้วยสองจุดนี้เราจะดำเนินการเดียวกันไปเรื่อย ๆ นั่นคือเราจะได้สองจุดและทำซ้ำการดำเนินการกับพวกเขา ส่วนที่เชื่อมต่อจุดสองจุดสุดท้ายตัดแกน abscissa ที่จุดซึ่งค่า abscissa สามารถพิจารณาได้โดยประมาณว่าเป็นราก การกระทำเหล่านี้จะต้องทำซ้ำจนกว่าเราจะได้ค่ารูทที่มีค่าประมาณที่ต้องการ

คำอธิบายเกี่ยวกับพีชคณิตของวิธี secant

ให้ - abscissas ของส่วนท้ายของคอร์ด - สมการของส่วนที่มีคอร์ด ค้นหาค่าสัมประสิทธิ์และจากระบบสมการ:

ลบที่สองออกจากสมการแรก:

จากนั้นเราจะพบค่าสัมประสิทธิ์และ:

สมการจะอยู่ในรูปแบบ:

ดังนั้น ตอนนี้เราสามารถหาค่าประมาณแรกสำหรับรูทที่ได้จากวิธี secant:

ทีนี้มาดูพิกัดและทำซ้ำการดำเนินการทั้งหมดเพื่อค้นหาค่าประมาณใหม่สำหรับรูท ดังนั้นสูตรวนซ้ำของวิธี secant จึงมีรูปแบบ:

ควรดำเนินการซ้ำจนกว่าจะมีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับค่าความผิดพลาดที่ระบุ

วิธีคอร์ดพร้อมสูตรวนซ้ำ

การวนซ้ำสามครั้งแรกของวิธีคอร์ด ฟังก์ชัน f(x) ถูกวาดด้วยสีน้ำเงิน คอร์ดถูกวาดด้วยสีแดง

บางครั้งเมธอด secant เรียกว่าเมธอดที่มีสูตรวนซ้ำ

วิธีนี้ถือเป็นการเปลี่ยนแปลงของวิธีการวนซ้ำอย่างง่ายและมีอัตราการบรรจบกันที่ช้ากว่า นอกจากนี้ เพื่อความชัดเจน เราจะเรียกวิธีนี้ว่า วิธีคอร์ด และวิธีที่อธิบายไว้ในหัวข้อที่แล้ว คือ วิธีเซคแคนต์

ตัวอย่างของการใช้วิธี secant

เราแก้สมการด้วยวิธีซีแคนต์ เราตั้งค่าความแม่นยำ ε=0.001 และใช้เป็นค่าประมาณเริ่มต้นสำหรับจุดสิ้นสุดของส่วนที่แยกรูต: และ, ค่าตัวเลข และถูกเลือกโดยพลการ การคำนวณจะดำเนินการตราบเท่าที่ความไม่เท่าเทียมกันเป็นที่พอใจ

ในตัวอย่างของเรา ค่าจะถูกแทนที่ และค่าจะถูกแทนที่ ค่าที่ได้จะเป็นค่าตัวเลขที่ได้จากสูตรนี้ นอกจากนี้ เราแทนค่าในสูตรด้วยค่าและค่า

เมื่อใช้สูตรนี้ เราได้รับอย่างสม่ำเสมอ (ตัวเลขนัยสำคัญที่ถูกต้องจะถูกขีดเส้นใต้): (รูปภาพจากวิธีคอร์ด แต่ไม่ใช่ secant โปรดแยกส่วน)

วิธีการซีแคนท์ กรณีแรก ; ; ; ; ; ; ; ; ;

ตรวจสอบว่าเมธอดนี้ใช้งานได้แม้ว่าและจะถูกเลือกในฝั่งเดียวกันของรูท (นั่นคือ หากรูทไม่ถูกแยกออกจากกันในส่วนระหว่างค่าประมาณเริ่มต้น) ใช้สมการเดียวกันและ จากนั้น: (รูปภาพไม่ได้มาจากวิธี secant อีกต่อไป แต่มาจากวิธีแบ่งขั้ว)

วิธีการซีแคนท์ กรณีที่สอง ; ; ; ; ; ; ; ;

เราได้ค่ารูทเท่ากันในจำนวนการวนซ้ำที่เท่ากัน

การบรรจบกันของวิธีซีแคนต์

การวนซ้ำของเมธอด secant จะรวมเข้ากับรูทหากค่าเริ่มต้นและใกล้เคียงกับรูทเพียงพอ วิธีการแยกนั้นรวดเร็ว ลำดับของการบรรจบกัน α เท่ากับอัตราส่วนทองคำ

ดังนั้น ลำดับของการบรรจบกันจึงมากกว่าเชิงเส้น แต่ไม่ใช่กำลังสองเหมือนวิธีน้องสาวของนิวตัน

ผลลัพธ์นี้ใช้ได้หากหาอนุพันธ์ได้สองครั้งและรูทไม่ใช่ผลคูณของ -

เช่นเดียวกับวิธีการเร็วส่วนใหญ่ การกำหนดเงื่อนไขการบรรจบกันสำหรับวิธีซีแคนต์เป็นเรื่องยาก หากจุดเริ่มต้นอยู่ใกล้รูทมากพอ เมธอดจะบรรจบกัน แต่ไม่มีคำจำกัดความทั่วไปของคำว่า "ใกล้พอ" การบรรจบกันของเมธอดถูกกำหนดโดยความ "หยัก" ของฟังก์ชัน ตัวอย่างเช่น หากมีจุดหนึ่งในช่วงเวลานั้น กระบวนการอาจไม่บรรจบกัน

เกณฑ์และอัตราการบรรจบกันของวิธีคอร์ด

ถ้า เป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้สองครั้งอย่างต่อเนื่อง และเครื่องหมายถูกรักษาไว้ในช่วงเวลาที่กำลังพิจารณา ดังนั้นค่าประมาณที่ได้จะรวมเข้ากับรูตแบบโมโนโทนิก หากรากของสมการอยู่ในส่วน อนุพันธ์และในช่วงเวลานี้จะต่อเนื่องกันและคงเครื่องหมายคงที่ จากนั้นจะสามารถพิสูจน์ได้ว่าข้อผิดพลาดของวิธีแก้ปัญหาโดยประมาณมีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์ นั่นคือ วิธีการบรรจบกันและบรรจบกัน ในอัตราความก้าวหน้าทางเรขาคณิต (ว่ากันว่ามีอัตราการลู่เข้าเชิงเส้น)

