คำตอบของสมการเชิงเส้นโดยวิธีเมทริกซ์ วิธีการแก้ปัญหาเมทริกซ์ Slough: ตัวอย่างของการแก้โดยใช้เมทริกซ์ผกผัน

วิธีเมทริกซ์ โซลูชั่น SLAUใช้ในการแก้ระบบสมการซึ่งจำนวนสมการตรงกับจำนวนไม่ทราบค่า วิธีนี้ใช้ได้ดีที่สุดในการแก้ปัญหาระบบที่มีลำดับต่ำ วิธีเมทริกซ์สำหรับการแก้ระบบสมการเชิงเส้นขึ้นอยู่กับการประยุกต์ใช้คุณสมบัติของการคูณเมทริกซ์

ด้วยวิธีนี้ กล่าวอีกนัยหนึ่ง วิธีเมทริกซ์ผกผันเรียกอย่างนั้น เนื่องจากคำตอบถูกลดขนาดเป็นสมการเมทริกซ์ปกติ สำหรับคำตอบนั้น คุณต้องหาเมทริกซ์ผกผัน

วิธีการแก้ปัญหาเมทริกซ์ SLAE ที่มีดีเทอร์มีแนนต์มากกว่าหรือน้อยกว่าศูนย์มีดังนี้:

สมมติว่ามี SLE (ระบบสมการเชิงเส้น) ด้วย นไม่รู้จัก (เหนือฟิลด์ใดก็ได้):

ดังนั้นจึงง่ายต่อการแปลเป็นรูปแบบเมทริกซ์:

ขวาน=B, ที่ไหน อาเป็นเมทริกซ์หลักของระบบ บีและ X- คอลัมน์ของสมาชิกอิสระและวิธีแก้ปัญหาของระบบ ตามลำดับ:

คูณสมการเมทริกซ์นี้ทางซ้ายด้วย เอ -1- เมทริกซ์ผกผันเป็นเมทริกซ์ A: A -1 (AX)=A -1 B.

เพราะ A -1 A=E, วิธี, X=A −1 B. ด้านขวาของสมการจะเป็นคอลัมน์ของคำตอบของระบบตั้งต้น เงื่อนไขสำหรับการบังคับใช้วิธีเมทริกซ์คือความไม่เสื่อมของเมทริกซ์ อา. เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับสิ่งนี้คือดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ อา:

detA≠0.

สำหรับ ระบบเอกพันธ์ของสมการเชิงเส้น, เช่น. ถ้าเวกเตอร์ B=0กฎที่ตรงกันข้ามถือ: ระบบ ขวาน=0เป็นวิธีแก้ปัญหาที่ไม่สำคัญ (เช่น ไม่เท่ากับศูนย์) เฉพาะเมื่อ detA=0. การเชื่อมต่อระหว่างการแก้ปัญหาของระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันและไม่เป็นเนื้อเดียวกันของสมการเชิงเส้นนี้เรียกว่า ทางเลือกแทน Fredholm

ดังนั้น การแก้ปัญหาของ SLAE โดยวิธีเมทริกซ์จึงถูกสร้างขึ้นตามสูตร . หรือพบวิธีแก้ปัญหา SLAE โดยใช้ เมทริกซ์ผกผัน เอ -1.

เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าเมทริกซ์กำลังสอง แต่คำสั่ง นบน นมีเมทริกซ์ผกผัน เอ -1เฉพาะในกรณีที่ดีเทอร์มีแนนต์ไม่เป็นศูนย์ ดังนั้นระบบ นสมการพีชคณิตเชิงเส้นด้วย นสิ่งที่ไม่ทราบจะได้รับการแก้ไขโดยวิธีเมทริกซ์ก็ต่อเมื่อดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์หลักของระบบไม่เท่ากับศูนย์

แม้จะมีข้อ จำกัด เกี่ยวกับความเป็นไปได้ของการใช้วิธีการดังกล่าวและมีปัญหาในการคำนวณสำหรับค่าสัมประสิทธิ์และระบบระดับสูงจำนวนมาก แต่วิธีการนี้สามารถนำไปใช้กับคอมพิวเตอร์ได้อย่างง่ายดาย

ตัวอย่างของการแก้ SLAE ที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน

ก่อนอื่น ให้ตรวจสอบว่าดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ของสัมประสิทธิ์สำหรับ SLAE ที่ไม่รู้จักนั้นไม่เท่ากับศูนย์หรือไม่

ตอนนี้เราพบว่า เมทริกซ์พันธมิตรย้ายและแทนที่ลงในสูตรสำหรับกำหนดเมทริกซ์ผกผัน

เราแทนที่ตัวแปรในสูตร:

ตอนนี้เราพบสิ่งที่ไม่รู้โดยการคูณเมทริกซ์ผกผันกับคอลัมน์ของเทอมอิสระ

ดังนั้น, x=2; y=1; ซ=4.

