การแก้อินทิกรัลแน่นอนด้วยคำตอบ ปริพันธ์สำหรับหุ่นจำลอง: วิธีการแก้, กฎการคำนวณ, คำอธิบาย

การแก้ปัญหาอินทิกรัลเป็นเรื่องง่าย แต่สำหรับชนชั้นสูงเท่านั้น บทความนี้มีไว้สำหรับผู้ที่ต้องการเรียนรู้ที่จะเข้าใจอินทิกรัล แต่รู้เพียงเล็กน้อยหรือไม่รู้เลยเกี่ยวกับพวกมัน อินทิกรัล... ทำไมจึงจำเป็น? วิธีการคำนวณ? อินทิกรัลที่แน่นอนและไม่แน่นอนคืออะไร?

หากการใช้อินทิกรัลเพียงอย่างเดียวที่คุณรู้จักคือการได้สิ่งที่มีประโยชน์จากสถานที่ที่เข้าถึงยากด้วยตะขอที่มีรูปร่างเป็นไอคอนอินทิกรัล ยินดีต้อนรับ! เรียนรู้วิธีแก้อินทิกรัลอย่างง่ายและอินทิกรัลอื่นๆ และสาเหตุที่คุณไม่สามารถทำได้โดยปราศจากมันในวิชาคณิตศาสตร์

เราศึกษาแนวคิด « อินทิกรัล »

การบูรณาการเป็นที่รู้จักในอียิปต์โบราณ แน่นอนว่าไม่ใช่ในรูปแบบที่ทันสมัยแต่ยังคง ตั้งแต่นั้นมา นักคณิตศาสตร์ได้เขียนหนังสือเกี่ยวกับเรื่องนี้เป็นจำนวนมาก โดดเด่นเป็นพิเศษ นิวตัน และ ไลบนิซ แต่แก่นแท้ของสิ่งต่าง ๆ ไม่เปลี่ยนแปลง

จะเข้าใจอินทิกรัลตั้งแต่เริ่มต้นได้อย่างไร? ไม่มีทาง! เพื่อให้เข้าใจหัวข้อนี้ คุณจะต้องมีความรู้พื้นฐานเกี่ยวกับพื้นฐานการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ข้อมูลเกี่ยวกับ ซึ่งจำเป็นสำหรับการทำความเข้าใจเกี่ยวกับปริพันธ์ มีอยู่แล้วในบล็อกของเรา

ปริพันธ์ไม่แน่นอน

มาทำหน้าที่กันหน่อย เอฟ(x) .

อินทิกรัลไม่ จำกัด ของฟังก์ชัน เอฟ(x) ฟังก์ชันดังกล่าวเรียกว่า เอฟ(x) ซึ่งมีอนุพันธ์เท่ากับฟังก์ชัน เอฟ(x) .

กล่าวอีกนัยหนึ่ง อินทิกรัลคืออนุพันธ์ย้อนกลับหรือแอนติเดริเวทีฟ โดยวิธีการอ่านในบทความของเรา

มีแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชันต่อเนื่องทั้งหมด นอกจากนี้ เครื่องหมายคงที่มักจะถูกเพิ่มเข้าไปในแอนติเดริเวทีฟ เนื่องจากอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่แตกต่างกันโดยค่าคงที่คงที่ กระบวนการหาอินทิกรัลเรียกว่าอินทิกรัล

ตัวอย่างง่ายๆ:

เพื่อไม่ให้คำนวณแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันพื้นฐานตลอดเวลา จะสะดวกที่จะนำเข้ามาไว้ในตารางและใช้ค่าสำเร็จรูป

ตารางอินทิกรัลที่สมบูรณ์สำหรับนักเรียน

ปริพันธ์ที่แน่นอน

เมื่อจัดการกับแนวคิดของอินทิกรัล เรากำลังจัดการกับปริมาณที่น้อยมาก อินทิกรัลจะช่วยคำนวณพื้นที่ของร่าง, มวลของวัตถุที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน, เส้นทางที่เดินทางระหว่างการเคลื่อนไหวที่ไม่สม่ำเสมอและอีกมากมาย ควรจำไว้ว่าอินทิกรัลเป็นผลรวมของเทอมเล็กอนันต์จำนวนมากอย่างอนันต์