อ้างอิงประวัติศาสตร์

ไดโอแฟนทัสเป็นคนแรกที่ค้นพบคำตอบโดยประมาณของสมการลูกบาศก์ ซึ่งเป็นการวางรากฐานสำหรับวิธีคอร์ด ผลงานที่ยังหลงเหลืออยู่ของไดโอแฟนทัสรายงานเรื่องนี้ อย่างไรก็ตาม คนกลุ่มแรกที่เข้าใจวิธีการของเขาคือแฟร์มาต์ในศตวรรษที่ 17 และเป็นคนแรกที่อธิบายวิธีคอร์ดคือนิวตัน (1670s)

ตัวอย่างโค้ด

ตัวอย่างฟังก์ชันสำหรับคำนวณรูทโดยวิธีคอร์ดบนเซ็กเมนต์ในภาษา C/C++

สองเท่า f(double x) ( return sqrt(fabs(cos(x))) - x; // แทนที่ด้วยฟังก์ชันที่เรากำลังมองหารูท) // a, b - คอร์ดจำกัด, เอปไซลอน - ข้อผิดพลาดที่จำเป็น double findRoot( สองเท่า, สองเท่าของ b, ดับเบิลเอปไซลอน) ( ในขณะที่(fabs(b - a) > epsilon) ( a = b - (b - a) * f(b)/(f(b) - f(a)); b = a - (a - b) * f(a)/(f(a) - f(b)); ) // a - i-1, b - สมาชิก i-th กลับ b; )

การปรับเปลี่ยน

วิธีตำแหน่งเท็จแตกต่างจากวิธี secant เพียงแต่ว่าแต่ละครั้งจะไม่เก็บ 2 จุดสุดท้าย แต่จะเก็บจุดที่อยู่รอบรูท

ดูสิ่งนี้ด้วย

• วิธีของนิวตัน (วิธีสัมผัส)
• วิธีการวนซ้ำอย่างง่าย
• การแก้ไขพาราโบลาผกผัน

วรรณกรรม

1. เดมิโดวิช บี.พี. และ Maron I.A. พื้นฐานของคณิตศาสตร์เชิงคำนวณ - วิทยาศาสตร์, 2513. - ส. 664.
2. บัควาลอฟ, ชิดคอฟ, โคเบลคอฟ วิธีการเชิงตัวเลข. - วิทยาศาสตร์. - ไอ 5-94774-060-5.

หมายเหตุ

1. พีชคณิต
2. คณิตศาสตร์และประวัติของมัน จอห์น สติลเวลล์

ลิงค์

• การแก้สมการด้วยวิธีคอร์ดออนไลน์
• “แนวทางแก้ไข สมการพีชคณิต» บนเว็บไซต์ www.petrsu.ru
• "วิธีการแบ่งขั้ว" บนเว็บไซต์ www.epikoiros.narod.ru
• Y. Gubar, หลักสูตร "ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับ การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์» การบรรยาย 4: วิธีการเชิงตัวเลขสำหรับการแก้สมการไม่เชิงเส้น // Intuit.ru, 15/03/2550

วิธีคอร์ด วิธีคอร์ด gif วิธีคอร์ดออนไลน์ ตัวอย่างวิธีคอร์ด

ข้อมูลวิธีคอร์ดเกี่ยวกับ

กระทรวงศึกษาธิการและวิทยาศาสตร์แห่งสหพันธรัฐรัสเซีย

งบประมาณของรัฐบาลกลาง

สถาบันการศึกษา

การศึกษาระดับมืออาชีพที่สูงขึ้น

«รัฐซามารา

มหาวิทยาลัยสถาปัตยกรรมศาสตร์และการก่อสร้าง»

สาขา คณิตศาสตร์ประยุกต์และเทคโนโลยีคอมพิวเตอร์

เก่งและคณิตศาสตร์

คำแนะนำเชิงระเบียบวิธี

สำหรับงานในห้องปฏิบัติการ

ในวินัย "คณิตศาสตร์เชิงคำนวณ"

คำตอบของสมการไม่เชิงเส้นในเอ็กเซลและคณิตศาสตร์: วิธี. กฤษฎีกา /คอมพ์. , - Samara: SGASU, 20 น.

แนวทางได้รับการพัฒนาให้สอดคล้องกับรัฐ มาตรฐานการศึกษาศึกษาวินัย "คณิตศาสตร์เชิงคำนวณ"

พิจารณาการนำวิธีการทางตัวเลขไปใช้สำหรับการแก้สมการไม่เชิงเส้นและระบบสมการใน Excel และ MathCad มีการกำหนดงานที่หลากหลายสำหรับการปฏิบัติงานส่วนบุคคลและคำถามสำหรับการควบคุมตนเองและการทดสอบ

ออกแบบมาสำหรับนักเรียนพิเศษ 230201 - " ระบบข้อมูลและเทคโนโลยี” ของการศึกษาทุกรูปแบบ

ดุษฎีบัณฑิต น.

Ó รวบรวม 2555

ã SGASU, 2012

1.2 การแยกราก
1.5 วิธีคอร์ด
1.6 วิธีของนิวตัน (แทนเจนต์)
1.7 วิธีการแบบผสมผสาน
1.8 วิธีการวนซ้ำ
2.2 การแก้ระบบสมการไม่เชิงเส้นด้วยวิธีของนิวตัน
3 งานสำหรับงานห้องปฏิบัติการ
Lab No. 1 ไม่มีเครื่องมือแยกรูตและโซลูชันมาตรฐาน สมการเชิงเส้น
ห้องปฏิบัติการหมายเลข 2 การเปรียบเทียบวิธีการปรับแต่งรากของสมการไม่เชิงเส้น
ห้องปฏิบัติการหมายเลข 3 การแก้ระบบสมการไม่เชิงเส้น
ห้องปฏิบัติการหมายเลข 4 วิธีการเขียนโปรแกรมสำหรับการแก้สมการและระบบไม่เชิงเส้น
4 คำถามและการทดสอบการควบคุมตนเอง

1 การแก้สมการที่ไม่ใช่เชิงเส้น

1.1 ข้อมูลทั่วไปเกี่ยวกับการแก้สมการไม่เชิงเส้น

ตามกฎแล้ว สมการที่ไม่ใช่เชิงเส้น ปริทัศน์ ฉ(x)=0ไม่สามารถแก้ไขในเชิงวิเคราะห์ได้ สำหรับปัญหาในทางปฏิบัติ การหาค่าโดยประมาณก็เพียงพอแล้ว xซึ่งในแง่หนึ่งใกล้เคียงกับคำตอบที่แน่นอนของสมการ คตช.

ในกรณีส่วนใหญ่ การค้นหาวิธีแก้ปัญหาโดยประมาณจะเกี่ยวข้องกับสองขั้นตอน บน ขั้นตอนแรก แยกรากคือค้นหาส่วนดังกล่าวซึ่งภายในมีหนึ่งรูท บน ขั้นตอนที่สอง ชี้แจงรูตจากหนึ่งในกลุ่มเหล่านี้ เช่น ค้นหาค่าด้วยความแม่นยำที่ต้องการ

ความแม่นยำที่ได้รับสามารถประเมินได้ทั้ง "ตามฟังก์ชัน" (ที่จุดที่พบ xฟังก์ชันมีค่าใกล้เคียงกับ 0 เพียงพอ เช่น เงื่อนไข | ฉ(x)|≤อีฉ, ที่ไหน อีฉความถูกต้องที่ต้องการตามแกน y) หรือ "ตามอาร์กิวเมนต์" (พบส่วนย่อยที่เพียงพอ [ ก,ข]ข้างในมีรูทเช่น | ข–ก | ≤อีx, ที่ไหน อีxต้องการความแม่นยำบนแกน x)

1.2 การแยกราก

การแยกรากทำได้โดยการผสม กราฟิกและ วิเคราะห์การวิจัยฟังก์ชัน การศึกษาดังกล่าวขึ้นอยู่กับทฤษฎีบทไวเออร์สตราสซึ่งอ้างอิงจากส่วนที่ต่อเนื่องกัน [ ก,ข]ฟังก์ชั่น ฉ(x) และตัวเลขใดๆ ยซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไข ฉ(ก) ≤y≤ฉ(ข)มีจุดในส่วนนี้ xซึ่งฟังก์ชันมีค่าเท่ากับ ย. ดังนั้นสำหรับ ฟังก์ชันต่อเนื่องก็เพียงพอแล้วที่จะหาส่วนท้ายของฟังก์ชันที่มีสัญญาณต่างกัน และคุณมั่นใจได้ว่าส่วนนี้มีรากของสมการ ฉ(x)=0.

สำหรับวิธีการปรับแต่งหลายวิธี เป็นที่พึงปรารถนาว่าส่วนที่พบในขั้นตอนแรกจะมีรากของสมการเพียงรากเดียว เงื่อนไขนี้เป็นไปตามเงื่อนไขหากฟังก์ชันในช่วงเวลาเป็นแบบโมโนโทนิก สามารถตรวจสอบความเป็นโมโนโทนิกได้จากกราฟของฟังก์ชันหรือโดยเครื่องหมายของอนุพันธ์

ตัวอย่างค้นหาจำนวนเต็ม ทั้งหมดรากของสมการไม่เชิงเส้น วาย(x)=x3-10x+7=0ก) โดยการสร้างตาราง และ ข) โดยการสร้างกราฟ ค้นหารากของสมการในส่วนที่เลือกโดยใช้ตัวเลือก "การเลือกพารามิเตอร์" และ "ค้นหาวิธีแก้ปัญหา"

วิธีการแก้มาสร้างกันเถอะ สเปรดชีต excelซึ่งประกอบด้วยอาร์กิวเมนต์และค่าของฟังก์ชัน และเราสร้างโดยใช้มัน พล็อตกระจาย . รูปที่ 1 เป็นภาพรวมของโซลูชัน

กราฟแสดงว่าสมการมีสามรากที่เป็นของส่วน [-4, -3] และ ส่วนเหล่านี้สามารถระบุได้โดยการสังเกตการเปลี่ยนแปลงสัญญาณของฟังก์ชันในตาราง จากกราฟที่สร้างขึ้นเราสามารถสรุปได้ว่าในส่วนที่ระบุเป็นฟังก์ชัน ฉ(x) เป็นแบบโมโนโทน ดังนั้น แต่ละอันจึงมีเพียงหนึ่งรูทเท่านั้น

การวิเคราะห์แบบเดียวกันนี้สามารถทำได้ในแพ็คเกจ Mathcad ในการทำเช่นนี้ก็เพียงพอแล้วที่จะพิมพ์คำจำกัดความของฟังก์ชัน ฉ(x) โดยใช้ตัวดำเนินการกำหนด (:=) และข้อตกลงตามธรรมชาติ การดำเนินการทางคณิตศาสตร์และ คุณสมบัติมาตรฐาน, กำหนดลูปเพื่อเปลี่ยนอาร์กิวเมนต์ เช่น จากนั้นแสดงตารางค่าฟังก์ชัน​ (อยู่ในบรรทัดเดียวกันกับคำสั่ง x= ฉ(x)= ) และกราฟ สามารถระบุรอบได้ เช่น ด้วยคำสั่ง x:=-5,-4.5…5 . ขั้นตอนของวัฏจักรเกิดจากการตั้งค่าเริ่มต้นและค่าต่อไปนี้ของตัวแปรและก่อนค่าสุดท้ายของตัวแปรจะมีการวางเครื่องหมายอัฒภาคซึ่งจะปรากฏบนหน้าจอเป็นจุดไข่ปลา

https://pandia.ru/text/78/157/images/image002_56.jpg" width="640" height="334">

รูปที่ 1 - ตารางและกราฟสำหรับแยกรากของสมการที่ไม่ใช่เชิงเส้น

1.3 การปรับแต่งรากโดยใช้เครื่องมือ Excel และ Mathcad มาตรฐาน

ในการปรับแต่งรูททุกวิธีจำเป็นต้องตั้งค่าการประมาณเริ่มต้นซึ่งจะถูกปรับแต่ง หากสมการมีหลายราก จะพบหนึ่งในนั้นขึ้นอยู่กับค่าประมาณเริ่มต้นที่เลือก ด้วยการประมาณเริ่มต้นที่เลือกไม่สำเร็จ อาจไม่พบวิธีแก้ปัญหา จากผลลัพธ์ของขั้นตอนแรกของการคำนวณ ส่วนที่มีรากเดียวของสมการได้ถูกเลือกไว้แล้ว จุดใดๆ ของส่วนนี้จะสามารถนำมาใช้เป็นค่าประมาณเริ่มต้นได้

