การแก้อสมการไซน์-โคไซน์ อัลกอริทึมสำหรับแก้อสมการตรีโกณมิติอย่างง่ายและการจดจำวิธีการแก้อสมการตรีโกณมิติ
นักเรียนส่วนใหญ่ อสมการตรีโกณมิติไม่ชอบ แต่เปล่าประโยชน์ ดังที่ตัวละครตัวหนึ่งเคยกล่าวไว้ว่า
“คุณแค่ไม่รู้วิธีทำอาหาร”
ดังนั้นเราจะ "ปรุงอาหาร" ได้อย่างไรและต้องระบุความไม่เท่าเทียมกับไซน์อย่างไรในบทความนี้ เราจะตัดสินใจ ด้วยวิธีง่ายๆ- โดยการใช้ วงกลมหน่วย.
ก่อนอื่นเลย เราจำเป็นต้องมีอัลกอริธึมดังต่อไปนี้
อัลกอริทึมสำหรับแก้อสมการด้วยไซน์:
- บนแกนไซน์เราพล็อตตัวเลข $a$ และวาดเส้นตรงขนานกับแกนโคไซน์จนกระทั่งมันตัดกับวงกลม
- จุดตัดกันของเส้นนี้กับวงกลมจะถูกแรเงาหากความไม่เท่าเทียมกันไม่เข้มงวด และจะไม่แรเงาหากความไม่เท่าเทียมกันนั้นเข้มงวด
- พื้นที่แก้ปัญหาของอสมการจะอยู่เหนือเส้นและขึ้นไปบนวงกลมหากอสมการมีเครื่องหมาย “$>$” และต่ำกว่าเส้นและขึ้นไปบนวงกลมหากอสมการมีเครื่องหมาย “$<$”;
- เพื่อหาจุดตัดกัน เราจะแก้สมการตรีโกณมิติ $\sin(x)=a$ เราจะได้ $x=(-1)^(n)\arcsin(a) + \pi n$;
- เมื่อตั้งค่า $n=0$ เราจะพบจุดตัดแรก (อยู่ในไตรมาสแรกหรือไตรมาสที่สี่)
- เพื่อหาจุดที่สอง เราจะดูว่าเราผ่านพื้นที่ไปยังจุดตัดที่สองในทิศทางใด หากอยู่ในทิศทางบวก เราก็ควรหา $n=1$ และหากอยู่ในทิศทางลบ แล้ว $n=- 1$;
- ในการตอบสนอง ช่วงเวลาจะถูกเขียนลงจากจุดตัดที่เล็กกว่า $+ 2\pi n$ ไปยังจุดที่ใหญ่กว่า $+ 2\pi n$
ข้อจำกัดของอัลกอริทึม
สำคัญ: งอัลกอริทึมที่กำหนด ไม่ทำงานสำหรับความไม่เท่าเทียมกันในรูปแบบ $\sin(x) > 1; \ \sin(x) \geq 1, \ \sin(x)< -1, \ \sin{x} \leq -1$. В строгом случае эти неравенства не имеют решений, а в нестрогом – решение сводится к решению уравнения $\sin{x} = 1$ или $\sin{x} = -1$.
กรณีพิเศษเมื่อแก้อสมการด้วยไซน์
สิ่งสำคัญที่ควรทราบด้วย กรณีต่อไปนี้ซึ่งสะดวกกว่ามากในการแก้ปัญหาเชิงตรรกะโดยไม่ต้องใช้อัลกอริทึมข้างต้น
กรณีพิเศษ 1. แก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน:
$\บาป(x)\leq 1.$
เนื่องจากข้อเท็จจริงที่ว่าช่วงของค่าต่างๆ ฟังก์ชันตรีโกณมิติ$y=\sin(x)$ ไม่มากกว่าโมดูโล $1$ ดังนั้นด้านซ้ายของอสมการ ได้เลย$x$ จากโดเมนของคำจำกัดความ (และโดเมนของคำจำกัดความของไซน์คือทั้งหมด ตัวเลขจริง) ไม่เกิน $1$ ดังนั้นในคำตอบเราจึงเขียน: $x \in R$
ผลที่ตามมา:
$\บาป(x)\geq -1.$
กรณีพิเศษ 2.แก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน:
$\บาป(x)< 1.$
การใช้เหตุผลคล้ายกับกรณีพิเศษ 1 เราพบว่าด้านซ้ายของอสมการน้อยกว่า $1$ สำหรับ $x \in R$ ทั้งหมด ยกเว้นจุดที่เป็นคำตอบของสมการ $\sin(x) = 1$ การแก้สมการนี้เราจะได้:
$x = (-1)^(n)\arcsin(1)+ \pi n = (-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n.$
ดังนั้น ในคำตอบ เราจึงเขียนว่า $x \in R \backslash \left\((-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n\right\)$
ผลที่ตามมา:ความไม่เท่าเทียมกันได้รับการแก้ไขในทำนองเดียวกัน
$\บาป(x) > -1.$
ตัวอย่างการแก้ไขอสมการโดยใช้อัลกอริทึม
ตัวอย่างที่ 1:แก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน:
$\sin(x) \geq \frac(1)(2).$
- ให้เราทำเครื่องหมายพิกัด $\frac(1)(2)$ บนแกนไซน์
- ลองวาดเส้นตรงขนานกับแกนโคไซน์แล้วผ่านจุดนี้กัน
- ลองทำเครื่องหมายจุดตัดกัน จะถูกแรเงาเพราะความไม่เท่าเทียมกันไม่เข้มงวด
- เครื่องหมายอสมการคือ $\geq$ ซึ่งหมายความว่าเราทาสีพื้นที่เหนือเส้น เช่น ครึ่งวงกลมเล็กกว่า
- เราพบจุดตัดแรก ในการทำเช่นนี้ เราเปลี่ยนอสมการให้เป็นความเท่าเทียมกันแล้วแก้ไข: $\sin(x)=\frac(1)(2) \ \Rightarrow \ x=(-1)^(n)\arcsin(\frac(1) )(2) )+\pi n =(-1)^(n)\frac(\pi)(6) + \pi n$ เรากำหนด $n=0$ เพิ่มเติมและหาจุดตัดจุดแรก: $x_(1)=\frac(\pi)(6)$