ตัวอย่างเช่น ลองนึกภาพกราฟของฟังก์ชันบางอย่าง

จะหาพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยกราฟของฟังก์ชันได้อย่างไร? ด้วยความช่วยเหลือของอินทิกรัล! ลองแยกสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่ล้อมรอบด้วยแกนพิกัดและกราฟของฟังก์ชันออกเป็นส่วนน้อย ดังนั้นรูปจะถูกแบ่งออกเป็นคอลัมน์บาง ๆ ผลรวมของพื้นที่ของคอลัมน์จะเป็นพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู แต่จำไว้ว่าการคำนวณดังกล่าวจะให้ผลลัพธ์โดยประมาณ อย่างไรก็ตาม ยิ่งเซ็กเมนต์เล็กและแคบลงเท่าใด การคำนวณก็จะยิ่งแม่นยำมากขึ้นเท่านั้น หากเราลดขนาดลงจนความยาวมีแนวโน้มเป็นศูนย์ ผลรวมของพื้นที่ของเซ็กเมนต์จะมีแนวโน้มเท่ากับพื้นที่ของรูป นี่คืออินทิกรัลแน่นอนซึ่งเขียนดังนี้:

จุด a และ b เรียกว่า ขีดจำกัดของการรวม

« ปริพันธ์ »

อนึ่ง! สำหรับผู้อ่านของเราตอนนี้มีส่วนลด 10% สำหรับ

กฎสำหรับการคำนวณอินทิกรัลสำหรับ Dummies

คุณสมบัติของอินทิกรัลไม่ จำกัด

จะแก้อินทิกรัลไม่จำกัดได้อย่างไร? ที่นี่เราจะพิจารณาคุณสมบัติของอินทิกรัลไม่จำกัด ซึ่งจะเป็นประโยชน์ในการแก้ตัวอย่าง

• อนุพันธ์ของอินทิกรัลเท่ากับอินทิกรัล:

• ค่าคงที่สามารถนำออกมาจากใต้เครื่องหมายปริพันธ์:

• อินทิกรัลของผลรวมเท่ากับผลรวมของปริพันธ์ จริงเช่นกันสำหรับความแตกต่าง:

คุณสมบัติของอินทิกรัลที่แน่นอน

• ความเป็นเส้นตรง:

• เครื่องหมายของอินทิกรัลจะเปลี่ยนแปลงหากขีดจำกัดของการผสานรวมกลับกัน:

• ที่ ใดๆคะแนน เอ, ขและ กับ:

เราพบแล้วว่าอินทิกรัลแน่นอนคือขีดจำกัดของผลรวม แต่จะรับค่าเฉพาะเมื่อแก้ตัวอย่างได้อย่างไร สำหรับสิ่งนี้ มีสูตรของนิวตัน-ไลบนิซ:

ตัวอย่างของการแก้อินทิกรัล

ด้านล่างนี้เราพิจารณาอินทิกรัลที่ไม่แน่นอนและตัวอย่างพร้อมวิธีแก้ปัญหา เราเสนอให้คุณเข้าใจความซับซ้อนของโซลูชันโดยอิสระ และหากมีสิ่งใดไม่ชัดเจน ให้ถามคำถามในความคิดเห็น

ในการรวมเนื้อหา ให้ดูวิดีโอเกี่ยวกับวิธีการแก้ไขอินทิกรัลในทางปฏิบัติ อย่าสิ้นหวังหากไม่ได้ให้อินทิกรัลในทันที หันไปหาบริการนักเรียนอย่างมืออาชีพ แล้วอินทิกรัลสามส่วนหรือส่วนโค้งใดๆ บนพื้นผิวปิดจะอยู่ในอำนาจของคุณ