ใน Excel หากต้องการปรับแต่งค่าของราก คุณสามารถใช้ตัวเลือก "การเลือกพารามิเตอร์" และ "ค้นหาวิธีแก้ปัญหา" ตัวอย่างการออกแบบโซลูชันแสดงในรูปที่ 2 และ 3

https://pandia.ru/text/78/157/images/image004_31.jpg" width="501" height="175 src=">

รูปที่ 3 - ผลลัพธ์ของการใช้วิธีแก้สมการในเก่ง

ใน Mathcad หากต้องการปรับปรุงรากของสมการ คุณสามารถใช้ฟังก์ชันได้ ราก(….) หรือ บล็อกการตัดสินใจ. ตัวอย่างการใช้ฟังก์ชัน root(…) แสดงในรูปที่ 4 และบล็อกการตัดสินใจในรูปที่ 5 โปรดทราบว่าในบล็อกการตัดสินใจ (หลังส่วนหัวของบล็อก ที่ให้ไว้) ระหว่างด้านซ้ายและด้านขวาของสมการควรเป็น เครื่องหมายเท่ากับตัวหนา(ข้อมูลประจำตัว) ซึ่งสามารถรับได้โดยการเลือกจากแผงเครื่องมือที่เกี่ยวข้องหรือโดยการกดปุ่มพร้อมกัน Ctrlและ = .

243" ความสูง="31">

รูปที่ 5 - การแก้สมการโดยใช้บล็อกการแก้คณิตศาสตร์

อย่างที่คุณเห็น เครื่องมือมาตรฐานแต่ละชิ้นจะค้นหาคำตอบของสมการด้วยความแม่นยำที่แน่นอน ความแม่นยำนี้ขึ้นอยู่กับวิธีการที่ใช้ในบรรจุภัณฑ์และการตั้งค่าของบรรจุภัณฑ์ในระดับหนึ่ง การควบคุมความถูกต้องของผลลัพธ์ที่นี่ค่อนข้างยากและเป็นไปไม่ได้

ในเวลาเดียวกัน มันง่ายมากที่จะสร้างตารางของคุณเองหรือเขียนโปรแกรมที่ใช้วิธีการปรับแต่งรูทแบบใดแบบหนึ่ง คุณสามารถใช้เกณฑ์ความแม่นยำในการคำนวณที่ระบุโดยผู้ใช้ได้ที่นี่ ในขณะเดียวกันก็เข้าใจกระบวนการคำนวณได้โดยไม่ต้องอาศัยหลักการของ Mitrofanushka: "มีคนขับเขาจะพาคุณไป"

ด้านล่างนี้เป็นวิธีการทั่วไปบางส่วน หมายเหตุจุดที่ชัดเจน: สำหรับคนอื่น ๆ เงื่อนไขที่เท่าเทียมกัน วิธีการนั้นการปรับแต่งรากจะมีประสิทธิภาพมากขึ้นซึ่งพบผลลัพธ์ที่มีข้อผิดพลาดเดียวกันด้วย เล็กลงจำนวนของการประเมินฟังก์ชัน ฉ(x)(นอกจากนี้ยังได้รับความแม่นยำสูงสุดที่ หมายเลขเดียวกันการคำนวณฟังก์ชัน)

1.4 วิธีแบ่งส่วน

ในวิธีนี้ ในแต่ละขั้นตอน กลุ่มจะแบ่งออกเป็นสองส่วนเท่าๆ กัน จากนั้นพวกเขาเปรียบเทียบสัญญาณของฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของทั้งสองครึ่ง (ตัวอย่างเช่นโดยเครื่องหมายของผลคูณของค่าของฟังก์ชันที่ส่วนท้าย) กำหนดอันที่มีวิธีแก้ปัญหา (สัญญาณ ของฟังก์ชันต่อท้ายต้องต่างกัน) และ ทำให้ส่วนแคบลงโดยโอนขอบเขตไปยังจุดที่พบ ( กหรือ ข). เงื่อนไขการสิ้นสุดคือความเล็กของเซ็กเมนต์ที่มีรูท (“ ความแม่นยำใน x”) หรือความใกล้เคียงกับ 0 ของค่าฟังก์ชันที่อยู่ตรงกลางของส่วน (“ความแม่นยำใน y”) คำตอบของสมการคือตรงกลางของส่วนที่พบในขั้นตอนสุดท้าย

ตัวอย่าง. สร้างตารางเพื่อปรับแต่งรากของสมการ x3 –10 x+7=0 ในส่วนของ [-4, -3] โดยแบ่งครึ่งส่วน กำหนดจำนวนขั้นตอนที่ต้องดำเนินการโดยแบ่งครึ่งส่วนและความถูกต้องในกรณีนี้ เอ็กซ์,เพื่อให้เกิดความแม่นยำใน ยเท่ากับ 0.1; 0.01; 0.001.

วิธีการแก้คุณสามารถใช้สเปรดชีตเพื่อแก้ปัญหา ตัวประมวลผล Excelซึ่งทำให้บรรทัดดำเนินต่อไปได้โดยอัตโนมัติ ในขั้นตอนแรกให้ป้อนค่าของด้านซ้ายและด้านขวาของส่วนเริ่มต้นที่เลือกลงในตารางและคำนวณค่าของส่วนตรงกลางของส่วน กับ=(ก+ข)/2 จากนั้นเราจะแนะนำสูตรสำหรับการคำนวณฟังก์ชันที่จุด ก (ฉ(ก)) และยืด (คัดลอก) เพื่อคำนวณ ฉ(ค) และ ฉ(ข). ในคอลัมน์สุดท้าย เราคำนวณนิพจน์ ( ข-ก)/2 ระบุระดับความแม่นยำในการคำนวณ สูตรที่พิมพ์ทั้งหมดสามารถคัดลอกไปยังแถวที่สองของตารางได้