- เราพบจุดที่สอง พื้นที่ของเราไปในทิศทางบวกตั้งแต่จุดแรก ซึ่งหมายความว่าเรากำหนดให้ $n$ เท่ากับ $1$: $x_(2)=(-1)^(1)\frac(\pi)(6) + \pi \cdot 1 = \ pi – \frac(\pi)(6) = \frac(5\pi)(6)$
ดังนั้นวิธีแก้ปัญหาจะอยู่ในรูปแบบ:
$x \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\right], \n \in Z.$
ตัวอย่างที่ 2:แก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน:
$\บาป(x)< -\frac{1}{2}$
ลองทำเครื่องหมายพิกัด $-\frac(1)(2)$ บนแกนไซน์แล้ววาดเส้นตรงขนานกับแกนโคไซน์แล้วผ่านจุดนี้ไป ลองทำเครื่องหมายจุดตัดกัน พวกเขาจะไม่ถูกบังเนื่องจากความไม่เท่าเทียมกันนั้นเข้มงวด เครื่องหมายอสมการ $<$, а, значит, закрашиваем область ниже прямой, т.е. меньший полукруг. Неравенство превращаем в равенство и решаем его:
$\บาป(x)=-\frac(1)(2)$
$x=(-1)^(n)\arcsin(\left(-\frac(1)(2)\right))+ \pi n =(-1)^(n+1)\frac(\pi )(6) + \ไพn$
ต่อไปหาก $n=0$ เราจะพบจุดตัดจุดแรก: $x_(1)=-\frac(\pi)(6)$ พื้นที่ของเราไปในทิศทางลบตั้งแต่จุดแรก ซึ่งหมายความว่าเรากำหนดให้ $n$ เท่ากับ $-1$: $x_(2)=(-1)^(-1+1)\frac(\pi)( 6) + \pi \cdot (-1) = -\pi + \frac(\pi)(6) = -\frac(5\pi)(6)$
ดังนั้น คำตอบของอสมการนี้จะเป็นช่วง:
$x \in \left(-\frac(5\pi)(6) + 2\pi n; -\frac(\pi)(6) + 2 \pi n\right), \n \in Z.$
ตัวอย่างที่ 3:แก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน:
$1 – 2\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \leq 0.$
ตัวอย่างนี้ไม่สามารถแก้ไขได้ทันทีโดยใช้อัลกอริทึม ก่อนอื่นคุณต้องเปลี่ยนมัน เราทำสิ่งที่เราจะทำกับสมการอย่างแน่นอน แต่อย่าลืมเกี่ยวกับเครื่องหมายด้วย การหารหรือคูณด้วยจำนวนลบจะทำให้กลับด้าน!
ลองย้ายทุกอย่างที่ไม่มีฟังก์ชันตรีโกณมิติไปทางด้านขวา เราได้รับ:
$- 2\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \leq -1.$
ลองหารด้านซ้ายและด้านขวาด้วย $-2$ (อย่าลืมเครื่องหมาย!) เราจะมี:
$\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \geq \frac(1)(2).$
เรามีความไม่เท่าเทียมกันอีกครั้งซึ่งเราไม่สามารถแก้ไขโดยใช้อัลกอริธึมได้ แต่นี่ก็เพียงพอแล้วที่จะเปลี่ยนตัวแปร:
$t=\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6).$
เราได้รับอสมการตรีโกณมิติที่สามารถแก้ไขได้โดยใช้อัลกอริทึม:
$\sin(t) \geq \frac(1)(2).$
อสมการนี้ได้รับการแก้ไขแล้วในตัวอย่างที่ 1 ลองยืมคำตอบจากตรงนั้น:
$t \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\right].$
อย่างไรก็ตามการตัดสินใจยังไม่สิ้นสุด เราต้องกลับไปสู่ตัวแปรเดิม
$(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)) \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\right].$
ลองจินตนาการถึงช่วงเวลาเป็นระบบ:
$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n, \\ \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n \end(array) \right.$
ทางด้านซ้ายของระบบจะมีนิพจน์ ($\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)$) ซึ่งเป็นของช่วงเวลา ขอบเขตด้านซ้ายของช่วงจะรับผิดชอบต่อความไม่เท่าเทียมกันครั้งแรก และขอบเขตด้านขวาจะรับผิดชอบต่อความไม่เท่าเทียมกันครั้งที่สอง นอกจากนี้ วงเล็บยังมีบทบาทสำคัญ หากวงเล็บเป็นแบบสี่เหลี่ยม ความไม่เท่าเทียมกันจะผ่อนคลายลง และหากเป็นแบบกลม ก็จะเข้มงวด งานของเราคือรับ $x$ จากทางซ้าย ในความไม่เท่าเทียมกันทั้งสอง.
ลองย้าย $\frac(\pi)(6)$ จากด้านซ้ายไปทางด้านขวา เราจะได้:
$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n -\frac(\pi)(6), \\ \frac(x)(4) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n – \frac(\pi)(6) \end(array) \right.$.