หากคำจำกัดความของตำราเรียนซับซ้อนเกินไปและเข้าใจยาก โปรดอ่านบทความของเรา เราจะพยายามอธิบายให้เข้าใจง่ายที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ "บนนิ้วมือ" ประเด็นหลักของส่วนคณิตศาสตร์ดังกล่าวเป็นปริพันธ์ที่แน่นอน วิธีคำนวณอินทิกรัล อ่านในคู่มือนี้

จากมุมมองทางเรขาคณิต ปริพันธ์ของฟังก์ชันคือพื้นที่ของรูปที่เกิดจากกราฟของฟังก์ชันนี้และแกนภายในการรวม เขียนอินทิกรัล วิเคราะห์ฟังก์ชันภายใต้อินทิกรัล: ถ้าอินทิกรัลสามารถถูกทำให้ง่ายขึ้น (ลด แยกตัวประกอบเครื่องหมายปริพันธ์ แบ่งออกเป็นสองอินทิกรัลอย่างง่าย) ให้ทำ เปิดตารางอินทิกรัลเพื่อดูว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันใดอยู่ภายใต้อินทิกรัล พบคำตอบ? เขียนตัวประกอบที่ดึงออกมาจากอินทิกรัล (ถ้าเกิดขึ้น) จดฟังก์ชันที่พบจากตาราง แทนที่ขอบเขตของอินทิกรัล

ในการคำนวณค่าปริพันธ์ ให้คำนวณค่าที่ขอบบนและลบค่าของอินทิกรัลที่ขอบล่าง ความแตกต่างคือค่าที่ต้องการ

เพื่อทดสอบตัวเองหรืออย่างน้อยก็เข้าใจแนวทางการแก้ปัญหาสำหรับอินทิกรัล จะสะดวกที่จะใช้บริการออนไลน์เพื่อค้นหาอินทิกรัล อย่างไรก็ตาม ก่อนดำเนินการแก้ไข โปรดอ่านกฎสำหรับการป้อนฟังก์ชัน ข้อได้เปรียบที่ยิ่งใหญ่ที่สุดคือที่นี่มีการอธิบายวิธีแก้ปัญหาทั้งหมดของอินทิกรัลไว้ทีละขั้นตอน

แน่นอนว่ามีการพิจารณาเฉพาะอินทิกรัลรุ่นที่ง่ายที่สุดเท่านั้น - อันที่จริงมีอินทิกรัลมากมายหลายชนิดพวกเขาได้รับการศึกษาในวิชาคณิตศาสตร์ระดับสูงการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์และสมการเชิงอนุพันธ์ในมหาวิทยาลัยสำหรับนักเรียนที่เชี่ยวชาญด้านเทคนิค