ในขั้นตอนที่สอง คุณต้องทำให้กระบวนการค้นหาครึ่งหนึ่งของเซ็กเมนต์ที่มีรูทเป็นไปโดยอัตโนมัติ ในการทำเช่นนี้ ให้ใช้ฟังก์ชันตรรกะ IF ( เมนู: InsertFunctionBoolean). สำหรับขอบซ้ายใหม่ของกลุ่ม เราตรวจสอบความจริงของเงื่อนไข ฉ(ก)*ฉ(ค)>0 หากเป็นจริง เราจะถือว่าตัวเลขนั้นเป็นค่าใหม่ของปลายด้านซ้ายของกลุ่ม ค ก, ค ก. ในทำนองเดียวกัน สำหรับขอบด้านขวาใหม่ของกลุ่ม เราจะตรวจสอบความจริงของเงื่อนไข ฉ(ค)* ฉ(ข)>0 หากเป็นจริง เราจะถือว่าตัวเลขนั้นเป็นค่าใหม่ทางด้านขวาสุดของส่วน ค(เนื่องจากเงื่อนไขนี้แสดงว่ารูทในช่วงเวลา [ ค, ข] ไม่) มิฉะนั้น ให้ปล่อยค่าไว้ ข.

บรรทัดที่สองของตารางสามารถดำเนินการต่อ (คัดลอก) สำหรับจำนวนบรรทัดถัดไปที่ต้องการ

กระบวนการวนซ้ำจะสิ้นสุดลงเมื่อค่าถัดไปในคอลัมน์สุดท้ายมีค่าน้อยกว่าความแม่นยำที่ระบุ เช่น ในกรณีนี้ ค่าตรงกลางของส่วนในการประมาณครั้งล่าสุดจะถือเป็นค่าประมาณของรากที่ต้องการของสมการไม่เชิงเส้น รูปที่ 6 แสดงภาพรวมของโซลูชัน หากต้องการสร้างกระบวนการที่คล้ายกันใน Mathcad คุณสามารถใช้แบบฟอร์มที่คล้ายกับที่แสดงในรูปที่ 7 จำนวนขั้นตอน N อาจแตกต่างกันไปจนกว่าจะมีความแม่นยำที่ต้องการในตารางผลลัพธ์ ตารางจะยาวขึ้นหรือสั้นลงโดยอัตโนมัติ

ดังนั้น หนึ่งในสามรากของสมการไม่เชิงเส้น x 3 – 10x+ 7=0 พบค่าความแม่นยำ e=0.0001 คือ x= - 3.46686. อย่างที่เราเห็น มันเป็นของกลุ่ม [-4; -3].

https://pandia.ru/text/78/157/images/image018_6.jpg" width="563" height="552 src=">

รูปที่ 7 - การปรับแต่งรากโดยแบ่งส่วนออกเป็นครึ่งส่วนคณิตศาสตร์

1.5 วิธีคอร์ด

ในวิธีการนี้ ฟังก์ชันไม่เชิงเส้น ฉ(x)ในช่วงคั่น [ ก ข] ถูกแทนที่ด้วยเส้นตรง - สมการของคอร์ด เช่น เส้นตรงที่เชื่อมต่อจุดขอบเขตของกราฟในส่วน เงื่อนไขสำหรับการบังคับใช้วิธีนี้คือความซ้ำซากจำเจของฟังก์ชันในส่วนเริ่มต้น ซึ่งรับประกันความเป็นเอกลักษณ์ของรูตในส่วนนี้ การคำนวณด้วยวิธีคอร์ดนั้นคล้ายกับการคำนวณโดยวิธีการแบ่งครึ่งส่วน แต่ตอนนี้ในแต่ละขั้นตอน จุดใหม่ xภายในส่วน [ ก, ข] คำนวณโดยใช้สูตรใดๆ ต่อไปนี้:

(x) > 0 ) หรือขอบเขตด้านขวา: x0 = ข(ถ้า ฉ (ข) ฉ "(x)> 0). การคำนวณค่าประมาณใหม่ในขั้นตอนต่อไป ผม+1 ผลิตโดยสูตร:

https://pandia.ru/text/78/157/images/image021_4.jpg" width="596" height="265 src=">

รูปที่ 8 - การปรับแต่งรูทด้วยวิธีแทนเจนต์ใน Eเอ็กซ์เซล

การคำนวณใน Mathcad ดำเนินการในลักษณะเดียวกัน ในเวลาเดียวกัน การมีอยู่ของโอเปอเรเตอร์ในแพ็คเกจนี้ช่วยผ่อนปรนอย่างมีนัยสำคัญซึ่งจะคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยอัตโนมัติ

องค์ประกอบที่ใช้เวลานานที่สุดในการคำนวณของนิวตันคือการคำนวณอนุพันธ์ในแต่ละขั้นตอน

สามารถใช้ได้ภายใต้เงื่อนไขบางประการ ทำให้วิธีการของนิวตันง่ายขึ้นซึ่งมีการคำนวณอนุพันธ์เพียงครั้งเดียว - ที่จุดเริ่มต้น ในกรณีนี้จะใช้สูตรที่แก้ไขแล้ว

.

โดยธรรมชาติแล้วต้องใช้วิธีการที่เรียบง่ายตามกฎ มากกว่าขั้นตอน

หากการคำนวณอนุพันธ์เกี่ยวข้องกับปัญหาร้ายแรง (ตัวอย่างเช่น หากฟังก์ชันไม่ได้ถูกกำหนดโดยนิพจน์การวิเคราะห์ แต่โดยโปรแกรมที่คำนวณค่าของมัน) จะใช้ วิธีการแก้ไขนิวตัน เรียก วิธีการซีแคนท์. ที่นี่อนุพันธ์คำนวณโดยประมาณจากค่าของฟังก์ชันที่จุดสองจุดติดต่อกัน นั่นคือใช้สูตร

.