เมื่อย้ายจากรูปแบบปกติของ SLAE ไปยังรูปแบบเมทริกซ์ ให้ระวังลำดับของตัวแปรที่ไม่รู้จักในสมการระบบ ตัวอย่างเช่น:

อย่าเขียนเป็น:

อันดับแรก จำเป็นต้องเรียงลำดับตัวแปรที่ไม่รู้จักในแต่ละสมการของระบบ และหลังจากนั้น ให้ดำเนินการกับสัญกรณ์เมทริกซ์:

นอกจากนี้ คุณต้องระวังการกำหนดตัวแปรที่ไม่รู้จักแทน x 1 , x 2 , …, x นอาจมีตัวอักษรอื่น ตัวอย่างเช่น:

ในรูปแบบเมทริกซ์ เราเขียน:

การใช้วิธีเมทริกซ์ เป็นการดีกว่าที่จะแก้ระบบสมการเชิงเส้น โดยที่จำนวนสมการตรงกับจำนวนตัวแปรที่ไม่รู้จักและดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์หลักของระบบไม่เท่ากับศูนย์ เมื่อมีสมการมากกว่า 3 สมการในระบบ ก็จะต้องใช้ความพยายามในการคำนวณมากขึ้นในการหาเมทริกซ์ผกผัน ดังนั้น ในกรณีนี้ ขอแนะนำให้ใช้วิธีเกาส์แก้

สมการโดยทั่วไป สมการพีชคณิตเชิงเส้นและระบบ ตลอดจนวิธีการแก้สมการ ใช้พื้นที่พิเศษในวิชาคณิตศาสตร์ ทั้งทางทฤษฎีและทางประยุกต์

เนื่องจากปัญหาทางกายภาพ เศรษฐกิจ เทคนิค และแม้กระทั่งการสอนส่วนใหญ่สามารถอธิบายและแก้ไขได้โดยใช้สมการและระบบต่างๆ ที่หลากหลาย เมื่อเร็ว ๆ นี้ การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ได้รับความนิยมเป็นพิเศษในหมู่นักวิจัย นักวิทยาศาสตร์ และผู้ปฏิบัติงานในเกือบทุกสาขาวิชา ซึ่งอธิบายได้จากข้อได้เปรียบที่ชัดเจนเหนือวิธีการอื่นๆ ที่เป็นที่รู้จักและพิสูจน์แล้วสำหรับการศึกษาวัตถุที่มีลักษณะหลากหลาย โดยเฉพาะอย่างยิ่งสิ่งที่เรียกว่าซับซ้อน ระบบต่างๆ มีคำจำกัดความของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์มากมายที่นักวิทยาศาสตร์มอบให้ในช่วงเวลาต่างๆ กัน แต่ในความเห็นของเรา สิ่งที่ประสบความสำเร็จมากที่สุดคือข้อความต่อไปนี้ แบบจำลองทางคณิตศาสตร์เป็นแนวคิดที่แสดงโดยสมการ ดังนั้นความสามารถในการเขียนและแก้สมการและระบบของพวกมันจึงเป็นลักษณะสำคัญของผู้เชี่ยวชาญสมัยใหม่

ในการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น วิธีที่ใช้บ่อยที่สุดคือ: Cramer, Jordan-Gauss และวิธีเมทริกซ์

วิธีการแก้ปัญหาเมทริกซ์ - วิธีการแก้ระบบของสมการพีชคณิตเชิงเส้นด้วยดีเทอร์มิแนนต์ที่ไม่ใช่ศูนย์โดยใช้เมทริกซ์ผกผัน