บริการออนไลน์บน เว็บไซต์ให้คุณค้นพบ การแก้อินทิกรัลที่แน่นอนทางออนไลน์. การตัดสินใจจะดำเนินการโดยอัตโนมัติบนเซิร์ฟเวอร์และภายในไม่กี่วินาทีผู้ใช้จะได้รับผล บริการออนไลน์ทั้งหมดบนเว็บไซต์นั้นฟรีอย่างแน่นอน และการแก้ปัญหานั้นออกในรูปแบบที่สะดวกและเข้าใจได้ นอกจากนี้ ข้อได้เปรียบของเราคือให้ผู้ใช้มีโอกาสเข้าสู่ขอบเขตของการผสานรวม ซึ่งรวมถึงขีดจำกัดของการผสานรวม: ลบและบวกอนันต์ ดังนั้น การแก้อินทิกรัลที่แน่นอนจึงกลายเป็นเรื่องง่าย รวดเร็วและมีคุณภาพสูง เป็นสิ่งสำคัญที่เซิร์ฟเวอร์อนุญาต คำนวณอินทิกรัลที่แน่นอนออนไลน์ฟังก์ชันที่ซับซ้อนซึ่งการแก้ปัญหาในบริการออนไลน์อื่น ๆ มักจะเป็นไปไม่ได้เนื่องจากความไม่สมบูรณ์ของระบบ เราจัดเตรียมกลไกที่ง่ายมากและใช้งานง่ายสำหรับการป้อนฟังก์ชันและความสามารถในการเลือกตัวแปรการรวม ซึ่งคุณไม่จำเป็นต้องแปลฟังก์ชันที่กำหนดในตัวแปรหนึ่งเป็นตัวแปรอื่น เพื่อขจัดข้อผิดพลาดและการพิมพ์ผิดที่เกี่ยวข้องกับสิ่งนี้ หน้านี้ยังประกอบด้วยลิงค์ไปยังบทความเชิงทฤษฎีและตารางเกี่ยวกับการแก้ปัญหาของปริพันธ์ที่แน่นอน เมื่อรวมกันแล้วจะช่วยให้คุณสามารถคำนวณอินทิกรัลที่แน่นอนทางออนไลน์ได้อย่างรวดเร็ว และหากคุณต้องการ ให้ค้นหาและทำความเข้าใจทฤษฎีของการแก้อินทิกรัลที่แน่นอน บน http: // เว็บไซต์ คุณสามารถไปที่บริการอื่น ๆ ได้: โซลูชันออนไลน์ของข้อ จำกัด อนุพันธ์อนุพันธ์ผลรวมของอนุกรม การไปที่แท็บเพื่อแก้ไขอินทิกรัลที่ไม่แน่นอนทางออนไลน์นั้นค่อนข้างง่าย - ลิงก์อยู่ในแถวระหว่างลิงก์ที่มีประโยชน์ นอกจากนี้ บริการยังได้รับการปรับปรุงและพัฒนาอย่างต่อเนื่อง และทุกวันมีคุณสมบัติและการปรับปรุงใหม่ๆ เพิ่มขึ้นเรื่อยๆ แก้อินทิกรัลแน่นอนร่วมกับเรา! บริการออนไลน์ทั้งหมดมีให้แม้กระทั่งผู้ใช้ที่ไม่ได้ลงทะเบียนและฟรีอย่างแน่นอน

ด้วยการแก้อินทิกรัลที่แน่นอนกับเรา คุณสามารถตรวจสอบโซลูชันของคุณเองหรือกำจัดการคำนวณที่สิ้นเปลืองเวลาที่ไม่จำเป็น และไว้วางใจในเครื่องจักรอัตโนมัติที่มีเทคโนโลยีสูง ความแม่นยำที่คำนวณได้จากบริการจะเป็นไปตามมาตรฐานทางวิศวกรรมเกือบทุกชนิด บ่อยครั้ง สำหรับอินทิกรัลที่แน่นอนแบบตารางจำนวนมาก ผลลัพธ์จะได้รับในรูปแบบที่แน่นอน (โดยใช้ค่าคงที่ที่รู้จักกันดีและฟังก์ชันที่ไม่ใช่องค์ประกอบ)

การแก้ปัญหาอินทิกรัลเป็นเรื่องง่าย แต่สำหรับชนชั้นสูงเท่านั้น บทความนี้มีไว้สำหรับผู้ที่ต้องการเรียนรู้ที่จะเข้าใจอินทิกรัล แต่รู้เพียงเล็กน้อยหรือไม่รู้เลยเกี่ยวกับพวกมัน อินทิกรัล... ทำไมจึงจำเป็น? วิธีการคำนวณ? อินทิกรัลที่แน่นอนและไม่แน่นอนคืออะไร?

หากการใช้อินทิกรัลเพียงอย่างเดียวที่คุณรู้จักคือการได้สิ่งที่มีประโยชน์จากสถานที่ที่เข้าถึงยากด้วยตะขอที่มีรูปร่างเป็นไอคอนอินทิกรัล ยินดีต้อนรับ! เรียนรู้วิธีแก้อินทิกรัลอย่างง่ายและอินทิกรัลอื่นๆ และสาเหตุที่คุณไม่สามารถทำได้โดยปราศจากมันในวิชาคณิตศาสตร์

เราศึกษาแนวคิด « อินทิกรัล »