ในวิธีการ secant ไม่จำเป็นต้องระบุจุดเริ่มต้นหนึ่งจุด แต่มีจุดเริ่มต้นสองจุด - x0 และ x1 . จุด x1มักจะได้รับจากการเปลี่ยนแปลง x0ไปยังขอบเขตอื่นของเซกเมนต์ด้วยจำนวนเล็กน้อย เช่น 0.01

1.7 วิธีการแบบผสมผสาน

มันสามารถแสดงให้เห็นว่าถ้าในส่วนเริ่มต้นของฟังก์ชัน ฉ(x)สัญญาณของอนุพันธ์อันดับหนึ่งและอันดับสองยังคงไม่เปลี่ยนแปลง จากนั้นวิธีการของคอร์ดและนิวตันจะเข้าใกล้รากจากจุดต่างๆ ที่ วิธีการรวมกันใช้ทั้งสองอัลกอริทึมพร้อมกันเพื่อเพิ่มประสิทธิภาพในแต่ละขั้นตอน ในกรณีนี้ ช่วงเวลาที่มีรากจะลดลงทั้งสองด้าน ซึ่งนำไปสู่เงื่อนไขอื่นสำหรับยุติการค้นหา การค้นหาสามารถหยุดได้ทันทีที่ระหว่างช่วงที่ได้รับในขั้นตอนต่อไป ค่าของฟังก์ชันกลายเป็นโมดูโลน้อยกว่าข้อผิดพลาดที่กำหนดไว้ล่วงหน้า อีฉ.

หากเป็นไปตามกฎที่กำหนดข้างต้น วิธีของนิวตันถูกนำไปใช้กับขอบเขตด้านขวาของส่วน สูตรต่อไปนี้จะถูกใช้สำหรับการคำนวณ:

https://pandia.ru/text/78/157/images/image025_10.gif" width="107" height="45 src=">

หากใช้วิธีของนิวตันกับขอบเขตด้านซ้าย - ในสูตรก่อนหน้า การกำหนดจะกลับด้าน กและ ข.

1.8 วิธีการวนซ้ำ

เมื่อต้องการใช้วิธีนี้ สมการเดิม ฉ(x)=0แปลงเป็นแบบฟอร์ม: x=ย(เอ็กซ์). จากนั้นเลือกค่าเริ่มต้น x0แล้วแทนที่ทางด้านซ้ายของสมการ จะได้ เข้า กรณีทั่วไป, x1 = ย(x0)¹ x0¹ ย(x1), เพราะว่า x0นำมาโดยพลการและไม่ใช่รากของสมการ มูลค่าที่ได้รับ x1ถือเป็นการประมาณรากศัพท์อีกอย่างหนึ่ง มันถูกแทนที่อีกครั้งทางด้านขวาของสมการและได้ ค่าต่อไป x2=ย(x1)). การคำนวณดำเนินต่อไปตามสูตร xi+1=ย(สิบเอ็ด). ลำดับผลลัพธ์คือ: x0, x1, x2, x3 x4,...บรรจบกับรากภายใต้เงื่อนไขบางประการ คตช.

สามารถแสดงได้ว่ากระบวนการวนซ้ำมาบรรจบกันภายใต้เงื่อนไข
|ย’ (x) | < 1 на [ก, ข].

มีอยู่ วิธีต่างๆการแปลงสมการ ฉ(x)= 0 ถึงใจดี ย(เอ็กซ์) = เอ็กซ์และในบางกรณี บางส่วนจะนำไปสู่การบรรจบกัน และอื่น ๆ ไปสู่กระบวนการคำนวณที่แตกต่างกัน

วิธีหนึ่งคือการใช้สูตร

https://pandia.ru/text/78/157/images/image027_10.gif" width="188" height="44 src=">

ที่ไหน ม= สูงสุด | ย’ (x)| บน [ ก, ข].

2 การแก้ระบบสมการไม่เชิงเส้น

2.1 ข้อมูลทั่วไปเกี่ยวกับการแก้ระบบสมการไม่เชิงเส้น

ระบบ นสมการไม่เชิงเส้นด้วย นไม่ทราบ x1, x2, ..., xnเขียนในรูปแบบ:

ที่ไหน F1, F2,…, ฉเป็นฟังก์ชันของตัวแปรอิสระ ซึ่งมีตัวแปรที่ไม่ใช่เชิงเส้นอยู่ด้วย

ในกรณีของระบบสมการเชิงเส้น คำตอบของระบบคือเวกเตอร์ เอ็กซ์* ซึ่งเมื่อแทนที่แล้ว จะเปลี่ยนสมการทั้งหมดของระบบให้เป็นตัวตนพร้อมกัน

https://pandia.ru/text/78/157/images/image030_8.gif" width="191" height="56">

ค่าเริ่มต้น x0 และ ย0 กำหนดแบบกราฟิก เพื่อหาค่าประมาณต่อเนื่องกัน (สิบเอ็ด+1 , ยี่+1 ) ใช้เวกเตอร์ของค่าฟังก์ชันและเมทริกซ์ของค่าของอนุพันธ์ตัวแรกที่คำนวณที่จุดก่อนหน้า (สิบเอ็ด, ยี่) .

https://pandia.ru/text/78/157/images/image032_5.gif" width="276" height="63 src=">

ในการคำนวณค่าประมาณใหม่ในขั้นตอน ฉัน +1ใช้สูตรเมทริกซ์

https://pandia.ru/text/78/157/images/image034_4.gif" width="303" height="59 src=">

สูตรข้างต้นเขียนง่ายเป็นพิเศษใน Mathcad ซึ่งมีตัวดำเนินการสำหรับคำนวณอนุพันธ์และการดำเนินการกับเมทริกซ์ อย่างไรก็ตามเมื่อ การใช้งานที่ถูกต้อง การดำเนินการเมทริกซ์สูตรเหล่านี้เขียนใน Excel ค่อนข้างง่าย จริงที่นี่จำเป็นต้องได้รับสูตรสำหรับการคำนวณอนุพันธ์ล่วงหน้า นอกจากนี้ยังสามารถใช้ Mathcad เพื่อคำนวณอนุพันธ์ในเชิงวิเคราะห์ได้อีกด้วย

2.3 การแก้ระบบสมการไม่เชิงเส้นด้วยวิธีวนซ้ำ

เพื่อนำวิธีการเหล่านี้ไปใช้ ระบบสมการดั้งเดิมจะต้องเป็น การแปลงเชิงพีชคณิตแสดงตัวแปรแต่ละตัวอย่างชัดเจนในแง่ของตัวแปรอื่น ๆ สำหรับกรณีของสมการสองสมการที่มีนิรนามสองตัว ระบบใหม่จะมีลักษณะ

https://pandia.ru/text/78/157/images/image036_5.gif" width="114" height="57 src=">

ถ้าหนึ่งในการแก้ปัญหาของระบบและ ค่าเริ่มต้น x0 และ ย0 อยู่ในพื้นที่ งกำหนดโดยความไม่เท่าเทียมกัน: ก ≤ x ≤ ข, ค ≤ ย ≤ งแล้วคำนวณด้วยวิธี การวนซ้ำอย่างง่ายมาบรรจบกันเมื่อดำเนินการในภูมิภาค งอัตราส่วน:

https://pandia.ru/text/78/157/images/image038_5.gif" width="75 height=48" height="48">< 1.