ลดความซับซ้อนเราจะได้:
$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4) \geq 2\pi n, \\ \frac(x)(4) \leq \frac(2\pi)(3) + 2 \pi n \end(array) \right.$
คูณด้านซ้ายและขวาด้วย $4$ เราจะได้:
$\left\(\begin(array)(c) x \geq 8\pi n, \\ x \leq \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n. \end(array) \right. $
เมื่อประกอบระบบตามช่วงเวลา เราจะได้คำตอบ:
$x \in \left[ 8\pi n; \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n\right], \n \in Z.$
เมื่อแก้อสมการที่มีฟังก์ชันตรีโกณมิติ พวกมันจะลดลงเหลืออสมการที่ง่ายที่สุดในรูปแบบ cos(t)>a, sint(t)=a และอสมการที่คล้ายกัน และความไม่เท่าเทียมกันที่ง่ายที่สุดก็ได้รับการแก้ไขแล้ว มาดูกัน ตัวอย่างต่างๆวิธีแก้อสมการตรีโกณมิติอย่างง่าย
ตัวอย่างที่ 1- แก้อสมการ sin(t) > = -1/2
วาดวงกลมหนึ่งหน่วย เนื่องจาก sin(t) ตามคำจำกัดความคือพิกัด y เราจึงทำเครื่องหมายจุด y = -1/2 บนแกน Oy เราลากเส้นตรงผ่านมันขนานกับแกนวัว ที่จุดตัดของเส้นตรงกับกราฟของวงกลมหน่วย ให้ทำเครื่องหมายจุด Pt1 และ Pt2 เราเชื่อมต่อที่มาของพิกัดกับจุด Pt1 และ Pt2 ด้วยสองส่วน
วิธีแก้อสมการนี้คือจุดทุกจุดของวงกลมหน่วยที่อยู่เหนือจุดเหล่านี้ กล่าวอีกนัยหนึ่งการแก้ปัญหาจะเป็นส่วนโค้ง ล.. ตอนนี้จำเป็นต้องระบุเงื่อนไขตามนั้น จุดใดก็ได้จะเป็นของส่วนโค้ง l
Pt1 อยู่ในครึ่งวงกลมด้านขวา พิกัดของมันคือ -1/2 จากนั้น t1=อาร์คซิน(-1/2) = - pi/6 เพื่ออธิบายจุด Pt1 คุณสามารถเขียนสูตรต่อไปนี้:
t2 = pi - อาร์คซิน(-1/2) = 7*pi/6 เป็นผลให้เราได้รับความไม่เท่าเทียมกันต่อไปนี้สำหรับ t:
เรารักษาความไม่เท่าเทียมกัน และเนื่องจากฟังก์ชันไซน์มีคาบ จึงหมายความว่าคำตอบจะถูกทำซ้ำทุกๆ 2*pi เราเพิ่มเงื่อนไขนี้ให้กับความไม่เท่าเทียมกันที่เกิดขึ้นสำหรับ t และจดคำตอบไว้
คำตอบ: -pi/6+2*pi*n< = t < = 7*pi/6 + 2*pi*n, при любом целом n.
ตัวอย่างที่ 2แก้อสมการ cos(t)<1/2.
มาวาดวงกลมหน่วยกัน เนื่องจากตามคำจำกัดความ cos(t) คือพิกัด x เราจึงทำเครื่องหมายจุด x = 1/2 บนกราฟบนแกน Ox
เราวาดเส้นตรงผ่านจุดนี้ขนานกับแกน Oy ที่จุดตัดของเส้นตรงกับกราฟของวงกลมหน่วย ให้ทำเครื่องหมายจุด Pt1 และ Pt2 เราเชื่อมต่อที่มาของพิกัดกับจุด Pt1 และ Pt2 ด้วยสองส่วน
ผลเฉลยจะเป็นจุดทั้งหมดของวงกลมหน่วยที่อยู่ในส่วนโค้ง l ลองหาจุด t1 และ t2 กัน
t1 = ส่วนโค้ง (1/2) = pi/3
t2 = 2*pi - ส่วนโค้ง (1/2) = 2*pi-pi/3 = 5*pi/6
เราได้อสมการสำหรับ t: ไพ/3 เนื่องจากโคไซน์เป็นฟังก์ชันคาบ คำตอบจะถูกทำซ้ำทุกๆ 2*pi เราเพิ่มเงื่อนไขนี้เข้ากับผลลัพธ์ของความไม่เท่าเทียมกันสำหรับ t และจดคำตอบไว้ คำตอบ: pi/3+2*pi*n ตัวอย่างที่ 3แก้อสมการ tg(t)< = 1. คาบแทนเจนต์เท่ากับพาย ลองหาคำตอบที่อยู่ในช่วงครึ่งวงกลมขวา (-pi/2;pi/2) กัน ต่อไป เมื่อใช้คาบของแทนเจนต์ เราจะเขียนคำตอบทั้งหมดของอสมการนี้ ลองวาดวงกลมหนึ่งหน่วยแล้วทำเครื่องหมายเส้นสัมผัสกัน ถ้า t เป็นคำตอบของอสมการ พิกัดของจุด T = tg(t) จะต้องน้อยกว่าหรือเท่ากับ 1 เซตของจุดดังกล่าวจะประกอบเป็นรังสี AT เซตของจุด Pt ที่จะตรงกับจุดของรังสีนี้คือส่วนโค้ง l ยิ่งไปกว่านั้น จุด P(-pi/2) ไม่ได้อยู่ในส่วนโค้งนี้ ในระหว่างบทเรียนภาคปฏิบัติเราจะทำซ้ำงานประเภทหลักจากหัวข้อ "ตรีโกณมิติ" วิเคราะห์ปัญหาของความซับซ้อนที่เพิ่มขึ้นเพิ่มเติมและพิจารณาตัวอย่างการแก้ไขอสมการตรีโกณมิติและระบบต่างๆ บทเรียนนี้จะช่วยคุณเตรียมความพร้อมสำหรับงานประเภท B5, B7, C1 และ C3 ประเภทใดประเภทหนึ่ง เริ่มต้นด้วยการทบทวนงานประเภทหลักที่เรากล่าวถึงในหัวข้อ "ตรีโกณมิติ" และแก้ไขปัญหาที่ไม่ได้มาตรฐานหลายประการ ภารกิจที่ 1- แปลงมุมเป็นเรเดียนและองศา: a); ข) . ก) ลองใช้สูตรแปลงองศาเป็นเรเดียนกัน ลองแทนค่าที่ระบุลงไป b) ใช้สูตรแปลงเรเดียนเป็นองศา มาดำเนินการแทนกัน คำตอบ. ก) ; ข) . ภารกิจที่ 2- คำนวณ: ก) ; ข) . ก) เนื่องจากมุมนั้นไปไกลกว่าโต๊ะ เราจะลดมันลงด้วยการลบคาบไซน์ เพราะ มุมจะแสดงเป็นเรเดียน จากนั้นเราจะพิจารณาคาบเป็น b) ในกรณีนี้สถานการณ์จะคล้ายกัน เนื่องจากมุมมีหน่วยเป็นองศา เราจะพิจารณาคาบของแทนเจนต์เป็น มุมที่ได้แม้จะเล็กกว่าช่วง แต่ก็มีขนาดใหญ่กว่า ซึ่งหมายความว่ามันไม่ได้หมายถึงมุมหลักอีกต่อไป แต่หมายถึงส่วนที่ขยายของตาราง เพื่อไม่ให้ฝึกความจำของคุณอีกครั้งด้วยการจำตารางขยายของค่าตรีโกฟังก์ชัน ให้ลบคาบแทนเจนต์อีกครั้ง: เราใช้ประโยชน์จากความคี่ของฟังก์ชันแทนเจนต์ คำตอบ. ก) 1; ข) . ภารกิจที่ 3- คำนวณ ให้เราลดนิพจน์ทั้งหมดให้เป็นแทนเจนต์โดยการหารตัวเศษและส่วนของเศษส่วนด้วย ขณะเดียวกันเราก็ไม่สามารถที่จะกลัวได้เพราะว่า ในกรณีนี้ จะไม่มีค่าแทนเจนต์อยู่ ภารกิจที่ 4- ลดความซับซ้อนของนิพจน์ นิพจน์ที่ระบุจะถูกแปลงโดยใช้สูตรการลดขนาด พวกเขาเขียนโดยใช้องศาอย่างผิดปกติ โดยทั่วไปนิพจน์แรกจะแสดงถึงตัวเลข มาลดความซับซ้อนของฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้งหมดทีละรายการ: เพราะ จากนั้นฟังก์ชันจะเปลี่ยนเป็น cofunction เช่น โคแทนเจนต์ และมุมตกไปอยู่ในควอเตอร์ที่สอง ซึ่งแทนเจนต์เดิมมีเครื่องหมายลบ ด้วยเหตุผลเดียวกันกับนิพจน์ก่อนหน้า ฟังก์ชันจะเปลี่ยนเป็นโคฟังก์ชัน กล่าวคือ โคแทนเจนต์ และมุมตกลงไปในไตรมาสแรก ซึ่งแทนเจนต์ดั้งเดิมมีเครื่องหมายบวก ลองแทนที่ทุกอย่างเป็นนิพจน์แบบง่าย: ปัญหา #5- ลดความซับซ้อนของนิพจน์ ให้เราเขียนแทนเจนต์ของมุมคู่โดยใช้สูตรที่เหมาะสมและทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น: ข้อมูลประจำตัวสุดท้ายเป็นหนึ่งในสูตรการแทนที่สากลสำหรับโคไซน์ ปัญหา #6- คำนวณ. สิ่งสำคัญคืออย่าทำผิดพลาดมาตรฐานโดยไม่ให้คำตอบว่านิพจน์เท่ากับ . คุณไม่สามารถใช้คุณสมบัติพื้นฐานของอาร์กแทนเจนต์ได้ตราบใดที่มีตัวประกอบในรูปของสองอยู่ข้างๆ เพื่อกำจัดมัน เราจะเขียนนิพจน์ตามสูตรแทนเจนต์ของมุมคู่ ในขณะที่ถือว่า เป็นอาร์กิวเมนต์ธรรมดา ตอนนี้เราสามารถใช้คุณสมบัติพื้นฐานของอาร์กแทนเจนต์ได้ โปรดจำไว้ว่าไม่มีข้อจำกัดเกี่ยวกับผลลัพธ์เชิงตัวเลข ปัญหาหมายเลข 7- แก้สมการ เมื่อแก้สมการเศษส่วนที่เท่ากับศูนย์ จะต้องระบุเสมอว่าตัวเศษเท่ากับศูนย์ แต่ตัวส่วนไม่ใช่เพราะ คุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้ สมการแรกเป็นกรณีพิเศษของสมการที่ง่ายที่สุดที่สามารถแก้ไขได้โดยใช้วงกลมตรีโกณมิติ จำวิธีแก้ปัญหานี้ไว้ด้วยตัวเอง อสมการที่สองแก้ไขได้ด้วยสมการที่ง่ายที่สุดโดยใช้สูตรทั่วไปสำหรับรากของแทนเจนต์ แต่จะมีเครื่องหมายไม่เท่ากับเท่านั้น