การบูรณาการเป็นที่รู้จักในอียิปต์โบราณ แน่นอนว่าไม่ใช่ในรูปแบบที่ทันสมัยแต่ยังคง ตั้งแต่นั้นมา นักคณิตศาสตร์ได้เขียนหนังสือเกี่ยวกับเรื่องนี้เป็นจำนวนมาก โดดเด่นเป็นพิเศษ นิวตัน และ ไลบนิซ แต่แก่นแท้ของสิ่งต่าง ๆ ไม่เปลี่ยนแปลง

จะเข้าใจอินทิกรัลตั้งแต่เริ่มต้นได้อย่างไร? ไม่มีทาง! เพื่อให้เข้าใจหัวข้อนี้ คุณจะต้องมีความรู้พื้นฐานเกี่ยวกับพื้นฐานการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ข้อมูลเกี่ยวกับลิมิตและอนุพันธ์ที่จำเป็นสำหรับการทำความเข้าใจอินทิกรัล เรามีอยู่แล้วในบล็อกของเรา

ปริพันธ์ไม่แน่นอน

มาทำหน้าที่กันหน่อย เอฟ(x) .

อินทิกรัลไม่ จำกัด ของฟังก์ชัน เอฟ(x) ฟังก์ชันดังกล่าวเรียกว่า เอฟ(x) ซึ่งมีอนุพันธ์เท่ากับฟังก์ชัน เอฟ(x) .

กล่าวอีกนัยหนึ่ง อินทิกรัลคืออนุพันธ์ย้อนกลับหรือแอนติเดริเวทีฟ อ่านบทความของเราเกี่ยวกับวิธีคำนวณอนุพันธ์

มีแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชันต่อเนื่องทั้งหมด นอกจากนี้ เครื่องหมายคงที่มักจะถูกเพิ่มเข้าไปในแอนติเดริเวทีฟ เนื่องจากอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่แตกต่างกันโดยค่าคงที่คงที่ กระบวนการหาอินทิกรัลเรียกว่าอินทิกรัล

ตัวอย่างง่ายๆ:

เพื่อไม่ให้คำนวณแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันพื้นฐานตลอดเวลา จะสะดวกที่จะนำเข้ามาไว้ในตารางและใช้ค่าสำเร็จรูป

ตารางอินทิกรัลที่สมบูรณ์สำหรับนักเรียน

ปริพันธ์ที่แน่นอน

เมื่อจัดการกับแนวคิดของอินทิกรัล เรากำลังจัดการกับปริมาณที่น้อยมาก อินทิกรัลจะช่วยคำนวณพื้นที่ของร่าง, มวลของวัตถุที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน, เส้นทางที่เดินทางระหว่างการเคลื่อนไหวที่ไม่สม่ำเสมอและอีกมากมาย ควรจำไว้ว่าอินทิกรัลเป็นผลรวมของเทอมเล็กอนันต์จำนวนมากอย่างอนันต์

ตัวอย่างเช่น ลองนึกภาพกราฟของฟังก์ชันบางอย่าง

จะหาพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยกราฟของฟังก์ชันได้อย่างไร? ด้วยความช่วยเหลือของอินทิกรัล! ลองแยกสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่ล้อมรอบด้วยแกนพิกัดและกราฟของฟังก์ชันออกเป็นส่วนน้อย ดังนั้นรูปจะถูกแบ่งออกเป็นคอลัมน์บาง ๆ ผลรวมของพื้นที่ของคอลัมน์จะเป็นพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู แต่จำไว้ว่าการคำนวณดังกล่าวจะให้ผลลัพธ์โดยประมาณ อย่างไรก็ตาม ยิ่งเซ็กเมนต์เล็กและแคบลงเท่าใด การคำนวณก็จะยิ่งแม่นยำมากขึ้นเท่านั้น หากเราลดขนาดลงจนความยาวมีแนวโน้มเป็นศูนย์ ผลรวมของพื้นที่ของเซ็กเมนต์จะมีแนวโน้มเท่ากับพื้นที่ของรูป นี่คืออินทิกรัลแน่นอนซึ่งเขียนดังนี้:

จุด a และ b เรียกว่า ขีดจำกัดของการรวม

« ปริพันธ์ »