ที่ วิธีการวนซ้ำของ Seidelสำหรับการคำนวณแต่ละครั้งจะใช้ค่าที่แม่นยำที่สุดที่พบแล้วสำหรับแต่ละตัวแปร สำหรับกรณีที่พิจารณาจากสองตัวแปร ตรรกะดังกล่าวจะนำไปสู่สูตร

0 "style="border-collapse:collapse;border:none">

เครื่องมือ (ตัวเลือก)

การประมาณเริ่มต้น

รากx

ฉ(x)

3. เรียงลำดับผลลัพธ์ตามความถูกต้องของโซลูชัน

ไม่สะดวกเสมอไปที่จะหานิพจน์เชิงวิเคราะห์สำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ซึ่งในกรณีนี้อาจใช้วิธีซีแคนต์ได้

ในการเริ่มกระบวนการวนซ้ำ จำเป็นต้องตั้งค่าประมาณเริ่มต้นสองค่า เอ็กซ์ 0 และ เอ็กซ์ 1 .

ถ้า ก เอ็กซ์ 0 และ x 1 อยู่ใกล้กันมากพอ จากนั้นอนุพันธ์สามารถแทนที่ด้วยค่าโดยประมาณในรูปแบบของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันเท่ากับ
ถึงอัตราส่วนของการเพิ่มอาร์กิวเมนต์เท่ากับ ( x 1 – x 0 ):

(1.4)

ดังนั้น สูตรสำหรับวิธีซีแคนต์สามารถหาได้จากสูตรของนิวตัน (1.2) โดยแทนที่อนุพันธ์ด้วยนิพจน์ (1.4) และเขียนเป็น:

(1.5)

อย่างไรก็ตามควรจำไว้ว่าในกรณีนี้ค่าของฟังก์ชันไม่จำเป็น
และ
แน่นอนว่ามี สัญญาณที่แตกต่างกันเช่นเดียวกับวิธีแบ่งครึ่ง

กระบวนการค้นหารูทด้วยวิธี secant จะถือว่าสมบูรณ์เมื่อตรงตามเงื่อนไขต่อไปนี้:

(6)

วิธีซีแคนต์ค่อนข้างด้อยกว่าวิธีนิวตันในเรื่องอัตราการลู่เข้า แต่ไม่ต้องการการคำนวณอนุพันธ์ทางด้านซ้ายของสมการ

ดังนั้น ในการใช้วิธี secant จำเป็นต้องมี:

ผลของการ งานในห้องปฏิบัติการเป็นโปรแกรมที่ใช้หนึ่งในวิธีการที่อธิบายไว้พร้อมกับการแก้ปัญหาของกรณีทดสอบตามแต่ละงานที่ได้รับ

1. การแก้ระบบสมการเชิงเส้น

   1. บทบัญญัติทั่วไป

เมื่อแก้ปัญหาประยุกต์จำนวนมาก จำเป็นต้องค้นหาต้นตอของ SLAE วิธีการแก้ปัญหา SLAE สามารถแบ่งออกเป็นสองประเภทใหญ่ ๆ ได้แก่ แบบตรงและแบบวนซ้ำ

วิธีการแก้ปัญหาที่แน่นอน เช่น วิธีการ เกาส์โดยทั่วไป ให้ค่าที่แน่นอนของรากของ SLAE ในขณะที่คอมไพล์โปรแกรมถูกต้อง ความแม่นยำจะพิจารณาจากข้อผิดพลาดที่เกี่ยวข้องกับการปัดเศษและการแสดงตัวเลขในคอมพิวเตอร์เท่านั้น

วิธีการวนซ้ำสำหรับการแก้ปัญหา SLAE นั้นมีลักษณะเฉพาะโดยข้อเท็จจริงที่ว่า โดยทั่วไปแล้ว พวกเขาสามารถให้คำตอบที่แน่นอนของระบบได้ก็ต่อเมื่อเป็นขีดจำกัดของลำดับอนันต์ของเวกเตอร์ ในกรณีนี้ ค่าประมาณเริ่มต้นจะถูกค้นหาด้วยวิธีอื่นหรือตั้งค่าโดยพลการ หากตรงตามข้อกำหนดบางประการ กระบวนการวนซ้ำที่ผสานเข้ากับโซลูชันสามารถรับได้ค่อนข้างเร็ว เมธอดประเภทนี้ประกอบด้วย: เมธอด การทำซ้ำและวิธีการ ไซเดล

1. วิธีเกาส์

พิจารณาปัญหาของการแก้ระบบสมการของแบบฟอร์ม:

(2.1)

เป็นที่ทราบกันดีว่าระบบ (2.1) มีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะหากเมทริกซ์ไม่เป็นเอกพจน์ (เช่น ดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ไม่ใช่ศูนย์) หากเมทริกซ์เสื่อมสภาพ ระบบสามารถมีคำตอบได้ไม่จำกัดจำนวน (หากอันดับของเมทริกซ์และอันดับของเมทริกซ์ขยายที่ได้จากการเพิ่มเทอมอิสระในคอลัมน์เท่ากัน) หรือไม่มีคำตอบเลย (ถ้า อันดับของเมทริกซ์และเมทริกซ์ขยายไม่ตรงกัน)

ระบบ (2.1) สามารถเขียนในรูปเมทริกซ์-เวกเตอร์ AX = B

โดยที่ A คือเมทริกซ์สัมประสิทธิ์ของระบบ ซึ่งมี n แถวและ n คอลัมน์

B - กำหนดเวกเตอร์ของส่วนที่ถูกต้อง

X คือเวกเตอร์ที่ต้องการ

วิธีเกาส์ ขึ้นอยู่กับวิธีการยกเว้นที่ทราบจากหลักสูตรพีชคณิตของโรงเรียนตามปกติ เมื่อรวมสมการของระบบด้วยวิธีใดวิธีหนึ่ง หนึ่งในสมการที่ไม่รู้จักจะถูกแยกออกในทุกสมการ ยกเว้นสมการเดียว จากนั้นจะไม่รวมรายการอื่นที่ไม่รู้จัก รายการที่สาม และอื่น ๆ

พิจารณาระบบสมการขนาด
. อัลกอริทึมการกำจัด Gaussian ประกอบด้วยหลายขั้นตอน หากระบบเขียนในรูปแบบ (2.1) ขั้นตอนแรกคือการกำจัด จากสมการ n-1 สุดท้าย สิ่งนี้ทำได้โดยการลบออกจากสมการที่สองของสมการแรกคูณด้วย
จากสมการที่สามของสมการแรก คูณด้วย
ฯลฯ กระบวนการนี้นำไปสู่ระบบสมการที่แปลงแล้ว:

(2.2)

,
, ผม, j=2,….,น.