หากเราเขียนค่าสัมประสิทธิ์สำหรับค่าที่ไม่รู้จัก xi ลงในเมทริกซ์ A รวบรวมค่าที่ไม่รู้จักลงในเวกเตอร์คอลัมน์ X และคำศัพท์อิสระลงในเวกเตอร์คอลัมน์ B จากนั้นระบบของสมการพีชคณิตเชิงเส้นสามารถเขียนได้ รูปแบบของสมการเมทริกซ์ต่อไปนี้ A X = B ซึ่งมีคำตอบเฉพาะเมื่อดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ A ไม่เท่ากับศูนย์ ในกรณีนี้ สามารถหาคำตอบของระบบสมการได้ดังนี้ X = อา-หนึ่ง · บี, ที่ไหน อา-1 - เมทริกซ์ผกผัน

วิธีการแก้ปัญหาเมทริกซ์มีดังนี้

ให้ระบบสมการเชิงเส้นแทนด้วย นไม่ทราบ:

สามารถเขียนใหม่ได้ในรูปแบบเมทริกซ์: ขวาน = บี, ที่ไหน อา- เมทริกซ์หลักของระบบ บีและ X- คอลัมน์ของสมาชิกอิสระและวิธีแก้ปัญหาของระบบ ตามลำดับ:

คูณสมการเมทริกซ์นี้ทางซ้ายด้วย อา-1 - เมทริกซ์ผกผันกับเมทริกซ์ อา: อา -1 (ขวาน) = อา -1 บี

เพราะ อา -1 อา = อี, เราได้รับ X= เอ -1 บี. ทางด้านขวามือของสมการนี้จะให้คอลัมน์ของคำตอบของระบบเดิม เงื่อนไขสำหรับการบังคับใช้ของวิธีนี้ (เช่นเดียวกับการมีอยู่ทั่วไปของการแก้ปัญหาของระบบสมการเชิงเส้นที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันที่มีจำนวนสมการเท่ากับจำนวนที่ไม่ทราบค่า) คือความไม่เสื่อมของเมทริกซ์ อา. เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับสิ่งนี้คือดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ อา: det อา≠ 0.

สำหรับระบบเอกพันธ์ของสมการเชิงเส้น นั่นคือ เมื่อเวกเตอร์ บี = 0 , แน่นอนกฎตรงกันข้าม: ระบบ ขวาน = 0 มีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่สำคัญ (นั่นคือไม่ใช่ศูนย์) เฉพาะในกรณีที่ det อา= 0 การเชื่อมต่อระหว่างการแก้ปัญหาของระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันและไม่เป็นเนื้อเดียวกันของสมการเชิงเส้นเรียกว่าทางเลือกของ Fredholm

ตัวอย่าง การแก้ปัญหาของระบบเอกพันธ์ของสมการพีชคณิตเชิงเส้น.

ให้เราตรวจสอบให้แน่ใจว่าดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ซึ่งประกอบด้วยสัมประสิทธิ์ของนิรนามของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นไม่เท่ากับศูนย์

ขั้นตอนต่อไปคือการคำนวณการเติมเต็มเชิงพีชคณิตสำหรับองค์ประกอบของเมทริกซ์ที่ประกอบด้วยสัมประสิทธิ์ของนิรนาม พวกมันจะต้องหาเมทริกซ์ผกผัน

ให้มีเมทริกซ์กำลังสองของลำดับที่ n

เมทริกซ์ A -1 เรียกว่า เมทริกซ์ผกผันสำหรับเมทริกซ์ A ถ้า A * A -1 = E โดยที่ E คือเมทริกซ์เอกลักษณ์ของลำดับที่ n

เมทริกซ์เอกลักษณ์- เมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัสดังกล่าว ซึ่งองค์ประกอบทั้งหมดตามแนวทแยงหลัก ผ่านจากมุมซ้ายบนไปยังมุมขวาล่าง เป็นองค์ประกอบ และส่วนที่เหลือเป็นศูนย์ ตัวอย่างเช่น

เมทริกซ์ผกผันอาจมีอยู่ สำหรับเมทริกซ์กำลังสองเท่านั้นเหล่านั้น. สำหรับเมทริกซ์ที่มีจำนวนแถวและคอลัมน์เท่ากัน