อนึ่ง! สำหรับผู้อ่านของเราตอนนี้มีส่วนลด 10% สำหรับ งานอะไรก็ได้

กฎสำหรับการคำนวณอินทิกรัลสำหรับ Dummies

คุณสมบัติของอินทิกรัลไม่ จำกัด

จะแก้อินทิกรัลไม่จำกัดได้อย่างไร? ที่นี่เราจะพิจารณาคุณสมบัติของอินทิกรัลไม่จำกัด ซึ่งจะเป็นประโยชน์ในการแก้ตัวอย่าง

• อนุพันธ์ของอินทิกรัลเท่ากับอินทิกรัล:

• ค่าคงที่สามารถนำออกมาจากใต้เครื่องหมายปริพันธ์:

• อินทิกรัลของผลรวมเท่ากับผลรวมของปริพันธ์ จริงเช่นกันสำหรับความแตกต่าง:

คุณสมบัติของอินทิกรัลที่แน่นอน

• ความเป็นเส้นตรง:

• เครื่องหมายของอินทิกรัลจะเปลี่ยนแปลงหากขีดจำกัดของการผสานรวมกลับกัน:

• ที่ ใดๆคะแนน เอ, ขและ กับ:

เราพบแล้วว่าอินทิกรัลแน่นอนคือขีดจำกัดของผลรวม แต่จะรับค่าเฉพาะเมื่อแก้ตัวอย่างได้อย่างไร สำหรับสิ่งนี้ มีสูตรของนิวตัน-ไลบนิซ:

ตัวอย่างของการแก้อินทิกรัล

ด้านล่างนี้เราพิจารณาอินทิกรัลที่ไม่แน่นอนและตัวอย่างพร้อมวิธีแก้ปัญหา เราเสนอให้คุณเข้าใจความซับซ้อนของโซลูชันโดยอิสระ และหากมีสิ่งใดไม่ชัดเจน ให้ถามคำถามในความคิดเห็น

ในการรวมเนื้อหา ให้ดูวิดีโอเกี่ยวกับวิธีการแก้ไขอินทิกรัลในทางปฏิบัติ อย่าสิ้นหวังหากไม่ได้ให้อินทิกรัลในทันที หันไปหาบริการนักเรียนอย่างมืออาชีพ แล้วอินทิกรัลสามส่วนหรือส่วนโค้งใดๆ บนพื้นผิวปิดจะอยู่ในอำนาจของคุณ

อินทิกรัลมีไว้เพื่ออะไร? ลองตอบคำถามนี้ด้วยตัวคุณเอง

ในการอธิบายหัวข้อของปริพันธ์ ครูแสดงรายการส่วนการใช้งานที่ไม่มีประโยชน์สำหรับจิตใจของโรงเรียน ในหมู่พวกเขา:

• การคำนวณพื้นที่ของรูป
• การคำนวณน้ำหนักตัวที่มีความหนาแน่นไม่สม่ำเสมอ
• การกำหนดระยะทางที่เดินทางเมื่อเคลื่อนที่ด้วยความเร็วตัวแปร
• และอื่น ๆ.

เป็นไปไม่ได้เสมอที่จะเชื่อมโยงกระบวนการเหล่านี้ทั้งหมด นักเรียนจำนวนมากจึงสับสน แม้ว่าพวกเขาจะมีความรู้พื้นฐานทั้งหมดเพื่อทำความเข้าใจอินทิกรัลก็ตาม

สาเหตุหลักของความไม่รู้– ขาดความเข้าใจในความสำคัญเชิงปฏิบัติของปริพันธ์

อินทิกรัล - มันคืออะไร?