ดังที่เราเห็นแล้วว่ารากตระกูลหนึ่งไม่รวมอีกตระกูลหนึ่งที่มีรากประเภทเดียวกันทุกประการซึ่งไม่เป็นไปตามสมการ เหล่านั้น. ไม่มีราก คำตอบ. ไม่มีราก ปัญหาหมายเลข 8- แก้สมการ สังเกตทันทีว่าเราสามารถนำตัวประกอบร่วมออกมาแล้วลองทำดู: สมการได้ลดลงมาเป็นรูปแบบมาตรฐานรูปแบบหนึ่ง โดยที่ผลคูณของหลายปัจจัยเท่ากับศูนย์ เรารู้อยู่แล้วว่าในกรณีนี้ อันใดอันหนึ่งมีค่าเท่ากับศูนย์ หรืออีกอัน หรืออันที่สาม ลองเขียนสิ่งนี้ในรูปแบบของชุดสมการ: สมการสองอันแรกเป็นกรณีพิเศษของสมการที่ง่ายที่สุด เราเคยเจอสมการที่คล้ายกันหลายครั้งแล้ว ดังนั้นเราจะระบุวิธีแก้ปัญหาทันที เราลดสมการที่สามให้เหลือหนึ่งฟังก์ชันโดยใช้สูตรไซน์มุมคู่ มาแก้สมการสุดท้ายแยกกัน: สมการนี้ไม่มีราก เพราะ ค่าไซน์ไม่สามารถไปไกลกว่านั้นได้ ดังนั้น คำตอบจึงเป็นเพียงสองตระกูลแรกเท่านั้นที่สามารถรวมเข้าด้วยกันได้ ซึ่งง่ายต่อการแสดงบนวงกลมตรีโกณมิติ: นี่คือครอบครัวของทุกซีกเช่น มาดูการแก้อสมการตรีโกณมิติกันดีกว่า ขั้นแรก เราจะวิเคราะห์วิธีการแก้ตัวอย่างโดยไม่ต้องใช้สูตรสำหรับการแก้ปัญหาทั่วไป แต่ใช้วงกลมตรีโกณมิติ ปัญหาหมายเลข 9- แก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน ให้เราวาดเส้นเสริมบนวงกลมตรีโกณมิติที่สอดคล้องกับค่าไซน์เท่ากับ และแสดงช่วงของมุมที่ตอบสนองความไม่เท่าเทียมกัน มันสำคัญมากที่จะต้องเข้าใจอย่างชัดเจนว่าจะระบุช่วงเวลาผลลัพธ์ของมุมได้อย่างไรเช่น อะไรคือจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของมันคืออะไร จุดเริ่มต้นของช่วงเวลาจะเป็นมุมที่สอดคล้องกับจุดที่เราจะเข้าไปที่จุดเริ่มต้นของช่วงเวลาหากเราเคลื่อนที่ทวนเข็มนาฬิกา ในกรณีของเรา นี่คือจุดที่อยู่ทางซ้าย เพราะว่า เคลื่อนที่ทวนเข็มนาฬิกาและผ่านจุดที่ถูกต้องในทางกลับกันเราจะออกจากช่วงมุมที่ต้องการ จุดที่ถูกต้องจึงตรงกับจุดสิ้นสุดของช่องว่าง ตอนนี้เราต้องเข้าใจมุมของจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของช่วงการแก้ปัญหาอสมการของเรา ข้อผิดพลาดทั่วไปคือระบุทันทีว่าจุดที่ถูกต้องตรงกับมุมซ้ายแล้วให้คำตอบ นี่ไม่เป็นความจริง! โปรดทราบว่าเราเพิ่งระบุช่วงเวลาที่สอดคล้องกับส่วนบนของวงกลม แม้ว่าเราจะสนใจส่วนล่าง หรืออีกนัยหนึ่งก็คือ เราได้ผสมจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของช่วงเวลาการแก้ปัญหาที่เราต้องการ เพื่อให้ช่วงเวลาเริ่มต้นจากมุมของจุดขวาและสิ้นสุดด้วยมุมของจุดซ้าย จำเป็นที่มุมแรกที่ระบุจะต้องน้อยกว่ามุมที่สอง ในการทำเช่นนี้ เราจะต้องวัดมุมของจุดที่ถูกต้องในทิศทางลบของการอ้างอิง เช่น ตามเข็มนาฬิกาก็จะเท่ากับ จากนั้น เริ่มเคลื่อนที่จากจุดนั้นในทิศทางบวกตามเข็มนาฬิกา เราจะไปยังจุดที่ถูกต้องหลังจากจุดซ้าย และได้ค่ามุมของจุดนั้น ตอนนี้จุดเริ่มต้นของช่วงของมุมน้อยกว่าจุดสิ้นสุด และเราสามารถเขียนช่วงของการแก้ปัญหาโดยไม่ต้องคำนึงถึงระยะเวลา: เมื่อพิจารณาว่าช่วงเวลาดังกล่าวจะถูกทำซ้ำเป็นจำนวนอนันต์หลังจากการหมุนจำนวนเต็มใดๆ เราจะได้วิธีแก้ปัญหาทั่วไปโดยคำนึงถึงคาบไซน์: เราใส่วงเล็บเพราะความไม่เท่าเทียมกันนั้นเข้มงวด และเราเลือกจุดบนวงกลมที่ตรงกับจุดสิ้นสุดของช่วง เปรียบเทียบคำตอบที่ได้รับกับสูตรเฉลยทั่วไปที่เราให้ไปในการบรรยาย คำตอบ. วิธีนี้ดีสำหรับการทำความเข้าใจว่าสูตรสำหรับคำตอบทั่วไปของอสมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุดมาจากไหน นอกจากนี้ยังเป็นประโยชน์สำหรับผู้ที่ขี้เกียจเกินไปที่จะเรียนรู้สูตรที่ยุ่งยากเหล่านี้ อย่างไรก็ตาม วิธีการนั้นก็ไม่ใช่เรื่องง่ายเช่นกัน เลือกวิธีการแก้ปัญหาที่สะดวกที่สุดสำหรับคุณ เพื่อแก้อสมการตรีโกณมิติ คุณยังสามารถใช้กราฟของฟังก์ชันที่มีการสร้างเส้นเสริมได้ คล้ายกับวิธีที่แสดงโดยใช้วงกลมหนึ่งหน่วย หากคุณสนใจ ลองคิดหาแนวทางแก้ไขปัญหานี้ด้วยตัวเอง ต่อไปนี้เราจะใช้สูตรทั่วไปเพื่อแก้อสมการตรีโกณมิติอย่างง่าย ปัญหาหมายเลข 10- แก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน ขอให้เราใช้สูตรสำหรับการแก้ปัญหาทั่วไปโดยคำนึงถึงความจริงที่ว่าความไม่เท่าเทียมกันนั้นไม่เข้มงวด: ในกรณีของเราเราได้รับ: คำตอบ. ปัญหาหมายเลข 11- แก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน ให้เราใช้สูตรการแก้ปัญหาทั่วไปสำหรับความไม่เท่าเทียมกันอย่างเคร่งครัดที่สอดคล้องกัน: คำตอบ. ปัญหาหมายเลข 12- แก้ความไม่เท่าเทียมกัน: ก) ; ข) . ในความไม่เท่าเทียมกันเหล่านี้ไม่จำเป็นต้องใช้สูตรสำหรับการแก้ปัญหาทั่วไปหรือวงกลมตรีโกณมิติเพียงจำช่วงของค่าไซน์และโคไซน์ก็เพียงพอแล้ว ก) ตั้งแต่ ข) เพราะ ในทำนองเดียวกัน ไซน์ของอาร์กิวเมนต์ใดๆ จะเป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกันที่ระบุในเงื่อนไขเสมอ ดังนั้นคุณค่าที่แท้จริงทั้งหมดของอาร์กิวเมนต์จึงเป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกัน คำตอบ. ก) ไม่มีวิธีแก้ปัญหา ข) . ปัญหาที่ 13- แก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน อัลกอริทึมสำหรับแก้อสมการตรีโกณมิติอย่างง่ายและการจดจำวิธีการแก้อสมการตรีโกณมิติ ครูที่มีคุณวุฒิสูงสุดประเภท: เชอร์โกะ เอฟ.เอ็ม. หน้า ความก้าวหน้า โรงเรียนมัธยม MOBU ครั้งที่ 6 ซันคินา แอล.เอส. Armavir โรงเรียนมัธยมเอกชน "วิถีใหม่" ไม่มีวิธีการสากลในการสอนสาขาวิชาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ครูแต่ละคนพบวิธีการสอนของตนเองซึ่งเป็นที่ยอมรับเฉพาะตัวเขาเท่านั้น ประสบการณ์การสอนหลายปีของเราแสดงให้เห็นว่านักเรียนสามารถเรียนรู้สื่อที่ต้องใช้สมาธิและการเก็บรักษาข้อมูลจำนวนมากในหน่วยความจำได้ง่ายขึ้น หากพวกเขาได้รับการสอนให้ใช้อัลกอริทึมในกิจกรรมของพวกเขาในระยะเริ่มแรกของการเรียนรู้หัวข้อที่ซับซ้อน ในความเห็นของเรา หัวข้อดังกล่าวเป็นหัวข้อของการแก้อสมการตรีโกณมิติ ดังนั้น ก่อนที่เราจะเริ่มต้นกับนักเรียนเพื่อระบุเทคนิคและวิธีการแก้อสมการตรีโกณมิติ เราฝึกฝนและรวบรวมอัลกอริทึมสำหรับแก้อสมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด อัลกอริทึมสำหรับแก้อสมการตรีโกณมิติอย่างง่าย
ทำเครื่องหมายจุดบนแกนที่สอดคล้องกัน ( สำหรับ
บาป
x– แกน OA สำหรับเพราะ
x– แกน OX) เราคืนค่าตั้งฉากกับแกนที่จะตัดวงกลมที่จุดสองจุด จุดแรกบนวงกลมคือจุดที่อยู่ในช่วงของช่วงฟังก์ชันส่วนโค้งตามคำจำกัดความ เริ่มจากจุดที่มีป้ายกำกับ แรเงาส่วนโค้งของวงกลมให้สอดคล้องกับส่วนที่แรเงาของแกน เราใส่ใจเป็นพิเศษกับทิศทางของทางเบี่ยง หากการเคลื่อนที่เสร็จสิ้นตามเข็มนาฬิกา (เช่น มีการเปลี่ยนแปลงผ่าน 0) จุดที่สองบนวงกลมจะเป็นลบ หากทวนเข็มนาฬิกาจะเป็นค่าบวก เราเขียนคำตอบในรูปแบบของช่วงเวลาโดยคำนึงถึงช่วงเวลาของฟังก์ชัน ลองดูการทำงานของอัลกอริทึมโดยใช้ตัวอย่าง