ทฤษฎีบทเงื่อนไขการดำรงอยู่ของเมทริกซ์ผกผัน

เพื่อให้เมทริกซ์มีเมทริกซ์ผกผัน มันจำเป็นและเพียงพอที่เมทริกซ์ไม่เสื่อมสภาพ

เมทริกซ์ A = (A1, A2,...A n) เรียกว่า ไม่เสื่อมสภาพถ้าเวกเตอร์คอลัมน์เป็นอิสระเชิงเส้น จำนวนเวกเตอร์คอลัมน์อิสระเชิงเส้นของเมทริกซ์เรียกว่าอันดับของเมทริกซ์ ดังนั้นเราจึงสามารถพูดได้ว่าเพื่อให้มีเมทริกซ์ผกผันมีความจำเป็นและเพียงพอที่อันดับของเมทริกซ์นั้นเท่ากับมิติของมันนั่นคือ ร = น.

อัลกอริทึมสำหรับการหาเมทริกซ์ผกผัน

เขียนเมทริกซ์ A ในตารางสำหรับการแก้ระบบสมการโดยวิธีเกาส์และทางด้านขวา (แทนส่วนที่ถูกต้องของสมการ) กำหนดเมทริกซ์ E ให้
ใช้การแปลงของ Jordan นำเมทริกซ์ A มาสู่เมทริกซ์ที่ประกอบด้วยคอลัมน์เดี่ยว ในกรณีนี้ จำเป็นต้องแปลงเมทริกซ์ E พร้อมกัน
หากจำเป็น ให้จัดเรียงแถว (สมการ) ของตารางสุดท้ายใหม่ เพื่อให้ได้เมทริกซ์เอกลักษณ์ E ใต้เมทริกซ์ A ของตารางต้นฉบับ
เขียนเมทริกซ์ผกผัน A -1 ซึ่งอยู่ในตารางสุดท้ายภายใต้เมทริกซ์ E ของตารางเดิม

ตัวอย่าง 1

สำหรับเมทริกซ์ A ให้หาเมทริกซ์ผกผัน A -1

วิธีแก้ไข: เราเขียนเมทริกซ์ A และทางด้านขวาเรากำหนดเมทริกซ์เอกลักษณ์ E โดยใช้การแปลงจอร์แดน เราลดเมทริกซ์ A เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ E การคำนวณจะแสดงในตาราง 31.1

ลองตรวจสอบความถูกต้องของการคำนวณโดยการคูณเมทริกซ์ A เดิมกับเมทริกซ์ผกผัน A -1

อันเป็นผลมาจากการคูณเมทริกซ์ทำให้ได้เมทริกซ์เอกลักษณ์ ดังนั้นการคำนวณจึงถูกต้อง

ตอบ:

แก้สมการเมทริกซ์

สมการเมทริกซ์สามารถมีลักษณะดังนี้:

ขวาน = B, XA = B, AXB = C,

โดยที่ A, B, C ได้รับเมทริกซ์ X คือเมทริกซ์ที่ต้องการ

สมการเมทริกซ์แก้ได้โดยการคูณสมการด้วยเมทริกซ์ผกผัน

ตัวอย่างเช่น ในการหาเมทริกซ์จากสมการ คุณต้องคูณสมการนี้ทางซ้าย

ดังนั้น ในการหาคำตอบของสมการ คุณต้องหาเมทริกซ์ผกผันแล้วคูณมันด้วยเมทริกซ์ทางด้านขวาของสมการ

สมการอื่นๆ ถูกแก้ในทำนองเดียวกัน

ตัวอย่าง 2

แก้สมการ AX = B if

วิธีการแก้: เนื่องจากอินเวอร์สของเมทริกซ์เท่ากับ (ดูตัวอย่างที่ 1)

วิธีเมทริกซ์ในการวิเคราะห์ทางเศรษฐศาสตร์

พวกเขายังพบแอปพลิเคชันอื่น ๆ อีกด้วย วิธีเมทริกซ์. วิธีการเหล่านี้ใช้พีชคณิตเชิงเส้นและเวกเตอร์เมทริกซ์ วิธีการดังกล่าวใช้เพื่อวัตถุประสงค์ในการวิเคราะห์ปรากฏการณ์ทางเศรษฐกิจที่ซับซ้อนและหลายมิติ ส่วนใหญ่มักใช้วิธีการเหล่านี้เมื่อจำเป็นต้องเปรียบเทียบการทำงานขององค์กรและแผนกโครงสร้าง

ในกระบวนการใช้วิธีการวิเคราะห์เมทริกซ์นั้น สามารถแยกแยะได้หลายขั้นตอน

ในระยะแรกการก่อตัวของระบบตัวบ่งชี้ทางเศรษฐกิจดำเนินการและบนพื้นฐานของการรวบรวมเมทริกซ์ของข้อมูลเริ่มต้นซึ่งเป็นตารางที่แสดงหมายเลขระบบในแต่ละบรรทัด (ผม = 1,2,....,n), และตามกราฟแนวตั้ง - ตัวเลขของตัวชี้วัด (j = 1,2,....,ม.).