ข้อกำหนดเบื้องต้น. ความจำเป็นในการบูรณาการเกิดขึ้นในกรีกโบราณ ในเวลานั้น อาร์คิมิดีสเริ่มใช้วิธีการที่คล้ายคลึงกันในสาระสำคัญกับแคลคูลัสปริพันธ์สมัยใหม่ เพื่อหาพื้นที่ของวงกลม แนวทางหลักในการกำหนดพื้นที่ของตัวเลขที่ไม่สม่ำเสมอคือ "วิธีการหมดแรง" ซึ่งค่อนข้างเข้าใจง่าย

สาระสำคัญของวิธีการ. ลำดับแบบโมโนโทนิกของตัวเลขอื่น ๆ ถูกจารึกไว้ในรูปนี้ จากนั้นจะคำนวณขีด จำกัด ของลำดับของพื้นที่ของพวกเขา ขีดจำกัดนี้ถือเป็นพื้นที่ของตัวเลขที่กำหนด

ในวิธีนี้ แนวคิดของแคลคูลัสเชิงปริพันธ์สามารถติดตามได้ง่าย ๆ ซึ่งก็คือการหาขีดจำกัดของผลรวมอนันต์ ต่อมานักวิทยาศาสตร์ได้นำแนวคิดนี้มาแก้ปัญหา งานที่นำไปใช้วิทยาศาสตร์ เศรษฐศาสตร์ กลศาสตร์ ฯลฯ

อินทิกรัลที่ทันสมัย. ทฤษฎีการบูรณาการแบบคลาสสิกถูกกำหนดขึ้นในเงื่อนไขทั่วไปโดยนิวตันและไลบนิซ มันอาศัยกฎของแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ที่มีอยู่ในขณะนั้น เพื่อให้เข้าใจ คุณต้องมีความรู้พื้นฐานที่จะช่วยคุณอธิบายแนวคิดที่เป็นภาพและเป็นธรรมชาติเกี่ยวกับปริพันธ์ในภาษาคณิตศาสตร์

อธิบายแนวคิดของ "Integral"

กระบวนการหาอนุพันธ์เรียกว่า ความแตกต่างและการหาแอนติเดริเวทีฟ - บูรณาการ.

ปริพันธ์ ภาษาคณิตศาสตร์คือแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน (สิ่งที่อยู่ก่อนอนุพันธ์) + ค่าคงที่ "C"

ปริพันธ์ พูดง่ายๆคือพื้นที่ของรูปโค้ง อินทิกรัลไม่ จำกัด คือพื้นที่ทั้งหมด อินทิกรัลแน่นอนคือพื้นที่ในพื้นที่ที่กำหนด

อินทิกรัลเขียนดังนี้:

อินทิกรัลแต่ละตัวจะถูกคูณด้วยองค์ประกอบ "dx" มันแสดงให้เห็นว่าตัวแปรใดถูกรวมเข้าด้วยกัน "dx" คือการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ แทนที่จะเป็น X อาจมีอาร์กิวเมนต์อื่น เช่น t (เวลา)

ปริพันธ์ไม่แน่นอน

อินทิกรัลไม่มีกำหนดไม่มีขอบเขตของการบูรณาการ

ในการแก้อินทิกรัลไม่จำกัด ก็เพียงพอที่จะหาแอนติเดริเวทีฟของอินทิกรัลแล้วเติม "C" ลงไป

ปริพันธ์ที่แน่นอน

ในอินทิกรัลที่แน่นอน ข้อจำกัด "a" และ "b" ถูกเขียนบนเครื่องหมายการรวม ซึ่งระบุไว้บนแกน x ในกราฟด้านล่าง

ในการคำนวณอินทิกรัลที่แน่นอน คุณต้องหาแอนติเดริเวทีฟ แทนที่ค่าของ "a" และ "b" แล้วหาความแตกต่าง ในทางคณิตศาสตร์เรียกว่า สูตรนิวตัน-ไลบนิซ:

ตารางอินทิกรัลสำหรับนักเรียน (สูตรพื้นฐาน)

ดาวน์โหลดสูตรของอินทิกรัล พวกมันจะยังมีประโยชน์สำหรับคุณ

วิธีการคำนวณอินทิกรัลอย่างถูกต้อง

มีการดำเนินการง่ายๆ หลายประการสำหรับการแปลงอินทิกรัล นี่คือรายการหลัก:

การลบค่าคงที่ใต้เครื่องหมายปริพันธ์

การสลายตัวของอินทิกรัลรวมเป็นผลรวมของปริพันธ์

หากคุณสลับ a และ b เครื่องหมายจะเปลี่ยน

คุณสามารถแบ่งอินทิกรัลเป็นช่วงได้ดังนี้

เหล่านี้เป็นคุณสมบัติที่ง่ายที่สุดบนพื้นฐานของทฤษฎีบทและวิธีการที่ซับซ้อนมากขึ้นของแคลคูลัสจะถูกกำหนดในภายหลัง

ตัวอย่างการคำนวณอินทิกรัล

การแก้อินทิกรัลไม่แน่นอน

การแก้อินทิกรัลแน่นอน

แนวคิดพื้นฐานสำหรับการทำความเข้าใจหัวข้อ

เพื่อให้คุณเข้าใจสาระสำคัญของการรวมและไม่ปิดหน้าจากการเข้าใจผิด เราจะอธิบายแนวคิดพื้นฐานจำนวนหนึ่ง ฟังก์ชัน อนุพันธ์ ลิมิต และแอนติเดริเวทีฟคืออะไร

การทำงาน- กฎที่องค์ประกอบทั้งหมดจากชุดหนึ่งเกี่ยวข้องกับองค์ประกอบทั้งหมดจากชุดอื่น

อนุพันธ์เป็นฟังก์ชันที่อธิบายอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันอื่นในแต่ละจุดที่เฉพาะเจาะจง ในแง่ที่เคร่งครัด นี่คือขีดจำกัดของอัตราส่วนของการเพิ่มฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ มีการคำนวณด้วยตนเอง แต่ใช้ตารางอนุพันธ์ได้ง่ายกว่า ซึ่งประกอบด้วยฟังก์ชันมาตรฐานส่วนใหญ่

เพิ่มขึ้น- การเปลี่ยนแปลงเชิงปริมาณของฟังก์ชันโดยมีการเปลี่ยนแปลงในอาร์กิวเมนต์

ขีดจำกัด- ค่าที่ค่าของฟังก์ชันมีแนวโน้ม เมื่ออาร์กิวเมนต์มีแนวโน้มเป็นค่าหนึ่ง

ตัวอย่างของลิมิต: สมมุติว่าสำหรับ X เท่ากับ 1, Y จะเท่ากับ 2 แต่ถ้า X ไม่เท่ากับ 1 แต่มีแนวโน้มเป็น 1 นั่นคือจะไม่มีวันถึงมัน? ในกรณีนี้ y จะไม่ถึง 2 แต่จะมีแนวโน้มที่ค่านี้เท่านั้น ในภาษาคณิตศาสตร์ เขียนได้ดังนี้: limY (X) โดยที่ X –> 1 = 2 อ่านว่า ลิมิตของฟังก์ชัน Y (X) โดยที่ x พุ่งไปที่ 1 คือ 2

ดังที่ได้กล่าวไปแล้ว อนุพันธ์คือฟังก์ชันที่อธิบายฟังก์ชันอื่น ฟังก์ชันดั้งเดิมสามารถได้มาจากฟังก์ชันอื่น ฟังก์ชันอื่นนี้เรียกว่า ดั้งเดิม.

บทสรุป

การหาอินทิกรัลไม่ยาก หากคุณไม่เข้าใจวิธีการทำ . จากครั้งที่สองจะชัดเจนขึ้น จดจำ!คำตอบของอินทิกรัลลดลงเป็นการแปลงแบบง่ายของอินทิกรัลแล้วค้นหาใน

หากคำอธิบายข้อความใช้ไม่ได้ผล ให้ดูวิดีโอเกี่ยวกับความหมายของอินทิกรัลและอนุพันธ์:

อินทิกรัล - มันคืออะไร, วิธีแก้ปัญหา, ตัวอย่างของการแก้ปัญหาและคำอธิบายสำหรับหุ่นปรับปรุงเมื่อ: 22 พฤศจิกายน 2019 โดย: บทความทางวิทยาศาสตร์.Ru