1)
บาป
≥ 1/2;
สารละลาย: เราพรรณนาวงกลมหน่วย.; เราทำเครื่องหมายจุด ½ บนแกน OU เราคืนค่าตั้งฉากกับแกน ซึ่งตัดวงกลมด้วยจุดสองจุด ตามคำจำกัดความของอาร์คไซน์ เราทราบก่อน จุด π/6 แรเงาส่วนของแกนที่สอดคล้องกับ เมื่อพิจารณาถึงความไม่เท่าเทียมกัน เหนือจุด ½ แรเงาส่วนโค้งของวงกลมให้สอดคล้องกับส่วนที่แรเงาของแกน การเคลื่อนที่ทวนเข็มนาฬิกา เราได้จุด 5π/6 เราเขียนคำตอบในรูปแบบของช่วงเวลาโดยคำนึงถึงช่วงเวลาของฟังก์ชัน คำตอบ:x;[π/6 + 2π n, 5π/6 + 2π n], n Z. อสมการที่ง่ายที่สุดแก้ไขได้โดยใช้อัลกอริธึมเดียวกันหากบันทึกคำตอบไม่มีค่าตาราง เมื่อนักเรียนแก้ไขความไม่เท่าเทียมบนกระดานในบทเรียนแรก ให้ท่องอัลกอริธึมแต่ละขั้นตอนออกมาดังๆ 2) 5
เพราะ
x
– 1 ≥ 0;
ร 5 เพราะ x – 1 ≥ 0; เพราะ
x ≥ 1/5; วาดวงกลมหนึ่งหน่วย เราทำเครื่องหมายจุดด้วยพิกัด 1/5 บนแกน OX เราคืนค่าตั้งฉากกับแกนซึ่ง ตัดวงกลมด้วยจุดสองจุด จุดแรกบนวงกลมคือจุดที่อยู่ในช่วงของช่วงโคไซน์ส่วนโค้งตามคำจำกัดความ (0;π) เราแรเงาส่วนของแกนที่สอดคล้องกับความไม่เท่าเทียมกันนี้ เริ่มจากจุดที่ลงนาม
อาร์คคอส 1/5 แรเงาส่วนโค้งของวงกลมให้สอดคล้องกับส่วนที่แรเงาของแกน การเคลื่อนที่จะกระทำตามเข็มนาฬิกา (เช่น มีการเปลี่ยนแปลงผ่าน 0) ซึ่งหมายความว่าจุดที่สองบนวงกลมจะเป็นลบ - อาร์คคอส 1/5. เราเขียนคำตอบในรูปแบบของช่วงเวลาโดยคำนึงถึงช่วงเวลาของฟังก์ชันตั้งแต่ค่าที่น้อยกว่าไปจนถึงค่าที่มากขึ้น คำตอบ: x [-อาร์คคอส 1/5 + 2π n, อาร์คคอส 1/5 + 2π n], n Z. การปรับปรุงความสามารถในการแก้ไขอสมการตรีโกณมิติได้รับการอำนวยความสะดวกโดยคำถามต่อไปนี้: "เราจะแก้ไขกลุ่มความไม่เท่าเทียมกันได้อย่างไร"; “ความไม่เท่าเทียมกันอย่างหนึ่งแตกต่างจากที่อื่นอย่างไร?”; “ความไม่เท่าเทียมกันอย่างหนึ่งมีความคล้ายคลึงกับอีกประการหนึ่งอย่างไร?”; คำตอบจะเปลี่ยนไปอย่างไรหากได้รับความไม่เท่าเทียมกันอย่างเข้มงวด"; คำตอบจะเปลี่ยนไปอย่างไรถ้าแทนที่จะเป็นเครื่องหมาย "" มีเครื่องหมาย " งานวิเคราะห์รายการความไม่เท่าเทียมกันจากมุมมองของวิธีการแก้ไขทำให้คุณสามารถฝึกฝนการรับรู้ได้ นักเรียนจะได้รับความไม่เท่าเทียมที่ต้องแก้ไขในชั้นเรียน คำถาม:เน้นความไม่เท่าเทียมกันที่ต้องใช้การแปลงที่เท่ากันเมื่อลดความไม่เท่าเทียมกันทางตรีโกณมิติให้อยู่ในรูปแบบที่ง่ายที่สุดหรือไม่ คำตอบ 1, 3, 5. คำถาม:อะไรคือความไม่เท่าเทียมกันที่คุณต้องพิจารณาข้อโต้แย้งที่ซับซ้อนให้เป็นเรื่องง่าย? คำตอบ: 1, 2, 3, 5, 6. คำถาม:อะไรคือความไม่เท่าเทียมกันที่สามารถใช้สูตรตรีโกณมิติได้? คำตอบ: 2, 3, 6. คำถาม:ตั้งชื่ออสมการที่สามารถนำวิธีการแนะนำตัวแปรใหม่มาใช้ได้? คำตอบ: 6. งานวิเคราะห์รายการความไม่เท่าเทียมกันจากมุมมองของวิธีการแก้ไขทำให้คุณสามารถฝึกฝนการรับรู้ได้ เมื่อพัฒนาทักษะสิ่งสำคัญคือต้องระบุขั้นตอนของการนำไปปฏิบัติและกำหนดในรูปแบบทั่วไปซึ่งนำเสนอในอัลกอริทึมสำหรับการแก้ไขอสมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด อสมการคือความสัมพันธ์ในรูปแบบ a › b โดยที่ a และ b คือนิพจน์ที่มีตัวแปรอย่างน้อยหนึ่งตัว อสมการสามารถเข้มงวดได้ - ‹, › และไม่เข้มงวด - ≥, ≤ อสมการตรีโกณมิติคือการแสดงออกของรูปแบบ: F(x) › a, F(x) ‹ a, F(x) ≤ a, F(x) ≥ a โดยที่ F(x) จะแสดงด้วยฟังก์ชันตรีโกณมิติหนึ่งฟังก์ชันขึ้นไป . ตัวอย่างของอสมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุดคือ: sin x ‹ 1/2 เป็นเรื่องปกติที่จะแก้ไขปัญหาดังกล่าวแบบกราฟิกสองวิธีได้รับการพัฒนาสำหรับสิ่งนี้ หากต้องการค้นหาช่วงเวลาที่เป็นไปตามเงื่อนไขของความไม่เท่าเทียมกัน sin x ‹ 1/2 คุณต้องทำตามขั้นตอนต่อไปนี้: เมื่อมีสัญลักษณ์ที่เข้มงวดในนิพจน์ จุดตัดกันจะไม่ใช่วิธีแก้ปัญหา เนื่องจากคาบไซน์ซอยด์ที่เป็นบวกน้อยที่สุดคือ 2π เราจึงเขียนคำตอบได้ดังนี้: หากสัญญาณของนิพจน์ไม่เข้มงวด ช่วงเวลาการแก้ปัญหาจะต้องอยู่ในวงเล็บเหลี่ยม - . คำตอบของปัญหาสามารถเขียนได้เป็นอสมการต่อไปนี้: ปัญหาที่คล้ายกันสามารถแก้ไขได้ง่ายโดยใช้วงกลมตรีโกณมิติ อัลกอริทึมในการค้นหาคำตอบนั้นง่ายมาก: ให้เราวิเคราะห์ขั้นตอนของการแก้ปัญหาโดยใช้ตัวอย่างของอสมการ sin x › 1/2 จุดαและβถูกทำเครื่องหมายบนวงกลม - ค่า จุดของส่วนโค้งที่อยู่เหนือ α และ β คือช่วงเวลาในการแก้อสมการที่กำหนด หากคุณต้องการแก้ตัวอย่างสำหรับ cos ส่วนโค้งของคำตอบจะอยู่ในตำแหน่งแบบสมมาตรกับแกน OX ไม่ใช่ OY คุณสามารถพิจารณาความแตกต่างระหว่างช่วงการแก้ปัญหาของ sin และ cos ได้ในแผนภาพด้านล่างในข้อความ คำตอบแบบกราฟิกสำหรับอสมการแทนเจนต์และโคแทนเจนต์จะแตกต่างจากทั้งไซน์และโคไซน์ นี่เป็นเพราะคุณสมบัติของฟังก์ชัน อาร์กแทนเจนต์และอาร์กโคแทนเจนต์เป็นเส้นสัมผัสกันของวงกลมตรีโกณมิติ และคาบบวกขั้นต่ำสำหรับฟังก์ชันทั้งสองคือ π หากต้องการใช้วิธีที่สองอย่างรวดเร็วและถูกต้องคุณต้องจำไว้ว่าค่าของ sin, cos, tg และ ctg ถูกพล็อตบนแกนใด แทนเจนต์แทนเจนต์วิ่งขนานกับแกน OY หากเราพล็อตค่าของอาร์คแทน a บนวงกลมหนึ่งหน่วย จุดที่ต้องการที่สองจะอยู่ในควอเตอร์แนวทแยง มุม พวกมันเป็นจุดพักสำหรับฟังก์ชัน เนื่องจากกราฟมีแนวโน้มไปหาพวกมัน แต่ไม่เคยไปถึงพวกมันเลย ในกรณีของโคแทนเจนต์ แทนเจนต์จะขนานกับแกน OX และฟังก์ชันถูกขัดจังหวะที่จุด π และ 2π หากอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันอสมการไม่ได้แสดงด้วยตัวแปรเท่านั้น แต่แสดงด้วยนิพจน์ทั้งหมดที่มีสิ่งที่ไม่ทราบ แสดงว่าเรากำลังพูดถึงอสมการที่ซับซ้อน กระบวนการและขั้นตอนในการแก้ปัญหาค่อนข้างแตกต่างจากวิธีที่อธิบายไว้ข้างต้น สมมติว่าเราจำเป็นต้องค้นหาวิธีแก้ปัญหาของอสมการต่อไปนี้: วิธีแก้ปัญหาแบบกราฟิกเกี่ยวข้องกับการสร้างไซน์ซอยด์ธรรมดา y = sin x โดยใช้ค่า x ที่เลือกโดยพลการ มาคำนวณตารางที่มีพิกัดสำหรับจุดควบคุมของกราฟกัน: ผลลัพธ์ที่ได้ควรเป็นเส้นโค้งที่สวยงาม เพื่อให้การค้นหาวิธีแก้ปัญหาง่ายขึ้น เรามาแทนที่อาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อนกันดีกว่า
.
, ถ้า .
.
.
.
แล้วความไม่เท่าเทียมกันก็ไม่สมเหตุสมผล ดังนั้นจึงไม่มีวิธีแก้ปัญหา
.
สารละลาย:ที่
วิธีที่ 1 - การแก้ไขอสมการโดยการสร้างกราฟฟังก์ชัน
วิธีที่ 2 - การแก้อสมการตรีโกณมิติโดยใช้วงกลมหน่วย
อสมการตรีโกณมิติเชิงซ้อน
ที่มาของวันในสัปดาห์ในงานมอบหมายบทเรียนภาษาเยอรมัน
ทฤษฎีไซโครเมทริกแห่งเชาวน์ปัญญา ทฤษฎีเชาวน์ปัญญาที่ถือว่าระดับเชาวน์ปัญญา
เกิดอะไรขึ้นกับบุคคลหลังความตายในมุมมองทางวิทยาศาสตร์ อะไรเกิดขึ้นหลังจากการเสียชีวิตของบุคคลนั้นเป็นวิทยาศาสตร์