ตอนนี้ใช้กระบวนการเดียวกันกับสมการ n-1 สุดท้ายของระบบ (2.2) เรากำจัด จากสมการ n-2 สุดท้าย เป็นต้น จนลดขนาดทั้งระบบเหลือ รูปทรงสามเหลี่ยม:

, (2.3)

โดยที่ตัวยกโดยทั่วไประบุว่าค่าสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกันมีการเปลี่ยนแปลงกี่ครั้ง จบเฟสนี้ การยกเว้นโดยตรง (หรือการลดเป็นรูปสามเหลี่ยม) ของอัลกอริธึมการกำจัดแบบเกาส์เซียน วิธีแก้ปัญหาของระบบสามเหลี่ยม (2.3) นั้นหาได้ง่ายแล้ว ขั้นตอนการทดแทนกลับ, ในระหว่างที่แก้สมการของระบบ (2.3) ในลำดับย้อนกลับ:

(2.4)

ในกรณีนี้ ค่าสัมประสิทธิ์ในแนวทแยงทั้งหมดจะต้องแตกต่างจากศูนย์

มีการปรับเปลี่ยนโครงร่างการคำนวณจำนวนมากที่ใช้วิธีการนี้ เสียน. ตัวอย่างเช่น พิจารณาวงจรคอมแพค เสียน. ตัวอย่างเช่น มีการเลือก SLAE ของลำดับที่ 3

4*x1 - 9*x2 + 2*x3 = 2

2 *x 1 - 4*x 2 + 4*x 3 = 3

1*x 1 + 2*x 2 + 2*x 3 = 1,

ซึ่งเขียนในรูปเมทริกซ์ได้ดังนี้

(2.5)

ขั้นตอนพื้นฐานของการกำจัดแบบเกาส์เซียนคือการกำจัดตัวแปรตัวแรก x 1 จากสมการที่สองและสาม ถ้าเราลบสมการแรกคูณด้วย 0.5 จากสมการที่สองของระบบ และลบสมการแรกคูณด้วย –0.25 จากสมการที่สาม เราก็จะได้ระบบสมการที่สมมูลกัน:

(2.6)

ขั้นตอนหลักที่สองคือการแยกออก จากสมการที่สาม ซึ่งทำได้โดยการลบออกจากสมการที่สามด้วยสมการที่สองคูณด้วย –0.5 ซึ่งจะส่งผลให้ระบบมีรูปแบบดังนี้

(2.7)

การดำเนินการที่ดำเนินการเรียกว่า การแปลงสตริงเบื้องต้น ณ จุดนี้ ส่วนแรกของอัลกอริธึมการกำจัดแบบเกาส์เซียน ซึ่งมักจะเรียกว่า ข้อยกเว้นโดยตรง หรือ ลดลงเป็นรูปสามเหลี่ยม ส่วนนี้จะสิ้นสุดลงเมื่อองค์ประกอบทั้งหมดของแถวสุดท้ายของระบบเปลี่ยนเป็นศูนย์ ยกเว้นด้านขวาสุด

ส่วนที่สองของอัลกอริทึมประกอบด้วยการแก้ปัญหาที่ได้รับ ระบบสามเหลี่ยมบน นี้ทำได้อย่างง่ายดายผ่านกระบวนการ การทดแทนกลับ สมการสุดท้ายของระบบ (2.7) มีรูปแบบ 4 x 3 =2.5 . เพราะเหตุนี้, x 3 =0.625 . ตอนนี้แทนค่านี้เป็นสมการที่สอง: 0.5 . x 2 +3 . 0.625=2 .

จากที่นี่ x 2 =0.25 . การแทนค่าเหล่านี้ และ ในสมการแรกให้ หรือ x 1 =0.75 . ในการตรวจสอบคำตอบที่พบ เราทำการคูณ

,

ผลลัพธ์ที่ตรงกับด้านขวาของ (2.5)

กระบวนการกำจัด Gaussian สามารถเขียนอย่างกะทัดรัดเป็นอัลกอริทึม

การยกเว้นโดยตรง

สำหรับ k=1,….., n-1,

สำหรับ i=k+1,….n:

;

สำหรับ j=k,…..,n:

การทดแทนกลับ

สำหรับ k=n, n-1,….., 1:

เมื่อรวบรวมโปรแกรมคอมพิวเตอร์ที่ใช้อัลกอริทึมนี้ เราควรใส่ใจกับข้อเท็จจริงที่ว่าองค์ประกอบถูกแปลงตามลำดับในระหว่างกระบวนการนี้
สามารถเขียนลงในเซลล์หน่วยความจำเดียวกันซึ่งมีองค์ประกอบของเมทริกซ์ดั้งเดิมอยู่ . สิ่งนี้ระบุโดยบรรทัดที่ห้าของอัลกอริทึม หากทำเสร็จแล้วเมทริกซ์ดั้งเดิมจะเสียหาย

เมื่อพัฒนาอัลกอริทึมที่ใช้วิธีการ เสียนในระยะแรกขอแนะนำให้แปลงเมทริกซ์ดั้งเดิมเป็นรูปแบบเมื่อค่าสูงสุดเรียงกันในแนวทแยงหลัก ค่าสัมบูรณ์ค่าสัมประสิทธิ์ นอกจากนี้ หากค่าสัมประสิทธิ์อย่างน้อยหนึ่งค่าบนเส้นทแยงมุมหลักเป็นศูนย์ ให้ใช้วิธีการนี้ เสียน เป็นสิ่งต้องห้าม