ในขั้นตอนที่สองสำหรับคอลัมน์แนวตั้งแต่ละคอลัมน์จะมีการเปิดเผยค่าที่ใหญ่ที่สุดของตัวบ่งชี้ที่มีอยู่ซึ่งถือเป็นหน่วย

หลังจากนั้น จำนวนเงินทั้งหมดที่สะท้อนในคอลัมน์นี้จะถูกหารด้วยค่าที่มากที่สุดและสร้างเมทริกซ์ของสัมประสิทธิ์มาตรฐาน

ในขั้นตอนที่สามองค์ประกอบทั้งหมดของเมทริกซ์กำลังสอง หากมีความหมายต่างกันตัวบ่งชี้แต่ละตัวของเมทริกซ์จะได้รับค่าสัมประสิทธิ์การถ่วงน้ำหนักที่แน่นอน k. ค่าของหลังถูกกำหนดโดยผู้เชี่ยวชาญ

ล่าสุด ขั้นตอนที่สี่พบค่าเรตติ้ง Rjจัดกลุ่มตามลำดับการเพิ่มขึ้นหรือลดลง

ควรใช้วิธีเมทริกซ์ข้างต้น เช่น ในการวิเคราะห์เปรียบเทียบโครงการลงทุนต่างๆ ตลอดจนในการประเมินตัวชี้วัดประสิทธิภาพทางเศรษฐกิจอื่นๆ ขององค์กร

พิจารณา ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น(ช้า) เกี่ยวกับ นไม่รู้จัก x 1 , x 2 , ..., x น :

ระบบนี้สามารถเขียนในรูปแบบ "พับ" ได้ดังนี้:

ส น ผม=1 เอ อิจ x เจ = ข ผม , i=1,2, ..., n.

ตามกฎการคูณเมทริกซ์ ระบบที่พิจารณาของสมการเชิงเส้นสามารถเขียนเป็น รูปแบบเมทริกซ์ ขวาน=b, ที่ไหน

เมทริกซ์ อาซึ่งคอลัมน์เป็นค่าสัมประสิทธิ์ของสิ่งที่ไม่ทราบค่าที่สอดคล้องกันและแถวนั้นเป็นค่าสัมประสิทธิ์ของค่าไม่ทราบค่าในสมการที่สอดคล้องกันเรียกว่า เมทริกซ์ระบบ. เมทริกซ์คอลัมน์ ขซึ่งมีองค์ประกอบเป็นส่วนที่ถูกต้องของสมการของระบบเรียกว่าเมทริกซ์ของส่วนที่ถูกต้องหรือเพียงแค่ ด้านขวาของระบบ. เมทริกซ์คอลัมน์ x ซึ่งมีธาตุที่ไม่รู้จักเรียกว่า โซลูชันระบบ.

ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นเขียนเป็น ขวาน=b, เป็น สมการเมทริกซ์.

ถ้าเมทริกซ์ของระบบ ไม่เสื่อมสภาพแล้วมันก็มีเมทริกซ์ผกผัน แล้วก็คำตอบของระบบ ขวาน=bถูกกำหนดโดยสูตร:

x=A -1 ข.

ตัวอย่างแก้ระบบ วิธีเมทริกซ์

วิธีการแก้หาเมทริกซ์ผกผันสำหรับเมทริกซ์สัมประสิทธิ์ของระบบ

คำนวณดีเทอร์มีแนนต์โดยการขยายแถวแรก:

เพราะว่า Δ ≠ 0 , แล้ว อา -1 มีอยู่

พบเมทริกซ์ผกผันอย่างถูกต้อง

มาหาทางออกของระบบกันเถอะ

เพราะเหตุนี้, x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 .

การตรวจสอบ:

7. ทฤษฎีบท Kronecker-Capelli เกี่ยวกับความเข้ากันได้ของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น

ระบบสมการเชิงเส้นดูเหมือน:

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2 , (5.1)

a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a m1 x n = b m

ที่นี่ให้ a i j และ b i (i = ; j = ) และ x j เป็นจำนวนจริงที่ไม่รู้จัก การใช้แนวคิดของผลิตภัณฑ์เมทริกซ์ เราสามารถเขียนระบบ (5.1) ใหม่ได้ในรูปแบบ:

โดยที่ A = (a i j) คือเมทริกซ์ที่ประกอบด้วยสัมประสิทธิ์ของระบบที่ไม่รู้จัก (5.1) ซึ่งเรียกว่า เมทริกซ์ระบบ, X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T - เวกเตอร์คอลัมน์ประกอบด้วย x j ที่ไม่รู้จักและคำศัพท์อิสระ b i ตามลำดับ

คอลเลกชันที่สั่งซื้อ นจำนวนจริง (c 1 , c 2 ,..., c n) เรียกว่า โซลูชันระบบ(5.1) หากผลจากการแทนที่ตัวเลขเหล่านี้แทนตัวแปรที่เกี่ยวข้อง x 1 , x 2 ,..., x n แต่ละสมการของระบบจะกลายเป็นเอกลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ กล่าวอีกนัยหนึ่งถ้ามีเวกเตอร์ C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T เช่นนั้น AC  B.

ระบบ (5.1) เรียกว่า ข้อต่อหรือ แก้ได้หากมีวิธีแก้ปัญหาอย่างน้อยหนึ่งวิธี ระบบเรียกว่า เข้ากันไม่ได้หรือ ไม่ละลายน้ำถ้ามันไม่มีวิธีแก้ปัญหา

เกิดขึ้นจากการกำหนดคอลัมน์ของเงื่อนไขอิสระให้กับเมทริกซ์ A ทางด้านขวาเรียกว่า ระบบเมทริกซ์ขยาย

คำถามเกี่ยวกับความเข้ากันได้ของระบบ (5.1) ได้รับการแก้ไขโดยทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบทโครเนคเกอร์-คาเปลลี . ระบบสมการเชิงเส้นจะสอดคล้องกันก็ต่อเมื่ออันดับของเมทริกซ์ A และ A ตรงกันเท่านั้น นั่นคือ r(A) = r(A) = ร.

สำหรับชุด M ของโซลูชันสำหรับระบบ (5.1) มีความเป็นไปได้สามประการ:

1) M =  (ในกรณีนี้ระบบไม่สอดคล้องกัน);

2) M ประกอบด้วยองค์ประกอบเดียวคือ ระบบมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ (ในกรณีนี้เรียกว่าระบบ แน่ใจ);

3) M ประกอบด้วยองค์ประกอบมากกว่าหนึ่งตัว (จากนั้นระบบจะเรียกว่า ไม่แน่นอน). ในกรณีที่สาม ระบบ (5.1) มีโซลูชันจำนวนอนันต์

ระบบมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะเมื่อ r(A) = n ในกรณีนี้ จำนวนสมการต้องไม่น้อยกว่าจำนวนที่ไม่ทราบค่า (mn) ถ้า m>n สมการ m-n เป็นผลมาจากส่วนที่เหลือ ถ้า0

การจะแก้ระบบสมการเชิงเส้นตามอำเภอใจนั้น จะต้องสามารถแก้ระบบที่มีจำนวนสมการเท่ากับจำนวนนิรนามได้ เรียกว่า ระบบประเภทแครมเมอร์:

a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 ,

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2 , (5.3)

... ... ... ... ... ...

a n1 x 1 + a n1 x 2 +... + a nn x n = b n

ระบบ (5.3) ได้รับการแก้ไขด้วยวิธีใดวิธีหนึ่งดังต่อไปนี้: 1) โดยวิธีเกาส์หรือโดยวิธีการกำจัดสิ่งที่ไม่รู้จัก; 2) ตามสูตรของแครมเมอร์ 3) โดยวิธีเมทริกซ์

ตัวอย่าง 2.12. ตรวจสอบระบบสมการและแก้สมการถ้าเข้ากันได้:

5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7,

2x1 + x2 + 4x3 - 2x4 = 1,

x 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0

วิธีการแก้.เราเขียนเมทริกซ์ขยายของระบบ:

 .